Acerca de los homomorfismos - Casanchi

Acerca de los homomorfismos 

Carlos S. Chinea 


1. Homomorfismos 

2. Operaciones 

3. Relaciones 

4. Los teoremas de isomorfía 

5. Existencia de homomorfismos 

1. Homomorfismos 

1.1. La idea de homomorfismo: 

Definición 1_1 

Dados dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpos k de escalares, (V,k) y 

(V’,k) se denomina homomorfismo del espacio (V,k) al espacio (V’,k) a toda 

aplicación f : V → W que verifique las condiciones de linealidad 

∀ x , y ∈V 

, f ( x + y) 

= f ( x) 

+ f ( y) 

∀ x ∈V 

, ∀α ∈ K, 

f ( αx) 

= αf 

( x) 

Representaremos por Hom(V,V’) al conjunto de todos los homomorfismos, 

aplicaciones lineales, del espacio (V,k) en el espacio (V’,k). 

Si un homomorfismo es biyectivo, se llamará isomorfismo, y si es inyectivo, 

monomorfismo. Si la aplicación es sobreyectiva, diremos que es un epimorfismo. 

La siguiente proposición es una consecuencia inmediata de la definición de 

homomorfismo. 

Proposición 1_1 

Si f es homomorfismo se cumple que: 

a) f(0)=0 

b) f(-x)=-f(x), ∀ x ∈V 

En efecto: 

a) Aplicamos la segunda condición de linealidad: ∀x ∈V , 

b) Igualmente: ∀ x ∈V , f(-x)=f((-1).x)=(-1).f(x)=-f(x) 

f(0)=f(0x)=0.f(x)=0 

Esta otra proposición permite caracterizar los homomorfismos mediante una 

sencilla condición. 

Proposición 1_2: 

La condición necesaria y suficiente para que la aplicación f : V → V ' sea lineal, es 

que 

f ( α x + βy) 

= αf 

( x) 

+ βf 

( y), 

∀x, 

y ∈V 

, ∀α, 

β ∈ K 

Demostración: 

- condición necesaria: aplicamos directamente ambas condiciones de linealidad 

f ( α x + βy) 

= f ( αx) 

+ f ( βy) 

= αf 

( x) 

+ βf 

( y), 

∀x, 

y ∈V 

, ∀α, 

β ∈ K 

- condición suficiente: hacemos α=1, β=1 para obtener la primera condición de 

linealidad, y hacemos q=0 para obtener la segunda: 

1



Hacemos α=1, β=1: 

f ( α x + βy) 

= αf 

( x) 

+ βf 

( y), 

∀x, 

y ∈V 

→ f ( x + y) 

= f ( x) 

+ f ( y), 

∀x, 

y ∈V 

- Hacemos β=0: 

f ( α x + 0y) 

= αf 

( x) 

+ 0 f ( y), 

∀x, 

y ∈V 

→ f ( αx) 

= αf 

( x), 

∀x 

∈V 

, ∀α 

∈ K 

En el caso de que el espacio origen y el espacio imagen coincidan (V=V’), se 

introduce la idea de endomorfismo. 

Definición 1_2: Se denomina endomorfismo en el espacio (V,k) a un homomorfismo 

f:VV, esto es, un homomorfismo de V en V. El endomorfismo se llama 

epimorfismo si la aplicación f es sobreyectiva, monomorfismo si es inyectiva y 

automorfismo si es biyectiva. Representaremos por End(V) al conjunto de todos los 

endomorfismos en V. 

1.2. Homomorfismos y variedades lineales 

Definición 1_3: 

Un subconjunto L de vectores de un espacio vectorial (V,k) es una variedad lineal 

de V si tiene también estructura de espacio vectorial con respecto al mismo cuerpo 

de escalares k. 


La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto L ⊂ V sea variedad 

lineal del espacio (V,k) es que∀ x, 

y ∈ L, 

∀a, 

b∈ 

k, 

ax + by ∈ L 


- Condición suficiente: 

Haciendo a=1,b=1, ∀ x, y ∈ L, 

∀a, 

b∈ 

k, 

ax + by ∈ L → x + y ∈ L , luego la suma de 

vectores es interna en L, y tiene las mismas propiedades de grupo que tiene en V. 

Haciendo b=0, ∀ x ∈ L, ∀a 

∈ K, 

ax ∈ L , y tiene las mismas propiedades del producto 

de un vector por un escalar que tiene en V. Luego (L,k) es espacio vectorial, 

subespacio del espacio vectorial (V,k). 

- Condición necesaria: trivialmente, ∀x , y ∈ L, 

∀a, 

b∈ 

K ∧ L espacio vect → 

→ ax ∈ L, 

by ∈ L → ax + by ∈ L 


Para todo homomorfismo f : V → W se verifica que 

a) Si L es variedad lineal de V, entonces f(L) es variedad lineal de W. 

b) Si L’ es variedad lineal de W, entonces f -1 (L’) es variedad lineal de V. 


a) Hemos de probar que∀x' , y' 

∈ f ( L), 

α x' 

+ βy' 

∈ f ( L), 

∀α, 

β ∈ K . 

∀x', 

y' 

∈ f ( L), 

∃x, 

y ∈ L / f ( x) 

= x', 

f ( y) 

= y' 

∧L 

varlineal 

→ αx 

+ βy 

∈ L, 

∀α, 

β ∈ K → 

→ f ( αx 

+ βy) 

∈ f ( L) 

→ αf 

( x) 

+ βf 

( y) 

∈ f ( L) 

→ αx' 

+ βy' 

∈ f ( L) 

−1 

−1 

b) Hemos de probar que∀x, 

y ∈ f ( L), 

α x + βy 

∈ f ( L), 

∀α, 

β ∈ K . 

∀x, 

y ∈ f 

−1 

( L) 

→ 

→ f ( αx 

+ βy) 

∈ L → αx 

+ βy 

∈ f 

f ( x), 

f ( y) 

∈ L ∧ L varlineal 

→ αf 

( x) 

+ βf 

( y) 

∈ L, 

∀α, 

β ∈ K → 

−1 

( L) 

La siguiente proposición es una consecuencia inmediata de la proposición 1_4. 


a) f (V ) es variedad lineal de V’. 

2



b) f −1 (0) 

es variedad lineal de V. 

Ambas variedades lineales se denominan respectivamente variedad imagen, y 

núcleo del homomorfismo. Pueden ser simbolizadas por img (V ) y ker f , 

respectivamente. 


a) Trivialmente, puesto que V es una variedad lineal de si misma, img (V)=f(V) es 

variedad lineal del espacio imagen V’. 

b) Análogamente, al ser { 0 } variedad lineal de W, es ker f=f -1 (0) variedad lineal 

del espacio V. 


Se denomina rango del homomorfismo f : V → V ' al cardinal de una base B f de la 

variedad lineal f(V), o bien, si es f(V) de dimensión finita, a su dimensión: 

rang(f)=card(B f ) o bien rang(f)=dim img(f(V)) 

Se denomina nulidad del homomorfismo f : V → W al cardinal de una base B’ f de 

la variedad lineal f -1 (0), o bien, si es f -1 (0) de dimensión finita, a su dimensión: 

nulid(f)=card(B’ f ) o bien nulid(f)=dimkerf=dim f -1 (0) 


La condición necesaria y suficiente para que el homomorfismo 

inyectivo, es que ker f = {} 0 . 

- condición necesaria: 

f inyectivo ↔ ∀x, y ∈V 

, f ( x) 

= f ( y) 

⇒ x = y . 

∀x 

∈ ker f , f ( x) 

= 0 ∧ f (0) = 0 → f ( x) 

= f (0) → x = 0 → ker f = 

- condición suficiente: 

ker f = {} 0 ∧ f ( x) 

= f ( y) 

→ f ( x) 

− 

→ x − y = 0 → x = y → f inyectivo 

f ( y) 

= 0 → 

f : V → V ' sea 

{ 0} 

f ( x − y) 

= 0 → x − y ∈ ker f → 


Si B es una base del espacio V, entonces f(B) contiene a una base de la variedad 

lineal imagen f(V). 


B = una base de V. Se tiene que: 

e k 

Sea { } 

k 

k 

( ∑ x ek 

) = ∑ x f ( ek 

) = x' 

→ f ( B) 

= { f ( ek 

} 

∀ x' 

∈ f ( V ), ∃x 

∈V 

/ f ( x) 

= x' 

→ f ( x) 

= f 

) 

genera a la variedad f(V). Como todo sistema de generadores contiene subconjuntos 

linealmente independientes maximales, f(B) contiene al menos una base de 

f(V). 


Sea B una base de V y sea B’ una base de Ker f. Si es B” el conjunto de vectores 

de V tal que B = B' UB" 

y B' I B"= φ , entonces f(B”) es base de f(V). 


Por la proposición 1_7, f ( B) 

= f ( B' 

UB" 

) es un sistema de generadores conteniendo 

una base de f(V). Como f(B’)=0, tal base está contenida en f(B”). 

Veamos que f(B”) es un conjunto de vectores linealmente independientes. Sea una 

e " , que cumple que ∑ 

" 

α 

k e = 0 → 

familia cualquiera de vectores de f(B”), { k 

} k 

k 

3



k 

k 

k 

∑ f ( ek 

) = f ( ∑ α ek 

) = 0 → ∑α 

ek 

= 

∑ 

k k 

ek 

= 0 →α 

= ∑ 

→ α 0 ,y siendo B = B' UB" 

base de V, se 

" 

k 

tiene que α 0 , por lo cual α 

k e = 0 →α 

= 0 y f(B”) es 

linealmente independiente, y como también es sistema de generadores de f(V), es 

una base. 


Sea B una base de V. La condición necesaria y suficiente para que f sea suprayectiva 

es que f(B) sea sistema de generadores de V’. 


-condición necesaria: 

Puesto que por la Proposición 1_7 sabemos que f(B) es sistema de generadores de 

f(V), si f es suprayectiva será V’=f(V) y f(B) será sistema de generadores de V’. 

-condición suficiente: 

k 

Si f(B) es sistema de generadores de V’, entonces∀ x' 

∈V 

', x' 

= ∑ x f ( ek 

), siendo 

k 

k 

{ f ( ek )} ⊆ f ( B) 

, luego x' 

= ∑ x f ( ek 

) = f ( ∑ x ek 

) = f ( x), 

x ∈V 

→ x' 

∈ f ( V ) , de 

donde, V ' ⊆ f ( V ) → V ' = f ( V ) → f suprayectiva 

k 

2. Operaciones 

En lo que sigue, consideraremos el conjunto Hom(V,V’) de todos los homomorfismos 

de V en V’. Veremos como, con la definición que damos de suma y producto 

por un escalar, es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo k del espacio V. 

Veremos también que con la operación de composición o producto de 

homomorfismos que exponemos, se trata de una álgebra asociativa. 

2.1. Suma y producto por un escalar. Estructura de espacio vectorial: 


- suma: 

∀ f , g ∈ Hom( 

V , V ' ), ( f + g)( 

x) 

= f ( x) 

+ g( 

x), 

∀x 

∈V 

-Producto por un escalar: 

∀ f ∈ Hom( V , V ' ), ∀α 

∈ K, 

( αf 

)( x) 

= αf 

( x), 

∀x 

∈V 


(Hom(V,V’), +) es un grupo conmutativo. 


-La suma es ley interna en Hom(V,V’): 

∀ f , g ∈ Hom( 

V , V ' ), ∀α 

, β ∈ K, 

( f + g)( 

αx 

+ βy) 

= f ( αx 

+ βy) 

+ g( 

αx 

+ βy) 

= 

= f ( α x) 

+ f ( βy) 

+ g( 

αx) 

+ g( 

βy) 

= α( 

f ( x) 

+ g( 

x)) 

+ β ( f ( y) 

+ g( 

y)) 

= 

= α ( f + g)( 

x) 

+ β ( f + g)( 

y) 

→ f + g ∈ Hom( 

V , V ' ) 

-La suma es asociativa: 

∀ f , g, 

h ∈ Hom( 

V , V '), 

( f + g) 

+ h ( x) 

= ( f + g)( 

x) 

+ h( 

x) 

= f ( x) 

+ g( 

x) 

+ h( 

x) 

= f ( x) 

+ ( g( 

x) 

+ h( 

x)) 

= [ f + ( g + h) 

]( 

x), 

∀x 

∈V 

-La suma es conmutativa: 

∀ f , g ∈ Hom( 

V , V ' ), ( f + g)( 

x) 

= f ( x) 

+ g( 

x) 

= g( 

x) 

+ f ( x) 

= ( g + f )( x), 

∀x 

∈V 

-Existe elemento nulo: 

Sea fo 

∈ Hom( V , V ' ) / fo( 

x) 

= 0, ∀x 

∈V. 

[ ] = 

4



∀ f ∈ Hom( V , V ' ), f ( x) 

+ fo ( x) 

= fo( 

x) 

+ f ( x) 

= f ( x) 

+ 0 = 0 + f ( x) 

= f ( x) 

-Existe elemento opuesto: 

Sea − f ∈ Hom( V , V ' ) /( − f )( x) 

= − f ( x), 

∀x 

∈V 

. 

( f + ( − f ))( x) 

= (( − f )( x) 

+ f ( x)) 

= f ( x) 

− f ( x) 

= 0, ∀x 

∈V 

→ f + ( − f ) = 


El producto de los elementos del grupo (Hom(V,V’), +) por los elementos del cuerpo 

de escalares de ambos espacios tiene las siguientes propiedades: a) es ley interna 

en (Hom(V,V’), +), b) Tiene asociatividad mixta, c) El producto de un escalar por 

una suma de homomorfismos es distributivo, d) El producto de una suma de 

escalares por un homomorfismo es distributivo, d) el elemento unidad del cuerpo 

de escalares es neutro al multiplicarlo por un homomorfismo del grupo. 


a)El producto por un escalar es ley externa de kxHom ( V , V ') 

en Hom( 

V , V ') 

: 

∀ α ∈k, ∀f 

∈ Hom( 

V , V ' ),( αf 

)( px + qy) 

= αf 

( px + qy) 

= αpf 

( x) 

+ αqf 

( y) 

= 

= pα 

f ( x) 

+ qαf 

( y) 

= p( 

αf 

)( x) 

+ q( 

αf 

)( y), 

∀x 

∈V 

→ αf 

∈ Hom( 

V , V ' ) 

b)Asociatividad mixta: 

∀ α , β ∈ k, 

∀f 

∈ Hom( 

V , V ' ), α( 

βf 

)( x) 

= α( 

βf 

( x)) 

= ( αβ ) f ( x) 

= (( αβ ) f )( x), 

∀x 

∈V 

O sea: α ( βf ) = ( αβ ) f 

c)Distributividad del producto de escalares por suma de homomorfismos: 

∀ α ∈ k, ∀f 

, g ∈ Hom( 

V , V '), α ( f + g)( 

x) 

= α ( f ( x) 

+ g( 

x)) 

= αf 

( x) 

+ αg( 

x) 

= 

= ( α f + αg)( 

x) 

→ α ( f + g) 

= αf 

+ αg 

d)Distributividad del producto de una suma de escalares por un homomorfismo: 

∀ α , β ∈ k, 

∀f 

∈ Hom( 

V , V '),( α + β ) f ( x) 

= αf 

( x) 

+ βf 

( x)) 

= ( αf 

+ βf 

)( x) 

→ 

→ ( α + β ) f = αf 

+ βf 

e)El producto por el elemento unidad del cuerpo de escalares: 

∀ f ∈ Hom( 

V , V '), ∀x 

∈V 

,1. f ( x) 

= f ( x) 

→ 1. 

f = f 

Corolario: 

( Hom ( V , V '), 

+ ,. k) 

tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo k de 

, ,. k) 

V ', 

+ ,. k) 

. 

escalares que definen los espacios vectoriales ( V + ) y ( ) 

f o 

2.2. La composición de Homomorfismos. Estructura de álgebra asociativa: 

Consideremos tres espacios vectoriales, ( V , + ,. k) 

) , ( V ', 

+ ,. k) 

) y ( V ", 

+ ,. k) 

), definidos 

sobre el mismo cuerpo de escalares, k, y sean f ∈ Hom( V , V '), 

g ∈ Hom( 

V ', V" 

) . Se 

define entonces el homomorfismo composición de ambos como la aplicación 

compuesta gof . Esto es: 

∀ f ∈ Hom( V , V '), g ∈ Hom( 

V ', V"), 

gof ∈ Hom( 

V , V") 

definido por la condición: 

∀ x ∈V 

,( 

gof )( x) 

= g[ f ( x) 

] ∈V" 


La composición de los homomorfismos f ∈ Hom( V , V '), 

g ∈ Hom( 

V ', V" 

) es un 

homomorfismo gof ∈ Hom( V , V" 

) . 


( gof )( α x + βy) 

= g[ f ( αx 

+ βy) 

] = g( αf 

( x) 

+ βf 

( y) 

) = g( 

αf 

( x)) 

+ g( 

βf 

( y)) 

= 

= α g( f ( x) 

+ βg( 

f ( y)) 

= α ( gof )( x) 

+ β ( gof )( y), 

∀x, 

y ∈V 

, ∀f 

∈ Hom( 

V , V '), 

∀ g ∈ Hom( V ', V"), 

5




Sea End(V) el conjunto de los homomorfismos de V en V (endomormismos). 

1) El conjunto End(V) de los endomorfismos de V en V es un álgebra asociativa 

respecto a las operaciones de suma, producto escalar y composición de 

homomorfismos. 

2) El anillo (End(V),+,.) no es un anillo íntegro. 


1) Veamos que (End(V),+,.K,o) es un álgebra asociativa: 

1.1. La composición de endomorfismos es ley interna: 

∀ f , g ∈ End( 

V ), ∀x, 

y ∈V 

, ∀α 

, β ∈ K, 

( fog)( 

αx 

+ βy) 

= f [ g( 

αx 

+ βy) 

] = 

= f ( α g( 

x) 

+ βg( 

y)) 

= αf 

( g( 

x)) 

+ βf 

( g( 

y)) 

= α ( fog)( 

x) 

+ β ( fog)( 

y) 

1.2. Es asociativa: 

∀ f , g, 

h∈ 

End( 

V ),[ fo( 

goh) 

]( 

x) 

= f [( 

fog)( 

x) 

] = f [ g( 

h( 

x)) 

] = ( fog)( 

h( 

x)) 

= 

= [( fog ) oh] ( x) 

→ fo( 

goh) 

= ( fog) 

oh 

1.3. Tiene elemento neutro: 

Sea el endomorfismo i : V → V / ∀x 

∈V 

, i( 

x) 

= x 

∀ f ∈ End ( V ), ( foi)( 

x) 

= f ( i( 

x)) 

= f ( x), 

( iof )( x) 

= i( 

f ( x)) 

= f ( x) 

Por tanto, foi = iof = f , resulta que i es elemento neutro para la composición. 

1.4. Es distributiva respecto de la suma: 

∀ f , g, 

h∈ 

End( 

V ),[( 

f + g) 

oh) 

]( 

x) 

= ( f + g) 

[ h( 

x) 

] = f [ h( 

x)) 

] + g[ h( 

x)) 

]= 

= ( foh )( x) 

+ ( goh)( 

x) 

→ ( f + g) 

oh = foh + goh 

1.5. No es conmutativa en general: 

Veamos que la operación no es conmutativa encontrando al menos un caso en el 

cual no lo es (se trata de encontrar un contraejemplo): 

Sea el espacio vectorial R 2 (V=R 2 ) y sean los homomorfismos f y g definidos por: 

f 

2 2 

2 

2 

: R → R / ∀( 

x, 

y) 

∈ R , f ( x, 

y) 

= ( y, 

x) 

∈ R 

2 2 

2 

2 

g : R → R / ∀( 

x, 

y) 

∈ R , f ( x, 

y) 

= ( x,0) 

∈ R 

Se tiene: 

( gof )( x, 

y) 

= g[ f ( x, 

y) 

] = g( 

y, 

x) 

= ( y,0) 

( fog )( x, 

y) 

= f [ g( 

x, 

y) 

] = f ( x,0) 

= (0, x) 

por tanto gof ≠ fog y la operación no es conmutativa. 

2) Veamos que el anillo (End(V),+,.) tiene divisores de cero: 

Sea V = V 1 

⊕V2 

. Esto es, ∀x ∈V 

, ∃x1 ∈V1 

, x2 

∈V2 

/ x = x1 

+ x2, 

de manera única. 

Sea el endomorfismo nulo: f o 

: V → V / f0 ( x) 

= 0, 

∀x 

∈V 

, Y consideremos los 

homomorfismos 

f : V → V / ∀x 

∈V 

, f ( x) 

= x , f ≠ f 

f 

2 

1 

: V 

2 

1 

→ V / ∀x 

∈V 

1 

2 

1 

, f 

2 

1 

( x) 

= x 

Se tiene: 

∀x 

∈V 

, ( f1of2)( 

x) 

= f1( 

f2( 

x)) 

= f1( 

x2) 

= 0 ≡ fo 

( x) 

∀x 

∈V 

, ( f2of1)( 

x) 

= f2( 

f1( 

x)) 

= f2( 

x1 

) = 0 ≡ fo 

( x) 

En definitiva: f1 of1 

= f2of1 

= f0 

∧ f1 

≠ f0, f2 

≠ f0 


El conjunto de los automorfismos de V es un grupo para la composición de 

homomorfismos, que se denomina Grupo Lineal General, GL(V). 


2 

, 

1 

f 

2 

≠ 

0 

f 

0 

6



Puesto que la composición de automorfismos (endomorfismos biyectivos o 

isomorfismos en V) es ley interna, asociativa y con elemento neutro, solo queda 

probar la existencia de inverso para todo f ∈ GL(V ). 

−1 

−1 

−1 

−1 

−1 

∀f ∈GL( 

V ), ∃f 

∈GL( 

V ) / fof ( x) 

= f ( f ( x)) 

= x → fof = f of = i 

3. Relaciones 

3.1 Relaciones de equivalencia compatibles con la estructura de espacio 

vectorial. Espacio cociente: 

Si (V,+,.k) es un espacio vectorial sobre k, una relación de equivalencia R en V es 

una relación entre sus elementos que es reflexiva, simétrica y transitiva. Cada uno 

de los subconjuntos de V constituido por elementos entre sí equivalentes por la 

relación R, se llama clase de R-equivalencia. Así, representaremos por clase R 

[] x al 

conjunto de elementos equivalentes a x ∈V 

por la relación de equivalencia R. El 

conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia se denomina conjunto 

cociente de V por la relación de equivalencia R y se puede representar por V/R. 

Veamos que definiendo adecuadamente la suma de clases y el producto de una 

clase por un escalar, puede dotarse al conjunto cociente, V/R, de estructura de 

espacio vectorial. 

Definición 3.1: 

Se define la suma de clases en V/R por: 

clase 

R 

[] x + clase [ x] = clase [ x + y] , ∀x, 

y ∈V 

R 

Proposición 3.1. 

El conjunto cociente V/R dotado de la suma de clases, (V/R, +), tiene estructura de 

grupo conmutativo. 


1. Es uniforme: 

Se verifica que xRx ' ∧ yRy' 

→ ( x + y) 

R( 

x' 

+ y' 

) , ya que: 

xRx' 

→ clase 

yRy' 

→ clase 

R[] x = claseR[ x' 

] ⎫ 

⎬ → claseR[] x + claseR[] y = claseR[ x' 

] + claseR[ y' 

]→ 

R[ y] = claseR[ y' 

] ⎭ 

[ x + y] = clase [ x' 

+ y' 

] → ( x y) 

R( 

x' 

ý' 

) 

→ claseR R 

+ 

2. Es asociativa: 

∀claseR x , claseR 

y , claseR 

z ∈V 

/ R, 

( claseR 

x + claseR 

y ) + claseR 

z 

= claseR 

[ x + y] + claseR[ z] = claseR[ ( x + y) 

+ z] = claseR[ x + ( y + z) 

] = 

= claseR [] x + claseR[ y + z] = claseR[ x] + ( claseR[ y] + claseR[ z]) 

3. Es conmutativa: 

∀claseR x , claseR 

y ∈V 

/ R, 

claseR 

x + claseR 

y = claseR 

x + y = clase 

= claseR [ y] + claseR[ x] 

4. Tiene elemento neutro: 

Sea clase R 

[] 0 = { u ∈V 

/ uR0} 

∀claseR [] x ∈V 

/ R, 

claseR[] x + claseR[ 0] = claseR[ x + 0] = claseR[ x] 

5. Existe el opuesto de cualquier elemento: 

[] [] [] [ ] [ ] [ ]= 

[] [] [ ] [ ] [ ] [ y + x]= 

R 

R 

7



R 

[] x ∈V 

R, 

clase [] x + clase [ − x] = clase [ x − x] clase [ 0] 

∀ clase = 

/ 

R 

R 

R 

R 


Se define el producto de una clase por un escalar de la manera siguiente: 

[ x] clase [ x] 

∀ α ∈ K, ∀x 

∈V 

, α. 

clase = α 

R R 

. 

Proposición 3.2: 

El conjunto cociente, V/R, dotado de la suma de clases y del producto de una clase 

por un escalar, es un espacio vectorial definido sobre el cuerpo k de escalares del 

espacio V. 


1. Asociatividad mixta: 

∀ α , β ∈ k, 

∀claseR[ x] ∈V 

/ R, 

α.( 

β. 

claseR[ x] ) = α. 

claseR[ βx] = claseR[ α. 

β ( x) 

] = 

= claseR [( α . β ). x] = ( α. 

β ). claseR[ x] 

2. Distributividad del producto de escalares por suma de clases: 

∀α 

∈ k, ∀claseR [] x , claseR[] y ∈V 

/ R, 

α.( 

claseR[ x] + claseR[ y] ) = α. 

claseR[ x + y]= 

= claseR [ α ( x + y) 

] = claseR[ α. 

x + α. 

y) 

] = claseR[ α. 

x) 

] + claseR[ α. 

y] = α. 

claseR[ x]+ 

+ αclase R 

[ y] 

3. Distributividad del producto de clases por suma de escalares: 

∀α 

, β ∈ k, 

∀claseR [ x] ∈V 

/ R, 

( α + β ). claseR[ x] = claseR[ ( α + β ). x] = claseR[ ( α + β ) x]= 

= claseR [ α . x + β. 

x] = claseR[ α. 

x] + claseR[ β. 

x] = α. 

claseR[ x] + β. 

claseR[ x] 

4. Propiedad del 1 del cuerpo: 

∀ clase x ∈V 

, 1. clase x = clase 1. x clase x) 

[] [] [ ] [ ] 

R R 

R 

= 


Se denomina espacio vectorial cociente (V/R,+,.k) al conjunto cociente V/R dotado 

de la suma de clases y producto por un escalar. 


Dado un espacio vectorial V y una relación de equivalencia R, la aplicación f de V en 

V/R tal que a cada elemento x del espacio le corresponde la clase de equivalencia 

cuyo representante es x, es un homomorfismo cuyo núcleo es ker f = { x / xR0} 

. 


∀a, b ∈ k, 

∀x, 

y ∈V 

, f ( ax + by) 

= claseR ax + by = a. 

claseR 

x + b. 

claseR 

y = af ( x) 

+ bf ( y 

∀ x ∈ ker f , f ( x) 

= claseR[] 0 = claseR[ x] → xR0 

Obviamente, tal homomorfismo es sobreyectivo, es decir, se trata de un 

epimorfismo, ya que para cualquier elemento del espacio cociente, clase R [x], existe 

un elemento V f ( x) 

= clase x 

x ∈ tal que [ ] 

R 

[ ] [ ] [ ] ) 

R 

3.2. Relación de equivalencia definida por una variedad lineal y relación de 

equivalencia definida por un homomorfismo: 

Hemos visto, en la proposición 3.3, que una relación de equivalencia induce un 

homomorfismo del espacio vectorial dado en el espacio cociente por la relación de 

equivalencia. Interesa saber cómo definir una relación de equivalencia mediante 

una condición de pertenencia a una variedad lineal, y también, por la igualdad de 

imágenes de un homomorfismo del espacio dado en otro espacio cualquiera. En lo 

que sigue vamos a ver que las relaciones definidas de uno u otro modo son, para 

una determinada variedad lineal, equivalentes entre sí. 

8



3.2.1. Relación de equivalencia definida por una variedad lineal del espacio: 


Dado un espacio vectorial (V,+,.k) y una variedad lineal L del mismo, se define la 

relación R L del modo siguiente: 

∀ x, 

y ∈V 

, xRL y ↔ x − y ∈ L 


La relación R L es de equivalencia y compatible con la suma de vectores y el 

producto de un vector por un escalar. El núcleo del homomorfismo e inducido es 

precisamente la variedad lineal L. 


- Es relación de equivalencia: 

Reflexiva: 

∀x 

∈V 

, x − x = 0 ∈ L → xRLx 

Simétrica: 

∀ x, 

y ∈V 

, xRL 

y → x − y ∈ L → y − x ∈ L → yRLx 

Transitiva: 

∀ x, 

y, 

z ∈V 

, xR y → x − y ∈ L ∧ yR z → y − z ∈ L → x − y + y − z ∈ L → x − z ∈ L → xR 

L 

L 

Es, por tanto, relación de equivalencia, cuyo espacio cociente podemos representar 

por V/L. 

- Es compatible con las operaciones del espacio: 

Compatibilidad con la suma de vectores: 

xRL x' 

∧ yRL 

y' 

→ x − x' 

∈ L ∧ y − y' 

∈ L → ( x + y) 

− ( x' 

+ y' 

) ∈ L → ( x + y) 

RL 

( x' 

+ y' 

) 

Compatibilidad con el producto por un escalar: 

xRLx' 

∧ α ∈ K → x − x' 

∈ L ∧ α ∈ K → αx 

−αx' 

∈ L → αxRLαx' 

- El núcleo del homomorfismo inducido es la variedad lineal L: 

El homomorfismo inducido e : V → V / L está definido por la condición: 

∀ x ∈V 

, e( 

x) 

= clase x 

[] x 

[] 0 

claseL 

= x + L⎫ 

∀x 

∈ ker e, 

e( 

x) 

= 

⎬ → x − 0 ∈ L → x ∈ L → ker e ⊆ L 

claseL 

= 0 + L⎭ 

∀x 

∈ L, x − 0 ∈ L → x ∈ claseL 

0 → claseL 

x = claseL 

0 → e( 

x) 

= claseL 

x = claseL 

0 

→ x ∈ ker e → L ⊆ ker e 

Por tanto: L = ker e 

3.2.2. Relación de equivalencia inducida por un homomorfismo del espacio en otro 

espacio cualquiera: 


Dado un espacio vectorial (V,+,.k) y un homomorfismo 

L 

[ ] 

[] [ ] [ ] [ ] [ ]→ 

f : V → V ' en otro espacio V’ 

cualquiera, se define la relación R L del modo siguiente: 

∀ x, y ∈V 

, xR 

f 

y ↔ f ( x) 

= f ( y) 


La relación R f es de equivalencia y compatible con la suma de vectores y el 

producto de un vector por un escalar. 


- Es relación de equivalencia: 

Reflexiva: 

∀ x ∈V 

, f ( x) 

= f ( x) 

→ xR 

f 

x 

Simétrica: 

∀ x, 

y ∈V 

, xR y → f ( x) 

= f ( y) 

→ f ( y) 

= f ( x) 

→ yR x 

f 

f 

L 

z 

9



Transitiva: 

∀ x, 

y, 

z ∈V 

, xR 

f 

y → f ( x) 

= f ( y) 

∧ yRLz 

→ f ( y) 

= f ( z) 

→ f ( x) 

= f ( z) 

→ xRLz 

Es, por tanto, relación de equivalencia, cuyo espacio cociente podemos representar 

por V/f. 

- Es compatible con las operaciones del espacio: 

Compatibilidad con la suma de vectores: 

xR x' 

∧ yR y' 

→ f ( x) 

= f ( x' 

) ∧ f ( y) 

= f ( y' 

) → f ( x) 

+ f ( y) 

= f ( x' 

) + f ( y' 

) → f ( x + y) 

= 

f 

f 

= f ( x' 

+ y' 

) → ( x + y) 

R 

f 

( x' 

+ y' 

) 

Compatibilidad con el producto por un escalar: 

xR 

f 

x' 

∧∀ α ∈ k → f ( x) 

= f ( x' 

) ∧ α ∈ k → αf 

( x) 

= αf 

( x' 

) → f ( αx) 

= f ( αx' 

) → αxR 

fαx' 

3.2.3. Ambas relaciones son entre si equivalentes cuando la variedad lineal es el 

núcleo del homomorfismo f que define una de las dos relaciones: 

Dado el homomorfismo f : V → V ' , su núcleo, ker f , es una variedad lineal de V, y 

como tal, define una relación de equivalencia R k 

. Si consideramos también la 

relación de equivalencia R definida por el homomorfismo, podemos enunciar la 

f 

proposición siguiente. 


Si es R la relación de equivalencia definida por el homomorfismo 

f 

f : V → V ' y es 

Rk 

la relación de equivalencia definida por la variedad lineal ker f , se verifica que 

∀ x, 

y ∈V 

, xR 

f 

y ↔ xRk 

y 


- Si xR 

f 

y → f ( x) 

= f ( y) 

→ f ( x) 

− f ( y) 

= 0 → f ( x − y) 

= 0 → x − y ∈ ker f → xRk 

y 

- Si xRk 

y → x − y ∈ ker f → f ( x − y) 

= 0 → f ( x) 

− f ( y) 

= 0 → f ( x) 

= f ( y) 

→ xR 

f 

y 

Al ser equivalentes R k y R f , quiere esto decir que el espacio cociente es el mismo, 

esto es, V/f = V/kerf. 

4. Los teoremas de isomorfía 

De lo anterior, tenemos que todo homomorfismo, f : V → V ' , induce un 

epimorfismo canónico e : V → V / ker f . Como también se cumple f ( V ) ⊆ V ' , 

podemos establecer que existe un monomorfismo de inmersión j : f ( V ) → V ' . El 

teorema siguiente permite obtener un tercer homomorfismo que cierra la 

descomposición del homomorfismo f : V → V ' . 

4.1. Primer teorema de isomorfía: 

Dado un espacio vectorial V y un homomorfismo f : V → V ' en otro espacio 

vectorial, V’, existe un isomorfismo i : V / ker f → f ( V ) , tal que 

∀ ( x + ker f ) ∈V 

/ Kerf , i( 

x + ker f ) = f ( x) 


a) Es una aplicación: 

x + ker f = y + ker f → x − y ∈ ker f → f ( x − y) 

= 0 → f ( x) 

− f ( y) 

= 0 → f ( x) 

= f ( y) 

→ i ( x + ker f ) = ( y + ker f ) 

→ 

10



b) Es homomorfismo: 

i( α .( x + ker f ) + β.( 

y + ker f )) = i( 

αx 

+ βy 

+ ker f )) = f ( αx 

+ βy) 

= α. 

f ( x) 

+ β. 

f ( y) 

= 

= α . i ( x + ker f ) + β. 

i( 

y + ker f )) 

c) Es sobreyectiva: 

∀ y ∈ f ( V ), ∃x 

∈V 

/ f ( x) 

= y → ∃( 

x + ker f ) ∈V 

/ Kerf , i( 

x + ker f ) = y 

d) Es inyectiva: 

i ( x + ker f ) = i( 

y + ker f ) → f ( x) 

= f ( y) 

→ f ( x) 

− f ( y) 

= 0 → f ( x − y) 

= 0 → 

→ x − y ∈ ker f → x + ker f = y + ker f 

Corolario: Todo homomorfismo f : V → V ' puede descomponerse canónicamente 

en la composición de un monomorfismo, un isomorfismo y un epimorfismo: 

f 

= 

j o i o e 

4.2. Segundo teorema de isomorfía: 

Consideremos un espacio vectorial (V,+,.k) y dos variedades lineales cualesquiera, 

L 1 y L 2 , del mismo. Se tiene que los espacios cocientes L 

1 

+ L2 

L1 

y L / L I L 

2 1 2 

son 

isomorfos: 

L1 

+ L2 

≅ 

L2 

L1 

L1 

I L2 


a) Puesto que L 2 y L 1 son subespacios vectoriales también lo son L 1 +L 2 y 

L ∩ por lo que existe un epimorfismo canónico de L 1 +L 2 en L 1 +L 2 /L 1: 

1 

L 2 

e : L 

1 

+ L 

2 

→ 

L1 

+ L2 

L 

que podemos restringir a L 2 , quedando 

e : L 

L1 

L2 

2 

→ 

+ 

L1 

y por el primer teorema de isomorfía, sabemos que existe un isomorfismo entre las 

variedades L 2 /ker e y e(L 2 ): 

L 

2 ≅ e( 

) 

ker e 

L 2 

[0] 

veamos que ker e puede sustituirse por L1 ∩ L2 

: 

∀x 

∈ L2 / x ∈ Ker e, 

e( 

x) 

= clase[] 0 = clase[ x] = 0 + L1 

= x + L1 

→ x − 0 ∈ L1 

→ x ∈ L1 

I L2 

o sea, ker e ⊆ L1 

+ L2 

1 

11



∀x 

∈ L1 I L2 

/ e( 

x) 

= 0 + L1 

→ x ∈ ker e → L1 

I L2 

⊆ ker e 

De ambas inclusiones, se deduce la igualdad L I L 

en [0] queda: 

L 

≅ e( 2 

) 

2 

L 

L1 

I L2 

b) Consideremos nuevamente el epimorfismo 

e : L + L → 

L1 

+ L 

1 

2 

1 2 

= 

1 

podemos restringirlo ahora a e − e L ) , con lo que es 

( 2 

2 

L 

1 

ker e , por lo que al sustituir 

− 1 

e : e e( 

L 

1 2 

2) 

→ 

L + L 

L1 

y aplicando aquí también el primer teorema de isomorfía, se tiene que existe 

−1 

−1 

isomorfismo entre e e( L 2 

) / ker e y e e e( 

L )) = e( 

L ) : 

( 

2 

2 

−1 

e( 

L2 

) 

≅ e( 

L2 

) 

e 

ker e 

y repitiendo los pasos del proceso descrito en el apartado a), también aquí es posible 

−1 

sustituir ker e , siendo ahora ker e = e e( 

L2 

) I L1 

, por lo cual queda: 

−1 

e e( 

L2 

) 

≅ e( 

L2 

) 

−1 

e e( 

L ) I L 

1 

Veamos finalmente que e − e L ) puede sustituirse por L 1 +L 2 : 

∀x 

∈ e 

−1 

( 2 

2 

e( L ), e( 

x) 

= x + L ∈ e( 

L ) → ∃( 

y + L ), y ∈ L / e( 

x) 

= x + L = y + L 

2 

1 

2 

−1 

→ x − y ∈ L1 → x − y = z → x = y + z ∈ L1 

+ L2 

→ ∀x 

∈ e e( L2 

), x ∈ L1 

+ L2 

→ 

1 

→ e − e( L2 

) ⊆ L1 

+ L2 

∀ x ∈ L + L x = x + x / x ∈ L ∧ x ∈ L ∧ e( 

x) 

= ( x + x ) + L = x + L ∈ e( 

) → 

→ x ∈ 

1 2, 1 2 1 1 2 2 

1 1 1 2 1 

L2 

−1 

−1 

e e( L2 

) → L1 

+ L2 

⊆ e e( 

L2 

) 

−1 

L1 L2 

= e e( L 2 

De ambas inclusiones: + ) , por lo que al sustituir en la expresión 

anterior 

quedando: 

−1 

e e L2 

) L1 

= ( L1 

+ L2 

) L1 

= 

−1 

e e( 

L2 

) 

−1 

e e( 

L ) I L 

1 

( I 

I L 

2 

1 

≅ e( 

L 

2 

1 

1 

2 

L1 

+ L 

) → 

L 

c) De los resultados [1] y [2] se tiene: 

L2 

⎫ 

≅ e( 

L2 

) 

L1 

I L ⎪ L 

2 

2 

→ 

L1 

+ L 

⎬ 

2 

≅ e( 

L 

1 

2) 

⎪ L I L 

L1 

⎪⎭ 

2 

2 

1 

≅ e( 

L 

L1 

+ L 

≅ 

L 

1 

2 

2 

) 

1 

[1] 

1 

→ 

[2] 

4.3. Aplicación de los teoremas de isomorfía al estudio de la dimensión de 

variedades lineales: 

Pueden aplicarse los enunciados de ambos teoremas de isomorfía para establecer la 

relación de la dimensión de un espacio vectorial con la dimensión de una variedad 

lineal cualquiera del mismo. 

12




Dado el espacio vectorial (V,+,.k), la dimensión de una variedad lineal L del mismo 

es la diferencia entre la dimensión del espacio vectorial V y la dimensión del 

espacio cociente de V por la variedad lineal: 

dim L = dimV 

− dim( V / L) 


Sea L’ tal que V = L ⊕ L' 

(V es suma directa de ambas, V = L U L' 

, L I L' 

= φ ). Si 

llamamos N=dimV, n=dimL, n’=dimL’, se tiene que N = n+n’. 

Aplicando el segundo teorema de isomorfía: 

L ⊕ L' 

L' 

L ⊕ L' 

L' 

V 

≅ → ≅ = L' 

, es decir: ≅ L' 

, con lo cual es dim(V/L) = n’, 

L L I L' 

L {} 0 

L 

y queda dim(V/L) = n’ = N - n, de donde N = dim(V/L) + n, o bien n = N - dim(V/L): 

dim L = dimV 

− dim( V / L) 


Dado el espacio vectorial (V,+,.k), y un homomorfismo 

f : V → V ' , en otro espacio 

vectorial cualquiera V’, la dimensión del espacio vectorial V es la suma de la 

dimensión de la variedad Ker f y la dimensión de la variedad f(V): 

dimV = dim(ker f ) + dim( f ( V )) 


Aplicando el primer teorema de isomorfía: 

V / ker f ≅ f ( V ) de donde dim( V / ker f ) = dim f ( V ) 

y, puesto que ker f es una variedad del espacio V, podemos aplicar la proposición 

4.1, quedando: 

dim L = dimV 

en definitiva: 

− dim( V / L) 

→ dim(ker f ) = dimV 

− dim( V 

dimV = dim(ker f ) + dim( f ( V )) 

/ ker 

f ) = dimV 

− dim 

f ( V ) 


Dado el espacio vectorial (V,+,.k), y dos variedades lineales cualesquiera del 

mismo, L 1 y L 2 , se cumple que la dimensión de la variedad suma de ambas es la 

suma de sus dimensiones menos la dimensión de su intersección: 

dim( L1 + L2 

) = dim L1 

+ dim L2 

− dim( L1 

I L2 

) 


Aplicamos el segundo teorema de isomorfía: 

L1 

+ L2 

L2 

≅ 

L L I L 

⎛ L ⎞ ⎛ 

1 

+ L2 

L2 

o sea: dim 

⎜ 

⎟ ≅ dim 

⎜ 

⎝ L1 

⎠ ⎝ L1 

I L 

Aplicamos la proposición 4.1: 

2 

⎟ ⎞ 

⎠ 

1 

1 

2 

13



⎛ L + L ⎞ ⎛ 

2 

L ⎞ 

2 

dim ⎜ 

1 dim → dim( L1 

+ L2 

) − dim L1 

= dim L2 

− dim( L L 1 

I 

2) 

L 

⎟ ≅ 

⎜ 

1 

L1 

I L 

⎟ 

, de 

⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

donde se obtiene la igualdad propuesta: 

dim( L1 + L2 

) = dim L1 

+ dim L2 

− dim( L1 

I L2 

) 

5. Existencia de homomorfismos 

5.1. Teorema fundamental de existencia: 

Sea (V,+,.k) un espacio vectorial finitodimensional y sea (V’,+,.k) otro espacio 

vectorial sobre el mismo cuerpo k de escalares. 

B = una base de V. 

1 

e i 

Sea { } 

i n 

≤ ≤ 

' 

ϕ = x una familia de vectores de V’. 

1≤ ≤ 

Se verifica: 

' 

a) Existe un homomorfismo único, f : V → V ' , tal que f ( e ) = x , 1 ≤ i ≤ n . 

Sea { i 

} i n 

b) Si la familia ϕ es linealmente independiente, entonces f es monomorfismo. 

Si la familia ϕ es sistema de generadores, entonces f es epimorfismo. 

Si la familia ϕ es una base, entonces f es isomorfismo. 


a) Definamos la aplicación f : V → V ' por la condición de que 

n 

n 

⎛ i ⎞ i ' 

∀x 

∈V 

, f ( x) 

= f ⎜∑ 

a ei 

⎟ = ∑ a xi 

⎝ i= 

1 ⎠ i= 

1 

Probemos que se trata de un homomorfismo: 

n 

n 

n 

⎛ i 

i ⎞ ⎛ i i ⎞ 

∀x, y ∈V 

, ∀α 

, β ∈ k, 

f ( αx 

+ βy) 

= f ⎜α∑ 

a ei 

+ β∑b 

ei 

⎟ = f ⎜∑ 

( αa 

+ βb 

) ei 

⎟ 

⎝ i= 

1 

i= 

1 ⎠ ⎝ i= 

1 

⎠ 

n 

n 

n 

n 

n 

= ⎛ ⎞ 

∑ + = ∑ + ∑ = ∑ + ∑ = ⎜ ∑ 

n 

i i ' 

i ' 

i ' 

i ' 

i ' 

i 

( α a βb 

) xi 

αa 

xi 

βb 

xi 

α a xi 

β b xi 

αf 

a ei 

⎟ + 

i= 

1 

i= 

1 

i= 

1 

i= 

1 

i= 

1 ⎝ i= 

1 ⎠ 

n 

⎛ i ⎞ 

+ β f ⎜∑b 

ei 

⎟ = αf 

( x) 

+ βf 

( y) 

⎝ i= 

1 ⎠ 

Probemos que es único: 

Si existiera otro homomorfismo 

se tiene que 

⎛ 

∀x 

∈V 

, g( 

x) 

= g⎜ 

⎝ 

por tanto g=f. 

' 

x 

ϕ 

= 

1≤ ≤ 

g : V → V ' que verifique la condición impuesta, 

n 

∑ 

i= 

1 

i 

a e 

i 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

i 

a g( 

e ) = 

b) Si es { i 

} i n 

linealmente independiente, veamos que el homomorfismo f ha 

de ser necesariamente inyectivo, y, por tanto, monomorfismo: 

n 

n 

n 

n 

= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

→ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ → = → ∑ 

n 

i 

i 

i ' i ' 

i i ' 

f ( x) 

f ( y) 

f ∑ a ei 

f ∑b 

ei 

∑ a xi 

∑b 

xi 

( a − b ) xi 

= 0 → 

⎝ i= 

1 ⎠ ⎝ i= 

1 ⎠ i= 

1 

i= 

1 

i= 

1 

i i 

i i 

i 

i 

= a − b = 0 → a = b → ∑ a ei 

= ∑b 

ei 

→ x = y 

n 

n 

i= 1 

i= 

1 

i 

n 

∑ 

i= 

1 

i 

i 

a x 

' 

i 

i 

= 

14



' 

Si es ϕ = { x i 

} 

1≤ i ≤ n 

sistema de generadores, veamos que el homomorfismo f ha de 

ser necesariamente sobreyectivo, y, por tanto, epimorfismo: 

n 

n 

n 

i 

i ' i ⎛ i ⎞ 

∀x' 

∈V 

', ∃a 

∈ k,1 

≤ i ≤ n / x' 

= ∑ a xi 

= ∑ a f ( ei 

) = f ⎜∑ 

a ei 

⎟ = f ( x) 

i= 

1 i= 

1 ⎝ i= 

1 ⎠ 

es decir, ∀ x ' ∈V 

', ∃x 

∈V 

/ f ( x) 

= x' 

' 

Si es ϕ = { x i 

} 

1≤ i ≤ n 

una base entonces, obviamente, el homomorfismo f es inyectivo 

y sobreyectivo, por lo que es biyectivo, y por tanto isomorfismo. 

5.2. Expresión analítica. Matriz de un homomorfismo: 

Consideremos el homomorfismo entre los espacios vectoriales V y V’, 

sendas bases en dichos espacios. 

B = { e k 

} 

1≤k 

≤n 

base del espacio (V,+,.k). 

B' 

{ e' 

k 

} 

k≤m 

= 

1≤ 

Es decir, 

Si es 

∀x 

∈V 

base del espacio (V,+,.k). 

n 

, x = ∑ a k ek 

, y, asimismo, ∀x 

∈V 

', x' 

= ∑ 

k= 

1 

f ( x) 

= x , se tiene que 

m 

' a' 

. 

n 

n 

m 

⎛ k ⎞ k 

k 

f ⎜∑ 

a ek 

⎟ = ∑a 

f ( ek 

) = ∑a' 

e' 

k 

⎝ k= 

1 ⎠ k= 1 k= 

1 , 

y como f ( ek ) ∈V 

, se puede expresar también en la base B’: 

f 

m 

( ek 

) = ∑ 

j= 

1 

a e' 

que al sustituir en la anterior expresión, queda: 

o bien: 

n 

∑ 

k= 

1 

a 

k 

f ( e ) = 

k 

m 

∑ 

j= 

1 

m 

a' 

⎛ 

j 

∑∑ ⎜ 

⎝ 

n 

j= 1 k= 

1 

e' 

a 

j 

kj 

→ 

a 

k 

n 

∑ 

kj 

⎛ 

k 

a ⎜ 

⎝ 

j 

m 

, 

∑ 

k= 1 j= 

1 

⎞ 

⎟e' 

⎠ 

j 

= 

m 

∑ 

j= 

1 

a e' 

a' 

j 

kj 

e' 

j 

k= 

1 

j 

⎞ 

⎟ 

= 

⎠ 

j e' 

j 

m 

∑ 

k= 

1 

a' 

j 

e' 

j 

f : V → V ' , y 

por lo que al identificar coeficientes: 

o sea, desarrollando la suma: 

a' 

j 

n 

= ∑ a 

k= 

1 

kj 

a 

k 

, 

j = 1,..., m 

a' 

a' 

... 

1 

a' 

2 

m 

= a 

= a 

... 

11 

12 

... 

= a 

a 

a 

1m 

1 

1 

... 

a 

+ a 

+ a 

1 

... 

21 

22 

+ a 

a 

a 

... 

2 

2m 

2 

a 

+ ... + a 

n1 

+ ... + a 

... 

2 

... 

... 

n2 

+ ... + a 

a 

n 

a 

... 

nm 

n 

a 

n 

⎫ 1 

⎛ a' 

⎞ ⎛ a11 

⎪ ⎜ ⎟ ⎜ 

2 

⎪ ⎜ a' 

⎟ ⎜ a12 

⎬ → ⎜ ⎟ = ⎜ 

⎪ ⎜ 

... ... 

⎟ ⎜ 

⎪ 

m 

⎭ ⎝a' 

⎠ ⎝a1m 

a 

a 

a 

21 

22 

... 

2m 

... 

... 

... 

... 

1 

an 

1 ⎞⎛ 

a ⎞ 

⎟⎜ 

⎟ 

2 

an2 

⎟⎜ 

a ⎟ 

... ⎟⎜ 

⎟ 

⎟⎜ 

... 

⎟ 

n 

a 

nm ⎠⎝a 

⎠ 

La matriz del cambio de base es 

15



( a ) 

kj 

mxn 

⎛ a11 

⎜ 

⎜ a12 

= ⎜ ... 

⎜ 

⎝a1m 

a 

a 

a 

21 

22 

... 

2m 

... 

... 

... 

... 

an 

1 ⎞ 

⎟ 

an2 

⎟ 

... ⎟ 

⎟ 

a 

nm ⎠ 

A todo homomorfismo entre espacios vectoriales de dimensiones n y m le 

corresponde una matriz de orden nxm. 

Bibliografía 

ABELLANAS, P., “Elementos de Matemática”, Edit. Romo, Madrid, 1973 

BIRKHOFF, G.-MCLANE, S.; “Álgebra Moderna”, Editorial Vicens-Vives, Madrid, 1974 

QUEYSANNE, M.; “Álgebra Básica”, Editorial Vicens-Vives, Madrid, 1990 

ABELLANAS, P., “Geometría Básica”, Edit. Romo, Madrid, 1969 

HOFFMAN, K., “Álgebra Lineal”,Prentice Hall Interamericana, 1973. 

CASTELLET, M.-LLERENA, I.; “Álgebra Lineal y Geometría”, Ed. Reverté, Barcelona, 1996 

16

Acerca de los homomorfismos - Casanchi

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