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Clase 22 Definición y Ejemplos de Homomorfismos
Álgebra Moderna
Preparatoria UNAM
• 6Instituto México de Ciudad Juárez
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Capítulo 2
Homomorfismos de Módulos
Clase 22: Definición y ejemplos de homomorfismos.
2. Definición de homomorfismo
En esta clase iniciaremos el estudio de los homomorfismos de módulos. Ve- remos que dicha definición es muy parecida al concepto de transformación lineal en espacios vectoriales.
Definición 2.1.1 dos R-módulos izquierdos, entonces una funciónf:M! N es un homomorfismo de módulos si para todox, y 2 M yparatodoa 2 Rse tiene:
1(x+y)=f(x)+f(y).
2(ax)=af(x).
(Es decir, en caso de que f es R-lineal).
CAPÍTULO 2. HOMOMORFISMOS DE MÓDULOS
Observación 2.1.2 punto central de quef:M !N sea un ho- momorfismo de módulos es que preserva la estructura de los R-módulos.
En particular, siRMyRNson R-módulos izquierdos vía los homomor- fismos de anillosλ:R!EndI(M)yλ 0 :R!EndI(N).Entonces, f:M!N es un homomorfismo de módulos si, y sólo sí, para cada a 2 R,eldiagrama:
M
f //
λ(a) ✏✏
N
λ 0 (a) ✏✏ M
f // N
conmuta. Es decir, 8 a 2 R y 8 m 2 M,setienefλ(a)= λ 0 (a)f.
En los sucesivo me referiré a los homomorfismos de módulos simplemente como homomorfismos.
Ejemplo 2.1.3 siguientes son ejemplos de homomorfismos de módulos.
1:MR! MR,lafunciónidentidadesunhomomorfismo.
2:RM!RN,lafunciónceroesunhomomorfismo.
SiRKRM se tiene que la proyección canónicaπK:RM ! M/K dada porπK(m)=m+Kes un homomorfismo.
ParaRKRM la función inclusión canónicaiK:RK!RM dada poriK(l)=les un homomorfismo.
CAPÍTULO 2. HOMOMORFISMOS DE MÓDULOS
Clase 23: Monomorfismos y epimorfismos Empezamos esta clase estableciendo el siguiente resultado.
Proposición 2.1. Sean M, N módulos, X ✓ M un conjunto que genera a M yf:M! Nun homomorfismo. Entonces:
Imf está generada porf(X)={f(x) 2 N : x 2 X}.
Sig:M!N es otro homomorfismo entonces
f=g,f(x)=g(x) 8 x 2 X.
Demostración. 1. ComoX ✓ M genera a M tenemos queM = RX. De donde, si x 2 M entonces x = a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+anxn para x 1 ,x 2 ,...,xn 2 X quefes un homomorfismo, tenemosf(x)= a 1 f(x 1 )+a 2 f(x 2 )+...+anf(xn).LocualpruebaqueImf=Rf(X). Es decir,f(X)genera aImf.
- ()) Es claro. (()Seam 2 M. Como X ✓ M genera a M,tenemosquem = a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+anxn homomorfismos tenemos f(m)=a 1 f(x 1 )+...+anf(xn)=a 1 g(x 1 )+...+ang(xn)=g(m).Lo cual prueba quef=g.
Observación 2.1. Notemos el caso particular en el que M es un módulo finitamente generado. En dicho caso, la proposición anterior nos facilita el cálculo de la imagen de cualquier homomorfismo f:M!N.
Tenemos las siguientes definiciones:
Definición 2.1.10 homomorfismof:M!N se dice que es:
a) Un epimorfismo, si f es suprayectiva.
b) Un monomorfismo, si f es inyectiva.
2. DEFINICIÓN DE HOMOMORFISMO
c) Un isomorfismo, si f es biyectiva. Además se dice queRM y RN son isomorfos y se denota porM⇠=N.
Ejemplo 2.1.
SeaRKRMóncanónicaπ:M! M/K;m7! m+K es un epimorfismo yKerπ=K que cada submóduloKdeM es el kernel de un epimorfismo.
SeaRKRMóncanónicai:K! M;k7!kes un monomorfismo. En particular, cada submóduloK deRM es la imagen de un monomorfismo.
La siguiente proposición nos da varias equivalencias del concepto de epimor- fismo. Es decir, es una caracterización del concepto de epimorfismo.
Proposición 2.1.12 M y N R-módulos izquierdos y f:M ! N un homomorfismo. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
fesunepimorfismo.
Imf=N.
Para cadaRKycadaR-homomorfismosg, h:N ! K,gf=hf implica g=h.
Para cadaRKycadaR-homomorfismog:N ! K,gf=0im- plica g=0.
Demostración. 1 .) 2 .es por definición de epimorfismo. 2 .) 3 .Sean 2 N. Comofes suprayectiva existem 2 Mtal quef(m)=n. De donde sigf=hfentoncesg(n)=g(f(m)) =h(f(m)) =h(n).Portanto, h=g.
3 .) 4 .Seah:N! Kel homomorfismo cero, entonceshf=gfypor3. tenemos queg=h=0.
2. DEFINICIÓN DE HOMOMORFISMO
Proposición 2.1.15 M y N R-módulos izquierdos y sea f:M! N un homomorfismo. Entonces
fesunisomorfismo,Existe un homomorfismog:N!M tal que gf=IMyfg=IN.
Demostración. (()Dado quef:M !N es homomorfismo solo tenemos que probar quefes biyectiva. Dado que existeg:N! Mtal quegf=IM yfg=IN,entoncesfes invertible y su inversaf 1 =g. Comofinvertible es equivalente afbiyectiva, tenemos quefes isomorfismo.
())Comofes isomorfismo tenemos quefes biyectiva, luegofes invertible, esto es, existe f 1 :N! Mtal quef 1 f=IMyff 1 =IN. Veamos que f 1 :N ! M es homomorfismo. Comof es homomorfismo tenemos
f(f 1 (ax+by)) =ax+by=a(ff 1 )(x)+b(ff 1 )(y)=f(af 1 (x)+bf 1 (y))
De donde por serfinyectiva tenemos quef 1 (ax+by)=af 1 (x)+bf 1 (y).
Lo cual prueba quef 1 =ges el homomorfismo buscado.
Clase 22 Definición y Ejemplos de Homomorfismos
Asignatura: Álgebra Moderna
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