Algebra de funciones

ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA
BASICA
Temas:
- AXIOMAS DE ORDEN
- DOMINIO DE FUNCIONES
- ALGEBRA DE FUNCIONES
- COMPOSICION DE FUNCIONES
- FUNCIONES: INYECTIVAS
- FUNCIONES: INVERSAS
Ing. WIDMAR AGUILAR, Msc
julio 2021

1)
2 − 3 +6=0 → = 2 + 6
Encontremos dos puntos y trazar la recta que pase por ellos
X= 0 → = 2 ---------A(0,2)
= 3 → = 4 − − − − 3,4
De la gráfica se puede determinar dominio y rango de la función:
D(f) = R
Ran (f) = R
2)
− 2 + − 1 = 0
+ 1 =1+2x
= ; ≠ −1

Realizando su gráfica, se puede observar el dominio y
rango de la función:
D (f) = R-{-1}
De: − 2 + − 1 = 0
− 2 = 1 −
= ; y ≠ 2
Ran (f) = R –{2}
3)
Del dato se define:
Ran (f) = ]2, 6]
3y= 2x+8

= 2 + 8
Si: = 2 → = −1 ; −1,2 ∉∋ !
= 6 → = 5 ; 5,6
La gráfica de la función es una recta:
D(f) = ]-1, 5]
4)
4 + 4 − 16 + 4 − 47 = 0
4 − 16 + 4 + 4 − 47 = 0
4 − 16 + 16 + 4 + 4 + 1 − 47 − 17 = 0
4 − 4 + 4 + 4 $ + +
%
& = 64
4 − 2 + 4 $ + & = 64
− 2 + $ + & = 16 − − − 'í)'*+,

C(h,k) = C(2, -1/2) ; r = 4
- ! = .ℎ − ), ℎ + )0 = .−2,60
123 ! = .4 − ), 4 + )0 = 5−
6
,
7
8
5)
= 1 − √15 − 2 −
= 1 − :− + 2 + 1 + 16
= 1 − :16 − + 1 ---------semicirculo (hacia abajo)
16 − + 1 = − 1
+ 1 + − 1 = 16
; ℎ, 4 = ; −1,1 ; ) = 4

- ! = .ℎ − ), ℎ + )0 = .−5,30
123 ! = .4 − ), 40 = .−3,10
6)
= −3 + √4 − ---semicircunferencia
+ 3 = :− − 4 + 4 + 4
+ 3 = :4 − − 2
+ 3 = 4 − − 2
− 2 + + 3 = 4
) = 2 ; ; ℎ, 4 = ' 2, −3

- ! = .ℎ − ), ℎ + )0 = .0,40
123 ! = .4, 4 + )0 = .−3, −10
7)
= 2 + :6 −
− 2 = :− − 6 + 9 + 9
− 2 = :9 − − 3
− 2 = 9 − − 3
− 2 + − 3 = 9
→ = 2 + :6 − − − − − − −=>?@'@)'*3!>)>3'@2
; ℎ, 4 = ; 2,3 ; ) = 3
- ! = .ℎ, ℎ + )0 = .2,50

123 ! = .4 − ), 4 + )0 = .0,60
8)
+ − 2| | − 6 + 1 = 0
| | = B
, ≥ 0
− , < 0
a) X <0 ; + + 2 − 6 + 1 = 0
+ 2 + 1 + − 6 + 9 + 1 − 1 − 9 = 0
+ 1 + − 3 = 9------circunferencia
; ℎ, 4 = ; −1,3 ; ) = 3
b) X >0 ; + − 2 − 6 + 1 = 0
− 2 + 1 + − 6 + 9 + 1 − 1 − 9 = 0
− 1 + − 3 = 9------circunferencia
; ℎ, 4 = ; 1,3 ; ) = 3
- ! = .−4,40
123 ! = .0,60

9)
+ 2 − 2 + 7 = 0
2 = + 2 + 7
2 = + 2 + 1 + 6
= + 1 + 3 − − − −E2)áG,+2
Que se abre hacia arriba
ℎ = −1, 4 = 3
V(h.k) = V(-1,3)
- ! = 1
123 ! = .3, ∞ .
10)
2 − 4 + + 3 = 0
= 4 − 2 − 3

= − 2 − 4 − 3
= −2 − 2 + 1 − 3 + 2
= −1 − 2 − 1 − − − −E2)áG,+2
V(h, k) = V(1,-1)
2 < 0 → => 2G)> ℎ2'@2 2G2I,
- ! = 1
123 ! = 0 − ∞ , −10
11)
+ 4 + 3 − 8 = 0
+ 4 + 4 + 3 − 8 − 4 = 0
3 = − + 2 + 12
= −4 − + 2

→ − < 0 − − − − − => 2G)> ℎ2'@2 +2 @JK*@>)L2
V(h,k )= V(-2, -4)
- ! = 0 − ∞ , 40
123 ! = 1
12)
= 1 + √2 −
De: y= k+:− − ℎ − − − =>?@E2)áG,+2
Que se abre hacia la izquierda.
= 1 + :− − 2
h = 2 ; k=1

- ! = 0 − ∞ , 20
123 ! = .1, ∞ .
13)
= −√6 − 2
= − :−2 − 3 = −√2 :− − 3
Se sabe: y = 4 − G:− − ℎ − −=>?@E2)áG,+2
-√2 < 0 → => 2G)> ℎ2'@2 +2 @JK*@>)L2
= −√2 :− − 3
h = 3 ; k = 0
- ! = 0 − ∞ , 30
123 ! = 0 − ∞, 0 0
14)

+ 1 = √3 + 5
= −1 + M3 +
N
= −1 + √3 M +
N
Si: y = k+b √ − ℎ − − − −=>?@E2)áG,+2
Que se abre a la derecha
h = -5/3 ; k = -1
V(-5/3, -1)
- ! = .−
N
, ∞ .
123 ! = .−1, ∞.
15)
= 5 + :−3 − 2
= 5 + √3 :− − 2
-----semiparábola que se abre a la izquierda
h = 2 ; k =5
V (2,5)

- ! = 0 − ∞, 20
123 ! = .5, ∞ .
16)
4 + 9 − 16 + 18 = 11
4 − 4 + 9 + 2 = 11
4 − 4 + 4 + 9 + 2 + 1 = 11 + 25
4 − 4 + 4 + 9 + 2 + 1 = 36
O
6
+
O
%
= 1 − − − >+@E=>
B
2 = 3
G = 2
; ℎ, 4 = ; 2, −1
- ! = .ℎ − 2, ℎ + 20 = .−1,50

)23 ! = .4 − G, 4 + G0 = .−3, 10
17)
9 + 4 + 18 − 32 = −37
9 + 2 + 1 + 4 − 8 + 16 = −37 + 73
9 + 1 + 4 − 4 = 36
O
%
+
% O
6
= 1 − − − − − >+@E=>
2 = 2 ; G = 3
C(h, k) = C (-1, 4)
La gráfica es:
- ! = .ℎ − 2, ℎ + 20 = .−3,10
123 ! = 4 − G, 4 + G0 = 1,70
18)

= + | − 1|
| − 1| = P
− 1 ; ≥ 1
− − 1 ; < 1
a) X < 1 ; = − + 1 = 1
b) X ≥ 1 = + − 1 = 2 − 1
! = B
2 − 1 ; ≥ 1
1 ; < 1
La gráfica es:
- ! = 1
123 ! = .1, ∞ .
19)
=
| |
+

| − 1| = P
− 1 ; ≥ 1
− − 1 ; < 1
a) X < 1 ; = +
= 1 +
b) X ≥ 1 = + = = − +
= − 1
! = B
− 1 ; ≥ 1
1 + ; < 1
Su gráfica es:
- ! = 1 − 1Q
123 ! = 1
20)
| | + | | = 4
| | = 4 − | |

a) X ≥ 0 ; | | =
| | = 4 − ↔ 4 − ≥ 0 ∧ 4 − = ó 4 − = − Q
X ≥ 0 → ≤ 4 ∧ = 4 − ó = − 4 Q
X ≥ 0 ∧ ≤ 4 → 0 ≤ ≤ 4 ↔ = 4 − ó = − 4Q
b) X <0 ; | | = −
| | = 4 + ↔ 4 + ≥ 0 ∧ 4 + = ó 4 + = − Q
X < 0 ∧ ≥ −4 → −4 ≤ < 0 ↔ = 4 + ó =
− − 4 Q
−4 ≤ ≤ 0 ↔ = 4 + ó = − − 4Q
0 ≤ ≤ 4 → ! = B
4 −
− 4
−4 ≤ ≤ 0 → ! = B
4 +
− − 4
V2 W)á!@'2 >=:
- ! = .−4,40
123 ! = .−4,40

21)
| + 2| + | − 3| = 4
| − 3| = 4 − | + 2|
| + 2| = P
+ 2 ; ≥ −2
− + 2 ; < 2
a)
≥ −2 → | + 2| = + 2 → | − 3| = 2 − ↔ 2 − ≥ 0 ∧
{ y-3=2-x ó y-3 = x-2 }
≥ −2 ∧ ≤ 2 → −2 ≤ ≤ 2 ↔ −2 ≤ ≤ 2 ∧ =
5 − ó = + 1Q
b)
< −2 → | + 2| = − − 2 → | − 3| = 6 + ↔ 6 + ≥ 0
∧ { y-3=6+x ó y-3 = -x-6 }
< −2 ∧ ≤ −6 → −6 ≤ ≤ −2 ↔ −6 ≤ ≤ −2 ∧
= 9 + ó = −3 − Q
-2≤ ≤ 2 → ! = B
5 −
+ 1
−6 ≤ ≤ −2 → ! = B
9 +
− − 3
V2 W)á!@'2 >=:

- ! = .−6, 20
123 ! = .−1, 70
22)
= | + 4 + 1|
= | + 4 + 4 − 3|
= | + 2 − 3|
→ ≥ 0 ∧ = + 2 − 3 ó = − + 2 + 3 Q
De:
= + 2 − 3 − − − − − E2)áG,+2
ℎ = −2 ; 4 = −3 ; Y −2,3
= − + 2 + 3 − − − − − E2)áG,+2
ℎ = −2 ; 4 = 3 ; Y −2,3

- ! = 1
123 ! = .0, ∞ .
23)
! + 2 =
Con x = 1 → ! 3 = 1 → 3,1 ∈ !
Con x =-1 → ! 1 = −1 → 1,1 ∈ !
De; (x,y ) ∈ ! ∧ , J ∈ ! → = J
3,1 ∧ 1, −1 ∈ !
Luego --------------- f es una función
24)

! + 2 =
Con x = 1 → ! 3 = 1 → 3,1 ∈ !
Con x =-1 → ! 3 = −1 → 3, −1 ∈ !
De; (x,y ) ∈ ! ∧ , J ∈ ! → = J
3,1 ∧ 3, −1 ∈ ! 1 ≠ −1
Luego --------------- f no es una función
25)
Sea t = x+3 ; x = t-3
! [ = ([ − 3 − 1
! [ = [ − 6[ + 9 − 1 = [ − 6[ + 8
→ ! = − 6 + 8
Calculando:
]
]
=
] O ^ ] _
]
=
]O %] % ^] _ % _
]
=
]O ]
]
=
] ]
]
= 2
]
]
= 2
26)

Calculando f(x).
Sea: x+1 = t
! [ = [ − 1 + 3 = [ − 2[ + 1 + 3
= [ − 2[ + 4
! = − 2 + 4
] ]
]
=
] O ] % . ] O ] %0
]
=
]O %] % ] % % ]O %] % ] % %
]
=
_] _
]
=
_ ]
]
= 8
] ]
]
= 8
27)
La gráfica es:

Sea: 0<x ≤1
1< <
`
→ 1 < 1/
> 1
1 + > 2
! > 2
→ ! ∈ 01,2. − − − − −!2+=,
28)
= − 1
Su gráfica es:

- ! = ℝ
Si:
X= 1 → ! 1 = 0 → 1,0 ∈ !
= −1 → ! −1 = 0 → −1,0 ∈ !
(x,y ) ∈ ! ∧ , J ∈ ! → = J
1,0 ∈ ! ∧ −1,0 ∈ !
! >= *32 !*3'@ó3
Despejando x:
= + 1
= ± : + 1
+ 1 ≥ 0
≥ −1
Rang(f) = [1, ∞ .
29)

− 4 − 2 + 10 = 0
2 = − 4 + 10
= − 4 + 10
Como es polinomio → - ! = ℝ
= − 4 + 4 + 5 − 2
= − 2 + 3 → E2)áG,+2
Y ℎ, 4 = 2, 3
Si x =1 → ! 1 =
7
→ $1,
7
& ∈ !
= −1 → ! −1 =
N
→ $−1,
N
& ∈ !
$1,
7
& ∈ ! ∧ $−1,
N
& ∈ !
f es una función
2( y-3) = ( − 2
:2 − 6 = + 2
= :2 − 6 + 2
Escriba aquí la ecuación.
2 − 6 ≥ 0 → − 3 ≥ 0
≥ 3
Luego el rango es: Rang(f) = [3, ∞ .

30)
= 3 + 2 −
= − − 2 + 1 + 3 + 1
= 4 − − 1
Si: −2 ≤ < 2
-3 ≤ − 1 < 1
0≤ − 1 < 9
−9 < − − 1 ≤ 0
4 − 9 < 4 − − 1 ≤ 4
−5 < ! ≤ 4
Rang (f) = ]-5, 4 ]

31)
= 1 + √3 + 2 −
= 1 + :− − 2 + 1 + 4
= 1 + :4 − − 1
Partiendo del dominio: −1 < ≤ 2
-2 < x-1 ≤ 1
0 ≤ − 1 < 4
−4 < − − 1 ≤ 0
0 < 4 − − 1 ≤ 4
0 < :4 − − 1 ≤ 2
1 < 1+ :4 − − 1 ≤ 3
Rang (f)= ]1, 3 ]

32)
Se traza la cuadrícula con los datos del dominio y rango y en él la
curva f(x)
Y= 0 → 0 = + 4 + 4 − 1
0 = + 2 − 1 → + 2 = 1
→ = −2 ± 1
→ P
= −3
= −1

= 5 → 5 = + 4 + 4 − 1
5 = + 2 − 1 → + 2 = 6
→ = −2 ± √6
→ r
= −2 − √6
= −2 + √6
≠ −4 → ≠ 16 − 16 + 3 = 3
(-4, 3) ∉ ) !
≠ 1 → ≠ 1 − 4 + 3 = 0
(1, 0) ∉ ) !
Luego:
D= D(g) = ]-4, 3[ U ]-1, √6 − 2.
Rang(g) = f(D) = [0, 5]
33)
curva f(x)

Si:
= 3 → 3 = √9 −
9 = 9 −
x= 0
= 1 → 1 = √9 −
1 = 9 −
= 8 → = ±2√2
= 2 → = √9 − 4
y = √5
Luego:
D= D(g) = [-2, 2]
Rang(g) = f(D) = [√5, 3]
34)
curva f(x)

Y= 7 → 7 = 3 − 2
2 = −4 → = −2
Y= -1 → −1 = 3 − 2
2 = 4 → = 2
D= D(g) = [-2,2[
Rang(g) = f(D) = ]-1,7]
35)
curva f(x)

A= [-2,3[
B= [-1,2]
f (x) = x2 -2
W: - → / ! = W
Si;
Y= -1 → −1 = − 2
= 1 → = ±1
Y= 2 → 2 = − 2
= 4 → = ±2
D = D(g) = .−2, −10s .1,2]
Rang(g) =f(D) = [-1,2]
36)

A = [-2,3[ ; B = [-2, 6[
Trazar Ax B y dentro del rectángulo la función f( x)
≠ 6 → 6 ≠ − 9
≠ 15 → ≠ ± √15 ---fuera de Ax B
= −2 → −2 = − 9
= 7 → = ± √7
= √7 − − − => L>='2)[2 >+ t2+,) 3>W2[@t,
Se tiene:
D = D(g) = [√7 , 3.
Rang(g) = [-2,0[

37)
! = | | + | − 1|
De la definición de valor absoluto:
| | = B
, ≥ 0
− , < 0
| − 1| = P
− 1 , ≥ 1
− − 1 , < 1
D(f) = A = [-3,3]
Redefiniendo la función f(x):
]-3, 0[ → | | = − ; | − 1| = − − 1
! = − − − 1 = 1 − 2
[0, 1[ → | | = ; | − 1| = − − 1
! = − − 1 = 1
[1, 3] → | | = ; | − 1| = − 1
! = − 1 = 2 − 1
! = u
1 − 2 ; ∈ 0 − 3,0.
1 ; ∈ .0,1 .
2 − 1 ; ∈ .1, 30
Traza A x B y dentro de este perímetro a función f(x);

Si:
Y= 2 → 2 = 2 − 1 → =
= 5 → 5 = 2 − 1
= 3
Y= 2 → 2 = 1 − 2 → = −
Y= 5 → 5 = 1 − 2 → = −2
D= D(g) = ]-2,-− s 0 , 30
Rang (g) = ]2,5]
38)
D(f) = [-2,-3[
Trazar la cuadricula A x B y dentro de ella dibujar la curva f( x):

La función f( x ) es una parábola con vértice: V(0,-9)
= −2 → −2 = − 9
→ = 7 → = ± √7
= √7
Se tiene:
D= D(f) = . :7, 30
Rang (g) = [-2,6[
39)
D(f) = ?
! = M
O
| N|
De:
O
| N|
≥ 0

%
| N|
≥ 0 ; |2 − 5| = u
2 − 5 , ≥
N
− 2 − 5 . <
N
a) 0 − ∞,
N
. → |2 − 5| = 5 − 2
f(x) =
%
N
≥ 0 → + 3 4 − 5 − 2 ≥ 0
S1 = ∈ .−3,
N
. s ≥ 4
De: .− ∞,
N
. ∩ ∈ .−3,
N
. s ≥ 4
S1 = ∈ .−3,
N
.
B ) .
N
, ∞ . → |2 − 5| = 2 − 5
f(x) =
%
N
≥ 0 → + 3 4 − 2 − 5 ≥ 0

De: .
N
, ∞ . ∩ x ≤ −3 s 0 5/2, 40
S2 = 0 5/2, 40
La solución será: w1 s w2
S = [ 3,4] –{5/2}
40)
Sea: ! = 3 − √2 −
= 3 − √2 − → 2 − = 3 −
X = 2 − 3 − → = 2 − − 3

→ E2)áG,+2 L> té)[@'> =
Y 2,3 => 2G)> ℎ2'@2 +2 L>)>'ℎ2
Se tiene que:
Rang(f) = ]- ∞ , 30
Sea: g(x) = x2 +14x +50
W = + 14 + 49 + 1
W = + 7 + 1
→ E2)áG,+2 K*> => 2G)> ℎ2'@2 2))@G2
V(h,k) = (-7, 1)

En rango es: Ran (g) = [1, ∞ .
Luego; Rang(f) ∩ 123 W
Rang(f) ∩ 123 W = .1, 30
41)
De: −1 < ! < 3; ∀ ∈ 1
−1 <
O ]
O < 3
Se tiene que: + 2 + 2 > 0 E,) =>) ∆ < 0
∆ = L@=')@?@323[>
-( + 2 + 2 < 2 − 2 + 1 < 3 + 2 + 2
→ -( + 2 + 2 < 2 − 2 + 1 ∧ 2 − 2 + 1 < 3 +
2 + 2
a) -( + 2 + 2 < 2 − 2 + 1
→ 0 < 3 + 2 − 2 + 3
→ 3 + 2 − 2 + 3 > 0
Debe cumplirse que el discriminante sea menor que
cero:
∆ < 0

→ 2 − 2 − 36 < 0 → 2 − 2 < 36
→ . 2 − 2 − 60.2 − 2 + 60 < 0
→ − 2 + 4 8-a) < 0
→ 2 + 4 8 − 2 > 0
2 ∈ 0 − 4, 8 .
b) 2 − 2 + 1 < 3 + 2 + 2
→ 0 < + 2 + 6 + 5 > 0
cero:
∆ < 0
2 + 6 − 20 < 0
→ 2 + 6 < 20 → − √20 < 2 + 6 < √20
→ −√20 − 6 < 2 < √20 − 6
2 ∈0 − √20 − 6, √20 − 6 .
Finalmente se tiene:
2 ∈ 0 − 4, 8. ∧ 2 ∈0 − √20 − 6, √20 + 6 .
2 ∈ 0 − 4, √20 − 6.

42)
! > 1
^ O { `
|N O |
> 1
5 − 3 + 1 → ∆ < ,
Como el discriminante es menor que cero, la expresión siempre
será positiva.
5 − 3 + 1 > 0
→ 6 + 2 ? + 10 > 5 − 3 + 1
→ + 2 ? + 3 + 9 > 0 − − − − − − 2
Se tiene que (a) es positivo → ∆ < 0
2? + 3 − 36 < 0
→ 2? + 3 < 36
→ −6 < 2? + 3 < 6
→ −9 < 2? < 3
→ −
6
< ? <
? ∈ 0 −
6
, .
43)
Si f……. es cuadrática → ! = 2 + G + '

! $ − 1& − ! $ + 1& = −8 + 1 ------(1)
Si:
! 0 = 1 → 1 = 2 0 + G 0 + '
' = 1
! = 2 + G + 1
De la expresión (1),
2 − 1 + G $ + 1& + 1 − .2 $ + 1 + G $ + 1& + 18 =
−8 + 1
2 $
O
%
− + 1& + G. + G + 1 − .2 $
O
%
+ + 1& + G. + G +
10 = −8 − 8
−22 − 2G = −8 − 8
2 + G = 4 + 4
→ B
2 = 4
G = 4
La ecuación f(x) será:
! = 4 + 4 + 1
! = 2 + 1
→
E2)áG,+2 K*> => 2G)> ℎ2'@2 2))@G2 ',3 té)[@'> Y ℎ, 4
Y ℎ, 4 = ℎ = − ; 4 = 0

De la gráfica → >+ ?í3@?, L> ! >=: 0
Min. f = 0
44)
Sea: ! = 2 + G + '
|
2 = 2
G = 2√5 − 1
' = −√5
! = 2 } +
√N
+
~ √N •
O
^
€ − √5 −
~ √N •
O
_
! = 2 +
√N
%
− √5 +
~ √N •
O
_
! = 2 +
√N
%
−
_√N ` %√N
_
! = 2 +
√N
%
−
%√N
_
→ E2)áG,+2 K*> => ℎ2G)> ℎ2'@2 2))@G2.
→ u
ℎ = −
√N
%
4 = −
%√N
_
La gráfica de f(x) es:

El mínimo de f es: −
%√N
_
45)
P = + 2 +
•
= 2
→ 2 + 4 + ‚ = 4
2 + ‚ + 4 = 4
=
%
.4 − 2 + ‚ 0

El área de la ventana es:
A= xy +
•
=
%
.4 − 2 + ‚ 0+
•
_
= −
O
%
2 + ‚ +
•
_
= −
O
−
•
%
+
•
_
= −
O
−
•
_
= −
O
−
•
_
A(x) = − +
•
_
− − − − E2)áG,+2
Se abre hacia abajo
A(x) = − $
% •
_
& = −. $
% •
_
& − 0
= −. $
% •
_
& − + $
_
• %
& 0+ $
_
• %
&
= −. . M
% •
_
− M
_
% •
0 + $
_
• %
&
Y ℎ, 4 = ƒM
_
% •
, $
_
• %
& „

Derivando la función A(X) e igualando a cero para tener un
máximo:
…
= 0
0 = 1 − 2 $
% •
_
&
2 $
% •
_
& = 1
=
%
• %
46)
Del triángulo ;- †;1:
‡ˆ
‰‰‰‰
Š‹
‰‰‰‰
=
Œ•
‰‰‰‰‰
ŒŽ
‰‰‰‰
→
`
=
Œ•
‰‰‰‰‰
^ •

20 6 − ℎ = 6
ℎ = 6 −
`
El área del rectángulo es: A= x.h
= . $6 −
`
& = −
`
+ 6
= −
`
− 20
= −
`
− 20 + 100 + 30
= 30 −
`
− 10 ////
→ E2)áG,+2 K*> => 2G)>2 ℎ2'@2 2G2I, …
V(h,k) = ( 10, 30)
El máximo se tiene cuando X = 10
X= 10 → = 30
30 = . ℎ = 10. ℎ
ℎ = 3
B
= 10
ℎ = 3

47)
= ‚1 ; ',?,: 10 − = 2‚1
1 =
`
•
= ‚
`
•
=
` O
%•
= $%
& =
^
= + =
` O
%•
+ ^
=
`` ` O
%•
+
^
=
%`` _` % O • O
^•
=
O
^
+
O
%•
−
N
•
+
N
•

A= $ ^
+
%•
& −
N
•
+
N
•
= $
• %
^•
& −
N
•
+
N
•
=
^•
. 4 + ‚ − 80 +
^``
% •
0 +
%``
^•
−
^``
^• % •
=
^•
. √4 + ‚ −
%`
√% •
0 +
N
•
−
``
%• •O
→ E2)áG,+2 K*> => 2G)> ℎ2'@2 2))@G2 − − − − −
El mínimo de f…. se tiene para x =
%`
% •
El perímetro del cuadrado será:
P1 = 4(x/4) =x
P1=
%`
% •
La longitud de la circunferencia:
L2= 2‚1 = 2‚ $
`
•
&= 10 −
V2 = 10 −
%`
% •
=
`•
% •
El área del cuadrado es:
= $
4
& =
1
16
= ^
%`
% •

El área total es:
A =
` O
%•
+
^
=
^
%`
% •
+
`
‘’
‘“”
O
%•
A =
N
% •
•–
•
=
—
—˜
‘’
‘“”
O
O™
‘“”
=
%
% •
š =
%
% •
.
N
% •
=
``
% • O
48)
De; ! =
%
=
% %
%
= 1 +
%
%
√ − 4 ≥ 0
√ > 0 → ≥ 0
→ ≥ 0 ∧ − 4 ≥ 0
≥ 0 ∧ (x+2)(x-2) ≥ 0
≥ 0 ∧ { ≤ −2 ó ≥ 2 Q
∈ .2, ∞ . − 4Q
D (f) = .2, 4 . s 04, ∞ .
El rango será:
2 ≤ < 4 ó > 4
−2 ≤ − 4 < 0 ó − 4 > 0
%
≤ − ó
%
> 0

%
%
≤ −2 ó
%
%
> 0
1+
%
%
≤ −1 ó
%
%
> 0 + 1
1+
%
%
≤ −1 ó
%
%
> 1
Ran (f) = 0 − ∞, −1 0 s 01, ∞.
49)
Se tiene:
! = 4 − √ + 12 + 27 ; ∈0 − ∞, −110
W = + 6 + 6 ; ∈ 00, ∞ .
+ 12 + 27 = + 12 + 36 + 27 − 36
= + 6 − 9
! = 4 − : + 6 − 9
W = + 6 + 9 + 6 − 9
W = + 3 − 3
Se determina el rango a partir del dominio de f.
< −11
+ 6 < −5
+ 6 ≥ 25 → + 6 − 9 ≥ 16
: + 6 − 9 ≥ 4
−: + 6 − 9 ≤ −4
4 − : + 6 − 9 ≤ 0

! ≤ 0
Ran (f) = ] −∞, 0 0
De: x >0
+ 3 > 3
+ 3 > 9
+ 3 − 3 > 6
W > 6
123 W = 06, ∞ .
50)
De: −1 < ! < 3; ∀ ∈ 1
−1 <
O ›
O < 3
Se tiene que: + 2 + 2 > 0 E,) =>) ∆ < 0
∆ = L@=')@?@323[>
-( + 2 + 2 < 2 − 4 + 1 < 3 + 2 + 2
→ -( + 2 + 2 < 2 − 4 + 1 ∧ 2 − 4 + 1 < 3 +
2 + 2
a) -( + 2 + 2 < 2 − 4 + 1
→ 0 < 3 + 2 − 4 + 3
→ 3 + 2 − 4 + 3 > 0
cero:

∆ < 0
→ 2 − 4 − 36 < 0 → 2 − 4 < 36
→ . 2 − 4 − 60.2 − 4 + 60 < 0
→ − 4 + 4 8-k) < 0
→ 4 + 4 8 − 4 > 0
4 ∈ 0 − 4, 8 .
b) 2 − 4 + 1 < 3 + 2 + 2
→ 0 < + 4 + 6 + 5 > 0
cero:
∆ < 0
4 + 6 − 20 < 0
→ 4 + 6 < 20 → − √20 < 4 + 6 < √20
→ −√20 − 6 < 4 < √20 − 6
4 ∈0 − √20 − 6, √20 − 6 .
Finalmente se tiene:
4 ∈ 0 − 4, 8. ∧ 4 ∈0 − √20 − 6, √20 + 6 .
4 ∈ 0 − 4, √20 − 6.

51)
! = | − 1| + | + 1|
Puntos críticos = { 1, -1}
2 0 − ∞, −1. → | − 1| = − − 1
| + 1| = − + 1
! = − − 1 − + 1 = − + 1 − − 1
! = −2
b.- .−1,1. → | − 1| = − − 1
| + 1| = + 1
! = − − 1 + + 1 = − + 1 + + 1
! = 2
c.- .1, ∞. → | − 1| = − 1
| + 1| = + 1
! = − 1 + + 1 = − 1 + + 1
! = 2x
Redefiniendo a f:
! = |
−2 , < −1
2 , ∈ −1,1 .
2 , ≥ 1
La gráfica es:

De la gráfica se aprecia que el rango es:
123 ! = .2, ∞ .
52)
De: − 3 − 4 ≥ 0
− 4 + 1 ≥ 0
≤ −1 ó ≥ 4
→ - ! = 0 − ∞, −10 s .4, ∞ .
− 3 − 4 = − 3 + 9/4 − 4 − 9/4
= − −
N
%
De:
≤ −1 ó ≥ 4
− ≤ −
N
ó − ≥
N
− ≥
N
%
ó − ≥
N
%

− −
N
%
≥ 0 ó $ − & −
N
%
≥ 0
− −
N
%
≥ 0
! ≥ 0
123 ! = .0, ∞ .
Para graficar, se parte de la ecuación dada:
! = √ − 3 − 4
! = M − −
N
%
= M − −
N
%
→ = − −
N
%
+
N
%
= −
$ − & − =
N
%
$
œ
O
&
O
O™
‘
−
O
O™
‘
= 1 → ℎ@Eé)G,+2
u
2 =
N
G =
N
Pero como se tiene la raíz cuadrada -----la mitad de la hipérbola

53)
! =
O %
; ≠ −3
! = − 4 − 1
Como f(x) es polinomio → - ! = 1 − 3Q
! = − 4 + 4 − 5
! = − 2 − 5
La gráfica f…es una parábola que se abre hacia arriba y de vértice
V(h,k)
Y ℎ, 4 = 2, −5
Ran (f) = .5, ∞ .

54)
Factorizando:
! =
O `
N
; ≠ −1, ≠ −5
! =
N
N
; ≠ −1, ≠ −5
! = − 2
- ! = 1 − −1, −5Q
= − 2 → = + 2
123 ! = 1 − −3, −7Q

55)
! = | |. | − 1|
Puntos críticos = {0,1}
a) 0 − ∞, 0. → | | = −
| − 1| = − − 1
! = − 1 = −
G .0, 1. → | | =
| − 1| = − − 1
! = − − 1 = −
' .1 , ∞. → | | =
| − 1| = − 1
! = − 1 = −
! = u
− , < 0
− , 0 ≤ < 1
− , ≥ 1
D (f) = R
Para determinar el rango se puede realizar el gráfico:

Ran (f) = [0, ∞ .
56)
L> +,= L2[,= L> +2 !*3'@ó3 2 [)2J,=, => [@>3>:
- ! = .−2, 10 s 01, 40
−2 ≤ ≤ 1
−4 ≤ 2 ≤ 2 → −3 ≤ 2 + 1 ≤ 2 + 1
−3 ≤ ! ≤ 3
Ran(f1) = [-3, 3]
!2 = − 3 = $ − 3 +
6
%
& −
6
%
! = $ − & −
6
%
De: 1< x ≤ 4

- - < x - ≤
N
0 ≤ $ − & ≤
N
%
−
6
%
≤ − 3 −
6
%
≤ 4
123 ! = 5−
6
%
, 48
Ran (f) = Ran (! + 123 !
= [-3, 3] U 5−
6
%
, 48
123 ! = .−3, 40
→ E2)áG,+2 L> té)[@'> $ , −
6
%
& K*> => 2G)>
ℎ2'@2 2))@G2

57)
Factorizando se tiene:
+ − 2 − 2 = + 1 − 2 + 1
= + 1 − 2
œ O
=
~ O •
= − 2 ; ≠ −1
! = P
− 2 ; ∈ .−3,2.− −1Q
8 − 2 ; ∈ .2, 4 .
Sea:
! = − 2 →
E2)2G,+2 K*> => 2G)> ℎ2'@2 2))@G2
ℎ = 0 ; 4 = −2
La gráfica será:

D(f) = [-3, 4 [-{-1|
Ran (f) = [-2, 7[
58)
Reescribir la función con valor absoluto
| + 3| = P
+ 3 ; ≥ −3
− + 3 ; < −3
a) 0 − 5, −3. → | + 3| = − − 3
b) .−3, −10 → | + 3| = + 3
! = •
− − 3 ; ∈0 − 5, −3.
+ 3 ; ∈ . −3, −1 0
2 ; ∈ 0 − 1, 20
12 − 2 ; < 2
- ! = .−5, ∞ .
La gráfica es:

123 ! = 0 − ∞ , 8 0
59)
Sea: ! = √ − 9
= − 9 → − = 9
O
6
−
O
6
= 1 → ℎ@Eé)G,+2
! = √ − 9 ; =>?@ ℎ@Eé)G,+2 ℎ,)@J,3[2+
Del valor absoluto:

! = | + 3| − 2
0 − 3, 50 → | + 3| = + 3
! = + 3 − 2 = + 1
Y: ! = − 10 + 26
= − 10 + 25 + 26 − 25
! = − 5 + 1 → E2)áG,+2 K*> => 2G)>
Hacia arriba
→ - ! =0 − 5, 70
La gráfica de f(x) es:
! = u
√ − 9 ; −5 < ≤ −3
+ 1 ; −3 < ≤ 5
− 5 + 1 ; 5 < ≤ 7
123 ! = 0 − 2, 60

60)
swsa
123 ! = .0,90
61)

Sean: ! = − 2 →
E2)áG,+2 K*> => 2G)> ℎ2'@2 2))@G2
ℎ = 0, 4 = −2
! = − | − 2|
00, 2 . → | − 2| = − + 2
! = + − 2 = 2 − 2
.2, 4 . → | − 2| = − 2
! = − + 2 = 2
! = 2 + √ − 4
De: y= 4 + G√ − ℎ → E2)áG,+2 K*> => 2G)> ℎ2'@2
+2 L>)>'ℎ2 ; ℎ = 4 , 4 = 2
ℎ = 2 ; 4 = 0
El dominio de f(x) es:
- ! = .−3,0. s .0,2 .s .2, 4.s .4,8 .
- ! = .−3, 8 .
La gráfica de f es:

123 ! = [-2, 7]
62)
W = r
+ 10 + 21 ; ∈ .−7, −5. s.−2, −1.
√ + 1 + 1 ; ∈ 0 − 1 , 3 0
Sea; W = + 10 + 21 = + 10 + 25 + 21 − 25
W = + 5 − 4
---------- parábola que se abre hacia arriba: h=-5, k= -4
De:
−7 ≤ < −5 ó − 2 ≤ < −1
−2 ≤ + 5 < 0 ó 3 ≤ + 5 < 4
0 ≤ + 5 ≤ 4 ó 9 ≤ + 5 < 16
−4 ≤ + 5 − 4 ≤ 0 ó 5 ≤ + 5 − 4 < 12

−4 ≤ f(x) ≤ 0 ó 5 ≤ ! < 12
123 W = .−4,0 . s .5, 12 .
W = 1 + √ + 1
-1< x ≤ 3
0 < + 1 ≤ 4
0 < √ + 1 ≤ 2
1 < √ + 1 + 1 ≤ 3
123 W = ]1, 3 ]
123 W = = .−4,0 . s 01, 3 0s .5, 12 .
63)

| − 2| > 3 → − 2 > 3 ó − 2 < −3
→ > 5 ó < −1
! =
N
=
7
= 1 +
7
; x ≠ 2
De:
> 5 ó < −1
− 2 > 3 ó − 2 < −3
Además: x-2 >0 →
`
> 0
− 2 < −3 → x-2 <0
→ < 0
< ó > −
0 < < ó − < < 0
0 <
7
<
7
ó −
7
<
7
< 0
1 < 1 +
7
<
7
+ 1 ó 1 −
7
< 1 +
7
< 1
1< 1 +
7
<
`
ó −
%
< 1 +
7
< 1
1 < ! <
`
ó −
%
< ! < 1
123 ! =0 −
%
, 1. s 01,
`
.
! = : + 4 − 1 = : + 4 + 4 − 5
! = : + 2 − 5
= + 2 − 5
+ 2 − = 5

O
N
−
O
N
= 1 → ℎ@Eé)G,+2
De: 0 < x < 1
2 < + 2 < 3
4 < + 2 < 9
−1 < + 2 − 5 < 4
0 < : + 2 − 5 < 2
123 ! = 00, 2 .
! = 2 + |2 − 5|
.2, 5/2. → |2 − 5| = −2 + 5
! = 2 + 5 − 2 = 7 − 2
.
N
, 30 → |2 − 5| = 2 − 5
! = 2 − 5 + 2 = 2 − 3
! = r
7 − 2 ; 2 ≤ < 5/2
2 − 3 ;
N
≤ ≤ 3
De: 2 ≤ <
N
4 ≤ 2 < 5
−5 < −2 ≤ −4
2 < 7 − 2 ≤ 3

N
≤ ≤ 3
5 ≤ 2 ≤ 6
2 ≤ 2 − 3 ≤ 3
123 ! = .2, 30
El rango se la función será, la suma de los rangos de las funciones
f1, f2 y f3:
123 ! = ]-4/3 ,1[ U ]1, 10/3[U 00, 2 . s 02, 30
123 ! = 0 −
%
,
`
.
La gráfica de f, es:

64)
L1:
[23W 45 = 1 = ?
Ÿ
‰‰‰‰‰ = ‰‰‰‰‰ ; y = mx+b
P(0,0) → 0 = G → = ?
? = 1 → = ; 0 ≤ ≤ 2.5
L1: y = ; 0 ≤ < 2.5
L2:
Entre A y B la recta es paralela al eje x, por tanto:
= 2.5
L2: y = 2.5 ; 2.5 ≤ < 4.5
L3:
1-
‰‰‰‰ = J + ¡-
‰‰‰‰ = 3.5

J + 2.5 + J = 3,5 → J = 0.5
y = mx+b
B(4.5;2.5) → 2.5 = 4.5? + G
C(5,3) → 3 = 5? + G
→ B
2.5 = 4.5? + G
−3 = −5? + G
Se obtiene → ? = 1 ; b =2
= − 2
L3: y = − 2 ; 4.5 ≤ < 5
L4:
C(5,3) → 3 = 5? + G
D(8,0) → 0 = 8? + G
b = 8
m =-1
= 8 −
L4: y = 8 − ; 5 ≤ ≤ 8
! = •
; 0 ≤ < 2,5
2.5 ; 2.5 ≤ < 4.5
− 2 ; 4.5 ≤ < 5
8 − ; 5 ≤ ≤ 8
65)

a) ! = 2 − 3 %
+ 5
Si:
! − = −! − − − −@?E2)
! − = ! − − − − − E2)
! − = 2 − − 3 − %
+ 5
= 2 − 3 %
+ 5
! − = ! − − − −E2)
b) ! = 5 − 3 + 1
! − = 5 − − 3 − + 1
= − 5 + 3 + 1
= − 5 − 3 − 1
! − ≠ −! − − − − − 3, @?E2)
! − ≠ ! ----------------- no par

c) ℎ =
ℎ − = = . 0
= − = −ℎ
ℎ − = −ℎ − − − − − @?E2)
d) ! = √2 + 2 + − √2 − 2 +
! − = :2 + 2 − + − − :2 − 2 − + −
! − = √2 − 2 + − √2 + 2 +
! − = −¢√2 + 2 + − √2 − 2 + £
! − = −! − − − − − −¤?E2)

66)
! = − + 8 − 10
= − − 8 + 10
= − − 8 + 16 + 6
6 − − 4
! − = 6− − − 4
= 6 − .− + 4
= 6 − + 4
! − = −.6 +( + 4 0
De:
! = − − 8 − 10
= − + 8 + 10
= − + 8 + 16 + 6
6 − + 4
! − = 6− − + 4
= 6 − .− − 4
= 6 − − 4
! − = −.6 + − 4 0

! = P
6 − − 4 ; 2 ≤ ≤ 6
6 − + 4 ; −6 ≤ < 2
La función no es par ni impar
67)
- ! = 0,1,2Q
- W = 0,2,4Q
- ! ∩ - W = 0, 2Q
- ! + W = 0, 2Q
f+g = , ! 6W / ∈ 0, 2Q
a) ! + W 2 = $2, 0 + &Q = 2,
! + W 2 =
G
!. W 2 = , / = ! . W , ∈ - ! ∩ - W Q

- ! ∩ - W = 0, 2Q
!. W 2 = 0.
1
2
!. W 2 = 0
c.-
(! + 3W 2 = , / = ! + 3W , ∈ - ! ∩
- W QQ
(! + 3W 2 = 2, 0 + 3 $ &Q
(! + 3W 2 =
68)
a) ! = | | ; W =
| | = B
, ≥ 0
− , < 0
! + W = ! + W s ! + W
- ! ∩ - W = ≥ 0 ∩ 1
- ! ∩ - W = ≥ 0
- ! ∩ - W = < 0 ∩ 1
- ! ∩ - W = < 0
! + W = B
2 ; ≥ 0
0 ; < 0

W − ! = B
0 ; ≥ 0
2 ; < 0
b) ! = ; W = B −1,2 , $ ,
%
& , 2, −3 , ~4, √2•¥
! + W =?
- ! = 1 ; - W = B−1, , 2, 4¥
- ! ∩ - W = B−1, , 2, 4¥
! + W = , / = ! + W , ∈ - ! ∩ - W Q

! + W = 1, −1 + 2 , $ , +
%
& , 2,2 − 3 , ~4, √2 + 4•Q
! + W = 1, 1 , §
1
2
,
5
4
¨ , 2, −1 , ~4, √2 + 4•Q
W − ! =?
- ! = 1 ; - W = B−1, , 2, 4¥
- ! ∩ - W = B−1, , 2, 4¥
W − ! = , / = W − ! , ∈ - ! ∩ - W Q
! + W = 1,2 + 1 , $ , %
− & , 2, −3 − 2 , ~4,4 − √2•Q
! + W = 1, 3 , §
1
2
,
1
4
¨ , 2, −5 , ~4,4 − √2•Q
69)
De:
0 ≤ ≤ 3 → 0 ≤ 3 ≤ 9
3 < ≤ 6 → 9 ≤ 3 ≤ 18
Se tiene entonces:
! 3 = P
2 , 0 ≤ 3 ≤ 9 → !
3 , 9 < 3 ≤ 18 → !
De:
0 ≤ ≤ 3 → −2 ≤ − 2 ≤ 1

3 < ≤ 6 → 1 < − 2 ≤ 4
! 3 = P
2 , − 2 ≤ − 2 ≤ 1 → !
3 , − 1 < − 2 ≤ 4 → !%
Sea: W = ! 3 + ! − 2
W = ! + ! s ! + !% s ! + ! s + ! + !%
! + ! = 2 + 2 = 4 ; - ! ∩ - ! = .0,10
! + !% = 2 + 3 = 5 ; - ! ∩ - !% = .1.40
! + ! = ∅ ; - ! ∩ - ! = ∅
! + !% = ∅ ; - ! ∩ - !% = ∅
W = P
4 , ∈ .0,10
5 , ∈01,40
- W = .0,10s 01, 40
70)
ª

+ ! =? ; g(x) ≠ 0
! = ¢~0, √2•, ~1, √5•, 2,0 £
W = ~0, √8•, $2, & , ~4, √3•Q

- ! = 0,1,2Q ; - W = 0,2,4Q
- ! ∩ - W = 0,2Q
ª

= $ ,
ª

& / ∈ - ! ∩ - W Q
ª

= r$0,
√_
√
& , ƒ2,
—
Ò
„« ; g(x) ≠ 0
2 ∉ - $
ª

&
ª

= 0, 2 Q
ª

+ ! = $ ,
ª

+ ! & / ∈ - ! ∩ - W Q
f(2) =0
ª

+ ! = B$0,
√_
√
+ √2 &8
ª

+ ! = 0,4 Q
71)
! + W = ?
Sea:
! = 3 + 4 ; ∈ .0,20
! = 1 − ; ∈ 02, 50
W = ; ∈ .0,3 .
W = 4 ; ∈ .3, 60

! + W = ! + W s ! + W s ! + W s ! + W
- ! ∩ - W = .0,20
- ! ∩ - W = ∅ → ∄ ! + W
- ! ∩ - W =02,3.
- ! ∩ - W = .3,50
! + W = 3 + 4 + = + 3 + 4
! + W = 1 − + = − + 1
! + W = 1 − + 4 = 5 −
! + W = u
+ 3 + 4 , ∈ .0,20
− + 1 , ∈ 02,30
5 − , ∈ .3, 50
- ! = .0,20 s02,3.s.3,50
- ! = .0, 50
La gráfica es:

72)
! = √9 −
De: 9 − ≥ 0 → ≤ 9
→ −3 ≤ ≤ 3
- ! = .−3, 30
W = 2 − | − 1| ; ∈ 0 − 2, 50
| − 1| = P
− 1 ; ≥ 1
− − 1 ; < 1
a) 0 − 2, −1. → | − 1| = 1 −
W = 2 + − 1 = + 1
b.- .1,50 → | − 1| = − 1
W = 2 − + 1
W = 3 −
W = P
+ 1 , ∈0 − 2,1.
3 − , ∈ .1,50
! + W = ! + W s ! + W
- ! ∩ - W = 0 − 2,1.
- ! ∩ - W = .1,3 0

! + W = √9 − + + 1
! + W = √9 − − + 3
! + W = r
√9 − + + 1 , ∈ 0 − 2,1.
√9 − − + 3 , ∈ .1,30
73)
! = | − 2| − 1 ; ∈ .−2,6.
W = P
−2 , ∈ .−3,2 .
2 , ∈ .2,6.
)>>=')@G@>3L, ! :
| − 2| = P
− 2 ; ≥ 2
− − 2 ; < 2

a) 0 − 2,2 . → | − 2| = − − 2
! = − + 2 − 1
! = 1 −
b) .2, 6 . → | − 2| = − 2
! = − 2 − 1
! = − 3
! = P
1 − ; ∈ 0 − 2, 2 .
− 3 , ∈ .2, 6 .
W = P
−2 , ∈ .−3,2 .
2 , ∈ .2,6 .
! + W = ?
! + W = ! + W s ! + W s ! + W s ! + W
Realizar la intersección de dominios:
- ! ∩ - W = 0 − 2,2. ∩ .−3, −3. = .−2.2 .
- ! ∩ - W = 0 − 2,2. ∩ .2,6 . = ∅ → ∄ ! + W
- ! ∩ - W = .2,6. ∩ .−3,2 . = ∅ → ∄ ! + W
- ! ∩ - W = .2, 6. ∩ .−2,6. = .2, 6 .
! + W = ! + W s ! + W
! + W = 1 − − 2 = − − 1
! + W = − 3 + 2 = − 1

! + W = P
− − 1 , ∈ .−2, 2 .
+ 1 , ∈ .2, 6 .
+2= W)á!@'2= L> !, W ! + W =,3:
!:
g:
f+g :

74)
Sean:
! = + 3 ; ! = 3 + 2
W = 2 − 4 ; W = 2 −
! + W = ! + W s ! + W s ! + W s ! + W
Si las intersecciones de los dominios de las funciones indicadas
existen, las sumas de las funciones existen, caso contrario no
existen.
- ! ∩ - W = 0 − 4,00 ∩ .−3, 2 0 = .−3,00
- ! ∩ - W = 0 − 4,00 ∩ 02, 8 0 = ∅ → ∄ ! + W
- ! ∩ - W = 00, 50 ∩ .−3, 2 0 =00, 20
- ! ∩ - W = 00, 50 ∩02, 80 =02 , 5.
! + W = + 3 + 2 − 4 = 3 − 1
! + W = 3 + 2 + 2 − 4 = 5 − 2
! + W = 3 + 2 + 2 − = 2 + 4
! + W = u
3 − 1 , ∈ .−3, 00
5 − 2 , ∈ 00, 20
2 + 4 , ∈ 02, 5 .

75)
W = − 2 ; ≥ −2
>+ L,?@3@, >=:
D(f) = [-2, ∞ .
ℎ = √ − 9 ∶ - ℎ =?
De: − 9 ≥ 0
+ 3 − 3 ≥ 0
→ ≤ −3 ó ≥ 3
- ℎ = ]-∞ , −30 s .3, ∞ .
! = − | − 1|
Punto crítico = {1}
a) X <1 → | − 1| = − − 1
! = + − 1 = 2 − 1
b) x≥ 1 → | − 1| = − 1
! = − + 1 = 1

! = B
1 , ≥ 1
2 − 1 , < 1
- ! + W = - ! ∩ - W
! + W = ! + W s ! + W
- ! ∩ - W = .1, ∞ . ∩ .−2, ∞ . = .1, ∞.
- ! ∩ - W =0 − ∞, 1 . ∩ .−2, ∞ .−2,1 .
! + W = P − 2 + 1
− 2 + 2 − 1
! + W = P
− 1 , ≥ 1
+ 2 − 3 , −2 ≤ < 1
- ! + W = .−2, 1 . s .1, ∞ .
= .−2, ∞ .
- ! + W . ℎ0 = - ! + W ∩ - ℎ
Como: - ℎ = ]-∞ , −30 s .3, ∞ .
- ! + W . ℎ0 = .−2, ∞ . ∩ ]-∞ , −30 s .3, ∞ .Q
- ! + W . ℎ0 = [3, ∞ .
76)
! = ; W = |2 |

Como: |2 | = B
2 ; ≥ 0
−2 ; < 0
! + W = ! + W s ! + W
Analizar las intersecciones de los dominios:
- ! ∩ - W = 1 ∩ .0, ∞. = .0, ∞ .
- ! ∩ - W = 1 ∩ 0 − ∞, ,. =0 − ∞, 0 .
! + W = + 2 = + 2 + 1 − 1 = + 1 − 1
! + W = − 2 = − 2 + 1 + 1 = − 1 + 1
! + W = P
+ 2 ; ∈ .0, ∞ .
− 2 ; ∈ 0 − ∞, 0 .
La gráfica de las parábolas son:
- ! + W = 1
123 ! + W = .0, ∞ .
77)

!: 0 − 3,50 + .−5,30 / ! = − + 2 + 3
− + 2 + 3 = − − 2 + 1 + 4
= 4 − − 1
W = √9 −
Si: 9 − ≥ 0
≤ 9 → −3 ≤ ≤ 3
- W = .−3, 30
- ! ∩ - W = 0 − 3,50 s .−5, 30 ∩ .−3,30 = .−3,30
→ ∃

ª

ª
=
% O
√6 O
√9 − > 0
9 − > 0
< 9 → −3 < < 3
- $

ª
& = 0 − 3,3.

78)
! = − 2 + 2 ; ≥ 5
W = 2| − 1| + 1 ; ∈ .−3,4.
| − 1| = P
− 1 , ≥ 1
− − 1 , < 1
.−3, 1 . → | − 1| = − − 1
W = −2 − 1 + 1
W = 3 − 2
.1, 4. . → | − 1| = − 1
W = 2 − 1 + 1
W = 2 − 1
W = P
3 − 2 , ∈ .−3,1.
2 − 1 , ∈ .1, 4.
! + W = ! + W s ! + W
Se debe determinar el dominio de f:
! = − 2 + 2 ; ≥ 5
5= ( − 2 + 1 + 1
5 = − 1 + 1

4 = − 1
− 1 = ≠ 2
= 3 ; = −1
- ! = 0 − ∞, −10 s .3, ∞ .
! + W → - ! ∩ - W = 0 − ∞, −10s .3, ∞ .Q ∩ .−3,1.
- ! ∩ - W = .−3, −10
! + W = − 2 + 2 + 3 − 2
! + W = − 4 + 5 = − 4 + 4 + 1
! + W = − 2 + 1
! + W → - ! ∩ - W = 0 − ∞, −1s.3, ∞ . Q ∩ .1, 4.
- ! ∩ - W = .3, 4.
! + W = − 2 + 2 + 2 − 1
! + W = + 1
! + W = P
− 2 + 1, ∈ .3, −10
+ 1 , ∈ .3,4.
Su rango es:

-3 ≤ x ≤ -1
−5 ≤ − 2 ≤ −3
9 ≤ − 2 ≤ 25
10 ≤ − 2 + 1 ≤ 26
123 W = 010,260
3 ≤ < 4
9 ≤ < 16
10 ≤ + 1 < 17
123 W = .10, 17 .
123 ! + W = .10,260
79)
¯ + 4° = 4 ; ≥ 0
= 1 −
%
−
%
< 0 − − − −E2)áG,+2 => 2G)> 2 +2 @JK*@>)L2
ℎ = 1 ; 4 = 0
- ! = 0 − ∞, 10

123 ! = .0, ∞ .
80)
4 − = 144
O
^
−
O
%%
= 1 − − − ℎ@Eé)G,+2
2 = 6 ; G = 12
Asíntotas:
4 − = 0
2 − 2 + = 0
2=í3[,[2=: P
= 2
= −2
- ! = 1
)23 ! = 0 − ∞, 60 s .6, ∞ .

81)
! = + 2 ; ∈ .−1, 2.
−1 ≤ < 2
0 ≤ < 4
2 ≤ + 2 < 6
123 ! = .2, 6 .
82)
! = + 4 − 1
! = + 4 + 4 − 5
! = + 2 − 5 ------parábola que se
Abre hacia arriba.
ℎ = −2 ; 4 = −5 ; Y −2, −5
De:
−2 < ≤ 3

0 < + 2 ≤ 5
0 < + 2 ≤ 25
−5 < + 2 − 5 ≤ 20
123 ! = 0 − 5, 20 0
83)
! = 3 + 2 − ; ∈ .−2,2.
! = − − 2 + 1 + 4
! = 4 − − 1
−2 ≤ < 2
−3 ≤ − 1 < 1
0 ≤ − 1 ≤ 9
−9 ≤ − − 1 ≤ 0
−5 ≤ 4 − − 1 ≤ 4
Ran(f) = [-5, 4[

84)
! = − 2 ; ! = + 5
! = 2 − 4
W = ; W = 3
ℎ = ! W + ! W + ! W + ! W + ! W + ! W
- ! ∩ - W = .−4,20 ∩ 00,2. = 00,20
- ! ∩ - W = .−4,20 ∩ .2,8. = ∅
- ! ∩ - W =02,60 ∩ 00,20 = ∅
- ! ∩ - W =02,60 ∩ .2,8. = .2,6 0
- ! ∩ - W =06, 90 ∩ 0, 20 = ∅
- ! ∩ - W =06, 90 ∩ .2,8 . =06,8.
ℎ = ! W + ! W + ! W
! W = − 2 . = − 2 %
! W = ( + 5 . 3 = + 15
! W = 3 2 − 4 = 6 − 12

ℎ = •
− 2 %
, ∈ 00,2 0
3
2
+ 15 , ∈02,60
6 − 12 , ∈06,8.
b)
ª—
—
=
œ
O
ªO
O
= ±
O
N
=
^
`
ªO
œ
=
%
ℎ =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
− 2
, ∈ 00,2 0
6
+ 10
, ∈02,60
3
2 − 4
, ∈06,8.
85)
! = P
| − 2|| + 2| , ∈ .−6,00
2 , ≥ 2

a) .−6, −2. → | − 2| = − − 2
| + 2| = − + 2
! = − 2 + 2 = − 4
a) [-2,0] → | − 2| = − − 2
| + 2| = + 2
! = − − 2 + 2 = 4 −
! = u
− 4 , ∈ .−6, −2.
4 − , ∈ .−2,00
2 , ≥ 2
W = B
+ 2 , ≥ −2
1 , < −2

ª
= ?

ª
=
—
ª—
+
—
ªO
+
O
ª—
+
O
ªO
+
œ
ª—
+
œ
ªO
Determinar las intersecciones de los dominios para la
existencia de las funciones:
- ! ∩ - W = .−6, −2. ∩ .−2, ∞. = ∅
- ! ∩ - W = .−6, −2. ∩0 − ∞, −2. =0 − 6, −2.
- ! ∩ - W = .−2,00 ∩ .−2, ∞. = .−2,00
- ! ∩ - W = .−2, 00. ∩ 0 − ∞, −2. = ∅
- ! ∩ - W = .2, ∞ . ∩ .−2, ∞. = .2, ∞.

- ! ∩ - W = .2 , ∞ . ∩ .− ∞, −3. = ∅
Se tiene que:

ª
=
—
ªO
+
O
ª—
+
œ
ª—
—
ªO
=
O %
= − 4
O
ª—
=
% O
= 2 −
œ
ª—
=

ª
= •
− 4 , ∈ .−6, −2.
2 − , ∈ .−2,00
, ∈ .2, ∞ .
123 ! = .0, ∞ .

86)
! = ; ≠ 2 ; W = ; ≠ 0
!,W = !.W 0 = ! $ &
!.W 0 = ±“œ
±
= ; ≠ −1
- !,W = 1 − −1, −2,0Q
W,! = W.! 0 = W $ &
W.! 0 =
—
±“O
—
±“O
=
œ±“¶
±“O
—
±“O
=
7
= 3 + 7
- W,! = 1-{-2,0}}
- !,W ∩ - W,! = R-{-1,-2,0}
87)

gof =g[f(x)]
W = = 2 +
! = ; ≥ 3
- ! = .3, ∞.
SI: ≥ 3
− 2 ≥ 1 → − 2 > 0
→ >0
− 2 ≥ 1
≤ 1 → 0 < ≤ 1
123 ! ∩ - W =00, 1. ∩ . , ∞.= , 1. ≠ ∅ → ∃ W,!
123 ! ⊆ - W = ?
123 ! ⊈ - W → - W,! = / ∈ - ! ! ∈ - W Q

- W,! = ≥ 3 ∧ ≥
→ ≥ 3 ∧ − ≥ 0
→ ≥ 3 ∧ ≥ 0
→ ≥ 3 ∧
%
≥ 0
→ ≥ 3 ∧ 4 − − 2 ≥ 0
→ → ≥ 3 ∧ 2 ≤ ≤ 4
∈ .3,40
- W,! = ∈ .3, 4 0
88)
! = 2 − 3
W = + 1
- W = 1 ; 123 W = .1, ∞ .
- ! = 1 ; 123 ! = 1

!,W = !.W 0 = ! + 1
!.W 0 = 2 + 1 − 3 = 2 − 1
123 W ∩ - ! = .1, ∞. ∩ 1 = .1, ∞ .
→ ∃ !,W
W,! = W.! 0 = ! 2 − 3
W.! 0 = 2 − 3 + 1
W.! 0 = 4 − 12 + 10
123 ! ∩ - W = 1 ∩ 1 = 1
→ ∃ W,!
De: W,! = !,W
2 − 1 = 4 − 12 + 10
2 − 12 + 11 = 0
=
±√ %% __
%
=
±√N^
%
La suma de los valores de x:
S= 3 +
√N^
%
+ 3 −
√N^
%
w = 6
89)

!,W = + + 1
W = + 1
!.W 0 = + + 1 → ! + 1 = + + 1
[ = + 1 ; = √[ − 1
œ
! [ = √[ − 1
œ
+ [
! = √ − 1
œ
+
W,! = W.! . = ~√ − 1
œ
+ • + 1
= − 1 + 3 √ − 1
œ
+ 3 ~√ − 1
œ
• + 1 +
= + 3 √ − 1
œ
+ 3 ~√ − 1
œ
• +
W,! 9 = 9 + 243√9 − 1
œ
+ 27 √9 − 1
œ
+ 9
= 9 +729+243(2)+108
W,! 9 = 1332
90)
! − 1 = 3 + 2 + 12
W + 1 = 5 + 7
Se halla las funciones f(x) y g(x):

[ = − 1 ; = [ + 1
! [ = 3 [ + 1 + 2 [ + 1 + 12
! [ = 3[ + 6[ + 3 + 2[ + 2 + 12
! [ = 3[ + [ 6 + 2 + 2 + 15
! = 3 + 6 + 2 + 2 + 15
Sea: [ = + 1 ; = [ − 1
W [ = 5 [ − 1 + 7
W [ = 5[ + 2
W = 5 + 2
La función compuesta fog es:
!,W = !.W 0 = ! 5 + 2
!.W 0 = 3 5 + 2 + 5 + 2 6 + 2 + 2 + 15
= 75 + 60 + 12 + 52 + 30 + 22 + 12 + 2 + 15
= 75 + 90 + 52 + 39 + 32
Si: !,W −2 = −42
!,W −2 = 75 4 + 90 −2 − 102 + 39 + 32 = −42
159 − 72 = −42
159 = 32
2 = 53

91)
r
! = √2 − 1
W = √2 − 7
De: !,ℎ = W
!,ℎ = !~ℎ •
!.ℎ 0 = √2 − 7
ℎ = [
! [ = √2[ − 1 = √2 − 7
2[ − 1 = 2 − 7
[ = − 3
→ ℎ = − 3
92)
De: ! − 2 =
[ = − 2 ; = [ + 2
! [ =
¹
=
¹

! =
De: !,! $ & = 5, => [@>3>:
!,! = !.! 0 = ! $ &
!.! 0 = O
±º—
= Oº±“—
±º—
=
!,! $ & =
$
O
±
&
O
±
= 5
%
= 5 → 4 − 2 = 15 − 10
17 = 14
=
%
7
93)
!,W = 2 +16x+25
! W 0 = 2 +16x+25
Sea: g(x) = u
! * = 2 +16x+25 ------(a)
De:
! = 2 − 4 − 5 → ! * = 2* − 4* − 5 ---(b)
De (a) y (b):

2 +16x+25 = 2* − 4* − 5
2* − 4* − 2 + 16 +30) =0
* =
%± : ^ _ O ^ `
%
=
%±√ ^ O _ N^
%
* = 1 ±
%
%
√ + 8 + 16
* = 1 ± : + 4
* = 1 + | + 4|
u= g(x)
W = P
+ 5 , ≥ −4
− − 3 , < −4
94) Si, f(x)= + 2 + 2 , ℎ2++2) W , =@:
!,W = − 4 + 5
De:
!.W 0 = − 4 + 5
!.W 0 = .W 0 + 2W + 2
.W 0 + 2W + 2 = − 4 + 5
.W 0 + 2W − − 4 + 3 = 0
W =
±:% % O %
W = −1 ± √ − 4 + 4
W = −1 ± : − 2
W = −1 + | − 2|
W = B
− 3 , ≥ 2
− + 1 . < 2

94)
Sean: ! = ; ! = −
W = − ; W = 2
W, ! = (W ,! + W ,! + W ,! + W ,!
El rango de la función “f”es:
sI; < 1
≥ 0 − − − −123 ! = .0, ∞.
Si: ≥ 2 →
− ≤ 8 → − ≤ −8
123 ! =0 − ∞, −8 0
W ,! :
123 ! ∩ - W = .0, ∞. ∩ 0 − ∞, 2.= .0,2.
123 ! ⊆ - W = ?
123 ! ⊈ - W → - W ,! = / ∈ - ! ∧ ! ∈
- W
- W ,! = < 1 ∧ < 2

< 1 ∧ | | < 2
< 1 ∧ − √2 < < √2
∈ 0 − √2 , 1 .
- W ,! = 0 − √2 , 1 .
W ,! :
123 ! ∩ - W =0 − ∞, −80 ∩0 − ∞, 2.= −∞, −80
123 ! ⊆ - W = ?
123 ! ⊆ - W → - W ,! = - ! = .2, ∞ .
W ,! :
123 ! ∩ - W = .0, ∞ ∩ .4, ∞.= .4, ∞.
123 ! ⊆ - W = ?
123 ! ⊈ - W → - W ,! = / ∈ - ! ∧ ! ∈
- W
- W ,! = < 1 ∧ ≥ 4
< 1 ∧ − 2 + 2 ≥ 0
< 1 ∧ ≤ −2 ó ≥ 2 Q
∈ 0 − ∞ , −2 0
W ,! :
123 ! ∩ - W = .− ∞, −8 ∩ .4, ∞.= ∅
→ ∄ W ,!
Finalmente:
- W,! = 0 − √2 , 1 . s .2, ∞ .s 0 − ∞ , −2[
- W,! = 0 − ∞ , −2[ U0 − √2 , 1 . s .2, ∞ .

95)
W,! = W.! 0
Sean: ! = + 1 ; ! = −
W = − 1 ; W = 2
W, ! = (W ,! + W ,! + W ,! + W ,!
El rango de la función “f”es:
< 1 → ≥ 0
+ 1 ≥ 1
! ≥ 1
123 ! = .1, ∞ .
≥ 4 → ≥ 16
− ≤ −16
123 ! =0 − ∞, −160
W ,! :
123 ! ∩ - W = .1, ∞. ∩ 0 − ∞, 2.= .1,2.

123 ! ⊆ - W = ?
123 ! ⊈ - W → - W ,! = / ∈ - ! ∧ ! ∈
- W
- W ,! = < 1 ∧ + 1 < 2
< 1 ∧ | | < 1
< 1 ∧ − 1 < < 1
∈ 0 − 1 , 1 .
- W ,! = 0 − 1 , 1 .
W ,! :
123 ! ∩ - W =0 − ∞, −160 ∩0 − ∞, 2.= −∞, −160
123 ! ⊆ - W = ?
123 ! ⊆ - W → - W ,! = - ! = .4, ∞ .
W ,! :
123 ! ∩ - W = .1, ∞ ∩ .4, ∞.= .4, ∞.
123 ! ⊆ - W = ?
123 ! ⊈ - W → - W ,! = / ∈ - ! ∧ ! ∈
- W
- W ,! = < 1 ∧ + 1 ≥ 4
< 1 ∧ − √3 + √3 ≥ 0
< 1 ∧ ¢ ≤ −√3 ó ≥ √3 £
∈ 0 − ∞ , −√3 0
W ,! :
123 ! ∩ - W = .− ∞, −16 ∩ .4, ∞.= ∅

→ ∄ W ,!
Finalmente:
- W,! = 0 − 1 , 1 . s .4, ∞ .s 0 − ∞ , −√3[
- W,! = 0 − ∞ , −√3[ U0 − 1 , 1 . s .4, ∞ .
96)
!,W = !.W 0
Sea: W = 1 − ; W = 2
!,W = !,W + !,W
Se debe determinar el Rango de g:
Si: X <-2
− > 2
1-x > 3 → W > 3
123 W = .3, ∞.
Si: > 6
2 > 12 → W > 2

123 W =012, ∞.
!,W :
123 W ∩ - ! = ?
123 W ∩ - ! = .3, ∞. ∩ 0 − 2,20.=03,20.
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - !,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !
- !,W = < −2 ∧ −2 < 1 − < 20
< −2 ∧ −3 < − < 19
< −2 ∧ −19 < < 3
∈ 0 − 19, −2.
- !,W = 0 − 19, −2.
(!,W = !.W 0 = ! 1 −
!.W 0 = 2 1 − + 1
= 2 − 4 + 2 + 1
!.W 0 = 2 − 4 + 3
!,W :
123 W ∩ - ! = ?
123 W ∩ - ! = .12, ∞. ∩ 0 − 2,20.=012,20.
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - !,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !
- !,W = > 6 ∧ −2 < 2 < 20

> 6 ∧ −1 < < 10
> 6 ∧ −1 < < 10
∈ 06, 10.
- !,W = 06,10.
(!,W = !.W 0 = ! 2
!.W 0 = 2 2 + 1
= 8 + 1
!.W 0 = 8 + 1
!,W = P
2 − 4 + 3 , ∈0 − 19, −2.
8 + 1 , ∈ 06,10 .
97)
!,W = !.W 0
Sea: W = 2 ; W = −3
! = 3 + 2

!,W = !,W + !,W
Se debe determinar el Rango de g:
Si: x < 0
2 < 0
→ W < 0
123 W =0 − ∞, 0.
Si: ≥ 1
3 ≥ 3 → −3 ≤ −3
→ W ≤ −3
123 W =0 − ∞, −30
!,W :
123 W ∩ - ! = ?
123 W ∩ - ! =0 − ∞, 0. ∩ 0 − ∞, −3.=0 − ∞, −3.
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - !,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !
- !,W = < 0 ∧ 2 < −3
< 0 ∧ < −
∈ 0 − ∞, − .
- !,W = 0 − ∞, − .
(!,W = !.W 0 = ! 2
!.W 0 = 3 2 + 2
= 6 + 2

!.W 0 = 6 + 2
!,W :
123 W ∩ - ! = ?
123 W ∩ - ! = .−∞, −3. ∩ 0 − ∞, −3.=0 − ∞, −3.
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊆ - ! → - !,W = - W
- !,W = .1, ∞ .
- !,W = .1, ∞ .
(!,W = !.W 0 = ! −3
!.W 0 = 3 −3 + 2
= 2 − 9
!.W 0 = 2 − 9
!,W = r
6 + 2 , ∈ 0 − ∞, − .
2 − 9 , ∈ .1, ∞ .
98)

!,W = !.W 0
Sean: ! = + 2 ; ! = − 1
W = ; W = 1 −
!, W = (! ,W + ! ,W + ! ,W + ! ,W
El rango de la función “g”es:
< 0 → ≥ 0
W ≥ 0
123 W = .0, ∞ .
≥ 0 → ≥ 0
− ≤ 0
1 − ≤ 1
123 W =0 − ∞, 10
! ,W :
123 W ∩ - ! = .0, ∞. ∩ 0 − ∞, 10 = .0,1.
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - ! ,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !
- ! ,W = < 0 ∧ ≤ 1
< 0 ∧ | | ≤ 1
< 0 ∧ − 1 ≤ ≤ 1
∈ .−1 ,0 .
- ! ,W = .−1 , 0 .
! .W 0 = !
= + 2

! .W 0 = + 2
! ,W :
123 W ∩ - ! =0 − ∞, 10 ∩0 − ∞, 1.= −∞, 10
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊆ - ! → - ! ,W = - W = .0, ∞ .
! .W 0 = ! 1 −
= 1 − + 2
! .W 0 = 3 −
! ,W :
123 W ∩ - ! =00, ∞ . ∩ .1, ∞.= .1, ∞.
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - ! ,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !
- ! ,W = < 0 ∧ > 1
< 0 ∧ − 1 + 1 > 0
< 0 ∧ > −1 ó > 1 Q
∈ 0 − ∞, −1.
! .W 0 = !
= − 1
! .W 0 = − 1
! ,W :
123 W ∩ - ! = .− ∞, 10 ∩01, ∞.= ∅

→ ∄ ! ,W
Finalmente:
- !,W = .−1 , 0 . s .0, ∞ .s 0 − ∞ , −1[
- W,! = 0 − ∞ , −1[ U.−1 , 0 . s .0, ∞ .
!,W = u
− 1 , ∈ 0 − ∞ , −1 .
+ 2 , ∈ .−1,0.
3 − , ∈ .0, ∞.
99)
!,W = !.W 0
Sean: ! = − 3 ; ! = 3 −
W = 3 − ; W = 5 −
!, W = (! ,W + ! ,W + ! ,W + ! ,W
≤ 1 → − ≥ −1
→ 3 − ≥ 2
W ≥2

123 W = .2, ∞ .
Si: > 1 → − < −1
5 − < 4
W < 4
123 W =0 − ∞, 4 .
! ,W :
123 W ∩ - ! = .2, ∞. ∩ 0 − ∞, 30 = .2,30
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - ! ,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !
- ! ,W = ≤ 1 ∧ 3 − ≤ 3
≤ 1 ∧ − ≤ 0
≤ 1 ∧ ≥ 0
∈ .0, 10
- ! ,W = . 0, 10
! .W 0 = ! 3 −
= 3 − − 3 3 −
! .W 0 = 9 − 6 + − 9 + 3
! .W 0 = − 3
! ,W :
123 W ∩ - ! = .2, ∞ . ∩0 − ∞, 3.= .2,3.
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - ! ,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !

X > 1 ∧ 5 − ≤ 3
> 1 ∧ − ≤ −2
> 1 ∧ ≥ 2
∈ .2, ∞ .
- ! ,W = . 2, ∞ .
! .W 0 = ! 5 −
= 5 − − 3 5 −
= 25-10 + − 15 + 3
! .W 0 = − 7 + 10
! ,W :
123 W ∩ - ! =02, ∞ . ∩ .3, ∞.= .3, ∞.
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - ! ,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !
- ! ,W = ≤ 1 ∧ 3 − > 3
≤ 1 ∧ − > 0
≤ 1 ∧ < 0
∈ 0 − ∞, 0.
! .W 0 = ! 3 −
= 3 − 3 −
= 3 − 9 + 6 −
! .W 0 = − + 6 − 6

! ,W :
123 W ∩ - ! = .− ∞, 4. ∩03, ∞.=03,4.
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - ! ,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !
- ! ,W = > 1 ∧ 5 − > 3
> 1 ∧ − > −2
> 1 ∧ < 2
∈ 01, 2.
! .W 0 = ! 5 −
= 3 − 5 −
= 3 − 25 + 10 −
! .W 0 = − + 10 − 22
Finalmente:
!,W =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ − 3 , ∈ .0,1 0
− 7 + 10 , ∈ .2, ∞.
− + 6 − 6 , ∈0 − ∞, 0.
− + 10 − 22 , ∈ 01,2.
100)

!,W = !.W 0
Sean: ! = √1 − ; ! =
W = − 4 ; W = 0
!, W = (! ,W + ! ,W + ! ,W + ! ,W
0 ≤ ≤ 4 → 0 ≤ ≤ 16
→ −4 ≤ − 4 ≤ 12
−4 ≤ W ≤ 12
123 W = .−4,120
123 W = 0
! ,W :
123 W ∩ - ! = .−4,120 ∩0 − 3,1.= .−3, −1.
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - ! ,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !
- ! ,W = 0 ≤ ≤ 4 ∧ −3 < − 4 < 1
0 ≤ ≤ 4 ∧ 1 < < 5
0 ≤ ≤ 4 ∧ 1 < < √5

∈01, √5.
- ! ,W =0 1, √5 .
! .W 0 = ! − 4
= :1 − − 4
! .W 0 = √5 −
! ,W :
123 W ∩ - ! = 0 ∩0 − 3,1. = 0Q
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊆ - ! → - ! ,W = - W
- ! ,W =04,7.
! .W 0 = ! 0
= √1 − 0
= 1
! .W 0 = 1
! ,W :
123 W ∩ - ! = .−4,120 ∩ .3,80 = .3,80
123 W ⊆ - ! = ?
123 W ⊈ - ! → - ! ,W = / ∈ - W ∧ W ∈
- !
- ! ,W = 0 ≤ ≤ 4 ∧ 3 ≤ − 4 ≤ 8
0 ≤ ≤ 4 ∧ 7 ≤ ≤ 12
0 ≤ ≤ 4 ∧ √7 ≤ ≤ √12
∈ .√7, :120

- ! ,W = .√7 , 2√30
! .W 0 = ! − 4
! .W 0 = O %
! ,W :
123 W ∩ - ! = 0 ∩ .3,80 = ∅
→ ∄ ! ,W
Finalmente:
!,W = •
√5 − , ∈01, √5 .
1 , ∈ 04,7 .
O %
, ∈ .√7, 2√3 0
101)
!∗
= !*3'@ó3 @3t>)=2
Determinar las inversas de f y de g:
! =
^
%
; ≠ 4
− 4 = 2 + 6 → − 4 = 2 + 6
− 2 = 4 + 6
− 2 = 4 + 6 → =
% ^
Intercambiando las variables x e “y”:

!∗
=
% ^
; ≠ 2
W = ; ≠ 0
2 = + 2 → 2 = + 2
2 − = 2
→ =
Intercambiando las variables x e “y”:
W∗
= ; ≠
!∗
,W = !∗.W 0
!∗.W 0 = !∗
$ &
=
4 $
2
2 − 1& + 6
2
2 − 1
− 2
!∗.W 0 =
% %
=
^
De: (!∗
,W 2 = 6
^]
]
= 6
18 a =11 → 2 =
_
Si: 3 = W∗
,! 2 +
^
7
2 +
^
7
=
_
+
^
7
=
^N
N%
W∗
,!
^N
N%
= ?
W∗
,! = W∗.! 0

W∗.! 0 = W∗
$
^
%
&
=
$
O±“˜
±º‘
&
= ‘±“—O
±º‘
=
%
% %
W∗.! 0 =
_
^
W∗
,! $
^N
N%
& =
∗
˜™
™‘
_
∗
˜™
™‘
^
=
ºœ’O
™‘
—’™¼
™‘
= −
`
`N6
102)
! = ; ≠ 2
W = ; ≠ 2
W∗
,! * = 3
De; W =
− 2 = + 3
− = 2 + 3
− 1 = 2 + 3
=
La inversa W∗
>=:
W∗
= ; ≠ 1
De; ! =
− 2 = 3

− 3 = 2
− 3 = 2
=
La inversa !∗
>=:
!∗
= ; ≠ 3
(W∗
,! = W∗
$ &
(W∗
,! =
$
œ±
±ºO
&
œ±
±ºO
=
˜±“œ±º˜
±ºO
œ±º±“O
±ºO
(W∗
,! =
6 ^
Entonces: (W∗
,! * =
6½ ^
½
De: (W∗
,! * = 3
6½ ^
½
= 3 → 9* − 6 = 6* + 6
3* = 12 ; * = 4
Se calcula: !∗
,W * + 2 = ?
* + 2 = 6
!∗
,W 6 = !∗.W 0 6
!∗.W 0 = !∗
$ & =
±“œ
±ºO
±“œ
±ºO
=
^
6

!∗.W 0 =
^
6
!∗.W 0 6 =
^ ^
6 ^
=
_
= −6
!∗
,W * + 2 = −6
103)
! = 3 + 5
W = 2 + G
! W 0 = ∀ ∈ 1
De: y = 3x+5
=
N
La inversa de f, es:
!∗
=
N
Si: W 0 = → ! 2 + G =
3(ax+b)+5 =x
32 + 5 + 3G = → B
32 = 1
5 + 3G = 0
2 = ; G = −
N
W = −
N
Se tiene que: !∗
,W = !∗.W 0 = !∗
$ −
N
&
!∗.W 0 =
—
œ
™
œ
N
=
±º™º—™
œ

!∗.W 0 =
6
− 20
]
+ 5 = + 5 =
^
(!∗
,W $
^
& =
6
$
^
− 20& =
^ ^`
7
!∗
,W $
^
& = −
%%
7
104)
! =
%]
N
!∗
3 = 22 − 36
!∗
5 = 32 + G
La inversa de f, es:
=
%]
N
→ 5 = 3 − 42
=
N %]
!∗
=
N %]
!∗
3 =
N %]
= 22 − 36
15 + 42 = 62 − 108
22 = 123 ; 2 =
!∗
5 =
N N %]
= 32 + G

25+4(a) =9 a+3b
25 − 52 = 3G
3G = 25 − 5 $ & =
N^N
Se tiene que:
2 − 3G = +
N^N
= 344
3 = !∗
2 − 3G = ?
!∗
=
N %]
=
N %^
3 = !∗
344 =
N %% %^
3 =
6^^
105)
D(f) = [1, 4]
, ∈ - ! , ! = ! → =
− 2 + 3 = − 2 + 3
− 2 = − 2
− − 2 + 2 = 0
− + − 2 − = 0
− + − 2 = 0

Si: − = 0 → =
Si: + = 2
, ∈ .1,40: ∶ = 1 ∶ = 1
+ = 2 → =
→ ! − − − − − >= @3 >'[@t2
! − − − G@ >'[@t2 → P
@3 >'[@t2
=,G)> >'[@t2
! = − 2 + 3 = − 1 + 2
Ran (f) = [a,b]
= .2, G0
De:
1 ≤ ≤ 4
0 ≤ − 1 ≤ 3
0 ≤ − 1 ≤ 9
2 ≤ − 1 ≤ 11
123 ! = .2,110
= .2,110
!; .1,40 → .2,110
106)

a) ! = 2| | −
A1. ≥ 0 → | | =
! = 2 − =
A2. X< 0 → | | = −
! − 2 − = −3
! = B
, ≥ 0
−3 , < 0
! =
, ∈ - ! , ! = ! → =
=
≥ 0 → ! ≥ 0
123 ! = .0, ∞ .
! = −3
, ∈ - ! , ! = ! → =
−3 = −3
− = −
=
< 0 → − ≥ 0
−3 ≥ 0
123 ! = .0, ∞ .
Como: 123 ~! • ∩ 123 ~! • = .0, ∞. ≠ ∅
→ ! − − − −3, >= @3 >'[@t2
a) ----------- (V)

b) W =
, ∈ - ! , ! = ! → =
—
—
= O
O
→ − 2 + − 2 = + − 2 − 2
−2 + = − 2
− + 2 — 2 = 0
3 = 3
= -------------inyectiva
Sobreyectiva:
= → − 2 = + 1
= ; ≠ 1
De: ! = ! $ &
! =
O¿“—
¿º—
O¿“—
¿º—
= =
! ≠
----------------no es sobreyectiva
c) ℎ = 2 + 3 >= @3 >'[@t2
, ∈ - ! , ! = ! → =
2 + 3 = 2 + 3
2 = 2
= − − − −@3 >'[@t2

107)
Sean las funciones inyectivas:
! = 3 − 6 + 4
W =
Se determina las funciones inversas de f y g:
= 3 − 2 + 1 + 4 − 3
= 3 − 1 + 1
3 − 1 = − 1
− 1 = − 1
− 1 = ±M → = 1 ± M
De: x> 1
− 1 > 0
3 − 1 > 0
3 − 1 + 1 > 1
123 ! = .1, ∞.
Y > 1 → = 1 + M
!∗
= 1 + M
De: =

+ = − 2
1 − = + 2
=
Intercambiando las variables:
= ; ≠ 1
Ran (g) = R-{1}
W∗
=
Se conoce que: !∗.W∗
2 0 = 2 ,
!∗.W∗ 0 = !∗
!∗.W∗ 0 = 1 + M
±“O
—º±
= 1+ M
!∗.W∗
2 0 = 1 + M
]
]
= 2
M
]
]
= 1 →
]
]
= 1
22 + 1 = 3 − 32 → 2 =
N
De: 3 = ! 5W $2 +
_
N
&8 = ! 5W $N
+
_
N
&8 = !.W 2 0
3 = ! $ & = ! 0
3 = 3(0-1 + 1

3 = 4
! 5W $2 +
_
N
&8 = 4
108)
!: → ! = , = .−1,40
! = P
5 − 3 , ∈ .−1,2.
3 − 6 + 12 , ∈ .2,40
a) f es biyectiva….?
21.
! = 5 − 3
, ∈ .−1,2 .; ! = ! → =
5 − 3 = 5 − 3
- = −
= − − − − − @3 >'[@t2
22.
! = 3 − 6 + 12
, ∈ .2,40; ! = ! → =
3 − 6 + 12 = 3 − 6 + 12
3 − 6 = 3 − 6
− 2 = − 2

− − 2 + 2 = 0
− + − 2 − = 0
− + − 2 = 0
w@: ∈ .2,40 → + − 2 ≠ 0
→ − = 0 → =
= − − − − − @3 >'[@t2
De: ∈ .−1,2. → −1 ≤ < 2
−3 ≤ 3 < 6
−6 < −3 ≤ 3
−1 < 5 − 3 ≤ 8
123 ! =0 − 1,80
Reescribiendo a : 3 − 6 + 12
3 − 6 + 12 = 3 − 2 + 1 + 12 − 3
= 3 − 1 + 9
De: ∈ .2,4. → 2 ≤ < 4
1 ≤ − 1 < 3
1 ≤ − 1 < 9
3 ≤ 3 − 1 < 27
12 ≤ 3 − 1 + 9 < 36
123 ! = .12, 36.
123 ! ∩ 123 ! = ∅

→ ! − − − − − − − >= @3 >'[@t2
b) B= ]-1, 36] …..?
Como: 123 ! = .! 2 , ! 4 . = .12,36.
]-1, 36] ≠ .12,36.
≠ 0 − 1,360 − − − − − −!2+=,
c) !∗
10 = 1 +
√
… . ?
! − − − @3 >'[@t2 → ∃ !∗
! = 5 − 3 → = 5 − 3
→ 3 = 5 −
=
N
→ =
N
!∗
=
N
------
! = 3 − 1 + 9 → = 3 − 1 + 9
3 − 1 = − 9
− 1 =
6
= 1 ±
6
≤ 36 → = 1 + M
6
!∗
= 1 + M
6
→ !∗
10 =
N `
= −
N

!∗
10 = 1 + M
` 6
= 1 +
√
→ !∗
10 ≠ 1 +
√
d) !∗
4 + !∗
21 =
`
… . ?
!∗
= •
N
, ∈ .−1,8.
1 + M
6
, ∈ .12,36.
!∗
4 =
N %
=
!∗
21 = 1 + M
6
= 1 + 2 = 3
!∗
4 + !∗
21 = + 3
!∗
4 + !∗
21 =
`
− − − − Y
109)
! =
| |
; W =
Si; x≥ 0 → | | =
! =
< 0 → | | = −

! =
! = u
, > 0
, < 0
, > 0; ! = ! → =
! =
—
—
= O
O
+ = +
= − − − − − @3 >'[@t2
! → @3 >'[@t2
, < 0; ! = ! → =
! =
—
—
= O
O
− = −
= − − − − − @3 >'[@t2
! → @3 >'[@t2
De: ! = = 1 +
x>0 → > 0
1 + > 1
123 ! = 01, ∞ .
! = = − 1

X < 0 → < 0
1 + < 1
123 ! = 0 − ∞, 1 .
123 ! ∩ 123 ! = ∅
→ ! − − − − − @3 >'[@t2
De: W =
, ∈ - W ; ! = ! → =
—
=
O
= − − − − − @3 >'[@t2
W − − − − − −@3 >'[@t2
Si:
! = ; = 1 +
− 1 = 1
= → =
La inversa de ! , >=:
!∗
= , ≠ 1
! = ; = 1 −
+ 1 = 1
= → =
La inversa de ! , >=:

!∗
= , ≠ −1
W = ; y= 1/x
=
Intercambiando las variables: =
W∗
= ; ≠ 0
!∗
= u
, ∈01, ∞ .
, ∈ 0 − ∞, −1 .
- !∗
,W∗
= ?
!∗
,W∗
= !∗
,W∗
+ !∗
,W∗
!∗
,W:
123 W∗
∩ - !∗
= ¢1 − 0Q£ ∩01, ∞.
01, ∞ .
123 W∗
⊈ - !∗
→
- !∗
,W∗
= ∈ - W ∧ W ∈ - !∗
Q
= < 0 ó > 0Q ∧ > 1
< 0 ó > 0Q ∧ > 0
< 0 ó > 0Q ∧ − 1 < 0
< 0 ó > 0Q ∧ ∈ 00,1. Q
∈ 00,1 .
- !∗
,W∗
= 00,1 .
!∗
,W:

123 W∗
∩ - !∗
= ¢1 − 0Q£ ∩0 − ∞, −1.
∈ 0 − ∞, −1 .
123 W∗
⊈ - !∗
→
- !∗
,W∗
= ∈ - W ∧ W ∈ - !∗
Q
= < 0 ó > 0Q ∧ < −1
< 0 ó > 0Q ∧ < 0
< 0 ó > 0Q ∧ + 1 < 0
< 0 ó > 0Q ∧ ∈ 0 − 1,0.Q
∈ 0 − 1 0 .
- !∗
,W∗
= 0 − 1, 0.
- !∗
,W∗
= - !∗
,W∗
+ - !∗
,W∗
- !∗
,W∗
= 00,1 . s 0 − 1, 0.
- !∗
,W∗
= 0 − 1,1 . − 0Q
110)
! = 2 + G, ∈ .−3,30, 2 <
a) ℎ = ! + !∗
=
N
+
= 2 + G → − G = 2
=
À
]
; @3[>)'2?G@23L, > :

=
À
]
→ !∗
=
À
]
De: ! + !∗
=
N
+
2 + G +
À
]
=
N
+
2 + 2G + − G =
N
2 + 2
2 + 1 + 2G − G =
N
2 + 2
→ u
2 + 1 =
N
2
2G − G = 2
2 + 1 =
N
2 → 22 − 52 + 2 = 0
2 =
N±√ N ^
%
=
N±
%
2 = 2 ; 2 =
Como: 2 > → 2 = 2
De; 2G − G = 2
G 2 − 1 = 2
G 2 − 1 = 3
G = 3
→ 2 = 2 G = 3
! = 2 + 3
b) W = | + 3| − | + 1| ; !,W = ?

< −3 ; | + 3| = − + 3
| + 1| = − + 1
W = − − 3 + + 1
W = −2
-3≤ < −1 ; | + 3| = + 3
| + 1| = − + 1
W = + 3 + + 1
W = 2 + 4
> −1 ; | + 3| = + 3
| + 1| = + 1
W = + 3 − − 1
W = 2
W = u
−2 , ∈ 0 − ∞, −3.
2 + 4 , ∈ .−3, −1.
2 , ∈ .−1, ∞ .
!,W = !,W + !,W + !,W
!, W :
123 W ∩ - f = −2Q ∩ 0 − ∞, −3.
= ∅

→ ∄ !, W
!, W :
−3 ≤ < −1
−6 ≤ 2 < −2
−2 ≤ 2 + 4 < 2
123 W = .−2,2 .
123 W ∩ - f = .−2,2.∩ .−3,30
= .−2,2 .
123 W ⊆ - !∗
→
- f, W = - W
- fÁ ÂÃ = .−3, −1.
f, W = !.W 0 = ! 2 + 4
!.W 0 = 2 2 + 4 + 3
!.W 0 = 4 + 11
!, W :
123 W ∩ - f = 2Q.∩ .−3,30
= 2Q
123 W ⊆ - !∗
→
- f, W = - W
- fÁ ÂÄ = .−1, ∞.
f, W = !.W 0 = ! 2
!.W 0 = 2 2 + 3

!.W 0 = 7
!,W = P
4 + 11 , ∈ .−3, −1.
7 , ∈ .−1, ∞ .
111)
! = u
10 − 2 , < 0
√ + 16 , 0 ≤ ≤ 3
O %
, > 3
; W = |
− − 10 − 21 . ∈ .−5, −10
| |
| |
, ∈ 01, 20
! = 10 − 2
De: , ∈ .−∞, 0 .; ! = ! → =
10 − 2 = 10 − 2
−2 = −2
= − − − −@3 >'[@t2
< 0 → 2 < 0
−2 > 0
10 − 2 > 10
123 ! = .10, ∞ .
De: , ∈ .0, 3 0; ! = ! → =
: + 16 = : + 16
| + 16| = | + 16|
+ 16 = + 16

=
= − − − −@3 >'[@t2
0 ≤ ≤ 3 → 0 ≤ ≤ 9
16 ≤ + 16 ≤ 25
4 ≤ √ + 16 ≤ 5
123 ! = .4,50
De: , ∈ 03, ∞ .; ! = ! → =
—
O %
=
O
O %
− 4 = − 4
=
= − − − −@3 >'[@t2
> 3 → > 9
− 4 > 4
O %
< 4
123 ! = .−∞, 4.
Se tiene que: 123 ! ∩ 123 ! = ∅
123 ! ∩ 123 ! = ∅
123 ! ∩ 123 ! = ∅
→ ! >= @3 >'[@t2
b)
W = u
− − 10 − 21 , ∈ .−5, −10
| − 2| − 1
| + 3|
, ∈ 01, 20

01, 2 . → | − 2| = − − 2
| + 3| = + 3
W =
| |
| |
= =
≥ 2 → | − 2| = − 2
| + 3| = + 3
W =
| |
| |
= =
W = •
− 2
− 10 − 21 . ∈ .−5, −10
, ∈ 01,2 .
, = 2
W = − − 10 − 21
, ∈ 0 − 5, −10; ! = ! → =
− − 10 − 21 = − − 10 − 21
− − 10 = − − 10
+ 10 = + 10
− +10 ( − = 0
− + + + 10 − = 0
− + + 10 = 0
+ + 10 ≠ 0

→ − = 0
= − − − −@3 >'[@t2
W =
, ∈ 01,2 .; ! = ! → =
—
—
= O
O
+ 3 − − 3 = − + 3 − 3
4 = 4
= − − − −@3 >'[@t2
W =
, = 2; ! = ! → =
—ºœ
—
= Oºœ
O
+ 3 − 3 − 9 = − 3 + 3 − 9
6 = 6
= − − − −@3 >'[@t2
Los rangos con:
123 W = .−12,40
123 W =0 −
N
, 0 .
123 W = −
N
123 W ∩ 123 W = 0 − 1/5 , 0 .
123 W ∩ 123 W ≠ ∅
----------------g (x) no es inyectiva

112) Probar que si f(x) = 4√ − , 0 ≤ ≤ 1 E,=>> !∗
,
calcule su inversa.
f(x) = 4√ − , 0 ≤ ≤ 1
, ∈ - ! ; ! = ! → =
4√ − = 4√ −
4 √ − √ − − = 0
4 √ − √ √ − √ √ + √ = 0
√ − √ 4 + √ + √ = 0
Si: 0 ≤ ≤ 1 → 4 + √ + √ ≠ 0
→ √ − √ = 0
√ = √
| | = | |
= − − − −@3 >'[@t2
113)
De: 1 <
%
%
≤ 10
1 <
%
%
∧
%
%
≤ 10
%
%
− 1 > 0 ∧
%
%
− 10 ≤ 0
−
6
%
> 0 ∧
6 ^
%
≤ 0

6
%
< 0 ∧
6 ^
%
≤ 0
4 − 2 < 0 ∧ 4 − 2 9 − 36 ≤ 0
Resolviendo las inecuaciones, se tiene:
→ < 0 ó > 2 ∧ ≤ 2 ó ≥ 4
∈ 0 − ∞, 0 0 s .4, ∞ .
= 0 − ∞, 0 0 s .4, ∞ .
114)
! = 2 + '
! ' = 2!∗
'
a) = 2 + ' → =
š
Intercambiando las variables: =
š
!∗
=
š
! ' = 2' + ' = 3'
2!∗
' = 2 $
šO š
&
→ 3' = 2 $
šO š
&
3' = 2'
š
)
3 = ' − 1
' = 4

→ ! = 2 + 4
!∗
=
%
! 0 . !∗
0 = 2.0 + 4 . $
` %
&
= 4 −2 = −8
! 0 . !∗
0 = −8
b)

∗ = ?

∗ =
. %
—º‘
O
=
^
ºœ
O
= −4

∗ = -4
115)
a) ! = ; ≠ 2
! = 2 +
N
- ! = 1 − 2Q
= 0 − ∞, 2 . s 02, ∞ .
De: < 2 ó > 2
− 2 < 0 ó − 2 > 0
< 0 ó > 0
N
< 0 ó
N
> 0

2+
N
< 2 ó 2 +
N
> 2
! < 2 ó ! > 2
123 ! = 0 − ∞, 2 . s 02, ∞ .
b) ! =
, ∈ - ! ; ! = ! → =
—
—
= O
O
2 − 4 + − 2 = 2 + − 4 − 2
−4 + = − 4
5 = 5
= ---------------inyectiva
De; =
− 2 = 2 + 1
− 2 = 2 + 1
= ;
@3[>)'2?G@23L, +2= t2)@2G+>=: =
2 + 1
− 2
!∗
=
116
a)
Si, < → ! > !

< → ! > !
ℎ − − − − − − − L>')>'@>3[>
Si: x >0
< → ! > !
ℎ − − − − − − − L>')>'@>3[>
→ ℎ − − − − − − − −L>')>'@>3[>
G de las gráficas se aprecia que la función es inyectiva, por
tanto existe la inversa:

ℎ = − 2 + 2
ℎ = − 2 + 1 + 1
ℎ = − 1 + 1
= − 1 + 1
123 ~ℎ • = . ! 0 , ∞ .
123 ~ℎ • = .2, ∞ .
− 1 = − 1
x-1 = ± : − 1
= 1 ± : − 1
= 1 + √ − 1
ℎ∗
= 1 − √ − 1
ℎ = −3 − 6 + 2
ℎ = −3 + 2 + 1 + 5
ℎ = 5 − 3 + 1
= 5 − 3 + 1
123 ~ℎ • =0 − ∞ , ! 0 .
123 ~ℎ • =0 − ∞, 2 .
3 + 1 = 5 −
+ 1 =
N
→ + 1 = ± M
N
= ± M
N
− 1
Intercambiando la variable:
= ± M
N
− 1
Y < 2 → = M
N
− 1

ℎ∗
= u
1 − √ − 1 , ∈ .2, ∞ .
M
N
− 1 , ∈ 0 − ∞, 2 .
117
! = | |
| | = B
, ≥ 0
− , < 0
Si, x≥ 0 ∶ | | =
! =
< 0 | | = −
! =

! = u
, .0,1 .
, 0 − 1,0 .
! =
, ∈ - ! ; ! = ! → =
—
=
O
→ 1 − = 1 −
= − − − −@3 >'[@t2
! =
, ∈ - ! ; ! = ! → =
—
=
O
→ 1 + = 1 +
= − − − −@3 >'[@t2
Se analiza los rangos de ! ! ,ÅÆ {ÇÅÇ È½Æ ÉÆ] ∅
0 ≤ < 1
−1 ≤ − < 0
0 ≤ 1 − < 1
> 1
123 (! = 01, ∞ .
DE; −1 < < 0
0 ≤ + 1 < 1
1 <
123 (! = 01, ∞ .

123 (! ∩ 123 (! ≠ ∅
→ 3, => [@>3> @3t>)=2
118)
Se debe demostrar que son inyectivas cada una
de las funciones que forman parte de f(x);
Graficar las funciones y analizar sus rangos, se verá que es
inyectiva,
! = − − 2
! = 2 + √3 + 2 −

123 ! ∩ 123 ! = ∅
! − − − @3 >'[@t2
! −3 = −9 + 6 = −3
! −1 = −1 + 2 = 1
123 ! = .−3, 1.
! −1 = 2 + √3 − 2 − 1 = 2
! −1 = 2 + √3 + 2 − 1 = 4
123 ! = .2, 40
! = − − 2
= − + 2 + 1 + 1
1 − = + 1 ; x∈ .−3, −1. , se toma
+2 )2@J2 3>W2[@t2 L> 1−y)
+ 1 = ± :1 −
= ± :1 − − 1
Intercambiando variables:
= ± √1 − − 1
!∗
= −√1 − − 1

! = 2 + :3 + 2 −
= 2 + :− − 2 + 1 + 4
− 2 = :4 − − 1
− 2 = 4 − − 1
− 1 = 4 − − 2
− 1 = ±:4 − − 2 ; x∈ .−1,10, se
toma la raíz negativa de (4 − − 2 :
= 1 ± :4 − − 2
= 1 ± :4 − − 2
!∗
= 1 − :4 − − 2
!∗
= r
−√1 − − 1 , ∈ .−3, 1.
1 − :4 − − 2 , ∈ .2,40
w> L>G> ',3=@L>)2) K*>:
!: →
!∗
: →

119
!: → .−9, −1. ; ! =
%
2 =?
−9 ≤
%
< −1
→ −9 ≤
%
∧
%
< −1
→ 0 ≤ 9 +
%
∧
%
+ 1 < 0
7 6 %
≥ 0 ∧
%
< 0
` N
≥ 0 ∧
^
< 0
^
≥ 0 ∧ < 0
6 − 3 − ≥ 0 ∧ 2 + 3 − < 0
≤ 3 ó ≥ 6Q ∧ { x <-2 ó x > 3 }
∈ 0 − ∞, −20 s .6, ∞ .
G
, ∈ - ! ; ! = ! → =
% —
—
=
% O
O
9 − 3 + 12 − 4 = 9 + 12 − 3 − 4
3 − 3 + 12 − 12 = 0
= − − − −@3 >'[@t2

c)
Sobreyectiva:
=
%
→ 3 − = 3 + 4
3 − 3 = 4 +
=
%
De: ! = !
%
)
! =
%$
œ¿ºœ
¿“‘
&
œ¿ºœ
¿“‘
%
=
% _
=
N
7 N
! ≠
----------------no es sobreyectiva
120)
Univalente → @3 >'[@t2
! = 12 − 4 +
= − 4 + 4 + 6 − 2
! = − 2 + 4
El rango de f es:
0≤ < 1 ó 2 ≤ ≤ 3
−2 ≤ − 2 < −1 ó 0 ≤ − 2 ≤ 1

1 < − 2 ≤ 4 ó 0 ≤ − 2 ≤ 1
< − 2 ≤ 2 ó 0 ≤ − 2 ≤
4+ < 4 + − 2 ≤ 6 ó 4 ≤ 4 + − 2 ≤ + 4
6
< 4 + − 2 ≤ 6 ó 4 ≤ 4 + − 2 ≤
6
Ran (f) = 0
6
, 60 s .4,
6
0
123 ! = .4,60
De:
, ∈ - ! ; ! = ! → =
− 2 + 4 = − 2 + 4
− 2 = − 2
: − 2 = : − 2
| − 2| = | − 2|
− 2 = − 2
= − − − −@3 >'[@t2
De: = − 2 + 4
2 = − 2 + 8
2y-8 = − 2
− 2 = ±:2 − 8
= 2 ± :2 − 8
= 2 ± √2 − 8
Si: ∈ 0
6
, 60
!∗
= 2 − √2 − 8

Si : ∈ .4,
6
.
!∗
= 2 + √2 − 8
! = u
2 + √2 − 8 , ∈ .4,
6
.
2 − √2 − 8 , ∈ 0
6
, 60
121
! = + 1
! = √ + 2
! = + 1
De:
, ∈ - ! ; ! = ! → =
+ 1 = + 1
=
= − − − @3 >'[@t2

! = √ + 2
De:
, ∈ - ! ; ! = ! → =
: + 2 = : + 2
| + 2| = | + 2|
+ 2 = + 2
= − − − @3 >'[@t2
123 ! =03,90
123 ! = .0,20
123 ! ∩ 123 ! = ∅
→ ! − − − − − @3 >'[@t2
De: = + 1 → 2 = + 2
= 2 − 2 ; ∈ .−4, −2.
< 0 → = −:2 − 2
= − √2 − 2
!∗
= −√2 − 2

! = √ + 2
= √ + 2 ; + 2 =
= − 2
= − 2
!∗
= − 2
!∗
= r
−√2 − 2 , ∈ 03,90
− 2 , ∈ .0,20
122)
! = 4 −
! =
O
De:

, ∈ - ! ; ! = ! → =
4 − = 4 −
− − 4 − = 0
( − + − 4 − = 0
( − + − 4 = 0
∈ 0 − ∞, 2. → + − 4 ≠ 0
( − = 0
= − − − −@3 >'[@t2
, ∈ - ! ; ! = ! → =
—
O
—
= O
O
O
− 2 = − 2
− − 2 − = 0
− − 2 − + = 0
− − 2 − 2 = 0
∈ 02, 4 . → ≠ 2 +
− = 0
= − − − −@3 >'[@t2
Los rangos de f1 y f2 son:
123 ! = 0 − ∞, 4.
123 ! = 0 8, ∞.

123 ! ∩ 123 ! = ∅
→ ! − − − −@3 >'[@t2
! = 4 −
= − − 4 + 4 + 4
= 4 − − 2
− 2 = 4 −
x-2 < 0 → [,?2) +2 )2íJ 3>W2[@t2 L> 4 −
− 2 = −:4 −
= 2 − :4 −
= 2 − √4 −
!∗
= 2 − √4 −
! =
− 2
=
O
− 2 =
− +
%
=
%
− 2
− =
%
− 2

− = ±M
%
− 2
= ± M
%
− 2
= − M
%
− 2
!∗
= − M
%
− 2
!∗
= u
2 − √4 − , < 4
− M
%
− 2 , > 8
123)
! = + 2 + 2

! = + 4
Realizando las gráficas de f1 y f2 y al trazar respectivamente una
recta paralela al eje x, se observa que se corta en un solo punto,
esto implica que son inyectivas
123 ! ∩ 123 ! = ∅
! = + 2 + 2
= + 2 + 1 + 1
− 1 = + 1
+ 1 = − 1
≥ 1 → + 1 > 0 − − − [,?2) +2 )2íJ E,=@[@t2 L>
y-1
+ 1 = : − 1
= : − 1 − 1
= √ − 1 − 1
!∗
= √ − 1 − 1
! = + 4
= + 4

= − 4
= : − 4
œ
= √ − 4
œ
!∗
= √ − 4
œ
!∗
= r
√ − 1 − 1 , ≥ 5
√ − 4
œ
, < 5
124)
! = − 1
! = + 1
W = 2 − 1
W = √
Verificar si g(x) es inyectiva:

, ∈ - W ; W = W → =
2 − 1 = 2 − 1
2 = 2
= − − − @3 >'[@t2
, ∈ - W ; W = W → =
√ = √
√ = √
| | = | |
= − − − @3 >'[@t2
Los rangos de las funciones g, son:
123 W = 0 − ∞, −1.
123 W = 00, ∞.
123 W ∩ 123 W = ∅
→ W − − − −@3 >'[@t2
W = 2 − 1 → = 2 − 1
=
Cambiando las variables:

=
W∗
= + 1
W = √ → = √
=
Cambiando variables: =
W∗
=
W∗
= r
, < −1
, ≥ 0
Grafica de g y g*
!,W∗
= ! ,W∗
+ ! ,W∗
+ ! ,W∗
+ ! ,W∗
123 W∗
=0 − ∞, 0 .
123 W∗
= .0, ∞ .
! ,W∗
:
123 W∗
∩ - ! =[- ∞, 0 .∩ 0 − ∞, −1. =0 − ∞, −1.
123 W∗
⋢ - ! → - ! ,W∗
=
= / ∈ - W∗
∧ W∗
Ë - ! }

< 0 ∧ < −1
< 0 ∧ + 1 < −2
< 0 ∧ < −3
∈ 0 − ∞, −3.
- ! ,W∗
= 0 − ∞, −3.
! .W∗ 0 = ! $ &
= $ & − 1 =
%
+ −
%
! .W∗ 0 = $ + − &
! ,W∗
:
123 W∗
∩ - ! =[ 0, ∞ .∩ 0 − ∞, −1.= ∅
→ ∄ ! ,W∗
! ,W∗
:
123 W∗
∩ - ! =] −∞, 0 . ∩ .−1, ∞.= .−1,0.
123 W∗
⋢ - ! → - ! ,W∗
=
= / ∈ - W∗
∧ W∗
Ë - ! }
< 0 ∧ ≥ −1
< 0 ∧ + 1 ≥ −2
< 0 ∧ ≥ −3
∈ .−3,0.
- ! ,W∗
= . −3,0.
! .W∗ 0 = ! $ &

= + 1 =
! .W∗ 0 =
! ,W∗
:
123 W∗
∩ - ! =[0, ∞ . ∩ .−1, ∞.=[0,∞.
123 W∗
⋢ - ! → - ! ,W∗
=
= / ∈ - W∗
∧ W∗
Ë - ! }
≥ 0 ∧ ≥ −1
≥ 0 ∧ + 1 ≥ 0
≥ 0 ∧ ∈ 1
∈ .0, ∞ .
- ! ,W∗
= .0, ∞.
! .W∗ 0 = !
= + 1
! .W∗ 0 = + 1
!,W∗
=
⎩
⎨
⎧ $ + − & , < −3
, ∈ .−3,0.
+ 1 , ∈ .0, ∞ .

Algebra de funciones

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Algebra de funciones

Similar to Algebra de funciones (20)

More from Widmar Aguilar Gonzalez

More from Widmar Aguilar Gonzalez (20)

Algebra de funciones