Comparación de fracciones
Comparar fracciones implica determinar cuál es mayor, cuál es menor o si son fracciones iguales. Esto se realiza considerando el valor relativo de las fracciones en función de sus numeradores y denominadores.
Comparación de fracciones con igual denominador
Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, pero diferentes numeradores, el proceso de comparación es simple, ya que solo se deben comparar los numeradores. El denominador es constante y representa siempre el mismo número de partes iguales.
A continuación, veamos un criterio de comparación que nos permitirá comparar fracciones con igual denominador.
Criterio de comparación de fracciones con igual denominador
El criterio de comparación de fracciones con igual denominador se basa en comparar los numeradores de las fracciones para determinar cuál es mayor o menor.
Dadas dos fracciones positivas con el mismo denominador \(d\): \[\frac{a}{d}\text{ y }\frac{b}{d}\] Se cumple que:
- Si \(a>b\), entonces \[\frac{a}{d}>\frac{b}{d}\] Es decir, es mayor la fracción que tiene mayor numerador.
- Si \(a<b\), entonces \[\frac{a}{d}<\frac{b}{d}\] Es decir, es menor la fracción que tiene menor numerador.
- Si \(a=b\), entonces las fracciones son iguales.
Este criterio se aplica porque cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, el tamaño de la fracción depende únicamente del numerador. Un numerador más grande indica una fracción más grande, mientras que un numerador más pequeño indica una fracción más pequeña.
Una manera intuitiva de comprender este criterio consiste en pensar que no es lo mismo comer 2 rebanadas de una pizza que ha sido dividida en 8 partes iguales, que comer 5 rebanadas de la misma pizza. Esto se debe a que 5 porciones del mismo tamaño son mucho más que 2 porciones del mismo tamaño.
Ejemplo 1. Compara las siguientes fracciones con igual denominador: \[\frac{3}{5}\text{ y }\frac{2}{5}\]
Solución: Observa que ambas fracciones tienen el mismo denominador (5), por lo tanto, será mayor la que tenga el mayor numerador. Dado que 3 es mayor que 2, entonces \(3/5\) es mayor que \(2/5\), es decir: \[\frac{3}{5}>\frac{2}{5}\]
Esta relación se puede observar con mayor claridad en la siguiente imagen.
Como la fracción \(3/5\) es una fracción propia, indica que un entero ha sido dividido en 5 partes iguales, de las cuales se están tomando 3, mientras que la fracción \(2/5\), también fracción propia, indica que un entero ha sido dividido en 5 partes iguales, de las cuales se están tomando solo 2, es decir, se está tomando una cantidad menor que con la fracción \(3/5\).
Ejemplo 2. ¿Cuál de las siguientes dos fracciones con igual denominador es mayor? \[\frac{13}{7}\text{ y }\frac{8}{7}\]
Solución: Para determinar cuál fracción es mayor, primero observamos que se trata de fracciones homogéneas, es decir, fracciones con el mismo denominador. Según el criterio de comparación de fracciones con igual denominador, la fracción con el mayor numerador es mayor, mientras que la fracción con el menor numerador es menor.
Por lo tanto, para determinar cuál es mayor, simplemente nos fijamos en el valor del numerador. Dado que 13 es mayor que 8, entonces la fracción \(13/7\) es mayor que \(8/7\), es decir: \[\frac{13}{7}>\frac{8}{7}\]
Comparación de fracciones con igual numerador
Cuando las fracciones tienen el mismo numerador, pero diferentes denominadores, el proceso de comparación implica analizar los valores de los denominadores.
A continuación, veremos un criterio de comparación que nos permitirá comparar fracciones con igual numerador.
Criterio de comparación de fracciones con igual numerador
El criterio de comparación de fracciones con igual numerador se basa en comparar los denominadores de las fracciones para determinar cuál es mayor o menor.
Dadas dos fracciones positivas con el mismo numerador \(a\): \[\frac{a}{b}\text{ y }\frac{a}{c}\] Se cumple que:
- Si \(b>c\), entonces \[\frac{a}{b}<\frac{a}{c}\] Es decir, es menor la fracción que tiene mayor denominador.
- Si \(b<c\), entonces \[\frac{a}{b}>\frac{a}{c}\] Es decir, es mayor la fracción que tiene menor denominador.
- Si \(b=c\), entonces las fracciones son iguales.
Este criterio se aplica porque cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, el tamaño de la fracción depende únicamente del denominador. Un denominador más grande implica una fracción más pequeña, mientras que un denominador más pequeño implica una fracción más grande.
Una manera intuitiva de comprender este criterio consiste en pensar que no es lo mismo comer 2 rebanadas de una tarta que ha sido dividida en 3 partes iguales, que comer las mismas 2 rebanadas, pero de una tarta que ha sido dividida en 11 partes iguales. Esto se debe a que, al tener más divisiones de la tarta, las porciones se hacen cada vez más pequeñas.
Ejemplo 3. Compara las siguientes fracciones con igual numerador: \[\frac{4}{7}\text{ y }\frac{4}{13}\]
Solución: Observa que, como ambas fracciones tienen el mismo numerador (4), entonces será mayor aquella fracción que tenga el menor denominador. Dado que 7 es menor que 13, entonces \(4/7\) es mayor que \(4/13\), es decir, \[\frac{4}{7}>\frac{4}{13}\]
La relación entre estas fracciones se puede apreciar con mayor claridad en la siguiente imagen.
La fracción \(4/7\), al ser una fracción propia, indica que un entero ha sido dividido en 7 partes iguales, de las cuales se están tomando 4. La fracción \(4/13\), también una fracción propia, indica que un entero ha sido dividido en 13 partes iguales, de las cuales también se están tomando 4. Como se están tomando siempre las mismas 4 partes de las divisiones, entonces tendremos más cuando el entero se haya dividido en menos partes.
Ejemplo 4. ¿Cuál de las siguientes dos fracciones con igual numerador es mayor? \[\frac{2}{17}\text{ y }\frac{2}{8}\]
Solución: Para determinar qué fracción es mayor entre dos fracciones con el mismo numerador, aplicamos el criterio de comparación de fracciones con el mismo numerador, el cual establece que la fracción con el menor denominador es mayor y la fracción con el mayor denominador es menor.
Por lo tanto, para determinar cuál es mayor, simplemente debemos fijarnos en el valor del denominador. Dado que 8 es menor que 17, entonces la fracción \(2/8\) es mayor que \(2/17\), es decir: \[\frac{2}{8}>\frac{2}{17}\]
Comparación de fracciones con diferente numerador y denominador
El procedimiento para comparar fracciones con diferente numerador y denominador consiste en primero convertir las fracciones en fracciones equivalentes con el mismo denominador, es decir, convertirlas a un mínimo común denominador. Luego, comparar las fracciones equivalentes aplicando el criterio de comparación de fracciones con igual denominador.
Para reducir fracciones a un denominador común, sigue los siguientes pasos:
- Paso 1. Determina el mínimo común denominador de las fracciones, es decir, encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores. Este valor será el nuevo denominador de las fracciones.
- Paso 2. Divide el mínimo común denominador entre el denominador de la fracción original y multiplica el cociente por el numerador de la fracción correspondiente. El valor resultante será el nuevo numerador de la fracción equivalente.
El procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo de dos números consiste en descomponer cada número en el producto de sus factores primos, luego elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, y finalmente multiplicar estas potencias.
Ejemplo 5. Compara las siguientes fracciones con diferente numerador y denominador: \[\frac{3}{5}\text{ y }\frac{7}{10}\]
Solución: Para comparar fracciones con diferente numerador y denominador, primero convertimos las fracciones a fracciones equivalentes con el mismo denominador, es decir, a un denominador común, y luego aplicamos el criterio de comparación de fracciones con igual denominador.
Paso 1. Para encontrar el denominador común hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Es decir, debemos calcular \(\text{mcm}(5, 10)\).
Para hallar este mínimo común múltiplo, primero descomponemos cada número en el producto de sus factores primos. Para 5, el único factor primo es 5, mientras que para 10 los factores primos son 2 y 5.
El mcm se obtiene al multiplicar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, que son, en este caso, 2 y 5. Por lo tanto: \[\begin{aligned}\text{mcm}(5, 10)&=2\cdot 5\\&=10\end{aligned}\] Este será el nuevo denominador común de las fracciones.
Paso 2. Ahora, debemos encontrar las fracciones equivalentes con denominador común:
Para la fracción \(3/5\), dividimos 10 (el nuevo denominador) entre 5 (el denominador original) y multiplicamos el resultado por el numerador 3, obteniendo así 6. Por lo tanto, la fracción equivalente es \(6/10\), es decir: \[\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\]
Para la fracción \(7/10\), como ya tiene el denominador común, no necesitamos cambiarla.
Ahora que ambas fracciones tienen el mismo denominador, podemos compararlas directamente mediante el criterio de comparación de fracciones con igual denominador.
Observa que, como 7 es mayor que 6, entonces la fracción \(7/10\) es mayor que la fracción \(6/10\), es decir: \[\frac{7}{10}>\frac{6}{10}\] Al sustituir estas relaciones con las fracciones originales, concluimos que la fracción \(7/10\) es mayor que la fracción \(3/5\), es decir: \[\frac{7}{10}>\frac{3}{5}\]
Ejemplo 6. ¿Cuál de las siguientes dos fracciones con diferente numerador y denominador es mayor? \[\frac{3}{25}\text{ y }\frac{11}{40}\]
Solución: Para determinar cuál fracción es mayor entre dos fracciones con diferente numerador y denominador, primero debemos convertir las fracciones a un denominador común y luego aplicar el criterio de comparación de fracciones con igual denominador. Este criterio establece que la fracción con el mayor numerador es mayor y la fracción con el menor numerador es menor.
Para obtener un denominador común, reducimos las fracciones \(3/25\) y \(11/40\) a un mínimo común denominador, lo que nos da \(24/200\) y \(55/200\) respectivamente.
Ahora que tenemos fracciones con el mismo denominador, aplicamos el criterio de comparación de fracciones con igual denominador. Observa que, como 55 es mayor que 24, entonces la fracción \(55/200\) es mayor que la fracción \(24/200\), es decir: \[\frac{55}{200}>\frac{24}{200}\]
Reemplazando esta relación con las fracciones originales, obtenemos que la fracción \(11/40\) es mayor que la fracción \(3/25\), es decir: \[\frac{11}{40}>\frac{3}{25}\]
Comparación de fracciones mediante su valor decimal
El método de comparación de fracciones mediante su valor decimal consiste en convertir cada fracción en un número decimal y luego comparar los valores decimales resultantes para determinar cuál fracción es mayor o menor.
Ejemplo 7. Determina cuál de las siguientes dos fracciones es mayor. \[\frac{3}{5}\text{ y }\frac{7}{8}\]
Para determinar cuál fracción es mayor mediante el método del valor decimal, primero convertimos las fracciones a decimales, es decir, realizamos las divisiones: \[\begin{aligned}\frac{3}{5}&=3\div 5=0.6\\\frac{7}{8}&=7\div 8=0.875\end{aligned}\]
Ahora comparamos estos valores decimales: Como 0.875 es mayor que 0.6, entonces concluimos que la fracción \(7/8\) es mayor que la fracción \(3/5\), es decir: \[\frac{7}{8}>\frac{3}{5}\]
Comparar fracciones mediante su valor decimal es una forma conveniente y rápida para determinar cuál fracción es mayor o menor, ya que este método se aplica en general a todo tipo de fracciones. Sin embargo, debes tener en cuenta que algunas fracciones pueden dar lugar a decimales infinitos o periódicos. En tales casos, es necesario redondear los decimales para comparar las fracciones. La desventaja de este método es que se debe realizar la división manualmente o mediante una calculadora.
Preguntas frecuentes sobre comparación de fracciones
¿Cómo saber cuándo una fracción es mayor o menor que otra? Para determinar si una fracción es mayor, menor o igual que otra, se aplican los criterios de comparación para comparar las fracciones. Si las fracciones tienen el mismo denominador, se aplica el criterio de comparación de fracciones con igual denominador. Si las fracciones tienen el mismo numerador, se aplica el criterio de comparación de fracciones con igual numerador. En el caso de que las fracciones tengan diferente numerador y denominador, se convierten las fracciones en equivalentes con el mismo denominador (denominador común) y luego se aplica el criterio de comparación de fracciones con igual denominador.
¿Cómo se realiza la comparación de fracciones? De acuerdo con los criterios de comparación de fracciones:
- Si dos fracciones positivas tienen el mismo denominador, entonces es mayor la que tenga el mayor numerador.
- Si dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, entonces es mayor la que tenga menor denominador.
- Si dos fracciones positivas tienen diferente numerador y denominador, se procede a convertir las fracciones a un denominador común y la fracción mayor será aquella que tenga el mayor numerador.
¿Cómo se comparan las fracciones? Para comparar fracciones, primero se identifican los tipos de fracciones. Estos pueden ser fracciones con igual denominador, fracciones con igual numerador y fracciones con diferente numerador y denominador. Luego, se aplican los criterios de comparación de fracciones.
¿Cómo se comparan fracciones con el mismo denominador? Para comparar fracciones con el mismo denominador, simplemente se deben comparar los numeradores. La fracción con el numerador más grande es la mayor, y la fracción con el numerador más pequeño es la menor.
¿Cómo se comparan fracciones con el mismo numerador? Para comparar fracciones con el mismo numerador, se deben analizar los denominadores. La fracción con el denominador más pequeño es la mayor, mientras que la fracción con el denominador más grande es la menor.
¿Cómo se comparan fracciones con diferente numerador y denominador? Para comparar fracciones con diferente numerador y denominador, se deben convertir las fracciones al mínimo común denominador y luego analizar los numeradores. La fracción con el numerador más grande es la mayor, mientras que la fracción con el numerador más pequeño es la menor.