Representación de grafos: matriz de adyacencia dirigida

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS ÁLGEBRA LINEAL PARCIAL 1 TALLER Nro. 1 TEMA: Representación de grafos: matriz de adyacencia dirigida Grupo N°: 9 Nombres: Mesa Omar; Cubiña Bryan.; Tapia Alexander; NRC: 2882 Fecha: viernes 8 de enero 2021

ÁLGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

INDICE 1. Introducción……………………………………………. 2 2. Objetivos……………………………………………….. 2

3. Desarrollo………………………………………………. 2 3.1. Grafo……………………………………………… 2 3.2. Matriz de adyacencia……………………………... 3 3.3. Construcción del grafo……………………………. 4 3.4. Calculo del determinante por menores……………. 5 4. Enlace a Issuu…………………………………………... 5

5. Bibliografía (Normas APA)……………………………. 6

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TEMA: Representación de grafos: matriz de adyacencia dirigida 1. INTRODUCCIÓN En matemáticas y en ciencias de la computación, la teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados que pueden ser orientados o no. Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).

2. OBJETIVOS: •

Definir conceptos de grafos dirigidos y matrices adyacentes

•

Realizar un grafo dirigido y su respectiva matriz adyacente

•

Calcular la determinante resultante de la matriz adyacente por método de menores

3. DESARROLLO 3.1. Grafo El origen de la palabra grafo es griego y su significado etimológico es "trazar". Aparece con gran frecuencia como respuesta a problemas de la vida cotidiana, algunos ejemplos podrían ser los siguientes: un gráfico de una serie de tareas a realizar indicando su secuenciación (un organigrama),grafos matemáticos que representan las relaciones binarias, una red de carreteras, la red de enlaces ferroviarios o aéreos o la red eléctrica de una ciudad.En cada caso, es conveniente representar gráficamente el problema dibujando un grafo como un conjunto de puntos(vértices) con líneas conectándolos (arcos). De aquí se podría deducir que un grafo es básicamente un objeto geométrico, aunque en realidad sea un objeto combinatorio, es decir, un conjunto de puntos y un conjunto de líneas tomado de entre el conjunto de líneas que une cada par de vértices. Por otro lado, y debido a su generalidad y a la gran diversidad de formas que pueden usarse, resulta complejo tratar con todas las ideas relacionadas con un grafo. Para facilitar el estudio de este tipo de dato, a continuación, se realizará un estudio de la teoría de grafos desde el punto de vista de las ciencias de la computación. Considerando que dicha

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teorĂ­a es compleja y amplia, aquĂ­ sĂłlo se realizarĂĄ una introducciĂłn a la misma, describiĂŠndose el grafo como un tipo de dato y mostrĂĄndose los problemas tĂ­picos y los algoritmos que permiten solucionarlos usando un ordenador. Los grafos son estructuras de datos no lineales que tienen una naturaleza generalmente dinĂĄmica. Su estudio podrĂ­a dividirse en dos grandes bloques: Grafos Dirigidos. Los constituye la red de aguas de una ciudad ya que cada tuberĂ­a sĂłlo admite que el agua la recorra en un Ăşnico sentido. Grafos no Dirigidos (pueden ser considerados un caso particular de los anteriores). Por el contrario, la red de carreteras de un paĂ­s representa en general un grafo no dirigido, puesto que una misma carretera puede ser recorrida en ambos sentidos. 3.2.Matriz de adyacencia Todo grafo simple se puede representar en una matriz de adyacencia la cual no es mĂĄs que una matriz cuadrada de n filas por n columnas donde n viene siendo el nĂşmero de vĂŠrtices del grafo. Dicha matriz es booleana y representa la conexiĂłn entre pares de vĂŠrtices, Si un grafo es simple entonces la matriz adyacente solo estĂĄ compuesta por 0 y 1 (matriz binaria). Al construir una matriz de adyacencia, todo elemento de đ?‘Žđ?‘–đ?‘— tiene el valor de 1 cuando exista una arista que una los vĂŠrtices i y j. Si fuera el caso contrario el elemento đ?‘Žđ?‘–đ?‘— vale 0

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3.3.Construcción del grafo: Sea 𝐺 = (𝑉, 𝐸), 𝑐𝑜𝑛|𝑉 | = 𝑛 Llamamos matriz de adyacencia de 𝐺 a la matriz 𝑛 𝑋 𝑛, 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑗 = {

1 𝑠𝑖 (𝑉𝑖 , 𝑉𝑗 ) ∈ 𝐸 0 𝑠𝑖 (𝑉𝑖 , 𝑉𝑗 ) ∉ 𝐸

𝑉 = {𝑉1 , 𝑉2 , 𝑉3 , 𝑉4 , 𝑉5 } 𝐸 = {(𝑉1 , 𝑉2 ), (𝑉1, 𝑉3 ), (𝑉1 , 𝑉5 ), (𝑉3 , 𝑉2 ), (𝑉4 , 𝑉2 ), (𝑉4 , 𝑉1), (𝑉5 , 𝑉4 ), (𝑉5 , 𝑉5 )} 𝑃𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 0 0 𝐴= 0 1 (0

1 0 1 1 0

1 0 0 1 0

0 0 0 0 1

1 0 0 0 1)

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3.4.CĂĄlculo de determinante por menores

0 0 |đ??´| = ||0 1 0

1 0 1 1 0

1 0 0 1 0

0 0 0 0 1

1 0 0|| 0 1

+ − + − (+

− + − + −

+ − + − +

− + − + −

+ − + − +)

En esta fila existe un nĂşmero distinto de 0, por esa razĂłn solo existe una subdivisiĂłn de menores + − + − 1 1 0 1 + − + 0 0 0 0 | (− −1 = | + − + −) 1 0 0 0 − + − + 0 0 1 1 Subdividiendo esta matriz de orden 4x4 a una matriz de orden 3x3 se obtiene 0 0 −1 [−1 (1 0 0 1

0 0)] 1

Resolviendo la matriz de orden 3x3 se obtiene 0 0 |1 0 0 1

0 0| = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0) = 0 1

Resultado de la matriz adyacente −1[−1(0)] = 0 TambiĂŠn se puede deducir el determinante de la matriz de adyacencia dado que la segunda fila tiene por elementos el 0, por lo que se puede inferir que el determinante va a ser 0. 4. ENLACE AL ISSUU https://issuu.com/bryancubina/docs/taller_parcial_1_grupo_9

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5. BIBLIOGRAFÍA García, M. (s.f.). Universidad Tecnológica de la Mizteca. Obtenido de: http://www.utm.mx/~mgarcia/ED4(Grafos).pdf Universitat Politècnica de València. (2011, 21 septiembre). Representación de grafos. Matriz de adyacencia | 3/42 | UPV [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=cNAkUZaiDo4 Valdivia, J., Lopez, E., Garcia, A., & Martin, A. (2000, 15 agosto). GRAFOS. https://decsai.ugr.es/. https://decsai.ugr.es/%7Ejfv/ed1/tedi/cdrom/docs/grafos.

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