Lógica proposicional

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA- ÁREA DE ÁLGEBRA
MARACAY-EDO ARAGUA
INTRODUCCIÓN AL
ÁLGEBRA
Prof. Yerikson Suárez H.
Abril, 2013 P.A 2013-102/06/2013
1

1. Proposición. Definición y
ejemplos.
Veamos las definiciones dadas por algunos
autores
“Una proposición es una expresión de la cual se
puede decir siempre si es verdadera o es falsa”
(Zegarra, s/f)
“Una proposición es una oración gramatical
que es verdadera o es falsa, pero no ambas
cosas a la vez” (González, 2005)
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Una proposición es una afirmación de la que podemos
decir, sin ambigüedad, si es verdadera o falsa. Las
proposiciones corresponden a las oraciones
declarativas del lenguaje español. (Uzcategui, 2006)
Una proposición es cualquier expresión
declarativa sobre la cual se puede
establecer si es verdadera o falsa, pero
nunca ambas cosas a la vez.
Nota: existen, además de las expresiones declarativas o enunciativas;
expresiones de tipo imperativas, dubitativas, desiderativas, exclamativas,
entre otras.
Entonces podemos decir que:
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Veamos algunos ejemplos de
proposiciones:
(a) García Márquez escribió Cien años de soledad.
(b) 6 es un número primo.
(c) 3+2=6
(d) 1 es un número entero, pero 2 no lo es.
(e) Mérida es el nombre de una ciudad andina.
(f) Mozart fue un reconocido músico colombiano
(g) Es falso que 17 no es un número primo
(h) La solución de 2x - 3 = 1 es 2
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Las siguientes oraciones NO son
proposiciones:
(a) El que persevera vence.
(b) Que interesante el libro que me prestaste.
(c) La película fue muy divertida
(d) ¿Qué hora es?.
(e) ¡ Despiértense ¡.
(f) Buenas tardes
(g) Los hombres son fieles
(h) El que a buen árbol se arrima buena sombra lo cobija
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Notación. Por costumbre a las proposiciones las
denotaremos mediante las letras: p, q, r, s,….
Valor de verdad de una proposición. Si la
proposición es verdadera se dice que su valor de
verdad es VERDADERO y se utiliza el símbolo V
o 1. En cambio, si la proposición es falsa se dice
que su valor de verdad es FALSO y se utiliza el
símbolo F o 0
Ejemplos: Consideremos las siguientes proposiciones y su
valores de verdad
p: 360 es divisible por 5 V(p)= V ó V(p)= 1
q: e es un número racional V(q)= F ó V(q)= 0
r: 150 es cuadrado perfecto V(r)= F ó V(r)= 0
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Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que no
contienen otra(s) proposición(es) como parte constitutiva
o componente y por tanto no intervienen “conectivos
lógicos”
2. Proposiciones atómicas y
moleculares. Definición y
ejemplos.
p: Andrés Bello nació en Caracas
q: 7 divide al 49
r: 160 = 0
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Proposiciones compuestas o moleculares: Está formada
por dos o más proposiciones simples que están
entrelazadas por los conectivos lógicos.
r: 10 es un número par y 6 + 4 = 10
s: Un triángulo es un cuadrilátero o el tiburón es un
mamífero
t: si llego tarde a la parada entonces voy a perder el
autobús
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Conectivos lógicos. Estudiamos en este apartado las
distintas formas de conectar proposiciones entre sí.
3. Conectivos lógicos. Definición.
Tablas de verdad de un conectivo
Se llama conectivo lógico a un símbolo que actúa en
una o varias proposiciones para producir nuevas
proposiciones.
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Conectivo
Lógico
Nombre Efecto o comportamiento sobre las
proposiciones
 Negación
p
No es cierto p
No es verdad p
Es falso p
^ Conjunción
p^q
p y q
Tanto p como q
 Disyunción
Inclusiva pq
p o q (o ambas)
 Disyunción
excluyente
pq
p o q (pero no ambas)
O p ó q
 Condicional
pq
Si p Entonces q
q, si p
q, siempre que p
 Bicondicional
pq
p si y sólo si q
Tabla de Conectivos lógicos
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3.1) Negación (~)
p ~ p
V F
F V
Para entender el comportamiento de los conectivos lógicos
procedemos a construir las tablas de verdad; a través de las cuales
podremos describirlos
Si una proposición p es verdadera, la
proposición ~p (la negación de p) es una
proposición falsa.
Si una proposición p es falsa, la
proposición ~p (la negación de p) es una
proposición verdadera.
Ejemplos: Considere las siguientes proposiciones:
p: 2 es un número par
q: el pico Bolívar es el más alto del mundo
r: 5 es una solución de la ecuación x2 -25=0
Escriba las negaciones de tales proposiciones
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3.2) Conjunción ()
Ejemplo: Considere las siguientes proposiciones:
p: En Mérida hay un teleférico
q: En Barquisimeto está la represa del Guri.
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
p^q: En Mérida hay un teleférico Y en Barquisimeto está la represa del Guri
Otro ejemplo: Dadas las proposiciones r: 15 ≥ 10, s: 10 es un número par.
La conjunción de r y s es r^s: “15 ≥ 10 y 10 es un número par
¿Cuál es el valor de verdad de las proposiciones anteriores?
p^q es una proposición verdadera
siempre que tanto p como q sean
proposiciones verdaderas
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3.3) Disyunción Inclusiva()
Otro ejemplo: Sean t: 25 es un cuadrado perfecto, r: 5 es un múltiplo de 30.
La disyunción inclusiva es la proposición t  r: “25 es un cuadrado perfecto O
5 es un múltiplo de 30”
Para entender mejor como funciona este conectivo veamos el siguiente ejemplo:
¿Cuándo es verdadera la proposición “Te invito una pizza o una ensalada”?
p  q es una proposición verdadera
siempre que al menos una de las
proposiciones sea verdadera
p q pq
V V V
V F V
F V V
F F F
Obviamente será cierta si es verdadera una de las dos opciones ofrecidas o
incluso si se cumplen ambas.
Además será falsa si no son ciertas ninguna de las dos opciones ofrecidas
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3.4) Disyunción Exclusiva ()
Para entender mejor como funciona este
conectivo veamos el siguiente ejemplo:
¿Cuándo es verdadera la proposición “Te busco
en el carro o en la moto”
p  q es una proposición verdadera
siempre que exactamente una de las
proposiciones sea verdadera
p q pq
V V F
V F V
F V V
F F F
Obviamente será cierta si es verdadera solo una de las dos opciones.
Es claro que no es posible usar los dos medios de transporte al mismo
tiempo, por lo que la disyunción es falsa si ambas proposiciones son
verdaderas. Además si no se cumple con el compromiso de buscar a la
persona, entonces la disyunción es igualmente falsa.
Otro ejemplo: Sean p: El director renunciará, q: El director se quedará. La disyunción
exclusiva es p  q: “El director renunciará o se quedará” (nótese que no puede hacer ambas
cosas, o si?)
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3.5) Condicional (→)
Para entender mejor como funciona este
conectivo veamos el siguiente ejemplo:
Analicemos la proposición “Si apruebo el
examen, entonces vamos al cine”
p → q es una proposición Falsa cuando
p es verdadera y q es falsa. En todos los
demás casos es verdadera
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
La proposición p recibe el nombre de Antecedente; mientras que q recibe el
nombre de Consecuente.
Veamos otro ejemplo y analicemos la proposición Si hago la reservación
entonces ,vamos al restaurante”.
Antecedente: Hago la reservación
Consecuente: vamos al restaurante.
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Algo importante es que los condicionales y
su valor de verdad son independientes de si
la expresión tiene o no sentido.
Por ejemplo la expresión Si las vacas vuelan
entonces voy a la playa es un condicional
verdadero puesto que su antecedente es falso
(3ra fila de la tabla de verdad),
independientemente de si tiene sentido para
nosotros
Los condicionales son fundamentales en
Matemática. En particular aquellos
condicionales que son verdaderos (siendo
verdaderos sus antecedente y consecuente)
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Antecedente falso y consecuente verdadero.
Nuestro sentido común nos indica que el condicional p → q no es, en este
caso, ni verdadero ni falso. Parece ilógico preguntarse por la veracidad o
falsedad de un condicional cuando la condición expresada por el antecedente
no se cumple. Sin embargo, esta respuesta del sentido común no nos sirve,
estamos en lógica binaria y todo ha de evaluarse bien como verdadero, bien
como falso, es decir, si una sentencia no es verdadera, entonces es falsa y
viceversa.
Veamos que en el caso que nos ocupa, podemos asegurar que el condicional
no es falso. En efecto, p → q es lo mismo que afirmar que es decir, p no es la
única condición posible, por lo cual puede darse el caso de que q sea
verdadero siendo p falso. O sea, la falsedad del antecedente no hace falso al
condicional y si no lo hace falso, entonces lo hace verdadero. Por ejemplo,
“Si estudio mucho, entonces me canso” ¿Qué ocurriría si no estudio y, sin
embargo, me cansara? Pues que la sentencia no sería inválida, ya que no se
dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio.

3.6) Bicondicional (↔)
p ↔ q es una proposición Verdadero
siempre y cuando p y q tenga los mismos
valores de verdad.
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo: x es número par si y sólo si x2 también es par.
Ejemplo: Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo.
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Cuadro resumen de los
conectivos lógicos.
p q p^q pq pq p→q p↔q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
Pregunta: Si una forma proposicional tiene n variables proposicionales
¿Cuántas combinaciones de V y F es posible hacer?
Respuesta: Es posible obtener 2n combinaciones de V y F.
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4. Construcción de Tablas de
Verdad.
Llamaremos forma proposicional ( f.p) al enlace de varias
proposiciones (variables proposicionales) a través de conectivos
lógicos.
Ejemplo: [ (p  q)  (rq) ]  [ (p  r)  q ]
[ p  (q  p) ]  ( q  p )
Es importante resaltar que no toda combinación de proposiciones
y conectivos lógicos genera una forma proposicional.
Por ejemplo, las siguientes no son formas proposicionales válidas:
[ (p  ) (rq) ]  r  q p   ( q r) 
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{ [ (p  (q  r) )  p ]  q }  (q  r)

Para determinar el comportamiento de una forma
proposicional, se construye la tabla de verdad
asociada a dicha f.p
Veamos como construir tablas de verdad para una f.p dada:
1) Construir la tabla de verdad de la f.p: (p   q )  q
Utilizaremos un método que se suele conocer como “método acumulativo”
p q q p   q (pq)q
V V F F F
V F V V F
F V F F F
F F V F V
Nótese que tenemos dos
variables
proposicionales. Cada
una puede ser verdadera
o falsa. Por lo tanto
tenemos 4 posibles
combinaciones de V y F
p q q p   q (pq)q
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2) Construir la tabla de verdad de la f.p: p (qr)  (pr)
p q r
 p  ( q   r )    ( p  r )
V V V V V F F F V
V V F V V V V V F
V F V F F F F F V
V F F V V V V V F
F V V V V F V V F
F V F V V V F F V
F F V V F F V V F
F F F V V V F F V
Utilizaremos ahora lo que se conoce como método abreviado
(1)(2)(3) (4)(5)(6)
p q r
 p  ( q   r )    ( p  r )
Nótese que hay 3 variables proposicionales, por lo tanto hay 23 = 8
combinaciones de resultados
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4.1) TAUTOLOGÍA: Forma proposicional que siempre
es verdadera independientemente de los valores de
verdad de las variables proposicionales que la
componen
5. Tautología, Contradicción y
Contingencia.
4.2) CONTRADICCIÓN: Forma proposicional que
siempre es falsa independientemente de los valores de
verdad de las variables proposicionales que la
componen
4.3) CONTINGENCIA: Forma proposicional que tiene al
menos un valor de verdad verdadero y al menos un
valor de verdad falso.
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Para establecer si una forma proposicional es una
Tautología, Contradicción o Contingencia, se procede a
la construcción de su Tabla de Verdad y a la revisión de
los resultados de la misma para su clasificación.
Ejemplos: Clasifique las siguientes formas
proposicionales.
(1) (p  q)  ( p   q)  (q   p) 
(2) (p  r)   (p  q)  (q  r) 
(3)  [ (p  q) ^ ( p ^ q)]  [r  (p  r)]
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p q (p  q)  ( p   q)  (q   p) 
V V
V F
F V
F F
(1) (p  q)  ( p   q)  (q   p) 
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p q r
(p  r)   (p  q)  (q  r) 
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
(2) (p  r)   (p  q)  (q  r) 
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p q r
 [ (p  q) ^ ( p ^ q)]  [r  (p  r)]
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
(3) [ (p  q) ^ ( p ^ q)]  [r  (p  r)]
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6. Equivalencia lógica.
Implicación lógica. Condicionales
asociados
6.1) Se dice que dos formas proposicionales A y B
son lógicamente equivalentes siempre que la
proposición A  B es una Tautología.
OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Como consecuencia
inmediata de la definición y del comportamiento del
conectivo bicondicional; dos f.p son lógicamente
equivalentes (o simplemente equivalentes) si tienen
idénticas tablas de verdad.
NOTACIÓN: Para denotar que dos f.p son
equivalentes se suele escribir A  B o A  B

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Ejemplo 1: Determinar si la f.p A: p  q y B: p  q
son lógicamente equivalentes
Veamos entonces si A  B es una tautología
p q ( p  q )  (  p  q )
V V V V F V
V F F V F F
F V V V V V
F F V V V V
Para lo cual procedemos a construir la tabla de
verdad correspondiente
(1) (2) (3)(4)
Como AB es
un Tautología
entonces se
concluye que
A  B

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Ejemplo 2: Determinar si la f.p A: p ( q  r) y la f.p
B: (p  q)  (p  r ) son lógicamente equivalentes
Procedamos a través de la observación y
construyamos las tablas de verdad de cada f.p (por
separado)
p q r
p  ( q  r) (p  q)  (p  r )
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F

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Como los resultados de ambas tablas de verdad son
idénticos entonces las formas proposicionales A y B
son equivalentes
Ejemplo 3: Determinar si la f.p A:  (  p   q ) y la
f.p B: p   q son equivalentes
p q
V V
V F
F V
F F

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6.2) Se dice que la forma proposicional A implica
lógicamente a la forma proposicional B que la
proposición A  B sea una Tautología.
NOTACIÓN: Para denotar que la f.p A implica
lógicamente (o simplemente implica) a la f.p B se
suele escribir A  B
Ejemplos: En cada caso determine si la f.p A implica
lógicamente la f.p B
a) A: ( p  q)  q B:  p
p q ( p  q)  q    p
V V
V F
F V
F F

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b) A: (p  q)  p B: q  (p  q)
p q (p  q)  p   q  (p  q)
V V
V F
F V
F F
Como A  B es una Tautología, entonces la f.p A implica lógicamente a B

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c) A: (p  q )   r B: p  r
p q r  (p  q )   r   ( p  r )
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Como A  B es una Contingencia, entonces la f.p A no implica la f.p B

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6.3) Condicionales asociados a un condicional dado
Sean p y q dos formas proposicionales cualesquiera
A la proposición p  q se le denomina condicional
DIRECTO
Relacionados con el condicional directo hay tres condicionales más,
llamados condicionales asociados; y son los siguientes:
RECÍPROCO: q p
CONTRARIO:  p   q
CONTRA-RECÍPROCO: q  p

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Veamos el siguiente ejemplo:
Construir los condicionales asociados al condicional: SI un
triángulo es equilátero ENTONCES es equisángulo
SI un triángulo es equilátero ENTONCES es equisángulo
p: El triángulo es equilátero q: El triángulo es equisángulo
RECÍPROCO q p
SI el triángulo es equisángulo ENTONCES es equilátero
CONTRARIO pq
SI el triángulo NO es equilátero ENTONCES NO es equisángulo
CONTRA-RECÍPROCO qp
SI el triángulo NO es equisángulo ENTONCES NO es equilátero

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Se puede demostrar sin ninguna dificultad que un condicional y su
contra-recíproco son EQUIVALENTES
Esto es p  q   q   p
Lo mismo sucede entre el recíproco y el contrario
Esto es q  p   p   q
Se recomienda al estudiante verificar tales afirmaciones. Basta
con utilizar la definición de equivalencia

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7. Leyes del Algebra Proposicional.
Simplificación de formas
proposicionales
Existen un conjunto de equivalencias lógicas que constituyen las
leyes del álgebra proposicional o leyes de la lógica. A continuación se
enuncia c/u de ellas:
1) Conmutativas
p  q  q  p
p  q  q  p
2) Asociativas
(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
3) Distributivas
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
4) Idempotencia
p  p  p
p  p  p
6) Bicondicional
p  q  (p  q)  (q  p)
5) Ley Condicional
p  q  p  q

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7) Leyes de De Morgan
(p  q)  p  q
(p  q)  p  q
8) Identidad
p  F  p
p  V  V
p  F  F
p  V  p
9) Leyes de Absorción
p  (p  q)  p
p  (p  q)  p
10) Leyes de complementación
p  p  V (ley del tercer excluido)
p  p  F (ley de contradicción)
~V  F
F  V
11) Involución (doble negación)
(P)  P
Las leyes del Álgebra proposicional
tienen como propósito ayudarnos a
la simplificación de formas
proposicionales complejas tal y
como veremos a continuación.
Esta lista no es exhaustiva. Por ejemplo las
equivalencias (antes probadas) entre los
condicionales asociados también constituyen leyes
lógicas

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Simplificación de formas proposicionales: Muchas veces
será necesario simplificar una forma proposicional de tal
manera que se conserve su “estructura” y “comportamiento”
pero se reduzca al máximo su representación
Simplificar las siguientes formas proposicionales:
a) ( p  q )  (  p  q )
b)  q   ( p  q )  r
c)  ( p   q)  (p  q)  ( p   q)
Para entender mejor la importancia de la simplificación de formas
proposicionales, veamos la siguiente situación:
Sean p: 2 es un número par y q: 16 es múltiplo de 3. Escriba al lenguaje
natural la siguiente proposición  p  (q)  (p)
Lo más conveniente en este caso es proceder primero a simplificar la
proposición dada y después hacer la traducción

02/06/2013 41
(a)  ( p  q )  q   ( p  q)
(b)  (  q  p )   p  ( t  p) 
(c)  p  ( p  q )   ( r   p)
(d)  ( p  q )  ( p  q )  ( q   p)
(e) ( p  q )   (  p   q )  q 
Después de hacer la simplificación nos queda p   q (verifíquelo)
Lo cual se puede traducir al lenguaje natural de manera sencilla como:
El 2 es un número par y el 16 no es múltiplo de 3.
Obviamente esta proposición es verdadera; por lo que también lo es la
original, por ser equivalente a la obtenida mediante las leyes
Ejercicios: Simplificar las siguientes formas proposicionales

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