1. VEKTORI Ievads matemātikā Temata apraksts Skolēnam ...

1. VEKTORI 

Ievads matemātikā 

Temata apraksts 

Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis 

Uzdevumu piemēri 

Stundas piemērs 

M_10_SP_00_01_P1 Ievads Skolēna darba lapa 

M_10_SP_01_01_P1 Vektoru izteikšana Skolēna darba lapa 

M_10_UP_01_P1 Vektoru izteikšana ar vienības vektoriem Skolēna darba lapa 

M_10_LD_01 Darbības ar vektoriem. Skolēna darba lapa 

Kārtējais vērtēšanas darbs 

Nobeiguma vērtēšanas darbs 

Vektori 1.variants 

Vektori 2.variants 

Vektori Vērtēšanas kritēriji 

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

i e v a d s 

IEVADS 

18 

Matemātika skolā tiek mācīta, lai pilnveidotu prasmi lietot matemātiskās 

metodes pasaules izzināšanā, dabas un sabiedrības procesu aprakstīšanā un 

daudzveidīgā darbībā. Mācību procesā skolēni apgūst, kā matemātiskās zināšanas 

un prasmes ir iespējams pielietot dažādās dzīves situācijās, kad nepieciešams 

pieņemt lēmumus, atrisināt problēmas, radīt idejas. 

Matemātikas kursa ievadā ir paredzētas četras mācību stundas, kuru laikā 

skolēni tiek iepazīstināti ar gaidāmo mācību procesu, gūst izpratni par 

matemātiku kā zinātni, tās vēsturi, attīstības tendencēm, apakšnozarēm, šo 

jautājumu saikni ar matemātikas saturu. 

Ievadstundās ieteicams runāt par matemātikas kā zinātnes nozīmi ikdienas 

dzīvē, matemātikas lomu citu zinātņu, sabiedrības un katra cilvēka attīstībā, 

akcentējot gan matemātikas praktisko lietojamību, gan matemātiku kā 

garīgu un kultūrvērtību, nosaucot piemērus, kas raksturo zinātnes svarīgāko 

sasniegumu un arī metožu vērtību. Vēlams noskaidrot kopā ar skolēniem 

matemātikas mācīšanās mērķi vidusskolā un motivēt skolēnus, mudinot domāt 

par to, ko viņi matemātikas mācīšanās procesā iegūst, varētu un gribētu 

iegūt. 

Ievadā nav paredzēta pamatskolā apgūtā matemātikas satura atkārtošana, 

skolēnu iepriekšējās zināšanas un prasmes aktualizējamas katra temata 

sākumā.

V E K T O R I 

VEKTORI 

T E M A T A A P R A K S T S 

22 

Skolēns savā ikdienas pieredzē jau ir saskāries ar situācijām, kuras raksturo vektoriāli 

lielumi. Lai raksturotu, piemēram, spēku, ātrumu, pārvietojumu, ir jāzina ne 

tikai šo lielumu skaitliskās vērtības, bet arī darbības virziens. Rodas nepieciešamība 

ieviest vektora jēdzienu. Šajā tematā skolēns apgūs galvenos jēdzienus un prasmes 

darbā ar vektoriem. Par vektoriem, kā instrumentu matemātisku uzdevumu risināšanai, 

nedaudz tiks runāts tematā “Leņķa jēdziens, trijstūri”. 

Vektora un ar to saistīto jēdzienu izpratne un lietošana nepieciešama turpmākai 

fizikas apguvei. Fizikā svarīgs ir vektora projekcijas jēdziens, ko definē kā skaitli, kas 

ir vektora moduļa un leņķa starp asi un vektoru kosinusa reizinājums (pagaidām 

skolēniem zināms tikai kosinuss šauram leņķim). 

Nepieciešams akcentēt atšķirību starp jēdzieniem vektora projekcija (skaitlis) un 

vektora ģeometriskā projekcija (vektors). Tāpat arī jārunā par ģeometrisko projekciju, 

jo plašākā nozīmē jēdziens projekcija skolēnam asociējas ar ģeometrisku objektu. 

Vektora projekcija uz ass tiek apzīmēta ar a x vai AB x (bez vektora zīmes), tomēr 

var arī norādīt dažādos literatūras avotos sastopamos citus apzīmējumus, piemēram, 

proj x a. Vektora koordinātas tiek definētas kā vektora projekcijas uz koordinātu asīm. 

Fizikā vektoru mēdz apzīmēt ar vienu lielo burtu, piemēram, spēka vektors F. 

Temata apguvē būtiskākās prasības ir jēdzienu izpratne, prasme atlikt vektoru 

no dotā punkta, izpildīt darbības ar vektoriem ģeometriskā un koordinātu formā, 

lietot vektorus, raksturojot reālus procesus. Svarīgi ir veidot skolēna praktiskā un 

pētnieciskā darba iemaņas – apguvis galvenos jēdzienus un darbības ar vektoriem 

ģeometriskā formā, pie nepieciešamajām sakarībām darbību izpildei ar vektoriem 

koordinātu formā skolēns var nonākt patstāvīgi. 

Lai nostiprinātu prasmes izpildīt darbības ar vektoriem, ieteicams izmantot šajā 

tematā piedāvātos vizuālos materiālus elektroniskā formā.

V E K T O R I 

MATEMĀTIKA 10. klase 

C E Ļ V E D I S 

Galvenie skolēnam sasniedzamie rezultāti 

STANDARTĀ 

Izprot ģeometriskos modeļus (ģeometriskās figūras 

ģeometriskie ķermeņi, pagrieziena leņķis, ģeometriskie 

pārveidojumi, darbības ar vektoriem u.c.) un to 

attēlošanu plaknē. 

Lieto dažādus spriedumu iegūšanas veidus (empīrisko, 

induktīvo, deduktīvo); vispārina, klasificē, saskata 

analoģijas, novērtē procesu tendences; izvirza hipotēzi, 

izmantojot iepriekšējās zināšanas vai darba gaitā 

iegūtos rezultātus. 

Apzinās matemātikas zināšanu un prasmju nozīmi 

ikdienas dzīvē, apgūstot dabas un sociālās zinātnes, 

tālākizglītībā un turpmākajā profesionālajā darbībā. 

23 

• Izprot jēdzienus: skalārs lielums, vektoriāls lielums, 

vektors, vektora modulis, vektora koordinātas, vienādi 

vērsti un pretēji vērsti vektori, vienādi un pretēji vektori. 

• Iegūst un pamato sakarības darbību izpildei ar 

vektoriem koordinātu formā. 

• Saskata vektoriālus lielumus reālos procesos un lieto 

vektorus fizikas uzdevumos par kustību un spēkiem. 

• Atliek vektoru no dotā punkta, izpilda darbības ar 

vektoriem ģeometriskā formā: saskaita (lietojot 

paralelograma, trijstūra un daudzstūra likumus), 

atņem (atņemšanu interpretē kā pretējā vektora 

pieskaitīšanu), reizina ar skaitli. 

PROGRAMMĀ 

• Izpilda darbības ar vektoriem koordinātu formā: 

aprēķina vektora koordinātas, saskaita, atņem 

vektorus, reizina vektoru ar skaitli, aprēķina vektora 

garumu. 

Spēle. Uzdevumu risināšana. 

SP. Vektoru izteikšana. 

VM. Darbības ar vektoriem ģeometriskā formā. 

VM. Vektora projekcijas. 

VM. Vektoru izteikšana. 

Izpēte. 

LD. Darbības ar vektoriem. 

Demonstrēšana. Situācijas analīze. Uzdevumu 

risināšana. 

SP. Darbības ar vektoriem ģeometriskā formā praktiskās 

situācijās. 

VM. “Pūksprunguļi”. 

STUNDĀ 

KD. Vektoru simboliskais pieraksts. 

KD. Vektoru izteikšana ar dotajiem vektoriem.

V E K T O R I 

U Z D E V U M U P I E M Ē R I 

Sasniedzamais rezultāts I II III 

24 

Izprot jēdzienus: skalārs 

lielums, vektoriāls 

lielums, vektors, vektora 

modulis, vektora 

koordinātas, vienādi 

un pretēji vērsti vektori, 

vienādi un pretēji vektori. 

1. Pabeidz teikumus! 

a) Par vektoru sauc 

b) Vektoriāli lielumi no 

skalāriem atšķiras ar to, ka 

c) Divus vektorus sauc par vienādi vērstiem, ja 

d) Divus vektorus sauc par pretēji vērstiem, ja 

e) Divus vektorus sauc par vienādiem, ja 

2. Izskaidro atšķirību starp jēdzieniem pretēji 

vektori un pretēji vērsti vektori! 

. 

. 

1. Kvadrāta KLMN diagonāles krustojas punktā 

O. Vektoru sākumpunkts un galapunkts var 

būt tikai kādā no kvadrāta virsotnēm un 

diagonāļu krustpunktā O. Nosauc: 

a) divus dažādus vektorus, kuru moduļi ir 

vienādi; 

b) divus pretējus vektorus; 

c) divus vienādi vērstus vektorus, kuru moduļi 

ir dažādi; 

d) divus pretēji vērstus vektorus, kuri nav 

pretēji vektori! 

2. Kāda kopīga īpašība ir visiem vektoriem 

a (α;2α), kur α∈R? 

1. Dots kvadrāts ABCD. Vektoru sākumpunkts 

un galapunkts var būt tikai kādā no kvadrāta 

virsotnēm. Cik ir tādu vektoru? 

2. Doti punkti A(–4;–1), B(0;–5), C(3;–3), 

D(2;3). Pierādi, ka četrstūris ABCD ir trapece! 

3. Par paralelograma ABCD virsotņu 

koordinātām zināms, ka A(2;–2), B(–1;3), 

C(x;5), D(7;y). Nosaki x un y vērtības! 

3. Kuri no lielumiem – ātrums, garums, ceļš, laiks, 

pārvietojums, masa, svars un paātrinājums – ir 

vektoriāli, kuri – skalāri lielumi?

V E K T O R I 



Atliek vektoru no 

dotā punkta, izpilda 

darbības ar vektoriem 

ģeometriskā formā: 

saskaita (lietojot 

paralelograma, trijstūra 

un daudzstūra likumus), 

atņem (atņemšanu 

interpretē kā pretējā 

vektora pieskaitīšanu), 

reizina ar skaitli. 

1. Dots vektors a . Konstruē vektorus 

2a , 1 – 2 

a , –a! 

2. Konstruē zīmējumā attēloto divu vektoru 

summas vektoru, izmantojot gan trijstūra, gan 

paralelograma likumus! 

a) 

b) 

c) 

a 

a 

a 

b 

b 

b 

1. Konstruē vektoru a –b ! 

a) 

b) 

c) 

a 

a 

a 

b 

2. Zīmējumā (M_10_UP_01_VM1) attēlotas 

darbības ar dotajiem vektoriem a un b . 

Savieto attēlu ar atbilstošo izteiksmi! 

b 

b 

1. Uzzīmē tādus vektorus a , b , kuriem izpildās 

sakarība |a +b |=|a –b |! 

2. Vektora a modulis ir 4, bet vektora b modulis 

ir 7. Kādās robežās var mainīties vektora a +b 

modulis? 

3. Vektoriem ir spēkā īpašība 

k⋅(a+b )= k⋅a +k⋅b , kur k ir reāls skaitlis. 

Izveido zīmējumu, kas ilustrē šo īpašību! 

25 

3. Koordinātu plaknē no dotā punkta C atliec 

vektoru AB! 

y 

1 

B 

C 

A 

3. ABCD – paralelograms. AB = a un AD = b . 

B 

C 

O 

a 

A 

b 

D 

0 

1 

x 

a) Atliec vektoru 

1 – b no punkta O! 

2 

b) Atliec vektoru – 1 – a no punkta O! 

2 

c) 

Konstruē vektoru 

1 – 

2 b – 1 – 2 

a ! 

Izpilda darbības ar 

vektoriem koordinātu 

formā: aprēķina vektora 

koordinātas, saskaita, 

atņem vektorus, reizina 

vektoru ar skaitli, 

aprēķina vektora 

garumu. 

1. Doti punkti A(–5;4) un B(3;–2). Aprēķini 

vektora ABkoordinātas un vektora AB garumu! 

2. Pabeidz teikumu! 

a) Ja divi vektori doti koordinātu formā, tad 

to summas vektora koordinātas iegūst 

b) Ja dotas vektora a koordinātas, 

tad vektora 5a koordinātas iegūst 

Doti vektori a (2;–3) un b (–1;5). 

Aprēķini |–2a +b |! 

Vektora a +b koordinātas ir (6;–5), bet vektora 

a –b koordinātas ir (–2;3). Aprēķini vektoru 

a , b koordinātas!

V E K T O R I 


Nosaka vektora 

ģeometriskās 

projekcijas, vektora 

projekcijas. 

1. Savieto ar atbilstošo jēdzienu! 

Vektora ģeometriskā 

projekcija ir .. 

Vektora projekcija ir .. 

nogrieznis 

vektors 

pozitīvs skaitlis 

reāls skaitlis 

2. Uzzīmē dotā vektora ģeometriskās projekcijas 

uz asīm! Nosaki vektora projekcijas! 

1. Uzzīmē koordinātu plaknē vektoru, kura 

projekcija uz abscisu ass ir 4, bet projekcija uz 

ordinātu ass ir –2! 

2. Automašīna novietota uz slīpas estakādes, 

kas ar horizontālo plakni veido 30° leņķi 

(zīm.). Automašīnas smaguma spēks F=15kN. 

Koordinātu sistēma izvēlēta tā, ka x ass ir 

paralēla estakādes virsmai. 

Kā koordinātu plaknē jānovieto vektors, lai: 

a) tā projekcijas uz koordinātu asīm būtu 

vienādas, 

b) tā projekcijas uz koordinātu asīm būtu 

pretēji skaitļi, 

c) tā modulis būtu vienāds ar tā ģeometrisko 

projekciju moduļu summu? 

26 

y 

a) Nosaki leņķi, ko veido smaguma spēka F 

vektors ar y asi! 

1 

0 

1 

3. Nosaki vektora AB projekcijas uz koordinātu 

asīm, ja A(–2;5) un B(3;–1)! 

x 

b) Aprēķini automašīnas smaguma spēka 

projekciju uz x ass! 

c) Kā un cik liels spēks jāpieliek, lai 

automašīnu noturētu uz estakādes? 

y 

F 

x 

30° 

Lieto ar vektoriem 

saistītos jēdzienus un 

simbolus informācijas 

un rezultātu nolasīšanai, 

pierakstīšanai un 

komentēšanai (darbības 

ar vektoriem; vektora 

modulis, koordinātas, 

projekcija). 

1. Pieraksti ar simboliem šādus apgalvojumus! 

a) Vektora a koordināta uz abscisu ass ir 5 un 

uz ordinātu ass ir –4. 

b) Vektors CD ir pretēji vērsts vektoram m. 

c) Vektors AB ir pretējs vektoram b . 

d) Vektora a projekcija uz x ass ir 4. 

2. Izmantojot animācijas (M_10_UP_01_VM2, 

VM3, VM4, VM5), komentē, kā notiek vektoru 

saskaitīšana! 

1. Izlasi ar simboliem pierakstītos apgalvojumus 

un izveido situācijai atbilstošu zīmējumu! 

a) | a |=|b |, a ↑↓ b 

b) AB↑↓CD, |AB|=2, |CD|=3 

c) a=–b , a x =1, b y =2 

2. Izmantojot animāciju (M_10_UP_01_VM6), 

komentē, kā vektora novietojums koordinātu 

plaknē saistīts ar šī vektora projekciju zīmēm! 

Izveido piecus jautājumus un prognozējamās 

pareizās atbildes par zīmējumā attēlotajiem 

vektoriem! Katrā no jautājumiem iekļauj 

dažādus jēdzienus! 

c 

y 

1 

0 

b 

1 

a 

d 

x

V E K T O R I 



Iegūst un pamato 

sakarības darbību 

izpildei ar vektoriem 

koordinātu formā. 

Doti punkti O(0;0) un A(2;1). 

a) Uzzīmē vektoru OA! 

b) Nosaki vektora OA koordinātas! 

c) Uzzīmē vektoru 3⋅OA! 

d) Nosaki vektora 3⋅OA koordinātas! 

e) Izvirzi pieņēmumu par to, kādas ir vektora 

9⋅OA koordinātas! 

1. Doti punkti K(1;1) un M(5;4). 

a) Uzzīmē vektoru KM! 

b) Papildini zīmējumu un aprēķini vektora 

KM garumu ar Pitagora teorēmu! 

c) Izvirzi pieņēmumu par to, kā izteikt 

vektora garumu ar vektoru galapunktu 

koordinātām! Pamato savu pieņēmumu! 

2. Uz materiālo punktu A darbojas trīs spēki – 

F 1 , F 2 , F 3 (zīm.). 

Pierādi, ka divu vektoru summas vektora 

koordinātas ir vienādas ar doto vektoru 

atbilstošo koordinātu summu! 

27 

a) Nosaki doto spēku projekcijas uz asīm! 

b) Aprēķini projekciju summu uz x ass! 

c) Aprēķini projekciju summu uz y ass! 

d) Konstruē summas F 1 +F 2 +F 3 vektoru un 

nosaki tā projekcijas uz asīm! 

e) Izsaki pieņēmumu par to, kā noteikt 

summas vektora projekcijas, to 

nekonstruējot! 

y 

F 1 F 2 

x 

F 3 

Izvēlas piemērotāko 

vektoru uzdošanas 

veidu (koordinātu formā, 

ģeometriski), risinot 

uzdevumus. 

Koordinātu plaknē dots kvadrāts ABCD. Zināms, 

ka A(0;0), B(0;3), C(3;3) un D(3;0). 

a) Nosaki vektoru AB, BC, CD koordinātas! 

b) Aprēķini vektora AB+BC+CD koordinātas! 

c) Konstruē vektoru AB+BC+CD! 

d) Nosaki vektora AB+BC+CD koordinātas! 

e) Komentē, kā divos veidos tika iegūtas 

vektora AB+BC+CD koordinātas! 

Dots kvadrāts ABCD, kur A(0;0), B(0;1), C(1;1) un 

D(1;0). Kvadrāta iekšpusē dots brīvi izraudzīts 

punkts O. Pierādi, ka AO+OC=OB+OD, izvēloties 

vienu no ieteikumiem! 

Apzīmē punkta O koordinātas ar (x;y) un izsaki 

vektoru summas koordinātu formā! 

Caur punktu O novelc taisnes paralēli kvadrāta 

malām un uz tām atliec četrus vektorus ar 

sākumpunktu punktā O! 

1. Dots, ka vektori AB un CD ir vienādi. Pierādi, 

ka vektori AC un BD ir vienādi! 

2. Kvadrāta ABCD iekšpusē dots brīvi izraudzīts 

punkts O. Pierādi, ka AO+OC=OB+OD!

V E K T O R I 


28 

Izsaka vienu vektoru ar 

citiem vektoriem. 

1. Punkts M dala nogriezni AB attiecībā 3:1, 

skaitot no virsotnes A. Izsaki vektorus AB, MB, 

BM ar vektoru AM! 

2. Dots paralelograms ABCD, AE=ED. 

AE=a, AB=b. 

A 

b 

B 

a 

E 

D 

Izsaki ar a un b vektoru: 

C 

1. Dots, ka ABCD ir paralelograms, punkts M ir 

tā malas AB viduspunkts, bet AB=a un AD=b. 

Izsaki vektoru CM ar vektoriem a un b! 

2. Dots regulārs trijstūris ABC. Punkts O ir tā 

mediānu krustpunkts. Izsaki vektoru AO ar 

vektoriem AB un CB! 

3. Punkts M atrodas uz nogriežņa AB un 

sadala to attiecībā AM : MB=2 : 5. Punkts O 

neatrodas uz taisnes AB. Izsaki vektoru MO ar 

vektoriem OA un OB! 

1. Doti vektori i un j, kuru virzieni sakrīt attiecīgi 

ar x un y ass pozitīvo virzienu, bet to moduļi 

ir 1 (tos sauc par vienības vektoriem). Vektors 

a ir izteikts ar šo vienības vektoru palīdzību 

a=4i+j (M_10_UP_01_P1). 

a) Izsaki pārējos zīmējumā redzamos vektorus 

ar vektoru i un j palīdzību! 

b) Vai jebkuru brīvi izvēlētu vektoru var izteikt 

ar vektoriem i un j ? Atbildi pamato! 

2. Plaknē doti punkti A, B, C un D. Konstruē tādu 

punktu M, lai MA+MB=CD! 

a) BC, 

b) CD, 

c) DE! 

Saskata vektoriālus 

lielumus reālos procesos 

un lieto vektorus fizikas 

uzdevumos par kustību 

un spēkiem. 

1. Kuģis izbrauca no ostas un veica 100 km 

uz rietumiem, tad 240 km uz dienvidiem, 

pēc tam 100 km uz rietumiem un tad 

90 km uz ziemeļiem. Tad kuģis sabojājās 

un noenkurojās. Attēlo kuģa pārvietošanos 

koordinātu plaknē ar vektoriem! Kā no ostas 

jābrauc glābšanas kuģim, lai tas varētu pēc 

iespējas ātrāk palīdzēt? Uzzīmē glābšanas 

kuģa īsāko ceļu! 

2. Nosauc kādu reālu procesu, kuru var raksturot 

ar vektoriem, kas atrodas uz vienas taisnes vai 

paralēlām taisnēm! 

1. Peldētājs no punkta A peldēja pāri straujai 

upei perpendikulāri krastam. Peldēšanas 

virzienu peldētājs nemainīja. Attēlo šo 

procesu, izmantojot pārvietojuma vektorus! 

2. Lidmašīna lidoja no punkta A uz punktu B. 

Lidojuma trajektorija bija taisne. Vektors 

v raksturo vēja ietekmi. Konstruē vektoru k, 

kas attēlo lidmašīnas kursu! 

A 

B 

A 

v 

1. Uz materiālo punktu O darbojas četri spēki 

(zīm.). Nosaki rezultējošā spēka virzienu 

un skaitlisko vērtību, ja šo spēku skaitliskās 

vērtības ir F 1 =3N, F 2 =7N, F 3 =2N, F 4 =5N! 

F 1 

F 3 

O F 2 

F 4 

2. Krievu rakstnieka Krilova fabulā aprakstīta 

situācija, kurā gulbis, līdaka un vēzis velk ratus 

katrs uz savu pusi, bet rati nekust ne no vietas. 

Izveido zīmējumu, ar kura palīdzību varētu 

modelēt šo situāciju un pamatot, ka tāda 

situācija ir iespējama!

V E K T O R I 


S T U N D A S P I E M Ē R S 

VEKTORU IZTEIKŠANA 

Mērķis 

Attīstīt prasmi izteikt vienu vektoru ar citiem ģeometriskā formā, risinot 

uzdevumus. 

Skolēnam sasniedzamais rezultāts 

Izsaka vektoru ar dotiem vektoriem, tos reizinot ar skaitli, saskaitot, atņemot, ja 

iespējams – dažādos veidos. 

Nepieciešamie resursi 

• Izdales materiāls (M_10_SP_01_01_P1). 

• Vizuālais materiāls (M_10_SP_01_01_VM1). 

Stundas gaita 

Iepriekšējā sagatavotība – skolēni prot veikt darbības ar vektoriem ģeometriskā formā. 

Skolotāja darbība 

Formulē uzdevumu – atrast apslēptas mantas atrašanās vietu, ja dota karte un šifrēts 

teksts. Aicina 3 – 5 skolēnus, katram izdalot atšķirīgu šifrētu tekstu: 

1. L Z4 A1 R3 D1 R1 D3 A1 D3 A2 

2. L A2 Z3 R4 D1 R2 D3 A3 D2 A1 

3. L R1 Z2 A4 Z3 R7 D4 A1 D4 A3 

4. L D1 R1 Z1 R1 Z6 A5 D8 R3 D1 

5. L Z1 A1 D3 R6 D1 A2 Z1 A3 D1 

Izmantojot interaktīvo tāfeli, demonstrē karti ar atzīmēto maršruta sākumpunktu 

L – Latvijas pilsēta, Liepāja (M_10_SP_01_01_VM1). 

Šifrētie teksti varētu būt uzrakstīti uz tāfeles, lai tos redz visi skolēni. 

Jautā: “Kā varētu tulkot tekstu: “L Z4 A1 R3 D1 …?” 

Aicina skolēnus pie interaktīvās tāfeles kartē iezīmēt iespējamo pārvietošanos, 

izmantojot vektorus. 

Aicina noformulēt saskatīto, saprasto kā secinājumu par vektoriem. 

Ja nav atbilstoša aprīkojuma, var izmantot jebkuru sienas karti, pilsētas plānu, var dot 

grupām neliela izmēra kartes vai izvēlēties citu ievada aktivitāti. 

Spēle (7 minūtes) 

Mācību metodes 

Spēle, uzdevumu risināšana. 

Mācību organizācijas formas 

Frontāls darbs, individuāls vai pāru darbs. 

Vērtēšana 

Skolēni novērtē savu prasmi izteikt vektorus, salīdzinot savus rezultātus ar skolotāja 

demonstrētajiem; skolotājs secina no vērojumiem, skolēnu komentāriem un 

izteiktajām atziņām par stundā apgūto. 

Skolotāja pašnovērtējums 

Secina par stundas mērķa sasniegšanu, izmantoto metožu un materiālu lietderību 

un efektivitāti. 

Saņem tekstu, iepazīstas ar karti. 

Skolēnu darbība 

Vēro, izsaka apsvērumus, vienojas. 

Droši vien iedomāsies, ka Z, D, A, R ir virziena apzīmējumi un norāda debess puses, skaitlis – 

attālumu, kas veicams. 

Ievēro, ka maršruta galapunkts visiem vienāds un ir dažādas iespējas, kā no 

sākumpunkta nokļūt pie mērķa. 

Formulē secinājumus. 

Būtu jākonstatē, ka vienu un to pašu vektoru (šajā gadījumā pārvietojumu no sākumpunkta 

uz mērķi) var izteikt kā vektoru summu dažādi. 

29

V E K T O R I 

30 


Izdala darba lapu (M_10_SP_01_01_P1). Aicina iepazīties ar 1. uzdevumu. Norāda, 

ka vektorus vajadzēs ne tikai saskaitīt, var noderēt arī atņemšanas darbība, turklāt 

var gadīties, ka nepieciešams kādu no vektoriem arī reizināt ar skaitli. Iesaka ņemt 

vērā iepriekš iegūto secinājumu. Kopā ar skolēniem atrisina uzdevumu, risinājumu 

demonstrē, izmantojot vizuālo materiālu. 

Ja ir interaktīvā tāfele, izmanto sešstūra attēlu, papildinot to ar vektoriem. 

Aicina izpildīt individuāli vai pāros pārējos uzdevumus, kuros vajadzēs izteikt vektoru ar 

dotiem vektoriem. Nosaka uzdevumu izpildes laiku – 15 minūtes. 

Aicina pārrunāt uzdevumu izpildi. Ja skolēni strādāja individuāli, var vispirms 

apspriesties pāros. Tad demonstrē vizuālo materiālu ar atbildēm (M_10_SP_01_01_VM1) 

un lūdz kādu skolēnu vai pats komentē risinājumus. 

Lūdz formulēt un uzrakstīt katram vienu būtiskāko lietu (faktu, prasmi, atziņu), ko šajā 

stundā ieguva. 

Aicina dažus skolēnus pateikt šo atziņu. 

Pasaka arī savu būtiskāko atziņu par stundu. 

Uzdod mājas darbu – izdomāt un atrisināt uzdevumu, kurā nepieciešams izteikt kādu 

vektoru ar citiem vektoriem. 

Uzdevumu risināšana (33 minūtes) 


Risina 1. uzdevumu, vēro demonstrējumu, komentē, pieraksta, uzdod jautājumus. 

Strādājot individuāli vai pāros, risina uzdevumus, papildina zīmējumus, izsaka vektorus 

ar citu vektoru palīdzību. 

Apspriež iegūtos rezultātus ar citiem skolēniem un skolotāju. Novērtē, ja nepieciešams, 

koriģē savu risinājumu. 

Pārdomā stundā veikto, atrod sev nozīmīgāko ieguvumu, pieraksta to. 

Pasaka atziņu par stundā paveikto. 

Pieraksta mājas uzdevumu.

V E K T O R I 


S T U N D A S P I E M Ē R S 

DARBĪBAS AR VEKTORIEM ĢEOMETRISKĀ FORMĀ PRAKTISKĀS SITUĀCIJĀS 

Mērķis 

Pilnveidot prasmi izpildīt darbības ar vektoriem ģeometriskā formā, saskatot 

matemātikas zināšanu lietošanas iespējas praktiskās situācijās. 

Skolēnam sasniedzamais rezultāts 

Izmanto zināšanas par vektoriem praktiska satura uzdevumu atrisināšanā. 

Nepieciešamie resursi 

• Vizuālais materiāls M_10_SP_01_02_VM1. 

• Zinātniskais kalkulators vai tabulas ar trigonometrisko funkciju vērtībām. 

Mācību metodes 

Demonstrēšana, situācijas analīze, uzdevumu risināšana. 

Mācību organizācijas formas 

Frontāls darbs, grupu darbs. 

Vērtēšana 

Skolēni novērtē savu prasmi lietot zināšanas par vektoru saskaitīšanu reālās situācijās, 

salīdzinot savus rezultātus ar citu skolēnu demonstrētajiem. 

Skolotāja pašnovērtējums 

Secina par stundas mērķa sasniegšanu, izmantoto metožu un materiālu lietderību 

un efektivitāti. 

31 

Stundas gaita 

Iepriekšējā sagatavotība – skolēni prot veikt darbības ar vektoriem ģeometriskā formā, prot atrast leņķu vērtības, lietojot zinātnisko kalkulatoru. 


Demonstrē vizuālo materiālu par peldoša priekšmeta pārvietošanās virzienu un ātrumu 

straumes un vēja ietekmē. Pārrunā ar skolēniem atbildes uz 1. jautājumu. Uzsver, ka 

tiek pieņemts, ka upes krasti ir paralēli, straumes virziens ir paralēls krastiem, straumes 

ātrums visos upes punktos vienāds. Pārliecinās par skolēnu izpratni, ka priekšmets 

pārvietojas gan straumes, gan vēja ietekmē. Pārvietošanās vēja ietekmē nenotiek gluži 

ar vēja ātrumu (to ietekmē, piemēram, ūdens pretestība, priekšmeta forma, iegrimes 

dziļums), vējš piešķir ķermenim noteiktu ātrumu, kura virziens sakrīt ar vēja virzienu, bet 

skaitliskā vērtība ir mazāka nekā vēja ātrums. Vienkāršības labad šo vēja piešķirto ātrumu 

nosauc par “vēja ātrumu”. 

Sākot apspriest atbildi uz 2. jautājumu, aicina skolēnus atcerēties vektoru saskaitīšanas 

paralelograma likumu. Pārrunā ar skolēniem pārējos jautājumus, demonstrējot vizuālo 

materiālu. 

Pastāsta par stundas mērķi – saskatīt un izmantot iespēju lietot darbības ar vektoriem 

ģeometriskā formā, risinot praktiskus uzdevumus. Jautā par skolēnu pieredzi, domām, 

kādās praktiskās situācijās vēl varētu noderēt zināšanas par vektoriem. 

Demonstrēšana (7 minūtes) 


Iepazīstas ar tekstu par pūksprunguļiem un 1. jautājumu. Izsaka apsvērumus par to, kas 

ietekmē peldoša priekšmeta pārvietošanos. 

Prognozē priekšmeta pārvietošanos, vēro demonstrējumu, atceras vektoru saskaitīšanas 

likumu, uzdod jautājumus, pārbauda, atbild uz jautājumiem, precizē, paskaidro. 

Izdomā piemērus, kad varētu noderēt zināšanas par vektoriem.

32 


Sadala skolēnus grupās un nosaka uzdevuma izpildes laiku – 10 minūtes. 

Piedāvā reālas situācijas aprakstu: 

“Perpendikulāri upes krastam no tūristu apmetnes vietas izbrauc laiva, kuru pretējā 

krastā gaida Jānis. Kurā vietā un pēc cik ilga laika viņam jāgaida, ja zināms, ka laivas 

ātrums stāvošā ūdenī ir 0,4 m/s, straumes ātrums ir 0,3 m/s, upes platums ir 40 m?” 

Aicina grupā situāciju apspriest un piedāvāt risinājumu, izmantojot zināšanas par 

vektoriem. Situācijas ģeometrisku zīmējumu un īsu risinājuma pierakstu lūdz noformēt 

uz lielāka formāta lapas vai kodoskopa plēves. 

Aicina pārrunāt uzdevuma izpildi, kādai no grupām lūdz komentēt risinājuma gaitu. 

Var mainīt situācijas aprakstā nosacījumu – kādā virzienā laivai jāizbrauc, lai viņi nokļūtu 

pie Jāņa, kurš pretējā krastā stāv tieši pretim apmetnei. Dažām grupām var dot piedāvāto 

uzdevumu, dažām – ar mainītiem nosacījumiem. 

Piedāvā vēl divus uzdevumus risināšanai: 

1. Vējš pūš ar ātrumu 2,5 m/s no ziemeļiem, bet lidmašīnai, kuras ātrums ir 450 km/h, 

jānokļūst lidostā, kas atrodas tieši uz austrumiem. Aprēķini, kādu leņķi veidos virziens, 

kurā jālido lidmašīnai, ar vēja virzienu! 

2. Sportists kanoe laivā vēlas sasniegt objektu upes pretējā krastā. Tas redzams 45 0 leņķī 

attiecībā pret upes krastu straumes virzienā. Laivas ātrums stāvošā ūdenī ir 2 km/h un 

straumes ātrums arī ir 2 km/h. Kādā leņķī attiecībā pret krastu jāairē kanoe airētājam? 

Kāds būs laivas ātrums? 

Skolēniem var būt nepieciešama palīdzība leņķa lieluma aprēķināšanā, izmantojot tabulas 

vai kalkulatoru. 

Lūdz 2 grupām uzzīmēt atbilstošus zīmējumus uz tāfeles, aicina salīdzināt atbildes, ja 

nepieciešams, arī risinājumus. 

Lūdz padomāt, kuras profesijas pārstāvjiem līdzīgi uzdevumi jārisina ikdienas darbā. 

Aicina dažus skolēnus izteikties. 

Atgādina skolēniem Krilova fabulu par gulbi, līdaku un vēzi, kas vilka ratus, bet tie 

nekustējās, un lūdz mājās izveidot zīmējumu/ zīmējumus, kas modelē šo situāciju un 

pamato tās iespējamību, pieņemot, ka visos 3 virzienos vilkšana notiek vienā plaknē. 

Situācijas analīze (15 minūtes) 

Uzdevumu risināšana (18 minūtes) 


Grupās analizē situāciju, veido zīmējumu, apspriež risinājumu, veic aprēķinus, atrod un 

pamato atbildi, noformē risinājumu. 

Nosauc iegūtos rezultātus, salīdzina tos ar citām grupām, diskutē, pamato, papildina. 

Atrisina uzdevumus – veido zīmējumus, apspriež risinājuma plānu, izmanto zināšanas 

par vektoriem un trigonometriskajām sakarībām taisnleņķa trijstūrī. Lieto tabulas vai 

kalkulatoru. 

Zīmē zīmējumus, salīdzina, novērtē sava risinājuma pareizību. 

Pārdomā un izsaka savas domas.

S k o l ē n a d a r b a l a p a 

M_10_SP_00_01_P1 

KĀ RADĀS UN ATTĪSTĪJĀS FUNKCIJAS JĒDZIENS 

Senajos laikos, kad cilvēki vēl nemācēja skaitīt un nepazina skaitļus, viņi jau zināja, jo vairāk briežu izdosies 

nomedīt, jo ilgāk cilts būs pasargāta no bada, jo ilgāk kursies ugunskurs, jo siltāk būs alā. Pakāpeniski, attīstoties 

lopkopībai un zemkopībai, cilvēkiem zināmo sakarību skaits palielinājās: piemēram, jo lielāks lauks, jo lielāka raža, 

jo lielāks ganāmpulks, jo lielāks nocirptās vilnas daudzums, jo vairāk cilvēku iesaistīti aizsprosta būvēšanā, jo mazāka 

darba daļa katram jāveic. 

Svēršana, garuma un tilpuma mērīšana un citas darbības katram lielumam piekārtoja skaitli – šī lieluma mēru 

(atbilstošā mērvienību sistēmā). Ikdienas dzīvē reti iznāca saskarties ar sarežģītākām attiecībām. 

Matemātiskās zināšanas augstu līmeni sasniedza senajā Babilonijā. Lai atvieglotu aprēķinus, babilonieši sastādīja 

tabulas (apgrieztiem skaitļiem, skaitļu kvadrātiem, skaitļu kubiem, kā arī skaitļu kvadrātu un kubu summām). 

Mūsdienu valodā runājot, tās bija funkciju y= 1 x ; y=x2 ; y=x 3 un y=x 2 +x 3 vērtību tabulas. Šīs tabulas varēja izmantot 

arī kvadrātsakņu vilkšanai. Lai gan no šīm tabulām līdz vispārīgam funkcijas jēdzienam vēl bija ejams ļoti tāls ceļš, 

pirmie soļi jau bija sperti. 

Senās Grieķijas matemātiķi lielumus neizteica ar skaitļiem, bet ar nogriežņiem, jo zināja, ka eksistē arī nesamērojami 

nogriežņi. Līdz laikam, kad pēc divām tūkstošgadēm veidosies vispārējs funkcijas jēdziena skaidrojums, grieķi 

pētīja dažādas līknes – elipses, hiperbolas, parabolas, dažādas spirāles – pētīja lielumu mazākās un lielākās vērtības, 

atklāja riņķa diametru un hordu savstarpējās attiecības. Grieķi sastādīja tabulas, kas parādīja attiecības starp loku un 

hordas, kas to savelk, garumu. 

Pētījumus par sakarībām starp lielumiem XIV gs. sāka Oremas Nikolajs (Nicole D’oresme, 1320 – 1382). Viņa 

manuskriptos ir atrodami zīmējumi, kas atgādina mūsdienīgus funkciju grafikus. Viņš pat mēģināja šos grafikus 

klasificēt, taču tālāk attīstīt šo teoriju traucēja algebriskās simbolikas trūkums, kuru tikai XVI gs. novērsa Fransuā 

Vjets (François Viète, 1540 – 1603). 

XVI - XVII gs. tehnikas, rūpniecības un jūrniecības attīstība piedāvāja uzdevumus, kuri senajos laikos matemātiķiem 

nebija pieejami. Toreiz matemātiķi nodarbojās ar nekustīgiem objektiem, nemainīgiem lielumiem. Tajā laikā 

izplatījās uzskats, ka pasaulē valda dabas likumi, kurus ir iespējams izzināt. Lai formulētu šos likumus, nepieciešams 

radīt jaunas matemātiskas metodes. Lai matemātiski aprakstītu kustības likumu fizikā, bija nepieciešams ieviest 

jēdzienu – mainīgs lielums jeb mainīgais. To veica franču filozofs un matemātiķis Renē Dekarts (René Descartes, 

1596 – 1650). 

Zinātnē jauna termina ieviešanu definē precīzi. 1673. gadā vācu zinātnieks Gotfrīds Leibnics (Gottfried Wilhelm 

Leibniz, 1646 – 1716) pirmais sāka lietot vārdu funkcija, lai gan viņš to lietoja šaurā nozīmē. Latīņu valodā funktus 

nozīmē izpildīt. 

Izmantotie materiāli: 

Виленкин Н. Как возникло и развивалось понятие функции - журнал “Квант”, 1977. 

5


M_10_SP_00_01_P1 

ĒNA UN TANGENSA DZIMŠANA 

Tuvo Austrumu zinātnieki lielu uzmanību veltīja aprēķinu matemātikai, astronomijai un ģeogrāfijai – zinātnēm, 

kuras bija saistītas ar tirdzniecību, kalendāra sastādīšanu un ceļojumiem. Trigonometriju sāka izmantot saules pulksteņu 

konstrukcijās. 

Jau sirmā senatnē (Babilonijā un Ēģiptē) gudrinieki ievēroja, ka staba ēnas garums un virziens ir atkarīgs no 

Saules stāvokļa pie debesīm. Tas ļāva izgudrot vienu no pirmajām ierīcēm, ar kurām cilvēki mērīja laiku – Saules 

pulksteni. 

Saules pulksteņi sākotnēji sastāvēja no vertikāli zemē iespraustas kārts. Laiks tika skaitīts pēc kārts ēnas virziena 

un garuma. Par ciparnīcu izmantoja laukumiņu ar zemē iedzītiem mietiņiem. Vēlāk, paaugstinoties laika mērījumu 

precizitātei, saules pulksteņi tika pilnveidoti. Izmantoja vertikālas, horizontālas un sfēriskas formas saules pulksteņus, 

to ciparnīcās tika apslēpta ne tikai laika noteikšana, bet arī informācija par astronomiskajiem datiem un saules 

virzību. 

Viens no al-Horezmī (Muhammet ibn Musa al-Horezmi, 780 – 847) laikabiedriem – Ahmeds al-Marvazi 

(Ahmad ibn ‘Abdallah Habash al-Hasib al-Marwazi), pētot saules pulksteņus, konstatēja, ka ēnas garuma u attiecība 

pret kārts garumu k mainās atkarībā no Saules augstuma, kuru var mērīt ar leņķi φ. Par 1 vienību viņš pieņēma 

kārts garumu k (60 minūtes). Viņš sastādīja ēnas garuma tabulu, ja φ = 1, 2, 3,…. grādi. Ar šo tabulu varēja noteikt 

Saules augstumu atkarībā no ēnas garuma, u=k⋅tgφ. Gadījumā, kad kārts ir perpendikulāra sienai, Ahmeds al-Marvazi 

sastādīja tabulu “pagrieztajām” ēnām, jeb ēnām uz sienas, u′=k⋅ctgφ. Tādējādi, jēdzieni tangenss un kotangenss, 

kā arī šo funkciju pirmās tabulas radās no mācības par saules pulksteņiem, nevis trigonometriskajā riņķī. 

XII gs. pārejot uz latīņu valodas apzīmējumiem, jaunās trigonometriskās funkcijas, kotangenss un tangenss, tika 

nosauktas attiecīgi par umbra recta – tiešā ēna un umbra versa – pagrieztā ēna. Terminu tangenss ieviesa dāņu matemātiķis 

Tomass Finks (Thomas Fink,1561 - 1656) tikai 1583. gadā jau saistībā ar atbilstošajām līnijām, saistībā ar 

trigonometrisko riņķi, savukārt termins kotangenss – pirmo reizi ir sastopams 1620. gadā angļu zinātnieka Edmunda 

Gintera (Edmund Gunter, 1581–1626) darbos. 


Глейзер Г.И. История математики в школе – Москва: Просвещение, 1982. 

6


M_10_SP_00_01_P1 

HAOSA TEORIJA 

Vai nejaušu procesu var definēt? Vai tajā var konstatēt nejaušības elementus, haotisku rīcību? Pirmajā mirklī 

šķiet, ka kārtība un nenoteiktība ir divi nesavienojami jēdzieni, taču tieši no haosa rodas kārtība. Vēl vairāk – arī 

pašā haotiskākajā haosā ir kārtība, un pastāv pat haosa attīstības scenārijs. Neticami? Ne jau velti haosa teoriju dēvē 

par apvērsumu zinātnē. 

Haoss nav pieskaitāms juceklīgu struktūru kategorijai. Drīzāk otrādi. Haoss ir daudz augstāka kārtības forma, 

kur nejaušība un bezsistēmas impulsi drīzāk kļūst par organizējošu principu nekā tradicionālā cēloņa un seku sakarība 

Ņūtona un Eiklīda teorijās. Mūsdienu teorijas pamato, ka haoss ir visur. 

Zinātnieki ir veikuši vesela cilvēka kardiogrammas izpēti, kurā analizēti attālumi starp kardiogrammas “pīķiem”. 

Vesela cilvēka sirdsdarbības process izrādījās haotisks. Izrādās, ka pilnīgi vienāds attālums starp “pīķiem” ir līdzvērtīgs 

klīniskajai nāvei. Presē parādījies pat raksts ar nosaukumu Pēkšņa sirds apstāšanās – pāreja no fraktālas, haotiskas, 

normālas sirds dinamikas uz stingru periodisku patoloģiju. 

Līdzīgi ir ar cukura diabētu. Noskaidrojies, ka tieši veselam cilvēkam cukura saturs organismā ir mainīgs, turpretī 

diabēta slimniekiem tas ir stingri noteikts. Tas pats attiecas arī uz sarkano asinsķermenīšu daudzumu, kas ir konstants 

tikai patoloģiskos gadījumos. Nevilšus rodas jautājums, vai maz pareizi ārstējam pacientus? Vai cilvēkam ir 

vajadzīgs pastāvīgs sirds ritms, nemainīgs asins sastāvs, mūžīgi labs garastāvoklis, varbūt tas viss ir patoloģija? 

Arī cilvēka smadzenēs viena daļa (kreisā puslode) meklē stabilitāti, bet otra (labā puslode) vēlas kārtību pārvērst 

haosā. Mēs paši, mūsu ķermenis, individualitāte un citas īpašības attīstījušās viltīgā mijiedarbībā starp haosu, kārtību 

un jucekli. 

Haoss ir radījis jaunas datortehnoloģijas, speciālu grafisko tehniku, ar kuru ir iespējams radīt apbrīnojami sarežģītas 

struktūras, kuras izraisa kaut kāda veida nekārtība, juceklis. 

Jēdzieni fraktāls un fraktālā ģeometrija, kuri radušies XX gs. 70. gadu beigās, jau 80. gadu vidū ir ieviesušies 

matemātiķu un programmētāju valodā. Vārds fraktāls radies no latīņu fractus un tulkojumā nozīmē tāds, kas sastāv 

no fragmentiem. Šo terminu neregulāru, bet oriģinālam līdzīgu struktūru apzīmēšanai 1975. gadā piedāvāja Benuā 

Mandelbrots (Benoît Mandelbrot, 1924). Fraktālās ģeometrijas rašanos pieņemts saistīt ar 1977. gadā izdoto Mandelbrota 

grāmatu The Fractal Geometry of Nature. 

Atslēgvārds, kurš raksturo fraktāli, ir pašlīdzība. Pateicoties šai spilgtākajai īpašībai, fraktāli ir iespējams noteikt 

kā ģeometrisku figūru, kurā viens un tas pats fragments pie katra soļa, samazinot mērogu, atkārtojas. 

Fraktāļi dod iespēju aprakstīt un attēlot dabā esošus objektus. Mūsdienās ar fraktāļu palīdzību ir iespējams attēlot 

gandrīz jebkuru objektu dabā. Svarīgi ir tikai atrast īsto formulu. 

Izmantoti materiāli: 

1. http://anton.world.lv/sakarup 

2. www.politeh.lv/fraktali/1.html 

7


M_10_SP_00_01_P1 

NEEIKLĪDA ĢEOMETRIJA 

Matemātikas galīgā izveidošanās par patstāvīgu zinātni noritēja V gs. vidū p.m.ē. un beidzās ar Eiklīda “Elementu” 

sarakstīšanu III gs. p.m.ē., kur izklāstīta aritmētika, planimetrija un stereometrija. Šim darbam bija izšķiroša 

nozīme visā turpmākajā ģeometrijas attīstībā. Tajos ģeometrija izklāstīta tā, kā to saprotam arī tagad, runājot par 

elementāro ģeometriju. Tā ir zinātne par vienkāršākajām plakanajām un telpiskajām formām. 

Ikviens no jums zina, ka taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu (Pitagora 

teorēma) un ka jebkura trijstūra iekšējo leņķu summa ir 180 grādi, un ka paralēlas taisnes nekrustojas. Šīs sakarības 

ir spēkā Eiklīda ģeometrijā. 

Eiklīda ģeometriju tūkstošiem gadu visi uzskatīja par vienīgi iespējamo ģeometrijas sistēmu, kurā ikviena patiesība 

ir citu, iepriekš pierādītu patiesību loģiskas sekas. Šī ģeometrija balstās uz 5 postulātiem. 

1. Divus punktus var savienot ar vienu vienīgu taisni. 

2. Taisnes nogriezni abos tā galos uz taisnes var pagarināt. 

3. Ap katru punktu kā ap centru var apvilkt riņķa līniju ar jebkādu rādiusu. 

4. Visi taisnie leņķi ir vienādi. 

5. Ja dotā plaknē ir taisne un punkts, kas neatrodas uz taisnes, tad caur šo punktu var novilkt vienu vienīgu taisni, 

kura nekrusto doto taisni. 

Šie postulāti, ar kuriem aprakstīja pamatjēdzienu (punkta, taisnes, plaknes) īpašības, šķita tik saprotami, ka nevienam 

neradās šaubas par tiem. Izņēmums bija 5. postulāts par paralēlām taisnēm. Divu tūkstošu gadu laikā daudzi 

izcilākie sava laikmeta zinātnieki neveiksmīgi mēģināja pierādīt šo postulātu, pamatojoties uz iepriekšējām aksiomām 

un postulātiem. 

Lūzums radās 1826. gadā, kad Lobačevskis * (gandrīz tajā pašā laikā arī ungāru matemātiķis Boljai ** un vācu 

matemātiķis Gauss *** ) nonāca pie atziņas, ka Eiklīda ģeometrija nav vienīgā un ka ir iespējama arī cita, loģiski tikpat 

nevainojami uzbūvēta ģeometrija, kuru šodien sauc par Lobačevska (neeiklīda) ģeometriju, un šajā ģeometrijā Eiklīda 

5. postulāts aizvietots ar šādu: ja plaknē dota taisne un punkts, kas neatrodas uz taisnes, tad caur šo punktu var 

novilkt neierobežoti daudz taišņu, kuras nekrusto doto taisni. Tajā trijstūra iekšējo leņķu summa ir mazāka par 180 

grādiem, un katram trijstūrim tā var būt savādāka. 

Jaunatklātās ģeometrijas viens no nozīmīgākajiem rezultātiem bija uzdrošināšanās izveidot vēl citas neeiklīda 

ģeometrijas. Viena no tādām – Rīmana jeb eliptiskā ģeometrija. Kā Rīmana plakni var iztēloties lodes virsmu, kā 

taisni – lodes lielā riņķa līniju. Rīmana taisnes ir slēgtas, galīgas un tām visām ir viens garums. Rīmana plaknē nav 

paralēlu taišņu, Eiklīda 5. postulāts aizvietots ar šādu: ja plaknē dota taisne un punkts, kas neatrodas uz taisnes, tad 

caur šo punktu nevar novilkt nevienu dotajai taisnei paralēlu taisni. 

Interesanti, ka Lobačevska ģeometrijā trijstūra iekšējo leņķu summa ir mazāka par 180 grādiem, bet Rīmana 

ģeometrijā – lielāka par 180 grādiem. 


Глейзер Г.И. История математики в школе – Москва: Просвещение, 1982 

* Николай Лобачевский, 1792 - 1856 

** Boljai Janos, 1802 – 1860 

*** Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 – 1855 

8


M_10_SP_01_01_P1 

Vārds uzvārds klase datums 

VEKTORU IZTEIKŠANA 

1. uzdevums 

Dots regulārs sešstūris ABCDEF, O – sešstūrim apvilktās riņķa līnijas centrs. Izsaki visus vektorus, kuru sākumpunkts 

ir punkts O un galapunkts kāda no sešstūra virsotnēm, izmantojot vektorus AB=x un AF=z! 

B 

C 

A 

O 

D 

F 

E 

2. uzdevums 

MN ir trijstūra ABC viduslīnija (M atrodas uz malas AB, N atrodas uz malas BC), MA=m, MA=n. Izsaki vektorus 

MB, AC, MC ar vektoriem m un n ! 

B 

M 

N 

A 

C 

3. uzdevums 

Dots trijstūris ABC, AB=a un AC=b. Punkts D atrodas uz trijstūra malas BC. Izsaki vektorus BC, BD, AD ar 

vektoriem a un b , ja BD : DC = 1 : 2 ! 

B 

A 

C 

9


M_10_SP_01_01_P1 

4. uzdevums 

Dots regulārs sešstūris ABCDEF, O – sešstūrim apvilktās riņķa līnijas centrs. Novilktas visas sešstūra diagonāles, kuras 

iet caur punktu O. Vai iespējams, izmantojot vektorus AB=x un AF=z, izteikt visus vektorus, kuri atbilst kādam 

no sešstūrī redzamajiem nogriežņiem (cik ir šādu vektoru)? 

B 

C 

A 

O 

D 

F 

E 

5. uzdevums 

Uz paralelograma ABCD malas BC izvēlēts punkts K tā, ka BK = KC. AK=a un AC=b. Izsaki vektorus AD un 

AB ar vektoriem a un b ! 

B 

C 

A 

D 

10


M_10_UP_01_P1 


VEKTORU IZTEIKŠANA AR VIENĪBAS VEKTORIEM 

Uzdevums 

Doti vektori i un j , kuru virzieni sakrīt attiecīgi ar x un y ass pozitīvo virzienu, bet to moduļi ir 1 (tos sauc par vienības 

vektoriem). Vektoru a var izteikt ar šo vienības vektoru palīdzību šādi: a =4i+j. 

a) Līdzīgā veidā izsaki arī pārējos zīmējumā redzamos vektorus ar vektoru i un j palīdzību! 

y 

5 

b = 

4 

c 

c = 

e 

3 

d = 

2 

–5 

–4 

–3 

–2 

b 

–1 

1 

0 

j 

i 

1 

2 

a 

3 

4 

5 6 

x 

e = 

f = 

–1 

g = 

–2 

f 

–3 

d 

–4 

–5 

g 

–6 

–7 

b) Vai jebkuru brīvi izvēlētu vektoru var izteikt ar vektoriem i un j ? Atbildi pamato! 

11


M_10_LD_01 


DARBĪBAS AR VEKTORIEM 

Situācijas apraksts 

Nosaucot jēdzienu vektors, parasti iztēlojamies orientētu nogriezni. Vektorus protam saskaitīt. Šo darbību veicot, 

veidojam zīmējumu, kurā attēlojam dotos vektorus un vektoru, kurš iegūts darbību izpildes rezultātā. Zinām, ka 

katru vektoru var raksturot ar tā koordinātām – ja dotas koordinātas, tad dots pats vektors. Izrādās, ka darbības ar 

vektoriem, ja zināmas to koordinātas, var arī veikt, vektorus neuzzīmējot. 

Pētāmā problēma 

Kā, nezīmējot pašus vektorus, noteikt to summas vektora koordinātas? 

Pārdomā problēmu! Vai saprati, ka 

• mērķis ir iegūt sakarību, kas saista doto vektoru koordinātas ar darbības rezultātā iegūtā vektora 

koordinātām; 

• lai iegūtu šo sakarību, vari dotos un meklējamos vektorus arī konstruēt? 

Atceries, ko zini un proti saistībā ar vektoriem un kā tas varētu noderēt, risinot šo problēmu! 

Domā par risinājumu kopumā, necenties tūlīt katru soli realizēt! 

Uzraksti veicamās darbības, esi gatavs paskaidrot to nepieciešamību! 

Darba gaita 

Veic plānotās darbības un izvirzi hipotēzi! 

4


M_10_LD_0 

Risinājums 

Hipotēze 

5


M_10_SP_00_01_P1 

KĀ RADĀS UN ATTĪSTĪJĀS FUNKCIJAS JĒDZIENS 

Senajos laikos, kad cilvēki vēl nemācēja skaitīt un nepazina skaitļus, viņi jau zināja, jo vairāk briežu izdosies 

nomedīt, jo ilgāk cilts būs pasargāta no bada, jo ilgāk kursies ugunskurs, jo siltāk būs alā. Pakāpeniski, attīstoties 

lopkopībai un zemkopībai, cilvēkiem zināmo sakarību skaits palielinājās: piemēram, jo lielāks lauks, jo lielāka raža, 

jo lielāks ganāmpulks, jo lielāks nocirptās vilnas daudzums, jo vairāk cilvēku iesaistīti aizsprosta būvēšanā, jo mazāka 

darba daļa katram jāveic. 

Svēršana, garuma un tilpuma mērīšana un citas darbības katram lielumam piekārtoja skaitli – šī lieluma mēru 

(atbilstošā mērvienību sistēmā). Ikdienas dzīvē reti iznāca saskarties ar sarežģītākām attiecībām. 

Matemātiskās zināšanas augstu līmeni sasniedza senajā Babilonijā. Lai atvieglotu aprēķinus, babilonieši sastādīja 

tabulas (apgrieztiem skaitļiem, skaitļu kvadrātiem, skaitļu kubiem, kā arī skaitļu kvadrātu un kubu summām). 

Mūsdienu valodā runājot, tās bija funkciju y= 1 x ; y=x2 ; y=x 3 un y=x 2 +x 3 vērtību tabulas. Šīs tabulas varēja izmantot 

arī kvadrātsakņu vilkšanai. Lai gan no šīm tabulām līdz vispārīgam funkcijas jēdzienam vēl bija ejams ļoti tāls ceļš, 

pirmie soļi jau bija sperti. 

Senās Grieķijas matemātiķi lielumus neizteica ar skaitļiem, bet ar nogriežņiem, jo zināja, ka eksistē arī nesamērojami 

nogriežņi. Līdz laikam, kad pēc divām tūkstošgadēm veidosies vispārējs funkcijas jēdziena skaidrojums, grieķi 

pētīja dažādas līknes – elipses, hiperbolas, parabolas, dažādas spirāles – pētīja lielumu mazākās un lielākās vērtības, 

atklāja riņķa diametru un hordu savstarpējās attiecības. Grieķi sastādīja tabulas, kas parādīja attiecības starp loku un 

hordas, kas to savelk, garumu. 

Pētījumus par sakarībām starp lielumiem XIV gs. sāka Oremas Nikolajs (Nicole D’oresme, 1320 – 1382). Viņa 

manuskriptos ir atrodami zīmējumi, kas atgādina mūsdienīgus funkciju grafikus. Viņš pat mēģināja šos grafikus 

klasificēt, taču tālāk attīstīt šo teoriju traucēja algebriskās simbolikas trūkums, kuru tikai XVI gs. novērsa Fransuā 

Vjets (François Viète, 1540 – 1603). 

XVI - XVII gs. tehnikas, rūpniecības un jūrniecības attīstība piedāvāja uzdevumus, kuri senajos laikos matemātiķiem 

nebija pieejami. Toreiz matemātiķi nodarbojās ar nekustīgiem objektiem, nemainīgiem lielumiem. Tajā laikā 

izplatījās uzskats, ka pasaulē valda dabas likumi, kurus ir iespējams izzināt. Lai formulētu šos likumus, nepieciešams 

radīt jaunas matemātiskas metodes. Lai matemātiski aprakstītu kustības likumu fizikā, bija nepieciešams ieviest 

jēdzienu – mainīgs lielums jeb mainīgais. To veica franču filozofs un matemātiķis Renē Dekarts (René Descartes, 

1596 – 1650). 

Zinātnē jauna termina ieviešanu definē precīzi. 1673. gadā vācu zinātnieks Gotfrīds Leibnics (Gottfried Wilhelm 

Leibniz, 1646 – 1716) pirmais sāka lietot vārdu funkcija, lai gan viņš to lietoja šaurā nozīmē. Latīņu valodā funktus 

nozīmē izpildīt. 


Виленкин Н. Как возникло и развивалось понятие функции - журнал “Квант”, 1977. 

5

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S 

M_10_KD_01_01 


VEKTORU SIMBOLISKAIS PIERAKSTS 

1. uzdevums (5 punkti) 

Pieraksti dotos apgalvojumus ar matemātiskiem simboliem! 

a) Vektors CD ir pretēji vērsts vektoram AB. 

b) Vektoru m un n starpība ir vektors p. 

c) Vektora a projekcija uz abscisu ass ir vienāda ar 4. 

d) Vektora d modulis ir 5. 

e) Vektora b koordinātas ir 2 un 5. 

2. uzdevums (5 punkti) 

Izmantojot doto zīmējumu un matemātiskos simbolus, uzraksti piemērus, kas raksturo dotos jēdzienus! 

y 

Jēdziens 

Pretēji 

vektori 

Ar šo jēdzienu saistīts 

piemērs 

B 

C 

Vektora 

koordinātas 

1 

0 

1 

A 

D 

x 

Vektoru 

vienādība 

Vektora 

modulis 

Vektora 

projekcija 

5

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S 

M_10_KD_01_02 


VEKTORU IZTEIKŠANA AR DOTAJIEM VEKTORIEM 


Punkts K sadala nogriezni MN attiecībā 2:1. 

Dots MN=a. Izsaki vektorus MK, KN, NK ar vektoru a! 

a) KN= 

b) MK= 

c) NK= 


Uz trijstūra ABC malas BC atlikts punkts D tā, ka BD 

DC = 1 . Nogriežņa AD viduspunkts ir E. 

3 

Dots, ka AB=u un BD=v (sk. zīm.). 

Izsaki vektorus AD, AE, BE un CE formā r⋅u +s⋅v, kur r un s ir reāli skaitļi! 

a) AD= 

b) AE= 

c) BE= 

u 

B 

v 

E 

D 

d) CE= 

A 

C 

6

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S 

M_10_ND_01_SN_1V 



1. variants 


Koordinātu plaknē doti vektori p un q. 

y 

q 

p 

1 

0 

x 

a) Atliec vektoru p no punkta M(2;3)! 

b) Uzzīmē vektoru a=–0,5p! 

c) 

Pasvītro atbilstošo jēdzienu! 

Vektori a un p ir 

vienādi vektori 

pretēji vektori 

vienādi vērsti vektori 

pretēji vērsti vektori 

d) Uzzīmē vektora q ģeometriskās projekcijas uz koordinātu asīm! 

e) Nosaki vektora q projekcijas uz asīm! 

q x 

= q y 

= 

f) Nosaki vektora q koordinātas! 

q ( ; ) 

g) Aprēķini vektora q moduli! 

|q|= 

h) Uzzīmē vektoru s=q+p! 

22


M_10_ND_01_SN_1V 


Dots taisnstūris ABCD, E ir BC viduspunkts, AE=a; AD=b. 

Izsaki vektorus AC un DB ar vektoriem a un b! 

B 

E 

C 

A 

D 


Uz ķermeni darbojas trīs spēki (sk. zīm.), kuru skaitliskās vērtības ir F 1 

=12 N, F 2 

=24 N un F 3 

=5 N. Konstruē šo 

spēku kopspēka vektoru F=F 1 

+F 2 

+F 3 

! Aprēķini spēka F skaitlisko vērtību! 

F 3 

F 1 F 2 


Doti vektori KL(x;y) un KM(–2x;–2y). 

a) Raksturo šo vektoru savstarpējo novietojumu un uzskicē zīmējumu, kas to ilustrē! 

b) Raksturo punktu K, L un M savstarpējo novietojumu! 

c) Formulē nosacījumu, kam jāizpildās, lai 3 punkti atrastos uz vienas taisnes, izmantojot vektorus! 

23


M_10_ND_01_SN_2V 






y 

q 

p 

1 

0 

x 



c) Pasvītro atbilstošo jēdzienu! 








q x 

= q y 

= 

f) Nosaki vektora qkoordinātas! 

q ( ; ) 


|q|= 


24


M_10_ND_01_SN_2V 


Dots taisnstūris KLMN, P ir MN viduspunkts, KL=a; KP=b. 

Izsaki vektorus KM un LN ar vektoriem a un b! 

L 

M 

P 

K 

N 


Uz ķermeni darbojas trīs spēki (sk. zīm.), kuru skaitliskās vērtības ir F 1 

=15 N, F 2 

=30 N un F 3 

=8 N. Šo spēku 

summa F=F 1 

+F 2 

+F 3 

ir spēks, kura virzienā ķermenis tiek pārvietots. Papildini zīmējumu, konstruējot vektoru F! 

Aprēķini spēka F skaitlisko vērtību! 

F 1 F 2 

F 3 


Doti vektori AB(x;y) un BE(–3x;–3y). 

a) Raksturo šo vektoru savstarpējo novietojumu un uzskicē zīmējumu, kas to ilustrē! 

b) Raksturo punktu A, B un E savstarpējo novietojumu! 

c) 

Formulē nosacījumu, kam jāizpildās, lai 3 punkti atrastos uz vienas taisnes, izmantojot vektorus! 

25

N o b e i g u m a v ē r t ē š a n a s d a r b i u n k r i t ē r i j i 





y 


Dots taisnstūris ABCD, E ir BC viduspunkts, 

AE=a; AD=b. 

Izsaki vektorus AC un DB ar vektoriem 

a un b! 

B 

E 

C 

q 

p 

A 

D 

1 

0 

x 


Uz ķermeni darbojas trīs spēki (sk. zīm.), kuru skaitliskās vērtības ir F 1 =12 N, 

F 2 =24 N un F 3 =5 N. Konstruē šo spēku kopspēka vektoru F=F 1 +F 2 +F 3 ! Aprēķini 

spēka F skaitlisko vērtību! 

F 3 



F 1 F 2 










Doti vektori KL(x;y) un KM(–2x;–2y). 

a) Raksturo šo vektoru savstarpējo novietojumu un uzskicē zīmējumu, kas to 

ilustrē! 

b) Raksturo punktu K, L un M savstarpējo novietojumu! 

c) Formulē nosacījumu, kam jāizpildās, lai 3 punkti atrastos uz vienas taisnes, 

izmantojot vektorus! 




22



2. variants 



y 


Dots taisnstūris KLMN, P ir MN viduspunkts, 

KL=a; KP=b. 

Izsaki vektorus KM un LN ar vektoriem 

a un b! 

L 

M 

P 

p 

1 

0 

q 

x 


Uz ķermeni darbojas trīs spēki (sk. zīm.), K 

N 

kuru skaitliskās vērtības ir F 1 =15 N, F 2 =30 N un F 3 =8 N. Šo spēku summa F 

=F 1 +F 2 +F 3 ir spēks, kura virzienā ķermenis tiek pārvietots. Papildini zīmējumu, 

konstruējot vektoru F! Aprēķini spēka F skaitlisko vērtību! 














F 1 F 2 

F 3 


Doti vektori AB(x;y) un BE(–3x;–3y). 

a) Raksturo šo vektoru savstarpējo novietojumu un uzskicē zīmējumu, kas to 

ilustrē! 

b) Raksturo punktu A, B un E savstarpējo novietojumu! 

c) Formulē nosacījumu, kam jāizpildās, lai 3 punkti atrastos uz vienas taisnes, 

izmantojot vektorus! 

23


Vērtēšanas kritēriji 

Uzdevums 

1. 

Kritēriji 

Atliek vektora no dotā punkta – 1 punkts 

Reizina vektoru ar negatīvu skaitli – 1 punkts 

Zina pretēji vērsta vektora jēdzienu – 1 punkts 

Uzzīmē vektora ģeometriskās projekcijas – 1 punkts 

Nosaka vektora projekcijas uz asīm – 1 punkts 

Nosaka vektora koordinātas – 1 punkts 

Aprēķina vektora moduli – 1 punkts 

Konstruē summas vektoru – 1 punkts 

Punkti 

8 

2. 

3. 

4. 

Reizina doto vektoru ar 1 2 – 1 punkts 

Izsaka vienu no prasītajiem vektoriem kā divu vektoru summu – 

1 punkts 

Izsaka vektoru, kas atrodas uz taisnstūra malas kā dotā vektora 

5 

pretējo vektoru – 1 punkts 

Izsaka vektoru, kas atrodas uz taisnstūra malas ar dotajiem 

vektoriem – 1 punkts 

Izsaka otru prasīto vektoru kā divu vektoru summu – 1 punkts 

Konstruē divu vektoru summas vektoru – 1 punkts 

Konstruē visu triju vektoru summas vektoru – 1 punkts 

4 

Aprēķina divu vektoru summas vektora moduli – 1 punkts 

Aprēķina summas vektora moduli – 1 punkts 

Saskata, ka vektori ir pretēji vērsti – 1 punkts 

Izveido zīmējumu – 1 punkts 

Saskata, ka punkti atrodas uz vienas taisnes noteiktā secībā – 1 punkts 

Formulējumā iekļauj prasību par to, lai vektori ir vienādi vai pretēji 

vērsti – 1 punkts 

Formulējumā iekļauj prasību par vektoru kopīgu punktu – 1 punkts 

Kopā 22 

5 

24

1. VEKTORI Ievads matemātikā Temata apraksts Skolēnam ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?