Matriz Adjunta y Determinación de la Matriz Inversa.

Álgebra Lineal XXIV: <strong>Matriz</strong> <strong>Adjunta</strong> y Determinación <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />

<strong>Matriz</strong> <strong>Inversa</strong>.<br />

José María Rico Martínez<br />

Departamento <strong>de</strong> Ingeniería Mecánica<br />

Facultad <strong>de</strong> Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica<br />

Universidad <strong>de</strong> Guanajuato<br />

email: jrico@sa<strong>la</strong>manca.ugto.mx<br />

En estas notas <strong>de</strong>finiremos <strong>la</strong> matriz adjunta y mostraremos su re<strong>la</strong>ción con <strong>la</strong> <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />

matriz inversa <strong>de</strong> una matriz no singu<strong>la</strong>r.<br />

1. <strong>Matriz</strong> adjunta.<br />

En esta sección <strong>de</strong>finiremos <strong>la</strong> matriz adjunta <strong>de</strong> una matriz cuadrada.<br />

Definición. Sea M ∈ M m×m ,conm arbitrario y sea<br />

cofactorM =(M ij ).<br />

<strong>la</strong> matriz <strong>de</strong> cofactores <strong>de</strong> <strong>la</strong> matriz original M y don<strong>de</strong> el cofactor M ij está localizadoen<strong>la</strong>i-ésima fi<strong>la</strong><br />

y<strong>la</strong>j-ésima columna <strong>de</strong> <strong>la</strong> matriz <strong>de</strong> cofactores. Entonces <strong>la</strong> matriz adjunta <strong>de</strong> M, <strong>de</strong>nominada adjM,<br />

es <strong>la</strong> transpuesta <strong>de</strong> <strong>la</strong> matriz <strong>de</strong> cofactores; es <strong>de</strong>cir<br />

adjM =(cofactorM) T =(M ij ) T<br />

Teorema. Sea M ∈ M m×m yseani, j enteros tales que i ≠ j, 1≤ i ≤ m y1≤ j ≤ m. Entonces<br />

m∑<br />

m∑<br />

m ik M jk =0 y m ki M kj =0.<br />

Prueba: El término<br />

k=1<br />

k=1<br />

m∑<br />

m ik M jk =0,<br />

k=1<br />

pue<strong>de</strong> interpretarse como <strong>la</strong> expansión en base a <strong>la</strong> j-ésima fi<strong>la</strong> <strong>de</strong>l <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> una matriz ˆM<br />

obtenida a partir <strong>de</strong> <strong>la</strong> matriz original M sustituyendo <strong>la</strong> j-ésima fi<strong>la</strong> con <strong>la</strong> i-ésima fi<strong>la</strong>. Para mostrar<br />

este resultado, consi<strong>de</strong>re <strong>la</strong> matriz ˆM mostrada a continuación,<br />

⎡<br />

⎤<br />

m 11 m 12 ··· m 1m<br />

m 21 m 22 ··· m 2m<br />

m 31 m 32 ··· m 3m<br />

. .<br />

. . . ..<br />

. .<br />

ˆM =<br />

m i1 m i2 ··· m im<br />

. . . .. i − ésima fi<strong>la</strong><br />

.<br />

m i1 m i2 ··· m im<br />

j − ésima fi<strong>la</strong><br />

⎢ . .<br />

⎣<br />

.<br />

. . ..<br />

. ⎥<br />

. ⎦<br />

m m1 m m2 ··· m mm<br />

1

---

Note que ˆM jk = M jk .A<strong>de</strong>más, puesto que ˆM tiene dos fi<strong>la</strong>s iguales <strong>de</strong>t ˆM =0,porlotanto<br />

S =<br />

m∑<br />

m ik M jk = <strong>de</strong>t ˆM = <strong>de</strong>t ˆM T =0.<br />

k=1<br />

Un procedimiento semejante permite probar el valor <strong>de</strong> <strong>la</strong> otra sumatoria.<br />

Teorema. Sea M ∈ M m×m .Lainversa<strong>de</strong>M <strong>de</strong>notada por M −1 está dada por<br />

M −1 = adjM<br />

<strong>de</strong>tM<br />

Prueba: Consi<strong>de</strong>re el producto<br />

N = M adjM<br />

<strong>de</strong>tM<br />

Entonces, los elementos <strong>de</strong> <strong>la</strong> matriz N están dados por<br />

1. Elementos en <strong>la</strong> diagonal,<br />

n ii =<br />

n∑<br />

j=1<br />

m ij<br />

M ij<br />

<strong>de</strong>tM = 1<br />

<strong>de</strong>tM<br />

m∑<br />

m ij M ij =1 ∀ 1 ≤ i ≤ m.<br />

j=1<br />

2. Elementos fuera <strong>de</strong> <strong>la</strong> diagonal,<br />

n ij =<br />

n∑<br />

k=1<br />

m ij<br />

M ij<br />

<strong>de</strong>tM = 1<br />

<strong>de</strong>tM<br />

m∑<br />

m ij M ij =0 ∀ 1 ≤ i ≤ m, don<strong>de</strong> i ≠ j.<br />

j=1<br />

De aquí que,<br />

Finalmente<br />

N = M adjM<br />

<strong>de</strong>tM = I m<br />

M −1 = adjM<br />

<strong>de</strong>tM .<br />

2. Problemas Resueltos.<br />

Problema 1. Suponga que <strong>la</strong> matriz M está dadapor<br />

⎡<br />

M = ⎣ 1 3 −1 ⎤<br />

2 −1 3 ⎦<br />

1 2 −3<br />

Determine <strong>la</strong> inversa <strong>de</strong> esta matriz mediante el método<strong>de</strong><strong>la</strong>matrizadjunta.<br />

Solución. De acuerdo con el método, se <strong>de</strong>be obtener primero <strong>la</strong> matriz <strong>de</strong> menores <strong>de</strong> <strong>la</strong> matriz M,<br />

⎡<br />

⎤<br />

−3 −3 5<br />

menorM = ⎣ −7 −4 5 ⎦<br />

8 5 −7<br />

La matriz <strong>de</strong> cofactores <strong>de</strong> M está dadapor<br />

⎡<br />

cofactorM = ⎣ −3 3 5 ⎤<br />

7 −4 −5 ⎦<br />

8 −5 −7<br />

2

---

Finalmente, <strong>la</strong> matriz inversa <strong>de</strong> M, dada por M −1 ,estádadapor<br />

M −1 = (cofactorM)<br />

| M |<br />

don<strong>de</strong> | M |= 3,porlotanto<br />

⎡<br />

⎣ −3 3 5 ⎤<br />

7 −4 −5 ⎦<br />

M −1 8 −5 −7<br />

=<br />

3<br />

T<br />

⎡<br />

= 1 ⎣ −3 7 8 ⎤<br />

3 −4 −5 ⎦<br />

3<br />

5 −5 −7<br />

3. Problemas Propuestos.<br />

Problema 1. Consi<strong>de</strong>re <strong>la</strong> matriz <strong>de</strong>l problema propuesto 3, <strong>de</strong> <strong>la</strong>s notas Álgebra Lineal XIX:<br />

Rango <strong>de</strong> una <strong>Matriz</strong> y <strong>Matriz</strong> <strong>Inversa</strong>, dada por<br />

⎡<br />

1 −2 2 ⎤<br />

M 1 = ⎣ 3 1 0 ⎦<br />

−1 2 1<br />

Determine su matriz inversa.<br />

3