Problemas de Bioestad´ıstica

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 

Cátedra de Bioestadística 

Facultad de Medicina 

Curso 2004-2005 

Problemas 

de 

Bioestadística

Estadística Descriptiva 

1. En un estudio sobre el Grupo Sanguíneo de 25 varones se han obtenido los siguientes resultados: 

Individuo n o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 

G. Sanguíneo A B A A A AB 0 A A A 0 B 0 

Individuo n o 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 

G. Sanguíneo A B 0 B 0 A B B A A 0 B 

(a) Clasifica estos datos en una tabla de frecuencias, calculando las frecuencias absolutas, relativas y porcentuales 

de cada modalidad. 

(b) ¿Cuál es la proporción de individuos con grupo A en la muestra? 

(c) Construye el diagrama de barras y el diagrama de sectores. 

2. La siguiente tabla nos muestra los enfermos mentales ingresados en un hospital psiquiátrico durante un año, 

clasificados según el tipo de enfermedad: 

Enfermedad Casos 

Psicosis Maniacodepresiva 20 

Esquizofrenia 116 

Neurosis 60 

Demencia 33 

Alcoholismo 70 

Otros 25 

(a) Calcula las frecuencias relativas y porcentuales. Construye el diagrama de barras porcentuales. 

(b) ¿Cuál es el porcentaje de enfermos de Neurosis ingresados en ese hospital durante el año considerado? 

(c) Construye el diagrama de sectores de este conjunto de datos. 

3. Un estudio sobre el pH sanguíneo de un conjunto de 100 individuos ha dado los siguientes resultados: 

7.32 7.42 7.35 7.45 7.36 7.41 7.36 7.42 7.45 7.38 

7.42 7.43 7.42 7.42 7.35 7.46 7.38 7.46 7.45 7.42 

7.42 7.42 7.43 7.42 7.30 7.36 7.37 7.47 7.46 7.45 

7.45 7.38 7.42 7.45 7.37 7.40 7.47 7.45 7.45 7.45 

7.43 7.42 7.42 7.46 7.37 7.41 7.32 7.45 7.45 7.52 

7.53 7.42 7.45 7.47 7.38 7.43 7.42 7.33 7.46 7.52 

7.52 7.39 7.42 7.39 7.41 7.42 7.47 7.37 7.37 7.43 

7.42 7.37 7.42 7.37 7.42 7.42 7.47 7.54 7.38 7.34 

7.42 7.42 7.43 7.42 7.47 7.48 7.49 7.41 7.42 7.42 

7.42 7.42 7.40 7.38 7.42 7.46 7.42 7.50 7.51 7.36 

(a) Construye una tabla de frecuencias para estos datos (realizar previamente el diagrama tallo-hoja). 

(b) Representa el polígono de frecuencias (para frec. relativas sin acumular) y la curva acumulativa (es 

decir el polígono para frecuencias relativas acumuladas). 

(c) Calcula la media, mediana, moda, varianza y desviación típicas de los valores de pH de dicha muestra. 

¿Son exactos estos valores? Razona la respuesta. 

(d) Calcula los cuartiles, el percentil 65 (P65) y el decil 9 (D9). 

(e) ¿Qué porcentaje de individuos tienen un pH superior a 7.43? 

2

(f) Dibuja y comenta el box-plot correspondiente a los valores de pH de la muestra. 

4. Se ha efectuado la determinación de la cantidad de ácido úrico (mg/l) en la sangre de un grupo de 99 

personas normales resultando los valores siguientes: 

31 61 46 58 46 60 36 53 43 38 54 47 52 55 44 62 71 55 41 50 54 45 46 54 42 46 49 53 52 53 51 38 

46 52 70 69 51 46 46 48 66 68 53 46 47 43 58 90 52 42 55 41 58 50 78 64 40 57 56 54 41 59 44 54 

53 55 61 61 75 37 48 43 47 72 51 48 62 66 52 47 47 51 67 47 41 51 47 57 67 61 39 56 46 84 63 54 

47 47 46 

(a) Construye una tabla de frecuencias para estos datos (realizar previamente el diagrama tallo-hoja). 

(b) Representa gráficamente los datos anteriores mediante un histograma y polígono de frecuencias (tanto 

para frec. acumuladas como sin acumular). 

(c) Caracteriza estos datos mediante los valores típicos adecuados. 

(d) Construye y comenta el box-plot correspondiente. 

5. La siguiente tabla representa los pesos, en Kg., de un grupo de 500 enfermos de un determinado centro: 

Peso (Kg) fi 

X ≤ 45 1 

45 < X ≤ 50 3 

50 < X ≤ 55 12 

55 < X ≤ 60 75 

60 < X ≤ 65 103 

65 < X ≤ 70 155 

70 < X ≤ 75 101 

75 < X ≤ 80 29 

80 < X ≤ 85 11 

85 < X ≤ 90 8 

X ≥ 90 2 

(a) Representa los datos mediante un polígono de frecuencias. 

(b) Da una medida de centralización y una de dispersión que representen al conjunto de datos. 

(c) ¿Cuántos individuos hay en la muestra cuyo peso sea superior a 72 kg.? ¿Qué porcentaje de la muestra 

representa? 

(d) Calcula los Percentiles P30 y P65, así como los deciles D5 y D8. 

6. En un estudio sobre el metabolismo del Cinc en enfermos cirróticos, se encontraron los siguientes valores de 

Cinc en la sangre y en la orina de un grupo de 14 enfermos (datos de la Rev. Clin. Esp.): 

3

Enfermo n o Cinc en sangre (100cc) Cinc en orina (100cc) 

1 57.2 580 

2 64.5 460 

3 99 803 

4 105.5 750 

5 96 744 

6 268 560 

7 54 320 

8 54 50 

9 155 190 

10 60 270 

11 56 280 

12 90 285 

13 190 330 

14 56 350 

(a) Calcula la media aritmética de Cinc (en sangre y en orina) para este grupo de enfermos, así como las 

correspondientes desviaciones típicas y coeficientes de variación. 

(b) Interpreta los valores típicos anteriores. ¿Qué conjunto de datos está más disperso? Razona la respuesta. 

7. Construye un histograma de frecuencias relativas para los datos agrupados en la siguiente tabla: 

Adenoma Pituitaria. Incidencia según edad 

Edad en años cumplidos N o de casos 

0-1 57 

2-4 50 

5-9 66 

10-14 53 

15-19 19 

20-29 6 

8. Se tiene una muestra numerosa de valores de urea en sangre de recién nacidos y se han calculado los siguientes 

Percentiles (en mg/l): 

(a) Calcula los cuartiles. 

P5 P10 P20 P25 P40 P50 P60 P75 P80 P90 P95 

105 138 181 195 233 258 281 318 334 375 407 

(b) ¿Qué porcentaje de valores de urea se encuentran comprendidos entre el primer y tercer cuartil? ¿Y 

por debajo de 233 mg/l? ¿Y entre 105 y 407 mg/l? 

(c) Calcula una medida de dispersión a partir de los cuartiles. 

9. Si un recién nacido pesó 3.25 Kg. a primeros de Abril y 4.86 a primeros de Junio, ¿cuál era su peso 

aproximado a primeros de Mayo? 

Nota: esto sólo es aplicable a los tres primeros meses de vida del niño que es cuando se supone que el 

incremento en peso depende del peso que tiene. 

10. Se ha medido en un tubo de una determinada longitud, la velocidad de sedimentación de una muestra de 

sangre, en cuatro ocasiones diferentes. Las velocidades obtenidas han sido de 6.8, 7, 7.1, 6.7 mm/h. ¿Cuál 

es la velocidad de sedimentación de la sangre analizada? 

4

11. Se ha detectado una pequeña área donde se encuentra una colonia de bacterias que se estima en 90500 

microorganismos. Al cabo de 12 horas el número de microorganismos estimados fue de 115300 y 12 horas 

más tarde se contabilizó en 146100. Pasadas 36 horas de la detección de la colonia su número se estimó en 

184600. Calcula la media geométrica del número de colonias e interpreta dicho resultado. 

12. Se han estudiado los medicamentos, amantadine (A) y rimantadine (R), para combatir el virus de la gripe. 

Se han administrado por vía oral dosis únicas de 100mg a individuos adultos. La variable considerada es T, 

el tiempo requerido (en minutos) para alcanzar la concentración máxima de plasma. Los datos obtenidos 

aparecen en los diagramas tallo-hoja siguientes: 

T(A) T(R) 

7∗ 0 → 70 minutos 8∗ 0 → 80 minutos 

7∗ 0 1 2 2 3 8∗ 0 1 2 

7• 5 6 8 8• 5 6 6 7 8 

8∗ 0 1 9∗ 0 1 2 

8• 9 9• 5 6 

9∗ 0 10∗ 3 4 

9• 5 6 9 10• 7 

10∗ 0 1 1 3 3 4 11∗ 

11• 9 9 

12∗ 4 

12• 9 

(a) ¿Qué medidas de centralización y dispersión crees más adecuadas para describir estos dos conjuntos de 

datos? Razona la respuesta y calcula los valores de las medidas que hayas elegido. 

(b) La diferencia en la forma de las distribuciones de estos dos conjuntos de datos, ¿cómo queda de manifiesto 

en las medidas de forma? Razona la respuesta. 

13. En un estudio realizado sobre 100 individuos se han observado, entre otros, tres parámetros bioquímicos 

(P1, P2, P3). El análisis descriptivo de los datos proporciona la siguiente tabla: 

¯x s 

P1 70 7 

P2 270 13 

P3 1.5 0.1 

(a) ¿Con respecto a qué parámetro se comporta relativamente más homogénea esta muestra de 100 individuos? 

Justifica la respuesta. 

(b) Posteriormente a la realización del estudio se observó que la máquina utilizada para medir el parámetro 

bioquímico P1 daba sistemáticamente cinco unidades por encima del valor real. ¿Cómo afecta esta 

situación a la media y desviación típica obtenidas para P1? Razona la respuesta. 

14. En un estudio sobre el peso (en Kg) de niños recién nacidos en una determinada región, se tomó una muestra 

de 200 niños, siendo los datos obtenidos agrupados en 5 clases de amplitud 0.5. Se elaboró la siguiente tabla 

incompleta: 

5

(a) Completa la tabla. 

Peso xi fi hi Fi Hi 

(1.5,2] 10 

0.225 

.7 

35 

(b) ¿Qué porcentaje de niños tienen un peso superior a 2.5 Kg e inferior a 3.1 Kg? Calcula los Percentiles 

P10 y P90. 

(c) ¿Qué valor del peso es superado por un 25% de los datos de la muestra? 

(d) Dibuja el box-plot correspondiente. 

6

Cálculo de Probabilidades 

1. Considera una familia con una madre, un padre, y dos hijos. Sea A1 = { la madre tiene la enfermedad E }, 

A2 = { el padre tiene la enfermedad E }, A3 = { el primer hijo tiene la enfermedad E }, A4 = { el segundo 

hijo tiene la enfermedad E }, B = { al menos un hijo tiene la enfermedad E }, C = { al menos uno de los 

padres tiene la enfermedad E }, D = { al menos un miembro de la familia tiene la enfermedad E }. 

(a) ¿Qué significa A1 ∪ A2? ¿Qué significa A1 ∩ A2? 

(b) ¿Son A3 y A4 incompatibles? 

(c) ¿Qué significa A3 ∪ B? ¿Qué significa A3 ∩ B? 

(d) Expresa C en términos de A1, A2, A3, A4. 

(e) Expresa D en términos de B y C. 

(f) ¿Qué significa A c 1 ? ¿Qué significa Ac 2 ? 

(g) Expresa C c en términos de A1, A2, A3, A4. 

(h) Expresa D c en términos de B y C. 

(i) Supongamos que en un 10% de las familias la madre tiene la enfermedad E; en un 10% de las familias 

el padre tiene la enfermedad E; y en un 2% de las familias ambos, el padre y la madre, tienen la 

enfermedad E. ¿Son independientes los sucesos A1 y A2? 

(j) Supongamos que la probabilidad de que cada hijo tenga la enfermedad E es 0.2, mientras que en un 

10% de las familias ambos hijos tienen la enfermedad E. ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia 

al menos un hijo tenga la enfermedad E? 

(k) ¿Cuál es la probabilidad de que el padre tenga la enfermedad E si la madre la padece? 

(l) ¿Cuál es la probabilidad de que el padre tenga la enfermedad E si la madre no la tiene? 

(Solución: c) B, A3; d) C = A1 ∪ A2; e) D = B ∪ C; g) C c = A c 1 ∩ Ac 2 ; h) Dc = B c ∩ C c ; i) No; j) 0.3; k) 

0.2; l) 0.089) 

2. Sean R y S los síntomas de una enfermedad E, que pueden presentarse aisladamente o juntos en un individuo 

con dicha enfermedad. Además, la enfermedad E puede no presentar síntomas. Considera el fenómeno 

aleatorio ”observar qué síntomas presenta un determinado enfermo con E”. Construye el espacio de probabilidad 

correspondiente, sabiendo que tanto R como S pueden presentarse en el 75% de los individuos con 

E y que la presencia de uno de ellos es independiente de la del otro. 

(Solución: Ω = {RS, R ¯ S, ¯ RS, ¯ R ¯ S}; P (RS) = 0.5625, P (R ¯ S) = 0.1875, P ( ¯ RS) = 0.1875, P ( ¯ R ¯ S) = 0.0625) 

3. Suponiendo que los caracteres sanguíneos A, B y 0 se transmiten de forma independiente y que dos padres 

tienen genotipo A0, calcula: 

(a) La probabilidad de que un hijo sea de fenotipo A. 

(b) La probabilidad de que dos hermanos tengan igual genotipo. 

(c) La probabilidad de que dos hermanos tengan igual fenotipo. 

(d) La probabilidad de que de tres hermanos, dos sean de fenotipo A y uno de fenotipo 0. 

(Solución: a) 3/4; b) 3/8; c) 5/8; d) 27/64) 

4. En un matrimonio el marido es de genotipo AB y la mujer de genotipo A0. Se escoge un hijo al azar de 

dicho matrimonio. Teniendo en cuenta que es igualmente probable que un padre ceda a su hijo un carácter 

u otro de los dos que constituyen su genotipo, calcula: 

(a) La probabilidad de que sea de genotipo AA. 

7

(b) La probabilidad de que sea de grupo sanguíneo A. 

(c) La probabilidad de que no sea del grupo sanguíneo A. 

(d) La probabilidad de que siendo del grupo sanguíneo A, sea homocigótico. 

(Solución: a) 1/4; b) 1/2; c) 1/2; d) 1/2) 

5. Una vacuna consta de dos componentes A y B. El proceso de fabricación es tal que la probabilidad de un 

defecto en A es 0.06 y de uno en B es de 0.07. Si se suponen ambos componentes independientes, ¿cuál es 

la probabilidad de que la vacuna sea defectuosa? 

(Solución: 0.1258) 

6. Un cierto análisis clínico tiene probabilidad de 1/2 de dar positivo en individuos con una enfermedad F. Si 

a un paciente con tal enfermedad se le realizan tres análisis, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de ellos 

de positivo? 

Nota: Se supone que los resultados de las pruebas no influyen unos en otros. 


7. Las sustancias R1 y R2, de efectos independientes, producen hipertensión en el 10% y 20% de los casos, 

respectivamente, de los individuos a los que se le aplican. Sea una determinada enfermedad cuyo tratamiento 

lo constituye un fármaco F que contiene las sustancias R1 y R2. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente 

tratado con el fármaco F presente hipertensión? 


8. Considera dos pruebas clínicas F y H que resultan positivas en el 40% y 50%, respectivamente, de los 

individuos que tienen cierta deficiencia en la sangre. Ambas pruebas clínicas se consideran independientes 

(el resultado de una no influye en la otra). Calcula: 

(a) La probabilidad de que ambas pruebas den positivas. 

(b) La probabilidad de que ninguna prueba de positiva. 

(c) La probabilidad de que sólo una de ellas lo de. 

(d) La probabilidad de que ambas den positivas si se sabe que F ha dado positiva. 

(Solución: a) 0.2; b) 0.3; c) 0.5; d) 0.5) 

9. Dos procedimientos A y B curan una misma enfermedad F en un 60% y 50%, respectivamente, de los casos. 

Suponiendo que ambos métodos actúan de forma independiente y que se le aplican a la vez a los individuos 

con la enfermedad F. Calcula: 

(a) La probabilidad de que un individuo se cure. 

(b) La probabilidad de que de dos individuos, al menos uno se cure. 

(Solución: a) 0.8; b) 0.96) 

10. La tabla de longevidad de 1995 indica que la probabilidad de llegar a los 25 años es de 0.95, mientras que la 

de llegar a los 65 es de 0.65. Si una persona tiene 25 años, ¿cuál es la probabilidad de que llegue a los 65? 


11. En una población, la proporción de personas adultas infectadas por una enfermedad infecciosa es tres veces 

menor que la proporción de infectados en niños menores de 4 años. Una familia con tres hijos menores de 4 

años estuvo expuesta a tal enfermedad durante unos días. Si después de ser evacuada y diagnosticada, sólo 

un miembro de la familia padecía la enfermedad: 

8

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la padezca uno de los hijos? 

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la padezca el matrimonio? 

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que la padezca la mujer o el hijo pequeño? 

(d) ¿Cuál es la probabilidad de que la padezca uno de los hijos sabiendo que el marido no la padece? 

(Solución: a) 9/11; b) 2/11; c) 4/11; d) 9/10) 

12. Se tienen tres medicamentos A, B y C que inyectados cada uno en individuos con la enfermedad M, producen 

una reacción nerviosa en él, pero que inyectados conjuntamente sólo uno de ellos produce realmente la 

reacción. Por comparación de los tres medicamentos se sabe que el medicamento A tiene doble probabilidad 

de producir la reacción que B y éste, doble probabilidad que C, cuando se inyectan juntos. Si un individuo 

con la enfermedad M se trata con los tres medicamentos conjuntamente, calcula: 

(a) La probabilidad de que A produzca realmente la reacción. 

(b) La probabilidad de que C produzca realmente la reacción. 

(c) La probabilidad de que A ó C produzcan la reacción. 

(d) Si suponemos que C no la produce, ¿cuál es la probabilidad de que sea producida por B? 

(Solución: a) 1/7; b) 4/7; c) 5/7; d) 2/3) 

13. Tenemos tres fármacos distintos T, F y H. Los fármacos T y F curan una determinada enfermedad E en 

el 60% y 80% de los casos, respectivamente, y el fármaco H es introducido por error en la receta y si es 

administrado a los pacientes con la enfermedad E produce en ellos efectos secundarios graves sin curar la 

enfermedad. Se supone que los efectos de los tres fármacos son independientes. La pauta del tratamiento es 

la siguiente: En primer lugar se le administra al paciente uno cualquiera de los fármacos. Pasado un tiempo 

prudencial, si no es curado, se le administra uno cualquiera de los dos restantes; si tampoco es curado, se 

le administra el tercero de los fármacos. Además, ante los efectos secundarios graves producidos por H, se 

interrumpe el tratamiento (no se le administra ningún otro de la receta). Calcula: 

(a) La probabilidad de que se produzcan en el paciente efectos secundarios graves. 

(b) La probabilidad de que el paciente sea curado. 

(Solución: a) 0.46; b) 0.54) 

14. Una caja contiene 5 tubos de ensayo, de los cuales dos son defectuosos. Se prueban los tubos unos tras otros 

hasta que se descubren los dos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que se suspenda el proceso: 

(a) en la segunda prueba? 

(b) en la tercera prueba? 

(Solución: a) 1/10; b) 3/10) 

15. Un paciente con un conjunto de síntomas puede tener cualquiera de las tres enfermedades A1, A2 ó A3 

con probabilidades 0.5, 0.4 y 0.1, respectivamente. Para precisar el diagnóstico se somete al paciente a un 

análisis de sangre que da positivo (y notaremos por B a este hecho) en las personas que padecen A1, A2 ó 

A3 con probabilidades 0.3, 0.98 y 0.2, respectivamente. 

(a) ¿En qué porcentaje de la población de pacientes con tales síntomas el análisis da positivo? 

(b) Si a una persona con los síntomas se le realiza el análisis y da positivo, ¿cuál es la enfermedad más 

probable? 

(Solución: a) 0.562; b) A2) 

9

16. De la observación de cierta colonia de bacterias se deduce, por la experiencia del investigador, que pueden 

ser de la especie E1 con probabilidad 0.35, de la especie E2 con probabilidad 0.15 y de la E3 con probabilidad 

0.5. Se somete a esta colonia a una prueba química que da resultado positivo R + en las bacterias de estas 

especies con la proporción: 

P (R + |E1) = 0.3 P (R + |E2) = 0.95 P (R + |E3) = 0.1 

Para cada una de estas tres especies, ¿cuál es la probabilidad de que la colonia de bacterias sea de tal especie, 

supuesto positivo el resultado de la prueba química? 

(Solución: 0.3529, 0.4790 y 0.1681) 

17. Una rata macho, que denominaremos X, es hija de un padre dominante puro (AA) con respecto a cierta 

característica y de una madre heterocigótica (Aa). 

(a) Calcula la probabilidad de que X sea dominante puro, heterocigótico o recesivo. 

(b) El aspecto físico de una rata AA y de una Aa es idéntico. Para tratar de establecer si la rata X es una 

cosa o la otra se realiza el experimento de cruzarla con una rata hembra Y recesiva pura. Calcula la 

probabilidad de que: 

i. Siendo X dominante, los cinco hijos de X e Y sean Aa. 

ii. Siendo X heterocigótica, dos de los cinco primeros hijos sean aa. 

iii. Supongamos que del cruce se produjo un solo hijo. ¿Cuál es la probabilidad de que la rata X sea 

heterocigótica si el hijo lo era? ¿Cuál es la probabilidad de que X sea dominante puro si el hijo es 

heterocigótico? 

(Solución: a) 1/2, 1/2 y 0; b.i) 0.5156; b.ii) 0.3125; b.iii) 1/3, 2/3) 

18. Para estudiar la eficacia de un nuevo test para el diagnóstico de un tipo particular de cáncer que lo padece 

el 1% de las mujeres de edad avanzada, se aplicó el mismo a un grupo amplio de mujeres con tal tipo de 

cáncer y a otro grupo de mujeres sanas, obteniéndose la siguiente tabla: 

RESULTADO DEL TEST 

D+ 

D− 

PRESENCIA SI(E) 850 150 1000 

DEL 

CÁNCER NO(S) 45 1455 1500 

(a) Estima la sensibilidad y la especificidad de la nueva prueba diagnóstica. 

(b) Si tomada una persona y aplicado el test, este da positivo, ¿qué probabilidad tiene de padecer la 

enfermedad? 

(c) ¿Cuál es el valor predictivo negativo de esta prueba diagnóstica? 

(Solución: a) Sensibilidad = 0.85, Especificidad = 0.97; b) 0.223; c) 0.998) 

19. Para diagnosticar el CIR (crecimiento intrauterino retardado) suelen realizarse diversas medidas ecográficas, 

especialmente DBP (diámetro biparietal). Se piensa que un DBP por debajo de 75mm en la semana 30 de 

gestación es síntoma de CIR. Para comprobar la bondad de la regla, se tomaron 120 niños con CIR y 180 

sin CIR y, de su historia clínica, se recuperó su valor de DBP, observándose que 60 de los primeros y 25 de 

los segundos tenían un DBP por debajo de 75. 

(a) Estima la sensibilidad y la especificidad de la prueba. Comenta brevemente los resultados obtenidos. 

10

(b) Sabiendo que el 5% de los niños padecen CIR, ¿es útil esta prueba para reconocer en un niño dicha 

patología (es decir, podemos afirmar con seguridad que un niño padece CIR cuando su DBP es inferior 

a 75)? Razona la respuesta. 

(Solución: a) Sensibilidad = 0.5, Especificidad = 0.86; b) No) 

20. La pauta de administración de cierto tratamiento para la curación de una enfermedad E es la siguiente: 

se administra en primer lugar el fármaco B. Si transcurridos dos días el individuo no se ha curado se le 

administra un segundo fármaco A. Es conocido que cuando se le administra A (después de B), la probabilidad 

de curación es el triple que cuando se administra sólo B, y que aún administrando B y A, un 16% de los 

individuos con la enfermedad E no se curan. Considera el fenómeno aleatorio ”observar la evolución de 

un paciente con la enfermedad E sometido al tratamiento anterior”. Construye el espacio de probabilidad 

correspondiente. 

(Solución: Ω = {B, ¯ BA, ¯ BĀ}; P (B) = 0.21, P ( ¯ BA) = 0.63, P ( ¯ BĀ) = 0.16) 

21. Dos pruebas clínicas A y B dan positivas en el 40% y 50%, respectivamente de los individuos con una cierta 

deficiencia en sangre. Además es conocido que un 60% de dichos individuos dan positivo en al menos una 

de las dos pruebas. 

(a) ¿Son independientes los sucesos ”dar positivo en la prueba A” y ”dar positivo en la prueba B”? 

(b) Si se toma un individuo con dicha deficiencia, ¿cuál es la probabilidad de que sólo una de las pruebas 

de positiva? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas den positivas si B lo ha dado? 

(Solución: a) No; b) 0.3 y 0.6) 

11

Variables Aleatorias. 

Distribuciones de Probabilidad I. 

1. Considera el experimento aleatorio ”observar el sexo de los hijos de una familia con 3 descendientes”. 

(a) Construye el espacio de probabilidad asociado sabiendo que la probabilidad de ser varón es 0.49. 

(b) Calcula el espacio de probabilidad de la variable aleatoria (v.a.) X=”número de hijos varones de una 

familia con 3 hijos”, y calcula la probabilidad de que la variable sea menor o igual que -0.05, 0, 0.5, 1, 

3, 3.5 

(c) Calcula E[X] y Var[X]. 

(d) Si Y=”número de hijas de una familia con 3 descendientes”, ¿son X e Y independientes? 

(Solución: b) 0, 0.133, 0.133, 0.517, 1 y 1; c) 1.47 y 0.7497; d) No) 

2. Los individuos de una población Ω pueden presentar los alelos A y a, codominantes, con lo que se puede 

distinguir fenotípicamente los individuos de genotipo AA, Aa y aa. Supongamos que tenemos definida la 

siguiente probabilidad sobre Ω: 

P(AA)=0.49, P(Aa)=0.42, P(aa)=0.09 

Sea X la v.a. que a cada individuo ω ∈ Ω, le hace corresponder X(ω)=”número de alelos A de ω”. 

(a) Construye el espacio de probabilidad asociado a X. 

(b) Calcula E[X] y Var[X]. 

(c) Realiza los dos apartados anteriores si P(AA)=1/4=P(aa) y P(Aa)=1/2. 

(Solución: b) 1.4 y 0.42; c) 1 y 1/2) 

3. Se sabe que un determinado antígeno da reacciones positivas en un 20% de la población. ¿Cuál es la 

probabilidad de que tomando 5 muestras de sangre al azar, se produzca reacción como máximo en dos de 

las muestras?. ¿Y exactamente en 3 de ellas? ¿Y en ninguna de las muestras? 

(Solución: 0.9421, 0.0512 y 0.3277) 

4. Una enfermedad se presenta en una población en el porcentaje del 30%. ¿Cuál es la probabilidad de que de 

6 personas, 4 de ellas sean enfermas? Ídem de que 4 de ellas sean sanas. 

(Solución: 0.0595 y 0.3241) 

5. Los medicamentos A, B y C curan a un 29%, 30% y 50% respectivamente de los individuos con una cierta 

enfermedad, a los cuales se les administra. Suponiendo que los efectos de un medicamento son independientes 

de la presencia de los otros: 

(a) Calcula la probabilidad de que un individuo con la enfermedad anterior sea curado cuando se le administran 

los 3 medicamentos a la vez. 

(b) Si se eligen 5 individuos enfermos, calcula la probabilidad de que al menos 3 sean curados al administrarles 

A, B y C a la vez. 

(c) 

Ídem que los curados sean 2, 3 ó 4 individuos. 

(Solución: a) 0.7515; b) 0.8965; c) 0.7471) 

6. La inyección de un determinado virus tiene un efecto mortal sobre ratas de una edad concreta con una 

probabilidad de 0.4. Si inyectamos el virus a 6 ratas de dicha edad, calcula: 

12

(a) La probabilidad de que mueran menos de 3. 

(b) La probabilidad de que mueran al menos 4. Represéntala gráficamente. 

(c) La media y la desviación típica del número de muertes. 

(Solución: a) 0.5443; b) 0.1792; c) 2.4 y 1.2) 

7. Un medicamento se expide en tabletas de 100 unidades de peso cada una. Una tableta surte efecto sobre 

una cierta enfermedad si posee entre 18 y 28 unidades de una cierta sustancia S, por tableta. Inspeccionada 

la producción (que se considera distribuida normalmente) se encuentra que el promedio de sustancia S por 

tableta es de 22 unidades con una desviación típica de 4 unidades. A un individuo enfermo se le administra 

una de esas tabletas, ¿cuál es la probabilidad de que no quede curado? 


8. En una cierta población se estudia la variable aleatoria ”cifra de urea en sangre” (expresada en SDSpuntuaciones 

estándar). Se acepta que dicha variable se distribuye según una ley normal de media 0 y 

desviación típica 1. 

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar de esta población tenga una SDS de urea 

en sangre inferior a 1.83? 

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar de esta población tenga una SDS de urea 

en sangre igual o superior a 1.65? 

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar de esta población tenga una SDS de urea 

en sangre igual o inferior a -1.65? 

(d) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar de esta población tenga una SDS de urea 

en sangre comprendida entre 0.25 y 1.25? 

(e) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar de esta población tenga una SDS de urea 

en sangre comprendida entre -0.25 y 1.25? 

(f) ¿Cuál es el valor de la variable urea en sangre expresada en SDS que limita el 25% superior de la 

distribución de todos los individuos de la población? 

(Solución: a) 0.9664; b) 0.0495; c) 0.0495; d) 0.2957; e) 0.4931; f) 0.674) 

9. Supongamos que la presión diastólica en mujeres hipertensas se centra entorno a una media de 100mm con 

una desviación típica de 14mm y que su distribución es normal. Calcula: 

(a) La probabilidad de que la presión diastólica sea menor que 88mm. 

(b) La probabilidad de que la presión diastólica sea mayor que 115mm. 

(c) La probabilidad de que la presión diastólica se encuentre entre 96 y 104mm. 

(d) El valor t, tal que la probabilidad de que la presión sea menor que t, sea 0.95. 

(e) El valor t, tal que la probabilidad de que la presión sea mayor que t, sea 0.95. 

(f) Dos valores simétricos entorno a la media tales que la probabilidad de que la presión esté entre ellos 

sea de 0.95. 

(Solución: a) 0.1949; b) 0.1423; c) 0.2282; d) 123.03; e) 76.97; f) 72.56 y 127.44) 

10. El valor medio de ácido pirúvico en sangre es de 10 µgr/cc, con una desviación típica de 4 µgr/cc, y se 

supone que se distribuye normalmente. Calcula: 

(a) La probabilidad de encontrar valores de dicho ácido inferiores a 1.8 µgr/cc ó superiores a 22.2 µgr/cc. 

(b) La probabilidad de encontrar valores de dicho ácido comprendidos entre 17.36 µgr/cc y 18.8 µgr/cc. 

13

(c) ¿Cuál es el valor de u si se sabe que la probabilidad de encontrar valores de dicho ácido comprendidos 

entre 3.6 y u µgr/cc es de 0.8201? 

(d) ¿Cuál es el valor de u si se sabe que la probabilidad de encontrar valores de dicho ácido igual o superior 

a u µgr/cc es de 0.9678? 

(Solución: a) 0.02155; b) 0.019; c) 14.6; d) 2.6) 

11. Es conocido que distintas medidas de la presión sanguínea (PS) dan valores diferentes. Por ello para determinar 

el estado de la PS de una persona son necesarias diferentes medidas. Supongamos que una persona 

es medida sobre n visitas con k medidas por visita y que la media de todas las nk medidas de la PS (¯x) 

es utilizada para determinar el estado de la PS de la persona. Específicamente, si ¯x ≥ 95mm Hg, entonces 

la persona es clasificada como hipertensa; si ¯x < 90mm Hg, entonces la persona es clasificada como normotensa; 

y si ¯x ≥ 90mm Hg, y < 95mm Hg, la persona es clasificada como ”borderline”. Supondremos 

también que la PS ”verdadera” de una persona es µ, representando una media sobre un gran número de 

visitas con un gran número de mediciones por visita, y que ¯x está normalmente distribuida con media µ y 

varianza 27.7/n + 7.9/(nk) 

(a) Si la PS ”verdadera” de una persona es 100mm Hg, entonces ¿cuál es la probabilidad de que la persona 

sea clasificada como hipertensa si una sola medida es tomada en una única visita? ¿Es esta probabilidad 

una medida de la sensibilidad, especificidad o algún valor predictivo? 

(b) Si la PS ”verdadera” es de 85mm Hg, entonces ¿cuál es la probabilidad de que la persona sea clasificada 

como normotensa si se toman 3 medidas en cada una de 2 visitas? ¿Es esta probabilidad una medida 

de la sensibilidad, especificidad o algún valor predictivo? 

(c) Supongamos que decidimos tomar 2 medidas por visita. ¿Cuántas visitas son necesarias para que tanto 

la especificidad como la sensibilidad (para PS ”verdaderas” de 85 y 100 mm Hg) sean al menos 95%? 

(Solución: a) 0.7995; b) 0.8997; c) 4) 

12. Supongamos que la estatura media de los varones españoles mayores de 17 años se distribuye normalmente 

con media 1.73m y que el 67% de éstos mide más de 1.69m. 

(a) Calcula la desviación típica de la población. 

(b) Se pretende clasificar la población en tres grupos: altos, normales y bajos. Para ello se toma un cierto 

intervalo centrado en la media, considerándose entonces un varón como normal cuando su estatura 

quede dentro de ese intervalo, como alto cuando sea superior al límite superior del intervalo y como 

bajo cuando sea inferior al límite inferior del intervalo. El intervalo se construye de tal forma que sean 

considerados como normales el 66.8% de los varones mayores de 17 años. ¿A partir de qué estatura 

será considerado como alto un varón mayor de 17 años? ¿Hasta qué estatura es considerado bajo? 

(Solución: a) 0.091; b) 1.641 y 1.819) 

13. En una población de niños con edades comprendidas entre 5 y 7 años se ha comprobado que el perímetro 

carpiano (X) se distribuye según una normal de media 12cm. Sabiendo que el 47.51% de los niños de esta 

población tienen su perímetro carpiano entre 8cm y 12cm, calcula: 

(a) P (X < 16) 

(b) P (X = 12) 

(c) La varianza del perímetro carpiano en la citada población. 

(Solución: a) 0.9751; b) 0; c) 4.165) 

14

14. Se ha comprobado que el tiempo de reacción ante un estímulo A sigue una distribución normal con una 

media de 8s y una varianza de 1s 2 , mientras que ante un estímulo B la distribución también es normal 

con media 8s pero con varianza 4s 2 . Contesta razonadamente y sin necesidad de utilizar las tablas a las 

siguientes preguntas: 

(a) ¿Ante cuál de los dos estímulos es más probable que un individuo reaccione antes de 8s? 

(b) ¿Ante cuál de los dos estímulos es menos probable que un individuo reaccione en más de 10s? 

(Solución: a) Los dos igual; b) A) 

15. ”Un inciso dentro de tanta medicina”. En un determinado bosque maderero hay un 20% de árboles del 

tipo A y un 80% del tipo B. Se sabe que el perímetro de un árbol (a la altura del pecho) de tipo A se 

distribuye normalmente con media 6m, mientras que los del tipo B tienen un perímetro distribuido, también 

normalmente, pero con media 10m y varianza 5.29m 2 . 

(a) Si para los árboles de tipo A sólo un 2.28% tienen un perímetro inferior a 3m, ¿cuál es la varianza de 

los perímetros de este tipo de árboles? 

(b) Para la producción maderera sólo son aprovechables los árboles con perímetros mayores de 5m. ¿Qué 

proporción de árboles de dicho bosque no vamos a poder aprovechar? 

(c) Si se toma un árbol de dicho bosque y resulta tener un perímetro a la altura del pecho inferior a 5m, 

¿qué es más probable, que sea del tipo A o del tipo B? 

(Solución: a) 2.34; b) 0.064; c) A) 

16. En un chequeo de los trabajadores de una empresa se dan como resultado dos índices, independientes entre 

si, que definen la salud psicofísica de los mismos. Tras larga experiencia se sabe que el primero de ellos 

se distribuye según una N(120,100) y el segundo según una N(15,9). Se consideran susceptibles de una 

revisión más profunda aquellos trabajadores que en el primer índice superan la cantidad de 142; también 

son sometidos a revisión los que en el segundo índice obtienen una puntuación inferior a 8. ¿Qué porcentaje 

de trabajadores son susceptibles de una revisión más profunda? 

(Solución: 2.4%) 

17. Se sabe que la estatura de los varones sigue una distribución Normal. ¿Cuáles son sus parámetros si el 

percentil 5 es 156cm y el 95 es 184cm? 

(Solución: Media=170; Varianza=72.43) 

15

Variables Aleatorias. 

Distribuciones de Probabilidad II. 

1. Se ha encontrado que siguiendo un periodo de entrenamiento, el tiempo medio requerido por ciertas personas 

impedidas para realizar una tarea particular es de 25 segundos, con una desviación típica de 5 segundos. 

Suponiendo una distribución normal en los tiempos, encontrar la probabilidad de que una muestra de 25 

individuos proporcionen una media: 

(a) De 26 segundos o más. 

(b) Entre 24 y 27 segundos. 

(c) 26 segundos o menos. 

(d) Mayor que 22 segundos. 

(Solución: a) 0.1587; b) 0.8185; c) 0.8413; d) 0.9987) 

2. La estatura de 3000 estudiantes universitarios se distribuye normalmente con una media de 1.70m y una 

desviación típica de 7.5 cm. 

(a) Si consideramos muestras de 25 alumnos, ¿cuál será la media y la desviación típica de la media muestral? 

(b) Si consideramos 80 muestras de 25 alumnos, ¿en cuántas muestras cabría esperar una media muestral 

entre 1.67 y 1.71 metros? ¿En cuántas muestras esperamos menos de 1.66 metros de altura de promedio? 

(Solución: a) 1.70 y 0.015; b) 58.064 y 0.304) 

3. El periodo de incubación de una determinada enfermedad se distribuye normalmente con un tiempo medio 

de 800 horas y una desviación típica de 60 horas. Calcula las siguientes probabilidades en una muestra de 

16 pacientes contagiados: 

(a) Que muestren una incubación media entre 790 y 810 horas. 

(b) Que la incubación media fuese inferior a 785 horas. 

(c) Que la incubación media fuese mayor que 820 horas. 

(d) Que ningún paciente muestre síntomas de la enfermedad antes de 830 horas. 

(e) Que todos los pacientes muestren síntomas antes de las 800 horas. 

(f) Que la desviación típica muestral en la duración de las incubaciones esté entre 50 y 65 horas. 

(g) Que la desviación típica muestral sea menor de 60 horas. 

Nota: P (χ2 15 ≤ 10.42) = 0.2075, P (χ215 ≤ 15) = 0.5486 y P (χ215 ≤ 17.6) = 0.7157. 

(Solución: a) 0.4972; b) 0.1587; c) 0.0918; d) 6.74 × 10−9 ; e) 0.000015; f) 0.5082; g) 0.5486) 

4. Del libro de registro de un determinado hospital se observa que el 95% de las muestras de 7 individuos que 

tienen una determinada patología superan los 60 kg de peso medio y que la media de los pesos medios de 

todas las muestras es de 70 Kg. Determina la media y la desviación típica del peso de los individuos con la 

citada patología que pertenecen al hospital, suponiendo que la distribución de los pesos es normal. 

(Solución: 70 y 16.08) 

5. Si sabemos que en una distribución muestral de la varianzas, construida con muestras de 10 individuos cada 

una, a los que se les ha medido el pH, el 5% de las muestras tiene una varianza muestral superior a 0.000756, 

¿cuál es la media de la distribución muestral de varianzas? 

Nota: Supondremos que el pH se distribuye normalmente en la población. 


16

6. Para el control de la calidad del agua que se consume en un hospital, éste tiene una pequeña planta depuradora. 

En ella se examinan todos los días el contenido en sales minerales de 24 muestras de agua. Si 

consideramos que el contenido en sales de estas muestras sigue una distribución normal, de media 0.4 g/l y 

desviación típica 0.1 g/l, determina: 

(a) ¿Qué proporción de los días el contenido medio en sales de las veinticuatro muestras rebasará los 0.6 

g/l? 

(b) ¿Qué proporción de los días registraremos una desviación típica muestral superior a 0.1 g/l? 

(c) ¿Qué proporción de los días registraremos una desviación típica superior a 0.2 g/l? 

Nota: Para resolver el problema utiliza la siguiente tabla de la distribución χ 2 . En esta tabla ν representa 

los grados de libertad, y para cada par de valores (u, ν), la tabla nos da P (χ 2 ν ≤ u) 

(Solución: a) 0; b) 0.4608; c) 0) 

u/ν 23 24 25 

22.3 0.4978 0.4386 0.3816 

23.0 0.5392 0.4802 0.4224 

24.0 0.5962 0.5384 0.4806 

92.0 1 1 1 

7. Las edades en que se produce la muerte para una población concreta se distribuyen según una normal con 

media de 50 años y una varianza de 36 años 2 . 

(a) ¿Cuáles son las medias y las desviaciones típicas de las distribuciones muestrales de varianzas y medias 

con 19 individuos por muestra? 

(b) En una muestra elegida al azar, ¿qué valores de las medias y de las varianzas tienen una probabilidad 

del 1% de que los demás valores de la distribución sean mayores que ellos? 

(Solución: a) 36 y 12; b) 54.41 y 69.66) 

8. Un fabricante de cigarrillos asegura que el contenido promedio de nicotina, en una de sus marcas, es de 

0.6 mg por cigarrillo. Una organización independiente mide el contenido de nicotina de 16 cigarrillos de 

esta marca y encuentra que la media y la desviación típica muestrales son 0.75 y 0.175, respectivamente, de 

nicotina. Si se supone que la cantidad de nicotina de estos cigarrillos sigue una distribución normal, ¿qué 

podemos decir de la probabilidad del resultado muestral dado el dato proporcionado por el fabricante? 

(Solución: Es inferior a 0.005) 

9. La variación en el número de unidades diarias de cierto medicamento que se consumen en dos hospitales, 

A y B, debe ser la misma. En base a muestras de tamaño nA = 16 días y nB = 21 días, el valor de las 

desviaciones típicas muestrales fue sA = 8.2 unidades y sB = 5.8 unidades. Si el número de éstas, en los 

dos hospitales, por día son dos variables independientes que siguen distribuciones normales, ¿existe alguna 

razón para creer que las varianzas son iguales? 

Nota: P (F15,20 ≤ 1.999) = 0.926. 

10. Cierta enfermedad tiene un periodo de incubación medio de 900 horas y una desviación típica de 80 horas. 

La enfermedad es inoculada en 1000 lotes de 150 ratones. 

(a) ¿En cuántos lotes cabe esperar que la media de las incubaciones sobrepase las 910 horas? 

(b) 

Ídem entre 800 y 910 horas. 

(c) ¿Podemos saber en cuántos lotes cabe esperar que la desviación típica muestral sobrepase las 92.764 

horas? 

17

(Solución: a) 63; b) 937; c) No) 

11. En un laboratorio se observa que en el 25% de las muestras recibidas para estudiar el pH, éste es, en 

promedio, menor que 6 y en el 15% de las muestras recibidas el pH promedio es superior a 6.5. 

(a) Si cada muestra está formada por 120 unidades independientes, determina el pH medio y su desviación 

típica. 

(b) Si la distribución del pH fuese normal, ¿cuál sería la probabilidad de que una unidad estudiada por 

separado tuviese un pH inferior a 0? 

(c) Calcula la probabilidad de que una de las muestras de 120 unidades tuviese un pH promedio menor 

que 0 según los cálculos precedentes. 

(Solución: a) 6.197 y 3.20; b) 0.0262; c) 0) 

12. Supongamos que en individuos con presión sanguínea alta, es igualmente probable que después de un cierto 

periodo de tiempo, la presión le haya bajado o no ligeramente. Por otro lado se ha comprobado que 

en individuos con presión sanguínea alta, que se encuentren bajo el efecto de un cierto medicamento H, la 

presión disminuye en el 80% de los casos. Consideremos una muestra de 200 individuos con presión sanguínea 

alta: 

(a) Si suponemos que no están afectados por ningún medicamento, calcula la probabilidad de que le baje 

la presión a más de 90 individuos. 

(b) Si la muestra se encuentra bajo el efecto de H, calcula la probabilidad de que baje la presión en más 

de 172 casos ó en menos de 148. 

(Solución: a) 0.9099; b) 0.0272) 

13. Se ha comprobado que un cierto tipo de intervención quirúrgica tiene un porcentaje de complicaciones 

secundarias del 30%. Consideremos cien pacientes que se someten a dicha intervención: 

(a) Calcula la probabilidad de que se produzcan menos de 20 complicaciones. 

(b) Calcula el número máximo de complicaciones esperado, con una probabilidad del 95%. 

(Solución: a) 0.011; b) 38) 

14. Supongamos que una población de monos recibe inyecciones de un virus para que desarrollen anticuerpos, en 

la preparación de una vacuna para seres humanos. El virus viene en dos lotes, solamente uno de los cuales 

es eficaz. El 80% de los monos recibe el virus potente. Un técnico de laboratorio elige 30 monos al azar. 

¿Cuál es la probabilidad de que hayan sido efectivamente inyectados entre 17 y 22 monos, ambos inclusive? 


15. Se sabe que un 15% de las mujeres de la población española sufren enfermedades de la vesícula biliar. 

Si tomamos una muestra de 200 mujeres españolas, ¿cuál es la probabilidad de que un 15% tenga dicha 

enfermedad? 


16. Si en una población de mujeres un 15% están sometidas a cierta dieta, ¿cuál es la probabilidad de que una 

muestra aleatoria de tamaño 100 dé una proporción de aquellas que se encuentran a dieta: 

(a) mayor o igual que 0.2? 

(b) entre 0.1 y 0.2? 

(c) no mayor que 0.12? 

18

(Solución: a) 0.1038; b) 0.7924; c) 0.2420) 

17. Supongamos que queremos reclutar individuos para un estudio sobre un tratamiento de la hipertensión y es 

conocido que el 10% de la población a ser muestreada es hipertensa. 

(a) Si se necesitan 100 individuos hipertensos para realizar el estudio y se supone que todos colaborarán 

adecuadamente, entonces ¿cuántos individuos necesitamos muestrear para tener tener un 80% de seguridad 

de obtener al menos esos 100 hipertensos? 

(b) 

Ídem para tener una seguridad del 90%. 

(Solución: a) 1078; b) 1124) 

18. Un problema importante que se presenta en estudios longitudinales en Epidemiología es que los individuos 

inicialmente introducidos en el estudio se pierden (sin concluir el mismo) por diferentes razones. 

(a) Supongamos que deseamos evaluar nuestros datos después de dos años y sabemos que la probabilidad 

de que un paciente esté disponible para el estudio después de dos años es del 90%. ¿Cuántos pacientes 

deberían ser introducidos en el estudio para tener un 80% de seguridad de que al menos 100 pacientes 

van a permanecer en él al final de este periodo? 

(b) ¿Cuántos pacientes deberían ser introducidos para tener un 90% de seguridad de tener al menos 150 

pacientes después de cuatro años, si la probabilidad de permanecer en el estudio después de 4 años es 

del 80% 

(Solución: a) 114; b) 196) 

19. Para determinar si un individuo tiene una afección renal se le somete a tres pruebas diagnósticas, A, B y 

C, que pueden dar como resultado positivo o negativo, siendo además independientes entre sí, es decir, que 

el resultado que se obtenga al realizar una prueba no influye en el que se obtenga al realizar cualquier otra. 

La pauta seguida para diagnosticar al individuo es la siguiente: diremos que es patológico (i.e. que tiene la 

afección renal) si da al menos dos positivos en las tres pruebas. 

Se sabe que, en individuos con la patología, la prueba A da positiva en el 80% de los casos, la B en el 70% 

y la C en el 90%. 

(a) Si consideramos el experimento aleatorio ”observar el resultado de las tres pruebas en un individuo con 

la afección renal”, construye su espacio probabilístico. 

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo con dicha afección renal sea diagnosticado incorrectamente? 

¿Se corresponde este valor con la especificidad de la prueba? 

(c) Si consideramos grupos de 6 individuos con la patología, ¿cuál es la probabilidad de que el número de 

mal diagnosticados esté entre 2 y 5, ambos inclusive? ¿Y que sea superior a 3? 

(d) De entre 100 individuos con la patología, ¿cuál es el número máximo de mal diagnosticados, con una 

probabilidad de 0.95? 

Nota: Aproxima si fuese necesario 0.098 por 0.1. 

(Solución: b) 0.098; c) 0.1143 y 0.0013; d) 15) 

19

Inferencia Estadística 

Análisis de una Muestra 

1. En una determinada comunidad hay unos hábitos alimenticios generales basados en una dieta hipercalórica. 

Se piensa que este puede ser un factor que produzca un incremento de la presión sanguínea en los individuos 

de la comunidad, respecto a la media regional. Estudios previos han determinado que la presión sanguínea 

sistólica se distribuye de manera normal, y que en la región su nivel medio es de 140 mmHg y σ = 20 mmHg. 

Con objeto de determinar los valores de la presión sistólica en esa comunidad se tomó una muestra de 25 

individuos, para los cuales se obtuvo ¯x = 146 mmHg. Si suponemos que en nuestra comunidad la dispersión 

de la presión sistólica es la misma que en la región: 

(a) Da una estimación del nivel medio de la presión sistólica en esa comunidad. ¿Qué error cometemos al 

hacer dicha estimación? 

(b) ¿Qué tamaño de muestra debemos tomar para poder estimar la presión sistólica media de la comunidad 

con un error máximo de 4 mmHg, para un nivel de confianza del 95%? 

(Solución: a) ¯x = 146; Error máximo= 7.84 (1 − α = 0.95). b) n=97). 

2. En el servicio regional de salud existe la sospecha de que un determinado fármaco, empleado habitualmente 

en el tratamiento de ciertas afecciones, tiene como efecto secundario un aumento de la tensión ocular media 

de su nivel normal 15, a 18; efecto insensible para los pacientes pero que a la larga aumenta el riesgo de 

glaucoma. Por los servicios médicos regionales es conocido que la tensión ocular se distribuye de forma 

normal en la región, con varianza 1. Si se toma una muestra de tamaño n, ¿cómo podemos tomar una 

decisión acerca del valor de la tensión ocular media de los pacientes, que emplean habitualmente el fármaco 

bajo sospecha? 

(Solución: Resolver H0 : µ = 15; H1 : µ = 18). 

3. Se cree que la proporción p de mujeres que han iniciado el proceso de pubertad a los 11 años supera el 50%. 

Para reunir datos que verifiquen esta afirmación se va a seguir el desarrollo de 20 chicas. 

(a) Indica las hipótesis nulas y alternativas adecuadas. 

(b) Si utilizamos como estadístico de contraste la variable ”número de chicas (entre las 20) que han comenzado 

su desarrollo a los 11 años”, ¿cuál sería la región crítica para α = 0.0577? 

(c) Para α = 0.0059 la región crítica es RC = {16, 17, 18, 19, 20}. Si en una muestra de 20 chicas 19 habían 

iniciado el proceso de pubertad antes de 11 años, ¿qué decisión tomaríamos en el test para α = 0.0059? 

¿Qué tipo de error podemos cometer? Contesta a ambas preguntas si fueron 15 las chicas que habían 

iniciado dicho proceso. Razona todas las respuestas. 

Nota: Para resolver b) utiliza la distribución binomial de parámetros 20 y 0.5. 

(Solución: a) H0 : p = 0.5; H1 : p > 0.5. b) RC = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. c) Aceptar H1; Error de 

tipo I. Aceptar H0; Error de tipo II). 

4. Estima puntualmente y mediante un intervalo de confianza, la cantidad media de gastrina, en mujeres 

gestantes, entre 15 y 25 semanas de gestación, mediante los datos siguientes: 

39 49 35 39 34 21 49 40 35 38 

Consideraremos que los valores de gastrina se distribuyen normalmente. Utiliza un nivel de confianza del 

95%. 

Sabemos que para un nivel de confianza fijo, mientras más estrecho es el intervalo, más deseable es. ¿Qué 

podríamos hacer para obtener, en nuestro problema, una reducción de la anchura del intervalo? 

(Solución: ¯x = 37.9; (32.2029, 43.5971)) 

20

5. Un dermatólogo investiga cierto tipo de afección de piel induciéndolo en una muestra aleatoria de 25 ratas y 

tratándolas luego con un nuevo fármaco. Se cuenta el número de horas hasta que desaparece dicha afección, 

con los resultados siguientes: 

¯x = 132 horas s = 40 horas. 

Supondremos que el número de horas hasta que desaparece la afección se distribuye normalmente. 

(a) Estima el número medio de horas que tarda en desaparecer la afección dermatológica con el nuevo 

fármaco. ¿Cuál es el error máximo de esta estimación? Utiliza un nivel de confianza del 95%. 

(b) Si repetimos este experimento exactamente en las mismas condiciones, la longitud del intervalo que 

obtendríamos, ¿sería la misma?. Razona la respuesta. 

(c) Supongamos ahora que σ = 32 horas. Calcula un intervalo de confianza al 90% para el número medio 

de horas que tarda en desaparecer la afección dermatológica. En estas condiciones, ¿qué tamaño de 

muestra se necesitaría para tener el 90% de confianza de que la media se estima dentro de ±5 horas? 

(Solución: a) (115.488, 148.512); Error=16.512. c) (121.504,142.496); n=111). 

6. Estudiando la estatura de los individuos de una población, dos investigadores escogieron, independientemente 

el uno del otro, dos muestras de 16 y 400 individuos, respectivamente. La muestra de 16 individuos dio una 

estatura media de 172.94 cm. y una desviación típica muestral de 3.3 cm. La muestra de tamaño 400 dio una 

media de 172.23 cm y una desviación típica muestral de 2.5 cm. Supongamos que la estatura se distribuye 

normalmente. 

(a) Calcula un intervalo de confianza para la estatura media de la población, en el caso de la muestra de 

tamaño 16, para una confianza del 95%. 

(b) 

Ídem para la muestra de tamaño 400. 

(c) Si nos preguntasen acerca de la estatura media de la población, ¿cuál de las dos experiencias elegiríamos 

para responder?. Razona la respuesta. 

(Solución: a) (171.18,174.70). b) (171.99, 172.48)). 

7. En un estudio sobre la talla de niños menores de 4 meses se obtuvo, a partir de una muestra de 200 niños, 

que la talla media en la población considerada está entre 63.2cm y 69.6cm, con un nivel de confianza del 

95%. Por otro lado, sólo a 120 niños se les midió una cierta variable bioquímica, obteniéndose a partir de 

dicha muestra, que el valor medio de dicha variable está entre 320mg/l y 336mg/l con un nivel de confianza 

del 99%. 

(a) Da una estimación puntual del valor medio y de la varianza, tanto de la talla como de la variable 

bioquímica, para los niños de la población. 

(b) ¿Qué medida de dispersión utilizarías para saber en que muestra están los datos más agrupados? 

Calcúlala para ambas muestras e indica qué conjunto de datos es más homogéneo. 

(Solución: a) Medias: 66.4cm y 328mg/l; Varianzas: 533.11cm 2 y 1157.36(mg/l) 2 ). 

8. Los valores de LH, obtenidos en una muestra aleatoria, de mujeres en estado de gestación son los siguientes: 

162 222 245 195 204 240 157 164 183 192 179 191 192 171 146 147 131 

248 176 207 

21

(Los valores están expresados en mlU/ml y están redondeados). Suponiendo que los valores de LH se 

distribuyen normalmente, obtén un intervalo que contenga, con una gran confianza, el 95% de los valores de 

LH de mujeres gestantes. Interpreta el resultado obtenido. 

(Solución: (82.64,292.56) al 99%). 

9. Un cardiólogo se encuentra interesado en encontrar límites de normalidad al 95%, con una confianza del 

90%, para la presión sistólica tras un fuerte ejercicio físico. Obtén tales límites si en 50 individuos se obtuvo 

190 ± 3 (error estándar). Supondremos que la presión sistólica se distribuye normalmente. 

(Solución: (141.5,238.5)). 

10. Los datos de la tabla adjunta corresponden al peso total del corazón en un grupo de 10 hombres normales 

y 11 con enfermedad de corazón (valores tomados en autopsias realizadas en un determinado hospital). 

Suponiendo normalidad de la variable, construye un intervalo de confianza, para un nivel de confianza del 

99%, para la varianza del peso total del corazón de hombres con la enfermedad. Ídem para hombres normales. 

Enfermos 450 760 325 495 285 450 460 375 310 615 425 

Normales 245 350 340 300 310 270 300 360 405 290 

(Solución: (7707,89884); (846, 11538)). 

11. Se pretende conocer la influencia de un tratamiento con metil-dopa sobre pacientes hipertensos. Para ello se 

toman 10 pacientes hipertensos a los que se les mide la presión sanguínea. Posteriormente se les administra 

el tratamiento y se les vuelve a medir la presión una semana después. Los datos de la presión sanguínea 

antes y después de la administración del tratamiento están en la siguiente tabla: 

Antes 200 194 236 163 240 225 203 180 177 240 

Después 188 212 186 150 200 222 190 154 180 225 

Para probar la efectividad del fármaco, queremos medir la diferencia, D, entre la presión sanguínea inicial 

y final para cada persona. Supongamos que D está normalmente distribuida con media µD y varianza σ 2 D , 

ambas desconocidas 

(a) Estima puntualmente y mediante un intervalo de confianza µD y σ 2 D . 

(b) ¿Qué opinión tienes de la efectividad de la metil-dopa a partir de los resultados obtenidos para estos 

10 pacientes hipertensos? 

(Solución: a) ¯ d = 15.1, s2 d = 393.88; (0.9,29.3); (186.27,1313.42). b) La metil-dopa es efectiva). 

12. En una prueba sobre la leucemia en ratones AKR, se toma una muestra testigo de 56 ratones, (ratones sin 

ningún tratamiento), de los cuales aparecieron 45 leucémicos. 

(a) Calcula una estimación puntual de la proporción de ratones con leucemia. 

(b) Calcula un intervalo de confianza, al 95%, para la proporción anterior. Interpreta el resultado. 

(Solución: a) 0.8; b) (0.67,0.93)). 

13. En un muestreo llevado a cabo en una amplia región se tomaron 125 individuos, al azar, de los cuales 30 

padecieron afecciones pulmonares. 

(a) Estima la proporción de afecciones pulmonares en dicha región. 

(b) Si queremos estimar dicha proporción con un error máximo del 4%, para una confianza del 95%, ¿qué 

tamaño de muestra debemos tomar?. 

22

(Solución: a) (0.165,0.315); b) n=601). 

14. Ha sido realizado (Journal of Clinical Epidemiology, (1988) 41(6), 531-541) un estudio caso-control sobre la 

efectividad del Test de Pap en la prevención del cáncer cervical (por identificación de lesiones precancerosas). 

Se obtuvo que un 28.1% de 153 casos de cáncer cervical y un 7.2% de 153 controles nunca se habían realizado 

un Test de Pap previo al diagnóstico del caso. 

(a) Obtén un intervalo de confianza, al 95%, para el porcentaje de casos de cáncer cervical que nunca se 

han realizado un Test de Pap. 

(b) 

Ídem para los controles. 

(c) ¿Piensas que el Test de Pap es útil para prevenir el cáncer cervical? 

(Solución: a) (0.210,0.352). b) (0.031,0.113). c) Sí). 

15. Datos procedentes del registro general de enfermos con cáncer de pulmón indican que para aquellas localizaciones 

del tumor en las que la cirugía es la terapia adecuada, un 40% de los individuos sobrevive 3 años 

después del diagnóstico y un 33% sobreviven durante 5 años. Supongamos que a un grupo de pacientes que 

deberían haber recibido el tratamiento quirúrgico habitual se les asigna un nuevo tipo de cirugía. De 100 

de tales pacientes, 55 sobrevivieron durante 3 años y 45 sobrevivieron durante 5 años. ¿Indica esto que la 

nueva forma de cirugía es mejor en algún sentido que la forma habitual? 

(Solución: Sí). 

16. La ingestión de calorías por persona y por día en una determinada región es de 2900 calorías. En una región 

vecina, se efectuó un muestreo para estudiar el consumo medio de calorías. Se eligieron aleatoriamente 50 

personas y los resultados fueron de un consumo medio de 3000 calorías por persona y por día, con una 

desviación típica muestral de 100 calorías. Suponiendo que la distribución del consumo de calorías en esa 

región es normal, contesta las siguientes preguntas: 

(a) ¿Podemos admitir, con un nivel de significación del 5%, que las dos regiones tienen diferente consumo 

medio de calorías por persona y por día?. 

(b) Si la muestra hubiese sido de tamaño 27, ¿a qué conclusiones llegaríamos? Calcula las probabilidades 

de significación en ambos casos. 

(Solución: a) Sí, texp=7.07, p < 10 −3 ; b) Sí, texp=5.20, p < 10 −3 ). 

17. Un laboratorio ha obtenido una sustancia que en cierto modo alivia determinadas afecciones cutáneas. Dicho 

laboratorio afirma, según sus experiencias, que dicha sustancia causa alivio, en los pacientes tratados, por 

espacio de 10 horas por término medio. Se ha elegido una muestra de 120 individuos afectados por esta 

dolencia, se les trató con dicha sustancia y se contabilizó el tiempo de alivio en los pacientes. Los resultados 

fueron un tiempo medio de 9.6 horas, con una desviación típica de 1.2 horas. 

(a) ¿Podemos desmentir la afirmación del laboratorio con un nivel de significación del 5%? Calcula el valor 

de p. 

(b) Como máximo, ¿en cuánto podemos estimar el tiempo medio de alivio que produce esa sustancia? 

(Solución: a) Sí, texp=-3.65; p < 0.001. b) (−∞, 9.78) con una confianza del 95%). 

18. Se observaron 12 mujeres primíparas y se obtuvieron los tiempos en minutos de la duración del parto: 

(a) ¿Es normal la variable? 

353 496 568 422 410 380 463 430 310 518 446 368 

23

(b) En multíparas la duración media del parto es de 360 minutos ¿tardaron más, menos o igual que las 

primíparas? 

(c) ¿Cuánto de más o menos? 

(Solución: a) p > 0.2. b) texp=3.309; p < 0.01. c) al 95%, entre 24 y 117 minutos más). 

19. Una nueva carta ocular (la carta de Ferris) ha sido utilizada para medir la agudeza visual en varios estudios 

de investigación. Para un mismo individuo se utilizan cartas diferentes sobre el ojo derecho e izquierdo. Una 

medida de la agudeza visual es el número de letras leídas correctamente. Una medida de variabilidad es el 

número de letras leídas correctamente con el ojo izquierdo - el número de letras leídas correctamente con 

el ojo derecho. Para que la nueva carta sea considerada mejor que la utilizada habitualmente (la carta de 

Snellen)-donde la misma carta se utilizaba para cada ojo-, la variabilidad debe ser mayor en la nueva que en 

la habitual. Sea Xi=número de letras leídas correctamente con el ojo izquierdo - el número de letras leídas 

correctamente con el ojo derecho por el individuo i-ésimo. Suponemos que Xi sigue distribución normal, 

N(0,σ 2 ). Para la carta de Snellen es conocido que σ = 1.5. Tomamos datos sobre 20 individuos utilizando 

la nueva carta y obtenemos que s = 2. ¿Es significativamente mayor la variabilidad con la carta de Ferris? 

(Solución: X 2 = 33.78; 0.02 

20. En un estudio sobre sanidad dental se hace la hipótesis de que el 90% de niños menores de 4 años no muestran 

indicios de caries dental. Se tomaron 100 niños, menores de 4 años, de los cuales el 82% no dio tales indicios. 

En base a estos resultados , ¿sería aceptable el hipotético valor del 90%?. 

(Solución: No, texp=-2.67; 0.001 

21. Se ha comprobado que el porcentaje de curaciones espontáneas de cierta enfermedad es del 40%. Un 

laboratorio ha obtenido un antibiótico y asegura que es eficaz sobre dicha enfermedad. Para comprobarlo 

se tomó una muestra de 100 personas, a las que se les inyectó este antibiótico. El porcentaje de personas 

curadas fue del 55%. ¿Podemos creer, con un nivel del significación del 5%, la afirmación del laboratorio? 

(Solución: Sí, texp=3.06). 

22. El 70% de los pacientes internados en un hospital traumatológico requieren intervención quirúrgica. A 30 de 

estos pacientes se les aplica un nuevo método de fisioterapia y 17 de ellos requieren intervención quirúrgica. 

¿Es eficaz la fisioterapia? 

(Solución: texp = −1.59, 0.055 

24


Análisis de dos Muestras 

1. Se dispone de dos procedimientos A y B para la detección de glucosa en la sangre. Para ver cuál de ellos es 

más preciso, se ha efectuado 10 mediciones con A y 11 con B, de la misma muestra de sangre, obteniéndose 

las estimaciones siguientes: 

s 2 A = 3.333 s 2 B = 3.818. 

¿Podemos afirmar que ambos métodos no son igualmente precisos?. 

(Solución: p > 0.2). 

2. En un experimento sobre los efectos de la insulina en la disminución de la glucemia en conejos, se administró 

una dosis alta de insulina a 9 conejos, resultando una disminución media de glucemia de 16.4 con una 

desviación típica muestral de 4. A otro grupo de 9 conejos se les administró una dosis baja de insulina, 

resultando una disminución media de 9.3 con una desviación típica muestral de 3. Si suponemos que la 

distribución de la glucemia es Normal, contesta las siguientes preguntas: 

(a) ¿Es posible afirmar, con un nivel de significación del 5%, que existe diferencia significativa en la disminución 

de la glucemia según se aplique una dosis alta o baja de insulina? 

(b) ¿En cuánto podemos estimar dicha diferencia? 

(c) 

Ídem para un nivel de significación del 1%. 

(Solución: a) Sí; b) (3.56,10.63) al 95%); c) Sí; (2.23,11.97) al 99%). 

3. Una muestra de 61 alumnos de una universidad A dieron una estatura media de 1.80m con una desviación 

típica de 0.08m. Una muestra de 41 alumnos de otra universidad, B, dieron una estatura media de 1.76m. y 

una desviación típica de 0.1m. Si suponemos que las poblaciones de las alturas se distribuyen normalmente, 

contesta las siguientes preguntas: 

(a) ¿Podemos afirmar, con un nivel de error el 5%, que los alumnos de ambas universidades difieren en 

estatura media? Calcula la probabilidad de significación. 

(b) ¿En cuánto podemos valorar dicha diferencia? 

(Solución: a) Sí). 

4. Se da a continuación la dosis de colesterol sérico en mg/l, de dos grupos de individuos hiperlipidémicos, bajo 

el efecto de un placebo y después de un tratamiento que reduce el colesterol: 

Placebo 5.6 6.25 7.45 5.05 4.56 4.5 3.9 4.3 

Tratamiento 3.35 3.6 3.75 4.15 3.6 

(a) Probar si existe diferencia significativa entre las dosis medias de colesterol sérico en ambas poblaciones, 

suponiendo normalidad de ambas variables. 

(b) ¿Qué podemos hacer si no tenemos la hipótesis de normalidad? 

(Solución: a) texp = 3.45, 0.001 

5. Se quiere comprobar si existe diferencia en eficacia entre la aspirina y un producto de comparación, en 

el alivio de determinados síntomas. Se registraron los tiempos desde la toma del preparado hasta que el 

paciente declaraba sentirse mejor, siendo los datos obtenidos: 

Aspirina: m=10; ¯x = 15.2; s1 = 8.7 

Producto comparación: n=20; ¯y = 13.4; s2 = 6.9 

25

(Unidades=minutos). Si suponemos que las variables se distribuyen normalmente, realiza el contraste adecuado, 

calculando la probabilidad de significación. 

(Solución: p > 0.1). 

6. 82 inadaptados son ingresados en centros de rehabilitación de la forma siguiente: 41 en el centro A, donde 

siguieron un tratamiento de recuperación adecuado y consiguen su recuperación en un plazo medio de 

150 días con una desviación típica de 30 días; y los 41 restantes, son ingresados en otro centro B, donde se 

recuperaron en 160 días, con una desviación típica de 25 días. Suponiendo normalidad, ¿podemos considerar 

que el centro A es más adecuado que B para conseguir una recuperación más rápida? 

(Solución: 0.05 

7. Se ha estudiado el tiempo de reacción ante un estímulo auditivo bajo dos situaciones o condiciones radicalmente 

diferentes F y Q. Para ello se ha elegido una muestra aleatoria de 9 niños, los cuales han sido 

estimulados, en primer lugar, bajo la situación F y pasado un tiempo prudencial de reposo, son nuevamente 

estimulados bajo Q. Los tiempos de reacción, en centésimas de segundo, aparecen en la siguiente tabla: 

niño 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

sist. F 14 12 9 13 15 17 13 12 13 

sist. Q 17 14 13 15 16 16 16 15 13 

(a) Suponiendo que la diferencia de los tiempos de reacción se distribuye normalmente, ¿puede afirmarse 

que el tiempo de reacción medio difiere de la situación F a la Q, si admitimos un nivel de error del 1%? 

(b) ¿Cómo podemos establecer la comparación si no tenemos la hipótesis de normalidad? 

(Solución: a) Sí, texp = 3.5). 

8. Se quiere probar si los efectos hipnóticos de un nuevo fármaco M, son mejores que los del fármaco usado 

habitualmente L. Para ello se eligieron 10 personas, de forma aleatoria, a las que primeramente se les 

administró L y se les anotó el tiempo, en horas, de sueño. Pasado un tiempo prudencial se les administró 

M, obteniéndose del mismo modo, el tiempo, en horas, de sueño. Los resultados fueron los siguientes: 

Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

L 7 6 8 9 6.5 8 8.5 8 9.5 8 

M 9 8 10 8.5 9 7 9 8.5 9.5 7.5 

(a) Suponiendo normalidad, ¿puede afirmarse que el nuevo fármaco es mejor que el habitual, si admitimos 

un nivel de error del 1%? 

(b) ¿Cómo podemos establecer la comparación si no tenemos la hipótesis de normalidad? 

(Solución: a) No, texp = −1.867. 0.01 

9. A 11 ratas tratadas crónicamente con alcohol se les midió la presión sanguínea sistólica antes y después de 

30 minutos de administrarles a todas ellas una cantidad fija de etanol, obteniéndose los datos que aparecen 

en la siguiente tabla: 

Ratas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 

Antes 126 120 124 122 130 129 114 116 119 112 118 

Después 119 116 117 122 127 122 110 120 112 110 111 

(a) ¿Hay un descenso significativo de la presión sanguínea sistólica tras la ingestión de etanol? 

(b) Valora tal descenso. 

26

(Solución: a) texp = 3.679; p < 0.01. b) Desciende entre 1.58 y 6.42 al 95%). 

10. Los datos siguientes se corresponden con la duración de la menstruación, medida en días, en dos grupos de 

mujeres, unas con excesivo volumen de sangre en su menstruación (I) y otras con un volumen normal (II). 

¿Puede considerarse igual la duración de la regla? 

(Solución: Rexp = 59.5; 0.01 

Grupo I: 7 6 8 5 6 8 

Grupo II: 4 5 4 6 3 5 5 

11. Para comprobar si un tratamiento con ácidos grasos es eficaz en pacientes con eczema atópico, se tomaron 

10 pacientes con eczema de más de 9 meses y se les sometió durante tres semanas a un tratamiento ficticio 

(placebo) y durante las tres siguientes a un tratamiento con ácidos grasos (la mitad de los pacientes en ese 

orden y la otra mitad en el orden contrario de tratamientos). Tras cada periodo, un médico ajeno al proyecto 

evaluó la importancia del eczema en una escala de 0 (no eczema) a 10 (tamaño máximo de eczema). Los 

datos aparecen en la tabla adjunta. ¿Es eficaz el tratamiento? (Lancet (1981), 8214). 

(Solución: R(+)=32; 0.05 

Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Placebo 6 8 4 8 5 6 5 6 4 5 

Tratamiento 5 6 4 5 3 6 6 2 2 6 

12. Se realizó un test oral de glucosa a dos muestras de pacientes sanos, una de jóvenes y otra de mayores. El 

test consistió en anotar el nivel de glucosa en sangre en el momento de la ingestión de 100g de glucosa y 

tras 60 minutos de la misma. Los resultados aparecen en la tabla adjunta. Si suponemos normalidad de la 

variable nivel de glucosa, contesta las siguientes preguntas: 

(a) ¿Hay un aumento de glucosa en sangre en los jóvenes de los 0 a los 60 minutos?, ¿y en los mayores? 

(b) ¿Son iguales los niveles basales en ambos grupos? 

(c) ¿El incremento en los jóvenes es inferior al de los mayores? 

(d) ¿Los niveles a los 60 minutos son superiores en los mayores? 

(e) ¿Cuál de las preguntas anteriores obedece a la idea común de que la tolerancia a la glucosa en sujetos 

sanos tiende a decrecer con la edad? 

(f) ¿Cuánto vale el aumento medio en los jóvenes? 

(g) ¿Cómo podemos contestar las preguntas anteriores si no tenemos la hipótesis de normalidad? 

(Metabolism (1981), 30(1)). 

Jóvenes 0’ 81 89 80 75 74 97 76 89 

60’ 136 140 149 151 138 154 141 155 

Mayores 0’ 98 94 93 88 79 90 86 89 81 90 86 80 

60’ 196 190 191 189 159 185 182 190 170 197 163 187 

(Solución: a) texp = 21.870; p < 0.001 para jóvenes. texp = 35.328; p < 0.001 para mayores. b) texp=1.665. 

c) texp = 8.011, p < 0.001. d) texp = 8.385, p < 0.001. f) (56.075,69.675) al 95%). 

13. Los porcentajes de curación de dos tipos de cáncer de piel A y B han sido del 85% sobre una muestra de 400 

cancerosos A y de 225 curaciones sobre una muestra de 300 cancerosos B. ¿Existe diferencia significativa en 

las proporciones de curaciones de estos tipos de cáncer?. Si es afirmativa la respuesta, ¿es posible estimar 

dicha diferencia? 

(Solución: a) texp = 3.34. 0.0001 

27

14. Se piensa que la presencia del antígeno AG-4 está relacionado con un desenlace favorable en el tratamiento 

de pacientes con carcinoma de cuello uterino. De 21 mujeres ya fallecidas por tal causa, 6 presentaban el 

antígeno; de 42 mujeres que reaccionaron bien al tratamiento, 28 presentaron el antígeno. 

(a) ¿Depende la efectividad del tratamiento de la presencia ó no del antígeno? 

(b) Da un intervalo de confianza para la proporción de mujeres con el antígeno de entre las que responden 

bien al tratamiento. 

(Lancet (1981), 8217). 

(Solución: a) texp = −2.85, p < 0.01. b) (0.5035,0.7996) al 95%). 

15. De un grupo de 100 enfermos de apendicitis crónica, 40 poseen una fórmula sanguínea de leucocitosis. 

En otro hospital se hace una misma revisión de 300 enfermos con el mismo diagnóstico y 110 de ellos 

presentan leucocitosis. ¿Es significativa la diferencia de porcentaje de enfermos con leucocitosis? Calcula la 

probabilidad de significación. 

(Solución: texp = 0.5963. p > 0.1). 

16. Se sospecha que añadiendo al tratamiento habitual para la curación de una determinada enfermedad, un 

medicamento A, se consigue mayor número de curaciones. Tomamos dos grupos de enfermos de 100 individuos 

cada uno. Al primero se le suministra el medicamento A y se curan 60, mientras que al otro grupo no se 

le administra y se curan 55. ¿Podemos decir que es beneficioso el uso del medicamento A, para la curación 

de la enfermedad, para un nivel de significación del 5%? ¿Cómo queda la respuesta a la pregunta anterior 

reflejado en el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones? 

(Solución: No. (-0.09,0.19) al 95%). 

17. Se tienen dos medicamentos, A y B, que curan una misma enfermedad. Aplicados a dos muestras de enfermos 

se obtienen los siguientes resultados: 

curados no curados 

A 72 17 

B 64 23 

(a) ¿Actúan de forma diferente los medicamentos A y B sobre dicha enfermedad? Calcula la probabilidad 

de significación. 

(b) Supongamos que son igualmente efectivos, obtén un intervalo de confianza, al 10%, de la proporción 

común de curados. ¿Tiene sentido? 

(Solución: a) texp = 1.161 b) (0.72,0.82)). 

18. Se quiere comprobar la efectividad de una vacuna contra una determinada enfermedad. Para ello se suministra 

la vacuna a 100 animales y se les comparó con un grupo testigo de otros 100, de modo que a los 200 se 

les contagió la enfermedad. Entre los vacunados murieron sólo 8 como resultado de la enfermedad, mientras 

que del grupo testigo murieron 20. ¿Podemos decir, con un nivel de significación del 5%, que la vacuna es 

eficaz para reducir la mortalidad? 

(Solución: a) texp = −2.45. Sí). 

19. Un investigador médico está interesado en probar si una determinada enfermedad inducida en animales de 

laboratorio, produce un número de muertes mayores en animales adultos que en los jóvenes. Para ello toma 

una muestra de 200 jóvenes y al cabo de un mes se mueren 58. Igualmente, toma 150 animales adultos, 

muriendo en el mismo periodo 36. ¿Está fundamentada su sospecha, a un nivel del 5%? 

(Solución: texp = 1. No). 

28

20. Durante mucho tiempo se ha afirmado que en los nacimientos gemelares el segundo nacido tiene una mayor 

probabilidad de sufrir determinados problemas respiratorios que el primero. ¿Es aceptable la hipótesis si, de 

221 nacimientos gemelares, en 24 casos ambos niños presentaron los problemas, en 158 ninguno los presentó, 

en 8 los presentó el primero pero no el segundo y al revés en los 31 restantes?. Cuantifica el incremento de 

la probabilidad. (Arnold et al.(1987) The New England Journal of Medicine, 317(18), 1121-1125). 

(Solución: texp = 3.683, p < 0.0005. (5.04%,15.77%) al 95%). 

21. En los pacientes terminales de cáncer son muy importante los cuidados administrados tendentes a paliar 

el sufrimiento por causa de su enfermedad. A 80 de tales pacientes se les somete a dos tipos de cuidado 

alternativamente, mostrándose aliviados 24 de ellos con ambos, 24 con ninguno, 28 con el primero pero no 

con el segundo y 4 con el segundo pero no con el primero. ¿Hay razones para preferir un tipo de cuidados 

al otro?. 

(Solución: texp = 4.24; p < 0.0001). 

22. En un estudio sobre el efecto de un fármaco A en la prevención de nacimientos prematuros, se contó con 

500 pares de mujeres embarazadas, emparejadas de tal manera que el peso de las dos mujeres de un par 

se diferenciase, a lo sumo, en 500g. A una de las mujeres se le administró un placebo, mientras que al 

otro miembro del par se le administró el fármaco A. En 30 de estos pares ambas mujeres tuvieron un niño 

prematuro. En 420 pares, ambas tuvieron niños normales. En 35 pares, la mujer que tomó el fármaco A 

tuvo un niño normal y la que tomó el placebo, uno prematuro. Y, por último, en 15 pares, la mujer que 

tomó el fármaco tuvo un niño prematuro y la que no lo tomó, uno normal. ¿Qué podemos decir del efecto 

del fármaco A? 

(Solución: texp = 2.83; 0.002 

29


Análisis de varias Muestras 

1. El enrojecimiento cloropropamida / alcohol es un enrojecimiento facial experimentado por los pacientes 

diabéticos tratados con cloropropamida después del consumo de alcohol. Se realiza un experimento para 

estudiar la capacidad de la indometacina para bloquear esta reacción. Participaron en el estudio tres tipos 

de diabéticos: I, diabéticos sin complicaciones; II, diabéticos con retinopatía severa, y III, diabéticos con 

enfermedades de los grandes vasos. Al principio del experimento se toma la temperatura facial de cada 

paciente y se le suministran después 250mg de cloropropamida. Después de 12 horas, se le dan al paciente 

40ml de jerez y se anota la temperatura facial. Se repite el experimento con cada paciente que recibe 

100mg de indometacina setenta y cinco minutos antes de tomar el jerez. Nuevamente se anota el cambio 

en la temperatura facial. Se obtuvieron las siguientes observaciones para la diferencia de temperaturas 

(temperatura después que se utilizó la indometacina menos temperatura antes de que se tomara): 

I -0.23 -0.76 -0.15 -0.34 -0.54 -1.90 -2.07 -1.21 

II .32 0.25 0.29 0.07 0.1 0.18 0.16 0.23 

III -0.35 -0.13 0.16 0.12 -0.43 0.49 -0.3 0.44 

Suponiendo normalidad de las variables e igualdad de varianzas, ¿podemos afirmar que existen diferencias 

en la variación de temperatura entre los tres grupos de diabéticos? Interpreta el resultado. 

(Solución: Fexp = 11.815, p < 0.001). 

2. Para evaluar la influencia del tipo de acidosis del recién nacido en los niveles de glucemia medidos en el 

cordón umbilical del mismo, se obtuvieron los datos de la siguiente tabla: 

Controles 51 56 58 60 62 63 65 68 72 73 

Acidosis Respiratoria 60 65 66 68 68 69 73 75 78 80 

Acidosis Metabólica 69 73 74 78 79 79 82 85 87 88 

Acidosis Mixta 70 75 76 77 79 80 82 86 88 89 

Suponiendo normalidad de la variable e igualdad de varianzas, analiza los resultados obtenidos. 

(Solución: Fexp = 16.69 (3 y 36 g.l.). p < 0.001) 

3. Se desea saber si el grado de ansiedad es el mismo, por término medio, en tres enfermedades distintas. Para 

ello se tomaron tres muestras de 10, 8 y 12 personas, respectivamente con esas enfermedades, pasándoles 

a cada una de ellas un test que medía el grado de ansiedad del individuo en una escala de 0 a 10. Los 

resultados se dan en la siguiente tabla: 

¿Qué puede concluirse de estos datos? 

(Solución: H = 8.02, p < 0.025). 

Enfermedades Grados de ansiedad 

A 4 6 5 5 6 3 3 2 6 5 

B 2 1 5 5 4 6 4 4 4 3 3 2 

C 7 5 8 7 9 3 5 5 

4. Se supone que el número de visitas a demanda en un Centro de Salud está condicionado por la accesibilidad 

al mismo (medida en tiempo de acceso). Los tiempos de acceso se dividen en tres tipos (bajos: menos de 

10 minutos; moderados: de 10 a 30 minutos; altos: más de 30 minutos) y se tomaron 15 individuos al azar 

de cada uno de los centro anotándose el número de visitas realizadas al Centro en el último año. Los datos 

obtenidos aparecen en la siguiente tabla: 

30

Analiza los datos obtenidos. 

(Solución: H = 3.97, 0.1 

Bajos 3 2 1 0 2 3 8 7 2 4 5 3 3 2 2 

Moderados 0 3 3 2 1 1 5 4 4 2 0 1 1 3 6 

Altos 1 1 2 2 2 2 2 1 3 1 8 0 0 3 1 

5. En 1985 (Kopelman, H. et al. New England Journal of Medicine, 312(6), 329-334) se llevó a cabo un 

estudio sobre la concentración de proteina de las secreciones duodenales de pacientes con fibrosis quística. 

La siguiente tabla proporciona datos relacionando la concentración de proteina (en mg/ml) con la función 

pancreática medida por la secreción de tripsina (en u/(Kg/hr)) 

Secreción de tripsina 

≤ 50 51-1000 > 1000 

Individuo Proteina Individuo Proteina Individuo Proteina 

1 1.7 1 1.4 1 2.9 

2 2.0 2 2.4 2 3.8 

3 2.0 3 2.4 3 4.4 

4 2.2 4 3.3 4 4.7 

5 4.0 5 4.4 5 5.0 

6 4.0 6 4.7 6 5.6 

7 5.0 7 6.7 7 7.4 

8 6.7 8 7.6 8 9.4 

9 7.8 9 9.5 9 10.3 

10 11.7 

Suponiendo normalidad de las variables e igualdad de varianzas, ¿a qué conclusiones podemos llegar?. 

(Solución: Fexp = 1.265, p > 0.1) 

6. Para determinar el efecto de la hemodiálisis sobre el tamaño del hígado, se estudian tres poblaciones: 

controles normales, pacientes urémicos no dializados y pacientes dializados. Con una muestra aleatoria de 

cada población se mide la superficie de hígado (cm 2 ), obteniendo: 

CONTROLES PACIENTES NO DIALIZADOS PACIENTES DIALIZADOS 

206.9 194.6 288.8 

150.0 145.6 269.2 

197.3 174.9 288.3 

173.2 187.5 357.5 

147.2 223.4 229.2 

143.8 143.0 249.0 

192.6 170.0 346.1 

216.6 

202.6 

213.5 

Contrasta la hipótesis nula de que no existe diferencia en el tamaño del hígado entre las tres poblaciones. 

Calcula el valor de p. 

(Solución: H = 14.936. p < 0.001). 

7. El control del estrés es uno de los factores que más influyen en los resultados de los deportistas de élite, pero 

su nivel no es el mismo en los distintos deportes (aún cuando se trate de competiciones del máximo nivel). 

31

Para comprobar esto, se tomaron atletas de tres deportes (fútbol, atletismo y natación) en los que se anotó 

su nivel de estrés (muy fuerte, fuerte, moderado y leve). Los resultados se dan en la siguiente tabla: 

Muy fuerte Fuerte Moderado Leve Total 

Fútbol 22 48 120 30 220 

Atletismo 41 38 20 11 110 

Natación 48 39 10 18 115 

Total 111 125 150 59 445 

¿Tenemos razones para pensar que el grado de estrés no es el mismo para cada uno de estos tres deportes? 

(Solución: Sí, χ 2 = 104.46, p < 0.001). 

8. Ante la sospecha de que el hábito de fumar de una embarazada puede influir en el peso de su hijo al nacer, se 

tomaron dos muestras, una de fumadoras y otra de no fumadoras, y se clasificó a sus hijos en tres categorías 

en función de su peso (menor del percentil 10, entre el percentil 10 y 90 y mayor del percentil 10). Los datos 

aparecen en la tabla siguiente: 

Analiza los resultados obtenidos. 

(Solución: χ 2 = 50.69, p < 0.001) 

Peso del hijo 

Fumadoras Menor del P10 Entre P10 y P90 Mayor del P90 Totales 

Si 117 529 19 665 

No 124 1157 117 1398 

Totales 241 1686 136 2063 

9. De cada uno de los 6 distritos de una ciudad se tomaron 100 individuos al azar y se encontró que había 

22, 16, 15, 31, 23 y 25 hipertensos respectivamente. ¿Es igual la prevalencia de la hipertensión en todos los 

distritos? 

(Solución: χ 2 = 10.26, 0.05 

10. Para estudiar el efecto de la edad en la supervivencia tras una intervención quirúrgica general, se tomaron 

305 individuos menores de 75 años y 125 mayores de esa edad. Tras la intervención murieron 25 individuos 

entre los menores de 75 años y 20 entre los mayores. Analiza los datos. 

(Solución: χ 2 = 5.7618, 0.01 

11. Al aplicar campos electromagnéticos pulsantes a diversas fracturas (62 en tibia, 26 en húmero y 18 en fémur) 

con el fin de provocar su unión, se encontró que se consolidaron 34, 16 y 10 de cada una de ellas. ¿Varía la 

consolidación con la localización? 

(Solución: χ 2 = 0.34, p > 0.2). 

32


Relación entre Variables 

1. A fin de estudiar la evolución del ángulo de Clarke (en grados) con la edad del niño (sano) se obtuvieron 

ambos datos en un grupo de 16 niños (entre 3 y 10 años) elegidos al azar: 

Edad (X) 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 

Ángulo (Y ) 24 22 28 25 32 31 33 30 34 34 36 39 39 41 46 44 

Suponiendo que se dan las hipótesis de normalidad e igualdad de varianzas adecuadas, contesta las siguientes 

preguntas: 

(a) ¿Existe relación entre la edad y el ángulo de Clarke?. Si existe, ¿cómo podemos medir el grado de la 

relación? 

(b) ¿Qué porcentaje de la variabilidad del ángulo queda explicada por la relación que mantiene con la 

variable edad? 

(c) ¿Cuánto varía el ángulo por cada año que pasa de edad? 

(d) ¿Qué valor del ángulo tendría un niño con 12 años? ¿Y uno de 5 años? 

(Solución: a) Sí, texp = 15.91; r = 0.973. b) 94.7%. c)(2.49,3.27) al 95%. d) No se puede calcular; (25.6,33.0) 

al 95%). 

2. Los datos siguientes son medidas de las concentraciones de calcio (en mg/100ml) y de hormona paratiroidea 

(en µg/ml) en el plasma de 12 individuos sanos. 

Calcio (X) 11.0 11.0 10.6 10.5 10.6 10.4 10.2 9.5 8.2 7.5 6.0 5.0 

PTH (Y) 0.30 0.50 1.12 1.23 1.24 1.31 1.33 2.10 2.15 2.43 3.70 4.27 

Suponiendo que se verifican las hipótesis de normalidad e igualdad de varianzas, 

(a) ¿Existe relación entre ambas variables? Si existe, valora el grado de dicha relación así como el sentido. 

(b) Estima la recta de regresión del PTH sobre la concentración de Calcio. 

(c) ¿Qué nivel medio de PTH le corresponde a un nivel de Calcio de 10 unidades? 

(d) ¿Qué nivel medio de Calcio corresponde a una PTH de 1.5 unidades?, ¿y a una de 5 unidades?. 

(Solución: a) Sí, texp = 12.33; r = −0.973. b) y = 6.5360 − 0.5191x. c) (1.11,1.58) al 95%. d) Calcula la 

recta de regresión de x sobre y: x = 12.097 − 1.566y. (9.37,10.07) al 95%; para 5 no puede calcularse). 

3. Se ha medido la presión sistólica (mmHg) en 12 individuos para relacionarla con la edad de los mismos (en 

años). Los resultados fueron los siguientes: 

Edad 30 50 60 30 70 60 60 40 40 50 70 40 

Presión 107 136 148 109 158 150 145 120 118 134 162 124 

Suponiendo que se verifican las hipótesis de normalidad e igualdad de varianzas, 

(a) Efectúa la prueba de significación del coeficiente de correlación lineal. 

Si se obtiene un resultado significativo (p < 0.05), calcula: 

(b) El grado de dependencia lineal e interprétalo. 

(c) La recta que mejor describa la tendencia lineal de las variables estudiadas. 

33

(d) Calcula una estimación de la presión sistólica correspondiente a una edad de 52 años. Ídem para 69 

años. 

(e) ¿En cuánto podemos estimar el porcentaje de la variabilidad de la presión sistólica no explicada por la 

edad? 

(Solución: a) texp = 28.737, p < 0.001. b) r = 0.994. c) y = 68.57 + 1.31x. d) 136.88; 159.21. e) 1.19%). 

4. Los datos siguientes dan la torsión tibial en los miembros sanos y enfermos en los niños de 1 año con el pie 

zambo congénito. ¿Están relacionados? 

(Solución: rs = −0.136, p > 0.1) 

Sano 5 27 17 33 18 24 25 13 20 21 22 

Enfermo 37 23 28 32 33 48 9 27 19 21 39 

5. Al marcar animales de laboratorio para futuros estudios, hay que inmovilizarlos temporalmente, para lo 

cual se utiliza hidrocloruro de fenciclicina. Se realiza un estudio para determinar la relación entre dosis 

administrada (mg) y el tiempo transcurrido hasta la inmovilización completa. 

Dosis 25 28 24 20 30 27 22 21 

Tiempo 10 8 11 15 9 7 14 16 

Estudia la correlación por rangos entre ambas variables. 

(Solución: rs = −0.88, 0.01 

6. 1343 niños fueron clasificados según el grado de cumplimiento de su calendario vacunal y el nivel sociocultural 

de sus padres. 

Cumplimiento 

Nivel Alto Medio Bajo 

Alto 94 38 2 

Medio Alto 150 63 7 

Medio Bajo 277 134 7 

Bajo 228 229 114 

¿Existe asociación entre estas dos variables cualitativas?. Si es así, ¿cómo podemos medir el grado de dicha 

relación? 

(Solución: χ 2 = 163.51, p < 0.0001. C = 0.3295) 

7. La rehabilitación de individuos con fracturas en extremidades inferiores (como consecuencia de un accidente 

de tráfico) se ve condicionada por la participación de los mismos en el proceso de rehabilitación (Bajo=Menos 

de 30’; Medio=De 30’ a 60’; Alto=Más de 60’). A fin de comprobar el último supuesto, se tomaron 360 de 

tales pacientes y se les clasificó como en la tabla siguiente: 

Participación 

Tiempo Baja Media Alta 

Bajo 39 38 112 

Medio 24 26 70 

Alto 24 20 7 

¿Existe asociación entre estas dos variables cualitativas?. Si es así, ¿cómo podemos medir el grado de dicha 

relación? 

(Solución: χ 2 = 36.43, p < 0.001. C = 0.303) 

34

8. Para estudiar la relación entre el hábito de fumar y la aparición de cardiopatía coronaria, se observaron 80 

fumadores y 70 no fumadores durante un periodo de tiempo, sufriendo la misma en dicho periodo 35 de los 

primeros y 16 de los segundos. ¿Influye el ser fumador en la apirición de la cardiopatía? Si existe dicha 

influencia ¿cómo puedes medir su grado? 

(Solución: χ 2 = 7.26, 0.005 

9. Varios libros de Medicina Interna recomiendan al médico la palpación de la arteria radial con el fin de evaluar 

el estado de la pared arterial. Se tomaron 215 pacientes y se les clasificó según la palpabilidad de dicha 

arteria (grados 0,1 y 2 para ”no palpable”, ”palpable” y ”muy palpable o dura”, respectivamente) y según 

una puntuación de 0 a 4 en orden creciente de degeneración arterial (evaluada tras la muerte del paciente y 

su análisis anatomopatológico). Los datos aparecen en la siguiente tabla: 

Palpación 

A. Anatomo-patolog. 0 1 2 

0 20 5 5 

1 60 20 10 

2 45 15 15 

3 10 5 5 

¿Existe relación entre el grado de palpabilidad y el análisis anatomopatológico? 

(Solución: χ 2 = 4.47, p > 0.2) 

10. En un estudio de seguimiento para detectar los factores que influyen en la muerte por enfermedad isquémica 

del corazón, una de las preguntas era si el último mes el paciente había sentido un dolor en el pecho. Tras 

9 años de seguimiento, de 4580 individuos 460 sufrieron dolor en el pecho, y de ellos 80 fallecieron por la 

enfermedad citada. De los que no padecieron dolor en el pecho, 395 fallecieron por enfermedad isquémica 

del corazón. ¿Están relacionados el dolor en el pecho y la muerte por enfermedad isquémica del corazón? 

(Solución: χ 2 = 27.11, p < 0.001) 

35

Problemas de Bioestad´ıstica

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