Tema 3. Sistemas de proyección. Georreferenciación

3.1 Conceptos de Geodesia

Geodesia es la ciencia que estudia la forma y tamaño de la Tierra y las posiciones sobre la misma. El principal problema que debe resolverse es que la Tierra es un cuerpo geométrico irregular denominado geoide que puede definirse como una superficie equipotencial en cuanto a la gravedad, en la que todos sus puntos experimentan la misma atracción debido a la gravedad siendo esta atracción equivalente a la experimentada al noivel del mar. Debido a las alteraciones introducidas por la isostasia, esta superficie no es regular sino que contiene ondulaciones que alteran los cálculos de localizaciones y distancias.

Fuente: http://www.lsgi.polyu.edu.hk/cyber-class/geodesy/

Debido a estas irregularidades suelen utilizarse modelos de la forma de la Tierra denominados esferoides o elipsoides de referencia. Se trata de una esfera achatada por los polos resultado de la revolución de una elipse. El achatamiento del esferoide se define mediante un coeficiente como:

f=(a-b)/a

donde a y b son las longitudes del eje mayor y menor resectivamente. El achatamiento real es aproximadamente de 1/300. Alterando los valores de estos coeficientes se obtienen diferentes esferoides. La razón de tener diferentes esferoides es que cada uno se ajusta especialmente bien a la forma del geoide en diferentes partes de la Tierra. El conjunto de:
 

1. un elipsoide
2. un punto llamado "Fundamental" en el que el elipsoide y la tierra son tangentes
3. un azimuth o dirección de referencia que define el Norte
4. la distancia entre geoide y elipsoide en el origen

define un datum. Establecer cual es el datum de un sistema de coordenadas es tarea de los servicios nacionales de geodesia. En España, el datum utilizado tradicionalmente en cartografía, tanto en los mapas del  Servicio Geográfico del Ejercito (SGE) como en los del Instituto Geográfico Nacional (IGN),  es el Europeo. Este puede ser el de 1950 si el mapa esta "formado" (información que se obtiene en la letra pequeña del margen del mapa) antes o durante 1979 o el europeo de 1979, si el mapa esta formado después de este año. Ambos datum tienen como elipsoide el  de Hayford, también llamado Internacional de 1924, y como punto fundamental Postdam  (Gran Bretaña). El elipsoide de Hayford se define por los parámetros:

• a=6378388
• b=6356911.946
• Aplanamiento=1:297

El sistema de coordenadas natural de un esferoide es el de latitud y longitud que suele denominarse de coordenadas geográficas. Para definir latitud y longitud, debemos identificar el eje de rotación terrestre. El plano perpendicular al eje de rotación que corta la tierra atravesándola por su centro define el Ecuador en su intersección con el esferoide. El resto de posibles planos perpendiculares definen los diferentes paralelos o lineas de latitud constante.  Finalmente, los diferentes planos que cortan el esferoide siendo paralelos al eje de rotación y perpendiculares al Ecuador definen los meridianos o lineas de longitud constante. La longitud y latitud se miden en grados sexagesimales, aunque ha habido intentos por introducir sistemas diferentes.
 
 

3.2 Transformaciones cartográficas

El proceso de transformar coordenadas geográficas (que suponen un cuerpo esférico) a coordenadas planas para representarlo en dos dimensiones se conoce como proyección y es el campo de estudio tradicional de la ciencia cartográfica. La repentina aparición de los SIG y la posibilidad de combinar información de diferentes mapas con diferentes proyecciones ha incrementado la relevancia de la cartografía.
Básicamente, la proyección consiste en establecer una ecuación que a cada par de coordenadas geográficas le asigne un par de coordenadas planas

x=f(lat,long)
y=f(lat,long)
 
 

Una proyección implica siempre una distorsión en la superficie representada, el objetivo de la cartografía es minimizar estas distorsiones utilizando la técnica de proyección más adecuada a a cada caso. Las propiedades del elipsoide que pueden mantenerse son:
 

• Conformidad. Si un mapa mantiene los ángulos que dos líneas forman en la superficie terrestre, se dice que la proyección es conforme. El requerimiento para que haya conformidad es que en el mapa los meridianos y los paralelos se corten en ángulo recto y que la escala sea la misma en todas las direcciones alrededor de un punto, sea el punto que sea. El término "mapa conforme" es a veces erróneo pues las condiciones de conformidad pueden llevarse a cabo sólo en pequeñas áreas de un mapa plano. La forma de grandes continentes mostradas en el plano difieren de la forma que tienen en el globo.
• Equivalencia, es la condición por la cual una superficie en el plano de proyección tiene la misma superficie que en la esfera. La equivalencia no es posible sin deformar considerablemente los ángulos originales. Por lo tanto, ninguna proyección puede ser equivalente y conforme a la vez.
•  Equidistancia, cuando una proyección mantiene las distancias entre dos puntos situados sobre la superficie del Globo (representada por el arco de Círculo Máximo que las une).

Otra forma de clasificar las proyecciones es con referencia a la figura geométrica que genera el plano bidimensional. Se habla entondces de proyecciones cilíndricas, cónicas y azimutales o planas. En estos casos las distorsiones son nulas en la linea donde la figura corta al elipsoide y aumentan con la distancia a esta. Para minimizar el error medio suelen utilizarse planos secantes en lugar de planos tangentes.

Fuente: http://nivel.euitto.upm.es/~mab/tematica/htmls/proyecciones.html
 

El resultado es un plano en el que la Tierra, o una parte de la Tierra se representan mediante un sistema de coordenadas cartesiano. El más conocido de todos y utilizado en Españo es la proyección UTM. En la que la Tierra se divide en 60 husos con una anchura de 6 grados de longitud. Las distorsiones son nulas en los lados y aumentan hacia el meridiano central (es por tanto una proyección secante), especialmente cuando se incremente la latitud. Por tanto la proyección UTM no debe usarse en latitudes altas y suele reemplazarse por proyecciones azimutales polares.

El meridiano central tiene siempre un valor X= 500.000 metros y en el Ecuador Y=0 metros
 

Fuente: http://www.lsgi.polyu.edu.hk/cyber-class/geodesy/
 

Fuente: http://www.uco.es/~bb1rofra/documentos/proyecciones
 
 

3.3 Georreferenciación

El concepto de georreferenciación hace referencia a la idea general de cambiar de un sistema de coordenadas a otro. El problema de la proyección sería por tanto un caso particular de georreferenciación. Los problemas habituales que deberán resolverse en un SIG son:

• Cambio de sistemas de coordenadas. Implica deshacer una proyección para obtener otra vez coordenadas geográficas para posteriormente obtener coordenadas planas mediante otra proyección.
• Pasar coordenadas planas no estandard a un sistema de proyección. Implica generar nuestras propias ecuaciones de proyección mediante un procedimiento estadístico de regresión múltiple que incluye la toma de puntos de control. Este procedimiento es el que se utiliza en teledetección.

Las correcciones necesarias para restaurar a cada punto de la imagen sus coordenadas reales se basan en ecuaciones polinómicas que permiten modificar de forma flexible las coordenadas de la imagen. El orden del polinomio determina la flexibilidad del ajuste y de la tranfomación, normalmente se emplean transformaciones de tipo lineal (polinomio de grado 1), cuadrático (polinomio de grado 2) o cúbico (polinomio de grado 3).Los casos más habituales son la transformación lineal:
 
 

 
 
                                                                              (9)

 
 
                                                                             (10)
 

y la transformación cuadrática:
 
 

 
 
                                                                             (11)

 
 
                                                                             (12)
 

la transformación cúbica es más compleja, las ecuaciones son similares a las lineales y cuadráticas pero inclyendo términos elevados al cubo.

Empleando el procedimiento de los mínimos cuadrados, se pueden calcular los valores de los coeficientes A,B,..., N, a partir de las coordenadas de un conjunto de puntos de control. Como regla general, el número de puntos de control debería ser mayor que el número de parámetros que se van a calcular, 6 en la transformación lineal, 12 en la cuadrática y 24 en la cúbica.

Es importante determinar cual es el tipo de transformación más adecuada en función del tipo de distorsiones que se supone que aparecen en la imagen y de la cantidad y calidad de los puntos de control. Es necesario tener en cuenta que cuanto mayor sea el grado de los polinomios implicados, más sensible será la transformación a errores en la selección de los puntos de control.

                   Figura 1: Corrección geométrica mediante transformación
                                      lineal
 
 

La transformación lineal es la más sencilla (figura 1) asume que no hay distorsión en la imagen y simplemente se requiere una traslación (coeficientes A y E), cambio de escala (coeficientes B y H) y rotación de la imagen (coeficientes D y G).

Por tanto si el origen de coordenadas de la imagen original es (c=0,f=0) entonces:

A=valor de X en el punto en el que c=0
E=valor de Y en el punto en el que f=0

Si no es necesario rotar la imagen B y H son factores de escala
 
 

 
 
                                                                             (13)

 
 
                                                                             (14)
 

D=0 G=0

Casi todos los programas de SIG disponen de algún procedimientos para realizar una transformación de coordenadas. Resultan además muy útiles para incorporar mapas escaneados. En general se basan en una serie de etapas básicas:
 

1. Se busca una serie de puntos de control (generalmente lugares muy destacados y visibles) y se averiguan las coordenadas de cada uno de ellos en los dos sistemas de coordenadas, (X,Y) y (c,f)
2. Determinación del tipo de transformación más adecuada en función del tipo de datos de partida y del número de puntos de control que hayan podido encontrarse.
3. Mediante mínimos cuadrados se obtienen los valores de los coeficientes de regresión a, b, c, d, e y f. Estos coeficientes así calculados permiten realizar una modificación del sistema de coordenadas con el mínimo grado de error.
4. Se aplican las ecuaciones anteriores, con los valores calculados de los coeficientes, a todas las coordenadas iniciales para obtener así sus nuevos valores en el sistema de referencia final.

Las etapas 3 y 4 suelen llevarse a cabo automáticamente.

Este procedimiento es válido tanto para capas raster como para vectoriales, en el segundo caso el procedimiento estaría completo con los pasos anteriores. Sin embargo en el caso de capas raster es necesario aplicar un procedimiento para transferir la información de los pixels originales a los pixels resultantes del proceso de transformación ya que con estas funciones de transformación va a crearse una nueva matriz correctamente posicionada, pero vacia. El llenado de esta matriz es, precisamente, el objetivo de la última fase de la transformación de coordenadas.

El problema resulta más complejo de lo que pudiera pensarse a primera vista. Idealmente, cada pixel de la capa transformada debería corresponderse a un solo pixel en la original. Lo normal, sin embargo, es que el pixel de la nueva imagen se sitúe entre varios de la original, incluso puede variar el tamaño de los pixels.

El trasvase de valores de la capa original a la transformada puede abordarse por tres métodos dependiendo de la complejidad de la transformación realizada y del tipo de datos.

1. Método del vecino más próximo. Sitúa en cada pixel de la imagen corregida el valor del pixel más cercano
     en la imagen original. Esta es la solución más rápida y la que supone menor transformación de los
     valores originales. Su principal inconveniente radica en la distorsión que introduce en rasgos lineales de
     la imagen. Es la más adecuada en caso de variables cualitativas, pero evidentemente, no en
     teledetección.

2. Interpolación bilineal, supone promediar los valores de los cuatro pixels más cercanos en la capa
     original. Este promedio se pondera según la distancia del pixel original al corregido, de este modo tienen
     una mayor influencia aquellos pixels más cercanos en la capa inicial. Reduce el efecto de distorsión en
     rasgos lineales pero difumina los contrastes espaciales.

3. En la Convolución cúbica, se considera los valores de los 16 pixels más próximos. El efecto visual es
     mas correcto en caso de que se trabaje con imágenes de satélite o fotografías digitalizadas, sin embargo
     supone un volumen de cálculo mucho mayor.
 

3.4 Bibliografía

http://www.gva.es/icv/GLOSARIO.HTM

http://www.uco.es/~bb1rofra/documentos/proyecciones/proyecciones.html

http://www.uco.es/~bb1rofra/documentos/utm/coordenadas_utm.html