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Matemáticas Discreta Unidad 5

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Matemáticas discretas (AEF-1041)

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Universidad

Instituto Tecnológico de Acapulco

Año académico: 2019/2020

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Instituto Universitario del Centro de México

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MATEMÁTICAS DISCRETAS

TEORIA DE GRAFOS

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

(ISC)

NOMBRE DEL MAESTRO: M.CÉ CASTELLANOS

AULA: 701 ISC

FECHA DE ENTREGA: 20 de noviembre del 2019

INDICE

5,características y componentes de los grafos...............-

5,características y componentes de los grafos...............-
5.1 Tipos de grafos.....................................................................-
5 Representación de los grafos .................................................-
5.2 Matemática.........................................................................-
5.2 Computacional .................................................................-
5 Algoritmos de recorrido y búsqueda......................................-
5.3 El camino más corto...............................................................
5.3 A lo ancho .............................................................................
5.3 En profundidad .......................................................................
Conclusiones.................................................................................
Bibliografías..................................................................................

Son los puntos o nodos con los que está conformado un grafo. Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es "par" o "impar" según lo sea su grado.

 Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.

 Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.

 Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1.

Caminos

Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso

 x e y se llaman los extremos del camino

 El número de aristas del camino se llama la longitud del camino.

 Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.

 Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre ellos.

 Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.

 Llamaremos ciclo a un circuito simple

 Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo

Características

Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se les llama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos vértices. Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de relación entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc. La notación G = A (V, A) se utiliza comúnmente para identificar un grafo. Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas, vértices y los caminos que pueda contener el mismo grafo.

Características de los grafos:

Grafos simples: Un grafo es simple si a lo más existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Un grafo que no es simple se denomina multígrafo.

Grafos conexos:

Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b. Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS). En términos matemáticos la propiedad de un grafo de ser (fuertemente) conexo permite establecer con base en él una relación de equivalencia para sus vértices, la cual lleva a una partición de éstos en "componentes (fuertemente) conexas", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.

Grafos completos:

Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une. El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente, siendo el grafo completo de n vértices,es decir, un grafo completo de vértices tiene exactamente

Grafo infinito: Grafos con conjunto de vértices y aristas de cardinal infinito.

Grafo simple: Se dice que el grafo G = (V, E) es un grafo simple de grado n si todos sus vértices tienen grado n.

Grafo completo: Un grafo es completo si cada par de vértices está unido por una arista. Se denota por Kn al grafo completo de n vértices. Ejemplos:

Grafo bipartido: Un grafo es bipartido si V=V1∪V2 y cada arista de E une un vértice de V1 y otro de V2. Ejemplos:

Grafo bipartido completo: Un grafo es bipartido completo si V=V1∪V2 y dos vértices de V están unidos por una arista de E si y solo si un vértice está en V1 y el otro

en V2. Se denota por Kr,sal grafo bipartido completo donde V1 tiene r vértices y V2 tiene s vértices.

Grafos planos:

Un grafo plano es aquel que puede ser dibujado en el plano sin que ninguna arista se intersecte.

Grafos conexos: Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b. Ejemplos:

Grafo ponderado:

Un grafo es ponderado si presenta los pesos de cada arista y se puede determinar la longitud de una ruta, la cual es la suma de todos los pesos de las aristas.

es el más barato?, y así podemos obtener caminos óptimos para las soluciones aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd.

Un grafo G es un par (V,E) donde:

V ={v1,...,vn} es un conjunto de vértices

E = {e1,...,em} es un conjunto de aristas,

Con cada ek Î {vi, vj}, con vi, vj Î V, vi ≠ vj

Los vértices se representan como puntos y las aristas como líneas entre vértices

Ejemplo:

G = (V,E)

V = {a,b,c,d }

E = {{a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,d}, {d,b} }

Proponer otro recorrido:

5.2 Computacional .................................................................-

Existen diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. La estructura de datos, usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices y aunque frecuentemente se usa una combinación de ambos.

Representación mediante matrices:

La forma más fácil de guardar datos en nodos es mediante la utilización de un vector que indique los nodos, de manera que aristas entre los nodos se puedan ver como relaciones entre los índices.

Sintaxis :

Tipo_de_variable[ ][ ]... [ ] Nombre_del_array= new Tipo_de_variable[dimensión1][dimensión2]...[dimensiónN];

Arreglos Unidimensionales:

Es un arreglo que solo posee una dimensión, está formado por un conjunto de elementos del mismo tipo de datos que almacenan bajo un nombre y se diferencia por la posición de cada uno en el arreglo que inicia desde el 0 pueden ser de 1 hasta n veces, donde n es un número de elementos del arreglo.

Sintaxis:

TipoDato nombre []=new TipoDato [Total de elementos];

3. Visite la raíz

Se llama recorrido de un árbol al proceso que permite accede una vez a cada uno de los elementos de un árbol para examinar el conjunto completo. Primero se ven los algoritmos para construir el árbol, para la expresión dada en sufijo, prefijo o posfijo y también se presentan algoritmos para reconocer si una expresión está correcta cuando está dada en prefijo o posfijo.

Los ordenamientos más importantes son llamados : prefijo, sufijo y posfijo.

Recorrido en PREFIJO:

1. Visitar la raíz

2. Recorrer el subárbol izquierdo en prefijo

3. Recorrer el subárbol derecho en prefijo

· Recorrido SUFIJO:

1. Recorrer el subárbol izquierdo en sufijo

2. Visitar la raíz

3. Recorrer el subárbol derecho en sufijo

· Recorrido en POSFIJO:

1. Recorrer el subárbol izquierdo en postfijo

2. Recorrer el subárbol derecho en postfijo

3. Visitar la raíz

5.3 El camino más corto...............................................................

En la Teoría de Grafos, uno de los problemas más conocido es el del camino más corto.

El problema consiste en encontrar un camino entre dos vértices (o nodos) de tal manera que la suma de los pesos de las aristas que lo constituyen es mínima.

Por ejemplo:

En el grafo siguiente, Luisa y Pedro tienen que encontrar el camino más corto (en el sentido de menos “pesado”) entre los vértices a y e.

La solución es el camino a, b, c, e.

5.3 A lo ancho .............................................................................

En ciencias de la computación, A *es un algoritmo informático que se utiliza amplia mente en la búsqueda de caminos y el recorrido del grafo, el proceso de trazar un camino transitable de manera eficiente entre los puntos, llamados nodos.

CONCLUSIONES

Después del trabajo realizado llegue a la conclusión de que hay diferentes tipos de grafos y que se pueden hacer de distintas formas así como la definición que trata de ser una relación de aristas y vértices.

Se me facilita la práctica de los grafos ya que no se me hacen tan difíciles, los grafos nos ayudaran el día de mañana en la carrera de sistemas computacionales.

En sistemas computacionales funcionan como nodos para la práctica de algoritmos.

BIBLIOGRAFIAS

4 Tipos de grafos.. (s.). Recuperado 8 noviembre, 2019, de cidecame.uaeh.edu/lcc/mapa/PROYECTO/libro5/42_tipos_de_grafos.htm l

5.2 Matematica. (s.). Recuperado 8 noviembre, 2019, de matematicasdiscretastecjerez.blogspot/2017/11/521-matematica.html

5.2 Computacional. (s.). Recuperado 8 noviembre, 2019, de matematicasdiscretastecjerez.blogspot/2017/11/522-computacional.html

6 Elementos y Características de los Grafos - Matematicas Discretas. (s.). Recuperado 8 noviembre, 2019, de sites.google/site/matedicreta/6-1- elementos-y-caracteristicas-de-los-grafos

Cristofer, C. (2017, 29 noviembre). 5 ELEMENTOS, CARACTERÃ STICAS Y COMPONENTES DE LOS GRAFOS. Recuperado 9 noviembre, 2019, de conjuntos-y-relaciones.blogspot/2017/11/51-elementos-caracteristicas- y_20

Elementos, caracterÃsticas y componentes de los grafos. (2017a, 29 noviembre). Recuperado 8 noviembre, 2019, de tcsjmdiscretas.blogspot/2017/11/elementos-caracteristicas-y- componentes

Elementos, caracterÃsticas y componentes de los grafos. (2017b, 29 noviembre). Recuperado 8 noviembre, 2019, de tcsjmdiscretas.blogspot/2017/11/elementos-caracteristicas-y- componentes

6.2 Representación Computacional de los grafos - Matemáticas Discretas, R. P. (s.). 6.2 Representación Computacional de los grafos - Matemáticas Discretas. Recuperado 8 noviembre, 2019, de sites.google/site/matematicasmoralesgalindo/6-2-representacion-de- los-grafos/6-2-2-representacion-computacional-de-los-grafos

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