5. Laukuma aprēķināšana
• Sadalot figūru daļās, līklīnijas trapeces laukums
sastāv no līklīnijas trapeces daļu laukumu summas
• Katras daļas laukums tiek risināts kā taisnstūra
laukums – pamats reiz augstuma reizinājums.
• Lai izmantotu risināšanas kārtulu Ox, intervālu (a; b)
ar punktiem sadala n daļās
a = x0 < x1< … <xn = b
7. Noteiktais integrālis
• Ja apzīmē x max xi
1 i n
un meklē
integrālsummas robežu, kad x 0, un eksistē
robeža n
lim
x 0 i 1
f i xi
• Kura nav atkarīga no intervāla (a; b) sadalījuma veida
un no punktu ξi (i = 1, 2, 3, … , n) izvēles, tad šo
robežu sauc par funkcijas f(x) noteikto integrāli
intervālā (a; b) un apzīmē b
f x dx
a
8. b n
f x dx lim
x 0 i 1
f i xi
a
x – integrācijas mainīgais
f(x) – zemintegrāļa funkcija
f(x)dx – zemintegrāļa izteiksme
a – integrācijas apakšējā robeža
b – integrācijas augšējā robeža
(a; b) – integrācijas intervāls
9. Noteiktā integrāļa īpašības
• Integrālis no divu vai vairāku funkciju summas ir
vienāds ar šo funkciju integrāļu summu.
b
f1 x f2 x ... f n x dx
a
b b b
f1 x dx f 2 x dx ... f n x dx
a a a
10. • Konstantu reizinātāju var iznest pirms integrāļa zīmes
b b
cf x dx c f x dx
a a
• Mainot vietām integrācijas robežas , mainās tikai
integrāļa zīme
b a
f x dx f x dx
a b
11. • Ja (a, b) = (a; c) (c; b), tad
b c b
f x dx f x dx f x dx
a a c
• Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība
f(x)≥0, tad arī
b
f x dx 0
a
12. • Ja f(x) = 1, tad
b b
f x dx dx b a
a a
• Ja m min f x, M max f x un a b, tad
x a;b x a;b
b
mb a f x dx M b a
a
13. • Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība
f1(x) f2(x), tad b b
f1 x dx f 2 x dx
a a
• Vidējās vērtības teorēma. Ja f(x) ir intervālā (a; b)
(a<b) nepārtraukta funkcija, tad eksistē tāds punkts
b
c (a; b), ka
f x dx f c a b
a
15. Integrālrēķinu pamatteorēma
• Ja funkcija f(x) ir integrējama intervālā *a; b+ un F(x) ir
funkcijas f(x) primitīvā funkcija intervālā (a; b), tad
spēkā ir sakarība
b
f x dx Fb Fa
a
Ņūtona – Leibnica formula
16. 2
1
sin 2 xdx cos 2 x 02
0
2
1 1
cos 2 cos 2 0 cos cos 0
2 2 2
1 1
1 1 2 1
2 2
17. Parciālā integrēšana
• Ja ir dotas nepārtrauktas un diferencējamas funkcijas
u=u(x) un v=v(x) intervālā [a; b], tad
d(uv)=udv+vdu
b b b
d uv udv vdu
a a a
b b
b
udv uv a vdu
a a
18. u x du dx
x sin xdx
dv sin dx v sin xdx cos x
0
x cos x 0 cos x dx cos sin x 0
19. Substitūcijas metode
• Izmanto mainīgo t ar formulu x = (t)
• A= ( ) un b = ( )
• Funkcija (t) ir nepārtraukta intervālā * ; ]
• Funkcijas (t)vērtības pieder intervālam *a; b+, ja t
[ ; ]
b
f x dx f t t dt
a
20. 7 2 2
xdx t 2 1 2tdt 1 0 t 1 x t
0 1 x 1
t t 1 2
1 x t
2 2
t 2 1 dt 1 7 t 2
2 x t 1
1
t t 2 2
2 2 dx 2tdt
1
2 t dt
1
t
21. 2 2
1 2 2 2 2 2
2 t dt 2 t ln t 1
1
t 1
2 2 2 2 2 2
2 t ln t 1
2 2 2 12 ln 2 2 ln 1
1
2 82 1 ln 2 2 126 ln 2 2
27. • Ir dota plaknes figūra, kuru no augšas ierobežo
intervālā nepārtrauktas funkcijas grafiks y = g(x), no
apakšas - šajā intervālā nepārtrauktas
funkcijas grafiks y = f(x), pie tam abiem grafikiem
no sāniem ir taisnes x = a un x = b.
• Meklējamais laukums S ir divu līklīnijas trapeču
laukumu starpība.
29. Līknes garuma aprēķināšana
• Līknes loka garums sastāv no līknes lokā ievilktās
lauztās līnijas nogriežņu garumiem
Pārveidojums pēc
Lagranža formulas
30. Rotācijas ķermeņa tilpums
• Rotācijas ķermeni, šķeļot ar jebkuru abscisu asij
perpendikulāru plakni, iegūst riņķi, kura rādiuss ir .
• Iegūtā šķērsgriezuma laukums
32. • Integrāļus ar galīgu integrēšanas intervālu [a; b] no
šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas f(x) sauc par
īstajiem integrāļiem.
• Noteiktais integrālis zaudē jēgu, ja integrēšanas
intervāls ir bezgalīgs vai zemintegrāļa funkcija
integrēšanas intervālā nav ierobežota.
• Integrāļus ar bezgalīgu integrēšanas intervālu sauc
par neīstajiem integrāļiem.
33. • Pirmā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem
vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga,
bet zemintegrāļa funkcija ir ierobežota integrēšanas
intervālā.
• Otrā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem
zemintegrāļa funkcija nav ierobežota integrēšanas
intervālā .
• Trešā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem
vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga un
zemintegrāļa funkcija nav ierobežota integrēšanas
intervālā.
34. Pirmā veida neīstie integrāļi
b b
dx dx
I1 2
I2
1
x 1
x
b
1 1 b
I1 1 I2 ln x 1 ln b
x1 b
lim I
b
1 1 lim I
b
2
35. • Lielumam I1(b) ir noteikta
robeža I.
• Neīstais integrālis eksistē
jeb konverģē.
• Lielumam I2(b) nav
noteikta robeža I.
• Neīstais integrālis
neeksistē jeb diverģē.
36. • Integrāļa I1 (b) robežu sauc par neīsto integrāli ar
bezgalīgu augšējo integrācijas robežu jeb par pirmā
veida neīsto integrāli.
b
f x dx lim
b
f x dx
a a
37. • Funkcija y = f(x) ir
nepārtraukta intervālā [a; c).
Punktā x = c tai ir bezgalīgs
pārtraukums.
• Pēc būtības integrālis nav
definēts, bet ar pietiekami
mazu integrālis ir definēts.
• Ja 0
– lielumam I( ) ir noteikta
robeža;
– lielumam I( ) nav robežas.
38. • Ja I( ) noteikta robeža ir, tad to sauc par otrā veida
neīsto integrāli no funkcijas ar bezgalīgu pārtraukumu
intervāla galapunktā c. b b
f x dx lim
0
f x dx
a a
• Ja robeža eksistē, tad neīstais integrālis eksistē vai
konverģē.
• Ja robeža neeksistē, tad neīstais integrālis neeksistē
jeb diverģē.
