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1. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” www.algor.com “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Facultad de Ingeniería, UNAM M. en I. Alejandro Farah Instituto de Astronomía, UNAM www.astroscu.unam.mx/~farah

2. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Contenido general: - La teoría detrás del Método de los Elementos Finitos Fenómenos físicos Ecuaciones constitutivas - Solución de problemas por el MEF utilizando ALGOR

3. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” • Desarrollo histórico: • Hrenikoff, 1941, solución a problemas elásticos por el Método del Trabajo. • Courant, 1943, por medio de interpolación polinomial para modelar • problemas de torsión. • Turner, 1956, obtuvo las matrices de rigidez (armaduras y vigas). • Clough, 1960, primero en utilizar el término elementos finitos. • Zienkiewicz y Chung, 1967, publican primer libro sobre EF. • 1970, se crean las bases formales del método. • … y se inició toda una revolución.

4. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” • ¿Cómo se hace? • Elección de las funciones que describen el fenómeno físico con una • con un dominio definido y conocido (ecuaciones constitutivas). • Ensamble de las ecuaciones de los elementos (discretización). • Solución del sistema de ecuaciones matriciales. • Determinación de los valores aproximados (interpolación).

5. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Sin solución exacta Exacta o analítica Fenómeno Físico: Se denomina fenómeno físico a cualquier suceso natural observable y posible de ser medido (elasticidad, el agua hirviendo…) modelos matemáticos – ecuaciones diferenciales Métodos aproximados

6. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Característica común: ED continuas y diferenciables infinitamente Método de las Diferencias finitas Métodos Variacionales Método de los Residuos Pesados Método de las Diferencias finitas Sustituye la ED original por una ecuación en diferencias Alcanza buenos resultados en problemas bidimensionales con fronteras paralelas a los ejes coordenados http://www.mathgym.com.au/history/pythagoras/Activity4.htm

7. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Métodos Variacionales Sustituye en la ED original una solución de prueba con ciertos coeficientes constantes, el problema se resume a encontrarlos Solo se puede aplicar a aquellas ecuaciones diferenciales que tienen un principio variacional, lo cual es difícil de demostrar.

8. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Método de los Residuos Pesados Sustituye en la ED original una solución aproximada h(x) y obtiene un error residual R(x) Método de Colocación por Puntos Métodos de los Subdominios Método de Galerkin Método de los Mínimos Cuadrados Son los más usados (en especial del M. de Galerkin), también conocidos como formulación integral del MEF.

9. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Método de los Elementos finitos Calculando el área de un círculo con triángulos…

10. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Método de los Elementos finitos A partir de simples vigas, resortes… Ley de Hooke F=K∆x

11. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Método de los Elementos finitos • Definición: • “El MEF es un procedimiento matemático • por interpolaciones para • resolver problemas físicos gobernados • por ecuaciones diferenciales”

12. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Método de los Elementos finitos • …. Otra vez, cómo se hace: • Elección de las funciones de aproximación • Discretización del dominio: • “el dominio real se sustituye por elementos discretos eligiendo • los puntos nodales y especificando sus coordenadas” • Ensamble de las ecuaciones de los elementos • Solución del sistema de ecuaciones • Determinación de los valores aproximados

13. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Método de los Elementos finitos • Se distingue porque: • Formulación integral y finalmente genera un sistema • de ecuaciones algebraicas lineales • Interpolación de valores de las cantidades desconocidas • en los puntos nodales

14. “Curso de Elemento Finito con el software ALGOR” Método de los Elementos finitos Independiente del problema físico (ED) que se quiera resolver No proporciona la función aproximada sino los valores de la función en ciertos puntos del dominio (nodos) Por interpolación matemática determina los valores de la función en los nodos restantes