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PESQUISA OPERACIONAL Aline De Geroni Roncato Lazzari A teoria dos jogos na solução de problemas Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Modelar problemas reais aplicando a teoria dos jogos. Exemplificar problemas de jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso. Aplicar a teoria dos jogos em demandas reais utilizando o Solver (Excel). Introdução Compreender a utilidade prática da teoria dos jogos proporciona ao decisor uma ferramenta de apoio à tomada de decisão. A partir da apli- cação dessa ferramenta, é possível avaliar os possíveis resultados das interações estratégicas. A solução dos jogos é baseada por meio da aplicação de estratégias simples. Porém, muitas vezes, pode ser necessária a utilização de probabilidade para solucionar os jogos com estratégias mistas. Modelando o jogo corretamente, é possível utilizar como apoio a ferramenta Solver do Excel. Neste capítulo, você vai aprender sobre a aplicação da teoria dos jogos na solução de problemas com base nas estratégias de solução, que podem ser puras ou mistas. Além disso, você vai conhecer problemas de jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso e, por fim, vai ver como solucionar problemas de teoria dos jogos com a ferramenta Solver do Excel. Aplicando a teoria dos jogos A pesquisa operacional é uma disciplina que busca encontrar a solução ótima para um determinado problema dentro de possibilidades estratégicas. Esses problemas podem ser de maximização ou minimização de resultado. Por exemplo, ampliar a receita é um típico caso de maximização de resultado. Por outro lado, reduzir o consumo de energia é um exemplo de que as estratégias devem ser aplicadas buscando a minimização de resultado. Assim, nesses exemplos, enquanto em um caso a solução ótima é voltada à maximização, no outro, a solução ótima é volta à minimização. Nesse contexto, uma das técnicas para solucionar problemas em teoria dos jogos é conhecida como minmax ou maxmin, que é um método que visa minimizar a perda (minmax) ou maximizar o resultado (maxmin). Diante de uma situação de confl ito e de tomada de decisão, a partir da modelagem correta do problema, os jogadores, ao agirem racionalmente, tendem a selecionar a estratégia que resulte no melhor payoff . Essa estratégia é considerada ótima para o jogador independentemente da decisão do oponente. A técnica conhecida como minmax ou maxmin funciona da forma expli- cada a seguir. O jogador 1 tem como objetivo maximizar seus ganhos mínimos; assim, deve escolher os menores ganhos em cada linha e, depois, o maior ganho entre eles — esse procedimento é o que chamamos de maxmin. O jogador 2 tem como objetivo minimizar suas perdas máximas; assim, deve escolher as maiores perdas em cada coluna e, depois, a menor perda entre eles — esse procedimento é o que chamamos de minmax. Para auxiliar na sua compreensão da aplicação desta técnica, veja, a seguir, um exemplo de uma situação real. Considere a empresa A e a empresa B. A empresa A precisa decidir a melhor estratégia para a inserção em um novo mercado. O payoff consiste no ganho de mercado em número de clientes previsto em relação à empresa B. Assim, temos a seguinte mode- lagem na forma estratégica, apresentando o payoff para a empresa A: Empresa B B1 B2 B3 Empresa A A1 1000 2000 4000 A2 1000 0 5000 A3 0 1000 -1000 A teoria dos jogos na solução de problemas2 Para solucionar esse problema com a técnica de minmax/maxmin, devemos assumir a posição da empresa A (que precisa tomar a decisão) e refletir sobre qual seria o pior resultado para cada uma das estratégias A1, A2 e A3 preenchendo a coluna “mínimo”: Empresa B B1 B2 B3 mínimo Empresa A A1 1000 2000 4000 1000 A2 1000 0 5000 0 A3 0 1000 -1000 -1000 A seguir, devemos analisar o cenário sob a ótica do concorrente, ou seja, o que acontece de melhor para o meu concorrente de acordo com as estratégias B1, B2 e B3, e preencher a linha máximo. Assim: Empresa B B1 B2 B3 mínimo Empresa A A1 1000 2000 4000 1000 A2 1000 0 5000 0 A3 0 1000 -1000 -1000 máximo 1000 2000 5000 Por fim, devemos selecionar para A o melhor ganho entre os mínimos. Esse melhor ganho entre os mínimos é o que chamamos de maxmin, em que A tem a menor perda. Para B, devemos selecionar o pior ganho entre os máximos. Esse melhor ganho entre os máximos é o que chamamos de minmax, em que B tem o menor ganho. Se minmax for igual a maxmin, temos uma estratégia dominante. Assim, como podemos observar no exemplo, temos uma estratégia dominante (A1; B1). Empresa B B1 B2 B3 mínimo Empresa A A1 1000 2000 4000 1000 maxmin A2 1000 0 5000 0 A3 0 1000 -1000 -1000 máximo 1000 2000 5000 minmax 3A teoria dos jogos na solução de problemas Quando minmax é igual ao maxmin, temos uma estratégia dominante; assim, temos a melhor estratégia definida, chamada de estratégia pura. Observe, a partir do exemplo, que a estratégia dominante não é a estraté- gia de maior ganho para A, a estratégia de maior ganho para A seria A2; porém, caso a empresa B utilizasse a estratégia B2, a empresa A teria ganho igual a zero. Conforme ilustrado pelo exemplo, sempre, ao aplicar a teoria dos jogos em situações reais, os jogadores fazem uso das técnicas de análise para au- xiliar na definição por uma estratégia que lhes reduza os riscos de perda. Ao aplicarmos a técnica minmax/maxmin, se os valores (v) encontrados forem iguais, dizemos que essa é a estratégia dominante. No caso do exemplo, isso ocorreu. Ou seja, minmax é igual a maxmin e, portanto, a estratégia dominante é (A1; B1). Segundo Hillier e Lieberman (2013), a estratégia dominante também pode ser chamada de ponto de sela, assim: maxmin = minmax = ponto de sela = estratégia dominante A estratégia dominante considera que o jogador está fazendo o melhor que pode, independentemente do que o adversário esteja fazendo. Entretanto, em alguns casos, ao aplicar a técnica minmax/maxmin, não se encontrará o ponto de sela e, portanto, não se terá uma estratégia dominante. Isso ocorre quando minmax é diferente do maxmin. É o que Hillier e Lieberman (2013) denominam solução instável, pois é necessário desenvolver uma solução mais satisfatória. Assim, quando o jogo não possui uma estratégia dominante, a teoria dos jogos recomenda buscar a identificação da melhor decisão com base nas probabilidades do jogo, compondo, assim, uma estratégia mista. A partir de uma estratégia mista, é possível se dividir nas diferentes opções de estratégias. Hillier e Lieberman (2013) ressaltam, ainda, que uma premissa para utilizar estratégias mistas consiste na impossibilidade de descobrir qual será a ação do adversário. Para compreender a utilização das estratégias mistas e a aplicação de probabilidades, vamos considerar o exemplo a seguir. A teoria dos jogos na solução de problemas4 Uma fábrica de calçados chamada Beleza deseja fazer o lançamento da coleção de verão. No mesmo período, a empresa Conforto, concorrente direto, também planeja o lançamento de sua nova coleção para o verão. Suponha que o gerente da empresa Beleza precisa decidir qual estratégia de divulgação dos produtos irá utilizar. A decisão da estratégia interfere diretamente no resultado das vendas, portanto, considerando o público, a dúvida consiste em fazer a propaganda na televisão ou no rádio. A matriz de payoff é expressa em mil reais por dia para a empresa Beleza. Por conhecer a técnica minmax e maxmin, o gerente tentou aplicá-la para buscar uma estratégia dominante: Conforto TV Rádio mínimo Beleza TV 20 (a) 6 (c) 6 maxmin Rádio -1 (b) 10 (d) -1 máximo 20 10 minmax Entretanto, o gerente imediatamente percebeu que minmax é diferente de maxmin (10 ≠ 6), indicando, assim, que não possui uma estratégia dominante. Portanto, co- nhecendo as técnicas de teoria dos jogos, o gerente sabe que, neste caso, é indicada a utilização de estratégia mista, de forma que a empresa Belezainvista uma parte do valor disponível em mídia na TV e uma outra parte no rádio. Assim, será possível que a empresa Beleza maximize os seus ganhos e reduza as possibilidades de perda de mercado para a empresa Conforto. Nessa situação, o gerente buscou solucionar o jogo a partir das probabilidades. Considerando as probabilidades de tomada de decisão e as recompensas (v) es- peradas, temos: P1*(a) + P2*(b) = v P1*(c) + P2*(d) = v P1 + P2 = 1 Tais equações representam o resultado esperado dadas as probabilidades de ocor- rência dos possíveis resultados para os jogadores. Assumindo o cálculo para o exemplo sob a perspectiva da empresa Beleza: P1*20 + P2*(-1)= v P1*6 + P2*10 = v P1 + P2 = 1 5A teoria dos jogos na solução de problemas Solucionando: 20P1 -1P2 = 6P1 + 10P2 20P1 – 6P1 -1P2 -10P2 = 0 14P1 -11P2 = 0 Assumindo que: P1 + P2 = 1 Então: P1 = 1-P2 Assim: 14P1 -11P2 = 0 14 (1 – P2) – 11P2 = 0 14 – 14P2 – 11P2 = 0 14 = 25P2 P2 = 0,56 (que é o mesmo que 56%) Portanto, se P2 é igual a 0,56, e P1 + P2 = 1 então: P1 + 0,56 = 2 P1 = 0,44 (que é o mesmo que 44%) Assim, o gerente conclui que a solução é a empresa Beleza investir 44% da sua verba em propaganda de televisão e 56% da sua verba em propaganda no rádio. Ao utilizar uma composição de estratégias mistas, o gerente sabe que o payoff (v) do jogo será alterado, assim: P1*6 + P2*10 = v (0,44*6) + (0,56*10) = v v = 8,24 O que esse resultado de “v” quer dizer? Como a empresa Beleza optou em dividir esforço nas duas possibilidades de es- tratégias, o payoff do jogo será resultado da combinação desse esforço, variando de acordo com o investimento realizado em propaganda de rádio e TV. Se observarmos a tabela de jogo, o melhor resultado seria a combinação (TV, TV), que resultaria em R$ 20.000,00 por dia para a empresa Beleza. Entretanto, para que isso ocorresse, a empresa Beleza precisaria ter certeza de que a Conforto também optaria pela estratégia de publicidade em TV. Como o mercado é competitivo, não é possível ter essa certeza da estratégia da empresa Conforto. Assim, jogadores racionais e no mundo real optam em reduzir os riscos; por isso, é preferível para a empresa Beleza fazer uso de estratégia mista e esperar no mínimo uma receita igual ao “v”, que representa R$ 8.240,00 por dia. A teoria dos jogos na solução de problemas6 Contudo, podemos concluir que, em situações reais, nem sempre temos uma estratégia pura a ser aplicada, de modo que pode ser necessária a utilização de estratégias mistas com base no cálculo de probabilidades. Conforme ilustrado nos exemplos, aplicar as técnicas de teoria dos jogos no mundo real fornece segurança na tomada de decisão. Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso De acordo com Fiani (2015), alguns jogos podem ser classifi cados em jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso. A seguir, vamos ver detalhadamente cada uma destas classifi cações. Jogos de competição Os jogos de competição são também são chamados de jogos de soma zero, pois, nesse tipo de jogo, o ganho de um participante é igual à perda do outro. Fiani (2015) ressalta que, em jogos de competição, o jogador está mais preocupado com a derrota do seu adversário do que estritamente com a sua vitória. Como exemplo disso, podemos citar a concorrência de duas empresas por um mesmo mercado. O aumento da participação de uma empresa somente irá ocorrer se a outra empresa perder participação no mercado. Para que ocorram jogos de competição, não deve existir combinação de estratégia preferível para os dois jogadores simultaneamente. Assim, nesse tipo de jogo, não há equilíbrio de estratégia pura, mas equilíbrio de estratégia mista. O exemplo a seguir demonstra a disputa de mercado das empresas A e B. Veja, a seguir, a matriz de payoff exemplificando a disputa de mercado das empresas A e B. Empresa B B1 B2 Empresa A A1 50, -50 80, -80 A2 90, -90 20, -20 7A teoria dos jogos na solução de problemas A situação do exemplo ilustra um jogo de soma zero, em que o ganho de um jogador necessariamente resulta na derrota do outro. Ou seja, para a empresa A ampliar clientes, necessariamente a empresa B perde clientes. Jogos de coordenação Chamamos de jogos de coordenação os jogos em que os jogadores buscam se organizar para induzir um melhor resultado, mesmo quando não podem se comunicar. Nesse tipo de jogo, de acordo com Fiani (2015), o payoff tende a ser maior sempre que os jogadores coordenarem as suas decisões, mas têm preferências distintas sobre o tipo de coordenação que deve ser adotada. Assim, esse tipo de jogo caracteriza-se por ter dois equilíbrios de Nash. Para facilitar a compreensão sobre esse tema, vamos analisar o exemplo a seguir. Se a empresa A utilizar a estratégia A1 e a empresa B a estratégia B1, a empresa A ganha 50 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 50 clientes. Se a empresa A utilizar a estratégia A2 e a empresa B a estratégia B1, a empresa A ganha 90 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 90 clientes. Se a empresa A utilizar a estratégia A1 e a empresa B a estratégia B2, a empresa A ganha 80 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 80 clientes. Se a empresa A utilizar a estratégia A2 e a empresa B a estratégia B2, a empresa A ganha 20 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 20 clientes. Suponha dois funcionários de uma mesma empresa fabricante de ventiladores chamados Vitor e João. O chefe desses dois funcionários levou ambos a uma feira especializada em equipamentos do segmento. Ao chegar à feira, o chefe revelou que desejava adquirir um equipamento novo, que ampliasse a capacidade de produção da fábrica de ventiladores. Assim, solicitou que os funcionários indicassem a melhor opção entre dois equipamentos. A condição estabelecida é que ambos não se comunicassem previamente e que, se ambos escolhessem o mesmo equipamento, seriam recompensados por isso. Os funcionários ficaram em dúvida, pois cada um tinha preferência por um equipamento distinto. A tabela de payoff, nesse caso, apresenta-se da seguinte forma: A teoria dos jogos na solução de problemas8 Se observarmos o jogo exemplificado, podemos verificar a presença de dois equilíbrios de Nash (1,1 e 1,1). O equilíbrio de Nash indica a melhor situação para os dois ao mesmo tempo, e não individualmente. Assim, para que sejam recompensados pela escolha, os jogadores devem tentar induzir a escolha do outro jogador. Caso os jogadores não consigam coordenar a decisão, ambos perderão a chance de maximizar os seus resultados. Nas estratégias de cooperação, Fiani (2015) apresenta o conceito de ponto focal como um elemento que se destaca em um contexto e que permite aos jogadores coordenar a sua decisão. Nesse exemplo, por mais que os jogadores tenham prefe- rência distintas entre os equipamentos, se um dos equipamentos tiver dimensões muito grandes, impedindo que seja instalado na fábrica, os jogadores naturalmente são induzidos a escolher o equipamento com dimensões adequadas. Assim, nesse caso, as dimensões do equipamento são o ponto focal deste problema, permitindo a coordenação dos jogadores mesmo sem a comunicação. Também podemos citar como exemplo de jogos de coordenação o caso de uma empresa montadora de veículos e outra que fabrica e fornece as rodas. Na hipótese de lançamento de um novo modelo de veículo, é preciso que a empresa fabricante das rodas esteja igualmente preparada. Portanto, é preciso que ambos os fabricantes coordenem a decisão de lançamento do novo modelo de veículo e do novo modelo de rodas. Caso essa coordenação não ocorra, uma empresa poderá lançar o veículo e não ter rodas, ou lançar as rodas e não ter o veículo. Na literatura de teoria dos jogos, um importante e famoso jogo de coordenação é a chamado “batalha dos sexos”. Jogos de coexistência A teoria dos jogos também foi considerada pelos biólogos como ferramenta para estudar o comportamentoanimal. Nesse contexto, surgiu o mais famoso dos jogos classifi cados como coexistência: o jogo dos pombos e falcões. Esse Vitor Equipamento 1 Equipamento 2 João Equipamento 1 1,1 0,0 Equipamento 2 0,0 1,1 9A teoria dos jogos na solução de problemas jogo faz uma analogia considerando o falcão, animal que luta de forma mais agressiva e só desiste do combate quando está seriamente ferido, e o pombo, animal que se limita a fazer ameaças, mas sem ferir o adversário. Varian (2006) exemplifi ca esse jogo da forma apresentada a seguir. Quando dois cachorros selvagens encontram comida, têm que decidir se brigam ou dividem o alimento. A briga é a estratégia do falcão: um ganho e o outro perde. Dividir é a estratégia do pombo: essa estratégia funciona bem se o outro jogador também tiver um comportamento manso; porém, se o adversário for agressivo, a proposta de divisão será rejeitada e o jogador manso ficará sem nada. Assim, o jogo fica formatado da seguinte forma: se os dois cachorros jogarem pombo, acabam com (2,2) e ninguém sai machucado; se um deles jogar falcão e o outro pombo, o jogador falcão ganha tudo, pois o pombo desiste do jogo; se ambos jogarem falcão, os dois cachorros saem feridos. Cachorro 2 Pombo Falcão Cachorro 1 Pombo 2,2 0,2 Falcão 2,0 -2,-2 O conflito entre os dois cachorros ilustra uma situação de conflito entre dois indivíduos por um interesse em comum. No início do jogo, cada jogador sinaliza o seu interesse pelo prêmio e, a partir daí, duas estratégias são dis- poníveis: falcão (brigar pela vitória) ou pombo (desistir da briga ao perceber que o adversário deseja brigar). Analisando o jogo, vemos que não pode haver equilíbrio se ambos jo- garem falcão, pois, se algum deles jogar pombo, acabaria com 0. Ou seja, em uma população de falcão, dificilmente um pombo terá vez. Portanto, se ambos os cachorros jogassem pombo, compensaria apenas se um deles se desviasse e também jogasse pombo. Os pombos sempre cooperam entre si e nunca entram em conflito; já entre os falcões, em uma briga, sempre um sai bastante ferido. Esse jogo simula um comportamento comum, em que, ao jogar várias vezes, os jogadores vão entendendo a melhor forma de agir. Em um primeiro momento, é racional cooperar; porém, a partir da repetição A teoria dos jogos na solução de problemas10 do jogo, os jogadores tendem a aumentar a sua recompensa, deixando a cooperação de lado. Para isso, os jogadores passam a utilizar estratégias como o blefe, em uma tentativa de trapacear e aumentar a recompensa individual. E é aí que aparece o conceito de estratégia evolucionariamente estável (EEE), que não é considerada uma estratégia pura, pois um cachorro pode fazer uso de uma estratégia de pomba mutante jogando tipo falcão ou jogar um falcão mutante tipo pomba. Jogos de compromisso Chamamos de jogos de compromisso os jogos em que os jogadores têm a possibilidade de assumir um compromisso com o outro jogador, porém, dedicado a jogos com movimentos sequenciais. Recorrendo ao clássico dilema dos prisioneiros, supondo que a decisão de ambos seria sequencial, se os prisioneiros pudessem comunicar-se para assumir um compromisso, um com o outro, os ganhos seriam maiores. Ou seja, os dois poderiam assumir o compromisso de fi car em silêncio e, consequentemente, o ganho de ambos seria fi car um ano na prisão, e não 5 anos, conforme payoff pelo equilíbrio de Nash. A situação descrita no problema é sobre dois suspeitos, A e B, que foram presos pela polícia. Os suspeitos são mantidos em celas distintas. Por não possuir provas suficientes para incriminar os prisioneiros, a polícia ofereceu a eles o acordo a seguir. Se um dos prisioneiros confessar o crime, testemunhando contra o outro, e esse outro se mantiver em silêncio, o que confessou é liberado pela polícia, enquanto o que silenciou cumpre 10 anos de prisão. Se os dois prisioneiros ficarem em silêncio, a polícia só poderá condená-los a 1 ano de prisão, cada um. Se os dois prisioneiros confessarem, cada um será condenado a 5 anos de prisão. Assim, temos a seguinte modelagem: B B Confessa Silêncio A Confessa 5,5 livre,10 A Silêncio 10,livre 1,1 11A teoria dos jogos na solução de problemas Para que a estratégia do compromisso funcione, é preciso que o compro- misso estabelecido seja irreversível e observável. A irreversibilidade significa o compromisso em si, e a possibilidade de observação é importante para que o outro jogador seja convencido a mudar o seu comportamento. Trazendo para a realidade, essa classe de estratégia de compromisso é aplicável a acordos de parcerias entre empresas. Essas parcerias podem ser tanto de coalizão ou ser aplicadas, por exemplo, nos casos em que as empresas assumem o compromisso de não atuar no mercado geográfico da outra. Solver (Excel) na solução de problemas em teoria dos jogos Agora que você aprendeu a aplicação de teoria dos jogos em situações reais, vamos aprender como resolver esses problemas utilizando o Excel, que dis- ponibiliza um suplemento chamado Solver, ferramenta útil para facilitar a aplicação da teoria dos jogos, principalmente em situações de estratégia mista. Para iniciar a utilização, é preciso, primeiro, habilitar o suplemento Solver no Excel. Para ativar essa funcionalidade, ao abrir o Excel, deve-se clicar no menu “Arquivo” (item 1 da Figura 1) e, logo após, no menu “Opções” (item 2 da Figura 1), conforme ilustrado a seguir. Figura 1. Passos 1 e 2 de instalação do Solver no Excel. A teoria dos jogos na solução de problemas12 Após clicar em “Opções”, deve-se clicar em “Suplementos” (item 3 da Figura 2); em “Gerenciar”, selecionar a opção “Suplementos do Excel” e clicar em “Ir” (item 4 da Figura 2). Na tela “Suplementos”, selecionar a opção Solver (item 5 da Figura 2) e clicar em “OK” para ativar a opção. Figura 2. Passos 3, 4 e 5 de instalação do Solver no Excel. Seguindo esses passos, a ferramenta Solver ficará habilitada no Excel. Ao final da instalação, você pode observar que o suplemento Solver está dispo- nível na aba Dados do Excel (Figura 3), podendo ser utilizado na aplicação de problemas reais. Figura 3. Demonstração da função Solver na aba Dados do Excel. Ao clicar em Solver, encontramos a tela que aparece na Figura 4. Nessa tela, encontramos um conjunto de parâmetros que devem ser configurados para obtermos respostas para os problemas. 13A teoria dos jogos na solução de problemas Devemos: informar a função objetivo — indicada pelo número 1; selecionar se deseja o resultado de “máximo” ou “mínimo” ou obter um valor específico para a função objetivo — indicado pelo número 2; informar as variáveis de decisão — indicado pelo número 3; informar as restrições — indicação pelo número 4. Figura 4. Demonstração da função Solver na aba Dados do Excel. Para compreendermos com clareza a utilização do Solver, vamos retomar o exemplo das empresas Beleza e Conforto para demonstrar a realização do cálculo utilizando a função Solver no Excel. A teoria dos jogos na solução de problemas14 Inicialmente, devemos estruturar em uma planilha do Excel os dados de entrada do problema das empresas Beleza e Conforto: 1. Abrir a planilha em Excel e dispor o problema e abrir os campos para “Variáveis de Decisão”, “Restrições” e “Função Objetivo”. 2. As células destinadas a “Variáveis de Decisão” devemos deixar em branco, pois serão as células que vamos informar no Solver para a resposta da solução do jogo. 15A teoria dos jogos na solução de problemas 3. Nas células destinadas às “restrições”, vamos compor a fórmula do Excel conforme segue. 20*P1 - 1*P2 = V 6*P1 + 10*P2 = V P1 + P2 = 1 4. Na célula destinada à “Função Objetivo”, vamos preencher com o objetivo do jogo. Neste caso do exemplo, o objetivo do jogo é maximizar o resultado, portanto, maximizar o valor “V”. Assim, função objetivo = v. A teoria dos jogos na solução de problemas16 5. Abrir o Solver na aba Dados e preenchercom as informações do jogo. Após preencher a tela Solver com as informações do jogo e clicar em “Resolver”, a solução jogo aparecerá na planilha do Excel. Assim, o jogo é resolvido através da função Solver. Conforme podemos observar, no caso do exemplo discutido, a solução é a empresa Beleza investir 44% da sua verba em propaganda de televisão e 56% da sua verba em propaganda no rádio, obtendo, assim, um valor de jogo de R$ 8.240,00. 17A teoria dos jogos na solução de problemas No exemplo apresentado, demonstramos que a análise do jogo realizada a partir da ferramenta Solver do Excel resulta nas mesmas probabilidades calculadas manualmente na exemplificação das estratégias mistas. Da mesma forma, resultou no mesmo valor de jogo. Assim, a função Solver do Excel se mostra uma grande aliada na aplicação de teoria dos jogos, facilitando a definição de estratégias mistas pelo decisor e atuando como uma alternativa ao cálculo realizado manualmente. FIANI, R. Teoria dos jogos: com aplicações em economia, administração e ciências sociais. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015. HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2013. VARIAN, H. R. Microeconomia: princípios básicos: uma abordagem moderna. 7. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006. A teoria dos jogos na solução de problemas18
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