Recordando que las relaciones fasoriales para los elementos R, L y C están dadas por:
Impedancia y admitancia
En una resistencia, condensador o inductor, la corriente y el voltaje fasorial, en el dominio de la frecuencia, están relacionados como la ley de Ohm para las resistencias
Introducción
(Gp:) +
(Gp:) 3v
(Gp:) 2v
(Gp:) b
(Gp:) a
(Gp:) 4W
(Gp:) 6W
(Gp:) 5W
(Gp:) 2W
(Gp:) 2W
(Gp:) +
(Gp:) RL
(Gp:) +
(Gp:) Rth
(Gp:) Vth
(Gp:) RL
(Gp:) a
(Gp:) b
Calcular el equivalente Thevenin
(Gp:) 3v
(Gp:) 4W
(Gp:) 2v
(Gp:) b
(Gp:) c
(Gp:) 6W
(Gp:) 5W
(Gp:) 2W
(Gp:) Vth
(Gp:) a
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) d
Para calcular el equivalente Thevenin “abrimos” entre los puntos a y b
Calcularemos así la tensión en circuito abierto Vth
(Gp:) 3v
(Gp:) 4W
(Gp:) 2v
(Gp:) b
(Gp:) c
(Gp:) 6W
(Gp:) 5W
(Gp:) 2W
(Gp:) 2W
(Gp:) Vth
(Gp:) I2
(Gp:) I1
(Gp:) a
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) d
Asignamos intensidades de mallas. Sumamos tensiones a lo largo
de los recorridos
De las ecuaciones obtenemos el valor I2 y como no circula intensidad por la resistencia de 6W la tensión buscada es Vab =-3+Vc:
El resultado obtenido es Vth=-2.5V
Para calcular La resistencia equivalente cortocircuitamos ambas fuentes de tensión:
(Gp:) 4W
(Gp:) a
(Gp:) 6W
(Gp:) 5W
(Gp:) 2W
(Gp:) 2W
(Gp:) Rth
(Gp:) –
+
(Gp:) 8,5?
(Gp:) RL
(Gp:) a
(Gp:) b
2,5 V
“Ley de Ohm fasorial ”
(Gp:) Teniendo en cuenta que , se tiene:
La impedancia no tiene un significado en el dominio del tiempo.
(Gp:) Z
(Gp:) Se define la impedancia de un elemento como la razón entre el voltaje fasorial y la corriente fasorial, y se denota como .
Introducción
donde R es la parte real de la impedancia (componente resistiva) y X la parte compleja (componente reactiva).
Notación
Puede notarse que se debe cumplir:
La impedancia puede expresarse como:
gráficamente
(Gp:) X (Reactancia)
(Gp:) R (Resistencia)
(Gp:) Im
(Gp:) Re
El recíproco de la impedancia se llama admitancia y se denota por la letra Y, es decir:
Notación
Tanto R, L y C tienen su impedancia correspondiente. Así:
reactanciainductiva
reactanciacapacitiva
La parte real de la admitancia, G, se denomina conductancia y la parte imaginaria, B, susceptancia (notar que no son recíprocos de R y X, respectivamente). La unidad de G y B es siemens.
Notación
Si la parte imaginaria de una impedancia es positiva, se dice que la impedancia es inductiva. En cambio, si es negativa, se dice que la impedancia es capacitiva. En el caso particular en que X=0, la impedancia es resistiva pura.
(Gp:) Como:
Considerando que las fuentes de tensión externas tienen la misma frecuencia (aunque no necesariamente en fase), se verifica que:
Leyes de Kirchhoff fasoriales
Por lo tanto, se cumple la ley de tensiones de Kirchhoff en una malla para tensiones fasoriales. Del mismo modo puede comprobarse la ley de Kirchhoff para corrientes fasoriales en un nodo, es decir:
Por lo tanto:
Interconexiones de impedancias
Impedancias conectadas en serie
Sea el siguiente circuito
(Gp:) Z1
(Gp:) Z2
(Gp:) Zn
(Gp:) Como la corriente fasorial circula por cada impedancia, se tendrá:
Para el caso de dos admitancias
en paralelo:
Interconexiones de impedancias
Admitancias conectadas en paralelo
Sea el siguiente circuito
(Gp:) Teniendo en cuenta que , aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes fasoriales se puede demostrar que:
(Gp:) Yn
(Gp:) Y1
(Gp:) Y2
Aplicando la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo “A”:
Interconexiones de impedancias
Ejemplo
Determinar el voltaje del nodo A (en estado estable) del siguiente circuito:
(Gp:) I1
(Gp:) 10 cos 1000t
(Gp:) R1
(Gp:) 10ohm
(Gp:) R2
(Gp:) 10ohm
(Gp:) L1
(Gp:) 10mH
(Gp:) C1
(Gp:) 100uF
A
Reemplazando:
Ejemplo (cont.)
Finalmente:
Interconexiones de impedancias
Resolviendo para
(Gp:) A
Resonancia en paralelo
Existen aplicaciones que requieren sólo dejar pasar señales en una banda estrecha de frecuencias y eliminar las señales sinusoidales cuya frecuencia estén fuera de dicha banda.
(Gp:) R
(Gp:) C
(Gp:) Ient
(Gp:) L
(Gp:) Isal
la ganancia de corriente será:
Sea un circuito RLC paralelo como el indicado:
El “ancho de banda” de un circuito selectivo de frecuencias se define como el intervalo de frecuencias que se encuentra entre las dos frecuencias donde la magnitud de la ganancia cae 3dB del valor máximo.
Por lo tanto:
Observando la expresión anterior, puede notarse que habrá una frecuencia para la cual el término imaginario se hace cero (para ? C = 1 / ? L). Esa frecuencia se conoce como “frecuencia de resonancia”, ?r , y en un circuito paralelo se determina cuando la admitancia Y es no reactiva.
Sustituyendo en la ecuación de la ganancia, se tiene:
Resonancia en paralelo
Puede notarse que en condición de resonancia, al ser la admitancia puramente resistiva, la corriente aplicada y el voltaje a la salida estarán en fase.
Un circuito resonante es una combinación de elementos sen-sibles a la frecuencia, conectados de tal forma que sea capaz de proporcionar una respuesta selectora de frecuencias.
Resonancia en paralelo
Teniendo en cuenta que la resonancia ocurre cuando ?rC=1/?rL, entonces la frecuencia de resonancia puede determinarse como:
Considerando el siguiente circuito, la relación de voltajes es:
(Gp:) R
(Gp:) C
(Gp:) L
(Gp:) Vent
(Gp:) Vsal
Tal como sucedió en el circuito con los elementos en paralelo, puede notarse que el término imaginario se anula para la frecuencia de resonancia ?r , tal que ?rC=1/?rL, la que queda definida por:
Resonancia en serie
Redibujando el circuito visto en la clase anterior como:
Puede notarse que la tensión de salida es una fracción de la tensión de entrada, definida por el divisor de impedancias:
Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.
Se llega a la misma Función de Transferencia anterior:
(Gp:) Vent
(Gp:) R
(Gp:) 1/sC
(Gp:) Vsal
Por lo tanto, puede inferirse que:
Análisis de circuitos y Función deTransferencia
Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.
Es decir:
Elemento Dominio del Tiempo Dominio de Laplace
Resistor
Inductor
Capacitor
Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado
Dada una EDO de orden “n”:
aplicando TL con condiciones iniciales nulas, resulta:
o bien:
La expresión:
se conoce como “Función de Transferencia” del sistema.
(Gp:) L
(Gp:) L
Para encontrar la relación entre la formulación de un sistemadada por su función de transferencia (FT) y la dada por lasecuaciones de estado (ED), puede partirse de (#), es decir:
Aplicando TL a la primera ecuación, resulta:
y despejando, se tiene finalmente:
(#)
Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado
Aplicando TL a la segunda ecuación de (#), se tiene:
Reemplazando (a) en (b) y despejando, resulta finalmente:
(Gp:) Para encontrar la FT, debe considerarse condiciones iniciales(CI) nulas, es decir: . Por lo tanto:
(a)
(b)
(##)
Así, conociendo “A”, “b”, “c” y “d”, aplicando (##) puedeobtenerse la FT de un sistema.
Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado
donde T es cualquier matriz cuadrada que tenga inversa (esdecir, existe T-1). Por lo tanto, si se reemplaza en el expresión global de ecuación de estado:
(Gp:) La formulación en EE no es única. Para comprobar que existeninfinitas representaciones en espacio de estado de un sistema, puede elegirse un vector que cumpla con:
con:
Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado
Respuesta en frecuencia y Diagramas de Bode
Las señales periódicas, por serie de Fourier, se pueden descomponer en una suma infinita de señales sinusoidales (la frecuencia fundamental y sus armónicas, que son múltiplos de frecuencia de la señal original). En el dominio de la frecuencia, esto implica un espectro de líneas.
Introducción
(Gp:) f(t)
(Gp:) t
(Gp:) ?
(Gp:) |F(j?)|
(Gp:) ?0
(Gp:) 2?0
(Gp:) 3?0
(Gp:) …….
T0=2?/?0
Las señales reales aperiódicas (no-periódicas), considerando Transformada de Fourier, están compuestas por un espectro continuo de frecuencias -por lo general- acotado. Por ejemplo, el espectro audible de las señales de audio está comprendido -aproximadamente- entre 20Hz y 20Khz.
(Gp:) f(t)
(Gp:) t
Señal no pediódica
(Gp:) ?
(Gp:) |F(j?)|
(Gp:) ?0
Introducción
En resumen:
Introducción
Una señal cualquiera puede pensarse como compuesta por una cantidad infinita de señales sinusoidales (en fase o desfasadas entre sí).
Si se aplica una señal a un circuito eléctrico donde hay ele-mentos de almacenamiento de energía (condensadores o in-ductores), las tensiones o corrientes producidas presentarán distorsión de magnitud o de fase en los distintos puntos que componen dicho circuito.
Este efecto puede aprovecharse para construir circuitos (co-nocidos como filtros) que, al aplicar una señal determinada, entregue a su salida una señal con un espectro de frecuencia acotado a límites prestablecidos.
(Gp:) Vf
(Gp:) L
(Gp:) RL
Ejemplo 1:
(Gp:) i
Si la señal de voltaje aplicada es de la forma:
Observando esta expresión, puede notarse lo siguiente:
Introducción
Para una señal de voltaje aplicada continua (?=0), el voltaje sobre la resistencia de carga será
Para una señal de voltaje aplicada con una frecuencia ?=R/L, el voltaje sobre la resistencia de carga será
Para una señal de voltaje aplicada con una frecuencia infinita (?=?), el voltaje sobre la resistencia de carga será
Ejemplo 1 (cont.):
Introducción
(Gp:) If
(Gp:) L
(Gp:) RL
(Gp:) I
Si la señal de corriente aplicada es de la forma:
La señal de voltaje que se tendrá sobre la resistencia de carga será:
Realizando un análisis semejante al que se hizo para el ejemplo anterior, se concluye:
Ejemplo 2:
Introducción
Circuitos como el del Ejemplo1,en los que la amplitud de la señal de salida disminuye a medida que aumenta la frecuencia, se denominan “filtros pasa-bajos”.
En el caso inverso (Ejemplo 2), es decir, circuitos donde la amplitud de la tensión de salida aumenta al aumentar la frecuencia, se denominan “filtros pasa-altos”.
Con similar criterio, aquellos circuitos que atenúan las frecuencias por debajo de una frecuencia mínima y por encima de una máxima se denominan “filtros pasa-bandas”, y en en caso inverso, “rechaza-bandas”
Conclusión
Introducción
Conforme a lo dicho hasta ahora, la respuesta en frecuencia de un circuito eléctrico es la relación en función de la frecuencia, entre una entrada senoidal y una salida senoidal, en estado estable.
Para el caso del circuito del Ejemplo 1, llamando Vsal a la tensión sobre la resistencia de carga, y Vent al voltaje aplicado al circuito, puede verse que:
Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
(Gp:) La razón “ ” y la fase “?” pueden graficarse en función de la frecuencia, constituyendo lo que se conoce como “respuesta en frecuencia” de un circuito.
Para el caso del Ejemplo 2:
Volviendo al caso del Ejemplo 1, la magnitud de la respuesta en frecuencia puede reescribirse como:
En este caso, la “respuesta en frecuencia” está dada por la magnitud y fase de la impedancia.
Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
Puede verse que se cumple que:
Ejemplo 3:
(Gp:) Vent
(Gp:) R
(Gp:) C
(Gp:) Vsal
(Gp:) con .
Por lo tanto:
Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
Puede verse que en los casos de primer orden vistos, la respuesta en frecuencia tiene la misma expresión. Definiendo algunos puntos y graficándo en función de la frecuencia, se tiene:
Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
Proxima Clase Diagramas de BODE
TAREA Jueves Próximo.
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