Valor absoluto de un número

El valor absoluto de un número real \(x\), denotado por \(|x|\), es el valor de \(x\) sin considerar el signo, sea este positivo o negativo. Por ejemplo. El valor absoluto de 2 es 2, es decir: \[|2|=2\] y el valor absoluto de -2 también es 2, es decir: \[|-2|=2\]

Valor absoluto símbolo

El símbolo de valor absoluto es una barra a cada lado del número. Por ejemplo, el valor absoluto del número 3 se representa como \(|3|\), el valor absoluto del número -3 se representa como \(|-3|\). En general para representar el valor absoluto de cualquier un número \(x\) simplemente de sebe encerrar dicho número entre dos barras de la siguiente manera \(|x|\).

Veamos a continuación la definición formal de valor absoluto, así como una serie de ejemplos que te ayudarán a comprender mejor el concepto.

Valor absoluto definición

Definición. Para cualquier número real \(x\), el valor absoluto de \(x\) se denota por \(|x|\) y se define como: \[|x|=\left\{\begin{aligned}x&,\ \text{si}\ x\geq 0\\-x&,\ \text{si}\ x<0 \end{aligned}\right .\]

De acuerdo con la definición, el valor absoluto de cualquier número real \(x\) es siempre un número positivo o cero pero nunca negativo.

Valor absoluto de un número

Hasta ahora sabemos que, el valor absoluto de un número \(x\) se denota como \(|x|\) y se define como: \[|x|=\left\{\begin{aligned}x&,\ \text{si}\ x\geq 0\\-x&,\ \text{si}\ x<0 \end{aligned}\right .\]

Esta igualdad establece simplemente que:

  • El valor absoluto de un número \(x\) es igual a \(x\), es decir, es igual a sí mismo si \(x\) es mayor o igual a cero.
  • El valor absoluto de un número \(x\) es igual a \(-x\), es decir, es igual a su negativo si \(x\) es menor a cero.

En palabras más sencillas, la definición de valor absoluto establece que:

  • Para cualquier valor de \(x\geq 0\) se cumple que: \[|x|=x\]
  • Para cualquier valor de \(x<0\) se cumple que: \[|-x|=-(-x)=x\]

Para que puedas comprender con mayor claridad la definición formal de valor absoluto, te invito a revisar detenidamente los siguientes dos ejemplos.

Ejemplo 1. Si \(x=4\), entonces el valor absoluto de 4 se denota como \(|4|\). Observa que 4 es un número mayor o igual a cero, por lo que, de acuerdo con la definición, el valor absoluto de 4 será igual a sí mismo, es decir: \[|4|=4\]

Ejemplo 2. Si \(x=-4\), entonces el valor absoluto de -4 se denota por \(|-4|\). Como \(-4\) es un número menor a cero, de acuerdo con la definición, su valor absoluto será igual a su negativo, es decir: \[\begin{aligned}|-4|&=-(-4)\\&=4\end{aligned}\]

Como podrás observar en ambos casos se obtuvo que el valor absoluto de un número dado es siempre el mismo número, pero positivo. En otras palabras, se cumple que el valor absoluto de un número ya sea positivo o negativo, es siempre positivo. La siguiente imagen te ayudará a recordar lo que significa el valor absoluto.

Valor absoluto: Una forma intuitiva de comprender el concepto

Valor absoluto de un número real

Veamos a continuación una serie de ejemplos en los que se pide determinar el valor absoluto de un número real. Recuerda que el conjunto de los números reales (denotado por \(\mathbb{R}\)) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como los números irracionales, y en otro enfoque a los números trascendentes. Por lo tanto, puedes calcular el valor absoluto de cada uno de estos números. Para todos estos es válido y se aplica por igual la definición de valor absoluto. Para que comprendas esto con mejor claridad revisa los siguientes ejemplos.

Valor absoluto de un número positivo ejemplos

Ejemplo 3. Determinar el valor absoluto de \(x=3\). Solución. De acuerdo con la definición de valor absoluto, el valor absoluto de un número \(x\) se define como: \[|x|=\left\{\begin{aligned}x&,\ \text{si}\ x\geq 0\\-x&,\ \text{si}\ x<0 \end{aligned}\right .\] En este caso tenemos que \(x=3\) y como \(3>0\), entonces se cumple que \(|x|=x\), es decir, \(|3|=3\).

En términos generales, el valor absoluto de un número positivo es justo el mismo número.

Ejemplos.\[\begin{aligned}|5|&=5\\|1|&=1\\|7|&=7\\\left\|\frac{1}{2}\right\|&=\frac{1}{2}\\|\pi|&=\pi\end{aligned}\]

Valor absoluto de un número negativo ejemplos

Ejemplo 4. Determina el valor absoluto de \(x=-3\). Solución: Nuevamente de acuerdo con la definición de valor absoluto, el valor absoluto de un número \(x\) está definido como: \[|x|=\left\{\begin{aligned}x&,\ \text{si}\ x\geq 0\\-x&,\ \text{si}\ x<0 \end{aligned}\right .\] En este caso tenemos que \(x=-3\) y como \(-3<0\), entonces se cumple que \(|x|=-x\), es decir, \(|-3|=-(-3)=3\).

En términos generales, el valor absoluto de un número negativo es justo el mismo número, pero positivo.

Ejemplos. \[\begin{aligned}|-5|&=5\\|-1|&=1\\|-7|&=7\\\left\|-\frac{1}{2}\right\|&=\frac{1}{2}\\|-\pi|&=\pi\end{aligned}\]

Valor absoluto como una distancia

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede verse como la distancia que existe entre ese número y el cero. De manera general, el valor absoluto de la diferencia entre dos números es la distancia entre ellos.

La distancia entre dos puntos \(A\) y \(B\) ubicados en la recta numérica, cuyas coordenadas son \(x_i\) y \(x_f\) respectivamente, se escribe como: \[d(A, B)=|x_f-x_i|\]

Ejemplo 5. La distancia entre el cero y el cinco es cinco, ya que: \[|5-0|=|5|=5\] y la distancia entre el 0 y el -5 es nuevamente cinco, ya que \[|-5-0|=|-5|=5\]

Ejemplo 6. La distancia entre 5 y 8 es 3, ya que \[|8-5|=|3|=3\] Observa que la distancia entre 8 y 5 también es 3, ya que: \[|5-8|=|-3|=3\] Esto debido a que el valor absoluto de un número positivo o negativo es siempre positivo. En otras palabras, la distancia que existe entre dos números reales es el valor absoluto de su diferencia sin importar el orden en el que se lleve a cabo la diferencia.

Valor absoluto y sus propiedades ejemplos

El valor absoluto tiene las siguientes propiedades fundamentales. Sean \(a\), \(b\) y \(c\) números reales, tales que, bajo la operación con valor absoluto cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad de la no negatividad

La propiedad de la no negatividad del valor absoluto establece que \[|a|\geq 0\] Esto significa que el valor absoluto de un número real \(a\) es siempre mayor o igual a cero, es decir, es siempre positivo.

Ejemplos. \[\begin{aligned} |7|&=7\\|-7|&=7\\|0.5|&=0.5\\|-0.5|&=0.5\end{aligned}\]

Propiedad del valor absoluto del número cero

La propiedad del valor absoluto del número cero establece que: \[|a|=0 \Longleftrightarrow a=0\] Esto significa que el valor absoluto de un número \(a\) es cero si y sólo si \(a=0\).

Propiedad del valor absoluto de un producto

La propiedad del valor absoluto de un producto establece que: \[|a\cdot b|=|a|\cdot |b|\] Esta significa que el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

Ejemplo. Demostrar que: \[|5\cdot 8|=|5|\cdot |8|\] Demostración: Primero veamos que: \[\begin{aligned}|5\cdot 8|&=|40|\\&=40\end{aligned}\] Ahora veamos que: \[\begin{aligned}|5|\cdot |8|&=5\cdot 8\\&=40\end{aligned}\] Por lo tanto obtenemos que: \[|5\cdot 8|=40=|5|\cdot|8|\]

Propiedad del valor absoluto de una suma (Desigualdad triangular)

La propiedad del valor absoluto de una suma, mejor conocida como desigualdad triangular, establece que: \[|a+b|\leq |a|+|b|\] Esto significa que el valor absoluto de la suma de dos números es menor o igual a la suma de sus valores absolutos.

Ejemplo. Demostrar que: \[|9+8|\leq |9|+|8|\] Demostración: Primero observa que: \[\begin{aligned}|9+8|&=|17|\\&=17\end{aligned}\] Ahora veamos que: \[\begin{aligned}|9|+|8|&=9+8\\&=17\end{aligned}\] De esta manera se cumple que: \(17\leq 17\), es decir: \[|9+8|\leq |9|+|8|\]

Propiedad del valor absoluto de un cociente

La propiedad del valor absoluto de un cociente establece que: \[|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}\] Esto significa que el valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos, siempre que \(b\neq 0\).

Ejemplo. Demostrar que: \[|\frac{64}{4}|=\frac{|64|}{4}\] Demostración: Primero veamos que: \[\begin{aligned}|\frac{64}{4}|&=|16|\\&=16\end{aligned}\] Ahora veamos que: \[\begin{aligned}\frac{|64|}{|4|}&=\frac{64}{4}\\&=16\end{aligned}\] Por lo tanto obtenemos que: \[|\frac{64}{4}|=16=\frac{|64|}{4}\]

Aplicaciones del valor absoluto

Existen varias aplicaciones del valor absoluto en matemáticas y en otras áreas. Algunas de las aplicaciones más comunes son las siguientes:

1. Medir distancia: La medida de la distancia es una de las aplicaciones más comunes del valor absoluto. La distancia es el valor absoluto de la diferencia entre dos puntos. Dados dos puntos \(A\) y \(B\), la distancia entre ellos es \(|B-A|\) que es equivalente a \(|A-B|\). La distancia no depende de la dirección. En general, el valor absoluto es usado cuando la dirección no es importante.

2. Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto: El valor absoluto se utiliza para resolver ecuaciones y desigualdades que implican la distancia entre dos valores. Por ejemplo, la ecuación \(|x-3|=5\) tiene las soluciones \(x=-2\) y \(x=8\).

Valor absoluto: Preguntas frecuentes

¿Qué es el valor absoluto? En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.

¿Por qué el valor absoluto representa una distancia? Porque el valor absoluto describe la distancia de un punto al origen; de manera general, el valor absoluto puede indicar la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta numérica.

¿El valor absoluto de cualquier número siempre es positivo? Si. El valor absoluto de un número ya sea positivo o negativo es el mismo número sin considerar su signo.

¿Cómo se escribe el valor absoluto de un número? El valor absoluto de un número \(x\) se escribe entre dos barras verticales paralelas. Es decir, el valor absoluto de \(x\) se escribe como: \(|x|\).

¿Cuál es el valor absoluto de cero? El valor absoluto de cero es simplemente cero, ya que está a una distancia de cero de sí mismo en la recta numérica.

¿Puede el valor absoluto ser negativo? No, el valor absoluto siempre es no negativo. La distancia no puede ser negativa, por lo que el valor absoluto de cualquier número real es mayor o igual a cero.

¿Hay alguna relación entre el valor absoluto y las funciones matemáticas? Sí, el valor absoluto está relacionado con funciones como la función valor absoluto, que asigna a cada número su valor absoluto.

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