El intervalo como razón

relevancia histórica del intervalo musical

Cuenta Nicómano que, en un principio, la Música era tan sencilla, que constaba de cuatro cuerdas en total y que esta situación se mantuvo ininterrumpidamente hasta Orfeo. La primera y cuarta cuerda hacían resonar la consonancia diapasón y cada una de las centrales con las extremos, la diapente y la diatesarón, de modo que no había entre ellas nada disonante, a imitación sin duda de la música del Universo, que consta de cuatro elementos. Se dice que Mercurio fue el inventor de este tetracordio.

—Boecio, De institutione musica, I—XX (trad. de Salvador Villegas)

En la Antigüedad clásica la determinación de los intervalos musicales era un asunto de la mayor seriedad, hasta un punto que hoy resulta sorprendente y hasta conmovedor. Averiguar las relaciones verdaderas entre frecuencias para la construcción de las escalas musicales, esto es, encontrar la armonía suprema entre las notas que jalonan la octava, suponía alcanzar un conocimiento fundamental con repercusiones en otras esferas de la realidad, más allá de la mera práctica instrumental.

En la tradición griega de la teoría musical, asentada principalmente por el peripatético Aristóxeno de Tarento y por la escuela pitagórica, se llegó al firme convencimiento de que discernir la proporción correcta entre varios sonidos llevaba a la virtud ética, dado que conseguir el equilibrio entre cuerpo y alma era cuestión de alcanzar una perfecta armonía entre constituyentes contradictorios del individuo. Y, llegando aún más lejos, se concebía el armazón del cosmos como un delicado equilibrio entre los ciclos de sus componentes. Estas ideas arraigaron con fuerza y seguirían plenamente vigentes siglos más tarde. Boecio, en su tratado De institutione musica (ca. 500), formula su influyente categorización de la música —instrumental, humana y mundana— para referirse a esos tres ámbitos en los que, en orden ascendente de importancia, era vital la armonía entre las partes para alcanzar la perfección.

La tensión entre la música práctica, propia de cantantes e instrumentistas, y la concepción teórica y platónica de la música como realidad superior, es una constante en la filosofía de la música, rastreable hasta nuestros días. En los primeros textos clásicos sobre interválica ya es evidente la ubicua oposición entre empirismo y racionalismo. Frente a la visión pitagórica, en la que el sustrato del universo —y por tanto de la música verdadera— sólo pueden ser las proporciones puras entre números naturales, Aristóxeno opuso una postura fenomenológica y subjetiva, recogida en su obra fundacional Elementa harmonica (siglo IV a. C.), según la cual la determinación de los intervalos musicales dependía en último término de la experiencia sonora, abierta a la pericia y gusto personal de cada músico.

definiciones de intervalo

Habitualmente llamamos intervalo a la distancia entre dos alturas, dando por sentado que esa distancia ha de ser medida con tonos o semitonos. Sin embargo, la fijación de lo que debe medir un semitono o un tono es más problemática de lo que pudiera parecer a priori, especialmente en tiempos en los que aún no se ha habían adoptado los números irracionales ni se había desarrollado la logaritmación.

Otra manera de definir un intervalo, sobre todo en un contexto más físico, es mediante la ratio, razón o proporción entre dos frecuencias audibles. Esta caracterización de las relaciones entre dos notas como proporciones es la que predomina en los textos antiguos. A menudo quienes teorizaban sobre interválica y armonía, como Ptolomeo, escribían también sobre aritmética, geometría y astronomía, que junto a la música formaban las cuatro vías o disciplinas del quadrivium.

Cabe señalar que el significado de intervalo en música no tiene apenas conexión con la acepción de intervalo en matemáticas, que es el subconjunto de la recta real comprendido entre dos valores.

cálculo y comparación de intervalos como razones

Conociendo las frecuencias de dos alturas podemos referirnos al intervalo entre ellas como la fracción que forman ambas cantidades. Así, el intervalo de octava justa entre las frecuencias 440 Hz y 880 Hz tiene dos posibles representaciones numéricas:

En general, podemos expresar esta relación de este modo:

Así, partiendo de una frecuencia y sabiendo la razón del intervalo que queremos aplicar, podemos calcular la frecuencia de la nota resultante:

Las únicas razones interválicas aceptadas en un primer momento fueron aquellas que procedían de los números racionales, esto es, de proporciones entre números enteros. Los principales intervalos pitagóricos se obtienen tomando los números correspondientes a cada par de alturas de la serie armónica.

El número racional que representa la quinta justa es 3:2. Podemos saber qué quintas de esta serie se corresponden con esta relación comprobando la equivalencia de las razones de los pares de armónicos 3:2 = 6:4 = 9:6 = 12:8 = 15:10. La quinta re-la entre los armónicos 9 y 13 no es una quinta justa pitagórica porque 13:9 < 3:2, y de hecho está más cerca del tritono.

Los pares de armónicos no tienen por qué ser contiguos. La sexta mayor pitagórica, por ejemplo, la encontramos en el intervalo entre el tercer y quinto armónico, por lo que su razón es 5:3.

limitaciones de los intervalos racionales

Si bien en el caso de las consonancias perfectas el empleo de razones sencillas funciona bastante bien, pronto empiezan a aparecer inconsistencias a la hora de determinar las proporciones de las consonancias imperfectas (terceras y sextas) en la formación de escalas.

El intervalo de tercera mayor (ditono), elemento esencial del acorde perfecto mayor, ya plantea una disyuntiva que será objeto de disputas y que originará dos sistemas de afinación diferentes: el pitagórico y el de justa entonación. Aparentemente la distancia entre el armónico 1 y 5 de la serie armónica (dos octavas y una tercera mayor) es la misma que la que resulta de apilar cuatro quintas justas. Hay sin embargo una diferencia apreciable, que podemos expresar numéricamente comparando fracciones:

Así pues, la tercera mayor obtenida reiterando quintas justas es sensiblemente más aguda que la tomada del quinto armónico. Veamos un caso concreto:

El uso de relaciones interválicas basadas sólo en números racionales tiene como consecuencia la generación de escalas con pocas posibilidades de modulación por las desigualdades en ciertos intervalos, impracticables por su disonancia. La progresiva incorporación de proporciones de frecuencias basadas en números irracionales permitirá solventar estas limitaciones a costa de la pureza de las consonancias perfectas. Esto será un proceso lento, puesto que encontrará la resistencia del pensamiento platónico de raíz pitagórica, que consideraba el uso de números irracionales una aberración y un ataque al núcleo mismo de su cosmovisión.

nomenclatura antigua de los intervalos

Esta tabla contiene los intervalos con razones más simples con la nomenclatura más habitual en los tratados antiguos. Existen muchas variantes y combinaciones de estos términos para referirse a estos y otros intervalos más complejos.

Los más importantes y menos conflictivos son evidentemente los intervalos justos de octava, quinta y cuarta (diapason, diapente y diatessaron), que son además las mimbres a partir de las que se construyeron escalas y modos mediante tetracordos.

Este apoyo sobre las consonancias perfectas será un hecho casi indiscutido hasta el Renacimiento. Un milenio después de Boecio, Glareanus sigue basando su teoría musical en estas mismas relaciones. La figura que incluye en el Libro primero del Docecachordon (1547) no deja de ser una variación más entre muchas sistematizaciones similares que jalonan toda la Edad Media:

La armonía que Glareanus presenta en su tratado concuerda exactamente con la descrita por Nicómano en la cita que abre este artículo. Así es cómo suena esta constelación de alturas asignando esas proporciones interválicas a ondas senoidales simples, partiendo del la de 220 Hz (abajo el código de SuperCollider para generar estos sonidos).

ideas clave

• Un intervalo musical es la distancia entre dos alturas medidas en tonos, semitonos u otras unidades, y también la ratio, razón o proporción entre dos frecuencias.
• Desde la antigua Grecia al Renacimiento se usan casi exclusivamente números racionales para determinar los intervalos, lo que produce escalas con consonancias perfectas pero con limitadas posibidades armónicas y de modulación.
• Hasta el Renacimiento el estudio de los intervalos y escalas era uno de los campos de estudio principales en la teoría de la música, vista casi como una rama de las matemáticas. Entender los intervalos era un paso necesario para desentrañar los mecanismos del Universo.
• Si x representa un intervalo cualquiera, multiplicando una frecuencia por x obtenemos una segunda frecuencia a esa distancia interválica. Si divimos por x aplicamos ese intervalo en sentido inverso.
• Si x > 1, representa un intervalo ascendente, y viceversa.
• La aplicación repetida del mismo intervalo se expresa de manera compacta con potencias. Por ejemplo, para bajar 3 octavas multiplicamos por (1/2)³ = 1/8. Un exponente negativo aplica un intervalo en sentido inverso: 2^-3 = 1/8. Elevar cualquier proporción interválica a 0 significa aplicar ese intervalo 0 veces: x⁰ = 1, que es la razón del unísono.
• El número 0 no representa un intervalo. Multiplicar o dividir una frecuencia por 0 significa bajar o subir respectivamente un intervalo infinitamente grande.
• Un número negativo sí puede representar un intervalo. Las razones 3:2 y -3:2 representan el mismo intervalo de quinta justa. En un sentido físico, multiplicar por un valor negativo no afecta a la altura de un sonido ni a su intensidad, sólo invierte la fase de la onda, lo que a efectos sonoros es indistinguible. El intervalo experimentado sería idéntico.
• Sólo con el uso de intervalos basados en números irracionales se alcanza el temperamento igual y la modulación ilimitada, pagando el precio de perder los intervalos puros.

más información

• Roma como centro de la »musica theorica« en el siglo XVI: Francisco Salinas, de Amaya García Pérez. Estudio sobre la confrontación entre el sistema pitagórico antiguo y el de entonación justa en el Renacimiento, expuesta través de la figura del teórico español.  PDF 
• Glosario de terminología modal, de Joaquín Saura Buil. Completo compendio de términos relacionados con la música antigua, en especial los referidos a modos, escalas e interválica. Interesante para observar la enorme variedad de intervalos y clasificaciones contempladas antes de la adopción del temperamento igual.  PDF