homomorfismo ejercicios resueltos, Ejercicios de Álgebra

¡Descarga homomorfismo ejercicios resueltos y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity! Capítulo 5 Homomorfismos de grupos Les mathématiciens n’étudient pas des objets, mais des relations entre les objets. Poincaré Hemos visto algunas nociones básicas de grupos y varios ejemplos. Para comparar grupos, estudiar construcciones sobre ellos e investigar sus propiedades más sutiles, hay que saber cómo estos se relacionan. Aquí el concepto clave es el de homomorfismo, una aplicación entre grupos que preserva su estructura (la operación del grupo). 5.0.1. Definición. Un homomorfismo de grupos G y H es una aplicación f : G → H tal que para cuales- quiera g1, g2 ∈ G se cumple: f (g1g2) = f (g1) f (g2). 5.1 Ejemplos de homomorfismos 5.1.1. Ejemplo. Para todo grupo G la aplicación identidad id : G → G es un homomorfismo. N 5.1.2. Ejemplo. Para ver más homomorfismos familiares, podemos revisar algunas propiedades del análisis real y complejo conocidas a todo el mundo. 1) El signo de un número racional (resp. real) no nulo es un homomorfismo Q× → {±1} (resp. R× → {±1}), x 7→ sgn x := { +1, si x > 0, −1, si x < 0, donde Q× = Q \ {0} (resp. R× = R \ {0}) es el grupo de los números racionales (resp. reales) no nulos. 2) El valor absoluto de un número racional (resp. real, complejo) no nulo es un homomorfismo Q× → Q>0, (resp. R× → R>0, C× → R>0), x 7→ |x|. De hecho, para cualesquiera x e y se tiene |xy| = |x| · |y|. 1 5.1. EJEMPLOS DE HOMOMORFISMOS CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 3) Consideremos el grupo de los números reales respecto a la adición R y el grupo de los números reales positivos respecto a la multiplicación R>0. La función exponencial es un homomorfismo exp : R→ R>0, x 7→ ex. De hecho, para cualesquiera x, y ∈ R tenemos ex+y = ex ey. En general, para a > 0, la aplicación R→ R×, x 7→ ax es un homomorfismo: se cumple ax+y = ax ay. 4) Para los números complejos la exponencial es un homomorfismo exp : C→ C×, z 7→ ez. Para cualesquiera z, w ∈ C tenemos ez+w = ez ew. 5) El logaritmo natural es un homomorfismo log : R>0 → R, x 7→ log x; para cualesquiera x, y > 0 se cumple log(xy) = log(x) + log(y). En general, para a > 0, a 6= 1 el logaritmo de base a loga : R>0 → R, x 7→ loga x es un homomorfismo: para cualesquiera x, y > 0 se tiene loga(xy) = loga(x) + loga(y). 6) La raíz n-ésima es un homomorfismo R>0 → R>0, x 7→ n √ x. De hecho, tenemos n √ xy = n √ x · n√y. En general, para cualquier número real positivo α > 0 la aplicación R>0 → R>0, x 7→ xα es un homomorfismo: se tiene (xy)α = xα yα. 2 CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 5.1. EJEMPLOS DE HOMOMORFISMOS De esta manera se obtiene un homomorfismo de grupos multiplicativos | · |p : Q× → R>0, x 7→ |x|p. (Para x = 0 se define |0|p := 0, lo que concuerda con la definición vp(0) := ∞.) N 5.1.7. Ejemplo. He aquí otro ejemplo curioso de la teoría de números. Para un número primo p, decimos que un entero a ∈ Z es un resíduo cuadrático módulo p si a ≡ b2 (mód p) para algún b ∈ Z. Podemos definir el símbolo de Legendre mediante ( a p ) :=  +1, si p - a y a es un resíduo cuadrático módulo p, −1, si p - a y a no es un resíduo cuadrático módulo p, 0, si p | a. Obviamente, si a ≡ a′ (mód p), entonces ( a p ) = ( a′ p ) , así que el símbolo de Legedre está definido sobre los restos módulo p. Luego, para cualesquiera a, b ∈ Z se tiene ( ab p ) = ( a p ) ( b p ) . (está claro que el producto de dos resíduos cuadráticos es un resíduo cuadrático; un poco menos claro que el producto de dos no-resíduos cuadráticos es un resíduo cuadrático, pero lo veremos más adelante). Esto quiere decir que el símbolo de Legendre es un homomorfismo de grupos multiplicativos ( · p ) : F×p = (Z/pZ) × → {±1}, [a]p 7→ ( a p ) . N Las siguientes aplicaciones son homomorfismos por la definición de las estructuras algebraicas corres- pondientes. 5.1.8. Ejemplo. 1) Si R es un anillo (no necesariamente conmutativo) y c ∈ R su elemento fijo, entonces la multiplicación por c por la izquierda es un homomorfismo de grupos aditivos R→ R, x 7→ cx. En efecto, la multiplicación es distributiva por la definición de anillos: para cualesquiera x, y ∈ R debe cumplirse c (x + y) = cx + cy. De la misma manera, la multiplicación por la derecha es un homomorfismo R→ R, x 7→ xc. 5 5.1. EJEMPLOS DE HOMOMORFISMOS CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 2) Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo k y λ ∈ k es un escalar fijo, entonces la multiplicación por λ es un homomorfismo de grupos aditivos V → V, v 7→ λ · v. En efecto, según los axiomas de espacios vectoriales, se tiene λ · (u + v) = λ · u + λ · v. 3) Recordemos que para un anillo conmutativo R y un polinomio f = ∑ 0≤i≤n ai Xi ∈ R[X], su valor en c ∈ R viene dado por f (c) = ∑ 0≤i≤n ai ci ∈ R. Esto nos da un homomorfismo de evaluación evc : R[X]→ R, f 7→ f (c). N 5.1.9. Digresión. En los ejercicios hemos mencionado el anillo de series de potencias R[[X]]. En general, ya que una suma f = ∑i≥0 ai Xi ∈ R[[X]] puede tener un número infinito de coeficientes no nulos, no tiene sentido evaluar f en un elemento c ∈ R. Lo que siempre podemos hacer es “evaluar f en 0”: R[[X]]→ R, f = ∑ i≥0 ai Xi 7→ f (0) = a0. En general, evaluación de una serie f ∈ R[[X]] en un elemento arbitrario c ∈ R requiere de una noción de convergencia. 5.1.10. Ejemplo. Si A es un grupo abeliano, entonces para n ∈ Z y para cualesquiera a, b ∈ A tenemos n · (a + b) := (a + b) + · · ·+ (a + b)︸ ︷︷ ︸ n = a + · · ·+ a︸ ︷︷ ︸ n + b + · · ·+ b︸ ︷︷ ︸ n = n · a + n · b, así que la multiplicación por n es un homomorfismo que se denota por A ×n−→ A Cuando el grupo es abeliano, pero se usa la notación multiplicativa, se trata de las potencias n-ésimas a 7→ an: (ab)n := ab · · · ab︸ ︷︷ ︸ n = a · · · a︸ ︷︷ ︸ n · b · · · b︸ ︷︷ ︸ n =: anbn. Note que en un grupo no abeliano, en general (gh)n 6= gn hn. Por ejemplo, se puede ver que G es abeliano si y solamente si (gh)2 = g2 h2 para cualesquiera g, h ∈ G. N 6 CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 5.2. PROPIEDADES BÁSICAS DE HOMOMORFISMOS 5.1.11. Ejemplo. En particular, si R es un anillo conmutativo y n ∈ Z, entonces la n-ésima potencia es un homomorfismo de grupos multiplicativos R× → R×, x 7→ xn. Para el grupo aditivo subyacente, tenemos (x + y)n = ∑ 0≤i≤n ( n i ) xi yn−i, y esta expresión normalmente no es igual a xn + yn. Sin embargo, si en R se cumple p · x para cualesquiera x ∈ R, por ejemplo para R = Fp = Z/pZ, entonces (x + y)p = xp + yp. Por ejemplo, Fp → Fp, x 7→ xn es un homomorfismo de grupos aditivos. N 5.2 Propiedades básicas de homomorfismos 5.2.1. Observación. La composición de dos homomorfismos f1 : G → G′ y f2 : G′ → G′′ es un homomorfismo f2 ◦ f1 : G → G′′. Demostración. Para cualesquiera g1, g2 ∈ G tenemos ( f2 ◦ f1)(g1g2) = f2( f1(g1g2)) = f2( f1(g1) f1(g2)) = f2( f1(g1)) · f2( f1(g2)) = ( f2 ◦ f1)(g1) · ( f2 ◦ f1)(g2).  5.2.2. Observación (Homomorfismos preservan el elemento neutro). Si f : G → H es un homomorfismo, entonces f (1G) = 1H Demostración. Tenemos f (1G) = f (1G · 1G) = f (1G) · f (1G), y por lo tanto f (1G) es el elemento neutro.  5.2.3. Observación (Homomorfismos preservan los elementos inversos). Si f : G → H es un homomorfismo, entonces para todo g ∈ G f (g−1) = f (g)−1. Demostración. f (g−1) · f (g) = f (g−1 g) = f (1) = 1.  5.2.4. Observación. Sea 1 el grupo trivial. Para todo grupo G existe un homomorfismo único 1 → G y un homo- morfismo único G→ 1. 7 5.3. MONO, EPI, ISO CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 5.3.8. Ejemplo. Dado un cuerpo k consideremos el espacio vectorial kn junto con su base estándar e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1). En los cursos de álgebra lineal se estudia que las aplicaciones lineales kn → kn pueden ser representadas por las matrices de n × n, de tal modo que la composición de aplicaciones lineales corresponde a la multiplicación de matrices. Aplicaciones lineales invertibles corresponden a matrices invertibles. Esto nos da un isomorfismo de grupos GL(kn) ∼= GLn(k). Cuidado: en general, si V es cualquier espacio vectorial sobre k de dimensión n, una elección de base nos da un isomorfismo de espacios vectoriales f : V ∼=−→ kn, y por lo tanto un isomorfismo de grupos GL(V) ∼=−→ GL(kn), (φ : V → V) 7→ ( f ◦ φ ◦ f−1 : kn → kn), pero este no es canónico ya que depende de la base escogida. N 5.3.9. Observación. f : G → H es iso si y solamente si es invertible: existe otro homomorfismo de grupos f−1 : H → G tal que f−1 ◦ f = idG, f ◦ f−1 = idH . Demostración. Para h1, h2 ∈ H tenemos f−1(h1h2) = f−1 ( f ( f−1(h1)) · f ( f−1(h2)) ) = f−1 ( f ( f−1(h1) · f−1(h2) )) = f−1(h1) · f−1(h2), donde la primera igualdad viene de f ◦ f−1 = idH , la segunda igualdad se cumple porque f es un homomorfismo, y la tercera igualdad viene de f−1 ◦ f = idG.  5.3.10. Ejemplo. La exponencial real exp : R→ R>0, x 7→ exp(x) es un isomorfismo de grupos que posee una aplicación inversa, a saber el logaritmo: log : R>0 → R>0, x 7→ log(x). Como hemos visto, la aplicación inversa es automáticamente un homomorfismo: log(xy) = log(x) + log(y). N 5.3.11. Corolario. La isomorfía de grupos es una relación de equivalencia en el sentido de que para cualesquiera G, H, K tenemos G ∼= G, G ∼= H ⇒ H ∼= G, G ∼= H, H ∼= K ⇒ G ∼= K. 5.3.12. Ejemplo. Salvo isomorfismo, los primeros grupos finitos son 1) el grupo trivial 1; 2) el grupo Z/2Z; 10 CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 5.4. IMÁGENES 3) el grupo Z/3Z; 4) el grupo Z/4Z y el grupo de cuatro V = {id, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)} ⊂ A4; 5) el grupo Z/5Z; 6) el grupo simétrico S3, que es isomorfo al grupo diédrico D3; 7) el grupo Z/7Z; 8) hay tres grupos abelianos de orden 8: uno de ellos es Z/8Z y otros dos que vamos a construir más adelante; además, hay dos grupos no abelianos que ya conocemos: el grupo diédrico D4 y el grupo de cuaterniones Q8. Más adelante veremos que para todo primo p hay un grupo único de orden p salvo isomorfismo y es el grupo Z/pZ. También vamos a describir todos los grupos abelianos finitos salvo isomorfismo. Es muy difícil clasificar los grupos no abelianos finitos y no vamos a tocar el tema. N Cuando dos grupos son isomorfos, estos pueden ser identificados, salvo alguna permutación de ele- mentos que respecta la operación del grupo. En particular, dos grupos isomorfos tienen las mismas pro- piedades. 5.3.13. Observación. Si G ∼= H, entonces G es abeliano si y solamente si H es abeliano. 5.3.14. Ejemplo. Ya que todo isomorfismo G ∼=−→ H es una biyección de conjuntos, si G y H tienen diferente cardinalidad, estos no pueden ser isomorfos. Los grupos Z/6Z y S3 tienen la misma cardinalidad 6 = 3!. Sin embargo, Z/6Z es un grupo abeliano, mientras que S3 no lo es, y por lo tanto no son isomorfos. N 5.3.15. Definición. Fijemos un grupo G. Un isomorfismo entre G y sí mismo se llama un automorfismo. 5.3.16. Observación. Los automorfismos de G forman un grupo respecto a la composición. Este se denota por Aut(G). Demostración. Siempre existe el automorfismo identidad id : G → G y es el elemento neutro de Aut(G). Si f1 : G → G y f2 : G → G son dos automorfismos, entonces su composición f2 ◦ f1 : G → G es también un automorfismo. Todo automorfismo f : G → G posee una aplicación inversa f−1 : G → G, y como hemos visto arriba, es automáticamente un automorfismo.  5.3.17. Ejemplo. El grupo Z/3Z respecto a la adición tiene dos automorfismos: id y un automorfismo no trivial f : [0] 7→ [0], [1] 7→ [2], [2] 7→ [1]. Tenemos f ◦ f = id y luego Aut(Z/3Z) ∼= Z/2Z. N 5.4 Imágenes 5.4.1. Definición. Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. El conjunto im f := { f (g) | g ∈ G} se llama la imagen de f . 5.4.2. Observación. Para todo homomorfismo f : G → H la imagen im f es un subgrupo de H. 11 5.4. IMÁGENES CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Demostración. Como hemos notado en 5.2.2, tenemos 1H ∈ im f . Luego, si f (g1), f (g2) ∈ im f , entonces f (g1) f (g2) = f (g1g2) ∈ im f . En fin, gracias a 5.2.3, si f (g) ∈ im f , entonces f (g)−1 = f (g−1) ∈ im f .  5.4.3. Proposición (Propiedad universal de la imagen). Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. 1) Existe una factorización de f por el monomorfismo canónico i : im f  H (inclusión de subgrupo): G H im f f f i f = i ◦ f . 2) Supongamos que hay otro grupo I junto con un monomorfismo j : I  H y una factorización de f por I: G H I f f ′ j f = j ◦ f ′. Luego existe un único homomorfismo φ : im f → I que hace conmutar el siguiente diagrama: G H im f I f f f ′ i φ∃! j φ ◦ f = f ′, j ◦ φ = i. (φ es mono, puesto que i = j ◦ φ lo es). Demostración. La parte 1) está clara de la definición de la imagen: ya que f toma sus valores en im f ⊂ H, en realidad f puede ser vista como una aplicación f : G → im f . Es un homomorfismo, puesto que f es un homomorfismo. Su composición con la inclusión del subgrupo i : im f  H coincide con f . En 2), la única opción para φ para que se cumpla φ ◦ f = f ′ es definir φ : im f → I, f (g) 7→ f ′(g). Esta aplicación está bien definida: si tenemos f (g1) = f (g2), entonces j( f ′(g1)) = f (g1) = f (g2) = j( f ′(g2))⇒ f ′(g1) = f ′(g2). 12 CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 5.6. CARACTERIZACIÓN DE MONO, EPI, ISO 5.5.9. Proposición (Propiedad universal del núcleo). Para un homomorfismo de grupos f : G → H, sea ker f su núcleo y sea i : ker f  G la inclusión. 1) La composición ker f i−→ G f−→ H es el homomorfismo trivial. 2) Si j : K → G es otro morfismo tal que la composición K j−→ G f−→ H es trivial, entonces existe un único homomorfismo de grupos φ : K → ker f tal que i ◦ φ = j. ker f G H K i =e f j =e ∃! φ Demostración. La parte 1) es evidente de la definición de ker f . En la parte 2), tenemos f (j(x)) = 1 para todo x ∈ K. Entonces, im j ⊆ ker f , y esto nos da la factorización única de j : K → G por ker f .  5.5.10. Observación. Si tenemos un diagrama conmutativo de homomorfismos de grupos G H G′ H′ φ f ψ f ′ entonces existe una único homomorfismo ker f → ker f ′ que hace conmutar el diagrama ker f G H ker f ′ G′ H′ ∃! φ f ψ f ′ Demostración. La flecha punteada existe y es única gracias a la propiedad universal de ker f ′, pero es nada más la restricción de φ a ker f . Tenemos que comprobar que su imagen pertenece a ker f ′. Si g ∈ ker f , entonces f (g) = 1, y por lo tanto f ′(φ(g)) = ψ( f (g)) = 1 y φ(g) ∈ ker f ′, y la aplicación g 7→ φ(g) se restringe correctamente a ker f → ker f ′.  5.6 Caracterización de mono, epi, iso 5.6.1. Proposición. Un homomorfismo de grupos f : G → H es inyectivo si y solamente si es cancelable por la izquierda: para todo par de homomorfismos de grupos g, g′ : G′ → G tenemos f ◦ g = f ◦ g′ ⇒ g = g′. 15 5.6. CARACTERIZACIÓN DE MONO, EPI, ISO CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Demostración. Si f : G → H es una aplicación inyectiva, entonces es cancelable por la izquierda para todas aplicaciones entre conjuntos g, g′ (no necesariamente homomorfismos de grupos) como hemos notado en el capítulo 0. La otra dirección es un poco más sútil: necesitamos ver que si un homomorfismo f es cancelable por la izquierda para homomorfismos de grupos g, g′, entonces es inyectivo. Consideramos la inclusión canónica i : ker f → G y el homomorfismo trivial e : ker f → G. Entonces, f ◦ i = f ◦ e —ambas composiciones nos dan un homomorfismo trivial ker f → H. Si f es cancelable por la izquierda, esto implica i = e; es decir, que ker f = {1G} y por lo tanto f es inyectivo gracias a 5.5.7.  Entonces, para homomorfismos de grupos f : G → H tenemos las equivalencias f es un homomorfismo inyectivo ⇐⇒ f es cancelable por la izquierda ( f ◦ g = f ◦ g′ ⇒ g = g′ para homomorfismos g, g′), f es un homomorfismo biyectivo ⇐⇒ f es invertible (existe homomorfismo f−1). El lector puede adivinar que también existe otra equivalencia f es un homomorfismo sobreyectivo ⇐⇒ f es cancelable por la derecha (g ◦ f = g′ ◦ f ⇒ g = g′ para homomorfismos g, g′). Aquí la implicación “⇒” es fácil (véase el capítulo 0), pero la otra implicación “⇐” es más difícil y no la vamos a probar. 16 CAPÍTULO 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 5.7. EJERCICIOS 5.7 Ejercicios Ejercicio 5.1. Sea f : G → H un homomorfismo de grupos y sea K ⊂ H un subgrupo. Demuestre que f−1(K) es un subgrupo de G. Ejercicio 5.2. Sea R un anillo conmutativo. Para una matriz invertible A ∈ GLn(R) definamos su matriz trans- puesta inversa por A−t := (A−1)t = (At)−1. Demuestre que la aplicación A 7→ A−t es un automorfismo GLn(R)→ GLn(R). Ejercicio 5.3. Sea G cualquier grupo, Z el grupo aditivo de los números enteros y Q el grupo aditivo de los números racionales. 1) Demuestre que todo homomorfismo f : Z→ G está definido de modo único por el valor de f (1) ∈ G. Esto nos da una biyección natural Hom(Z, G) ∼=−→ G, f 7→ f (1), donde Hom(Z, G) es el conjunto de homomorfismos Z→ G. 2) Demuestre que todo homomorfismo f : Q → Q del grupo aditivo de los números racionales está definido de modo único por el valor f (1) ∈ Q. Esto nos da una biyección natural Hom(Q, Q) ∼=−→ Q, f 7→ f (1), donde Hom(Q, Q) es el conjunto de homomorfismos Q→ Q. Ejercicio 5.4. 1) Encuentre los grupos ker f e im f para el homomorfismo Z/6Z→ Z/6Z, x 7→ nx donde n = 2, 3, 4, 5. 2) Calcule los grupos Aut(Z/4Z) y Aut(Z/5Z). Ejercicio 5.5. Consideremos el conjunto de matrices G := {( x −y y x ) | x, y ∈ R, x2 + y2 > 0 } . Demuestre que es un subgrupo de GL2(R) que es isomorfo a C×. Ejercicio 5.6. Encuentre isomorfismos de grupos D3 ∼= S3 ∼= GL2(F2). ¿Puede haber isomorfismos Dn ∼= Sn para n 6= 3? ¿Sn ∼= GLm(Fp)? Ejercicio 5.7. Demuestre que los grupos R× y C× no son isomorfos. Ejercicio 5.8. Asociemos a cada elemento del grupo de cuaterniones Q8 una matriz compleja de la siguiente manera: ±1 7→ ( ±1 0 0 ±1 ) , ±i 7→ ( ± √ −1 0 0 ∓ √ −1 ) , ±j 7→ ( 0 ±1 ∓1 0 ) , ±k 7→ ( 0 ± √ −1 ± √ −1 0 ) . Demuestre que esta correspondencia es un monomorfismo Q8  SL2(C) ⊂ GL2(C). 17