Apuntes sobre la impedancia y la admitancia, Apuntes de Ingeniería

¡Descarga Apuntes sobre la impedancia y la admitancia y más Apuntes en PDF de Ingeniería solo en Docsity! Recordando que las relaciones fasoriales para los elementos R, L y C están dadas por: Impedancia y admitancia Elemento Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia Resistor Cj I V   Inductor Capacitor dt dv Ci  dt di Lv  iRv  IRV  ILjV  En una resistencia, condensador o inductor, la corriente y el voltaje fasorial, en el dominio de la frecuencia, están relacionados como la ley de Ohm para las resistencias Introducción + 3v 2v b a 4W 6W 5W 2W 2W + RL + Rth Vth RL a b Calcular el equivalente Thevenin 3v 4W 2v b c 6W 5W 2W Vth a + + d Para calcular el equivalente Thevenin “abrimos” entre los puntos a y b Calcularemos así la tensión en circuito abierto Vth  W I V Z “Ley de Ohm fasorial ”               m m m m m m I V Z I V I V I V Z   mm IIVV eTeniendo en cuenta que , se tiene: La impedancia no tiene un significado en el dominio del tiempo. Z Se define la impedancia de un elemento como la razón entre el voltaje fasorial y la corriente fasorial, y se denota como . Introducción donde R es la parte real de la impedancia (componente resistiva) y X la parte compleja (componente reactiva). Notación polar forma ZZ Puede notarse que se debe cumplir: La impedancia puede expresarse como: lexponencia forma jeZ rrectangula forma jXR R X XRZ 1 22 tan   gráficamente Z X (Reactancia) R (Resistencia)  Im Re El recíproco de la impedancia se llama admitancia y se denota por la letra Y, es decir: Notación RZ IRV  :aResistenci Tanto R, L y C tienen su impedancia correspondiente. Así:      Y ZZ Y 11 LXjLjZ ILjV   :aInductanci CXj C j Cj Z Cj I V   11 :rCondensado reactancia inductiva reactancia capacitiva Por lo tanto: Interconexiones de impedancias Impedancias conectadas en serie Sea el siguiente circuito  nn ZZIVVVV   221 Z1 Z2 ZnV I IComo la corriente fasorial circula por cada impedancia, se tendrá: neqeq ZZZZIV  2 Para el caso de dos admitancias en paralelo: Interconexiones de impedancias Admitancias conectadas en paralelo Sea el siguiente circuito V I ii YVI Teniendo en cuenta que , aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes fasoriales se puede demostrar que: neq YYYY  21 YnY1 Y2 21 21 21 21 11 ZZ ZZ YYY ZYYY eq eqeq     Aplicando la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo “A”: Interconexiones de impedancias Ejemplo Determinar el voltaje del nodo A (en estado estable) del siguiente circuito:  VYYYI 3211  I110 cos 1000t R1 10ohm R2 10ohm L1 10mH C1 100uF A Por lo tanto: Observando la expresión anterior, puede notarse que habrá una frecuencia para la cual el término imaginario se hace cero (para  C = 1 /  L). Esa frecuencia se conoce como “frecuencia de resonancia”, r , y en un circuito paralelo se determina cuando la admitancia Y es no reactiva.        L Cj RLj Cj R YYYY LCR     1111 Sustituyendo en la ecuación de la ganancia, se tiene: R L Cj H           11 1 Resonancia en paralelo Puede notarse que en condición de resonancia, al ser la admitancia puramente resistiva, la corriente aplicada y el voltaje a la salida estarán en fase. Un circuito resonante es una combinación de elementos sen- sibles a la frecuencia, conectados de tal forma que sea capaz de proporcionar una respuesta selectora de frecuencias. CL r 1  Resonancia en paralelo Teniendo en cuenta que la resonancia ocurre cuando rC=1/rL, entonces la frecuencia de resonancia puede determinarse como: Considerando el siguiente circuito, la relación de voltajes es: R C L Vent Vsal            CRR Lj Cj LjR R V V H ent sal     11 1 1 Tal como sucedió en el circuito con los elementos en paralelo, puede notarse que el término imaginario se anula para la frecuencia de resonancia r , tal que rC=1/rL, la que queda definida por: CL r 1  Resonancia en serie Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado Dada una EDO de orden “n”: aplicando TL con condiciones iniciales nulas, resulta: )()()()()( 01 1 1 sUsXasXasXsasXs n n n    )()( )()()( 011 1 1 tutya dt tyd a dt tyd a dt tyd n n nn n      o bien: 01 1 1 1 )( )( )( aasassU sY sG n n n      La expresión: se conoce como “Función de Transferencia” del sistema. nulas )]([ )]([ )( CI tu ty sG  L L Para encontrar la relación entre la formulación de un sistema dada por su función de transferencia (FT) y la dada por las ecuaciones de estado (ED), puede partirse de (#), es decir: udxcy ubxAx T   Aplicando TL a la primera ecuación, resulta: y despejando, se tiene finalmente: )()()0()( sUbsXAxsXs  )()()0()()( 11 sUbAIsxAIssX   (#) Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado Aplicando TL a la segunda ecuación de (#), se tiene: Reemplazando (a) en (b) y despejando, resulta finalmente: )()()( sUdsXcsY T  )()()( 1 sUbAIssX  Para encontrar la FT, debe considerarse condiciones iniciales (CI) nulas, es decir: . Por lo tanto:0)0( x (a) (b) dbAIscsG sU sY T  1)()( )( )( (##) Así, conociendo “A”, “b”, “c” y “d”, aplicando (##) puede obtenerse la FT de un sistema. Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado Las señales reales aperiódicas (no-periódicas), considerando Transformada de Fourier, están compuestas por un espectro continuo de frecuencias - por lo general- acotado. Por ejemplo, el espectro audible de las señales de audio está comprendido -aproximadamente- entre 20Hz y 20Khz. f(t) t Señal no pediódica  |F(j)| 0 Introducción En resumen: Introducción • Una señal cualquiera puede pensarse como compuesta por una cantidad infinita de señales sinusoidales (en fase o desfasadas entre sí). • Si se aplica una señal a un circuito eléctrico donde hay ele- mentos de almacenamiento de energía (condensadores o in- ductores), las tensiones o corrientes producidas presentarán distorsión de magnitud o de fase en los distintos puntos que componen dicho circuito. • Este efecto puede aprovecharse para construir circuitos (co- nocidos como filtros) que, al aplicar una señal determinada, entregue a su salida una señal con un espectro de frecuencia acotado a límites prestablecidos. Vf L RL Ejemplo 1: tVv mf cos i Si la señal de voltaje aplicada es de la forma: L L Lm L L L eq R R L LR RV LjR RV R Z V V L   1 222 tan     Observando esta expresión, puede notarse lo siguiente: Introducción • Circuitos como el del Ejemplo1,en los que la amplitud de la señal de salida disminuye a medida que aumenta la frecuencia, se denominan “filtros pasa-bajos”. • En el caso inverso (Ejemplo 2), es decir, circuitos donde la amplitud de la tensión de salida aumenta al aumentar la frecuencia, se denominan “filtros pasa-altos”. • Con similar criterio, aquellos circuitos que atenúan las frecuencias por debajo de una frecuencia mínima y por encima de una máxima se denominan “filtros pasa- bandas”, y en en caso inverso, “rechaza-bandas” Conclusión Introducción Conforme a lo dicho hasta ahora, la respuesta en frecuencia de un circuito eléctrico es la relación en función de la frecuencia, entre una entrada senoidal y una salida senoidal, en estado estable. Para el caso del circuito del Ejemplo 1, llamando Vsal a la tensión sobre la resistencia de carga, y Vent al voltaje aplicado al circuito, puede verse que: Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC         L L L ent sal R L LjRZ Z R V V jH     1 222 tan con)( La razón “ ” y la fase “” pueden graficarse en función de la frecuencia, constituyendo lo que se conoce como “respuesta en frecuencia” de un circuito. entsal VV Para el caso del Ejemplo 2: Volviendo al caso del Ejemplo 1, la magnitud de la respuesta en frecuencia puede reescribirse como: )(  jZZ I V ent sal  En este caso, la “respuesta en frecuencia” está dada por la magnitud y fase de la impedancia. L R R L RLLR R H L L           0 2 0 22222 y )(1 1 )(1 1 )(1 1    Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC