zy zy zyxwv Diseño de acorazamiento artificial en canales y encauzamientos de tramos de ríos Álvaro A. Aldama Javier Aparicio Aldo I. Ramírez Ernesto Aguilar Instituto Mexicano de Tecnología del Agua Se presenta una metodología para el diseño de canales o encauzamientos estables de tramos de ríos basada en el acorazamiento artificial. Para ello, se plantea una función de costo que toma en cuenta tanto la excavación como la protección con enrocamiento del fondo y las márgenes. Luego, se plantean las condiciones de factibilidad de las propiedades geométricas que intervienen en la función de costo y, con base en el criterio de Shields para el inicio del movimiento de partículas sólidas, se obtiene la condición de estabilidad del canal acorazado. Usando estas condiciones y la capacidad hidráulica del cauce, se propone una condición integral de factibilidad geométrica, capacidad y estabilidad. Con todo ello, e imponiendo una condición apropiada para evitar perturbaciones indeseables en el flujo, se deducen ecuaciones de diseño óptimo, tanto para canales como para encauzamientos de ríos naturales en flujo subcrítico. Estas ecuaciones resultan explícitas en las variables de diseño y dependen exclusivamente de valores conocidos de antemano, lo que simplifica considerablemente el uso de la metodología propuesta. Se presentan ejemplos de aplicación. Palabras clave: cauces estables, acorazamiento, encauzamientos, costos, diseño óptimo, enrocamiento Introducción Existen diversas opciones tecnológicas para diseñar canales o encauzamientos de tramos de ríos para que se mantengan estables. Estos tramos pueden estar ubicados, por ejemplo, en forma aledaña a cruces de puentes, en zonas urbanas o en cualquier otra condición en la que sea indispensable mantener la sección transversal y el trazo del tramo. En un extremo del espectro de posibilidades se encuentra el uso de revestimiento con concreto o mampostería, que posee las ventajas de eliminar el problema de arrastre de sedimentos y de reducir las pérdidas por infiltración a su mínima expresión. El uso de revestimiento permite emplear secciones transversales relativamente pequeñas y pendientes relativamente grandes, lo cual reduce los costos de excavación. No obstante, los costos de revestir canales o encauzamientos son normalmente muy elevados. Por tal motivo, el empleo de revestimiento se limita a canales primarios, descargas de alta velocidad y encauzamientos en los que la migración del río es inaceptable. En el otro extremo del espectro se encuentra la excavación de canales y encauzamientos en materiales sueltos. En este caso, la sección transversal debe ser Io suficientemente grande y la pendiente lo suficientemente pequeña como para asegurar que no se presenten erosiones considerables. Lo anterior incrementa los volúmenes de excavación con los consecuentes costos. Una opción intermedia a las anteriormente descritas puede plantearse a través de una tecnología que imite a la naturaleza. La emulación de la naturaleza ha demostrado ser muy eficaz en la práctica del diseño ingenieril. En efecto, el perfil Creager para vertedores se definió adoptando la forma geométrica de la superficie inferior de una vena líquida que cae libremente, una vez que el fluido ha pasado sobre la cresta de un vertedor de pared delgada (Levi y Aldama, 1979). Los perfiles aerodinámicos de aviones y automóviles e hidrodinámicos de pilas de puente se han definido imitando la geometría de los cuerpos de aves y peces. En su estudio de geometrías apropiadas para superficies zyxwvutsrq zyxwv zyxwvutsr curvas de canales de llamada, vertedores convergentes y otras estructuras hidráulicas, Levi (1953, y 1966) encontró que las más apropiadas son las que en geometría diferencial se denominan “desarrollables” (Levi, que son aquéllas que pueden extenderse sobre un plano. Dichas superficies tienen la propiedad de que un flujo confinado por las mismas exhibirá un mínimo de perturbaciones. En forma por demás interesante, Levi (1955) encontró que las conchas de moluscos que viven en el fondo de aguas costeras son superficies desarrollables, lo que facilita a esos animales afianzarse al fondo sin ser desplazadas por el movimiento del agua. Bajo ciertas condiciones, en los cauces naturales se presenta el fenómeno de acorazamiento (Graf, (Berezowsky y Jiménez, que consiste en que los sedimentos relativamente finos son suspendidos y arrastrados corriente abajo por el agua, dejando al cauce cubierto por una capa o “coraza” de partículas relativamente gruesas. Con el espíritu de seguir un enfoque de diseño basado en la emulación de la naturaleza, en este artículo se plantea y resuelve el problema de diseñar óptimamente canales y encauzamientos protegidos en su fondo y márgenes con acorazamiento artificial. Esta alternativa tecnológica puede resultar de menor costo que la asociada con el empleo de secciones revestidas, ya que el costo de protección con piedras sueltas es mucho menor que el del revestimiento. De otra parte, el uso de acorazamiento artificial también puede ser de menor costo que la opción de excavar el canal o encauzamiento en tierra, ya que las secciones acorazadas artificialmente resultarían menores que las correspondientes a secciones sin protección. Asimismo, las pendientes longitudinales asociadas con secciones acorazadas artificialmente serían relativamente mayores. Esto permitiría disminuir los volúmenes de excavación, con los consecuentes ahorros. Adicionalmente, es posible proveer a la opción tecnológica del acorazamiento artificial de dos de las ventajas del revestimiento: la práctica eliminación de pérdidas por infiltración y la disminución a su mínima expresión de costos de mantenimiento. Lo anterior puede lograrse colocando geotextiles subyaciendo las capas de enrocamiento o acorazamiento artificial. donde Ce = costo de excavación en unidades monetarias por unidad de volumen, Fba= fracción de incremento de área por bordo libre, A = área hidráulica, L = longitud del canal o encauzamiento, Cr = costo de la protección con enrocamiento colocado en unidades monetarias por unidad de volumen, incluyendo costos de extracción, transporte y colocación, Nc = número de capas de enrocamiento. Por razones de seguridad, es recomendable que Nc Nr = número de rocas por capa, d = diámetro equivalente representativo de las rocas empleadas en la protección, y Fd = fracción de desperdicio. El número de rocas por capa puede ser estimado como sigue: zyxwvu zyxwvutsrq donde Pes el perímetro mojado y Fbpes la fracción de incremento de perímetro mojado por bordo libre. Sustituyendo (2) en (1) resulta la función de costo A fin de simplificar la función de costo, es deseable expresar los factores de incremento Fba y Fbpen función del factor de incremento del tirante, Fbh, como se explica a continuación. El análisis se referirá a un canal de sección trapecial, que representa la opción más comúnmente empleada en el diseño y construcción de canales y encauzamientos (ilustración 1). Los resulta- zyxwvutsrq Función de costo La estrategia de optimización se dirigirá a minimizar el costo del canal o encauzamiento. Por tanto, la función objetivo será el costo total de construcción del mismo. El costo total de excavar un canal y protegerlo con enrocamiento en su fondo y en sus márgenes puede estimarse como dos serán igualmente aplicables a canales rectangulares = O) o triangulares = De la geometría de dicho canal, el área hidráulica, A, el perímetro mojado, P, y el radio hidráulico, R, se pueden escribir respectivamente como: zyxwvu y posee un valor medio Por su parte, el factor de incremento de perímetro mojado cumple con que y tiene un valor medio zyxw zyxwv zyxwvuts Ahora bien, considerando que es la fracción del tirante que constituye el bordo libre, el efecto que tiene un incremento del mismo sobre el área y el perímetro mojado, de acuerdo con las ecuaciones (4) y es Dado que, en general, es un número pequeño y k=o varía en un rango estrecho, entonces y también variarán en un rango estrecho, por lo que no se comete un error grande al sustituirlos por sus valores medios en la ecuación ( 3 ) .Así, empleando las ecuaciones (16) y la función de costo ( 3 ) se puede escribir en forma aproximada como Por tanto, de las ecuaciones (7) y (8) se pueden obtener, respectivamente, los factores de incremento de área y perímetro mojado Factibilidad de las propiedades geometricas Evidentemente, de las ecuaciones anteriores se deduce que En las expresiones (1 a (14) es claro que el factor de incremento de área obedece a la relación Como puede observarse en la ecuación al haber expresado la función de costo en términos de los valores medios de las fracciones de incremento de área y perímetro mojado, se ha logrado construir una función objetivo, que sólo depende de A, L, R y d. Como se verá adelante, estas propiedades geométricas A y R pueden ser expresadas en términos de las otras variables de diseño. Obviamente, los valores de A y R que se usan en la ecuación (19) deben corresponder a un valor real del tirante. En otras palabras, no cualquier combinación de A y Res físicamente factible desde el punto de vista geométrico. Para determinar la condición bajo la cual se cumple lo anterior, las ecuaciones (4) a (6) se pueden emplear para eliminar b y P, obteniéndose la siguiente ecuación cuadrática en h: cuya solución es zyx zyxwvutsrq zyxwv zyxwvut Evidentemente, para k O, de modo que la ecuación (20) admite soluciones reales sólo cuando el radical de la ecuación (21) es positivo, es decir, La ecuación (23) representa entonces la condición de factibilidad de las propiedades geométricas del canal. Secciones estables El criterio de Shields para el inicio del movimiento de partículas sólidas ubicadas en el fondo de un cauce o canal con turbulencia desarrollada es (Shields, 1936): lado, cabe hacer notar que Aguirre (1998) encontró que el citado criterio de Shields no es válido para corrientes macrorrugosas de alta pendiente; es decir, cuando la pendiente del fondo es mayor que y cuando h/d No obstante, el criterio de Shields proporciona un umbral de inicio del movimiento que es conservador para fines de diseño, en los casos estudiados por Aguirre. Por otra parte, el esfuerzo crítico para partículas ubicadas en los taludes es (Chow, 1973) donde, cuando representa el ángulo de reposo del k (ilustración material pétreo y a = es el factor que reduce el esfuerzo crítico en los taludes del canal por los efectos gravitatorios. Por supuesto, debe cumplirse que a El esfuerzo cortante medio actuante en la sección transversal de un canal con pendiente Soque conduce flujo uniforme está dado por (Henderson, 1966) zyxwvutsrq Entonces, para garantizar la estabilidad del acorazamiento artificial, es necesario satisfacer la condición donde es el esfuerzo cortante crítico, y es el peso específico del agua y A es la densidad específica del material de protección sumergido. La ecuación (24) es válida siempre y cuando el número de Reynolds de la partícula, cumpla con la desigualdad siguiente (Henderson, 1966): es la velocidad al cortante; v, la visdonde U, cosidad cinemática del líquido; el esfuerzo cortante actuante; y p , la densidad del fluido. El subíndice de en la ecuación (24) denota precisamente que su valor constante es válido para grandes valores de La condición dada por el criterio de Shields (ecuación 24) establece el tamaño del material sólido que debe usarse para mantener una sección estable por efecto del acorazamiento artificial; el material más pequeño, aun cuando se use para cubrir huecos en el enrocamiento, será arrastrado por la corriente. Por otro o, bien, introduciendo un factor de seguridad de esfuerzo cortante El factor de seguridad debe seleccionarse de acuerdo con la confianza que el diseñador tenga en los datos de diseño y los probables procedimientos constructivos. Se recomienda que, en general, Empleando las ecuaciones (24) y (27) en la y despejando el radio hidráulico R, se obtiene que constituye la condición de estabilidad del canal acorazado. Capacidad de descarga del canal zyxwvuts zyxwvut Para flujo uniforme, la capacidad de descarga del canal puede expresarse a través de la fórmula de Manning (Chow, 1973): donde se considera que el coeficiente de rugosidad, n, tiene dimensiones con el objeto de convertir a la ecuación (31) en dimensionalmente homogénea. Adicionalmente, se ha usado un factor de seguridad de gasto que toma en cuenta que el flujo suele arrastrar troncos de árboles y otros objetos sólidos, lo que hace que la capacidad de descarga sea menor que la correspondiente a un canal que conduce agua limpia, para un área hidráulica y un radio hidráulico dados. El factor de rugosidad de Manning, n, puede expresarse en términos del diámetro representativo del material de protección mediante una expresión del tipo de Strickler (Henderson, 1966): Con base en información empírica obtenida por Strickler, se puede calcular el valor K, = Es interesante hacer notar que Aldama y Ocón (1998) lograron predecir un valor muy cercano al anterior empleando un análisis basado en conceptos de la teoría de capa límite. En efecto, estos autores obtuvieron K, = Se concluye entonces que es apropiado emplear el valor redondeado K, = Sustituyendo la ecuación (32) en la (31) y despejando el área hidráulica A resulta representa la condición integral de factibilidad geométrica, capacidad y estabilidad. Flujo sin perturbaciones Con el objeto de evitar perturbaciones indeseables en el flujo, tales como ondas rodantes u ondas de Mach, es conveniente mantener un flujo subcrítico en el canal. De hecho, es conveniente que se cumpla que zyxw donde Fr es el número de Froude. Los resultados que siguen, por tanto, serán válidos para flujos subcríticos. Ahora bien, de la definición de número de Froude, Fr (Chow, donde B es el ancho de la superficie libre (ilustración Pero, al emplear las ecuaciones (5) y (6) en la anterior, se puede escribir Sustituyendo (38) y (40) en (37) se obtiene que representa la capacidad de descarga del canal. AI sustituir la ecuación (30) en la (33) y simplificar la expresión resultante se obtiene o, bien, empleando la ecuación (21) y simplificando, que también representa la condición de capacidad de descarga, pero esta vez de un canal estable. Si se sustituyen las condiciones de estabilidad (30) y de capacidad de descarga de un canal estable (34) en la condición de factibilidad geométrica es posible obtener la siguiente expresión: zyxwvutsrqp zyxw Por otro lado, de las ecuaciones (30) y (34) se puede obtener mizará la dirección de d. Dicho valor máximo puede obtenerse de la condición integral de factibilidad geométrica, capacidad y estabilidad la cual puede escribirse como Y o bien Sustituyendo (43) y (44) en (42) se llega a Sustituyendo entonces d = dmáx en la ecuación (47) se obtiene zyxwvutsr zyxwvutsrqp que representa la condición de flujo sin perturbaciones. Diseño Óptimo Tomando en cuenta que en donde H representa el desnivel total entre las secciones inicial y final del canal, y empleando las ecuaciones (30) y la función de costo dada por la ecuación adopta la forma Evidentemente, = + donde K , ahí que es de la forma = O son constantes. De O y K, lo cual expresa que es monótonamente decreciente con la pendiente So.En consecuencia, el valor mínimo de (y, por tanto, de estará dado por el que corresponde al valor máximo permisible de So. Cuando d = dmáx, la condición de flujo no perturbado (45) adopta la forma Como puede observarse, es una función monótonamente decreciente de d; específicamente, ¿: = Por tanto, en que Smnp es la pendiente máxima para flujo no perturbado. El valor máximo que puede adoptar So está dado por de modo que no existe un punto estacionario de ¿:en el espacio En vista de la expresión es evidente que el valor máximo que puede adoptar d mini- zyxwvutsrqp zyxwvuts donde es la pendiente máxima que puede adoptar la pendiente por restricciones topográficas. Si Smáx = Smnp, entonces los valores de diseño de la pendiente, el diámetro de las rocas, el tirante y el ancho de plantilla son los siguientes: Diseño Óptimo de encauzamientos de cauces naturales En este caso el gasto de diseño será el apropiado para el riesgo que se desee correr. Evidentemente, los gastos mayores al de diseño destruirán el acorazamiento. Aquí, So está fijo; entonces, de la ecuación zyxwvutsrqpo zyxw zyxwv Ejemplos de aplicación Diseño de un canal con acorazamiento artificial donde E Las ecuaciones (55) a (57) se pueden usar directamente para el diseño. Nótese que dependen exclusivamente de valores conocidos de antemano y que son explícitas en las variables de diseño, lo que simplifica considerablemente su aplicación. En forma similar, si Smáx = los valores de diseño del diámetro de las rocas, el tirante y el ancho de la plantilla resultan: Considérese un problema completo de diseño óptimo en el cual Q = m3/sy A = Se supondrá que el material rocoso disponible para el acorazamiento artificial es moderadamente angular. Las gráficas que expresan el ángulo de reposo como función de los diámetros se vuelven asintóticas para diámetros grandes (Chow, 1973). Por tanto, se supondrá que prevalecen estas condiciones y = Se han seleccionado = y K, = así como los factores de seguridad = = Por razones constructivas, se selecciona un talud k = por lo que el factor de talud es Ft = (ecuación 26). La aplicación de las ecuaciones (55) a (57) genera las características de la sección óptima, su pendiente y el diámetro del material de protección, a saber: = d,,, = m, = my = metros. Con el diámetro óptimo de enrocamiento se comprueba que el ángulo de reposo seleccionado es correcto (Chow, 1973). zyx Diseño de un encauzamiento con acorazamiento artificial donde Se desea determinar las características de un encauzamiento artificial protegido con enrocamiento moderadamente angular en un sitio con Q = m3/sy A = y So = Se usan nuevamente los valores = y K, = O. y los factores de seguridad = O zyxwvutsrqpo zyxwvutsrq y Fst = Para el caso en que se decida utilizar un talud con k = el factor de reducción por talud será Ft = (considerando, como en el ejemplo anterior, En este caso, la utilización de las expresiones (59) a (61) genera los resultados siguientes: d,,, = m, hopt = m y b,,, = metros. Resulta evidente que el valor de los factores de seguridad queda a criterio del diseñador y que éste, de acuerdo con las características particulares encontradas en campo (disponibilidad de roca, restricciones topográficas, etc.), puede seleccionar el valor del talud apropiado. Conclusiones Se ha presentado una metodología para el diseño optimo de acorazamiento artificial en canales y en encauzamientos de ríos. Dicha metodología toma en cuenta simultáneamente los costos asociados con las obras, los aspectos hidráulicos y la geometría de los canales. Las ecuaciones resultantes son explícitas en las variables de diseño: pendiente, diámetro representativo del material de acorazamiento, tirante y ancho de plantilla del canal para el caso de canales nuevos y diámetro, tirante y ancho para encauzamientos. Estas ecuaciones expresan las variables de diseño en términos de cantidades conocidas, por lo que su aplicación es sumamente sencilla. Estos resultados son desde luego aplicables a situaciones en que se pueden fijar una sola pendiente y una sección transversal. En los casos en que no sea así, el diseñador deberá ajustar la aplicación de la metodología descrita al caso particular de que se trate. Adicionalmente, debe tomarse en cuenta que el coeficiente de rugosidad varía con el tiempo. Recibido: Aprobado: Referencias Aguirre, P. J. Transporte de material grueso en cauces de alta pendiente, Resumen de tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias Técnicas, Centro de Investigaciones Hidráulicas, Facultad de Ingeniería Civil, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, La Habana, Cuba. Aldama, A.A. y Ocón, A.R. Algunas reflexiones sobre la resistencia al flujo en canales y sobre la fórmula de Manning. Memorias. XV Congreso Nacional de Hidráulica, México, pp. Berezowsky, M., Jiménez, A. (1994) A simplified method to simulate the time evolution of the river bed armoring process. Journal of Hydraulic Research, vol. no. Chow, V.T. Open-Channel Hydraulics, McGraw-Hill. Graf, W. Hydraulics of Sediment Transport, McGrawHill. Henderson, F.M. Open Channel Flow, Macmillan. Levi, E. Consideraciones geométricas sobre el flujo en conductos lisos -con aplicación al diseño de vertedores convergentes. Memorias del Congreso Científico Mexicano, México. Levi, E. Recientes estudios sobre vertedores efectuados en México, Ingeniería Civil, núm. México. Levi, E. Teorías y métodos de las matemáticas aplicadas, UNAM, México. Levi, E. Théorie géometrique des surfaces déversantes. Comptes rendus des séances de I'Academie des Sciences, París, Francia. Levi, E. y A. Aldama. Diseño hidrodinámico y automatización fluídica en obras hidráulicas, Serie docencia Núm. D-14, Instituto de Ingeniería, UNAM, México. Shields, A. Anwendung der Ahnlichkeitsmechanik und Turbulenzforschung auf die Geshiebebewegung. Mitteilungen der Preuss. Versuchsanst fur Wasserbau und Schiffbau, núm. Berlín, Alemania. Strickler, A. Beitrage zur Frage der Geschwindigkeitsformel und der Rauhigkeitszahlen für Strome. Kanale und geschlossene Leitungen. Mitteilungen des eidgenossischen Amtes für Wasserwirtshaft,núm. Berna, Suiza. zyxwvu zyxwvut zyxwvutsrqpo Abstract Aldama, A.A.; J. Aparicio; A. Ramírez E. Aguilar. 'Artificial armoring design for channels and river channelings". Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish). Vol. XV, num. pages may-august, A methodology for the optimal design of stable channels or river channelings, based on artificial armouring, is presented. To this end, a cost function that takes into account both excavation and bed and bank protection with rocks is proposed. Feasibility conditions for the geometric properties included in the cost function are deduced, and, by using the Shields criterion for the threshold of solid particles motion, a stability condition for the armoured channel is then obtained. With these conditions and the channel hydraulic capacity, an integral geometric feasibility,stability and capacity condition is derived. In addition, with appropriate condition to avoid undesirable flow perturbations, optimal design equations are derived, both for artificial channels and for natural river channelings with subcritical flow These equations are explicit in the design variables and depend only on known quantities, considerably simplifying the use of the proposed method. Application examples are presented. zyxwvut Key words: stable channels, armouring, channelings, costs, optimal design, bank protection whit rocks. Dirección institucional de autores: Álvaro A. Aldama, Javier Aparicio, Aldo I. Ramírez y Ernesto Aguilar zyxwv zyxwv Instituto Mexicano de Tecnologíadel Agua Paseo Cuauhnáhuac Núm. Progreso, Jiutepec, Mor., CP. Tel. (7)