Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Modelos Biomatemáticos en Ecuaciones Diferenciales Parciales João Frederico C.A. Meyer Paulo C. Carmona Tabares Irene Duarte Gandica IMECC – UNIQUINDIO 16 de Julio de 2015 SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Proceso de difusión En la fı́sica, se define difusión como el proceso mediante el cual la materia es transportada de un lado a otro en un sistema, como resultado del movimiento (aleatorio) molecular. Ver Crank [15]. En otras áreas del conocimiento se adapta esta definición y se concibe de diferentes formas según el contexto. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Proceso de difusión En la fı́sica, se define difusión como el proceso mediante el cual la materia es transportada de un lado a otro en un sistema, como resultado del movimiento (aleatorio) molecular. Ver Crank [15]. En otras áreas del conocimiento se adapta esta definición y se concibe de diferentes formas según el contexto. En problemas de contaminación del medio ambiente, se habla de difusión de partı́culas contaminantes (Marchuk [28]). SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Proceso de difusión En la fı́sica, se define difusión como el proceso mediante el cual la materia es transportada de un lado a otro en un sistema, como resultado del movimiento (aleatorio) molecular. Ver Crank [15]. En otras áreas del conocimiento se adapta esta definición y se concibe de diferentes formas según el contexto. En problemas de contaminación del medio ambiente, se habla de difusión de partı́culas contaminantes (Marchuk [28]). Para la dinámica poblacional se considera la difusión de los individuos como animales o personas (Edelstein [21] y Murray [32]). SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Proceso de difusión En la fı́sica, se define difusión como el proceso mediante el cual la materia es transportada de un lado a otro en un sistema, como resultado del movimiento (aleatorio) molecular. Ver Crank [15]. En otras áreas del conocimiento se adapta esta definición y se concibe de diferentes formas según el contexto. En problemas de contaminación del medio ambiente, se habla de difusión de partı́culas contaminantes (Marchuk [28]). Para la dinámica poblacional se considera la difusión de los individuos como animales o personas (Edelstein [21] y Murray [32]). En la epidemiologı́a, se dice difusión de enfermedades transmisibles (Brauer et. al. [6]). SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Proceso de difusión Para describir matemáticamente el fenómeno de difusión, pueden usarse modelos de dispersión basados en paseos aleatorios (random walk) como lo describen Okubo/Levin [34], Murray [32] y Edelstein [21]; también puede deducirse por medio de las ecuaciones de conservación como aparece en Crank [15], Okubo/Levin [34], Murray [32] y Edelstein [21]. Otra forma de trabajo está descrita en Gardiner [22] y utiliza el enfoque de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Finalmente, un resumen de los métodos mencionados anteriormente y la deducción detallada de la ecuación de difusión mediante los sistemas de partı́culas interactuantes, pueden hallarse en Cantrell et. al. [9]. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Ecuación de Advección – Reacción – Difusión Para la implementación de soluciones en problemas bidimensionales, seguimos la lı́nea de las ecuaciones de conservación junto con la aplicación de la Ley de Fick. Ver Barrera [4]. Si denotamos con C ≡ C (x, y, t) la concentración de partı́culas por unidad de volumen en (x, y, t), σ ≡ σ (x, y, t) como el número de partı́culas creadas o eliminadas por unidad de volumen en (x, y, t) y α coeficiente de difusión (difusividad), ∂C = −∇ · (−α∇C) ± σ = ∇ · (α∇C) ± σ ∂t SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s (1) Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Ecuación de Advección – Reacción – Difusión Ahora bien, si asumimos que las partı́culas del flujo hacen parte de un fluido en movimiento, éstas toman la velocidad del fluido y se hacen participes del movimiento colectivo neto. Luego, si v ≡ v (x, y, t) denota la velocidad del fluido la ec. (1) se transforma en la ecuación de advección–difusión dada por ∂C = ∇ · (α∇C − vC) ± σ ∂t = ∇ · (α∇C) − ∇ · (vC) ± σ SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s (2) Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Ecuación de Advección – Reacción – Difusión Considerando constantes la difusividad y la velocidad del fluido, tenemos ∂C 2 = |α∇ σ | ·∇ {z C} − v {z C} ± |{z} ∂t Difusión SOLABIMA 2015 Advección Fuente Modelos Biomatemáticos en EDP’s (3) Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Ecuación de Advección – Reacción – Difusión Considerando constantes la difusividad y la velocidad del fluido, tenemos ∂C 2 = |α∇ σ | ·∇ {z C} − v {z C} ± |{z} ∂t Difusión Advección (3) Fuente En nuestro caso (bidimensional), si denotamos la velocidad por v = vx , vy , explı́citamente la ecuación (3) viene dada por:   2 ∂C ∂ C ∂2 C ∂C ∂C + 2 + vx =α + vy ±σ 2 ∂t ∂x ∂y ∂x ∂y Nota Además trabajaremos con fluidos incompresibles y por tanto se cumple que ∇ · v = 0. Ver Kaplan [25]. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Trabajos Realizados por el Grupo Bajo la orientación del Prof. Meyer, el Grupo de Investigación en Biomatemáticas (IMECC – UNICAMP) ha contribuido en la elaboración de proyectos de investigación a nivel de especialización, maestrı́a y doctorado (28 en total) utilizando la ecuación (3) o un sistema de ecuaciones de este tipo. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Trabajos Realizados por el Grupo Bajo la orientación del Prof. Meyer, el Grupo de Investigación en Biomatemáticas (IMECC – UNICAMP) ha contribuido en la elaboración de proyectos de investigación a nivel de especialización, maestrı́a y doctorado (28 en total) utilizando la ecuación (3) o un sistema de ecuaciones de este tipo. En problemas de contaminación ambiental tenemos los 16 trabajos: Mistro [30], Castro [13], Bernardes [5], Cantão [8], Diniz [19], Oliveira [33], Saavedra [38], Inforzato [24], Alves [3], Wolmuth [47], Poletti [35], Almeida [2], Carniato [12], Vergaño [46], Prestes [37] y Cajas [7]. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Trabajos Realizados por el Grupo Bajo la orientación del Prof. Meyer, el Grupo de Investigación en Biomatemáticas (IMECC – UNICAMP) ha contribuido en la elaboración de proyectos de investigación a nivel de especialización, maestrı́a y doctorado (28 en total) utilizando la ecuación (3) o un sistema de ecuaciones de este tipo. En problemas de contaminación ambiental tenemos los 16 trabajos: Mistro [30], Castro [13], Bernardes [5], Cantão [8], Diniz [19], Oliveira [33], Saavedra [38], Inforzato [24], Alves [3], Wolmuth [47], Poletti [35], Almeida [2], Carniato [12], Vergaño [46], Prestes [37] y Cajas [7]. En problemas de dinámica poblacional tenemos los 6 trabajos: Diniz [18], Sossae [43], Lacaz [26], Pregnolatto [36], Duarte [20] y Santos [40]. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Trabajos Realizados por el Grupo En problemas que conjugan contaminación ambiental con dinámica poblacional tenemos los 6 trabajos: Sossae [42], Salvatierra [39], Abreu [1], Mesa [29], Carmona [11] y Miyaoka [31]. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Trabajos Realizados por el Grupo En problemas que conjugan contaminación ambiental con dinámica poblacional tenemos los 6 trabajos: Sossae [42], Salvatierra [39], Abreu [1], Mesa [29], Carmona [11] y Miyaoka [31]. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Trabajos Realizados por el Grupo En problemas que conjugan contaminación ambiental con dinámica poblacional tenemos los 6 trabajos: Sossae [42], Salvatierra [39], Abreu [1], Mesa [29], Carmona [11] y Miyaoka [31]. Debe resaltarse que los modelos estudiados en los trabajos realizados han dado respuesta a muchas situaciones biológicas particulares y su nivel de complejidad a evolucionado con el tiempo (desde 1992 hasta 2015). SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Trabajos Realizados por el Grupo En problemas que conjugan contaminación ambiental con dinámica poblacional tenemos los 6 trabajos: Sossae [42], Salvatierra [39], Abreu [1], Mesa [29], Carmona [11] y Miyaoka [31]. Debe resaltarse que los modelos estudiados en los trabajos realizados han dado respuesta a muchas situaciones biológicas particulares y su nivel de complejidad a evolucionado con el tiempo (desde 1992 hasta 2015). En todos los casos, la aproximación numérica de las soluciones de los modelos fue encontrada con los métodos de Elementos Finitos y Diferencias Finitas. Además, los algoritmos para su resolución fueron implementados en ambiente MATLAB. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas El método consiste en aproximar la variable y sus derivadas en la ecuación diferencial por medio de aproximaciones, llamadas diferencias finitas. Estas aproximaciones son generadas a partir de la aplicación de la expansión en series de Taylor y como resultado; obtenemos un sistema algebraico de ecuaciones que puede resolverse con la ayuda del computador. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas El método consiste en aproximar la variable y sus derivadas en la ecuación diferencial por medio de aproximaciones, llamadas diferencias finitas. Estas aproximaciones son generadas a partir de la aplicación de la expansión en series de Taylor y como resultado; obtenemos un sistema algebraico de ecuaciones que puede resolverse con la ayuda del computador. Para aproximar las derivadas por diferencias finitas, recordamos que para u ≡ u (x) de clase C∞ [a, b], su expansión en serie de Taylor en el punto a < x̄ < b está dada por u (x̄ + ∆x) = u (x̄) + ∆xu0 (x̄) + SOLABIMA 2015 ∆ n x (n) ∆2 x 00 u (x̄) + · · · + u (x̄) + · · · 2! n! Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas Ası́, después de reescribir los términos de la serie, tenemos
∆2 x 00 u (x̄) + O ∆3 x ⇐⇒ 2!
u (x̄ + ∆x) − u (x̄) ∆x 00 = u0 (x̄) + u (x̄) + O ∆2 x ∆x 2! u (x̄ + ∆x) − u (x̄) = ∆xu0 (x̄) + Por tanto, la derivada de u podemos aproximarla por D+ (x̄) = u (x̄ + ∆x) − u (x̄) ∆x (4) En la aproximación (4) estamos usando x̄ + ∆x > x̄, en este caso decimos que la diferencia finita es avanzada y por tal razón, la denotamos por D+ . SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas Ahora, si usamos la cantidad x̄ − ∆x < x̄ para nuestra aproximación de la primera derivada, entonces u (x̄ − ∆x) = u (x̄) − ∆xu0 (x̄) + · · · + (−1)n ∆n x (n) n! u (x̄) + · · · y siguiendo un proceso semejante a lo realizado anteriormente, obtenemos u (x̄ − ∆x) − u (x̄) D− (x̄) = , (5) ∆x nuevamente, con un error de aproximación de ∆x. En el caso de la ecuación (5) decimos que la diferencia finita es atrasada. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas Finalmente, si pensamos en combinar adecuadamente u (x̄ + ∆x) y u (x̄ − ∆x), tenemos u (x̄ + ∆x) − u (x̄ − ∆x) = 2∆xu0 (x̄) + 2∆3 x 000 u (x̄) + · · · + 3! ∆2 x 000 u (x̄ + ∆x) − u (x̄ − ∆x) = u0 (x̄) + u (x̄) + · · · + 2∆x 3! de donde concluimos que la diferencia centrada para x̄ − ∆x < x̄ < x̄ + ∆x está dada por D0 (x̄) = u (x̄ + ∆x) − u (x̄ − ∆x) 2∆x con un error de aproximación de ∆2 x. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s (6) Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas Implı́citamente, en el proceso de aproximación descrito anteriormente, usamos ∆x para simbolizar el “tamaño de paso” al dividir el intervalo [a, b] en forma regular. Ası́, cuando particionamos el intervalo en m subintervalos de igual a longitud, tenemos que ∆x = b− m . Sin embargo, las ecuaciones (4), (5) y (6) pueden adaptarse a una partición irregular de la forma a = x0 < x1 < x2 < · · · < xj−1 < xj < xj+1 < · · · < xm−1 < xm = b, escribiendo la equivalencia entre x̄ y xj de las diferencias finitas:


u xj+1 − u xj−1 D0 xj = . xj+1 − xj−1 SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas Para aproximar las derivadas de segundo orden, asumimos un tamaño de paso de ∆x 2 y usamos la definición de la segunda derivada junto con las diferencias centradas de la siguiente manera:   d du u00 (x̄) = ≈ D0 (D0 (x̄)) . dx dx Luego, D20 (x̄) = D0 (D0 (x̄))

∆x D0 x̄ + ∆x 2 − D0 x̄ − 2 = ∆x u (x̄ + ∆x) − 2u (x̄) + u (x̄ − ∆x) = . ∆2 x SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas Ahora detallamos como usar las diferencias finitas en la variable temporal de la ecuación. Para simplificar la escritura, consideramos (por ahora) la ecuación de difusión en el espacio unidimensional, es decir, u ≡ u (x, t) de la forma ∂2 u ∂u (7) = α 2. ∂t ∂x Además asumimos para la resolución del problema evolutivo, aproximar la solución en cada instante del tiempo t, para 0 < t ≤ T. Ası́, para cada paso de tiempo ∆t = Tn resolvemos numéricamente la ecuación (7), empleando la diferencia finita avanzada para la variable temporal. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas Explı́citamente, la ecuación de difusión se transforma en:   u (x + ∆x, t) − 2u (x, t) + u (x − ∆x, t) u (x, t + ∆t) − u (x, t) =α . ∆t ∆2 x
(n) Si usamos la notación Uj para denotar u xj , tn entonces la ecuación anterior se transforma en   (n) (n) (n) (n+1) (n) Uj − Uj Uj+1 − 2Uj + Uj−1  ⇐⇒ = α ∆t ∆2 x (n+1) Uj   α∆t (n) 2α∆t α∆t (n) (n) Uj + 2 Uj−1 . (8) = 2 Uj+1 + 1 − 2 ∆ x ∆ x ∆ x SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas Observando la ecuación (8), percibimos que para determinar los valores de u en los puntos xj (j = 0, 1, . . . , m) para el instante t = tn+1 , necesitamos conocer los valores de u en el instante t = tn . Ası́, utilizar la diferencia avanzada en la variable temporal determina un sistema que podrı́a escribirse matricialmente en la forma U(n+1) = AU(n) , donde h i (n) (n) (n) T U(n) = U0 , U1 , . . . , Um y A una matriz tridiagonal de (n) tamaño (m + 1) × (m + 1) que contiene los coeficientes de U∗ . SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas En la práctica el procedimiento más utilizado (por su estabilidad incondicional y su aproximación de segundo orden), es el Método de Crank–Nicolson (ver Crank/Nicolson [16]), que consiste en “promediar” (en el tiempo) la aproximación centrada de la derivada espacial. Usando la notación de la ecuación (8), la forma del sistema con Crank–Nicolson está dada por (n+1)
(n+1) (n+1) α∆t Uj − 2∆ 2 x Uj−1
(n) (n) (n) α∆t α∆t U + 1 − ∆α∆t + 2∆ 2 x Uj 2 x Uj−1 . 2∆2 x j+1 α∆t − 2∆ 2 x Uj + 1 + 1+ α∆t ∆2 x SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s = (9) Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas En términos matriciales, el sistema (9) tiene la forma BU(j+1) = AU(j) . Es importante notar que el método se dice implı́cito por la presencia de la matriz B. Además, ambas matrices A y B son tridiagonales. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas En términos matriciales, el sistema (9) tiene la forma BU(j+1) = AU(j) . Es importante notar que el método se dice implı́cito por la presencia de la matriz B. Además, ambas matrices A y B son tridiagonales. A continuación aplicamos el método de Crank–Nicolson para la ecuación h 2 i ∂ C ∂2 C ∂C ∂C − α + + vx ∂C (10) 2 2 ∂t ∂x + vy ∂y + σC = f , ∂x ∂y donde C ≡ C (x, y, t), (x, y) ∈ Ω ⊆ R2 y t ∈ (0, T ]. Además, consideramos el dominio rectangular Ω = [x0 , xm ] × [y0 , yl ], con x0 < x1 < · · · < xm , y0 < y1 < · · · < yl y utilizamos la notación
(n) Cj,i para representar C xj , yi , tn . SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas – Dominios Regulares Adicionalmente para simplificar la escritura, pensamos en y −y −x0 y ∆y = l l 0 . ∆x = xmm Con las condiciones descritas anteriormente, el dominio discretizado toma la forma presentada en la Figura 1. Figura 1: Discretización espacial del rectángulo [x0 , xm ] × [y0 , yl ]. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas – Dominios Regulares Las aproximaciones de las derivadas espaciales en el instante de tiempo t = tn+1/2 quedan en la forma: (n+1/2) ∂C(xj ,yi ,tn+1/2 ) ∂x ≈ ∂2 C(xj ,yi ,tn+1/2 ) ∂x2 ≈ ∂2 C(xj ,yi ,tn+1/2 ) ∂y2 ≈ Cj+1,i (n+1/2) Cj+1,i (n+1/2) Cj,i+1 (n+1/2) −Cj−1,i 2∆x , (n+1/2) −2Cj,i ∆2 x (n+1/2) −2Cj,i ∆2 y SOLABIMA 2015 ∂C(xj ,yi ,tn+1/2 ) ∂y (n+1/2) ≈ Cj,i+1 (n+1/2) −Cj,i−1 2∆y (n+1/2) +Cj−1,i y (n+1/2) +Cj,i−1 . Modelos Biomatemáticos en EDP’s (11) Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas – Dominios Regulares Finalmente, si usamos las aproximaciones (11) junto con las aproximaciones
(n+1) (n) Cj,i − Cj,i ∂C xj , yi , tn+1/2 ≈ y ∂t ∆t (n+1)
C xj , yi , tn+1/2 ≈ SOLABIMA 2015 Cj,i (n) + Cj,i 2 , Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas – Dominios Regulares La ecuación (10) se transforma en:     vy ∆t (n+1) (n+1) vx ∆t α∆t α∆t − 2∆ − C + − − 2x j−1,i 4∆x 4∆y Cj,i−1 + 2∆2 y     vy ∆t (n+1) (n+1) α∆t σ∆t α∆t + + C + + 1 + ∆α∆t + − 2x j,i 2 4∆y Cj,i+1 + ∆2 y 2∆2 y     (n+1) (n) vx ∆t vx ∆t α∆t α∆t + C + − 2∆ = (12) 2x j+1,i 4∆x 4∆x Cj−1,i 2∆2 x     vy ∆t (n) (n) α∆t α∆t σ∆t + 2∆ Cj,i−1 + 1 − ∆α∆t Cj,i 2 y + 4∆y 2 x − ∆2 y − 2     ∆t vy ∆t (n) (n) vx ∆t α∆t α∆t + 2∆ Cj,i+1 + 2∆ Cj+1,i + f . 2 y − 4∆y 2 x − 4∆x 2 SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas – Dominios Regulares Matricialmente la ecuación (12) puede expresarse como MC(n+1) = NC(n) + F, donde C(n+1) y C(n) son los vectores columna de (m + 1) (l + 1) componentes. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas – Dominios Regulares Matricialmente la ecuación (12) puede expresarse como MC(n+1) = NC(n) + F, donde C(n+1) y C(n) son los vectores columna de (m + 1) (l + 1) componentes. Observe que los vectores C(n+1) y C(n) se construyen ordenando los puntos del dominio discretizado desde el punto (x0 , y0 ) hasta el punto (xm , yl ) siguiendo la dirección de los ejes coordenados, es decir, de abajo hacia arriba (dirección de y) y de izquierda a derecha (dirección de x); como se muestra en la Figura 1. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas – Dominios Regulares Para incluir las condiciones de contorno en las matrices M y N, deben redefinirse aquellos puntos que representan los lados del rectángulo [x0 , xm ] × [y0 , yl ]. Como ilustración del proceso, consideramos (como ejemplo) el borde k izquierdo de [x0 , xm ] × [y0 , yl ] y recordamos que ∂c ∂η ∂Ω = 0 implica (en el k ∂c ∂c . Ası́, borde izquierdo) que η = h−1, 0i y por tanto ∂η = − ∂x Γ1 k ∂c ∂η Γ 1 (∗) ∂c = 0 ⇐⇒ − ∂x = 0 ⇐⇒ (∗) Cj+1,i −Cj−1,i 2∆x (∗) (∗) = 0 ⇐⇒ Cj−1,i = Cj+1,i . (∗) Notamos que los valores Cj−1,i son elementos que no existen dentro del dominio discretizado (ver Figura 2) que se (∗) transforman en Cj+1,i de acuerdo con la condición de contorno. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas – Dominios Regulares Figura 2: Nomenclatura de los puntos:  - Puntos del dominio. F Puntos de referencia.  - Puntos no existentes en el dominio. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas – Dominios Regulares Luego, la ecuación (12) se modifica ası́:     vy ∆t (n+1) (n+1) α∆t σ∆t α∆t α∆t − + + − 2∆ C + 1 + Cj,i + 2y j,i−1 4∆y 2 ∆2 x ∆2 y  
(n+1) vy ∆t (n+1) α∆t α∆t + − 2∆ 2y 4∆y Cj,i+1 + − ∆2 x Cj+1,i =     vy ∆t (n) (n) α∆t α∆t σ∆t α∆t + C − − Cj,i + 1 − (13) j,i−1 4∆y 2 2∆2 y ∆2 x ∆2 y     vy ∆t α∆t ∆t α∆t (n) (n) + − Cj,i+1 + Cj+1,i + f . 2 2 2∆ y 4∆y ∆ x 2 SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Dominios Regulares Método de Diferencias Finitas – Dominios Regulares Finalmente, el sistema algebraico lineal MC(n+1) = NC(n) + F se resuelve mediante un proceso iterativo para cada instante del tiempo. Ası́ cuando particionamos el intervalo temporal (0, T ] en la forma 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tnt = T con ∆t = nTt , entonces el proceso de resolución toma la estructura: Para n = 0, MC(1) = NC(0) + F, donde C(0) = C0 (x, y) . Para n = 1, MC(2) = NC(1) + F. .. . Para n = nt−1 , MC(nt ) = NC(nt−1 ) + F. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares Hasta ahora, hemos transformado la ecuación de advección – difusión en su forma discreta (mediante diferencias finitas) sobre el dominio rectangular Ω = [x0 , xm ] × [y0 , yl ]. En esta sección el objetivo es implementar una forma sistemática para trabajar con la ecuación discretizada (12) sobre dominios irregulares. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares Hasta ahora, hemos transformado la ecuación de advección – difusión en su forma discreta (mediante diferencias finitas) sobre el dominio rectangular Ω = [x0 , xm ] × [y0 , yl ]. En esta sección el objetivo es implementar una forma sistemática para trabajar con la ecuación discretizada (12) sobre dominios irregulares. El proceso consta de las siguientes etapas: 1. Obtener una imagen del dominio de trabajo. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares Hasta ahora, hemos transformado la ecuación de advección – difusión en su forma discreta (mediante diferencias finitas) sobre el dominio rectangular Ω = [x0 , xm ] × [y0 , yl ]. En esta sección el objetivo es implementar una forma sistemática para trabajar con la ecuación discretizada (12) sobre dominios irregulares. El proceso consta de las siguientes etapas: 1. Obtener una imagen del dominio de trabajo. 2. Transformar la gráfica a formato de texto plano. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares Hasta ahora, hemos transformado la ecuación de advección – difusión en su forma discreta (mediante diferencias finitas) sobre el dominio rectangular Ω = [x0 , xm ] × [y0 , yl ]. En esta sección el objetivo es implementar una forma sistemática para trabajar con la ecuación discretizada (12) sobre dominios irregulares. El proceso consta de las siguientes etapas: 1. Obtener una imagen del dominio de trabajo. 2. Transformar la gráfica a formato de texto plano. 3. Asignar valores numéricos (ceros y unos) a los puntos del dominio discretizado (interior y frontera). SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares Para la primera etapa y a manera de ejemplo, trabajamos con una imagen de la Laguna el Encanto (ver Figura 3 – (a)), situada en el Parque Nacional Natural los Nevados (ver Figura 3 – (b)). Figura 3: (a) - Fotografı́a de la Laguna el Encanto, tomada de http://parquelosnevados.blogspot.com/2009/09/nevado-deltolima-valle-del-cocora.html (b) - Localización del Parque Nacional Natural los Nevados, tomada de Google Maps. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares A continuación hacemos la primera transformación de la imagen llevándola al formato ASCII. Para esto podemos utilizar los paquetes: ASCII Art Generator (Windows) o ASCII Art (Mac). También, podemos realizar el proceso “online” en los sitios http://www.photo2text.com o http://www.text-image.com. Existen otros programas y otros sitios para realizar la conversión, basta con buscar sitios relacionados con ASCII Art. El resultado de la conversión se muestra en la Figura 4. Figura 4: Resultado al transformar la fotografia dada en la Figura 3. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares Finalmente, cambiamos los caracteres ASCII obtenidos de la conversión a números. La idea en este paso es dejar el archivo de texto generado por el conversor ASCII con ceros (puntos exteriores) y unos (puntos interiores y de frontera), para después desde MATLAB, asociar a cada dı́gito del dominio un número. Para sincronı́a con la discretización, recomendamos enumerar los elementos del dominio de abajo hacia arriba y de izquierda a derecha, es decir, de forma análoga como se enumeró en el dominio rectangular. Adicionalmente, incluimos adecuadamente filas y columnas alrededor del dominio con el número cero para facilitar el reconocimiento de los puntos a la hora de procesar la información. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares Como resultado obtenemos una matriz de números como se aprecia en la Figura 5. Finalmente, completamos las celdas vacı́as con ceros hasta formar un arreglo rectangular, ya que el archivo que será leı́do por el MATLAB debe contener alguna información, en caso contrario, se generan errores en el momento de leer los datos. Figura 5: Resultado obtenido al etiquetar con ceros y unos los elementos del dominio generados de la Figura 4 mediante el Excel. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Algoritmo Computacional En esta sección implementamos un algoritmo para resolución aproximada (numéricamente) de la ecuación de advección – difusión. El esquema para el algoritmo presentado corresponde a la metodologı́a habitual empleada para la resolución de problemas evolutivos (variables en el tiempo). Es decir, se particiona el intervalo temporal (0, T ] y se resuelve el sistema discretizado (12) en cada punto de la partición regular. A continuación presentamos cada una de las etapas que se requieren para completar el algoritmo sobre dominios irregulares. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Algoritmo Computacional 1. Parámetros del Problema y Enumeración de Nodos. En esta parte asignamos los valores de los parámetros: α (difusividad), v (transporte advectivo), σ (degradación) y f (fuente contaminante). También incluimos el archivo con los datos (ceros y unos) del dominio discretizado que después serán enumerados siguiendo las direcciones de los ejes coordenados. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Algoritmo Computacional 2. Datos de la Discretización. Proporcionamos los valores correspondientes a los incrementos espaciales ∆x (horizontal) y ∆y (vertical); de acuerdo con las dimensiones espaciales del dominio y la cantidad de filas y columnas de la matriz de datos. También, definimos el tiempo final T del proceso evolutivo y el incremento en el paso temporal ∆t. Debemos tener en cuenta la elección de las unidades de medida en el dominio temporal, ya que generalmente los esquemas numéricos requieren ciertas condiciones para garantizar su convergencia. En nuestro caso calculamos el número de Péclet. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Algoritmo Computacional 3. Matrices Auxiliares para Presentación de Resultados. En esta parte del algoritmo, definimos una matriz de coordenadas y una matriz de triangulación que servirán para la representación geométrica de la solución. Además, generamos una matriz de “atributos” que permite clasificar los nodos del dominio discretizado de acuerdo con su ubicación relativa (ver Figura 6). Figura 6: Etiquetado de los nodos para el dominio discretizado. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Algoritmo Computacional 4. Matrices Auxiliares para Presentación de Resultados. Para esta parte del proceso algorı́tmico, definimos la condición inicial de acuerdo con C(x, y, 0) = C0 (x, y) como fue enunciado en el problema y configuramos la fuente de contaminación en concordancia con los nodos del dominio discretizado. Aprovechamos este segmento del algoritmo para incluir también aquellos nodos que serán monitoreados en el tiempo. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Algoritmo Computacional 5. Llenado de las Matrices. A partir de los nodos etiquetados y la definición de los valores auxiliares que definen las entradas para cada ecuación, realizamos el llenado de las matrices M y N de acuerdo con el atributo de cada nodo. Para facilitar el llenado, definimos los valores correspondientes a cada diagonal para cada nodo del dominio discretizado de acuerdo con su posición relativa. Notamos que en este contexto, cada nodo (no nulo) representa una variable, que a su vez, genera una ecuación del sistema MC(n+1) = NC(n) + F. Además, debemos percatarnos que para cada ecuación el nodo de referencia, de coordenadas
xj , yi , puede estar asociado (a lo más) con los

nodos de coordenadas: xj−1 , yi − izquierda, xj , yi−1 − abajo,

xj , yi+1 − arriba y xj+1 , yi − derecha. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Algoritmo Computacional 6. Resolución del Sistema. Antes de iniciar la resolución del sistema, realizamos la factorización LU de la matriz M que permite optimizar el proceso resolutivo (en MATLAB). Después, definimos el vector F de acuerdo con los nodos donde estarán las fuentes de contaminación y las condiciones a ser simuladas (fuente permanente o parcial según el caso). Dado que tenemos definidos todos los elementos necesarios para resolver iterativamente el sistema algebraico MC(n+1) = NC(n) + F, procedemos a resolver el sistema y a guardar los resultados que creamos convenientes. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Algoritmo Computacional 7. Representación de los Resultados. Para obtener la representación gráfica del dominio irregular, anteriormente realizamos una triangulación del dominio discretizado para luego usar el comando trisurf de MATLAB. Para ésto fue que generamos al inicio del algoritmo una “Matriz de Coordenadas” que contiene las coordenadas de cada nodo y también por eso creamos una matriz llamada “Matriz de Nodos” la cual incluye los nodos que forman cada triángulo del dominio. Con estas informaciones y con los resultados del sistema algebraico, producimos la gráfica de la superficie triangular que recrea fielmente el dominio discretizado. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Simul. Computacionales A continuación presentamos algunas simulaciones numéricas y sus resultados para validar el funcionamiento del algoritmo. Recordamos que el algoritmo implementado resuelve numéricamente el problema con valores iniciales y de contorno  ∂C 2 2   ∂t k− α∇ C + v · ∇C + σC = f , (x, y) ∈ Ω ⊂ R , t ∈ (0, T ] ∂C ∂η ∂Ω = 0, ∀ (x, y) ∈ ∂Ω, ∀t ∈ (0, T ]   C (x, y, 0) = C0 (x, y) donde Ω representa la Laguna el Encanto. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Simul. Computacionales Para todos los casos utilizamos los valores (constantes) de los parámetros α = 5 × 10−4 , vx = −4 × 10−2 y vy = 1.125 × 10−2 y usamos una fuente (puntual) de contaminante ubicada (aproximadamente) en las coordenadas (2.4, 0.15) como se observa en la Figura 7. Además, notamos que v = vx , vy representa un viento que se dirige hacia la dirección Norte–Oeste (noroeste). Finalmente, el valor de σ varı́a de acuerdo con las distintas simulaciones. Figura 7: Localización de la fuente de contaminación. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Simul. Computacionales Para los datos asociados a la variable temporal, tenemos un tiempo final T = 60 y realizamos 750 iteraciones en la resolución del sistema algebraico que generan un ∆t = 8 × 10−2 . Asimismo, consideramos las dimensiones espaciales de 3.304 × 0.615 obtenidas a partir de la imagen del dominio junto con las filas (77) y columnas (401) generadas en la conversión ASCII de la foto. De estos datos conseguimos −3 y ∆y = 0.615 ≈ 7.98 × 10−3 . Para todas ∆x = 3.304 401 ≈ 8.23 × 10 77 las simulaciones asumimos que el dominio Ω está libre de contaminante en t = 0, es decir, C0 (x, y) ≡ 0. Además, seleccionamos algunos nodos del dominio para examinar su comportamiento en el tiempo. Ver la Figura 8. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Simul. Computacionales Figura 8: Nodos del dominio escogidos para estudiar su evolución durante todo el proceso evolutivo. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Algoritmo Computacional Simulaciones Computacionales Dominios Irregulares – Simul. Computacionales Figura 8: Nodos del dominio escogidos para estudiar su evolución durante todo el proceso evolutivo. Nota En documentos anexos se muestran algunos resultados de simulaciones computacionales y el algoritmo computacional implementado en ambiente MATLAB. SOLABIMA 2015 Modelos Biomatemáticos en EDP’s Preliminares Trabajos Realizados por el Grupo Método de Diferencias Finitas Dominios Irregulares Referencias Bibliográficas Abreu, L. Influencia de poluentes sobre macroalgas na Baı́a de Sepetiba, RJ: modelagem matematica, análise numérica e simulações computacionais. Tesis de Maestrı́a. 2009. Almeida, J. Modelagem matemática e simulação computacional para análise de dispersão de poluentes em um trecho do Rio Paraı́ba do Sul. 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