GEOMETRIA
CON APLICACIONES Y SOLUCION DE PROBLEMAS
GEOMETRIA
CON APLICACIONES Y SOLUCION DE PROBLEMAS
STANLEY R. CLEMENS
PHARES G. ODAFFER
Illinois State university
THOMAS J. COONEY
university o f Georgia
versión en español de
Adúison-Wesley iberoamericana
con la colaboración de
Manuel López Mateos
Universidad Nacional A utónom a de México
^
Addison Wesley Longman
Argentina • Chile • Costa Rica • Colom bia • Ecuador • España • Estados Umdos
Mexico • Peru • Puerto R ico • U ruguay • Venezuela
Versión en español de la obra titulada Geometry with Applications and Problem Solving, de
S. R. Clemens, P. G. O'Daffer y T. J. Cooney, publicada originalmente en inglés por
Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts, E.U.A.
© 1984 por Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Esta edición en español es la única autorizada
Cuarta reimpresión, abril 1998
Créditos de las fotografías
Geometria generada por computador
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ramtek C orporation
NASA/Jet Propulsion L aboratory
N ational C enter for Atm ospheric Research/High
Altitude O bservatory/N CA R SM M /C/T: Solar
M aximum Mission (NASA/GSFC)
coronagraph/Polarim eter Experiment
Ramtek Corporation,/NASA/Jet Propulsion L aboratory
Brookhaven N ational Laboratory/N ew York University
M edical Center
Lawrence Livermore N ational Laboratory
M atrix Instrum ents Inc.
M atrix Instrum ents Inc.
M atrix Instrum ents Inc.
Geometria de un chip de silicio
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Intel C orporation
Intel C orporation
N ational Sem iconductor C orporation
Bell Laboratories
N ational Sem iconductor C orporation
N ational Sem iconductor C orporation
Intel C orporation
Intel C orporation
Intel C orporation
Bell Laboratories
Carreras de computación
1.
2.
3.
4.
5.
N CR C orporation
Alex C am eron/Tandem Com puters, Inc.
Alex C am eron/Tandem Com puters, Inc.
Prim e Com puter, Inc.
Bell Helicopter,Textron
La geometría y computadores en la industria
1. General M otors C orporation
2. TRW , Inc.
3. California C om puter Products, Inc. (CalComp)
4. Anacomp, Inc.
5. T andy C orporation—TRS-80™. TRS-80 es una m arca
registrada de Radio Shack Division of T andy C orporate
6. Sperry-Univac, una division o f Sperry C orpöralion
7. Lawrence Livermore N ational L aboratory
8. Engineered Systems, Inc., O m aha, Neb.
9. Alex C am eron/Tandem Com puters, Inc.
10. N ational Sem iconductor C orporation
11. Alex Cam eron T andem Com puters, Inc.
12. Copyright Peter Menzel
13. Triiog
© 1989 por Addison-Wesley Iberoamericana, S. A.
Wilmington, Delaware, E.U.Á.
© 1998 por Addison W esley L ongm an de México, S.A. de C.V.
Boulevard de Las Cataratas núm. 3
Jardines del Pedregal
01900, México, D.F.
Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ni parte de él pueden ser reproducidos,
archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema electrónico, mecánico
de fotorreproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor.
Im preso en M éxico - Printed in México
ISBN 968 444 306 4
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 - D O - 89 9 0 7 6 5 4 3 2 1 8
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..
[vl
hfcbrea de los autores
Stanley R. Clem ens es profesor asociado de m atem áticas en la Illinois State
U niversity. Se g rad u ó en bachillerato y m aestría en el Bluffton College y la Indiana
U niversity, respectivam ente, y realizó el d o c to ra d o en m atem áticas en la U niversity
o f N o rth C arolina. L a o b ra del d o cto r Clem ens sobre geom etría com prende varios
artículos, adem ás de los libros Laboratory Investigations in Geometry y Geometry:
A n Investigative Approach, am b o s publicados p o r A ddison-W esley Publishing
C om pany, Inc.
Phares G . O ’D affer es profesor de m atem áticas en la Illinois State University. Se
grad u ó en bachillerato y m aestría en esa m ism a universidad, y realizó el doctorado
en enseñanza de las m atem áticas en la U niversity of Illinois. Ex profesor de
m atem áticas de grad o preuniversitario, el d o cto r O ’D affer es a u to r y c o a u to r de
num erosos artículos y libros de texto, incluyendo Investigations in Geometry y
Geometry: An Investigative Approach, publicados p o r Addison-W esley Publishing
C om pany, Inc. T am bién ha sido presidente del Illinois C ouncil of T eachers of
M athem athics.
Thom as J . Cooney es profesor de enseñanza de las m atem áticas en la U niversity of
G eorgia. Ex profesor de geom etría de g rado preuniversitario, se grad u ó en
bachillerato y m aestría en la U niversity of T oledo, y realizó el d o cto rad o en
enseñanza de las m atem áticas en la U niversity of Illinois. El do cto r C ooney ha
escrito varios artículos y libros de texto sobre enseñanza de las m atem áticas y fue
presidente de la School Science an d M athem atics Association.
2S0075
prefacio
Geometría con aplicaciones y solución de problemas es un texto que destaca la relación
estrecha que existe entre los conceptos geom étricos y sus aplicaciones en el m undo
que nos rodea. Los autores realizaron esta o b ra basándose en las siguientes ideas:
L a geometría surge a partir de la observación de cosas simples y relaciones
comunes. En este libro se tra ta rá n teorem as —conclusiones b á sic a s- m otivados
p o r algún problem a físico, p a ra después aplicarlos a dicho problem a y
solucionarlo. La m ayoría de las lecciones están estructuradas alrededor de esos
teorem as y presentan casos de la relación que se analiza favoreciendo el desarrollo
del razon am ien to inductivo.
L a capacidad de redactar pruebas debe desarrollarse empezando con las
situaciones más sencillas. El lector em pezará a d esarro llar su capacidad de prueba
con problem as cortos, sencillos y que contienen u n solo concepto. E stos llevan
gradualm ente al estu d ian te a p ru eb as m ás com plejas en los capítulos posteriores.
Los estudiantes de geometría deben desarrollar su capacidad en el marco del
pensamiento crítico, el razonamiento lógico y la resolución de problemas. La
resolución de p roblem as es u n o de los aspectos fundam entales de esta obra. A cada
co njunto de problem as se agreg an ejercicios y soluciones. E stas oportunidades
p a ra experim entar y aplicar el razo n am ien to inductivo son im p o rtan tes p a ra el
desarrollo creativo.
El estudio de la geometría no debe aislarse del mundo ni de otras áreas de las
matemáticas. El lector en co n trará páginas especialm ente interesantes sobre los
siguientes temas: técnicas p a ra la solución de problem as, repaso de álgebra, la
geom etría en nuestro m undo (aplicaciones de la geom etría en diferentes áreas;
gráficas con com p u tad o res y pasatiem pos), y un p rim er capítulo en el que se hace
una revisión prelim inar con ejem plos de la geom etría en el m undo, cóm o u sarla en
la solución de problem as y su papel en actividades recreativas.
C on la idea de que este texto resultara práctico p a ra el estudio de la geom etría,
se incluyeron o tras características:
El lenguaje es breve p ero preciso. H ay profusión de ilustraciones y fotografías.
Los ejercicios se clasificaron en tres niveles d enom inados A, B y C , y van desde
problem as num éricos sencillos hasta p ru eb as excitantes.
L a m ayor p a rte de los problem as im pares incluyen su respuesta.
Al final del libro se en cuentran u n a lista de sím bolos, u n glosario de térm inos
geom étricos y listas de teorem as y postulados.
El resum en de ca d a capítulo p repara al lector p a ra el exam en del mismo.
Los teorem as geom étricos se cubren en form a to tal, lo que perm ite al lector
a b o rd a r o tro s tem as de m atem áticas con cierta confianza.
En Geometría con aplicaciones y solución de problemas se orienta al lector para
el éxito, pero n o sin desafíos. Al concluir este curso, el estudiante verá que el
m u n d o físico resu lta m ás com prensible y que la capacidad que desarrolló en el
estudio de la geom etría es útil en la solución de problem as.
Stanley R. Clemens
P hares G . O ’Daffer
T hom as J. C ooney
[vii]
índice general
USO
i
de la geometría: Revisión preliminar
Definiciones y construcciones
8
1.1
P u n to , re c ta , p la n o y e s p a c io
10
1.2
R e la c io n e s e n tre p u n to s , re c ta s y p la n o s
12
1.3
A lg u n a s fig u ra s g e o m é tric a s b á s ic a s
16
1.4
S e g m e n to s y á n g u lo s ; c o n g ru e n c ia y m e d ic ió n
20
1.5
B is e c tric e s d e l s e g m e n to y d e l á n g u lo
24
1.6
R e c ta s y p la n o s p e rp e n d ic u la re s
28
1.7
P o líg o n o s
32,
C o n c e p to s im p o rta n te s
E xam en
2
á fa
1
36
R esum en
37
38
T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s
D ib u je o e un d ia g ra m a
39
L a g e o m e tría e n n u e s tro m u n d o
D is e ñ o In te rio r: te s e la d o s
40
42
Razonamiento en geometría
2.1
El p ro c e s o d e l ra z o n a m ie n to in d u c tiv o
44
2.2
G e n e ra liz a c io n e s fa ls a s y c o n tra e je m p lo s
48
2.3
D e s a rro llo d e la g e o m e tría p o r m e d io d e l ra z o n a m ie n to
52
d e d u c tiv o
56
2.4
T ip o s d e p ro p o s ic io n e s « S i-E n to n ce s»
2.5
R e c ip ro c a , in v e rs a y c o n tr a rre c ip ro c a
2.6
E s q u e m a s d e ra z o n a m ie n to
64
2.7
P o s tu la d o s d e g e o m e tría
68
2.8
A lg u n o s p o s tu la d o s s o b re m e d ic ió n
72
C o n c e p to s im p o rta n te s
Exam en
76
60
.
R esum en
77
78
R e p a s o d e á lg e b ra
L a g e o m e tría en n u e s tro m u n d o
79
F o to g ra fía , le n te s
80
vili
3
In d ic e g e n e ra i
Triángulos y congruencia
82
3.1
T riá n g u lo s c o n g ru e n te s
84
3.2
P o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia
90
3.3
P ru e b a s : u s o d e lo s p o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia
96
3.4
P ru e b a s : u s o d e d e fin ic io n e s
100
3.5
P ru e b a s : u so d e p o s tu la d o s y d e fin ic io n e s
104
3.6
P ru e b a d e la c o n g ru e n c ia d e á n g u lo s y s e g m e n to s
110
3.7
P ru e b a s : s o la p e d e triá n g u lo s
116
3.8
P ru e b a s : c a d e n a s d e c o n g ru e n c ia s
C o n c e p to s im p o rta n te s
Exam en
122
120
R esum en
123
124
R e su m e n g lo b a l (C aps. 1 a 3)
125
L a g e o m e tría en n u e s tro m u n d o
A rq u ite c tu ra : d o m o s g e o d é s ic o s
126
Prueba de teoremas mediante propiedades básicas
4.1
P a s o s p a ra la p ru e b a d e un te o re m a
4.2
U so d e la p ro p ie d a d d e s u m a y re s ta d e ig u a le s
138
4.3
P ru e b a d e te o re m a s : u so d e s u p le m e n to s y c o m p le m e n to s
144
4.4
P ru e b a d e te o re m a s : u so d e á n g u lo s v e rtic a le s
150
4.5
P ru e b a d e te o re m a s : u so d e á n g u lo s e x te rio re s
154
U so d e la p ru e b a in d ire c ta
158
4.6
C o n c e p to s im p o rta n te s
E xam en
164
R esum en
r
130
165
166
T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s
¿
128
H a c e r u n a ta b la -l
Rectas y planos paralelos
167
168
5.1
D e fin ic io n e s b á s ic a s
170
5.2
T e o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s
174
5.3
E l p o s tu la d o d e la s re c ta s p a ra le la s
180
5.4
M á s te o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s
184
C o n c e p to s im p o rta n te s
E xa m e n
190
R esum en
191
192
R e p a s o d e á lg e b ra
La g e o m e tría e n n u e s tro m u n d o
193
M in e ra lo g ía : s im e tría
194
In d ic e g e n e ra l
ix
196
Triángulos
6 1
198
C la s ific a c ió n d e lo s triá n g u lo s
. ,
,
202
6.2
T riá n g u lo s is ó s c e le s
6 .3
M e d id a s d e lo s á n g u lo s d e u n triá n g u lo
6 .4
El te o re m a d e la c o n g ru e n c ia L A A
6.5
El te o re m a d e la c o n g ru e n c ia d e la
C o n c e p to s im p o rta n te s
E xa m e n
220
208
212
h ip o te n u s a y e l ca te to
R esum en
221
222
T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n -d e p ro b le m a s
H a c e r u n a ta b la -ll
223
224
Más sobre triángulos
226
7.1
El te o re m a d e P itá g o ra s
7.2
T riá n g u lo s e s p e c ia le s
7.3
T e o re m a s d e la c o n c u rre n c ia e n triá n g u lo s
7.4
D e s ig u a ld a d d e i triá n g u lo
7.5
216
232
236
244
248
D e s ig u a ld a d e s e n u n triá n g u lo
C o n c e p to s im p o rta n te s
Exam en
252
R esum en
253
254
255
R e s u m e n g lo b a l (C aps. 4 a 7)
L a g e o m e tría e n n u e s tro m u n d o
G rá fic a s p o r c o m p u ta d o r:
256
d is e ñ o a s is tid o p o r c o m p u ta d o r
258
Cuadriláteros y polígonos
260
8.1
C u a d rilá te ro s
8.2
P a ra le lo g ra m o s
8.3
C u a d rilá te ro s q u e s o n p a ra le lo g ra m o s
8.4
E l te o re m a d e l s e g m e n to m e d io
8.5
R e c tá n g u lo s , ro m b o s y c u a d ra d o s
264
276
282^
288
8.6
T ra p e c io s
8.7
L o s á n g u lo s d e u n p o líg o n o
C o n c e p to s im p o rta n te s
E xam en
270
296
292
R esum en
297
298
R e p a so d e á lg e b ra
299
L a g e o m e tría en n u e s tro m u n d o
A rq u ite c tu ra : ei re c tá n g u lo á u re o
300
r
x
In d ic e g e n e ra l
9
Semejanza
302
9.1
P ro p o rc io n e s
9.2
T e o re m a fu n d a m e n ta l d e la p ro p o rc io n a lid a d
9.3
P o líg o n o s s e m e ja n te s
9.4
El p o s tu la d o d e la s e m e ja n z a A A A
9.5
T riá n g u lo s re c tá n g u lo s y triá n g u lo s s e m e ja n te s
304
308
312
316
9 .6
T e o re m a s d e la s e m e ja n z a L L L y L A L
9.7
R a zo n es trig o n o m é tric a s ; u n a a p lic a c ió n d e lo s triá n g u lo s
326
s e m e ja n te s
9.8
330
R a z o n e s trig o n o m é tric a s d e á n g u lo s e s p e c ia le s
C o n c e p to s im p o rta n te s
Exam en
336
R esum en
334
337
338
T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s
T ra b a ja r h a c ia a trá s
10
322
339
Círculos
340
10 .1
D e fin ic io n e s b á s ic a s
10.2
L a m e d ic ió n e n g ra d o s d e los a rc o s
10.3
C u e rd a s y d is ta n c ia s d e s d e el c e n tro
10.4
P e rp e n d ic u la re s a la s c u e rd a s
10.5
T a n g e n te s a lo s c írc u lo s
10.6
T a n g e n te s d e s d e un p u n to a un c írc u lo
10.7
M e d id a s d e á n g u lo s in s c rito s
10.8
A n g u lo s fo rm a d o s p o r c u e rd a s
10.9
A n g u lo s y s e g m e n to s fo rm a d o s p o r ta n g e n te s y s e c a n te s
C o n c e p to s im p o rta n te s
E x a m e n 388
342
346
350
354
360
386
R e s u m e n g lo b a l (C aps. 8 a 10)
364
368
374
R esum en
378
387
389
L a g e o m e tría e n n u e s tro m u n d o
A g rim e n s u ra : el te o d o lito
390
In d ic e g e n e ra l
392
Area y perímetro
394
11.1
P o s tu la d o s d e l á re a
11.2
A re a d e p a ra le lo g ra m o s
11.3
A re a s d e triá n g u lo s y tra p e c io s
402
11.4
A re a d e p o líg o n o s re g u la re s
408
11.5
C o m p a ra c ió n e n tre p e rím e tro s y á re a s d e p o líg o n o s
398
412
s e m e ja n te s
11.6
L a ra z ó n e n tre la c irc u n fe re n c ia y el d iá m e tro d e u n c irc u lo
11.7
A re a d e c írc u lo s
Exam en
426
R esum en
427
428
429
R e p a s o d e á lg e b ra
L a g e o m e tría en n u e s tro m u n d o
G rá fic a s p o r c o m p u ta d o r: tra n s fo rm a c io n e s
I
416
420
C o n c e p to s im p o rta n te s
12
x¡
430
432
sólidos
434
12.1
P irá m id e s y p ris m a s
12.2
A re a d e p ris m a s y p irá m id e s
12.3
V o lu m e n d e p ris m a s
12.4
V o lu m e n d e p irá m id e s
12.5
A re a y v o lu m e n d e
c ilin d ro s
12.6
A re a y v o lu m e n d e
conos
12.7
A re a y v o lu m e n d e
e s fe ra s
12.8
P o lie d ro s re g u la re s
C o n c e p to s im p o rta n te s
Exam en
440
444
448
452
456
460
464
468
R esum en
469
470
T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s
H á g a s e un d ib u jo p re c is o
471
L a g e o m e tría en n u e s tro m u n d o
472
N a v e g a c ió n
xii
In d ic e g e n e ra l
13
Transformaciones y simetría
474
13.1
R e fle x io n e s s o b re re c ta s
13.2
U so d e la s re fle x io n e s s o b re re c ta s en la s o lu c ió n
476
13.3
T ra s la c io n e s
484
13.4
R o ta c io n e s
488
13.5
S im e tría
494
480
d e p ro b le m a s
C o n c e p to s im p o rta n te s
E xam en
498
R esum en
499
500
T é c n ic a s p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s
E x a m e n d e c a s o s e s p e c ia le s
14
501
Geometría de coordenadas
502
14.1
S is te m a de c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s
504
14.2
P u n to m e d io d e un s e g m e n to
508
14.3
L a p e n d ie n te d e u n a re c ta
512
14.4
P e n d ie n te s d e re c ta s p e rp e n d ic u la re s y p a ra le la s
516
14.5
L a fó rm u la d e la d is ta n c ia
520
14.6
L a e c u a c ió n d e la re c ta
524
14.7
L a e c u a c ió n d e l c írc u lo
528
14.8
U so d e las c o o rd e n a d a s en la p ru e b a d e te o re m a s
532
14.9
T ra n s fo rm a c io n e s y g e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
536
C o n c e p to s im p o rta n te s
Exam en
538
R esum en
539
540
R e su m e n g lo b a l (C aps. 11 a 14)
541
S ím b o lo s
542
T a b la d e c u a d ra d o s y ra íc e s c u a d ra d a s
543
P o s tu la d o s y te o re m a s
544
G lo s a rio
553
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
559
In d ic e d e m a te ria s
593
R e c o n o c im ie n to s
600
identificación de figuras geométricas
en la naturaleza
Es posible que haya sido la n atu raleza la que p ro porcionó al ser hu m an o las
prim eras nociones de geom etría. H ay m uchos ejem plos de form as geom étricas en el
m u n d o físico. C on el paso de los siglos, el hom bre em pezó a clasificar esas formas,
les dio nom bre y creó definiciones p a ra describirlas.
2
1.
N óm brese p o r lo m enos una figura geom étrica sugerida p o r las fotografías.
2.
L os triángulos, cuadriláteros, p entágonos y hexágonos son ejem plos de las
figuras geom étricas llam adas polígonos. E scríbase la letra de cada fotografía
q ue sugiera un polígono y dése su nom bre.
3.
C on frecuencia se busca la relación que existe entre dos o m ás figuras
geom étricas. Se dice que tres p u n to s son colineales (están en la m ism a recta),
que d os rectas son paralelas (nunca se tocan), o que dos ángulos son
congruentes (tienen el m ism o tam año). E scríbase la letra de cada fotografía que
sugiera una relación y dése su nom bre.
4.
D escríbase p o r lo m enos un objeto n atu ral que no aparezca en las fotos y que
sugiera u n a figura geom étrica o u n a relación.
Observación de figuras geométricas
en nuestro mundo
En todas las épocas el hom bre ha utilizado las sencillas form as geom étricas que
sugiere la n atu raleza p a ra la creación de objetos útiles e interesantes. D ebido a que
estam os rod ead o s de objetos, es com prensible la im portancia que tiene poder
h ab lar sobre ellos. Al com unicarnos con o tra s personas, p a ra describir el m edio en
que vivimos, necesitam os un lenguaje de geom etría.
1.
N óm brese p o r lo m enos una figura geom étrica o relación sugerida p o r cada
fotografía.
2.
C o m o ilu stra el balón de fútbol, el m undo de los deportes es rico en ejem plos
de figuras geom étricas. D ense o tro s ejem plos de «geom etría en los deportes».
3. El
d o m o geodésico es una m uestra de que el m u n d o del diseño y la
arq u itectu ra están profundam ente im buidos de figuras geom étricas. El lector
puede en co n trar ejem plos de «geom etría en la arquitectura» o de «geom etría
en
el diseño» en su p ro p ia com unidad, en revistas o en libros de consulta.
4. E labórese un álb u m de recortes (con fotos o dibujos tom ados de revistas) con
el títu lo «L a geom etría en nuestro m undo».
3
uso de la geom etría en la resolución
de problemas
El estudio de la geom etría p ro p o rcio n a m uchas técnicas útiles p a ra la solución de
problem as. Las relaciones en tre los conceptos geom étricos, llam ados teorem as, son
la base de estas técnicas. C a d a u n o de los problem as siguientes se resuelve
em pleando u n o o m ás de los teorem as que se estu d iarán en este libro.
Problema 1
Solución
¿H acia qué p u n to de la b an d a debe lanzarse la
bola blanca p a ra que reb o te y golpee a la roja?
Piense en una im agen especular
de la bola roja. La bola blanca
debe lanzarse hacia el p u n to P.
Problema 2
Solución
C on una escuadra de carp in tero u o tro objeto
con u n a «esquina cuad rad a» , encuéntrese el
centro del tablero de u n a m esa redonda grande,
de m anera que se p u ed a co n stru ir u n a base
a d ecuada p a ra ella.
1.
D ibújese esta «m esa-de billar» y hágase un
d iagram a exacto que m uestre el p u n to de la
b an d a en el cual debe pegar la b o la blanca
p a ra que rebote y golpee a la bola roja.
2.
C on ay u d a de un o bjeto circular, trácese un
círculo en un papel. A hora, con un m étodo
sim ilar al que se usó en el problem a 2,
encuéntrese el centro del círculo.
Las líneas de co lo r cruzan el p u n to m edio de las
d os cuerdas del circulo.
Problema 3
Si sólo se dispone de una cuerda y u n a cinta de
m edir, ¿cóm o p o d ría m arcarse u n a esquina
c u ad ra d a p a ra un cam po de juego?
problema 4
¿Cóm o p o d ría dividirse u n a v ara pequeña en 5
trozos de igual longitud, de m anera que sirvan
com o postes p ara la vía de un tren a escala?
Solución
4 pies
Se hacen 3 nudos en la cuerda a intervalos de 3,
4 y 5 pies y se coloca com o se m uestra en la
figura.
Solución
Se pone la vara en diagonal sobre u n a hoja de
cuaderno ray a d a y se m arcan las líneas com o
m uestra la figura.
3 cm
1.
C on estos segm entos y un com pás
construyase un ángulo recto.
4 cm
2.
En una cu erd a háganse tres n u d o s separados
3, 4 y 5 dm y utilícense p a ra fo rm ar un
ángulo recto.
3.
C órtese una tira de cartu lin a y empléese el m étodo del problem a 4 para
dividirla en 7 p artes de la m ism a longitud.
4.
Búsquese u n a form a distin ta p a ra dividir u n a tira de cartulina en cinco partes
iguales.
Uso de la geom etría como pasatiempo
M uchos conceptos de la geom etría pueden d ar origen a escenas hum orísticas. Los
rom pecabezas geom étricos pueden resu ltar juegos interesantes que ponen a prueba
la inteligencia. E speram os que el lector encuentre alg u n a diversión en la geom etría.
O b s é rv e n s e estas « g e o c a ric a tu ra s » .
i Reconózcanlo'
ustedes dos nc
tienen muncho
c o m ú n . ^
Te veré en la
intersección
\ /Te opuesto
diez contra
cuatro que no
Los « g e o g a ra b a to s » ta m b ié n son d ivertid o s.
P
E
R
P
s
ín t e r
c
c
i
o'
DICULAR
n
T R IA N G U L O
ANGUZ.0
RECTAS
PUNT*
PARA
1.
Créese u n a «geocaricatura» propia.
2.
Diséñese un «geogarabato» original. P a ra esto, pueden em plearse palabras
com o «ángulo recto», «recta», «círculo», «bisecar» o «cuadrado».
lUs
71
A h o ra , in té n te s e tra b a ja r con el
ro m p e c a b e z a s T A N G R A M
D ibújese este cu ad rad o y córtese en 7 piezas
com o se m uestra en la ilustración. E stas piezas
son las del fam oso rom pecabezas chino
T angram , que, según se dice, tiene unos 4000
años de antigüedad.
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Rompecabezas 1
¿C óm o deben colocarse las 7 piezas del T angram
p a ra form ar la figura siguiente?
Solución
¿C óm o deben colocarse las 7 piezas del T an g ram p a ra form ar las figuras que
aparecen abajo? E n algunos casos se d an indicaciones con líneas de puntos.
D ibújense las soluciones.
7.
H ágase una figura con las 7 piezas del T an g ram y pásese a algún com pañero
p a ra que la resuelva.
CAPITULO
1.1
P u n to , r e c ta , p la n o y e s p a c io
1 .2
R e la c io n e s e n tr e p u n to s , r e c ta s y p la n o s
1.3
A lg u n a s f ig u r a s g e o m é t r ic a s b á s ic a s
1.4
S e g m e n to s y á n g u lo s ; c o n g r u e n c ia
y m e d ic ió n
10
12
16
20
1.5
B is e c t r ic e s d e l s e g m e n t o y d e l á n g u lo
1.6
R e c ta s y p la n o s p e r p e n d ic u la r e s
1.7
P o líg o n o s
24
28
32
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
36
R esum en
T éc n ic as p a ra la solución de p ro b le m a s
D ib u jo d e u n d ia g r a m a
39
La g e o m e tría en n u estro m undo
D is e ñ o in t e r io r : T e s e la d o s
40
37
E xam en
38
Definiciones
y construcciones
10
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
1.1
Punto, recta, plano y espacio
¿ C ó m o p o d r ía n d e s c rib irs e u n p u n to , u n a re c ta , u n p la n o y el
e sp a c io ? E s to s c u a tr o c o n c e p to s s o n m u y im p o r ta n te s e n el e stu d io
d e la g e o m e tría . A q u í n o se d e fin irá n el p u n to , la re c ta ni el p la n o ,
s in o q u e se o b s e r v a r á n o b je to s q u e lo s su g ieren .
P IN T O
u bicación^ sin lo n g itu d .
ia jié í& ll :'¡rí ;
U n p u n to c o m o p a r te
d e u n o b je to físico
U n a r e c ta c o m o p a r te
d e u n a s itu a c ió n física
U n p u n t o c o m o la
m a rc a m á s p e q u e ñ a
q u e se p u e d e d ib u ja r
U n a r e c ta c o m o la
lín e a m á s d e lg a d a
q u e se p u e d e d ib u ja r
s'alfffffi
U n p u n to e s u n a id ea
o a b s tra c c ió n . U n
p u n to n o p u e d e
d e fin irse c o n té rm in o s
m á s se n cillo s, es u n
té rm in o in d e fin id o .
U n a re c ta es u n a
id e a o a b s tra c c ió n .
C om o no puede
d e fin irse c o n té rm in o s
m á s se n cillo s, es u n
té rm in o in d e fin id o .
1.1
P u n to , re c ta , p la n o y e s p a c io
11
U n p la n o c o m o
p a r te d e u n o b je to
físico
U n p la n o c o m o el
c o r te m á s d e lg a d o
p o sib le
U n a p la n o es u n a id ea
o a b s tra c c ió n . D e b id o
a q u e n o p u e d e d efin irse
c o n té rm in o s m á s sen c illo s,
H a y p u n to s s o b re ,
d e n tr o y fu e ra del
g lo b o
E l e s p a c io c o m o lo
que q u ed a al
d e s tr u ir el g lo b o
E l e s p a c io es u n a
id e a o a b s tra c c ió n .
Definición 1.1
El espacio es el co n junto de
to dos los puntos.
EJERCICIOS
1. Indíquese si la porción en color de ca d a figura
sugiere un punto, una recta, un p lan o o el espacio.
a.
2. M enciónense cinco objetos cuya form a
sugiera un p u n to en alg u n a de sus
partes. Identifiqúese la p a rte específica
de cada objeto.
3. M enciónense tres objetos o sitüaciones
físicas que ilustren la idea de recta o de
u n a p arte de ella.
4. M enciónense cinco objetos cuyas form as
sugieran u n plano en alguna de sus
partes.
5. M enciónense tres objetos, com o el
globo, que sugieran la idea de espacio.
12
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
1.2
Relaciones entre puntos,
rectas y planos
P a r a re p r e s e n ta r p u n to s , se d ib u ja n p e q u e ñ a s m a r c a s e n u n p a p e l. L a s
le tra s m a y ú s c u la s a l la d o d e c a d a p u n to s o n su s n o m b re s ; a sí, se lla m a n
p u n to A , p u n to B y p u n to C.
A •
• B
• C
U n a r e c ta p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o u n c o n ju n to d e p u n to s . A l d a r
n o m b r e a u n p a r d e ello s, se p u e d e lla m a r a la r e c ta e n fu n c ió n d e eso s
d o s p u n to s . P o r e je m p lo , lo s p u n to s A y B e s tá n e n la re c ta , p o r lo q u e
se lla m a re c ta A B ; se s u p o n e q u e p o r lo s p u n to s A y B s ó lo p a s a u n a
re c ta . O t r a m a n e r a d e d e c ir e s to es: d o s p u n to s d e term in a n un a recta. E n
o c a sio n e s , se n o m b r a u n a r e c ta c o n u n a le tr a m in ú s c u la . E n e ste c a so ,
la r e c ta A B ta m b ié n p o d r ía lla m a rs e re c ta f,.
Se escrib e: M
recta AB
o
recta l
U n p la n o ta m b ié n p u e d e c o n c e b irs e c o m o u n c o n ju n to d e p u n to s . Se
d e s ig n a c o n u n a s o la le tr a o d a n d o n o m b r e a tre s d e su s p u n to s q u e
n o e s té n e n u n a re c ta . A sí, se le lla m a p la n o N o p la n o A B C .
L o s p u n to s A , B y C
e s tá n e n el p la n o N .
Se s u p o n e q u e s ó lo u n p la n o c o n tie n e e s to s tre s p u n to s . Se d ic e e n to n c e s
q u e tre s p u n to s q u e n o e s tá n e n u n a m is m a r e c ta d e te r m in a n a l p la n o .
Al c o n s id e r a r la r e c ta l c o m o u n c o n ju n to d e p u n to s , p u e d e d e c irse
q u e el p u n t o A e stá en la r e c ta £ , y q u e el p u n to A es un elem en to de
la r e c ta l p a r a d e s c rib ir la m is m a s itu a c ió n . T a m b ié n p u e d e d e c irse q u e
la re c ta t c o n tie n e a l p u n to A .
Si A , B y C s o n p u n to s d e la r e c ta l , c o m o se m u e s tra e n la fig u ra
sig u ie n te , se d ic e q u e el p u n to B e s tá e n tre lo s p u n to s A y C. Si A , B y
C n o e s tá n e n la m is m a re c ta , n o se u s a la p a la b r a e n tre p a r a d e sc rib ir
su re la c ió n .
A
E l p u n to B e s tá e n tre
lo s p u n to s A y C.
1.2
R e la c io n e s e n tre p u n to s , re c ta s y p la n o s
13
A lg u n a s d e la s re la c io n e s b á s ic a s d e lo s p u n to s y la s re c ta s e n u n
p la n o se d e s c rib e n a c o n tin u a c ió n c o n m o d e lo s , s ím b o lo s y d efin icio n es.
M odelo físico,
fig u ra
Descripción,
sím bolo
D efinición
Definición 1.2
A , B y C s o n colineales. A ,
D y C s o n no colineales.
A , B , C y D e s tá n e n el
m is m o p la n o ; s o n p u n to s
coplanares. L o s p u n to s
q u e , c o m o c o n ju n to , n o
e s tá n e n el m ism o p la n o ,
s o n no coplanares.
L os puntos colineales son
p u n to s que están en la m ism a
recta.
Definición 1.3
L o s puntos coplanares son
puntos que se encuentran en
u n m ism o plano.
Definición 1.4
L a s re c ta s t y m se
in terseca n e n e l p u n to A .
i.
m
n .
í
['
m
|
==
u
w
n
n
f i i
(
w
L as rectas intersecantes son
dos rectas con un p u n to en
com ún.
¡u " U
i
L a s r e c ta s t y m n o tie n e n
u n p u n to e n c o m ú n , t es
p a ra lela a m.
Se e scrib e: i || m
L a s re c ta s p , q y r tie n e n
e x a c ta m e n te u n p u n to en
c o m ú n . S o n rec ta s
co n cu rren tes.
Definición 1.5
Las rectas paralelas son
rectas que están en el m ism o
p lano y no se intersecan.
Definición 1.6
L as rectas concurrentes son
tres o m ás rectas coplanares
que tienen u n p u n to en com ún.
14
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
EJERCICIOS_____________________
A.
1. D ibújense tres p u n to s que sean colineales.
2. T rácese el g ru p o de p u n to s que se
m u estra a continuación y, con una
regla, dibújese u n a recta a través de
g rupos de tres o m ás p u n to s colineales.
*
(Ejercicio 2)
L os ejercicios 3, 4 y 5 se refieren a la figura de la derecha.
3. N óm brense conjuntos de tres p u n to s
colineales.
4. N óm brense conjuntos de tres p u n to s
n o colineales.
5. N óm brense c u atro p u n to s en tre los
cuales no haya tres que sean colineales.
Los ejercicios 6, 7 y 8 se refieren a la figura de la derecha.
(Si las rectas parecen paralelas, puede suponerse que lo son.)
6. Enum érense tres pares de rectas
intersecantes.
r
7. E num érense tres rectas concurrentes.
8. E num érense to d o s los pares de rectas
paralelas.
9. D ibújense cu atro rectas concurrentes.
ACTIVIDADES
L o s d is e ñ o s c o n o c id o s c o m o h ilo ra m a s son
c re a c io n e s in te re s a n te s e la b o ra d a s e n su to ta lid a d
co n lin e a s re c ta s d e h ilo o c u e rd a . E sto s d is e ñ o s
p u e d e n s e r s im p le s o m u y c o m p lic a d o s .
P a ra te n e r u n a id e a d e c ó m o s e h a ce n los
h ilo r a m a s , se tra z a rá un á n g u lo y s e m a rc a rá
co m o s e m u e s tra a c o n tin u a c ió n . C on un b o líg ra fo
de p u n ta fin a o un lá p iz , s e u n e n lo s p u n to s q u e
tie n e n el m is m o n ú m e ro .
(Ejercicios 6-8)
1.2
R e la c io n e s e n tre p u n to s , re c ta s y p la n o s
15
B.
10. Es im p o rtan te observar que tres p u n to s pueden ser
colineaies au n q u e las rectas n o estén m arcadas.
M enciónense gru p o s de tres p u n to s colineaies de la figura
siguiente.
11. A unque no se haya dibujado, hay una recta que p a sa por
cada p a r de p untos. C ítense d os de estas rectas en la figura.
12. E num érense tres rectas que serían paralelas a B ? si
estuvieran dibujadas.
13. M enciónense tres rectas que serían paralelas a EF si
estuvieran dibujadas.
14. E num érense cu atro rectas que u n an los p u n to s m arcados
con letras y sean co n currentes en el cen tro de la figura.
(E jercicios
10 - 11 )
A
B
15. L os p u n to s A , B, C y D de este cubo son coplanares.
¿C uántos conjuntos de cuatro p u n to s coplanares hay en el
cubo?
16. C on frecuencia se u san rectas p a ra describir (o representar)
la realidad física; entre las rectas paralelas, las
concurrentes y los p u n to s colineaies, ¿cuáles se em plearían
p a ra describir cada uno de los casos siguientes?
a. In iciar un fuego con una lupa.
b. L a luz procedente de u n a linterna.
c. El u so de u n telescopio de refracción.
17. ¿Es posible
punto? ¿Es
intersequen
H ágase un
d ib u jar cu atro rectas que se intersequen en un
posible d ib u jar cu atro rectas que se
en dos, tres, cu atro , cinco, seis o m ás puntos?
d ibujo que ilustre cada caso.
SOLUCION D E PROBLEMAS
¿ C u á n ta s re c ta s p u e d e n d e te rm in a r s e is pu n to s, si
hay u n a re c ta q u e p a s a p o r c a d a p a r d e puntos?
— m— «------- 9— • --------- ®— *
s e is puntos colineaies, una recta
E x p e r im é n te s e y c o m p ru é b e s e si s e is p untos
p u e d e n c o lo c a rs e de tal m a n e ra q u e d e te rm in en
s e is re c ta s . C o ló q u e n se s e is p u n to s p a ra
d e te rm in a r s ie te , ocho, n u ev e... c a to rc e re c ta s.
s e is puntos, en tre los que no hay
tre s que s e a n colineaies; quince rectas
16
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
1.3
Algunas figuras geométricas básicas
Y a q u e la s re c ta s, lo s p la n o s y lo s e s p a c io s se
c o n s id e r a n co n ju n to s d e p u n to s, r e s u lta ú til d e fin ir
la s fig u ra s g e o m é tric a s c o m o c o n ju n to s y p u n to s.
U n a fig u r a p la n a es u n a fig u ra c o n to d o s los
p u n to s e n u n p la n o , p e ro n o to d o s e n u n a re c ta .
/ aa
U n a fig u r a e sp a cia l n o tie n e to d o s su s p u n to s
e n u n s o lo p la n o .
TI . ..
,
„
.
r
,
, , .
Un triangulo es una
R e v ise m o s p rim e r o a lg u n a s id e a s b a s ic a s
figura plana,
s o b re c o n ju n to s .
U n a c a ja es u n a figura
e sp acial
Subconjunto. Si to d o elem ento
de u n p rim er conjunto se
encuentra tam bién en un
segundo conjunto, el prim ero
es un subconjunto del segundo.
Unión. L a unión de dos o más
conjuntos es un conjunto que
contiene to d o s los elem entos de
estos conjuntos.
Intersección. L a intersección de
dos conjuntos es el conjunto
que contiene aquellos
elem entos com unes a am bos
conjuntos.
Ejemplo
Ejemplo
Elemplo
L a r e c ta A B es u n
su b c o n ju n to d e l p la n o N .
L a u nió n d e la s re c ta s ( y
m c o n tie n e to d o s los
L a intersección d e las
re c ta s l y m es el
p u n to A .
p u n to s d e la s d o s rectas.
A c o n tin u a c ió n se d e s c rib e n a lg u n a s fig u ra s g e o m é tric a s b á sic a s co n
m o d e lo s , s ím b o lo s y d efin icio n es.
B
segmento AB
Definición 1.7
A y B s o n lo s e x tre m o s.
Se e scrib e: A B
Un segmento, AB. es el
conjunto de los puntos A y
B y de to d o s los puntos que
están entre A y B.
Definición 1.8
A es el e x tre m o .
S e escrib e: À È
Un rayo, A B , es un
subconjunto de u n a recta que
contiene un p u n to A dad o y
todos los p u n to s que están en
el m ism o lad o de A, com o B.
1.3
Modelo físico,
fig u ra
A lg u n a s fig u ra s g e o m é tric a s b á s ic a s
Descripción,
símbolo
B es el vértice. B A y B C so n
lo s la d o s. E l in te r io r de
L A B C es la in te rs e c c ió n de
lo s p u n to s d e l la d o A d e S ?
c o n lo s d e l la d o C d e XÉ.
17
Definición
Definición 1.9
U n ángulo es la unión de dos
rayos n o colineales que tienen
el m ism o extrem o.
Definición 1.10
A , B y C s o n v é rtice s. A B ,
B C y A C s o n la d o s.
Se escrib e: A A B C
U n triángulo es la unión de
tres segm entos determ inados
p o r tres puntos no colineales.
Definición 1.11
A , B , C y D s o n vértices.
A B , B C , CD y A D so n
lados.
Se escrib e:
c u a d r ilá te r o A B C D
L o s p u n to s A y B e s tá n en
el c írc u lo . E l p u n to _ 0 es el
c e n tro d e l c írc u lo . A B es u n
d iá m e tro d e l c írc u lo . O B es
u n ra d io d e l c írc u lo .
S e dice: c írc u lo 0
S e escrib e: O 0
U n cuadrilátero es la unión de
cu atro segm entos
determ inados p o r cuatro
puntos, entre los cuales no
hay tres que sean colineales.
Los segm entos se intersecan
sólo en sus extrem os.
Definición 1.12
U n círcrno es el co njunto de
to dos los puntos de u n plano
que están a u n a distancia fija
de u n p u n to d a d o del plano.
18
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
EJERCICIOS______________________________
A.
D ibújese seis veces la recta que se m uestra abajo. E n cada
dibujo resáltese una de las siguientes figuras:
1.
SC.
2. B D .
A
3. CAB
4. A D .
C
D
5.
S<5.
6. DB.
(Ejercicios 1-6)
Dibújese y dése el nom bre de la figura ap ro p iad a en cada uno
de los ejercicios 7 a 12.
7. ¿ A B C .
8. Z X Y Z .
9. A D BF.
10. L A .
11. BA.
En los ejercicios 13 a 15, elíjanse d os sím bolos que se refieran
al m ism o ángulo.
13. L A B C , L C A B , L C B A .
14. L C A B , L B A C , L C B A .
15. L A C E , L C A B , L B C A .
16. A A B C y A B A C son d os nom bres
para el triángulo que se m uestra a la
derecha. A este m ism o trián g u lo se le
pueden d a r o tro s c u atro nom bres,
¿cuáles son?
17. Dibújese un círculo con un com pás. M árquese su
centro,
un ra d io y un diám etro. P o r últim o, escríbase elnom bre
del círculo.
18. Elíjanse c u atro p untos, A, B, C y D, en el circulo y
dibújese el cuadrilátero ABCD.
A C TIV ID A DES"1
P a ra e la b o ra r e s te d is e ñ o , d ib ú je s e un c írc u lo .
D e sp u és, co n el c o m p á s a b ie rto a la lo n g itu d
d e l ra d io y c o lo c a d o a in te rv a lo s ig u a le s a lo
la rg o del c írc u lo , trá c e n s e lo s a rco s.
C o m p lé te s e un d is e ñ o c o m o é ste . Lu e g o ,
e la b ó re n s e y c o lo ré e n s e o tro s d is e ñ o s u sa n d o
c írc u lo s y s e g m e n to s p o r el p ro c e d im ie n to
d e s c rito a n te s . P ue d e n h a c e rs e c o n c u rs o s d e
d is e ñ o s c o n re g la y c o m p á s.
.......... ■
12. CD-
1.3
A lg u n a s fig u ra s g e o m é tric a s b á s ic a s
19. N ó m brense con sím bolos las c u a tro rectas trazadas en
esta figura. N óm brese una recta que n o se h ay a trazado.
20. N ó m brense ocho segm entos trazados. N ó m brense a h o ra
varios que no lo estén.
E n los ejercicios 21 a 24, elíjanse los dos sím bolos que hacen
referencia al m ism o co n ju n to de la figura.
21. M
A B , p.
23. BC , CB, B D .
22. A E , A d , q .
24. B C , B D , D B.
25. N óm brense seis ángulos distintos de la figura.
26. T rácense y recórtense dos triángulos
com o A D EF. C oloqúense estos
triángulos i un to s p a ra fo rm ar tan to s
cu adriláteros com o sea posible.
(Ejercicio 26)
27. ¿Es CD el m ism o segm ento q u e £>C? ¿ P o r qué?
28. ¿Es CD el m ism o rayo que D C ? ¿P or qué?
29. M árquense tre s p u n to s com o los que
se m uestran a la derecha. C o n ellos,
trácense L B A C , L A B C y L A C B .
¿Consiste la figura resultante en tres
rectas o en tres segm entos? ¿Es un
triángulo? ¿P or qué?
B
A •
30. C ítense p o r lo m enos ocho triángulos
en esta figura.
31. D ibújese esta figura y trácese un segm ento que añ ad a
exactam ente o tro s tres triángulos.
32. C ítense p o r lo m enos ocho cuad rilátero s en esta figura.
SOLUCION D E PR O BLEM A S_____
¿ C óm o p o d ría n u n irs e s e is p a lillo s d e m a n e ra q u e
se fo rm e n c u a tro triá n g u lo s ?
(S u g e re n c ia : co n in d e p e n d e n c ia d e l ta m a ñ o d e los
p a lillo s , s e n e c e s ita rá b a s ta n te e s p a c io .)
C
19
20
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
1 .a segmentos
y ángulos;
congruencia
y medición
E l h o m b r e q u e a p a re c e e n el d ib u jo c o r ta r á
u n a ta b la p a r a q u e m id a 0.5 m d e la r g o y
te n g a u n b o r d e c o n á n g u lo d e 45 °. P rim e ro ,
tie n e q u e m e d ir.
L o s d e ta lle s s o b r e la s p r o p ie d a d e s b á sic a s
d e la m e d ic ió n d e á n g u lo s y s e g m e n to s se
p r e s e n ta r á n e n la se c c ió n 2.8.
L a m ed ició n d e la lo n g itu d a s ig n a u n n ú m e r o re a l a c a d a se g m e n to .
A
---------- B
h
c e n tím e tro s
h
>3
<4^
L a lo n g itu d d e A B es 3.5 cm .
Se e scrib e: A B = 3.5.
H a y u n a m a n e r a e sp e c ia l p a r a d e s c rib ir d o s s e g m e n to s d e la m ism a lo n g itu d .
Se dice: A B es c o n g ru e n te
c o n CD.
S e escrib e: A B = CD
A lg u n a s v eces se m a rc a n
lo s s e g m e n to s p a r a
m o s tr a r q u e so n
c o n g ru e n te s.
Definición 1.13
D os segmentos son
congruentes si tienen la
m ism a longitud.
L a m edición d e á n g u lo s a s ig n a a c a d a á n g u lo u n n ú m e ro re a l e n tr e 0 y 180.
L a m ed id a en g ra d o s de
¿ A B C es 40.
S e e scrib e: m L A B C = 40
A lg u n a s v eces se escrib e
q u e L A B C m id e 40°.
H a y u n a m a n e r a e sp e c ia l d e d e s c rib ir d o s á n g u lo s d e la m is m a m e d id a .
Se dice: L A B C es
c o n g r u e n te c o n L D E F .
Se e scrib e: ¿ A B C s ¿ D E F .
Definición 1.14
D o s ángulos son congruentes
si tienen la m ism a m edida.
1.4
S e g m e n to s y á n g u lo s ; c o n g ru e n c ia y m e d ic ió n
21
L o s d is e ñ a d o re s e m p le a n g r a n v a r ie d a d d e in s tr u m e n to s y té c n ic a s de
d ib u jo p a r a e la b o r a r p la n o s e x a c to s d e p ro y e c to s d e c o n s tru c c ió n . E n
g e o m e tría , se d e b e c o n o c e r el u s o d e d o s in s tr u m e n to s — la re g la sin
g r a d u a r y el c o m p á s — p a r a h a c e r tip o s e sp e c ia le s d e d ib u jo s lla m a d o s
co n struccio n es. L a s d o s c o n s tru c c io n e s q u e se d e s c rib e n a c o n tin u a c ió n
u tiliz a n el c o n c e p to d e c o n g ru e n c ia d e fin id o a n tes.
Construcción 1 . constrúyase un segm ento congruente
con un segm ento dado. (Cópiese un segmento.)
Con el mismo
compás, cópiese
un segmento
sobre el rayo.
2. Trácese un
rayo que tenga
m ayor longitud
que el segmento
dado.
1. Abrase el
compás a la
longitud del
segmento
dado.
Segm ento dado
Construcción 2. construyase un ángulo congruente con
un ángulo dado. (Cópiese un ángulo.)
1. Trácese un
arco que
interseque
ambos rayos
del ángulo
dado.
2 . Trácese un
rayo que sirva
como un lado
del ángulo
copia.
3. Con el mismo
compás, abierto
como en el
prim er paso
(1 ), trácese un
arco que cruce
el rayo.
5. Con el
compás a esa
misma
abertura
trácese un
arco.
S. Trácese el
segundo lado
para
com pletar la
copia del
ángulo ciado.
A ngulo dado
Abrase el
compás a la
m edida de la
abertura del
ángulo dado.
Angulo dado
L o s tre s tip o s d e á n g u lo s e x is te n te s se d e fin e n a c o n tin u a c ió n . E m p lé e se la
c o n s tru c c ió n 2 p a r a tr a z a r tr e s á n g u lo s c o n g ru e n te s c o n c a d a u n o d e los
sig u ien tes:
■90°
D
K
l
Definición 1.15
Definición 1.16
Definición 1.17
U n ángulo agudo es un
ángulo que m ide m enos de 90°
U n ángulo recto es u n ángulo
q u e m ide 90°.
Un ángulo obtuso es un
ángulo que m ide m ás de 90°.
22
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
EJERCICIOS
A.
1. C o n u n a regla g ra d u a d a en
centím etros, encuéntrese la longitud de
este segm ento. A B = _L
A
•B
2. T rácense segm entos de las longitudes siguientes:
CD - 8 cm
E F = 5.6 cm
GH = 7.5 cm
Con la regla sin g ra d u a r y el com pás, construyanse tres
segm entos congruentes con cada uno de los dibujados.
3. E scríbase u n a proposición con s o con £ («no es
congruente con») p a ra cada uno de los tres pares de
segm entos siguientes.
1/»—
-
2
M
N
X
T rácense estos ángulos en un papel. C on un transportador,
lo T S r d e c a lT n g u t: “ “
5.
m ¿ABC = X
6.
P r° ' ° ngarSe
m¿_ D E F = _L
m L IH J =
8. Clasifiquense los ángulos de los ejercicios 4 a 7 en aeudos
rectos y obtusos.
9. C on una regla sin g ra d u a r y un com pás, construyanse
ángulos congruentes con cada uno de los que aparecen en
los ejercicios 4 a 7.
ACTIVIDADES!
Se n e c e s ita un a m a triz d e p u n to s d e 5 x 5. D os
p u n to s so n e x tre m o s d e un s e g m e n to . Dos
s e g m e n to s co n un e x tre m o c o m ú n d e te rm in a n un
á n g u lo .
a. ¿ C uán tas lo n g itu d e s d ife re n te s d e s e g m e n to s
p u e d e n tra z a rs e e n u n a m a triz d e 5 x 5 ?
b. ¿ C u á n ta s m e d id a s d ife re n te s d e á n g u lo s
p u e d e n tra z a rs e en u n a m a triz d e 5 x 5 ?
7.
1.4
S e g m e n to s y á n g u lo s ; c o n g ru e n c ia y m e d ic ió n
23
B.
10. N ó m brense c u atro ángulos rectos en esta figura.
11. N óm brense c u atro ángulos agudos.
-
12. N ó m brense c u atro ángulos obtusos.
4
Los segm entos con longitudes a y b se m uestran a continuación
13. C onstruyase un segm ento con longitud 2a.
14. C onstruyase u n
segm ento con longitud a + b.
15. C onstruyase un
segm ento con longitud b —a.
Se m uestran los ángulos con m edidas x e y.
16. C onstruyase un
ángulo que m ida x + y.
17. C onstruyase un
ángulo que m ida x - y.
18. C onstruyase un ángulo que m id a 3y.
19. U n avión vuela en dirección sureste. ¿C uántos grados gira
al cam biar su curso h acia el sursuroeste?
c.
20. C onstruyase A A B C con lad o A B y
ángulos A y B.
21. Síganse estas instrucciones p a ra dividir el segm ento A B en
tres segm entos congruentes.
a. T rácese un ray o a p a rtir del p u n to A y m árquense
sobre él tres segm entos congruentes.
b. Trácese EB.
c. Em pléese la construcción 2 p a ra copiar
L A E B en D y después en C.
d. Los lados_de los ángulos copiados
dividen A B en tres segm entos
congruentes.
_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS
Un g ra n je ro q u ie re s e p a ra r e s ta s o n c e o v e ja s
c o n s tru y e n d o o n ce c o rra le s e x a c ta m e n te
co n c u a tro v a lla s re c ta s .
¿ C óm o p u e d e h a c e rlo ?
W
(Las v a lla s se p u e d e n c ru z a r.)
lB
A-
■B
24
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
1.5
Bisectrices
del segm ento
y del ángulo
E n u n d ia m a n te d e b é is b o l, la s e g u n d a b a se
e s tá a la m is m a d is ta n c ia d e la s d o s lin eas
d e fo u l. H o m e , la p r im e r a b a se , la s e g u n d a
b a s e y la te r c e r a b ase, e s tá n e n la s e s q u in a s
d e u n c u a d r a d o . ¿ E s tá el m o n tíc u lo d e l
la n z a d o r en el p u n t o m e d io en tre:
a. hom e y la s e g u n d a b a se ?
b . la p r im e r a b a se y la te rc e ra ?
c. n in g u n a d e la s a n te rio re s ?
L a m a r c a c ió n d e u n d ia m a n te d e b é isb o l in c lu y e lo s c o n c e p to s y los
p ro c e d im ie n to s d e c o n s tr u c c ió n q u e se e x p lic a n a c o n tin u a c ió n .
El ra y o B D es la bisectriz
de ¿LABC . T o d o s lo s
p u n to s d e B Ú e s tá n a la
m is m a d is ta n c ia d e los
la d o s d e L A B C .
Definición 1.18
La bisectriz de un ángulo
A B C es un rayo BD en el
interior de L AB C , de
m anera que L A B D « L D B C .
Definición 1.19
E l p u n t o C _es el p u n to
m e d io d e A B .
El punto medio de un
segm ento es un punto C
entre A_y B, de m an era que
A C = CB.
Definición 1.20
R S , M T , la re c ta i y el_
p la n o N in te rs e c a n a PQ
e n el p u n to m e d io M , y
s o n b ise c tric e s d e PQ.
L a bisectriz de un segmento
es cualquier p unto, segm ento,
rayo, recta o plano que
contenga al p u n to m edio del
segmento.
1.5
B is e c tric e s d e l s e g m e n to y d e l á n g u lo
A c o n tin u a c ió n se d e s c rib e n lo s m é to d o s p a r a b is e c a r u n á n g u lo y u n
se g m e n to .
Construcción 3. Bisecar un ángulo.
2. Con S como
centro,
trácese un
arco que
interseque
ambos lados
ael ángulo
en F y G.
1. Dado el ángulo
ABC,
A ¿p.
C
4.
Con G como
centro y la misma
\p
abertura de compás
« •«'y'J
que en el
A
tercer paso,
-— I
trácese un
\\
M
arco que cruce
al prim ero.
Construcción 4.
1. Dado el
segmento
de recta AB,
3. Con F como
centro, trácese
un arco en
el interior
del ángulo.
5. Unanse B y
el punto de
intersección
de los arcos
para marcar
la bisectriz
del ángulo.
Bisecar un segmento.
2. Con A como
centro y el
compás con
una abertura
mayor que la
mitad de AB,
trácese un arco
sem icircular.
E s te d ia g r a m a m u e s tr a c ó m o la
b ise c c ió n d e u n á n g u lo r e s u lta ú til e n la
m a rc a c ió n d e u n d ia m a n te d e b é isb o l.
O b sé rv e s e q u e el m o n tíc u lo d el la n z a d o r
e s tá s o b re la b is e c triz d e l á n g u lo , a 60
p ies y 6 p u lg a d a s d e h om e. N o e s tá s o b re
u n a re c ta q u e v a y a d e la p r im e r a b a s e a
la te rc e ra , n i e s tá e n el p u n to m e d io d e la
r e c ta q u e v a d e hom e a la s e g u n d a b ase.
3. Con S como centro
y el compás con
la misma abertura
que en 2, trácese
un arco
sem icircular
que interseque
al p rim e r arco.
4. Unanse los
dos puntos de
intersección
para
com pletar la
construcción
de la
bisectriz de
AB.
25
26
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
EJERCICIO S_________
1. Trácese un segm ento A B . Biséquese AB.
2. Trácese un segm ento A B . C onstruyase un p u n to N de tal
m anera que A N = {A B .
3. ¿Q ué o tras fracciones de A B se pueden construir?
4. T rácense ángulos cuya m edida se aproxim e a la de los ángulos
A , B y C. C onstruyanse las bisectrices de estos ángulos.
5. Trácese este triángulo. Biséquese
ángulo. ¿Son concurrentes las
bisectrices de los ángulos?
6. L a bisectriz de L X Y Z es Y T . Escribanse los nom bres
de los ángulos congruentes que se forman.
ACTIVIDADES
P a ra c o n stru ir e s to s d is e ñ o s e s n e c e s a rio b is e c a r án g ulos.
1. C o n s tru y a s e y c o lo ré e s e
uno de e s to s d ise ñ o s.
2. Con un c o m p á s y una
re g la , c o n s tru y a s e un
d ise ñ o o rig in al q u e
re q u ie ra la b isecció n
d e án g u lo s.
1.5
B is e c tric e s d e l s e g m e n to y d e l á n g u lo
27
B.
P ara realizar los ejercicios 7 a 10, deben usarse las
construcciones. Si se desea, puede copiarse el ángulo recto
AB C . N o debe utilizarse el tran sp o rtad o r.
7.
C onstruyase u n áng u lo de 45°.
8. C onstruyase un ángulo de 22^°.
9. C onstruyase un áng u lo de 135°.
10. C on struyase un ángulo de 67^°.
(E jercicio s 7-10)
11. T rácense d os ángulos agudos; llám ense L J y L K .
C onstruyase un tercer ángulo que m ida j ( m / - J + m ¿ K).
N o debe utilizarse el tra n sp o rta d o r
12. D ibújense las c u atro direcciones
señaladas en una brújula. C o n una
regla y un com pás, trácese u n a recta
que ap u n te hacia el nornoreste.
c.
13. C onstrúyase u n ángulo de 112^°.
14. C onstruyase un ángulo de 82
15. C onstrúyase un ángulo de 157-j0.
16. C onstrúyase un ángulo de 97^°.
17. E n este diag ram a, B F biseca a L EBG,
m L A B C = 90, m L A B E = 20,
m L G B C = 24. ¿Q ué es m L A B F = ?
18. C onstrúyase un segm ento de longitud
4CD - \A B .
A ---------------------------•D
O
_ SOLUCION D E PROBLEMAS
Un c o m p á s o xid a d o p ie rd e su m o v im ie n to y s ie m p re tie n e
la m is m a a u e ríu ra .
Un c o m p á s p le g a b le , e n c a m b io , v u e lv e a c e rra rs e en
c u a n to se s e p a ra d e l p a p e l.
A
1. B is é q u e s e A B con:
a. un c o m p á s p le g a b le
b. un c o m p á s o x id a d o con
a b e rtu ra de C a D.
C
D
2. B is é q u e s e un á n g u lo co n :
a. un c o m p á s p le g a b le .
b. un c o m p á s o x id a d o .
•B
28
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
1.6
Rectas y planos
perpendiculares
E n n u e s tr a v id a c o tid ia n a h a y m u c h o s e je m p lo s d e re c ta s y p la n o s
p e rp e n d ic u la re s . A lg u n o s d e e s to s e je m p lo s se e m p le a n e n la s d efin icio n e s
sig u ien tes.
Modelo físico
Figura, descripción
D efinición
90°^ _j90°
------------ J L —
— -------?— —
90°
90°
t es p e r p e n d ic u la r a m.
Se e scrib e: l _L m.
Definición 1.21
D os rectas son
perpendiculares si al
intersecarse form an ángulos
rectos congruentes.
A p a r t i r d e p ro p o s ic io n e s sim p le s q u e p u e d e n d e m o s tra rs e , se in te r p r e ta r á
e s ta d e fin ic ió n d e p erp en d icu la r in c lu y e n d o lo s sig u ie n te s c o n c e p to s:
1. C u an d o dos rectas son perpendiculares, to d o s los ángulos que se form an
m iden 90c (ángulos rectos) y son congruentes.
2. C u an d o d os rectas se intersecan p a ra form ar uno, dos o
tres ángulos de 90° (ángulos rectos), form an cuatro
ángulos rectos y son perpendiculares.
3. C u an d o dos rectas se intersecan p a ra form ar un p a r de ángulos
congruentes con un lado com ún, las rectas son perpendiculares.
Definición 1.22
L a r e c ta ( e s p e r p e n d ic u la r
a la s re c ta s m , n, p, etc.;
p o r ta n to , la r e c ta l es
p e r p e n d ic u la r a l p la n o .
U n a recta es perpendicular a
un plano si es perpendicular
cada una de las rectas del
plano que intersecan a la
recta.
Definición 1.23
L a r e c ta m d e l p la n o B es
p e r p e n d ic u la r a l p la n o A;
p o r ta n to , el p la n o B es
p e r p e n d ic u la r a l p la n o A .
D os planos son
perpendiculares si en uno de
ellos hay u n a recta que es
perpendicular al otro.
1.6
R e c ta s y p la n o s p e rp e n d ic u la re s
29
l
Definición 1.24
I
M
D
es la b is e c triz
p e r p e n d ic u la r d e CD.
t
L a bisectriz perpendicular de
un segm ento es una recta
perpendicular al segm ento y
contiene su p u n to medio.
Definición 1.25
A
r
A B es la d is ta n c ia d el
p u n to A a la r e c ta ( .
La distancia entre un punto y
una recta es la longitud del
segm ento tra z a d o desde el
p u n to perpendicular a la
recta.
E n la c o n s tr u c c ió n 4 se tr a z ó la b is e c triz p e r p e n d ic u la r d e u n se g m e n to .
L a s sig u ie n te s s o n o tr a s d o s c o n s tru c c io n e s im p o r ta n te s q u e in c lu y e n
re c ta s p e rp e n d ic u la re s .
Construcción 5. constrúyase una perpendicular a una recta
que pase por un punto dado de la recta.
1. Dados una
recta t y un
punto P d e t ,
2. Trácese un arco
a cada lado de P.
3 . Trácense dos arcos
que se crucen a rrib a
4. Trácese la
perpendicular
a la recta t
por P.
P
Construcción 6. constrúyase una perpendicular a una recta
que pase por un punto dado fuera de la recta.
1. Dados una
recta í y un
punto P fuera
de la recta t ,
2. Trácense dos
arcos que
corten la
3. Trácense dos
arcos que se
crucen por
4. Trácese la
perpendicular
a la recta t ,
por P.
P
30
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
EJERCICIOS_________
A.
1- / / = Z 2. ¿Q ué puede concluirse sobre las rectas j y /c? j
n
2. m L 3 es 90. ¿Q ué puede decirse sobre las rectas m y n y
los ángulos 1, 2 y 4?
m
1 2
3. Trácese un segm ento PQ. C onstruyase la bisectriz perpendicular de PQ.
4 J j
90“
4. Trácese una recta l . C onstrúyase u n a recta perpendicular a t
que contenga al p u n to A de L
T rácese una recta m y un p u n to P que no esté en m.
C onstrúyase una recta perpendicular a m que pase p o r P.
á
C ítense c u atro rectas que sean perpendiculares
al p lan o ABCD .
C ítense c u atro pares de planos perpendiculares.
^
(Ejercicios 6, 7)
8.
r
L a recta r es p e rp e n d ic u la r a l p la n o Z . ¿Qué puede
decirse sobre las rectas r, m y n i
n y
/
Z
B.
9. C onstrú yase u n re c tá n g u lo co n lados
congruentes co n A B y CD.
A -
ACTIVIDADES!
E stas in s tru c c io n e s m u e s tra n c ó m o u s a r u n a h o ja de
p lá s tic o de c o lo r p a ra c o n s tru ir u n a p e rp e n d ic u la r a
u n a re c ta q u e p a se p o r un p u n to q u e no e s tá en la
re c ta (C o n s tru c c ió n 6). E x p liq ú e s e c ó m o re a liz a r las
c o n s tru c c io n e s 3, 4 y 5 d e e s te c a p ítu lo u s a n d o la
h o ja d e p lá s tic o .
C o ló q u e s e la h o ja d e p lá s tic o p e rp e n d ic u la r al
p la n o s o b re e l q ue se tr a b a ja r á (m e s a , p a p e l, etc.),
co n un b o rd e p ró x im o a l p u n to P , d e ta l m a n e ra que
la im a g e n v is u a l de la m ita d d e la re c ta (, fre n te a la
h o ja d e p lá s tic o , e s té e x a c ta m e n te a la m ita d d e la
re c ta l q u e e s tá d e trá s d e d ic h a h o ja ..H á g a s e el
d ib u jo ju n to a l b o rd e p a ra p ro d u c ir la p e rp e n d ic u la r a
la re c ta l p o r el p u n to P.
>B
C
---------------- - D
1.6
R e c ta s y p la n o s p e rp e n d ic u la re s
Q
j \ 10. C onstruyase u n trián g u lo con un ángulo_de 4 5 _
y lados congruentes con los segm entos PQ y R S.
(N o se debe utilizar el tran sp o rtad o r.)
11. Apliqúese la construcción 5 p a ra hacer
un cu ad rad o con lados A B
31
- S
A
B
12. T rácese un triángulo_/l BC. Apliqúese la_construcción 6 p a ra trazar
un p u n to D sobre BC de m an era q u e AD sea perpendicular a BC.
13. ¿Es el p lan o X perpendicular al plano Y? D e acuerdo con la
definición de los planos perpendiculares, ¿qué inform ación se
requiere p a ra asegurarse de que los p lan o s son perpendiculares?
T rácese el m apa que se m uestra a
14. D os ciudades necesitan un servicio adicional
continuación y determ ínese m ediante una
de agua. Se decidió co n stru ir u n a p la n ta
construcción el p u n to en que debe
pu rificadora de agua ju n to a un rio cercano
colocarse la p lan ta p a ra satisfacer estos
y can alizar el agua desde la p la n ta hasta
objetivos.
cada ciudad. C ad a ciudad p a g a rá la
instalación de las tub erías que irán de la
plan ta a ella. L a p la n ta debe ubicarse a la m ism a
distancia de las d os ciudades.
15. O tro objetivo a cum plir al d eterm inar
el p u n to en que debe ubicarse la
p lan ta purificadora de a g u a del
ejercicio 14 es que las ciudades
c o m p a rta n de form a eq u itativ a todos
los gastos. Este plan im plica que la
longitud to tal de la tuberia debe ser la
m ínim a necesaria. ¿D ónde debe
(E jercicio s 14, 15)
colocarse la p lan ta purificadora?
T rácese el m apa y búsquese la
ubicación idónea de la planta.
_ SOLUCION D E PROBLEMAS
Los s ig u ie n te s s o n c u a tro c u b o s id én tico s d e los q u e s e han ex traíd o una
o m á s p o rc io n e s c ú b ic a s ta m b ié n d e idéntico tam añ o .
C o m p á re s e c a d a p a r d e fig u ras: A y 6 , A y C, A y D, B y C, 6 y D y C y D.
¿C uál d e e s to s p a r e s p o d ría s e r el m ism o (d e p e n d ie n d o d e la e sq u in a
p o ste rio r q u e no e s tá a la v ista)?
32
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
1.7
polígonos
L a s fig u ra s g e o m é tric a s
fo rm a d a s p o r lín e a s re c ta s
s o n m u y c o m u n e s en
n u e s tro m u n d o . T a le s
fig u ras re c ib e n el n o m b r e de
polígonos.
E s te p o líg o n o tie n e o c h o
la d o s . L o s p u n to s A , B , C,
D , E , F , G y H s o n su s
v é rtic e s. A c a d a s e g m e n to de
u n p o líg o n o se le lla m a lado.
Se escrib e:
p o líg o n o A B C D E F G H .
Definición 1.26
U n polígono es la unión de
segm entos que se ju n ta n sólo
en sus extrem os, de tal m anera
que: (1) com o m áxim o, dos
segm entos se en cuentran en un
p u n to , y (2) cada segm ento
to ca exactam ente a o tro s dos.
L o s p o lig o n o s re c ib e n u n n o m b r e p a r tic u la r d e a c u e rd o
c o n el n ú m e r o d e la d o s q u e te n g a n . P o r e je m p lo : triá n g u lo , 3 lad o s;
c u a d rilá te ro , 4 la d o s ; p e n tá g o n o , 5 la d o s; h e x á g o n o , 6 la d o s; h e p tá g o n o ,
7 la d o s; o c tá g o n o , 8 la d o s . U n p o líg o n o c o n n la d o s p o d r ía lla m a rs e n-gono.
L a s d e fin ic io n e s sig u ie n te s p r o p o r c io n a n m á s in fo rm a c ió n s o b re lo s p o líg o n o s.
C
D
L o s e x tre m o s d e A C so n
v é rtic e s n o c o n s e c u tiv o s
d e l p o líg o n o A B C D E . A C
es u n a d e la s d iagonales
d e l p o líg o n o .
Definición 1.27
U n a diagonal de un polígono
es un segm ento que to ca dos
vértices no consecutivos
cualesquiera del polígono.
J
C a d a d ia g o n a l d e_ este
p o líg o n o , c o m o P R , e s tá
e n el in te r io r d e l p o líg o n o .
P Q R S T es u n p o líg o n o
co n v ex o .
P o r lo m e n o s
d ia g o n a le s d e
n o e s tá e n s u
G H IJ K n o es
convexo.
u n a d e las
e ste p o líg o n o
in te rio r.
u n p o líg o n o
Definición 1.28
U n polígono es convexo si
to d as sus diagonales están en
el in terio r del polígono.
1.7
P o líg o n o s
33
L o s tr iá n g u lo s c o n la d o s c o n g ru e n te s tie n e n n o m b r e s esp eciales.
Definición 1.29
A B ^ B C ^ A C
A B ^ A C
Definición 1.30
L A e s e l á n g u lo del
vértice. L B y L C s o n los
á n g u lo s de la base.
U n triángulo isósceles es un
triángulo q u e tiene dos lados
congruentes entre sí.
A lg u n o s p o líg o n o s tie n e n
c a ra c te rís tic a s q u e los
c o n v ie rte n e n p o lígonos
regulares.
Definición 1.31
T o d o s lo s la d o s s o n d e
ig u a l lo n g itu d . T o d o s los
á n g u lo s m id e n lo m ism o .
A B C D E F G es un
p o líg o n o re g u la r.
U n triángulo equilátero es
aquel cuyos lados son todos
congruentes entre sí.
U n polígono regular es aquel
cuyos lados son congruentes
entre sí, y to dos sus ángulos
tam bién son congruentes
entre sí.
34
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
EJERCICIOS________________ _ _ _
A.
En los ejercicios 1 a 4, selecciónese la figura que no es un
polígono regular. Expliqúese p o r qué no lo es.
1.
3.
c.
5. ¿Cuáles de las figuras anteriores son polígonos convexos?
P o r ejemplo, la figura le es un polígono convexo.
6. Trácese un octágono convexo. Trácese un a de sus
diagonales.
7. Trácese un octágono no convexo.
8. Identifiqúese cada triángulo com o equilátero,
isósceles o ninguno de ellos. Empléese u n a regla. a.
9. ¿Cuáles de los siguientes son polígonos regulares?
a.
D
d.
10. Trácense tan tas diagonales com o sea posible p a ra cada
un o de los polígonos anteriores
ACTIVIDADES
P a ra c o n s tr u ir un h e x á g o n o re g u la r p u e d e u s a rs e el
m é to d o de c o n s tru c c ió n co n re g la y c o m p á s d e s c rito en las
a c tiv id a d e s de la s e c c ió n 1.3.
C o m b ín e s e e s te m é to d o co n la b is e c c ió n de á n g u lo s y la
c o n s tru c c ió n d e b is e c tric e s p e rp e n d ic u la re s p a ra c o n s tru ir:
a . un d o d e c á g o n o re g u la r
b. un o c tá g o n o re g u la r
c. un p o líg o n o re g u la r de 16 la d o s.
(Ejercicios 9, 10)
1.7
P o líg o n o s
35
B
11. A B C D E es un p en tág o n o regular. N óm brense tantos
triángulos isósceles com o sea posible. (Si un triángulo
parece isósceles, puede suponerse que lo es.)
12. Algunas letras del alfabeto pueden dibujarse
con la form a de un polígono, pero o tras no. se neces|
D ibújense con form a de polígonos tan tas
dos polígonos
letras com o sea posible.
13. U n a llave de tuercas fija tiene lados paralelos. ¿Q ué puede
suponerse acerca del núm ero de caras de la tuerca a la
que co rresponde esta llave?
14. El vástago de la válvula de u n a to m a de agua para
incendios suele tener form a de p en tág o n o regular, en lugar
de la form a usual de hexágono regular. ¿A qué puede ser
debido?
un polígono
15. La figura que aparece a la derecha
contiene ejem plos de diferentes
polígonos: desde trián g u lo s hasta
decágonos. E ncuéntrese y cítese cada
uno.
16. C on un tra n sp o rta d o r y una regla, trácese un octágono
cuyos lados tengan cinco longitudes diferentes y los
ángulos de los vértices m idan 135°.
SOLUCION DE PROBLEMAS _
E ra tó s te n e s (275 a. d e C.) c a lc u ló la
c irc u n fe re n c ia de la T ie rra c o n un m é to d o
in g e n io s o . S u p u so q u e lo s ra y o s d e l S ol e ra n
p a ra le lo s , y d e s c u b rió q u e c u a n d o el S ol se
e n c o n tra b a e x a c ta m e n te s o b re A le ja n d ría , s u s
ra y o s fo rm a b a n u n á n g u lo d e 7 i° co n un
p o ste v e rtic a l s itu a d o a 500 m illa s , en S ie n a
(A su á n ). A d e m á s , s u p u s o q u e el á n g u lo
c e n tra l a ta m b ié n m e d ía 7¡°. D e d u jo q u e la
re la c ió n del á n g u lo c e n tra l a a 500 m illa s
s e ría ig u a l a la re la c ió n d e l to ta l d e g ra d o s
de un c irc u lo p a ra c o m p le ta r la lo n g itu d d e la
c irc u n fe re n c ia d e la T ie rra . D e fín a s e la
p ro p o rc ió n y h á lle s e la d is ta n c ia .
T ie rra
36
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
Capítulo 1
Conceptos im portantes
Términos
P u n to (pág. 10)
Recta (pág. 10)
P lano (pág. 11)
E spacio (pág. 11)
P u n to s colineales (pág. 13)
P u n to s coplanares (pág. 13)
R ectas intersecantes (pág. 13)
R ectas paralelas (pág. 13)
Rectas concurrentes (pág. 13)
Segm ento (pág. 16)
R ayo (pág. 16)
A ngulo (pág. 17)
T riáng u lo (pág. 17)
C u ad rilátero (pág. 17)
C írculo (pág. 17)
Segm entos congruentes (pág. 20)
A ngulos congruentes (pág. 20)
A ngulo agudo (pág. 21)
A ngulo recto (pág. 21)
A ngulo o b tu so (pág. 21)
Bisectriz de un ángulo (pág. 24)
P u n to m edio de un segm ento (pág. 24)
Bisectriz de u n segm ento (pág. 24)
R ectas perpendiculares (pág. 28)
Recta perpendicular a u n plano (pág. 28)
P lanos perpendiculares (pág. 28)
Bisectriz perpendicular (pág. 29)
D istancia de un p u n to a u n a recta (pág. 29)
Polígono (pág. 32)
D iagonal de un polígono (pág. 32)
P olígono convexo (pág. 32)
T riángulo equilátero (pág. 33)
T riángulo isósceles (pág. 33)
P olígono regular (pág. 33)
Construcciones
C ópiese un segm ento (pág. 21)
Cópiese un áng u lo (pág. 21)
Biséquese un ángulo (pág. 25)
Biséquese u n segm ento (pág. 25)
C onstrúyase una perpendicular a una recta
que pase p o r un p u n to dad o sobre la
recta (pág. 29)
C onstrúyase u n a perpendicular a una recta
que pase p o r un p u n to d a d o fuera de la
recta (pág. 29)
Capítulo 1
Resumen
1. C ítense objetos que ilustren lo siguiente:
a. P u n to .
b. P lano.
d. Rectas intersecantes.
c. R ectas paralelas,
e. Polígono.
2. Indíquese si las afirm aciones siguientes son falsas o verdaderas.
a. U n ray o láser es un ejem plo m ejor de recta que un
ra y o .
b. M N n o es p erpendicular a X Y , p orque sólo se form an
dos ángulos rectos.
c. El p u n to C está en AB.
£^^
d. El p u n to C está en AB.
e. U n ra d io es un rayo.
f. D os segm entos son congruentes si tienen la m ism a
longitud.
3. ¿C uántos extrem os tienen una recta, un ray o y un
segmento?
4. ¿Es lo m ism o A B que BA1 ¿P or qué?
5. C onstruyase un ángulo de 135°.
6. Dibújese un ángulo o b tu so y trácese su bisectriz. ¿Son los
ángulos resultantes agudos, rectos u obtusos?
7. Trácese un triángulo A B C (bastan te grande). M árquese el
p u n to m edio de cada uno de los lados.
8. Trácese un segm ento que sea congruente con AB.
9. Trácese un segm ento de longitud {AB.
10. C opíense CD y P cn un papel y trácese u n a recta
perpendicular a CD que pase p o r P.
•
C
En los ejercicios 11 a 14, empléese la figura del cubo para
identificar lo siguiente:
11. D os planos paralelos.
12. U n a recta perpendicular al plano EFHG.
13. U n a recta paralela al p lan o C D E F pero que no sea
perpendicular al p lan o ABC-D.
14. L a intersección de los planos BCEG y BC FH .
-—
38
D e fin ic io n e s y c o n s tru c c io n e s
capítulo 1
1
Examen
C ítense objetos que ilustren lo siguiente:
a. Recta.
b.
Rectas concurrentes.
d. P olígono regular.
c. Rectas perpendiculares.
e. Espacio,
2. Indíquese si las afirm aciones siguientes son Talsas o
verdaderas.
a. D os p u n to s siem pre son colinealcs.
b. Si d os ángulos son congruentes, entonces am bos son
rectos.
c. El p u n to D está en A B .
,
CA
------- .
D
-----------
B
d. El p unto D está en AC.
e. U n d iám etro de un círculo es una recta.
f. U n triángulo isósceles debe tener tres lados congruentes.
3. ¿Es lo m ism o A B que BA1 ¿P or qué?
4. Si dos rectas son paralelas, ¿cuántos p u n to s tienen en
com ún?
5. D ibújese un cuadrilátero no convexo.
6. Dibújese un triángulo AB C . T rácese la bisectriz
de cada
ángulo.
7. T rácese un ángulo que sea congruente con ¿ A B C .
8. S in u sar el tra n s p o rta d o r, trácense c u a tro ángulos rectos
con un vértice co m ú n .
__
(Ejercicios 9, 10)
9. T rácese un segm ento congruente con AB.
10. M arqúese el p u n to m edio de AB.
a
En los ejercicios 11 a 14, empléese la figura del cubo e
identifiqúese lo siguiente:
11. U na recta paralela al plano ABU G .
12. U n p lan o perpendicular a É&.
13. U n a recta que n o sea paralela ni perpendicular a ninguna
cara del cubo.
14. L a in tersección de los p la n os A D F H y C D E t.
A
Técnicas para la solución de problemas
Dibujo de un diagrama
Puede resu ltar ag radable resolver problem as si se conocen
diversas m aneras de abordarlos. H ay varias técnicas para
resolver problem as de m atem áticas; u n a de ellas es d ibujar un
diagram a.
Ejemplo
E n el ray o A B , A C = 5 y A B = 2. E ncuéntrese BC. C om o
ayuda p a ra resolver este problem a, se d ib u jará un diagram a.
—
A
|----------------------------------------------1---- 1----------- 1----------- 1---------- *
B
C
En el diagram a se observa que B C = 3.
PROBLEMAS________________________________
Dibújense diagram as y resuélvanse los siguientes problem as.
1. E n el ray o Ñ P , N P = 4 y P M = 6. Encuéntrese N M .
2. En el ray o x \ , A Y = 15 e Y Z = 6. E ncuéntrese Z X .
3. ¿C uántos postes se necesitan p a ra cercar un terreno
rectan g u lar si en tre los postes debe h a b e r 5 pies de
distancia y el terreno m ide 20 pies p o r 30 pies?
4. Supóngase que un insecto cam ina sobre u n palo vertical y
sube dos pulgadas en dos m inutos; después, baja una
pulg ad a en un m inuto; de nuevo sube d os pulgadas en
dos m inutos, y a,sí sucesivam ente. Si sigue así, ¿cuánto
íiem po ta rd a rá en alcanzar un?, a ltu ra de 10 pulgadas?
5. U n a escalc:„ tiene diez escalones, cada u n o m ide un pie
de an ch o y un pie de altura. U n a horm iga em pieza desde
abajo del p rim er escalón y sube la escalera en línea recta.
¿Q ué distancia h a b rá recorrido la horm iga al llegar a la
parte m ás alta del últim o escalón?
6. En u n a escuela se tra z ó un circuito p a ra una carrera de
fondo en las calles de u n a ciudad. D esde el p u n to de
salida, los corredores av an zaro n 4 calles al este, 6 al norte,
2 al oeste, d os al sur, 5 al oeste, 3 al n o rte, 2 al oeste, 8 al
su r y 5 m ás hacia el este h a sta la m eta. Establézcase la
dirección y el núm ero de calles que se recorrieron desde la
salida h a sta la m eta.
Diseño interior: Teselados
U n d iseñador de interiores en cuentra ejemplos
de geom etría al seleccionar diseños de telas,
suelos y papel p a ra paredes. C o n frecuencia, en
diseño se em plea un concepto geom étrico
llam ado teselado. U n teselado es un co n ju n to de
polígonos dispuestos de form a que n o se
sobreponen unos a o tro s ni q u ed an separaciones
entre ellos.
L a cocina que aparece en la fotografía
tiene un suelo y un recubrim iento de azulejos
que son ejem plos de teselados.
¿Con que polígonos es posible hacer un
teselado sobre u n a superficie plana?
Al colocar un papel sobre un cu a d ra d o y
m arcarlo varias veces, puede elaborarse un
teselado de cuadros. En la fotografía se
m uestran o tro s teselados. Trácese en un papel
u n a porción de teselado usando aquellas figuras
de las que se m uestran a continuación que lo
perm itan. E ntre estas figuras hay dos que no
pueden usarse en un teselado, ¿cuáles son?
A
T rapecio
T riángulo
escaleno
C om eta
C u ad rilátero
n o convexo
U n cuadrilátero
cualquiera
H eptágono
T rián g u lo
eq u ilátero
P en tág o n o
T rián g u lo
isósceles
H ex ág o n o
¿Con qué com binaciones de polígonos regulares es posible hacer un
teselado sobre u n a superficie plana?
Pueden crearse diseños interesantes p a ra pisos
form ando teselados que com binen algunos de
los polígonos regulares que se m u estran a
continuación. El m odelo que aq u i se m uestra
tiene u n cuadrado, u n hexágono y un
dodecágono ro d ean d o cada punto; se le
denom ina con los núm eros (4, 6, 12), que
señalan el n ú m ero de lados de cada figura
em pleada y el orden exacto en que se
dispusieron alrededor del punto.
(4 ,6 ,1 2 )
T rácense las figuras siguientes p a ra m o stra r una parte de cad a uno de
los teselados que se sugieren a continuación. C oloréense de m an era que
resulten diseños interesantes.
(4, 8, 8)
(3, 4, 6 ,4 )
(3, 6, 3, 6)
(3, 3, 3, 4 ,4 )
H ex ág o n o
D o d ecág o n o
C u a d ra d o
(3, 12,12)
T rián g u lo
O ctág o n o
41
CAPITULO
2
2.1
E l p r o c e s o d e l r a z o n a m ie n to in d u c tiv o
2 .2
G e n e r a liz a c io n e s fa ls a s y c o n t r a e je m p lo s
2 .3
D e s a r r o llo d e la g e o m e t r ía p o r m e d io
2 .4
T ip o s d e p r o p o s ic io n e s S i - E n to n c e s
2 .5
R e c íp r o c a , in v e r s a y c o n t r a r r e c í p r o c a
d e l r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o
2 .6
E s q u e m a s d e r a z o n a m ie n to
P o s tu la d o s d e g e o m e t r ía
2 .8
A lg u n o s p o s tu la d o s s o b r e m e d ic ió n
R ep aso d e á lg e b ra
60
64
76
79
80
56
68
L a g e o m e tría en n u estro m undo
F o to g r a fía : le n te s
48
52
2 .7
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
44
72
R esum en
77
E xam en
78
Razonamiento
en geometría
43
44
R a z o n a m ie n to e n g e o m e tría
2.1
El proceso del razonamiento
inductivo
B .C . by perm ission o f Jo h n n y H a r t an d F ie ld E n terp rises, Inc.
E l r a z o n a m ie n to e s el p ro c e s o m e d ia n te el c u a l se s a c a n c o n c lu sio n e s a
p a r t i r d e la in fo rm a c ió n . E n o c a sio n e s, la g e n te s a c a c o n c lu s io n e s b a s a d a s
e n su s p r o p ia s o b se rv a c io n e s . A l o b s e r v a r v a r ia s veces q u e u n a a c c ió n
p ro d u c e el m is m o re s u lta d o , se c o n c lu y e , e n g e n e ra l, q u e e sa a c c ió n te n d r á
s ie m p re el m is m o r e s u lta d o . A e s ta c la se d e r a z o n a m ie n to se le lla m a
ra zo n a m ie n to in d u ctivo . Y a la c o n c lu s ió n q u e se s a c a d e l r a z o n a m ie n to
in d u c tiv o se le lla m a g en era liza ció n .
L o s tr e s e je m p lo s sig u ie n te s m u e s tr a n c ó m o p u e d e a p lic a rs e el
r a z o n a m ie n to in d u c tiv o e n g e o m e tría .
Ejemplo 1
S u p ó n g a s e q u e a lg u ie n c o r tó , d e u n a h o ja d e p a p e l, tre s
triá n g u lo s d ife re n te s.
L a s e s q u in a s d e c a d a tr iá n g u lo se c o r t a r o n y c o lo c a r o n ju n t a s ta l c o m o
se m u e s tr a a c o n tin u a c ió n .
¿ Q u é se o b s e r v a a c e rc a d e la s u m a d e la s m e d id a s d e lo s á n g u lo s? ¿E s
eso c ie rto p a r a io d o s lo s triá n g u lo s ?
C o m p lé te s e e s ta g e n e ra liz a c ió n :
L a s u m a d e la s m e d id a s d e lo s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo es J L
2.1
Ejemplo 2
El p ro c e s o d e l ra z o n a m ie n to in d u c tiv o
45
S u p ó n g a s e q u e a lg u ie n m id ió to d o s lo s la d o s
d e tr e s triá n g u lo s d ife re n te s.
E n e s to s tr iá n g u lo s , la s u m a d e la s lo n g itu d e s d e d o s la d o s es m a y o r q u e
la lo n g itu d d e l te rc e r la d o . ¿ E s ta l a firm a c ió n v e r d a d e r a p a r a to d o s lo s
triá n g u lo s?
C o m p lé te s e e s ta g e n e ra liz a c ió n :
L a s u m a d e la s lo n g itu d e s d e d o s la d o s d e u n tr iá n g u lo es -L q u e
la lo n g itu d d el te rc e r la d o .
Ejemplo 3
S u p ó n g a s e q u e a lg u ie n tr a z a la s b is e c tric e s d e c a d a
á n g u lo d e tre s tr iá n g u lo s d ife re n te s.
¿Se e n c o n tr a r á n to d a s la s b ise c tric e s d e c a d a tr iá n g u lo e n el p u n to P?
¿E s e sa a firm a c ió n v e r d a d e r a p a r a to d o s lo s triá n g u lo s ?
C o m p lé te s e e s ta g e n e ra liz a c ió n :
L a s b ise c tric e s d e lo s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo j L e n u n p u n to JL
(q u e e s tá fu e ra , s o b r e o d e n tr o ) d e l triá n g u lo .
R a z o n a m ie n to in d u ctiv o
E l p r o c e s o del
r a z o n a m ie n to
in d u c tiv o p u e d e d e s c rib irs e
c o m o se m u e s tr a aq u í.
P aso 1 Se observa que una propiedad es verdadera
para cad a caso que se verifica.
P aso 2 D a d o que la propiedad es verdadera en
to d o s los casos verificados, se concluye
que es verdadera p a ra to dos los dem ás
casos y se establece u n a generalización.
46
R a z o n a m ie n to en g e o m e tría
EJERCICIOS________
A.
C om plétese la generalización de los ejercicios 1 y 2.
L
Caso 1
Caso 2
Caso 3
E.
C
G
A
F
L A es un áng u lo recto
¿ £ es un ángulo recto
L y e s un ángulo recto
E n cada caso, ¿cuál de los tres lados del triángulo es el m ás largo?
Generalización: En un trián g u lo rectángulo, el lado opuesto al
ángulo recto es el lad o JL.
2.
Caso 1
C aso 3
C
D
Q
A
Y
D y E son p u n to s
medios. ¿Q ué relación
hay en tre D E y 0 8 ?
Q y R son puntos
m edios. ¿Qué relación
h ay en tre QR e YZ1
-X
P y Q son puntos
medios. ¿Q ué relación
hay entre PQ e YZ1
Generalización: L a m edida de un segm ento de recta que une los puntos m edios de
dos lados de un trián g u lo es JL el tercer lado.
ACTIVIDADES!
T o d a s las c u e rd a s d e te rm in a d a s p o r un c o n ju n to d e p u n to s
en un c írc u lo d iv id e n e l in te r io r d e l c írc u lo e n re g io n e s .
Puntos
--------------- -------------- ----
j
C l
I I U I I I C I Ü
d e re g io n e s p a ra 5, 6 y 7 p untos.
2. V e rifiq ú e s e la p re d ic c ió n d ib u ja n d o fig u ra s g ra n d e s
(c írc u lo s d e 20 c m d e d iá m e tro , p o r lo m e n o s ) q u e
m u e s tre n la c a n tid a d m á x im a d e re g io n e s p a ra 5, 6 y 7
puntos.
1
2
3
4
5
6
7
C a n tid a d
m á x im a d e
re g io n e s
0
2
4
8
_
2.1
El p ro c e s o d e l ra z o n a m ie n to in d u c tiv o
3. C ad a uno de los triángulos siguientes es un triángulo equilátero.
M ídanse los ángulos. (Si es necesario, prolongúense los lados.)
C ópiese y com plétese la generalización.
Generalización: Si un trián g u lo es equilátero, entonces tiene
ángulos J -.
4. C a d a uno de los triángulos siguientes tiene d os lados
congruentes. T rácense los triángulos isósceles y biséquense
los ángulos form ados p o r los lados congruentes. O bsérvese
la relación que existe entre la bisectriz y el lad o opuesto.
Generalización: En un trián g u lo con dos lados congruentes, la
bisectriz del ángulo form ado por éstos es _! al
JL
tercer lado.
5. T rácese A A B C con A B = B C = AC.
Elíjase un p u n to P en el interior del
trián g u lo y trácense las perpendiculares de
P a los lados del triángulo. M ídanse h, a, b
y c al m m m ás cercano. H ágase lo m ismo,
con p u n to s P diferentes, ta n ta s veces com o
sea necesario p ara form ular una
generalización.
SOLUCION D E PROBLEMAS.
E ste d is e ñ o de c u a tro p a lillo s re p re s e n ta un e s p e jo con
un a m o n e d a en é l.
M u é v a n s e s ó lo d o s p a lillo s p a ra fo r m a r un e s p e jo del
m is m o ta m a ñ o q u e é s te , p e ro d e ja n d o la m o n e d a (que no
d e b e m o v e rs e ) fu e ra d e l e s p e jo .
47
48
R a z o n a m ie n to en g e o m e tría
2.2 Generalizaciones falsas
y contraejemplos
¿LSUIEN ME
Oíj o qu e
si
P o n ía
UNA MONEDA E N
MI ZAPATO; M E
TRAERÍA SüfcNA
S U E K T E ......
A sí
i j . . . TENGO U A M PO U -A
MAS,GR&Npe. G>ue
T a m p s s e h a : j a v i s t o \\
E s ta c a r ic a tu ra ilu s tra
u n a s itu a c ió n e n la q u e u n a
g e n e ra liz a c ió n , q u e se
c o n s id e ra b a v e rd a d e ra ,
re s u ltó s e r d o lo ro s a m e n te
falsa.
LO ! IN T E N T É ......
C o p y rig h t, 1980, U niversal P ress S yndicate. A ll rig h ts reserved.
P a r a d e m o s tr a r q u e u n a g e n e ra liz a c ió n es fa lsa , su ele c ita rs e u n
co n traejem p lo .
L a s s itu a c io n e s q u e se p r e s e n ta n a c o n tin u a c ió n m u e s tra n c ó m o u n
c o n tra e je m p lo p o n e a l d e s c u b ie rto la fa lse d a d d e u n a g e n e ra liz ac ió n .
Ejemplo 1
G e n e ra liz a c ió n fa ls a : Si u n c u a d r ilá te r o tie n e c u a tr o la d o s
c o n g ru e n te s , tie n e c u a tr o á n g u lo s
c o n g ru e n te s .
C o m en ta rio : P a r a d e m o s tr a r q u e e s ta g e n e ra liz a c ió n es
falsa, d e b e p r e s e n ta r s e u n c u a d rilá te ro
c o n c u a tr o la d o s c o n g ru e n te s q u e no
te n g a c u a tr o á n g u lo s c o n g ru e n te s.
C o n tra e je m p lo : L a fig u ra E F G H tie n e to d o s su s la d o s
c o n g ru e n te s , p e ro L E n o es c o n g ru e n te
c o n L F.
G
2.2
G e n e ra liz a c io n e s fa ls a s y c o n tra e je m p lo s
49
Ejemplo 2
G e n e ra liz a c ió n fa lsa : Si u n c u a d r ilá te r o tie n e u n p a r d e la d o s
p a ra le lo s , tie n e u n p a r d e la d o s
c o n g ru e n te s .
C o m en ta rio : P a r a d e m o s tr a r q u e la g e n e ra liz a c ió n es
falsa, d e b e p r e s e n ta r s e u n c u a d r ilá te ro
c o n u n p a r d e la d o s p a r a le lo s q u e no
te n g a d o s la d o s c o n g ru e n te s .
C o n tra e je m p lo : L a fig u ra A B C D tie n e B C || A D , p e ro n o tie n e
d o s la d o s c o n g ru e n te s .
A L----------------------------- -------
Ejemplo 3
G e n e ra liz a c ió n fa lsa : Si u n tr iá n g u lo tie n e u n á n g u lo re c to , tie n e
d o s la d o s c o n g ru e n te s .
M
C o m en ta rio : P a r a d e m o s tr a r q u e la g e n e ra liz a c ió n es
fa lsa , d e b e p r e s e n ta r s e u n tr iá n g u lo c o n
u n á n g u lo re c to q u e no te n g a d o s la d o s
c o n g ru e n te s .
C o n tra e je m p lo : L a fig u ra T O M tie n e u n á n g u lo re cto
{L 0 ), p e ro su s tr e s la d o s tie n e n d ife re n te s
lo n g itu d e s .
U n c o n tr a e je m p lo p u e d e d e s c rib irs e c o m o se h a c e a q u í.
0
T
Definición 2.1
U n con tra e je m p lo es un solo
ejem plo que po n e en evidencia
la falsedad de u n a
generalización.
Ejemplo 4
E s ta fig u ra es u n c o n tr a e je m p lo p a r a la g e n e ra liz a c ió n fa lsa
sig u ien te .
Si d o s r e c ta s se in te rs e c a n , e n to n c e s f o r m a n á n g u lo s
recto s.
50
R a z o n a m ie n to e n g e o m e tría
EJERCICIOS________
A.
P a ra los ejercicios 1 y 2 se da u n a generalización basada en los
casos presentados. Indíquese si las generalizaciones son falsas o
verdaderas. Si alguna es falsa, dése un contraejem plo.
1.
Caso 1
C aso 2
Caso 3
D
W
, r> Z
^
ABW D C
_
/
Caso 4
A
V
'
U
--------------------- 5
E F \\H G
T
M N \\P O
/?S|| U T
Generalización: T o d o s los cu adriláteros tienen u n p a r de lados paralelos.
2.
Caso 1
D, E y F so n p u n to s m edios
El perím etro de A-4BC es el
doble del perím etro de
A DEF.
Caso 2
M , N y P so n p u n to s m edios
El perím etro de A X Y Z es el
doble del perím etro de
AM NP.
Generalización: El perím etro de un trián g ulo es el doble del
perím etro del trián g u lo form ado al unir los puntos
m edios de los lados del p rim er triángulo.
ACTIVIDADES!
L o s c o n tra e je m p lo s tie n e n un p a p e l im p o rta n te en la
c ie n c ia . U no de lo s o b je tiv o s d e los p ro g ra m a s de
in v e s tig a c ió n e s p a c ia l e s c o n firm a r la v a lid e z o in v a lid e z
d e la s te o ría s fo rm u la d a s p o r los c ie n tífic o s . Las
fo to g ra fía s tom adas, p o r el V o y a g e r d e lo s a n illo s d e
S a tu rn o d ie ro n re s u lta d o s s o rp re n d e n te s . A n te s d e los
v u e lo s e s p a c ia le s d e l V o y a g e r, lo s a s tró n o m o s s o s te n ía n
m u y d iv e rs a s te o ría s c o n re s p e c to a lo s a n illo s de
S a tu rn o . ¿ C o n s titu y ó a lg u n o d e lo s n u e v o s h a lla z g o s un
c o n tra e je m p lo de a lg u n a d e e s ta s te o ría s ?
B ú s q u e n s e a rtíc u lo s p e rio d ís tic o s o d e re v is ta s
c ie n tífic a s q ue a p o y e n s u s o b s e rv a c io n e s .
Caso 3
H, I, J so n p u n to s m edios
E1 perim etro de A R S T e s el
doble del perim etro de
A H IJ .
2.2
G e n e ra liz a c io n e s fa ls a s y c o n tra e je m p lo s
3. ¿P a ra cuál de las proposiciones siguientes seria un
contraejem plo la figura A B C D I
a. C u an d o to d o s los lados de un cuadrilátero tienen la m ism a
longitud, to d o s los ángulos m iden lo m ism o.
i—
L—
b. C u an d o to d o s los ángulos de un cuad rilátero tienen la
m ism a m edida, to d o s los lados son de igual longitud.
51
tí
c. C u an d o un p ar de lados de un cuadrilátero es congruente, el
segundo p a r de lados tam bién lo es.
4. ¿P a ra cuál de las proposiciones siguientes sería un
contraejem plo el polígono W X YZP.
a. U n polígono con lados congruentes es u n polígono regular.
b. U n polígono con ángulos congruentes es un polígono
regular.
c. U n c u a d ^ t e r o con ángulos congruentes es u n cuadrilátero
convexo.
2 cm
LY
1cm
J
1 cm
W
1
rZ
2 cm
En los ejercicios 5 y 6, indíquese si la proposición es falsa o
verdadera. Si es falsa, dése un contraejem plo.
5. D a d o cu alquier A A B C , la bisectriz perpejidicular de A B
interseca a la bisectriz perpendicular de BC en un p u n to dentro
del triángulo.
6. D ad o cualquier A A B C , la recta que pasa p o r A y es
perpendicular a { § y la recta que p asa p o r B y es
perpendicular a A C se intersecan en un p u n to den tro del
triángulo.
SOLUCION D E PROBLEM AS---------------------\
E sta d is p o s ic ió n d e n ú m e ro s , c o n o c id a c o m o tr iá n g u lo de
Pascal, re c ib e e s te n o m b re p o r e l m a te m á tic o fra n c é s
X
B la is e P a sca l (1623-1662).
1. O b s é rv e s e la relació n q u e e x iste e n tre c a d a n ú m ero y
los m á s p ró x im o s d e la fila s u p e rio r. C ó p ie se el d ise ñ o y
c o m p lé te n se p o r lo m e n o s o tra s tr e s filas.
2. E n c u é n tre s e la s u m a d e lo s n ú m e ro s d e c a d a fila .
E s ta b lé z c a s e un a g e n e ra liz a c ió n s o b re e s a s s u m a s.
3. E n c u é n tre n s e los p o lin o m io s p a ra (a + b ) z, (a + b )3 y
(a + b ) \ E s c ríb a s e u n a lis ta d e los c o e fic ie n te s d e los
té rm in o s d e c a d a p o lin o m io . E n u n c íe s e una
g e n e ra liz a c ió n d e la re la c ió n d e e s te e s q u e m a co n el
triá n g u lo d e P a sca l.
g
1
^
1
1
1
3
4
5
3
6
10
1
4
10
1
5
A 'v '
52
R a z o n a m ie n to e n g e o m e tría
2.3
Desarrollo de la geometría por medio
del razonamiento deductivo
H a s ta a h o r a se h a n b u s c a d o o b je to s de
n u e s tro m u n d o q u e su g ie re n c o n c e p to s
g e o m é tric o s. Se h a n e leg id o los c o n c e p to s
b ásic o s — p u n to , re c ta y p la n o — y se les h a
lla m a d o té rm in o s indefinidos.
A p a r t i r d e e sto s té rm in o s , se o b tu v ie ro n
definiciones p a r a d e sc rib ir o tr a s fig u ras
g e o m é tric a s, c o m o triá n g u lo s, se g m e n to s y
á n g u lo s. T a m b ié n se d e fin ie ro n relacio n es,
c o m o la c o n g ru e n c ia , el p a ra le lis m o y la
p e rp e n d ic u la rid a d .
D e s p u é s , se e m p le ó el ra z o n a m ie n to
inductivo p a r a d e s c u b rir a lg u n a s
g e n e ra liz a c io n e s s o b re e sta s fig u ras. E n este
p ro c e s o d e d e s c u b rim ie n to s se b u s c a ro n
c o n tra e je m p lo s q u e in v a lid a ra n las
g en eralizacio n es.
A h o ra es el m o m e n to d e d a r el sig u ien te
p aso . Se re q u ie re u n m é to d o p a r a c o m p r o b a r
q u e las g e n e ra liz ac io n e s d e s c u b ie rta s son
v e rd a d e ra s p a r a to d o s lo s caso s. E l m é to d o
q u e se e m p le a rá se lla m a ra z o n a m ie n to
deductivo. E n la s seccio n es sig u ie n te s se
e s tu d ia r á este m é to d o .
El p ro c e s o del r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o
re q u ie re la a c e p ta c ió n d e u n a s c u a n ta s
g e n e ra liz a c io n e s b á s ic a s sin c o m p ro b a rla s .
E sta s g e n e ra liz a c io n e s se lla m a n p o stu lad o s.
T o d a s la s d e m á s g e n e ra liz a c io n e s q u e
p u e d e n p r o b a r s e c o m o v e rd a d e ra s c o n la
a y u d a d e d efin icio n es, p o s tu la d o s y la ló g ica
d el r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o , se lla m a n
teo rem as.
F in a lm e n te , se u s a n los
te o re m a s y a p ro b a d o s,
c o m o a y u d a p a r a la
re so lu c ió n d e p ro b le m a s
d e la v id a c o tid ia n a .
.
EJEMPLOS DEL
MUNDO REAL
____________ _
RECTA
I PUNTO
T R I A N G U L O — un
t r iá n g u lo e s
------------------- 1
TERMINOS
INDEFINIDOS
LOGICA
DEFINICIONES
2 .3
P E A N U T S / £ p o r a u e ce s o
ÍDeSBAC£RM6 DE
PU FRAZADA?¿ft)R
D e s a rro llo d e la g e o m e tría p o r m e d io d e l ra z o n a m ie n to d e d u c tiv o
I SI PUEfjES 0W?mE U N
ft
BUENA fiftZÓN. N\£
AuáMoMlEUNA
vBUEN» ftAZOWl ,
\
I y A SAB \tK q u e wo
PO R Q U E H A C E Q U E PAREZ
C A S E S T Ú P ID O , PO RESO <
PODÍAS PENSAR E N U N A
StieftftSAzdyL-------
1Hftce a u e p w &zcas es
T Ú PlO O .SO gC E \6 N 0R f t N T E l
©
1961 U n ite d F e a tu re S y n d icate, Inc.
E n las secciones a n terio res de este c a p itu lo se u só el ra z o n a m ie n to
in d u ctiv o p a r a d esc u b rir generalizaciones. A h o ra se e x p lo ra rá n el
ra z o n a m ie n to lógico y el d ed u ctiv o , y su fu n ció n e n la d em o strac ió n de
teorem as. El p ro c e so del ra z o n a m ie n to d ed u ctiv o c o n sta d e tres pasos.
E n el siguiente te o re m a se esb o zan esto s tres pasos:
Si d o s la d o s de u n trián g u lo so n congruentes,
ento n ces los d o s á n g u lo s o p u esto s so n congruentes.
R a z o n a m ie n to d ed u ctiv o
P aso 1 Em piécese con las condiciones d adas (la
hipótesis).
Paso 2 Usese la lógica, definiciones, postu lad o s
o teorem as previam ente p ro b a d o s p ara
justificar u n a serie de proposiciones o
paso s que den el resultado deseado.
Paso 3 Afírmese el resultado (la conclusión).
53
D ado: A A B C es u n trián g u lo
co n A B = AC.
L as p ro p o sicio n es q u e p ro p o rc io n a n
e s ta co n clu sió n n o se in cluyen aqui.
E n este ca p ítu lo se p re se n ta n alg u n o s
esq u em as d e ra z o n a m ie n to que
a y u d a rá n a elegir, o rd e n a r y d a r
ra zo n es p a r a pro p o sicio n es
ad ecuadas.
P o r ta n to , L B y L C so n congruentes.
D espués de u s a r la lógica p a r a o b te n e r las p ro p o sicio n es
co rrectas del p a so 2 del ejem plo p ro b a d o en la s líneas anteriores,
se h a b r á p ro b a d o este teorem a:
Si dos lados de un triángulo son congruentes,
(hipótesis)
en to n ce s los dos ángulos opuestos son congruentes.
(conclusión)
54
R a z o n a m ie n to en g e o m e tría
EJERCICIOS
1. Según el diccionario, un p lan o es u n a superficie llana o lisa.
Escríbanse tres p alab ras de la «definición» que tam bién deberían
entenderse y p a ra las cuales p o d ría intentarse d a r u n a definición.
2. D efínase u n o de los tres térm inos del ejercicio 1. H ágase una
lista de las p alab ras de la definición que tam bién puedan
necesitar definición.
3. ¿D ebería considerarse el térm ino plano en tre los térm inos
indefinidos? Expliqúese la respuesta.
4. D ése una definición de espacio que incluya los térm inos
indefinidos conjunto y punto.
5. E scríbase una proposición que sea un teorem a de geom etría.
ACTIVIDADES
Uno d e los o bjetivos d e los c u rs o s d e g e o m e tría e s p ro p o rc io n a r c ie rta práctica
e n el ra z o n a m ie n to lógico ap licad o a s itu a c io n e s d e la v id a cotid ian a. En la vida
d ia ria , a lg u n a s v e c e s s e s a c a n c o n c lu sio n e s con p o c a o n in g u n a b a se .
A c é p te s e e s ta h isto ria co m o u n a re p re s e n ta c ió n a d e c u a d a d e alg o que
re a lm e n te ocurrió:
El p e q u e ñ o Luis M edina s e s e n tó en un rincón
a c o m e r s u p a ste l d e N avidad.
M etió s u d e d o e n tre la m a s a , s a c ó u n a p a sa
y dijo: «¡Qué b u en chico soy!»
¿ C u á le s d e e s ta s c o n c lu sio n e s p u e d e n a c e p ta rs e (quizá d e m a n e ra
inco n scien te) al le e r la historia?
1.
Luis co m ía un p a ste l d e p a s a s . 2. E ra el d ía d e N avidad.
3.
Luis c o m p ren d ió q u e e r a un b u en ch ico 4. Luis e s ta b a s e n ta n d o en un rincón
p o rq u e s a c ó u n a p a s a
p o rq u e e s ta b a ca stig a d o .
5.
Luis e r a un niño.
A hora, lé a s e d e n u ev o la histo ria. ¿ C u á le s d e e s ta s c o n c lu sio n e s so n a c e rta d a s
b a s á n d o s e ú n ic a m e n te e n la inform ación q u e p ro p o rcio n a la h isto ria?
2.3
D e s a rro llo d e la g e o m e tría p o r m e d io d e l ra z o n a m ie n to d e d u c tiv o
E n los ejercicios 6 a 9, se form ulan la inform ación d ad a y la
conclusión b asad a en el razonam iento deductivo. Las
proposiciones que llevan de la hipótesis a la conclusión se om iten.
Form úlese el teorem a p robado.
6. D ado: Las líneas t y m form an un p ar
lineal de ángulos, Z .ly Z .2 . ZL1 = Z. 2.
7. Dado: L 1 y L 3 son ángulos verticales.
P o r ta n to , L \ s ¿ 3 .
P o r tan to , í i m .
8. Dado: U n A A B C isósceles con
A B ^ A C , d o n d e A D bisecta a L A .
9. D ado: M N une los puntos m edios de
A B y lC e n AABC.
A
P o r tan to , CD = DB.
'B
c.
10. D esarróllese u n argum ento lógico para
convencer a alguien de que la distancia
m ás c o rta en tre el p u n to P y una recta
l es la longitud de PQ, donde Q está
sobre l y í es perpendicular a PQ.
__ SO LUCIO N D E PROBLEMAS.
T res e m b a ja d o re s d e d ife re n te s p a ís e s p a g a ro n 30 d ó la re s por la h abitación de
un hotel. C a d a uno co ntribuyó con 10 d ó la re s . M ás ta rd e , el a d m in istra d o r del
hotel s e p e rc a tó d e q u e s ó lo d e b ía n h a b e r p a g a d o 25 d ó la re s, p o r lo q u e llam ó al
b o to n e s y le dio 5 d ó la re s p a ra q u e los d e v o lv ie ra a los e m b a ja d o re s . El b o to n es
p e n só q u e é s to s te n d ría n d ificu ltad es p a r a re p a rtirs e los 5 d ó la re s por las
d ife re n c ia s lin g ü ísticas y só lo le s dio 3, q u e d á n d o s e con los 2 d ó la re s re sta n te s.
Así p u e s , c a d a e m b a ja d o r p a g ó p o r la h a b itació n 10 d ó la re s m e n o s el dólar
d ev u elto , e s to e s , 9 d ó la re s . 9 x 3 = 27. 27 d ó la re s m á s los 2 q u e s e q u ed ó el
b o to n e s su m a n 29 d ó la re s . P e ro la c u e n ta original e r a d e 30 d ó la re s. ¿Q ué p asó
con el otro d ó lar?
V5-
”
55
56
R a z o n a m ie n to en g e o m e tría
2.4 Tipos de proposiciones
«Si-Entonces»
E s ta c a r ic a tu r a ilu s tr a u n tip o de
p r o p o s ic ió n im p o r ta n te p a r a el
r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o . L o s e je m p lo s
sig u ie n te s m u e s tr a n p ro p o s ic io n e s d e la
fo rm a « si-e n to n c e s» .
S i p, e n to n c e s q.
Si n ie v a h o y , e n to n c e s e s q u ia re m o s .
Si u n tr iá n g u lo isó sceles tie n e u n á n g u lo d e
60°, e n to n c e s es u n tr iá n g u lo e q u ilá te ro .
Si L u c y n o se ríe , e n to n c e s S n o o p y e s tá
tris te .
© 1961 U n ite d F e a tu re S y n d icate, Inc.
L a d e fin ic ió n 2.2 d e s c rib e e s te tip o d e
p ro p o s ic ió n . L o s e je m p lo s q u e sig u e n
p r e s e n ta n a lg u n o s a s p e c to s d e lo q u e se
re q u ie r e p a r a tr a b a j a r c o n la s p ro p o s ic io n e s
s i-e n to n c e s y c o m p re n d e rla s .
E je m p lo 1
Definición 2.2
U n a proposición si-entonces es u n a proposición
de la form a «si p, entonces q», donde p y q son
proposiciones simples. A p se le llam a hipótesis,
y q es la conclusión. El sím bolo p -> q (léase «p
implica q»), se usa p a ra representar una
proposición si-entonces.
D a d a un a proposición si-entonces, fo r m ú le n s e la h ip ótesis y la conclusión.
Si el in fo rm e m e te o ro ló g ic o d ic e q u e h o y llo v e rá , e n to n c e s n o ju g a r e m o s al
ten is.
H ip ó te s is (p): E l in fo rm e m e te o ro ló g ic o d ice q u e h o y llo v e rá .
C o n c lu s ió n (q): N o ju g a r e m o s a l te n is.
E je m p lo 2
D a d a s la hip ótesis y la conclusión, fo r m ú le s e la proposición si-entonces.
H ip ó te s is (p): L a fig u ra A B C D es u n c u a d r a d o .
C o n c lu s ió n (q)\ T ie n e c u a tr o la d o s c o n g ru e n te s .
S i-e n to n c e s (p -* q): Si la fig u ra A B C D e s u n c u a d ra d o , e n to n c e s tie n e c u a tr o la d o s
c o n g ru e n te s .
E je m p lo 3
D a d a una prop osición en o tr a f o r m a fo r m ú l e s e c o m o un a proposición
si-entonces.
C u a n d o n ie v a , la te m p e r a tu r a es in fe rio r a 0 o.
S i-e n to n c e s (p -* q): S i n ie v a , e n to n c e s la te m p e r a tu r a es in fe rio r a 0 o.
2.4
P a r a c o m p r e n d e r m e jo r el p r o c e s o d e
r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o , e n p r im e r lu g a r h a y
q u e p o d e r d e c id ir si u n a p r o p o s ic ió n sie n to n c e s c o m o la q u e se m u e s tr a e n la
ilu s tr a c ió n es v e rd a d e ra . (¿E s v e rd a d e ra ?
E x p liq ú e se .)
T ip o s d e p ro p o s ic io n e s « S i-E n to n ce s»
51 LOS PECES
NA.DftN,EN
TONCES LAS
3 IRRPAS
C o n s id é re s e a h o r a el sig u ie n te e je m p lo .
S u p ó n g a s e q u e u n p ro fe s o r fo r m u la la
p ro p o s ic ió n si-e n to n c e s q u e a p a re c e a
c o n tin u a c ió n . ¿ E n c u á l d e e s to s c a s o s p u e d e
u n o s e n tir q u e se le h a tr a t a d o in ju s ta m e n te y
q u e el p ro fe s o r n o d ijo la v e rd a d ? L a
re s p u e s ta a e s ta p r e g u n ta a y u d a r á a o b s e rv a r
c u á n d o u n a p r o p o s ic ió n s i-e n to n c e s es falsa.
Si se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s a lta e n to d o s lo s e x á m e n e s d e g e o m e tría , e n to n c e s se
o b te n d r á la c a lific a c ió n m á s a lta al fin a l d e l c u rso .
Caso 1 Se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s a lta
e n to d o s lo s ex á m e n e s.
(h ip ó te s is v e rd a d e ra )
Caso 2 Se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s a lta
en to d o s lo s e x á m e n e s.
(h ip ó te sis v e rd a d e ra )
Caso 3 N o se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s
a lta e n to d o s lo s e x á m e n e s.
(h ip ó te s is falsa)
Caso 4 N o se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s
a l t a e n to d o s lo s ex á m e n e s.
(h ip ó te s is falsa)
Se o b tie n e la c a lific a ció n m á s a lta al
fin a l d e l c u rso .
(c o n c lu s ió n v e rd a d e ra )
N o se o b tie n e la c a lific a c ió n m á s a lta
a l fin al d e l c u rso .
(c o n c lu s ió n falsa)
Se o b tie n e la c a lific a ció n m á s a lta al
fin a l d e l c u rso .
(c o n c lu sió n v e rd a d e ra )
N o se o b tie n e la ca lific a ció n m á s a lta
a l fin a l d e l c u rso .
(c o n c lu sió n falsa)
Se re c ib ió u n t r a t o in ju s to s ó lo e n el c a s o 2.
L o s r e s u lta d o s d e l e je m p lo a n te r io r se
re su m e n e n la s d e s c rip c io n e s d e la s
p ro p o s ic io n e s s i-e n to n c e s fa lsa s y
v e rd a d e ra s q u e se p r e s e n ta n a q u í.
U n a proposición si-entonces es verdadera si
cuando la hipótesis es verdadera, la
conclusión tam bién lo es. E n o tras palabras,
u n a proposición si-entonces es falsa sólo
cu an d o la hipótesis es verdadera y la
conclusión es falsa.
57
58
R a z o n a m ie n to en g e o m e tría
EJERCICIOS________ ________________________
A.
E n los ejercicios 1 a 8, form úlense prim ero la hipótesis (p) y la
conclusión (q) de la proposición si-entonces. Luego, decídase si la
proposición es o no verdadera.
1. Si L isa tiene quince años, entonces L isa es dem asiado joven
p a ra v o ta r en las elecciones de P u e rto Rico.
2. Si u n a p elo ta se lanza hacia arriba, entonces la pelota bajará.
3. Si algunas m anzanas son rojas, entonces los caballos tienen cuatro patas.
4. Si C arlos co m p ró u n a p era, entonces C arlo s com pró un vegetal.
5. Si d os rectas se intersecan, entonces esas dos rectas no son paralelas.
6. Si tres rectas son concurrentes, entonces las rectas son paralelas.
7. Si el A A B C es isósceles, entonces el A A B C es equilátero.
8. Si el A A B C es equilátero, entonces el A A B C es isósceles.
En los ejercicios 9 a 14, escríbanse proposiciones si-entonces (p -* q)
con la hipótesis (p) y la conclusión (q) dadas.
9. H ipótesis (p): U n hom bre vive en San Ju an .
C onclusión (q): Vive en P u e rto Rico.
10. H ipótesis (p): D os rectas se intersecan p a ra fo rm ar ángulos rectos.
C onclusión (q): Las rectas son perpendiculares.
11. H ipótesis (p): D os rectas son perpendiculares.
C onclusión (q): Se intersecan p a ra form ar ángulos congruentes.
12. H ipótesis (p): U n núm ero es primo.
C onclusión (q): El núm ero tiene exactam ente dos divisores.
13. p: D os rectas son paralelas.
q: N o se intersecan.
14. p: D os ángulos son congruentes.
q: Tienen la m ism a medida.
A C TIV ffiA D ESE n c u é n tre n se p la n te a m ie n to s en re v is ta s o p e rió d ico s q u e incluyan
p ro p o sic io n e s si-e n to n c e s o p ro p o sic io n e s q u e p u e d a n fo rm u la rse en la form a
si-e n to n c e s sin c a m b ia r el significado. A n a líc ese c a d a pro p o sició n y la lógica
q u e la re sp a ld a .
2.4
T ip o s d e p ro p o s ic io n e s « S i-E n to n ce s»
B.
E n los ejercicios 15 a 24, identifiqúense la hipótesis y la
conclusión, y form úlese la proposición en la form a si-entonces sin
cam biar el significado.
15. U n n ú m ero es p a r si term ina en 2.
16. D os rectas son perpendiculares si se cruzan en ángulo recto.
17. U n triángulo equiángulo debe ser equilátero.
18. U n n ú m ero es im p ar siem pre que term ine en 5.
19. «Sigue m is consejos y te harás rico.»
20. M ejo rarás si trab ajas duro.
21. U n triángulo es isósceles siem pre que d os de sus ángulos sean congruentes.
22. U n a recta q u e biseca a un segm ento contiene el p u n to m edio
del segmento.
23. B es el p u n to m edio de A C si A B = BC.
24. T o d o s los triángulos son polígonos.
c.
25. F o r m ú la s e to d as las proposiciones si-entonces cuyo
significado se? el m ism o que las proposiciones contenidas en
este anuncio de la «C om pañía N ow ork».
V enga a la C o m pañía N o w o rk y h ag a d inero rápidam ente.
T ra b a je p a ra N o w o rk y ascenderá en poco tiem po. Sólo
co n tratam o s gente inteligente que sea lo suficientemente
to n ta com o p a ra saber que es inteligente. N o w o rk le
g aran tiza una capacitación g ra tu ita excelente. A usted le
g u stará tra b a ja r en la C o m pañía N o w o rk . C on tratam o s a
cualquier ser hum ano. D espedim os a cu alquier ser hum ano.
26. Form úlese u n a proposición si-entonces verdadera (si a.
entonces u), y form úlese de nuevo en las form as siguientes: b si
a; a sólo si b\ a es to d o lo que se necesita p a ra aseverar b\ b
debe ser verdad p a ra que a sea verdad. ¿Cuáles de estas
proposiciones pueden considerarse verdaderas?
SOLUCION D E PROBLEM AS---------------------------lf/\
i- 2 (J
C ja tro a d u lto s y d o s n iñ o s d e b e n c ru z a r un rio e n u n a c a n o a en la q u e
so lo c a b e un a d u lto o d o s n iñ o s a la vez. No c a b e n un a d u lto y un niño
ju n to s. E x p liq ú ese có m o p u e d e n c ru z a r la s s e is p e rs o n a s . ¿C uál e s el
-ú m e ro m ínim o d e v e c e s q u e d e b e c ru z a r la c a n o a ?
i
■
\
AA/ti* r
A
r
2 N
59
60
R a z o n a m ie n to e n g e o m e tría
2.5
Recíproca, inversa
y contrarrecíproca
Si se e m p ie z a c o n u n a p r o p o s ic ió n s i-e n to n c e s v e r d a d e r a es p o s ib le fo rm a r
tre s tip o s d e p ro p o s ic io n e s r e la c io n a d a s lla m a d a s reciproca, inversa y
c o ntrarrecípro ca d e la p r o p o s ic ió n o rig in a l. A c o n tin u a c ió n se d e s c rib e n lo s
tip o s y se c o m p a r a n c o n la p r o p o s ic ió n s i-e n to n c e s o rig in a .
P ro p o s ic ió n :
P
Q
R e c íp ro c a d e la
p ro p o s ic ió n :
significa « n o p.»
Si u n a b a n d e r a e s la b a n d e r a d e P .R .
e n to n c e s tie n e e stre lla s.
Si u n a b a n d e r a tie n e e stre lla s, e n to n c e s
es la b a n d e r a d e P .R .
q ^ p
C u a n d o u n a p r o p o s ic ió n s i-e n to n c e s (p -*• q) es v e r d a d e r a , n o se debe
su p o n e r q u e s u r e c íp r o c a (q -> p) s e a n e c e s a ria m e n te v e r d a d e r a . _
P ro p o s ic ió n :
p->q
In v e rs a d e la
p ro p o s ic ió n :
—» ~ q
Si u n v e h íc u lo es u n a e ro p la n o ,
e n to n c e s el v e h íc u lo se c o n s tru y ó
p a r a v o la r.
Si u n v e h ic u lo n o e s u n a e ro p la n o ,
e n to n c e s el v e h íc u lo n o se
c o n s tr u y ó p a r a v o la r.
C u a n d o u n a p r o p o s ic ió n si-e n to n c e s (p -*■ q) es v e rd a d e ra , no se debe
sup on er q u e s u in v e r s a ( ~ p - ~ q ) s e a n e c e s a ria m e n te v e rd a d e ra .
C hicago
P ro p o s ic ió n :
P
q
Si se vive e n C h ic a g o ,
e n to n c e s se v iv e e n Illin o is.
N u ev a Y ork
S an F rancisco
C o n tra rre c íp ro c a
d e la p ro p o s ic ió n :
Si n o se vive e n Illin o is, e n to n c e s
n o se v iv e e n C h ic a g o .
M iam i
L os Angeles
W ichita
C u a n d o u n a p r o p o s ic ió n s i-e n to n c e s (p . q) es v e r d a d e r a , se p u e d e
su po ner q u e s u c o n tr a r r e c íp r o c a ( ~ q —> - p) ta m b ié n es v e rd a d e ra .
2.5
R ecip ro ca, in v e rsa y c o n tra rre c íp ro c a
E s to s re s u lta d o s se re s u m e n c o m o sigue:
p -y q
p r o p o s ic ió n d a d a
Si p , e n to n c e s q
v e r d a d (se su p o n e )
q -* p
r e c íp ro c a
Si q, e n to n c e s p
n o n e c e s a ria m e n te
v e rd a d e ra
~ nr - > ~ ai
in v e rs a
Si n o p, e n to n c e s n o q
n o n e c e s a ria m e n te
v e r d a d e ra
—^
c o n tr a r r e c íp r o c a
Si n o q, e n to n c e s n o p
s ie m p re v e rd a d e ra
p
C u a n d o u n a p r o p o s ic ió n d a d a y s u re c íp ro c a s o n v e rd a d e ra s , p u e d e n
c o m b in a rs e y f o r m a r u n a s o la p r o p o s ic ió n c o n la fra se si, y sólo si.
P ro p o s ic ió n :
p
q
Si h o y e s m a rte s , e n to n c e s m a ñ a n a es m ié rc o les.
R e c íp ro c a d e la
p ro p o s ic ió n :
Si m a ñ a n a es m ié rc o le s, e n to n c e s h o y es m a rte s.
<?->p
P ro p o s ic ió n
si, y sólo si:
H o y es m a r te s si, y s ó lo si, m a ñ a n a es m ié rc o le s.
P *-*Q
T o d a d e fin ic ió n p u e d e f o rm u la rs e c o m o u n a p r o p o s ic ió n si, y sólo si.
C o m o e je m p lo , c o n s id é re s e la s ig u ie n te d e fin ic ió n .
U n tr iá n g u lo e q u ilá te r o es u n tr iá n g u lo c u y o s la d o s s o n c o n g ru e n te s
e n tre sí.
E sto p u e d e re fo rm u la rs e c o m o sigue:
U n a fig u ra es u n tr iá n g u lo e q u ilá te r o si, y só lo si, es u n triá n g u lo co n
to d o s su s la d o s c o n g r u e n te s e n tr e sí.
E n r e a lid a d , la n u e v a p r o p o s ic ió n c o m b in a d o s p ro p o s ic io n e s
v e rd a d e ra s :
1. S i u n tr iá n g u lo es e q u ilá te r o , e n to n c e s tie n e to d o s su s la d o s
c o n g ru e n te s .
2. Si u n tr iá n g u lo tie n e to d o s su s la d o s c o n g ru e n te s , e n to n c e s es
e q u ilá te ro .
E s ta id e a p u e d e re s u m irse d e la s ig u ie n te m a n e ra :
p si, y sólo si, q sig n ific a lo m is m o q u e si p, e n to n c e s q y si q, entonces
p. C u a n d o e s ta p r o p o s ic ió n es v e r d a d e r a , se d ice q u e p y q s o n
proposiciones equivalentes.
62
R a z o n a m ie n to en g e o m e tría
EJERCICIOS_______
Form úlense las recíprocas de las proposiciones de los ejercicios 1 a
4. Si es necesario, form úlense de nuevo en la form a si-entonces.
¿E n qué ejercicio son verdaderas la proposición y la recíproca?
1. Si una p erso n a está n ad an d o , entonces esa persona está
m ojada.
2. Si dos rectas son perpendiculares, entonces se intersecan.
3. Si una persona es p o b re, entonces esa p ersona n o tiene m ucho
dinero.
4. Si a ■b = 0, entonces a = 0 o b = 0.
E n los ejercicios 5 a 8, form úlese la inversa de cada proposición.
5. Si una p erso n a ro b a, entonces es una persona deshonesta.
6. Si una figura es u n triángulo, entonces es u n polígono.
7. C ualquier equipo que gane c u atro juegos de la Serie M undial,
g an a la serie.
8. D o s planos son paralelos si no se intersecan.
Form úlense las contrarrecíprocas de las proposiciones de los
ejercicios 9 a 12.
9. Si una p erso n a conduce legalm ente un autom óvil, entonces esa
p erso n a tiene 16 años o más.
10. T od o s los ángulos rectos son congruentes.
11. Se g an a rá el cam p eo n ato si se gana el p a rtid o de esta noche.
12. Si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo.
ACTIVIDADES
................ ....
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(1) Si q u ie re s e n tirs e en p le n a form a, to m e u n a ta b le ta ABC
al día. (2) La g en te q u e to m a vitam in as ABC s e p re o c u p a
p o r s u sa lu d . U sted s e d e b e a q u ie n e s e s tá n c e rc a d e usted,
c u íd e s e . E m piece hoy a to m a r ABC.
Al e s c u c h a r p ro p o sicio n e s com o (1), s u e le s u p o n e rs e
e q u iv o c a d a m en te la reciproca «si to m a u n a ta b le ta d e ABC
to d o s los d ía s, e n to n c e s s e se n tirá e n p le n a form a». Al
e s c u c h a r p ro p o sic io n e s com o (2), s u e le s u p o n e rs e
e q u iv o c a d a m en te la inversa «si yo no tom o v ita m in as ABC,
e n to n c e s no m e p re o c u p o por mi salud».
C ó p ie se un an u n cio c o m ercial d e u n a re v ista o d e la
telev isió n y b ú s q u e n s e p o sib le s e r r o r e s d e in terpretación.
2.5
R e c íp ro c a , in v e rs a y c o n tra rre c íp ro c a
63
En los ejercicios 13 a 18, form úlense dos proposiciones simples que
sean equivalentes.
13. U n trián g u lo es equilátero si, y sólo si, es equiángulo.
14. U n ángulo es un áng u lo recto si, y sólo si, su m edida es 90°.
15. D os rectas de un p lan o son paralelas si, y sólo si, n o tienen
pu n to s en com ún.
16. U n cuadrilátero es un rectángulo si. y sólo si, tiene cuatro
ángulos rectos.
17. Un cuadrilátero es un p aralelogram o si, y sólo si, tiene dos pares
de lados paralelos.
18. D os ángulos son com plem entarios si, y sólo si, la sum a de sus
m edidas es 90°.
19. Form úlense la recíproca, la inversa y la co n trarrecíproca de estas
frases de la form a p -» q.
Elabórese una tarjeta com o la que se m uestra a continuación y
m árquese en el lug ar correspondiente si la proposición es falsa o
verdadera
V
Si se vive en Río Piedras, se vive
en el área m etropolitana.
Reciproca
vy
V
Si dos segmentos tienen la misma
lonaitud, entonces son congruentes.
Si una figura es un polígono regular,
entonces todos sus lados son congruentes.
C ontrarrecíproca
V
LL
Si un núm ero es positivo, entonces es
m ayor que 6.
Inversa
~n
Proposición
V
V
¿7
SOLUCION D E PROBLEM AS-------------------------------- ------------------Dos m u je re s, Alicia y C aro lin a, y d o s h o m b re s, E nrique y David, son
atle ta s. U na d e e s ta s p e rs o n a s p ra c tic a la n atació n , o tra el p atin aje, o tra la
g im n a sia y o tra el te n is. Un d ía s e re u n ie ro n y s e se n ta ro n a lre d e d o r d e u n a
m e s a c u a d ra d a :
1. El n a d a d o r e s ta b a a la iz q u ie rd a d e Alicia. 3. C a ro lin a y David s e se n ta ro n juntos.
2. El g im n a sta e s ta b a fre n te a E nrique.
4. U na m u jer s e se n tó al lad o del patinador.
¿C uál d e e s ta s p e rs o n a s e s el te n ista ?
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Y" c I
1
64
R a z o n a m ie n to e n g e o m e tría
2.6
Esquemas de razonamiento
A h o r a se e s tu d ia r á n d iv e rs o s e s q u e m a s d e r a z o n a m ie n to q u e se u s a r á n e n
la p r u e b a d e te o re m a s . E s tu d íe s e la c a r ic a tu r a sig u ie n te y el a n á lisis
p o s te rio r.
UNA PRQFUNOA DEPRESION SE
APODERA DE TUS HUESOS,T0\)0
TE DUELE.... Y TE S íE H lE S
C f\N S fcD & -
y SI ALGUIEN S l V ^ u w f W
auiERAMENCICNA
"U M \ PERDIZ EN UN
EN
UN
PERAL-JE DAN 6fV
AAUGH
ÑAS DE SR1TAR.
©
1961 U n ite d F e a tu re S y n d icate, Inc.
E l p r im e r e s q u e m a d e r a z o n a m ie n to q u e se e s tu d ia r á e m p ie z a c o n u n a
p ro p o s ic ió n v e r d a d e r a d e tip o s i-e n to n c e s. L a h ip ó te s is se d a p o r
v e rd a d e r a , p o r lo q u e la c o n c lu s ió n ta m b ié n se to m a c o m o v e rd a d e ra .
p - » q es v e rd a d e ra .
Si a lg u ie n d ic e « u n a p e rd iz e n u n p e ra l» ,
e n to n c e s L u c y g rita rá .
Se d a p.________________
C h a rlie d ic e « u n a p e r d iz e n u n p eral» .
Se c o n c lu y e q u e q es v e rd a d .
P o r ta n to , L u c y g rita .
E l e je m p lo a n te r io r ilu s tra u n e s q u e m a de
r a z o n a m ie n to lla m a d o afirm ación de la
hipótesis. E s tá b a s a d o e n la a s e v e ra c ió n de
q u e la h ip ó te s is d e u n a p r o p o s ic ió n sie n to n c e s v e r d a d e r a ta m b ié n es v e rd a d e ra .
T a m b ié n se e x p re s a c o n la lo c u c ió n la tin a
m o d u s ponens.
Definición 2.3
L a afirm ación de la hipótesis es un esquem a de
razonam iento q u e se representa com o sigue:
Siem pre que p - * q sea verdad y p sea verdad,
puede concluirse que q es verdad.
2.6
E l s e g u n d o e s q u e m a d e r a z o n a m ie n to es la
b a s e d e la p r u e b a in d ir e c ta q u e se e m p le a r á
e n c a p itu lo s p o s te rio re s . E n la ilu s tra c ió n , el
E s q u e m a s d e ra z o n a m ie n to
P E A N U T S /SI EN REHUDMA
/WE MlWmS.DEJftRfoS DE TOCAR
lELPIRNO -i m í
V N sg U R Itó /
e s q u e m a es:
p -> q es v e rd a d .
~ q (n o se d a q).
[ft ESO SE L E LLA fllR RES
PONDER SIN RESPO NDER/
S e c o n c lu y e q u e ~ p e s v e rd a d e ro
(p es falso).
« S i e n re a lid a d m e a m a r a s , d e ja ría s d e to c a r
el p ia n o .»
S c h r o e d e r n o d e jó d e to c a r el p ia n o .
©
P o r ta n t o , S c h ro e d e r n o a m a a L u c y .
1971 U n ite d F e a tu re S y n d icate. In c.
Definición 2.a
E ste e s q u e m a d e r a z o n a m ie n to se lla m a
neg ación d e la conclusión. T a m b ié n se
e x p re sa c o n la lo c u c ió n la tin a m o d u s tollens.
L a sig u ie n te ilu s tr a c ió n s u g ie re u n te rc e r
e s q u e m a d e r a z o n a m ie n to q u e se e m p le a e n
la fo rm u la c ió n d e d e m o s tra c io n e s . E s te
e s q u e m a u n e u n a s u c e s ió n d e p ro p o s ic io n e s
e n la d e m o s tr a c ió n d e u n te o re m a . El
e s q u e m a es:
L a negación de la conclusión es un esquem a
de razonam iento que se representa com o
sigue:
Siem pre que p -* q sea verdad
y ~ q (q es falso).____________
Se concluye: ~ p ( p es falso).
I»*;A N U IS
'¿comosus&s
CU1E TIENES
EL CORAZON
V
SUEUO,POR&ue s i
T IE N E S E L CORAZON ROTO,
NO PUEDES DORM IR.
ROTO? /
p - * q e s v e rd a d .
q -» r e s v e rd a d .____________
Se c o n c lu y e q u e p -> r e s v e rd a d .
« C a d e n a d e r a z o n a m ie n to » d e C h a rlie
B row n:
CHANCO OfVS 'ÍUEUBS EN LK
CAN\ft SUS BORDES ASTIUftDOS s e TE CLftvfAN EN EL
---------------- ----
' M E R LE C R R H H & E ft
HABLADO CON U N
EXPERTO
Si se tie n e e l c o r a z ó n r o to , e n to n c e s su s
b o rd e s a s tilla d o s se c la v a n e n el c o s ta d o .
Si lo s b o r d e s a s tilla d o s se c la v a n e n el
c o s ta d o , e n to n c e s n o se p u e d e d o rm ir.
© 1971 U n ite d F e a tu re S y n d icate, In c.
P o r ta n t o , si se tie n e el c o r a z ó n r o to , n o se
p u e d e d o rm ir.
E ste e je m p lo ilu s tr a u n e s q u e m a d e
ra z o n a m ie n to lla m a d o regla de la cadena.
E ste e s q u e m a p e r m ite « e n c a d e n a r»
p ro p o s ic io n e s s i-e n to n c e s a l fo r m u la r
d e m o stra c io n e s.
Definición 2.5
L a regla de la cadena es un esquem a de
razonam iento que se representa com o sigue:
Siem pre que p -* q es verdad
y
q - » r e s verdad.
Se concluye que p - * r es verdad.
65
66
R a z o n a m ie n to en g e o m e tría
EJERCICIOS
En los ejercicios 1 a 6, form úlese la conclusión correcta.
1. p —►q: Si Julia vota hoy, v o tará p o r A rm ando Amigable.
p: Julia votó hoy.
P o r tan to , q: ?
2. p -» q: Si A A B C es isósceles, entonces tiene dos ángulos
congruentes.
p: A A B C es isósceles.
P o r tan to , q: ?
3. p -* q: Si nieva, la tem p eratu ra será inferior a 0°C .
L a tem peratura es 0 ° C o superior.
P o r ta n to ~ p : ?
4. p -* q: Si una figura es un triángulo equilátero, entonces
to d o s sus lados y ángulos son congruentes.
q -* r: Si una figura tiene to d o s sus ángulos y lados
congruentes, entonces es un polígono regular.
P o r tan to , p -» r. ?
5. p - * q . Si dos rectas son paralelas, no tienen p u n to s en
com ún.
~ q \ Las rectas m y n tienen un p u n to en común.
P o r tan to , ~ p : ?
6. p - * q : D os rectas perpendiculares se intersecan,
q -> r: Las rectas no son paralelas si se intersecan.
P o r tanto, p -* r. ?
A C T IV ID A D E S ^ ^ ^ ? " ^ " —^
"
---------
C o n s id é re n s e los s ig u ie n te s e je m p lo s d e ra z o n a m ie n to q u e su e le n
e n c o n tra rs e en a n u n c io s c o m e rc ia le s . D e cíd a se si la s c o m p a ñ ía s q u e los
p u b lic a ro n e m p le a ro n e s q u e m a s d e ra z o n a m ie n to c o rre c to s o in c o rre c to s .
1. «E nvíe su d in e ro a n te s d e l 1 d e o c tu b re
y c o m p re a m ita d d e p re c io .» P aula
J o s e p h e n v ió su p e d id o el 10 de
o c tu b re . L a c o m p a ñ ía c a n c e ló su
p e d id o . ¿ M in tió la co m p a ñ ía ?
2. «E nvíe su d in e ro a n te s d e l 1 de
d ic ie m b re y c o m p re a m ita d d e p re cio .»
A n g e lo S ilv a e n v ió su d in e ro el 24 de
n o v ie m b re , p e ro la c o m p a ñ ía re c h a z ó
s u p e d id o . ¿ M in tió la co m p a ñ ía ?
3. «E sta o fe rta es v á lid a p a ra p e rs o n a s
q u e v iv a n e n c iu d a d e s d e E sta d o s
U n id o s q u e e s té n en el c o n tin e n te
a m e ric a n o .» N a m o o n ie N akak v iv e en el
A rtic o . L a c o m p a ñ ía re c h a z ó s u /p e d id o .
¿Hubo ju s tific a c ió n p a ra esto?
4. « U sted s e rá m á s a tra c tiv o si usa
N eato.» Ja so n no u sa N eato p e ro es
m u y a tra c tiv o . ¿Está e q u iv o c a d a la
co m p a ñ ía ?
5. B ú s q u e n s e e id e n tifiq ú e n s e e je m p lo s de
e s q u e m a s d e ra z o n a m ie n to c o rre c to s e
In c o rre c to s e n a n u n c io s c o m e rc ia le s .
2.6
E s q u e m a s d e ra z o n a m ie n to
B.
E n los ejercicios 7 a 9, incluyase la inform ación om itida p a ra fo rm ular un
esquem a de razonam iento correcto.
7. (Acéptese) U n p unto de la bisectriz perpendicular de u n segm ento equidista
d e los extrem os del segmento.
(D ado) ?
_
(Conclusión) El p u n to C equidista de los extrem os de A B.
8. (Acéptese) T o d a s las rectas horizontales son paralelas.
(D ado) ?
^
(Conclusión) E F y GH no son rectas horizontales.
9. (Acéptese) ?
(D ado) L A B C m ide m ás de 90“.
(Conclusión) L A B C es un ángulo obtuso.
c.
F orm úlese la proposición o m itida en los ejercicios 10 y 11. (A unque n o se
conozca el significado de todos los térm inos em pleados, se deben poder
realizar estos ejercicios.)
10. T eorem a: Si A B C D es un cu ad rad o , entonces A B C D no es una com eta.
Pruebas: 1. Si A B C D es un cuad rad o , entonces A B C D es un rom bo.
2. (proposición om itida)
3. Si A B C D es u n paralelogram o, entonces A B C D no es una
com eta.
P o r tan to , si A B C D es un cu ad rad o , A B C D no es u n a com eta.
11. Teorem a: Si A A B C es un triángulo rectángulo con L C com o ángulo
recto, entonces L A y L B son com plem entarios.
Pruebas: 1. (proposición om itida)
2. Si m L A + m L B + m L C = 180 y
m L C = 90, entonces m L A + m L B = 9 0 .
3. (proposición om itida)
P o r tan to , si A A B C es un triángulo rectángulo con L C com o ángulo recto,
entonces L A y L B son com plem entarios.
_ SOLUCION D E PROBLEM AS-----------------------------------T re s p e rs o n a s , Leó n , M a rtín e z y N ie v e s , o c u p a n lo s p u e s to s d e a d m in is tra d o r,
c a je ro y e n c a rg a d o e n un d e p a rta m e n to d e u n a tie n d a . Si N ie v e s e s la c a je ra ,
M a rtín e z e s el e n c a rg a d o . Si N ie v e s e s la e n c a rg a d a , M a rtín e z e s el
a d m in is tra d o r. S i M a rtín e z n o e s el c a je ro , L e ó n e s e l e n c a rg a d o . SI León
es el a d m in is tra d o r, N ie v e s e s la e n c a rg a d a . ¿Q ué p u e s to o c u p a c a d a uno?
68
R a z o n a m ie n to e n g e o m e tría
2.7
postulados de geometría
L o s p o s tu la d o s d e g e o m e tría s o n m u y
im p o r ta n te s e n el p ro c e s o d e l r a z o n a m ie n to
d e d u c tiv o . P u e d e n c o m p a r a r s e c o n la s reg las
d e u n ju e g o . E n el « ju e g o d e la g e o m e tría » se
a c e p ta n lo s p o s tu la d o s c o m o v e r d a d y se
u s a n c o m o a y u d a e n la d e m o s tr a c ió n d e
te o re m a s .
A
B
G E O M E T R IA
..
...
/-■ ;< Syi
A
P a r a a firm a r q u e lo s p u n to s
e x iste n , se a c e p ta este
p o s tu la d o . E l p o s tu la d o
ta m b ié n d a in fo rm a c ió n
s o b r e re c ta s y p la n o s.
B
'
4
J .:
rii
H
Sí
R e g la s o fic ia le s
d e lo s ju e g o s
d e c a rta s
i.:..
Postulado de la existencia
de los puntos
El espacio existe y contiene,
p o r lo m enos, c u atro puntos
no c o p in a r e s . U n plano
contiene, p o r lo m enos, tres
p u n to s n o lineales. U n a recta
contiene, p o r lo m enos, dos
puntos.
P a r a a f ir m a r q u e u n a lín e a
es recta, se re q u ie re u n a , y
só lo u n a , lin e a q u e c o n te n g a
d o s p u n to s c u a le sq u ie ra .
T a m b ié n p u e d e d e c irse q u e
d o s p u n to s d e te r m in a n una
recta.
Postulado del punto y la
recta
P a r a a firm a r q u e u n p la n o
n o se tu e rc e y d a v u e lta s
e n el e s p a c io , se re q u ie re
q u e u n o , y s ó lo u n , p la n o
c o n te n g a tre s p u n to s n o
c o lin e a le s c u a le sq u ie ra .
T a m b ié n p u e d e d e cirse
q u e tres p u n to s no
colineales d e te rm in a n un
plano.
Postulado del punto y
el plano
P a r a a firm a r q u e u n p la n o
es re c to , se re q u ie re q u e d o s
p la n o s se in te rs e q u e n
s ó lo e n u n a re c ta , n o e n
d o s.
Postulado de la intersección
de planos
D os p u n to s están contenidos
en una, y sólo una, recta.
T res p u n to s no colineales están
contenidos en uno, y sólo un
plano.
Si dos planos se intersecan,
se intersecan exactam ente
en u n a recta.
2.7
B
Sí
í
P o s tu la d o s d e g e o m e tría
69
P a r a a firm a r q u e u n p la n o
es « p la n o » , se re q u ie re u n
p la n o q u e c o n te n g a to d o s
lo s p u n to s d e u n a re c ta , si
se s a b e q u e c o n tie n e d o s
p u n to s d e la re c ta .
postulado de los dos puntos,
la recta y el plano
S e re q u ie re u n a r e c ta q u e
d iv id a a u n p la n o e n d o s
s e m ip la n o s . P u e d e u sa rse
e s te p o s tu la d o p a r a
d e te r m in a r si a m b o s p u n to s
e s tá n e n el m is m o la d o de
la r e c ta o e n la d o s o p u e s to s
d e ella.
Postulado de la separación
de planos
S e re q u ie re u n p la n o q u e
s e p a r e al e s p a c io e n d o s
se m ie sp a c io s. P u e d e u sa rse
e ste p o s tu la d o p a r a d e c id ir
si lo s d o s p u n to s e s tá n e n el
m is m o la d o d e u n p la n o o
e n la d o s o p u e s to s d el
m ism o .
Postulado de la separación
del espacio
Se re q u ie re sólo u n a re c ta
q u e p a s e p o r u n p u n to
d a d o y s e a p e r p e n d ic u la r a
u n a r e c ta o u n p la n o d a d o s.
postulado de las
perpendiculares
Si dos p u n to s están en un
plano, entonces la recta que
los contiene está en el plano.
Sea N un plano y t u n a recta
en N . L os puntos del plano
que n o estén en t form an dos
sem iplanos de m anera que:
a. cada sem iplano es un
conjunto convexo;
b. si P está en u n sem iplano y
Q está en el o tro , entonces
P Q interseca a t.
Sea N u n p la n o en el espacio.
L os puntos del espacio que no
estén sobre N form an dos
sem iespacios de m an era que:
a. cada sem iespacio es un
conjunto convexo;
b. si un p u n to A está en un
sem iespacio y B está en el
o tro, A B interseca a N.
D ad o s un p u n to y u n a recta
en un plano, h a y exactam ente
u n a recta que pasa p o r el
p u n to y es perpendicular a la
recta dada. D a d o un p la n o en
el espacio y u n p u n to que no
está en ese plano, hay
exactam ente u n a recta que
p asa p o r el p u n to y es
p erpendicular a l plano dado.
E s to s s o n a lg u n o s d e lo s p o s tu la d o s a c e p ta d o s e n g e o m e tría . E n la sig u ie n te sec ció n
y e n c a p ítu lo s p o s te r io r e s se p r e s e n ta r á n o tr o s p o s tu la d o s im p o rta n te s .
70
R a z o n a m ie n to e n g e o m e tria
EJERCICIOS_______
A.
E n los ejercicios 1 a 8, com plétense los enunciados con las
p alab ras punto, recta, plano y espacio. D ígase qué postulado
sugiere la proposición com pleta.
1. Si los dos p u n to s están en un plano, entonces la X que los
contiene está en el plano.
2- U n X contiene p o r lo m enos tres p u n to s no colineales.
3. D o s p u n to s están contenidos en una, y sólo u na, X .
4. Si d os planos se intersecan, se intersecan exactam ente en una
5. H ay exactam ente u n a JL que p asa p o r un p u n to dad o y es
p erpendicular a un p lan o dado.
6. U n plano sep ara un JL en d os semiespacios.
7. En un plano, hay exactam ente una X que p asa p o r u n p u n to
dad o y es perpendicular a una recta dada.
8. U n a recta separa un X en d os sem iplanos.
A C T IV ID A D E S ^ ^ g g —
■
Con u n a c u e rd a y u n o s clip s, c o n s trú y a s e un
m odelo p a ra e s to s « p o stu lad o s» . ¿C uál e s el
n ú m ero m ínim o n e c e s a rio d e tro z o s de
c u e rd a y clip s p a ra sa tis fa c e r to d o s los
re q u isito s d e los p o stu la d o s?
1. Hay p o r lo m e n o s un tro z o d e c u e rd a .
2. Hay e x a c ta m e n te tr e s clip s e n c a d a tro zo
d e c u e rd a .
3. No to d o s los clip s e s tá n e n el m ism o trozo
d e c u e rd a .
4. Hay e x a c ta m e n te u n a c u e rd a a tra v é s de
d o s clip s c u a le s q u ie ra .
5. Dos c u e r d a s c u a le s q u ie ra tie n e n p o r lo
m e n o s un clip en com ún.
2.7
E n los ejercicios 9 a 16, form úlese u n p o stu lad o que perm ita
llegar a la conclusión de que la proposición es verdadera.
9. D os planos distintos, M y N , no pueden contener dos rectas
distin tas l y m.
10. D o s rectas distintas, t y m, n o pueden contener dos puntos
distin to s A y B.
11. D a d o s un p u n to P y u n a recta í en un plano, n o puede haber
u n p ar de rectas d istin tas que pasen p o r P y sean
perpendiculares a t .
12. Si los p u n to s J y K está n en diferentes sem iplanos
determ inados p o r u n a recta t , J K interseca a l .
13. T res p u n to s n o colineales, A , B y C, no pueden estar en dos
p lan o s distin to s N y M.
14. Si A y B son p u n to s del p lan o Ai, entonces A B no tiene
ningún p u n to fuera del p lan o M.
15. D a d o s un p u n to P y un plano M , n o puede h aber dos rectas
que pasen p o r P y sean perpendiculares al p lano M.
16. El espacio puede contener más, p ero no m enos de cuatro
p u n to s no colineales y n o coplanares.
17. L o s fotógrafos y los ingenieros em plean trípodes p a ra m o n tar
sus cám aras y o tro s instrum entos. Expliqúese p o r qué se
utilizan tres pies y n o cu atro . ¿Q ué p o stu la d o es aplicable a
esta situación?
18. ¿C uántas rectas pueden trazarse a través de c u atro , cinco,
seis y n p u n to s no colineales en u n plano?
19. ¿C uántos p lan o s pueden determ inarse con c u atro puntos
en tre los cuales no hay tres que sean colineales?
SOLUCION D E PROBLEM AS----------------E sto s 19 p u n to s so n la s e s q u in a s d e c u a tro fig u ras (un
cu a d ra d o , un s o b r e c o n s o la p a , u n a c a ja y un trián g u lo
eq u ilá te ro ). En el d ibujo a p a r e c e n a lg u n a s a r is ta s . Ningún
punto e s la e s q u in a d e m á s d e u n a figura, p e ro a lg u n o s
p u n to s e s tá n s o b r e la a ris ta d e o tra figura.
T rá c e n s e e s to s p u n to s y d ib ú je n se la s c u a tro figuras.
P o s tu la d o s d e g e o m e tría
71
72
R a z o n a m ie n to e n g e o m e tría
2.8 Algunos
postulados
sobre medición
E n le n g u a je C B , el « d ie z -v e in te » (u b ic a c ió n )
d el p r im e r d ib u jo c o r r e s p o n d e a la s e ñ a l del
k iló m e tr o 62. E n el s e g u n d o d ib u jo , la
u b ic a c ió n c o r r e s p o n d e a la se ñ a l del
k iló m e tr o 97. ¿ Q u é d is ta n c ia re c o r r ió el
m o to c ic lista ?
E n el c a p ítu lo a n te r io r (v éase Sec. 1.4),
se in tr o d u jo d e m a n e r a in tu itiv a el c o n c e p to
d e m e d ic ió n d e la lo n g itu d y se u só
lib re m e n te p a r a f o r m u la r d e fin ic io n e s y sa c a r
co n c lu s io n e s . E n e s ta se c c ió n , se d a r á u n
b re v e re p a s o a l p o s tu la d o e n el c u a l se b a s a
e s te c o n c e p to d e lo n g itu d .
A
!
!
1
B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1
3 fe 7 8 9 10 11 12 13 14 15 lí> 17 18 ]9 2 0 21 22
234
|6
-
16| =
A
T I
1 2
T I
3 4
116 -
6| =
10
B
■ ■ ■ < i < i i i i i i i i i i i i
5 b 7
9 10 11 12 13 14 15 lfe 17 16 Í9 2 0 21 22
S
|3 - 13| = 113 - 3| = 10
E s to s e je m p lo s m u e s tr a n q u e n o im p o r ta
d ó n d e se c o lo q u e la re g la , la lo n g itu d d el
s e g m e n to es el v a lo r a b s o lu to d e la d ife re n c ia
e n tre lo s d o s n ú m e r o s q u e c o in c id e n c o n los
e x tre m o s.
E l p o s tu la d o d e la re g la in c lu y e e ste c o n c e p to .
Ejemplo 1
El postulado de la regla
a. A cada p ar de puntos corresponde un
núm ero positivo único denom inado
distancia entre los puntos.
b. L os puntos de u n a recta pueden hacerse
coincidir biunívocam ente con los núm eros
reales de m odo que la distancia entre dos
puntos cualesquiera sea el valor ab so lu to de
la diferencia entre sus núm eros asociados.
E n c u é n tre n s e A B , B C y A C .
AB =
|3 — ( - 2 ) | = 5
B C — 118 — 3 1 = 1 5
A____________ fí____________________ C
-2
3
18
A C = | —2 — 1 8 1 = 2 0
E n el e je m p lo , B e s tá e n tr e A y C. O b s é rv e s e
q u e la d is ta n c ia e n tr e A y B j u n t o c o n la
d is ta n c ia e n tr e B y C es la m is m a q u e la
e x is te n te e n tr e A y C.
Se fo r m u la u n a d e fin ic ió n .
Definición 2.6
El p u n to B está entre A y C si, y sólo si, A, B
y C son colineales y A B + B C = AC.
2.8
A lg u n o s p o s tu la d o s s o b re m e d ic ió n
73
U n p ilo to v erificó el ru m b o
d e u n a v ió n (las lín e a s de
c o lo r d e la F ig . 1 s e ñ a la n el
r u m b o d el a v ió n , q u e es el
á n g u lo e n tr e la d ire c c ió n
n o r te y la tr a y e c to r ia del
av ió n ). D e s p u é s c a m b ió el
r u m b o c o m o m u e s tr a la
fig u ra 2. ¿ E n c u á n to s g r a d o s
c a m b ió e l ru m b o ?
Figura 1
Figura 2
E n el p r im e r c a p ítu lo (Sec. 1.4), se in tr o d u jo d e m a n e r a in tu itiv a el
J c o n c e p to d e m e d ic ió n d e á n g u lo s y se u s ó lib re m e n te p a r a fo rm u la r
d e fin ic io n e s y s a c a r c o n c lu s io n e s . A h o ra , se d a r á u n b rev e re p a s o al
p o s tu la d o e n el c u a l se b a s a e s te c o n c e p to .
Postulado del transportador
|95 -
52\ = 152 -
95| = 43
Si se g ir a el t r a n s p o r ta d o r d e m o d o q u e los
ra y o s se c o r r e s p o n d a n c o n d ife re n te s
n ú m e ro s , el v a lo r a b s o lu to d e la d ife re n c ia
e n tre d o s n ú m e ro s , s e ría el m is m o . El
p o s tu la d o in c lu y e e s te c o n c e p to .
Ejemplo 2
a. A ca d a ángulo le corresponde un núm ero real
único entre 0 y 180, llam ado m edida del ángulo.
b. Sea P un p u n to en la arista de un sem iplano H.
C a d a rayo del sem iplano o su arista con un
vértice P puede hacerse coincidir
biunívocam ente con los núm eros reales n,
0 < n < 180, de m an era q u e la m edida de un
ángulo form ado p o r un p a r de rayos no
colineales con vértice P sea el valor absoluto de
la diferencia entre sus núm eros asociados.
E n c u é n tre n s e m L A B C ,
m LCBD y m¿ABD.
m L A B C = 142 - 2 0 1 = 22
m L C B D = 177 - 4 2 1 = 35
m ¿ A B D = 177 - 2 0 1 = 57
Definición 2.7
E n e l e je m p lo , B Ú e s tá e n tr e B Á y BÍ).
O b s é rv e s e q u e la s m e d id a s d e ¿ - A B C y L C B D
ju n ta s m id e n lo m is m o q u e A B D .
Se fo rm u la u n a d efin ició n .
B C está entre B A y BD si, y sólo si, B ? , B A y BD
son coplanares y m / - A B C + m L CBD =
= m L ABD.
74
R a z o n a m ie n to en g e o m e tría
EJERCICIOS
A.
U n n ú m ero asociado con un p u n to recibe el n o m bre de
coordenada del punto. E ncuéntrese la distancia entre un par de
p u n to s con las co o rd en ad as d ad as en los ejercicios 1 a 12.
1. 5, 2.
2. 14, 8.
3. 3, 12.
4. 17, 0.
5 .1 3 , 2 1 .
6. - 5 , 13.
7. 9, - 2 .
8. - 3 , 15.
9. - 1 2 , 7 .
10. - 3 , - 7 .
11. 0, - 8 .
12. - 4 , - 1 6 .
E ncuéntrese la m edida de los ángulos d ados en los
ejercicios 13 a 18.
13. ¿ Q A S .
14. L U A R .
15. L Q A V .
16. Z W AQ
17. Z S A U •
18. Z V A R .
(Ejercicios 13-18)
B.
Los p u n to s A, B y C son colineales. Se d a n las longitudes de
ciertos segm entos. ¿Q ué p u n to está en tre los o tros dos?
19. A C = 4, C B = 8, A B = 12.
21. C A = 20, B A -
11.6, C B = 8.4.
20. B A = 9, B C = 12, A C = 3.
22. A C - 9.3, C B = 6.5, A B = 15.8.
23. A u n a c h aq u eta se le van a hacer tres
ojales con u n a separación de 4 pulgadas
entre sí. Se coloca sobre la p re n d a una
cinta de m edir. L os ojales se m arcan en
los núm eros 7, 11 y 15. ¿Q ué p o stu lad o o
definición se empleó?
ACTIVIDADES
E stím e se la longitud d e e s to s o b je to s a p ro x im an d o a la unidad m étrica
m á s p ró x im a in d icad a. E n c u é n tre s e la s u m a d e la s d ife re n c ia s e n tre lo
e stim a d o y la longitud re a l. Q uien te n g a la su m a m en o r s e r á el g an ad o r.
1 . La m e d id a a lre d e d o r d e la c in tu ra en c e n tím e tro s (u tilícese una
cu erd a).
2. El a n c h o d e u n a m o n e d a e n m ilím etros.
3. L a longitud d e u n a h a b itació n e n m etro s.
4 . La longitud d e un p a s o n o rm al en c e n tím e tro s.
5. La a ltu ra d e u n a p u e rta e n m etro s.
(¡j
2.8
A lg u n o s p o s tu la d o s s o b re m e d ic ió n
24. D os lados de un m arco se encolan p a ra fo rm ar una esquina.
C ad a lad o se c o rta a un ángulo de 45c. ¿Cuál es la m edida de
la esquina exterior? ¿Q ué p o stu lad o o definición se empleó?
En los ejercicios 25 a 29, A, B y C son p u n to s colineales con
co o rd en ad as a, b y c.
25. Si a < b < c, c = 54, A C = 26 y B C = 19, encuéntrense los
valores de a y b.
26. Si b = —7, c = 13 y A es el p u n to m edio de BC, encuéntrese a.
27. Si b = —10, c = 4 y B A = 28, encuéntrense B C y CA. D ense
dos respuestas posibles.
28. Si C está en tre A y B, B C = 8 y C A = 36, encuéntrense a , b y
c. D ense d os respuestas posibles. ¿C uántas respuestas posibles
hay?
29. Si C es el p u n to m edio de A B , c = 14 y C B = 10, dense dos
posibles coord en ad as p a ra A.
Los ejercicios 30 a 33 se refieren a una disposición de rayos en el
mism o ord en que los de la figura.
30. Si m L A F D = 120 y m L A F C = 2 - m L C F D ,
encuéntrense m L A F C y m L C F D .
31. Si m L A F C = 3 - m L A F B , F C biseca a L A F D
y m L A F B = 16, encuéntrese m L A F D .
32. Si m L A F B = 2 m L CFD, m L A F B ^ i ¡ m L CFD,
y m L A FD = 112, encuéntrense m L A F B , m L B F C y m L CFD.
33. Si m L B FC = 3 - m L A F B , m L C F D = 4 - m L A F B , y m L A F D =
= ( m L A F B ) 2 - 240, encuéntrese la m edida de m L A F B .
SO LUCIO N D E PROBLEM AS_____________________________
Un m e c á n ic o va a c o n s tru ir u n a p la c a m e tá lic a c o m o la q u e s e ilu s tra . El p rim e r paso
es e n c o n tra r la s d im e n s io n e s q u e fa lta n , In d ic a d a s p o r la s le tra s A , B, C, D y E.
E n c u é n tre n s e .
diámetro______ 28?5______
A= .
B =
E =
75
76
R azo n am ien to e n g e o m e tría
capítulo 2
conceptos im portantes
Términos
G eneralización (pág. 44)
R azonam iento inductivo (pág. 45)
C ontraejem plo (pág. 49)
T érm inos indefinidos (pág. 52)
P o stulad o s (pág. 52)
T eorem as (pág. 52)
R azonam iento deductivo (pág. 53)
H ipótesis (pág. 56)
C onclusión (pág. 56)
Proposiciones si-entonces (pág. 56)
R ecíproca (pág. 60)
Inversa (pág. 60)
C o n trarrecíproca (pág. 60)
A firm ación de la hipótesis (pág. 64)
N egación de la conclusión (pág. 65)
Regla de la cad en a (pág. 65)
E ntre puntos (pág. 72)
E n tre rayos (pág. 73)
postulados
P o stu lad o de la exigencia de los puntos
(pág. 68).
P o stu lad o del p u n to y la recta (pág. 68)
P o stu lad o del plano y el p u n to (pág. 68)
P o stu lad o de la intersección de planos
(pág. 68).
P o stu lad o de los dos p untos, la recta y el
plan o (pág. 69)
P o stu lad o de la separación de planos
(pág. 69)
P o stu lad o de la separación del espacio
(pág. 69)
P o stulado de las perpendiculares (pág. 69)
P o stu lad o de la regla (pág. 72)
P o stu lad o del tra n sp o rta d o r (pág. 73)
C a p itu lo 2
Capítulo 2
R e su m e n
Resumen
1. C om plétese la generalización siguiente:
A A B C es equilátero.
M , N , 0 son p u n to s medios.
A M N O es equilátero.
A
A EFD es equilátero.
R, Q, S son puntos medios.
A R Q S es equilátero.
G eneralización: Los p u n to s m edios de un X
form an los vértices de un X .
2. Escríbanse contraejem plos p a ra las siguientes generalizaciones
falsas.
a. Si las diagonales de u n cuadrilátero son perpendiculares, el
cuadrilátero es un cuadrado.
b. Si un cuad rilátero tiene c u atro ángulos congruentes, tiene
c u atro lados congruentes.
3. ¿C uál es la diferencia entre teorem a y postulado?
4. D ígase si es falso o verdadero.
a. T res p u n to s determ in an un plano.
b. D ad o s una recta f, y u n p u n to P que no está en la recta, hay
sólo una recta q u e contiene a P y es p erpendicular a l .
c. L a intersección de un p lan o y u n a recta puede contener
exactam ente dos puntos.
d. Si A, B y C son colineales, A B = 10 y B C = 4, entonces B está
en tre A y C.
5. Si S está en tre R y T, S T = 6, y R S = 10, encuéntrese RT.
6. Si L W X Y ^ Z X Y , m ¿ W X Y = 2 0 y m ¿ Y X V = 50,
encuéntrese m L Z X V .
7. Identifiqúense la hipótesis y la conclusión de:
a. D o s rectas son paralelas si n o se intersecan.
b. T o d o s los cuad rad o s son rectángulos.
8. C onsidérese la proposición:
Si u n a figura es u n cu ad rad o , tiene c u atro ángulos rectos.
a. Form úlese la recíproca de la proposición.
b. Form úlese la inversa de la proposición.
c. Form úlese la contrarrecíp ro ca de la proposición.
d. D ense contraejem plos p a ra a y b.
E n los ejercicios 9 y 10, form úlese u n a conclusión correcta.
9. Si u n a figura es u n rectángulo, las diagonales son congruentes.
A B C D es un rectángulo. P o r ta n to , X .
10. Si dos rectas n o están en el m ism o plano, no son paralelas.
X b || c í). P o r ta n to , X .
5
77
78
R a z o n a m ie n to e n g e o m e tría
Capítulo 2.
Examen
1. C om plétese la siguiente generalización.
A A B C es isósceles y CD
biseca a L C .
;C u á l es la relación en tre
CD y A B 1
C
/ \
A X Y Z es isósceles y M Z
/
\
biseca al ángulo Z.
A *-— — ^ B ¿Cuál e s j a relación entre
M Z y XYl
G eneralización: L a bisectriz de los vértices de u n triángulo
isósceles es J~ la base.
2. D ése u n contraejem plo p ara la siguiente generalización falsa.
Sólo hay una recta p erpendicular a u n a recta d a d a en un punto
de esa recta.
3. ¿C uál es el objeto de c o n ta r con térm inos indefinidos?
4. D ígase si es falso o verdadero.
a. D os p u n to s determ in an u n a recta.
b. U n a recta divide al espacio en d os semiespacios.
c. Si dos planos se intersecan, la intersección es u n punto.
d. Si X , Y y Z son colineales y X Z + Z Y = X Y , entonces Z está
en tre X t Y.
5. Si B está en tre A y C, A C = 10 y A B = 4, encuéntrese BC.
6. C om plétese lo siguiente:
mLABD + ± =
mLABC.
7. Identifiqúense la hipótesis y la conclusión de las siguientes
proposiciones:
a. U n trián g u lo es isósceles si tiene dos lados congruentes.
b. T odos los triángulos equiláteros tienen tres ángulos
congruentes.
8. C onsidérese la proposición:
Si dos ángulos son rectos, son congruentes.
a. F orm úlese la recíproca de la proposición.
b. F orm úlese la inversa de la proposición.
c. Form úlese la co n trarrecíp ro ca de la proposición.
d. D ense contraejem plos p ara m o stra r que a y b son falsas.
E n los ejercicios 9 y 10, enúnciese u n a conclusión correcta.
9. Si un trián g u lo tiene tres ángulos congruentes, es equilátero.
A A B C tiene tres ángulos congruentes.
P o r ta n to , JL.
10. Si d os ángulos son rectos (90°), son congruentes.
L A n o es congruente con L B.
P o r ta n to , X .
B
R e p a s o d e á lg e b ra
Repaso de álgebra
P a ra cada problem a, dése la p ro p ied ad algebraica ilustrada.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
Ley asociativa (sum a y m ultiplicación)
Ley conm utativa (sum a y m ultiplicación)
Ley distributiva (m ultiplicación sobre sum a)
P ro p ied ad inversa (sum a y m ultiplicación)
P rop ied ad de id entidad (sum a y m ultiplicación)
Sum a y resta de iguales
M ultiplicación y división de iguales
1. 3 • (7 • 9)
= (3 • 7) • 9.
2. Si x = 3, entonces 7x = 21.
3. 7 + ( —7) = 0 .
4. Si x — 2 = 1,entonces x
5. x - ( a + y ) = x a + xy.
6. Si a =
1. a + 0 = a.
8. a - b =
= 3.
b, entonces a + c = b - c.
b-a.
Despéjese x en las ecuaciones.
10. 3x = 35.
11. x - 7 = 19.
12. - = 8.
13. 2x + 9 = 11.
14. —4 x = 8.
15. 10 - x = 42.
16. - | + 9 = - 5 -
17. 3x -
9. x + 3 =
35-
6
19 = 17.
Resuélvanse y grafiquense en u n a recta num érica.
18. x > 321. x + 1 > -
17-
24. 9 - x > 3.
19.
7 < x.
20. 3x < 15.
22.
x < f
23. x + 2 > 24.
25.
| > 10.
26. 3 (x + 6) > 12.
Resuélvanse las ecuaciones.
27. |x| = 9.
28. 3|x| = 21.
30. |3x| = 2 1 .-'
3 1 .|* |- 2 =
33. |2x + 1| = 13.
34.
29. |x + 1| = 4.
35.
32. |3x + 2| = 17.
|x| - 9 = 25-
35. 3 — |x| = - 5 .
Calcúlese.
36. V25-
37. V m .
38. V 100 + 69.
39. \ Z l 2 l + V sT .
40. V ¥ .
41. 8 \ / 9 - 6 V 36.
79
■
Fotografía: lentes
Los fotógrafos suelen em plear diversas, lentes,
desde las g ran an g u lar h a sta el teleobjetivo,
p a ra o btener las fotografías que desean.
L as tres fotografías siguientes se to m aro n
desde la m ism a posición y co n la m ism a
cám ara, pero con lentes distintas.
G r a n a n g u la r
T eleo b je tiv o
N o rm a l
C o n la lente «norm al» se to m an fotografías cercanas a lo que el fotógrafo ve. C on
la lente g ran angular se to m a n fotos con u n a m ay o r am plitud de la escena. L as ¡
lentes de teleobjetivo am plían los objetos.
L os fotógrafos deben com p ren d er la «geom etría de la fotografía», p a ra saber
qué lente es la m ejor en cada caso. Se investigarán dos conceptos: la distancia
focal y el ángulo visual.
La distancia focal es la distancia en tre la lente y la película de la cám ara
cuand o la lente está enfocando u n objeto distante. El ángulo visual es el ángulo
form ad o p o r líneas im aginarias que van de los extrem os de la escena a la lente de
la cám ara.
A n g u lo visual
L e n te
D is ta n c ia focal
P e líc u la
80
El d iagram a siguiente ilu stra la relación en tre la d istan cia focal y el ángulo
visual. L a lente de la cám ara e stá en la m ism a posición en to dos los dibujos.
A ngulo visual
D ista n cia focal
película
T eleobjetivo
N o rm al
G ra n an g u lar
El d iagram a m uestra que la distancia focal m ás c o rta corresponde al ángulo
visual m ás grande. Las lentes g ran angulares tienen distancias focales m enores y
abarcan u n a am p litu d m ayor que las lentes norm ales.
C on el siguiente d ibujo se puede determ in ar el ángulo visual ap ro x im ad o de una
distancia focal dada.
-I
Paso 1 T rácese un segm ento A B de 43 m m de
longitud. E sta es la longitud de la diagonal
del negativo de la fotografía de una
película c o m ú n de u n a c á m ara corriente.
B
J
D
A
Paso 2 Biséquese A B . L lám ese C al pun to
m edio.
__
__
Paso 3 C onstrúyase D C 1 A B de m an era que
D C tenga u n a longitud igual a la
distan cia focal de la lente. (P o r ejemplo,
50
mm.)
aso 4 T rácense DA y DB.
o 5 M ídase L A D B con el tra n sp o rta d o r p a ra
buscar el áng u lo visual aproxim ado.
(P ara u n a distancia focal de 50 mm.)
m plétese la construcción an terio r p a ra cada u n a de las siguientes distancias
.les:
21 m m .
2. 50 m m .
3. 200 mm.
a ca d a distancia focal, tóm ense m edidas p ara b u scar el ángulo visual. U n a lente
distancia focal de 50 m m tiene u n ángulo visual sim ilar al que tiene el ojo
ano. E sta es u n a lente norm al. ¿Cuál es la d istan cia focal de u n a lente gran
a r y la de u n teleobjetivo?
81
C A P IT U L O
3.1
T r iá n g u lo s c o n g r u e n t e s
3 .2
P o s tu la d o s s o b r e la c o n g r u e n c ia
84
90
3 .3
P r u e b a s : u s o d e lo s p o s tu la d o s s o b r e la c o n g r u e n c ia
3 .4
P r u e b a s : u s o d e d e f in ic io n e s
3 .5
P r u e b a s : u s o d e p o s tu la d o s y d e f in ic io n e s
3 .6
P r u e b a d e la c o n g r u e n c ia d e á n g u lo s y s e g m e n t o s
100
3 .7
P r u e b a s : S o la p e d e t r iá n g u lo s
3.8
P r u e b a s : c a d e n a s d e c o n g r u e n c ia s
C o n c e p to s im p o rta n te s
104
110
116
122
R es u m en g lo b a l (C a p s. 1 a 3)
96
120
Resum en
125
La g e o m e tría e n n u estro m undo
A r q u it e c t u r a : d o m o s g e o d é s ic o s
126
123
Exam en
124
Triángulos
y congruencia
84
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
3.1
Triángulos congruentes
L o s a u to m ó v ile s se fa b ric a n
u tiliz a n d o la p r o d u c c ió n e n
c a d e n a . L o s c o m p o n e n te s
p r o d u c id o s d e b e n s e r d e
id é n tic o ta m a ñ o y fo rm a
p a r a p o d e rlo s e m p le a r en
c u a lq u ie r a u to m ó v il d e la
lín e a d e m o n ta je . L o s
re p u e s to s ta m b ié n d e b e n se r
id é n tic o s. E n g e o m e tría , a
la s fig u ra s q u e tie n e n el
m is m o ta m a ñ o y la m is m a
fo r m a se les lla m a
congruentes.
E n g e o m e tría , se re q u ie re u n a d e fin ic ió n a p r o p ia d a p a r a d e c id ir
c u á n d o d o s fig u ra s, c o m o A A B C y A D E F , s o n c o n g ru e n te s .
P u e d e h a c e rs e u n a p r u e b a c o n p a p e l v e g e ta l p a r a m o s tr a r q u e
A A B C p r o b a b le m e n te es c o n g r u e n te c o n A D E F (a p a r t i r d e las
D ib ú je s e A A B C .
Si p u e d e m o v e r el p a p e l p a r a q u e el
tr iá n g u lo tr a z a d o c o in c id a c o n A D E F , los
triá n g u lo s p ro b a b le m e n te s e a n c o n g ru e n te s.
3.1
C o n s id é re s e d e n u e v o la p r u e b a del
d ib u jo . Si se m a r c a c a d a v é rtic e c o n u n
sím b o lo e sp e c ia l, se o b s e rv a q u e lo s
v é rtic e s d e lo s d o s tr iá n g u lo s se
c o rr e s p o n d e n c o m o se m u e s tr a e n la
fig u ra . T a m b ié n se d e te r m in a la
c o rr e s p o n d e n c ia d e á n g u lo s .
T riá n g u lo s c o n g ru e n te s
85
Bs Q
/\
t-T *
A
B ^
C
D
E
F
L A <r+ L D
L B «-» Z E
LC+» LE
c o rre s p o n d e n c ia
e n tr e v értices
c o r r e s p o n d e n c ia
e n tre á n g u lo s
Si se m a r c a c a d a la d o c o n u n sig n o
e sp ec ial, se o b s e rv a q u e lo s la d o s se
c o r re s p o n d e n c o m o se m u e s tr a e n la
figura.
E n e s ta p r u e b a d e d ib u jo , se o b s e rv a
que:
A B == D E
BC = EF
ACzsDF
AB_ <r-> D E
¿A ^ LD
L B ^ L E
L C ^ L F
B C ^ E F
A C ^D F
c o r r e s p o n d e n c ia
e n tr e la d o s
Definición 3.1
S ie m p re q u e p u e d a h a c e rs e c o in c id ir u n
triá n g u lo c o n o t r o d e m a n e r a q u e las
p a r te s c o m p a r a d a s se a n c ongruentes, se d a
u n a c la se e sp e c ia l d e c o r r e s p o n d e n c ia
lla m a d a congruencia. P a r a in d ic a r e sta
c o n g ru e n c ia , se e scrib e: A A B C = A D E F .
E l d ia g r a m a m u e s tr a c ó m o e s ta
p r o p o s ic ió n s o b r e lo s tr iá n g u lo s
c o n g ru e n te s p r o p o r c io n a in fo rm a c ió n
esp ecífica s o b r e la s p a r te s q u e se
c o rre s p o n d e n (á n g u lo s y lad o s).
D os triángulos son congruentes si hay una
correspondencia entre sus vértices de m anera
que cada p a r de lados y ángulos
correspondientes sean congruentes. Obsérvese
que la congruencia se puede definir de m anera
sim ilar p a ra o tras figuras.
4
A
\
B
C
4/
=
A
\
\
D E F
86
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
EJERCICIOS-------------------------- -----A.
¿Cuáles de los siguientes pares de figuras son congruentes?
(Puede em plearse papel vegetal.)
1.
2.
3.
4.
E n los ejercicios 5 a 8, selecciónese la proposición correcta
(Em pléese papel vegetal si es necesario.)
B
5.
E
6-
a. A A B C ^ A D E F .
a . A A B C = A D EF.
b . A A B C s A E DF.
b . A A B C = A D FE.
c. A A B C
c. A A B C s í A F E D .
AEFD.
B
8.
7.
H
a. A B C D = EFGH.
b. A A B C = AEFD.
c. A A B C = A F D E .
b . A B C D ~ FGHE.
c. A B C D s
d. A B C D = GFEH.
3.1
T riá n g u lo s c o n g ru e n te s
87
D a d o que A A B C = A D E F , selecciónese la
proposición falsa en cada parte.
a. Á C s DF, Z S = Z E, B C = DE, ¿ C s ¿ F .
b. A B = E D , ¿ A = L D , Z C s Z F , A B s í E F .
c. Á B s é D E , B C ^ F E , Z C s ¿ D , A C ^ D F .
(Ejercicio 9)
D a d o que A U V W = A X Y Z , com plétense
las congruencias p a ra los seis pares de
p artes congruentes correspondientes.
(Ejercicio 10)
11. D a d o que A C A T = A DOG, form úlense
las congruencias p ara los seis pares de
partes congruentes correspondientes.
(Ejercicio 11)
En los ejercicios 12 y 13 hay dos proposiciones de
congruencia correctas. E ncuéntrense estas proposiciones.
a. A A B C ^ A D E F .
a. A B C D = EFGH.
b. A A B C = A E F D .
b. A B C D = F G H E .
c. A A B C s z A F D E .
c. A B C D s t G H EF .
d. A A B C ^ A E D F .
d. A B C D = F E H G .
14. D a d o que A P R S ^ A J K L , form úlense tres
proposiciones de congruencia sobre los ángulos y o tras
tres sobre los lados de los triángulos.
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
15 D ad as seis proposiciones de congruencia, com plétense
correctam ente las proposiciones sobre los triángulos congruentes.
L A = ¿B
¿ t =í ¿ p
¿ R sé L ]
A JLJLJL s
a c t iv id a d e s
AP = BT
QL
P R sTJ
A
li- 1
3.1
T riá n g u lo s c o n g ru e n te s
19. Si A A B C es un trián g u lo equilátero, puede
escribirse A A B C ^ A B C A. A dem ás de ésta, hay otras
cinco proposiciones de congruencia. Form úlense.
c.
C a d a u n a de las figuras siguientes contiene u n o o m ás pares
de triángulos congruentes. En ocasiones, los triángulos se
«solapan» unos a otros. F orm úlese u n a proposición
correcta de congruencia p ara ca d a p a r que se encuentre en
u n a figura.
SOLUCION D E PROBLEMAS _
1. ¿Qué p a re s de fig u ra s id é n tic a s h a y aq u í?
2. D ib ú je s e la fig u ra a y m á rq u e n s e lo s p u n to s d o n d e s e in te rs e c a n los
s e g m e n to s . E n c u é n tre n s e s e is p a re s d e triá n g u lo s c o n g ru e n te s (ca d a
un o de e llo s co n triá n g u lo s d e d ife re n te s ta m a ñ o s y fo rm a s ) y
fo rm ú le n s e las p ro p o s ic io n e s d e c o n g ru e n c ia c o rre c ta s .
89
90
T rián g u lo s y co n g ru e n c ia
3.2
Postulados sobre la congruencia
S u p ó n g a s e q u e u n a lfo m b ris ta n e c e sita
r e p a r a r u n a a lf o m b r a c o n u n re ta z o
tria n g u la r. N o es p r o b a b le q u e se m id a n los
tre s la d o s y lo s tr e s á n g u lo s p a r a c o r t a r la
p ie za . S ó lo se n e c e s ita n a lg u n a s d e e sas
m e d id a s. E n e s ta se c c ió n se a n a liz a r á n
c u á n ta s y q u é c o m b in a c io n e s d e la s seis
p a r te s d e u n tr iá n g u lo (la d o s a, b, c, y
á n g u lo s A , B, C) se n e c e s ita n p a r a
d e te r m in a r u n tr iá n g u lo c o n ta m a ñ o y
fo rm a p a rtic u la re s .
P r im e r o se e s ta b le c e n a lg u n o s c o n c e p to s
ú tile s p a r a tr a b a j a r c o n triá n g u lo s
c o n g ru e n te s .
U n ángulo y el lado opuesto a
éste se m arcan con la m ism a
letra; el ángulo con letra
m ayúscula, y el ángulo, con
m inúscula.
D os lados com prenden un
ángulo si el vértice del ángulo
es un extrem o de am bos lados.
D os ángulos com prenden un
lad o si los extrem os del lado
son vértices de los dos ángulos.
Si se c o n s tru y e u n tr iá n g u lo , d a d a s tre s d e la s seis p a rte s , se e n c u e n tra
q u e el ta m a ñ o y la fo r m a d e l tr iá n g u lo e s tá n c o m p le ta m e n te
d e te r m in a d o s d a d a la in fo rm a c ió n sig u ie n te :
A
1. D o s la d o s y el
á n g u lo c o m p re n d id o .
35"
c = 40 mm
2. D o s á n g u lo s y el
la d o c o m p re n d id o .
3. T re s la d o s.
3.2
P o s tu la d o s s o b re la co ngruencia
91
D e lo a n te r io r se o b tie n e n lo s tr e s p o s tu la d o s sig u ie n te s s o b r e c o n g ru e n c ia .
Postulado de la
congruencia LAL
Se c o n s id e r a q u e só lo
p u e d e r e s u lta r u n triá n g u lo
si se d a n d o s la d o s y el
á n g u lo c o m p r e n d id o , así
q u e se a c e p ta este
p o s tu la d o .
L as m arcas sobre el
triángulo m uestran cuáles
son los ángulos y lados
congruentes.
Si dos lados y el ángulo
com prendido de un triángulo
son respectivam ente
congruentes con dos lados y
el ángulo com prendido de
o tro triángulo, entonces los
dos triángulos son
congruentes.
Postulado de la
congruencia ALA
K
S e c ree q u e só lo p u e d e
r e s u lta r u n tr iá n g u lo si
e s tá n d a d o s d o s á n g u lo s y
el la d o c o m p r e n d id o , así
q u e se a c e p ta este
p o s tu la d o .
Si dos ángulos y el lado
com prendido de un triángulo
son respectivam ente
congruentes con dos ángulos
y el lado com prendido de
o tro triángulo, entonces los
dos triángulos son
congruentes.
Postulado de la
congruencia LLL
S e c re e q u e s ó lo p u e d e
re s u lta r u n tr iá n g u lo si se
d a n tre s la d o s , así q u e se
a c e p ta e ste p o s tu la d o .
Si los tres lados de un
triángulo son respectivam ente
congruentes con los tres lados
de o tro triángulo, entonces
los dos triángulos son
congruentes.
L a d e fin ic ió n d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s m u e s tr a q u e d e b e n c o in c id ir seis
p a re s d e p a r te s . P e r o e s to s tr e s p o s.tu la d o s s u g ie re n q u e e n o c a sio n e s só lo
es n e c e s a rio v e rific a r tr e s d e e s to s p a re s p a r a e s ta r se g u ro s d e q u e h a y
c o n g ru e n c ia . E s to s p o s tu la d o s se e m p le a r á n p a r a d e m o s tr a r o tro s
te o re m a s s o b r e triá n g u lo s .
92
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
EJERCICIOS______
A.
1. ¿Cuál de estos triángulos n o se denom inó en form a
correcta?
N
B U2. ¿Cuál de estos triángulos se denom inó en form a
correcta?
A
3. D ibújese u n trián g u lo y m árquense sus ángulos y lados
de acuerdo con el m étodo estándar.
Establézcase el ángulo (o lado) com prendido en cad a p a r de
lados (o ángulos).
4. A B y AD.
5. BD y BC.
6. ¿ ,4 y L C .
7. L A B D y L A D B .
8. A D y BD.
9. BD y CD.
B
10. ¿-A B C y L C .
¿ P o r cuál de los tres postu lad o s de la congruencia (LAL,
ALA, L LL) son congruentes estos tres pares de triángulos?
(Acéptese que la congruencia está indicada p o r las m arcas,
au n q u e es posible que los triángulos n o parezcan
congruentes.)
14.
(Ejercicios 4-10)
3.2
P o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia
En los ejercicios 15 a 22, se m arcaro n las p artes congruentes
de los triángulos. D eterm ínese si hay suficiente inform ación
com o p a ra decidir si los triángulos son congruentes p o r los
p ostu lad o s LA L, ALA o LLL. Si son congruentes, form úlese el
postulado.
15.
17.
19.
En los ejercicios 23 a 27, determ ínese si los triángulos son
congruentes. Si lo son, indíquese qué p o stu lad o (LAL, ALA,
LLL) puede usarse p a ra verificarlo.
23. D ado: P Q s s X Y , Q R
Y Z , P R s= X Z.
24. D ado: P R s s X Z , R Q == Z Y , Z i? s
ZZ.
25. D ado: Z F s L X , ¿ R s z ¿ Z , P Q ^ X Y .
26. D ado: ¿ Q =s Z Y, ¿ R s é Z Z , Q R s
YZ.
27. D ado: Z P = s Z X , Z g s Z F , Z i í s Z Z .
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
28. Em pléese el p o stu lad o L L L p a ra co n stru ir
un trián g u lo congruente con A A B C .
29. Em pléese el p o stu lad o LA L p a ra construir
un trián g u lo congruente con A ABC.
30. Em pléese el p o stu lad o ALA p a ra co n stru ir
un trián g u lo congruente con A A B C .
31. U n equ ip o de agrim ensores desea en co n trar la distancia
A B a través de u n lago. U n m étodo requiere la
construcción de u n p a r de triángulos congruentes. Los
agrim ensores seleccionan u n p u n to cualquiera C, m iden
L A C B y ubican un p u n to D de m an era que L A C D
=5 L A C B y CD S CB. ¿ P o r qué son congruentes L A C D
y L ACB1 ¿C óm o puede esto a y u d ar a en c o n trar la
distancia requerida?
ACTIVIDADES-
—
H á g a n se c o p ia s con c a rtu lin a (por lo m e n o s tr e s v e c e s m ay o res) d e los
s e is «p en tam in ó s» q u e s e m u e stra n .
Un «pentam inó» e s un polígono q u e coin cid e co n cinco c u a d ro s d e un
ta b le ro d e a je d re z .
C o lo q ú e n se los « p en tam in ó s» d e m a n e ra q u e s e form e un p a r de
re c tá n g u lo s d e idéntico ta m a ñ o y form a.
(Ejercicios 28-30)
C
3.2
P o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia
95
E n los ejercicios 32 a 37, form úlese u n p o stu lad o de
congruencia p a ra cada p a r de triángulos congruentes. Dígase,
adem ás, si los trián g u lo s son congruentes p o r ALA, LA L o
LLL. (Nota: empléese el concepto de que ta n to un segm ento
com o un ángulo son congruentes consigo mismos.)
SOLUCION D E PROBLEMAS
¿D e c u á n ta s m a n e ra s p u e d e c o lo c a rs e un c u b o d e 3 x 3 x 3 en un
cu b o d e 4 x 4 x 4? ¿ C u á n ta s p o sic io n e s d e 2 x 2 x 2 o d e 1 x 1 x 1
so n p o sib le s? C o m p lé te se la tab la.
ta m a ñ o
d e l cu b o
cubo de
✓
1
x 1x 1
y
s
s
cubo de 3 x 3 x 3
cub o de 2 x 2 x 2
/¿
S^
^s ---/ r-1—
n ú m e ro d e p o s ic io n e s
en un c u b o de
4x4x4
96
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
3.3
Pruebas: uso de los postulados
sobre la congruencia
P a r a p r o b a r q u e d o s tr iá n g u lo s s o n
c o n g ru e n te s , se e m p ie z a c o n la in fo rm a c ió n
d a d a y se e m p le a n lo s esq ue m as de
ra z o n a m ie n to d e d uctivo p a r a c o n c lu ir q u e
s o n re a lm e n te c o n g ru e n te s . L a a firm a c ió n d e
la h ip ó te s is e s el e s q u e m a q u e se u tiliz a c o n
m a y o r fre c u e n cia , c o m o se d e s c rib e a
c o n tin u a c ió n .
E l p o s tu la d o L L L tie n e la fo rm a g e n e ra l:
Si
los tres lados de u n trián g u lo son
respectivam ente congruentes con
los tres lados de o tro triángulo,
REPASO: L a afirm ación de la hipótesis es un
esquem a de razonam iento que se representa
com o sigue:
Siem pre que p - * q sea verdad
y se afirm e que p es verdad,
puede concluirse que q es verdad.
los dos triángulos
son congruentes
entonces
B
Y
A h o r a se p r e s e n ta u n a a p lic a c ió n esp ecífica
d e e s ta p ro p o s ic ió n :
A
C
XJ
Se o b s e r v a q u e to d a s la s c o n d ic io n e s e s ta b le c id a s e n p se sa tisfa ce n ; e sto es,
p e s v e r d a d e r o . C o n e s to se afirm a la hipótesis. P o r ta n to , p u e d e c o n c lu irse :
q es v e rd a d e ro . A p lic a n d o e s to a e ste c a s o esp ecífico , A A B C s A X Y Z .
R e s u lta ú til o r g a n iz a r el p e n s a m ie n to a l fo r m u la r la prueba
a n te r io r e n d o s c o lu m n a s . L a c o lu m n a iz q u ie rd a se u s a p a r a las
p ro p o s ic io n e s q u e lle v a n a la c o n c lu s ió n d e s e a d a . L a c o lu m n a d e la
d e re c h a d a las ra z o n e s p o r la s c u a le s la s p ro p o s ic io n e s so n v e rd a d e ra s .
D ado: A B ^ X Y
B C = YZ
A C séX Z s
P ru é b e se : A A B C = A X Y Z .
B
A A --------- HH---------- X a ----------------
Prueba
Razones
Afirm aciones
1. Á B = X Y .
1. D ado.
2. B C = YZ.
2. D ad o .
3. A C ^ X Z .
3. D ad o .
4. A A B C s z A X Y Z .
4. P o stu lad o de la congruencia
■444
-H 4
3.3
P ru e b a s : u s o d e lo s p o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia
A h o r a se p r e s e n ta n o tr o s d o s e je m p lo s d e p r u e b a s se n c illa s s o b re
la c o n g ru e n c ia d e d o s triá n g u lo s . O b s é rv e s e q u e se e m p le a la
a firm a c ió n d e la h ip ó te sis.
___
Ejemplo 1
___
C
D a d o : ¿ \B = X Y
ZA=* ¿X
Z f is ¿Y.
P ru é b e se : A A B C = A X Y Z .
Prueba
Razones
A firm aciones
1. A B ~ X Y .
1. D ado.
2. ¿ A = i Z X .
2. D ado.
3. Z B = ¿ Y .
3. D ado.
4. A A B C ^ A X Y Z .
4. P o stu lad o de la congruencia ALA.
M
Ejemplo 2
D ado:
P ru é b e se :
M N ss M P
Z 1 = Z2.
A M N Q s AMPQ-
Prueba
Razones
Afirm aciones
1. M Ñ ^ M P .
1. D ado.
2. Z l s Z 2 .
2. D ado.
3. M Q s M Q -
3. U n segm ento es congruente consigo mismo.
4. A M N Q = A A ÍPQ -
4. P o stu lad o de la congruencia LAL.
(Nota: A lgunas veces, com o en el tercer paso, hay u n lado com ún
a dos triángulos. E l concepto de que «un segm ento es congruente
consigo m ism o» puede usarse p ara o btener un segundo par de
lados congruentes necesario p a ra afirm ar la hipótesis del postulado
de la congruencia LA L. Este concepto se an alizará m ás a fondo en
el Cap. 4.)
97
98
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
EJERCICIOS_______________________
A.
Pruébese la congruencia de los siguientes triángulos
form ulándose una dem o stració n a d os colum nas. Elabórense
las dem ostraciones de acuerdo con los ejem plos recién vistos.
AC ^D F
AB
DE
Z A s LD.
Pruébese: A A B C = ADEF.
1. D ado:
c
RSssKL
ST=sJK
RT^JL.
Pruébese: A R S T ^ A LKJ.
2. Dado:
3. Dado:
Pruébese:
4. Dado:
ZD = ZX
Z_F = _ZZ
DF^XZ.
A D EF s A XFZ.
A C ^A D
A B síA E
B C = DE.
Pruébese: A A B C = A AED.
ACTIVIDADES
H á g a n se c o p ia s g ra n d e s d e e s to s « p e n ta m in ó s » (fig u ra s d e c in c o
c u a d ra d o s ) y c o ló q u e n s e d e m a n e ra q u e fo rm e n un p a r de
re c tá n g u lo s de id é n tic a fo rm a y ta m a ñ o .
A
3.3
P ru e b a s : uso d e los p o s tu la d o s s o b re la c o n g ru e n c ia
5. Dado:
Z 1=Z2
Z 3 s Z4.
Pruébese: & A B D s A C D B -
1. D ado:
6. Dado:
DE = DF
E H ss HF.
Pruébese: A D H E s s A D HF.
8. D ado:
H I as K I
A } = i_ ¿ 2
J I = IL.
Pruébese: A H I J = A K I L .
/IB = CD
Z 1 = Z2.
Pruébese: A A B D s A C D B .
D
Pruébese: A A C E
ADBF.
10. D ado:
Á C ^ BD, A E ^ DF
¿ A ^ ¿D.
Pruébese: A C A E s A B D F.
(Ejercicios 9, 10)
11. Dado:
AA
¿ C , Á B ^ BC.
Pruébese: A C B £ s A A B D .
12. D ado:
¿ J3 D A j= ¿ B E C
BD = B£.
Pruébese: A B D A = A BEC.
_ SOLUCION D E PROBLEMAS.
¿ C u á le s d e los sig u ie n te s m o d elo s
p u e d e n p le g a rs e d e m a n e ra que
form en un c u b o d o b lan d o y
p e g a n d o los b o rd e s?
¿ C u án to s m o d e lo s m á s d e s e is
c u a d ro s s e p u e d e n d ib u ja r q u e al
p le g a rlo s form en un cu b o ?
(Ejercicios lt , 12)
99
100
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
3.4
Pruebas:
uso de definiciones
REPASO: D os rectas son
perpendiculares si se intersecan
p a ra form ar ángulos rectos
congruentes.
L a a n te r io r d e fin ic ió n d e la s r e c ta s p e rp e n d ic u la re s y la s d e fin ic io n es
d e b ise c triz d e l á n g u lo , p u n to m e d io , b is e c triz d e l s e g m e n to (Sec. 1.5) y
b ise c triz p e r p e n d ic u la r (Sec. 1.6), se u tiliz a n c o n fre c u e n c ia e n las
d e m o stra c io n e s .
C o n s id é re s e el s ig u ie n te e je m p lo d e afirm ación de la hipótesis (Sec. 2.6).
p -* q: Si u n r a y o b ise c a a u n á n g u lo , e n to n c e s
lo s d o s á n g u lo s q u e se f o r m a n s o n
c o n g ru e n te s .
p: A ( ? b ise c a a L B A D .
P o r ta n to ,
se c o n c lu y e q u e q: Z 1 =
Z 2.
•D
E s ta d e m o s tr a c ió n se m u e s tr a a c o n tin u a c ió n c o n u n
d is e ñ o d e d o s c o lu m n a s .
D a d o : A Ü b ise c a a ¿ B A D .
P ru éb e se : L 1 s L 2 .
Prueba
■D
Razones
Afirm aciones
1. A(? biseca a ¿ B A D .
1. D ado.
2. ¿ l s ¡ ¿ 2 .
2. D efinición de la bisectriz
del ángulo.
L a s p r u e b a s sig u ie n te s m u e s tr a n el e m p le o d e las
d e fin ic io n e s d e l p u n to m e d io , la b is e c triz y la s re c ta s
p e rp e n d ic u la re s . E s tú d ie s e c a d a p ru e b a .
3.4
P ru e b a s : u so d e d e fin ic io n e s
101
Ejemplo 1
D a d o : C es el p u n to m e d io d e BD.
P ru é b e se : B C = C D .
Prueba
R azones
A firm aciones
1. C es el p u n to m edio de
BD.
2. BC £ CD.
■D
1. D ado.
2. D efinición del p u n to medio.
Ejemplo 2
B
D a d o : A C e s la b is e c triz p e r p e n d ic u la r d e B D .
P ru é b e se : C es el p u n t o m e d io d e BD .
A
Prueba
R azones
Afirm aciones
1. A C es la bisectriz__
perpendicular de BD.
1. D ado.
2. C es el p u n to m edio de
BD.
2. D efinición de la bisectriz
perpendicular.
Ejemplo 3
D ado: A C A -B D .
P ru é b e se : Z A C D =
D
¿LACB.
Prueba
R azones
A firm arciones
A
1. A C ± BD .
1. D ado.
2. ¿ A C D s s ¿ A C B .
2. D efinición de las rectas
perpendiculares.
102
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
EJERCICIOS
En los ejercicios 1 a 8, empléese alguna de las
definiciones p resen tad as en esta sección p a ra sacar una
conclusión de los d ato s dados.
1. D ad o : X M biseca a L Z X Y .
N es el p u n to m edio de AB.
2. Dado: R M _LTU.
4. D ado: A C y BD se bisecan entre sí.
5. D ado: S F es la bisectriz__
p erpendicular de PQ.
6. D ado: D B biseca a ¿ E D F .
A
7. Dado: T es el p u n to m edio de QS.
8. D ado: K M es la bisectriz perpendicular
ACTIVIDADES
"
C o p íe n se e n g ra n d e e s to s d iez «pen tam in ó s» y jú n te n s e p a ra fo rm a r un
p a r d e c u a d ra d o s d e id én tica fo rm a y tam añ o.
3.4
P ru e b a s : u so d e d e fin ic io n e s
B.
F orm úlese u n a d em ostración a d os colum nas p a ra los ejercicios 9 a 14.
9. D ado:
BD biseca a L A D C .
Pruébese: L A D B s ¿ B D C .
10. D ado:
QS es la bisectriz perpendicular
de PR.
__
Pruébese: S es el p u n to m edio de PR.
S
11. D ado:
M es el p u n to m edio de AD.
Pruébese: A M = M D.
12. D ado:
PR1QS.
Pruébese: ¿ P T Q s í Z P T S .
13. D ado:
14. D ado:
BD biseca a AC.
Pruébese: A E = EC.
LQ-es la bisectriz perpendicular
de J N : x_
Pruébese: J Q s Q N.
Q
\
r- SOLUCION D E PROÓLEMAS.
En e s to s d ib u jo s s e m u e stra n c u a tro fo rm a s d ife re n te s de
dividir un c u a d ro en c u a tro p a rte s id én ticas.
¿Q u é o tra s fo rm a s s e p u e d e n e n c o n tra r? M u é stre n se por lo
m e n o s o tra s cinco en un p a p e l p u n tead o .
R
103
104
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
3.5
Pruebas: uso de
postulados y definiciones
MO ESTft MM. ¿ E tt? \
'ESTE PEQUEÑO S16N0
Q u ie r e d e c i r
."Congruente con -
SI f\IGUN DIA NECE
SITAS UN "CONGRUEN
T E c o n " , yo PUEQO
DIBUJARTELO.
U n ite d F e a tu re S y n d icate, Inc.
L a s d efin ic io n e s d e b is e c triz d e l á n g u lo , b is e c triz d e l s e g m e n to , b ise c triz
p e rp e n d ic u la r y p u n to m e d io p u e d e n u s a rs e , ju n t o c o n lo s p o s tu la d o s
s o b re la c o n g ru e n c ia , p a r a p r o b a r q u e d o s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s.
P a r a d e d u c ir la p r u e b a d e q u e d o s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s ,
su e le se r ú til a n a liz a r la s itu a c ió n e m p e z a n d o p o r lo q u e se v a a
p r o b a r y h a c e r el d e s a r r o llo h a c ia a tr á s . E s tu d íe s e el sig u ie n te
ejem p lo .
P ro b le m a :
D ado: A B s A D
A C b ise c a L B A D .
P ru é b e se : A A B C
AADC.
A n álisis (c ó m o se p o d r ía d e d u c ir la fo rm a d e re s o lv e r el p ro b le m a ): «Se
q u ie re p r o b a r q u e A A B C ^ A A D C . P o d r ía h a c e rse p o r m e d io d e los
p o s tu la d o s d e la c o n g r u e n c ia L L L , L A L o A L A , p e ro ¿ c u á l d e ello s? P o r la
__
in fo rm a c ió n d a d a _ se s a t e q u e A B ss A D . Si p u d ie r a p r o b a r s e q u e
Z 1 s Z 2 y q u e A C = A C , p o d r ía e m p le a rs e el p o s tu la d o L A L . P e ro A C
b ise c a a L B A D , así q u e Z 1 ss Z 2 . A d e m á s, u n s e g m e n to es c o n g ru e n te
c o n s ig o m ism o . Sí, p u e d e h a c e rse .»
Prueba
R azones
A firm aciones
l. Á B sé Á D .
i. D ado.
2. A C biseca & ¿ B A D .
2. D ado.
3. Z 1 = Z 2 .
3. ¿ P o r qué?
4. A C m A C .
4. U n segm ento es congruente
consigo mismo.
5. A A B C s
AADC.
5. P o stu lad o de la congruencia LAL.
A
3.5
P ru e b a s: u so d e p o stu la d o s y definiciones
E s tú d ie s e el análisis d e la s p r u e b a s sig u ie n te s y co m p lé te n se .
A
Ejemplo 1
Dado:
A B = AD.
____
C es el p u n to m e d io d e B D .
Pruébese; AA B C = AADC.
A nálisis: « ¿ C u á l d e lo s p o s tu la d o s d e c o n g ru e n c ia se p u e d e u tiliz a r p a r a
e sto , A L A , L A L o L L L ? Se p u e d e p r o b a r q u e A A B C s A A D C , si se
p u e d e d e m o s tr a r q u e tr e s la d o s d e A A B C s o n re sp e c tiv a m e n te
c o n g ru e n te s c o n lo s tr e s la d o s d e A A D C . P o r lo s d a to s , se s a b e q u e
A B s A D . A C = A C , p o r q u e u n s e g m e n to es c o n g r u e n te c o n s ig o m ism o .
B C = C D si C es el p u n to m e d io d e B D . A l se rlo (p o r lo s d a to s ), y a se
p u e d e f o r m u la r la p ru e b a .»
Prueba
R azones
Afirm aciones
¡II
I?
1. D ado.
2. C es el p u n to m edio de BD-
2. D ado.
3. B C s CD-
3. ¿P or qué?
4. A C s A C .
4. U n segm ento es congruente
consigo mismo.
5. A A B C = A A D C .
5. ¿P or qué?
E le m p iO 2
A
Dado:
A C es la b is e c triz p e r p e n d ic u la r d e BD .
Pruébese; A A C B = A A C D
A nálisis: «Se p u e d e p r o b a r q u e A A C B = A A C D c o n u n o d e l o s __
p o s tu la d o s d e la c o n g ru e n c ia . S e in te n ta c o n el L A L . Se s a b e q u e A C
s A C . C o m o A C es la b is e c triz p e r p e n d ic u la r d e B C , L A C B s A A C D y
B C 35 C D . A h o r a y a se p u e d e f o r m u la r la p ru e b a .»
Prueba
R azones
Afirmaciones
1. A C biseca a BD .
1. D ado.
2. B C
2. D efinición de la bisectriz de
un segm ento.
CD-
3. A C 1 B D .
4.
ZACB s ¿ACD .
3. D ado.
4. ¿ P o r qué?
5. Á C = Á C .
5. ¿P or qué?
6. A A C B = A A C D .
6. Postulado de la congruencia LAL.
•D
106
EJERCICIOS
A.
E n los ejercicios 1 a 4, analícese la situación e indíquese cuál
de los tres p o stu lad o s sobre la congruencia (LLL, LA L o ALA)
po d ría usarse p a ra p ro b a r que los triángulos son congruentes.
1. D ado:
A D biseca a B C
A B ssA C .
Pruébese: A A B D sé A A C D .
..
2. Dado:
R T biseca a Z Q R S
R T biseca Á Q T S .
Pruébese: A R T Q ^ A R T S .
A
C
3. Dado:
NPLM O
N P biseca A M P O .
Pruébese: A M N P = A O NP.
M
4. Dado:
A E y BD se bisecan
Z lsZ 2.
Pruébese: A A B C
A EDC.
A
D
E n los ejercicios 5 a 7, form úlense las razones o proposiciones
que faltan.
A D = _D¿?
5. D ado:
AB1DC.
Pruébese: A D A C s s A D B C .
Afirm aciones
Razones
1. A D s s DB.
1. D ado.
2. A B ± D C .
2. ? •'
3. Z i a Z 2 .
3. p ^ 1 .'. ■<. .•j <rx~
4. ?
4. U n segm ento es congruente
consigo mismo.
c O
5. A D A C
ADBC.
5. ?
3.5 P ru e b a s : u so d e p o s tu la d o s y d e fin ic io n e s
6. Dado:
A fí
CD
Z ls Z 2 .
Pruébese: A A B C s z A C D A .
A firm aciones
1. A B
R azones
CD.
1. D ado.
2. Z l s Z 2 .
2. D ado.
3. ?
3. U n segm ento es congruente
consigo mismo.
s é
4. A A B C s
ACDA.
4. ?
7. Dado:
XM ±YZ
X M biseca a Z YX Z.
Pruébese: A X Y M
A XZM.
Afirm aciones
^
Razones
1. X M _L YZ.
1. D ado.
2. ?
2. Definición de las rectas
perpendiculares.
3. X M biseca a Z FA’Z.
3. ?
4. Z l s Z 2.
4. ?
5. X M
5. ?
XM.
6. A X Y M sé A X Z M .
6. ?
B.
E n los ejercicios 8 a 17 pruébese que los triángulos son congruentes.
8.
10.
D ado: X M biseca a Z Y X Z
ZlsZ 2,
Pruébese: A X M Y = A X M Z .
Dado:
/ í C es la bisectriz de Z B A D
Á B s í AD.
Pruébese: A B A C == A D A C .
9. Dado:
XM ±YZ_
Y M ss M Z.
Pruébese: A X Y M s s A X Z M .
X
11. Dado:
Q M = OP
Q N biseca a MP.
Pruébese: A Q N M s s A QNP.
M
107
108
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
12. Dado:
A C biseca a Z D A B
A C biseca a L D C B .
Pruébese: A A C D = A A C B .
13. Dado:
14. Dado:
15. Dado:
H R A -A E _
AH = sA D
Z lsZ 2 .
Pruébese: A A H E ~ A A D R .
R
Z l s Z 2
LA s Z £
N es_el p u n to m edio
de
Pruébese: A A B N =s A E D N .
Pruébese:
16. Dado:
17. Dado:
Z £ s ZAT_
5 biseca a E N
E A ss w y
Pruébese: A E A S = A N Y S .
S
Pi? biseca a 5 2
5 2 biseca a P P .
Pruébese: A P Q T s z A R S T .
ACTIVIDADES!
Un « h e xa d ia m a n te » e s un p o líg o n o fo rm a d o c o n s e is
triá n g u lo s e q u ilá te ro s .
\
/
W
\
/
\
A
E ste e s un «hexadiam ante«
V ___
E ste no e s un «hexadiam ante»
D ib ú je n s e y c ó rte n s e s e is c o p ia s d e e s te triá n g u lo
e q u ilá te ro en un tro z o d e c a rtu lin a . E x p e rim é n te s e con
e s to s s e is triá n g u lo s p a ra d e s c u b rir d o c e « h e x a d ia m a n te s »
d e fo rm a s d ife re n te s . D ib ú je n s e los d o c e p o líg o n o s .
3.5
P ru e b a s : u so d e p o s tu la d o s y d e fin ic io n e s
A B C D E es un p entágono
regular.
Pruébese: A A E B = A CDB.
B
19. Dado:
A B ss A C
A I biseca a Z B A C .
Pruébese: A A I B = A A IC .
A
21. Dado:
18. D ado:
20. Dado:
B F biseca a / - A B C
A B C D E es un pentágono regular.
Pruébese: A A B F = A CBF.
B
A B ss B C
__
M es el p u n to m edio de A C .
Pruébese: L A s s Z C .
B
C
22. El poste Y Z de una tienda de
cam p añ a es perpendicular al suelo.
¿Q ué o tra s condiciones h a n de
cum plirse pa ra aseg u rar que los lados
Y W e Y X son de igual longitud?
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
E ste d ibujo m u e s tra 13 palillo s d is p u e s to s
p a r a fo rm ar s e is triá n g u lo s. ¿Q ué tre s
p alillo s p u e d e n q u ita rs e p a ra q u e q u ed en
tr e s triá n g u lo s?
In v é n te se un p ro b le m a con palillos
sim ila r a é s te .
109
110
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
3.6
Prueba de la congruencia de ángulos
y segmentos
U n in g e n io so e s tu d ia n te d e g e o m e tr ía (q u e e r a
u n b u e n n a d a d o r , p e r o n o d em a siad o b u e n o ),
u só este m é to d o p a r a e n c o n tr a r la d is ta n c ia
e n tre el m u e lle y la isla:
E líja se u n p u n t o P e n la o rilla d e l río .
C o n s tru y a s e L í s ¿ 2 y h á g a s e ta m b ié n q u e
L 3 s L A . L o c a líc e se v is u a lm e n te el p u n to de
in te rse c c ió n A d e lo s la d o s d e lo s á n g u lo s 1
y 3. ¿ P o r q u é la d is ta n c ia d e l m u e lle a la isla
D I ) es la m is m a q u e D A ?
P a r a re s p o n d e r a e s ta p r e g u n ta , re c u é rd e s e la
definición d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s (Sec. 3.1).
C
Z
A A B C s A X Y Z sig n ific a q u e lo s ig u ie n te es v e rd a d e ro :
ÁB = X Y
AC = XZ
B C = YZ
¿ A ^ L X
¿ B ^ L Y
LC ^LZ.
C o n fre c u e n c ia se p r u e b a q u e u n p a r d e s e g m e n to s o á n g u lo s so n
c o n g ru e n te s p r o b a n d o a n te s q u e u n p a r d e tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s.
L u eg o se p u e d e u s a r la d e fin ic ió n d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s p a r a c o n c lu ir
:}ue la s p a r te s d e lo s tr iá n g u lo s q u e se c o r r e s p o n d e n s o n c o n g ru e n te s.
E n el p r o b le m a d e l m u e lle y la isla , A D A P = A D I P p o r el p o s tu la d o de
ia c o n g ru e n c ia A L A . D a d o q u e D A y D I s o n p a r te s c o r re s p o n d ie n te s d e
:s to s tr iá n g u lo s , D A ^ D I.
P a r a p r o b a r la c o n g ru e n c ia d e á n g u lo s o se g m e n to s, a veces se p u e d e:
1. s e le c c io n a r tr iá n g u lo s q u e c o n te n g a n e s to s s e g m e n to s (o án g u lo s);
2. p r o b a r q u e lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s ;
3. c o n c lu ir q u e la s p a r te s c o rre s p o n d ie n te s d e s e a d a s de
e sto s triá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .
Al f o r m u la r p r u e b a s , se d a la s ig u ie n te r a z ó n p a r a el te rc e r p a so ,
.a s p a r te s c o r r e s p o n d ie n te s d e tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s s o n c o n g ru e n te s .
A b re v ia d o , e s to es:
P a r te s c o rre s p o n d ie n te s d e A s s o n s , o P C T C C .
3.6
P ru e b a d e la c o n g ru e n c ia d e á n g u lo s y s e g m e n to s
E s te p r o c e d im ie n to se ilu s tr a e n lo s d o s e je m p lo s sig u ie n te s.
A
Ejemplo 1 D a d o :
AB ~ AD
Z _ l_ = Z 2 .
P ru é b e se : B E = D i?.
A nálisis: «Se p u e d e p r o b a r q u e B E ss D £ si es p o s ib le e n c o n tr a r u n p a r
d e tr iá n g u lo s c o n g r u e n te s q u e c o n te n g a n e s to s se g m e n to s. A A B E y
A A D E p a re c e n c o n te n e rlo s . ¿ Q u é p o s tu la d o d e c o n g ru e n c ia se p u e d e
u s a r p a r a p r o b a r q u e s o n c o n g r u e n tes? In t é n te se c o n L A L . C o m o se
s a b e q u e Z 1 =? Z 2 , A B s A D y q u e A E ss A E , p u e d e p r o b a r s e q u e lo s
triá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s y c o n c lu ir q u e B E = D E .»
Prueba
R azones
A firm arciones
1. A B ss Á D .
1. D ado.
2. Z 1 = Z 2 .
2. D ado.
3. A E s A E .
3. ¿ P o r qué?
4. A A B E s A A D E .
4. P o stu lad o LAL.
5. B E ss D E .
5. P a rte s correspondientes
de A s son s .
Ejemplo 2
D ado:
A C y B D se b ise c a n
Z I ss Z 2.
P ru é b e se : Z 3 = s Z 4 .
A n álisis: « Z 3 y Z 4 e s tá n e n A A O D y A 5 0 C , re s p e c tiv a m e n te , y en
AA .D C y A A B C , re s p e c tiv a m e n te . P o r la in fo rm a c ió n d a d a , p a re c e q u e
se d e b e p r o b a r q u e A A O D es c o n g r u e n te c o n A C O B . (¿ P o r qué?)
E n to n c e s , p u e d e c o n c lu irs e q u e Z 3 e s c o n g r u e n te c o n Z 4 .»
Prueba
R azones
Afirm aciones
1. ,4C y BD se bisecan.
1. D ado.
2. A O ^ C Ó ; Ó B ^ Ó D .
2. Definición de la bisectriz
del segm ento.
3. Z l s
3. D ado.
Z2.
4. A A O D = A C O B .
4. P o stu lad o LAL.
5. Z 3 s Z 4 .
5. P C T C C .
112
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
EJERCICIOS______
A.
En los ejercicios 1 a 5, indiquese qué triángulos puede
d em ostrarse que son congruentes p a ra establecer el hecho
indicado. (En algunos casos puede h ab er m ás de un p a r de
trián g u lo s correctos.)
1. Pruébese: A B s í ÁC.
A
2. Pruébese: Z F s Z Í .
3. Pruébese: EG
F
B
D
EH.
C
5. Pruébese: J N = NL.
4. Pruébese: AD = BC.
Drr ------------------------ C
K
E n los ejercicios 6 a 8, form úlense las proposiciones y
razones que faltan.
6. D ado:
Z1 3 Z2
Z 3 s s Z4 .
Pruébese: Z / í s Z C.
A firm aciones
R azones
1. Z l s Z 2 .
1. ?
2.
2. D ado.
?
3. D B s D B .
3. U n segm ento es congruente
consigo mismo.
4. A A D B s s A C B D .
4. ?
5. ¿ A ^ Z C .
5. ?
M N ^ MP
N O s í OP.
Pruébese: M O biseca Z NMP.
7. D ado:
R azones
A firm aciones
1. Á Í Ñ = M P ; Ñ O s
OP.
1. ?
2. ?
2.
3. A M N O ^ A M P O .
3. ?
4. ?
4. P C T C C .
5. M O biseca a ¿ N M P .
5. ?
?
3.6
P ru e b a d e la c o n g ru e n c ia d e á n g u lo s y s e g m e n to s
113
8. D ado:
ABCDEF es un hexágono regular.
Pruébese: A C s B F
/ —
\
>c
v
x
A
, /
B
A firm aciones
R azones
1. ABCDEF es un hexágono
regular.
1. D ado.
2. A F s¡ BC.
2, } A'fccDLf
3. ?
3. U n segm ento es congruente
consigo mismo.
4. Z FAB sé Z ABC.
4. ?
5. A FAB
5. ?
AC B A .
6. ?
*ovn [ « ^ ^ 0 ,0 0
,-to
6. PC TC C .
B.
E n los ejercicios restantes, form úlense p ru eb as a d o s colum nas.
9. Dado:
Z ls Z 2
41
=
41
10. Dado:
OA, OB, OC, OD son congruentes
41
-
Pruébese: B C = CD.
=
41
-
Pruébese: A B = CD.
B
D
ü
11. Dado:
ABCDE es u n p entágono
regular.
Pruébese: A ADC es isósceles.
X O es la bisectriz perpendicular
de MP.
Pruébese: A X M P es isósceles.
12. D ado:
X
B
114
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
13. D ado:
Z l s Z2
D biseca a C E
¿C ~ ¿E . A
Pruébese: B D ss DF.
15. E n un gim nasio, el extrem o de u n a red
de voleibol está sujeto a la p a re d con
dos argollas en los p u n to s P y M . C ad a
p u n to del p lan o de la red está a una
d ista n d a igual de las d o s jin e a s de base
A C y BD. ¿ P o r cjué es P M
p erpendicular a AB?
ACTIVIDADES—
H á g a n s e e s to s 12 « p e n ta m in ó s » con
c u a d ra d o s d e l ta m a ñ o d e lo s d e un ta b le ro
de a je d re z .
En e s ta fig u ra , s e d is p u s ie ro n s e is
« p e n ta m in ó s » de fo rm a q u e n in g u n a d e las
p ie z a s re s ta n te s se p u e d e a d a p ta r a l ta b le ro
sin s o la p e . In té n te s e e s to m is m o con
d ife re n te s ju e g o s d e s e is p ie za s.
14. D ado:
A B C D E F G H es un octágono
regular.
Pruébese: D F s s G E
16. D ado:
A D == B C
Z 1 £3 Z 2
N es el p u n to m edio de AB.
Pruébese: A C N D es isósceles.
l
3.6
P ru e b a d e la c o n g ru e n c ia d e á n g u lo s y s e g m e n to s
115
C.
E n los ejercicios 17 a 20, puede ser necesario p ro b a r que
hay m ás de un p a r de triángulos congruentes.
17. D ado:
A B C D E F es u n hexágono regular.
Pruébese: Z 1 s Z 2.
(Sugerencia: Pruébese prim ero que
A E = BD.)
A
B
L i s L 2, L 3 s L A
Z 5 s Z 6, Z 7 s Z 8 .
Pruébese: Z ^ s L C .
B
18. Dado:
rC
A B C D E F G H es un octágono regular
ÄFJ-A B ; B G L G F
L l s Z2.
Pruébese: A A H I = A GHI.
20. Dado:
19. Dado:
recular
AG biseca a L E A B y es l a __
bisectriz p erpendicular de D C .
Pruébese: A B C F = A EDF.
A
B
A
B
C
D
_
SO LUCIO N D E PROBLEMAS.
M u é stre se có m o c o rta r un h e x á g o n o re g u la r
en 18 c o m e ta s c o n g ru e n te s. U na c o m e ta e s
un c u a d rilá te ro con e x a c ta m e n te d o s p a r e s de
la d o s a d y a c e n te s c o n g ru e n te s. (Sugerencia:
T rá c e n s e to d a s la s d ia g o n a le s del h e x á g o n o y
d e s p u é s tr á c e n s e o tro s s e is s e g m e n to s c o rto s
co lo c a d o s e stra té g ic a m e n te .)
116
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
3.7
Pruebas: solape
de triángulos
U n « r o m p e c a b e z a s » m u y p o p u la r
c o n siste e n h a lla r u n p a r d e triá n g u lo s
e q u ilá te ro s c o n g r u e n te s e n e s ta fig u ra y
e n d ib u ja r lo s e n u n p a p e l a p a rte .
R e su é lv a se e ste p ro b le m a .
E n la s p r u e b a s , s u c e d e c o n fre c u e n c ia q u e v a r io s tr iá n g u lo s se
s o la p a n , lo c u a l h a c e difícil id e n tific a r a p r im e r a v is ta los triá n g u lo s
q u e p o d r ía n s e r m á s ú tile s p a r a p r o b a r la c o n g ru e n c ia . E n o c a sio n e s, es
ú til s e p a r a r lo s tr iá n g u lo s m e n ta lm e n te o d ib u já n d o lo s , p a r a a y u d a r a
a n a liz a r la p r u e b a , c o m o se m u e s tr a e n el e je m p lo sig u ien te .
Ejemplo 1
D ado:
¿
1 cg
Z2
A C ==; D F
¿ 3 = ¿4.
P ru é b e se : E F s s B C .
A nálisis: « E s n e c e s a rio e s c o g e r u n p a r de
triá n g u lo s q u e c o n te n g a n E F y B C . ¿ Q u é
su c e d e c o n A E F H y A B C H 1 N o se p u e d e
p r o b a r q u e s o n c o n g ru e n te s . I n té n te s e c o n
A E F D y A B C A . E s to s d o s tr iá n g u lo s so n
c o n g ru e n te s p o r el p o s tu la d o A L A , y se
p u e d e c o n c lu ir q u e E F s B C .»
E n lo s e je rc ic io s se p e d ir á c o m p le ta r e sta
p ru e b a .
3.7
P ru e b a s : S o la p e d e triá n g u lo s
Ejemplo 2
Dado:
¿ 1 = ¿-(i.
Z_3 =s ¿ A .
A E = CD.
Pruébese: ¿ A B E = ¿ C B D .
C
A nálisis: « L o s tr iá n g u lo s s o la p a d o s A A B E y A C B D c o n tie n e n d o s p a re s de
á n g u lo s c o n g ru e n te s . L o s la d o s in c lu id o s ta m b ié n s o n c o n g ru e n te s . Se
p u e d e u s a r el p o s tu la d o A L A p a r a p r o b a r lo .»
B
B
C
A veces e s ú til e m p le a r lá p ic e s d e c o lo re s p a r a m a r c a r lo s triá n g u lo s
s o la p a d o s . E s tú d ie s e el s ig u ie n te e je m p lo .
L
Ejemplo 3
D a d o : A L J N es isó sceles c o n J L = L N
41
=
41
-
P ru é b e se : L K = L M .
A n álisis: « S e p u e d e p r o b a r q u e L K ^ L M si e s to s se g m e n to s s o n p a rte s
c o r re s p o n d ie n te s d e lo s tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s . Se in te n ta c o n A L K N y
A L M J . Se s a b e q u e L l s ¿ 2 y q u e ¿ J L N es c o n g r u e n te c o n s ig o m ism o .
Se s a b e q u e A J L N es isó sceles. A sí, lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g r u e n te s p o r el
p o s tu la d o A L A . P u e d e p ro b a rs e .»
Ejemitw 4
D ado: J K = Ñ M
¿ K J N s _ Z M N J.
P ru é b e se : K N = M J.
N
A n álisis: « K N y M J s o n p a r te s c o r r e s p o n d ie n te s d e A L K N y L M J , c o m o
e n e l e je m p lo a n te r io r . P e r o la in fo rm a c ió n d a d a e s p a r te d e A K J N y d e
A M N J . C o m o J N es c o n g r u e n te c o n s ig o m is m o , p u e d e p r o b a r s e p o r L A L
que A K J N s A M N J .»
117
118
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
EJERCICIOS _____ ___
A.
E n los ejercicios 1 y 2, cítense to d o s los pares de triángulos
(solapados y n o solapados) que parezcan congruentes.
E m pléenselos vértices A y B en u n triángulo, y los C y D, en otro.
D
2.
E
D
B.
3. Form úlese u n a p ru eb a com pleta a dos colum nas p a ra el
ejem plo 1.
4.
Form úlese u n a prueba com pleta a d os colum nas p a ra el
ejem plo 3.
Form úlese una pru eb a com pleta a d os colum nas p a ra los
ejercicios 5 a 10.
5. D ado:
B D = CE
¿ A B C js Z ACB.
Pruébese: B E = CD.
6 . D ado:
Z D A B ss Z C BA
Z D B A _5 Z CAB.
Pruébese: A D s BC.
[K .L A)
U_ C, -L
ACTIVIDADES
L o s triá n g u lo s se u tiliz a n m u c h o e n los
a n d a m ia je s p o rq u e so n fig u ra s ríg id a s . T re s
v a rilla s u n id a s c o n c la v o s m a n te n d rá n su
fo r m a a u n q u e se la s c a m b ie d e lu g a r.
¿ C u á le s d e e s ta s e s tru c tu ra s so n ríg id a s ?
C o n s trú y a n s e m o d e lo s p a ra c o m p ro b a r las
re s p u e s ta s .
clavo
3.7
Dado:
Z 3 s
P ru e b a s : S o la p e d e triá n g u lo s
119
8. D ado:
Z1 ==; Z2, B E s EC
¿ A E C j= _ Z B E D •
Pruébese: A E s DE.
Z4
Pruébese:
o) .
9. D ado:
Z_1 =s Z_2, P£) = R Q
P F s s 77?.
Pruébese: Q T s s QV.
^
*
'
u p
10. D ado:
)
11. D ado:
H F±BD , HG ± A C
,
—
H F^H G .
o
Pruébese: /4G == D F.
£ ------& \4 ^ A
P Q R S con PQ ^ R S , ¿ R Q P y
¿-QRS son ángulos rectos.
Pruébese: QS « R P
(es decir, las diagonales son
congruentes).
12. D ado:
A B C D E es un pentágono regular.
Pruébese: A D s £B.
C
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
¿ C uá ntos triá n g u lo s d ife re n te s h a y en e s ta fig u r a q u e
s e a n c o n g ru e n te s vco n los q u e tie n e n n o m b re
de le tra ?
S i se o b s e rv a n o tro s tip o s d e triá n g u lo s e n la fig u ra ,
d ib ú je n s e .
120
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
3.8
Pruebas: cadenas
de congruencias
P a r a fo r m u la r c ie rta s p ru e b a s , h a d e p r o b a r s e a n te s la c o n g ru e n c ia de
u n p a r d e tr iá n g u lo s , a fin d e o b te n e r la in fo rm a c ió n n e c e s a ria p a r a
p r o b a r q u e u n s e g u n d o p a r d e tr iá n g u lo s e s c o n g ru e n te .
E s tú d ie s e el e je m p lo s ig u ie n te y e x p ó n g a n s e lo s p a s o s o m itid o s .
B
Ejemplo Dado:
Pruébese:
A B ^C B
ED==EF
Z 1 ss Z 2
Z 3 s Z 4
A D = CF.
Análisis: « P o d r ía p r o b a r s e q u e A D s C F si fu e ra p o s ib le p r o b a r q u e
A A E D = A C E F , p e r o n o h a y s u fic ie n te in fo rm a c ió n p a r a eso . Si se
s u p ie r a q u e A E s C E , p o d r ía p r o b a r s e q u e lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s
p o r LAL. P e r o A E y C E s o n p a r te s c o r r e s p o n d ie n te s d e A A B E y A C B E ,
así q u e se p u e d e p r o b a r q u e lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s.»
Prueba
Afirm aciones
R azones
1. A B s CB.
1. D ado.
2. Z 1 = Z 2 .
2. ¿ P o r qué?
3. B E s í BE.
3. ¿ P o r qué?
4. A A B E s
A CBE.
4. P o stu lad o LAL.
5. A E s s CE.
5. ¿ P o r qué?
6. Z 3 s Z 4 .
6. D ado.
7. D E =£ FE.
7. D ado.
8. A AED== A CEF.
8. ¿ P o r qué?
9. A D =5 CF.
9. PC T C C .
O b s é rv e s e q u e lo s p a s o s 1 a 4 p ru e b a n la c o n g ru e n c ia d e u n p a r d e
triá n g u lo s . L o s p a s o s 5 a 8 e m p le a n la p r im e r a c o n g ru e n c ia p a r a p r o b a r
la d e u n s e g u n d o p a r d e triá n g u lo s .
3 .8
P ru e b a s : c a d e n a s d e c o n g ru e n c ia
121
EJERCICIOS
1. Dado:
2. D ado:
A B C D E F es un hexágono regular.
Pruébese: A A B D s í A A F D .
C
D
3. D ado:
4. Dado:
Z | = Z 2 , U R biseca Q S
P U = TU, Z PUQ = Z 7TO
Pruébese: A Q R U ^ A S R U .
Zl=sZ2
L A E D _= Z CFB
A E s í CF.
Pruébese: A B = CD.
D
A B C D E F G H es un o ctágono regular
Z ] s s _Z2 .
Pruébese: C F = H E .
A
B
C
D
A B C D E F G H es un octágono
regular. D H biseca a Z CI>£
Z lsZ 2 .
Pruébese: A B C I = A FBI.
A
B
E H ssB Jl
A H ss DH
A C = sD F
Z_1
Pruébese:
=BC.
D
SOLUCION D E PROBLEMAS-
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
O
6. Dado:
5. D ado:
,C
•D
G
E
O
M
0 - -E
M
E
M
0
E
G
M
0
E
G
E
M
O
E
G
1- R
T
E
M
0
E
G
A
R
T
E
M
ILI
G
—
E
o
©
G -- E - -o
E
M -
-E -
m
G
E
O
'
M
E
T
0
E
0
M
a :-
O -G
-
-G -©
-
0
-
{S ugerencia: ¿De cuántas formas pueden
leerse palabras de dos, tres y cuatro
letras en un diseño sim ilar? Búsquese un
esquema.)
G
G
I—
G
E
-m
G
m
En e l d is e ñ o q u e s e m u e s tra a c o n tin u a c ió n
¿ cu á n ta s v e c e s p u e d e le e rs e la p a la b ra
« G e o m e tría » ? Se in d ic a n tre s fo rm a s .
~ ?
M - “ E '- T ' R
E
T
R
1
-
1
122
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
Capítulo 3 Conceptos im portantes
Términos
T riángulos congruentes (pág. 85)
Postulados
Postulado de la congruencia LAL. Si d os lados y el ángulo
com prendido de un triángulo son respectivam ente
congruentes con dos lados y el ángulo com prendido de o tro
triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
Postulado de la congruencia ALA. Si dos ángulos y el lado
com prendido de un trián g u lo son respectivam ente
congruentes con d os ángulos y el lad o com prendido de otro
triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
Postulado de la congruencia L L L . Si los tres lados de un
triángulo son respectivam ente congruentes con los tres lados
de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son
congruentes.
proposiciones
Las partes correspondientes de triángulos congruentes son
congruentes.
C a p ítu lo 3
Capitulo 3
R e su m e n
Resumen
1. D ado A B A C s A Q RP, identifiqúense los lados y ángulos
correspondientes.
2. En los siguientes casos, dígase qué p o stu lad o sobre la
congruencia puede em plearse p a ra d em o strar que los triángulos
p A n
p n n it r n p n tp c
3. En ca d a uno de los casos siguientes, sáquese una conclusión
b asad a en los d ato s proporcionados.
A
a. D ado: AB es
perpendicular
a CD.
c. D ado
R
D
d. D ado: A B C D E es un
pentágono regular.
E
D
M P biseca a Z Q M N
M P biseca a Z QPN.
Pruébese: a . A M Q P = s A M N P
b. Z Q s ¿N.
Q
4. D ado:
5. D ado:
A B _L CD
R E ^B D
BC ^B A.
Pruébese: C E = AD-
6. D ado:
¿Q = P Y
¿ Z s ¿ P
S a f f i
Pruébese: X Y = X Q .
M
124
T riá n g u lo s y c o n g ru e n c ia
Capítulo 3
Examen
1. U tilícense las figuras p a ra co m p letar las proposiciones.
a. A A B C ^ J L
b. A X Y Z ^ J L
c. A F U N
_L
2. E n los casos siguientes, sáquese u n a conclusión basada en
los d a to s proporcionados.
a. D ado: W es el p u n to m edio
de Y Z y de XV.
b. D ado: J I l I Í K .
K
Z
d. Dado: A C biseca a
BD biseca a
A
3. D ado:
P A ^SA
P T s s TS.
Pruébese: a . A P A T s s A S A T .
b. Z P s ¿ S .
4. Dado:
ADLBC
D es el p u n to m edio de BC.
Pruébese: A B s A C .
5. D ado:
FE ^ FD
L E s s L_D.
Pruébese: ¿ F s : D R.
R e s u m e n g lo b a l
Resumen global (Caps. 1 a 3)
1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.
a. L os p o stu lad o s son proposiciones que deben dem ostrarse.
b. U n ray o puede contener u n a recta.
c. L os teorem as se p ru e b a n p o r razo n am ien to deductivo.
2. D ibújese u n trián g u lo A B C de m an era que L B sea obtuso.
T rácese una recta que pase p o r B y sea p erpendicular a AC.
En los ejercicios 3 y 4, clasifiquense los razo n am ien tos en
inductivos o deductivos.
3. L 1 y L 2 se d en o m in an ángulos rectos.
L os ángulos ico les so n congruentes.
¿ 1 y ¿ 2 son congruentes.
4. A B C D es u n c u a d ra d o y tiene diagonales perpendiculares.
EF G H es un cu a d ra d o y tiene diagonales perpendiculares.
T o d o s los cu ad rad o s tienen diagonales perpendiculares.
E n los ejercicios 5 y 6, form úlese la conclusión correcta o
escríbase «no h ay conclusión posible».
5. Si A B L C D , entonces A B y CD determ in an u n plano.
A B y CD determ in an u n plano.
P o r tan to , J L
6. Si A B C D es un cu ad rad o , entonces A B || CD.
A B C D es u n cu ad rad o .
P o r ta n to , JL
7. C onsidérese la proposición:
Si dos rectas son paralelas, entonces no son perpendiculares.
a. F orm úlese la reciproca de la proposición.
b. F orm úlese la inversa de la proposición.
c. F orm úlese la co n trarrecip ro ca de la proposición.
d. D ense contraejem plos p a ra las proposiciones que n o son
verdaderas.
8. D ado:
A D ==■B C : A B =s D C.
Pruébese: A A B C = A C D A .
B
9. D ado:
A B s z A C \ A D biseca a ¿ B A C .
Pruébese: B D s ¡ CD.
125
r-
¡l<&
isa srsiEg'íM® aa
[ l í l K
I í D
M
Arquitectura: domos geodésicos
Los dom o s geodésicos fueron introd u cid o s p o r R. B uckm inster Fuller. Sus planos
p a ra una clase de dom o, llam ado domo solar, pueden encontrarse en la revista
Popular Science de m ayo de 1966.
Se h a n co n stru id o dom os de diferentes tam añ o s y form as con m uy diversos
m ateriales. Se utilizan d o m o s com o invernaderos, cubiertas de piscinas e, incluso,
viviendas. En las fotografías se m uestra u n a vivienda dom o de C o lo rad o , y un
dom o que puede habilitarse com o tien d a de cam paña.
Los d o m o s geodésicos se hacen lo m ás parecidos posible a porciones de esferas.
D o s de las razones son que la esfera encierra el m ay o r volum en con la m enor
superficie, y que es la figura m ás resistente.
126
U n tip o e stán d ar de do m o se b a sa en un sólido llam ado icosaedro.
E labórese un m odelo de icosaedro con cartu lin a o con palillos e hilo y un
p a tró n de 20 trián g u lo s equiláteros.
F ig . 1
P a tró n p a ra un icosaedro
Si se q u itan los cinco triángulos de la base,
resulta u n a estru ctu ra de dom o.
En u n a estru ctu ra de d o m o real, cada uno
de los triángulos equiláteros de la figura 2 se
divide en triángulos m ás pequeños, com o se
m uestra en la figura 3. P a ra que la form a del
dom o sea m ás parecid a a una esfera, las piezas
utilizadas p a ra fo rm ar los triángulos se hacen
de diferentes longitudes. L as piezas del tip o C
son ligeram ente m ás largas que las del tip o B,
y éstas son un poco m ás largas que las del
tipo A.
1. ¿C uántas piezas de los tip o s A, B y C se necesitan p a ra com pletar el dom o
de la figura 2?
2. ¿C uántos triángulos de lados A, A, B y B, C, C hay en este dom o?
127
CAPITULO
4
4.1
P a s o s p a r a la p r u e b a d e u n t e o r e m a
4 .2
U s o d e la p r o p ie d a d d e s u m a y r e s t a d e ig u a le s
4 .3
P r u e b a d e t e o r e m a s : u s o d e s u p le m e n to s
y c o m p le m e n to s
130
138
144
4 .4
P r u e b a d e t e o r e m a s : u s o d e á n g u lo s v e r t ic a le s
150
4 .5
P r u e b a d e t e o r e m a s : u s o d e á n g u lo s e x t e r io r e s
154
4 .6
U s o d e la p r u e b a in d ir e c t a
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
164
158
R esum en
T é c n ic a s p a ra la s olució n d e p ro b lem as
H a c e r u n a t a b la - l
167
165
E xam en
166
Prueba de teoremas
mediante propiedades
básicas
129
130
P ru e b a d e te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
4.1
Pasos para la prueba
de un teorem a
c o n g r u e n c ia s e n tre se g m e n to s y á n g u lo s , c o m o
se re s u m e e n la ta b la sig u ien te.
O b s é rv e s e la s e m e ja n z a e n tr e la p ro p ie d a d
re fle x iv a y la p r o p o s ic ió n « lo s p e r r o s so n
p e rro s» .
Algunas propiedades de los núm eros.
P a ra cualquier núm ero, a, b y c:
1. a = a
(propiedad reflexiva).
2. Si a = b, entonces b = a
(propiedad simétrica).
3. Si a = b y b = c, entonces a = c
(propiedad transitiva).
R EP A SO :
Pasos para la prueba de un teorema
© 1958 U n ite d F eatu re S yndicale, Inc.
E n el c a p ítu lo 2, se d ijo q u e u n te o r e m a es
u n a g e n e ra liz a c ió n q u e p u e d e p r o b a r s e c o n
d e fin ic io n e s, p o s tu la d o s y la ló g ic a del
r a z o n a m ie n to d e d u c tiv o .
E n el c a p ítu lo 3, se u s ó el r a z o n a m ie n to
d e d u c tiv o p a r a f o r m u la r p r u e b a s s o b re
triá n g u lo s c o n g ru e n te s .
E n e s ta se c c ió n , se e m p e z a r á u s a n d o e ste
p ro c e s o d e r a z o n a m ie n to p a r a p r o b a r
te o re m a s .
E l p r o c e s o d e seis p a s o s p a r a p r o b a r u n
te o r e m a se ilu s tr a r á e n e s ta se c c ió n c o n
d iv e rso s e je m p lo s. E l p r im e r te o r e m a e s tá
b a s a d o e n la s p r o p ie d a d e s d e lo s n ú m e ro s
r e s u m id a s a n te s.
L a s p r o p ie d a d e s reflex iv a, s im é tric a y
tr a n s itiv a ta m b ié n s o n v á lid a s p a r a
Paso 1 Si el teorem a no tiene la form a sientonces, debe ponerse e n esta forma.
Paso 2 D ibújese y rotúlese u n d iag ram a para
m o stra r las condiciones del teorem a.
Paso 3 Escríbase lo d a d o a p a rtir de la
hipótesis (parte «si») d e la proposición
si-entonces.
Paso 4 E scríbase la prueba a p a rtir de la
conclusión (parte «entonces») d e la
proposición.
Paso 5 Analícese lo que se va a p ro b a r e
idéese u n plan.
Paso 6 Form úlese la p ru eb a d a n d o com o
razones definiciones, postulados o
teorem as ya probados.
Reflexiva
Simétrica
Congruencia
entre ángulos
LA = LA
Si L A = Zfí,
entonces L B s LA.
Si L A = Z f i , y Z B s Z C ,
entonces L A s í Z C.
Congruencia
entre segmentos
ÂB ss B
Si A B ss CD, _ _
entonces CD ss AB.
Si A B s= CD, y CD s ËF,
entonces A B s= EF.
Transitiva
4.1
P a so s p a ra la p ru e b a d e u n te o re m a
E n r e a lid a d , e s ta t a b la re s u m e seis g e n e ra liz a c io n e s. U n a d e ellas se
p r o p o n e y p r u e b a a c o n tin u a c ió n . O b s é rv e n s e lo s seis p a s o s p a r a la
p r u e b a d e u n te o re m a .
C u a n d o L A es c o n g r u e n te c o n L B y L B e s c o n g ru e n te c o n L C ,
ta m b ié n es v e r d a d e r o q u e L A e s c o n g r u e n te c o n L C .
PR U EB A
P aso 1 Si L A es congruente con L B y L B es
congruente con L C , entonces L A z s
congruente con L C .
P aso 2
P aso 3 Dado:
¿ A s * LB.
L B ss L C .
P aso 4 Pruébese: L A ^
LC.
P aso 5 Idéese un plan.
Si se consideran los d ato s com o proposiciones sobre
m edición de ángulos, entonces se puede u sar la propiedad
tran sitiv a de los núm eros. Y p o r la definición de los
ángulos congruentes se sabe que éstos tienen igual medida.
P aso 6
Razones
Afirm aciones
1. ¿ A s L B .
1. D ado.
2. m L A = m L B .
2. D efinición de ángulos congruentes.
3. Z B s L C .
3. D ado.
4. m L B = m L C .
4. ¿P o r qué?
5. m L A — m L C .
5. P ro p ied ad transitiva de los núm eros.
6. ¿ A s L C .
6 . ¿P o r qué?
P o d r ía f o r m u la r s e u n a p r u e b a s im ila r p a r a la s o tr a s cin c o
p ro p o s ic io n e s re s u m id a s e n la ta b la . C o m b in a n d o to d a s e sta s
p ro p o s ic io n e s , se e sta b le c e e l te o r e m a sig u ie n te .
Teorema 4.1
L a s p ro p ie d a d e s reflexiva, sim étrica y tra n sitiv a so n aplicables
a la c o n g ru en cia d e án g u lo s y segm entos.
131
132
P ru e b a d e te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
L o s d o s te o r e m a s sig u ie n te s c o m p le m e n ta n la ilu s tr a c ió n d e l p ro c e s o
d e seis p a s o s p a r a la p r u e b a d e u n te o re m a .
T e o re m a : Si lo s p u n to s A , B, C y D e s tá n s o b r e u n a r e c ta de
m a n e r a q u e B e s_ e l_ p u n to m e d io d e A C y C es el
p u n t o m e d io d e B D , e n to n c e s A B s C D .
PR U E B A
P aso 1 El p rim er paso está contenido en la
pro p o sició n del teorem a.
P aso 2
A
B
C
D
P aso 3 D ado: B es el p u n to m edio de A C
C es el p u n to m edio de BD.
P aso 4 Pruébese: A B ^ CD.
P aso 5 Idéese un plan.
Se in te rp re ta rá cada u n a de las
proposiciones de los d ato s com o una
proposición so b re la congruencia de
segm entos. Luego se u tilizará el hecho
que la congruencia de segm entos
satisface la p ro p ied ad transitiva.
P aso 6
Afirm aciones
R azones
1. B es el p u n to m edio de AC.
1. D ado.
2. C es el p u n to m edio de BD.
2. ¿ P o r qué?
3. A B ^ B C .
3. Definición de p u n to medio.
4. B C
4. ¿P o r qué?
CD.
5. A B = s G D .
5. P ro p ied ad transitiva (Teorem a 4.1).
E n el p a s o 5, la r a z ó n e s u n te o r e m a y a d e m o s tr a d o . H a s ta a q u í, se
u tiliz a ro n lo s p o s tu la d o s , d e fin ic io n e s y d a to s c o m o r a z o n e s e n las
p ru e b a s . L a p r u e b a a n te r io r m u e s tr a q u e lo s te o re m a s y a p r o b a d o s
ta m b ié n s o n u n a p a r te im p o r ta n te e n el p r o c e s o d e l r a z o n a m ie n to
d e d u c tiv o .
C u a n d o se d is e ñ a u n p la n p a r a u n a p r u e b a , h a n d e re v is a rs e la s
d e fin ic io n e s, p o s tu la d o s y te o r e m a s y a p r o b a d o s .
4.1
Teorema 4.2
P a so s p a ra la p ru e b a d e un te o re m a
E n u n tr iá n g u lo isó sceles, e l s e g m e n to q u e v a d e l á n g u lo d el
v é rtic e a l p u n to m e d io d e l la d o o p u e s to fo rm a u n p a r d e
tr iá n g u lo s c o n g ru e n te s .
L a p ro p o s ic ió n d e e s te te o re m a es c o m p le ja su fic ie n te c o m o
p a r a ilu s tr a r la im p o r ta n c ia d e lo s p a s o s 1 y 2 d e e s te p ro c e s o
d e seis p a so s.
PR U EB A
Paso 1 Si A A B C es u n trián g u lo isósceles con
A B s A C , y si D es el p u n to m edio de
BC, entonces A A B D = A A C D .
A
Paso 3 Dado: A B ^ A C
___
D es el p u n to m edio de BC.
Paso 4 Pruébese: A A BD = AACD .
Paso 5 Idéese u n plan.
Se u sará la inform ación
p ro p o rcio n ad a, la definición de pun to
m edio y la p ro p ied ad reflexiva de la
congruencia de un segm ento ju n to con
el p ostulado de la congruencia LLL.
R azones
A firm aciones
1. A B s AC.
1. D ado.
2. D es el p u n to m edio de BC.
2. D ado.
3. B D s s CD.
3. D efinición de p u n to medio.
4. A D = í Á D .
4. P ro p ied ad reflexiva de la
congruencia de un segm ento
(T eorem a 4.1).
5. A A B D = A A C D .
5. P o stu lad o de la congruencia LLL.
133
134
P ru e b a d e te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
EJERCICIOS______
A.
En los ejercicios 1 a 3, se presenta un teorem a de la form a
si-entonces. H ágase un d ibujo y establézcanse los d ato s y la
p ru eb a u san d o el d ibujo y sus nom bres. N o se probará ningún
teorema.
1. T eorem a. Si A A B C es u n triángulo isósceles, entonces
A A B C tiene u n p a r de ángulos congruentes.
2. Teorem a. Si los p u n to s X , Y y Z son p u n to s m edios de los
lados de u n trián g u lo A A B C , entonces los segm entos X Y ,
X Z e Y Z dividen A A B C en c u atro triángulos congruentes.
3. T eorem a. Si X e Y son los p u n to s m edios de dos lados de
un triángulo, entonces X Y es igual a la m itad de la longitud
del tercer lado.
En los ejercicios 4 a 7, form úlese de nuevo el teorem a en la
form a si-entonces, dibújese un d iagram a y establézcanse los
dato s y la prueba. N o se intentará probar los teoremas.
4. U n trián g u lo equilátero es u n triángulo isósceles,
5. D os rectas intersecantes form an d os pares de ángulos
congruentes.
6. D os rectas intersecantes que n o sean perpendiculares form an
un p a r de ángulos obtusos.
7. L a bisectriz de un ángulo del vértice de un triángulo
equilátero es u n a bisectriz p erpendicular de un lado.
Indíquese la p ro p ied ad de la congruencia entre ángulos o
segm entos (reflexiva, sim étrica o transitiva) ilustrada p o r cada
una de las siguientes proposiciones.
8. Si dos segm entos son congruentes, la proposición de
congruencia puede escribirse em pezando p o r cualquiera de
los d os segmentos.
9. T odo segm ento es congruente consigo mismo.
10. Si un prim er ángulo es congruente con o tro y éste es
congruente con un tercero, entonces el p rim er ángulo es
congruente con el tercero.
En los ejercicios l i a 14, em pléense los d ato s y la p ru eb a para
hacer un dibujo. Luego form úlese un teorem a general. N o
se probará ninguno de estos teoremas.
11. D ado:
AA B C _es u n trián g u lo isósceles
con A B ^ A C .
Pruébese: A B ^ A C .
12. D ado:
A A B C con A B ^ A C .
Pruébese: A A B C es un triángulo
isósceles.
4.1
P a so s p a ra la p ru e b a d e un te o re m a
135
13. D ado:
A A B C es un trián g u lo equilátero.
Pruébese: L A ^ í L B £ C.
14. D ado:
A-4BC con L A ^ L B ^ L C .
Pruébese: A A B C es un triángulo equilátero.
15. S i Al S ¿ 2 , y A 2 ^ ¿ 3 , ¿p o r qué
¿ls¿3?
16. S i _ A B ^ J C y B C s CD, ¿por qué
^ 5 s CD?
17. Si /4B = BC y BC = -4C, ¿por qué se
sabe que A-4BC es equilátero?
18. Si A B ^ ED y ED == B C , ¿po£_gué se sabe
que B es el p u n to m edio de A C 1
19. E n un p en tág o n o regular, dos
diagonales del m ism o vértice s o n ___
congruentes. P o r ejem plo, A C £ A D en
la prim era tigura. Em pléese este hecho
con u n a p ro p ied ad transitiva para
explicar p o r qué A C y B E son
congruentes en la segunda figura.
136
P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
20. U n plom ero está m idiendo la longitud
de A B p a ra c o rta r un tro zo de tu b o de
la longitud correcta. El tu b o co rtad o se
llam a CD. ¿C óm o d em uestra la
p ro p ied ad transitiva que el tu b o CD se ■
a ju stará al espacio AB'} (Sugerencia: la
m edida es u n a p a rte im p o rta n te del
razonam iento.)
F orm úlese u n a p ru eb a com pleta a dos
colum nas p a ra los ejercicios 21 y 22. C ad a
p ru eb a requiere el uso de alg u n a de las
propiedades de congruencia entre
segm entos o ángulos especificadas en el
teorem a 4.1.
D ado: B E s C E
Zl ^¿ 2
B es el p u n to medio de
C es el p u n to m edio de.
Pruébese: A A B E s A DCE.
O c¡
^ O)
D ado: Z 1 == Z 2
Z 3 a Z4.
Pruébese: A A B D = A CDB.
ACTIVIDADES1
E sta s « ilu sio n es ó p ticas» m u e stra n p o r q u é e s m ás
fiable el ra z o n a m ie n to lógico q u e la inform ación visual.
R e s p ó n d a s e a la s p re g u n ta s y d e s p u é s c o m p ru é b e se
m idiendo.
a. ¿Q ué d ista n c ia e s m á s
la rg a , A a B o C a D?
b . Si s e p ro lo n g a la recta
k, ¿ lle g a rá al punto A, al
S , al C o a ninguno d e
ello s?
C ré e s e u n a ilusión óptica propia.
■8
D
c. ¿Q ué se g m e n to tie n e __
m ay or longitud, AB o C D ?
4.1
P asos p a ra la p ru e b a de u n te o re m a
24.
23.
Dado: O B biseca a L A O C
O t biseca a LBOD.
Pruébese: L A O B s L C O D .
D ado: O es el p u n to m edio de B C
A A O B es isósceles con
O
A s OB.
Pruébese: A A O C es isósceles.
25.
C
A
R
Dado: A A C E
B es el
C es el
Pruébese: A A B E
C
D
s A DBF
p u n to m edio de A C
p u n to m edio de BD.
s A DCF.
D ado: A B C E tiene A B = BC
A B D F es isósceles con
BF ^B D
B~F biseca a L A B D y
BD biseca a ¿ C B F .
Pruébese: A A B F s ACBD.
27. Pruébese: que la congruencia de triángulos satisface la
propiedad transitiva.
28. Pruébese: que to d o s los ángulos rectos son
congruentes.
_ SOLUCION D E PROBLEMAS
L as fig u ra s m u e stra n los c u a tro p rim e ro s n ú m e ro s h e x a g o n a le s.
a . D en se los 2 n ú m e ro s h e x a g o n a le s s ig u ie n te s. M u é stre n se los p a tro n e s d e puntos.
b . ¿P ro p o rc io n a la fórm u la n(2n — 1) el n -é sim o h ex ag o n al?
137
138
P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
4.2
uso de la propiedad
de suma y resta
de iguales
L a s p ro p ie d a d e s d e lo s n ú m e r o s q u e se
m u e s tr a n a la d e re c h a , s o n u n r e p a s o de
á lg e b ra .
E s ta s p r o p ie d a d e s se u s a n e n p r u e b a s
q u e c o n tie n e n lo n g itu d e s d e s e g m e n to s y
m e d id a s d e á n g u lo s . L o s d o s te o r e m a s q u e
se p re s e n ta n e n e s ta se c c ió n ilu s tr a n el u so
d e e s ta s p r o p ie d a d e s .
E n p r u e b a s p o s te rio re s d e l lib ro , se
u s a r á n a m e n u d o lo s te o re m a s , e n lu g a r de
la s p r o p ie d a d e s d e lo s n ú m e ro s .
Teorema 4.3
REPASO:
A lgunas propiedades de los núm eros.
Sum a de iguales: Si a = b y c = d, entonces
a + c = b + d.
Resta de iguales: Si a = b, c = d, y a > c,
entonces a — c = b — d.
M ultiplicación de iguales: Si a = b y c = d,
entonces a- c — b d.
Principio de la sustitución: Si a = b, entonces a
puede sustituirse p o r b en cualquier ecuación o
desigualdad.
S u m a d e á n g u lo s ig u ales. Si m L A P B = m L D Q E ,
m L B P C = m L E Q F , Y É e s tá e n tr e P Á y P C y Q É e s tá e n tre
Q Ú y Q p , e n to n c e s m L A P C = m L D Q F .
PR U E B A
D ado:
P ru é b e se :
mLAPB - mLDQE
m L B P C = m Z EOF.
m ¿APC =
d q F
Afirm aciones
R azones
1. m L A P B = m Z DQF.
1. D ado.
2. m Z B P C = m Z EQF.
2. D ado.
3. m L A P B + m L B P C =
= m ¿ D O E + m L EQF.
3. P ro p ied ad de la sum a de iguales.
4. m L A P B + m L B P C = m L A P C .
4. D efinición de «entre» p a ra rayos.
5. m L D O E + m L E Q F = m L DQF.
5. ¿P or qué?
6. m L A P C = m L D Q F .
6. Principio de la sustitución.
4.2
U so d e la p ro p ie d a d d e s u m a y re s ta d e ig u a le s
P o r lo g e n e ra l, la in fo rm a c ió n s o b r e q u é r a y o s e s tá n e n tre o tr o s , n o se
p re s e n ta e n lo s d a to s ; p u e d e to m a r s e d e la s fig u ra s. E s to m is m o ta m b ié n
es v e rd a d p a r a lo s p u n to s , c o m o ilu s tr a el s ig u ie n te te o re m a .
Teorema 4.4
R e s ta d e se g m e n to s ig u ales. S i A C = D F , B C = E F , B e s tá
e n tr e A y C , y E e s tá e n tr e D y F, e n to n c e s
A B = D E.
Dado: A C = D F
BC = EF.
Pruébese: A B = DE.
*_________________ £__________ £
í-
Razones_______________
Afirm aciones
1. A C = DF.
1. D ado.
2. B C = EF.
2. D ado.
3. A C = A B + BC.
3. D efinición de «entre» para puntos.
4. D F = D E + EF.
4. ¿ P o r qué?
5. A B + B C = D E + EF.
5. Principio de la sustitución.
6. A B + B C - B C =
6. P ro p iedad de resta de iguales.
= D E + E F — EF.
7. A B + B C - B C = A B .
7. P ropiedades de álgebra.
8 . D E + E F - E F = DE.
8. ¿P or qué?
9. A B - DE.
9. Principio de la sustitución,
L o s d o s te o re m a s sig u ie n te s se
n sin d e m o s tra c ió n .
Teorema 4.5
Teorema 4.6
S u m a d e se g m e n to s ¡g u ales. Si A B = D E , B C = E F . B e stá
e n tr e A y C . y E e s tá e n tr e D y F , e n to n c e s
A C = D F.
R e s ta d e á n g u lo s ¡guales. Si m A A P C = m L D Q F ,
m L B P C = m L E Q F , P É e s tá e n tr e P l y P C , y Q E e stá
e n tr e Q Ú y Q ? , e n to n c e s m L A P B — m L D Q E .
139
140
P ru e b a d e te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
EJERCICIOS____________________
A.
Indíquese si las conclusiones de los ejercicios 1 a 6 están
justificadas p o r la p ro p ied ad transitiva de la igualdad, el
teorem a de la sum a de ángulos iguales o el teorem a de la resta
de ángulos iguales.
1. S i w Z l = m L 2, y m Z 2 = w Z 3 , entonces
m L 1 = « Z 3.
2. Si w Z C O D — m Z EOF, entonces
m L C O E = mLDOF.
3. Si m L B O D = m L C O E , entonces
m L B O C = mLDOE.
4. Si m L A O C = m L D O F y
m Z l = n iZ 3, entonces
m L B O C - mLDOE.
5. Si m L A O C = m L B O D y m L B O D = m L D O E , entonces
m L A O C = m ¿DOE.
6 . Si m L A O D — m L F O C y m Z B O D — m A E O C , entonces
m ¿ A O B = m¿FOE.
E n los ejercicios 7 a 10, form úlese u n a p ropiedad, u n teorem a o
una com binación de am bos que justifique las proposiciones dadas.
7. Si BD = CE, entonces B C = DE.
8. Si A C = DF, entonces AD = CF.
9. Si B E = DF, y D F = A C , entonces C E = AB.
A
B
C
D
10. Si A B = E F y B C = DE, entonces AD = CF.
F.
(Ejercicios 7-10)
En los ejercicios 11 a 14, p ro porciónense to d as las razones que
faltan en las dem ostraciones.
11. D ado:
A B = CD.
Pruébese: A C = B D .
R azones
Afirmaciones
D
1. A B = CD.
1. D ado.
12. D ado:
m L A O C = m¿BOD.
Pruébese: m / _ A O B = m Z COD.
2. B C = B C .
2. ?
3. A C = BD.
3. ?
A
B
C
F
Afirm aciones
Razones
1. m L A O C = m ¿ B O D .
1. D ado.
2. m L B O C = m L B O C .
2.
3. m L A O B = m L COD.
3. ?
?
4.2
U so d e la p ro p ie d a d d e s u m a y re s ta d e ig u a le s
D ado:
A B = CD
B D = DE.
Pruébese: A C = DE.
A
B
C
Razones
Afirmaciones
D
E
i. A B = CD.
1. D ado.
2. B D = DE.
2 . D ado.
3. B C = B C .
3. ?
4. A C = BD.
4.
5. A C = DE.
5. f
5
Razones
Afirmaciones
D ado:
m ¿ A O D = m Z FOC
m Z 3 — m Z 4.
Pruébese: m Z l = m Z 2.
,
f
1. m L A O D = >n Z FOC.
1. }
2. m Z C O D — m Z COD.
2. ?
3. m L A O C = m l F O D .
3. ?
4. m Z 3 = w-Z4.
4. ?
5. m Z 2 = m Z 1.
5. p
O
B.
15. C onsidérese el d iagram a que aparece
abajo.
a. ¿C uál es la distancia en tre el centro
de la biela y la cabeza del pistón?
b. ¿Cuál es la longitud del pistón?
pistón
biela
c. ¿Q ué teorem as o postu lad o s apoyan
sus respuestas?
16. En u n a librería se quieren m o n tar
soportes de estantes. Si se colocan de
m an era que A B = DE y B C = EF,
¿qué teorem a se u sará p a ra llegar a la
conclusión de que el prim ero y tercer
estantes están a la m ism a distancia de
am bos extrem os?
s
/
/
17. D os focos p a ra exterior idénticos se colocan den tro de una
caja. D ebajo de las cajas se colocan d os cu ñas idénticas. ¿Q ué
teorem a asegura que los dos haces de luz form arán el m ism o
ángulo con el suelo?
k \\\
dirección
de la
luz
T
\
141
142
P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
E n los ejercicios 18 a 27, form úlese u n a d em ostración com pleta a
dos colum nas.
18. Dado:
A B = CD
Z l s Z 2
Z 3 s s Z4 .
Pruébese: A A C F
A D EE.
E , ----------------
19. D ado
20. Dado:
21. Dado:
A BFC=s A D G C
A ABC=s AEDC.
Pruébese: A A F C ss A E G C .
22. Dado:
B es el p u n to m edio de À F
E es el p u n to m edio de BC
E es el p u n to m edio de DF
A B s CD.
Pruébese: A B EF s A CED.
A E séDE
Z ls Z 2
Z _3sZ _4.
Pruébese: A C =s BZ).
E
B es el p u n to m edio de /4C
Z I ss Z 2
Z_3sZ4
GB.
Pruébese: F£> s s GB.
F
F
C
ACTIVIDADES
Un co n ju n to d e p u n to s q u e s a tis fa c e u n a s o la condición d a d a s e llam a lugar
g eo m é tric o , lo cu s. El lo cu s d e p u n to s e q u id is ta n te s d e los e x tre m o s d e u n a recta
d e se g m e n to e s la b isectriz p e rp e n d ic u la r del se g m en to .
S e p u e d e d e m o s tra r q u e e s to e s cie rto o b s e rv a n d o la figura tr a z a d a por un
«punto móvil». C o n strú y a se un ju e g o e s p e c ia l d e 20 ta rje ta s (8 cm x 13 cm),
ú n a n s e con un clip y r e c ó r r a n s e con un d e d o p a ra v e r el «punto móvil». P a ra v er la
bisectriz p e rp e n d ic u la r p u e d e u s a r s e un ju e g o d e ta rje ta s com o el q u e s e m u e stra
a continuación.
+
4.2
U so d e la p ro p ie d a d d e s u m a y re s ta d e ig u a le s
143
23. Dado:
C es el p u n to m edio de AD
¿ l s Z 2
Z 3 = ¿4.
Pruébese: A E C G s í A BCF.
24. D ado:
A AEC s í ADFB.
Pruébese: A A B F s í A D C E .
25. Dado:
A A E C síA D F B .
Pruébese: A A B E s A D C F .
26. Dado:
A B C D E es u n p entágono regular
27. Dado:
A B C D E es un p entágono regular
FE
GE.
Pruébese: A A B F s í A DCG. Pruébese: A F G E es isósceles.
B
D
SOLUCION D E PROBLEMAS.
C o lo q ú e n s e e s to s n u e v e triá n g u lo s p a ra fo r m a r u n o s o lo , d e m a n e ra que
lo s v é rtic e s qu e se to q u e n te n g a n el m is m o s ím b o lo .
144
P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
4.3 Prueba de
teoremas: uso
de suplementos
y com plem entos
C o n fre c u e n cia , e n el m u n d o físico,
lo s á n g u lo s se p r e s e n ta n en
p a re ja s c u y a s u m a d e m e d id a s es
d e 180° o 90°. E s te tip o d e p a re ja s
se e s tu d ia n e n e s ta secció n .
L a s u m a d e la s m e d id a s d e
¿ A B C y ¿ D E F es 90°.
F
L a s u m a d e la s m e d id a s d e
L A B C y Z D E F es 180°.
Z A B C e s c o m p le m e n ta rio d e
¿DEF.
¿ D E F es c o m p le m e n ta rio d e
¿ABC.
Z A B C es s u p le m e n ta r io d e
¿DEF.
¿ D E F e s s u p le m e n ta rio de
z ABC.
Definición 4.1
Angulos com plem entarios son
dos ángulos cuyas m edidas
sum an 90°.
Definición 4.2
Angulos suplem entarios son dos
ángulos cuyas m edidas sum an
180°.
A lg u n o s p a re s d e á n g u lo s q u e s u m a n 180° tie n e n u n v é rtic e
c o m ú n , u n la d o c o m ú n y n in g ú n p u n to in te r io r c o m ú n , y se
d e n o m in a n p a r lineal. B ú s q u e s e u n p a r lin e a l d e á n g u lo s e n la fo to g ra fía .
Definición 4.3
¿ A O B y ¿ B O C tie n e n u n
la d o c o m ú n , OÍ!. L a
u n ió n d e lo s o tr o s d o s la d o s,
O l y O d , es u n a re c ta .
¿ A O B y ¿ B O C so n un
p a r lin e a l d e á n g u lo s.
U n par lineal de ángulos es un
p a r de ángulos con un lado
com ún tal que la unión de los
o tro s dos lados es u n a recta.
4.3
P ru e b a d e te o re m a s : u so d e s u p le m e n to s y c o m p le m e n to s
145
L a e s tru c tu ra q u e sostiene el te ja d o de u n a
casa c o n frecuencia se e n sa m b la p o r
se p a ra d o . E sta e s tru c tu ra se llam a sistem a de
tijerillas de tejad o s. U n a d e las ta re a s de
u n in g en iero es id en tificar to d o s lo s ángulos
d e la m ism a m e d id a en este sistem a de
tijerillas, p a r a p o d e r c o rta r al m ism o
tiem p o to d a s las e stru c tu ra s con
án g u lo s co n gruentes.
El te o re m a q u e se p re sen ta en e sta sección p ro p o rc io n a inform ación
útil p a r a d e te rm in a r el ta m a ñ o de los ángulos.
E m pléese u n tr a n s p o r ta d o r p a r a re sp o n d e r a las p re g u n ta s so b re los
co m p lem en to s.
¿Es L A co m p lem en tario d e L O
¿Es L P co m p lem en tario de LRP.
¿Es L B co m p lem en tario de L O .
¿Es L Q co m p lem en tario d e Z.S?
¿Q u é co m p a ra c ió n existe e n tre m L A y m L B l
¿Q u é c o m p a ra c ió n existe e n tre m L P y m L Q l
Se p o d ía h a b e r d ich o q u e L A y L B son co n g ru en tes, y q u e L P y L Q son
co n g ru en tes. El te o re m a 4.7 resu m e las d o s situ acio n es analizadas.
Teorema 4.7
D o s ángulos
q u e son c o m p lem en tario s del m ism o á n g u lo (o de án g u lo s
congruentes), son congruentes.
T e o re m a d e los c o m p le m e n to s c o n g ru e n te s.
146
P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
Se p ro b a rá la p rim e ra p a r te del te o re m a de co m p lem en to s
co n g ru en tes. L a se g u n d a p a rte , se c o m p le ta rá co m o ejercicio.
PRUEBA
D a d o : L A es co m p lem en tario de L C
L B es co m p lem en tario d e LC.
P ru é b e s e :¿ A s LB.
A
Afirm aciones
Razones
1. L A es com plem entario de L C .
1. D ado.
2. m L A + m L C = 90.
2. D efinición de ángulos
com plem entarios.
3. L B es com plem entario de L C.
3. ¿ P o r qué?
4. m L B + m L C = 90.
4. ¿ P o r qué?
5. m L A + m L C = m L B + m L C .
5. Principio de la sustitución.
6. m L A = m L B .
6. P ro p ied ad de la resta de iguales.
7. L A =s L B .
7. D efinición de ángulos congruentes.
APLICACION
E n u n triá n g u lo c o n u n á n g u lo de 90°, la
su m a de los o tro s d o s án g u lo s tam b ién es
90°. E n co nsecuencia, en este sistem a de
tijerillas de tejad o , L 2 y ¿ 3 son
co m p lem en to s d e L 1. P o r el te o re m a 4.7,
p u ed e co n cluirse q u e L 2 y L 3 tienen la
m ism a m edida.
Teorema 4.8
T e o re m a d e lo s s u p le m e n to s c o n g ru e n tes. D o s á n g u lo s q u e
s o n s u p le m e n ta r io s d e l m is m o á n g u lo (o d e á n g u lo s
c o n g ru e n te s ), s o n c o n g ru e n te s.
P are c e ra z o n a b le q u e d o s án g u lo s que
fo rm a n u n p a r lineal d e b a n ser
su p lem en tario s. E ste h echo se ac ep ta co m o
Postulado del par lineal
v e rd ad y se d e n o m in a « p o stu la d o del p a r
lineal».
Si dos ángulos form an un par
ángulos son suplementarios.
lineal, los
4.3
P ru e b a d e te o re m a s : u so d e s u p le m e n to s y c o m p le m e n to s
E s tu d íe s e c a d a p a s o d e la s p r u e b a s sig u ie n te s y fo rm ú le n s e las
ra z o n e s o m itid a s .
E
Ejemplo 1
D ado: ¿ A ^
¿D
¿ A ££ Z 2
A B =? C D .
P ru é b e se : B E = C E .
D
Razones
Afirm aciones
1. ¿ A s ¿ D .
1. D ado.
2. A B s C D .
2. ¿P or qué?
3. Z l s Z 2 .
3. ¿ P o r qué?
4. ¿ 1 y Z 3 son suplem entarios.
4. P o stu lad o del p a r lineal.
5. Z 2 y Z 4 son suplem entarios.
5. ¿ P o r qué?
6. Z 3 s Z 4 .
6 . T eorem a de los suplem entos
congruentes.
7. A A B E s A D C E .
7. ¿ P o r qué?
8. B E s C E .
8. P C T C C .
Ejemplo 2
D a d o : ¿ F G H y L I H G s o n á n g u lo s re c to s
Z l s Z 2 .
P ru é b e se : a f f l G s A F G H .
H
Afirm aciones
1. ¿ F G H y L I H G son ángulos rectos.
1. D ado.
2. ¿ F G H s
2. T odos los ángulos rectos son
congruentes.
LIH G .
3. m Z F G / í — m Z / / / G = 90.
3. ¿P or qué?
4. Z l s Z 2.
4. D ado.
5. Z 1 y Z /G H son com plem entarios.
5. D efinición de com plem entos.
6. Z 2 y ¿ F G H son com plem entarios.
6 . ¿ P o r qué?
7. ¿ I G H s
7. T eorem a de los com plem entos
congruentes.
¿FHG.
8. G H - H G .
8 . P ro p ied ad reflexiva (segmentos).
9. A l H G s
9. ¿P or qué?
A FGH.
147
148
P ru e b a d e te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
EJERCICIOS__________________
A.
1. Cítese u n suplem ento de L 1.
2. C ítese u n suplem ento de L CO B.
3. Cítese un com plem ento de LC O E .
4. Cítese un com plem ento de L 2 .
5. ¿ P o r qué L C O E y L D O E son congruentes?
6 . ¿ P o r qué L C O B y L A O D son congruentes?
A B .L OE
L \ = L2
7. C ítense d os ángulos que sean suplem entos de
LCOE.
(Ejercicios 1-6)
8 . C ítense dos ángulos que sean com plem entos de
L 3.
9. C ítense dos ángulos que sean com plem entos de
LHOF.
10. ¿ P o r qué L C O E y L B O G son congruentes?
11. ¿ P o r qué L A O H y L C O E so n congruentes?
12. ¿ P o r qué L A O G y L E O D son congruentes?
A B _L EF, CD ± HÒ
13. ¿ P o r qué L 3 y L A O C son congruentes?
A H 1 ÍÍG, ÉG ± HG
14. ¿P or qué L 3 y L A O D son suplem entos?
í.
15. Si m L A = x , entonces el com plem ento de L A m ide JL.
16. Si m L B = x, entonces el suplem ento de L B m ide
JL
17. D os ángulos son suplem entarios. L a m edida de uno de
ellos es c u atro veces la m edida del otro. E ncuéntrense las
m edidas de los dos ángulos.
18. D os ángulos son suplem entarios. L a m edida de u n o es 20°
m enos que tres veces la m edida del otro. E ncuéntrense las
m edidas de los d os ángulos.
ACTIVIDADES*
^
—
—
—
■
E la b ó re s e un ju e g o d e 20 ta rje ta s c o m o la s q u e s e m u e s tra n a
c o n tin u a c ió n , ú n a n s e c o n un c lip y re c ó rra n s e co n u n d e d o p a ra
m o s tra r q u e e l lu g a r g e o m é tric o d e p u n to s e q u id is ta n te s d e los dos
la d o s d e un á n g u lo e s la b is e c triz d e l á n g u lo .
4.5
P ru e b a d e te o re m a s : u so d e s u p le m e n to s y c o m p le m e n to s
149
Em pléense los teorem as 4.7 y 4.8 en los ejercicios 19 a 22.
A D = _CD
BDLAC
Z ls ¿ 2 .
Pruébese: A A B D =s A CBD.
19. Dado:
LBAX = LDAX
¿ B C Y j^ LDCY.
Pruébese: B C = D C ■
20. Dado:
p¡
D
21. D ado:
A B C D es u n cuadrilátero con to d o s
los lados de la m ism a longitud
Z1 s Z 2
W, X , Y, Z son p u n to s m edios
de los lados.
Pruébese: A B W X =s A D ZY.
A C A .A B , B D L Á B
Z_1 = Z 2 .
Pruébese: A D =s BC.
22. Dado:
C.
23. Dado:
Z I s Z2
Z _3 s Z4
BE_^D E_
A B A. B C , A D L C D . B
24. Dado:
A B 1 0 E , O es el p u n to m edio
de A B
L A e* L B
Z I =£ Z 2 .
Pruébese: A A O D ss A B O C .
c
25. Pruébese: la segunda p a rte del teorem a 4.7.
D
B
O
26. Pruébese: el teorem a 4.8.
_ SOLUCION D E PROBLEMAS________
( K 2E 2
1 . Con u n a c a lc u la d o ra y el m étodo d e « co n jetu ra y
• aa
□s a n
□ ai a íj
A
C
1
—
k
íej lüb e
a la o s
T
*
p ru eb a» , e n c u é n tre n s e d o s d e c im a le s «x» e «y» ta le s
q u e x — y = 1 y x y = 1.
AC
2. Si= - — , e s ta lín ea s e divide e n u n a p roporción
AC
CB'
e sp e c ia l lla m a d a « secció n á u re a » . M u é s tre se q u e AB
e s igual al n ú m e ro x del p rim e r p ro b lem a.
8
150
P ru e b a d e te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
4.4
Prueba de
teoremas: uso de
ángulos verticales
E n e s ta s e c c ió n se e s tu d ia r á n p a r e s de
á n g u lo s fo r m a d o s p o r u n p a r d e re c ta s q u e
se in te rse c a n .
E l m o lin o d e v ie n to d e la fo to g ra fía
p r o p o r c io n a m u c h o s e je m p lo s d e á n g u lo s
fo rm a d o s p o r re c ta s in te rs e c a n te s . A d e m á s
d e v a r io s p a re s lin e a le s d e á n g u lo s , h a y
v a rio s p a r e s d e á n g u lo s q u e se e n tre c ru z a n .
L o s te o r e m a s d e e s ta se c c ió n t r a t a n d e la s
re la c io n e s e n tr e lo s á n g u lo s f o r m a d o s p o r
re c ta s in te rs e c a n te s .
Definición 4.4
. ,
, ,
B C y A D se in te rs e c a n e n O.
L A O B y L C O D son
á n g u lo s v e rtic ale s.
Los ángulos verticales son dos
ángulos form ados por dos
rectas que se intersecan, pero
que no son un p a r lineal de
ángulos.
¿ E s p o s ib le c o n v e n c e r a a lg u ie n d e q u e
e sta s c in c o p ro p o s ic io n e s s o b r e lo s á n g u lo s
fo rm a d o s p o r la s re c ta s C y m so n
v e rd a d e ra s ?
1. L l
y
L 2 s o n s u p le m e n ta rio s .
2. L l
y
L l s o n s u p le m e n ta rio s .
3. L l
y
L 3 s o n c o n g ru e n te s .
4. L l
y
L A s o n s u p le m e n ta rio s .
5. ¿ 2
y
L A s o n c o n g ru e n te s.
E s ta s c in c o p ro p o s ic io n e s c o n d u c e n a l s ig u ie n te te o re m a .
Teorema 4.9
T e o re m a de lo s á n g u lo s v e rtica les. Si d o s re c ta s se in te rse c a n ,
lo s á n g u lo s v e rtic a le s s o n c o n g ru e n te s.
4.4
P ru e b a d e te o re m a s : u so de á n g u lo s v e rtic a le s
PR U EB A
P aso 1 E ste p aso se incluye en la proposición del teorem a.
P aso 2
P aso 3 D ado:
D os pares de ángulos verticales,
¿1 y L 3
L2 y ¿4.
Paso 4 Pruébese: ¿ 1 s ¿ 3 , y
¿2s¿4.
P aso 5
«Se p ro b a rá que L 1 =? L 3, utilizando el hecho de que L 1
y ¿ 2 form an un p a r lineal, y de que L 2 y L 3 form an un
p a r lineal. E ntonces se usará el p o stu lad o del p a r lineal y
el teorem a de los suplem entos congruentes.
L a p ru eb a de que L 2 = L A será idéntica, p o r lo que no
se repetirá.»
P aso 6
A firm aciones
R azones
1. L \ y L 3 son ángulos verticales.
1. D ado.
2. L 1 y L 2 form an un p a r lineal.
2. D efinición del p a r lineal.
3. L 1 es suplem entario de L 2.
3. P o stu lad o del p a r lineal.
4. ¿ 3 y L 2 form an un p a r lineal.
4. ¿ P o r qué?
5. L 3 es suplem entario de L 2 .
5. ¿ P o r qué?
6. L l & L 3 .
6 . T eorem a de los suplem entos congruentes.
E l sig u ie n te te o r e m a ta m b ié n se refiere a lo s p a re s lin e ales
d e á n g u lo s.
Teorema 4.10
Si u n á n g u lo d e u n p a r lin e a l es u n á n g u lo re c to , e n to n c e s
el o t r o ta m b ié n es u n á n g u lo recto .
151
152
P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
EJERCICIOS__________________
A.
1. C ítense dos pares de ángulos rectos
que sean ángulos verticales.
2. Cítese un p a r de ángulos agudos que
sean ángulos verticales.
3. Cítese u n par de ángulos obtusos que
sean ángulos verticales.
4. Cítense seis pares de ángulos congruentes.
Si m Z 2 = 35, encuéntrense las m edidas de los
ángulos de los ejercicios 5 a 8.
5. m Z 3 = JL.
6 . m Z 1 = JL.
7. m Z 4 = _2_.
8. t w Z 1 + w Z 4 = _2_.
(Ejercicios 5-8)
C on la inform ación de los ejercicios 9 a 11, encuéntrense
las m edidas de los ángulos.
9. m A R V O = 4x
m ¿ S V T = 2x + 20
m Z R V Q = JL.
10. m Z Q V T = 5 x
m ¿ R V S = 8x - 45
m ¿ R V S = _L.
11. m ¿ R V Q = 2x + 30
m Z S V T = 3 x + 20
m Z S V T = JL.
(Ejercicios 9-11)
B.
P a ra los ejercicios siguientes, form úlense dem ostraciones a dos
colum nas. C on frecuencia p o d rá utilizarse el teorem a 4.9.
__
__
Q
12. Dado:
AB y CD se intersecan en O
A O ssO B
¿ A 88 ¿ B .
Pruébese: A A O C s ; A B O D .
ACTIVIDADES
M á rq u e n se d o s p u n to s A y B en un p a p e l y c o lo q ú e s e en cim a
o tra h o ja d e p ap el, co m o s e m u e s tra e n la figura, d e m a n e ra
q u e un lad o d e la h o ja e s té s o b r e A, y el o tro, s o b re B.
M á rq u e se un p unto rojo P ,. R e p íta se e s to con el p apel en otra
posició n y m á rq u e s e P3. P ro s íg a s e h a s ta m a rc a r 20 puntos
d ife re n te s. ¿C uál e s el lu g a r g e o m é tric o d e los p u n to s P ,, P3,
p 3’
p s' p 6. e tc é te ra ?
4.4
P ru e b a d e te o re m a s : u so d e á n g u lo s v e rtic a le s
13. D ado:
AB^ y CD se m tersecan en O
A B biseca a CD
LC ^LD .
Pruébese: A A O C s A BOD.
14. D ado:
A B y CD se intersecan en
sus p u n to s medios.
Pruébese: A C = BD.
15. Dado:
A B ss DE
B E ^C E .
Pruébese: A B ss CD.
(Ejercicios 13, 14)
B
16. D ado:
biseca a L A B D
L \ s ¿ 2.
Pruébese: A A B C s í A DBC.
17. D ado:
18. Pruébese: Si dos ángulos de un par
lineal son congruentes,
entonces son ángulos rectos.
19. Pruébese: Si un ángulo es congruente
con su suplem ento, entonces
el ángulo es un ángulo recto.
_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS
S u p ó n g a s e u n a ta b la c o n la m ism a form a q u e
s e m u e s tra e n la figura. S e d e s e a c o rta rla en
tr e s p a r te s q u e p u e d a n c o lo c a rs e p a r a fo rm ar
un c u a d ra d o . ¿C óm o p u e d e h a c e r s e e s to con
d o s c o rte s ? (S u g e r e n c ia : e m p lé e s e el punto
m ed io M d e BC.)
A E zs DE
B E a CE.
Pruébese: A A B C s A D C B .
153
154
P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
4.5
Prueba de teoremas;
uso de ángulos exteriores
REPASO: A lgunas propiedades de la
desigualdad de núm eros reales
Definición de «m ayor que»: a > b significa que
fl = 6 + c y c es un núm ero positivo.
Propiedad transitiva: Si a > b y b > c, entonces
a > c.
Propiedad aditiva: Si a > b, entonces
a + c > b + c.
Propiedad de multiplicación: Si a > b y c > 0,
ac > be. Si a > b y c < 0, ac < be.
Propiedad de tricotom ía: P a ra los núm eros
reales a y b, una, y sólo una, de las siguientes
relaciones es verdadera: a = b, a > b, o a < b.
L a s p ro p ie d a d e s d e lo s n ú m e r o s q u e se a c a b a n d e d e fin ir, se u s a r á n
p a r a p r o b a r el te o r e m a d e e s ta secció n . P rim e ro , se n e c e s ita n d o s
d efin icio n es.
Definición 4.5
Angulo
exterior
Angulos
interiores no
contiguos
El ángulo exterior de un
trián g u lo es el ángulo que
form a u n p a r lineal con un o de
los ángulos del triángulo.
Definición 4.6
Los ángulos interiores no
contiguos con respecto a un
ángulo exterior son los dos
ángulos que n o son adyacentes
al ángulo exterior.
O b s é rv e s e q u e c a d a triá n g u lo tie n e
seis á n g u lo s e x te rio re s, c o m o se
ilu s tr a e n la fig u ra.
v
T rá c e s e e l á n g u lo e x te r io r 1 y c o m p á r e s e c o n lo s á n g u lo s in te rio re s
n o c o n tig u o s d e lo s tr iá n g u lo s sig u ien tes.
TeOreirtS 4.11
T e o re m a d e l á n g u lo e x te r io r. L a m e d id a d e u n á n g u lo
e x te r io r d e u n tr iá n g u lo es m a y o r q u e la m e d id a d e
c u a lq u ie r a d e lo s á n g u lo s in te rio r e s n o c o n tig u o s.
4.5
P ru e b a d e te o re m a s ; u so d e á n g u lo s e x te rio re s
PR U E B A
D a d o -A /IB C c o n á n g u lo e x te rio r, L 1.
Pruébese»?*L 1 > m L 2 .
P la n : E n e s ta e t a p a d e l e s tu d io d e la g e o m e tría , n o se
e s p e ra q u e el e s tu d ia n te p la n e e u n a p r u e b a d e este
tip o .
Razones
A firm aciones
1. L l es u n ángulo exterior de A A B C .
1. D ado.
2. Sea M el p u n to m edio de A C .
2. Elección de M.
3. Sobre BÍví, elíjase u n p u n to D tal
que B M = M D .
3. P o stu lad o del p u n to y la recta,
elección de D.
4. Á M = M C .
4. D efinición del p u n to medio.
5. L B M A = L D M C .
5. ¿ P o r qué?
6. A A M B = A CMD.
6. ¿ P o r qué?
7. L M C D = = L 2 .
7. P C T C C .
8. m L M C D = m L 2 .
8 . D efinición de la congruencia de
ángulos.
9. m L M C D + m L D C E = m L 3 .
9. D efinición de «entre» p a ra los rayos
10. m L 2 + r n L D E C = m L 3 .
10. Sustitución.
11. w Z 3 > m L 2 .
11. D efinición de «m ayor que».
12. m L 1 = m L 3.
12. ¿P or qué?
13. m L 1 > w Z 2 .
13. Sustitución.
A PLICA CIO N
D o s o b s e rv a d o re s , e n lo s p u n to s P¡ y P 2,
v e n p a s a r u n v e le ro . L o s á n g u lo s q u e se
p r o d u c e n e n tr e s u v is ta y la o r illa d e l m a r
( L l , L 2 ) e s tá n e n c o n s ta n te c a m b io . m L 1
p a re c e m a y o r q u e m L 2 e n a m b a s
p o sic io n e s d e l v e le ro . ¿ S e rá m L 1 sie m p re
m a y o r q u e m L 2 , m ie n tr a s el v e le ro se
a le ja p o r la lín e a d e la c o sta ?
R e sp u e s ta . P o r el te o re m a d e l á n g u lo e x te r io r se s a b e q u e
m L Í > m L 2 , c o n in d e p e n d e n c ia d e la s itu a c ió n d el b a rc o .
P o r lo q u e , el á n g u lo q u e f o r m a n la s lín e a s v isu ale s d e lo s
o b s e r v a d o r e s c o n la o rilla , s e r á s ie m p re m a y o r p a r a el
o b s e rv a d o r d e l p u n to P v
156
P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
EJERCICIOS____________________
A.
1. C ítense los ángulos exteriores. ¿C uántos
ángulos exteriores en to ta l tiene un triángulo?
2. C ítense los ángulos interiores no contiguos de
LDAC.
3. C ítense los ángulos interiores n o contiguos de
LHAB.
4. L A B C es el ángulo in terio r n o contiguo de
los ángulos exteriores
y _L.
5. ¿Es L D A H un áng u lo exterior? ¿P or qué?
6. ¿C uál es la relación entre
L IC B y LCBA1
7. ¿C uál es la relación en tre
¿ A C B y LFCP.
8 . ¿C uál es la relación entre L A B G y L A B C ?
B.
Expliqúese p o r qué son verdaderas las proposiciones
de los ejercicios 9 a 12.
9. m Z l > * Z 2 .
10. « Z 3 > m Z l .
11. m Z 3 > m Z 4 ,
12. m ¿ 3 > m Z 2 .
13. U sese la figura p a ra
p ro b a r que
m /-A B D > m LE D F .
ACTIVIDADES
D ibújese y re c ó rte s e un triá n g u lo e q u ilá te ro
com o el d e la fi gura y d is p ó n g a n s e las p ie z a s
p a ra fo rm ar un c u a d ra d o .
(Ejercicios 9-12)
4.5
P ru e b a d e te o re m a s ; u s o d e á n g u lo s e x te rio re s
157
14. Usese la figura p ara p ro b a r que
m L 1 > m L 6.
15. D ado:
c.
A A B C es un trián g u lo con un
ángulo recto L B .
Pruébese: L R C B es un ángulo obtuso.
C o n el teorem a del ángulo exterior, pruébense los teorem as
de los ejercicios 16 y 17.
16. U n trián g u lo con un ángulo recto tiene dos ángulos agudos.
17. Si un trián g u lo tiene un ángulo o btuso, entonces los otros
dos ángulos son agudos.
18. Al principio de la sección 4.5 se p ro p o rcio n a u n a prueba
de que m Z l > m L 2 . Empléese u n m étodo sim ilar para
p ro b a r que m L 1 > m L 3. (Sugerencia: empléese el punto
m edio de B C .)
19. Pruébese que u n trián g u lo n o puede tener un ángulo recto
y u n o obtuso.
SO LUCIO N D E PROBLEMAS.
A lg u n a s v e c e s se u sa n lin e a s a u x ilia re s p a ra a y u d a r a la
s o lu c ió n d e un p ro b le m a . P e ro h a y q u e te n e r la s e g u rid a d
d e qu e las lín e a s e m p le a d a s e x is te n . C o n s id é re s e la
s ig u ie n te p ru e b a .
« T e o re m a » : T o d o triá n g u lo e s is ó s c e le s .
Dado: A A B C .
Pruébese: A A B C e s is ó s c e le s .
A firm a c io n e s
R a zo n es
1. T rá c e s e u n a re c ta a tra v é s de
A y D, el p u n to m e d io d e B C .
q u e s e a p e rp e n d ic u la r a B C .
1. C o n s tru c c ió n d e AD.
2. AD 5= AD.
2. P ro p ie d a d re fle x iv a
d e la c o n g ru e n c ia .
3. B D s D C .
3. D e fin ic ió n d e p u n to m e d io .
4. Z ADB = Z A D C .
4. D e fin ic ió n d e la s p e rp e n d ic u la re s .
5. A ADB s
5. P o s tu la d o LAL.
6.
AADC.
Á B = ÁC.
7. A A B C e s is ó s c e le s .
6. P a rte s c o rre s p o n d ie n te s .
7. D e fin ic ió n d e is ó s c e le s .
E x p liq ú e s e c u á l e s e l e r r o r d e la p ru e b a . D ib ú je s e u n c o n tra e je m p lo p a ra
m o s tra r q u e la a firm a c ió n 1 d e s c rib e u n a re c ta q u e n o s ie m p re e x is te .
(Ejercicio 18)
158
P ru e b a d e te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
4.6 uso de la prueba
indirecta
l
auép
El m é to d o d e la p ru e b a d irec ta u sad o
h a s ta este m o m en to , im plica em p ezar con
las co n d icio n es d a d a s y c o n la d ed ucción
de q u e la co n clu sió n es v erd ad era. L a
p ru e b a in d ire c ta se ilu stra con lo que
p o d ría su ced er en esta c a ric a tu ra — si B.C.
co o p erase— . S u p ó n g ase q u e B.C. com e la
fru ta p e ro n o m uere. U n a p ru e b a in d irecta
de q u e la fru ta n o es v en en o sa p o d ría ser
la siguiente:
S u p ó n g ase q u e la fru ta es venenosa.
Si B.C. la com e, m o rirá.
B.C. la com ió, p e ro n o m urió.
P o r ta n to , la fru ta n o es venenosa.
E ste m é to d o de p ru e b a im plica a c e p ta r
la n eg ació n d e lo q u e se q u iere p ro b a r.
P o r m e d io d el ra z o n a m ie n to , se d em u estra
q u e e sta ac ep tació n co n d u c e a una
co n trad icció n . Así, la p ro p o sició n q u e se
v a a p ro b a r d eb e ser v erdadera.
l e PONDREMOS T U N O M B R E ^
A u n c e m G N T S R io .
J
—
—
B .C . b y p crm issio n o f Jo h n n y H a n an d F ie ld E n terp rises, Inc.
A c o n tin u a c ió n se resum en lo s p aso s p a r a la
p ru e b a in d irecta.
P a s o s p a r a p ro b a r u n te o re m a m e d ia n te la p ru e b a in d ire c ta
Paso 1 F orm úlense los d ato s y la p ru eb a a
p a rtir de la hipótesis y la conclusión
de u n a posición si-entonces.
Paso 2 Supóngase la negación de la
proposición co ntenida en la prueba.
(Suposición de la prueba
indirecta.)
P aso 3 F orm úlense los pasos de la prueba
p a ra m o strar que la suposición lleva
a la contradicción de un hecho
conocido (teorem a, definición,
inform ación p ro porcionada, etc.).
P aso 4 C onclúyase que la suposición es
falsa y que la proposición de la
P R U E B A es verdadera.
4.6
U so d e la p ru e b a in d ire c ta
Se ilu s tr a la p r u e b a in d ir e c ta p r o b a n d o d o s te o re m a s.
T e o re m a :S i d o s r e c ta s se in te rs e c a n , la in te rs e c c ió n es u n p u n to .
D a d o :L a s r e c ta s t y m se in te rs e c a n e n el p u n to P .
P ru é b e s e :? e s el ú n ic o p u n t o d e in te rse c c ió n .
P aso 1
A nálisis: El p a s o 2 d e u n a p r u e b a in d ir e c ta e s s u p o n e r la
n e g a c ió n d e la p r o p o s ic ió n d e la p r u e b a . L a n e g a c ió n d e
« P es el ú n ic o p u n to d e in te rs e c c ió n » es « P no es el p u n to
d e in te rse c c ió n » . E s to sig n ific a q u e h a y u n s e g u n d o p u n to
d e in te rse c c ió n . E n to n c e s , se m u e s tr a q u e te n e r e s to s d o s
p u n to s c o n d u c e a u n a c o n tr a d ic c ió n d e l p o s tu la d o .
R azones
A firm aciones
Paso 2
P aso 3
Paso 4
1. Supóngase que P no es el
único p u n to de intersección de
las rectas £ y m.
1. Suposición de la prueba
indirecta.
2. Sea Q el segundo p u n to de
intersección.
2. R eplanteam iento de 1.
3. £ contiene a P y a Q.
m contiene a P y a Q.
3. A firm aciones 1 y 2.
4. P y Q están en dos rectas
(contradicción del p o stu lad o del
p u n to y la recta).
4. R eplanteam iento de 3.
5. P o r tan to , P es el único pun to
de intersección de t y m.
5. Lógica de la prueba indirecta.
C
/
Si d o s r e c ta s s o n p e rp e n d ic u la re s a la m ism a
r e c ta , la s d o s re c ta s s o n p a ra le la s .
D ado: k
P ru é b e se : k
m , l _L m.
L
Paso 1
IJ
A firm aciones
P aso 2
P a so 3
P aso 4
s
1. Supóngase que /cjf¿ (k no es
p aralela a i ) .
2. k y £ se intersecan en el p u n to C.
A
‘i
Razones
1. Suposición de la prueba indirecta.
2. R eplanteam iento de 1.
3. Se form a A A B C 4. m A D A C > m L A B C .
3. D efinición de triángulo.
5. k 1 m, £ 1 m .
6. L D A C y L A B C son ángulos rectos.
5. D ado.
6 . D efinición de las perpendiculares.
7. m A D A C = m L A B C (contradicción
de m L D A C > m L A B C ) .
7. T o d o s los ángulos rectos tienen la
m ism a m edida.
8. P o r tan to , k || £.
8. Lógica de la p ru eb a indirecta.
4. T eorem a del ángulo externo.
B
159
160
EJERCICIOS
A.
P a ra las proposiciones de p ru eb a de los ejercicios 1 a 10,
form úlese la suposición de la p ru e b a indirecta que se usaría
p a ra iniciar la p ru eb a, ju n to con la segunda proposición que
interp reta la suposición de la p ru eb a indirecta.
Ejem plo: Pruébese: l || m.
Suposición de la p ru eb a indirecta: iJfrm.
Segunda proposición: E ntonces, £ interseca a m.
1. Pruébese: £ 1 m.
2. Pruébese: L A es suplem entario de L B .
3. Pruébese: Los lados adyacentes n o son paralelos.
4. Pruébese: L A n o es un ángulo recto.
5. Pruébese: A B = CD.
6. Pruébese: L A y L B n o son ángulos verticales.
7. Pruébese: L A es u n ángulo agudo.
8. Pruébese: Sólo hay u n a recta a través de P y paralela a m.
9. Pruébese: A A B C es u n trián g u lo isósceles.
10. Pruébese: A A B C n o es un trián g u lo equilátero.
¿Q ué pares de proposiciones de los ejercicios 11 a 16 perm itirán
llegar a u n a contradicción en u n a p ru eb a indirecta?
Ejem plos: A B es m ás larg o que CD, y
CD es m ás larg o que A B .
form a u n a contradicción
n o fo rm a u n a contradicción
11. L as rectas p y q son paralelas y las rectas p y q no se
intersecan.
12. L A s L B y m L A > m L B .
13. £ 1 m y £/. m (nota: X significa «no es perpendicular a»),
14. L A y L B form an un p a r lineal. m L A < 90 y m L B < 90.
15. L A es un ángulo recto.
L A es un ángulo obtuso.
16. L A y L B son congruentes.
L A y L B son suplem entarios.
E n los ejercicios 17 y 18, selecciónese la proposición que está en
contradicción con la proposición dada.
4.6
U so d e la p ru e b a in d ire c ta
17. L A y L B son suplem entarios.
b. L A y L B form an un p a r lineal,
d. L A y L B son ángulos verticales.
a. m L A + m L B - 180.
c. L A y L B son agudos.
18. L as rectas p y q no son paralelas
b. Las rectas p y q se intersecan.
a. L as rectas p y q n o tienen puntos
en com ún,
c. Las rectas p y q son la m ism a recta.
d. L as rectas p y q están en u n plano
y no tienen p u n to s en común.
E scríbase una proposición que co n trad ig a las proposiciones de
los ejercicios 19 a 23.
19. L A y L B son com plem entarios.
21. A A B C s AX Y Z .
20. L as rectas p y q se intersecan.
22. A B C D E es un p entágono regular.
23. m L A = 117.
E n los ejercicios 24 a 27, form úlese la suposición q u e se
usaría en una pru eb a indirecta del teorem a dado.
24. Si dos rectas n o se intersecan, entonces
no son perpendiculares.
25. Si A B ¥= CD, entonces
AB + EF
CD + EF.
26. Si u n a figura es un triángulo, entonces
la figura n o puede contener dos
ángulos rectos.
27. Si dos ángulos form an un p a r lineal,
entonces son suplem entarios.
B.
En los ejercicios 28 a 30 se inicia u n a p ru eb a indirecta.
P roporciónense las razones que faltan y continúese la prueba
p a ra llegar a una contradicción.
28. D ado:
En A A B C , Á C ^ é A B
___
D es el p u n to m edio de BC.
Pruébese: AD n o puede ser perpendicular a BC.
R azones
Afirm aciones
1. Supóngase que A D 1 BC.
1. Suposición de la prueba indirecta.
2. L A D C sé L A D B .
2. ?
3. D es el p u n to m edio de BC.
3. D ad o .
4. C D = BD.
4. ?
5. A D s  D .
5. ?
6. A A D C = A A D B .
6. P o stu lad o LAL.
7. Â C £= A B .
7. P C T C C .
8. ?
8. ?
9. ?
9. ?
A
161
162
P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
29. D ado:
A D _L B C
AB_ gk A C .
Pruébese: B D ~k D C.
A
y /T
y'
A firm aciones
1. Supóngase B D
DC.
2. A D ± BC.
3. Z B D A e
Razones
D
1. ?
2. ?
Z ADC.
3. D efinición de las perpendiculares.
4. A D =£ A D .
4. ?
5. A A D B = A A D C .
5. ?
6. ?
6. ?
7. ?
7. ?
8. ?
8. ?
ACTIVIDADES!
El o b je to q u e s e m u e s tra a la d e re c h a
p u e d e e x is tir o no e n e l m u n d o re a l.
S u p ó n g a s e q u e p u e d e (?).
C o n tin ú e s e el a rg u m e n to a n te r io r con
las o tra s fig u ra s q u e s e m u e s tra n a
c o n tin u a c ió n y v é a s e si se p u e d e lle g a r
a un a c o n tra d ic c ió n d e lo s h e c h o s d e la
v id a re a l.
B ú s q u e n s e o tra s fo to g ra fía s o d ib u jo s
d e o b je to s , q u e c o m o é s to s , son
c o n tra d ic to rio s .
4.6
30. D ado:
L A y L B son agudos.
Pruébese: L A y L B no son suplem entarios.
A firm aciones
U so d e la p ru e b a in d ire c ta
A
Razones
1. Supóngase que L A es
suplem entario de L B .
1. ?
2. m L A + m L B = 180.
2. D efinición de suplem entarios.
3. m L A < 9 0 , m L B < 9 0 .
3. D ado, definición de
ángulo agudo.
4. ?
4. P ro p ied ad aditiva de
las desigualdades.
5. ?
5. ?
31. ¿C óm o puede usar un a b o g ad o la p ru eb a indirecta?
D ése un ejemplo.
Form úlese u n a p ru eb a indirecta p a ra los teorem as de los
ejercicios 32 a 35.
32. Si A B # CD, entonces A B + E F # CD + EF.
33. Si L A no es congruente con L B , entonces L A y L B no
son ángulos verticales.
34. D ado:
¿ 1 y ¿ 4 no son
suplem entarios.
Pruébese:
¿ 2 y ¿ 3 no
son suplem entarios.
i
\
\
\
l
\
\
35. D ado: __
= ^2,
A C ^P R
L A ^ ¡ LP.
Pruébese:
B C ^Q R .
SOLUCION D E PROBLEMAS_________________________________
C u a n d o un a n u n c io s o b re u n a ra d io b a ra ta e n v e n ta d e c ía «Es un
ro b o » , la p ro p ie ta ria d e la tie n d a no s a b ía lo c ie rto q u e e ra . E sta b a
s e g u ra d e q ue A n a , L eo, Isa o Ive h a b ía n ro b a d o ia ra d io . C ada
p e rs o n a , en su m o m e n to , h iz o u n a d e c la ra c ió n , p e ro s ó lo u n a d e las
c u a tro d e c la ra c io n e s e ra v e rd a d e ra .
A n a d ijo : «Yo no ro b é la ra d io .»
Le o d ijo : «A na m ie n te .»
„ ,
„
Is a d ijo : «Leo m ie n te .»
¿Q u ie n d l<° la v e rd a d ? ¿Q u lé n ro b ó la ra d l0 ?
Ive d ijo : «La ro b ó Leo.»
163
164
P ru e b a de te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
Capítulo 4
Conceptos Importantes
Términos
Angulos com plem entarios (pág. 144)
A ngulos suplem entarios (pág. 144)
P a r lineal de ángulos (pág. 144)
A ngulos verticales (pág. 150)
A ngulo exterior de un triángulo (pág. 154)
A ngulo in terio r n o contiguo (pág. 154)
Postulado
Postulado del p ar lineal. Si dos ángulos form an u n par lineal, los
ángulos son suplem entarios.
Teoremas
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.1
4.8
4.9
4.10
4.11
Las p ropiedades reflexiva, sim étrica y transitiva valen para
la congruencia de ángulos y segm entos.
E n un triángulo isósceles, el segm ento que va del ángulo del
vértice al p u n to m edio del lad o opuesto form a u n p a r de
triángulos congruentes.
Sum a de ángulos iguales. Si m /L A P B — m L D Q E ,
m L B P C = m L E Q F , P B está en tre P A y P C , y Q E está
en tre QD y QF, entonces m L A P C = m L D Q F .
R esta de segm entos iguales. Si A C = DF, B C = EF, B está
en tre A y C, y E está en tre D y F , entonces A B = DE.
Sum a de segm entos iguales. Si A B = DE, B C = EF, B está
en tre A y C, y E está en tre D y F, entonces A C = DF.
R esta de ángulos iguales. Si m ¿ A P C = m L D Q F ,
m L B P C = rnLE Q F ,
está en tre P A y P u , y Q É está
en tre QD y Q F , entonces m L A P B = m L D Q E .
Teorem a de los com plem entos congruentes. D os ángulos que
son com plem entarios del m ism o ángulo (o de ángulos
congruentes) son congruentes.
T eorem a de los suplem entos congruentes. D os ángulos que
son suplem entarios del m ism o ángulo (o de ángulos
congruentes) son congruentes.
T eorem a de los ángulos verticales. Si dos rectas se
intersecan, los ángulos verticales son congruentes.
Si u n áng u lo de u n p a r lineal es u n áng u lo recto, entonces
el o tro ángulo tam bién lo es.
T eorem a del ángulo exterior. L a m edida de u n ángulo
exterior de un trián g u lo es m ayor que la m edida de
cualquiera de los ángulos interiores no contiguos.
C a p ítu lo 4
R e su m e n
Capítulo 4 Resumen
1. Indíquese si las siguientes proposiciones son falsas o
verdaderas.
a. Si d os ángulos son suplem entarios de ángulos congruentes,
entonces son congruentes.
b. L a p ro p ied ad transitiva de congruencia en tre segm entos
establece que A B ss AB.
c. L a sum a de d os ángulos com plem entarios es 90°.
E n los ejercicios 2 y 3 se p ro p o rcio n a u n teorem a de la form a
si-entonces. H ágase u n d ibujo y form úlense los d a to s y la prueba
usando la figura y sus nom bres.
2. Si dos ángulos de un trián g u lo son congruentes, entonces el
triángu lo es isósceles.
3. Si dos rectas son paralelas a u n a tercera, entonces to d as son
paralelas.
4. Despéjese x y calcúlese la m edida de los ángulos.
b.
C.
(* + 26)"
(2 x - 4)
(3 * - 2 0 )‘
5. ¿C uál es la m edida de u n áng u lo que es congruente con su
com plem ento?
6 . D ado:
A B _L B D , D E 1 B D ,
B C = CD .
Pruébese: A A B C = A ED C.
I
ni
n
A
7. D ado:
m ¿ 1 — m ¿ 2.
Pruébese: r r .L B A D - m L C A E .
8 . D ado:
A B =sÁE, ¿ E s ¿ B , y Z 1 s
Pruébese: ¿ A C D s ¿ A D C .
L2.
9. P a ra las siguientes proposiciones de la prueba expóngase la
suposición de u n a p ru eb a indirecta que se u saría p a ra em pezar
la dem ostración.
a . Á B || CD.
b. L A y L B son suplem entarios.
( * + 40)"
165
166
P ru e b a d e te o re m a s m e d ia n te p ro p ie d a d e s b á s ic a s
Capítulo 4
Examen
1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas.
a. L a m edida de u n ángulo ex terio r de un triángulo es m ayor
que cu alquier ángulo del triángulo.
b. Si d os ángulos son suplem entarios y congruentes, entonces
am bos son ángulos rectos.
c. Si d os ángulos son suplem entarios, entonces form an un par
lineal.
En los ejercicios 2 y 3, se p ro p o rcio n a un teorem a en la form a sientonces. H ágase un d ibujo y establézcanse los d ato s y la prueba
u sando la figura y sus nom bres.
2. Si u n triángulo es equilátero, entonces la m edida de cada ángulo
es 60°.
3. Si un segm ento de recta une los p u n to s m edios de dos lados de
un triángulo, entonces el segm ento es paralelo al tercer lado.
4. Despéjese x y encuéntrese la m edida de los ángulos,
a. L A y L B son
com plem entarios.
b.
(5.x - 20)"
5. La m edida de u n ángulo es la m itad de la de su suplem entario,
¿cuánto m ide el ángulo?
n
6. Dado: m L 1 = m Z 2
m L 5 = mL6.
Pruébese: A D = A B .
1
Ay
5
3
N .
^4
7. D ado:
A B = CD, B D = CE.
Pruébese: A C = CE.
B
A
8. Dado:
Z l s Z _ 2 , D A l . AQ_
E B 1 A C y F C 1 AC ,
B es p u n to m edio de AC.
Pruébese: A D s CF.
/)
fv
A
b '
B
/’
V
A
C
9. P a ra las siguientes proposiciones de la p ru eb a, expóngase la
suposición de la prueba in directa que se usaría p a ra iniciar la
dem ostración.
a. A B = CD
b. L D E F n o es un ángulo recto.
Técnicas para la solución de problemas
Hacer una tabla-i
U n a técnica útil p a ra la solución de p roblem as es hacer u n a tabla
p a ra ver si puede en contrarse un esquem a. Estúdiese el siguiente
ejemplo.
¿C uántos cuad rad o s pueden en contrarse en este tablero?
Ejemplo
¿C uántos cuad rad o s h a y en un tablero de ajedrez de 8 x 8?
Considérese la ta b la de la derecha. El núm ero de cuad rad o s de
1 x 1, 2 x 2, 3 x 3 y 4 x 4 se d a en la tabla. ¿Puede verse un
esquem a y resolver el problem a?
Solución. El núm ero de cu ad rad o s de 1 x 1 es 8 2. El núm ero de
cuad rad o s de 2 x 2 es 72. El esquem a parece ser de cuadrados
perfectos decrecientes. Así, se com plem entaría la tab la con 16, 9, 4
y 1. P a ra o b ten er el to ta l se sum a y resu ltan 204 cuadrados.
Tamaño
del cuadrado
1X 1
2x 2
3x3
4x4
5X5
6x 6
7x7
8x 8
Número
de cuadrados
64
49
36
25
?
?
?
?
PROBLEMAS.
P a ra cada problem a, hágase u n a tabla, obsérvese el esquem a y
resuélvase el problem a.
1. ¿C uántos cubos hay en u n cu b o de 8 x 8 x 8? (Sugerencia:
H ágase u n a ta b la sim ilar a la anterior. En la p rim era colum na
se relacionan los tam añ o s de los cubos: l x 1 x 1, 2 x 2 x 2,
3 x 3 x 3 , ctc. En la segunda co lum na se presenta el núm ero
de cuad rad o s de ca d a tam año.)
Lados
Diagonales
3
0
4
5
2
?
6
?
2. ¿C uántas diagonales tiene un polígono de diez lados?
{Sugerencia: H ágase u n a tab la com o la de la derecha.)
3. U na ceviana es un segm ento de recta que
une u n vértice de u n triángulo a un pun to
del lado opuesto. ¿C uántos triángulos se
form an si se tra z a n 8 cevianas desde un
vértice de u n triángulo?
Ceviana
(Nota: Esta ceviana forma 3 triángulos)
167
C A P IT U L O
5.1
D e fin ic io n e s b á s ic a s
170
5 .2
T e o r e m a s s o b r e r e c ta s p a r a le la s
5 .3
E l p o s tu la d o d e la s r e c ta s p a r a le la s
5 .4
M á s te o r e m a s s o b r e r e c ta s p a r a le la s
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
R e p a s o de á lg e b ra
190
193
La g e o m e tría en n u estro m undo
M in e r a lo g í a : s im e t r í a
194
174
180
184
R esum en
191
E xam en
192
Rectas y planos
paralelos
169
170
R e c ta s y p la n o s p a ra le lo s
5.1
Definiciones básicas
U n o s e s tu d ia n te s u n iv e rs ita rio s c o n s tr u y e r o n e s te b ip la n o y lo lla m a ro n
« C h ry sa lis» . E s a c c io n a d o p o r p e d a le s, c o m o u n a b icic le ta . D u r a n te el
v e r a n o d e 1979, el a v ió n re a liz ó 3 2 0 v uelos.
E s te b ip la n o u tiliz a v a rio s c o n c e p to s q u e se e s tu d ia r á n e n e s ta secció n ,
c o m o la s r e c ta s p a ra le la s , r e c ta s p a ra le la s a u n p la n o , p la n o s p a ra le lo s
y r e c ta s n o p a r a le la s q u e n o se in te rs e c a n .
L a s r e c ta s f y m n o e s tá n
e n el m is m o p la n o y n o se
in te rs e c a n . Se
d e n o m in a n rectas alabeadas.
L a r e c ta i es p a r a le la al
p la n o A .
-l
A
______ _ v
Definición 5.1
L as rectas alabeadas son dos
rectas que no se intersecan y no
están en m ism o plano.
Definición 5.2
U n a recta y un plano son
paralelos si n o tienen p u n to s en
común.
B
Definición 5.3
L o s p la n o s A y B n o tie n e n
p u n to s e n c o m ú n . S o n
p la n o s paralelos.
Los planos paralelos son planos
que n o tienen puntos en
común.
5.1
L a r e c ta l in te rs e c a a las
re c ta s m y n e n d o s p u n to s
d ife re n te s y fo r m a ángulos
interiores y exteriores. A i
se le lla m a transversal.
D e fin ic io n e s b á s ic a s
171
Definición 5.4
U n a transversal es u n a recta
que interseca a dos rectas
coplanares en dos puntos
diferentes.
D o s re c ta s c o r ta d a s p o r u n a tra n s v e rs a l f o r m a n á n g u lo s
im p o r ta n te s p a r a e l e s tu d io d e la s r e c ta s p a ra le la s.
Los ángulos alternos interiores son dos ángulos
interiores con diferentes vértices en lados
opuestos de la transversal.
L 1 y Z.4 s o n á ng ulos a lte rn o s interiores.
L 2 y L 3 s o n án gu lo s a lternos interiores.
L os ángulos exteriores son dos ángulos exteriores
con diferentes vértices en lados opuestos de la
transversal.
L 5 y L 8 s o n á ng ulos a lte rn o s exteriores.
L 6 y L l s o n á ng ulos a lte rn o s exteriores.
Los ángulos correspondientes están en el mismo
lado de la transversal. U n o de los ángulos es un
ángulo exterior, el o tro es un ángulo interior.
H a y c u a tr o p a re s d e án gu lo s
co rrespondientes: L l y L l \ L 6 y L 4; L 5 y
¿3; L 2 y ¿8.
172
R e ctas y p la n o s p a ra le lo s
EJERCICIOS___ _ _
A.
L os ejercicios 1 a 3 se refieren al cu b o de la derecha. U n m odelo
de u n cu b o o u n a caja de zap ato s puede a y u d a r a visualizar el
cubo.
D
A
I ñ
I
JH
1. C ítense c u atro rectas que sean alab ead as con
AB.
2. C ítense seis rectas que sean paralelas a l plano
ABCD.
3. C ítense tres p ares de p lan o s paralelos.
4. C ítense d o s pares de ángulos alternos
interiores.
5. C ítense d os pares de ángulos alternos
exteriores.
6. Cítese el áng u lo correspondiente con L 1.
B.
D (Ejercicios 7, 8)
J
ACTIVIDADES"
¿ C u á n to s p u n to s d e in te rse c c ió n s e fo rm an con un n ú m e ro dad o
d e re c ta s ? D e p e n d e d e s u s p o sic io n e s e n re la c ió n u n a s con
o tra s.
Ejemplo: T re s r e c ta s p u e d e n form ar:
1 punto,
(Ejercicios 1-3)
(Ejercicios 4-6)
7. E sta figura m uestra u n a tu erca hexagonal.
C ítense tres pares de planos paralelos.
8. V arias rectas que contienen los extrem os de
esta figura son alab ead as con A É . ¿C uántas
son?
0 puntos,
G
2 puntos
o
E xperim ento: O b s é rv e s e si p u e d e n d is p o n e rs e c u a tro re c ta s p a ra
fo rm ar un punto, d o s p u n to s, tr e s p u n to s..., m á s d e s e is p u n to s de
in te rse c c ió n . ¿Y cin co re c ta s?
3 puntos
5.1.
D e fin ic io n e s b á s ic a s
173
9. U n carp in tero construyó u n a escalera co rtan d o triángulos
com o A A B C y A CDE de u n tro z o de m adera. ¿C on qué par
de ángulos y con qué transversal son L D C E y L F E G
ángulos correspondientes?
10. E n u n periscopio se coloca un p a r de
espejos paralelos entre sí según m uestra la
figura. L a tray ecto ria de la luz form a una
transversal. ¿Q ué p a r d e ángulos son
altern o s interiores, L l y L 3 , L l y L 4, L 2
y ¿ 3 ,o Z 2 y ¿ 4 ?
espejo(Ejercicio 10)
11. C ítense dos pares de ángulos altem os
interiores que incluyan al L 14.
12. C ítense tres pares de ángulos alternos
exteriores que incluyan ¿ 21.
(Ejercicios 11, 12)
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
E la b ó re s e u n a r e jilla d e re c ta s p a ra le la s c o m o
la d e la fig u ra .
1. C o ló q u e n s e c in c o fic h a s ro ja s s o b re c in c o
in te rs e c c io n e s d e m a n e ra q u e n o h a y a d o s
e n la m is m a re cta .
2. D e sp u és, c o ló q u e n s e c in c o fic h a s a z u le s
s o b re c in c o in te rs e c c io n e s d e m a n e ra q u e no
h a ya d o s fic h a s s o b re la m is m a re cta .
174
R e cta s y p la n o s p a ra le lo s
5.2
Teoremas sobre
rectas paralelas
L as rectas p ara le la s se u sa n a d ia rio de
diversas form as. L os h e rre ro s colocan b a rra s
de acero p aralelas e n tre sí. L os
ag rim en so res, c o n frecuencia, m a rc a n
divisiones de p ro p ied a d es p aralelas e n tre sí.
L os d iseñ ad o res de ro p a tam b ién u san
rectas p aralelas. E n la figura se m u e stra un
p a tró n b ásico p a ra u n a m a n g a de cam isa.
P a ra e la b o ra r u n p a tró n de u n a m a n g a m ás
an ch a, el d ise ñ a d o r tra z a rectas paralelas
so b re el p a tró n . E n to nces, las franjas
fo rm a d as p o r estas p a ra le la s se c o rta n y se
se p a ra n p a r a fo rm a r u n nuevo p atró n .
L o s p a re s d e án g u lo s fo rm a d o s p o r u n p a r d e rectas y una
tran sv ersal so n im p o rta n te s en el tra z a d o de rectas paralelas. E stas
tres figuras sugieren u n a relació n im p o rtan te.
D a d o :¿ 1 s L 2.
O bsérvese que p || q.
Teorema 5.1
D a d o :¿ 1 s L 2.
O bsérvese que p || q.
D a d o :¿ 1 ss L 2.
O bsérvese q u é p || q.
Si dos rectas se c o rtan p o r una transversal y un p a r de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
5.2
T e o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s
PRUEBA
PD a d o : L a s r e c ta s p, q y r c o n L 1 ^ L 2.
P ru éb e se : p || q.
?
I ?
P la n : Se s u p o n e p Hq. ( N o ta : (f s ig n ific a « n o
es p a r a le la a».) E n to n c e s , se c o n s id e ra el
tr iá n g u lo q u e se f o r m a r ía y se e n c u e n tr a
u n a c o n tra d ic c ió n .
Afirm aciones
R azones
1. Supóngase que p | q.
1. Suposición de la p ru eb a indirecta.
2. Entonces, p y q se intersecan en
un punto, sea C, y se form a A ABC.
2. R eplanteam iento de 1.
3. ¿ 2 es un ángulo exterior de A ABC.
3. D efinición de ángulo exterior.
4. L 1 es un ángulo interio r no
contiguo con L 2.
4. D efinición de ángulo interior no
contiguo.
5. m L 2 > m L 1.
5. T eorem a del ángulo exterior.
6. m L l = m L 2 (contradicción de
6 . D ado.
m / - 2 > m L 1).
7. P o r ta n to , p || q.
7. L ógica de la prueba indirecta.
H a y o tr o s tr e s te o re m a s re la c io n a d o s . ¿A q u é te o r e m a c o rre s p o n d e
c a d a fig u ra ?
Teorema 5.2
Si dos rectas se cortan por una transversal y
un par de ángulos
alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Teorema 5.3
Si dos rectas se cortan por una transversal y
un par de ángulos
alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Si dos rectas se cortan por una transversal y
un par de ángulos
interiores en el mismo lado de la transversal
son suplementarios,
entonces las rectas son paralelas.
Teorema 5.4
175
176
R e cta s y p la n o s p a ra le lo s
EJERCICIOS_______
A.
1. E n los siguientes casos, ¿qué rectas p o d ría
concluirse que son paralelas y qué
teorem a justifica la respuesta?
a. Z l s
Z 9.
b . Z 3 = £ Z6.
c. m Z 8 + m Z 10 = 180.
d . Z 4 = s Z 9.
e. Z 8 s
f.
Z ls
Z 12.
Z 8.
2. H ágase u n a lista de to d o s los d ato s co n trad ictorios que
aparecen en la figura siguiente.
3. C íten se cu atro form as de p ro b a r que dos rectas son paralelas.
4. Estúdiese la fotografía de la p ág in a 170. Indíquense ejem plos
de segm entos paralelos y una transversal.
5. ¿Q ué ángulos de esta figura se p odría
p ro b a r que son congruentes de m anera
que A B || £ (5 ?
6. ¿Q ué pares de ángulos de esta figura se
p o d ría p ro b a r que son congruentes p ara
m o stra r que &D || A B ?
7. ¿Q ué p ares de ángulos de esta figura se
p o d ría p ro b a r que son suplem entarios
p a ra concluir que ÍZ ) || A B ?
5.2.
T e o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s
8. C om plétese la siguiente p ru eb a a d os colu m nas p a ra el teorem a 5.2.
D ado: Z 1 £ Z 2 .
j
Pruébese: p || q.
________ _ J -------►p
Razones
A firm aciones
Z2.
1. ?
2. Z 2 s Z 3 .
2. ?
3. Z l s Z 3.
3. P ro p ied ad transitiva
de la congruencia.
4. p II q■
4. ?
1. ¿ l s
En los ejercicios 9 a 12, form úlese una p ru eb a com pleta a dos colum nas.
9. Dado:
A B = sD C
A D =s_BC.
Pruébese: A B || D C.
10. D ado:
¿O sO B
A O =í _OCPruébese: A B || DC.
(Sugerencia: P rim ero dem uéstrese que A A B C = AC DA.)
C
11. D ado:
AB s
DE
Pruébese:
12. D ado:
B C = EF
Pruébese: B A ||
13. Pruébese que si dos rectas en u n p lan o son perpendiculares a
u n a recta, son paralelas.
(Ejercicios 11, 12)
177
ir
178
R e cta s y p la n o s p a ra le lo s
14. Pruébese el teorem a 5.3.
c. 16.
15. Pruébese el teorem a 5.4.
B
Dado:
A
a b ib c
D CLBC
Z ls Z 4 .
(Ejercicios 16-18)
Pruébese: B F II G C .
17. Dado:
¿ A B C sí LBCD
B F biseca L A B C
C G biseca ¿LBCD.
18. D ado:
Z 2 s Z 3
Z l s Z 4 .
Pruébese: A B II CD.
Pruébese: B F II CG.
19. Dado:
m ¿ 2 + m ¿ 3 + m ¿ 5 = 180
Z 4s_ Z 5 .
Pruébese: A B || C D .
T rá c e s e u n a re c ta f y un p u n to P
q u e no e s té en e s a re cta .
S ó lo c o n un c o m p á s y u n a re g la trá c e s e
un a re c ta a tra v é s de P q u e s e a p a ra le la a
l . (S u g e re n c ia : In ic íe s e la c o n s tru c c ió n
tra z a n d o u na re c ta q u e p a s e p o r P y que
in te rs e q u e a la re c ta t .)
20. U n diseñador usa u n a regla T p a ra trazar
un p a r de rectas paralelas en u n a hoja de
papel. ¿C óm o se puede tener la seguridad
de que las rectas son paralelas?
5.2
T e o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s
P M es la bisectriz p erpendicular de A B
L A ss L B
A D sB C .
Pruébese: A B || CD.
(Sugerencia: T rácense algunas rectas auxiliares. U n a recta
auxiliar es u n a recta que se añ ad e a la figura para a y u d a r a
p ro b a r un teorem a o a so lu cio n ar un problem a.)
179
21. D ado:
22. D ado:
L B C D sL D
m L B + m L D = 180.
Pruébese: A B || DC.
23. U n a p lo m ad a (un peso suspendido de un
cordel) sirve p a ra m a rc a r con yeso u n a recta
sobre u n a pared. Si la p rim era h o ja de
papel tapiz se coloca a lo larg o de la línea
de yeso, ¿por qué asegura esto q u e el
b orde del papel es paralelo a las puertas,
v entanas y esquinas del cuarto?
_ SOLUCION D E PROBLEMAS
A lg u n a s fo rm a s p o lig o n a le s p u e d e n c o rta rs e e n p ie z a s q u e s e p u e d e n
c o lo c a r p a ra c o n s e g u ir n u e v a s fo rm a s p o lig o n a le s . L a s p ie z a s re c o rta d a s
c u b re n p o r c o m p le to la fra n ja e n tre un p a r d e re c ta s p a ra le la s .
E je m p lo :
M u é s tre s e q u e la s fo rm a s p o lig o n a le s co n lo s c o rte s in d ic a d o s p u e d e n
c o lo c a rs e p a ra c u b r ir d ic h a fra n ja p a ra le la .
B
180
R e cta s y p la n o s p a ra le lo s
5.3
El postulado de las rectas
paralelas
E n la ú ltim a ac tiv id a d se tra z ó u n p a r de
rectas p aralelas.
E n realid ad , h ay tres m éto d o s re la cio n ad o s
q u e p o d ría n resu m irse c o n estas tres figuras.
P a r a estab lecer la co rrec ció n d e estas
co n stru ccio n es p o d ría n u sarse los teo rem as
de la sección an terio r.
P are c e n a tu ra l su p o n er, co m o se hizo e n el
p o stu la d o d e las p aralelas, q u e só lo h ay u n a
re cta q u e p ase p o r P y sea p a ra le la a l . P ero ,
¿p o r q u é es cierto esto? E sta p re g u n ta es
h istó ricam en te significativa (véase m ás
adelante).
• P
R EP A SO : T rácese una recta a través de P
que sea paralela a £.
postulado de las paralelas
D ados una recta £ y u n p u n to P q u e no está
en la recta £, existe sólo u n a recta a través
de P que sea paralela a £.
L a p ru e b a del te o re m a siguiente ilu s tra el
u so del p o s tu la d o d e las p aralelas.
Teorem a 5.5
D ad as las rectas p, q y r, si p || q y q || r, entonces p || r.
►P
5.3
El p o s tu la d o d e la s re c ta s p a ra le la s
PRUEBA
P -------------------------
D ad o : L as rectas p, q y r son tres
rectas d istin tas, p\\q, q || r.
Pruébese: p || r.
? -------------------------
^> A
r
Afirmaciones
Razones
1. Supóngase que p Hr.
1. Suposición de la p ru eb a indirecta.
2. p y r tienen un p u n to en com ún.
2. R eplanteam iento de 1.
Llámesele A.
3. p || q.
3. D ado.
4. r || q.
4. D ado.
5. Las rectas p y r son dos rectas
distintas que pasan p o r A y son
paralelas a q. (C ontradicción del
postulado de las paralelas que
afirm a que h ay sólo u n a recta que
pase p o r A y sea paralela a q.)
5. A firm aciones 3 y 4.
6. P o r ta n to , p || r.
6. Lógica de la p ru eb a indirecta.
IMPORTANCIA HISTORICA
DEL POSTULADO DE LAS PARALELAS
K arl F rie d ric h G auss
D u ra n te siglos, los m atem ático s in te n ta ro n d e m o s tra r q u e el p o stu la d o de las
p aralelas e ra u n teo rem a. T ales in te n to s fa lla ro n u n a y o tra vez. A p rin cip io s
del siglo XIX, tres m atem ático s, K a rl F rie d ric h G a u ss (1777-1855), Ja n o s B olyai
(1802-1860) y N ico lai Iv a n o v itc h L o b ac h ev sk y (1793-1856), tra b a ja n d o
in d ep en d ien tem en te, in te n ta ro n s e p a ra r el p o s tu la d o de las p ara le la s del
sistem a eu clid ian o de p o stu la d o s y p ro b a r q u e e ra u n teo rem a. U tiliz a ro n u n
m éto d o in d irec to , p ero en lu g ar d e lleg ar a u n a c o n tra d icció n , e n c o n tra ro n que
esta su p o sició n re p re se n ta b a u n c o n ju n to to ta lm e n te nuevo d e teo rem as, u n a
g eo m etría to ta lm e n te nueva. E ste im p o rta n te d esc u b rim ie n to m a te m á tic o dio
lu g a r a lo q u e h o y se co n o ce co m o g eo m etría n o euclidiana.
181
182
R e cta s y p la n o s p a ra le lo s
EJERCICIOS_______
A.
1. D ése u n a expresión p ropia al p o stu lad o de las paralelas.
2. ¿Cuáles son las dos p alab ras m ás im p o rtan tes del postulado de
las paralelas?
3. C lasifíquense las siguientes afirm aciones en falsas o verdaderas.
a. H ay u n a recta que p asa p o r A y es paralela a l .
b. P o d ría p robarse que hay una recta que p a sa p o r A y
es paralela a t a u n sin usar el p ostulado de las paralelas.
c.
El p o stu lad o de las paralelas dice que hay sólo u n a recta
que p asa p o r A y es paralela a t .
d. Si p es una recta que p asa p o r A y es perpendicular a l , y q
es u n a recta que pasa p o r A y es perpendicular a p, entonces
q \\ tEn los ejercicios 4 y 5, determ ínese si se puede p ro b a r que las
rectas p y q son paralelas.
ACTIVIDADES
1. C o n un a re g la , d ib ú je s e u n c u a d rilá te ro c u a lq u ie ra
W XYZ.
2. D ib ú je n s e triá n g u lo s e q u ilá te ro s a c a d a la d o del
c u a d rilá te ro , a lte rn á n d o lo s e n el in te r io r y el
e x te r io r d e l c u a d rilá te ro y llá m e s e a lo s n u e vo s
v é rtic e s A, B , C y D.
3. ¿Qué re la c ió n re s u lta v e rd a d e ra p a ra A D y B C , y
p a ra A B y C D ?
4. E n ú n c ie s e u na g e n e ra liz a c ió n .
---------------------- — — ■+- I
5.3
El p o s tu la d o d e la s re c ta s p a ra le la s
183
B.
6. D ado:
Z1
Z2
Z 3 s Z4.
Pruébese: p r.
7. D ado:
m Z 1 + m ¿ 2 = 180
m Z 3 + m Z 4 = 180.
Pruébese: p || r.
8. D ados una recta t y un p u n to P, trácese la perpendicular de
P a i y llám ese m. T rácese la recta l a m q u e pase p o r P y
llám ese r. ¿Cuál es la relación en tre r y (, y p o r qué?
\P
9. M uéstrese que la actividad de la página 178 da p o r resultado
un p a r de rectas paralelas.
c.
P a ra los siguientes ejercicios puede suponerse que el teorem a
5.5 es verdadero p a ra rectas en el espacio, adem ás de serlo para
las rectas en un plano.
10. Si A B , CD y E F son las aristas de un cubo com o m uestra
la figura, dem uéstrese que A B || EF.
11. Si A B , CD y E F son los bordes de tres páginas de un libro
(supóngase cjue se tra ta de páginas rectangulares), pruébese
que A B , CD y E F son pralelas en tre sí.
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
E sta fo to g rafía m u e s tra la s «tijeras» d e una
platafo rm a d e cam ió n a b ie rta s, a lz a n d o la p latafo rm a
a su a ltu ra m áxim a. Los s o p o rte s , d e s ig n a d o s com o
AB y CD, s e b isecan .
E x p liq ú ese p o r q u é e s ta s co n d ic io n e s significan
q u e la p latafo rm a del cam ió n e s tá p a ra le la a la
e stru c tu ra b a s e del cam ión.
(Ejercicio 10)
184
R e cta s y p la n o s p a ra le lo s
5.4
Más teorem as
sobre rectas
paralelas
Muchos aficionados a las reparaciones
caseras compran escaleras plegables para
instalar en el techo de la casa o del
garaje. Estas escaleras se fabrican siempre
de la misma longitud. La persona que la
instala debe determinar cómo cortar la parte
inferior de manera que la escalera se apoye
firmemente sobre el piso, para lo cual se
deben tener en cuenta la longitud y el
ángulo. El hecho de que el piso y el techo
son paralelos es muy importante para
resolver este problema.
En estas figuras, ¿cuál es la relación entre Z 1 y L 2?
D ado: p y^
D a d o : p |[ ^
Obsérvese que L l » L2.
Obsérvese que L l sí L2.
D a d o : p j|
Obsérvese que Z l s
Z 2.
Las figuras anteriores sugieren el siguiente teorema.
Teorema 5.6
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces
los ángulos alternos interiores son congruentes.
5.4
M á s te o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s
PR U E B A
Dado: L a s re c ta s p || q se c o r ta n p o r la
tr a n s v e r s a l r. L 1 y L 2 s o n á n g u lo s
a lte r n o s in te rio re s .
Pruébese: ¿ 1 = 2.
Plan: S u p ó n g a s e q u e L 1 n o es c o n g ru e n te
c o n L 2 y e n c u é n tre s e u n a c o n tra d ic c ió n .
A firm aciones
R azones
I. L í n o es congruente con.Z.2.
1. Suposición de la p ru eb a indirecta.
2. T rácese u n a recta que pase p o r A
p a ra que ¿ l ^ Z . 3 y ¿ l y ¿ 3 sean
ángulos alternos interiores.
2. C onstrucción.
3. q || s, A está en s.
3. Si los ángulos altem o s interiores
son congruentes, entonces las
rectas son paralelas.
4Í p || q, A está en p.
4. D ado.
5. H ay d os rectas que p asan p o r A y
son paralelas a q. (C ontradicción
del po stu lad o de las paralelas.)
5. A firm aciones 3 y 4.
6. L l ^ L 2 .
6. Lógica de la p ru eb a indirecta.
A PLICA CIO N
E l te o re m a 5.6 p u e d e u s a rs e p a r a re s o lv e r el
p r o b le m a p la n te a d o a l p r in c ip io d e e s ta
se cc ió n . ¿ C ó m o d e b e c o r ta r s e la p a r te in fe rio r
d e la esc a le ra?
S íg a se e s te p ro c e d im ie n to .
1. M íd a s e A B y lo c a líc e se u n p u n to D d e
m a n e r a q u e A B = CD.
2. M íd a s e L U V W y lo c a líc e se u n p u n to E de
m a n e ra q ue m / - U V W = m L C D E .
u
v
Techo
H a y v a r io s te o r e m a s a d ic io n a le s q u e se d e s p r e n d e n d e esto:
Teorema 5.7
Si d o s rectas p aralelas se c o rta n p o r u n a tran sv e rsal, entonces
los á n g u lo s a lte m o s ex terio res s o n congruentes.
Teorema 5.8
Si dos rectas p ara le la s se c o rta n p o r u n a tran sv e rsal, entonces
los án g u lo s c o rresp o n d ien tes so n congruentes.
Teorema 5.9
Sí dos re c ta s p a ra le la s se c o r ta n p o r u n a tran sv ersal, entonces
lo s á n g u lo s in terio re s del m ism o la d o d e la tran sv e rsal son
su p lem en tario s.
185
186
R e cta s y p la n o s p a ra le lo s
EJERCICIOS______
A.
E n la figura de los ejercicios I a 7, las rectas p y
q son paralelas y m ¿ 3 = 55.
1. m L l = _ L .
2. m L 2 = JL.
3. m L 4 - X .
5. m L 6 ~ _L.
6 . m Z 7 = JL.
7. m L 8 =
En la figura de los ejercicios 8 a 12, las rectas p y
q son paralelas, y m L 1 = 125 y m Z 4 = 143.
8. m L 2 - JL
10. m L 5 = JL
9. m L 3 = JL
11. m L l - JL
En la figura de los ejercicios 13 a 22, A B || CD y X f i || BC*.
Adem ás, m L A D C = 110 y m L A C D - 28.
13. m L l = X .
14. m Z 10 = X .
15. m L 3 = JL.
16. w Z 4 = X .
17. m L 5 = JL.
18. w Z 6 = X .
19. m L B C D = X
20. m L 9 = JL.
21. w Z 2 - X .
22. m L B A D = JL.
23. Supóngase que en la figura m L B C D = 70.
¿Cuáles deben ser las m edidas de L A B C ,
L C D A l _ L D A B si A B || CD
y A D || BC?
(Ejercicios 13-22)
5.4
M á s te o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s
P a ra los ejercicios 24 y 25, supóngase que las rectas p y q son
paralelas.
24. Si m L 1 = 2x + 3 y m Z 4 = 7x — 12,
encuéntrense m L 1 y m L 2 .
25. Si m L 1 = 2x + 4, m L 5 = 3y + 6 y
m L 2 = Ay + 6, encuéntrense las m edidas
de L \ , L 2 y L5.
26. Pruébese el teo rem a 5.8.
27. Pruébese el teorem a 5.9.
28. Pruébese el teorem a 5.7.
29. D ado:
i || t
r±s.
Pruébese: r ± t .
30. Dado:
A O szO D
B O a OC.
Pruébese: A É II 5 d .
r
A
B
31. D ado:
p || q
* 111.
Pruébese: ¿ l s Z 7
Z 2 s L 9.
(Ejercicios 31-33)
32. D ado:
p || q
Z 3 s s Z ll.
Pruébese: s || t.
33. D ado:
i || t
L 9 y L l son
suplem entarios
Pruébese: p || q.
187
188
R e cta s y p la n o s p a ra le lo s
C.
34. D ado:
A B || CD
B C || DE.
Pruébese: Z B
Z D.
35. Dado:
Pruébese: B C
36. D ado:
37. Dado:
A B || D E
A C biseca ¿ .B A D
B C || DE.
D F biseca Z A DE.
Pruébese: m¿_ 1 + m ¿ 4 = 180.
Pruébese: A C || FD.
Z BAD
A B || CD
/ EDA- im ¿ BAD = \m ¿ E D A \ u s e T h e o re m 5-2.
A C TIV ID A DES.
...... ...........—
1. E m p ié c e s e p o r un p o líg o n o q u e se p u e d a
c o rta r en p ie z a s y s e r re o rd e n a d o e n una
fr a n ja fo rm a n d o un p a tró n re p e titiv o (co m o en
la p á g in a 179).
2 . D e n o m ín e n s e los p u n to s A y 6 d e m a n e ra
q u e se a n d o s p u n to s c u a le s q u ie ra q u e se
c o rre s p o n d a n e n tre sí e n p ie z a s a d y a c e n te s
d e la fra n ja .
3. T rá c e s e un p a r d e re c ta s p a ra le la s AD y BC
c o m o se m u e s tra en la fig u ra . T rá c e s e
A E 1 B C . L a s p ie z a s 1 a 5 o b te n id a s d e esta
fo rm a p u e d e n c o lo c a rs e p a ra fo r m a r el
p o líg o n o o rig in a l o un re c tá n g u lo .
4. R e p íta se e s te p ro c e d im ie n to d e tre s p asos
p a ra lo s p o líg o n o s d e la s o lu c ió n d e
p ro b le m a s d e la p á g in a 179. En c a d a c a s o
c o lo q ú e n s e la s p ie z a s c o rta d a s p a ra fo rm a r
un re c tá n g u lo .
5.4
38. D ado:
A D ^E C
B C ^F D
S C || FD.
Pruébese: A B II EF.
M á s te o re m a s s o b re re c ta s p a ra le la s
B
39. Si A B || C D y A D || BC,
pruébese que Z B = Z D.
40. Pruébese: Si d os lad o s opuestos de un cuad rilátero son
congruentes y paralelos, entonces, los o tro s dos lados
o puestos son congruentes y paralelos.
41. U n d eco rad o r de interiores está pegan d o tiras de papel tapiz
en u n a p ared p a ra hacer u n diseño de franjas inclinadas.
Al c o rta r el papel, ¿cóm o sab e el d eco rad o r que Z A y Z B
deben ser congruentes?
_ SOLUCION D E PROBLEMAS.
L o s ra y o s de lu z s e in c lin a n a l p a s a r a tra v é s de
un v id rio . S u p ó n g a s e q u e un ra y o d e lu z s u fre la
m is m a in c lin a c ió n a l e n tr a r q u e a l s a lir del
v id rio . E x p liq ú e n s e d o s c o s a s :
1. ¿ P or q u é e l ra y o s a le e n d ire c c ió n p a ra le la a
la d e e n tra d a ? E sto es, ¿ p o r q u é A B es
p a ra le la a CD?
2. ¿ P or qu é lo s ra y o s q u e so n p a ra le lo s a l e n tra r
so n p a ra le lo s ta m b ié n _ a l s a ljr? E sto es, ¿ p o r
q u é A B || WX im p lic a CD || Y Z ?
189
190
R e cta s y p la n o s p a ra le lo s
Capítulo 5
Conceptos im portantes
Términos
Rectas alab ead as (pág. 170)
Rectas y planos paralelos (pág. 170)
Planos paralelos (pág. 170)
T ransversal (pág. 171)
A ngulos altern o s interiores (pág. 171)
Angulos altern o s exteriores (pág. 171)
A ngulos correspondientes (pág. 171)
Postulado
Postulado de las paralelas: D ad as una recta t y un p u n to P que no
está en t , existe sólo u n a recta que p asa p o r P y es paralela a t .
Teoremas
5.1 Si dos rectas se c o rtan p o r u n a transversal y u n p a r de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces las rectas son
paralelas.
5.2 Si dos rectas se c o rtan p o r una transversal y un p a r de ángulos
alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son
paralelas.
5.3 Si Hos rectas se cortan p o r u n a transversal y un p a r de ángulos
alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son
paralelas.
5.4 Si dos rectas se co rtan p o r una transversal, y u n p a r de ángulos
interiores del m ism o lad o de la transversal son suplem entarios,
entonces las rectas son paralelas.
5.5 D ad as las rectas p, q y r, si p || q y q || r, entonces p || r.
5.6 Si d os rectas paralelas se co rtan p o r u n a transversal, entonces
los ángulos alternos interiores son congruentes.
5.7 Si d o s rectas paralelas se c o rta n p o r u n a transversal, entonces
los ángulos altern o s exteriores son congruentes.
5.8 Si dos rectas paralelas se c o rtan p o r una transversal, entonces
los ángulos correspondientes son congruentes.
5.9 Si d os rectas paralelas se c o rtan p o r una transversal, entonces
los ángulos interiores del m ism o lado de la transversal son
suplem entarios.
C a p itu lo 5
Capítulo 5
R e su m e n
Resumen
1. a. C ítense pares de ángulos altern o s interiores.
b. Cítense pares de ángulos altern o s exteriores.
c.
C ítense pares de ángulos correspondientes.
2 . Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas.
a. Si d os rectas son paralelas y se c o rtan p o r u n a transversal,
entonces los ángulos correspondientes son congruentes.
b. Si dos rectas se c o rtan p o r u n a transversal p a ra form ar
ángulos alternos interiores, entonces las rectas son paralelas.
c. Si d os rectas son paralelas a u n a tercera, entonces las dos
rectas son paralelas.
3.
a. Cítese
un p a r de planos paralelos,
b. Cítese un p ar de rectas alabeadas.
4. Si m L 6 = 120 y m L 12 = 60, ¿puede p ro b arse que a Hb?
5. Si mZ.13
= 55, a || b, y c || d, encuéntrese m L 4.
6. Dado: a \ \ b , c \ \ d m L \ = 8x - 2, m L 11 = 7x + 11.
Despéjese x y encuéntrese m L 10.
7. D ado:
c || d
L 8 y L 10 son suplem entarios.
Pruébese: a || b.
(E je rcic io s 4-7)
8. Dado:
LE C D ^LE A B .
Pruébese: L FD C = L FBA.
A‘
R
(E jercicio 8)
192
R e cta s y p la n o s p a ra le lo s
Capítulo 5
Examen
1. a. Cítese un p ar de ángulos alternos interiores que incluyan L 2 .
b.
Cítese un p a r de ángulos correspondientes que incluyan L 2.
TJ
2. a. Cítese un p ar de p lan o s paralelos,
b.
Cítese un p ar de rectas alabeadas.
3. Si a || b, m L 10 = 70 y m L l = 70, ¿puede
decirse que c || cP.
4. Si m L 6 = 115, m L l = 65 y m L 15 = 65, encuéntrese m L 13.
5. D ado: a || b, c || d, m L 11 = I x y m ¿ 8 = 5x + 32.
Despéjese x y encuéntrese m L 6 .
6. Si a interseca a b, ¿puede ser que m L 1 = m L 2 ? Expliqúese.
7. Dado:
¿ ls ¿ 2
L2_y L 3 son suplem entarios.
Pruébese: A B II E D .
1
D
8. D ado:
c\\d , ¿ 8 s ¿ 1 4 .
Pruébese: a II b.
R e p a s o d e á lg e b ra
Repaso de álgebra
Despéjese x en las ecuaciones siguientes:
1. 3* + 5 = 21 -
x.
4. 5 + 2(x - 4) = 19.
7. 4(x - 2) = 4 - (x + 2).
2. 10 — 6x = 4 + 2(1- x).
3. 5 - x = - 3 x .
5. 4(2* - 6) = 2x + 5.
6. f * + | = 1.
8 . \ x + 2(x - 4) = 17.
9. 2(x + 4) = 3(4 - x).
Despéjese x en las desigualdades siguientes:
10. - x > 9-
11. x + 2 < 7.
12. 2x + 6 > 17.
13. 3(x - 2) < 8.
14. 15 - 2x < x.
15. ^
16. 3x + 7 > 2x — 4.
17. 2 |x | < 10.
18. |x + 2| > 14.
> 24.
Evalúese. Exprésense fracciones en térm inos m enores:
19. \ / 8.
20. V640-
22. 8(8 - 6 vT ó).
23. \/7 5 -
25.
26.
1 4 \/6 4
21. \/2 7 + \/3 .
\/l2 -
24. \/Í 0 8 + 3 \/3 .
27. V Í 8 - j E
B .
V 9
D espéjense x e y en los sistem as de ecuaciones siguientes:
28. x = 2
00
x + 3y = 49.
ó
04
35. jy = 2x
II
6x — 4y = 0 -
x — 3 y = —17.
1
34. 3x + 4y = 18
33. x + ;y = 10
32. 3x + 4y = 14
H
x -\-y — 6 .
1
31. x - y = 2
3x + y = 4.
II
x + y = 5.
30. x = 2y + 1
29. 2x + ;y = 14
36. 2x + j- = 6
—3x + 2y =
Resuélvase.
37. E l an ch o de u n rectángulo es tres veces su
longitud. E ncuéntrense la lo n g itu d y la
a n c h u ra del rectángulo si su perím etro es
24.
38. U n p a r lineal de ángulos m ide x + 20 y
x + 30. E ncuéntrese la m edida de cada
ángulo.
193
Mineralogía-, simetría
En general, los m inerales presen tan disposiciones
regulares de áto m o s que tienen cierta sim etría
geométrica. A unque los cristales no siempre m uestran
una sim etría perfecta, algunos tienen form as
parecidas a la de alguno de los cinco poliedros
que se m uestran a continuación. Tales cristales
tienen ejes de sim etría de revolución y planos de
sim etría de reflexión.
F luorita
C ubo
T etra ed ro
O ctaed ro
E ncuéntrense ejes de sim etría de revolución
p a ra un sólido.
a
P uede plegarse u n p a tró n com o el que se m uestra
aquí y co n stru ir u n cubo. H áganse d os orificios
pequeños e introdúzcase u n sorb eto a través del
cubo com o ilu stra la fotografía. Si se hace g irar el
cubo 90° cu atro veces sobre el eje, el sorbeto,
volverá a su posición-original. D a d o que esto es
verdadero, se dice que el so rb eto representa un eje
de simetría de revolución de cuarto orden.
C ubo
194
DoO ÍCÜrO lO
Icosaedro
A continuación se m u estran los tres ejes de sim etría p a ra un cubo.
/
.
Segundo orden
U n a recta que p asa p o r
los punto s m edios
de aristas opuestas.
/
Tercer orden
U n a recta que pasa por un
p a r de vértices opuestos.
Cuarto orden
U n a recta que pasa p o r el
centro de caras opuestas.
a. ¿C uántos ejes de sim etría de segundo o rden puede tener u n cubo?
b. ¿C uántos ejes de sim etría de tercer ord en puede tener un cubo?
c. ¿cuántos ejes de sim etría de c u arto o rden puede tener un cubo?
E ncuéntrense p lan o s de sim etría
de reflexión p a ra un sólido
Puede co nstruirse un m odelo de un cubo con 12
sorbetos unidos con servilletas congruentes de papel
com o se ilu stra en la fotografía. C órtense «planos»
de cartu lin a y úsense p a ra visualizar los planos
de sim etría com o se m uestra en los dibujos.
a. U n plan o que p a sa p o r aristas o p uestas de un
cubo, com o en el prim er dibujo, es u n p lan o de
sim etría p a ra el cubo. ¿C uántos p lan o s de
sim etría de este tip o tiene u n cubo?
b. U n plan o situ ad o en el cen tro de un p a r de
caras o p uestas de un cubo es un p lan o de
sim etría p a ra el cubo. ¿C uántos planos de
sim etría de este tip o tiene u n cubo?
195
C A P IT U LO
6.1
C la s if ic a c ió n d e lo s t r iá n g u lo s
6 .2
T r iá n g u lo s is ó s c e le s
6 .3
M e d id a s d e lo s á n g u lo s d e u n t r iá n g u lo
6 .4
E l te o r e m a d e la c o n g r u e n c ia L A A
6 .5
E l t e o r e m a d e la c o n g r u e n c ia d e la h ip o te n u s a y e l c a te to
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
198
202
220
212
R esum en
T é c n ic a s p a ra la s olució n de p ro b le m a s
H a c e r u n a t a b la - ll
223
208
221
E xam en
216
222
Triángulos
198
T riá n g u lo s
6.1
Clasificación de los triángulos
L a s velas d el b a rc o d e la
fo to g ra fía ilu s tr a n d ife re n te s
fo rm a s d e triá n g u lo s .
L o s triá n g u lo s p u e d e n
cla sific a rse se g ú n la lo n g itu d
d e su s la d o s o se g ú n la
m e d id a d e su s á n g u lo s.
REPASO: U n triángulo
equilátero es un trián g u lo con
los tres lados congruentes.
REPASO: U n triángulo
isósceles es u n triángulo que
tiene al m enos dos lados
congruentes.
Definición 6.1
N in g ú n la d o tie n e
la m is m a lo n g itu d .
A G H I es u n triángulo
escaleno.
U n triángulo escaleno es un
triángulo que no tiene lados
congruentes.
L o s tr iá n g u lo s ta m b ié n se c la sific a n s e g ú n la m e d id a d e su s á n g u lo s.
Definición 6.2
T o d o s lo s á n g u lo s
s o n a g u d o s.
A A B C es u n triángulo
ac u tángulo.
U n triángulo acutángulo es un
triángulo con tres ángulos
agudos.
6.1
C la s ific a c ió n d e lo s tr iá n g u lo s
199
E
¿ D e s u n á n g u lo re c to .
A D E F es u n triángulo
rectángulo. E l la d o E F es la
hipotenusa. D E y D F s o n
lo s catetos.
Definición 6.3
U n triángulo rectángulo es un
triángulo q u e tiene un ángulo
recto.
H
Definición 6.4
A G H I e s u n triángulo
ob tu sángulo.
U n triángulo obtusángulo es
un triángulo que tiene un
ángulo obtuso.
K
Deficinión 6.5
A J K L e s u n triángulo
equiángulo.
P a r a c u a lq u ie r tr iá n g u lo h a y tre s s e g m e n to s d e n o m in a d o s
alturas.
U n triángulo equiángulo es un
triángulo que tiene tres
ángulos congruentes.
Definición 6.6
U n a altura de u n triángulo es
un segm ento q u e va de un
vértice a u n p u n to F en el
lad o opuesto (quizá extendido)
y es perpendicular a ese lado
opuesto.
O b s é rv e s e q u e e n u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo d o s d e la s a ltu r a s c o in c id e n c o n
lo s la d o s d e l triá n g u lo . E n u n tr iá n g u lo o b tu s á n g u lo , d o s a ltu r a s tie n e n
c a te to s e n la s e x te n s io n e s d e lo s la d o s.
200
T riá n g u lo s
EJERCICIOS
A.
1. Clasifiquense estos triángulos en escaleno, isósceles o
equilátero.
b.
c.
2. C lasifiquense estos triángulos en acutángulo, obtusángulo
o rectángulo.
a.
b.
N
3. D enom ínense estas p artes del trián g u lo rectángulo M N P .
a . A ngulo recto.
c. H ipotenusa.
b. C atetos.
d. A lturas.
M
4. D ibújese un trián g u lo isósceles que ten g a un ángulo de 45°.
5. D ibújese u n triángulo rectángulo escaleno.
6. D ibújese u n trián g u lo o btusángulo que tenga un ángulo de 30°.
7. D ibújese un trián g u lo equilátero y trácese u n a altura.
8. D ibújese un triángulo o b tu sán g u lo y trácense to d as sus alturas.
9. D ibújese y dense n om bres a u n a tab la
com o la de la derecha. En cada casilla de
la tabla, si es posible, dibújese un
trián g u lo que satisfaga las dos
condiciones.
ACTIVIDADES!
D ibú jen se tr e s c o p ia s d e la e s tr e lla m á s
p e q u e ñ a . C ó rte s e p o r la s lín e a s d e p u n to s
y c o ló q u e n s e las p ie z a s p a r a fo rm a r la
e s tr e lla g ra n d e .
equilátero
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
isósceles
escaleno
6.1
C la s ific a c ió n d e lo s triá n g u lo s
201
10. Identifiqúense los trián g u lo s com o
acutángulo, rectángulo u obtusángulo.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
A ABD.
A ABC.
AADE.
ABDC.
A ACE.
ADCE.
11. En la figura de la derecha, identifiqúense
las altu ras y sus triángulos respectivos.
Los ejercicios 12 a 14 se refieren al p en tág o n o ABCD H .
12. C ítense dos triángulos isósceles que tenga A B com o lad o desigual.
13. C ítense d os triángulos isósceles que ten g a A B com o u n o de los
lados iguales.
14. Cítese un trián g u lo isósceles que tenga FG com o uno de los
lados.
15. C ítense to d o s los trián g u lo s equiláteros y escalenos de la figura
siguiente.
16. ¿P o r qué u n trián g u lo equilátero tam bién es isósceles? Expliqúese
haciendo referencia a la definición de « triángulo isósceles».
17. D ado:
U n triángulo isósceles A B C co n B com o
ángulo del vértice.
A E es la a ltu ra de A a BC.
CD es la altu ra de C a A B.
AD £ CE.
Pruébese: L B A E £ B C D .
18. C u a tro triángulos equiláteros pueden colocarse para
fo rm ar un trián g u lo equilátero m ás grande. ¿Cóm o pueden
colocarse c u atro triángulos obtusángulos p a ra fo rm ar un
triángulo o btusángulo m ás grande de la m ism a form a que
el original?
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
En e s ta fig u ra h a y 27 triá n g u lo s e q u ilá te ro s.
C íte n se to d o s los p o sib les.
(Ejercicio 15)
202
T riá n g u lo s
6.2
Triángulos isósceles
E n to d o el m u n d o se h a n c o n stru id o m iles
d e d o m o s geodésicos. U n o d e los m ás
g ra n d es se co n stru y ó e n 1958. Se tr a ta d e u n
taller d e re p a ra c ió n d e au to m ó v ile s de
B a to n R ouge, L o u isian a. E ste d o m o tiene
117 m etro s d e d iá m e tro y 35 de altu ra . P a ra
la exposición d e M o n tre a l d e 1967, tam b ién
se co n stru y ó u n d o m o , la fo to g rafía m u estra
su proceso de con stru cció n .
L a e s tru c tu ra d e u n d o m o se co n stru y e u n ien d o m u c h o s trián g u lo s. D e
esto s trián g u lo s, m u ch o s tie n e n lad o s de ig u al lo n g itu d , lo cual significa que
so n isósceles o e q u ilá te ro s (V éase «L a g eo m etría en n u e stro m u n d o » ,
p ág. 126).
E n esta sección se e stu d ia rá n alg u n as p ro p ie d a d e s im p o rta n te s de estos
do s tip o s de trián g u los.
A B ^A C
AC = BC
ÁB^BC
O b sérv ese q u e m L B = m L C .
O bsérvese q u e m L A = m L B .
O bsérvese q u e m L A = m L C .
Teorema 6.1
Si u n triá n g u lo es isósceles, en to n ce s lo s án g u lo s d e su b ase son
congruentes.
6.2
T riá n g u lo s is ó s c e le s
PRU EB A
D a d o : S ea A A B C isó sceles c o n A B s A C .
P ru é b e se : L B s L C.
P la n : S ea D el p u n to m e d io d e B C . T rá c e s e A D y p ru é b e s e q u e
A ABD s A ACD.
Afirm aciones
Razones
1. A A B C es isósceles con
A B = AC.
1. D ado.
2. D es el p u n to m edio de BC.
2. C a d a segm ento de recta tiene un, y
sólo un, p u n to medio.
3. A A B D s A ACD.
3. U n segm ento desde el vértice de un
ángulo al p u n to m edio del lado
opuesto form a un par de triángulos
congruentes (Teorem a 4.2).
4. L B = L C .
4. PC T C C .
APLICA CIO N
Se v a n a c o r t a r d o s ta b lita s d e m a d e r a c o n v e rg e n te s d e
m a n e r a q u e p u e d a n c la v a rs e a u n a t a b la a lo la rg o d e u n a
lín ea.
Se c o lo c a n d o s e s c u a d ra s d e c a r p in te r o d e fo rm a q u e
BE = DE. L o s p u n to s B y D d e te r m in a n la lín e a d e fo rm a q u e
A A B D s A CDB. ¿ P o r q u é ? L a s e s c u a d ra s d e c a r p in te r o se
c o lo c a n d e m a n e r a q u e A BDE es u n tr iá n g u lo isósceles. P o r
ta n to , L E B D
LED B, c o n lo c u a l p u e d e c o n c lu irs e q u e
m L A B D = 90 + m L E B D = m L E D B + 9 0 = mL CD B .
A c o n tin u a c ió n se p r e s e n ta n o tr o s d o s te o re m a s . E l te o re m a
6.2 es u n c a s o e s p e c ia l d e l te o re m a 6. 1.
Teorema 6.2
Teorema 6.3
Si u n tr iá n g u lo es e q u ilá te ro , e n to n c e s es e q u iá n g u lo .
Si d o s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo s o n c o n g ru e n te s , e n to n c e s los
la d o s o p u e s to s a e s to s á n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .
203
204
T riá n g u lo s
EJERCICIOS
A.
E n los ejercicios 1 a 3, los segm entos q u e tienen m arcas
idénticas se consideran congruentes. C ítense to d o s los pares de
ángulos que, según el teorem a 6. 1, son congruentes.
1.
A
E
E n los ejercicios 4 a 6, los ángulos que tienen m arcas idénticas
se consideran congruentes. C ítense los triángulos isósceles.
7. m L A B C = _L.
9. m L A C D = _L.
11. A B = J _ .
8 . C E = _L.
10. S C =
12. m / _ A D B = X .
(Ejercicios 7, 8)
B.
13. /S A B C es isósceles co n A B = BC. Si A B = 4x
y B C = 6 x — 15, encuéntrense A B y BC.
14. En A DEF, D E ^ E F . Si D E = 4x + 15, E F = 2x + 45 y
D F = 3x + 15, encuéntrense las longitudes de los lados del
triángulo.
15. En A X Y Z , X Y ^ Y Z . Si m L X = 4x + 60,m A F = 2x + 30 y
m L Z = 14x + 30, encuéntrense m L X , m L Y y m L Z .
16. E n A A B C , ¿ A ^ ¿ C . S \ A B = 4x + 25, B C = 2x + 45 y
A C = 3x — 15, encuéntrense las longitudes de los tres lados.
6.2
T riá n g u lo s is ó s c e le s
Escríbase una dem ostración a d os colum nas p a ra
cada uno de los ejercicios 17 a 24.
18. Dado:
A B C D es un cu ad rilátero con
A B s B C y D A s s DC.
Pruébese: L B A D s L B C D .
(Sugerencia: A ñádase u n a línea auxiliar.)
17. D ado:
A B ^A C
D B a DC.
Pruébese: Z 1 a Z 2 .
A
D
B
C
19. D ado:
A C = A D , B C = ED.
Pruébese: A A B E es isósceles.
20. D atos:
AC
AD, Z 1 = Z 2 .
Pruébese: A A B D =s A AEC.
A
21. D ado:
AB
BE
CD
Pruébese: C D
23. D ado:
ss A C
biseca a Z 6
biseca a Z C.
a BE.
AB = AC
ZlsZ2.
Pruébese: A B C D es isósceles.
22. D ado:
AB
BE
CD
Pruébese: A D
24. D ado:
s; AC
biseca a ¿ B
biseca a Z C.
= AE.
¿ A B C ss ¿ A D C
Z J_ ss Z 2 . __
__
Pruébese: A B a A D y B C s DC.
205
T riá n g u lo s
25. Dado:
Z A B C y ¿_D son suplem entarios.
Pruébese: A A B D es isósceles.
26. Se h a pedido a un grupo de agrim ensores
que localice un p u n to sobre una
delim itación de p ro p ied ad CD que
equidiste de dos p u n to s previam ente
localizados, A y B. D ebido a la m agnitud
de las distancias, no se puede realizar una
m edición directa con una cinta métrica.
L os p u n to s A y B están cerca uno del
otro. En cada u n o de ellos se colocó un
teodolito. ¿Cóm o puede el g ru p o de
agrim ensores localizar el p u n to deseado?
C
D
*
I
aproximadamente
una milla
I
i
t
A
E n los ejercicios 27 y 28, A B C D E es un p entágono regular.
27. P ruébese que A A B G es un triángulo isósceles.
F.
28. Pruébese que A A F G es un trián g u lo isósceles.
29. Pruébese el teorem a 6.2.
(E jercicio s 27, 28)
30. Pruébese el teorem a 6.3.
31. Pruébese que la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo
isósceles, es la bisectriz perpendicular del lado opuesto.
32. P ruébese que si A A B C s A D EF y A D E F =s A G H I , entonces
A A B C = A G H I . (P ropiedad transitiva de los triángulos
congruentes.)
ACTIVIDADES!
En u n a ta b la co n tre s c la v o s en un lado,
o e n un p a p e l de p u n to s d e 3 x 3,
m u é s tre n s e :
1. S e g m e n to s d e c in c o lo n g itu d e s
d ife re n te s .
2. A n g u lo s d e d ie z ta m a ñ o s d ife re n te s .
3. T riá n g u lo s de s ie te ta m a ñ o s y fo rm a s
d ife re n te s .
s
>
/-
y
>
6.2
T riá n g u lo s is ó s c e le s
207
33. Pruébese que las bisectrices de los ángulos de la base de un
triángulo isósceles son congruentes.
34. Pruébese que los segm entos de recta que tocan el punto
m edio de la base de un triángulo isósceles y los puntos
m edios de los catetos son congruentes.
A
35. E n un trián g u lo A B C , A B £ A C. X es el
p u n to m edio de A B e Y es el p u n to m edio
de A C . X W es una p erpendicular a AB;
Y Z es p erpendicular a AC; W y Z son
p u n to s sobre BC. D em uéstrese que
X W ^ YZ.
(Ejercicio 35)
36. Pruébese que un trián g u lo equiángulo es equilátero.
37. Supóngase que A A B C es_un triángulo isósceles con
A C = B C y que AD y B E se intersecan en P de m anera que
L P A B = L P B A . D em uéstrese que A PD E es isósceles.
A
(Ejercicio 37)
SO LUCIO N D E PROBLEM AS________________
¿ C u á n to s triá n g u lo s e q u ilá te ro s hay en
e s ta figura?
¿ C u á n ta s c o m e ta s hay en e s ta figura?
(Una c o m e ta e s un c u a d rilá te ro con
e x a c ta m e n te d o s p a re s de lados
a d y a c e n te s c o n g ru e n te s.)
208
T riá n g u lo s
6.3
Medidas de los ángulos
de un triángulo
L o s p a tro n e s y diseños geom étricos son
in tere sa n tes e im p o rta n te s p a r a u n
d e c o ra d o r de interiores. (V éase «L a
g eo m etría en n u e stro m u n d o » , pág. 40.) Si
se a n a liz a n c o n cu id ad o se e n c u e n tra que
m u c h o s de esto s d iseñ o s e stán co n stru id o s
en to m o a form as trian g u lares q u e se
repiten.
E l te o re m a de esta sección describe u n a
p ro p ie d a d de los triá n g u lo s que les d a la
cu a lid a d d e ser p a tro n e s de referencia.
E n el ca p ítu lo 2 se o b serv ó q u e las esq u in as de u n triá n g u lo p u ed e n
c o rta rse y lu eg o unirse, la su m a de esto s án g u lo s re su lta ser 180°.
A h o ra se en u n c ia esto co m o u n teorem a.
Teorema 6.4
L a su m a d e los án g u lo s d e u n triá n g u lo es 180°.
PR U E B A
D ad o : U n triá n g u lo ABC.
P ruébese: m L A + m ¿ B + m ¿ C = 180
P lan : T rá cese u n a re cta í a través de A y
p a ra le la a BC, y ú sense teo re m as que
re lacio n en rectas p a ra le la s c o n u n a
tran sv ersal. (L a re cta í es u n a re c ta auxiliar.)
6.3
M e d id a s d e lo s á n g u lo s d e un tr iá n g u lo
A firm aciones
1. Sea l u n a recta a través de A y
paralela a B C .
2. ¿ 1
1. C onstrucción.
2. Si dos rectas son paralelas,
entonces los ángulos alternos
interiores son congruentes.
3. m ¿ \ + m ¿ A + m ¿ 2 = 180.
3. Definición de «entre» para rayos
y po stu lad o del p a r lineal.
4. m ¿ B + m L A + m ¿ C = 180.
4. Sustitución.
A PLICA CIO N
D a d o q u e la s u m a d e lo s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo es 180°
(en la fig u ra , a + b + c = 180), se p u e d e n d is p o n e r c o p ia s
c o n g ru e n te s d e u n tr iá n g u lo a lr e d e d o r d e u n p u n to , c o m o
se m u e s tr a e n la fig u ra , y e x te n d e rla s p a r a c u b r ir u n p la n o .
E s to s p a tr o n e s tr ia n g u la r e s s o n la b a s e p a r a o tr o s m á s
in trin c a d o s , c o m o se m u e s tr a a l p rin c ip io d e e s ta secció n .
E l s ig u ie n te te o re m a p u e d e p r o b a r s e a p lic a n d o el te o r e m a 6.4 p a r a
triá n g u lo s e q u ilá te ro s .
Teorema 6.5
L o s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo e q u ilá te r o m id e n 60° c a d a u n o .
E l te o r e m a q u e se e n u n c ia a c o n tin u a c ió n
es ú til p a r a re s o lv e r c ie rto s p ro b le m a s
g e o m é tric o s . S e e n u n c ia e ilu s tr a a q u í, y se
p r o b a r á c o m o ejercicio .
Teorema 6.6
x = a + b, donde x es la
m edida del ángulo externo y
a y b son las m edidas de los
ángulos interiores no
contiguos.
L a m e d id a d e u n á n g u lo e x te rio r d e u n tr iá n g u lo es ig u a l a la
s u m a d e su s d o s á n g u lo s in te rio r e s n o c o n tig u o s .
209
210
EJERCICIOS
A.
E ncuéntrense las m edidas de los ángulos indicados en los
ejercicios 1 a 9. Las m arcas ind ican segm entos congruentes.
2.
5.
8.
B.
10. L a m edida de los ángulos de la base de un triángulo isósceles se
representa p o r x, y el ángulo del vértice, p o r 2x + 30.
E ncuéntrese la m edida de cada ángulo.
11. Las m edidas de los ángulos de un trián g u lo se representan por
2x + 15, x + 20 y 3x 4- 25. E ncuéntrense las m edidas de los
ángulos.
12. Pruébese que los ángulos de un triángulo
equilátero m iden 60° ca d a uno.
13. P ruébese que los ángulos de la base de un
trián g u lo rectángulo isósceles m iden 45°
cada uno.
14. U n m ecánico debe co n stru ir u n a placa de
acero con orificios com o los que m uestra
la figura. El m ecánico debe calcular
prim ero las m edidas de L 3 y LA.
E ncuéntrense m / 3 y m L A .
ACTIVIDADES!
T rá c e n s e y re c ó rte n s e tr e s
h e x á g o n o s p e q u e ñ o s, y
c ó rte s e p o r las lín eas
p u n te a d a s . Con la s 13
p ie z a s re s u lta n te s,
fó rm e se un h ex ág o n o
re g u la r g ra n d e .
6.3
M e d id a s d e lo s á n g u lo s d e un triá n g u lo
15. Pruébese que los ángulos de la base de un triángulo
isósceles son agudos.
16. E n A A B C y A DEF, L A ^ L D y L B u L E . Pruébese
que L C ^ L F .
17. P ruébese que los ángulos agudos de u n triángulo
rectángulo son com plem entarios.
18. Dado:
A B ¡| DE.
Pruébese: m ¿ B + m ¿ C + m ¿ D = 180.
19. Dado:
C E biseca a Z B C D
A C sB C .
Pruébese: C É W Á B .
D"
E
20. D ado:
21. Dado:
A B , BC , <3> y AD.
Pruébese: m Z l + m Z 2 = m / _ C + m ¿ B .
22. Pruébese que la sum a de los ángulos
de un cuad rilátero es 360°.
23. Pruébese el teorem a 6 .6.
DE± Z£
DB ± AB.
Pruébese: m Z C A B = m L CDE.
D
SO LUCIO N DE PROBLEMAS
D ib ú jen se e s ta s fig u ra s y
trá c e n s e la s lín e a s de
p u n to s p a ra dividir las
fig u ra s en c u a tro p a rte s
id é n tic a s, to d a s d e la
m ism a form a q u e la
A
211
212
T riá n g u lo s
6.4
El teorem a de la
congruencia l a a
E n u n a isla de caníbales
h a y diversos tipo s de árboles:
U n roble, un olm o chino, y varios arces.
S i trazá is un a sen da
q u e v ay a del olm o a l roble
en co ntra réis e l tesoro
del cual q ueréis q u e os hable.
S ó lo e n c o n tra d el p u n to
y po d ré is e sta r seguros.
C o n g r u e n te el triángulo será
c o n u n o de piedras q u e a h í está.
(
Si se encuentra el p u n to X donde el ángulo
) es el m ism o que el ángulo correspondiente en
el triángulo de piedras, ¿puede tenerse la
seguridad de que los triángulos son
congruentes?
U n p ir a ta , q u e e r a u n e s tu d ia n te d e g e o m e tr ía fr u s tr a d o , c o lo c ó tre s
e n o rm e s p ie d ra s , y e s c rib ió el p o e m a a n te rio r.
E n lo s tr iá n g u lo s sig u ie n te s, d o s á n g u lo s y u n la d o o p u e s to a u n
á n g u lo s o n c o n g ru e n te s . C o n p a p e l v e g e ta l, llé g u e se a la c o n v in c ió n
d e q u e lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .
E s ta s c o n c lu s io n e s d e b e n e s ta r d e a c u e r d o c o n el te o r e m a d e l la d o - á n g u lo á n g u lo (LAA).
Teorema 6.7
T e o re m a L A A . Si e n u n triá n g u lo , d o s á n g u lo s y u n la d o
o p u e s to a u n o d e lo s á n g u lo s s o n c o n g ru e n te s c o n d o s
á n g u lo s y el la d o c o r re s p o n d ie n te d e u n s e g u n d o triá n g u lo ,
e n to n c e s lo s d o s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .
6.4
PR U E B A
El te o re m a d e la c o n g ru e n c ia L A A
213
G
D ado: A A B C y A D E F con
¿A = LD
F
LB^_LE
B C = £F.
P ru é b e se : A A B C = A D E F .
E
P la n : Se u tiliz a r á la in fo rm a c ió n p r o p o r c io n a d a p a r a
m o s tr a r q u e L C s L F , y d e sp u é s se u tiliz a r á el
p o s tu la d o A L A .
Razones
Afirm aciones
1. D ado.
2. m L A + m L B + m L C = 180;
m L D + m L E + m L F = 180.
2. L a sum a de las m edidas de los
tres ángulos de un triángulo es
3. m L A + m Z £ + m L C =
= m L D + m L E + mLF.
3. Sustitución.
4. m L C = m L F .
4. P rop iedad de resta de iguales.
5. L C s LF.
5. Definición de ángulos
congruentes.
6. B C s EF.
6. ¿P or qué?
7. A A B C = A DEF.
7. ¿ P o r qué?
O’
O
co
i—
H
1. Z A =2 L D , Z S s ¿ E .
^
APLICA CIO N
E l te o re m a 6.7 p r o p o r c io n a u n a r e s p u e s ta a l p r o b le m a del
te s o r o d e l p ir a ta . D a d o q u e d o s á n g u lo s y u n la d o o p u e s to a
u n o d e lo s á n g u lo s d e l « tr iá n g u lo d e á rb o le s » so n
c o n g ru e n te s c o n d o s á n g u lo s y el la d o o p u e s to a u n o d e los
á n g u lo s d e l « tr iá n g u lo d e p ie d ra s » , lo s d o s tr iá n g u lo s s o n
c o n g r u e n te s y X s e ñ a la el p u n to e n q u e e s tá el te s o ro .
C u a n d o se a p lic a el te o r e m a 6.7 a u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo ,
r e s u lta el te o r e m a d e la h ip o te n u s a y el á n g u lo .
roblé
Teorema 6.8
T eo rem a de la hipotenusa y el ángulo. Si l a h ip o te n u s a y u n
á n g u lo a g u d o d e u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo s o n c o n g ru e n te s
c o n la h ip o te n u s a y u n á n g u lo a g u d o d e o tr o tr iá n g u lo
r e c tá n g u lo , e n to n c e s lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .
olmo
214
T riá n g u lo s
EJERCICIOS
A.
E n los ejercicios 1 a 6 , indiquese si los pares de triángulos
d ad o s son congruentes p o r LAA, LA L, ALA, hipotenusa y
cateto, o p o r ninguno de estos teorem as.
c
B.
C on la inform ación p ro p o rcio n ad a en los ejercicios 7 y 8,
pruébese que A A C D s A BCD.
7. Dado:
C D _L A B
¿ A s¿ B .
8. D ado: CD biseca a Z C
9. Dado:
Z I ss Z 2
Z C =£ ZO.
Pruébese: A A B C s A B A D .
ACTIVIDADES!
C ó rte n se palillos d e la s sig u ie n te s
longitudes:
d o s d e 10 cm
d o s d e 17.3 cm
uno d e 20 cm
u n o d e 30 cm
¿C u á n to s triá n g u lo s d istin to s p u e d e n
c o n s tru irs e con e s to s s e is palillos?
¿ A s¿ B .
(Ejercicios 7, 8)
D
ja
6.4
10. D ado:
A A B C es isósceles con ángulo
d e vértice C
Z f l s LE.
Pruébese: A A B E ss A B A D .
D
E
El te o re m a d e la c o n g ru e n c ia L A A
11. D ado: B E s s C F
L A == L D
L A C B s LDEF.
Pruébese: A A B C s A DFE.
12. Form úlese una p ru eb a a d os colum nas
p a ra el teorem a 6.7.
13. Form úlese una pru eb a a d os colum nas
p a ra el teorem a 6.8.
c.
14. D ado:
L A ss L B
L A D C s LBEC.
Pruébese: A A E C s s A B DC.
15. Dado:
A B C D E es un pentágono
regular.
Pruébese: A A F E = A BFC.
L)
C.
C
B
16. Pruébese que los segm entos desde un
p u n to sobre la bisectriz de un ángulo
p erpendicular a los lados del ángulo
son congruentes.
. SO LUCIO N D E PROBLEMAS
Si lo s tr iá n g u lo s y
h e x á g o n o s de e s te d is e ñ o
s e d ib u ja ra n d e m a n e ra
qu e d o s p o líg o n o s
c u a le s q u ie ra co n un
v é rtic e c o m ú n tu v ie ra n
d ife re n te s c o lo re s , ¿ cuál
es el n ú m e ro m ín im o de
c o lo re s n e c e s a rio p a ra
c o m p le ta r el c o lo re a d o del
dise ñ o ?
17. Pruébese que si se trazan perpendiculares
desde cualquier p u n to de la base de un
triángulo isósceles a los lados congruentes,
los ángulos que se form an en la base del
triángulo son congruentes.
215
216
T riá n g u lo s
6.5
El teorem a
de la congruencia
de la hipotenusa
y el cateto
S u p ó n g a s e q u e se d e se a in s ta la r u n a c a n a s ta
d e b a lo n c e s to e n u n a p a r e d a l a ire lib re .
¿ C ó m o se p u e d e te n e r la s e g u rid a d d e q u e el
ta b le r o q u e d e p a r a le lo a la p a re d ? L o s
s o p o r te s q u e s u je ta n el ta b le r o a la p a r e d s o n
u n e le m e n to im p o r ta n te p a r a la re s p u e s ta .
C o n s id é re n s e lo s sig u ie n te s p a r e s de
triá n g u lo s .
G£ = JL_
GH
JK
U tilíc e se p a p e l v e g e ta l p a r a lle g a r a la
c o n c lu s ió n d e que:
A A B C ^ A DEF.
TeOr©ITia 6.9
AGHI s
AJK L
T eo rem a d e la hipotenusa y el cateto. Si la h ip o te n u s a y u n
c a te to d e u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo s o n c o n g r u e n te s c o n la
h ip o te n u s a y u n c a te to d e o tr o triá n g u lo re c tá n g u lo , e n to n c e s
lo s tr iá n g u lo s s o n c o n g ru e n te s .
PRUEBA
Dado: A A B C y A D E F
Pruébese:
c o n L B y L E c o m o jín g u lo s re c to s
B C ^ E F y A C s D F.
A A B C s A DEF.
218
T riá n g u lo s
EJERCICIOS---------------------------- ------AE n los ejercicios 1 a 4, decídase si la inform ación d ad a determ ina
la congruencia p o r LAA, ALA, h ip o ten u sa y ángulo, hipotenusa
y cateto, o ninguno de estos teorem as.
D
1. D ado: Á B s DÉ, Á C s DF.
2. D ado: ¿ A s ¿ D, B C s EF.
3. Dado: ¿ B s ¿ E , Á B s D E .
4. D ado: Á C s DF, ¿ A s ¿ D .
En los ejercicios 5 a 9, determ ínese si la inform ación d ad a
asegura que los triángulos son congruentes. Si n o lo son,
proporciónese un contraejem plo.
5. D ado: P Q s S T , ¿ P s ¿ S , ¿ Q s ¿ T .
6. Dado: P Q s T Ü , Q R s S Ü , ¿ Q s ¿ U .
7. D ado: ¿ P = ¿ S , ¿ Q s
¿ T, ¿ R s
¿ ü
8. D ado: ¿ Q s ¿ T , P Q s S T , P R s S Ü .
9. D ado: P Q s S U , Q R s S T , P R s
Q
(Ejercicios 5-9)
TU.
B.
P a ra los ejercicios 10 y 11, supóngase que A B = D E y A C = D F .
10. Si B C = 2 x - 3 y E F = x + 5,
encuéntrense las longitudes de B C y EF.
11. Si m L A = 4x - 5 y m L D = 2 x + 25,
encuéntrense m ¿ B y m ¿ E .
ACTIVIDADES
T rá c e n s e y re c ó rte n s e la s 13
p ie z a s d e e s to s d o s
d o d e c á g o n o s re g u la r e s y
c o ló q u e n s e p a r a fo rm a r un
d o d e c á g o n o re g u la r g ra n d e .
D
\
\ .
C b -------- f
(Ejercicios 10, 11)
F.
6.5
El te o re m a d e la c o n g ru e n c ia d e la h ip o te n u s a y e l c a te to
12. D ado:
BD = CE
BD y C E son alturas.
Pruébese: A A B C es isósceles.
A
13. Dado:
BD y C E son alturas
L A B C 3? ¿ A C B .
Pruébese: A B F C es isósceles.
c.
C
(Ejercicios 12,13)
En los ejercicios 14 a 16 B E ^ CD y BD y C E so n alturas.
14. P ruébese que A E F B 3= A DFC.
15. Pruébese que A A E D es isósceles.
16. Pruébese q u e ED || S ? .
17. P ru éb ese el teorem a 6.10.
18. U n a sierra circular de siete dientes se
hace co rta n d o siete triángulos
rectángulos de mi polígono reg u lar de
siete lados. Si A B se c o rta con la m ism a
longitud p a ra cada diente, ¿p o r qué
to d o s los p u n to s salientes de la sierra
tienen un ángulo del m ism o tam año?
C
(Ejercicios 14-16)
SO LUCIO N D E PROBLEMAS.
A la d e re c h a s e ¡lustra u n a p irá m id e c u a d ra d a .
1. ¿ C u á le s de e s to s p a tro n e s p u e d e n d o b la rs e p a ra c o n s tru ir la
p irá m id e ?
2. C o n s tru y a n s e e n m a y o r ta m a ñ o p a tro n e s c o m o é s to s . C o m p ru é b e s e la
p re g u n ta a n te r io r c o n s tru y e n d o u n a fig u ra co n c a d a u n o d e e llo s .
219
220
T riá n g u lo s
Capítulo 6 Conceptos im portantes
Términos
T riángulo escaleno (pág. 198)
T riángulo acutángulo (pág. 198)
T riángulo rectángulo (pág. 199)
H ipotenusa (pág. 199)
T riángulo obtusángulo (pág. 199)
T riángulo equiángulo (pág. 199)
A ltura (pág. 199)
Teoremas
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
Si un trián g u lo es isósceles, entonces los ángulos de su base
son congruentes.
Si u n trián g u lo es equilátero, entonces es equiángulo.
Si d os ángulos de u n triángulo son congruentes, entonces los
lados o puestos a estos ángulos son congruentes.
L a sum a de los ángulos de un triángulo es 180°.
Los ángulos de un trián g u lo eq u ilátero m iden 60° cada uno.
L a m edida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a
la sum a de sus d os ángulos interiores no contiguos.
T eorem a LAA. Si d os ángulos de un trián g ulo y el lado
opuesto a u n o de ellos son congruentes con dos ángulos y el
lad o correspondiente de un segundo triángulo, entonces los
dos triángulos son congruentes.
T eorem a de la hipotenusa y el ángulo. Si la hipotenusa y un
áng u lo agudo de un trián g u lo rectángulo son congruentes
con la h ipotenusa y un ángulo agudo de o tro triángulo
rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.
T eorem a de la hipotenusa y el cateto. Si la h ip o tenusa y un
cateto de un trián g u lo rectángulo son congruentes con la
hipotenusa y un cateto de un segundo trián gulo rectángulo,
entonces los trián g u lo s son congruentes.
Si un p u n to P equidista de un p a r de p u n to s A y B, entonces
P está sobre la bisectriz perpendicular de AB._A la inversa,
u n p u n to sobre la bisectriz perpendicular de A B equidista de
A y de B.
C a p ítu lo 6
Capítulo 6
R e su m e n
221
Resumen
1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas.
a. U n trián g u lo escaleno no puede ser un triángulo acutángulo.
b. U n trián g u lo isósceles tam bién puede ser un triángulo
rectángulo.
c. U n trián g u lo rectángulo tiene sólo una altura.
d. Si dos ángulos de un trián g u lo m iden 60” y 90°, entonces el
trián g u lo es isósceles.
2. Si m L A C D = 120 y m ¿ A B C = 50, encuéntrese m ¿ B A C .
3. L as m edidas de los d os ángulos de la base de un triángulo
isósceles se representan p o r x + 20 y 3x — 40. E ncuéntrese la
m edida del ángulo del vértice.
4. D ado:
A C s s B C , A D s s BD.
Pruébese: ¿ C A D s s Z CBD.
5. Dado:
Pruébese: A D = BC.
6. D ado:
w Z B = m L C = 90
Z lsZ 2.
7. D ado:
C X es u n a a ltu ra de A B
A Y es u n a a ltu ra de CB
C X ^Á Y.
Pruébese: A A B C es isósceles.
C
D
A
B
8. a . m Z D F E = m¿_ 5 + m Z l =
= w Z 2 + m Z 4 . ¿ P o r qué?
b . Si m / - 4 = 80 y m Z 3 = 35,
encuéntrese m L 5.
A
9. D ado:
A K M N es isósceles.
Z1 ^ Z 2 .
Pruébese: A K H G es isósceles.
K
H
222
T riá n g u lo s
Capítulo 6
Examen
1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o
verdaderas.
a. U n trián g u lo equilátero es equiángulo.
b. U n triángulo o b tusán g u lo puede ten er un áng u lo recto.
c. Si u n áng u lo ag u d o de un triángulo rectángulo es congruente
con un áng u lo agudo de o tro trián g u lo rectángulo, entonces los
dos triángulos son congruentes.
d. Si d os ángulos de un triángulo m iden 100° y 40°, entonces el
triángulo es isósceles.
2. Si A B s B C y m /L B A D = 116, encuéntrese Z B .
3. L as m edidas de los ángulos de un trián g u lo se representan p o r 4x,
5x — 5 y x + 35. E ncuéntrense las m edidas de ca d a uno.
4. D ado:
D A _L A R ,
D R s HA.
Pruébese: D A == H R.
5. D ado:
T IJ es la al
S W e s la al
¿ l s Z 2,
Pruébese: A R S T es i
6. D ado:
Z 1= Z2
Z 3 = Z 4.
Pruébese: X V ^ YW.
7. Pruébese que la a ltu ra a la base de un trián g u lo isósceles
tam bién es la bisectriz del áng u lo del vértice.
8. a. Si m Z 2 = 20 y m Z 3 = 35, encuéntrese m Z l.
b. Si m Z B E C = 100 y m L B A E = 65, encuéntrese m L A B E .
9. D ado:
J H \\ F G
Al =_Á.3
J H = JF.
Pruébese: A J G H es isósceles
Técnicas para la solución de problemas
Hacer una tabla-il
En u n a sección an terio r sobre técnicas de solución
de problem as, se sugirió el u so de una tab la p ara
ay u d ar a la resolución de problem as. Aquí se
presen tan m ás p roblem as p a ra los cuales puede
ser útil la elaboración de tablas.
2 cortes, 4 piezas
8 cortes, ¿cu án tas piezas?
PROBLEMAS
P a ra cada problem a, hágase u n a tabla, obsérvese un patró n y
resuélvase el problem a.
1. ¿Cuál es la can tid ad m áxim a de pedazos de pizza que se pueden
conseguir con sólo 8 cortes? (indicación: E labórese u n a tabla. U na
colum na deberá tener el núm ero de cortes, y la otra, la cantidad
m áxim a de pedazos de pizza.)
2. U n a región de un p lan o ac o ta d a en to d o s sus lados p o r u n a línea,
es u n a región acotada. ¿C uántas regiones aco tad as pueden
form arse tra z a n d o 9 líneas rectas?
3. U n núm ero trian g u lar (T ) es aquel que puede
representarse geom étricam ente com o se
m uestra en la tab la, d o n d e se ilu stran T¡, T2,
T3 y T4. ¿Pueden en co n trarse Ts y T6? ¿Puede
predecirse cuál es el décim o núm ero
trian g u lar (T10)?
configuración
•
4. U n núm ero p en tagonal (P ) es u n núm ero
que puede representarse geom étricam ente
com o se m uestra en la tabla. ¿Pueden
encontrarse P 5 y P 6? ¿Puede predecirse cuál
es el décim o núm ero pentagonal ( P 10)?
configuración
núm ero
1
P
t2
3
Pi
T,
6
P 3
T,
10
P<
?
?
P5
?
?
Pe
T,
t6
1 región a co ta d a
•
O
nú m ero
1
5
12
22
?
?
?
? '
5. U n núm ero h eptagonal (H) puede representarse
geom étricam ente d ib u jan d o h eptágonos (siete lados), de m anera
sim ilar a los problem as 3 y 4. E ncuéntrense H 3 y H 4. ¿Puede
predecirse cuál es el décim o núm ero heptagonal (H 10)?
223
C A P IT U L O
7.1
El t e o r e m a d e P it á g o r a s
7.2
T r iá n g u lo s e s p e c ia le s
226
232
7.3
T e o r e m a s d e la c o n c u r r e n c ia e n tr iá n g u l& s
7 .4
D e s ig u a ld a d d e l t r iá n g u lo
7 .5
D e s ig u a ld a d e s e n u n t r iá n g u lo
248
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
R esum en
236
244
252
R es u m en g lo b a l (C a p s. 4 a 7)
253
255
La g e o m e tría en n u es tro m undo
G r á fic a s p o r c o m p u t a d o r : d is e ñ o a s is t id o p o r
c o m p u ta d o r
256
E xam en
25 4
Más sobre triángulos
225
226
M á s s o b re triá n g u lo s
7.1
El teorem a de Pitágoras
U n o d e lo s te o re m a s m á s c o n o c id o s y ú tile s e n g e o m e tría
p la n a es el te o r e m a d e P itá g o r a s , lla m a d o a s í p o r el
m a te m á tic o g rie g o P itá g o ra s .
E l te o r e m a d ic e q u e el á r e a d e u n c u a d r a d o c o n s tr u id o
s o b r e la h ip o te n u s a d e u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo es ig u a l a la
s u m a d e la s á r e a s d e lo s c u a d r a d o s c o n s tr u id o s s o b r e lo s
c a te to s d e l triá n g u lo .
E n lo s e je m p lo s l a 3, e n c u é n tre s e la m a n e r a d e c o n ta r la s
p e q u e ñ a s u n id a d e s c u a d r a d a s p a r a m o s tr a r q u e el á r e a d e lo s
c u a d r a d o s A y B e s ig u a l a l á r e a d e l c u a d r a d o C s o b r e la
h ip o te n u s a .
Ejemplo 1
REPASO: Las definiciones
de triángulo rectángulo,
hip o ten u sa y catetos de un
triángulo rectángulo, están en
la página 199.
Ejemplo 3
Ejemplo 2
B
c
h
a
v
t
L
a
A
ir
b
A
s
é\
Teorema 7.1
tí
c
T e o re m a d e P itá g o r a s . Si A A B C es u n triá n g u lo
r e c tá n g u lo , e n to n c e s el c u a d r a d o d e la lo n g itu d d e la
h ip o te n u s a es ig u a l a l a s u m a d e lo s c u a d r a d o s d e la s
lo n g itu d e s d e lo s c a te to s .
A
PRUEBA
D a d o : E l tr iá n g u lo r e c tá n g u lo A C B c o n
lo n g itu d d e h ip o te n u s a c y c o n
lo n g itu d e s d e c a te to s a y b.
P ru é b e se : c 2 = a 2 + b 2.
tí
C
A nálisis: C o n s tr u y a n s e c u a d r a d o s s o b r e A A B C c o m o lo s q u e se
m u e s tr a n e n lo s e je m p lo s l a 3. E l c u a d r a d o s o b re a te n d r á á r e a
a 2. E l c u a d r a d o s o b re b te n d r á á r e a b 2. E l c u a d r a d o s o b re c
te n d r á á r e a d e c 2.
7.1
El te o re m a d e P itá g o ra s
E l c u a d r a d o s o b r e el la d o c c o n s ta d e c u a tr o
triá n g u lo s c o n g ru e n te s c o n A A B C y u n
c u a d r a d o . L a fig u ra m u e s tr a q u e la lo n g itu d d e
u n la d o d e l c u a d r a d o p e q u e ñ o e s a — b. P u e d e
e n c o n tr a r s e el á r e a d e l c u a d r a d o g r a n d e
s u m a n d o la s á r e a s d e lo s c u a tr o tr iá n g u lo s y el
á r e a d e l c u a d r a d o p e q u e ñ o . E l á r e a d e lo s
triá n g u lo s es 1 /2 ab. E l á r e a del c u a d r a d o es
(a - b)2. A sí, c 2 = 4(1 ¡ l a b ) + (a - b)2 = l a b +
+ (a2 - l a b + b 2) = a 2 + b 2.
APLICACION
U n a n u n c io s o b re la v e n ta d e u n te le v iso r
d ic e q u e la p a n ta lla es d e 25 p u lg a d a s . L a
p a n ta lla m id e a p r o x im a d a m e n te 19.5
p u lg a d a s d e a n c h o y 15.5 p u lg a d a s d e
a ltu r a . ¿ P o r q u é se p u e d e a n u n c ia r q u e tie n e
u n a p a n ta lla d e 25 p u lg a d a s ?
R e sp u e sta . E n re a lid a d , el f a b r ic a n te se
re fie re a la lo n g itu d d e la d ia g o n a l d e la
p a n ta lla .
AB2 + BC2 = A C2
19.52 + 15.52 = 620.5
A C = 24.9
A sí, la d ia g o n a l d e la p a n ta lla es d e casi
25 p u lg a d a s .
19.5
E l s ig u ie n te te o r e m a es la r e c íp ro c a d e l te o re m a d e P itá g o ra s .
Teorema 7.2
Si A A B C tie n e la d o s d e lo n g itu d e s a, b y c, y c 2 = a 2 + b 2,
e n to n c e s A A B C es u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo .
Ejemplo
A A B C es u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo p o r q u e
(V7)2 + l 2 = (2V2)2.
( 7 + 1 = 8)
227
228
M á s s o b re triá n g u lo s
EJERCICIO S______
En los ejercicios 1 a 6, establézcase si la ecuación d a d a es
correcta o no.
a
c2 = a2 + b2
s2 = u2 - t 2
y
x2 + y 2 = z2
c2 = a2 + b2
r = \A 2 + t2
/=
E n los ejercicios 7 a 12, empléese la inform ación d a d a en la
figura p ara en c o n tra r el valo r de .x.
En los ejercicios 13 a 18, em pléese el triángulo rectángulo
ABC.
13. Si A B = 6 y A C = 8, entonces B C = J -.
14. Si B C = 15 y A B = 9, entonces A C = X .
15. Si A C = 2 y A B = 2, entonces B C = X .
16. Si B C = y í 5 y A B = ^ 1 0 , entonces A C = -2_.
17. Si A C = y j í y /15 = ^ 3 , entonces B C = J L
18. Si / 4B = 2 ^ /3 y BC. = 6, entonces
= JL.
C
7.1
El te o re m a d e P itá g o ra s
225
E n los ejercicios 19 a 24, decídase si las cifras dadas pueden
ser longitudes de lados de u n triángulo rectángulo.
19. 10, 24, 26.
22. 7, 25, V 674.
20. 20, 21, 29.
21. 8, 15, 17.
23. 5, 13, y/\95.
24. 5, 12, 13.
25. H allar la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados
tienen de lo n g itu d 10 y 18.
26. U n a p u erta m ide 6 pies y 6 pulgadas de
a ltu ra p o r 36 pulgadas de ancho. ¿Cuál
es el ancho m ay o r que puede ten er un
tab lero p a ra que quepa p o r esa puerta?
27. U n a escalera de 6 pies se coloca contra
una p ared con la base a 2 pies de la
pared. ¿A qué altu ra del suelo está la
p a rte m ás alta de la escalera?
(E je rcic io 26)
28. E ncuéntrense las longitudes de A B , A C , AD y A E .
29. C o n una regla y un com pás, trácense segm entos de
longitudes
y y¡7.
30. U n a persona viaja 8 m illas a l norte, 3 m illas al oeste, 7 millas
al n o rte y 11 m illas al este. ¿A qué distancia está la persona
del p u n to original?
31. C o n los cuad rad o s cuyos lados m iden a + b,
m uéstrese que el teorem a de P itág o ras es
verdadero.
l
i
A
(E je rcic io 28)
-i
t
230
M á s s o b re triá n g u lo s
32. U n a escalera extensible de 36 pies debe tener 4 pies de
solape cu an d o está to talm en te extendida. Si la base de la
escalera está a 10 pies del edificio, ¿qué altu ra alcanzará la
escalera?
33. (Empléese u n a calculadora.)
Si u n a hilera de tejas m ide 6 pulgadas de ancho,
¿cuántas hileras de tejas se necesitan p ara cada lado de
este tejado?
36 pies
34. (Empléese una calcuadora.)
U n g ru p o de ingenieros agrim ensores
quiere m edir la distancia entre dos
p u n to s A y B en un terren o accidentado.
D esean conocer la distancia horizontal
real AB. Si la tierra está 0.75 m etros más
alta en la m itad de los dos p u n to s y si la
cinta de m edir indica 27.0 m etros, ¿cuál
es la d istan cia real A B ‘1
ACTIVIDADES
En u n a h ab itació n d e 8 p ie s d e an ch o , 8 p ie s d e a ltu ra y 15 p ie s de
larg o , u n a m o s c a v u ela d e s d e la m itad d e la p a re d d e la n te ra , a 1 p ie so b re
el piso , h a s ta la m itad d e la p a re d tr a s e r a , a 1 pie del techo.
1. A div ín ese cu ál d e los re c o rrid o s q u e s e m u e stra n a continuación e s el
m á s corto.
2. C o n stru y a se u n a c a ja q u e re p r e s e n te la habitación, trá c e n s e los
re c o rrid o s y m íd a n se s u s lo n g itu d es. (C u a lq u iera d e los d ia g ra m a s
q u e a p a re c e n e n el sig u ie n te s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s p u e d e se rv ir p a ra
c o n stru ir la caja.)
(Ejercicio 33)
(Ejercicio 34)
7.1
35. Se va a co n stru ir una escalera con u n a pieza
de m ad era llam ad a larguero. (Véase el
ejercicio 9 de la pág. 173.) El larg u ero va de
A a B, cubre u n a distancia horizo n tal de 14
pies y una altu ra de 9 pies y 6 pulgadas.
¿Q ué longitud debe tener la pieza de m ad era
p a ra el larguero? (Sugerencia. ia m ad era se
vende en pies pies lineales.)
El te o re m a d e P itá g o ra s
B
larguero
9 pies 6 pulgadas
A
14 pies
pii
36. U n a caja tiene 24 cm de largo, 8 cm de
ancho y 10 cm de alto. ¿Cuál es la longitud
de la diagonal AB1
SOLUCION DE PROBLEMAS____________________
1. Im a g ín e se q u e s e co rtó la c a ja d e la se c c ió n «A ctividades» an terio r.
C o m p á re n s e los re c o rrid o s d e la m o s c a m o stra d o s e n e s a se c c ió n con
uno d e los d ia g ra m a s sig u ie n te s:
A
/ !
i
------1
J—
2. C o m p lé te se un trián g u lo re c tá n g u lo y c a lc ú le s e la longitud d e c a d a
reco rrid o .
________________________
231
232
M á s s o b re triá n g u lo s
7.2 Triángulos especiales
L as fig u ras y ta b la s de la d e re c h a p re se n ta n las
d im en sio n es y especificaciones d e d o s tip o s diferentes
de tuercas.
L a d im en sió n F in d ica el ta m a ñ o d e la llave q u e se
n ecesita p a r a la tu erca. ¿C ó m o p u e d e n calcu larse las
d im en sio n es G? P a ra este cálculo es ú til co n o c er los
triá n g u lo s 45°-45°-90° y 30°-60°-90°.
A
U n trián g u lo 45°-45"-90° está
form ad o p o r do s lad o s d e un
c u ad rad o y u na diagonal.
Tuercas cuadradas y hexagonales
F
Tamaflo Anchura
nomi
entre
nal
caras
U n trián g u lo 30°-60°-90c está
fo rm ad o p o r u n a a ltu ra de
u n trián g u lo equilátero.
0
1
2
3
4
G
Anchura entre
esquinas
Cuadr.
Hex.
Básica
M áx.
Máx.
5/32
5/32
3/16
3/16
1/4
0.221
0.221
0.265
0.265
0.354
0.180
0.180
0.217
0.217
0.289
Teorema 7.3
L a lo n g itu d de la h ip o te n u sa de u n triá n g u lo 45°-45°-90° es y j l
m u ltip licad o p o r la lo n g itu d d e u n cateto.
Teorema 7.4
L a lo n g itu d del c a te to m ás larg o d e u n triá n g u lo 30°-60°-90c es
R
m u ltip licad o p o r la lo n g itu d d e la h ip o te n u sa o s/ 3
m u ltip licad o p o r la lo n g itu d del la d o m ás co rto .
L a p ru e b a del te o re m a 7.3 se d e ja co m o ejercicio. Se sugiere re alizar u n a
p ru e b a del te o re m a 7.4 a p lic a n d o el te o re m a d e P itá g o ra s p a r a A A C D
p re se n ta d o antes:
** = ( A C f + ( i , ) 2
(AC? = * - f = s ( 1 - 1 )
í) - í»
7.2
T riá n g u lo s e s p e c ia le s
E sto s d o s teo re m as pu ed en u sarse p a ra e n c o n tra r lo n g itu d es
d esco n o cid as en trián g u lo s especiales.
F
C
Ejemplo 1
A
1. L A y L C deben ser án g u lo s de 45°.
2. P o r el te o re m a 7.3, x * j 2 = 12, así que
x = J 2 . ^ 2 = nV2 = f ¡ V 2.
V2
V2
1. ED es u n a a ltu ra de u n trián g u lo
eq u ilátero , así q u e
/=
—
2
2
= 8.
2. P o r el te o re m a 7.4, e = V 3 ■ /
o b ien e = 8 \/3 .
APLICACION 1
¿Q u é d istan cia h ay e n tre home y la segunda
b ase en u n d ia m a n te d e béisbol? R ecuérdese
q u e la d istan cia de home a la p rim e ra b ase es
90 pies. D a d o q u e A H F S es u n triá n g u lo 45°
- 45°-90°, el te o re m a 7.3 dice que
H S = \ / 2 ( 9 0 ) = 127.28 pies.
NOTA: J 2 y ^ 3 sólo se pueden aproxim ar
con un n ú m ero decimal.
APLICACION 2
L as tu erc as d e la especificación del p rincipio
d e esta sección tienen fo rm a c u a d ra d a y de
h e x á g o n o reg u lar. P o r ta n to , A A B C es u n
trián g u lo 45°-45°-90° y A DEF es u n trián g u lo
30°-60°-90°.
P o r el te o re m a 7.3, G¡ = S/ 2 F 1.
P o r el te o re m a 7.4, F E — \ / 3 D E
F2 = 2 F E = 2-n/3 D E
DE =
F-,
2 \/3
G2 = 4 D E = - ^ F 2.
P a ra el ta m a ñ o 4 de tu ercas hexagonales
con
F2 =
í
, G 2 = 4 D E = - 4 = • - = 0.289.
V3 4
O bsérvese q u e este es el v a lo r d a d o en
la tabla.
233
234
M á s s o b re triá n g u lo s
EJERCICIOS_____
A.
E n los ejercicios 1 a 4, empléese el teorem a 7.3 para
e n c o n tra r las longitudes de los lados indicados.
1.
2.
3.
En los ejercicios 5 a 12, empléese el teorem a 7.4 para
e n co n trar las longitudes de los lados de cada triángulo.
6.
5.
7.
30 =
10.
9.
V3
11.
12.
} >
3 0 * \
1
^0 °
/ 9
>
ACTIVIDADES'
R e c ó rte n s e en c a rtu lin a u o tro m a te ria l ta n to s
triá n g u lo s e q u ilá te ro s c o m o s e a n n e c e s a rio s y
ú n a n s e c o n b a n d a s e lá s tic a s c o m o se m u e s tra
e n la fo to g ra fía .
Se p u e d e n c o n s tr u ir o c h o fig u ra s d e s ó lid o s
c o n v e x o s u s a n d o s ó lo tr iá n g u lo s e q u ilá te ro s
d e l m is m o ta m a ñ o . C o n s trú y a s e e l m á x im o de
e lla s .
}
19
i
\
>
2 \/3
□ _____ » :
7.2
T riá n g u lo s e s p e c ia le s
235
13. E n un trián g u lo rectángulo, un ángulo ag udo m ide el doble
que el o tro ángulo agudo. Si la longitud del cateto m ás largo
es 5, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?
14. E l hueco de u n a ventana m ide 41 pulgadas de ancho y 26
pulgadas de altura. ¿Puede introducirse p o r la ventana una
m esa de ping-pong de 48 p u lg ad as de ancho?
15. U n a escalera colocada c o n tra u n a p a re d form a un ángulo de
60° con el suelo. Si la base de la escalera está a tres m etros de
la pared, ¿a qué altu ra del suelo está la p a rte superior de la
escalera?
16. Pruébese el teorem a 7.3.
c.
17. Pruébese que la a ltu ra de un trián g u lo equilátero cuyo lado
m ide s es s-
c
2 '
18. Si la lo n g itud del lado de un hexágono reg u lar A B C D E F es s,
¿cuál es la longitud de X Y si X e Y son los puntos m edios de
lados opuestos?
x
19. Si un trián g u lo equilátero tiene lados de
longitud s, encuéntrese el ra d io del círculo
que contiene los tres vértices.
20. U n arq u itecto está calculando las
dim ensiones de una ventana con forma
de hexágono regular. Si la a ltu ra del hueco
es 120 cm, encuéntrese la an ch u ra AB.
(m L A D F = 120.)
_ SO LUCIO N D E PROBLEM ASC o n s id é re s e un a p irá m id e c u a d ra d a
c u y a s a ris ta s tie n e n lo n g itu d 2. S u p ó n g a s e
q u e lo s p u n to s B y C s o n lo s p u n to s m e d io s
de la s a ris ta s .
1. E n c u é n tre n s e las lo n g itu d e s d e A B y A C .
2. E n c u é n tre s e la lo n g itu d d e la a ltu ra A D d e
la p irá m id e .
3. ¿Es A A B C un triá n g u lo e q u ilá te ro ?
7
236
M ás s o b re triá n g u lo s
7.3
Teoremas de la
concurrencia en
triángulos
U n f a b r ic a n te m a n u f a c tu r a u n p r o d u c to
q u e se v e n d e p rin c ip a lm e n te e n tre s
g ra n d e s c iu d a d e s . S e v a a c o n s tr u ir u n a
fá b ric a n u e v a e n u n p u n t o q u e e q u id is te de
la s tr e s c iu d a d e s . ¿ C ó m o p u e d e lo c a liz a rs e
el p u n to d o n d e se c o n s tr u ir á la fá b ric a ?
E l a n á lisis s ig u ie n te r e s p o n d e a e s ta p re g u n ta .
C o n s tr u y a n s e la s b ise c tric e s p e r p e n d ic u la re s a lo s la d o s d e u n triá n g u lo .
B
¿ Q u é r e la c ió n h a y e n tre O A , O B y O C ?
Teorema 7.5
F
¿ Q u é r e la c ió n h a y e n tr e O D , O E y O F ?
/
¿ Q u é re la c ió n h a y e n tr e O G , O H y OP.
L a s b ise c tric e s p e rp e n d ic u la re s d e lo s la d o s d e u n tr iá n g u lo se
in te rs e c a n e n u n p u n to O e q u id is ta n te d e lo s tre s v é rtic e s del
triá n g u lo .
7.3
T e o re m a s d e la c o n c u rre n c ia e n triá n g u lo s
237
PRUEBA
Dado:
A A B C c o n b ise c tric e s p e r p e n d ic u la re s t , l ' y
Pruébese: t ' y l " s o n c o n c u r r e n te s e n u n p u n to O
y O A = O B = OC.
C
B
Razones
Afirmaciones
1. t es la bisectriz perpendicular de
ÁB.
1. D ado.
2. r es la bisectriz perpendicular de
BC.
2. D ado.
3. 1 y i ' se intersecan en u n p u n to 0.
3. Si A B 0 BC entonces l Ht '.
4. O A = OB.
4. U n p u n to de u n a bisectriz
p erpendicular equidista de los
extremos.
5. OB = OC.
5. ¿ P o r qué?
6. O A = OC.
6. P ro p ied ad transitiva de las
igualdades.
7. 0 está en la bisectriz
perpendicular de A C .
7. U n p u n to equidistante de dos
p u n to s está en la bisectriz
perpendicular del segm ento
d eterm inado p o r esos puntos.
8. 0 está en t ,
= OC.
8. A firm aciones 4 a 8.
t " y OA = O B =
C iu d ad B
APLICA CIO N
A l p rin c ip io d e e s ta se c c ió n , s u rg ió la
p r e g u n ta d e c ó m o lo c a liz a r u n p u n to
e q u id is ta n te d e tr e s c iu d a d e s . E l te o r e m a 7..
re s p o n d e a la p re g u n ta .
C iu d a d A
C iu d ad C
U bicación
d eseada
238
M ás s o b re triá n g u lo s
Las bisectrices perpendiculares determinan un punto equidistante de
los vértices del triángulo. También puede localizarse un punto que
equidiste de los lados del triángulo.
En AABC, se trazaron las bisectrices de los tres ángulos.
B
¿Qué relación hay entre IX , I Y e IZ?
Teorema 7.6
Las bisectrices de los ángulos de un triángulo son concurrentes
en un punto I que equidista de los tres lados del triángulo.
Los puntos determinados por las bisectrices perpendiculares (Teorema
7.5) y las bisectrices de los ángulos (Teorema 7.6) son los centros de los
círculos que tienen una relación especial con el triángulo.
El círculo O contiene los tres vértices
de AABC. El centro es el punto de
intersección de las bisectrices
perpendiculares. El radio es OA. El
círculo 0 se llama círculo circunscrito.
El círculo / toca cada lado de ARST
exactamente en un punto. El centro es el
punto de intersección de las bisectrices de
los ángulos del triángulo. El radio es IW.
El círculo I se llama círculo inscrito.
7.3
T e o re m a s d e la c o n c u rre n c ia e n triá n g u lo s
239
Si se d ib u ja r a u n tr iá n g u lo c o n s u s tr e s a ltu r a s , se v e ría q u e la s re c ta s
q u e c o n tie n e n la s a ltu r a s s o n c o n c u rre n te s .
Teorema 7.7
L a s r e c ta s q u e c o n tie n e n la s a ltu r a s d e u n tr iá n g u lo se
in te rs e c a n e n u n p u n to .
P a r a c u a lq u ie r tr iá n g u lo , h a y tr e s s e g m e n to s lla m a d o s medianas.
Definición 7.1
U n a m ediana de un triángulo
es un segm ento que va de un
vértice al p u n to m edio del lado
opuesto.
Si se tr a z a r a n la s tr e s m e d ia n a s d e u n tr iá n g u lo , se v e ría q u e las tre s
ta m b ié n s o n c o n c u rre n te s .
H a y o t r a re la c ió n in te re s a n te .
¿Q u é re la c ió n h a y e n tre A G y A X ?
¿ Q u é re la c ió n h ay e n tre B G y B Y ?
¿ Q u é re la c ió n h ay e n tre CG y C Z ?
El s ig u ie n te te o r e m a se e s ta b le c e sin p ru e b a .
T e o re m a
7 .8
L a s m e d ia n a s d e u n tr iá n g u lo se in te rs e c a n e n u n p u n to s itu a d o
a d o s te rc io s d e la d is ta n c ia d e c a d a v é rtic e a l la d o o p u e s to .
240
M á s s o b re triá n g u lo s
EJERCICIOS____
A.
1. C ítense u n a altu ra, u n a bisectriz de un
ángulo y u n a m ediana de A A B C ,
2. E n A A B C , las rectas p y q son
bisectrices perpendiculares de los
lados. Si O A = 5, encuéntrense OB
y OC.
E n A A B C , A X , B Y y C Z son m edianas.
3. Si A Z = 3, Z B =
JL
4. Si CG = 4, G Z =
JL
B
5. Si A B = BY, B G = J L .
6. Trácese A A B C y el círculo que pasa
p o r los p u n to s A, B y C. Em pléense un
com pás y una regla p a ra e n co n trar el
centro del círculo. (Indicación: U sese el
T eorem a 7.5.)
a
¥ -------------------------------- "V C
E n los ejercicios 7 a 12 debe com pletarse una construcción.
Em pléense u n a regla y un com pás o u n a h o ja de plástico
tran sp aren te p a ra estas construcciones. C a d a ejercicio debe
o c u p a r casi una h o ja com pleta de papel.
7. Ilústrese el teorem a 7.5 d ib u jan d o un
trián g u lo y las tres bisectrices
perpendiculares.
7.3
T e o re m a d e ia c o n c u rre n c ia e n tr iá n g u lo s
8. Ilústrese el teorem a 7.6 d ib u jan d o un triángulo y las tres
bisectrices de los ángulos.
9. Ilústrese el teorem a 7.7 d ib u jan d o un triángulo y sus tres
alturas.
10. Ilústrese el teorem a 7.8 d ib u jan d o un triángulo y las tres
m edianas.
11. D ibújense un trián g u lo y el círculo circunscrito. (Indicación:
El teorem a 7.5 indica cóm o e n co n trar el centro del círculo.)
12. D ibújese A A B C co n lados de 14 cm, 17 cm y 20 cm. C on
to d a precisión, trácense las intersecciones de las m edianas, de
las altu ras y de las bisectrices perpendiculares de los lados.
(El dibujo debe verificar q u e estos tres p u ntos están en u n a
recta.)
E ncuéntrense las respuestas de los ejercicios 13 a 16
experim entando con bocetos. Llénense los espacios en blanco
con las p alab ras «siem pre», «algunas veces» o «nunca».
13. Las altu ra s de un triángulo X se intersecan en el in terio r del
triángulo.
14. L as m edianas de u n trián g u lo X se intersecan en el exterior
del triángulo.
15. L as bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo
X se intersecan en el interior del triángulo.
16. L as bisectrices de u n trián g u lo X se intersecan en el interior
del triángulo.
17. El cen tro del círculo circunscrito X está d en tro del triángulo.
18. El centro del círculo inscrito X está d en tro del triángulo.
E n los ejercicios 19 y 20, llénese el prim er espacio en blanco con
las p alab ras «acutángulo», «rectángulo» u «obtusángulo», y el
segundo espacio con las p alab ras «dentro», «sobre» o «fuera».
19. El p u n to de intersección de las rectas que contienen las
altu ras de u n trián g u lo X está X del triángulo.
20. El p u n to de intersección de las bisectrices perpendiculares de
un trián g u lo X está X del triángulo.
241
242
M á s s o b re triá n g u lo s
B.
21. D ibújense un triángulo y el círculo inscrito.
B
22. Pruébese que la m ed ian a del vértice del ángulo de un
trián g u lo isósceles es tam bién una altura.
23. Pruébese que la m ediana del vértice del ángulo de un
triángulo isósceles es tam bién la bisectriz del ángulo.
24. Pruébese q u e u n a a ltu ra de u n triángulo equilátero es
tam bién una m ediana del triángulo.
(Ejercicios 22, 23)
25. Pruébese que u n a m ed ian a de u n triángulo equilátero es
tam bién u n a a ltu ra del triángulo.
26. Pruébese q u e las m edianas de los ángulos de la base de un
triángulo isósceles son congruentes.
27. E n A A B C , A B = A C , y B N y C M son bisectrices de los
ángulos. Pruébese que A M O N es un triángulo isósceles.
(Ejercicio 27)
ACTIVIDADES!
Centroide s ig n ific a c e n tro d e m a sa s. Si un
tr iá n g u lo p u d ie ra e q u ilib ra rs e , s u « p u n to de
e q u ilib rio » s e ría u n c e n tro id e .
E x p e rim e n to : C ó rte s e u n a fig u ra tr ia n g u la r en
c a rtu lin a o ta b la . (El triá n g u lo d e b e s e r
e s c a le n o .)
E n c u é n tre s e el c e n tro id e d e la fig u ra .
¿Se p u e d e e q u ilib r a r el o b je to e n e s e p u n to ? ¿Se
p u e d e h a c e r g ir a r e l o b je to ?
7.3
T e o re m a s d e la c o n c u rre n c ia en triá n g u lo s
c.
28. Si A A B C es equilátero, encuéntrese la lo n g itud I X del radio
del círculo inscrito.
29. Si A D E F es un trián g u lo 45°-45°-90°, com o se m uestra,
encuéntrese la longitud del ra d io del círculo circunscrito.
30. Pruébese que el p u n to de intersección de las bisectrices de los
ángulos de u n trián g u lo isósceles está sobre la a ltu ra del
ángulo del vértice.
31. Pruébese que las tres m edianas de u n trián gulo equilátero
dividen al triángulo en seis trián g u lo s congruentes.
32. Pruébese que en un trián g u lo eq u ilátero las bisectrices
perpendiculares de los lados, las bisectrices de los ángulos,
las altu ras y las m edianas se intersecan en el m ism o punto.
33. Pruébese qi¡3 ¡as altu ras de los ángulos de la base de un
triángulo isósceles son congruentes.
SOLUCION D E PROBLEM AS________________________
CDEF e s u na tir a d e p a p e l d e 5 c m d e a n c h o y A B e s un d o b le z p a ra le lo a CF.
A'
S e a P un p u n to c u a lq u ie ra s o b re CA y d ó b le s e a lo la rg o d e PB lo c a liz a n d o e l p u n to O.
S ean PA = x y Q B = y.
1. M u é s tre s e q u e PO — Q B = y.
x 2 + 25
2. M u é s tre s e q u e x e y e s tá n re la c io n a d a s p o rq u e y = ------------.
2x
(S u g e re n c ia : M u é s tre s e q u e A PQ R s A B Q A ' y e m p lé e s e e l te o re m a d e P itá g o ra s .)
243
244
M á s s o b re triá n g u lo s
7.4
Desigualdad del triángulo
C o n fre c u e n c ia se e s c u c h a n
frases c o m o « la d is ta n c ia
m á s c o r ta e n tr e d o s p u n to s
es u n c a m in o re c to » . T a le s
e x p re s io n e s s o n u n a m a n e ra
in fo rm a l d e d e s c rib ir u n a
re la c ió n im p o r ta n te q u e se
e s ta b le c e rá c o m o p o s tu la d o .
L o s tr e s e je m p lo s sig u ie n te s s u g ie re n e l p o s tu la d o .
M íd a n s e lo s la d o s .
M íd a n s e lo s la d o s.
M íd a n s e lo s la d o s.
A
O b s é rv e s e q u e
A C < A B + C B.
O b s é rv e s e q u e
A B < A C + CB.
O b sé rv e se q u e
C B < A B + AC.
Postulado de la desigualdad
del triángulo
O b s é rv e s e q u e
60 mm
40 + 32
60
40 + 60 > 32
60 + 32 > 40
L a sum a de las longitudes de
d os lados de un triángulo es
m ay o r que la longitud del tercer
lado.
7.4
D e s ig u a ld a d d e l triá n g u lo
245
A P L IC A C IO N 1
U n a c o m p a ñ ía d e fe rro c a rrile s v a a
c o n s tr u ir u n a e s ta c ió n c e n tr a l p a r a d a r
se rv ic io a c u a tr o c iu d a d e s lo c a liz a d a s en
lo s v é rtic e s A B C D d e u n c u a d r ilá te ro ,
c o m o se m u e s tr a en la fig u ra . ¿ D ó n d e d eb e
u b ic a rs e la e s ta c ió n H p a r a q u e la lo n g itu d
y el c o s to d e la c o n s tr u c c ió n d e la lin e a
fé rre a , A H + B H + C H + D H s e a n
m ín im o s?
R e sp u e s ta . E n el p u n to d e in te rs e c c ió n de
la s d ia g o n a le s d e A B D C .
S u p ó n g a s e q u e H ' es o tr o p u n to . E n to n c e s ,
p o r el p o s tu la d o d e la d e s ig u a ld a d d e l
triá n g u lo ,
1. B H + C H < B H ' + C H ' e n A B C H '.
2. A H + D H < A H ' + D H ' en A A D H '.
P o r ta n to ,
A H + B H + C H + D H < A H ' + B H ' + CH ' + DH'.
A P L IC A C IO N 2
Si la s c iu d a d e s e s tá n lo c a liz a d a s e n lo s
p u n to s A , B , C y D c o m o se m u e s tr a e n la
fig u ra , ¿cu ál es l a lo n g itu d m ín im a d e u n a
lín e a d e u n p u n to c e n tr a l H a c a d a u n a d e la s
c iu d a d e s?
R e sp u e sta . P o r la a p lic a c ió n 1, se o b s e rv a q u e
la lín e a d e lo n g itu d m ín im a es la s u m a d e las
lo n g itu d e s d e la s d ia g o n a le s A C y B D . P a r a
e n c o n tr a r la lo n g itu d d e e s ta s d ia g o n a le s ,
p rim e ro d e b e n e n c o n tr a r s e B E y C E . D a d o
q u e la lo n g itu d d e l c a te to m á s c o r to d e u n
triá n g u lo 3 0 °-60°-90° es la m ita d d e la
lo n g itu d d e la h ip o te n u s a , B E = 23 k m . E l
c a te to m á s la rg o , C E , tie n e u n a lo n g itu d d e
2 3 7 3 o u n o s 3 9 .8 4 km .
A p lic a n d o el te o re m a d e P itá g o r a s a_________
A A E C , A C = J A E 2 + C E 2 = ^ 1 3 225 + 1587 =
= 121.7 k m . B D = 9 2 k m . P o r ta n to , la
lo n g itu d m ín im a es, a p ro x im a d a m e n te ,
121.7 k m + 9 2 k m = 213.7 k m .
C
246
M á s s o b re triá n g u lo s
EJERCICIOS____
A.
En los ejercicios 1 a 7, decídase si los conjuntos de núm eros
d ad o s podrían ser las longitudes de los lados de un triángulo.
1. { 4 ,5 ,7 } .
2. {4, 5, 17}.
3. {6 ,1 3 ,7 } .
5. {7 ,7 ,1 3 } .
6. { j , k , j + k).
7. {a, 3a, 3a}-
4. {9, 13, 17}.
B.
8. Si dos lados de un trián g u lo tienen longitudes 2 y 5, entonces
la longitud del tercer lado es m ay o r que JL y m en o r que JL
9. Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 7 y 9,
¿cuáles son las longitudes posibles del tercer lado?
10. Pruébese que A B + B C + CD > AD para
cualquier cuadrilátero ABCD.
(E je rcic io 10)
ACTIVIDADES!
C o n strú y a se un trián g u lo co n la d o s d e 8 cm , 11 cm y 15 cm , y
m á rq u e n s e los s ig u ie n te s puntos:
a.
El pun to m edio d e los tr e s lad o s.
b.
Los p ie s d e las tre s a ltu ra s.
c.
La in te rse c c ió n d e la s tr e s a ltu ra s. L lám ese H a e s te punto.
d.
Los p u n to s m e d io s d e los s e g m e n to s q u e un en H con
v é rtic e s del triángulo.
¿Q u é re la c ió n e x iste e n tre los 9 p u n to s d e los a p a rta d o s a,
byd?
los
*
7.4
D e s ig u a ld a d d e l triá n g u lo
11. Pruébese que el cam ino m ás co rto entre d os puntos, A y B,
es el segm ento que los une.
c.
12. P ruébese que la sum a de las longitudes
de los lados de un cuad rilátero es m ayor
que la sum a de las longitudes de las
diagonales.
13. Pruébese que la longitud de una
diagonal de un cuadrilátero es m enor
que la m itad del perím etro. E sto es,
B£)
A B + B C + CD + A D
2
14. Pruébese que si D es un p u n to en el
interior de A A B C , entonces
\ ( A B + B C + A Q < A D + B D + CD.
15. Supónganse que unas ciudades
localizadas en los p u n to s A, B, C y D
com o se m uestra en la figura. ¿D ónde
está el p u n to H si A H + B H + C H + D H
es un m ínim o? ¿Cuál es el valor de este
m ínim o? (Em pléese una calculadora.)
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
E ste d ibujo m u e stra la visión frontal y
lateral d e un c u a d ro co lg a d o e n una
p are d . El c u a d ro e s tá a p o y a d o c o n tra la
p a re d a lo la rg o d e s u b a s e CD y
s e p a ra d o d e e lla e n la p a rte su p e rio r.
E stá co lg a d o con u n a c u e rd a AOB, d o n d e
O e s el clav o d e la p a re d .
E n c u é n tre se la longitud AOB.
O
o
247
248
M ás s o b r e triá n g u lo s
7.5
Desigualdades en un triángulo
Im ag ín ese u n a se n ta m ie n to físico c o n
d istan cias q u e n o p u ed e n m edirse
d irec tam en te. A lg u n as veces n o es necesario
co n o cer la d ista n c ia real, sin o sólo u n a
c o m p a ra c ió n e n tre las dos d istancias. P o r
ejem plo, en u n b a rc o se p u ed e c o m p a ra r su
d ista n c ia a u n p u n to e n la c o sta con su
d ista n c ia a u n p u n to en u n a isla p a r a ten er
la se g u rid a d d e q u e se e n c u e n tra fuera de
u n a lín ea im a g in a ria a m ed io c a m in o e n tre
la c o sta y la isla. E l te o re m a d e e s ta sección
p ro p o rc io n a u n m éto d o de h acer esto.
m Z Z < mLX
m L j <im¿K
m / L P < wzZ<2
Y
¿ C u ál es m ás c o rto , X Y o
FZ?
Teorema 7.9
¿C uál es m ás c o rto , J L o L K ?
¿C uál es m ás c o rto , P R o
QR?
Si las m ed id as d e d o s á n g u lo s d e u n triá n g u lo so n desiguales,
e n to n ces la lo n g itu d del la d o o p u e s to a l á n g u lo m e n o r es m en o r
q u e la lo n g itu d del la d o o p u e sto a l á n g u lo m ay o r.
7.5
D e s ig u a ld a d e s e n u n triá n g u lo
PR U EB A
D ado:
a A B C con m L B < m L A .
P ru é b e s e :^ c < B C .
A
B
R azones
Afirm aciones
1. m ¿ B < m ¿ A .
1. D ado.
2. Existe un p u n to D sobre BC de
m an era que m L B A D = m L B .
2. P o stu lad o del tran sp o rtad o r.
3. Á D ^ B D .
3. Si dos ángulos de un triángulo son
congruentes, entonces los lados
o puestos a ellos son congruentes.
4. A D = BD.
4. ¿ P o r qué?
5. A C < A D + DC.
5. ¿ P o r qué?
6. A D + D C = B D + DC.
6. P ro p ied ad d e sum a de las iguales.
1. B D + D C = BC.
7. Definición de «entre» p a ra puntos.
8. A C < BC.
8. Principio de la sustitución.
APLICA CIO N
¿ C ó m o p u e d e d e te r m in a r s e q u e u n b a r c o
e s tá fu e ra d e u n a lin e a im a g in a ria s itu a d a a
m e d io c a m in o e n tr e la c o s ta y u n a isla?
R e sp u e sta . U n a s p e r s o n a s s itu a d a s ' e n los
p u n to s A y B d e te rm in a n , p o r m e d io d e la
ra d io , el r a d a r o ra y o s lá se r, q u e m / L A <
< m L B . C u a n d o e s ta in fo rm a c ió n se
c o m u n ic a a l b a r c o , el c a p itá n c o n c lu y e , p o r
el te o re m a 7.9, q u e C B < C A .
L a r e c íp ro c a d e l te o r e m a 7.9 se e n u n c ia a q u í s in d e m o s tra c ió n .
Teorema 7.1 i
Si la s lo n g itu d es de d o s la d o s de u n triá n g u lo son
desiguales, en to n ce s la m ed id a del á n g u lo o p u e s to a l la d o
m ás c o rto es m e n o r q u e la m e d id a d e l á n g u lo o p u e sto al
la d o m ás larg o .
249
250
M á s s o b re triá n g u lo s
EJERCICIOS_____
A.
En los ejercicios 1 a 4, dígase cuáles son los lados m ás cortos
y los m ás largos de los triángulos dados.
1.
En los ejercicios 5 a 8, enum érense los lados del m ás corto al
m ás largo, p a ra u n trián g u lo A A B C si:
5. t n ¿ A = 46, m L B = 30.
6. m L C = 101, m L B = 70.
7. m L A = 59, m ¿ C = 61.
8. m L B = 48, m L A = 47.
En los ejercicios 9 y 10, enum érense los ángulos del más
pequeño al m ás grande de A A B C si:
9. A B = 17, B C = 21, A C =
18.
10. A B = 15, A C = 16, B C = 17.
B.
B
al m ás largo.
C
12. E num érense todos los segm entos de esta
figura del m ás co rto al m ás largo.
(Supóngase que todas las m edidas
indicadas de los ángulos son correctas.)
^
ACTIVIDADES'
E m p lé e se u n a m atriz c u a d ra d a d e p u n to s
d e 3 x 3. P u e d e n d ib u ja rs e o ch o trián g u lo s
d e d iferen te ta m a ñ o y form a.
En u n a m atriz c u a d ra d a d e p u n to s d e 4 x 4 p u e d e n d ib u ja rse m á s d e 30
trián g u lo s.
Su g e re n c ia : T ra b á je s e e n fo rm a siste m á tic a . No d e b e e m p e z a rs e dibujando
al a z a r. (Si no s e d is p o n e d e p ap el d e p u n to s, p u e d e u s a r s e pap el m ilim etrado.)
B
13. D ado:
7.5
D e s ig u a ld a d e s en un triá n g u lo
m L D B C = m ¿ B C D = 45.
Pruébese: CD < AB.
14. Pruébese que el segm ento p erpendicular de u n p u n to a una
recta es el segm ento m ás co rto del p u n to a la recta.
c.
15. Pruébese q u e la m ed ian a del vértice Y del triángulo
escaleno X Y Z es m ayor que la altu ra del vértice Y.
16. Pruébese que la sum a de las longitudes
de las tres altu ras de A A B C es m enor
que la sum a de los lados del triángulo.
17. L os tres lugares principales de trab ajo en
u n a cocina son el refrigerador, la estufa y
el lavadero, y pueden representarse com o
los p u n to s de un triángulo. Según una
regla de arq u itectu ra, «los tres lados del
triángulo de la cocina deben su m ar m ás
de 12 pies y m enos de 22 pies». Además,
el lad o m ás corto del trián g u lo debe estar
en tre el lavadero y la estufa.
A continuación, se m uestra u n a tab la de «triángulos de
cocina» posibles. Prim ero, debe decidirse si cada triángulo es o
no posible. D espués, decidase si los triángulos cum plen con la
regla establecida.
E stufa-lavadero
E stufa-refrigerador
pies
R efrigerador-lavadero
pies
8 pies
b.
10 pies
11 pies
11 pies
c.
6 pies
8 pies
7
pies
d.
3 pies
7
pies
4
pies
e.
3 pies
8 pies
4
pies
a.
5
4
SOLUCION D E PROBLEM AS.
S u p ó n g a s e q u e ABCD e s un c a b le flexible, A
e s un p unto fijo y C e s u n a p o le a fija. B e s
un p e s o q u e s e d e s liz a p o r el c a b le d e
m a n e ra q u e A B y CB tie n e n s ie m p re la
m ism a inclinación con re sp e c to a la vertical.
E n c u é n tre s e a q u é a ltu ra s e e le v a B s i s e
tira d e D 2 m h a c ia abajo.
251
252
M á s s o b re triá n g u lo s
Capítulo 7 Conceptos im portantes
Términos
M ediana (pág. 239)
Postulados
Postulado de la desigualdad del triángulo. L a sum a de las longitudes
de dos lados de un trián g u lo es m ayor que la longitud del tercer
lado.
Teorema
7.1
7.2
7.3
7.4
T eorem a de Pitágoras. Si A A B C es un triángulo rectángulo,
entonces el cu a d ra d o de la h ipotenusa es igual a la sum a de
los cu ad rad o s de los catetos.
Si A A B C tiene lados de longitudes a, b y c, c2 = a2 + b2,
entonces A A B C es un trián g u lo rectángulo.
La lo n g itu d de la h ipotenusa de un triángulo 45°-45'!-90° es
y / 2 m ultiplicada p o r la lo n g itu d de un cateto.
L a longitud del cateto m ás largo de un triángulo 30°-60°-90°
es - y m ultiplicado p o r la lo n g itu d de la hipotenusa o %/3
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
m ultiplicada p o r la lo n g itu d del lad o m ás corto.
L as bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo se
intersecan en un p u n to O que equid ista de los tres vértices de
un triángulo.
Las bisectrices de los ángulos de u n triángulo son
co ncurrentes en un p u n to I que equidista de los tres lados de
un triángulo.
Las rectas que contienen las altu ras de un triángulo se
intersecan en un punto.
Las m edianas de un trián g u lo se intersecan en un p u n to que
está a dos tercios de la distancia de cada vértice al lado
opuesto.
Si las m edidas de d os ángulos de un triángulo son desiguales,
entonces la longitud del lad o o p u esto al ángulo m enor es
m en o r que la longitud del lado opuesto al ángulo m ayor.
Si las longitudes de d os lados de un triángulo son desiguales,
entonces la m edida del ángulo opuesto al lad o m ás co rto es
m enor que la m edida del áng u lo opuesto al lad o m ás largo.
C a p ítu lo 7
capítulo 7
R e su m e n
253
Resumen
1. Indíquese si los siguientes problem as son falsos o verdaderos.
a. U n trián g u lo puede tener lados de 2 cm, 3 cm y 5 cm.
b. En el triángulo A BC, m ¿ .A = 120, m L B = 20 y m L C = 40.
El lad o m ás largo es BC.
c. U n rectángulo de 10 cm p o r 24 cm tiene u n a diagonal de
26 cm.
d. Si el cateto m ás largo de un triángulo 30o-60o-90Dtiene una
longitud de 3 ^ 3 , entonces la longitud de la hipotenusa es 6.
2. ¿Cuál es el lad o m ás larg o de la siguiente
figura? (La figura no está d ibujada a
escala.)
3. E ncuéntrese la longitud de un cateto de u n triángulo rectángulo
isósceles si la longitud de la h ipotenusa es 4 cm.
4. S i Á B ^ B C ^ C D ^ Á D . y Á C l B D
co n BD = A B = 2, encuéntrese AC.
5. Pruébese que la m ediana S Q de un triángulo
isósceles R S T tam bién es la bisectriz
perpendicular de la base.
(E je rcic io 4)
(E je rcic io 5)
6. Localícese un p u n to equidistante de M , N
y o.
,v
M
O
(E je rc ic io 6)
7. Si u n a escalera de 20 pies se coloca de m an era que su base
esté a 12 pies de la pared, ¿qué a ltu ra alcan zará la escalera?
8. E y D son p u n to s m edios de A C y AB,
respectivam ente. Si E P = 4,
encuéntrese EB.
B
9. D ado:
Y Z es el lado m ás largo de un
cu ad rilátero X Y Z W .
XW
el lado m ás corto.
Pruébese: m L X > m L Z .
(E je rcic io 8)
254
M ás s o b re trián g u lo s
Capítulo 7
Examen
1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.
a. U n triángulo puede tener lados de 6, 6 y 13.
b. Si un trián g u lo tiene lados de 16, 30 y 44, entonces es un
trián g u lo rectángulo.
c. Si el ángulo del vértice de un trián g u lo isósceles m ide 30°,
entonces la base del triángulo es el lado m ás corto.
A
entonces la longitud de la hipotenusa es
-
3. E n J a figura siguiente , CD es perpendicular
a A B . Si A C = 4, encuéntrense AD y CD.
4. A A B C y A BCD son triángulos rectángulos isósceles. Si A C = 2,
encuéntrese BD.
5. Pruébese que la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo
isósceles tam bién es una m ediana.
- (Ejercicio 4)
6. S W y R V son m edianas de A R ST. S L = 4,
S W = 6 y R V = 9 . E ncuéntrese RL.
(Ejercicio 6)
7. Si se coloca una viga co n tra u n a pared, a 80 cm de ella y apoyada
a 150 cm del suelo, ¿cuál es la longitud de la viga?
8. En A A B C , localícese el p u n to que es equidistante de los lados A B
BC y AC.
A /.)_
9. D ado:
D E = EF, DG = FG
D E < DG.
Pruébese: m L G < m ¿ E .
iE
(Ejercicio 8)
R e s u m e n g lo b a l
255
Resumen global (Caps. 4 a 7)
1. Utilícese la figura de u n cubo p a ra identificar lo siguiente.
a. u n a recta paralela al p lan o A B E H .
d
b. una recta alab ead a a DC.
c. un p lan o perpendicular a CB.
d. una recta paralela a
— i-------i
1
i
tfj-
c
e. un p lan o p aralelo al plano CFEB.
A
2. Supóngase que la recta a es paralela a la b y la c es paralela a la d.
a. Si m L l = 105, encuéntrese m L 14.
b.
Si m Z 5 = 2x — 10 y m L 10 = x + 5, encuéntrense m Z 5
y m Z 10.
c. Si m L 12 es 10 veces el doble de la m edida de L 11,
encuéntrense m L 12 y m Z .ll.
3. D ado:
Z ls Z 2 , Z 3ssZ 4.
Pruébese: A A B C = A A E D .
4. Dado:
D E = BC, A D = AC.
Pruébese: A B D A = A ECA.
5. Si L A C B es el ángulo del vértice de un
trián g u lo isósceles. A B C y m Z 2 = 70,
encuéntrese m L 5.
6. Si A D || B C , m L 3 - 45, m L l = 65,
encuéntrese m L 2.
(Ejercicios 5, 6)
7. Si X W es p erpendicular a Y Z , m L Y = 30,
m L Z = 45 y X_W — 3, encuéntrense las
longitudes de
YW yXZ.
8. Si X Z es una altu ra de X Y , X Y = 12 y
X Z = 5, encuéntrese Y Z .
Z (Ejercicios 7, 8)
9. Si dos lad o s co rto s de un triángulo m iden 5 cm y 3 cm,
¿es posible que el lad o m ás largo m ida 7 cm? ¿ P o r qué?
10. Dado:
C u ad rilátero ABCD .
Encuéntrese: a. m L A D B .
b. m L B D C .
c. m L A D C .
11. Enum érense los lados del cuadrilátero A B C D del m ás
co rto al m ás largo.
(Ejercicios 10, 11)
- ¡l &
gasa ¡g ran sa s® ® m s » ©
Gráficas por com putador:
diseño asistido por com putador
L as gráficas p o r co m p u tad o r h an revolucionado
el trab ajo de los diseñadores industriales. El
diseñador debe ser capaz de im aginar y analizar
form as com plejas com puestas de figuras
geom étricas. C on diseños asistidos por
co m p u ta d o r (Computer Aided Design, CAD), el
d iseñador em plea los com putadores p a ra dibujar
diseños.
L a fotografía superior m uestra un diseño de un autom óvil generado p o r un com putador. El
co m p u ta d o r puede desplegar en la p a n ta lla este diseño en infinidad de posiciones. Es
decir, puede presentarse en la p an talla u n a vista frontal, de arriba, de abajo, etc., del autom óvil.
Las fotografías m uestran a unos diseñadores m anejando los term inales
de un com p u tad o r. El d iseñador de la derecha usa u n a plum a electrónica p a ra alterar
las dim ensiones de u n a sección de un m odelo. Al to ca r la pan talla con la plum a,
el diseñador se com unica con el com putador.
E l d iseñ ad o r de la izquierda está tra b a ja n d o con u n a sección transversal de u n m odelo
tridim ensional. El tablero que tiene delante se utiliza para d a r órdenes al com putador. Al
colocar la plu m a electrónica en diferentes cuadros, puede a ñ ad ir o b o rra r porciones del
dibujo. T am bién puede ped ir al co m p u tad o r que am plíe u n a p a rte del dibujo. La
biblioteca del c o m p u tad o r incluye dibujos de p artes estándar, com o cojinetes o la
transm isión, que pueden añadirse al diseño.
256
U ltim am ente, con el uso de los
m icrocom putadores, las gráficas p o r co m p u tad o r
son accesibles p a ra los estudiantes. En un
m odelo p o p u la r de m icro co m p u tad o r, la pantalla
está dividida en 280 filas y 160 colum nas
invisibles. P o r ejem plo, el espacio que está en la
fila 40 y en la colum na 20, es el p u n to llam ado
(40,20). Ilu m in an d o un conjunto gran d e de
puntos, aparecen líneas en la pantalla. P o r
ejem plo, el siguiente p ro g ram a despliega en la
p a n talla un rectángulo cuyos vértices son los
puntos (40,20), (220,20), (220,120) y (40,120).
E l p ro g ram a, o lista de instrucciones al
com pu tad o r, se m uestra a continuación. L a línea
10 indica al c o m p u tad o r que se p rep are p ara
recibir instrucciones sobre gráficas (H G R). E n la
línea 20, H P L O T es u n a instrucción p a ra dibujar
en la p an talla u n a línea del p u n to (40,20) al
pu n to (220,20). C om pruébense las dem ás
instrucciones p a ra ver cóm o se dibuja un
rectángulo.
10
HGR
20
H PLO T 40, 2 0 TO 220, 20
30
H PLO T 40, 2 0 TO 40, 120
40
HPLO T 40, 120 TO 2 2 0 , 120
50
H PLO T 220 , 2 0 TO 2 2 0 , 120
60
END
1. Escríbanse los m an d ato s H P L O T p a ra fo rm ar un cuad rad o en la pantalla.
2. Escríbanse cu atro m an d ato s H P L O T p ara fo rm ar u n rectángulo el doble de alto que de
ancho.
3. Créese u n a figura com puesta de segm entos de recta. D espués, escríbanse los m andatos
H P L O T que desplegarán la figura en la p an talla de u n televisor.
257
C A P IT U LO
8 .1
C u a d r ilá t e r o s
8 .2
P a r a le lo g r a m o s
8 .3
C u a d r ilá t e r o s q u e s o n p a r a le lo g r a m o s
8.4
E l t e o r e m a d e l s e g m e n t o m e d io
8 .5
R e c tá n g u lo s , r o m b o s y c u a d r a d o s
8 .6
T r a p e c io s
8 .7
L o s á n g u lo s d e u n p o líg o n o
260
264
270
276
282
288
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
R e p a s o d e á lg e b r a
292
296
R esum en
299
L a g e o m e t r ía e n n u e s tr o m u n d o
A r q u it e c t u r a : E l r e c t á n g u lo á u r e o
300
297
E xam en
298
Cuadriláteros
y polígonos
259
260
8.1
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
Cuadriláteros
REPASO: U n cuadrilátero es la unión de cuatro
segm entos d eterm inados p o r c u atro p u n to s, tres
de los cuales n o son colineales. Los segm entos se
intersecan sólo en sus extrem os.
N u e s tr o m u n d o e s tá lle n o d e e je m p lo s d e
fig u ra s d e c u a tr o la d o s d e to d a s la s fo rm a s y
ta m a ñ o s q u e se p u e d e n c la s ific a r e n fu n c ió n
d e lo s la d o s , d e lo s á n g u lo s y d e las
re la c io n e s e n tr e lo s á n g u lo s y lo s la d o s.
E n e ste c a p ítu lo se e s tu d ia r á n e sta s
c la sific a c io n e s y a lg u n a s d e la s p r o p ie d a d e s
d e lo s c u a d rilá te ro s .
L a s fig u ra s sig u ie n te s ilu s tr a n a lg u n o s a s p e c to s im p o r ta n te s d e lo s c u a d rilá te ro s .
L o s la d o s B C y A D n o tie n e n u n v é rtic e c o m ú n .
S o n u n p a r d e lados o puestos. L o s la d o s A B y
D C ta m b ié n s o n o p u e s to s .
L o s la d o s A B y A D tie n e n u n v é rtic e c o m ú n .
S o n u n p a r d e lados adyacentes. O tr o s p a r e s d e
la d o s a d y a c e n te s s o n A B y B C , B C y C D , y
A D y DC.
L o s á n g u lo s B y D n o tie n e n u n la d o c o m ú n .
S o n u n p a r d e án g u lo s opuestos. L o s á n g u lo s A y
C ta m b ié n s o n o p u e s to s .
L o s á n g u lo s A y B tie n e n a l la d o A B e n c o m ú n .
S o n u n p a r d e án g u lo s adya cen tes. O tr o s p a re s
d e á n g u lo s a d y a c e n te s s o n ¿ B y L C , L C y L D ,
y LD y LA.
8.1
C u a d rilá te ro s
261
A h o r a se d e s c r ib ir á n lo s tip o s b á s ic o s d e c u a d rilá te ro s .
C
A'
\
Definición 8.1
D
D o s la d o s o p u e s to s s o n
p a ra le lo s.
A B C D e s u n trapecio. B C
y A D s o n la s bases d el
tra p e c io .
7
D■
A m b o s p a re s d e la d o s
o p u e s to s s o n p a ra le lo s .
T~
1
-------£
r
U n trapecio es un cuadrilátero
con exactam ente dos lados
paralelos.
Definición 8.2
E D G F e s u n paralelogram o.
U n paralelogram o es un
cu ad rilátero con am bos pares
de lados opuestos paralelos.
y
Definición 8.3
R
L o s c u a tr o á n g u lo s so n
re c to s.
P Q R S e s u n rectán gu lo
(y ta m b ié n u n p a ra le lo g ra m o ).
U n rectángulo es un
paralelogram o con cuatro
ángulos rectos.
Definición 8.4
L o s c u a tr o la d o s s o n
c o n g ru e n te s .
L o s c u a tr o á n g u lo s so n
re c to s . L o s c u a tr o la d o s so n
c o n g ru e n te s .
H I J K es u n ro m b o
(y ta m b ié n es u n
p a ra le lo g ra m o ).
T U W V e s u n cu ad ra d o
(y ta m b ié n es u n re c tá n g u lo ,
u n ro m b o y un
p a ra le lo g ra m o ).
U n rombo es un
paralelogram o con cu atro
lados congruentes.
Definición 8.5
U n cuadrado es u n rectángulo
con c u a tro lados congruentes.
262
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
EJERCICIOS_______
A.
P a ra los ejercicios 1 a 4, véase el cuadrilátero
ABCD.
1. ¿Cuál es el lado opuesto a A B ?
2. ¿Cuáles son los ángulos adyacentes a L C?
3. ¿Cuáles son los lados adyacentes a BC1
4. ¿Cuál es el ángulo o p u esto a ¿£>?
D eterm ínese si lo siguiente es falso o verdadero.
5. U n cu a d ra d o es un rectángulo.
6. U n rectángulo es un paralelogram o.
7. U n p aralelogram o es un rom bo.
cu ad rilátero
8. U n trapecio es un paralelogram o.
9. A lgunos paralelogram os son rectángulos.
trap ecio
p aralelo g ram o
r^
10. U n ro m b o es un cuadrado.
ro m b o
11. A lgunos rom bos son rectángulos.
\
12. U n p aralelogram o es un trapecio.
B'
13. D ibújese un p aralelogram o con un ángulo
de 30°.
/fcsvA 15. D ibújese un trapecio con dos ángulos
rectos.
ACTIVIDADES!
1. D ib ú jese e s te d o d ec á g o n o _ re g u lar y el
p a ra le lo g ra m o co n la d o s AL y TR.
2. D ib ú jese un p a ra le lo g j^ m o con lad o s KJ y KX, y
otro con la d o s, A X y AB .
3. Si s e c o n tin ú a con e s te p ro c e so , ¿ c u á n to s
p a ra le lo g ra m o s re s u lta rá n d e s p u é s d e h a b e r
dividido el d o d e c á g o n o en p a ra le lo g ra m o s ?
4. C o m p lé te se el d ibujo p a ra c o m p ro b a r la
re s p u e s ta .
rectán au lo
c u a d ra d o
(Ejercicios 5-12)
14. D ibújese un rom bo con un ángulo de
60".
16. D ibújese un rectángulo que m ida la
m itad de an cho que de largo.
8.1
C u a d rilá te ro s
263
17. C onstruyase un trapecio con un p a r de ángulos de 45° en una
base.
D ibújense y díganse los n om bres de los cuad riláteros de los ejercicios
18 a 20.
18. El cuadrilátero tiene d os pares de lados paralelos, ningún ángulo
recto y ningún p ar de lados adyacentes congruentes.
19. El cuadrilátero tiene, p o r lo m enos, un p a r de lados adyacentes
congruentes, un p a r de lados opuestos congruentes y ningún ángulo
recto.
20. El cu ad rilátero tiene, p o r lo m enos, un p a r de lados paralelos, ningún
p ar de lados adyacentes congruentes y exactam ente un p a r de lados
o puestos congruentes.
6x — 1
c.
21. El perím etro (m edida del contorno) del p aralelogram o es 32 cm.
¿C uál es la longitud de ca d a lado (aproxim ación en milímetros)?
22. L a base m ás larg a de un trapecio es el cu ad rad o de la más
corta. Los lados no paralelos son congruentes. El lad o no
paralelo es 3 veces m ay o r que la base m ás corta. Si el perím etro
del trapecio es 24 cm, ¿cuáles son las longitudes de los lados?
23. Supóngase que se in ten ta co n stru ir un m arco p a ra un cuadro.
Se c o rtan c u atro piezas de m ad era y se encolan de m anera que
A B = BC. = CD = AD. ¿Cuáles de las siguientes afirm aciones se
sabe que son verdaderas utilizando sólo las definiciones?
a. A B C D es un cuadrado, b. A B C D es un rectángulo,
c. A B C D es un rom bo.
d. A B C D es un paralelogram o.
SOLUCION D E PROBLEMAS.
El sig u ie n te e s un c u a d rilá te ro form ad o p o r cin co re c ta s.
En la fig u ra hay p o r lo m e n o s o tro s s e is c u a d rilá te ro s . D ibújense e identifiqúense.
D
(Ejercicio 21)
264
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
8.2
Paralelogram os
L o s la d o s y á n g u lo s d e lo s p a r a le lo g r a m o s q u e se m u e s tr a n e n el
d is e ñ o tie n e n re la c io n e s d e la d o s y á n g u lo s esp eciales.
E n lo s p a r a le lo g r a m o s sig u ie n te s se d a n la s m e d id a s d e a lg u n o s
p a re s d e á n g u lo s y la d o s o p u e s to s .
C
D
O b s é rv e s e q u e
O b s é rv e s e q u e
¿ A ^ ZC, Z£== ¿D,
Z£ =
Z G, ¿ F ^
AB
ZH.
CD, A D « SC,
G //,
FG .
E s ta s o b s e rv a c io n e s s u g ie re n d o s p r o p ie d a d e s b á s ic a s d e los
p a ra le lo g ra m o s .
Teorema 8.1
L o s á n g u lo s o p u e s to s d e u n p a r a le lo g r a m o s o n c o n g ru e n te s .
Teorema 8.2
L o s la d o s o p u e s to s d e u n p a r a le lo g r a m o s o n c o n g ru e n te s .
8.2
A
P a ra le lo g ra m o s
PRUEBA
D a d o : A B C D es u n p a r a le lo g r a m o .
P ru é b e se : ¿ A s
s
^ _ J -D
A B s í CD , A D = BC.
P la n : T rá c e s e la d ia g o n a l BD y p r u é b e s e q u e A A B D = ACDB.
Afirm aciones
1.
Razones
ABCD es u n paralelogram o.
1. D ado.
2. A B || CD.
2. D efinición de paralelogram o.
3. B C || AD.
3. ¿ P o r qué?
4. ¿ l s
4. Si d os rectas paralelas se co rtan
Z2.
p o r u n a transversal, entonces los
ángulos alternos interiores
son congruentes.
5. ¿ 3 s Z 4 .
5. ¿ P o r qué?
6. BD = BD.
6. ¿P or qué?
7. A A B D s
A CDB.
7. ¿ P o r qué?
8. A B s CD.
8. P C T C C .
9. ¿A== ¿C .
9. PC TC C .
Si se r e p ite e s ta d e m o s tr a c ió n c o n la d ia g o n a l AC , p u e d e
p ro b a rs e q u e AD ^ BC y ¿ B = LD .
APLICA CIO N
C u a lq u ie r p ro c e s o d e p r o d u c c ió n d e b e in c lu ir la
c o m p ro b a c ió n d e la c a lid a d d e l a r tíc u lo p r o d u c id o . E n la
p r o d u c c ió n d e b lo q u e s p a tr ó n , la v e rific a c ió n p u e d e in c lu ir la
m e d ic ió n d e á n g u lo s o p u e s to s d e u n c u a d r ilá te ro . L a
c o n tr a r r e c íp r o c a d e l te o re m a 8.1 e s ta b le c e q u e si lo s á n g u lo s
o p u e s to s n o s o n c o n g ru e n te s , e n to n c e s el b lo q u e n o p u e d e se r
u n p a r a le lo g r a m o y d e b e d e s c a rta rs e .
A c o n tin u a c ió n se e n u n c ia o tr o te o re m a im p o r ta n te q u e se
p r o b a r á c o m o ejercicio .
Teorema 8.3
L o s p a r e s d e á n g u lo s a d y a c e n te s d e u n p a r a le lo g r a m o so n
á n g u lo s s u p le m e n ta rio s .
265
266
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
EJERCICIO S_________
A.
E n los ejercicios 1 a 3, supóngase que A B C D es un
paralelogram o.
1. D íganse dos pares de segm entos congruentes.
2. D íganse dos pares de ángulos congruentes.
3. D íganse c u atro pares de ángulos suplem entarios.
En los ejercicios 4 a 11, asúm ase que A B C D es un
paralelogram o.
4. m ¿ C = X
5. m ¿ A B C = X .
6. m ¿ A B D = X .
7. m l A D B = X
8. m ¿ D B C = J_.
9. m L A D C = X .
11. C D = X
10. A D = X
En los ejercicios 12 a 15, supóngase que A B C D es un
paralelogram o.
12. m ¿ A B C = X .
14. m ¿ A D C
13. w Z D O C = X .
= X.
15. m ¿ B O C = X .
16. E scríbase el teorem a 8.1 en la form a si-entonces y
establézcase su contrarrecíproca.
17. E scríbase el teorem a 8.2 en la form a si-entonces y
establézcase su contrarrecíproca.
E n los ejercicios 18 a 23, em pléense las co n trarrecíprocas de los
ejercicios 16 y 17 p a ra d eterm inar qué figuras no pueden ser
paralelogram os.
18.
y
19.
40 mm
20.
41 mm
X
267
B.
En los ejercicios 24 a 26, encuéntrense las m edidas de
todos los ángulos de los paralelogram os.
27. A B C D es un paralelogram o^S i A B = x + 5 y CD = 2 x - 1,
encuéntrese la longitud de AB.
28. A B C D es un paralelogram o. Si A B = 2x, CD = 3y + 4, B C =
= x + 7 y A D = 2y, encuéntrense las longitudes de los lados del
paralelogram o.
29. En la figura se m uestra p a rte del sistema
estru ctu ral de sop o rte efe un puente.
A B || CD , D F || C B y AD || EC. Encuéntrese
m /-CG F.
30. D ado:
A B C D es un paralelogram o
A E C F es un paralelogram o.
Pruébese: A C DF
AABE.
(Ejercicios 27, 28)
31. D ado:
A B C D es un paralelogram o
FG biseca a DB.
Pruébese: D B biseca a FG.
A
32. D ado:
A B C D es un paralelogram o
A, F, E y C son colineales.
AF s_ C £ .
Pruébese: D E || BF.
33. D ado:
A B C D es un paralelogram o
AE ^ C F .
Pruébese: C E 5? A F .
34. Pruébese que las diagonales de un p aralelogram o se bisecan
unas a otras.
268
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
c.
35. Pruébese que un p aralelogram o con un ángulo recto es un
rectángulo.
36. D ado:
A B C D es un p aralelogram o
A E biseca a L A
D E biseca a L D .
Pruébese: A E 1 DE.
37. D ado:
A B C D es un paralelogram o
DE L A B
CF L A B .
Pruébese: A A D E s A B C F y C D E F es
un rectángulo.
C
D
D
C
B
A
B
38. D ado:
A B C D es un p aralelogram o
A E biseca a L A
C F biseca a L C.
Pruébese: A E « CF.
39. Pruébese el teorem a 8.3.
ACTIVIDADES ™
D ibújese e s te ro m p e c a b e z a s tangram y
re c ó rte n s e la s p ie z a s . C on la s cinco p ie z a s
p e q u e ñ a s , c o n s trú y a s e un c u a d ra d o . ¿S e p u e d e n
co lo c a r la s d o s p ie z a s g ra n d e s a lre d e d o r del
cu a d ra d o p a r a fo rm ar
1 . un triá n g u lo ?
3. un tra p e c io ?
2 . un p a ra le lo g ra m o ?
4. un re c tá n g u lo ?
F~
8.2
E n la figura se dividió un dodecágono regular en paralelogram os.
C on la definición de polígono regular y los teorem as de esta
sección, respóndase a los ejercicios 40 a 48. Acéptese tam bién que
m L A L K = 150.
40. m L B P X =
41. m ¿ 1 =
JL
42. m /L 2 =
JL.
JL.
43. w Z 3 = J _
44. ?« Z 4
-
JL.
45. Pruébese que A B ^ X Y.
46. P ruébese que los tres polígonos de la
figura son cuadrados.
47. Pruébese que P Q R S es un rom bo.
48. Selecciónese un paralelogram o
cualquiera de la figura y pruébese que
es u n rom bo.
SO LUCIO N D E PROBLEM AS_____
Hecho: C u an d o d o s p la n o s p a ra le lo s e n el e sp a c io
s e c o rta n p o r un te rc e r plano, la s r e c ta s de
in te rse c c ió n so n p a ra le la s . E ste h e c h o p u e d e u s a r s e
p a r a re s o lv e r los p ro b le m a s sig u ie n te s.
La reg ió n com ún a un cu b o y a un p lan o s e llam a
se c c ió n tra nsv e rsa l d e un cubo.
1. ¿ P o r q u é c a da se c c ió n tra n s v e rs a l c u a d rila te ra l
tie n e p o r lo m e n o s un p a r d e a r is ta s p a ra le la s ?
2. ¿ P o r q u é cada se c c ió n tra n s v e rs a l p e n ta g o n a l de
un cu b o tie n e d o s p a re s d e a r is ta s p a ra le la s ?
P a ra le lo g ra m o s
269
+
270
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
8.3
Cuadriláteros
que son
paralelogram os
Cuando dos niños se balancean en un
columpio de dos asientos, ¿están los dos
asientos del columpio siempre paralelos a la
barra transversal superior de la estructura? El
teorema de esta sección proporciona la
respuesta.
Considérense los cuadriláteros siguientes.
C
B
¿Es ABCD un paralelogramo en todos los casos?
Teorema 8.4
Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes,
entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
PR U EB A
Dado: Cuadrilátero ABCD con
AD z* BC y
AB a? CD.
Pruébese: ABCD es un pralelogramo.
P la n :
Trácese un segmento auxiliar ÁC y
que AABC s ACDA.
8.3
C u a d rilá te ro s q u e so n p a ra le lo g ra m o s
R azones
Afirm aciones
1. A B = CD.
1. D ado.
2. B C = DA.
2. D ado.
3. A C ^ Á C .
3. P ro p ied ad reflexiva.
4. A A B C = s A CDA.
4. P o stulado LLL.
5. Z l s Z 2 .
5. ¿ P o r qué?
6. A B || CD.
6. ¿P or qué?
7. Z 3 s Z 4 .
7. P C T C C .
8. A D || BC.
8. ¿ P o r qué?
9. A B C D es un paralelogram o.
9. D efinición de paralelogram o.
A PLICA CIO N
L a re s p u e s ta a la p r e g u n ta h e c h a al p rin c ip io d e
la se c c ió n e s sí. L o s a s ie n to s s ie m p re e s tá n
p a ra le lo s a la b a r r a tr a n s v e r s a l s u p e r io r d e la
e s tr u c tu r a A B . H a y c u a tr o b a r r a s d e m e ta l
a to r n illa d a s e n lo s p u n to s A , B, C y D , d e fo rm a
q u e A B y C D , y A D y B C tie n e n la m ism a
lo n g itu d . E l te o re m a 8.4 d ic e q u e c u a n d o el
c o lu m p io se b a la n c e a , A B C D s ie m p re es un
p a ra le lo g r a m o y C D es p a r a le la a A B .
L o s d o s te o re m a s sig u ie n te s p r o p o r c io n a n o tr o s m é to d o s
p a r a p r o b a r q u e u n c u a d r ilá te r o es u n p a ra le lo g ra m o .
Teorema 8.5
Teorema 8.6
Si u n c u a d r ilá te r o tie n e u n p a r d e la d o s o p u e s to s p a ra le lo s y
c o n g ru e n te s , e n to n c e s es u n p a ra le lo g ra m o .
Si lo s á n g u lo s o p u e s to s d e u n c u a d r ilá te ro s o n c o n g ru e n te s ,
e n to n c e s el c u a d r ilá te r o es u n p a r a le lo g r a m o .
271
272
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
EJERCICIOS______
A.
C on los teorem as de esta sección, decídase si los cuadriláteros son
o no paralelogram os. L as decisiones deben basarse en las m edidas,
m ás que en la form a de los dibujos.
25 m m
1.
3 cm
2.
17 m m
3.
145“
2 cm i
'
11 m m ,
35“
25 m m
4.
21 m m
21 m m
4 cm
17 mm
6.
25 m m
25 m m
E n los ejercicios 7 a 9, encuéntrese el valor de x que hace que el
cu ad rilátero sea un paralelogram o.
9.
36 m m
36 m m
32 m m
16 cm
16 cm
B.
E n los ejercicios 10 a 12, encuéntrense los valores de x e y que
hacen que A B C D sea u n paralelogram o.
10. A B = 2x + 4, CD = 4x - 20, A D = 2y, B C = y + 5.
,C
11. m /_ A = 2 x — 60, m¿_D = x — 5, A B = 4y + 6,
C D = 6 y - 10.
12. A B = 6x + 30, B C = 2x - 5, C D — 2y — 10, A D = y
13. U n estacionam iento de autom óviles se va a
m arcar p a ra estacio n ar en batería. Se tensa
un a cuerda de A a B con m arcas ca d a 9
pies, X l , X 2, ..., X 6. Se tensa una segunda
cuerda paralela a A B de C a D con m arcas
cada 9 pies, Y„ Y 2, ..., Y6. ¿ P o r qué son
paralelas to d as las líneas pintadas?
- 35.
A
(Ejercicios 10-12)
8.3
C u a d rilá te ro s q u e so n p a ra le lo g ra m o s
D
14. C om plétese la p ru eb a del teorem a 8.5.
15. D ado:
A B C D es u n paralelogram o
B C E F es un paralelogram o.
Pruébese: A D E F es un paralelogram o.
16. Dado:
A B C D es un paralelogram o
E es el p u n to m edio de AD
F es el p u n to m edio de BC.
Pruébese: A F C E es un paralelogram o.
17. D ado:
A B C D es u n p aralelogram o
E, F, G y H son p u n to s m edios
de los lados dados.
Pruébese: E F G H es un paralelogram o.
C
18. D ado:
A B C D es u n pralelogram o
y A E = CF.
Pruébese: B F D E es u n paralelogram o.
19. D ado:
A B C D es u n paralelogram o
E es el p u n to m edio de A B
F es el p u n to m edio de CD.
Pruébese: A E F D es u n paralelogram o.
c.
C
F
20. a. D ado:
A B C D E F es u n hexág o n o regular
m ¿ A F E = 120, OA , OC y OE bisecan a A,
C y E, respectivam ente.
Pruébese: A B C O es un rom bo.
b. ¿Son ro m b o s CDEO y EFAOI
R
273
274
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
21. Pruébese que si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan
unas a otras, entonces el cuad rilátero es un paralelogram o.
22. Pruébese que si los ángulos B y D de un cuadrilátero A B C D
son suplem entarios del ángulo A, entonces A B C D es un
paralelogram o.
A B C D es un paralelogram o
E, F, G y H son p u n to s m edios de los lados.
Pruébese: L a figura A E I H es un paralelogram o.
D.
23. D ado:
24. D ado:
A B C D es un paralelogram o
E, F, G y H son p u n to s m edios de los lados.
Pruébese: L a figura W X Y Z es un paralelogram o.
25. Dado:
A B C D E es un p en tág o n o regular.
Pruébese: L a figura A B C F es un rom bo.
ACTIVIDADES!
T rá c e s e un círculo g ra n d e con c e n tro O y
s íg a n s e la s in stru c c io n e s p a r a c o n stru ir un
p e n tá g o n o reg u lar.
1 . D e n o m ín e se V , a un punto c u a lq u ie ra del
círculo y tr á c e s e u n a p e rp e n d ic u la r 0 6 a
0Vv
_
2. U n a se V, a C, el pun to m edio d e OB.
3. B is é q u e se el á n g u lo OCV, p a r a o b te n e r el
p unto N s o b re O Vr
4. T rá c e s e la p e rp e n d ic u la r a OV, en N y
o b té n g a s e el pun to V3.
El s e g m e n to V,V2 e s un lad o d e un p en tá g o n o
reg u lar.
II.
A
G
c
8.3
C u a d rilá te ro s q u e so n p a ra le lo g ra m o s
275
26. Pruébese que si las diagonales de un p aralelograrao son
congruentes, entonces la figura es un rectángulo.
27. Dado:
A B C D es un cu ad rad o
B E = BC, E F 1 BD.
Pruébese: D E = E F = FC.
28. D ado
E F G H es un p aralelogram o
h d ^ fb, I ê ^ cg .
Pruébese: A B C D es un paralelogram o.
29. U n carp in tero desea tra z a r rectas paralelas
sobre una tabla. E sto puede hacerse usando
d os veces una escuadra de carpintero. Las
dos veces se coloca la escuadra en el m ism o
ángulo con la tabla y se m arcan unidades
iguales. Expliqúese p o r qué este m étodo
asegura que A B será paralela a CD.
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
A
276
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
8.4
El teorem a del
segm ento medio
U n e q u ip o d e a g rim e n s o re s n e c e s ita
c o n o c e r la d is ta n c ia a tr a v é s d e u n e s ta n q u e
g ra n d e . E l e q u ip o elig e u n p u n to c u a lq u ie r a y
d e s d e él m id e n h a s ta c a d a la d o d e l e s ta n q u e .
L o c a liz a n lo s d o s p u n to s q u e e s tá n a m e d io
c a m in o e n tr e la o r illa d e l e s ta n q u e y el p u n to
ele g id o . L a d is ta n c ia e n tr e e s to s p u n to s
m e d io s s e r á la m ita d d e la d is ta n c ia a tra v é s
d e l e s ta n q u e . E l te o r e m a d e e s ta se c c ió n
a y u d a a e x p lic a r el m o tiv o .
E n lo s tr iá n g u lo s sig u ie n te s, D y E s o n p u n to s m ed io s.
L a s m e d id a s d e lo s s e g m e n to s y lo s á n g u lo s s o n la s q u e se d a n .
D a d o q u e: Z E D B =
D E || A C .
\A C .
Z C A B,
Teorema 8.7
O b s é rv e s e q u e : D E = \A B .
D a d o que: ¿ C E D s Z CBA,
D E || A B .
O b sé rv e se qu e: D E = \C B .
D a d o que: ¿ A D E s Z A C B ,
D E || CB.
T eo rem a del segm ento m edio.
E l s e g m e n to q u e u n e lo s p u n to s
m e d io s d e d o s la d o s d e u n tr iá n g u lo es p a ra le lo a l te rc e r la d o y
tie n e la m ita d d e s u lo n g itu d .
DEMOSTRACION
D ado:
C u a lq u ie r A A B C c o n
X c o m o p u n t o m e d io d e A B y
Y c o m o p u n t o m e d io d e A C .
P ru é b e se : X Y \ \ B C y X Y = \ B C
c
P la n : T rá c e s e u n a recta_¿ q u e p a s e p o r C y s e a p a r a le la a AB.
E n to n c e s p r o lo n g ú e s e X Y h a s ta q u e in te rs e q u e a f e n Z .
M u é s tre s e q u e se f o r m a n d o s tr iá n g u lo s c o n g r u e n te s (p a so s 3
a 6). D e s p u é s m u é s tre s e q u e B C Z X e s u n p a r a le lo g r a m o (p a so s
10 a 13).
8.4
Afirm aciones
El te o re m a del s e g m e n to m edio
R azones
1. X es el p u n to m edio de AB.
Y es el p u n to m edio de A C .
1. D ado.
2. La recta t p asa p o £ C y es
paralela a A B , y X Y se prolonga
p a ra form ar A C Y Z .
2. C onstrucción.
3. A Y — YC.
3. Definición de p u n to medio.
4. Z l s Z 2 .
4. Si dos rectas son paralelas,
entonces los ángulos alternos
interiores son congruentes.
5. Z 3 = = Z 4 .
5. ¿ P o r qué?
6. A A X Y =5 A C Z F .
6. P o stulado ALA.
7. X F = Z F.
7. PC T C C .
8. F es el p u n to m edio de X Z.
8. Definición de p u n to medio.
9. X Y = \ X Z .
9. Algebra.
10. C Z = A X .
10. Afirm ación 6 y PC TC C .
11. A X = X B .
11. Definición de p u n to medio.
12. C Z = X B ; C Z || A B .
12. P ro p ied ad transitiva; afirm ación 2.
13. B C Z X es un paralelogram o.
13. Si un cuadrilátero tiene un p a r de
lados opuestos paralelos y
congruentes, entonces es un
paralelogram o.
14. X Y || BC.
14. D efinición de paralelogram o.
15. X Z
15. L os lados opuestos de un
p aralelogram o son congruentes.
BC.
16. X Y = \B C .
16. Sustitución en las afirm aciones
9 y 15.
O b s é rv e s e q u e la c o n c lu s ió n d e l te o re m a p a r te d e las
a firm a c io n e s 14 y 16.
A P L IC A C IO N
El m é to d o d e lo s a g rim e n s o re s es u n a a p lic a c ió n d ir e c ta del
te o re m a 8.7. D a d o q u e U y V s o n lo s p u n to s m e d io s d e Z X
y Z Y , U V = \ X Y , o b ie n X Y = 2 U V .
E l sig u ie n te te o re m a p u e d e p r o b a r s e c o n el te o r e m a 8.7. V éa se el e je rc ic io 33.
T e O re itia
277
8 .8
L o s p u n to s m e d io s d e lo s la d o s d e u n c u a d r ilá te ro s o n lo s
v é rtic e s d e u n p a r a le lo g ra m o .
Y
278
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
EJERCICIOS_____________
A.
E n esta figura, D y E son p u n to s medios.
1. Si A B = 8, entonces D E =
JL.
2. Si A C = 9, entonces A D =
JL.
3. Si B E = 5, entonces B C =
JL
4. Si A B = 15, entonces D E = X .
B
5. Si D E = 17, entonces A B = X .
P a ra los ejercicios 6 a 14, dígase el núm ero (o núm eros) que
falta o escríbase «no se puede determ inar».
6.
7.
8.
En los ejercicios 15 a 17, exactam ente uno de los núm eros, a,
b o c, puede determ inarse. Encuéntrese.
16.
17.
8.4
En el triángulo, M y N son p u n to s medios.
El te o re m a d e l s e g m e n to m e d io
C
18. Si M N = x + 8 y A B = 4x 4- 14, encuéntrense las
longitudes M N y AB.
19. Si A M = x + 5, M C = 2 y + 6, M N = 2x - 5, y
A B = y + 8, encuéntrense las longitudes M N y AB.
E n los ejercicios 20 a 22, empléese el teorem a 8.8 para
determ inar si A B C D es o no un paralelogram o.
20 .
22.
21.
3 ^ ’
II
E n los ejercicios 23 a 26, form úlense p ru eb as a dos colum nas.
23. D ado:
F es el p u n to m edio de A C
D es el pun to m edio de BC
E es el p u n to m edio de AB.
Pruébese: A E D F es un paralelogram o.
24. Dado:
A B C D E F es un hexágono
con A B || D E y
A B = DE
W, X , Y y Z son puntos
m edios de los lados.
Pruébese: W X Y Z es un paralelogram o.
26. Dado:
25. Dado:
A A B C es isósceles con
A B = AC
D es el p u n to m edio de A B
E es el p u n to m edio de CB.
Pruébese: A BD E es isósceles.
A A B C es equilátero
D,
E y F son puntos
m edios de los lados.
Pruébese: A D EF es equilátero.
C
B
(.Sugerencia: Em pléense los segm entos
auxiliares A E y BD.)
279
280
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
27. Dado:
W, X , Y y Z son p u n to s m edios de los lados
del cuadrilátero ABCD.
Pruébese: W Y y X Z se bisecan..
OSugerencia: U tilícense rectas auxiliares.)
B
A B C D es un paralelogram o.
E, F, G y H son p u n to s m edios
de A O , BO, CO y DO,
respectivam ente.
D
Pruébese: E F G H es un paralelogram o.
28. Dado:
c.
L a inform ación que se d a a con tin u ació n es p a ra los ejercicios
29 a 32. L a proposición de cualquiera de estos ejercicios puede
usarse p a ra co m p letar cu alquiera de los ejercicios siguientes.
D ado: A Z y B W son las m edianas de A ABC.
X es el p u n to m edio de A G .
Y es el p u n to m edio de BG.
29. Pruébese q u e W Z || X Y .
30. Pruébese q u e W X Y Z es un paralelogram o.
31. Pruébese que A X = X G = G Z y B Y — YG = GW.
32. Pruébese que el centroide de u n trián g u lo triseca a to d as las
m edianas. E sto es, el centroide divide la m ediana en u n tercio y
d os tercios. (El centroide es el p u n to de intersección de las
m edianas.)
ACTIVIDADES!
T re s de e s to s p o líg o n o s
p u e d e n a c o p la rs e
a lre d e d o r d e un p u n to P
c o m o se m u e s tra e n la
fig u ra .
Con p a p e l v e g e ta l, m u é s tre n s e ta n ta s
fo rm a s c o m o s e a p o s ib le p a ra
O ctágono
A
1 . a c o p la r tr e s p o líg o n o s a lre d e d o r d e u n punto.
2. a c o p la r c u a tro p o líg o n o s a lre d e d o r d e u n punto.
3. a c o p la r c in c o p o líg o n o s a lre d e d o r d e un punto.
C uadrado
Triángulo
equilátero
H exágono
In té n te s e d ib u ja r un d is e ñ o p ro s ig u ie n d o e s te p ro c e s o d e a c o p la m ie n to d e p o líg o n o s .
8.4
El te o re m a d e l s e g m e n to m e d io
281
33. C om plétese la siguiente p ru eb a del
teorem a 8.8.
D ado:
A B C D es un cuad rilátero
cualquiera
W, X , Y y Z son p u n to s m edios
de los lados de ABCD.
Pruébese: W X Y Z es u n paralelogram o.
B
P lan: A ñádanse los segmentos auxiliares
DB, Z W , YX, Z Y y WX. A pliqúese el
teorem a 8.7 a A A B D y a A B C D .
B
J^a siguiente inform ación es p a ra los ejercicios 34 a 36.
Dado:
a. A B C D es un paralelogram o.
b. W, X , Y y Z son los p u n to s m edios
de los lados.
c. C a d a línea de trazos es u n a diagonal
de un polígono.
34- P ruébese q u e W Q Z D es un paralelogram o. U n a dem ostración
sim ilar m o stra rá que A X O W , X B Y O y O Y C Z son
paralelogram os.
(Sugerencia: Pruébese prim ero que A X Z D y W Y C D
son paralelogram os.)
35. Pruébese que A 'B'C ’D' es un paralelogram o.
36. Pruébese que cada lado de A'B'C'D' es p aralelo al lado
correspondiente de A B C D y su longitud es la m itad.
— SO LUCIO N D E PROBLEMAS
En la fig u ra se m u e s tra un c u b o c u y a s a ris ta s m id e n
1 qe lo n g itu d . S u p ó n g a s e q u e lo s p u n to s 6 y D so n
lo s p u n to s m e d io s d e la s a ris ta s m o s tra d a s .
1. M u é s tre s e q u e A B C D e s un ro m b o .
2. E n c u é n tre n s e la s lo n g itu d e s d e lo s la d o s.
3. E n c u é n tre n s e la s lo n g itu d e s d e la s d ia g o n a le s
B D y AC.
(Ejercicios 34-36)
282
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
8.5
Rectángulos, rombos
y cuadrados
R ecuérdese p o r las definiciones de rectángulo,
ro m b o y c u a d ra d o que son tip o s especiales de
p aralelo g ram o s. E stas figuras se p re se n ta n en
u n a g ra n v a rie d a d d e m o n tajes in dustriales.
C o n frecuencia es n ecesario c o m p ro b a r si un
o b jeto es realm en te u n o de estos
p ara le lo g ra m o s especiales. P o r ejem plo, un
a lb añ il d eb e e s ta r seguro d e q u e lo s cim ientos
d e un edificio so n p erfectam ente
rectan g u lares.
E n e s ta secció n se e stu d ia rá la fo rm a de
d e te rm in a r esto s p ara le lo g ra m o s especiales
p o r sus d iagonales.
E sto s p ara le lo g ra m o s tam b ién son
rectán g u lo s.
K
O bsérvese: A C s BD.
O bsérvese: E G = FH.
O bsérvese: I K s í JL.
E stas o b serv acio n es re sp ald an el siguiente teorem a.
Teorema 8.9
U n p a ra le lo g ra m o es u n re ctán g u lo si, y sólo si, sus d iagonales
so n congruentes.
E s n ecesario p ro b a r d o s cosas:
I. Si las d iag o n ales d e un p a ra le lo g ra m o son congruentes, en to n ces el
p a ra le lo g ra m o es u n rectángulo.
II. Si u n p a ra le lo g ra m o es u n rectán g u lo , en to n ces las d iag o n ales son
co n gruentes.
8.5
R e c tá n g u lo s , ro m b o s y c u a d ra d o s
Explicación de l.
D ado: A B C D es u n p aralelo g ram o .
Á C s BD.
P ruébese: AB C D es u n rectán g u lo .
P lan : P ru éb e se q u e A ABD s A BAC, y q u e L A
y L B so n c o n g ru en tes y su p lem en tario s. H ágase
lo m ism o p a r a L C y LD.
D
A
Explicación de II.
D ado: AB C D es u n rectángulo.
Pruébese: Á C s BD.
P lan : P ru éb e se q u e A A B D s ABA C.
E sta p ru e b a se c o m p le ta rá co m o ejercicio
A P L IC A C IO N
L os cim ien to s de h o rm ig ó n d e u n a casa
tien en u n a fo rm a re c ta n g u la r u n p o c o m ay o r
q u e el rectán g u lo d e la casa. E n estos
cim ientos, el c o n tra tis ta d eb e lo caliza r c u a tro
p u n to s, A, B, C y D, q u e serán las esq u in as de
la casa. E sto s c u a tro p u n to s d eb e n localizarse
c o n p recisió n p a r a q u e AB C D sea u n
rectán g u lo perfecto. D esp u és de m e d ir p a ra
h a c e r q u e A B - CD y A D = BC, el p aso
sig u ien te es m e d ir las d iagonales. Si A C =
= BD, en to n ces A B C D es u n rectángulo.
L as p ru e b a s d e lo s d o s teo re m as siguientes se p re s e n ta n en los ejercicios.
Teorema 8.10
U n p a ra le lo g ra m o es u n ro m b o si, y só lo si, sus d iagonales
son p erp en d icu lare s e n tre sí.
Teorema 8.11
U n p a ra le lo g ra m o es u n ro m b o si, y só lo si, c a d a d iag o n al
biseca a u n p a r de án g u lo s opuestos.
283
284
EJERCICIOS_____________________
A.
1. C ítense to d o s los p ares de segm entos
congruentes del rectángulo ABCD.
E n los ejercicios 2 a 4, supóngase que el cu ad rilátero A B C D
se h a deform ado p a ra darle la form a deseada.
C
2. Si A B C D fuera un paralelo g ram o , cítense
to d o s los pares de segm entos congruentes.
3. Si A B C D fuera u n rom bo, cítense todos los
ángulos que deben ser rectos.
4. Si A B C D fuera u n rom bo, cítense to d o s los
ángulos que deben ser congruentes con
LCAB.
U (Ejercicios 2-4)
¿Cuáles de los siguientes paralelogram os serían rectángulos?
(Supóngase que la inform ación p ro p o rcio n ad a es correcta, a pesar
de que la figura p u e d a estar deform ada.)
¿Cuáles de los siguientes paralelogram os serían rom bos?
(Supóngase que la inform ación p ro p o rcio n ad a es correcta, a pesar
de que la figura p u ed a estar deform ada.)
11.
12.
13.
8.5
R e c tá n g u lo s , ro m b o s y c u a d ra d o s
En los ejercicios 14 a 20, decídase si la afirm ación es falsa o
verdadera.
14. T o d o rectángulo es un paralelogram o.
15. T o d o ro m b o es un rectángulo.
16. T o d o cu ad rad o es un rom bo.
17. A lgunos rom bos son cuadrados.
18. A lgunos rom bos son rectángulos que no son cuadrados.
19. Si las diagonales de u n cuad rilátero son congruentes,
entonces la figura es un rectángulo.
20. Las diagonales de u n cu a d ra d o son perpendiculares.
B.
E n los ejercicios 21 a 2 5 , si es posible, dibújese un paralelogram o
que satisfaga las condiciones que indica cada ejercicio. Si n o es
posible, escríbase «no es posible».
21. T o d o s los ángulos congruentes.
22. L as diagonales se bisecan en tre sí.
23. T od o s los lados congruentes con diagonales que n o son
perpendiculares.
24. N o hay ángulos rectos con diagonales congruentes.
25. D iagonales congruentes y perpendiculares.
26. A B C D es un paralelogram o.
A
A B = 2x + 4.
D C = 3x - 11.
A D = x + 19.
M uéstrese que A B C D es un rom bo.
21. A B C D es un rom bo.
m
DEC =
4x + 10.
m L DAB =
3x + 4 .
E ncuéntrese m L A B C .
28. A B C D es un paralelogram o.
A B = 4x C D = 2x +
5. A C = 3x —
23. B D = 2 x +
2.
12.
M uéstrese que A B C D es un rectángulo.
C
285
286
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
29. Dado:
30. Dado:
A B C D es un rectángulo.
Pruébese: A A B O es isósceles.
31. D ado:
32. D ado:
A B C D es un rectángulo
A B C D es un paralelogram o.
Pruébese: A D B E es isósceles.
A B C D es u n cu ad rad o
A H = DG = C F = BE.
Pruébese: E F G H es un cuadrado.
C
W X Y Z es un rom bo
R es el p u n to m edio de W V
T es el p u n to m edio de V Y
S es un p u n to sobre VZ.
Pruébese: A R S T es isósceles.
F
R
(E je rcic io s 3 2 , 33)
33. D ado:
W X Y Z es un rom bo.
Pruébese: W Y y X Z dividen a W X Y Z en cuatro
triángulos congruentes.
34. C om plétese la prueba del teorem a 8.9.
ACTIVIDADES!
S u p ó n g a s e q u e se n e c e s ita d ib u ja r una
ta r je ta co n s ie te c o lu m n a s p a ra un in fo rm e
de e s tu d io s s o c ia le s . L a ta r je ta tie n e 5
p u lg a d a s de a n ch o . A q u í s e m u e s tra c ó m o
h a c e r e s to s in n e c e s id a d d e c á lc u lo s .
1. C o ló q u e s e u n a re g la c o m o s e m u e s tra
en e l d ib u jo y m á rq u e n s e lo s s ie te
p u n to s d e u n a p u lg a d a .
2. T rá c e n s e re c ta s v e rtic a le s p o r c a d a
p u n to , p a ra le la s a los la d o s d e la ta rje ta
(o p e rp e n d ic u la re s al b o rd e in fe rio r).
E x p e rim é n te s e d ib u ja n d o 9 c o lu m n a s e n un
e s p a c io de 7 p u lg a d a s y 4 c o lu m n a s en un
e s p a c io de 5 p u lg a d a s .
8.5
R e c tá n g u lo s , ro m b o s y c u a d ra d o s
35. Se h a rá u n a construcción de 85' x 40'. Las
estacas se colocan com o se m uestra en la
figura y se tensa la cuerda. L as esquinas
exteriores de la construcción serán los
p u n to s en que se cruzan la cuerdas.
a. D espués de ten sar las cuerdas, el
c o n tratista m ide W Y y X Z . ¿ P o r qué?
b. Si W Y es 93 pies y X Z es 94 pies, ¿cómo
deben m overse las estacas E y F p a ra que
W X Y Z sea un rectángulo?
85 pies
G
40 pies
H
c.
W X Y Z es un cu ad rad o
A W = B X = C Y = DZ.
Pruébese: A B C D es u n cuadrado.
36. D ado:
37. D ado:
38. Pruébese el teorem a 8.10.
39. Pruébese el teorem a 8.11.
G
40. D ado:
A B C D es un rom bo
E, F G y H son p u n to s medios.
Pruébese: E F G H es u n rectángulo.
287
A B C D es un cuadrado
A H = DG = C F =J3E.
Pruébese: EG = H F y EG 1 HF.
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
Si el c en tro O d e un cu b o s e u n e a los
v é rtic e s d e u n a c a ra , s e fo rm a una
p irá m id e con b a s e c u a d ra d a .
S u p ó n g a s e q u e la longitud d e u n a
a ris ta del cu b o e s 1.
1. Si 6 e s el c e n tro d e la b a s e
c u a d ra d a , ¿cuál e s la longitud d e 0 6 ?
2. Si A e s el punto m ed io d e una
a ris ta , ¿cuál e s la longitud d e O A?
Si la s p irá m id e s c u a d ra d a s , co m o la q u e s e m u e stra e n la figura,
s e u n en a la s c a r a s d e un cubo, s e fo rm a un só lid o cu y a s c a ra s
s o n ro m b o s.
Cubo con pirámides cuadradas
3. ¿ C u á n ta s c a r a s en fo rm a d e rom bo tie n e e s te só lid o ?
umdas a sus caras'
288
C u a d rilá te ro s y polígonos
8.6
Trapecios
Recuérdese que un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de
lados paralelos. Un ejemplo de trapecio sería el tejado de una casa. En
esta sección se estudiará un teorema sobre trapecios que podría ser útil
en la estimación de los costos de construcción en un proyecto.
E y F son puntos medios.
U y V son puntos medios.
B
Obsérvese que EF = \(A B + CD)
y EF || A B || CD.
Teorema 8.12
y U V || W X || YZ.
El segmento que une los puntos medios de los dos lados no
paralelos de un trapecio es paralelo a las dos bases y tiene una
longitud igual a la semisuma de las longitudes de las bases.
DEMOSTRACION
D a d o : ^ B C D es un trapecio Z)CJ
E es el punto medio
F es el punto medio
P ru é b e se : E F y A B E F y ^
y E F = % A B + CD).
de A D
de BC.
8.6
P la n : P r o lo n g ú e s e A B y D F p a r a e n c o n tr a r
G. D e sp u é s, p ru é b e s e q u e F es el p u n to
m e d io d e D G y u tilíc e se el te o r e m a del
s e g m e n to m e d io .
A firm aciones
T ra p e c io s
A,
R azones
1. P ro lo n g a r A B .
1. C onstrucción.
2. D ib u ja r a D ? intersecando
2. C onstrucción.
a  B en G.
3. D C II Â B .
3. Definición de trapecio.
4. L B G F s L C D F.
4. ¿P or qué?
5. C F ^ B F .
5. ¿ P o r qué?
6. L B F G 3 LD F C .
6. ¿P or qué?
7. L B F G ^ A C F D .
7. ¿ P o r qué?
8. D F ^ G F .
8. ¿ P o r qué?
9. F es el p u n to m edio de DG.
9. ¿ P o r qué?
10. ËF || Â B y ÊF || DC.
10. T eorem a del segm ento m edi
S ó lo re s ta d e m o s tr a r q u e E F = \ { A B + CD). E s ta p r u e b a se c o m p le ta rá
e n u n ejercicio .
U
APLICA CIO N
Al e s tim a r lo s c o s to s d e c o n s tr u c c ió n d e u n te ja d o , d e b e
c a lc u la rs e el á r e a d e l tra p e c io . E s ta á r e a es ig u a l a l á r e a del
re c tá n g u lo A B C D . P o r el te o r e m a 8.12, X Y = j ( R S + T U ) , y
el á r e a ( A B C D ) = h ( X Y ) = %h(RS + T U )
E l sig u ie n te te o r e m a e s ta b le c e p r o p ie d a d e s d e u n a c lase e sp e c ia l d e tra p e c io s.
D
L
\
B
A D = BC
A D y B C s o n la d o s n o
p a ra le lo s . L A y L B ju n to s se
lla m a n án g u lo s de la base. L C y
L D s o n o t r o p a r d e á n g u lo s de
la b ase.
Definición 8.6
U n trapecio isósceles es un
trapecio con lados
congruentes no paralelos.
L a d e m o s tr a c ió n d e e ste te o re m a se d e ja p a r a lo s e jercic io s 13 y 15.
Teorema 8.13.
E n u n tra p e c io isó sceles, los á n g u lo s d e la b a s e y las
d ia g o n a le s s o n c o n g ru e n te s .
289
290
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
EJERCICIOS_________ _______________
A.
E n los ejercicios I a 9, la línea de trazos une los puntos m edios de
dos lados no paralelos de un trapecio. Encuéntrese el valor de x.
1.
24
2.
28
43
44
41
5.
24.6
7.
28
16
8.
27
2x
B,
10 pies
10. U n a presa se construye con una sección
transversal trapecial, con una longitud de
10 pies en la p arte superior y de 38 pies
en la base. ¿Cuál es la anchura prom edio
A B de una presa?
38 pies
ACTIVIDADES!
La fig u ra m u e s tra un p o líg o n o q u e s e fo rm a
u n ie n d o p o r la s a ris ta s c o m u n e s c u a tro c o p ia s
c o n g ru e n te s d e l p a ra le lo g ra m o dado.
D ib ú je n s e p o r lo m e n o s nu e ve p o líg o n o s de
d ife re n te s fo rm a s co n e s te m é to d o o u n ie n d o
c u a tro c o p ia s d e l p a ra le lo g ra m o dado.
*
*
i / ■
~7~
/
~ r
/
•
•
•
8.6
11. D ado:
12. Dado:
13. D ado:
A B C D es un_trapecio isósceles
con A B || CD.
Pruébese: A C = BD.
14. D ado:
A B C D es un trapecio isósceles
con A B || CD.
Pruébese: L A = L B .
(,Sugerencia: C onstruyase una_recta que
pase p o r D, y sea paralela a B C )
16. Dado:
A B C D es un trapecio con
A B || CD. P está sobre CD, de
m an era que A P biseca a L A .
Pruébese: A A PD es isósceles.
T ra p e c io s
A B C D es u n trapecio con
A B || CD. AD s BC,
A C y BD se intersecan en E.
Pruébese: A CD E es isósceles.
A B C D es u n trapecio con
A B || C D j A E s BE.
Pruébese: A D = BC.
C.
15. Dado:
A
Ai4J3C_es isósceles con
AB ^ A C , L A E D ^ L B .
Pruébese: B C D E es u n trapecio con
BE s CD.
A
B
SOLUCION D E PROBLEMAS
1. D ib ú je s e un h e x á g o n o re g u la r. ¿Puede re c o rta rs e p a ra
fo rm a r:
a. 6 triá n g u lo s e q u ilá te ro s ?
b. 2 tra p e c io s is ó s c e le s ?
c. 3 ro m b o s c o n g ru e n te s ?
2. D ib ú je n s e d o s h e x á g o n o s re g u la re s . ¿ P ueden c o rta rs e
p a ra fo r m a r triá n g u lo s e q u ilá te ro s ?
3. D ib ú je s e un triá n g u lo e q u ilá te ro . ¿P uede c o rta rs e e n 3
fig u ra s c o n g ru e n te s d e 5 la d o s?
(S u g e re n c ia : E m p lé e s e u n a fig u ra Y e n e l c e n tro .)
291
292
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
8.7
Los ángulos
de un polígono
E n la s a c tiv id a d e s d e la p á g in a 2 8 0 se p id e
b u s c a r c o m b in a c io n e s d e p o líg o n o s re g u la re s
q u e p u e d a n a c o p la rs e a lr e d e d o r del p u n to P.
L a s m e d id a s d e lo s á n g u lo s d e lo s v é rtic e s d e lo s p o líg o n o s d e te rm in a n si
re a lm e n te se a c o p la n o no.
P rim e r o , se p r e g u n ta c u á l es la s u m a d e lo s á n g u lo s d e u n p o líg o n o .
P a r a r e s p o n d e r a e s to , se tr a z a n d ia g o n a le s d e s d e u n v é rtic e del p o líg o n o
p a r a f o r m a r triá n g u lo s .
E n c a d a u n o d e e s to s c a so s, la s u m a d e la s m e d id a s d e lo s á n g u lo s del
p o líg o n o e s la s u m a d e la s m e d id a s d e lo s á n g u lo s d e lo s triá n g u lo s . E s ta
o b s e rv a c ió n p ro d u c e la s ig u ie n te ta b la .
N ú m e ro
d e la d o s
N ú m e ro
de triá n g u lo s
S u m a d e las m e d id a s
d e los á n g u lo s
c u a d rilá te ro
4
2
2(180=) = 360°
p e n tá g o n o
5
3
3 (1 8 0 5) = 540°
hexágono
6
4
4 (1 8 0 °) = 720°
n -g o n o
n
P o líg o n o
n -
2
(n -
2)180°
8.7
L o s á n g u lo s d e un p o líg o n o
E l r a z o n a m ie n to in d u c tiv o p r e s e n ta d o e n la t a b l a su g ie re e s to s d o s
te o re m a s.
Teorema 8.14
Teorema 8.15
L a s u m a d e lo s á n g u lo s d e u n p o lig o n o c o n v e x o de
n la d o s e s (n — 2) 180°.
L a m e d id a d e u n á n g u lo d e u n p o líg o n o r e g u la r d e n la d o s
in — 2)
e s - -------- - 180°.
APLICACIO N
U n a r tis ta q u e t r a b a j a e n u n m o s a ic o p o d r ía
p r e g u n ta r s e q u é c o m b in a c io n e s d e tre s o c u a tr o
d e e sto s p o líg o n o s r e g u la re s se p o d r á n a c o p la r
a lre d e d o r d e u n p u n to s e g ú n se m u e s tr a al
p rin c ip io d e la secció n .
P aso 1 Em pléese el teorem a 8.15 p a ra e n co n trar !a
m edida de los ángulos de cada u n o de estos
polígonos regulares.
Paso 2 M ediante p ru eb a y error, hállense
com binaciones de los núm eros en co n trad o s en
el paso 1 cuya sum a sea 360°.
C o n s id é re s e el p e n tá g o n o q u e se p re s e n ta a c o n tin u a c ió n . U n á n g u lo
e x te rio r d e c a d a v é rtic e tie n e u n a m a rc a . S i se c o r ta n e sto s á n g u lo s
e x te rio re s y se c o lo c a n a lr e d e d o r d e u n p u n to , se o b s e rv a q u e s u m a n
3 6 0 “.
Teorema 8.16
L a s u m a d e la s m e d id a s d e lo s á n g u lo s e x te rio re s d e u n
p o líg o n o , u n o e n c a d a v értic e, es 360°.
293
294
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
EJERCICIOS______
A.
E n los ejercicios 1 a 3, se p ro p o rcio n a el núm ero de lados de un
polígono convexo. ¿En cu án to s triángulos dividen al polígono
las diagonales tra z a d a s desde uno de sus vértices?
1. 10.
2. 25.
3. x.
En los ejercicios 4 a 9, se p ro p o rcio n a el núm ero de lados de un
polígono convexo. E ncuéntrese la sum a de las m edidas de los
ángulos de los polígonos.
4. 6.
5. 12.
6. 24.
7. 36.
8. 100.
9. p.
E n los ejercicios 10 a 15, se p ro p o rcio n a la sum a de las m edidas
de los ángulos interiores. E ncuéntrese el núm ero de lados del
polígono.
10. 7020°.
11. 1980°.
12. 6120°.
13. 1800°.
14. 1260o-
15. 3420“.
En los ejercicios 16 a 21, se p ro p o rcio n a el n ú m ero de lados de
un polígono regular. E ncuéntrese la m edida del ángulo del
vértice del polígono.
16. 7.
17. 9.
18. 10-
19. 15.
20. 20-
21. 100.
ACTIVIDADES
1. C on u na re g la y un tra n s p o rta d o r,
d ib ú je s e un d o d e c á g o n o re g u la r
c o n a ris ta s de 3 c m d e lo n g itu d .
2. C on u na re g la y un tra n s p o rta d o r,
d ib ú je s e un p o líg o n o re g u la r d e 15
la d o s c o n a ris ta s d e 3 cm de
lo n g itu d .
dodecágono
8.7
L o s á n g u lo s d e un p o líg o n o
295
B.
22. L a sum a de las m edidas de siete ángulos de u n octágono es 1000°.
¿Cuál es la m edida del octavo ángulo?
23. ¿Cuáles son las m edidas de los ángulos exteriores de un octágono
regular y de un d o d ecágono regular?
24. ¿C uántos lados tiene u n polígono regular si cada ángulo exterior
m ide 15”? ¿C uántos lados ten d ría si ca d a ángulo exterior m idiera
18o?
25. ¿C uántos lados tiene un polígono regular si cada ángulo interior
m ide IOS1'? ¿C uántos lados tendría si ca d a ángulo interior m idiera
144o?
26. M uéstrese que d os p en tág o n o s regulares y u n decágono regular
p ueden acoplarse alred ed o r de un p u n to . (Véase la aplicación.)
27. M uéstrese que u n trián g u lo equilátero, un heptágono
regular y un polígono regular de 42 lados pueden
acoplarse alreded o r de un punto.
c.
28. E ncuéntrese el núm ero de lados de u n polígono si la sum a
de sus ángulos interiores es el doble que ia sum a
de sus ángulos exteriores.
29. E n un o ctágono reg u lar se en cuentra inscrito un polígono
con form a de estrella. E ncuéntrese m ¿ A B C . Pruébese que
la respuesta es correcta.
30. Pruébese que A B || DE.
SO LUCIO N DE
En un a p la ca d e a c e ro s e va n a ta la d ra r u n o s a g u je ro s co m o
s e m u e s tra en la fig u ra .
(Ejercic¡os 2„ 30)
296
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
Capítulo 8
Conceptos im portantes
Térm inos
T rapecio (pág. 261)
P aralelo g ram o (pág. 261)
R ectángulo (pág. 261)
R o m b o (pág. 261)
C u a d ra d o (pág. 261)
T rapecio isósceles (pág. 289)
Teoremas
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
8.15
Los ángulos o puestos de un p aralelogram o son congruentes.
L os lados o puestos de un p aralelogram o son congruentes.
L os pares de ángulos adyacentes de un p aralelogram o son
ángulos suplem entarios.
Si los lados o puestos de un cuadrilátero son congruentes,
entonces el cu ad rilátero es un paralelogram o.
Si un cu ad rilátero tiene un p a r de lados o puestos paralelos y
congruentes, entonces es u n paralelogram o.
Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes,
entonces el cu ad rilátero es un paralelogram o.
T eorem a del segm ento medio. El segm ento que une los puntos
m edios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado
y tiene la m itad de su longitud.
Los p u n to s m edios de los lados de un cu ad rilátero son los
vértices de un paralelogram o.
U n p aralelogram o es un rectángulo si, y sólo si, sus diagonales
son congruentes.
U n p aralelogram o es un ro m b o si, y sólo si, sus diagonales son
perpendiculares en tre sí.
U n p aralelogram o es un ro m b o si, y sólo si, cada diagonal
biseca a un p a r de ángulos opuestos.
El segm ento que une los p u n to s m edios de los dos lados no
paralelos de u n trapecio es p aralelo a las dos bases y tiene una
lo n g itu d igual a la sem isum a de las longitudes de las bases.
E n u n trapecio isósceles, los ángulos de la base y las diagonales
son congruentes.
L a sum a de las m edidas de los ángulos de un polígono
convexo de n lados es (n — 2)180°.
La m edida de un áng u lo de un polígono regular de n lados es
n
8.16 La sum a de las m edidas de los ángulos exteriores de un
polígono, uno en ca d a vértice, es 360°.
C a p ítu lo 8
Capítulo 8
R esum en
Resumen
1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.
a. Si las diagonales de u n paralelogram o son congruentes,
entonces la figura debe ser u n rectángulo.
b. Si las diagonales de un p aralelogram o son perpendiculares,
entonces la figura debe ser un cuadrado.
c. Si una figura es un cuad rad o , entonces debe ser un rom bo.
d. Si las diagonales de un trapecio son congruentes, entonces la
figura es un paralelogram o.
2. Supóngase que A B C D es un paralelogram o, m L B = 110
y m ¿ 2 = 30. E ncuéntrese m L 4.
3. Dado:
L a figura A B C D es un paralelogram o
E F || D A , E F £ DA.
Pruébese: L a figura B C E F es un
paralelogram o.
¿)
4. Dado:
L a figura B C D E es un rom bo.
£ es el p u n to m edio de A B , m¿L 1 = 60.
Pruébese: L a figura A B C D es un trapecio
isósceles.
E B C D es un paralelogram o,
m L 1 = m í 14.
Pruébese: A D = DE.
5. Dado:
B
(Ejercicios 4, 5)
6. Supóngase que E, F, G y H son p u n to s m edios. Si
m¿. 1 = 30 y m L 2 = 50, encuéntrese m L E F G .
7. Supóngase que E, F , G y H son p u n to s m edios. Si A C = 12 y
BD = 8, encuéntrese E F + FG + G H + EH.
8. E ncuéntrese la m edida de cada ángulo de un d o d ecágono regular.
9. Si c u atro ángulos de un p entágono m iden 100°, 70°, 150° y 120°,
encuéntrese la m edida del q u in to ángulo.
10. Supóngase que A B C D es u n rectángulo. Si A D = 5 y CD = 12,
encuéntrese B X .
C
B
A
F
D
297
298
C u a d rilá te ro s y p o líg o n o s
Capítulo 8
Examen
1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.
a. Si u n cuadrilátero tiene un p a r de lados congruentes, entonces
es u n p aralelogram o.
v/
b. Si u n cu ad rilátero tiene diagonales congruentes, entonces debe
ser u n rectángulo.
c. L a sum a de los ángulos exteriores de u n p entágono regular es
360°.
V
d. Si un p aralelogram o tiene un ángulo recto, es un rectángulo.
2. A B C D es un trapecio. M y N son p u n to s m edios. AD = 6
y M N — 10. E ncuéntrese BC.
(Ejercicio 2)
3. Supóngase que D, E y F son puntos
m edios. Si A B = 4, A C = 5 y B C = 6,
encuéntrese D E + E F + DF.
4. D ado:
A A B C es equilátero
D, E y F son p u n to s medios.
Pruébese:' A D E F es equilátero.
£
(Ejercicios 3, 4)
5. P Q R S es u n paralelogram o. Si m /L P = 4x + 20 y
m L Q = x + 10, encuéntrese m /-P .
6. S i m Z l + m ¿ 2 + m ¿ 3 + m ¿ 4 + m ¿ 5 = 290, encuéntrese m L 6.
7. Si ca d a ángulo de un polígono regular m ide 156°, ¿cuántos
lados tiene el polígono?
8. D ado:
AD = D B y A E = EC
A F = FD y A G = GE.
Pruébese: FG || BC.
9. L as figuras siguientes son d os rectángulos
solapados. E ncuéntrese la sum a a + b + c + d.
(Ejercicio 8)
R e p a so d e á lg e b ra
Repaso de álgebra
Despéjese x en las siguientes proporciones.
.
x
6
‘ 2 “ 3'
2.
A x - 3 _ 4 -X
4‘
6
-5 ’
5.
- 2x — 3
72
8.
5x
6 ’
3 _ 6
4
x
5
5x
x + 60
6
x - 2
x + 5
6
20'
21
3.
x
x - 2
6.
x
3
9.
x + 2
1
5
“ x - 2'
15
4
x - 1
Resuélvanse los siguientes sistemas.
O
rr)
II
S
O
x = —2 y — 10.
3x + 2y = - 3 .
16. x + 2y - 4 = 0
1 X _ 13y _ 10 = 0.
z
2x - l y = - 20.
17.
|
3x + 2 ( y - 1) = - 2 6 .
15. 2x + 3» + 3 = 0
14. 5x + 8^ = 1
K>|u>
H
II
13. 2x + 5j> = 7
12. 2(x - 2) + y = - 1 8
11. y = 3x — 5
8x —
+ 25 = 0.
n —2
A
18. m ------- -— — 0
í+ f ? = 2
8^ = 3p + 4.
0.2m + 0.3« = 5.
19. V x - 9 = 0.
20. V x + 4 = 5.
21. V x + 2 + 4 = 7.
22. V x 2 - 9 = 4.
23. \ / 2 + x = 0.
24. V x + 4 = V x - 2.
Despéjese x.
Despéjese x.
25. (x + 2)(x - 5) = 0.
26. (2x + 5)(3x -
28. (x - 4 )2 = 9.
29. x 2 - x -
1) = 0.
12 = 0.
27. x 2 — lOx + 25 = 0.
30. 4x 2 — 9 = 0.
Resuélvase.
31. Las m edidas de los ángulos de un
triángulo están en una razó n 2:3:5.
E ncuéntrense las m edidas de los ángulos.
32. El perím etro de un rectángulo es 160. Si
la razón entre la an ch u ra y la
longitud es 7:9, encuéntrense las
dim ensiones del rectángulo.
299
W WSRSSm© MOTÍD®
Arquitectura: El rectángulo áureo
El rectángulo áureo fue considerado p o r los
griegos de la antigüedad com o u n a de las figuras
geom étricas m ás herm osam ente proporcionadas.
D u ran te siglos, los arquitectos utilizaron esta
figura en la planeación de tem plos, rascacielos y
edificios de todo tipo.
L os griegos construyeron el P arte n ó n de
A tenas en el siglo V antes de C. El rectángulo que
com prende la fachada delantera es u n rectángulo
áureo.
El rectángulo áureo es u n rectángulo tal que si se corta un cuad rad o unitario en
un extrem o, los lados del rectángulo resu ltan te estarán en la m ism a p ro p o rció n que
los del rectángulo original. D a d o que las proporciones entre pares de lados
correspondientes al rectángulo gran d e y al peq u eñ o (AB C D y EBCF) son iguales,
puede usarse esta p roporción
1 + a _ J_
1
a
y calcular la longitud del lad o m ás larg o del rectángulo áureo de an ch u ra uno.
Encuéntrese esta longitud.
R e c tá n g u lo á u re o
300
Construcción de un rectángulo áureo
C o n el com pás y una regla, síganse las instrucciones p a ra construir un
rectángulo áureo.
P aso 1 C onstrúyase un c u a d ra d o u n itario ABCD.
1
1
T
i
>
-------- 1
-------o
B
Paso 2 C onstrúyase el p u n to m edio del lad o AD.
C on M com o centro y M C com o radio,
dibújese un arco que interseque a A D en E.
*
/ \
\
\
V
M
A
L)
í E
>/
ys
P aso 3 C onstrúyase E F 1 A E y com plétese el
rectángulo áureo A B F E .
301
C A P IT U LO
9.1
P r o p o r c io n e s
9 .2
T e o r e m a f u n d a m e n ta l d e la p r o p o r c io n a lid a d
304
9.3
Polígonos sem ejantes
9.4
El p o s tu la d o d e la s e m e ja n z a A A A
9 .5
T r iá n g u lo s r e c t á n g u lo s y t r iá n g u lo s s e m e ja n te s
9.6
T e o r e m a s d e la s e m e ja n z a LL.L y L A L
9.7
R a z o n e s t r ig o n o m é t r ic a s ; u n a a p lic a c ió n d e lo s
t r iá n g u lo s s e m e ja n te s
9.8
312
316
330
336
R esum en
T é c n ic a s p a ra la s olució n de p ro b lem as
Trabájese hacia atrás
322
326 .
R a z o n e s t r ig o n o m é t r ic a s d e á n g u lo s e s p e c ia le s
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
308
339
337
334
E xam en
338
Semejanza
303
304
S e m e ja n z a
9.1
Proporciones
E n este c a p ítu lo se e stu d ia rá n p o líg o n o s que
tienen la m ism a form a, p ero n o necesariam ente
el m ism o ta m a ñ o . E n esta fo to g rafía hay
m u ch o s trián g u lo s q u e tienen la m ism a
form a.
L a idea de la « m ism a fo rm a» a p a rec e en las am p liacio n es o
red u ccio n es. C o n sid é ren se las fotografías siguientes.
5 cm
10 cm
4 cm
8 cm
A m b as so n fo to g rafías de u n m ism o o b jeto , p ero u n a es m ás g ra n d e que
la o tra . L as fo to g rafías tienen la «m ism a form a». Si se c o m p a ra n las
ra zo n es e n tre el an c h o y el larg o de c a d a foto, se o b serv a q u e las razo n es
so n iguales.
4 cm _
5 cm
8 cm
10 cm
E sta ec u ació n se d e n o m in a proporción,
p o rq u e se co m p o n e de d o s ra zo n es iguales, f
\r
y
JL
io -
Definición 9.1
U n a proporción es u n a igualdad entre dos
a c
razones. Las razones - y - son proporcionales ;
b d
a
c
- = -.b * 0 ,d ¿ 0 .
b
a
(Es im p o rta n te re c o rd a r q u e u n d e n o m in a d o r n o pu ed e ser ig u al a cero.)
E n e s ta sección se re p a s a rá n alg u n as p ro p ie d a d e s alg eb raicas de las
p ro p o rcio n es. L as p ru e b a s de esto s teo rem as se om iten, p e ro to d o s van
p reced id o s d e u n ejem plo num érico.
9.1
Ejemplo 1
E n u n a p ro p o rc ió n , los p ro d u c to s cru z a d o s so n iguales.
fXf
Teorema 9.1
Ejemplo 2
ó
= 2 X 8
sí j
b
E n u n a p ro p o rc ió n , p u ed e añ a d irse 1 a am b o s lados.
Si — = — , en to n ces — + — = — + —
3 4 ’
3
3 4
4
Teorema 9.2
Ejemplo 3
4 X 4
ó
S i -u =
e n to n c e s —
b
d
b
= i l + l.
4
3
= —
.
d
E n u n a p ro p o rc ió n , p u ed e re sta rse 1 de am b o s lados.
9
12
9
3
— = — , e n to n c e s ---------3
4 ’
3 3
Teorema 9.3
1?
Si \
b
| e n to n c e s —
d
b
Ejemplo 4
9
Si y
Ejemplo 5
9
12
Si 9 x 4 = 3 x 1 2 , en to n ces - = — .
3
4
= — >en to n ces
Teorema 9.5
=
d
q
— = -J.
a
q
Si a x d = b x c, e n to n c e s - =
b
d
P ro p o rc io n e s
305
306
S e m e ja n z a
EJERCICIOS
A.
4
12
1. D ad o q u e - = — , ¿cuál de los teorem as se usa p a ra concluir
los casos siguientes?
a.
_4 = _5_
12
15'
.9 _ _
c.
5 _ 15'
27
15
, _ ,
AD
AE
z. Supóngase que — =
¿Q ué teorem a se usa para
JJ d
Ej C
A
concluir los casos siguientes?
a.
A D - DB
DB
A E - EC
EC
c.
A D + DB
DB
A E + EC
EC
‘
b.
A D _ DB
AE ~ EC'
C
3. Em pléense el teorem a 9.5 y los siguientes p ro ductos p a ra form ar proporciones,
a.
3
x
4
=
2
X
6.
b.
c .2 -M N = 3 -X Y .
V
2
X
\/3
=
1x
d . A B ■ C D = E F ■GH.
4. Em pléese el teorem a 9.1 p a ra despejar x en las siguientes proporciones.
a
5
= I ,
25
6
18
c.
x —4
_3
4'
B.
5. Form úlese la co n trarrecip ro ca del teorem a 9.1. Empléese esta contrarrecíproca
p a ra m o stra r que las siguientes ecuaciones n o son proporciones.
12
a. —
13
—
i ! b> 23 = 31_
14'
'3 3
p
41
V 2+1
\/ 3
\/3 + 1
ACTIVIDADES!
A e s te d ib u jo se le s o b re p u s o u n a c u a d ríc u la de
1 c m 2. D ib ú je s e un a c o p ia m á s g ra n d e del
d ib u jo co n u n a c u a d ríc u la d e 2 c m 2.
9.1
6. L as m edidas de d os ángulos com plem entarios está n en una
razó n de f . E ncuéntrense las m edidas de los ángulos.
7. Si d os calculadoras cuestan 28 dólares, ¿cuánto costarán
cinco calculadoras?
8. D o s n úm eros están en la razó n de 2:3. ¿Cuál es la razón de
sus cuadrados?
9. L as m edidas de d os ángulos suplem entarios están en la razón
de f . E ncuéntrense las m edidas de los ángulos.
10. U n segm ento de 56 cm se divide en u n a razó n de 3 a 5.
E ncuéntrese la longitud de los dos segmentos.
11. U n a fotografía de 5 x 7 se am plía en u n factor de f . ¿C uál es
el tam añ o de la am pliación?
12. L as áreas de dos trián g u lo s están en u n a razón de 4 a 9. El
trián g u lo m ás oequeño tiene un área de 50 cm 2. E ncuéntrese
el área del trián g u lo grande.
c.
-3
x —
13. D espéjese x en la proporción.
_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS.
1 . C on u n a re g la y la e s c a la q u e se
p ro p o rc io n a , e n c u é n tre s e la d is ta n c ia
re a l de n o rte a s u r y d e e s te a o e ste
d e la c o n s tru c c ió n .
2. E s c ríb a n s e la s p ro p o rc io n e s
e m p le a d a s en la s o lu c ió n del
p ro b le m a 1.
3. S i to d a s la s p a re d e s , d e s d e A
h a s ta F, p a rtie n d o h a c ia e l n o rte
a lre d e d o r de la c o n s tru c c ió n , se
v a c ia ro n en h o rm ig ó n y este
v a c ia d o c o s tó 20 d ó la re s pie,
e s tím e s e e l c o s to to ta l d e l v a c ia d o .
P L A N O D E U N P IS O
0*4* 8 '
I f l *________ 3 2 ’
E S C A L A E N P IE S
P ro p o rc io n e s
307
308
S e m e ja n z a
9.2
Teorema fundam ental de la
proporcionalidad
E l in s tr u m e n to a r tic u la d o lla m a d o
p a n tó g r a f o es ú til p a r a lo s d is e ñ a d o re s y
o tr a s p e r s o n a s q u e n e c e site n a m p lia r o
re d u c ir d ib u jo s c o m o se m u e s tr a e n la
fo to g ra fía . E l p a n tó g r a f o se c o lo c a s o b re u n a
s u p e rfic ie p la n a y se fija la p u n t a P . C u a n d o
la p u n ta D sig u e lo s d e ta lle s d el d ib u jo
o rig in a l, el lá p iz E r e p r o d u c e la fig u ra
a m p lia d a . E l p a n tó g ra f o se b a s a e n el
te o r e m a d e e s ta sección.
E n los tr iá n g u lo s sig u ie n te s, se tr a z ó u n s e g m e n to p a r a le lo a u n la d o del
triá n g u lo
M N || B C
Z 7 ¡l D E
S R II G H
A
K
M
i r
i
X
E
C
B
^
ii
d
AM
MB
II
►
—
O b sé rv e s e q u e
EX.
i
FX
XD
2 ’ YE
_1_
25
IS = 3
IR
SG
1’ RH
o
AM
MB
_ AN_
NC '
FX
XD
FY
YE'
IS
SG
IR
RH'
E sta s o b s e rv a c io n e s se re s u m e n e n el te o r e m a sig u ien te.
Teorema 9-6
Si u n a r e c ta p a r a le la a u n la d o d e u n tr iá n g u lo in te rs e c a a los
o tr o s d o s la d o s , e n to n c e s d iv id e a é s to s p ro p o r c io n a lm e n te .
9.2
T e o re m a fu n d am en tal d e la p ro p o rcio n alid ad
21-
E n c u é n tre s e F J e n la fig u ra si G F || K J .
E n e s ta fig u ra , M N || D E .
E n c u é n tre s e N E .
p o r ta n to ,
o b ie n
-
fa
Ejemplo 1
P o r el te o re m a 9.6,
309
*=
CN
CM
MD
P o r el te o re m a 9.6,
N E’
KH
=
FJ
JH ’
2 _
3
X
6 —x ’
3 _ 4
!
5
X
3.x- = 12 -
3 x = 20 ,
5 x = 12,
x =
20
3 ’
o b ie n
x =
2x,
12
~5~'
A P L IC A C IO N
1. U n p a n tó g r a f o se c o n s tr u y e d e m a n e ra
q u e A B = C D , A D = B C , y P , D y £ so n
co lin e a le s. A sí, p o r el te o r e m a 8.4, se p u e d e
c o n c lu ir q u e A B C D es u n p a ra le lo g ra m o .
2. D a d o q u e A B C D es u n p a r a le lo g r a m o ,
A D || B E e n A P B E . P o r ta n to , p o r el
te o re m a 9.6, se p u e d e c o n c lu ir q u e la
- PD ■
•
, ,
r a z ó n — s ie m p re e s c o n s ta n te e ig u a l a la
, PA
ra z ó n ——.
AB
E s te h e c h o a y u d a a e x p lic a r el f u n c io n a m ie n to d e l p a n tó g r a fo .
L a r e c íp ro c a d e l te o r e m a 9.6 ta m b ié n e s v e r d a d y se e n u n c ia a c o n tin u a c ió n .
Teorema 9.7
Si u n a r e c ta in te rs e c a a d o s la d o s d e u n tr iá n g u lo y lo s
d iv id e p ro p o r c io n a lm e n te , e n to n c e s la re c ta es p a r a le la al
te rc e r la d o .
310
S e m e ja n z a
EJERCICIOS
1. Supóngase q u e DE || BC. Indíquese si lo siguiente es
falso o verdadero.
a. A D _ A E
DB
EC'
.
AB
' AD
AC
AE'
c. A B _ A C
DB
EC'
d. A D
AE
EC
BD
e.
AD
AE
AB
AC'
f.
AD
AB - AD
AE
A C - EC'
(Ejercicios 1, 2)
2. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.
r)D
a - Si
——
entonces D E || BC.
,
DB
EC
—
—
b - Si
= - j - p , entonces D E || BC.
__ __
• AB
AC
c* Si
= - q g , entonces D E || BC.
e. Si
DB
A B -D B
EC
A C -E C
d’
entonces D E || B C .
f. Si
=
AD
E n los ejercicios 3 a 8, despéjese x. Supóngase q u e las rectas que
parecen paralelas lo son.
20
16'
ACTIVIDADES1
P a ra e s ta activ id ad s e n e c e s ita rá n tira s d e c a rtu lin a o d e
m a d e ra d e 30 cm o m á s d e la rg o y a lg u n o s su je ta d o re s.
1. C o n s tru y a s e un p an tó g ra fo u n ien d o la s tira s d e
m a n e ra q u e A B = PC y A P = BC.
2. E m p lé e se el p an tó g rafo p a r a a m p lia r a lg u n a figura.
entonces D E || BC.
DB =
AE
-, entonces D E II BC.
9.2
T e o re m a fu n d a m e n ta l d e la p ro p o rc io n a lid a d
B.
9. D ado:
R S || Z X , R X || TS.
Pruébese: I X = * L .
RT
RZ
10. D ado:
A B C D es un trapecio
B
É F \ \ A B , E F || DC.
Pruébese: A E
ED
BF
FC'
D‘
(.Sugerencia: T rácese BD. C onsidérense A A B D y ABC D.)
11. Dado:
A B C D es un trapecio
E F \ \ A B , E F || DC,
§
\ BC
Encuéntrense: B F y FC.
12. D ado:
A B C D es un trapecio
(E jercicio s 11, 12)
E F \ \ A B , E F || DC,
Ü
= { , A D = 8 , B C = 12.
Encuéntrense: AE, ED, BF, FC.
13. En este pantógrafo, P A = 8 cm y A B = 24 cm. Si la punta
D traza un segm ento de 14 cm, ¿cuál es la longitud del
segm ento que se d ib u ja en £?
14. Dado:
Pruébese:
A A B C , m Z l = m Z 2.
BD _ AB
DC
AC'
(Indicación: C onstruyanse FB || AD.)
16. Dado:
A C = 15, B C = 18.
Encuéntrense: BD y DC.
(Indicación: Véase Ejercicio 14.)
A A B C , m/L \ = m Z 2 .
BD
Pruébese: n / ”
DC
AB
AúCí ’'
----------D
B
(Indicación: Em pléese el teorem a fundam ental de la pro p o rcio n alid ad y u n a recta auxiliar.)
— SO LUCIO N D E PROBLEMAS.
En e s ta p irá m id e p e n ta g o n a l,
W X \\B C , X Y || CD, YZ \\ DE. y AW = 2, WB = 3, AE = 6
E n c u é n tre n se A Z y ZE.
280075
311
312
S e m e ja n z a
9.3
Polígonos semejantes
C o n fre c u e n c ia , lo s d is e ñ a d o re s in d u s tr ia le s c o n s tru y e n m o d e lo s de
p ro y e c to s q u e lu e g o se f a b r ic a r á n e n ta m a ñ o n a tu r a l. El m o d e lo d e l
a e r o p la n o tie n e la m is m a fo rm a q u e el a v ió n rea l.
E n e s ta se c c ió n se t r a t a r á n lo s p o líg o n o s y se d e s c rib ir á lo q u e
sig n ific a idéntica fo r m a o sem ejanza. C o n s id é re n s e la s sig u ie n te s figura?
A B C D E es s e m e ja n te & A 'B 'C 'D 'E '
W X Y Z es s e m e ja n te d‘ W ' X ' Y ' Z '
L A = L A ', LB = = L B L C = z L C '.
L D s s L D ’, Z E s L E '.
l
AB _
A 'B '
BC _
B 'C '
CD _ D E _ A E
C 'D ' ~ D 'E ' ~ A 'E '
=z z r ,
Z F = Z F ' , L Z = L Z '.
w «
zw
,
l x
IV X
XY
YZ
WZ
W 'X ' X ' Y '
Y 'Z '
W 'Z '
2
O b s é rv e s e q u e to d o s lo s á n g u lo s c o r r e s p o n d ie n te s s o n c o n g ru e n te s y q u e
la s r a z o n e s d e lo s la d o s c o r r e s p o n d ie n te s s o n ig u ales.
1
9.3
E l s ím b o lo « ~ » sig n ific a «es
s e m e ja n te a».
A B C D ~ ^ 'S 'C 'D 's ig n if ic a q u e
A B C D es s e m e ja n te a A 'B 'C 'D '
C
1. Z A =
ZD =
2.
Si se d a q u e A B C D ~ A 'B 'C 'D ', e n to n c e s p u e d e
c o n c lu irs e q u e:
¿ A ' , Z B s Z B ', Z C s Z C '
Z D '.
AB
BC
CD
AD
A 'B '
B 'C
CD'
A 'D '
Ejemplo 2
Si se d a q u e
1. ¿ A = * Z A
ZD =
2.
^ 5
/ Í 'S '
Z B ^
ZD' y
5C
5 'C '
Z J 3 ', Z C =
CD
C 'D '
Z C '5
/4 D
A 'D '
e n to n c e s p u e d e c o n c lu irs e q u e
A B C D ~ A 'B 'C 'D '.
A PLICA CIO N
Si se d is p o n e d e u n m a p a a e sc a la , e n to n c e s la
fig u ra d e l m a p a e s s e m e ja n te a la fig u ra q u e
re p re s e n ta . D a d o u n m a p a a e s c a la d e las
u b ic a c io n e s A , B y C, e n to n c e s A A B C ~
~ A !B 'C .
Si A 'C ' = 3 6 m m , A 'B ' = 2 4 m m y A B = 32 m m ,
e n c u é n tre s e A C .
Solución:
AB
A 'B '
AC
A 'C '
o b ie n
3 2 m x 36 m m
P o r ta n t o , A C —
24 m m
32 m
24 m m
= 48 m.
313
Definición 9.2
C
Ejemplo 1
P o líg o n o s s e m e ja n te s
AC
36 m m
D os polígonos son semejantes
si hay una correspondencia
entre los vértices tal que los
ángulos correspondientes sean
congruentes y los lados
correspondientes sean
proporcionales.
314
S e m e ja n z a
EJERCICIOS
A.
En los ejercicios 1 a 4, determ ínese si los pares de
polígonos dados son sem ejantes o no.
1.
T.
3
------------ C
2.
2
1
r
2
3.
P—
4.
L
1
7
5. S upóngase que A H IJ ~ A H 'I'J'.
C ítense tres pares de ángulos
correspondientes que sean congruentes.
6. Si A H IJ ~ A H 'I'J', com plétese la
siguiente p ro p o rció n en dos form as
diferentes.
H T
(Ejercicios 5-7)
—
7. Supóngase que A H I J ~ A H 'I'J ' y que H T = 4, / ' J ' = 6,
H 'J ' = 7 y H J = 12. E ncuéntrense las longitudes H I e IJ.
8 . C o n la escala que se indica en este p a tró n de bordado,
encuéntrese la lo n g itu d A B del p ro d u cto final am pliado.
5 m m = 2 cm
ACTIVIDADES!
El sig u ie n te e s un m éto d o p a r a c o n stru ir un polígono
s e m e ja n te a ABCDE.
a . S e le c c ió n e s e un pun to P y d ib ú je n se PÁ, p b , p 6 , p d y PÍ.
C o n s trú y a n s e los p u n to s A ', & , C', D ' y £ ' co m o s e m u e stra
en la figura, d e m a n e ra q u e A A ' = 2 P A , B B ' = 2 PB,
CC' = 2PC, DD' = 2PD y EE' = 2PE.
b.
1. T rá c e s e ABCDE e in té n te s e h a c e r la co n stru cc ió n an terio r.
2. L o c a líc e se el pun to P e n d ife re n te s p o sic io n e s y re p íta se
la co n stru cció n .
9.3
P o líg o n o s s e m e ja n te s
315
B.
E n esta figura, D E || BC.
AD
9. Si —
AB
AE
DE
= — = — ,dem uestrese que A A D E ~
AC
BC
H
(Ejercicios 9,10)
.
A ABC.
10. Si las longitudes de los segm entos son las que se
m uestran, encuéntrense D B y EC. (Sugerencia: Em pléese el
ejercicio 9.)
11. Si D E || B C y las longitudes de los segm entos son las que se
m uestran, pruébese que A A D E ~ A ABC.
12. L as longitudes de los lad o s de u n p en tág o n o son 6, 8, 9, 12
y 15. Si u n p entágono sem ejante tiene de lad o m ás largo 4,
encuéntrense las m edidas de los lados restantes.
(Ejercicio 11)
13. C onstruyase un trián g u lo rectángulo
sem ejante a A A B C con un cateto de lo n g itu d - J l .
B
(Ejercicio 13)
C
14. C onstrúyase un cu ad rilátero sem ejante a
A B C D cuyo lad o m ás co rto m ida 9.
(Ejercicio 14)
15. Supóngase q u e A A D E ~ A A B C .
DB
EC
Pruébese que — = — . (E sta es la
H AD
AE
conclusión del teorem a fundam ental de
la proporcionalidad.)
16. D a d o que A B C D E es u n pentágono
BD B C
DC
regular y que — = — = —- ,
DC
Dj
CI
establézcanse varios pares de triángulos
sem ejantes. Justifiqúense las elecciones.
(Ejercicio 16)
_ SOLUCION D E PROBLEMAS.
E m p ló e s e la té c n ic a d e s o lu c ió n d e p ro b le m a s d e e la b o ra c ió n de
ta b la s (pág. 167) p a ra re s o lv e r s s tc p ro b le m a .
s in s u b d iv is io n e s
1 triángulo
u n a s u b d iv is ió n
5 triángulos
d o s s u b d iv is io n e s
tre s s u b d iv is io n e s
9 triángulos
JL triángulos
Si al triá n g u lo e q u ilá te ro s e le h ic ie ra n 10 s u b d iv is io n e s , ¿ cu á n to s
triá n g u lo s re s u lta ría n ?
316
S e m e ja n z a
9.4
El postulado de
la semejanza a a a
E n el ju e g o d e lo s b o lo s , el ju g a d o r se b a s a
e n la s m a r c a s d e la p is ta p a r a d ir ig ir la b o la.
S u p ó n g a s e q u e el ju g a d o r la n z a la b o la p a r a
q u e p a s e p o r la s e g u n d a m a r c a y fa lla p o r
d o s c e n tím e tro s . ¿ P o r c u á n to s c e n tím e tro s
fa lla rá la b o la a l p a s a r j u n t o a l b o lo ?
E s ta p r e g u n ta p u e d e re s p o n d e rs e a p lic a n d o
el te o re m a d e e s ta secció n .
Si A A B C y A D E F , ¿ A =
Z Z ), ¿ B s
Z E, y L C s
Z F\
AB
DE
A l p a re c e r, s ie m p re q u e lo s tr e s á n g u lo s d e
u n tr iá n g u lo s e a n c o n g ru e n te s c o n lo s tres
á n g u lo s d e o t r o tr iá n g u lo , e n to n c e s las
ra z o n e s d e lo s la d o s c o r re s p o n d ie n te s
ta m b ié n s e r á n ig u a le s. E s to se a c e p ta c o m o
p o s tu la d o .
CA
FD
Postulado de la semejanza a a a
Si tres á n g u lo ' de un triángulo son congruentes
con los tres ángulos de o tro triángulo, entonces
los triángulos son semejantes.
E l te o r e m a s ig u ie n te d e s c rib e u n m é to d o sim p le p a r a p r o b a r q u e d o s
triá n g u lo s s o n se m e ja n te s.
Teorema 9.8
BC
EF
T e o re m a d e la s e m e ja n z a A A . Si d o s á n g u lo s d e u n
tr iá n g u lo s o n c o n g r u e n te s c o n d o s á n g u lo s d e o tr o
tr iá n g u lo , e n to n c e s lo s tr iá n g u lo s s o n se m e ja n te s.
9.4
El p o s tu la d o d e la s e m e ja n z a AAA
PR U E B A
Dado: a A B C y A D E F c o n A A ^ ¿ D , ¿ B ^ ¿ E .
Pruébese: a A B C es s e m e ja n te a A D E F .
R azones
A firm aciones
1. ¿ A s L D .
1. D ado.
2. ¿ B s ¿ E .
2. D ado.
3. L C s L F .
3. ¿ P o r qué?
4.
4. Sem ejanza AAA,
A
ABC -
A DEF.
A (jugador)
línea
A PLICA CIO N
C u a n d o u n ju g a d o r d e b o lo s fa lla u n a m a rc a
d e la p is ta p o r 2 c m , ¿ p o r c u á n to fa lla el
b o lo ? C o n s id é re n s e lo s tr iá n g u lo s A A B C y
A A P D . E s to s tr iá n g u lo s se c o n s tr u y e r o n p a r a
s e r re c tá n g u lo s , y tie n e n u n á n g u lo A c o m ú n .
P o r ta n t o , p o r el te o r e m a 9.8, se c o n c lu y e q u e
AA B C ~ A A P D .
BC
PD
AB
AP
o
x = ^ -c m
4 m
19 m
2 cm
x cm
= 9^cm
A l a p lic a r el te o r e m a d e la s e m e ja n z a A A al c a so d e lo s tr iá n g u lo s
re c tá n g u lo s , se o b tie n e e ste o t r o te o re m a .
Teorema 9.9
D o s tr iá n g u lo s r e c tá n g u lo s s o n s e m e ja n te s si u n á n g u lo a g u d o
d e u n o es c o n g r u e n te c o n u n á n g u lo a g u d o d e l o tro .
/
317
318
S e m e ja n z a
EJERCICIOS
A.
En los ejercicios 1 a 4, se d a n A A B C y A X Y Z . Com plétese
la afirm ación A B C ~ _L.
1. m Z A = 17, m ¿ C = 49, m ¿ X = 17, m Z Z = 49.
2. m ¿ A = 23, m ¿ B = 111, m Z Y = 23, m ¿ Z =
111.
3. m ¿ B = 68, m Z C = 21, m ¿ X = 2 1 , m ¿ Y = 9 1 .
4. m Z C — 119, m ¿ A = 24, m ¿ X = 24, « Z F = 37.
(Ejercicio 5)
C
5. Expliqúese p o r qué A ^ S C ~ A D B A .
6. E ncuéntrese x.
8. Si un hom bre de 6 pies de a ltu ra proyecta una som bra de 9
pies, ¿qué so m b ra p ro y ectará un poste de 20 pies?
9. Si D £ || BC, A D = 3, A B = 8 y B C = 9, ¿cuál es la longitud
de DE?
10. ¿Son sem ejantes to d o s los triángulos rectángulos isósceles?
11. ¿Son sem ejantes todos los triángulos rectángulos? ¿ P o r qué?
A
12. ¿Son sem ejantes d os trián g u lo s isósceles que tienen sus
vértices congruentes? ¿ P o r qué?
>
13. ¿Son sem ejantes to d o s los triángulos 30°-60°-90°? ¿ P o r qué?
14. Cítese el m áxim o de triángulos sem ejantes que puedan
en co n trarse en la figura.
D
B
C
(Ejercicio 14)
B.
15. C u an d o se to m a una fotografía, la im agen que se form a en la
película es sem ejante al objeto que se fotografía. Los
triángulos sem ejantes ay u d an a explicar esto. Si Á B y Á W
son paralelos, pruébese que A L A B y A L 'A 'B ' son
sem ejantes.
16. U n m éto d o p a ra e n c o n tra r la altu ra de u n objeto es colocar
u n espejo en el suelo y después situarse de m an era que la
p a rte m ás alta del objeto p u ed a verse en el espejo. ¿Qué
altu ra tiene una to rre si u n a persona de 150 cm de altura
observa la p a rte superior de la to rre cu an d o el espejo está a
120 m de la to rre y la p erso n a está a 6 m del espejo?
B
A
espejo C
¿ A M B s s Z CMD
9.4
El p o s tu la d o d e la s e m e ja n z a A A A
319
17. D ado:
m L \ = m ¿ 2.
Pruébese: A A B C ~ ~ A E D C .
18. D ado:
A B || DE.
Pruébese: a . A A B C ~~ A E D C .
b.
AC
CE
AB
DE'
£
(E je rcic io s 17, 18)
19. D ado:
A B C D es u n trapecio.
Pruébese: A A E D ~ A CEB.
q
20. D ado:
(E je rc ic io 19)
A B II D C
£
(E je rc ic io 20)
D
21. D ado:
AABC_~ ADEF
A G y D H son alturas.
„
AB
AG
Pruebese: m =
22. D ado:
N Q || OP.
Pruébese: a. A M N Q ~ A M O P .
.
MN
MO
NQ
OP'
H, N e Y son p u n to s m edios de
M A , M E y AE.
Pruébese: A H N Y ~~ A E A M .
23. D ado:
24. D ado:
¿ B ^ A C, D F ± A B , D E ± AC.
Pruébese: a . A B D F — A CDE.
^
b.
FD
ED
BD
CD'
(E je rcic io 23)
E
320
S e m e ja n z a
25. Dado:
L R S T , L 1 y L 2 son ángulos rectos.
Pruébese: a . A R S U ~ A R T S .
b . A U V T ~ A flU S .
i?
c.
26. Dado:
A B C D es un trapecio.
Pruébese: / J £ ■D E = B E ■ CE.
A
27. D ado:
A /ÍB C - A EF G
A D biseca a L A
E H biseca a L E .
A
w
28. Dado:
A D 1 £ C , R E ± AC.
Pruébese: a .
= — .
SC
b . A D - B C = A C - BE.
ACTIVIDADES
C o lo q ú e se un p ro y ecto r a 10 p ie s d e una
p a n ta lla y p e rp e n d ic u la r a é s ta . C o lo q ú e se un
trián g u lo A B C e n el p ro y ecto r. L lám ese
trián g u lo A 'B 'C ' al q u e a p a r e c e e n la p antalla.
1. M íd ase L A y s u im ag en L A '. ¿Q ué relació n
tien en ?
2. M íd an se la s lo n g itu d es A B y A 'B ', A C y A 'C '
y B C y B 'C '.
_
,
AB
AC
BC
¿ C ual e s la ra z ó n e n t r e -------, ------- y --------?
A 'B ' A 'C 1 B 'C '
¿Q u é co n clu sió n s e s a c a d e A A B C y A A 'B 'C "?
E
C
H
G
9 .4
29. Dado:
Pruébese:
El p o s tu la d o d e la s e m e ja n z a A A A
B E || C F || DG.
B C _ EF
CD
FG '
30. Dado:
A C _L FE, A C _ ± BD ,
D E J_ B D , A E _L BE.
Pruébese: A A F E — A B DE.
D
31. Dado:
Pruébese:
AD
BE
BC, FC ± A B
AC.
A F _B D . CE
= 1.
B F ' CD A E
DELAC
AB 1 BC
mZl +
2 =90.
Pruébese: B C ■ C E = E D ■A B .
D
32. Dado:
C A sC B
B A s BD.
Pruébese: { A B ) 2 = A C ■AD.
33. Dado:
SO LUCIO N DE
S u p ó n g a s e q u e s e c o lo c a un p ro y e c to r de
tra n s p a re n c ia s a 20 p ie s d e la pantalla.
S u p ó n g a s e q u e A A B C e s s e m e ja n te a
A A'B'C'.
1. Si s e c o rta un triá n g u lo A ABC y s e c o lo c a a
x p ie s fre n te al p ro y ecto r, c a lc ú le s e la
longitud A'B' e n función d e la longitud A B y
d e la d is ta n c ia x.
2. Si á s e re d u c e a la m itad, ¿ q u é p a s a con
A'B"?
C
321
322
S e m e ja n z a
9.5
Triángulos
rectángulos
y triángulos
semejantes
U n e je m p lo in te r e s a n te d e s e m e ja n z a e n tre
triá n g u lo s re c tá n g u lo s e n la n a tu r a le z a es la
c o n c h a d e u n n a u tilo . L a fo to g ra fía m u e s tr a
u n a c o n c h a c o r t a d a p o r la m ita d p a r a re v e la r
su c o n s tr u c c ió n e s p ira l. E s ta e s p ira l p u e d e
a p ro x im a r s e m e d ia n te u n a s u c e s ió n de
se g m e n to s c o lo c a d o s e n á n g u lo s re c to s . E s ta
e sp ira l e s tá re la c io n a d a c o n el te o r e m a de
e s ta secció n .
S e e m p e z a rá c o n u n e je m p lo y u n a
defin ició n .
Definición 9.3
L a m e d ia g e o m é tric a e n tr e 4 y 16 es 8,
d ad o que
U n núm ero x es u n a media geom étrica entre
dos núm eros a y b si
a
x
. n , , .
- = J > x ¿ 0 ,b ¿ 0 .
E l c o n c e p to d e m e d ia g e o m é tric a se
e m p le a e n el te o re m a sig u ien te.
O b s é rv e s e q u e
A D _ = CD_
CD
DB'
Teorema 9.10
P ru éb e se:
A A B C c o n L C c o m o á n g u lo re c to ,
C D es u n a a ltu ra .
AD _ DC
D C~D B'
XW
WZ
IF Z
W Y‘
E n u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo , la lo n g itu d d e la a l t u r a a la
h ip o te n u s a es la m e d ia g e o m é tric a e n tr e la s lo n g itu d e s d e lo s
d o s s e g m e n to s d e la h ip o te n u s a .
PRUEBA
D ado:
O b s é rv e s e q u e
9.5
T riá n g u lo s re c tá n g u lo s y triá n g u lo s s e m e ja n te s
323
Afirm aciones
1. Z A D C es un ángulo recto.
1. CD es una altura.
2. Z B D C es un áng u lo recto.
2. ¿ P o r qué?
3. Z C es u n ángulo recto.
3. D ado.
4. Z B C D es com plem entario de ¿ A CD.
4. ¿ P o r qué?
5. Z C A D es com plem entario de Z A CD.
5. ¿ P o r qué?
6. Z B C D
Z CAD.
6 . ¿ P o r qué?
7. Z A D C ~ Z CDB.
7. D o s triángulos rectángulos son
sem ejantes si un ángulo agudo de
uno es congruente con u n ángulo
ag u do del otro.
8. ÆD _ P C
8. Partes correspondientes de
DC ~ DB'
triángulos sem ejantes son
proporcionales.
A P L IC A C IO N
L a c o n c h a d e l n a u tilo e s tá b a s a d a e n u n a
m e d ia g e o m é tric a . C o n s id é re s e la s u c e s ió n
d e ra d io s:
OA, OB, ÓC, ÓD, OE, OF, ÓG, O H , OI, O j, Ó K.
L a lo n g itu d d e c a d a u n o d e e s to s se g m e n to s
es u n a m e d ia g e o m é tric a e n tr e la lo n g itu d
d e l s e g m e n to p r e c e d e n te y la d el sig u ien te.
JH 1 tK
C a d a tr e s p u n to s su c e siv o s, p o r e je m p lo , G, H e I , s o n v é rtic e s d e u n
tr iá n g u lo re c tá n g u lo . A d e m á s , O H es u n a a lt u r a d e A G H I . P o r ta n to , p o r
el te o re m a 9.10, O H es la m e d ia g e o m é tric a e n tr e O G y OI.
E s te tr iá n g u lo ilu s tr a el te o re m a 9.11.
L a p r u e b a d e e ste te o r e m a se d e ja c o m o
ejercicio .
Teorema 9.11
O b sé rv e se q u e
AD_ _ AC_
DB = BC
AC
A B y BC
AB'
D a d o s u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo y la a ltu r a a la h ip o te n u s a ,
c a d a c a te to es l a m e d ia g e o m é tric a e n tr e la lo n g itu d d e la
h ip o te n u s a y la lo n g itu d d e l s e g m e n to d e la h ip o te n u s a
a d y a c e n te a l c a te to .
324
S e m e ja n z a
EJERCICIOS
A.
¿Cuál es la m edia geom étrica en tre los n úm eros de los
ejercicios 1 a 4?
1. 4 y 9.
2 ^ 9 y 16.
3. 4 y 5.
4. ^ 3 y f í .
5. La longitud CD es la m edia geom étrica en tre las longitudes
de dos segm entos, ¿cuáles?
6. La longitud D E es la m edia geom étrica en tre las longitudes
de d os segm entos, ¿cuáles?
7. L a longitud A C es la m edia geom étrica en tre las longitudes
de dos segm entos, ¿cuáles? (Véase T eorem a 9.11.)
(E je rcic io s 5-8)
N
8. La longitud B C es la m edia geom étrica en tre las longitudes
de dos segm entos, ¿cuáles?
P ara los ejercicios 9 a_16, empléese esta figura en la cual L P M N
es u n ángulo recto y M Q _L P N .
(E je rcic io s 9-16)
M
9- PQ = 9, Q N = 4. E ncuéntrese MQ.
10. Q N = 3, M Q = 9. E ncuéntrese PQ.
11. P M = 12, PQ = 9. E ncuéntrese P N .
12. M N = 8, Q N = 6. E ncuéntrese PN .
13. P N = 75, P Q = 72. E ncuéntrese M N .
14. M Q = 4, P N = 10. Encuéntrese QN.
15. P N = 13, P M = 12. E ncuéntrese MQ.
16. P M = 16, M N = 12. E ncuéntrese PQ.
ACTIVIDADES
- 11
U na e s p ira l s e m e ja n te a la d e u n a c o n c h a d e n a u tilo e s tá b a s a d a en el
re c tá n g u lo á u re o y p u e d e c o n s tru irs e co n un c o m p á s y u n a re g la .
1. C o n s tru y a s e un re c tá n g u lo á u re o A B C D
co m o se m u e s tra en la s e c c ió n «La
g e o m e tría en n u e s tro m u n d o » d e la p á g in a
301.
2. D iv íd a s e el re c tá n g u lo B C E F en un c u a d ra d o
y un re c tá n g u lo , y c o n tin ú e s e s u b d iv id ie n d o
e l re c tá n g u lo re s u lta n te en un c u a d ra d o y un
re c tá n g u lo .
3. En c a d a c u a d ra d o , c o n s trú y a s e un a rc o de
c írc u lo c o m o e l qu e s e m u e s tra e n el d ib u jo .
El c e n tro de c a d a a rc o e s un v é rtic e del
c u a d ra d o .
9.5
T riá n g u lo s re c tá n g u lo s y triá n g u lo s s e m e ja n te s
325
B.
17. Supóngase que m Z H E G = 90 y E O ± H G . Si H O — 6 y
EG - 4, encuéntrese OG.
18. Supóngase que m L H E G = 90, E O _L H G , E O = 8 y
H
(Ejercicios 17-19)
= y.
C
E ncuéntrese HO.
19. Supóngase que m L H E G — 90, £ 0 _L H G ,
/ / O = 10 y O G — 8 . E ncuéntrese H E • EG.
20. D ado:
m Z A C B = 90, C M _L A B , A B ■ C M = (¿1C)2.
Pruébese: A C = B C .
¿
C.
21. D ado:
i» Z
= 90, /? £ 1 T M ,
T Y = FM ,
= 4 f , T E = 6.
Pruébese:
M
i?
24. Pruébese el teorem a 9.11.
N.
A
23. Supóngase q u e A F D B es un rectángulo y que A D 1 CE.
M uéstrese que el área de A F D B = V-SC ■S/4 • A F • FE.
/
/7 i
22. Em pléense el teorem a 9.11 y la figura p a ra m o stra r que
a2 + b2 = c 2 (T eorem a de Pitágoras).
Bi
D
(Ejercicio 23)
25. E n una estrella de m a r se en cu en tra la m edia geom étrica de
varias formas. P o r ejem plo, en la estrella de cinco pu n tas
que se m uestra en la fotografía, A B es la m edia geom étrica
en tre B C y AC. Acéptese esto com o u n hecho y empléese
p a ra m o stra r que A C tam bién es la m edia geom étrica entre
A B y AD. (Sugerencia: Em pléese el teorem a 9.2.)
A B = CD
__SOLUCION D E PROBLEM AS----------------------------------------M u é stre se q u e la e sp ira l c o n stru id a en la actividad a n te rio r e s u n a esp iral
d e u n a c o n c h a d e nautilo.
E sto e s , m u é s tre s e q u e EX e s la m ed ia g e o m é tric a e n tre AE y XY. (Sugerencia:
E m p lé e n se la definición del re c tá n g u lo á u re o d e «La g e o m e tría e n n u e stro m undo»
d e la p á g in a 300, y el h ech o d e q u e ABCD y BCEF s o n re c tá n g u lo s á u re o s.)
326
S e m e ja n z a
9.6
Teoremas de la
semejanza lll
y LAL
Se v a a in s ta la r u n a fu e n te a 32 p ie s d e u n a
e s q u in a d e u n e d ific io y a 27 p ie s d e la
o t r a e sq u in a . E l e d ific io tie n e 40 p ie s d e a n c h o .
E n el c o n ju n to d e p la n o s p a r a este
p ro y e c to se e m p le a u n a e s c a la d e 5 m m p o r
pie. D e s p u é s d e lo c a liz a r la s e s q u in a s A y B'
del ed ific io d e l d ib u jo , se lo c a liz a u n p u n t o F '
a 160 m m d e A ' (5 x 32) y a 135 m m d e B'
(5 x 27). ¿ S o n s e m e ja n te s A A B F y A A ' B ' F ' l
200 i
160 mm
135 mm
E n el s ig u ie n te e je m p lo , A Z F Z y A X ' Y ' Z se d ib u ja r o n d e m a n e r a q u e
X Y
X 'Y '
C u a n d o lo s la d o s d e lo s tr iá n g u lo s se tr a z a n p ro p o rc io n a lm e n te , e n to n c e s
m ¿ X = m Z X ' = 30, m Z Y = m Z Y ' = 4 6 y
m L Z ~ m L Z ' =. 104.
E s to s e je m p lo s su g ie re n el te o r e m a lla m a d o te o r e m a d e la s e m e ja n z a L L L .
Teorema 9.12
T e o re m a d e la s e m e ja n z a L L L . Si lo s tr e s la d o s d e u n
tr iá n g u lo s o n p r o p o r c io n a le s a lo s tre s la d o s d e o tr o
tr iá n g u lo , e n to n c e s lo s d o s tr iá n g u lo s so n se m e ja n te s.
9.6
T e o re m a s d e la s e m e ja n z a L L L y L A L
327
E l teo re m a 9.12 establece que
si
T J _ J C _ TC
PO
OD
PD’
en to n ces A T / C ~ A POD.
D
A P L IC A C IO N
40 pies
E n el ejem plo del p rin cip io de esta sección hay
u n triá n g u lo cuyos lad o s m iden 27 pies, 32 pies
y 40 pies, y u n d ib u jo a esc ala d e la d o s 135 m m ,
160 m m y 200 m m . ¿Son sem ejantes estos
trián g u lo s?
D a d o q ue
40
32
27
1
B'
200 “ "160 “ ~135 “ 1 *
el te o re m a 9.12 re sp o n d e a esta p re g u n ta . Sí, A A B F ~ A A 'B 'F .
H a y o tra m a n e ra de m o s tra r q u e d o s triá n g u lo s son sem ejantes.
160 mm
DE
EF
A D E F y A G H I se co n stru y e ro n de m a n e ra q u e ----- = — y L E s L H .
GH
HI
E stas co n d icio n es im plican q u e L F
L l y L D s L G . E ste ejem plo sugiere
el siguiente teo re m a, lla m a d o te o re m a de la sem ejan za LA L.
Teorema 9.13
Si u n á n g u lo d e u n
triá n g u lo es co n g ru en te c o n u n á n g u lo d e o tr o triá n g u lo , y
si lo s lad o s co rre sp o n d ie n te s q u e in clu y en al á n g u lo son
p ro p o rcio n ales, en to n ce s lo s triá n g u lo s so n sem ejantes.
T e o re m a d e la s e m e ja n z a L A L .
135 mm
328
S e m e ja n z a
EJERCICIOS
A.
En los ejercicios 1 a 4, empléese la inform ación d a d a para
determ inar si los triángulos son sem ejantes. Las decisiones
deben basarse en las m edidas dadas, m ás que en la form a de los
dibujos. Si los triángulos son sem ejantes, determ ínese cuál de
los tres teorem as de sem ejanza se aplicó. (AA, L A L o LLL).
2.
8
10
3.
4.
4
8
5. Si A B = 4 y B C = 7,
AD
encuentrese — .
CE
15
6 . Si el p u n to B divide A C y DE en tercios,
¿cuál es la longitud de C E ?
D
D
E
E
ACTIVIDADES
1. C o n s trú y a s e A A B C co n la d o s d e 10 cm , 13 cm y 17 cm d e
largo. E n c u é n tre se el pun to d e in te rse c c ió n d e las
b is e c tric e s p e rp e n d ic u la re s d e los lados.
2. E ste p unto e s el c en tro del círculo q u e p a s a p o r los tre s
v é rtic e s. E ste círculo s e llam a círculo circunscrito.
T rá c e s e e s te círculo.
3. D e sp u é s, tr á c e s e el círculo d e n u e v e pu n to s, com o s e d e sc rib ió e n la
p á g in a 246.
4. ¿Q u é relació n e x iste e n tre el ra d io del círculo circ u n sc rito y el ra d io del
círculo d e n u e v e p u n to s?
w
9.6
7. Dado:
T rapecio A B C D , A B || CD.
Pruébese: A A O B — A C O D .
9. D ado:
T e o re m a s d e la s e m e ja n z a L L L y L A L
329
8 . D ado:
R U J_ UV, T V A. RT.
Pruébese: A R S U — A V S T .
AJKL_~~ A N M P .
J I y N O son m edianas.
Pruébese J L = J § - .
NO
NM
(Ejercicio 9)
10. D ado:
T, U, y V son p u n to s medios.
Pruébese: A Q R S ~ A V U T .
11. D ibújese un contraejem plo p a ra la proposición siguiente.
Si dos lados de un trián g u lo son proporcionales a dos
lados de o tro trián g u lo y u n ángulo del p rim er triángulo
es congruente con un ángulo del segundo triángulo, los
triángulos son semejantes.
(Ejercicio 10)
12. Pruébese: Las diagonales correspondientes de dos cuadriláteros
sem ejantes están en la m ism a razó n que los lados
correspondientes.
13. Pruébese: D o s trián g u lo s isósceles con ángulos de los
vértices congruentes son sem ejantes.
14. D ibújese un triángulo d ad o s d os ángulos agudos y la
longitud de la altu ra al lad o incluido.
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
Id e n tifiq ú e n s e ta n ta s fig u ra s d e d ife re n te fo rm a
c o m o s e a p o s ib le , y p a ra la s c u a le s s e p u e d a
e n c o n tra r o tra fig u ra q u e s e a s e m e ja n te .
330
S e m e ja n z a
9.7 Razones trigonom étricas;
una aplicación
de ios triángulos
semejantes
L a a ltu r a d e ed ificio s m u y a lto s p u e d e d e te rm in a rs e
c o n la a y u d a d e la s r a z o n e s d e u n tr iá n g u lo
re c tá n g u lo .
Si se c o n o c e n la d is ta n c ia A C y la m e d id a d e L A ,
la a ltu r a B C p u e d e c a lc u la rs e p o r el m é to d o q u e se
e s tu d ia e n e s ta secció n .
A
E n e s ta fig u ra , A A B C ~ A A E D ~ A A G F ~ A A I H .
P o r ta n to , la s r a z o n e s e n tr e lo s la d o s c o rre s p o n d ie n te s
s o n iguales.
lado
opuesto
lado
adyacente
B C D E FG
L a s re la c io n e s — , — ,
y
AB AE AG J
HI j
— - d e la fig u ra a n te r io r so n
Al
ig u a le s. E s ta s r a z o n e s se
a s o c ia n c o n L A y se lla m a n
ta n g e n te d e L A , q u e se
a b re v ia tan A.
B C ED GE
L a s r a z o n e s ---- , — , — e
A C A D ’ AF
lado
/
opuesto ——- s o n ig u a le s. E s ta s
A .ti
r a z o n e s , a s o c ia d a s c o n L A , se
lla m a n se n o d e L A , q u e se
a b re v ia sen A.
hipotenusa
lado
adyacente
A B A E AG
L as razo n es — , — , — y
A C ’ AD ' AF y
AI
—— s o n ig u a le s. E sta s
AH
ra z o n e s, a s o c ia d a s c o n L A , se
lla m a n co sen o d e L A , q u e se
a b r e v ia eos A.
Definición 9.4
L a tangente de un ángulo agudo
de un triángulo rectángulo es la
razón
longitud del lad o opuesto
longitud del lado a d y a cen te '
Definición 9.5
El seno de un ángulo agudo de
un triángulo rectángulo es la
razón
longitud del lad o opuesto
longitud de la hipotenusa
Definición 9.6
El coseno de un ángulo agudo
de u n triángulo rectángulo es la
razón
longitud del lad o adyacente
longitud de la hipotenusa
-
9.7
R a z o n e s trig o n o m é tric a s ; u n a a p lic a c ió n d e los triá n g u lo s s e m e ja n te s
Ejemplo 1
c
E n la fig u ra d e la d erech a p u ed e o b serv arse q u e
ta n 37° =
sen 37° =
292
= 0.7534,
220
365.6
= 0.6018,
eo s 37° = - f p - = 0.7986.
36 d .6
E sta s ra zo n es trig o n o m é tric a s pu ed en
e n c o n tra rs e p a ra v ario s án g u lo s p o r m edio
de u n a ta b la de v alo res co m o la que ap arece
a q u i o c o n u n a c a lc u la d o ra q u e ten g a
funciones trig o n o m étricas.
m L A en
grados
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U
12
13
14
15
16
17
18
19
Ejemplo 2
20
P o r la ta b la de valores ap ro x im a d o s, puede
verse que
ta n 42° = 0.9004,
sen 42° = 0.6691,
eos 42° = 0.7431.
A P L IC A C IO N
U n a p e rs o n a s itu a d a a 1000 pies d e la base
d el m o n u m e n to a W a sh in g to n e n c u e n tra que
L A es a p ro x im a d a m e n te 29°. ¿C u ál es la
a ltu ra a p ro x im a d a del m o n u m en to ?
ta n 29° =
1000
o
x = 1000 X ta n 2 9 '
= 1000 x 0.5543 = 554.3 pies
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
tan A
sin A
eos A
0.0175
0.0349
0.0524
0.0699
0.0875
0.1051
0.1228
0.1405
0.1584
0.1763
0.1944
0.2126
0.2309
0.2493
0.2679
0.2867
0.3057
0.3249
0.3443
0.3640
0.3839
0.4040
0.4245
0.4452
0.4663
0.4877
0.5095
0.5317
0.5543
0.5774
0.6009
0.6249
0.6494
0.6745
0.7002
0.7265
0.7536
0.7813
0.8098
0.8391
0.8693
0.9004
0.9325
0.9657
1.0000
0.0175
0.0349
0.0523
0.0698
0.0872
0.1045
0.1219
0.1392
0.1564
0.1736
0.1908
0.2079
0.2250
0.2419
0.2588
0.2756
0.2924
0.3090
0.3256
0.3420
0.3584
0.3746
0.3907
0.4067
0.4226
0.4384
0.4540
0.4695
0.4848
0.5000
0.5150
0.5299
0.5446
0.5592
0.5736
0.5878
0.6018
0.6157
0.6293
0.6428
0.6561
0.6691
0.6820
0.6947
0.7071
0.9998
0.9994
0,9986
0.9976
0.9962
0.9945
0.9925
0.9903
0.9877
0.9848
0.9816
0.9781
0.9744
0.9703
0.9659
0.9613
0.9563
0.9511
0.9455
0.9397
0.9336
0,9272
0.9205
0.9135
0.9063
0.8988
0.8910
0.8829
0.8746
0.8660
0.8572
0.8480
0.8387
0.8290
0.8192
0.8090
0.7986
0.7880
0.7771
0.7660
0.7547
0.7431
0.7314
0.7193
0.7071
331
332
EJERCICIOS
A.
1. C om plétese lo siguiente:
2. C om plétese lo siguiente:
tan A = _L.
tan M = JL.
sen A = JL.
eos A = J_.
M
senP = X .
A
eos P = _L.
P a ra los ejercicios 3 a 14, em pléense las tablas trigonom étricas.
3. sen 17° = JL.
4. eos 43° = J _
5. tan 21° =
6. eos 13° = JL.
7. tan 35° = JL.
8. s e n 37° = .
D adas las siguientes m edidas aproxim adas, encuéntrese el valor
de L A red o n d ean d o al g rado m ás próxim o.
9. ta n L A = 0.7536.
12. eos L A = 0.8290.
10. eos L A = 0.9985.
11. sen L A = 0.2925.
13. sen L A = 0.0699.
14. tan L A = 0.9658.
B.
15. A A B C tiene A B = A C = 10
y m / B — 40. Encuéntrese
la lo n g itu d de AD.
16. A A B C tiene A B = A C = 10
y m L B = 40. Encuéntrese
la longitud de BD.
C
(Ejercicios 15, 16)
ACTIVIDADES
E m p lé e s e un a c a lc u la d o ra p a ra d e te rm in a r lo s ig u ie n te :
1. a. (sen 5 7 o)2+ (eos 5 7 o)2 = JL.
b. (sen 4 3 °)2
+ (eos 4 3 ° )2 = JL.
c. (se n 9 ° )2 + (eos 9 o)2 = J _
d. (sen 2 4 o)2
+ (eos 2 4 °)2 = j_ .
e. ¿Qué p u e d e d e c irs e s o b re s e n 2 x + e o s 2 x p a ra to d a s las x?
s e n 47°
2. a . C o m p á re s e -------------- co n ta n 47°.
eos 47°
s e n 71°
b. C o m p á r e s e --------------- co n
eos 71°
s e n 33°
c. C o m p á r e s e -------------- co n ta n 33°.
eos 33°
se n 66°
d. C o m p á r e s e -c o n ta n 66°.
eos 66°
se n x
e. ¿Qué p u e d e d e c irs e s o b r e ---------y tan x?
eos x
9.7
R a z o n e s trig o n o m é tric a s ; u n a a p lic a c ió n d e lo s triá n g u lo s s e m e ja n te s
17. sen F = ^ -
18. tan Z = — ■
F D = JL.
X Y = JL.
F E - JL.
X Z = JL.
tan D = JL.
eos X = JL.
19. Supóngase que A B = 3, B C =
= 4 y A C = 5. Em pléense las
tablas trigonom étricas o una
calculadora p a ra determ inar
m ¿ .A y m L C en la m ayor
aproxim ación posible.
Supóngase que se desea
en co n trar la distancia a través
del em balse Q N. Se m ide para
en co n trar que PQ = 50 m y
determ in ar que m L P = 44.
E ncuéntrese QN.
21. Supóngase q u e se desea e n co n trar la altu ra del edificio
F N . m L F U N = 50 a u n a distancia de 30 m etros de N.
¿C uál es la lo n g itu d de F N 1
22. Si un aero p lan o despega y asciende a una
razó n uniform e de 10° hasta alcan zar una
a ltu ra de 30 000 pies, ¿cuál fue la distancia
recorrida?
esto, se em plea un m olde con form a de caja y con lados
interiores inclinados. El ángulo de inclinación es la pendiente de
los lados. E ste ángulo es 2o y BD = 6 cm. ¿Cuál es la diferencia
en tre las m edidas de A B y CD1
SOLUCION D E PROBLEMAS
S u p ó n g a s e q u e s e d e s e a e n c o n tra r la a ltu ra
(DC) d e u n a to rre , p e ro no e s p o sib le m edir
d ire c ta m e n te la s d ista n c ia s AC y AB.
Si m L A = 40, m L D B C = 60 y AB = 200 m
e n c u é n tre s e DC.
333
334
S e m e ja n z a
9.8
Razones trigonom étricas
de ángulos especíales
A sí c o m o lo s á n g u lo s d e 30°, 4 5 ° y 60°, s o n im p o r ta n te s p a r a
los d is e ñ a d o re s , ta m b ié n s o n á n g u lo s esp e c ia le s im p o r ta n te s p a r a la
trig o n o m e tr ía . C o n fre c u e n c ia es ú til c o n o c e r la s ra z o n e s trig o n o m é tric a s
d e e sto s á n g u lo s sin te n e r q u e r e c u r r ir a la s ta b la s d e v a lo re s o a u n a
c a lc u la d o ra .
P o r el te o r e m a 7.3, se c o n c lu y e q u e las
lo n g itu d e s d e lo s la d o s d e u n tr iá n g u lo de
4 5 °-4 5 o-9 0 ° tie n e n u n a r a z ó n 1 : 1 : ^ .
P o r el te o r e m a 7.4, se c o n c lu y e q u e la s
lo n g itu d e s d e lo s la d o s d e u n tr iá n g u lo d e
30 °-6 0 o-9 0 o tie n e n u n a ra z ó n
d e l : v /3 :2 .
E s ta ta b la m u e s tr a la s ra z o n e s
trig o n o m é tr ic a s p a r a e s to s á n g u lo s
esp eciales.
30°
60°
4 50
ta n
V3
3
V3
l
l
\ñ>
\/2
sen
2
eos
Ejemplo 1
2
\/3
l
V2
2
2
2
Ejemplo 2
L a d ia g o n a l d e u n c u a d r a d o es 5 cm .
E n c u é n tre s e la lo n g itu d d e u n la d o .
sen Z E H F = E F
5 '
sen 45° = E F
5 '
V2
2
EF
H
's.
Cl
V.I
4 5 ^ v 5 cm
E n el tr iá n g u lo q u e se m u e s tr a , e n c u é n tre n s e
X W y XZ.
x
>
XW
tan Z Z =
4 ’
tan 30° =
F
XW
4 ‘
V3 _ X W
5 X IV =
------ L W
4 pies
4 y /3
-pies.
E F = — :— cm.
D a d o q u e X Z es 2X W , e n to n c e s X Z =
p ies.
3
9.8
R a z o n e s trig o n o m é tric a s d e á n g u lo s e s p e c ia le s
335
EJERCICIOS___________________________________
A.
E n los ejercicios 1 a 6, com plétese correctam ente la
proposición sin co n su ltar la tab la de la página 331.
1. s e n 4 5 ° = J _ .
2. eos 3 0 ° = JL.
4. eos 60° = JL.
5. sen 30° = _Z_.
3. tan 6 0 ° = JL.
6. tan 45° = JL.
3
C.
E n los ejercicios 7 a 14, el trián g u lo rectángulo que se
m uestra no se dibujó con precisión. A céptense las longitudes
d ad a s de los lados. C om plétense correctam ente las
proposiciones siguientes.
/
. /
A
V
„
a
6
ÍEiercicios 7-14)
7. sen A = J_ .
8. eos A = JL.
V3
9. tan A = JL.
10. eos B = _L.
11. t a n S = JL.
12. sen 2? = J _
13. m ¿ A = JL.
14. m ¿ B = JL.
B.
En los ejercicios 15 a 18, evalúense las expresiones dadas.
Identifiqúense aquellos pares de expresiones q u e sean iguales.
P a ra to d o s los problem as, supóngase que m L A = 30.
15. 2 sen A, 2 sen A eos A, sen 2A.
17. tan 2A , 2 tan A ,
2 tan .<4
1 - (tan A ) 2
16. eos 2A , (eos A ) 2 — (sen A ) 2, 2(cos A ) 2 — 1.
18. 2 eos A , 1 - 2 ( s e n ^ )2, eos 2A.
c.
G
19. Si m L G U S = 30 y U S = 50 m , ¿cuál es la a ltu ra del edificio?
20. El cu ad rilátero £ ,4 S Y es un trapecio
isósceles con E A = SY. Si EA = 10 y
m L E A S — 45, encuéntrese la longitud de
la altu ra EZ.
/
/
A
21. A A B C es equilátero. E ncuéntrese la
longitud de la a ltu ra AD.
22. M uéstrese que si A A B C tiene u n ángulo
recto L C, entonces (sen A )2 + (cos/1)2 = 1.
q
(Ejercicio 21)
ni
m
ni
if
336
S e m e ja n z a
Capítulo 9
Conceptos im portantes
Términos
P ro p o rció n (pág. 304)
Polígonos sem ejantes (pág. 313)
M edia geom étrica (pág. 322)
Tangente de un ángulo agudo, (pág. 330)
Seno de un ángulo agudo (pág. 330)
C oseno de un ángulo agudo (pág. 330)
Postulado
Postulado de la sem ejanza AAA (pág. 316)
Teoremas
9.1
Si — = 4 ’ entonces a X d = b X c.
b
a
9.2
Si í = 4 , entonces 5 _ ± Í = £ _ ± A
b
d
b
d
9.3
Si ~
9.4
Si -j- =
entonces — = —.
b
d
c
d
b
9.5
entonces — ~ ^ = —~ ^ .
a
b
d
Si cz x d — b x c , entonces — = — .
b
d
9.6
T eorem a fundam ental de la proporcionalidad. Si una recta
p aralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos
lados, entonces divide a éstos proporcionalm ente.
9.7
Si una recta interseca a d os lados de un triángulo y los divide
p roporcionalm ente, entonces la recta es paralela al tercer lado.
9.8
T eorem a de la sem ejanza A A. Si dos ángulos de un triángulo
son congruentes con dos ángulos de o tro triángulo, entonces los
dos triángulos son semejantes.
9.9
D os triángulos rectángulos son sem ejantes si un ángulo agudo
de uno es congruente con un ángulo agudo del otro.
En un triángulo rectángulo, la longitud de la altu ra a la
h ipotenusa es la m edia geom étrica en tre las longitudes de los
dos segm entos de la hipotenusa.
9.10
9.11
D ad o s un trián g u lo rectángulo y la a ltu ra a la hipotenusa, cada
cateto es la m edia geom étrica en tre la longitud de la hipotenusa
y la longitud del segm ento de la h ipotenusa adyacente al cateto.
9.12
Teorem a de la sem ejanza LLL. Si los tres lados de un triángulo
son p roporcionales a los tres lados de o tro triángulo, entonces
los d os trián g u lo s son semejantes.
9.13
T eorem a de la sem ejanza LA L. Si un áng u lo de un triángulo es
congruente con un ángulo de o tro triángulo, y si los lados
correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales,
entonces los triángulos son semejantes.
C a p itu lo 9
Capítulo 9
R e su m e n
337
Resumen
1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas.
a . Si B D || A E , entonces
CD _ CB
DE
BA'
b . S i - § § = - § , entonces B D || A E .
c. Si CD — 4, D E = 3, B C — 8 , entonces A B = 6.
C
d . Si L A = L D B C , entonces A E A C ~ A DBC.
e. Si CD = D E — A B = BC , entonces A E A C ~ A DBC.
2. Supóngase que D E || BC.
a. A D = 4, B D — 6, A E = 5. E ncuéntrese AC .
b . A B = 10, B D = 1, A C = 12. E ncuéntrese A E .
c. A D — 3, B D = 4, B C = 6. E ncuéntrese DE.
d. A B = B C = A C = 6 , A D = 2 . E ncuéntrese A D + D E + AE .
3. Dado:
A B || CD
A C || DE.
Pruébese: A B ■ C E = B C ■DC.
4. Supóngase que m L C A B = 90 y A D J . BC.
a . Si A B = 8 y B C = 12, encuéntrese BD.
b . Si A C = 6 y D C = 4 , encuéntrese BC.
c. Si B D = 4 y A D = 6, encuéntrese DC.
5. Supóngase que m L D — 90.
8
a. Si sen L E — — , encuéntrese tan
b. Si eos L H —
c. Si ta n L E =
E.
encuéntrese eos L E .
encuéntrese eos
H.
6. Si un árbol de 20 pies p ro y ecta u n a so m b ra de 45 pies, ¿qué
so m b ra p ro y ectará un árb o l de 30 pies?
7. Dado:
L a figura A B C D es un paralelogram o.
Pruébese: a. A E C B — A E D F
b. A E D F ~ A BA F
c. A E C B - A B A F
C
338
S e m e ja n z a
Capítulo 9
Examen
1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas,
a . Si D B || A E , entonces CD - D E = B C • AB.
b . Si
L )L j
z jO
entonces A A E C ■ A B D C .
c. Si A A E C ~~ A B D C , entonces
. 0. E C
a . Si
U Li
AC
d
Lj
ED
f
= 4P-AB
.
A
entonces A A C E ■ A B C D .
e. Si D C ■A B = B C • E D , entonces B D || A E .
2. Supóngase que M N || CD.
a . Si M E = 2ED , encuéntrese N E
EC'
b . Si M E = 4 , N E = 5 y E C — 3, encuéntrese ED.
c. Si M E = 4, D E — 2 y N C = 9, encuéntrese EC.
d . Si M N = M E — N E = 6 y C E = 4, encuéntrese C E + C D + D E
3. Supóngase que A A B C y A A B D son triángulos rectángulos.
a. Si A C = 3 y A B = 4, encuéntrese A D .
b . Si A B — 12 y B C — 13, encuéntrese DC.
c. Si B D — 9 y B C — 15, encuéntrese A D .
d . Si A C = 20 y B C = 40, encuéntrese DC.
4. D ado:
AB = AC
D E = DC.
Pruébese: A A B C — A DEC.
5. D ado:
A B C D es un trapecio.
Pruébese: D E - E C = A E - BE.
6. A B C D es un cu a d ra d o con diagonal BD.
a. E ncuéntrese ta n L l .
b. E ncuéntrese eos L 2.
c. ¿Es eos A l = sen A l?
7. D ado:
D E ¡¡ A B , E F || B C , D E || A C .
Pruébese: A D E F ~ ~ A A B C .
Técnicas para la solución de problemas
Trabájese hacia atrás
A lgunas veces, al resolver problem as, es ta n ú til tra b a ja r hacia atrás
com o hacia adelante. Plantéese esta pregunta: «¿Q ué inform ación se
necesita p ara llegar a la conclusión deseada?»
Ejemplo
D ado: Z ] s Z _ 2 , Z 3 s ¿ 4
A B s CD.
Pruébese: a A G C
ABED.
Considérese el problem a siguiente u tilizando las p reg u n tas y
respuestas que se d a n com o ayuda p a ra resolver el problem a.
a. Pregunta: ¿C óm o se puede d em o strar que los triángulos son congruentes?
b. Pregunta: ¿Q ué segm entos son congruentes?
c. Pregunta: ¿Q ué lad o s de los triángulos puede d em ostrarse que son
congruentes?
d. Pregunta: ¿Q ué ángulos de los triángulos puede d em ostrarse que son
congruentes?
PROBLEMAS________________________________________
Resuélvanse los p roblem as siguientes co n el m éto d o de tra b a jo hacia atrás.
1. D ado: A D 1 A B , CD 1 A B
E F biseca, y es
p erpendicular, a DC.
Encuéntrese: AF.
D
fA
2.
V
t
F ------ -------B
D
a. ¿Q ué clase de trián g u lo es A A D F 1
b. ¿P uede usarse aq u í el teo rem a de Pitágoras?
c. P a ra e n co n trar AF, ¿qué lado de A A D F es
necesario encontrar?
d. ¿Q ué se sabe acerca de D F l
D ado: m Z B A D = w ¿ D C B -- 90,
A E _L B D , F C i . BD ,
A B = C D = 9, A D = B C = 12.
Encuéntrese: EF.
3. Supóngase que Z l = * Z 2 y Z 3 = = 4_¿C uál debe ser
la m edida de Z C p a ra que D E || G F ?
a. Supóngase que DE || GF. Entonces, m L D E F + m Z G F E
= 180.
b. Sea m Z l = m L 2 = x, y m Z 3 = m L 4 = y. Encuéntrese
un a expresión p a ra w Z 2 + m Z 4 y después p a ra m L C .
c. Inviértase el ord en de este razo n am ien to p a ra p ro b a r
que la respuesta asegura que D E || GF.
33 9
C A P IT U LO
10.1
D e fin ic io n e s b á s ic a s
10.2
L a m e d ic ió n e n g r a d o s d e lo s a r c o s
10.3
C u e r d a s y d is t a n c ia s d e s d e e l c e n t r o
10.4
P e r p e n d ic u la r e s a la s c u e r d a s
10.5
T a n g e n te s a lo s c í r c u lo s
342
346
350
354
360
10.6
T a n g e n te s d e s d e u n p u n to a u n c í r c u lo
10.7
M e d id a s d e á n g u lo s in s c r it o s
10.8
A n g u lo s fo r m a d o s p o r c u e r d a s
10.9
A n g u lo s y s e g m e n t o s fo r m a d o s p o r t a n g e n t e s
y s e c a n te s
364
368
374
378
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
386
R esum en
R e s u m e n g lo b a l (C a p s. 8 a 10)
L a g e o m e tría en n u es tro m undo
A g r im e n s u r a : e l t e o d o lit o
390
38 9
387
E xam en
38 8
Círculos
341
342
C írculos
10.1
Definiciones básicas
mmimM
R ecuérdese q u e u n círc u lo es u n c o n ju n to de
p u n to s e n u n p la n o q u e e stá n situ a d o s a la
m ism a d ista n c ia d e u n p u n to fijo.
E n e sta sección se d efin irá n térm in o s
re la cio n ad o s c o n los círculos.
Definición 10.1
C a d a p u n to del círculo es el
e x tre m o de o tro radio.
U n radio de u n círculo es un
segm ento cuyos extrem os son
el centro del circulo y un
p u n to del círculo.
CD es u n a cuerda O A.
Definición 10.2
C a d a p a r d e p u n to s del
círculo d e te rm in a u n a
c u e rd a del círculo.
U n a cuerda de u n círculo es
u n segm ento cuyos extrem os
son d o s p u n to s del círculo.
GH es u n diámetro de
O A . C a d a p a r d e p u n to s
Definición 10.3
del círculo colineales c o n A
d e te rm in a n u n d iá m e tro del
círculo.
U n diám etro de un círculo es
un a cuerda que contiene el
centro del círculo.
A B es el radio de O A.
10.1
D e fin ic io n e s b á s ic a s
343
C u e r d a s , r a d io s y d iá m e tr o s s o n s e g m e n to s re la c io n a d o s c o n lo s
c írc u lo s. L a s d e fin ic io n e s s ig u ie n te s d e s c rib e n a lg u n a s re c ta s y á n g u lo s
ta m b ié n r e la c io n a d o s c o n lo s círcu lo s.
ex
Definición 10.4
L a r e c ta i s ó lo tie n e a B
co m o p u n to c o m ú n con
O A.
L a r e c ta l es ta n g e n te a Q A .
E l p u n t o B e s el p u n to de
tangencia.
U n a tangente a un círculo es
una recta que interseca al
círculo exactam ente en un
punto.
Definición 10.5
&
L a r e c ta m tie n e d o s p u n to s
e n c o m ú n c o n O A.
L a r e c ta m e s u n a s e c a n te de
(DA.
U n a secante de u n círculo es
u n a recta que interseca al
círculo exactam ente en dos
puntos.
Definición 10.6
E l v é rtic e d e L G H I e s tá e n
O A. L o s la d o s d e L G H I
in te rs e c a n a Q A e n los
p u n to s G e / .
¿ G H I es u n án gu lo inscrito.
U n ángulo inscrito es un ángulo
co n vértice en el círculo y con
lados que contienen cuerdas del
círculo.
Definición 10.7
E l v é rtic e d e L K A J es el
c e n tr o d e O A
L K A J es u n á n g u lo central.
M
U n ángulo central es un ángulo
cuyo vértice está en el centro de
un círculo.
Se d efin e u n arc o c o m o u n a p a r te c o n tin u a
d e u n c írc u lo . Se e sc rib e L M p a r a
re p r e s e n ta r a l arco L M . U n arco
in tercep ta do e s u n a r c o c o n e x tre m o s en
lo s la d o s d e á n g u lo s in s c rito s o c e n tra le s.
344
C írc u lo s
EJERCICIOS____________________
A.
1. C ítense to d as las cuerdas de la figura.
2. C ítense los diám etros de la figura.
3. C ítense p o r lo m enos cu atro arco s de la figura.
4. C ítense to d o s los rad io s de la figura.
(Ejercicios 1-4)
E
5. D ibújese u n círculo con cen tro T. T rácese u n a recta tangente
al círculo en el p u n to B. T rácese una recta secante que
interseque al círculo en los p u n to s F y G.
6. D ibújense un círculo y u n ángulo inscrito. Si el arco
intercep tad o p o r ese ángulo es PQ, localícese en el círculo.
7. D ibújense un círculo y u n ángulo central. Si el arco
intercep tad o p o r ese ángulo es X Y, localícese en el círculo.
8. D ibújese un círculo y localícese un arco según se m uestra en
la figura. D espués, dibújese un ángulo inscrito que intercepte
a ÁB.
9. D ibújese u n círculo y denom ínese CD a un arco. D ibújense
d os ángulos inscritos diferentes, am bos con el arco
in tercep tad o CD.
O
10. C ítense to d o s los ángulos con el arco interceptado A B y con
el arco intercep tad o CD.
11. C ítense to d o s los ángulos
ACTIVIDADES!
C on un c o m p á s , d ib ú je n s e e je m p lo s e n g ra n d e d e c a d a u n o d e lo s d is e ñ o s de
« té c n ic a d e c o m p á s » q u e s e ¡lu s tra n a c o n tin u a c ió n . E la b ó re n s e d is e ñ o s o rig in a le s
y c o lo ré e n s e de m a n e ra in te re s a n te .
10.1
D e fin ic io n e s b á s ic a s
12. C ítense to d o s los ángulos que ten g an al m enos un lado
en una tangente.
13. C ítense to d o s los ángulos centrales.
P a ra los ejercicios 14 a 16, dibújese un círculo A.
14. T rácese u n segm ento que tenga un extrem o
en el círculo p ero que n o sea u n a cuerda.
15. T rácese un segm ento que esté p o r com pleto
d e n tro del círculo p ero que n o sea u n a cuerda.
16. Trácese u n segm ento q u e interseque al círculo en dos puntos y
contenga al centro, p ero que n o sea un radio, u n diám etro o
u n a cuerda.
P a ra los ejercicios 17 a 19, dibújese un circuló B.
17. T rácese un recta que no sea ni secante ni tangente.
18. D ibújese un ángulo que tenga su vértice en el círculo y que
interseque al círculo p ero que n o sea un áng ulo inscrito.
19. T rácese un ángulo con d os lad o s intersecando al círculo y
cuyo vértice n o esté fuera del círculo, pero que no sea un
áng u lo central ni un áng u lo inscrito.
20. U n asidero de 0.41 cm de d iám etro se reduce a un diám etro
de 0.34 cm. ¿Cuál fue la p rofundidad del corte?
21. L os aviones del vuelo N ueva Y o rk-P aris suelen volar sobre
Irlanda. ¿ P o r qué se eligió esta ru ta? (Sugerencia: Em pléese un
globo terráq u eo y u n a regla flexible.)
SOLUCION D E PROBLEMAS___________________
E ste p o líg o n o co n fo rm a d e e s tre lla p u e d e c o n s tru irs e d e v a ria s m a n e ra s :
a. m a rc a n d o c in c o p u n to s ig u a lm e n te e s p a c ia d o s e n u n c írc u lo .
(P uede e m p le a rs e un tra n s p o rta d o r.)
b . e m p e z a n d o en un p u n to S y u n ie n d o c a d a d o s p u n to s a m e d id a
q ue s e re c o rre e l c írc u lo e n la d ire c c ió n e n q u e g ira n las
m a n e c illa s d e l re lo j.
A é s te ú ltim o s e le lla m a p o líg o n o d e e s tre lla j^ J .
1.
¿ P ueden c o n s tru irs e lo s p o líg o n o s d e e s tre lla
2. ¿Qué p u e d e d e c irs e a c e rc a d e lo s p o líg o n o s d e e s tre lla
j^ j,
J , etc.?
345
346
C írc u lo s
10.2
La medición en grados
de los arcos
C u a n d o se elig e n d o s p u n to s
e n u n c írc u lo (q u e n o sea n
e x tre m o s d e u n d iá m e tro ), se
d e te r m in a n d o s a rc o s . A u n o
se le lla m a arco m a y o r, y al
o tr o , arco menor.
Definición 10.8
U n arco m enor es un arco
qu e está en el in terio r de un
ángulo central, de lo con trario
se d enom ina arco m ayor.
A
A B s im b o liz a s ie m p re a l a r c o
m e n o r d e te r m in a d o p o r los
p u n to s A y B. P a r a
s im b o liz a r a l a r c o m a y o r, se
m a r c a u n te rc e r p u n to . A C É
sim b o liz a a l a rc o m a y o r
d e te r m in a d o p o r A y B.
L a m e d id a d e u n a rc o se
d e te r m in a p o r la m e d id a d e
u n á n g u lo c e n tra l. P o r
e je m p lo , m A É = m / L A O B =
= 70 y m A C B = 36 0 - 7 0 =
= 290.
B
E l p u n to C e s tá s o b re el a rc o
A B . D o s a rc o s , A C y C B , se
s u m a n p a r a f o r m a r el a rc o
AB.
Definición 10.9
L a m edida de un arco m enor es
la m edida de su ángulo central
asociado. L a m edida de un arco
m ayor es 360, m enos la m edida
del arco m en o r asociado.
Postulado de la suma de
arcos
Si C_está en Á B , entonces
m A C + m C B = mAB.
10.2
L a m e d ic ió n en g ra d o s d e lo s a rc o s
347
Definición 10.10
L o s a rc o s D C y B A d e este
c írc u lo m id e n 50° c a d a u n o ,
y se d ic e q u e lo s a rc o s son
co ngruentes.
Si dos arcos de un circulo
tienen la m ism a m edida, se dice
que son congruentes. Si A B y
CD son congruentes, se escribe
A B s CD.
E l r a d io A B tie n e la m is m a
lo n g itu d q u e el r a d io CD.
L o s c írc u lo s d e te rm in a d o s
p o r e s to s r a d io s s o n
c o n g ru e n te s .
Definición 10.11
D o s círculos son congruentes si
tienen radios de igual longitud.
O b s é rv e s e e n la s d o s fig u ra s s ig u ie n te s la re la c ió n e x iste n te e n tr e c u e rd a s
c o n g ru e n te s y su s a rc o s.
D a d a s la s c u e r d a s c o n g ru e n te s
A B = CD.
¿E s A B = C D }
¿ P o r q u é?
D a d o s lo s a rc o s c o n g ru e n te s
A B s CD .
¿E s A B s C D ?
¿ P o r q u é?
E s ta s fig u ra s s u g ie re n lo s te o re m a s sig u ie n te s.
Teorema 10.1
Teorema 10.2
V-
E n u n c írc u lo , o e n c írc u lo s c o n g ru e n te s , la s c u e rd a s
c o n g ru e n te s tie n e n a rc o s m e n o r e s c o n g ru e n te s.
E n u n c írc u lo , o e n c írc u lo s c o n g ru e n te s , lo s a rc o s
m e n o re s c o n g r u e n te s tie n e n c u e r d a s c o n g ru e n te s .
348
C írc u lo s
EJERCICIOS
A.
1. ¿E stá el p u n to D en BAC1
¿Está D en A B l
2. C ítense tres arcos m enores. Cítense
tres arco s m ayores. C ítense tres
ángulos centrales.
3. E ncuéntrense las siguientes m edidas
en grados.
a. m A B ^
c. tn BC A .
b. mAC
d. m A B C .
4. E ncuéntrense las siguientes m edidas
en grados.
a. mAÍB.
b. m /L B O C .
c. m B D .
d. m L C O G .
5. E ncuéntrense las siguientes m edidas
en grados.
a. mDF.
b. mEG.
c. mECG.
6. C ítense to d o s los arcos m enores que contengan
al p u n to C.
7. C ítense tres pares de arcos m enores congruentes.
8. Cítese u n p a r de arcos m ayores congruentes.
9. S upóngase que m L A O B = 40, m L B O C = 20 y m L C O D = 40.
C ítense to d o s los pares de cuerdas congruentes.
ACTIVIDADES
1. D ib ú je s e un c írc u lo c o n ra d io d e 4 c m e
in d íq u e s e un p u n to A en e l c írc u lo .
2. C on un tra n s p o rta d o r, m á rq u e n s e p u n to s
c a d a 10° a lre d e d o r d e l c írc u lo , e m p e z a n d o
en A.
3. C ada un o d e e s o s p u n to s e s el c e n tro d e un
c írc u lo q ue p a s a p o r A . D ib ú je n s e los
c írc u lo s . (Y a se d ib u ja ro n 3 d e e llo s .)
4. A d iv ín e s e c u á l s e rá la fo rm a d e la fig u ra
re s u lta n te .
10.2
L a m e d ic ió n e n g ra d o s d e los a rc o s
B.
En los ejercicios 10 a 12, háganse dibujos precisos y
respóndase a las preguntas.
10. ¿Tiene la cu erd a de u n arco de 90° de un círculo doble
longitud que la cu erd a correspondiente a un arco de 45o?
11. ¿Se duplica la m edida del áng u lo central si se duplica la
m edida de un arco m enor?
12. Supóngase que en el círculo O, O A y O B son radios y
O A = OB = A B . ¿C uál es la m edida de LAOB"!
13. Pruébese el teorem a 10.1.
14. Pruébese el teorem a 10.2.
H
C.
15. D ado:
E S = AY.
Pruébese: E A = S Y.
17. D ado:
A B y CD son diám etros.
Pruébese: A C B D es un paralelogram o.
18. Pruébese que si los vértices de un
trián g u lo equilátero está n sobre un
círculo, el círculo se divide en tres arcos
congruentes.
19. D ado:
P O S es un d iám etro de O O
S R || OQ-
Pruébese: R Q s QP.
SO LU C IO N D E PROBLEMAS
1. D ib ú je n s e lo s c írc u lo s C , y C 2, d e d ife re n te ta m a ñ o .
2. ¿ C u á n to s c írc u lo s h a y c o n c e n tro s c o lin e a le s
q u e to q u e n a lo s c írc u lo s d a d o s e x a c ta m e n te en
un p u n to ? (S e h a d ib u ja d o u n o d e e llo s .)
3. D ib ú je n s e e s to s d o s c írc u lo s . (P rim e ro
c o n s trú y a n s e lo s c e n tro s d e los c írc u lo s . No e s
n e c e s a rio h a c e r c o n je tu ra s .)
349
350
C írc u lo s
10.3
Cuerdas
y distancias
desde el centro
L a fo to g ra fía m u e s tr a u n a b r o c a de
u n ta la d r o e lé c tric o c u y a c a b e z a tie n e tre s
su p erficie s p la n a s . U n a c a ra c te r ís tic a
n e c e s a ria d e e s te d is e ñ o es q u e la s tre s
su p erficie s p la n a s e s té n a ig u a l d is ta n c ia
del e je d e r o ta c ió n p a r a a s e g u r a r q u e la b r o c a
se d eslic e c o n s u a v id a d .
E l te o r e m a d e e s ta se c c ió n d e s c rib e u n m é to d o p a r a d e te r m in a r q u e se
s a tisfa g a e s ta c o n d ic ió n .
E n c a d a fig u ra se d a u n p a r d e c u e r d a s c o n g ru e n te s .
CS = JN
FD = D N
¿ E s I L = l i l i e n c a d a c a so ?
E s to s e je m p lo s s u g ie re n e l te o r e m a sig u ie n te .
Teorema 10.3
E n u n c írc u lo , o e n c írc u lo s c o n g ru e n te s , la s c u e rd a s
c o n g ru e n te s e q u id is ta n d el c e n tro .
PR U EB A
D ad o : O O, A B s s CD , Ó M _L Á B , O L J_ CD.
P ruébese: O M = OL.
10.3
Afirm aciones
C u e rd a s y d is ta n c ia s d e s d e e l c e n tro
Razones
1. A B = CZ).
1. D ado.
2. O A - O B = O C - OZ>.
2. D efinición de círculo.
3. Ó A s Ó B s Ó C s Ó D .
3. D efinición de segm entos congruentes.
4. A A O B s A C O D .
4. C ongruencia LLL.
5. Z 1 s s Z 2 .
5. P C T C C .
6. ÓM 1 Ze, O í 1 CZ).
6. D ado.
7. Z O M B =s Z O LD , Z OM B.
y Z O L D son ángulos rectos.
7. L a s rectas perpendiculares form an
ángulos rectos congruentes.
8. A O M B y A O L D son
trián g u lo s rectángulos.
8. Definición de triángulo rectángulo.
9. A O M B s
9. C ongruencia de la hip o ten u sa y el
ángulo.
A OLD.
10. Ó M s O L .
10. P C T C C .
11. O M = OL.
11. Definición de segm entos congruentes.
A PLICA CIO N
L a b r o c a d e la fo to g ra fía d e b e e s ta r
e q u ilib r a d a p a r a q u e fu n c io n e c o n su a v id a d .
¿ C ó m o d e b e c o n s tr u ir s e la c a b e z a d e la
b ro c a p a r a q u e e s té e q u ilib ra d a ?
Si lo s s e g m e n to s A B , C D y E F so n
c o n g ru e n te s , e n to n c e s , p o r el te o r e m a 10.3,
e q u id is ta n d e l c e n tr o d e l c írc u lo q u e c o n tie n e
a lo s a r c o s A B , C D y E F . E s to a s e g u r a el
e q u ilib r a d o d e la b ro c a .
L a r e c íp r o c a d e l te o re m a 10.3 ta m b ié n e s im p o r ta n te y se p r e s e n ta a c o n tin u a c ió n .
Teorema 10.4
E n u n círculo, o e n círculos co n g ru en tes, las cu erd as
e q u id ista n te s d e l c e n tro so n congruentes.
351
352
C irc u io s
EJERCICIOS
1. D ado:
A B = CD
O X ± A B , O Y _L CD
O X = 3.
Encuéntrese: OY.
2. D ado:
OX = OY
O X L A B , O Y .L CD
A B = 10.
Encuéntrese: CD.
3. D ado:
ÓM ± A B ,O Ñ ± C D
A B = CD
m A M O N = 150.
Encuéntrese: m L O M N (Sugerencia: ¿Es
O M = ON1)
4. D ado:
Ó M ± A B , Ó Ñ ± CD
A B = CD
m L N M B = 70.
Encuéntrese: m L M O N .
5. D ado:
Pruébese:
A B , B C y C A equidistan
del cen tro O.
A A B C es equilátero.
ACTIVIDADES
La tra y e c to ria d e s c rita p o r u n p u n to 6 d e un c írc u lo q u e
ru e d a a lre d e d o r d e un c írc u lo fijo d e l m is m o ra d io e s u n a
c u rv a d e n o m in a d a c a rd io id e .
U na c a rd io id e ta m b ié n p u e d e d ib u ja rs e co n u n v a rilla je
a rtic u la d o c o m o el q u e s e m u e s tra e n la fig u ra .
S íg a n s e e s ta s in s tru c c io n e s y d ib ú je s e u n a c a rd io id e .
1. C o n s trú y a s e un v a r illa je a rtic u la d o co n c a rtu lin a c o m o el
q u e se m u e s tra e n la fig u ra . O b s é rv e s e q u e B C = A D = a,
A B = CD = b, D E = A F = c y a 2 = be. (S u g e re n c ia : S ea
a = 6 cm , b = 32 c m y c = 8 cm .)
2. F íje s e e l v a r illa je a u n a s u p e rfic ie d u ra y p la n a e n los
p u n to s E y F.
3. C o lo q ú e s e un lá p iz e n 6 y d ib ú je s e la c a rd io id e .
\J
(Ejercicios 3, 4)
10.3
^6. D ado:
OX = O Y _
C u e rd a s y d is ta n c ia s d e s d e e l c e n tro
353
_
0 X 1 R S , J D Y 1 TU.
Pruébese: m R S -- mTU.
7. Dado:
En el círculo O, O X ± A B ,
O Y -L CD
m ¿ 1 = mZ2.
Pruébese: A B — CD.
8. D ado:
En el círculo O, O X ± A B ,
O Y J_ CD
CD = AB.
Pruébese: m ¿ 1 = m Z 2 .
(Ejercicios 7, 8)
9. C on frecuencia, piezas de m áq u in as com o
la que se m uestra sólo funcionarán
adecu ad am en te si las ran u ras están
«centradas». ¿P or qué al m edir A B y CD
se sabe si las ran u ras están cen trad as o no?
10. Este ejercicio p resen ta una p ru eb a del teorem a
D ado:
C irculo O, O E = O F
O E 1 A B , O F X CD.
Pruébese: A B = CD.
(Sugerencia: T rácense rad io s y em pléense
triángulos congruentes.)
11. D ado:
En el círculo O, O X _L N E ,
Ó Y±ÁT
L X Z O s Z YZO.
Pruébese: N E - AT.
T
_ SO LU C IO N D E PROBLEMAS
L a re g ió n c e n tra l d e e s te h ilo ra m a p a re c e c irc u la r.
E x p liq ú e s e p o r q u é e s a s i. E sto es, e x p liq ú e s e p o r q u é los
p u n to s m e d io s d e lo s s e g m e n to s q u e c o n fo rm a n lo s b o rd e s
d e la re g ió n c e n tra l e q u id is ta n d e un p u n to c e n tra l
im a g in a rio . (P u e d e a s u m irs e q u e lo s c la v o s d e los
e x tre m o s d e c a d a c u e rd a e s tá n ig u a lm e n te e s p a c ia d o s
a lre d e d o r d e un c írc u lo .)
V
354
C írc u lo s
10.4 Perpendiculares
a las cuerdas
P a r a e n c o n tr a r el c e n tr o d e u n a m e sa
r e d o n d a se p u e d e u s a r u n a e s c u a d r a d e
c a rp in te r o . E l te o r e m a d e e s ta se c c ió n
e x p lic a c ó m o h a c e rlo .
E s ta s fig u ra s ilu s tr a n u n a p r o p ie d a d d e la s b ise c tric e s
p e rp e n d ic u la re s d e u n a c u e r d a . E n c a d a fig u ra , l es la b ise c triz
p e rp e n d ic u la r d e la c u e r d a A B .
¿ P a s a la r e c ta í p o r el p u n t o O?
E s ta s tre s fig u ra s s u g ie re n el s ig u ie n te te o re m a .
Teorema 10.5
L a b ise c triz p e r p e n d ic u la r d e u n a c u e r d a c o n tie n e a l c e n tro
d e l c írc u lo .
PRUEBA
D a d o : A B e s u n a c u e r d a d e l c írc u lo
O y t es la b is e c triz
p e r p e n d ic u la r d e A B .
P ruébese: O es u n p u n t o d e i .
10.4
P e rp e n d ic u la re s a la s c u e rd a s
Razones
Afirm aciones
1. i es la bisectriz p erp en d icu lar de A B .
1. D ado.
2. O A = OB.
2. D efinición de círculo.
3. 0 está en t .
3. U n p u n to eq uidistante de los
p u n to s A y B pertenece a la
bisectriz perpendicular de AB.
(T eorem a 6.10.)
A PLICA CIO N
E n cu é n trese el c e n tro d e u n a m esa re d o n d a .
P a s o 1 S elecciónense d o s c u e rd a s cu alesq u iera
Á B y CD.
P a s o 2 T rá c e n se la b isectriz p e rp e n d ic u la r p de^
A B y la b isectriz p e rp e n d ic u la r q de CD.
C onclusión: P o r el te o re m a 10.5, se concluye q u e el c e n tro está
e n a m b a s rectas, p y q. E n consecuencia, el ce n tro d e la m esa
d eb e ser la in tersección d e estas d o s rectas.
A c o n tin u a c ió n se p re s e n ta n o tro s d o s teo re m as im p o rtan tes.
Teorema 10.6
Si u n a re cta q u e p a s a p o r el c e n tro d e u n círc u lo es
p e rp e n d ic u la r a u n a c u e rd a q u e n o es u n d iá m e tro , entonces
b iseca a la c u e rd a y a su a rc o m en o r.
Teorema 10.7
Si u n a re c ta q u e p a s a p o r el ce n tro d e u n círculo biseca a
u n a cu e rd a q u e n o es u n d iá m e tro , en to n ce s es p e rp e n d ic u la r
a la cu erd a.
E l te o re m a 10.6 p u ed e em p learse p a r a e n c o n tra r in fo rm ac ió n
so b re círculos.
Ejemplo
D ad o :
x
O O d e ra d io 4 pulgadas.
O X 1 PQ. L a c u e rd a PQ
e stá a 1 p u lg a d a d e O.
E n c u é n tre se : p Q .
L a in fo rm ac ió n d a d a dice q u e O P = 4 (¿ P o r qué?), y q u e 0 7 = 1
(¿ P o r qué?). Al a p lic a r el te o re m a d e P itá g o ra s a A O PY, p u ed e d e te rm in a rse
q u e P Y = y / l 5 . El te o re m a 10.6 in d ica q u e O X biseca a PQ. P o r ta n to ,
355
356
C írc u lo s
EJERCICIOS
A.
1. T rácese la figura de la derecha.
E n cuéntrese el centro de los arcos y
com plétese el círculo.
2. C o n u n com pás y u n a regla, trácese
u n a figura que ilustre los teorem as 10:6
y 10.7.
En la figura de los ejercicios 3 y 4, O es el centro del círculo.
3. Si O C 1 A B , ¿qué relación hay en tre m Á C y mCB?
4. Si A D = 3 y B D = 3, encuéntrese m L B D C .
E n los ejercicios 5 a 7, determ ínese qué teorem a (10.5, 10.6
ó 10.7) se em pleó p a ra llegar a la conclusión.
5. D ado:
O O con AO D com o altura
d_e_A-4.BC.
Conclusión: AD biseca a BC.
D ado:
(Ejercicios, 3, 4)
6. Dado:
El_diám etro A B biseca a CD.
Conclusión: A B 1 CD.
(i_es la bisectriz p erpendicular de
CD.
t j j s la bisectriz p erpendicular de
AB.
f i y 1 2 se intersecan en X .
Conclusión: X es el c en tro del círculo.
E n los ejercicios 8 a 10, encuéntrese la inform ación que falta.
O es el cen tro de ca d a círculo.
AB = ?
y
¿Cuál es la longitud del
radio?
¿A qué d ita n d a del
centro está A B ?
10.4
P e rp e n d ic u la re s a la s c u e rd a s
B.
11. E n un círculo de radio 5 cm, A B es una cuerda que m ide
8 cm. ¿Q ué distancia hay en tre A B y el centro del círculo?
(H ágase un bosquejo p a ra a y u d ar a la solución del
problem a.)
12. Dado:
C_es e ljn m to m edio de A B
C E 1 AB.
C E = 2 pulgadas, A B = 1 6 pulgadas.
Encuéntrese: La longitud de un rad io del círculo.
A M - M B — 6 cm
A O — 10 cm.
Encuéntrese: OM .
13. Dado:
14. Dado:
Ó M _L A B
O M = 5 , A O = 13.
Encuéntrese: A B .
15. Dado:
M es el p u n to m edio de A B
OM = M B
O B = y/2.
Encuéntrese: AB.
(Ejercicios 13-15)
16. D os cuerdas de un círculo tienen la m ism a longitud. La
distancia en tre cada una de ellas y el cen tro se representa p o r
x 2 y 4x, respectivam ente. ¿Q ué distancia hay entre cada
cuerda y el centro?
C
U n círculo co n ,46 = 8 pies
y m L A B C = 45.
Encuéntrese: L a distancia en tre O y BC.
17. Dado:
fí
18. D ibújese un círculo O y m árquese un
p u n to P d en tro del círculo. C on un
com pás y u n a regla, trácese u n a cu erd a a
la que biseque P.
19. E n u n a excavación, u n arqueólogo
en co n tró un tro zo de rueda. E sta rueda
puede reconstruirse d eterm inando su
ra d io original. Expliqúese cóm o puede
realizarse esto.
/
357
C írc u lo s
C
20. D ado:
A B || CD
E F es la bisectriz perpendicular de AB.
Pruébese: E F biseca a CD.
A
21. D ado:
Pruébese:
XY
XY
XY
AB
es u n diám etro
biseca a A B
biseca a CD.
II CD.
O
B
22. Dado:
AB
AB
AO
PX
Encuéntrese: X Y
y CD son diám etros
-L CD
= 10 cm
L CD y P Y L A B .
23. U n círculo O tiene de r a ¿ : ' 10 cm. Las
cuerdas A B y C,D son perpendiculares y se
intersecan en un p u n to F del interio r del
círculo. Si A B = 16 y CD = 18, encuéntrese
DF.
ACTIVIDADES1 1
1. D ib ú je s e e s ta fig u ra y re c ó rte n s e las p ie z a s .
2. C o lo q ú e n s e la s p ie z a s p a ra fo r m a r d o s
re g io n e s o v o id e s y s in un ce n tro .
3. D ib ú je s e e l ro m p e c a b e z a s c o n un c o m p á s.
(S e n e c e s ita rá d e te r m in a r c u id a d o s a m e n te el
c e n tro d e c a d a a rc o . No e s n e c e s a rio h a c e r
c o n je tu ra s .)
A
\D
10.4
P e rp e n d ic u la re s a la s c u e rd a s
24. D ado:
D os circuios con cen tro 0
A,
B , C' y D son colineales.
Pruébese: A B — CD.
25. D ado:
m P M = rrM Q
XM ±O P
Y M _L ÓQ.
Pruébese: X M = YM.
'
( x
pV >T
J
\
I
(Sugerencia: Trácese O M y em pléense triángulos
congruentes.)
26. D ado:
A B es una cu erd a com ún a los círculos O y O'.
Pruébese: 0 0 ' es la bisectriz p erpendicular de A B .
27. D ado:
O C biseca a A c É .
Pruébese: O C biseca a A B .
SOLUCION D E PROBLEMAS
U sa n d o e l m é to d o d e s c rito e n la s a c tiv id a d e s
d e la p á g in a 348, s e d ib u jó u n a c a rd io id e .
L o s p u n to s b ; C s o n c e n tro s d e lo s c írc u lo s
qu e p a s a n p o r A y s e e n c u e n tra n d e n u e v o en el
p u n to D.
¿ P o r q u é so n c o n g ru e n te s A A B C y A DSC?
/
359
360
C írc u lo s
10.5
Tangentes
a los círculos
REPASO: U n a recta es tangente a un círculo si lo
interseca exactam ente en u n punto.
S u p ó n g a s e q u e se d e s e a n r e d o n d e a r las
e s q u in a s d e u n p ie z a d e m a d e r a p a r a
c o n s tr u ir u n a m e s a p e q u e ñ a . P a r a q u e el
tr a b a jo e s té b ie n h e c h o , d e b e e n c o n tr a r s e la
fo r m a d e tr a z a r u n a rc o . L o s b o rd e s d e la
ta b la d e b e n s e r ta n g e n te s a l a rc o c irc u la r.
¿ C ó m o p u e d e tr a z a r s e este a rc o ?
U n o d e lo s te o re m a s d e e s ta se c c ió n a y u d a a re so lv e r el p ro b le m a .
E n c a d a u n a d e e s ta s fig u ra s, O A es u n ra d io y (, es p e r p e n d ic u la r a
O A e n A.
¿E s ( u n a ta n g e n te ?
E sta s o b s e rv a c io n e s su g ie re n el te o r e m a sig u ie n te .
Teorema 10.8
Si u n a r e c ta es p e r p e n d ic u la r a u n r a d io e n u n p u n to d e l
c irc u lo , e n to n c e s la re c ta es ta n g e n te a l círc u lo .
PRUEBA
D a d o : ¿ j_ ÓA_
P ru é b e se : ¿ es ta n g e n te a l c írc u lo .
P la n : H á g a s e u n a p r u e b a in d ire c ta . S u p ó n g a s e q u e l n o es
ta n g e n te a l c írc u lo . E s to sig n ific a q u e i n o in te rs e c a a l c írc u lo
o q u e lo in te rs e c a en d o s p u n to s . A h o r a se a n a liz a r á la ú ltim a
su p o sic ió n .
10.5
Afirm aciones
T a n g e n te s a lo s c irc u io s
Razones
1. t interseca al círculo en un
1. Suposición de la prueba
indirecta.
segundo p u n to B.
2. OA ± 1
2. D ado.
3. OB es u n a h ip o ten u sa de un
triáng u lo rectángulo.
3. Definición de hipotenusa.
4. OB > OA.
4. L a longitud de la hipotenusa es
m a y o r que la longitud de
cualquier lado.
5. OB = OA.
5. D efinición de círculo.
L a s a firm a c io n e s 4 y 5 s o n c o n tr a d ic to r ia s . P o r ta n to , la s u p o s ic ió n es falsa
y la r e c ta f, es ta n g e n te a l c írcu lo .
A PLICA CIO N
A h o r a y a se p u e d e re s o lv e r el p r o b le m a p la n te a d o al
p rin c ip io d e e s ta secció n .
Paso 1 D ibújese la bisectriz del ángulo,
P aso 2 Elíjase u n p u n to 0_en la_bisectriz y dibújense las
perpendiculares O A y O B a los lados del ángulo.
P aso 3 El p u n to O de la bisectriz del ángulo es equidistante de los
lados de los ángulos. P o r tan to , O A = OB. D ibújese el círculo
con cen tro O que pase p o r A y B.
L o s b o r d e s d e la t a b la s o n ta n g e n te s a l c írc u lo p o r el te o re m a
10 . 8 .
A h o ra se p r e s e n ta n o tr o s d o s te o re m a s s o b r e ta n g e n te s.
Teorema 10.9
Teorema
10.10
Si u n a r e c ta e s ta n g e n te a u n c írc u lo , e n to n c e s el r a d io tr a z a d o
h a s ta el p u n t o d e c o n ta c to e s p e r p e n d ic u la r a la ta n g e n te .
Si u n a r e c ta es p e rp e n d ic u la r a u n a ta n g e n te e n u n p u n to
d e l c írc u lo , e n to n c e s la re c ta c o n tie n e a l c e n tr o d e l círc u lo .
361
362
C írc u lo s
EJERCICIOS
A.
1. D ibújese un círculo O y m árquese en él
un p u n to P. T rácese una tang en te al
círculo a través de P.
2. T rácese la figura siguiente, en la cual l y t ' son tangentes en
los p u n to s P y Q, respectivam ente. E ncuéntrese el centro del
círculo. (Sugerencia: Em pléese el teorem a 10.10.)
3. A X es tangente al círculo en A.
m L A O X = 51. m ¿ A X O = X .
4. A X es tangente al círculo en A. Si
O A = 10 y A X = 24, encuéntrese OX .
B.
5. Dado:
Pruébese:
R A y PB son tangentes
OA y OB son rad io s de 4 cm
P A 1 PB.
A O B P es u n cuadrado.
ACTIVIDADES
D ib ú je s e , m á rq u e s e y re c ó rte s e e n c a rtu lin a
un a fig u ra c o m o la s ig u ie n te , d e n o m in a d a a
v e c e s to m a h a w k (h a c h a d e g u e rra d e lo s in d io s ).
_
w
1. T rá c e s e A D d e m a n e ra q u e
A B = B C = CD.
2. T rá c e s e u n s e m ic írc u lo e n BD.
3. T rá c e s e BE 1 AD y c o m p lé te s e
la fig u ra c o m o s e m u e s tra .
4 . C o ló q u e s e e l to m a h a w k
s o b re L \N X Y d e m a n e ra q u e :
x
a. X e s té s o b re BE.
b. A e s té s o b re u n ra y o d e l á n g u lo .
m ¿Y XZ = \m ¿ w x z
c. El b o rd e s e m ic ir c u la r d e l to m a h a w k
s e a ta n g e n te a l o tro b o rd e d e l á n g u lo .
5. E n to n c e s , XC e s la tr is e c tr iz d e l á n g u lo .
E m p lé e s e un to m a h a w k p a ra tr is e c a r v a rio s á n g u lo s .
10.5
T a n g e n te s a los c írc u lo s
363
P A y P B son tangentes
PA 1 PB
OB = 8 .
Encuéntrese: OP.
6. Dado:
P A y P B son tangentes
O A y OB son radios.
8. Dado:
Pruébese:
P /l y P B son tangentes.
m Z l = m L 2.
(Ejercicio 7)
9.
Dado:
Pruébese:
P A y P B son tangentes
0 /1 y OB son radios.
O P es la bisectriz perpendicular
__
\
de
AB.
P/4 y P B son tangentes
O A y OB son radios
>
m ¿ A P B = 80.
Encuéntrese: m L A BO (Sugerencia: empléese la conclusión del ejercicio 9.)
10. Dado:
11. Dado:
Pruébese:
PA_ y P B son tangentes al círculo O
/4 C es un diám etro.
_
O P || BC.
12. Pruébese el teorem a 10.9.
/
13. Pruébese el teorem a 10.10.
I
(Ejercicios 9, 10)
/
° /
j
/
F
(Ejercicio 11)
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
P ru é b e s e q u e e l m é to d o to m a h a w k
p re s e n ta d o en la a c tiv id a d a n te r io r s irv e
p a ra p ro b a r q u e Z. 1, Z. 2 y Z- 3 son
c o n g ru e n te s .
364
C írc u lo s
10.6
Tangentes
desde un punto
a un círculo
Se le h a p e d id o a u n a g rim e n so r que
en c u en tre el c e n tro de u n a fuente circular.
P u e d e n em p learse p a r a esto u n ja ló n y un
teo d o lito . U n o de lo s teo re m as de esta
sección p ro p o rc io n a u n m é to d o p a ra
e n c o n tra r el c e n tro c o n este equipo.
E n c a d a caso, P~Á y F É son tan g en te s en A y B. T ó m en se m ed id as con
regla o tra n s p o r ta d o r p a r a e n c o n tra r las lo n g itu d es q u e faltan.
P A = 19 m m , P B = JL
P A = 33 m m , P B
P A = 20 m m , PB
m Z l = 24, m Z 2 = _L
m ¿ l = 25, m Z 2 = J _
m Z l = 38, m ¿ 2 =
Teorema 10.11
L o s seg m en to s tan g en tes a u n círc u lo d esd e u n p u n to
e x te rio r so n c o n g ru en tes y fo rm a n á n g u lo s co n g ru en tes
c o n la re cta q u e u n e al c e n tro c o n el p u n to .
10.6
T a n g e n te s d e s d e un p u n to a un c írc u lo
PRUEBA
D a d o : P A y P B s o n ta n g e n te s e n A y B.
P ru é b e se : P A = P B y L l » L2 ,
Afirm aciones
1. T rácese PO y los radios
OA y OB.
OA = OB.
3. PO = PO.
4. OA A. P l y OB L PB.
5. A POA =£ A P O S .
6. PA^PB, ¿ l s s Z 2 .
2.
Razones
1. C onstrucción.
2. D efinición de radio.
3. ¿ P o r qué?
4. ¿ P o r qué?
5. ¿ P o r qué?
6. P C T C C .
APLICACION
E l p r o b le m a d e l a g r im e n s o r q u e se in tr o d u jo
a l p rin c ip io d e e s ta se c c ió n p u e d e re so lv e rse
c o n el te o r e m a 10.11 y el h e c h o d e q u e la
b ise c triz d e u n á n g u lo es ú n ica.
P aso 1 Se colocan dos teodolitos y se determ ina
en ca d a caso la posición de los rayos
tangentes.
Paso 2 Se coloca el telescopio de los dos
teodolitos en el lu g a r de la bisectriz del
áng u lo form ado p o r las tangentes.
Paso 3 U n ja ló n situ ad o en la «línea de visión» de
am bos telescopios debe estar en el centro
del círculo.
N O T A : N o es u n dib u jo a escala
365
366
C írc u lo s
EJERCICIOS
A.
D ado:
P A y P B son tangentes
P A = 5 cm, m ¿ B P O = 17.
1. Encuéntrese: PB.
2. Encuéntrese m L A P B .
3. D ado:
P A , P B y P C son tangentes
P A = 10 cm.
Encuéntrese: PC.
(Ejercicio 3)
B.
4. D ado:
H A , A R , R D y D H son tangentes.
Encuéntrense: Las longitudes .x: e y.
5. Dado:
P A y P B son tangentes a O O
O A = 10
m L A P B = 60.
Encuéntrese: OP.
(Ejercicio 5)
6. D ado: A B , AD y BC son tangentes a O O.
Pruébese:
AD. + B C = AB.
7. D ado:
El trián g u lo rectángulo A B C
A B , BC y A C son tangentes
A B = 6, B C = 8 y -4C =_10.
Encuéntrese: L a lo n g itu d del ra d io O X .
El m o to r W a n ke l e s tá d is e ñ a d o en to rn o a
u n a c u rv a d e n o m in a d a c u rv a d e a n c h o
co n s ta n te .
C o n s tru y a n s e v a ria s fo rm a s c u rv a s
id é n tic a s d e c a rtu lin a m e d ia n te el
s ig u ie n te p ro c e d im ie n to .
1. C o n s tru y a s e un triá n g u lo e q u ilá te ro
A ABC.
2. C o n s trú y a n s e lo s a rc o s A B , Á C y BC,
c a d a u n o c o n c e n tro en el v é rtic e
o p u e sto .
3. G íre n s e e s ta s c u rv a s c o m o se m u e s tra
e n e l d ia g ra m a p a ra d e m o s tra r q u e
tie n e n el m is m o a n ch o .
(Ejercicio 7)
10.6
T a n g e n te s d e s d e u n p u n to a u n c írc u lo
367
8. D ado:
C P , CD y P B son tangentes
CD = 4, C P = 9
m / A P B = 60.
Encuéntrese: AB.
9. Dado:
Pruébese:
10. Dado:
Pruébese:
A'
tu
- gentes com unes,
com í se m uestra en la figura.
A B = CD.
(Ejercicio 9)
C írculo O £ círculo O’.
A B es u n a tangente in tern a com ún
A B biseca a 0 0 ’.
11. El co n tro l de calidad en la prod u cció n de piezas de
m aq u in aria con frecuencia requiere m éto d o s poco usuales de
m edición. P o r ejem plo, p a ra verificar la corrección de los
ángulos A y B en una pieza llam ad a «cola de m ilano», se
insertan espigas circulares com o ilustra la figura. Entonces,
se m ide la distancia X con u n m icròm etro. E n el caso de la
cola de m ilano que se m u estra aquí, ¿cuál sería esta
distancia?
12. T res discos de m etal de 10 cm de ra d io cada uno, son
tangentes entre sí. L os discos están encerrados en una
estru ctu ra m etálica con form a de trián g u lo equilátero. ¿Cuál
es la lo n g itu d de un la d o del triángulo?
W
_ SOLUCION D E PROBLEMAS
S u p ó n g a s e q u e £ e s u n a re c ta ta n g e n te a un a rc o d e la c u rv a
c o n stru id a e n la actividad a n te rio r y q u e t ' e s p a ra le la a t a
tra v é s d e un v é rtic e o p u esto .
¿Q u é relació n e x iste e n tre la d ista n c ia d q u e s e p a r a a la s
re c ta s y la longitud A B ?
368
C írc u lo s
10.7 Medidas
de ángulos
inscritos
D o s fa ro s p u e d e n s e rv ir c o m o a u x ilio a la
n a v e g a c ió n d e u n b a r c o q u e p a s a c e rc a d e la
c o s ta y p o r a g u a s p o c o p r o f u n d a s . Si el b a r c o
e s tá e n el p u n to D, e n to n c e s L A D B d e b e se r
m e n o r q u e u n « á n g u lo d e p e lig ro » c o n o c id o .
E s ta té c n ic a d e n a v e g a c ió n se b a s a e n u n
te o re m a d e s a r r o lla d o e n e s ta secció n .
Definición 10.12
U n á n g u lo in s c rito
d e te r m in a u n a r c o lla m a d o
arco interceptado.
El arco interceptado en un
ángulo inscrito ¿ A C B es el
arco A B que está en el interior
del ángulo.
E n c a d a fig u ra se d a n m A B , m L A C B y m / ADB.
E s ta s fig u ra s s u g ie re n el te o r e m a sig u ien te.
Teorema 'lO.'l2
L a m e d id a d e u n á n g u lo in s c rito es la m ita d d e l a m e d id a
d e s u a r c o in te rc e p ta d o .
10.7
M e d id a s d e á n g u lo s in s c rito s
A P L IC A C IO N 1
L a técn ica d e n av e g ació n p re se n ta d a al
p rin cip io d e esta sección se b a s a en el
te o re m a 10.12. Si u n p u n to C está e n u n
circu lo d e m a n e ra q u e el a rc o A B m id a el
d o b le q u e el « án g u lo d e peligro», en to n ces
m L A C B es igual al á n g u lo d e peligro.
Si D e stu v ie ra en este m ism o círc u lo o
d e n tro de él, en to n ces m L A D B sería ig u al o
m a y o r q u e el á n g u lo d e peligro. C u a n d o D
está fu era del círculo, m L A D B es m e n o r que
el á n g u lo d e p elig ro y el b a rc o en el p u n to D
e stá a salvo.
L a se g u n d a ap licació n se b a s a en u n caso
especial del te o re m a 10.12, q u e se fo rm u la
co m o te o re m a 10.13.
A P L IC A C IO N 2
C o n frecuencia, los d iseñ ad o res tienen que
tra z a r d o s rectas tan g en te s a u n círc u lo desde
u n p u n to d a d o fu era del círculo.
A c o n tin u a c ió n se p re sen ta u n m é to d o p a ra
re a liz a r esto.
P aso 1 T rácense O P y su p u n to m edio M desde
un p u n to P fuera de un círculo d ad o con
cen tro O.
P aso 2 T rácese el círculo con diám etro O P que
interseca aLcírculo d a d o en los p u n to s A y
B. T rácense PA y P B . El teorem a 10.12
indica que L O A P y L O B P son ángulos
rectos.
P aso 3 e i teorem a 10.8 indica que P A y P B son
tangentes al círculo dado.
Teorema 10.13
U n á n g u lo in s c rito e n u n se m ic írc u lo es u n á n g u lo recto .
369
370
C írc u lo s
EJERCICIOS
A.
50“ fi
E n los ejercicios 1 a 4, m A B = 50, m A O C = 230.
l.m ¿ A O B = J _ .
2. m L B O C = _L.
3. m ¿ A O C = J _ .
4. m /iC = X .
(Ejercicios 1-4)
(Ejercicio 6)
40'
5. E ncuéntrense las m edidas de los ángulos de
A-4SC.
A
. 60°
(Ejercicio 5) >oo
6. E ncuéntrense las m edidas de los ángulos de
ABCD.
160"
7. E ncuéntrense: m A B , m A C , y mBC.
8. D ado:
Encuéntrese:
X Y = YZ
m L Y = 40.
rnXY, m Y Z y wtYZ.
E n los ejercicios 9 a 14, m A C = 160, m A B = 75 y m C b = 45.
9. m ¿ A B C = _L.
10. m Z ^ D C = ± .
11. m É 3 = J _ .
12. m ¿ _ B A D = _L.
13. m L B C D = J_.
14. m ¿ A F B = _L.
B.
15. Dado:
BC es un diám etro
/IB = 8, X C = 6.
Encuéntrese: BC.
E n los ejercicios 16 a 19, A C es un diám etro, mCD = 66
y m ¿ C D B = 60.
16. m L A D B = J_.
17. m B C = J _ .
18. m Z B C A = J_.
19. m l B C D = JL.
} UO
10.7
M e d id a s d e á n g u lo s in s c rito s
j
20. Dado:
mMN
2 mNP
3
—
= —y—— = —
mNP
3 mMP
4
Encuéntrense: m L M , m ¿ N y m L P .
21. D ado:
m B C = 100, m A B = 80
A C es un diám etro.
BD ± A C .
Encuéntrese: a . m L B A C .
c. m l E B C .
22. Dado:
b. m L A C B .
d . mAD.
/ íC b is e c a a A B A D
m C D = 80, m A D = 160.
Encuéntrese: a . m L B A C .
b. m LBD C .
c. n i L A E B .
d. m L A D B .
23. D ado:
A C biseca a L B A D .
Pruébese: T res ángulos de A A B E son congruentes con
tres ángulos de A DCE.
24. ¿C óm o puede em plearse una
escuadra de carp in tero p ara
en co n trar el cen tro de un disco?
¿P or qué funciona este m étodo?
25. D ado:
A B es u n d iám etro del círculo O
BC es un diám etro del círculo O'
El círculo O es tangente al círculo O' en B.
Pruébese: m ¿ - 1 = m L 2.
26. P ru éb ese que to d o s los ángulos inscritos que tengan el
m ism o arco in tercep tad o o arcos interceptados
congruentes tienen la m ism a m edida.
27. D ibújense u n círculo y un p u n to P que
n o esté d en tro ni en el círculo. Trácense
d os rectas que pasen p o r P y sean
tangentes al círculo.
C
371
372
C írc u lo s
c.
28. U n a cu rv a de an ch o co n stan te com o la de un
m o to r W ankel se com pone de tres arcos
circulares AB, B C y AC. ¿C u án to m ide cada
uno de estos arcos?
(Véase la construcción de la actividad de la
pág. 366.)
29. Pruébese que si un cuadrilátero está inscrito en un
círculo, sus ángulos o puestos son suplem entarios.
30. Si A B C D es u n cu ad rilátero inscrito en un circulo y
m L A = 3x + 50, m L B = 4 x + 25 y m L C - I x + 30,
encuéntrese m L D .
31. Pruébese que u n p aralelogram o inscrito en un círculo
es un rectángulo.
32. En la figura, L B A D y L B C D son
ángulos inscritos. Pruébese q u e A A B E es
sem ejante a A CDE.
ACTIVIDADES
P a ra d ib u ja r un c írc u lo p u e d e u s a rs e u n a e s c u a d ra de
c a rp in te ro .
1. A p ó y e s e la e s c u a d ra c o n tra un p a r d e c la v o s o
a lfile re s y un lá p iz e n e l á n g u lo re cto .
2. G íre s e la e s c u a d ra s in s e p a ra r la d e lo s c la v o s . El lá p iz
m a rc a rá e l s e m ic írc u lo co n e l d iá m e tro d e te rm in a d o
p o r lo s c la v o s . ¿ P or qué?
D ib ú je s e un c írc u lo c o n e s te m é to d o .
10.7
M e d id a s d e á n g u lo s in s c rito s
373
33. D em uéstrese que si dos rectas paralelas
intersecan a u n círculo, entonces
interceptan a. arcos congruentes.
34. D ado:
A B C D es u n trapecio inscrito.
Pruébese: A B C D es un trapecio isósceles.
35. D ado: A B C D es un cuadrilátero inscrito y A D s BC.
Pruébese: A B C D es u n trapecio.
36. Dado:
l es tang en te al círculo en A
BC |! I
Pruébese: A A B C es un trián g u lo isósceles.
(Ejercicios 34, 35)
374
C írc u lo s
10.8
Angulos
form ados
por cuerdas
El p o líg o n o c o n fo rm a d e estrella se d ib u ja
u n ie n d o c a d a c u a rto p u n to d e u n c o n ju n to de
nueve ig u alm en te esp a ciad o s so b re u n círculo.
(V éase la so lu ció n de p ro b le m a s d e la pág.
345.) E n este diseñ o d e estrella h ay m u ch o s
á n g u lo s q u e p arece n congruentes. E n esta
sección se e s tu d ia rá u n te o re m a q u e p u ed e
u sarse p a r a d e m o s tra r q u e estos á n g u lo s son
co n g ru en tes.
E n to d a s las figuras, m A B + m C D — 80.
B
E stas fig u ras su g ieren el teo re m a siguiente.
Teorema 10.14
U n á n g u lo fo rm a d o p o r d o s c u e rd a s q u e se in te rse c a n e n el
in te rio r d e u n c írc u lo tiene u n a m e d id a ig u al a la sem isu m a
d e lo s a rc o s in terc ep tad o s.
PRUEBA
Dado: L as c u e rd a s A D y B C se intersecan
en el p u n to X.
Pruébese: m L A X B = \( m A B + mCD).
B
D
10.8
A n g u lo s fo rm a d o s p o r c u e rd a s
Razones
A firm aciones
1. C onstru y ase BD.
1. C onstrucción.
2. m Z 2 = \m C D .
2. L a m edida de un ángulo inscrito es
la m itad de su arco interceptado.
3. m Z 3 = ¿ m A B .
3. ¿ P o r qué?
4. m Z A X B = m Z 2 + >«Z3.
4. ¿ P o r qué?
5. m L A X B = \ m Á B + \m C D .
5. Sustitución (afirm aciones 2, 3 y 4).
6. m ¿ _ A X B = \ ( m A B + mCD).
6. P ro p iedad distributiva.
APLICACION
D eterm ín ese la m e d id a d e los án g u lo s d e este
p o líg o n o con fo rm a de estrella. Se u sa rá
el teo re m a 10.14.
1. m ¿ A X B = ¿(40 + 80) = 60.
2. m / L C Y D = ¿(80 + 120) = 100.
3. m ¿ E Z F = ¿(120 + 160) = 140.
E l sig u ien te es u n caso especial del
te o re m a 10.14 p a r a u n a re c ta
tan g en te.
Teorema 10.15
L a m ed id a del á n g u lo fo rm a d o p o r u n a ta n g e n te y u n a
c u e rd a tra z a d a a l p u n to d e c o n ta c to es ig u al a la m ita d del
a rc o in terc ep tad o .
375
376
C írc u lo s
EJERCICIOS
A.
1. Dado:
2. Dado:
Encuéntrese:
Encuéntrese:
3. Dado:
4. Dado:
A B es tangente
al círculo O
m A D C = 300
Encuéntrense: m Z 1 y m Z 2.
Encuéntrese:
5. Dado:
A B es tangente al círculo O
m A E - 160, m A D = 50, m D C = 60.
Encuéntrense: m Z 1 y m Z 2 .
AB_L
mBD
mAD
Encuéntrense: m A C
6. Dado:
m A X É = 190
m C D = 25m Z l.
CD
= 20
= S0-_
y mBC.
B.
M N es tan g en te al círculo O
m P Q = 100, m M X Q — 150Encuéntrense: a. m ¿ .N M P .
b. m Z PQM.
c. m Z .M P Q .
d . m /_ P M Q .
e. m Z M NP.
7. Dado:
ACTIVIDADES'
Con un c o m p á s y u n a re g la , m á rq u e n s e 15 p u ntos
ig u a lm e n te e s p a c ia d o s a lre d e d o r d e un círculo.
D ib ú jen se d o s p o líg o n o s co n fo rm a d e e s tre lla , uno d e
e llo s u n ien d o c a d a c u a rto punto, y el otro, u n ie n d o c a d a
sép tim o punto. (S u g e re n c ia : C o n s tru y a n s e un p en tág o n o
re g u la r y un triá n g u lo e q u ilá te ro con un v é rtic e com ún.
D e sp u é s, m X Y = 24 = ^-(360). El m éto d o p a r a co n stru ir
un p e n tá g o n o re g u la r s e d e s c rib e e n la p á g in a 274.)
10.8
8. Los tres círculos q u e se m uestran a continuación son
congruentes, co n tnAB = mCD = mEF. L 1 es un ángulo
cen tral y L 3 es un ángulo inscrito. ¿C uál de los tres
ángulos es el m ay o r y cuál el m enor? ¿ P o r qué?
9. Dado:
A B ± CD-__
Pruébese: m A D + m B C = m A C + mBD.
c.
A B es u n a tangente externa com ún a los
círculos O y O'. CD es una tangente
in te rn a com ún.
Pruébese: L A D B es un ángulo recto.
10. Dado:
11. Dado:
Pruébese:
— mCD.
_ SOLUCION D E PROBLEMAS
En el p o líg o n o con fo rm a d e e s tre lla d e la
figura, s e re s a lta ro n e n co lo r cinco án g u lo s.
Sin u s a r el tra n sp o rta d o r, e n c u é n tr e s e lo
sig u ie n te :
m ¿ 1 = _L.
mZ 4 =
m Z 2 - _L.
mZ3 = ?
A n g u lo s fo rm a d o s p o r c u e rd a s
377
378
C írc u lo s
10.9
Angulos y segm entos form ados por
tangentes y secantes
Cuando los ingenieros diseñan torres de
antena, necesitan saber qué fracción de la
superficie de la Tierra cubrirá la señal de
radio de la torre.
En esta sección se simplifica este problema
al considerar un corte transversal circular de
la Tierra que pasa por la base de la torre. Se
plantea entonces la siguiente cuestión: «Si se
conoce la medida del ángulo formado por la
punta de la torre y los rayos tangentes al
círculo, ¿se puede encontrar la fracción de la
circunferencia del círculo cubierta por las
señales de radio?
En cada caso, TÁ y TÉ son rayos tangentes.
mACB - mAB = 180
mACB - mAB = 112
mACB - mAB = 216
Mídase L A T B con un transportador. ¿Cuál es el resultado?
Teorema 10.16
La medida de un ángulo formado por dos tangentes a un
círculo que se intersecan, es igual a la mitad de la
diferencia de las medidas de los arcos interceptados.
PRUEBA
Dado: TÁ y TÉ son rayos tangentes
a un círculo.
mAB = x, y mACB = y.
Pruébese: m ¿ A T B = -¿(y — x).
10.9
A n g u lo s y s e g m e n to s fo rm a d o s p o r ta n g e n te s y s e c a n te s
Razones
Afirm aciones
1. m Z 2 = \x .
1. La m edida de un ángulo form ado
p o r u n a tangente y u n a cuerda es
igual a la m itad del arco interceptado.
2 . m ¿ 3 — $y.
2. ¿ P o r qué?
3. m Z .3 = m / . 1 + m Z 2.
3. L a m edida de u n ángulo exterior es
igual a la sum a de las m edidas de
dos ángulos interiores no contiguos.
4. m Z l = m Z 3 - m L 2 .
4. ¿ P o r qué?
5. m Z 1 = l y — \ x .
5. Sustitución.
6. m ¿ l = j ( y — x).
6 . ¿ P o r qué?
APLICA CIO N
S u p ó n g ase q u e el á n g u lo fo rm a d o p o r los dos ra y o s tan g en tes
q u e p a rte n d e la p u n ta de la to rre d e a n te n a m id e 160°. ¿Q ué
fracc ió n del círc u lo c u b re n las o n d a s d e radio?
Respuesta: 1. E l te o re m a 10.16 d a co m o re su lta d o la ecuación
(1) al pie d e la fig u ra y la ecu ació n (2) ex p resa u n a
p ro p ie d a d del círculo.
2. A l reso lv er el sistem a de ecu acio n es se e n c u e n tra
q u e x = 20.
3 _ í _ _ _?0_ _ _ L
360
360
18'
L as o n d a s de ra d io c u b re n j g d e la circunferencia del círculo.
E stas figuras sugieren u n te o re m a adicional.
Teorema 10.17
L a m e d id a d e u n á n g u lo fo rm a d o p o r u n a ta n g e n te y u n a
secante, o p o r d o s secantes desde u n p u n to e x te rio r a un
círculo, es ig u a l a la m ita d d e la diferencia d e las m edidas
d e los a rc o s in terc ep tad o s.
379
380
C írc u lo s
Al p rin cip io d e esta sección se p re g u n tó qué
fracción de superficie d e la T ie rra cu b riría n
las señales de ra d io de la to rre . O tra cuestión
de ig u al im p o rta n c ia es la d ista n c ia q u e cu b ren
las señales d e ra d io . E l teo re m a siguiente
d a r á u n a b u e n a a p ro x im a ció n a la respuesta.
P a ra p re s e n ta r el siguiente teo re m a es
necesario in tro d u c ir a lg u n o s térm in o s nuevos.
R ecu érd ese q u e A Ü es u n a secante. CA
es u n segmento secante. BC es un
segmento secante externo. CD es u n
segmento tangente.
C o n sid éren se lo s siguientes ejem plos d e círculos c o n u n a ta n g e n te y u n a
secante. ¿Q u é relación c o m ú n a los tres ejem plos se p u ed e en c o n trar?
O bsérvese que
152 = 9 x 25
E sta relació n se estab lece co m o el te o re m a 10.18.
Teorema 10.18
Si se tra z a n u n seg m en to ta n g e n te y u n seg m en to secante
desde u n p u n to e x te rio r a u n círculo, en to n ce s el c u a d ra d o
d e la lo n g itu d del seg m en to ta n g e n te es igual al p ro d u c to
d e las lo n g itu d e s del segm ento secante p o r su segm ento
se c a n te externo.
PRUEBA
Dado:
© O c o n el segm ento ta n g e n te PT.
Pruébese: (PT)2 = P S -P R .__
Plan:
M á rq u e n se S T y IR . E m pléense los
triá n g u lo s sem ejantes.
10.9
A n g u lo s y s e g m e n to s fo rm a d o s p o r ta n g e n te s y s e c a n te s
R azones
Afirm aciones
1. D ibújese S T y TR.
1. C onstrucción.
2. L P = Z P.
2. P ro p ied a d reflexiva.
3. m L P T S = \m T S -
3. ¿P or qué?
4. m ¿ S R T = \ m f § .
4. ¿ P o r qué?
5. ¿ P T S s Z S R T :
5. S ustitución, definición de
congruencia.
6 . A P T S ~ A PRT.
6 . T eorem a de la sem ejanza A A.
7. P T
PR
7. D efinición de triángulos sem ejantes.
PS
PT'
8 . T eorem a 9.1.
8 . (P T )2 = P S • PR.
T
A P L IC A C IO N
C o n a n te r io r id a d se p la n te ó la c u e s tió n d e la d is ta n c ia q u e c u b re n las
o n d a s d e ra d io d e s d e la to r r e . L a lo n g itu d T A es u n a b u e n a
a p r o x im a c ió n a la re s p u e s ta . E l te o re m a 10 .18 in d ic a q u e
(T A )2 = ( T C ) ( T D ) o b ie n T A = J ( T C ) ( T D ) .
S u p ó n g a s e q u e la t o r r e tie n e 800 pies d e a ltu r a . Se s u p o n d r á
q u e el d iá m e tr o C D d e la T ie r r a e s d e 8 0 0 0 m illa s x 5280
p ie s/m illa s, o 4 2 2 4 0 0 0 0 p ies. E n to n c e s ,
TA = ^ 8 0 0 p ie s x 4 2 2 4 0 800 p ie s = 183 8 2 7 .7 p ie s = 34.8 m illas.
L o s d o s te o r e m a s s ig u ie n te s ta m b ié n in c lu y e n se g m e n to s re la c io n a d o s c o n circ u io s.
Teorema 10.19
Si d o s c u e r d a s se in te rs e c a n e n u n c írc u lo , e n to n c e s el
p r o d u c to d e la s lo n g itu d e s d e lo s s e g m e n to s d e u n a c u e rd a
e s ig u a l al p r o d u c to d e la s lo n g itu d e s d e la s e g u n d a c u e rd a .
Teorema 10.20
Si se tr a z a n d o s s e g m e n to s s e c a n te s a u n c írc u lo d e sd e u n
p u n to e x te rio r, e n to n c e s el p r o d u c to d e la s lo n g itu d e s d e
u n s e g m e n to s e c a n te y su s e g m e n to s e c a n te e x te rn o es ig u al
a l p r o d u c t o d e la s lo n g itu d e s d e l o tr o s e g m e n to s e c a n te y
s u s e g m e n to s e c a n te e x te rn o .
Ejemplo 1
Ejemplo 2
E n c u é n tre se : B E
P o r el te o r e m a 10.19,
C E -E D = B E -A E .
C E -E D
5 -8
b b = ~ a e - - - ^
= 4.
E n c u é n tre se : P D
P o r el te o re m a 10.20,
P C -P A = P D -P B .
3 • 8 = x ( x + 10)
( x + 12)(x - 2) = 0 .
x = 2
381
382
C írc u lo s
EJERCICIOS
A.
E n los ejercicios 1 a 12, encuéntrese x. P u ed e suponerse que las
rectas que parecen tangentes lo son.
7.
B.
E n jo s ejercicio sJ 3 a 15, A B C D es un cu ad rilátero inscrito.
m A B = 100, m A D = 30, m B C = 90.
13. E ncuéntrese m ¿ P .
14. E ncuéntrese m L B A D .
(Ejercicio 13-15)
15. E ncuéntrese m L AB C.
10.9
A n g u lo s y s e g m e n to s fo rm a d o s p o r ta n g e n te s y s e c a n te s
383
E n los ejercicios 16 a 19, A B C D es un cuadrilátero circunscrito.
m F G = 60, m G H = 70, m H E = 80.
16. E ncuéntrese mÉT.
17. E ncuéntrese m L A .
18. E ncuéntrese m L B .
19. E ncuéntrense m Z C y m Z D .
20. E ncuéntrense los valores
de x e y.
21. E ncuéntrense los valores
de x e y.
22. E ncuéntrense los valores
de x e y.
En los ejercicios J!3 a 25, EC, EB, A D y ^4C son secantes.
m Z E = 40, m B C = 120, y m B F = 80.
23. E ncuéntrese mDF.
24. E ncuéntrese mDC.
25. E ncuéntrese w Z A
E n los ejercicios 26 a 29, m A B = 55, w BD — 40, A C es un
diám etro y P B es tan g en te al círculo en B.
26. E ncuéntrese m Z P.
27. E ncuéntrese m Z 2.
28. E ncuéntrese m L 1.
29. ¿Es AD || P B ? Expliqúese.
A
30. D ado:
A D J B E y m L C = 40.
Encuéntrese: mBD.
(Ejercicios 26-29)
384
C írc u lo s
31. E ncuéntrense
A B y CD.
32. En la figura, O es el centro de am bos
círculos. RS es tangente al círculo
m enor. Si R X = 5 y RS = 30,
encuéntrese X Y .
33. En esta figura, í 2 es tangente a am bos
círculos; t x y 1 3 son tangentes a los
círculos en los p u n to s A y B,
respectivam ente. D em uéstrese que
M K a-
ACTIVIDADES
C u a n d o s e ru e d a un c írc u lo a lo la rg o del
in te r io r de o tro c írc u lo m á s g ra n d e , un
p u n to P d e l c írc u lo q u e ru e d a d e s c rib e u n a
tra y e c to ria (en lín e a s ro ja s ) d e n o m in a d a
d e lto id e , s ie m p re q u e el ra d io d e l c írc u lo
q u e ru e d a s e a i ó f d e l ra d io d e l m a y o r.
T rá c e s e un a d e lto id e s ig u ie n d o las
in s tru c c io n e s .
1. D ib ú je s e un c írc u lo d e 3 cm d e ra d io en
e l c e n tro de u na h o ja d e p a p e l.
M á rq u e n s e p u n to s e in te rv a lo s d e 5 o.
N u m é re n s e los p u n to s 0, 1, 2, ... e n la
d ire c c ió n en q u e g ira n la s m a n e c illa s
d e l re lo j (n ú m e ro s e n n e g ro ).
2. E m p e z a n d o en el 36 (en n e g ro ),
n u m é re n s e p u n to s a lte rn o s 0 , 1, 2 . . . en
la d ire c c ió n en q u e g ira n la s m a n e c illa s
d e l re lo j (n ú m e ro s e n ro jo ).
3. T rá c e s e un ra y o d e s d e un p u n to ro jo ,
q u e p a s e p o r u n p u n to co n e l m is m o
n ú m e ro en n e g ro . H á g a s e lo m is m o
co n to d o s lo s n ú m e ro s d e l 0 a l 71.
4. S e ñ á le s e la d e lto id e q u e ro d e a al
c írc u lo .
10.9
A n g u lo s y s e g m e n to s fo rm a d o s p o r ta n g e n te s y s e c a n te s
34. Si P B y PD son segm entos secantes
y P B = PD, dem uéstrese que P A = PC.
(Ejercicio 34)
35. Pruébese el teorem a 10.17 p a ra el
caso de u n a tangente y u n a secante.
36. Pruébese el teo rem a 10.19.
37. Pruébese el teorem a 10.20.
38. Si dos círculos son tangentes in teriorm ente y el diám etro del
círculo m enor es el rad io del círculo m ayor, entonces
cualquier cu erd a del círculo m ay o r que vaya al p u n to de
tangencia será b isecado p o r el círculo m enor.
Dado: O'A = \O A y los círculos son tangentes en A.
Pruébese: B es el p u n to m edio de AC.
_ SOLUCION DE
C on el m é to d o d e s c rito e n la a c tiv id a d
a n te rio r, se tra z ó u n a d e lto id e u s a n d o
in te rv a lo s d e 10°. C a d a p u n to da
o rig e n a d o s ra y o s . ¿ P or q u é son
p e rp e n d ic u la re s e s to s d o s ra yo s?
(Ejercicio 35)
385
386
C írc u lo s
Capítulo 10
conceptos im portantes
Términos
R adio (pág. 342)
C u erd a (pág. 342)
D iám etro (pág. 342)
T angente (pág. 343)
Secante (pág. 343)
A ngulo inscrito (pág 343)
M edida de un arco m ayor (pág. 346)
A ngulo cen tral (pág. 343)
Arcos congruentes (pág. 347)
A rco m en o r (pág. 346)
C írculos congruentes (pág. 347)
A rco m ay o r (pág. 346)
M ed id a de un arco m en o r (pág. 346)
Postulado P o stu lad o de la sum a de arcos (pág. 346)
Teoremas
10.1 En un círculo, o en círculos congruentes,
las cuerdas congruentes tienen arcos
m enores congruentes.
10.2 En u n círculo, o en círculos congruentes,
los arco s m enores congruentes tienen
cuerdas congruentes.
10.3 En un círculo, o en círculos congruentes, las
cuerdas congruentes equidistan del centro
10.4 En un círculo, o en círculos congruentes,
las cuerdas equidistantes del cen tro son
congruentes.
10.5 L a bisectriz p erpendicular de u n a cuerda
contiene al centro del círculo.
10.6 Si u n a recta que p asa p o r el cen tro de un
círculo es p erpendicular a una cu erd a que
no es u n diám etro, entonces biseca a la
cuerd a y a su arco m enor.
10.7 Si u n a recta que p asa p o r el cen tro de un
círculo biseca a u n a cu erd a que n o es un
diám etro, entonces es perpendicular
a la cuerda.
10.8 Si una recta es perpendicular a un radio
en un p u n to del círculo, entonces la recta
es tan g en te al círculo.
10.9 Si u n a recta es tangente a un círculo,
entonces el ra d io trazad o h a sta el p u n to
de co n tacto es p erpendicular a la tangente.
10.10 Si u n a recta es p erpendicular a una
tangen te en un p u n to del círculo, entonces
la recta contiene al cen tro del círculo.
10.11 L os segm entos tangentes a un círculo desde
un p u n to exterior son congruentes y
form an ángulos congruentes con la recta
que une al cen tro con el punto.
10.12 La m ed id a de un ángulo inscrito es la
m ita d de la m edida de su arco interceptado.
10.13 U n ángulo inscrito en un sem icírculo es un
ángulo recto.
10.14 U n ángulo form ado por dos cuerdas que se
intersecan en el in terio r de un círculo tiene
u n a m edida igual a la sem isum a de los
arcos interceptados.
10.15 La m edida de un ángulo form ado p o r una
tangente y u n a cuerda tra z a d a al p u n to de
contacto es igual a la m itad del arco
interceptado.
10.16 L a m edida de un ángulo form ado p o r dos
tangentes a un círculo que se intersecan, es
igual a la m itad de la diferencia de las
m edidas de los arcos interceptados.
10.17 La m edida de un ángulo form ado p o r una
tangente y una secante, o p o r dos secantes,
desde un p u n to exterior a un círculo es
igual a la m itad de la diferencia de las
m edidas de los arcos interceptados.
10.18 Si se trazan un segm ento tangente y otro
secante desde un p u n to exterior a un
círculo, entonces el cu a d ra d o de la longitud
del segm ento tangente es igual al producto
de las longitudes del segm ento secante por
su segm ento secante externo.
10.19 Si dos cuerdas se intersecan en u n círculo,
entonces el producto de las longitudes de los
segmentos de una cuerda es igual al producto
de las longitudes de la segunda cuerda.
10.20 Si se tra za n dos segm entos secantes a un
círculo desde un p u n to exterior, entonces el
p ro d u cto de las longitudes de un segm ento
secante y su segm ento secante externo es
igual al p ro d u cto de las longitudes del otro
segm ento secante y su segm ento secante
externo.
Capítulo 10
Resumen
En los ejercicios 1 a 4, indíquese si las afirm aciones son falsas
o verdaderas. Si una afirm ación es falsa, dibújese un
contraejem plo.
1. Si u n trián g u lo está inscrito en un circulo, con u n lado
com o diám etro, entonces el trián g u lo es rectángulo.
2. Si u n a recta biseca a d o s cuerdas que no son diám etros,
entonces las cuerdas son paralelas.
3. Si una recta es perpendicular a u n a cuerda, entonces
contiene al centro del círculo.
4. Si P A y P É son tangentes al m ism o círculo en los p u n to s
A y B, respectivam ente, entonces P A = PB.
5. Dado:
m L A O B = 120, m Á D = 150, A C es un diám etro.
Encuéntrese: a . m Á A D B .
b. m ¿ B A C .
c . m ¿ CED.
d.
m é c í) .
6. D ado:
Pruébese:
m A D = mBC.
A B || CD.
7. Dado:
PA y P B son tangentes.
0 es el cen tro de un círculo.
A C es un diám etro.
m L A P O = 20.
Encuéntrese: a. m ¿ D P B .
b . mÁD.
D
c. mBC.
d . mAE.
e. m /L C A B .
8. D ado:
A B , BC y A C son tangentes en los p u n to s F , D y E,
respectivam ente. C £ = 3, A F = 5, B C = 7.
Encuéntrese: a. la longitud de BD.
b. el perím etro de A A B C .
9. Si u n a cuerda de 16 cm está a 15 cm del centro, ¿cuál es el radio
del círculo?
10. S Z es tang en te al círculo que se m uestra en la figura.
E ncuéntrense S Z y WY.
388
C irc u io s
Capítulo 10
Examen
En los ejercicios l a 4, indiquese si las afirm aciones son falsas
o verdaderas. Si alguna afirm ación es falsa, dibújese un
contraejem plo.
1. E n dos círculos diferentes, si d os cuerdas tienen la m ism a
longitud, están a la m ism a distancia de sus centros.
2. Si u n trián g u lo está inscrito en un círculo y los arcos
intercep tad o s tienen m edidas de 200°, 90° y 70°, entonces el
triángulo es obtusángulo.
3. Si una recta biseca al arco m en o r de u n a cuerda, tam bién
biseca al arco m ayor.
4. Si dos tangentes son paralelas, entonces sus p u n to s de
tangencia determ inan u n diám etro.
5. D ado:
Pruébese:
6. D ado:
A B || CD, EF es la bisectriz perpendicular de
AB.
__
EF_ biseca a CD.
PA es tangente al círculo O.
O A = 10 cm, P A = 24 cm.
E ncuéntrese la lo n g itu d de PC.
7. D ado:
A B es un diám etro
m Z C A B - 50
m B D - 20.
Encuéntrense: a. m BC.
b . mAC.
c. m A A D C .
d . m Z B ED.
8. Supóngase que u n a cu erd a m ide 6 m m desde el centro de un
círculo de ra d io 10 mm. ¿Cuál es la lo n g itu d de la cuerda?
9. D ado:
m ¿ X = 30, m Y T = 5 0 , m ¿ W R Z = 90
X Y es tangente al círculo.
Encuéntrense: m Y Z , m W Z y m TW .
10. En la figura siguiente, FH es tan g en te al círculo. E ncuéntrense J I y FH.
Resumen global (Caps. 8 a 10)
1. Indíquese si las siguientes afirm aciones son falsas o verdaderas.
a. Si un p aralelo g ram o está inscrito en un círculo, es un
rectángulo.
b. Si A B C D es un paralelogram o, entonces sus diagonales son
congruentes.
c. Si m ¿ A = 40 en el trián g u lo rectángulo A B C y m/LD = 50
e n el trián g u lo rectángulo DEF, entonces los triángulos son
sem ejantes.
d. T o d o s los rectángulos son polígonos semejantes.
2. A B es un d iám etro y CD es perpendicular a AB.
a.
b.
c.
d.
Si A D = 4 y A B = 12, encuéntrese CD.
Si A B = 13 y CD — 6, encuéntrese AD.
Si C B = 12 y A B = 13, encuéntrese BD.
D em uéstrese que A A B C ~ A CBD.
3. ¿C uál es la m edida de ca d a ángulo in terio r de un decágono
regular?
4. -4C es u n a secante, A D es u n a tangente, m B C = 100, m L C B D =
= 80 y mBD = 100.
a. E ncuéntrese m / . A B D .
b . E ncuéntrese m L B C D .
c. E ncuéntrese m L C A D .
A E ncuéntrese m L E D C .
¿
g
5. D ado:
A B C D es u n trap ecio con A B || DC
Pruébese: N B ■N C = N A ■N D .
D‘
6. Si c u a tro ángulos de u n p en tág o n o m iden 100°, 160°, 90° y 150°,
¿cuál es la m ed id a del q u in to ángulo?
7. D ado:
M N P Q es un trapecio con M P = Q N.
A, B, C y D son p u n to s m edios, com o se
ilu stra la figura.
Pruébese: A B C D es u n rom bo.
Q
a
-¡l& ©©©Mgama usa
Agrimensura: El teodolito
L os agrim ensores están relacionados con la
construcción de edificios, cam inos, puentes y
presas. U n a de las responsabilidades de los
agrim ensores es establecer lím ites exactos en los
terrenos. T o d a la inform ación necesaria la tom an
en el lugar, y luego, en la oficina, hacen dibujos o
m apas del terreno medido.
El teodo lito es, quizá, el in stru m en to m ás
im p o rtan te p a ra el agrim ensor. Se em plea p a ra
m edir ángulos y distancias.
El teodo lito puede usarse p a ra m edir ángulos en tre objetos y ángulos de
elevación. U n ángulo en tre objetos se m ide enfocando el prim er objeto y luego
m oviendo el telescopio a la derecha o a la izquierda, hacia el segundo objeto. Un
ángulo de elevación se m ide inclinando el telescopio hacia a rrib a p a ra enfocar el
extrem o del objeto. El teo d o lito tiene d os escalas, u n a p a ra m edir ángulos
horizontales y o tra p a ra m edir ángulos verticales.
M e d ic ió n d e u n á n g u lo e n tr e d o s o b je to s (á n g u lo h o riz o n ta l)
390
M e d ic ió n d e u n á n g u lo d e e le v a c ió n (á n g u lo vertical)
El teodolito tam bién se em plea p a ra m edir distancias. L as propiedades ópticas
del telescopio de u n teo d o lito hacen que los rayos d e luz se crucen y form en un p ar
de triángulos sem ejantes.
P a ra m edir distancias, se suelen necesitar d os personas. U n a de ellas está en el
teodo lito y la o tra se coloca en la segunda ubicación, sosteniendo un ja ló n
grad u ad o p erpendicular al suelo. L os siguientes pasos m u estran cóm o en c o n trar la
distancia deseada D.
Paso 1 M írese p o r el telescopio. L éanse los núm eros de ja ló n p a ra d eterm in ar la
distancia PQ.
P aso 2 E ncuéntrese L p o r m edio de u n a p ro p o rción b asad a en triángulos
sem ejantes.
P aso 3 Súm ense f y L p a ra en c o n tra r D.
1. ¿ P o r qué A A B C es sem ejante a A QBF?
2. f y L son longitudes de las altu ra s de los d os triángulos. Se puede dem o strar
que
L = J_
L
PQ‘
Em pléese esta p ro p o rció n y encuéntrese una expresión p a ra - .
d
3. f es la distancia focal del telescopio. El telescopio está construido p a ra que los
ray o s de luz se crucen siem pre a la m ism a distancia, d es tam bién un p u n to fijo en
un telescopio dado. P o r ta n to , la razó n f / d es fija.
Supóngase que / = 1 m etro, d = 1 centím etro y PQ = 0.836 m etros. Encuéntrense
L y D. (Véase el P aso 3.)
C A P IT U L O
11.1
P o s tu la d o s d e l á r e a
11.2
A r e a d e p a r a le lo g r a m o s
11.3
A r e a s d e t r iá n g u lo s y t r a p e c io s
1 1 .4
A r e a d e p o líg o n o s r e g u la r e s
1 1 .5
C o m p a r a c ió n e n tr e p e r í m e tr o s y á r e a s d e p o líg o n o s
s e m e ja n te s
1 1.6
398
402
408
412
L a r a z ó n e n tr e la c ir c u n f e r e n c ia y e l d iá m e tr o
d e u n c í r c u lo
1 1 .7
394
416
A r e a d e c í r c u lo s
420
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
R ep aso d e á lg e b ra
426
R esum en
427
E xam en
42 9
La g e o m e tría en n u es tro m undo
G r á fic a s p o r c o m p u t a d o r : t r a n s f o r m a c io n e s
430
428
Area y perímetro
393
394
A re a y p e rím e tro
11.1
Postulados
del área
A l c o n s tr u ir u n a c a s a , se c la v a n ta b la s
p a r a c u b r ir la e s tr u c tu r a . D e sp u é s , se
p in ta n o b a r n iz a n . E l te ja d o se su e le
c u b r ir c o n p la n c h a s d e m a d e r a
p r e n s a d a q u e lu e g o se c u b r ir á n c o n tejas.
L a c o n s tr u c c ió n d e c a s a s p r o p o r c io n a
m u c h a s a p lic a c io n e s d e lo s p o s tu la d o s y
d e fin ic io n e s d e e s ta secció n .
U n a t a b la r e p r e s e n ta u n
p o líg o n o lla m a d o
r e c tá n g u lo . L a su p erfic ie d e
e s ta ta b la r e p r e s e n ta u n
s u b c o n ju n to d e u n p la n o
d e n o m in a d o región
poligonal.
Definición 11.1
U n a región poligonal es un
subconjunto de u n plano
acotado p o r un polígono (o
polígonos).
L o s sig u ie n te s s o n tr e s e je m p lo s d e re g io n e s p o lig o n a le s.
¿ Q u é c a n tid a d d e b a r n iz se
re q u ie re p a r a u n a p la n c h a
de m a d e ra p ren sad a?
L a c a n tid a d d e b a r n iz q u e
se re q u ie re p a r a u n a
p la n c h a d e m a d e r a
p r e n s a d a d e p e n d e del
ta m a ñ o d e é sta . P a r a
d e s c rib ir el ta m a ñ o d e la
p la n c h a se e m p le a u n
n ú m e r o lla m a d o área.
Postulado del área
A cada región poligonal se le
puede asignar u n núm ero
positivo único denom inado
área. El área de la región R
se representa p o r -4(R).
11.1
P o s tu la d o s d e l á re a
395
L a s p r o p ie d a d e s d e la s á r e a s la s d e s c rib e n v a rio s p o s tu la d o s .
D o s p la n c h a s d e m a d e ra
d e l m is m o ta m a ñ o tie n e n
la m is m a á re a , p o r ta n to
d e b e n n e c e s ita r la m ism a
c a n tid a d d e b a rn iz .
E s te h e c h o es el te m a d e
u n p o s tu la d o .
C u a tr o p la n c h a s de
m a d e r a , S v S 2, S 3 y S4, se
c o lo c a n ju n ta s .
P a r a c o n o c e r e l n ú m e ro
p la n c h a s d e m a d e r a q u e
n e c e s ita n p a r a u n a c a sa ,
n e c e s a rio p o d e r c a lc u la r
á r e a d e re g io n e s
re c ta n g u la re s .
de
se
es
el
w
_____________
------ I --------------►
A re a = í w
I
E l á r e a d e e s ta fig u ra de
c u a tr o p ie z a s es ig u a l a la
s u m a d e la s á re a s d e c a d a
p ieza.
E s to es,
A (4 p ie z a s) = /4 (S ,) +
+ A ( S 2) + A ( S 3) + A ( S 4).
E s te ú ltim o p o s tu la d o , en
c o m b in a c ió n c o n el
p o s tu la d o d e l á re a , el d e l
á r e a d e re g io n e s
c o n g ru e n te s y el d e la
s u m a d e á re a s , p e rm ite
c a lc u la r el á re a .
Postulado del área de
reglón» congruentes
Si dos rectángulos o dos
triángulos son congruentes,
entonces, las regiones que
aco tan tienen la m ism a área.
Postulado de la suma de
áreas
Si u n a región poligonal es la
unión de n regiones
poligonales que no se
solapan, su área es la sum a
de las áreas de las n regiones.
Postulado del área del
rectángulo
El área de un rectángulo de
longitud t y anch o vv está
d ad a p o r la fórm ula f.w.
396
A re a y p e rím e tro
EJERCICIOS------------------------------------------------------A.
1. D ibújese u n polígono y som bréese la región poligonal que
determ ina.
2. ¿Es el interio r de u n círculo u n a región poligonal?
3. ¿Es un rectángulo u n a región poligonal?
4. Si d os rectángulos tienen la m ism a área, ¿son
necesariam ente congruentes?
5. ¿Q ué p o stu la d o expresa que to d a región
poligonal debe ten er área?
6 . ¿Expresan los po stu lad o s que sólo las
regiones poligonales tienen área?
7. D ibújese u n contraejem plo p a ra la siguiente proposición:
Si d os regiones poligonales tienen la m ism a área, entonces
tienen el m ism o n ú m ero de lados.
E ncuéntrense las áreas de las siguientes regiones. Puede
suponerse que los ángulos que parecen rectos lo son.
10.
9.
8.
14
25
A - ?
5
A = ?
A = ?
45
11
40
B.
En los ejercicios 11 a 16, supóngase que el á rea de la parte
so m b read a es 1. E ncuéntrese el área de ca d a región m ediante
los postulados. (Sugerencia: B úsquense los rectángulos y los
m edios rectángulos.)
11.
12.
ACTIVIDADES'
El á r e a del c u a d ra d o s o m b re a d o d e e s te ta b le ro e s 1.
C o n stru y a n se o d ib ú je n s e en un ta b le ro co m o e s te
triá n g u lo s con á r e a s d e
1, 1^, 2, 2 \ y 3.
K
13.
11.1
P o s tu la d o s d e l á re a
397
E ncuéntrese el á rea de cada u n a de estas regiones.
18.
19. E ncuéntrese el á rea del tejad o de la figura. Si se supone
que se desperdicia el 10 % de los m ateriales pedidos,
¿cuántas p lanchas de m adera de 4 x 8 se necesitan para
c u b rir el tejado?
20. Pruébese que la d iagonal divide al rectángulo en dos
trián g u lo s de igual área.
21. A B I H , ID E F y A C E G son rectángulos.
Expliqúese p o r qué las áreas de R¡ y
R 2 son iguales: (Sugerencia:
A ( A A C E ) = A (AA G E).)
22. El área de M B N X es | del área d e __
ABCD, y M es el p u n to m edio de AB.
¿Q ué relación existe entre la longitud
de B N y la de BC1
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
En la fig u ra d e la d e re c h a , D e s e l c e n tro del
c u a d ra d o m á s p e q u e ñ o . E l c u a d ra d o m á s
g ra n d e s o la p a a l p e q u e ñ o en e l c u a d rilá te ro
A B D E . E n c u é n tre s e e l á re a d e e s te
4 cm
398
A re a y p e rím e tro
11.2
Area de paraielogramos
H a y s itu a c io n e s e n la s q u e
es im p o r ta n te e n c o n tr a r el
á r e a d e re g io n e s q u e n o
s o n re c ta n g u la re s . P o r
e je m p lo , si se v a a h a c e r
u n e s ta c io n a m ie n to e n
b a te r ía p a r a a u to s , c a d a
e s p a c io s e rá u n a re g ió n en
fo r m a d e p a ra le lo g ra m o .
L a c a n tid a d d e a sfa lto
re q u e rid a p a r a c a d a e sp a c io
d e p e n d e d e l á r e a d e esa
re g ió n e n fo r m a d e
p a r a le lo g ra m o .
1
1
centímetro
□
centímetro
cuadrado
A l m e d ir el á r e a de
re g io n e s, d e b e eleg irse u n a
u n id a d d e m e d id a .
L a s u n id a d e s m á s
c o m u n e s p a r a m e d ir á re a s
s o n la p u lg a d a c u a d r a d a ,
el p ie c u a d r a d o , la s y a rd a s
c u a d r a d a s , lo s c e n tím e tro s
c u a d r a d o s y lo s m e tr o s
c u a d ra d o s .
Definición 11.2
U n a u n id a d c u a d r a d a es una
región c u a d ra d a en la cual
cada un o de sus lados mide
u n a unidad de longitud.
1
cm
E l á r e a d e u n a re g ió n p u e d e d e te rm in a rs e
c o n ta n d o el n ú m e r o d e u n id a d e s c u a d r a d a s
q u e se re q u ie re n p a r a c u b r ir e x a c ta m e n te la
re g ió n .
A c o p la n d o u n id a d e s c u a d r a d a s y re g io n e s
tria n g u la r e s c o n g ru e n te s , y m e d ia n te
d iv e rs o s p o s tu la d o s d e l á r e a , se c o n c lu y e
q u e el p a r a le lo g r a m o d e la d e re c h a tie n e u n
á r e a d e 10 c e n tím e tro s c u a d r a d o s .
C
unidad cuadrada
Se escribe: A(ABCD) = 10 cm 2
11.2
O tr a fo rm a d e e n c o n tra r el á re a d e u n p a ra le lo g ra m o es
im ag in an d o q u e la pieza tria n g u la r del ex tre m o d e la figura
se c o rta y se co lo ca e n el o tro ex trem o p a ra fo rm a r u n
rectán g u lo . Así, c o n el p o stu la d o del á re a de regiones
c o n g ru en tes y el p o stu la d o de la su m a de áreas, se concluye
q ue las á reas del p a ra le lo g ra m o y del re c tá n g u lo so n la
m ism a. P o r ta n to , d a d o q u e el á re a d e u n re ctán g u lo es el
p ro d u c to d e la lo n g itu d p o r la a n c h u ra , se deduce q u e el
área del p a ra le lo g ra m o ta m b ié n es « lo n g itu d p o r an ch u ra» .
C o n los p araleio g ram o s, se u sa n los térm in o s base y altura
en lu g a r d e lo n g itu d y an c h u ra. C u a lq u ie r la d o de un
p a ra le lo g ra m o p u ed e ser la base. U n a vez elegida la base, un
seg m en to p e rp e n d ic u la r a ella, con u n ex trem o en la b ase y
el o tro en el la d o o p u esto , se d en o m in a altu ra . O bsérvese
q u e u n p a ra le lo g ra m o tien e d o s p ares de bases p aralelas.
A re a d e p a ra le io g ra m o s
399
R , = R¡
*2 = Rí
<-------- i ---------►
A(R,) + A (R 2) =
A(R¡) + A(R¿)
Definición 11.3
U na altu ra de un
paralelogram o es un segm ento
perpendicular a un p a r de
lados paralelos en los cuales
tiene sus extrem os. La altura
del paralelogram o es la
longitud de ese segm ento.
Teorema 11.1
D a d o u n p a ra le lo g ra m o c o n b ase b y a ltu ra
c o rre sp o n d ie n te h, el á re a A está d a d a p o r la fórm ula
A = bh.
A PLICA CIO N
L a m e d id a e s tá n d a r p a r a u n
estac io n am ie n to d e vehículo en b a te ría es 9
pies de a n c h o p o r 24 pies de larg o . ¿C uál es
el á re a d e la superficie q u e cu b re el asfalto
e n u n estacio n am ien to ?
R espuesta. U n estac io n am ie n to es un
p a ra le lo g ra m o c o n 24 pies de b ase y 9 pies
d e altu ra . Si se a p lica el teo re m a 11.1, se
p u ed e ca lc u lar el área:
á re a = 24 p ies x 9 pies = 216 pies c u a d ra d o s
400
A re a y p e rím e tro
EJERCICIOS__
A.
E n los ejercicios 1 a 3, encuéntrese el área de cada
paralelogram o.
1.
2.
3.
A = ?
5|
A = ?
A =?.
26
21
-1 6 J-
En los ejercicios 4 a 6, se d a el á rea de los paralelogram os.
E ncuéntrese el d a to que falta.
4.
D
6.
5.
n
I A = 143>
I h
A
R
A B C D es un cu ad rad o
AB = ?
A
= 360
h =
lly
A
A B C D es un rom bo
AD = ?
30
h = ?
B.
E ncuéntrense las áreas de los paralelogram os de los ejercicios
7 a 9.
7.
9.
A
A "
ÆB = 14, /4Z) = 5
221 n .
/4D = 5, E F = 11
ñ
= 12, /! £ = 5
ACTIVIDADES1
D ib ú jese e s te c u a d ra d o d e ¡
p u lg a d a s. R e c ó rte n s e las
p ie z a s y c o ló q u e n s e d e
n u e v o c o m o s e m u e stra en
la figura.
1. ¿C uál d e la s tre s
s itu a c io n e s q u e s e
s e ñ a la n a la d e re c h a
s e p re se n ta ?
2. E m p lé e n se los
c o n c e p to s
re la c io n a d o s con el
á r e a p a ra d e te rm in a r
cuál d e los tr e s c a s o s
s e p re s e n ta
re a lm e n te .
« a ju s te
p e rfe c to »
«pequeña
s e p a ra c ió n »
«pequeño
s o la p e
11.2
A re a d e p a ra le lo g ra m o s
E n los ejercicios 10 a 12, encuéntrese el d a to desconocido.
C a d a cuadrilátero es un paralelogram o.
12.
10.
8
1
13. ¿Q ué le sucede al área si se d uplican las longitudes de los
lados de un paralelogram o?
14. U n p aralelogram o tiene lad o s con longitudes 12 y 8, y la
m edida de u n o de los ángulos es 120°. ¿Cuál es el área?
15. L as rectas t , y t 2 son paralelas. C om párese el
área del p aralelogram o A B E F con la del
paralelogram o A BC D .
£>.
16. D ad o s los paralelo g ram o s A B C D y
EFGH, con m L A = m L E y h2 = y f i h , ,
si el á rea de E F G H es doble que la de
ABCD, ¿qué relación hay en tre A B y EF1
/
A ^—L
E ncuéntrese el á rea de las regiones que aparecen en los
ejercicios 17 y 18. Supóngase que los segm entos que parecen
perpendiculares o paralelos lo son.
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
Los a n tig u o s b a b ilo n io s u sa ro n la f ó r m u la --------- p a ra d e te rm in a r el á r e a d e un c u a d rilá te ro co n la d o s de
lo n g itu d e s a , b, c y d.
1. ¿S irv e ta m b ié n e s ta fó rm u la p a r a re c tá n g u lo s?
2. ¿S irv e ta m b ié n e s ta fó rm u la p a r a p a ra le lo g ra m o s ?
401
402
A re a y p e rím e tro
11.3 Areas de
triángulos
y trapecios
U n in g e n ie ro civ il n e c e s ita e n c o n tr a r el á re a
d e u n a p a r c e la p a r a e d ific a c ió n d e fo rm a
irre g u la r c o m o la q u e se ilu s tr a e n la fig u ra
c o n el n ú m e r o 6 . E s to p u e d e h a c e rs e
d iv id ie n d o la p a r c e la e n re g io n e s
tr ia n g u la r e s y c a lc u la n d o el á r e a d e c a d a
r e g ió n tr ia n g u la r .
L as figuras sig u ien tes ilu s tra n q u e u n a región
tria n g u la r p u e d e c o n sid e ra rse c o m o la m ita d
d e u n a re g ió n e n fo rm a d e p a ra le lo g ra m o .
P o r ta n to , la fó rm u la p a r a e n c o n tr a r el
á r e a d e u n p a ra le lo g ra m o p r o p o r c io n a
u n a fó rm u la p a r a el á re a d e triá n g u lo s.
A (\H IJ ) = \A(HIKJ)
= jb k
Teorema 11.2
A(AA SC ) = iA(ABDC)
- \b h
D a d o u n tr iá n g u lo c o n b a s e b y a ltu r a c o r r e s p o n d ie n te h, el
á r e a A e s tá d a d a p o r la fó r m u la A = \ b h .
E n o c a s io n e s , p u e d e s u c e d e r q u e se
c o n o z c a n lo s tr e s la d o s d e u n triá n g u lo ,
p e ro n o la a ltu r a . E n ta le s c a s o s es ú til la
fó rm u la u tiliz a d a p o r H e r ó n d e A le ja n d ría
en el sig lo p r im e r o d e n u e s tr a e ra .
s =
Teorema 11.3
F ó r m u la d e H e ró n .
+ b .+ c)
Si A A B C tie n e la d o s d e lo n g itu d e s a,
b y c, e n to n c e s A ( A A B C ) = y j s ( s — a)(s — b)(s — c), d o n d e
s = $(a + b + c).
11.3
A re a s d e triá n g u lo s y tra p e c io s
A P L IC A C IO N
U n m é to d o p a r a e n c o n tra r el á re a d e la
p arcela 11 req u iere e n c o n tra r p rim e ro el
á re a d e AA B C . C o n la fó rm u la d e H e ró n y
u n a c a lc u lad o ra , ésta es u n a ta re a fácil.
(O bsérvese q u e el ra d io del círculo es 50
pies.)
a = 130.48 + 50 = 180.48
b = 148.37
c = 141.32 + 50 = 191.32
j = l( a + b + c) = 260.09
s - a = 79.61, s - b = 111.72, s - c = 68.77
P o r la fó rm u la de H e ró n , A ( A A B C ) = V (260.09)(79.61)(l 11.72)(68.77) = 12 613.
T a m b ié n p u ed e c o n sid e ra rse q u e u n trap e cio es la m ita d d e un
p aralelo g ram o . El á re a de u n trap e cio es la m ita d del á re a del
p aralelo g ram o .
F
base d e C J A E F D = bx + b2
A ( O A E F D ) = h(bl + b2)
Teorema 11.4
bx y b2, y
D a d o u n trap e cio c o n bases
está d a d a p o r la fó rm u la A =
A P L IC A C IO N
L as p resas suelen ten er sección tran sv ersal
trap ecial. E l d ise ñ a d o r d e la p re sa debe
d e te rm in a r el á re a d e esta sección
tran sv ersal. Si la p re sa m ide 180 m etro s de
a ltu r a y tien e bases d e 10 m e tro s y 60
m etro s d e lo n g itu d , ¿cuál será el á re a d e la
sección tran sv ersal? P o r el te o re m a 11.4
p u ed e calcu larse el área:
area = \ • 180(10 + 60) m 2 = 6300 m 2.
a ltu ra h, el á re a A
+ b2).
403
404
A re a y p e rím e tro
EJERCICIOS__
A.
C alcúlense las áreas de las regiones de los ejercidos 1 a 11.
1.
2.
22
5.
B
U.
AC =41
BD = 25
B.
12. El área de A A B C es 48 cm 2, y A B = 6 cm. ¿C uál es la
lo n g itu d de la altu ra en A B ?
13. U n trapecio con bases de lo n g itu d 14 pies y 21 pies, tiene
u n á rea de 87^ pies cuadrados. ¿C uál es su altura?
B
14. ¿C uál es el á rea de la región som breada?
15. ¿C uál es el á rea de la región no som breada?
16. ¿C uál es la razó n en tre el área de la región som breada y el
área de A A B E ?
C es el p u n to m edio de BE.
D es el p u n to m edio de CE.
11.3
A re a s d e tr iá n g u lo s y tra p e c io s
405
En los ejercicios 17 y 18, encuéntrese el área de las
regiones som breadas.
17. A B C D es u n rectángulo.
18. A B C D es un paralelogram o.
19. A B C D es im trapecio y E es el pun to
m edio de A B . M uéstrese que el área de
A E C D es igual al área de EBCD.
20. A B C D es un paralelogram o cuya área
es 60 unidades cuadradas. E ncuéntrese el
área de la com eta A B E D . (Sugerencia:
E ncuéntrese el área de A A B D .)
21. M uéstrese que u n a m ediana divide a un
trián g u lo en dos regiones de igual área.
E sto es, si BD es u n a m ed ian a de
A A B C , m uéstrese q u e el área de A A B D
es igual al de A BDC.
22. A B C D es u n paralelogram o. Encuéntrese
la longitud de BE.
A
23. A B C D es un paralelogram o y X es
cualquier p u n to en su interior. M uéstrese
que el á rea de la región som breada es la
m itad del á rea del paralelogram o.
(Indicación: h i + h2 es la altu ra de ABCD.)
406
A re a y p e rím e tro
24. Em pléese la fórm ula de H eró n p ara e n co n trar el área de
un trián g u lo cuyos lados tienen las siguientes longitudes:
a. 3 cm, 4 cm, 5 cm.
b. 17 cm, 18 cm, 19 cm. (Empléese
u n a calculadora.)
c. 25 cm, 36 cm, 41 cm. (Em pléese una calculadora.)
25. M uéstrese que las tres m edianas de un
trián g u lo lo dividen e n seis regiones de
igual área.
(Ejercicio 25)
26. U n a p erso n a com pró u n terreno con
form a de p entágono irregular. Encuéntrese
el á rea de este terren o si A F = 10 m,
F G = 40 m , G H = 15 m, H C = 20 m,
E F = 20 m , DG = 30 m y H B = 35 m.
C.
27.
área de ABCD.
28. Supóngase que A A B C es u n triángulo equilát<
a ltu ra h. Sea X un p u n to cualquiera en el intí
trián g u lo y sean a, b y c las longitudes de las
perpendiculares a los lados de A A B C . Pruébe:
a + b + c = h. (Indicación: Empléese el área.)
ACTIVIDADES
En e s te ta b le ro , el á re a d e l c u a d ra d o A e s 1 y e l á re a de
c a d a un a d e las fig u ra s 6 y C e s 1 |
1. D ib ú je n s e la s fig u ra s s ig u ie n te s en p a p e l c u a d ric u la d o o en
un ta b le ro .
2. E n c u é n tre s e e l á re a d e c a d a re g ió n s in u s a r n in g u n a d e las
fó rm u la s d e l áre a .
B
11.3
A re a s d e triá n g u lo s y tra p e c io s
407
29. D ad o A A B C con m edianas BD y CE,
m uéstrese que las áreas de las regiones
som breadas son iguales.
30. Pruébese q u e el á rea de u n trián g u lo equilátero cuyos
lados tienen lo n g itu d s es s 2^ / 3/4.
31. C onsidérese el c u a d ra d o A B C D . Si se c o rtan triángulos en
las esquinas, resulta un octágono. Si A B = 3, m uéstrese que
3
. ,
,
x =
si el o ctág o n o resultante es regular.
2 + ^/2
32. ¿C uál es el área de un o ctágono regular que tiene lados de
lo n g itu d 2?
33. C onsidérese el trián g u lo equilátero A A B C .
L os p u n to s D, E, F y G se eligieron com o se
m uestra_en
figura, de m anera que
ED 1 A B , FG 1 B C , D E = FG = 1, y
E F = 2. M uéstrese que el á rea de A CFG es
1
.
73
— -=, o bien - —.
2^3
6
34. M uéstrese que el á rea de un
d o decágono regular con lad o s de
longitud 2 es 6(4 + 2^/3). (Sugerencia:
L a figura que se m uestra a continuación
es un p en tág o n o BD E FG que es g del
dodecágono regular Cuyos lados tienen
longitud 2. E ncuéntrese la longitud A C
y empléese p a ra en c o n tra r el á rea de
A A B C . D espués, réstense las áreas de
los triángulos A A D E y A CFG.)
SO LUCIO N D E PROBLEMAS.
La lo n g itu d d e la s a ris ta s d e l c u b o e s 1.
1.
E n c u é n tre s e la lo n g itu d d e B E.
2. E n c u é n tre s e la lo n g itu d d e BH .
3.
4.
E n c u é n tre s e e l á re a d e A BEG .
E n c u é n tre s e e l á re a d e l re c tá n g u lo BCHE.
5. E n c u é n tre s e e l á re a d e A B IC .
(Ejercicios 31, 32)
408
A re a y p e rím e tro
11.4 Area de
polígonos
regulares
E l c o sto de c o n stru c ció n de u n edificio
d ep en d e de la lo n g itu d d e la s pared es
ex teriores, es decir, del p e rím e tro d e la
co n stru cció n . E s o b v io q u e u n edificio
g ra n d e req u iere m ás bloques, vigas y
m ateria le s p a r a v en tan as. E n consecuencia,
al d iseñ ar u n edificio, u n a rq u ite c to puede
p la n te a rse la cu e stió n de q u é políg o n o
re g u la r p ro p o rc io n a rá la m e jo r á re a p a ra
u n p e rím e tro d ad o .
P a r a esto so n n ecesarias dos definiciones.
Definición 11.4
El perímetro (p) de un
polígono es la sum a de las
longitudes de los lados del
polígono.
p = A B + B C + CD + D E + A E
p = A B + B C + CD + A D
Definición 11.5
L a apotema (a) de un polígono
regular es la distancia de su
centro a un lado.
E sta s d o s definiciones se em p lea n p a r a d e sa rro lla r u n a fórm ula
p a r a el á re a de u n p o líg o n o re g u la r d e n lados. L a ta b la q u e se
m u e stra a c o n tin u a c ió n re s u lta ú til p a r a a n a liz a r d o s ejem plos.
A
A rea d e A A B O
octágono
regular
P erím etro (p)
A rea del polígono
octágono
8 x
= ^a(8s)
= | ap
d ecágono
10 X
= ^a(lOs)
=
2 aP
11.4
Teorema 11.5
A re a d e p o líg o n o s re g u la re s
D a d o u n p o líg o n o r e g u la r d e n la d o s d e lo n g itu d s y a p o te m a
a, el á r e a A e s tá d a d a p o r la fó rm u la A = (¿)ans = (j)a p,
d o n d e el p e rím e tro p = ns.
Ejemplo
L a lo n g itu d d e c a d a la d o d e u n h e x á g o n o r e g u la r es 4.
E n c u é n tr e n s e la a p o te m a y el á r e a d e l h e x á g o n o re g u la r.
A O A B es u n tr iá n g u lo 30°-60°-90°. P o r ta n to ,
A B = 2, O A = 4 y
a = O B — 2 \/3 .
A p lic a n d o el te o r e m a 11.5, á r e a = ¿(2 \ / 3 ) • 6 ■4 = 2 4 \/3 f
a
t í
n s
APLICACION
Si u n ed ificio c u a d r a d o y u n e d ific io c o n fo r m a d e
h e x á g o n o r e g u la r tie n e n el m is m o p e rím e tro (p), ¿ c u á l es la
re la c ió n e n tr e su s á re a s?
B
¡-1 /
1. A O A B e s u n tr iá n g u lo 4 5 o-45°-90°.
P o r ta n t o , la a p o te m a a = A B =
. 1 _ l (P\2 ¡
'/
Y
o
A
s
2 \4 /
A re a d el c u a d r a d o = — — • p.
2
8
B
2. A O A B es u n tr iá n g u lo 3 0 °-6 0 °-9 0 c.
L a a p o te m a a =
\[?> AB -
\/3 (^ ) =
V 3p
12
A re a d e l h e x á g o n o =
D ado que
4
2 x 12
.
1
2x8
• - ~ - p ‘p ■
el á r e a d e l h e x á g o n o es m a y o r q u e el á r e a
d e l c u a d r a d o . P o r ta n t o , u n e d ific io h e x a g o n a l p r o p o r c io n a m a y o r á r e a
q u e u n e d ific io c u a d r a d o c o n el m is m o p e rím e tro .
409
410
A re a y p e rim e tro
EJERCICIOS_______________________
A.
E n los ejercicios 1 a 6, encuéntrese el perím etro de la figura
dada.
2.
1.
18
33
4.
6.
5.
E n los ejercicios 7 a 9, encuéntrense la ap o tem a y el área de
cada polígono regular dado.
9.
7.
ACTIVIDADES !
En la s a c tiv id a d e s d e la s e c c ió n a n te r io r se
e n c o n tra ro n las á re a s d e a lg u n a s re g io n e s en un
ta b le ro s in u s a r n in g u n a fó rm u la d e l áre a .
C o m p lé te s e la ta b la s ig u ie n te . B ú s q u e s e un a fó rm u la
p a ra la s á re a s d e e s to s p o líg o n o s en fu n c ió n del
n ú m e ro de c la v o s que d e lim ita n a c a d a fig u ra
(d) y d e l n ú m e ro de p u n to s in te rio re s (/').
Figura
Número d e
clavos en el
limite (d)
Núm ero d e
puntos
interiores [i)
A
?
?
B
7
0
C
?
?
I +Í
?
7
1 + o
?
A rea del
polígono
?
5
2
?
11.4
A re a d e p o líg o n o s re g u la re s
411
B.
10. E ncuéntrese el área de u n hexágono
regular con apo tem a 3^/3.
12. Si el á rea de un hexágono regular es
36^/3 cm 2, ¿cuáles son la ap o tem a y
la lo n g itu d de ca d a lado?
c.
11. E ncuéntrese el área de u n octágono
regular con lados de longitud 5 y
ap o tem a k.
13. Si la apotem a de un hexágono
regular es 5 m, ¿cuáles son el
perím etro y el área?
14. Si un trián g u lo equilátero y u n hexágono regular tienen
el m ism o perím etro, dem uéstrese que la razón entre sus
áreas es 2 a 3.
15. El á rea de un hexágono regular es 50^/3 pies
cuadrados. ¿Cuáles son el perím etro y la apotem a?
16. L a longitud de los lados de un
octágono regular es 2. ¿C uál es su
apotem a?
17. U n granjero quiere co n stru ir un
corral con 100 m etro s de valla y ha
de decidir la fo rm a del corral.
Rellénese la siguiente tab la y véase si
se le puede hacer alguna
recom endación al granjero.
L o n g itu d
A ncho
P e rím e tro
A re a
m
?
m
?
?
100 m
_L
7
10 0 m
9
30 m
?
10 0 m
?
25 m
?
100
?
48 m
?
45 m
7
40 m
35 m
100
100
m
SO LUCIO N D E PROBLEMAS.
E n c u é n tre se el p e rím e tro d e c a d a uno d e los
p o líg o n o s d e e s te tab lero . O b s é rv e s e q u e A B = 1.
á
412
A re a y p e rím e tro
11.5
Comparación entre
perím etros y áreas de
polígonos semejantes
P a r a d is e ñ a r el s is te m a d e a ire
a c o n d ic io n a d o d e u n ed ificio , u n
in g e n ie ro d e b e p o d e r re s p o n d e r
a p r e g u n ta s c o m o la s sig u ien tes:
1. ¿ Q u é d ife re n c ia h a y e n tr e el p a s o d e a ir e d e
u n c o n d u c to d e 7 p u lg a d a s x 14 p u lg a d a s y
u n o d e 5 p u lg a d a s x 10 p u lg a d a s ?
2. ¿ Q u é s e r á m á s e c o n ó m ic o , d o s c o n d u c to s d e 5 p u lg a d a s
x 10 p u lg a d a s o u n o d e 7 p u lg a d a s x 14 p u lg a d a s ?
P a r a r e s p o n d e r a e s ta s p re g u n ta s , e s n e c e s a rio h a c e r u n a c o m p a ra c ió n
e n tr e la s á r e a s d e la s se c c io n e s tra n s v e rs a le s d e u n r e c tá n g u lo d e 5 x 10
y d e o tr o d e 7 x 14, e s d e c ir, d e u n p a r d e p o lig o n o s se m e ja n te s.
E s tú d ie n s e lo s d o s e je m p lo s s ig u ie n te s, e n lo s q u e se c o m p a r a n la s
á re a s d e u n p a r d e tr iá n g u lo s s e m e ja n te s y d e u n p a r d e h e x á g o n o s
se m e ja n te s.
E je m p lo 1
A A ' B ' C ~~ A A B C c o n A B '
AB
A'°
AC
B'°
BC
24 mm
E je m p lo 2
p e r ím e tr o A A ' B ' C '
5
áre a A A ' B ' C '
p e rím e tro A A B C
~3
áre a A A B C
A ' B ' C ' D ' E ' F ' ~~ A B C D E F c o n
A 'B '
AB
K 40)(25)
500
2
l
B'
- - ■ fB
p e rím e tr o { A ' B ' C ' D 'E ' F ')
p e rím e tr o ( A B C D E F )
25
~ ¿(24)(15) = 7 8 0 = T
2
~ T
á r e a { A ' B ’C ' D ' E ' F )
á rea (A B C D E F )
ó -A ( A A 'O 'B ')
=
6-A (A A O B )
{ a 'A 'B '
=
\a A B
11.5
C om p aració n e n tre p e rím e tro s y á r e a s d e p o líg o n o s s e
L o s e je m p lo s a n te r io r e s se re s u m e n e n e s ta ta b la .
R azó n de los lados
corresp o n d ien tes
E jem plo 1
A 'B '
AB
40
24
E jem plo 2
A 'B '
AB
2
1
R azó n de los perím etros R azón d e las áreas
5
3
5
3
©’
2
1
(!)'
E s to s e je m p lo s su g ie re n lo s te o re m a s sig u ien te s.
Teorema 11.6
Teorema 11.7
L a r a z ó n e n tr e lo s p e rím e tro s d e d o s p o líg o n o s s e m e ja n te s
es ig u a l a la ra z ó n e n tr e la s lo n g itu d e s d e c u a lq u ie r p a r d e
la d o s c o rre s p o n d ie n te s .
L a r a z ó n e n tr e la s á r e a s d e d o s p o líg o n o s s e m e ja n te s es
ig u a l a l c u a d r a d o d e la ra z ó n e n tr e la s lo n g itu d e s d e
c u a lq u ie r p a r d e la d o s c o rre s p o n d ie n te s .
A P L IC A C IO N
A h o r a se r e s p o n d e r á a la s d o s p re g u n ta s
p la n te a d a s a l p rin c ip io d e e s ta se c c ió n p o r
m e d io d e u n a c o m p a r a c ió n e n tr e la s á r e a s y
lo s p e r ím e tr o s d e la s se c c io n e s tra n s v e rs a le s
re c ta n g u la re s d e lo s d o s c o n d u c to s .
CD
7
á r e a (R')
A B
5
á r e a (R) = \ 5 /
_ / 7 V - 49 - 2
“
25 ~ T
p e rím e tro ( R 1)
7
p e rím e tr o (R )
5
C o n clu sió n : E l á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e rs a l (y p o r ta n to
la c a n tid a d d e a ire m o v id o ) d e l c o n d u c to m a y o r es c a s i el
d o b le q u e la d e l o tr o , a u n q u e e l- p e r ím e tr o d e su se cc ió n
tr a n s v e r s a l es s ó lo § m a y o r q u e la d e l c o n d u c to m e n o r . E n
c o n s e c u e n c ia , se r e q u e r ir á m e n o s m a te r ia l p a r a c o n s tr u ir u n
c o n d u c to g r a n d e q u e p a r a c o n s tr u ir d o s c o n d u c to s
pequeños.
414
A re a y p e rím e tro
EJERCICIOS__
A.
Supóngase que las longitudes de los lados de dos cuadrados
son 4 y 8, respectivam ente.
1. ¿C uál es
la razó n en tre sus perím etros?
2. ¿Cuál es
la razó n e n tre sus áreas?
L a razó n en tre las longitudes de los lados de dos pentágonos
regulares es 13:20.
3. ¿C uál es
la razó n en tre sus perím etros?
4. ¿C uál es
la razó n en tre sus áreas?
4 u n id a d e s
u n id a d e s
(E jercicio s 1, 2)
B.
5. L a ra z ó n en tre los perím etros de dos polígonos
sem ejantes es
\/3
13 u n id a d e s
¿Cuál es la razó n en tre sus áreas?
2 0
u n id a d e s
(E je rcic io s 3, 4)
6. Si la razó n en tre las áreas de dos polígonos sem ejantes
de n lad o s es § f, ¿cuál es la ra z ó n en tre sus perím etros?
7. L a ra z ó n en tre las áreas de dos polígonos sem ejantes es
29 , y la sum a de las d os áreas es 272. E ncuéntrense las
áreas de los dos polígonos.
ACTIVIDADES!
H ay fig u ra s , co m o lo s triá n g u lo s e q u ilá te ro s , co n la s q u e s e p u e d e n
fo r m a r o tra s de la m is m a fo rm a , p e ro m á s g ra n d e s . ¿ C u á le s d e las
s ig u ie n te s fig u ra s p o d ría n e n tra r e n e s ta c la s ific a c ió n ?
C o n té s te s e a la p re g u n ta d ib u ja n d o en p a p e l p u n te a d o o
re c o rta n d o c u a tro c o p ia s d e ca d a u n a d e e s ta s p ie z a s e in te n ta n d o
a c o p la rla s p a ra fo r m a r u n a fig u ra m a y o r d e la m is m a fo rm a
Un
11.5
C o m p a ra c ió n e n tre p e rím e tro s y á re a s d e p o líg o n o s s e m e ja n te s
8. Supóngase que A A B C es un trián g u lo rectángulo y que
CD L A B . Si CD = 8, A D = 16 y BD = 4, encuéntrense las
razones en tre estas áreas.
A (A A C D )
A (A A C D )
a.
b.
A ( A CBD)
A (A A B C )
c.
9. Supóngase q u e los p u n to s X , Y y Z so n pu- .os m edios de
los lados de A ABC. Encuéntrese la razón
A(A X YZ):A (A A B C ).
10. Supóngase que A A B C es u n triángulo
rectángulo con h ipotenusa c y catetos
a y b. C onstruyanse triángulos
e q u ilá te ro s ^ los lados de A A B C com o
se m uestra e n la figura. Si las áreas de
estos triángulo.-) son A ¡, A 2 y A 3,
com o se m uestra, dem uéstrese que
Ai
¿3
= 1.
Ai
11. L os p u n to s W , X , Y y Z son p u n to s mi
lad o s del cu a d ra d o ABCD. Encuéntrese
12. L os p u n to s R, S, T , U. V y W son p u n
los lados del hexágono regular A B C D E I
A(A BCD EF )
A (R ST U V W )
de aire?
14. Si la can tid ad de aire ad m itid a p o r un con d u cto cuadrado
de 10 pulgadas se va a increm entar en un 30 % , ¿de qué
ta m a ñ o debe co n struirse el nuevo co nducto cuadrado?
(Redondéese el resultado a la j pulg ada m ás próxim a.)
_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS
U na p irá m id e c u a d ra d a s e r o r t a p o r un plano q u e p a s a
p o r el pun to C y la a ris ta A B . Sí el p lan o e s p a ra le lo a
la b a s e c u a d ra d a , re s u lta u n a se c c ió n tra n s v e rs a l
c u a d ra d a .
AC
1
A(S)
Si — =
e n c u é n t r e s e ------- .
CB
3
A(S')
415
416
A re a y p e rim e tro
11.6
La razón entre
la circunferencia
y el diám etro
de un círculo
E n la s g rá fic a s p o r c o m p u ta d o r , la
im p re s o r a d ib u ja a lg o q u e p a r e c e n se r
lín e a s c u rv a s . E n r e a lid a d , la p lu m a d e l
g ra f ic a d o r d ib u ja s e g m e n to s su c e siv o s de
r e c ta ta n c o r to s q u e el e fe c to fin a l es u n a
lín e a c u rv a . E s te m is m o c o n c e p to se
e m p le a p a r a e n c o n tr a r la c irc u n fe re n c ia d e
u n círcu lo .
E s ta s fig u ra s m u e s tr a n u n a se c u e n c ia d e p o líg o n o s re g u la re s q u e
p o c o a p o c o se a p r o x im a n a u n círcu lo .
A l in c re m e n ta rs e el n ú m e r o d e la d o s d e u n p o líg o n o
re g u la r, p o c o a p o c o s u f o r m a se a p r o x im a a la d e u n
c írc u lo c irc u n s c rito . A d e m á s, s u p e r ím e tr o se a p r o x im a a
u n n ú m e r o fijo q u e re c ib e el n o m b r e d e circunferencia del
c írc u lo , y la a p o te m a se a c e rc a a l r a d io d e l c írc u lo
c irc u n sc rito .
E l sig u ie n te te o r e m a es b á s ic o p a r a la te o r ía d e los
círcu lo s.
Teorema 11.8
Definición 11.6
La circunferencia de un círculo
es el núm ero al que se
aproxim an los perím etros de
los polígonos regulares
inscritos conform e se
increm enta el núm ero de
lados de los polígonos
regulares.
L a r a z ó n e n tr e la c irc u n fe re n c ia y el d iá m e tr o es la m ism a
p a r a to d o s lo s c irc u io s.
11.6
L a ra z ó n e n tre la c irc u n fe re n c ia y e l d iá m e tro d e un c írc u lo
417
EXPLICACION DE LA PR U EB A
1. S ele c c ió n e n se d o s c írc u lo s c u a le s q u ie ra e in s c ríb a s e en
e llo s u n p o líg o n o re g u la r d e n la d o s.
2. U n p a r d e triá n g u lo s isósceles s e m e ja n te s A A O B y
A A O 'B ' e s tá n d e te rm in a d o s p o r u n la d o d e c a d a p o líg o n o .
s
s'
.
ns
rís'
3. P o r ta n to , la s ra z o n e s - y — s o n ig u a le s y — = — .
4. L o s n ú m e ro s n s y r ís ' ig u a la n lo s p e rím e tro s p y p ' d e
lo s d o s p o líg o n o s re g u la re s. P o r ta n to ,
P = l_
r
r1'
5. A l in c re m e n ta rs e el n ú m e ro d e la d o s n, lo s p e rím e tro s p
y p ' se a p r o x im a n a la s c irc u n fe re n c ia s C y C '. P o r ta n to ,
C_C' , c _ c
Definición 11.7
7 ~ V y 2¡: ~ 2 ? '
c
L a ra z ó n — es u n n ú m e ro irra c io n a l, lo q u e sig n ifica q u e
d
n o p u e d e e sc rib irse e x a c ta m e n te c o m o u n d ec im a l. A lg u n a s
a p ro x im a c io n e s d e e s te n ú m e ro s o n 3.14, 3 ^ y 3.14159.
Teorema 11.9
D a d o u n círc u lo d e ra d io r y d iá m e tro d, la circunferencia
C está d a d a p o r la fó rm u la C = nd = 2 %r.
APLICA CIO N
El a n im a d o r d e u n e sp e c tá c u lo q u ie re d is e ñ a r u n
m o d e lo p a r a u n m e g á fo n o . E ste d ise ñ o es u n a p o rc ió n de
u n c irc u lo lim ita d o p o r u n á n g u lo c e n tr a l y su a rc o
in te r c e p ta d o . Si lo s la d o s d e l m o d e lo tie n e n 15
p u lg a d a s y el á n g u lo c e n tr a l m id e 120°, e n c u é n tre se
la lo n g itu d d e l a rc o in te rc e p ta d o .
Solución.
P u e d e e sta b le c e rs e u n a
p r o p o r c ió n e n tr e la lo n g itu d d e l a r c o , la
circu n fe ren c ia d e l c írc u lo , la m e d id a d e l á n g u lo
c e n tra l y la m e d id a e n g ra d o s d e l círcu lo .
120
x
360
c irc u n fe re n c ia
1
x
- = --------------------3
3071 p u lg a d a s
_
o
La razón — , que es el mismo
a
núm ero real p a ra cualquier
círculo, se representa p o r n
(la letra griega pi).
x
27il5
x = 10n = 31.4 p u lg a d a s
418
A re a y p e rím e tro
EJERCICIOS__
1. Si un polígono regular de 100 lados está inscrito en un
círculo, el perím etro del polígono es casi igual a la JL del
círculo.
2. Si u n polígono regular de 100 lados está inscrito en un
círculo, la ap o tem a del polígono es casi igual al _L del
círculo.
3. D ense varias aproxim aciones p a ra el valor n.
E n los ejercicios 4 a 8, encuéntrense los núm eros que faltan.
ra d io
d iám etro
circunferencia
4.
2
?
4n
5.
?
6
?
6.
Un
?
?
7.
?
?
8n
8.
?
?
16
B.
q
9. E n un círculo, ¿a qué es igual la razó n —?
Tí
ACTIVIDADES!
C á lc u lo d e un v a lo r a p ro x im a d o p a ra n. (E m p lé e se
u n a c a lc u la d o ra .) Se p u e d e p ro b a r la s ig u ie n te
fó rm u la .
x = - J l — V4 - s2
C o m p lé te s e
la s ig u ie n te
ta b la y a p ro x ím e s e
e l v a lo r de n.
s = lo n g itu d d e u n la d o de
un p o líg o n o re g u la r d e n
la d o s in s c rito e n un
c írc u lo d e ra d ío 1.
x = lo n g itu d d e un la d o del
c o rre s p o n d ie n te p o líg o n o
d e 2n la d o s.
C o n tin ú e s e la ta b la p a ra n - 48, 96, 192, 384 y 768.
Número de
lados (n)
6
Longitud del
lado (s)
Perím etro [n - s)
Perím etro
-^d iá m e tro
\¡2 -
1
6
3
12
0 .5 1 7 6 3 8
6 .2 1 1 6 5 6
3 .1 0 5 8 2 8
24
0 .2 6 1 0 5 2
?
Longitud de los
lados del polígono de 2n lados (x)
7
\Jí -
^ / 4 ^ 1 ^ ) r = 0 .5 1 7 6 3 8
^ 4 ^ ( 0 .5 1 7 6 3 8 )* = 0.261052
11.6
L a ra z ó n e n tre la c irc u n fe re n c ia y e l d iá m e tro d e un c írc u lo
10. E ncuéntrese la longitud de u n arco interceptado p o r un
ángulo cen tral de 60° en un círculo con radio 10.
(Preséntese la respuesta en función de n.)
11. U n rectángulo de cartu lin a se enrolla
p a ra fo rm ar un tu b o de 12 pulgadas
de largo y 3 pulgadas de diám etro.
¿Cuál es el área del rectángulo de
cartulina?
12. Si u n g aló n de p in tu ra cubre 400 pies cuadrados, ¿cuántos
galones se necesitan p a ra p in tar un granero (sin c o n ta r el
tejado) que m ide 10 pies de d iám etro y 50 pies de altura?
13. E n u n a m áq u in a grande, los centros de dos poleas están
separados 16 pies, y el radio de cada polea es 24 pulgadas.
¿Q ué lo n g itu d debe ten er la correa p a ra que ab arq u e a las
dos poleas?
14. E n los pedales de u n a bicicleta, el
piñón m ás grande tiene 50 dientes, y
el pequeño, 20. C u an d o los pedales
com pletan dos vueltas ¿cuántas
vueltas d a la rueda?
C.
15. U n a to rre redonda, c o n una circunferencia de 10 m etros,
está ro d ead a p o r u n a valla situ ad a a dos m etros de la
torre. ¿Cuál es la longitud de la valla?
16. ¿Q ué distancia recorre una bicicleta p o r cada 25 vueltas
de una ru ed a si el diám etro exterior de cad a rueda es de 29
pulgadas?
17. Supóngase que el ecu ad o r terrestre es un círculo perfecto
con ra d io de 4000 m illas, y que se ciñe u n a cuerda a su
alrededor. Supóngase que luego se añ adió un tro z o de
cu erd a de 40 pies y se estiró p ara form ar u n a valla, ¿qué
distancia hay entre la valla y la Tierra?
_ SOLUCION D E PROBLEMAS.
E m p lé e s e d o s v e c e s el te o re m a d e P itá g o ra s p a ra p ro b a r la fó rm u la
u tiliz a d a en la a c tiv id a d a n te rio r.
c
Dado:
OC = 1.
AB = S, AC = x.
" = !■
Encuéntrense: OD, CD y x.
419
• IF * '
420
A re a y p e rim e tro
11.7 Area de círculos
U n in s p e c to r d e c o n s tru c c io n e s d e b e
a s e g u ra rs e d e q u e la tu b e r ía p r in c ip a l d e
a b a s te c im ie n to d e a g u a s e a s u fic ie n te m e n te
g r a n d e p a r a s a tis fa c e r la d e m a n d a d e a g u a
r e q u e r id a e n c a d a p a r te ¿ C u á n ta s v eces es
m a y o r la c a n tid a d d e a g u a q u e p u e d e
c o n d u c ir u n a tu b e r ía p r in c ip a l d e 6
p u lg a d a s q u e u n a d e 4 p u lg a d a s ?
P a r a m o s tr a r q u e el v o lu m e n m a y o r es
2 | veces el v o lu m e n m e n o r , d e b e
c o m p a r a r s e el á r e a d e la se c c ió n
tr a n s v e r s a l c irc u la r d e la tu b e r ía g r a n d e
c o n el á r e a d e la se c c ió n tra n s v e rs a l
c irc u la r d e l a tu b e r ía p e q u e ñ a .
L a fig u ra s ig u ie n te a y u d a a e x p lic a r la d e fin ic ió n d e
á r e a d e u n círcu lo .
E l á r e a d e u n p o líg o n o
in s c rito d e n la d o s es u n a
b u e n a a p r o x im a c ió n al
á r e a d e l c írc u lo c irc u n s c rito
c u a n d o n tie n e u n v a lo r
g ra n d e .
Definición 11.8
E l área de un círculo es el
n ú m ero al que se aproxim an
las áreas de los polígonos
regulares inscritos de n lados
a m edida que n aum enta.
U n p o líg o n o re g u la r in s c r ito p u e d e
c o rta rs e e n tr iá n g u lo s q u e p u e d e n lu e g o
d is p o n e rs e p a r a f o r m a r u n p a ra le lo g ra m o .
U n a a p r o x im a c ió n c e r c a n a al á r e a d e l
p a r a le lo g r a m o es j C a , j(2 n r )a , o b ie n nra.
WV\
alred ed o r d e -jC
alred ed o r de j C
E s ta a p r o x im a c ió n m e jo r a c u a n d o
a u m e n ta e l n ú m e r o d e la d o s d el p o líg o n o
re g u la r.
11.7
,
,. ,
,
A m e d id a q u e a u m e n ta el
n ú m e r o d e la d o s , el n ú m e r o de
triá n g u lo s q u e c o m p o n e n el
p a r a le lo g r a m o ta m b ié n a u m e n ta .
A re a d e c írc u lo s
421
a lr e d e d o r d e \C = nr
L a a p o te m a a se a p r o x im a a l r a d io r y e l á r e a n ra se a p r o x im a a n r 2.
Teorema 11.10
D a d o u n c írc u lo d e r a d io r, el á r e a A e s tá d a d a p o r la
f ó r m u la A = nr2.
A PLICA CIO N
L a c a n tid a d d e a g u a q u e p u e d e c o n d u c ir u n a tu b e r ía de
6 p u lg a d a s p u e d e c o m p a r a r s e c o n el a g u a q u e c o n d u c e
u n a tu b e r ía d e 4 p u lg a d a s . E s to p u e d e h a c e rse fo rm a n d o
la r a z ó n d e la s á re a s .
^ ( C j ) = 57(3)2 = 9 7T
A ( C 2) = tt(2 )2 = 4-n
4 ^ 4 = — = 2.25 ó 2 \ v eces m á s
A ( C 2)
4 ir
4
/i
P u e d e u s a rs e la fó r m u la p a r a el
á r e a d e u n c írc u lo p a r a e n c o n tr a r el
á r e a d e u n a re g ió n q u e re c ib e el
n o m b r e d e se c to r.
B
Definición 11.9
U n sector es una región
ac o tad a p o r un ángulo central
y su arco interceptado.
A O B e s u n s e c to r
de 0 0 .
, á r e a d e u n s e c to r
, m e d id a e n g r a d o s d e l á n g u lo c e n tra l
L a r a z ó n —------- — :— es ig u a l a l a r a z ó n : ------------------------á r e a d e l c írc u lo
360°
APLICA CIO N
Si u n a p iz z a d e 16 p u lg a d a s se c o r ta e n o c h o p e d a z o s
c o n g ru e n te s , ¿ c u á l s e rá e l á r e a d e c a d a p e d a z o ?
á rea de u n pedazo
45°
647r p u lg a d a s c u a d r a d a s
360°
A re a (u n p e d a z o ) = ¡ x 647t p u lg a d a s 2 = 87r p u lg a d a s 2.
422
A re a y p e rím e tro
EJERCICIOS___
En los ejercicios 1 a 4, exprésense las respuestas con un
núm ero exacto (empléese el núm ero n).
1. E ncuéntrese el á rea de u n círculo con radios:
a . 2.
b . 5^.
c.
d.
t í.
\/3 .
2. E ncuéntrese el área de un círculo co n diám etros:
a . 6.
b . 1 \.
c. 3ít.
d . 4 \/2 .
3. E ncuéntrese el á rea de un círculo con circunferencias:
a. 2
i
b . 6i t.
c. x/óW.
d . 10.
4. E ncuéntrese el radio de un círculo con áreas:
a.
14477.
b . 225 t¡-.
c. 127,.
d.
100.
En los ejercicios 5 a 8, encuéntrese el área de los sectores
som breados. R espóndase en función de n.
9. E ncuéntrese el á rea ap ro x im ad a de los sectores siguientes.
Em pléese 3.14 p ara n.
a. A ngulo central, 50°.
Radio, 3 cm.
b. A ngulo central, 75°.
R adio, 3 m.
10. Si el área de un sector es un décim o del área del círculo,
¿cuál es el ángulo central del sector?
B.
11. D o s círculos tienen rad io s de 4 cm y 5 cm,
respectivam ente. ¿Cuál es la ra z ó n en tre sus áreas?
12. L a razó n en tre las áreas de d os círculos es 9 a 4. ¿Cuál
es la ra z ó n en tre sus radios?
13. L a razó n en tre las áreas de d os círculos es 8 a 5. ¿Cuál
es la razó n en tre sus radios?
14. E ncuéntrese el á rea de los círculos inscritos y
circunscritos de un cu ad rad o cuyo lad o m ide 4 cm.
c. A ngulo central, 15°.
Radio, 10 pulgadas.
11.7
A re a d e c írc u lo s
E n los ejercicios 15 a 17, encuéntrese el á rea de la región
E n las figuras de los ejercicios 18 a 20, las áreas
som breadas reciben el n o m b re de segmento circular.
E ncuéntrese el área de ca d a uno de ellos.
m L A O B = 120
21. U n o s círculos, con rad io s iguales, están colocados en un
rectángulo com o ilu stra la figura. ¿Q ué fracción de la
región rectangular está som breada?
22. ¿C uántas veces es m ayor la can tid ad de agua conducida
p o r una tubería de 12 pulgadas de diám etro que la
conducida p o r una tu b ería de 10 pulgadas?
23. Si B C = 2A B , ¿qué fracción del círculo
está som breada?
24. La figura siguiente represen ta la sección transversal de
una tubería de ¿ de pulg ad a de espesor que tiene un
d iám etro interio r de 3 pulgadas. E ncuéntrese el área de
la región som breada.
m ¿ X O Y = 60
423
424
A re a y p e rim e tro
25. D a d o un trián g u lo rectángulo A A B C ,
m uéstrese que el á re ^ de u n sem icírculo
sobre la h ip o ten u sa es igual a la sum a
de las áreas de los sem icírculos sobre
los dos cateto s del triángulo.
26. D a d o u n trián g u lo rectángulo A A B C , su
círculo circunscrito y los sem icírculos
sobre los catetos, m uéstrese que la sum a
d e las áreas de las d os regiones
som b read as es igual al á rea de A A B C .
27. D a d o u n p u n to C en tre A y B, los sem icírculos sobre
A C , C B y A B com o ilustra la figura, si CD L A B ,
m uéstrese que el á rea de la región so m breada es igual al
á re a del círculo con CD com o diám etro. (Sugerencia:
C onsidérese el triángulo rectángulo A ADB.)
A C TIVIDADES ................—
—
"Fl—
E s tím e s e el v a lo r d e n m id ie n d o d ire c ta m e n te .
1. E líja s e u n o b je to c ir c u la r q u e te n g a el ta m a ñ o a p ro x im a d o
d e la p a rte s u p e rio r d e un c u b o d e b a s u ra .
2. M íd a s e su d iá m e tro (d) re d o n d e a n d o a l m ilím e tro m á s
p ró x im o .
3. C o ló q u e s e u n a c u e rd a a lre d e d o r d e l o b je to y m íd a s e su
lo n g itu d p a ra e n c o n tra r s u c irc u n fe re n c ia (C) re d o n d e a n d o
a l m ilím e tro m á s p ró x im o .
C
4. C a lc ú le s e —. ¿Qué p re c is ió n tie n e la e s tim a c ió n d e n?
d
5. ¿Q ué p u e d e h a c e rs e p a ra m e jo ra r la a p ro x im a c ió n ?
R e p íta s e e s te p ro c e d im ie n to c o n u n a la ta d e a lu m in io y con
un a ru e d a d e b ic ic le ta .
11.7
28. Si A A B C es un trián g u lo equilátero,
¿qué fracción del triángulo está
som breada?
29. En la figura siguiente, el círculo pequeño
es tang en te a cu atro arcos circulares.
¿Q ué fracción del círculo gran d e está
som breada?
30. L os conductos de cables telefónicos
está n co nstruidos p a ra co ntener tres
cables (todos circulares y tangentes al
co nducto y. en tre sí) de 1 cm de radio.
¿Q ué fracción del co nducto está
o cu p ad a p o r los cables?
. SO LUCIO N D E PROBLEMAS
L o s p u n to s A ', B ' y C' s o n p u n to s de
tris e c c ió n de lo s la d o s d e A A B C . El á re a d e
la re g ió n tr ia n g u la r s o m b re a d a e s J L del
á re a d e A A B C .
E m p lé e s e un a c u a d ríc u la p e q u e ñ a
o a lg u n a té c n ic a d e m e d ic ió n p a ra
d e te rm in a r sí la re g ió n b la n c a d e b e lle n a rs e
co n la fra c c ió n -J, -J,
ó -J.
A re a d e c irc u io s
425
426
A re a y p e rím e tro
Capitulo 11 Conceptos importantes
Términos
Región poligonal (pág. 394)
U n id ad cu ad rad a (pág. 398)
A ltu ra de un paralelogram o (pág. 399)
Perím etro de u n polígono (pág. 408)
A potem a de un polígono regular (pág. 408)
C ircunferencia de un círculo (pág. 416)
P i (n) (pág. 417)
A rea de un círculo (pág. 420)
Sector (pág. 421)
Segm ento circular (pág. 423)
Postulados
Postulado del área. A ca d a región poligonal se le puede asignar
un núm ero positivo único denom inado área. El área de una
región R se representa p o r -4(R).
Postulado del área de regiones congruentes. Si dos rectángulos o
d os triángulos son congruentes, entonces las regiones que
aco tan tienen la m ism a área.
Postulado de la suma de áreas. Si u n a región poligonal es la
unió n de n regiones poligonales que n o se solapan,
entonces su á rea es la sum a de las áreas de estas n regiones.
Postulado del área del rectángulo. El área de u n rectángulo de
lo n g itu d ( y ancho w está d a d a p o r la fórm ula iw .
Teoremas
11.1 D a d o un p aralelogram o con base b y
11.6 L a razón entre los perím etros de dos
a ltu ra correspondiente h, el á rea A
está d ad a p o r la fórm ula A = bh.
11.2 D a d o un trián g u lo con base b y
11.3
altu ra correspondiente h, el á rea A
está d ad a p o r la fórm ula A = \bh.
Si A A B C tiene lados de longitudes a,
b y c, entonces A (A A B C ) =
= \/s(s — a)(s — b)(s — c) donde
í = i ( a + b + c).
11.7
11.8 La razón entre la circunferencia y el
diám etro es la m ism a p a ra to dos los
círculos.
11.4 D ad o un trapecio con bases bx y b2,
y a ltu ra h, el área A está d a d a p o r la
fórm ula A = %h(b¡ + b2).
11.9 D ad o u n círculo de radio r y diám etro
11.5 D a d o u n polígono regular de n lados
de longitud s y apo tem a a, el á rea A
está d ad a p o r la fórm ula
A = %ans = \a p , d o n d e el perím etro
p = ns.
polígonos sem ejantes es igual a la
razón entre las longitudes de cualquier
p a r de lad o s correspondientes.
L a razón entre las áreas de dos
polígonos sem ejantes es igual al
cu ad rad o de la razón entre las
longitudes de cualquier p a r de lados
correspondientes.
11.10
d, la circunferencia C está d ad a p o r la
fórm ula C = nd = 2nr.
D ad o un círculo de radio r, el área A
está d a d a p o r la fórm ula A = nr2.
C a p ítu lo 11
R esum en
Capitulo 11 Resumen
1. E ncuéntrese el área de las siguientes figuras. Supóngase que
los segm entos que parecen paralelos o congruentes lo son.
a.
b.
10
c.
d.
2. Dado: A A B C ~ A D EF, á re a (AA B C ) = 3
A
a. E ncuéntrese la longitud de la a ltu ra de A B .
b. E ncuéntrese el área de A DEF.
B
3. L a circunferencia del círculo 0 ‘ es doble que la del círculo
O. ¿C uál es la razó n en tre las longitudes de sus diám etros?
4. Encuéntrese el á rea de un hexágono regular inscrito en un
círculo de 6 cm de diám etro.
5. E n A A B C , A E es u n a a ltu ra , A F es la
bisectriz de un ángulo y A D es una
m ediana. ¿Q ué segm ento divide a A A B C en
dos trián g u lo s de igual área?
6. Encuéntrese el á rea de las porciones som breadas.
Supóngase que los segm entos son congruentes si lo
parecen.
B
7. E n A A B C , D, E y F son p u n to s medios,
E ncuéntrese la razón
área (A DEF)
área (A A BC)
8. E ncuéntrese el área de un círculo que está inscrito en un
cu ad rad o de área 16 unidades cuadradas.
OA = 1
OB = 2
427
428
A re a y p e rím e tro
Capítulo 11 Examen
i. E ncuéntrese el á rea de las figuras siguientes. Supóngase que
los segm entos que parecen paralelos o congruentes lo son.
c.
2. D ado: A A B C ~ A D F E
a. E ncuéntrese el perím etro de A AB C .
a
b. E ncuéntrese el á rea de A ABC.
3. E ncuéntrese el á rea de las porciones
som breadas, d o n d e A B = 10 y B C = 26.
4. Si se duplica ca d a lad o de u n polígono
regular, ¿en qué afecta esto al perím etro y
al área?
5. E ncuéntrense las dos razones siguientes,
a.
b.
perím etro del c u a d ra d o A B C D
D
circunferencia del círculo O
área (ABCD)
área (O O)
c* ¿Las respuestas a y b dependen del tam añ o de la figura?
6. Si dos triángulos son sem ejantes y la ra z ó n en tre sus
perím etros es 2:1, ¿cuál es la razó n e n tre sus áreas?
O
7. E ncuéntrese la circunferencia y el á rea de u n círculo de
diám etro 4 cm. ¿En qué son diferentes?
8. E ncuéntrese el á rea del polígono regular.
(Ejercicio 8)
R e p a s o d e á lg e b ra
Repaso de álgebra
Evalúese cada fórm ula p a ra la le tra indicada.
1. A = bh; p a ra A si b = 6 cm, h = 4 cm.
2. A = \ h (b¡ + b2)-, p a ra A si h ■= 7 cm, b¡= 9 cm, b2 = 15 cm.
3. C = 2t¡r ; p a ra C si r = 14 cm (empléese n = 3.14).
4. A = 4wr2; p a ra X si r = 14 cm.
5. F = fw r3; p a ra V si r = 14 cm.
6. V = \B h ; p a ra h si V = 100 cm 3, -B = 30 cm 2.
1. A = \ h (bl + b2); p a ra h si ^4 = 36 cm 2,
8. / í = 4wr2; p a ra r si
9. A
= 12 cm, b2 = 8 cm.
= 1007r m 2.
= rrrl -f wr2; p a ra A si r = 4^ pulgadas,
X = 8^ pulgadas.
s2 V 3
10. ^1 = —-— ; p a ra s si A = 6 \/ 3 y ard as cuadradas.
Despéjese x.
11. (* + 2X* - 3) = 0.
12. x2 - 9 = 0.
13. x 2 + 4 x + 4 = 0.
14. x 2 — 6 x + 9 = 0.
15. x 2 -f 5x = —6.
16. x 2 + x — 2 = 0.
17. x ( x -
1) = 90.
18. 6x2 - 7 x = 5.
19. 1 - 8x + 15x2 = 0.
20. x2 -
11* = 180.
21. x ( x - 5 ) + 6 = 0.
22. 0 = 5x - 3 x 2 + 2.
Resuélvase.
23. E ncuéntrese el á rea de u n cam po
rectan g u lar cuya longitud es 100 yardas,
y su ancho, 79 yardas.
24. E ncuéntrese el á rea de u n cuad rad o
cuyo perím etro es 20 cm.
25. El perím etro de un rectángulo es 40 cm,
y su longitud, 5 cm m ayor que su
ancho. E ncuéntrese el área.
26. U n a laguna circular tiene 48 m etros de
diám etro. ¿C uál es su área?
27. L a base de un trián g u lo es tres veces la
longitud de su altu ra. Si estas dos
m edidas sum an 72 m m , ¿cuál es el área
del triángulo?
28. L a longitud y el ancho de u n rectángulo
sum an 100 yardas. Su diferencia es 7
yardas. ¿C uál es el área del rectángulo?
29. L as dim ensiones de un ja rd ín
rectan g u lar son 40 m x 24 m. A lrededor
del ja rd ín hay un cam ino. E l á rea del
ja rd ín y el cam ino es 1232 m 2.
E ncuéntrese el an ch o del cam ino.
30. El ancho de u n rectángulo es 16 cm. La
diagonal es 4 cm m ay o r que la longitud.
E ncuéntrese la longitud del rectángulo.
429
Gráficas por computador:
transformaciones
El análisis de form as es un uso im p o rtan te de las gráficas p o r com putador.
Prim ero se analizará la idea de m over u n a form a en u n plano. Los
com putad o res pueden program arse p a ra m over u n a figura a diferentes
posiciones de la p antalla. E stos m ovim ientos se llam an transformaciones.
U n a de las transform aciones que pueden
em plearse es la traslación. En un p ro g ram a, el
m an d ato que aparece a contin u ació n h ará que
el p u n to (x, y) se m ueva 50 unidades h acia la
derecha y 70 unidades hacia arrib a. Es una
línea de un p ro g ra m a la que causa la
traslación de u n a figura.
H PLO T X,Y TO X + 50, Y + 70
A ntes d e la traslación
Después de la traslación
A ntes de la ro tació n
Después de la rotación
A ntes de la reflexión
D espués d e la reflexión
En un p rogram a, el m a n d a to que aparece a
continu ació n h ará que el p u n to (x, y) sufra una
ro tación de 90° sobre su origen en el sentido
c o n tra rio a las m anecillas del reloj. P o d ría ser
u n a línea de p ro g ram a la que causa la
ro tación de u n a figura.
H PLO T X, Y T O —Y,X
E n u n p ro g ram a, el m a n d a to que aparece
h a rá que un p u n to (x, _y) se refleje en el eje de
las y. P o d ría ser u n a línea de un p ro g ram a la
que cause la reflexión de una figura.
HPLO T X,Y TO —X,Y
430
La ventaja de u sar com p u tad o res p ara
m o stra r diferentes vistas de un objeto es
particularm ente interesante p a ra sólidos
tridim ensionales. L a ilustración m u estra un
ejem plo de sólido de este tipo.
A contin u ació n se m uestra cóm o puede
servir u n co m p u ta d o r p a ra p resen tar diferentes
vistas de este sólido.
En cada u n a de estas figuras, la p an talla del c o m p u tad o r m uestra al sólido
de acuerd o co n el p lan o xy.
mmm
¡nii
!§gg¡¡¡¡¡¡¡I
ÜSÜ1
■ l il i!»
m m m ■
im 111B S
Una vista del plano xy.
Una vista después de una rotación de 90°
sobre el eje de las y-
Una vista después de una rotación de 90°
sobre el eje de las x.
U na vista después de una rotación de 90°
sobre el eje de las z.
1. P a ra el sólido que se m uestra a
continuación, elabórense bosquejos de las
cu atro vistas p resentadas antes.
2. H ágase un bosquejo tridim ensional
propio. P a ra este sólido, dibújense las cuatro
vistas m o strad as antes.
431
C A P IT U LO
12
12.1
434
P ir á m id e s y p r is m a s
12.2
A r e a d e p r is m a s y p ir á m id e s
1 2 .3
V o lu m e n d e p r is m a s
12.4
V o lu m e n d e p ir á m id e s
12.5
A r e a y v o lu m e n d e c ilin d r o s
440
444
448
12.6
A r e a y v o lu m e n d e c o n o s
1 2 .7
A r e a y v o lu m e n d e e s fe r a s
12.8
P o lie d r o s r e g u la r e s
452
456
460
464
C o n c e p to s im p o r t a n te s
468
R esum en
T éc n ic as p a ra la solución d e p ro b lem as
H á g a s e u n d ib u jo p r e c is o
471
La g e o m e tría en n u estro m undo
N a v e g a c ió n
472
469
E xam en
470
Sólidos
434
S ó lid o s
12.1
Pirámides y prismas
L a fo rm a d e p irá m id e fue
u tiliz a d a p o r m u c h a s
c iv iliz a c io n e s a n tig u a s . L o s
e g ip c io s c o n s tr u y e r o n las
q u e a p a r e c e n e n la
fo to g ra fía ; e s ta s p irá m id e s
s o n e je m p lo s d e poliedros.
U n p o lied ro es u n o b je to tr id im e n s io n a l fo r m a d o p o r
re g io n e s p o lig o n a le s d e n o m in a d a s caras. L o s la d o s y v értices
d e la s c a r a s re c ib e n lo s n o m b r e s d e a rista s y v é rtices d e l
p o lie d ro .
Definición 12.1
U n poliedro está form ado por
un núm ero finito de regiones
poligonales. C ad a arista de
u n a región es la a rista de
exactam ente o tra región. Si
dos regiones se intersecan, lo
hacen en u n a a rista o en un
vértice.
E s te p r is m a tr ia n g u la r es u n a c la se e sp e c ia l d e p o lie d ro .
Definición 12.2
U n a pirám ide es u n poliedro
en el cual todas las caras,
m enos una, tienen un vértice
com ún. Ese vértice com ún es el
vértice de la pirám ide, y la cara
que no contiene a l vértice es la
base de la pirám ide.
12.1
P irá m id e s y p ris m a s
D e fin ic ió n 12.3
U n prism a es u n poliedro que satisface estas
condiciones:
1. H ay un p a r de caras congruentes sobre
p lanos paralelos {bases).
2. T odas las dem ás caras son paralelogram os.
T a n t o e n lo s p ris m a s c o m o e n la s
p irá m id e s , la s c a r a s q u e n o s o n b a s e s se
lla m a n ca ra s latera les, y la s a r is ta s q u e n o
p e rte n e c e n a la b a s e se lla m a n a rista s
laterales. U n s e g n w u io q u e e s té e n tr e las
b a se s d e u n p r is m a y s e a p e r p e n d ic u la r a
ellas es u n a a ltu ra . U n s e g m e n to q u e v a y a
d e l v é rtic e a la b a s e d e u n a p irá m id e y sea
p e rp e n d ic u la r a la b a se , e s u n a altura.
U n a p irá m id e e s reg u la r si s u b a s e es u n
p o líg o n o r e g u la r y su s a r is ta s la te ra le s s o n
c o n g ru e n te s .
U n p r is m a es u n p rism a r e c to si su s
a ris ta s la te ra le s s o n p e r p e n d ic u la re s a las
bases.
pirámide regular
...
inclinada
prisma recto
E s te te o r e m a e s ta b le c e u n a c a ra c te r ís tic a im p o r ta n te d e lo s p rism a s.
Teorema 12.1
L a s a rista s laterales d e u n p rism a so n p a ra le la s y
c o n g ru e n te s .
435
436
S ó lid o s
EJERCICIOS
A.
1. ¿C uál de estas figuras no es una pirám ide y p o r qué?
2. ¿C uál de estas figuras es un prism a y p o r qué?
b.
3. C ítense cinco aristas de la base en esta
pirám ide.
(Ejercicios 3-5)
4. Cítense cinco aristas laterales en esta
pirám ide.
5. Identifiqúense cinco caras laterales en esta
pirám ide.
6. C ítense las aristas de la base de este prism a.
7. C ítense las aristas laterales de este prism a.
8. Identifiqúense las caras laterales de este
prism a.
9. ¿Q ué relación existe en tre el núm ero de aristas de la base y el
núm ero de aristas laterales de una pirám ide cualquiera?
(Ejercicios 6-8)
10. ¿Q ué relación existe en tre el núm ero de aristas de la base y el
n úm ero de aristas laterales de un prism a cualquiera?
11. Si se considera que el cubo que se m uestra a continuación es
un prism a y se tiene que A B C D es una base, dígase cuáles
son la segunda base y las aristas laterales.
12. P a ra este m ism o cubo, si se considera
que A B F E es una base, digase cuáles
son la segunda base y las aristas
laterales.
(Ejercicios 11, 12)
12.1
P irá m id e s y p ris m a s
437
Si las bases de un prism a son paralelogram os, el prism a recibe
el nom bre de paralelepípedo. L os ejercicios 13 a 19 tra ta n de
paralelepípedos.
13. Si B C G F es una base del prism a, dígase
cuál es la segunda base.
14. Si A B F E es u n a base del prism a, dígase
cuál es la segunda base.
(E je rcic io s 13-19)
En los ejercicios 15 a 19, B C = 8, A B = 6 y B F = 5.
E ncuéntrense las siguientes longitudes.
15. A E = _2_,
16. E H = JL.
17. C D = JL .
18. D H = JL.
19. D ígase cuáles son las cu atro diagonales de este
paralelepípedo.
B.
20. Bosquéjese una pirám ide con base en form a de
cuadrilátero. L as aristas que no se ven deben dibujarse con
líneas de p untos. (Sugerencia: Prim ero, dibújese la base;
después, elíjase el vértice y únase a los vértices de la base.)
21. Bosquéjese u n a pirám ide con base hexagonal.
22. Bosquéjese un prism a con base hexagonal.
23. Supóngase que todas las caras de un paralelepípedo
son rectángulos y que A B = 15 cm y AD = 8 cm.
M uéstrese que A C = 17.
24. M uéstrese que la d iagonal AG tiene una
longitud de x/338.
25. D a d o un paralelepípedo con to d as las
caras rectangulares com o el que se
m uestra, si E H = 10, DC = 4 y F B - 4,
encuéntrese la longitud de la diagonal
HB.
26. Supóngase que to d as las caras de un
paralelepípedo son rectángulos. Si A C =
= a, A B = b y E C = c, m uéstrese que B E =
= J a 2 + b 2 + c2.
27. En el cubo siguiente, A B = 5.
E ncuéntrese la longitud
de la diagonal AC.
H
E
7 cm
D
8
cm
----- 1
-------
1
■
Je
15 cm
B
(E je rcic io s 2 3 , 24)
438
S ó lid o s
c.
28. ¿D e q u é tip o es el poliedro con vértices
A B C D P de esta figura?
29. ¿E n cu án tas pirám ides dividen al cubo los
segm entos que van de P a ca d a u n o de
los vértices?
(Ejercicios 28-30)
30. D ígase cuál es la base de ca d a u n a de las pirám ides del
ejercicio 29.
31. Supóngase que el cubo de la figura está
co rta d o p o r un p la n o AC F , form ando la
pirám ide A B C F . Expliqúese p o r qué esta
p irám id e es regular. (Recuérdese que las
aristas de un cu b o siem pre tienen la
m ism a longitud.)
32. ¿C uál es la base de la pirám ide regular que resultó de
c o rta r el cubo?
33. ¿C uántas pirám ides regulares com o
* puvuvii w iia ia v u ti tu u u :
Cítense.
34. Si se q u itan c u a tro pirám ides com o
A B C F del cubo de la figura, queda el
p u n c u iu / i t n r . c íte n se to a a s las caras
de A C F ÍF y expliqúese p o r qué son
to d as triángulos equiláteros.
(Ejercicio 32)
F
S i V
\ \
/
v\
A
/
/ y D
A
ACTIVIDADES
A contin u ació n s e ex p lica un m éto d o p a r a c o n stru ir una
p irá m id e con b a s e tria n g u la r a p a rtir d e un s o b re p a r a c a rta s
c e rra d o . C o m p lé te se la co n stru cció n .
1. M á rq u e se el pun to C d e m a n e ra q u e A ABC s e a un
triá n g u lo eq u ilátero .
2. H á g a s e un c o rte a lo la rg o d e DE, q u e p a s e por C y s e a
p a ra le lo a ÁB.
3. H á g a s e un d o b le z a lo la rg o d e A C y BC, a d e la n te y a trá s.
4. S e a C' el punto e n el re v e rs o del lad o c o rre sp o n d ie n te a C.
5. A b ra se y c o m p rím a se el s o b re d e m a n e ra q u e los p u n to s
D y £ s e ju n ten y q u e C y C' s e s e p a re n . P é g u e s e a lo
la rg o d e C C ' y la p irá m id e e s tá te rm in a d a .
C o n strú y a se o tro só lid o con e s te m étodo.
C
¿
(Ejercicios 33, 34)
12.1
P irá m id e s y p ris m a s
439
35. En este paralelepípedo, expliqúese p o r qué el p u n to O es el
p u n to m edio de A G y BH.
36. ¿D e q u é p aralelogram o son diagonales los segm entos
CE y A G I
37. Expliqúese p o r qué O es el p u n to m edio de CE.
38. U n a escuela tiene un pasillo de 9 pies de
a ltu ra p o r 9 pies de an ch o que hace
esquina com o m uestra la figura. (E sto
puede considerarse com o la intersección
de un p a r de paralelepípedos con caras
rectangulares.) ¿Es posible hacer pasar
u n a pértiga de 12 pies p o r la esquina de
este pasillo? Expliqúese.
39. L a figura m uestra u n a vista aérea_del _
pasillo del ejercicio anterior. Si A B || CD,
verifiqúese que CD = 18N/2 .
40. ¿Se p o d ría hacer p a sa r p o r la esquina del
pasillo una pértiga ligeram ente m ás larga
de 18 y j 2 pies? Expliqúese.
SOLUCION D E PROBLEMAS
Una c a ja d e d im e n s io n e s 2 x 4 x 8 p u e d e
a ta r s e con u n a cin ta con d o s m éto d o s
d ife re n te s. ¿Q u é c a n tid a d d e c in ta s e
re q u ie re e n c a d a c a so ?
(Sugeren cia : P ié n s e s e en c o rta r la c a ja y
a b rirla p a r a c a lc u la r la c a n tid a d d e cinta
q u e s e n e c e s ita p a r a el se g u n d o m étodo.
En el d ia g ra m a , a lg u n a s c a r a s s e
m u e stra n d o s v eces.)
(E jercicio s 35-37)
440
S ó lid o s
12.2 Area
de prismas
y pirámides
Los diseñadores profesionales y aficionados
de interiores necesitan determinar la
cantidad de material que se requiere para
decorar superficies. En ocasiones, objetos
familiares tales como mesas auxiliares o
vitrinas tienen forma de prisma. Con
frecuencia es necesario calcular las áreas de
estas superficies.
Las áreas de prismas y pirámides pueden encontrarse usando la siguiente
regla:
A rea = su m a d e las á reas d e las c a ra s laterales + áreas
d e las bases.
Considérese un prisma de altura h, con caras laterales rectangulares y
bases pentagonales.
Si el área de cada base es B y las aristas
de la base tienen longitudes eu e2, e3, e4 y
e5, entonces:
área de las caras laterales = e j i + e2h + e3h + ejx + e5h
= /i(ej + e2 + e3 + e4 + e5)
= hp, donde p es el perímetro de la base.
Teorema 12.2
Dado un prisma con caras laterales rectangulares, si la altura
del prisma es h y las bases tienen área B y perímetro p,
entonces el área S se encuentra con la fórmula S = hp + 2 B.
12.2
A re a d e p ris m a s y p irá m id e s
El á r e a to t a l d e u n a p ir á m id e e s ig u a l a la s u m a d e la s á r e a s d e las
c a ra s la te ra le s m á s el á r e a d e la b ase.
C o n s id é re s e u n a p ir á m id e r e g u la r c o n b a se
p e n ta g o n a l, a l t u r a in c lin a d a t , y a r is ta s d e la
b a se d e lo n g itu d e s e¡ = e 2 = e 3 = e 4 = e 5.
S u m a d e la s á r e a s d e la s c a r a s la te ra le s =
=
+ 2e2^
"t"
= % l(el + e2 + e3 + e4 + e5)
= \ I p , d o n d e p es el p e rím e tr o d e la b ase.
E s ta in f o r m a c ió n se re s u m e e n el s ig u ie n te te o re m a .
Teorema
12.3
D a d a u n a p irá m id e re g u la r c o n a ltu r a in c lin a d a t y b a se
c o n á r e a B y p e r ím e tr o p, e l á r e a S se e n c u e n tra c o n la
fó rm u la
S = f y p + B.
A P L IC A C IO N
E n o c a s io n e s , es n e c e s a rio a d a p t a r la s fó rm u la s p a r a
a p lic a rla s a d e te r m in a d o s o b je to s . P o r e je m p lo , c o n sid é re se
la p lo m a d a (u n p e s o q u e se e m p le a e n c o n s tru c c ió n ) q u e se
m u e s tr a a la d e re c h a . S u fo rm a es la d e u n p r is m a
h e x a g o n a l c o n u n a b a s e u n id a a u n a p irá m id e h e x a g o n a l
en la p a r te in fe rio r. U n f a b r ic a n te n e c e s ita s a b e r el á r e a de
e s ta pieza.
P o r el d ib u jo se p u e d e c a lc u la r q u e el á r e a d e la b a se es
6 ^ / 3 c m 2. D e lo s te o r e m a s 12.2 y 12.3 se tie n e q u e el á r e a del
p ris m a y d e la p ir á m id e es:
A re a d e l p r is m a = (12)(8) c m 2 + 12 v / 3 c m 2.
A re a d e la p ir á m id e = i(5 )(1 2 ) c m 2 + 6 ^ / 3 c m 2.
P e r o u n a b a s e d e l p r is m a y l a b a s e d e la p irá m id e s o n
c o m u n e s . D a d o q u e n in g u n a d e e s ta s b a s e s e s p a r te d e la
su p e rfic ie d e la p lo m a d a , se d e b e r e s ta r d o s v eces el á r e a d e la b
P o r ta n t o , el á r e a d e la p lo m a d a es:
= (12)(8) + 1 2 V 3 + i(5 )(1 2 ) + 6 V 3 = (126 + 6 \ / 3 ) c m 2^
2(6 V 3 )
441
442
S ó lid o s
EJERCICIOS
A.
E n los ejercicios 1 y 2, selecciónese la fórm u la correcta para
en c o n tra r el área, p es el perím etro de la base, h es la altura, t
es la a ltu ra inclinada y B es el á re a de la(s) base(s).
a. S = \p h + 2 B.
a . S = \p h + B.
b ■ S ~ p k + B.
b . S = p l + B.
S = p h + 2 B.
c. 5 = \ p í + 2B.
C' S = p l + 2B.
i 1* d.
d . S = \ p l + B.
rectos y de la pirám ide regular.
3.
4.
I
1.5
E ncuéntrese el área de una caja sin tapa
de 5 unidades de longitud, 3 unidades de
ancho y 2 unidades de altura.
B.
E ncuéntrense las áreas de estas pirám ides regulares.
ACTIVIDADES'
Un d e lta e d ro e s un p o lie d ro c o n c a ra s
tria n g u la re s . E la b ó re n s e m o d e lo s d e d e lta e d ro s
co n p a lillo s y p e g a m e n to . ¿ C u á le s d e e llo s son
p irá m id e s ?
7. E ncuéntrese el área de un prism a recto
con bases de triángulo equilátero si todas
las aristas m iden 2 unidades de longitud.
12.2
11. L a superficie de un prism a con base
c u a d ra d a es 360 cm2, y la a ltu ra es el
doble de la lo n g itu d de las aristas de la
base. ¿Cuáles son las longitudes de las
aristas del prism a?
A re a d e p ris m a s y p irá m id e s
¡N
i
i
i
i
i
------ A
12. El área de u n a pirám ide con base
c u a d ra d a es 48 cm 2. Si la altu ra
inclinada es igual a la arista de la base,
¿cuál es el á rea de la base?
\
\
—
443
t
2 x
I
jr-M
5 = 360 cm2
13. ¿Cuál es la longitud de la a ltu ra d e la
pirám ide del ejercicio anterior?
14. Si la longitud de cada a rista de u n prism a se
duplica, ¿cóm o cam b ia el área?
c.
15. Se desea cu b rir unos m oldes p a ra bizcochos de 20 cm de lado
p o r 6 cm de p ro fu n d id ad con un m aterial antiadherente. Si la
can tid ad disponible de an tiad h eren te cu b re 100 m etros
c u ad rad o s, ¿cuántos m oldes p o d rá n cubrirse?
16. U n recipiente con form a d e pirám ide
regular tiene la p arte superior abierta.
E sta p a rte es un hexágono regular con las
dim ensiones que m uestra la figura. Si se
van a p in ta r 100 de estos recipientes, p o r
d en tro y p o r fuera, con u n a p in tu ra que
cu b re 450 pies cu ad rad o s p o r galón,
¿cuántos galones se requieren?
SOLUCION DE PROBLEMAS
En la fig u ra d e la d e re c h a , s e s a c a ro n 14 c u b o s p a ra fo r m a r
u n s ó lid o c u y a á re a (in c lu y e n d o la ba se ) e s 42 u n id a d e s .
1. ¿C óm o p u e d e c a m b ia rs e e l á re a a 44 u n id a d e s m o v ie n d o
un s o lo cubo?
2. ¿ C óm o p u e d e c a m b ia rs e e l á re a a 40 u n id a d e s m o v ie n d o
u n s o lo cu b o ?
(E jercicio s 1 2 ,1 3 )
444
S ó lid o s
12.3 volumen de
prismas
U n in g e n ie ro civ il e s tim a c o s to s d e
c o n s tr u c c ió n . E n la c o n s tr u c c ió n d e e s ta
c a r r e te r a , u n in g e n ie ro d e te r m in a la c a n tid a d
d e m a te r ia l q u e d e b e s a c a rs e p a r a c o n f o r m a r
el te r r e n o c a lc u la n d o el v o lu m e n .
H a y p o s tu la d o s q u e c a r a c te r iz a n el
c o n c e p to d e v o lu m e n y se e s tu d ia r á n e n e s ta
secció n .
In tu itiv a m e n te se c o n s id e ra el v o lu m e n c o m o la c a n tid a d
d e e sp a c io q u e o c u p a u n só lid o .
✓✓
✓
I
I
I
L
V
S e in ic ia r á el e s tu d io d e l
v o lu m e n c o n s id e r a n d o u n
s ó lid o d e n o m in a d o
c o m ú n m e n te « c a ja » , y
q u e se d efin e c o m o u n
só lid o rectangular.
U n s ó lid o r e c ta n g u la r
tie n e lo n g itu d , a n c h o y
a ltu ra .
Postulado del volumen
A cada sólido se le asigna un
núm ero positivo único
denom inado volumen.
Definición 12.4
U n sólido rectangular es un
prism a con bases rectangulares
cuyas aristas laterales son
perpendiculares a las bases.
Postulado del volumen de
un sólido rectangular
El volumen de un sólido
rectangular es igual al
p ro d u cto de su longitud ( ,
ancho w y a ltu ra h.
Ejemplo.
Postulado de la suma de
volúmenes
E n c u é n tr e s e el v o lu m e n (V )
d e u n a c a ja d e 8 c m x 4 cm
V = 2 c m x 4 c m x 8 c m = 64 c m 3
(léase 64 c e n tím e tr o s cú b ico s).
E s to e q u iv a le a c o n ta r el n ú m e ro d e c u b o s
d e 1 c m d e la d o q u e c a b e n e n la c a ja .
1
1
cm
1
cm
cm
Si un sólido es la unión de dos
sólidos que no tienen puntos
interiores en com ún, entonces
su volum en es la sum a de los
volúm enes de los dos sólidos.
12.1
V o lu m e n d e p ris m a s
445
Imagínese un sólido rectangular cortado en
rebanadas que pueden moverse para obtener
sólidos de formas irregulares. El volumen del
sólido será el mismo.
Igualmente, supóngase que dos sólidos
pueden rebanarse de manera que sus partes
superiores correspondientes tengan áreas
iguales. La intuición sugiere que los
volúmenes de los dos sólidos son iguales.
Definición 12.5
U n a sección transversal de un sólido es u n a región
com ú n al sólido y a un p lan o que interseca al
sólido.
Los ejemplos anteriores dan lugar a un
postulado conocido como principio de
Cavalieri, llamado así por el matemático
italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647).
Postulado de cavallerl
Sean S y T sólidos y X un plano. Si to d o plano
paralelo a X que interseca a S o T, tam bién
interseca a S y a T en u n a sección transversal con
la m ism a área, entonces
V olum en S = V olum en T.
Los postulados de esta sección pueden combinarse para probar el
siguiente teorema.
Teorema 12.4
El volumen de un prisma cualquiera es el producto de la
longitud de una altura por el área de la base.
446
S ó lid o s
EJERCICIOS
A.
4. ¿C uántos cubos de 1 cm de lad o pueden
colocarse en la caja del ejercicio 1?
6. ¿C uántos cubos de 1 cm de lad o pueden
colocarse en la caja del ejercicio 2?
5. ¿C uántos cubos de 2 cm de lad o pueden
colocarse en la caja del ejercicio 1?
7. ¿C uántos cubos de 1 cm de lad o pueden
colocarse en la caja del ejercicio 3?
8. ¿C uántas pulgadas cúbicas tiene un pie
cúbico?
E ncuéntrese el volum en de los prim as de los ejercicios 9 a 11.
de hexágono regular
B.
12. Si el á rea de la base de u n prism a se d u p lica y la a ltu ra
perm anece igual, ¿cuánto au m en ta el volum en?
ACTIVIDADES!
D ibújen se d o s c o p ia s d e e s ta fig u ra y co n strú y a n s e d o s sólidos.
U n an se los d o s só lid o s p a r a fo rm a r un p rism a.
(Al d ib u ja r la figura, a s e g ú r e s e d e q u e el polígono
1 s e a un h e x á g o n o re g u la r y q u e los p o líg o n o s 2
s e a n triá n g u lo s 45-45-90.)
12.3
V o lu m e n d e p ris m a s
447
13. Si las longitudes de to d o s los lados de u n a caja se duplican,
¿cuánto au m en ta el volum en?
14. L os lingotes de p lata son b a rra s m oldeadas com o la de la
figura. Los extrem os son trapecios isósceles paralelos. ¿Cuál
es el volumen?
(Ejercicio 14)
15. U n recipiente rectan g u lar tiene 5 cm de ancho y 12 cm de
longitud, y contiene agua hasta una p rofundidad de 7 cm. Se
m ete una piedra y el nivel del ag u a sube 1.7 cm. ¿Cuál es el
volum en de la piedra?
12
16. U n ingeniero necesita en co n trar el volum en de una
construcción p a ra d iseñ ar un sistem a de calefacción.
E ncuéntrese el volum en de la construcción de la figura.
cm
(Ejercicio 15)
17. Si un recipiente rectangular con base c u a d ra d a tiene 2 pies
de altu ra y u n volum en de 50 pies cúbicos, encuéntrense la
lo n g itu d y el an ch o de la base.
18. Supóngase que el á rea de la base de un prism a es x pies
cuadrados, y su altu ra, 2x pies. Si el volum en del prism a es
54 pies cúbicos, ¿cuál es su altura?
(Ejercicio 16)
2'
19. El p lan o de u n ingeniero m uestra un canal con sección
transversal trapecial de 8 pies de profundidad, 14 pies a lo
larg o de la base, y co n las paredes form ando un ángulo de
45°. El canal tiene 620 pies de largo. Se estim a que el costo
de excavación del canal será de 1.50 d ó lares p o r yarda
cúbica. Si se añade un 10 % p a ra gastos extra, ¿cuál será el
presupuesto?
20. U n m u ro de contención de horm igón m ide 80 pies de
longitud, con extrem os com o los de la figura. ¿C uántas
yardas cúbicas de horm igón se em plearon p a ra construir
este m uro?
SOLUCION D E PROBLEMAS
¿ C u á n ta s y a rd a s c ú b ic a s d e horm igón s e
n e c e sita n p a ra los e s c a lo n e s d e la figura?
12"
448
S ó lid o s
12.4 volumen de pirámides
E n m u c h a s o c a s io n e s es n e c e s a rio e n c o n tr a r
el v o lu m e n d e u n o b je to q u e n o e s n i u n
s ó lid o n i u n p r is m a re g u la r. E s te d ib u jo
m u e s tr a u n re c ip ie n te c o n fo r m a d e p irá m id e
d e b a s e tr ia n g u la r . C o n o c e r el v o lu m e n d e l
re c ip ie n te es fu n d a m e n ta l p a r a el fa b ric a n te .
El te o r e m a 12.7 p r o p o r c io n a la fó r m u la p a r a e n c o n tr a r el v o lu m e n de
u n a p irá m id e . P r im e r o d e b e n p r e s e n ta r s e o tr o s d o s te o re m a s , q u e se u s a n
e n el d e s a r r o llo d e la fó rm u la .
Teorema
12.5
D a d a u n a p irá m id e c o n b a s e B y
a l t u r a h, si A es u n a se c c ió n
tr a n s v e rs a l p a r a le la a la b a s e y la
d is ta n c ia d e sd e el v é rtic e a la secc ió n
tr a n s v e r s a l e s K , e n to n c e s
á rea A _ f K \ 2
á rea B
Teorema
\ h )
12.6
D o s p irá m id e s c o n a ltu r a s ig u ale s
y b a ses d e ig u a l á r e a tie n e n el
m is m o v o lu m e n .
S u p ó n g a s e q u e se d e s e a e n c o n tr a r el v o lu m e n d e la p ir á m id e W X Y Z . P a r a
h a c e r e sto , p rim e r o d e b e e n c o n tr a r s e e l v o lu m e n d e la p irá m id e r e c ta A B C D
c o n á r e a d e la b a s e ig u a l a la d e A X Y Z y a l t u r a h. E m p lé e se el te o r e m a 12.6.
W
__
A
12.4
V o lu m e n d e p irá m id e s
449
C o n sid érese a h o ra el p rism a re c to c o n b ase y a ltu ra iguales a las d e la
p irám id e ABCD.
H á g a n se en el p rism a los
d o s co rte s siguientes:
í . C ó rtese desde A a trav é s de BD.
2. C ó rte se desde A a través d e ED.
E ntonces
1. V olum en d e AB C D = v o lu m en AD EF. L as
bases d e A B C D y A A E F tien en la m ism a
área, y las a ltu ra s A C y D F so n d e igual
lo n g itu d . P o r ta n to , el te o re m a 12.6
im plica la ig u a ld a d e n tre volúm enes.
2. V o lu m en A D EF = v o lu m en ABD E. E stas
d o s p irám id es tien en bases A B D E y
A FDE d e á reas iguales, y a q u e son las
m ita d e s del re ctán g u lo BDFE. L as a ltu ra s
de a m b a s p irám id es se fo rm a n p o r u n
segm ento p e rp en d icu lar q u e v a d e A a la
b ase o p u e sta , p o r lo q u e las a ltu ra s son
iguales. E l te o re m a 12.6 establece q u e los
volúm enes son iguales.
P o r ta n to , el v o lu m en d e la p irám id e A B C D = i del v o lu m en del
p rism a A B C D E F
= $hB.
Teorema 12.7
D a d a u n a p irá m id e d e a ltu ra h y á re a d e la b ase B, el
v o lu m en se e n c u e n tra p o r la fó rm u la V — 3hB.
450
S ó lid o s
EJERCICIOS
A.
Clasifiquense los ejercicios 1 a 5 com o falsos
o verdaderos.
1. Si dos pirám ides de altu ra s iguales
tienen bases congruentes, entonces sus
volúm enes son iguales.
2. Si dos pirám ides tienen volúm enes iguales,
entonces sus alturas son necesariam ente
iguales.
3. Si dos pirám ides tienen volúm enes
iguales y altu ras iguales, entonces sus
bases son necesariam ente congruentes.
4. Si dos pirám ides tienen volúm enes iguales y
bases de la m ism a área, entonces sus alturas
son necesariam ente iguales.
5. U n a pirám ide con base cu ad rad a n o puede tener n u nca un
volum en igual al de una pirám ide con base triangular.
E ncuéntrese el volum en de estas pirám ides.
área de la base = 51
B.
E n los ejercicios 9 a 11, encuéntrese el volum en de las pirám ides
regulares que se m uestran.
9.
ACTIVIDADES'
D ib ú je s e un a a m p lia c ió n d e e s ta fig u ra , re c ó rte n s e
d o s c o p ia s , d ó b le n s e y p é g u e n s e p a ra fo r m a r d o s
p o lie d ro s . ¿Se p u e d e n u n ir e s to s d o s p o lie d ro s p a ra
fo r m a r un a p irá m id e ?
(A l d ib u ja r la fig u ra , a s e g ú re s e d e q u e el p o líg o n o 1
s e a un c u a d ra d o y d e q u e lo s p o líg o n o s 2 y 3,
ju n to s , fo rm e n u n h e x á g o n o re g u la r.)
12.1
12. Las bases de estas dos pirám ides
tienen áreas iguales. ¿Q ué relación
existe en tre sus volúmenes?
V o lu m e n d e p irá m id e s
451
13. E stas dos pirám ides tienen a ltu ra s iguales y
bases cuadradas. ¿Q ué relación existe entre
sus volúmenes?
14. ¿Cuál es el á re a de la sección transversal A de
esta pirám ide?
15. ¿Cuál es el volum en de la porción
so m breada de esta pirám ide?
16. ¿Cuál es el volum en de un o ctaed ro regular
cuyas aristas m iden 3 de longitud?
17. U n a represa está situ ad a a lo larg o de un lado
de u n estacionam iento de vehículos. L a represa
em pieza en el p u n to A y se hace m ás profunda
a m edida que au m en ta su anchura. El bord e
superior BC de la p a rte m ás p ro fu n d a m ide 8
m etros de ancho. El p u n to B está a 40 m etros
de A . El p u n to D, el m ás profundo, está 1.5
m etro s p o r debajo de BC. E n D hay un
desagüe que d re n a 50 litros p o r m inuto. D ad o
que un m etro cúbico tiene 1000 litros,
¿cuántas h o ras ta rd a rá en vaciarse la represa
si está llena? (Supóngase que A B C D es u n a
pirám ide.)
octaedro regular
_ SO LUCIO N D E PROBLEM AS___
M u c h o s d ib u jo s en c o p ia s h e lio g rá fic a s m u e s tra n la p a rte s u p e rio r, un la d o y
el fre n te d e lo s o b je to s . O b s é rv e s e q u e la s lin e a s p u n te a d a s m u e s tra n c o rte s
q ue n o e stá n a la v is ta .
B o s q u é je n s e d o s « c o rte s
d e b lo q u e s » q u e te n g a n las
v is ta s s u p e rio r y fro n ta l
ig u a le s y d ife re n te v is ió n
la te ra l.
parte
superior
i i
J
lado
O
---
frente
452
S ó lid o s
12.5 Area y volumen
de cilindros
M u c h o s o b je to s d e u s o c o r rie n te s o n
eje m p lo s d e fo rm a s c ilin d ric a s. E s to s d ib u jo s
m u e s tr a n a lg u n o s d e ellos. E n e s ta sec ció n se
d e fin irá el c ilin d ro c irc u la r y se d e s c rib irá n
fó rm u la s p a r a c a lc u la r s u á r e a y su v o lu m e n .
U n cilin d ro es c o m o u n p r is m a e n el
s e n tid o d e q u e tie n e b a s e s c o n g ru e n te s e n u n
p a r d e p la n o s p a ra le lo s . L a s b a s e s s o n
re g io n e s c irc u la re s c o n g ru e n te s .
E l s e g m e n to q u e u n e lo s c e n tr o s d e la s d o s
b a se s se lla m a e je d el c ilin d ro . U n c ilin d ro es
re c to si s u eje es p e r p e n d ic u la r a la s b a se s. L a
a ltu ra d e l c ilin d ro es la lo n g itu d d e l eje.
U n c ilin d ro p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o u n p ris m a c o n u n n ú m e r o in fin ito
d e la d o s . L a s u p e rfic ie la te r a l y la c irc u n fe re n c ia d e la s b a se s d e u n c ilin d ro
c o rre s p o n d e n , re s p e c tiv a m e n te , a la s c a r a s la te ra le s y a l p e rím e tro d e u n
p rism a .
c a ra s
late ra les
N.
p i»
^
p e rím e tro
12.5
A re a y v o lu m e n d e c ilin d ro s
L o s d o s te o r e m a s sig u ie n te s d e s c rib e n el á r e a y el v o lu m e n d e u n
cilin d ro c ir c u la r re c to .
Teorema 12.8
D a d o u n c ilin d ro c ir c u la r re c to d e a ltu r a h , si la
c irc u n fe re n c ia d e la b a s e es C y el á r e a d e la b a s e e s B , el
á r e a S e s tá d a d a p o r la fó rm u la
S = C h + 2 B = 2 n rh + 2 n r 2.
Teorema 12.9
D a d o u n c ilin d r o c ir c u la r re c to c o n á r e a d e la b a s e B y
a lt u r a h , s u v o lu m e n e s tá d a d o p o r la fó rm u la
V = B h = n r 2h.
Ejemplo 1
U n re c ip ie n te c o n fo r m a d e c ilin d ro c irc u la r
re c to m id e 35 cm d e a l t u r a y 16 c m d e
d iá m e tro . E n c u é n tre n s e el á r e a y el
v o lu m e n .
35 c m
.9 = 2 tt(8) • 35 + 2 tt(8)2
= 560tt + 128 tt
=
68877-
8 era.
c m 2.
V = tt(8)2 • 35
= 2 2 4 0 tt c m 3.
■16 c m ■
Ejemplo 2
Si el r a d io y la a l t u r a d e u n c ilin d ro se
d u p lic a n , ¿en c u á n to c a m b ia n s u á r e a y su
v o lu m e n ?
S (c ilin d ro g ra n d e ) = 2 n (2 r)(2 h ) -+- 2-n(2r)2
= A ^ r h ) + 4(27rr2)
= 4 5 (c ilin d ro p e q u e ñ o ).
F (c ilin d r o g ra n d e ) = rr(2r)2(2h)
= 8777- ^
= 8 V (c ilin d ro p e q u e ñ o ).
2 r
453
454
S ó lid o s
EJERCICIOS
A.
E ncuéntrense el á rea y el volum en de los cilindros de los ejercicios 1
1.
a 3.
2.
d
35
4 es
e ? !0
d í ¡t°
f “ f “ pies
ti° °cúbicos
‘ ! ] piescontiene
de a ltu rael’ydepósito?
el ra d io * »» base
10 pies.
¿Cruantos
5. ¿C uántas y ard as cúbicas contiene el depósito del
B.
ejercicio 4?
6' H
? l C° IU^
índ- a de mármo1 m ide ^ Pies de altu ra y 80 cm
npeso
, ' 7de ?la :°f
1
1
m dC márm01 Pesa 300 k& encuéntrese el
colum na.
7. El volum en de un cilindro circular recto es 972 c m 3. Si la altura es
12 cm, ¿cual es el rad io de la base?
8. L a razó n en tre los rad io s de dos cilindros circulares rectos de la
m ism a altu ra es 2:1. ¿Cual es la razó n en tre los volúmenes
de los dos cilindros?
ACTIVIDADES!
m a d e ra o c u a lq u ie r o tro
m a te ria l q u e o c u p e p o r
c o m p le to e s to s a g u je ro s y
p u e d a p a s a r a tra v é s d e e llo s
s in c a m b ia r de fo rm a .
12.5
9. En un cubo se c o rta un cilindro de 8
pulgadas de diám etro. L a arista del cubo
tam bién m ide 8 pulgadas. E ncuéntrense
el volum en y el á rea de este sólido hueco.
10. U n rectángulo de 4 x 7 se ro ta
alred ed o r del lado largo p a ra g enerar un
cilindro y se ro ta alred ed o r del lado
corto, p a ra generar o tro cilindro. ¿Cuál
es la ra z ó n e n tre los volúm enes de estos
cilindros?
11. E n u n a caja se em b alan seis latas
cilindricas. ¿C uál es la razón en tre el
volum en de la caja y los volúm enes de
las seis la ta s ju n tas?
12. E ncuéntrense el á rea y el volum en de esta pieza de
acero.
_ SO LUCIO N D E PROBLEMASE n c u é n tre n s e el volum en y el á r e a d e e s ta pieza.
A re a y v o lu m e n d e c ilin d ro s
455
456
S ó lid o s
12.6 Area y volumen
de conos
L a fo r m a d e c o n o su e le e n c o n tr a rs e e n el
m u n d o re a l c o m b in a d a c o n la fo r m a de
c ilin d ro . P o r e je m p lo , la p u n ta d e u n lá p iz o
la p u n ta d e u n a lfile r p u e d e c o n s id e ra rs e
c o m o u n c o n o m o n ta d o s o b r e u n c ilin d ro .
U n n iñ o p u e d e c o n s tr u ir u n c a stillo d e a re n a
c o m b in a n d o e s ta s fo rm a s.
vértice
L a fig u ra defla d e r e c h a es u n cono
c ircu la r m e to . T ie n e u n a b a se c irc u la r y u n
vértice.
S u e je es el s e g m e n to q u e u n e a l v é rtic e c o n
el c e n tr o d e la b a se . E l c o n o se lla m a re c to
p o r q u e el e je es p e r p e n d ic u la r a la b ase.
base
U n c o n o p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o u n a p ir á m id e c o n u n n ú m e r o in fin ito
d e c a ra s la te ra le s . L a s u p e rfic ie la te r a l d e u n c o n o c o rre s p o n d e a la s c a ra s
la te ra le s d e u n a p irá m id e . L a a l t u r a in c lin a d a ({) d e u n c o n o c o r r e s p o n d e a
la a ltu r a in c lin a d a ( t ) d e u n a p irá m id e , y la c irc u n fe re n c ia (C ) d e la b a s e d e
u n c o n o c o r r e s p o n d e a l p e r ím e tr o (p) d e la b a s e d e la p irá m id e .
a ltu r a
in c lin a d
12.6
A re a y v o lu m e n d e c o n o s
El te o r e m a s ig u ie n te d e s c rib e el á r e a d e u n c o n o .
Teorema 12.10
D a d o u n c o n o c irc u la r recto c o n a ltu ra
in clin ad a C, si la circunferencia d e su base es C y
el á re a de la b ase B , en to n ces el á re a S e stá d a d a
p o r la fó rm u la
S =
C + B = n rí + nrz.
nrí
á re a late ra l
b a se
L a fó rm u la d e l v o lu m e n d a d a e n el s ig u ie n te te o r e m a es sim ila r a la
f ó rm u la p a r a el v o lu m e n d e u n a p irá m id e .
Teorema
12 .11
D a d o u n c o n o c ir c u la r re c to c o n a l t u r a h y á r e a d e la b a se
B , e l v o lu m e n e s tá d a d o p o r la f ó rm u la
V = %hB = %nr2h
Ejemplo
U n c o n o c ir c u la r r e c to tie n e a l t u r a 15 y ra d io
d e la b a s e 8. E n c u é n tr e n s e la a ltu r a in c lin a d a ,
el á r e a y el v o lu m e n .
a. a ltu r a in c lin a d a :
t 2 = 64 + 225 = 289.
i = 17.
b. S = tt(8X 17) + 7r64 = 2007?.
c. V — ^tt(8)215 = 320tt.
457
458
S ó lid o s
EJERCICIOS
E n los ejercicios 1 a 3, encuéntrense el volum en y el á rea de
ca d a uno de los conos rectos.
3.
4. El radio de un co n o es 5 cm, y su altu ra, 12 cm.
E ncuéntrense el área y el volum en.
5. Si el volum en de un cono es 72 n, encuéntrense la a ltu ra y
el ra d io si son iguales.
B.
6. U n recipiente está form ad o p o r un cilindro circular recto
de 4 cm de diám etro y 8 cm de a ltu ra , y un cono de 6
cm de altu ra. E ncuéntrese el volum en del recipiente.
(E je rcic io s
7. E ncuéntrese el á rea del recipiente.
8. E ncuéntrese el volum en de este trom po.
9. E ncuéntrese el á rea de este trom po.
10. U n a pila de a re n a tiene form a d e cono. ¿C uántas yardas
cúbicas de aren a h ay en él? (P ara grandes cantidades de
a re n a se em plea la y a rd a cúbica.)
ACTIVIDADES!
C o n s trú y a n s e o c o n s íg a n s e m o d e lo s d e c o n o y
c ilin d r o s in u n a ta p a , q u e te n g a n el m is m o ra d io y
la m is m a a ltu ra .
L lé n e s e el c o n o co n a re n a y lu e g o v a c íe s e la
a re n a en e l c ilin d ro .
¿C uá ntos c o n o s d e a re n a s e re q u ie re n p a ra lle n a r
e l c ilin d ro ?
■ - ■ (E je rcic io s 8 , 9)
6
, 7)
12.6
11. ¿C uántas pulgadas cúbicas de grafito hay en la
A re a y v o lu m e n d e c o n o s
0.1 2 5 " d iá m e tro
p u n ta afilada de este lápiz? (Em pléese una
calculadora.)
0.25
12. E ste sólido está form ado p o r un cono co rtad o o tru n ca d o por
un p lan o p aralelo a la base del cono. E ncuéntrense el volum en
y el área. (Sugerencia: Em pléense triángulos sem ejantes para
e n co n trar la altu ra del cono original.)
13. L os catetos de u n trián g u lo rectángulo
tienen longitudes 2 y 3. Al ro ta r los
triángulos sobre sus lados co rto s y
largos, se form an conos. E ncuéntrese la
razó n en tre los volúm enes y la razón
en tre las áreas de am bos sólidos.
14. E ste sólido se form a co rta n d o un cono
con un p lan o p aralelo a la base y luego
p erfo ran d o la p a rte superior en form a
de cono. E ncuéntrese el volum en de este
sólido.
:ti
_ SOLUCION D E PROBLEMAS
R elaciónense co rrectam en te los o bjetos del co njun to 1 con su v isió n (s u p e rio r o
lateral) del conjunto 2.
C o n ju n to 1
C o n ju n to 2
1
1 liijii
.i: ;■ .iiff.
£
459
460
S ó lid o s
12.7 Area y volumen
de esferas
E n e s ta s e c c ió n , se e s tu d ia r á n la s fó rm u la s
p a r a el v o lu m e n y el á r e a d e u n a esfera.
m áx im o
E l p u n t o O d a d o es el
c e n tro d e la esfera. U n radio
d e u n a e sfe ra es u n se g m e n to
d e te r m in a d o p o r el c e n tr o y
u n p u n t o s o b r e la esfera. L a
in te rs e c c ió n d e u n a esfera y
u n p la n o q u e c o n tie n e a l
c e n tr o d e la e sfe ra es u n
c írcu lo m á x im o d e la esfera.
D
e
fin
ició
n1
2
.6
U n a esfera es el co njunto de
to d o s los p u n to s que están a
u n a distancia d a d a de un
p u n to dado.
L a e x p lic a c ió n d e la fó r m u la d el te o r e m a 12.12 e s tá b a s a d a e n u n a
c o m p a r a c ió n e n tr e u n a e sfe ra y u n c ilin d ro a l q u e se le h a p e rfo r a d o u n
c o n o d o b le . L o s r a d io s d e la e sfe ra y d e l c ilin d ro s o n ig u a le s. L a a ltu r a
d e l c ilin d ro e s el d o b le d e l ra d io .
Teorema 12.12
D a d a u n a e s fe ra d e r a d io r, e l v o lu m e n s e e n c u e n tr a
c o n la fó rm u la
V =
ir 3.
12.7
A re a y v o lu m e n d e e s fe ra s
C o n s id é re s e u n a se c c ió n tr a n s v e r s a l d e la e sfera y d e l c ilin d ro p e rfo ra d o
q u e e s tá a u n a d is ta n c ia b d e l c e n tr o d e la esfera. Se tie n e p o r el te o re m a de
P itá g o r a s q u e la d is ta n c ia a e n la fig u ra es a 2 = r 2 — b2.
B
E l triá n g u lo
e n r o jo
e s isósceles
C o m p á re n s e la s á r e a s d e la s d o s se c c io n e s tra n sv e rsa le s.
A rea = -rrá2.
A re a = wr2 — iib 2
= ^ ( r 2 - b2)
— 'na2.
D a d o q u e la s á r e a s d e la s d o s se c c io n e s tra n s v e rs a le s s o n ig u a le s, p o r el
p r in c ip io d e C a v a lie ri (p á g . 445) se c o n c lu y e q u e el v o lu m e n d e la e sfe ra A
es ig u a l a l v o lu m e n d e l s ó lid o B e n el q u e se p e r f o r a r o n d o s co n o s.
E l v o lu m e n d el s ó lid o B p u e d e c a lc u la rs e c o m o :
■J7r2(2 r) — 2( | ttr 2)(r) = 2 ttr 3 — fw r3 =
r r 3.
E n to n c e s , el v o lu m e n d e la e sfe ra A c o n ra d io r ta m b ié n es f n r 3.
E l te o r e m a 12.13 d a u n a f ó rm u la p a r a el á re a d e u n a esfera.
Teorema
12.13
D a d a u n a e s fe ra d e r a d io r, el á r e a S s e e n c u e n tr a c o n la
fó r m u la
S = 47tr2.
461
462
S ó lid o s
EJERCICIOS
1. E ncuéntrese el volum en de una esfera de rad io 9 cm.
2. E ncuéntrese el á rea de una esfera de ra d io 9 cm.
3. E ncuéntrese el volum en de u n a esfera de rad io 2n.
4. E ncuéntrese el área de una esfera de ra d io 2n.
5. Si el á rea de u n a esfera es 36n, encuéntrese el radio.
6. Si el volum en de u n a esfera es 36n, encuéntrese el radio.
7. Si el á rea de u n a esfera es 87c, encuéntrese el radio.
8. Si el volum en de u n a esfera es 47 1 ^3 , encuéntrese el radio.
E n los ejercicios 9 y 10, supóngase que el sólido de la derecha es un
cilindro recto ta p a d o con dos semiesferas.
9. E ncuéntrese el volum en del sólido que se m uestra.
10. E ncuéntrese el á rea del sólido que se m uestra.
11. E ncuéntrese el volum en de una esfera cuya á rea es 144n
unidades cuadradas.
12. E ncuéntrese el á rea de u n a esfera cuyo volum en es 367t
unidades cúbicas.
13. Si el n ú m ero de pies cu ad rad o s del á rea de u n a esfera es igual
al núm ero de pies cúbicos del volum en, ¿cuál es el rad io de la
esfera?
ACTIVIDADES—
C o n s íg a s e un re c ip ie n te s e m ie s fé ric o y o tro c ilin d ric o ; e l d iá m e tro d e la b a s e del
c ilin d r o y su a ltu ra so n ig u a le s a l d iá m e tro d e la e s fe ra .
C on a re n a u o tro m a te ria l, m íd a s e c u á n to s re c i
p ie n te s s e m ie s fé ric o s se n e c e s ita n p a ra lle n a r el
c ilin d ro .
12.7
A re a y v o lu m e n d e e s fe ra s
14. El ra d io de u n a esfera es el doble que el ra d io de otra.
¿Cuáles son las razones en tre sus volúm enes y entre
sus áreas?
C.
15. U n a esfera está inscrita en un cilindro. M uéstrese que el área
de la esfera es igual al á rea lateral del cilindro.
16. U n dep ó sito esférico cuyo ra d io a la
superficie exterior es 15 pies, está hecho
de acero de \ p u lg a d a de ancho.
¿ C u á n to s pies cúbicos de acero se usaron
en la construcción del depósito?
17. U n cono tiene u n a altu ra igual al d o b le de su radio. U na
esfera tiene un ra d io igual al ra d io de la base del cono.
¿C uál es la relación en tre el volum en del co n o y el
volum en de la esfera?
18. L a T ie rra n o tiene form a esférica perfecta,
sino que es u n esferoide oblato.
D eterm ínese el radio prom edio de la
T ierra si se sabe que el radio p o la r es 6357
km y que el rad io ecuatorial es 6378 km.
Supóngase que la T ierra es u n a esfera
perfecta y determ ínense su volum en y su
área.
C ircu n feren cia
p o la r
C ircu n feren cia
m ed ia
_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS
S i s e c o rta u na e s fe ra co n un p la n o , s e o b tie n e u n a
p o rc ió n de e lla co n b a s e c irc u la r.
H e c h o : Si e l ra d io d e e s ta b a se c ir c u la r e s r , y su
a ltu ra h, e n to n c e s e l v o lu m e n d e e s te c a s q u e te
s ó lid o es
V = % ir\h + -frih3.
S i se p e rfo ra un a g u je ro d e 3 c m d e ra d io en el
c e n tro de u n a e s fe ra c o n ra d io 9 c m , e n c u é n tre s e el
v o lu m e n de e s te s ó lid o .
463
464
S ó lid o s
12.8 Poliedros regulares
A lg u n o s m in e ra le s y
e s q u e le to s d e p e q u e ñ a s
c r ia tu r a s m a r in a s s o n
m o d e lo s d e lo s s ó lid o s q u e se
e s tu d ia r á n e n e s ta sección.
E s to s s ó lid o s se d e n o m in a n
p o lie d ro s.
Definición 12.7
U n poliedro regular es aquel
cuyas caras son polígonos
regulares con el m ism o núm ero
de aristas y cuyos vértices están
rodeados, todos y cada uno, p o r
el m ism o n ú m ero de caras.
U n c u b o es u n e je m p lo d e p o lie d r o re g u la r. E l m é to d o d e s c rito a
c o n tin u a c ió n p a r a c o n s tr u ir u n c u b o p o r m e d io d e la c o n s tru c c ió n d e u n
« te ja d o » e s ilu s tr a tiv o p a r a e l a n á lisis d e l s ig u ie n te te o re m a .
R o d é e s e u n v é rtic e V c o n
tre s c u a d r a d o s .
Teorema 12.14
D ó b le s e , ú n a n s e A y B
p a r a f o r m a r u n « te ja d o »
trid im e n s io n a l.
U n a n s e d o s « te ja d o s » p a r a
f o r m a r u n cu b o .
H a y ex a ctam en te cinco p o lied ro s re g u lares q u e son sólidos
convexos.
12.8
P o lie d ro s re g u la re s
L a ta b la s ig u ie n te re s u m e lo s c in c o p o lie d ro s re g u la re s c o n v e x o s. S ó lo
p u e d e n c o n s tr u ir s e c in c o tip o s d e « te ja d o s » c o n p o líg o n o s re g u la re s ,
r e s u lta n d o d e c a d a u n o u n p o lie d r o re g u la r.
C a ra del p o líg o n o
N ú m e ro d e c a ra s
e n u n v é rtice (V )
E l « te ja d o » c o in c id e c o n
c a d a v é rtice d e u n p o lie d ro
re g u la r c o m p le to
U n ió n d e A V y B V
p a r a fo rm a r u n
« te ja d o » trid im e n s io n a l
tria n g u lo
e q u ilá te ro
A ,B
te tr a e d r o re g u la r
triá n g u lo
e q u ilá te ro
A ,B
o c ta e d r o re g u la r
triá n g u lo
e q u ilá te ro
A ,B
ic o s a e d ro re g u la r
c u ad ra d o
V
B
cubo
p e n tá g o n o
re g u la r
K
i\
'iA ,B
d o d e c a e d ro re g u la r
E l p re fijo q u e se e m p le a e n e l n o m b r e d e c a d a p o lie d ro r e g u la r in d ic a el
n ú m e r o d e c a r a s q u e tie n e . E s ta in fo rm a c ió n se re su m e e n la sig u ie n te
ta b la .
N o m b re d el p o lie d ro
P re fijo y s u sig n ificad o
N ú m e ro d e c a ra s
te tra e d ro
te tra -4
4
c u b o (hex aed ro )
h exa-6
o c ta e d ro
o c ta -8
d o d e c a e d ro
d o d e c a -1 2
ic o s a e d ro
ico sa-2 0
6
8
12
20
465
466
S ó lid o s
EJERCICIOS______________
A.
1. C ítense tres poliedros regulares cuyas
caras sean triángulos equiláteros.
2. ¿Q ué poliedro regular tiene 20 caras?
3. ¿ P o r qué un hexágono regular no puede
ser la c ara de un poliedro regular?
4. ¿P o r qué no puede h a b er seis caras en un
vértice de u n poliedro regular?
5. ¿Q ué poliedro regular es u n a pirám ide?
6. ¿Q ué poliedro regular es u n prism a?
B.
Em pléese cartulina p a ra co n stru ir u n m odelo de cada poliedro
regular. L os m odelos que se m u estran a contin uación deben
am pliarse. C órtese p o r las líneas contin u as y dóblese p o r las de
puntos.
7. T etraedro
ACTIVIDADES
1. R e c ó rte n se e n c a rtu lin a d o s m o d e lo s g ra n d e s
co m o el q u e s e m u e s tra arrib a.
2. H á g a se un d o b le z a lo la rg o d e ABCDE.
3. C o ló q u e s e un m o d elo s o b re el o tro g ira n d o 36°.
S in s o lta rlo s, p á s e s e u n a cin ta e lá s tic a
a lte rn a tiv a m e n te p o r a rrib a y p o r a b a jo d e
c a d a e sq u in a .
4. Al le v a n ta r la m an o , s e v e rá un d o d e c a e d ro .
9. O ctaed ro
12.8
P o lie d ro s re g u la re s
11. Icosaedro
10. D odecaedro
c.
El núm ero de caras (F), el n ú m ero de aristas (E) y el
núm ero de vértices (K) de un poliedro satisfacen u n a de las
fórm ulas que aparecen a continuación.
12. ¿Q ué fórm ula corresponde a un tetraed ro regular?
¿Q ué fórm ula corresponde a un o ctaed ro regular?
a . F + E + V = 26.
b. F -
V + E = 10.
c. F - E + V = 2 .
d . F - E + V = 0 .
L a respuesta co rrecta a este ejercicio se llam a fórm ula de Euler.
¿P a ra cuáles de estos p o liedros es válida la fórm ula de Euler?
13.
_ SO LUCIO N D E PROBLEMAS
S ean: F e l n ú m e ro d e c a ra s d e u n p o lie d ro , £ e l n ú m e ro d e a ris ta s d e un
p o lie d ro y V e l n ú m e ro d e v é rtic e s d e un p o lie d ro . F
x (n ú m e ro d e a ris ta s
p o r c a ra ) = 2£, p o rq u e c a d a a ris ta d e un p o lie d ro e s la a ris ta d e
dos
c a ra s .
1. ¿ C u á n ta s a ris ta s tie n e un o c ta e d ro re g u la r?
2. ¿ C u á n ta s a ris ta s tie n e un d o d e c a e d ro re g u la r?
3. ¿ C u á n ta s a ris ta s tie n e un ic o s a e d ro re g u la r?
4 . En un d o d e c a e d ro re g u la r, F x (n ú m e ro d e v é rtic e s /c a ra ) = 3V,
p o rq u e c a d a v é rtic e d e un d o d e c a e d ro re g u la r e s el v é rtic e d e tre s
c a ra s . ¿ C u á n to s v é rtic e s tie n e u n d o d e c a e d ro re g u la r?
467
468
S ó lid o s
Capitulo 1 2 Conceptos importantes
Términos
P olied ro (pág. 434)
P irám id e (pág. 434)
P rism a (pág. 435)
Sólido rectan g u lar (pág. 444)
Sección transversal (pág. 445)
C ilindro circular (pág. 452)
C ono circular recto (pág. 456)
Esfera (pág. 460)
P oliedro regular (pág. 464)
Postulados
P o stu lad o del volum en (pág. 444)
P o stu lad o del volum en de u n sólido rectan g u lar (pág. 444)
P o stu lad o de la sum a de volúm enes (pág. 445)
P o stu lad o de C avalieri (pág. 445)
Teoremas
12.1
L as aristas laterales de un p rism a son
paralelas y congruentes.
12.2 D a d o u n prism a con caras laterales
rectangulares, si la a ltu ra del prism a es h
y las bases tienen un á rea B y un
p erím etro p, entonces el área S se
en cu en tra con la fórm ula S = hp + 2B.
12.3 D a d a u n a pirám ide regular con altu ra
inclinada í y una base con á rea B y
p erím etro p, el á rea S se en cu en tra con la
fórm ula S = :¿ tp + B.
12.4 El volum en de un prism a cualquiera es el
p ro d u cto de la a ltu ra p o r el área de la
base.
12.5 D a d a u n a pirám ide con base B y altu ra
h, si A es una sección transversal paralela
a la base y la d istan cia desde el vértice a
la sección transversal es K , entonces
á rea A
( K N2
á rea B
12.6
12.7
D o s pirám ides con altu ras iguales y bases
de igual área, tienen el m ism o volumen.
D a d a una pirám ide de a ltu ra h y á re a de
la base B, el volum en se en cuentra co n la
fórm u la V = ^ hB.
12.8
12.9
12.10
12.11
12.12
12.13
12.14
D a d o u n cilindro circular recto con
altu ra h, si la circunferencia de la base es
C y el á rea de la base es B, el área se
encuentra con la fórm ula S = Ch + 2B =
= 2nrh + 2n r2.
D ado u n cilindro circular recto con área
de la base B y a ltu ra h, el volum en se
encuentra con la fórm ula V = Bh = nr2h.
D ad o un cono circular recto con altu ra
inclinada í , si la circunferencia de la base
es C y el á rea de la base B, entonces el
área S se encuentra co n la fórm ula
S =
C + B = n r t + nr2.
D ad o u n co n o circular recto con a ltu ra h
y área de la base B, el volum en está dado
p o r la fórm ula V = %Bh - %nr2h.
D a d a u n a esfera de radio r, el volum en
se encuentra con la fórm ula V — § nr3.
D a d a u n a esfera con rad io r, el área S se
encuentra con la fórm ula S = 4nr2.
H ay exactam ente cinco poliedros
regulares que son sólidos convexos.
Capítulo 12 Resumen
1. E ncuéntrense el área y el volum en de un cubo con aristas
de 4 cm.
2. E ncuéntrense las áreas de la pirám ide y del prism a regulares que
se m uestran a continuación.
1
b.
A B — 10 cm, C D = 6 cm.
B C = 6 cm , CD — 2 cm.
3. E ncuéntrense los volúm enes de la p irám id e y el prism a
regulares.
b.
V M = 8 cm, A B = 5 cm.
P Q = 8 cm, CD = 4 cm.
4. ¿C uántos centím etros cu ad rad o s de papel se necesitan p a ra una
etiq u eta de u n a la ta cilindrica de 10 cm de a ltu ra y base circular
de 6 cm de diám etro?
5. E ncuéntrese el volum en de la la ta cilindrica del ejercicio 4.
6. El volum en de un cilindro circular recto es 1607T. Si la a ltu ra es
10, ¿cuál es el d iám etro de la base?
7. E ncuéntrese el volum en del cono circular, d o nde PA = 12 cm y
A B = 3 cm.
8. Si la a ltu ra de un cono circular recto se duplica, ¿cóm o afecta
esto al volum en?
9. U n a esfera tiene u n volum en de 36n cm 3. ¿C uál es su radio?
10. E ncuéntrese el área de u n a esfera con radio 10 cm.
470
S ólidos
Capítulo 12 Examen
1. ¿C uántos cubos con aristas de 2 cm pueden colocarse den tro
de u n a caja de dim ensiones 3 cm x 10 cm x 16 cm?
2. Encuétrese la d iagonal de un cubo con aristas de 1 cm de
longitud.
3. E ncuéntrense las áreas de la pirám ide regular y el cilindro
circular recto siguientes.
a.
A
3cm
b.
6 cm
A B = 6 cm , C D = 2 cm.
4. E ncuéntrense los volúm enes del prism a y de la pirám ide con
base trapecial siguientes.
b.
a.
A B = 4 cm, A C = 6 cm,
B D = 12 cm.
A B = 4 cm, D C = 3 cm,
F E = 5 cm.
5. ¿C uántos centím etros cúbicos de líquido p o d rían caber en un cono
circular recto si su a ltu ra es 8 cm y el ra d io de su base es 3 cm?
6. E ncuéntrese el á rea de un cono circular recto si la base tiene radio
2 cm y su altu ra es 6 cm.
7. E ncuéntrese el volum en del cono descrito en el ejercicio 6.
8. E ncuéntrese el volum en de una esfera de rad io 3 cm.
9. E ncuéntrese el ra d io de una esfera si su volum en es 22871 cm 3.
10. ¿C óm o afecta al área de u n a esfera la duplicación del diám etro?
11. ¿C óm o afecta al volum en de u n a esfera la duplicación del radio?
(Ejercicios 5-7)
Técnicas para la solución de problemas
H ágase u n d ibujo preciso
En ocasiones, la respuesta a un p ro b lem a puede
encontrarse haciendo un dibujo preciso o un
dibujo a escala. E stúdiese el ejem plo que se
presenta a continuación, en el cual se em plea un
d ibujo a escala p a ra la solución.
Elemplo
Partida
U n a m esa de b illar de 8 pies p o r 12 pies, tiene u n a
bola en u n a esquina. Supóngase que se golpea la
bola y que ésta se desplaza form ando u n ángulo
de 45° c o n u n a b an d a de la m esa. E ntonces, la
bola reb o ta y se desplaza en o tro áng u lo de 45°
b asta llegar a o tra b a n d a y re b o ta r de nuevo.
¿C uántas veces golpeará la b o la las b a n d a s antes
de llegar a u n a esquina? E l d ibujo a escala
m uestra que la b o la g olpeará tres veces.
3 golpes
2 golpes
Escala: ycm = 1 pie
PROBLEMAS
Empléese un d ibujo preciso o u n o a escala p a ra resolver los
problem as siguientes.
1. Supóngase que u n a b o la se desplaza com o se describió en el
ejem plo anterior, p ero en u n a m esa de 8 pies p o r 10 pies.
¿C uántas veces g olpeará la b o la las b an d as antes de llegar a una
esquina?
2. R espóndase a la m ism a p re g u n ta p a ra u n a m esa de 6
3. O es la intersección de las bisectrices
perpendiculares de los lad o s de A A B C , G es
la intersección de las m edianas y H es la
intersección de las alturas. O bsérvese que O, G
y H son colineales. ¿Q ué fracción de O H es
OG? Inténtese con varios triángulos.
4. U n p ilo to de u n a avioneta m antiene una velocidad constante de
120 m.p.h. V iaja hacia el n o rte 30 m inutos y h acia el noreste 10
m inutos, luego h acia el sureste 45 m inutos y, finalm ente, hacia
el suroeste 30 m inutos. U n a vez en ese lugar, ¿cuánto tiem po
te n d rá que volar p a ra volver directam ente a su p u n to de partida?
471
r - ¡L &
< @ © © ¡M § í im &
Ü ®J
S sQ T O ®®
Navegación
V iajar en un b a rc o de recreo puede resultar u n a form a au d az de conocer el m undo.
P ero alguien de a b o rd o tiene que saber navegar.
E n térm inos generales, navegar significa saber
e n co n trar el cam ino p a ra ir de u n lad o a o tro y
saber d ó n d e se está en cada m om ento. U n piloto
náutico debe conocer siem pre la ubicación de la
nave, la dirección en que viaja y la distancia
recorrida.
D os instru m en to s necesarios p a ra un
navegante son la b rú ju la y las cartas náuticas.
L as cartas n áuticas son m ap as a escala de las
zonas m arin as y contienen inform ación sobre la
profu n d id ad de las aguas, la ubicación de puertos
y señales, y to d a clase de peligros p a ra la
navegación de la zona.
Dos técnicas de ravegael&n
D eterm inación de la posición de u n b arco o bservando un objeto,
P a ra d eterm inar la posición de u n barco, a veces es útil en co n trar la distancia D
del barco a u n o bjeto observado. (Fig. 1).
472
M ientras el b arco navega en la dirección í \ P 2,
?e observa el faro desde P l . D espués, cu an d o el
ángulo visual se h a duplicado, la observación se
hace desde P 2. La distancia, d, que recorre el barco
de
a P 2 se calcula p o r m edio de la velocidad
y el tiem po. L a distancia b u scada D es igual a d.
¿ P o r qué es cierto esto? ¿Q ué teorem a o
teorem as se em plearon?
D eterm inación d e la posición de u n barco
o b servando tres objetos.
P a ra d eterm in ar la posición de u n barco, un
piloto observa tres objetos reales representados
p o r A , B y C en u n a c a rta n áu tic a (Fig. 2).
Entonces, el p ilo to m ide los ángulos en tre las
líneas de visión. Las líneas que p arten del p u n to
P y m u estran estos ángulos, se d ib u jan en una
ho ja de plástico rojo. Al colocar la h o ja de
plástico sobre la carta, de form a que las rectas
pasen p o r A, B y C, la posición del b arco está
indicada p o r el p u n to P.
Figura 2
U .S. D ept, o f Com m erce
Sin em bargo, el m étodo que se a cab a de
describir n o funcionará cu an d o P está en un
círculo que contenga a A , B y C. E n esta figura,
p o r ejem plo, el b arco p o d ría e sta r en el círculo en
la posición R , en la S o en otra. ¿Q ué teorem a
puede usarse p a ra d em o strar que esto es verdad?
473
C A P IT U LO
13.1
R e fle x io n e s s o b r e r e c ta s
13.2
U s o d e la s r e f le x io n e s s o b r e re c ta s
476
e n la s o lu c ió n d e p r o b le m a s
13.3
T r a s la c io n e s
13.4
R o ta c io n e s
13.5
S im e tr ia
480
484
488
494
C o n c e p to s im p o r t a n t e s
498
R esum en
T é c n ic a s p a r a la s o lu c ió n d e p r o b le m a s
E x a m e n d e c a s o s e s p e c ia le s
501
499
E xam en
500
T ransformaciones
y simetría
475
476
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
13.1 Reflexiones sobre rectas
L a p a l a b r a tra n sfo rm a c ió n im p lic a q u e u n
o b je to c a m b ia d e a lg u n a m a n e ra . E n u n a
tr a n s fo r m a c ió n g e o m é tric a , h a y q u e te n e r
en c u e n ta tr e s p u n to s :
1. la fig u r a o rig in a l,
2. u n a re g la u o p e r a c ió n q u e d e s c r ib a el
c a m b io , y
3. la fig u ra q u e r e s u lta d e s p u é s d e l
c a m b io .
E l o b je to a n te s d e l c a m b io se lla m a
p reim a g en , y d e s p u é s d e l c a m b io , im agen.
E n e ste c a p ítu lo , se e s tu d ia r á n lo s tre s
tip o s d e tr a n s f o r m a c io n e s d e n o m in a d o s
re fle x io n e s so b re recta s, tra sla c io n e s y
ro ta cio n es. L a p r im e r a d e e s ta s
tra n s fo rm a c io n e s , la re fle x ió n s o b r e re c ta s ,
p u e d e d e s c rib irs e u tiliz a n d o u n a h o j a d e
p lá stic o .
S u p ó n g a s e q u e se c o lo c a u n a h o ja de
p lá s tic o s o b r e u n a r e c ta t c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra . L o s p u n t o s A ' y B ’
s o n la s im á g e n e s re fle ja d a s d e A y B.
O b s é rv e s e q u e t es la
b is e c triz p e r p e n d i c u l a r d e
A A ‘ y B B ’. E s to es v á lid o
p a r a c u a lq u ie r se g m e n to
q u e u n a a u n p u n to c o n
su im a g e n re fle ja d a. D a d o
q u e e l p u n to C e s tá s o b re
l a r e c ta l , e s su p r o p ia
im a g e n .
Definición 13.1
En un plan o , u n a reflexión
sobre la recta t es u n a
transform ación que representa
ca d a p u n to P del p lan o en el
p u n to P ' com o sigue:
a. Si P está sobre l , P ' = P.
b. Si P n o está sobre t ,
entonces t es la bisectriz
perpendicular de PP'.
P ' es la imagen de P ' y P es
la preimagen de P'.
13.1
R e fle x io n e s s o b re re c ta s
C u a n d o c a d a p u n t o d e u n a fig u ra se re fle ja s o b re u n a r e c ta ( , el
c o n ju n to d e to d o s lo s p u n to s d e la im a g e n ¡form an u n a fig u ra q u e es la
im a g e n re fle ja d a d e la fig u ra . A c o n tin u a c ió n se m u e s tr a n d o s e jem p lo s.
a
B
U n a le tr a « B » y s u re fle x ió n
s o b re la r e c ta í .
H H
U n a le tr a « H » y su re fle x ió n
s o b re la re c ta l .
L a tr a n s f o r m a c ió n lla m a d a re fle x ió n s o b r e u n a re c ta s a tisfa c e v a ria s
p r o p ie d a d e s im p o r ta n te s , c o m o e s ta b le c e el te o r e m a sig u ien te.
Teorema 13.1
'
-
*,yr
*■ Cl
:
T••
D a d a u n a re fle x ió n s o b r e u n a rec ta:
a . la im a g e n re fle ja d a d e u n s e g m e n to e s u n s e g m e n to d e
ig u a l lo n g itu d ;
b. la
im a g e n re fle ja d a d e u n á n g u lo es u n á n g u lo d e ig u a l
m e d id a .
A c o n tin u a c ió n se p r e s e n ta u n p la n p a r a p r o b a r e l a p a r t a d o a d e l
te o r e m a 13.1.
PRUEBA
A B es la im a g e n re fle ja d a d e A 'B '.
P ru é b e se : A B = A 'B '
P la n : ___l es la b is e c triz p e r p e n d ic u la r de
A A ' y B B '. D ib ú je n s e lo s s e g m e n to s
a u x ilia re s A N y A ’N ' y e m p lé e n s e lo s
triá n g u lo s c o n g ru e n te s.
L a p r u e b a se d e ja c o m o ejercicio .
477
478
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
EJERCICIOS_________
A.
B
1. L a im agen
a. de B es
c. de D es
reflejada
JL
sobre la recta
b.
de / es JL.
JL d.
de F es JL.
lJ.
D
H •
G'
2.
T rácese la recta l y la figura roja. Em pléese un com pás o
una h o ja de plástico p a ra co n stru ir la im agen reflejada de
la figura ro ja
a.
b.
A
/
'A
•B
/
W
'C
B
C opíense las siguientes figuras. Em pléese u n a hoja de plástico,
papel vegetal o un com pás p a ra tra z a r con la m ayor precisión
posible la im agen reflejada so b re la recta t de cada figura.
3.
4.
5.
ACTIVIDADES!
C o n s íg a n s e un p a r d e e s p e jo s re c ta n g u la re s y ú n a n s e con
c in ta a d h e s iv a . C on p a p e l c u a d ric u la d o y c a rtu lin a p u e d e n
v e rs e d ife re n te s p o líg o n o s c a m b ia n d o e l á n g u lo 6 e n tre los
e s p e jo s . P rim e ro , p é g u e s e u n a h o ja d e p a p e l c u a d ric u la d o
a u n a h o ja d e c a rtu lin a o s c u ra . C o ló q u é n s e los e s p e jo s de
m a n e ra q u e un o d e e llo s fo rm e un á n g u lo re c to co n u n a
lín e a d e l p a p e l c u a d ric u la d o (v é a s e la fo to g ra fía ). P a ra
fo r m a r d ife re n te s p o líg o n o s re g u la re s , m u é v a s e el o tro e s p e jo .
E x p e rim é n te s e p a ra d e te rm in a r q u é v a lo re s d e 9 fo rm a rá n
la fig u ra d e un p o líg o n o re g u la r. P o r e je m p lo , e n la
fo to g ra fía s e fo rm a un triá n g u lo e q u ilá te ro . ¿C uál e s e l v a lo r
d e 0? ¿Q ué v a lo re s d e d d a rá n un c u a d ra d o , un
p e n tá g o n o re g u la r y u n h e x á g o n o re g u la r? ¿H ay a lg u n a
re la c ió n e n tre e l á n g u lo 6 y el n ú m e ro d e la d o s?
. C
•E
13.1
R e fle x io n e s s o b re re c ta s
479
B.
En los ejercicios 7 a 14 dibújese la figura dada. H ágase
un bosquejo a m a n o alzada de la im agen reflejada de la
figura d a d a sobre la recta l . Verifiqúese el resultado con
un com pás, una h o ja de plástico o u n espejo.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
U
J
/
_
7
C.
15. L a ilustración m uestra u n a co nstrucción con un com pás
de p u n tas fijas de la im agen reflejada de un p unto. Com o
resultado de este m étodo, A P = P B = A P ' = B P '. ¿Cóm o
se sabe que fe s la bisectriz p erpendicular de PP"!
B
X P'
16. D ibújese esta figura en la q u e A ' es la im agen reflejada
de A . U sa n d o sólo una regla, constrúyase la reflexión del
p u n to B.
(Ejercicio 15)
•A '
17. Form úlese u n a p ru e b a com pleta a dos colum nas que
m uestre que la co nstrucción del ejercicio 16 es correcta.
B
18. Form úlese u n a p ru eb a a dos colum nas p a ra el teorem a
13.1.
19. Pruébese que un trián g u lo y su im agen reflejada son
congruentes.
A
(Ejercicio 16)
_ SOLUCION D E PROBLEMAS
1. D escífrese este m ensaje.
^
sa uunba raá
2. ¿Es co rrecta esta sum a?
-» A
3 tí. ¡ ti’
3 *°
480
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
13.2
uso de las reflexiones
sobre rectas en la
solución de problemas
L a s re fle x io n e s s o b r e r e c ta s p u e d e n
e m p le a rs e p a r a re s o lv e r p r o b le m a s
c o tid ia n o s . E n e s ta se c c ió n se in c lu y e n d o s
e je m p lo s, u n o d e lo s c u a le s e s tá r e la c io n a d o
c o n el ju e g o d e l b illa r.
P r o b le m a 1
B o la o c h o
E n u n a m e s a d e _ b illa r, la b o la C se la n z a r á
h a c ia la b a n d a A B d e m a n e r a q u e g o lp e e la
b o la o c h o E . S i se s u p o n e q u e la b o la C n o
tie n e r o ta c ió n , ¿ h a c ia q u é p u n t o d e A B
d e b e d irig irs e la b o la C?
*E
C (M in g o )
A
B
reflexión d e
/
la t r a y e c t o r i a ^ ^
re c ta
/
S o lució n . L a r e s p u e s ta a e s te p r o b le m a
c o n s id e r a el s ig u ie n te h e c h o . L a b o la re b o ta
a lo la rg o d e u n a tra y e c to r ia que e s la
re fle x ió n (en la b a n d a ) d e la tr a y e c to ria
re c ta a l o tr o la d o d e la banda.
/
/
/
/
\
banda AB
\
\
\
Ny
P aso 1 Refléjese E sobre la recta A B p ara
o btener el p u n to £ '.
tra y e c to ria recta
a l o t r o la d o
d e la b a n d a
\
P aso 2 D ibújese la recta CE'. Sea X el pun to
d o n d e £ ¿ s' interseca a la banda.
P aso 3 Al g olpear una bola sin ro tació n en el
p u n to X , re b o ta rá y g olpeará a la
bola o ch o E. ¿ P o r qué?
E
/
c
A
s
/
\
x
/
B
13.2
U so d e la s re fle x io n e s s o b re re c ta s e n la s o lu c ió n d e p ro b le m a s
E n el p r im e r p r o b le m a se u s ó la re fle x ió n s o b re u n a r e c ta p a r a
d e te r m in a r la u b ic a c ió n d e u n p u n to q u e s a tisfic ie ra u n a c o n d ic ió n
n e c e s a ria . E l s e g u n d o p r o b le m a ta m b ié n in c lu y e l a d e te r m in a c ió n d e la
u b ic a c ió n d e u n p u n to . E n e l p r o b le m a 2, se u s a r á la d e fin ic ió n de
« e n tre » p a r a p u n to s , a d e m á s d e la re fle x ió n s o b re u n a re c ta p a r a
d e te r m in a r la u b ic a c ió n d e u n p u e n te q u e se v a a c o n s tru ir.
i-iu a a a l.
Problema 2
D o s c iu d a d e s e s tá n lo c a liz a d a s e n el m is m o
la d o d e u n río a tra v é s d e l c u a l se
c o n s tr u ir á u n p u e n te . ¿ D ó n d e d e b e
c o n s tr u ir s e el p u e n te (B) p a r a q u e la
lo n g itu d d e la c a r r e te r a A B + B C s e a la
m á s c o r ta p o sib le ?
•
/
/
/
/
/
Ciudad A
■
4 ^ ___
rio
S olució n
P aso 1 Im agínese que el río es la recta t y
refléjese el p u n to C sobre la recta i
h asta el p u n to C'.
P aso 2 P o r el teorem a 13.1 puede concluirse
q ue B C = B C ‘. P o r tanto,
AB + BC = AB + BC .
Paso 3 El cam ino m ás co rto en tre A y C ' es
u n a línea recta. P o r tan to , p a ra que el
cam ino A -B -C tenga la m enor longitud
posible, el puente B debe construirse de
m an era que A , B y C ' sean colineales.
\
\
\
481
482
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
EJERC IC IO S___________
A.
Punto Pi
1. C on u n a regla m ilim etrada, m ídanse las
distancias de esta figura y anótense en
una tab la com o la que se m u estra a
continuación.
AP.
BP.
AP, + BP;
P,
P2
P3
P<
Ps
(E jercicio s 1, 2)
2. ¿C uál de los p u n to s P v P 2, P 3, P 4 o P 5 de la
figura hace que AP¡ + P¡B sea un m ínim o?
B.
3. D ibújese la figura de u n a m esa de billar
con la bola C y u n a segunda bola B.
C om plétense las construcciones p a ra
e n co n trar u n p u n to en ca d a una de las
cu atro b an d as en el que debe re b o ta r la
p rim era b o la p a ra g olpear a la segunda.
(Sugerencia: refléjese B en los cuatro
lados de la mesa.)
4. L a b o la C debe re b o ta r en una b an d a y
golpear la bola 5 antes que a otra.
D eterm ínese p o r m edio de una
construcción la b a n d a y el p u n to de
ésta d o n d e debe g olpear la b o la C.
13.2
U so d e la s re fle x io n e s s o b re re c ta s e n la s o lu c ió n d e p ro b le m a s
5. En esta figura se m uestran dos ciudades q u e están en el
m ism o lado del río. D eterm ínese la posición B donde debe
construirse u n p u en te p a ra que la longitud de la carretera
A B + B C sea la mínima.
Ciudad C •
i
8 km
►í2 km
Ciudad A«
l
I km
no
J ______
I
483
(Ejercicios 5, 6)
6. D espués de co n stru ir el p u n to B del ejercicio 5,
em pléese el teorem a de P itág o ras p a ra calcular la
longitud m ínim a de A B + BC.
7. S upóngase que u n a tray ecto ria de A a
B debe to c a r prim ero la recta s y después
la recta t. T rácese esta figura y construyanse
los p u n to s X sobre s e Y sobre t p a ra que
A X Y B sea la tray ecto ria m ás corta.
(Sugerencia: Refléjese el p u n to A sobre la
recta s y el p u n to B sobre la recta t.)
2 cm.
9 cm
B
►í
8. Supóngase que la tray ecto ria de A a B debe to c ar prim ero
la recta t y después la recta s. T rácese esta figura y
construyanse los p u n to s X so b re t e Y sobre s de m anera
que A Y X B sea la trayectoria m ás corta. ¿Q ué relación
existe en tre la longitud de esta tray ecto ria y la longitud de
la tray ecto ria del ejercicio 7?
9. L a figura siguiente ilustra la form a en que puede determ inarse
un p u n to sobre la b a n d a E F hacia el que debe dirigirse la
bola C p a ra que rebote en dos b an d as y golpee la bo la A.
H
(Ejercicios 7,8)
G
A'
Com plétese o tra construcción p a ra d eterm inar el p u n to sobre
la b an d a G H hacia el q u e debe dirigirse la b o la p a ra que
rebote en d os b an d as y golpee la bola A.
484
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
13.3 Traslaciones
E s m u y c o m ú n e n c o n tr a r e s p e jo s e n la
d e c o ra c ió n d e g r a n d e s a lm a c e n e s y s a lo n e s
d e b e lle z a . E s to s n o s ó lo s o n im p o r ta n te s
p a r a la d e c o ra c ió n , s in o ta m b ié n c o m o
m e d id a d e se g u rid a d .
E n o c a s io n e s , e s to s e s p e jo s e s tá n en
p a re d e s o p u e s ta s d e u n s a ló n . E n la
ilu s tr a c ió n , lo s e sp e jo s d e la p e lu q u e r ía h a n
c o n s e g u id o u n e fe c to in te re s a n te .
E l te o r e m a d e e s ta se c c ió n e s tá r e la c io n a d o c o n la re fle x ió n de
u n a re fle x ió n . S in e m b a r g o , se e m p e z a r á c o n u n a d e fin ició n .
D a d a u n a fle ch a A A ',
im a g ín e s e q u e u n a fig u ra
D e fin ic ió n 1 3 .2
D a d a u n a flecha A A ¡ ,a
se d e sliz a e n la d ire c c ió n
d e la fle c h a u n a d is ta n c ia
A A ‘.
im agen trasladada de un
p u n to P p a ra la flecha A A ' es
el p u n to P', donde:
a. A A ' = PP ', y
b. las flechas A A ' y PP'
tienen la m ism a dirección.
\
D
Im á g e n e s tr a s la d a d a s de
lo s p u n to s P, C, D
y d e l s e g m e n to CD.
Im a g e n tra s la d a d a
A B C D p a r a la flec h a X Y .
13.3
T ra s la c io n e s
485
Se p u e d e c o m p le ta r u n a tr a s la c ió n s ig u ie n d o u n a re flex ió n d e o tra .
C o m p lé te s e e s ta c o n s tr u c c ió n d e c u a tr o p a s o s.
Paso 2
P aso 1
Q'
Ô
!
K
/ ^
s P
/ /
3 cm
R
Empiécese con las rectas r y s ,
p aralelas y sep arad as 3 cm.
K
R'
E ncuéntrese prim ero la reflexión de
A P Q R sobre la recta r.
P aso 3
Paso 4
R'
E ncuéntrese la reflexión de A P 'Q 'R'
so bre la recta s.
Teorema 13.2
D ibújese A P Q R y m uéstrese que puede
trasladarse 6 cm en u n a dirección
perpendicular a r y s, y que
A PQ R 3 A P"Q"R".
Si la s re c ta s r y s s o n p a ra le la s , e n to n c e s u n a re fle x ió n
s o b r e la r e c ta r, s e g u id a d e u n a refle x ió n s o b re la r e c ta s, es
u n a tr a s la c ió n . A d e m á s, s i A " es la im a g e n d e A, e n to n c e s
a. A A ' I r ,
b. A A " = 2 d, d o n d e d es la d is ta n c ia e n tre la s re c ta s r y s.
486
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
EJERCICIOS
A.
1. P a ra la flecha de traslación X Y , la
im agen tra sla d a d a de:
a . C es _L.
b . E es _2_.
c. D es _L.
d . B es _L.
En los ejercicios 2 y 3, dibújese la figura sobre papel
p u n to s o cuadriculado. D espués dibújese su im agen
traslad ad a p ara la flecha X Y .
3.
B.
4. D ibújense un p a r de rectas paralelas y tres p u n to s A , B y C
com o se m uestra en la figura. C onstrúyanse las imágenes
de A, B y C p a ra la reflexión sobre la recta p seguida de
la reflexión sobre la recta q. L lám ase A", B" y C" a estos
puntos. M ídanse A A", B B " y CC". Lléguese al
convencim iento de que estos segm entos son paralelos y de
igual longitud.
ACTIVIDADES!
C ú b ra n s e la s c a r a s
in te rio re s a n te rio r y
p o ste rio r d e u n a caja,
p re fe re n te m e n te con
form a d e cubo, con
e s p e jo s . C ú b ra n se
la s o tra s c a r a s con
cartu lin a n e g ra .
e s p e jo s
Con u n a c u e rd a ,
c u é lg u e s e un objeto
d en tro d e la c a ja y
m íre se d e n tro de
e lla por e n c im a del
b o rd e a n terio r. ¿Q ué
s e ve?
¿Q u é relació n e x iste e n tre e s ta v ista y la ilu stración del
principio d e la se c c ió n ?
y
*
/
/
5. T rácense un p a r de rectas paralelas p y q
separadas 3 cm y dibújese A A B C com o
se m uestra en la figura. C onstruyase la
im agen de A ,4B C p ara la reflexión
sobre la recta p seguida de la reflexión
sobre la recta q.
6. ¿Cuál de las flechas de esta figura
describe la traslación que es la reflexión
sobre la recta p seguida de la reflexión
sobre la recta ql
F lecha DE.
b.
Flecha FG.
c. F lecha H l.
d.
Flecha J K .
a.
7. E n esta figura, A D E F es la im agen
tra sla d a d a de A A B C p a ra la traslación
de la flecha X Y .
a . T rácese la figura en una hoja de
papel.
b.
T rácese u n a recta p cualquiera
p erpendicular a la recta X Y .
c. T rácese u n a recta q de
reflexión sobre la recta
reflexión sobre la recta
traslación con la flecha
m an era que la
p seguida de la
q, sea la
XY.
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
¿Q ué tra c c ió n d e la reg ió n c u a d ra d a e s tá
s o m b re a d a ? (S u p ó n g a se q u e el p ro c e so
d e so m b re a d o c o n tin ú a indefin id am en te.)
488
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
13.4
Rotaciones
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»¡Estás despedido!»
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H
^ 2
H a y m u c h o s c a s o s e n lo s q u e se p u e d e
d a r u n c a m b io d e s itu a c ió n q u e se
d e n o m in a « ro ta c ió n » . E l d e s c o n o c im ie n to
d e la n e c e s id a d d e e s te m o v im ie n to p u d o
h a b e r te n id o g ra v e s c o n s e c u e n c ia s p a r a el
h o m b r e d e la ilu s tra c ió n .
D raw in g by R ic h ter;
© 19 5 7 T h e N ew Y o rk er M agazine, In c.
P u e d e n in v e s tig a rs e la s p r o p ie d a d e s d e u n a r o ta c ió n c o m o se
ilu s tr a a c o n tin u a c ió n .
P aso 1
M árquese un p unto
central O y o tro
p u n to P sobre una
hoja de papel.
P aso 2
M árquese el p unto
P sobre u n a h o ja
de papel vegetal.
P ' es la im a g e n r o t a d a d e l p u n t o P . 0 es
el c e n tr ó d e la r o ta c ió n . E n e ste c a s o , el
á n g u lo d e r o ta c ió n es 30°.
E s ta s id e a s s u g ie re n la d e fin ic ió n de
r o ta c ió n d e la d e re c h a . O b s é rv e s e q u e u n a
ro ta c ió n p u e d e se r e n la d ire c c ió n d e las
m a n e c illa s d e l re lo j o e n la d ire c c ió n
c o n tra r ia .
Paso 3
Paso 4
M anténgase inmóvil
el p u n to O y gírese
el papel vegetal.
M árquese la nueva
posición de P como
P'.
Definición 13.3
U n a rotación con centro O y ángulo a es una
transform ación que representa cada p u n to P
del plano en u n p u n to P':
a. Si P es el p u n to central O, P ' = P.
b. Si P # O, entonces P'O - PO y
m LPO P' = .
oí
P' es la im agen rotada del p u n to P.
13.4
R o ta c io n e s
C o m o la s tra s la c io n e s , la s ro ta c io n e s p u e d e n c o m p le ta rs e h a c ie n d o u n a
re fle x ió n tr a s o tr a . E n e s te c a so , la s re c ta s d e re flex ió n n o s o n p a ra le la s .
C o m p lé te s e la s ig u ie n te c o n s tr u c c ió n d e c u a tr o p a so s.
P aso 1
P aso 2
Em piécese p o r las rectas r y s, que pasan p o r
O y se intersecan en un ángulo de 45°, y
A PQR.
E ncuéntrese la reflexión de A P 'Q 'R ' sobre la
recta s.
E ncuéntrese prim ero la reflexión de A PQ R
sobre la recta r.
D ibújese A P Q R y m uéstrese que puede
ro tarse un ángulo de 90° alrededor del
p u n to O y que. A PQ R = A P"Q "R".
D o s re fle x io n e s s o b r e r e c ta s in te rs e c a n te s d a r á n sie m p re c o m o
re s u lta d o u n a r o ta c ió n d e u n á n g u lo d o s v eces m a y o r q u e el á n g u lo
e n tr e la s re c ta s . E s to s u g ie re el te o re m a sig u ie n te .
Teorema 13.3
Si la s re c ta s r y s s e in te rs e c a n e n e l p u n t o O , e n to n c e s u n a
re fle x ió n s o b r e r s e g u id a d e u n a re fle x ió n s o b re s, e s u n a
ro ta c ió n .. E l p u n t o O e s e l c e n tr o d e r o ta c ió n y el á n g u lo
d e r o ta c ió n es 2 a, d o n d e a e s la m e d id a d el á n g u lo re c to o
a g u d o q u e h a y e n tr e la s r e c ta s r y s.
489
490
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
EJERCICIOS
D
1. E ncuéntrese la im agen de B en una
ro tació n de 45° en la dirección de las
m anecillas del reloj.
2. E ncuéntrese la im agen de H en una
ro tació n de 90° en dirección co n traria
a la de las m anecillas del reloj.
3. E ncuéntrese la im agen de B en una
ro tació n de 135° en la dirección de
las m anecillas del reloj.
4. E ncuéntrese la im agen de A D E F en una
ro ta c ió n de 45° en dirección co n traria
a la de las m anecillas del reloj.
5. M árq u en se los p u n to s 0 y A en un
papel. D ibújese la im agen A ' de A en
u na ro tació n de 60° en la dirección
d e las m anecillas del reloj com o sigue:
a. T rácese el ray o O A . C on un
tra n sp o rta d o r, trácese O X de
m an era que m L A O X = 60.
b. C o n un com pás, trácese un arco con
cen tro O y ra d io OA. E ste arco
interseca al lad o del ángulo en el p u n to A'.
6. T rácese un segm ento I F y u n p u n to O
en una h o ja de papel. C on un
tra n sp o rta d o r y u n com pás, trácese la
im agen de X Y en u n a rotación de 40°
en dirección c o n traria a la de las
m anecillas del reloj.
7. D ibújese un trián g u lo A B C y un pun to
O en u n a h o ja de papel. C o n un
tra n s p o rta d o r y un com pás, dibújese la
im agen de A A B C en una ro ta c ió n de
50° en la dirección de las m anecillas del
reloj.
8. D ibújese un trián g u lo A B C y un p u n to O. D ibújese la
im agen de A A B C en u n a ro ta c ió n de 135° en
dirección c o n tra ria a la de las m anecillas del reloj.
O.
13.4
9. Si A 'B ' es la im agen de A B en una rotación con centro O,
¿qué ángulo debe m edirse p a ra e n co n trar el ángulo de
rotación?
a. Z A O B .
b . ¿ A A 'O .
c. Z A 'B 'O .
d. Z B O B j
O
10. Si A 'B ' es la im agen de A B después de una rotación,
¿cuál de los c u atro p u n to s p o d ría ser centro
de ro tación? (Recuérdese que si O es el centro,
OA = O A ' y O B = OB'.)
11. T rácense R S y V W . Si V W es la im agen de R S en una
rotació n , encuéntrense el centro y -el áng u lo de rotación.
12. En cada u n a de las figuras siguientes, la figura roja es la
im agen de la figura negra en u n a rotación. D ígase cuál es
el cen tro de ro tació n e indiquese la m edida de cada
ángulo de rotació n . (Puede ser útil usar papel vegetal.)
R o ta c io n e s
491
492
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
c.
13. T rácense un p a r de rectas intersecantes p
y q y u n trián g u lo A B C com o se
m uestra. D ibújese la im agen de A A B C
p a ra la reflexión sobre la recta p seguida
de la reflexión sobre la recta q. Llámese
A A "B " C " a esta imagen.
1 4 C on papel vegetal, com pruébese que
A A "B " C " del ejercicio 13 es la imagen
de ro tació n de A A B C .
15. M ídase con un tra n s p o rta d o r el ángulo
ag u d o form ad o p o r las rectas p y q del
d ibujo del ejercicio 13. ¿Q ué relación
existe en tre el tam añ o de este ángulo y
el tam añ o del ángulo de rotación?
16. A u n a ro tació n de 180° sobre un p u n to
se le llam a media vuelta. A A 'B 'C ' es la
im agen ro ta d a de m edia vuelta de
A A B C . D ibújense estas figuras y
encuéntrese el cen tro de la m edia vuelta.
ACTIVIDADES!
Unanse dos e spe jo s form ando
un á ng ulo de 90° y o bsérvese lo
que se ve en e llo s co m o ilustra
la fotografía. ¿Es a lg o curioso?
Expliqúese la observación.
Unanse dos espejos form a nd o un ángulo de
90° y o bsérvese lo que se ve en e llo s com o
¡lustra la fotografía. La re fle x ió n que
aparece en la fo to grafía es sólo una de las
tre s que a pa re cerán . Una de estas tres
im ágenes es d is tin ta de las o tras dos, ¿en
qué rad ica la diferencia?
13.4
R o ta c io n e s
17. M árquense los p u n to s X e Y en una
h o ja de papel y dibújese A R S T .
a. D ibújese la im agen de m edia vuelta
de A R S T alred ed o r de X . C o n la
im agen de esta ro tació n dibújese una
m edia vuelta alred ed o r de Y.
b. ¿Q ué m ovim iento tiene el m ism o
efecto que u n a m edia vuelta sobre X
seguida de una m edia vuelta sobre Y ?
D escríbase este m ovim iento de la
m an era m ás específica posible.
R
18. A A 'B 'C ' es la im agen de A A B C en u n a ro tación sobre el
B
centro Q. D ibújense estas figuras. ¿Se puede trazar la recta
q de m anera que la reflexión so b re la recta p seguida de
u n a reflexión sobre la recta q tenga el m ism o efecto que la
rotación?
SOLUCION D E PROBLEMAS
D ib ú jese el d ise ñ o s ig u ie n te e n p a p e l v e g e tal. R ó te se el p apel 6 0 ' so b re
el pun to A y o b s é r v e s e q u e la co p ia c o n c u e rd a co n el d iseñ o
(s u p ó n g a se q u e el d ise ñ o y s u c o p ia s e e x tie n d e n en to d a s d ire cc io n es
p a ra cu b rir to d o el plano).
1. ¿Q ué o tro s á n g u lo s d e ro tació n c e n tra d o s e n A h a rá n q u e el d ise ñ o
c o n c u e rd e c o n sig o m ism o?
2. ¿ C u á le s so n lo s á n g u lo s d e ro tació n c e n tra d o s en los p u n to s B y C
q u e h a rá n q u e el d ise ñ o c o n c u e rd e c o n sig o m ism o?
Q
493
494
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
13.5
Simetría
L a m a r ip o s a y el c a n g re jo d e las
fo to g ra fía s p o s e e n u n a b e lle z a n a tu r a l
re la c io n a d a c o n s u fo rm a . U n a m ita d
p a re c e id é n tic a a la o tr a . L a re la c ió n
p a re c e ta n p e rfe c ta q u e p o d r ía c o lo c a rs e
u n e s p e jo d e m a n e r a q u e se re fle ja ra la
m ita d d e u n a n im a l y d a r la a p a r ie n c ia de
q u e el a n im a l e s tá c o m p le to .
S e d ic e q u e la s fo rm a s tie n e n sim e tría
re fle x iv a y q u e la r e c ta s o b r e la c u a l se
c o lo c a el e s p e jo es la línea de sim etría .
P a r a c o m p r o b a r la s im e tría re fle x iv a d e
u n a fig u ra , p u e d e d ib u ja r s e é s ta e n u n
p a p e l y v e rific a r si p u e d e d o b la r s e d e
m a n e r a q u e u n a m ita d c o in c id a
e x a c ta m e n te c o n la o tr a . T a m b ié n p u e d e
e m p le a rs e la p r u e b a d e l « esp e jo » , c o m o se
m u e s tr a e n la fo to g ra fía . Si se p u e d e
c o lo c a r u n « e sp e jo » s o b r e la fig u ra de
m a n e r a q u e la m ita d d e e lla y s u re fle x ió n
p a re z c a n u n a c o p ia fiel d e la fig u ra
c o m p le ta , e n to n c e s se d ic e q u e la fig u ra
tie n e s im e tría reflexiva.
L a s ig u ie n te d e fin ic ió n e s tá ilu s tr a d a p o r
el d ib u jo .
Definición 13.4
U n a figura F tiene sim etría reflexiva sí hay
una recta t tal que la im agen de reflexión
sobre l de cada p u n to P de F tam bién es un
p u n to de F. La recta se llam a línea de sim etría
de F.
13.5
S im etría
495
E s ta flo r tie n e o t r o tip o d e sim e tría .
P u e d e h a c e rs e g ir a r s o b r e u n c e n tr o fijo a
p o sic io n e s d ife re n te s sin q u e c a m b ie s u
a p a r ie n c ia o rig in a l.
Se d ice e n to n c e s q u e la fig u ra tie n e
sim e tría ro ta c io n a l y q u e el c e n tr o fijo e s el
ce n tro de sim e tría ro ta cio n a l.
P a r a p r o b a r si u n a fig u ra tie n e s im e tría r o ta c io n a l, p u e d e d ib u ja rs e
s o b re u n a h o ja d e p a p e l v e g e ta l o s o b re u n a h o ja d e p lá stic o . C o lo q ú e se
la c o p ia d ir e c ta m e n te s o b r e la fig u ra o rig in a l. E n to n c e s , m a n te n ie n d o fijo
el c e n tr o , se h a c e g ir a r la c o p ia h a s t a q u e c o in c id a d e n u e v o c o n la fig u ra
o rig in a l c o m o se ilu s tr a a c o n tin u a c ió n .
C o m p ro b a c ió n d e la sim e tría r o ta c io n a l p o r el m é to d o d e d ib u ja r y g ira r
L a s ig u ie n te d e fin ic ió n e s tá ilu s tr a d a p o r
el d ib u jo .
Definición 13.5
U n a figura F tiene simetría rotacional si hay un
giro sobre el centro A ta l que la im agen ro tad a
de cada p u n to P de la figura F tam bién es un
p u n to de F. El centro, A, de la rotación se llam a
centro de la simetría rotacional de F.
496
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
EJERCICIOS
A.
¿En cuál de las siguientes figuras es t u n a línea de sim etría?
Verifiqúese la respuesta con la p ru eb a del «espejo» p a ra la
sim etría reflexiva.
1.
*
2.
3.
4.
7. D ibújense u n cu ad rad o , un rom bo, un rectángulo, un trapecio,
un p en tág o n o regular y un hexágono regular, y m uéstrense
to d as las líneas de sim etría reflexiva de ca d a figura.
¿P a ra cuáles de las figuras de los ejercicios 8 a 10 es verdadera
la afirm ación: «esta figura tiene sim etría rotacional»?
9.
ACTIVIDADES!
A la derecha aparece una fig u ra con sim e tría rota cion al de 90° (puede
rota rse 90° para vo lv e r a su p osición o rig in a l) en una m atriz de puntos
5 x 5 . Esta fig u ra se construye traza nd o cu atro líneas idénticas que
satisfacen estas condiciones.
1 . Todas las líneas em piezan en el punto ce n tra l y se m ueven de punto
en punto hasta a lca nza r uno de la frontera.
2. N inguna de las cu atro líneas se tocan o cruzan.
3. Una vez que la línea ha alcanzado un punto de la fron te ra , se detiene.
Sobre una m a triz de puntos, d ib ú je n se p o r lo m enos 20 m odelos
d iferen te s con sim e tría rota tiva de 90° que sa tisfag an las
cond icio ne s a nte rio re s. O bsérvese que la fig u ra de la izq u ie rd a no
se co n sid e ra «diferente» de la de a rrib a , porque se tra ta de la
fig u ra a n te rio r re fle ja d a sobre la recta í . Las fig u ra s que pueden
re fle ja rse o rota rse hasta c o in c id ir nuevam ente no se consideran
diferentes.
13.5
S im e tría
B.
D ibújense figuras que satisfagan ca d a una de las siguientes
condiciones.
11. C u ad rilátero no convexo con u n a
línea de sim etría.
12. U n hexágono con exactam ente dos
líneas de sim etría.
13. U n hexágono con exactam ente tres
líneas de sim etría.
14. U n p entágono con exactam ente una
línea de sim etría.
15. U n a figura con un núm ero infinito de líneas de sim etría.
16. B osquéjese un p o líg o n o que tenga sim etría rotacional, pero
n o sim etría reflexiva.
17. Bosquéjese un polígono que tenga sim etrías ro tacio n al y
reflexiva.
En los ejercicios 18 y 19, supóngase que el diseño se ha
extendido p ara cu b rir to d o el plano. E n ca d a problem a,
¿cuáles de las rectas, p, q y r son líneas de sim etría?
_ SOLUCION D E PROBLEMAS
NOW NO
SWIMS
0N MON
En una piscin a pública,
estaba este letrero.
G írese 180°. ¿Qué se
observa?
337-31770
En este pastel falta
una rebanada. Gírese
la fig u ra p ara poder
e n co n tra r la rebanada?
El se ñ o r O liv e r Lee
p idió este n úm ero para
la m atricula de su
auto m ó vil. G írese la
ta rje ta 180° y
e xpliqú ese por qué el
señor Lee hizo esta
petición.
497
498
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
Capítulo 13
Conceptos im portantes
Términos
Reflexión (pág. 476)
Im agen traslad ad a (pág. 484)
R otación (pág. 488)
Sim etría reflexiva (pág. 494)
Línea de sim etría (pág. 494)
Sim etría rotacional (pág. 495)
C en tro de sim etría rotacional (pág. 495)
Teoremas
13.1 D a d a u n a reflexión sobre u n a recta:
a. la im agen reflejada de u n segm ento es un segm ento
de igual longitud;
b. la im agen reflejada de u n ángulo es u n ángulo de
igual m edida.
13.2 Si las rectas r y s son paralelas, entonces una reflexión
sobre la recta r seguida de una reflexión sobre la recta s
es u n a traslación. Adem ás, si A " es la im agen de A,
entonces
a. A A " 1 r,
b. A A " = 2 d, d o n d e d es la distancia entre las rectas r y s.
13.3 Si las rectas r y s s e intersecan en el p u n to O, entonces
u na reflexión sobre r seguida de una reflexión sobre s,
es u n a rotación. El p u n to O es el centro de rotación y
el áng u lo de ro tació n es 2a, d o n d e a es la m edida del
áng u lo recto o ag u d o que hay en tre las rectas r y s.
Capítulo 13 Resumen
1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.
a. T o d a reflexión es u n a transform ación.
b. Si P ' es la im agen de P p a ra u n a reflexión d a d a sobre la
recta l , entonces i es la bisectriz p erpendicular de PP'.
c. U n a ro tació n puede representarse com o d os reflexiones.
d. U n c u a d ra d o tiene exactam ente d os líneas de sim etría.
e. U n trapecio isósceles tiene sim etría rotacional.
2. C ítense dos letras m ayúsculas que tengan exactam ente dos
líneas de sim etría. ¿H ay o tras con esta condición?
3. C ítense dos letras m ayúsculas que ten g an sim etría rotacional
pero n o línea de sim etría. ¿H ay o tras con esta condición?
4. ¿C uántas líneas de sim etría tiene u n o ctágono regular?
5. T rácense los triángulos A B C y A 'B 'C . C on struyase la recta t
de m an era que A A 'B 'C ' sea la im agen de reflexión de A A B C
sobre í .
A'
6. T rácense A B y A'B'. E n cu éntrense el cen tro de ro tación y el
ángulo de ro tació n si A 'B ' es la im agen de A B en una
rotación.
500
T ra n s fo rm a c io n e s y s im e tría
Capítulo 13 Examen
1. Indíquese si lo siguiente es falso o verdadero.
a. T o d a traslación es una transform ación.
b. Si A 'B ' es la im agen de A B en ro tació n so bre el centro O,
entonces m L A O A ' = m L B O B '.
c. U n a traslación puede representarse com o dos reflexiones.
d. U n p aralelogram o tiene exactam ente dos líneas de sim etría.
e. U n ro m b o tiene sim etría rotacional.
2. C ítense d os letras m ayúsculas que tengan exactam ente una
línea de sim etría. ¿H ay o tra s con esta condición?
3. C ítense d os letras m ayúsculas que tengan sim etría reflexiva y
rotacional. ¿H ay o tra s con esta condición?
4. ¿Tiene u n polígono regular sim etrías reflexiva y rotacional?
5. D ibújese el triángulo A B C , las rectas p y q y la flecha de
traslación X Y . Refléjese A A B C sobre p y q. ¿Q ué relación hay
en tre la distancia de p a q y X Y ‘!
A
X
6. T rácese A A B C . C on C co m o centro de rotación, rótese A A B C
un áng u lo de 120°.
Técnicas para la solución de problemas
Examen de casos especíales
En ocasiones es útil co nsiderar casos especiales p a ra la solución de
problem as. Estúdiese el ejem plo siguiente.
Ejemplo
Sea P cu alquier p u n to sobre o d en tro de un trián g ulo equilátero.
Si a, b y c son las longitudes de los segm entos perpendiculares de
P a los lados del triángulo, ¿qué relación existe e n tre la sum a
a + b + c y la longitud de u n a altura?
p
C onsidérense estos casos especiales:
1. Supóngase que P = D. E ntonces, a = c — 0.
D a d o que b es la a ltu ra de F E , a + b + c
es igual a la lo n g itu d de una altura.
2. Supóngase que P está en el centro de
A D EF. E ntonces, a = b = c = -j F H
(la altura). E ntonces, a + b + c = F H o la
longitud de la altura.
P = D
F,
¿A parenta a + b + c ser igual a la lo n g itu d de la altura?
PROBLEMAS _______________________________________
1. En el ejem plo anterior, inténtese el caso especial en el que P es
el p u n to m edio de un lado. ¿Es a + b + c igual a la longitud
de la altura?
2. A A B C es un trián g u lo equilátero inscrito en un circulo. P es
u n p u n to cualquiera en el círculo. ¿Q ué relación existe entre
P A , P B y P C ? (Sugerencia: C onsidérense estos casos: 1. P = A,
2. P = C, y 3. P A = PC.)
3. D ado:
<4P = B C = A C = 4 cm. P es cu alquier p u n to sobre A B .
D P 1 A C , P E 1 BC.
Encuéntrese: D P + PE.
(Sugerencia: C onsidérese la relación en tre DP, P E y A F usando
los casos especiales en que P = A y P A = PB.)
4. D ado:
El cu a d ra d o A B C D con c a d a lad o de 1 unidad
de longitud.
Encuéntrese: U n p u n to P tal que P A + P B + PC' + PD sea
el m ínim o posible.
(Sugerencia: C onsidérense estos casos: 1. P = A; 2. P es el
p u n to m edio de AB; 3. P es la intersección de las diagonales;
4. Em pléese u n a regla p a ra e n co n trar P A + P B + P C + PD
cuand o P está en el in terio r de AB C D p ero no en el p u n to de
intersección de las diagonales.)
¿Q ué posición parece p ro d u cir un m ínim o p a ra PA + P B + P C + PD?
501
C A P IT U LO
14
14.1
S is te m a d e c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s
14.2
P u n to m e d io d e un s e g m e n to
14.3
La p e n d ie n te d e u n a re c ta
14.4
P e n d ie n te s d e r e c ta s p e r p e n d ic u la re s y p a r a le la s
14.5
La fó rm u la d e la d is ta n c ia
14.6
L a e c u a c ió n d e la re c ta
524
14.7
L a e c u a c ió n d e l c ir c u lo
528
14.8
U so d e la s c o o rd e n a d a s e n la p ru e b a
14.9.
T r a n s fo r m a c io n e s y g e o m e tr ía d e c o o rd e n a d a s
d e te o re m a s
504
508
512
516
520
532
C o n c e p t o s im p o r t a n t e s
538
R e s u m e n g lo b a l (C a p s . 11 a 14)
R esum en
541
539
536
Exam en
540
Geometría de
coordenadas
504
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
14.1
Sistema de coordenadas
cartesianas
¿ C ó m o p u e d e d e c irse a u n a p e rs o n a q u e
v a y a d e u n p u n to a o tro ? C u a n d o se d a n
d ire c c io n e s, su e le d e c irse q u e se re c o rr a
c ie rta d is ta n c ia e n u n a d ire c c ió n y lu e g o
o t r a d is ta n c ia e n o t r a d ire c c ió n .
N o r te
P a r a d a r d ire c c io n e s d e m a n e r a q u e se
p u e d a ir d e l p u n to A a l p u n to B d e la
c u a d r íc u la d e la d e re c h a , p o d r ía d ecirse:
« I r u n a c a lle a l e ste , o c h o a l n o r te , c in c o al
e s te y d o s a l su r.» D e n s e d o s m a n e r a s m á s
se n c illa s p a r a i r d e l p u n to A a l B.
E n m a te m á tic a s se e m p le a n d o s re c ta s
p e rp e n d ic u la re s n u m e r a d a s p a r a e la b o r a r u n
m é to d o d e lo c a liz a c ió n d e p u n to s . E l p u n to
d e in te rs e c c ió n d e la s r e c ta s se lla m a origen.
.
O e ste
B
E ste
14.1
S is te m a d e c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s
U n p a r d e n ú m e r o s lla m a d o s co o rd en a d a s in d ic a n la u b ic a c ió n d e c a d a
p u n to . E l p u n t o A d e l e je m p lo s ig u ie n te e s tá « 2 la d e re c h a » y «1 a r r ib a »
d el o rig e n . Se d ice q u e A tie n e c o o r d e n a d a s (2, 1). E l p r im e r n ú m e r o es la
c o o r d e n a d a x y el s e g u n d o es la c o o r d e n a d a y . E n g e n e ra l, u n p u n to se
re p re s e n ta p o r la s c o o r d e n a d a s (x, y). Se e m p le a r á l a n o ta c ió n P (x , y) p a r a
re p re s e n ta r a l p u n t o P c o n la s c o o r d e n a d a s (x, y). E s te m é to d o d e
d e te rm in a c ió n d e p u n to s se lla m a siste m a d e co o rd en a d a s ca rtesia n a s, p o r
el fa m o s o m a te m á tic o R e n é D e sc a rte s.
E s tú d ie n s e lo s s ig u ie n te s e jem p lo s.
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q u e s e r n e c e s a ria m e n te e n te ro s . E s tu d íe s e c a d a e jem p lo .
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505
506
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
EJERCICIOS_______________________
A.
En los ejercicios 1 a 4, m árquense los siguientes p u n to s en un
papel cuadriculado. Empléese un ju eg o diferente de ejes para
cada ejercicio.
2. (6 ,2 ), ( - 2 * , $ ) , ( - 5 , § ) y ( - V ó,, /T\
1. ( - 4 , 2 ) , ( 6 , - 1 ) , ( - 5 , - 4 ) y ( - 3 , - 2 ) .
3. ( - 4 , 0 ) , (5 ,0 ), (0 ,0 ) y (2*, 0).
4. (0, - 2 \ \ (0, 6), (0, - 3 ) y (0, y/% .
E n los ejercicios 5 a 8, trácense rectas que co ntengan ios
siguientes p ares de puntos.
5. (0 ,0 ) y ( - 5 , - 5 ) .
6. (4 ,0 ) y ( 0 , - 3 ) .
7. ( - 4 , 2 ) y ( - 2 , - 6 ) .
8. ( 5 , - 3 ) y ( 4 , - 3 ) .
En los ejercicios 9 a 11, uibújense triángulos con las
co o rd en ad as siguientes com o vértices. Indíquese si los
triángulos resultantes son acutángulos, rectángulos u
obtusángulos.
9. ( - 2 , 3 ) , (4 ,1 ) y ( 7 , - 2 ) .
10. (3 ,3 ), ( - 4 , 0 ) y (4,6).
11. ( - 4 , 2 ) , ( - 4 , - 3 ) y ( 3 , - 3 ) .
E n los ejercicios 12 a 14, trácense cu ad rilátero s con las
siguientes co o rd en ad as com o vértices.
12. ( - 5 , - 3 ) , ( - 1 , - 3 ) , ( - 5 , 1 ) y ( - 1 , 1 ) .
....
..
13. (0 ,6 ), (6 ,0 ), ( 0 , - 6 ) y ( - 6 , 0 ) .
.. 1
"y
E
14. ( - 1 , 5 ) , (3 ,2 ), ( 2 , - 5 ) y ( - 4 , - 1 ) .
C
A
X
15. D a d a la gráfica siguiente, díganse las
coorden ad as de los p u n to s A , B, C, D y
E. E n algunos casos, será necesario d ar
u n resu ltad o aproxim ado.
í)'
ACTIVIDADES1
En una cuad rícu la de
coordenadas, em pezando
en (0, 0), d ib úje se una
se cue ncia co ntin ua de
se gm en to s que vayan de
un punto a otro. Léase
cada c o lu m n a de a rrib a
abajo.
¿QUE O B JE TO SE REPRESENTA?
(4 , 24 )
(6 , 2 4 )
(6 , 39)
(4 , 3 9 )
(1 0 , 0)
(6 , 3 5 )
(7 , 39)
(4 , 37 )
(0 , 22 )
( 1 2 ,2 )
(7 , 3 5 )
(6 , 3 9 )
(3 , 37 )
(0 , 17)
( 1 2 ,8 )
(6 , 3 5 )
(6 , 42)
(4 , 37 )
(2 , 14)
( 8 ,1 4 )
(6 , 3 7 )
(4 , 4 2 )
(4 , 35 )
(-2 ,8 )
( 1 0 ,1 7 )
(7 , 37 )
(4 , 39 )
(3 , 35 )
( - 2 , 2)
(1 0 , 22 )
(6 , 37 )
(3 , 3 9 )
(4 , 35 )
(0 , 0 ) « -T e rm in a r
E m p e z a r-» (0 , 0)
14.1
S is te m a d e c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s
B.
E n los ejercicios 16 a 18, se d a n las coorden ad as de tres vértices
d e un rectángulo. E ncuéntrense las co o rd en ad as del cuarto
vértice. (Sugerencia: Se pueden rep resen tar las tres coordenadas.)
16. (0 ,0 ), ( - 4 , 0 ) y ( 0 , - 2 ) .
17. ( - 4 , 3 ) , ( - 4 , - 1 ) y ( 5 , - 1 ) .
18. ( 1 , - 3 ) , (1 ,5 ) y (4,5).
En los ejercicios 19 a 21, se p ro p o rc io n a n las coordenadas de tres
vértices de un cu ad rad o . E ncuéntrense las co o rd en ad as del
c u a rto vértice.
19. (0 ,0 ), (3 ,0 ) y ( 0 , - 3 ) .
20. ( - 1 , 2 ) , (2, 2) y ( 2 , - 1 ) .
21. ( - 3 , 2 ) , ( - 3 , 5 ) y (0 ,5 ).
E n los ejercicios 22 y 23, se p ro p o rc io n a n las coordenadas de tres
vértices de un p aralelogram o. E ncuéntrense las coordenadas del
c u a rto vértice. (H ay m ás de una respuesta correcta.)
22. (0 ,0 ), (4 ,4 ) y (6 ,4 ).
23. (1, 1), (4 ,1 ) y (0, - 1 ) .
24. M árquense varios p u n to s en los que el p ro d u cto d e las
co o rd en ad as sea igual a 12. T rácese u n a recta fina p o r estos
puntos.
25. M árq u en se varios p u n to s en los q u e la c o o rd en ad a y sea el
d o b le que la c o o rd en ad a x. T rácese u n a recta q u e pase por
los p untos.
26. E ncuéntrese u n tercer p u n to que esté so b re la línea que
p a sa p o r los p u n to s (3, - 2 ) y ( - 1 , 2).
27. G rafiquense los p u n to s (2,0) y (0, 4) y trácese una recta que
pase p o r ellos. Si las co o rd en ad as (0, 0) y (3, n) determ inan
u n a línea paralela a la prim era, ¿cuál es el valor de n?
_ SO LUCIO N D E PROBLEM AS__________________
Dos vértices de una figura son (0, 0) y (6, 0).
1. ¿Cuáles1son las coordenadas del tercer vértice si la figura
es un triángulo equilátero? (Hay dos soluciones.)
2. ¿Cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices si la
figura es un cuadrado? (Hay tres soluciones.)
3. ¿Cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices si la
figura es un paralelogram o de altura 4?
507
508
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
14.2
Punto medio
de un segmento
U n c a m p o d e fú tb o l su e le m e d ir 100 y a rd a s
d e la r g o y 60 d e a n c h o . S u p ó n g a s e q u e las
c o o r d e n a d a s se a s ig n a n a la s e s q u in a s del
c a m p o c o m o se ilu s tr a e n la fig u ra . ¿ C u á le s
s o n la s c o o r d e n a d a s d e l c e n tr o d e l c a m p o ?
O b s é rv e n s e lo s p u n to s m e d io s d e lo s
s e g m e n to s d e la d e re c h a .
O b s é rv e s e q u e p a r a el s e g m e n to h o r iz o n ta l
M N , la c o o r d e n a d a x d e l p u n to m e d io e s la
s e m is u m a d e la s c o o r d e n a d a s x d e lo s
e x tre m o s . P a r a el s e g m e n to v e rtic a l P Q , la
c o o r d e n a d a y d e l p u n t o m e d io es la
s e m is u m a d e la s c o o r d e n a d a s y d e los
e x tre m o s .
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0
...A,)...
i
E s te m is m o c o n c e p to p u e d e u s a rs e p a r a o tr o s se g m e n to s d e re c ta . S ean
( x 1; y x) la s c o o r d e n a d a s d e u n e x tre m o y (x 2, y 2) la s c o o r d e n a d a s d e o tro
e x tre m o d e la fig u ra sig u ien te.
(*i»-Vi) — ( —
X1 + X2 __
2
”
yi + y2 _
2
_
—2); (x2, y 2) — (5> 3)
+ 5 _
2
“
j
-2 + 3 _
2
L as c o o rd e n a d a s del
p u n to m e d io s o n (1, -§■).
E s te e je m p lo s u g ie re el te o r e m a sig u ie n te .
Teorema 14.1
Si la s c o o r d e n a d a s d e lo s e x tre m o s d e l s e g m e n to P j P 2 s o n
( x ,,
y ( x 2, y 2), e n to n c e s la s c o o r d e n a d a s d el p u n to m e d io
d e í V ’ 2 S o n ^ ; h ^ - í ' + -Vj'
14.2
P u n to m e d io d e un s e g m e n to
L a s sig u ie n te s p r e g u n ta s s u g ie re n u n a p r u e b a p a r a el te o r e m a 14.1.
L a p r u e b a se d e ja c o m o ejercicio*
1. ¿ P o r q u é la s c o o r d e n a d a s d e C s o n ( — 3, —4)?
2. ¿ P o r q u é la s c o o r d e n a d a s d e E , el
p u n to m e d io d e A C , s o n ( — 3, — 1)?
3. ¿ P o r q u é la s c o o r d e n a d a s d e D , el
p u n to m e d io d e B C , s o n (2, —4)?
4. C o n s id e r a n d o la s p r e g u n ta s 2 y 3, ¿ p o r
q u é la s c o o r d e n a d a s d e M , el p u n to
m e d io d e A B , s o n (2, — 1)?
O b s é rv e s e q u e si la s c o o r d e n a d a s d e A s o n (x ,, y ,) o ( — 3, 2), y la s
xi + x2
—3 + 7
c o o r d e n a d a s d e B s o n (x 2, y 2) o (7, —4), e n to n c e s , — - — - = — - — = 2 e
* 1 + y~ =
— — = — 1. P o r ta n t o , la s c o o r d e n a d a s d e
M s o n (2,— 1).
Ejemplo
Si M es el p u n t o m e d io d e A B , d o n d e
( - 4 , - 2 ) s o n la s c o o r d e n a d a s d e A y (2 ,1 )
s o n la s c o o r d e n a d a s d e A i, e n c u é n tre n s e la s
c o o rd e n a d a s de B.
S e a n ( x x, y x) la s c o o r d e n a d a s d e B . P o r el
te o re m a 14.1,
2 = - * + X' y l = - 2 + y i .
2
J
2
D e s p e ja n d o x l e y¡_, se o b tie n e x , = 8 e y x = 4. L a s c o o r d e n a d a s d e B so n ,
p u e s, (8, 4).
A P L IC A C IO N
P a r a e n c o n tr a r la s c o o r d e n a d a s d e l c e n tr o d e l c a m
p o d e fú tb o l e s n e c e s a rio e n c o n tr a r el p u n to m e d io
de AC .
^ *1
+
*2
y \
+
3 ^
_
+
100
0
L a s c o o r d e n a d a s d e M s o n (50, 30).
+
6Q ^
A (°<°>
¿ T e n d r ía M la s m is m a s c o o r d e n a d a s si se h u b ie r a e n c o n tr a d o el p u n to
m e d io d e B D ?
509
510
G e o m e tria d e c o o rd e n a d a s
EJERC IC IO S__________
A.
1. D eterm ínense ios p u n to s m edios de los segm entos siguientes.
a.
b.
T H -"?..; -jy
. * ( ! > ? )
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X:
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d.
(-3 , 4 ) \ ....
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V
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:
i.
... i.. i...
i
!
...i...
i
{i 1:
En los ejercicios 2 a 7, determ ínense los p u n to s m edios de los
segm entos cuyos extrem os están representados p o r las siguien
tes coordenadas.
2. ( - 3 , 2 ) y (7, 10).
3. ( _ 7 , 4) y (9; _ 4)
4. ( - 1 , - 2 ) y (5, 4).
5. ( - 3 , - 5 ) y ( - 7 , - 2 ) .
6. ( - 4 , 2 ) y (5, - 3 ) .
7. (7, _ 3 ) y (0,0 ).
8. G rafíquense los p u n to s A ( - 2 , 5), B(6, 1) y C j ^ 4 , _ - 3) y jrá c e s e
A /4SC . E ncuéntrense los p u n to s m edios de A B , BC y AC.
9. G rafíquense los p u n to s A( 1, 6), B{6, 2), C(8, —_3) y D (-5,_2).
E ncu én tren se los p u n to s m edios de A B , B C , CD y D A .
D ibújese un cuad rilátero uniendo, los p u n to s m edios. ¿Qué
clase de cuad rilátero es?
A C T IV ID A D E S 1
S upóngase que la s coordenadas de A son ( - 2 , 6) y las coordenadas de B
son ( —4, 2). P or el te o re m a 14.1, la s coordenadas del pun to m ed io M son
( - 3 , 4).
a.
Em pléese papel vegetal o una h oja de p lá stico p ara e nco n tra r la refle xió n
de A B so b re el e je de las y. C om párense las co orde na da s d el punto
m edio del segm ento re fle ja d o con las coordenadas de M.
b.
R efléjese A B sobre el e je de las x. C om párense las coordenadas del
punto m ed io del segm ento re fle ja d o con las co orde na da s de M.
c . E stablézcase la m ism a com paración cuando la recta y = x se usa com o
línea de reflexión.
\
14.2
P u n to m e d io d e un s e g m e n to
En los ejercicios 10 a 14, M es el p u n to m edio de A B . Se d a n las
co o rd en ad as de d os de los puntos. E ncuéntrense las
co o rd en ad as del tercer punto.
10. ,4(1, 1), M (5, 1), encuéntrese B.
11. A ( —2, —6), M ( — 2, 1), encuéntrese B.
12. A( — 5, —3), M (2, 1), encuéntrese B.
13. M (0, 0,), B ( —4, 3), encuéntrese A.
14. M(0, 0), B (l, 6), encuéntrese A.
15. D a d o el trián g u lo A B C con vértices A ( —4, —3),_B (8, 0)
y C(6, 1?' 2 traza u n a recta paralela a la base A B y que
biseca a 4 C . E ncuéntrense las co o rd en ad as del p u n to
donde la recta interseca a BC.
16. S upóngase que las co o rd en ad as de A y B son ( —4, 6)
y (6, —2). E ncuéntrense las co o rd en ad as de X , tales
que A X = ¿ AB.
17. S upóngase que las co o rd en ad as de A y B son ( —7, —2)
y (5, — 1). E ncuéntrense las co o rd en ad as de u n p u n to
C so b re A B tal que A C = j AB.
18. Pruébese el teorem a 14.1 co nsiderando la siguiente
inform ación.
Dado:
y j , P 2( x 2, y 2), P XM = M P 2
Pruébese: L as co o rd en ad as de M son (
, X l,
2
2
(Sugerencia: T rácense las rectas auxiliares indicadas
en el diagram a.)
19. C onsidérense los p u n to s P ¡(x ¡, y ,) y P 2(x 2, y 2).
E ncuéntrense las coo rd en ad as d e los puntos
q ue trisecan a P , P 2.
_ SO LUCIO N D E PROBLEM AS_________
C o n s id é re s e un s is te m a trid im e n sio n a l d e c o o rd e n a d a s,
con un e je d e la s x, uno d e la s y y uno d e la s z. S e sitú a un
cu b o con a r is ta s d e 4 u n id a d e s s e g ú n ilu stra el
d ia g ra m a .
¿ C u á le s so n la s c o o rd e n a d a s (x, y, z) d e l c e n tro del
cu b o ?
511
512
G e o m e tría de c o o rd e n a d a s
14.3
La pendiente de una recta
¿ C u á l e s la p e n d ie n te d e lo s te ja d o s ?
L a p e n d ie n te d e u n a r e c ta o d e u n
s e g m e n to p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o la
, e le v a c ió n
r a z ó n -------------- , ta l c o m o a p a re c e e n la
avance
fig u ra.
elevación
avance
Se u s a la le t r a m p a r a d e s ig n a r a la p e n d ie n te . E s tú d ie n s e
lo s sig u ie n te s e je m p lo s.
m
5
-
-2
2
l
m =
L a d e fin ic ió n d e p e n d ie n te q u e se p re s e n ta a c o n tin u a c ió n in c lu y e el
s iste m a d e c o o r d e n a d a s c a rte s ia n a s .
D
e
fin
ició
n1
4
.1
L a p e n d ie n te d e u n a re c ta
e s tá d e te r m in a d a p o r el
c a m b io e n la d is ta n c ia
v e rtic a l
— y 2) d iv id id a
e n tr e el c a m b io e n la
d is ta n c ia h o r iz o n ta l
( * i - * 2).
Si P , y P 2 tienen coordenadas
(*i> y J y (*2, y 2\
respectivam ente, entonces la
pendiente m de P iP 2 es:
xx
si Xj — X 2
x2
0.
14.3
L a p e n d ie n te d e u n a re c ta
L o s e je m p lo s sig u ie n te s m u e s tr a n q u e la p e n d ie n te d e u n a re c ta
p u e d e se r p o s itiv a , n e g a tiv a , c e ro o in d e fin id a .
Ejemplo 1
P e n d ie n te p o s itiv a
'.JJy .
::
jj
.
.
7
7
.
L
).
L
tfc
:
::
j:
T!
L.J._
;:
ni
5 - ( - 3 )
Ejemplo 3
—
"T '”
1 ...J...
V.
y,
U- - Í ü
H “ 3r
8
P e n d ie n te c e ro
....... '“"f—!
....LX.!
,—|—j
...
_¿_; . '±1
m
t5
_j__!_
- 2 - ( - 2 )
—
- 3 - 6
Ejemplo 4
P e n d ie n te in d e fin id a
”Ty¡ /O
...
é
w- .
..y
.... J
.. . >-4— ... xi
... --i r p
... ... ...i
_ 0
m —
5 - ( - 3 )
8
L a pendiente de u n a recta, si
es paralela al eje de las x , es
cero.
APLICACION
Si e s ta c a s a m id e 3 0 p ie s d e a n c h o y la
e le v a c ió n d e l te ja d o e s 6 p ies, ¿ c u á l es la
p e n d ie n te d e l te ja d o ?
Si A B = 30, e n to n c e s
A C = 15.
D a d o q u e D C = 6,
e n to n c e s la p e n d ie n te =
e le v a c ió n
6
avance
P e n d ie n te n e g a tiv a
_i
f-*
•• --jL
'..1
...}...
¡
.J x \
i1
_i_1
z i1z
m —
_
Ejemplo 2
15'
P o r ta n to , la p e n d ie n te = —.
2 - 2
0
Así pues, la pendiente es
indefinida. ¿ P o r qué? La
pendiente d é una recta paralela
al eje de la y es indefinida.
514
G e o m e tría de c o o rd e n a d a s
EJERCICIOS_________________
A.
y
¡
í
....1......i...
'
V
;
-
I
\
.- 4
.....j.....!.......
•
.....L f
.....¡
1. D eterm ínense las co o rd en ad as de cada
p u n to y encuéntrense las pendientes de
los siguientes segm entos.
a. A B .
b. H Ñ .
c. A C .
d. M C .
e. GJ.
f. L O .
g. H G.
h. M B.
i. M G .
,
//
.
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A
Q
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O
G
j
i.....i.....
E n los ejercicios 2 a 7, encuéntrese la pendiente de la recta
que contiene los p u n to s dados.
2. (0 ,0 ), (4 ,6 ).
3. (3, 5), (9 ,2 ).
4. ( - 2 , 5), (6, - 3 ) .
5. ( - 2 , 10), ( - 6 ,
6. (1 0 ,2 ), ( - 2 , 2 ) .
7. (5 ,0 ), ( 0 , - 5 ) .
-4 ).
8. Los vértices de u n p aralelogram o son J?(l, 4), 5(3, 2), T (4, 6) y
U(2, 8). G rafíquense estos p u n to s y encuéntrense las
pendientes de ca d a lado. ¿Q ué lados tienen pendientes iguales?
9. Los vértices de un rectángulo son £ ( - 2 , 3), F(4, 3), G(4, - 1) y
H (—2, — 1). E ncuéntrese la pendiente de ca d a lado. ¿Cuáles
son los dos lados que tienen pendientes indefinidas?
B.
10. ¿C uál es la pendiente de una recta si cruza el eje de las
x en 6 y el eje de las y en —2?
11. L os vértices de un trián g u lo son A(4, 6), B ( - 1, 2) y
C(2, —4). E ncuéntrese la pendiente de cada lado.
ACTIVIDADES— —
—
Supóngase que las co o rde na da s de A son ( - 2 , 4) y las de
B ( - 6, 2).
a. Con papel vegetal o con una_hoja de plástico,
e ncuéntrese la re fle xió n de >AS sobre el e je de las y.
C om párese la pendiente de A B con la pendiente del
segm ento reflejado.
b. R efléjese A B sobre el e je de las x y com p árese la
pendiente de A B con la pendiente del segm ento
reflejado.
c. H ágase la m ism a co m p aració n cuando se usa la recta
y = x com o línea de reflexión.
J
7
0
.
i
:
:
.
.........i...
. ...; X
14.3
L a p e n d ie n te d e u n a re c ta
12. D a d o A A B C con A ( - 2 , 4), B(6, 2) y
C(0, - 4 ) :
a. E ncuéntrense las coorden ad as de los
p u n to s m edios D, E y F.
b. D eterm ínense las pendientes de A B ,
BC y AC .
c. D eterm ínense las pendientes de DE,
D F y FE.
.?..*
d. ¿Q ué se observa en las pendientes
en co n trad as en b y c?
13. L os vértices de u n trián g u lo son X ( U , 0), Y ( - 5, 4) y Z(3, 4).
a. E ncuéntrense las pendientes de los lados.
b. E ncuéntrense las pendientes de las m edianas.
(Empléese el teorem a 14.1 p a ra e n co n trar
los p u n to s m edios de los lados.)
14. U n a recta con pendiente —3 cruza el
eje de las x en (8, 0). ¿En qué p u n to
cruza el eje de las y?
15. ¿C uál es la pendiente de u n a recta si
la co ordenada x siem pre es doble que
)a c o o rd en ad a y?
16. ABCD es un cuadrilátero con vértices A(a, b), B(c, b),
C(c + d,e) y D(a + d, é). E ncuéntrense las pendientes de
los lados.
17. A A B C tiene vértices B ( - 6, -_3) y C(8, - 4 ) . L a pendiente
de A B = i y la pendiente de A C = - 2 . E ncuéntrense las
coorden ad as del p u n to A.
18. U n a recta con pendiente — 1 contiene al p u n to (5, —2).
E ncuéntrese x si la recta tam bién contiene al p u n to (x, 8).
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
Tres puntos, A, B y_C, son co lin e a le s
si la p e n d ie n te d e A B es igu al a la
pendiente de BC. Em pléese este
hecho para re so lve r el siguiente
problem a.
A A X Y con A(OJ3),
p endiente de A Y =-£.
DEFG, HIJK y LMNP
son cuadrados con
coordenadas D(4, 0),
«(10, 0) y L( 18, 0).
Pruébese: F, J y N son colineales.
Dado:
515
516
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
14.a Pendientes de rectas
perpendiculares
y paralelas
S u p ó n g a s e q u e se h a c e g ir a r e n d ire c c ió n
c o n tr a r i a a la d e la s m a n e c illa s d e l re lo j u n a
b o la s u je ta a u n a c u e rd a . Si se s u e lta la b o la
e n el p u n to A , ¿ c u á l es la p e n d ie n te d e la
tr a y e c to r ia q u e sig u e? E s ta p r e g u n ta se
e x a m in a e n e s ta secció n .
P r im e r o , se c o n s id e r a r á n
la s p e n d ie n te s d e re c ta s
p e rp e n d ic u la re s . L a s re c ta s
d e la s fig u ra s s o n
p e r p e n d ic u la re s . D e te rm ín e s e
la p e n d ie n te d e c a d a p a r de
rectas.
O b s é rv e s e q u e la p e n d ie n te
d e a = 4 , la p e n d ie n te de
b = —4 y 4* —4 = —1.
O b s é rv e s e q u e la p e n d ie n te
d e b = —f , la p e n d ie n te d e
, _
2
c = l y
..
5 2 _
'2 ’ 5 —
1
— '■
E s ta s o b s e rv a c io n e s s u g ie re n el s ig u ie n te te o re m a .
Teorema 14.2
E l p r o d u c t o d e la s p e n d ie n te s d e d o s r e c ta s p e rp e n d ic u la re s
e s — l.
E l te o r e m a 14.2 s ó lo es v e r d a d e r o si n in g u n a d e la s re c ta s es p a r a le la
al eje d e la s y . ¿ P o r q u é?
APLICA CIO N
P a r a re s o lv e r el p r o b le m a p la n te a d o a l p r in c ip io d e la
se c c ió n , a s íg n e s e u n s is te m a d e c o o r d e n a d a s . Si las
c o o r d e n a d a s d e A s o n (3, - 2 ) , la p e n d ie n te d e Ó A es —f .
S o rp re n d e n te m e n te , la s le y e s c ie n tífic a s m u e s tr a n q u e la b o la
s ie m p re se m o v e r á e n u n a d ire c c ió n Á É ta n g e n te a l círc u lo .
A sí, O A -L A B . P o r el te o r e m a 14.2, el p r o d u c to d e las
p e n d ie n te s d e e s to s d o s s e g m e n to s e s — 1. A sí, —f • p e n d ie n te
d e A B = — 1, o la p e n d ie n te d e A B — f .
14.4
P e n d ie n te s d e re c ta s p e rp e n d ic u la re s y p a ra le la s
C o n s id é re n s e la s p e n d ie n te s d e lo s
te ja d o s d e la d e re c h a . Si la p e n d ie n te de
A B _es § y A B || C D , ¿ c u á l es la p e n d ie n te
d e C D ? E s ta p r e g u n ta se re s p o n d e m á s
a d e la n te .
C o n s id é re n s e a h o r a la s p e n d ie n te s d e la s r e c ta s p a ra le la s . L a s re c ta s
sig u ie n te s s o n p a ra le la s . D e te rm ín e n s e la s p e n d ie n te s d e c a d a p a r d e
re c ta s.
i • :
!
4 "
: ¡
O b s é rv e s e q u e la
p e n d ie n te d e a = f , la
p e n d ie n te d e b = f y la
p e n d ie n te de
a = p e n d ie n te d e b.
O b s é rv e s e q u e
p e n d ie n te d e c
p e n d ie n te d e d
p e n d ie n te d e c
d e d.
•• T -
la
= —f , la
= —f y la
= p e n d ie n te
E s ta s o b s e rv a c io n e s s u g ie re n el te o r e m a sig u ie n te .
E l te o r e m a 14.3 s ó lo es v e r d a d e r o si n in g u n a d e la s re c ta s es p a ra le la
a l eje d e la s y . ¿ P o r q u é?
A P L IC A C IO N
P a r a re s p o n d e r a la p r e g u n ta re fe re n te a lo s te ja d o s , a síg n ese
u n s is te m a d e c o o r d e n a d a s . E n to n c e s , la p e n d ie n te d e A B = f .
E l te o r e m a 14.3 e s ta b le c e q u e la p e n d ie n te d e A B es ig u a l a la
p e n d ie n te d e C D . P o r ta n to , la p e n d ie n te d e C D = f .
517
518
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
EJERCICIO S_________
A.
1. C onsidérense los p u n to s A(3, 5), 5(7, - 1 ) , C ( - 4, 4), y D(0, - 2 ) .
¿Es A B || CD?
2. C o n sid é re n selo s p u n to s -4(3, 5), B{1, - 1), C(0, 0) y D( 12, 8).
¿Es A B ± CD?
3. M uéstrese que (3, 9), (7, 5), (4, —1) y (0, 3) so n las coordenadas
de los vértices de un p aralelogram o. (Empléese el teorem a 14.3.)
4
. M uéstrese que (1, 2), (3, 1), (0, - 4 ) y ( - 2 , - 3 ) son las
coord en ad as de los vértices de un paralelogram o.
5. M uéstrese q u e (1, - 3 ) , (4, 5), ( - 3 , 7) y ( - 6 , - 1 ) son las
co o rd en ad as de los vértices d e u n paralelogram o.
6. M uéstrese que (4, 6), (5, 1) y (2, 4) son las coordenadas de los
vértices de u n trián g u lo rectángulo.
7. M uéstrese q u e (7, 9), (10, —3) y (2, —5) son las co o rd en ad as de
los vértices de un trián g u lo rectángulo.
8. M uéstrese que (1, 4), (3, 5), ( - 3 , 12) y ( - 1 , 13) son las
coorden ad as de los vértices de u n rectángulo.
9. M uéstrese que ( - 3 , - 3 ) , ( - 1 , - 2 ) , (1, - 6 ) y ( - 1 , - 7 ) son las
co o rd en ad as de los vértices de un rectángulo.
10. M uéstrese que (10, 2), (8, 8), ( - 1 , 5) y (1, - 1) son las
co o rd en ad as de los vértices de u n rectángulo.
ACTIVIDADES— ^ —
—
— —
S upóngase que A B || CD, E F 1 A B y £ f ± CD tienen las
c oordenadas que se m uestra en la figura.
a. Con papel vegetal o con una hoja de plástico,
re flé je n se AB, CD, y E F sobre el eje de las x. ¿Siguen
sie n d o ve rd ad eras las m ism as re la cio n e s para los
se gm en to s reflejados?
b. R efléjense los segm entos p ara el e je de las y. ¿Siguen
sie n d o ve rd a d e ra s las m ism a s relacio ne s en los
segm entos reflejados?
c. R efléjense los segm entos sobre la recta y = x. ¿Siguen
sie n d o ve rd ad eras las m ism as re la cio n e s p ara los
segm entos reflejados?
14.4
P e n d ie n te s d e re c ta s p e rp e n d ic u la re s y p a ra le la s
11. L os vértices de u n trián g u lo tienen coorden adas (5,1),
( —1,7) y (1, —3). E ncuéntrense las pendientes de los tres
lados. E ncuéntrense las pendientes de las tres alturas.
B.
12. E ncuéntrese y de m an era que la recta q u e pasa p o r ( —4, —3)
y (8, y) sea paralela a la recta que p asa p o r (4, —4) y (3, 5).
13. E ncuéntrese y de m anera q u e la recta que p asa p o r ( —2, — 1)
y (10, y) sea perpendicular a la recta que p a sa p o r (6, —2) y
(5, 7).
14. D eterm ínese a de m anera que la recta que p asa p o r (7, 1) y
(4, 8) sea paralela a la recta que p asa p o r (2, á) y (a, — 2).
15. D eterm ínese b de m anera que la recta que p asa p o r (2, 3) y
(4, —5) sea perpendicular a la recta que p asa p o r (4, —5) y
(b,b).
16. L as coorden ad as de A, B y C son ( —3, 2), (4, —2)_y (0, 6),
respectivam ente. E ncuéntrese D de m an era que A B || CD y D
esté sobre el eje de las x.
17. Si las coorden ad as de A y B son (0, 4) y ( —5. 1), y si
A B ±A<?, encuéntrese el p u n to en el que A C cruza el eje de
las x.
c.
18. A B C D es un ro m b o con vértices A( — 3, 6), B(5,7) y
C(9, 0). E ncuéntrense las co o rd en ad as de D.
19. A B C D es u n p aralelo g ram o con vértices .4(3, 6), B(5, 9) y
C (8,2). E ncuéntrense las coord en ad as de D.
20. U n círculo con rad io a y centro en el origen contiene el
p u n to de coorden ad as (c, d). E ncuéntrese la pendiente de la
tangente al círculo en el p u n to (c, d):
_
SO LUCIO N D E PROBLEMAS
C o n s id é re n s e los p u n to s A( —2 ,0 ) B(6 ,4 ) y C(x, 0).
Si AB 1 SC, e n c u é n tr e s e el á r e a d e A ABC.
(Sug eren cia : E n c u é n tre n s e p rim ero las
c o o rd e n a d a s del p unto C.)
519
520
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
14.5
La fórm ula
de la distancia
E n e s ta se c c ió n se e s tu d ia r á u n a d e la s fó rm u la s
m á s im p o r ta n te s d e la g e o m e tr ía a n a lític a : la
fó r m u la d e la d ista n cia . P u e d e u s a rs e e s ta
Si u n ja r d in e r o d e re c h o la n z a la p e lo ta d e l p u n to
fó r m u la p a r a s a b e r a q u é d is ta n c ia se la n z ó
A a la te rc e ra b a se ( p u n to B ), ¿ q u é d is ta n c ia
la p e lo ta (v é a se la fig u ra d e la d e re c h a ).
re c o rr ió la p e lo ta ?
Ejemplo 1 P a r a e n c o n tr a r la lo n g itu d d e u n s e g m e n to p a ra le lo
a l eje d e la s x.
[4 4 4 : 1
AB =
AB =
AB =
■r
|4 —
|6|
6
( — 2)| Si A B es pa ra lela a l eje de la x y las
c o o r d e n a d a s d e A y 6 s o n ( x x, y ¡) y
(x 2, y 2), e n to n c e s A B = |x j — x 2|.
J..4..L.I..ÍXÍ
Ejemplo 2 P a r a e n c o n tr a r la lo n g itu d d e u n s e g m e n to p a ra le lo
a l e je d e la s y.
p
-,
-
r'fTT'T"!
■i
...
I”:”1 r—
IT"!
4 LL^.-S-í U
-4 é o É i d
—
A B = |3 — ( —2)|
A B — |5|
AB = 5
Si A B es p a r a le la a l eje d e la s y y las
c o o r d e n a d a s d e A y B s o n ( x ¡ , y ,) y
(x 2, y 2), e n to n c e s A B = | y \ — y 2|.
Ejemplo 3 P a r a e n c o n tr a r la lo n g itu d d e u n s e g m e n to q u e n o es
p a r a le lo a n in g u n o d e lo s ejes.
Se d e s e a e n c o n tr a r la lo n g itu d d e A B . S e a B C p a r a le la a l eje de
la s x , y A C p a r a le la a l eje d e la s y. E n to n c e s , B C = |2 — ( — 3)|
y A C = |3 — ( —2)|. A A B C es u n triá n g u lo r e c tá n g u lo . A sí, p o r
el te o r e m a d e P itá g o r a s , A B 2 = B C 2 + A C 2. P o r ta n to , A B 2 =
= (2 — ( —3))2 + (3 — ( —2))2
o b ie n A B =
+ 3)2 + (3 + 2)2.
A B = V/2 5 ~ T 2 5 = 5 ^ 2 .
E s to s e je m p lo s su g ie re n el te o r e m a sig u ie n te .
14.5
Teorema 14.4
L a fó rm u la d e la d is ta n c ia
L a fó r m u la d e la d ista n c ia . Si A tie n e c o o r d e n a d a s ( x ¡ , y ¡ ) y
B tien e c o o r d e n a d a s ( x 2, >’2), e n to n c e s A B =
= y / ( x l - x 2)2 + (,V! - y 2)2 -
Ejemplo
E m p lé e se la fó rm u la d e la d is ta n c ia p a r a d e te r m in a r si A A B C
es isósceles.
Se e m p ie z a
p o r e n c o n tr a r la s lo n g itu d e s d e lo s tre s la d o s.
AB =
V (8 - ( —2))2 + (7 - O)2 = VT49
BC ~
V O 2 + (7 -
AC =
V (8 - ( —2))2 + ( - 5 - O)2 = V Í2 5
( — 5))2 = V \ 4 4
N o h a y d o s la d o s q u e te n g a n la m is m a lo n g itu d , p o r ta n to
A A B C n o es isósceles.
APLICACION
V o lv ie n d o a la p r e g u n ta p la n te a d a al
p r in c ip io d e la se c c ió n re la tiv a a la d is ta n c ia
q u e re c o r r ió la p e lo ta d e b é is b o l, a síg n e s e u n
s is te m a d e c o o r d e n a d a s c o m o el d e la
d e re c h a , c o n o rig e n e n hom e. E l ju g a d o r
e s ta r á e n la p o s ic ió n (280,20). C o n la fó rm u la
d e la d is ta n c ia , se o b tie n e :
A B = 7 ( 2 8 0 - O)2 + (20 - 9 0 )2
A B = X/(2 8 Ó )2 + ( —7 0 )2
A B = ^ 7 8 ,4 0 0 + 4900
A B = ^ 8 3 , 300
A B = 288.62 p ies
L a p e lo ta re c o r r ió u n o s 2 8 9 pies.
£(0, 90); tercera base
C(90, 0); primera base
0(325, 0); valla del jardín derecho
-4(280, 20); posición del jugador
521
522
G e o m e tría de c o o rd e n a d a s
EJERCICIOS____________________________________
A.
En los ejercicios 1 a 8, encuéntrese la distancia entre los puntos
dados.
I. ( - 4 , 5 ) y (6 ,5 ).
2. (3 ,2 ) y ( 3 , - 8 ) .
3. (4 ,5 ) y ( - 3 , - 2 ) .
4. ( - 2 , 5) y ( 5 , - 2 ) .
5. (4 ,0 ) y ( 0 , - 6 ) .
6. (1 ,2 ) y ( - 7 , 3 ) .
7. ( - 5 , 3 ) y ( 0 , - 4 ) .
8. ( 6 , - 2 ) y (7, 3).
En los ejercicios 9 a 12, em pléese la fórm ula de la distancia para
clasificar los triángulos en escaleno, isósceles o equilátero.
9. ¿ ( 4 , 5), 5 (5 , —2), y C (l, 1).
10. ¿ ( 1 ,1 ) , £ ( - 3 , 5 ) , y C ( 2 \/3 — l , 2 y / 3 + 3).
11. ¿ ( —6, 2), 5 (1 , 7), y C(6, 3).
12. ¿ (1 0 , —5), 5 ( —2, 1), y C (7,4).
En los ejercicios 13 y 14, empléese la fórm ula de la distancia
p a ra d eterm in ar si el trián g u lo es o n o rectángulo.
13. ¿ ( 1 ,4 ) , 5 ( —2, —2), y C(10, —8).
14. ¿ ( 5 ,7 ) , 5 (8 , - 5 ) , y C ( - 4, - 4 ) .
15. ¿R esulta m ás sencillo em plear la definición 14.1 o el
teorem a 14.4 p ara m o strar que u n triángulo es rectángulo?
16. Empléese la fórm ula de la distancia p ara m o strar que
A B C D es un p aralelogram o si los vértices son A( 1, —5),
5(7, - 1 ) , C(2, 0) y D( —4, - 4 ) .
ACTIVIDADES
~
A d e m á s del u so d e la s c o o rd e n a d a s c a r te s ia n a s , hay o tra
form a d e e n c o n tra r p u n to s e n un plano. P or ejem p lo , p a ra
lo calizar el punto P p o d ría d e c irs e « d e s p la z a rs e 4 u n id a d e s en
un á n g u lo d e 45o».
La n otación d e e s to s e re p r e s e n ta con el p a r o rd e n a d o (4, 45°)
o bien, en g e n e ra l, (r, 0), d o n d e 0 re p r e s e n ta el án g u lo y r
re p r e s e n ta la d ista n c ia d e O al punto dado.
T rá c e s e un ray o OM (con O e n el o rig en ) y e m p lé e s e el
tra n s p o rta d o r p a r a re p re s e n ta r los p u n to s sig u ien te s:
1 . ( 2 , 30°)
2 . ( 3 ,'9 0 ° )
4 . (2 .5 , 1 2 0 ° )
5. (4 , 4 2 ° )
3 . (5 , 9 0 ° )
6
. (1 , 1 8 0 ° )
O
(r, H) = (5 . 1 5 0 ° )
14.5
17. E ncuéntrese la longitud de la m ed ian a A D en A A B C con
vértices A(2, 6), B(3, - 5 ) y C ( - l , 7).
En los ejercicios 18 a 20, empléese la fórm ula de la distancia
para d eterm inar si B está en tre A y C. (Si B está entre A y C,
entonces A B + B C = AC.)
18. A ( — 3, - 7 ) , £ (0 , —2), C (6 ,8).
19. A ( 1 , - 2 ) , £ (4 ,3 ), C(10, 12).
20. A ( 1 ,4), £ (2 , 3), C(4, 1).
21. E ncuéntrese x si la distancia entre (1, 2) y (x, 8) es 10.
22. A B C D es u n rectángulo inscrito en un círculo, con
vértices .4(0, 0), B(2, 1), C(4, - 3 ) y D(2, - 4 ) . E ncuéntrese la
long itu d del d iám etro del círculo.
23. E ncuéntrese el área de A A B C cuyos vértices son
-4(—3, —4), £ (3,4) y C( —5,0).
24. E ncuéntrese el área de A B C D con vértices A( — 2, 3), £(3, 8),
C(8, 3) y D(3, - 2 ) .
25. E ncuéntrense las co o rd en ad as del p u n to equidistante de
(3,11), (9,5) y ( 7 ,- 1 ) .
26. E ncuéntrense las coorden ad as del p u n to que equidista de
(0,6) y (10,0) y está sobre la línea y = x.
27. G rafíquense al m enos c u a tro p u n to s que satisfagan la
condición de que la distancia en tre ellos y el p u n to (1, 2) sea
siem pre 5 unidades.
_ SOLUCION D E PROBLEMAS
C o n s id é re s e un s is te m a d e c o o rd e n a d a s trid im en sio n al con
un e je d e la s x, un e je d e las y y un e je d e la s z. En él, s e
c o lo c a un c u b o c u y a s a r is ta s m iden 4 u n id a d e s c a d a una,
com o s e m u e s tra en el d ia g ra m a .
1. E n c u é n tre s e la longitud d e OP.
2. E n c u é n tre s e la fórm u la p a r a la longitud O P e n un cubo, d e
c u a lq u ie r ta m a ñ o . (S u g e r e n c ia : S e a P un punto con
c o o rd e n a d a s (x,, y,, z,).)
L a fó rm u la d e la d is ta n e ia
523
524
G e o m e tría de c o o rd e n a d a s
14.6
La ecuación de la recta
c
recorridas)
L a s re la c io n e s d e n u e s tr o m u n d o p u e d e n r e p r e s e n ta rs e c o n fre c u e n cia
m e d ia n te la g rá fic a d e u n a re c ta . E s ta s re la c io n e s, c o m o la s ta rifa s d e lo s
ta x is, se lla m a n rela cio n es lineales. T o d a r e la c ió n lin e a l p u e d e
re p re s e n ta rs e p o r u n a e c u a c ió n d e la f o r m a y = m x + b, d o n d e la r e c ta
c o r ta a l e je d e la s y e n b y tie n e u n a p e n d ie n te m.
Ejemplo 1
L a re la c ió n e n tr e la e s c a la F a h r e n h e it y la
e s c a la C e ls iu s e s tá d a d a p o r la e c u a c ió n
F = f C + 32
L a p e n d ie n te e s f . E l c ru c e c o n e l eje F es e n 32.
Ejemplo 2
S u p ó n g a s e q u e p o r c a d a o n z a d e p e s o q u e se
a g re g u e a u n m u e lle , é ste se e s tir a r á 0.5
p u lg a d a s . L a re la c ió n e n tr e el p e s o (x) y la
lo n g itu d d e l a la r g a m ie n to (y) e s tá d a d a p o r la
e c u a c ió n
y = 0.5x
L a p e n d ie n te es 0.5. E l c ru c e c o n el eje y es 0.
(peso)
Teorema 14.5
x
C u a lq u ie r r e c ta e n el p la n o d e c o o r d e n a d a s q u e n o sea
p a r a le la a l e je d e la s y p u e d e r e p re s e n ta rs e p o r la e c u a c ió n
y = m x + b , d o n d e m es la p e n d ie n te y b es el p u n t o e n q u e
c r u z a e l e je d e la s y.
14.6
Ejemplo 1
L a e c u a c ió n d e la re c ta
D e te rm ín e n s e la p e n d ie n te y el p u n to d e c ru ce
c o n el eje y d e u n a re c ta , d a d a la e c u a c ió n d e la
f o r m a a x + b y = c.
C o n s id é re s e la e c u a c ió n 3 x + 4y = 12.
D e sp é je se y . 3 x + 4y = 12.
4-y = - 3 x + 12
y = - |x
+ 3
A h o r a , e n c u é n tre n s e la p e n d ie n te y el c ru c e c o n el eje y.
P o r el te o r e m a 14.5,
m = —| (la p e n d ie n te ) y
3 x + 4y =
12
b = 3 (el c ru c e c o n el eje y).
L o s d o s e je m p lo s s ig u ie n te s ilu s tr a n la fo r m a e n q u e p u e d e e m p le a rse el
te o re m a 14.5 p a r a e n c o n tr a r la e c u a c ió n d e u n a re c ta d a d a s c ie rta s
c o n d ic io n e s .
Ejemplo 2
E n c u é n tre s e la e c u a c ió n d e u n a r e c ta d a d o s la
p e n d ie n te d e la r e c ta y u n p u n to s o b re la re c ta .
C o n s id é re s e u n a r e c ta c o n p e n d ie n te § y u n p u n to
(- 3 ,- 4 ) .
P a s o 1 L a p e n d ie n te e s tá d e te r m in a d a
,
.,
y 2 ~ -V2
p o r la e c u a c ió n m = ------------ .
Xi-*2
C o n s id é re s e u n p a r d e p u n to s (x, y)
y ( — 3, —4), y o b té n g a s e la e c u a c ió n
2 _ y - (-4 )
3
x — ( — 3)
P a s o 2 S im p lífiq u e se la e c u a c ió n .
2(x — ( — 3)) = 3(y — ( —4))
o y - ix - 2
Ejemplo 3
E n c u é n tre s e la e c u a c ió n d e u n a re c ta d a d o s d o s
p u n to s s o b r e la re c ta .
C o n s id é re s e u n a r e c ta q u e c o n tie n e lo s p u n to s ( — 3, 6) y (1, 2).
6 -2
4
P a s o 1 L a p e n d ie n te m = ------------= — = — 1.
- 3 - 1 —4
P a s o 2 D a d o q u e se c o n o c e n la p e n d ie n te y
u n p u n to , síg a se el e je m p lo 2 u s a n d o
lo s p u n to s (x , y ) y ( — 3, 6).
1
y - 6
(-3)
o y = —x + 3.
y = jx -
2
525
526
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
EJERCICIOS ___ ______________________________
A.
E n los ejercicios 1 a 6, escríbase la ecuación de la recta en la
form a y = m x + b.
1. m = 2, b = 3.
2.
m = §, b = —2.
4. m = —0.2, b — —2.5.
5.
m = 10,
3. m — —
= —4.
b = 5-
6. w = 0, b — 2.
E n los ejercicios 7 a 10, represéntese la ecuación.
1. y = x + 4 .
9. j
— 5.
8.
= —2x — 3.
10. y = — \ x + 3.
E n los ejercicios 11 a 16, encuéntrese la pendiente y el cruce con
el eje y de cada recta y represéntese la ecuación.
11. y + 2x = 4.
12. 2j< - x = 5.
13. 3x — 2jy = 4.
14.
15. 5 — 3x = 2y.
16. 3x - 4y = 12.
+ j x = 1.
E n los ejercicios 17 a 22, encuéntrese la ecuación de la recta
dad o s la pendiente y un punto.
17. m = 2, (1, - 3 ) .
18. m = - 3 , ( - 2 , 1 ) .
19. m = j , (0 ,0).
20. m = - i , (4, 3).
21. m -
22. m = - | , (0,4).
( - 3 , -4 ).
En los ejercicios 23 a 28, encuéntrese la ecuación de la recta que
contiene a los p u n to s dados.
23. (0 ,0 ), (4 ,3 ).
24. ( - 2 , 1), (5, —3).
25. (0 ,0 ), ( - 3 , - 3 ) .
26. (0, - 4 ) , (6 ,0 ).
27. (5 ,2 ), ( - 3 , 2 ) .
28. (1 ,3 ), ( - 4 , - 2 ) .
ACTIVIDADES!
Id entifiq ú en se d o s v a ria b le s q u e s e su p o n e tienen
alg u n a relació n . P o r ejem plo:
a . el p e s o y la a ltu ra d e u n a p e rs o n a ,
b. el n ú m e ro d e b a te o s y el n ú m e ro d e .h its d e un
ju g a d o r d e b éisb o l
c. la c irc u n fe ren c ia d e v a rio s circu io s y los d iá m e tro s
c o rre s p o n d ie n te s .
D esp u és,
1. R e p re s é n te n s e los p a re s o rd e n a d o s.
2. D ib ú jese u n a re c ta q u e s e a el m ejo r a ju s te a los datos.
3. D e te rm ín e n se la p e n d ie n te y el c ru c e con el e je vertical
d e la recta.
200-
-
"/
180- • / '
i
•
160-
3 14° - 120-10° -J— /
. / •
/
/ •
/ .
ir
+
80
50
60
70
80
altura
90
14.6
L a e c u a c ió n d e la re c ta
527
En los ejercicios 29 a 31, encuéntrese la pendiente de u n a recta
que sea p erpendicular a la recta dada.
29. y = —2x + 3.
30. 2x - 3y = 6.
31. 12x + 30y = 18.
32. L os vértices de un trián g u lo tienen coordenadas (0, 0), (2, 4) y
( —4, 2). E ncuéntrese la ecuación de los lados del triángulo.
33. E ncuéntrese el p u n to de intersección de la
recta x — 3 y = 1 y la recta que contiene a
los p u n to s (1, 7) y (6, —3).
34. Si los puntos sobre x e y son (4,0) y
(0, —3), ¿cuál es la ecuación de la recta?
35. E ncuéntrese el á rea de un triángulo
form ado p o r el eje de las x, el eje de las y
y la recta y = x — 5.
36. Encuéntrese la ecuación de la m ediana
AD de A A B C con vértices A(4, 4), B(6, 2)
y a —2, - 4 ) .
37. E ncuéntrense las ecuaciones de las
diagonales del rectángulo A B C D con
vértices A{ — 6, —4), B( —6, 2), C(3, 2) y
D(3, - 4 ) .
38. E ncuéntrese la ecuación de la altu ra AD
de A A B C con vértices A( — 1, 5),
B( —7 , —3 ) y C ( 5 ,l) .
39. E ncuéntrese la ecuación de la recta que es_
la bisectriz perpendicular del segm ento A B
con extrem os -4(10, 2) y B(2, —6).
40. E ncuéntrese la ecuación de la recta que
contiene al p u n to (4, 2) y es perpendicular
a la recta y = —2x — 4.
41. U n a d iagonal de un cu ad rad o está sobre
la recta 3x — 5y = 14. U n vértice está en
(0, 4). E ncuéntrese la ecuación de la o tra
diagonal.
42. Las ecuaciones de dos lados adyacentes
de un paralelogram o son x + 2y — 4 = 0
y 3x + y + 3 = 0. U n vértice tiene
coordenadas (8, —7). E ncuéntrense las
ecuaciones de los o tro s dos lados.
43. E ncuéntrese la distancia entre las rectas
paralelas con ecuaciones y = Ix + 10 e
y = — lx + 15. (Sugerencia: D ibújese un
d iag ram a preciso.)
44. Las co o rd en ad as de A A B C son .4(0, 0),
5(6, 0) y C(4, 6). AD es u n a a ltu ra desde
BC. E ncuéntrense las co o rd en ad as de D.
45. L as co o rd en ad as de los vértices de u n triángulo son (0, 0),
(18,0) y (6,12). E ncuéntrense las coorden ad as del centroide
(el p u n to de intersección de las m edianas).
SO LUCIO N D E PROBLEMAS.
E n c u é n tre s e la d ista n c ia e n tre el punto (2, 1) y la
re c ta 3x - 4y = 0. (S u g eren cia : D ib ú jese u n a figura
p re c is a y d íg a s e la d is ta n c ia q u e d e b e e n c o n tra rse .)
528
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
14.7
La ecuación
del círculo
S u p ó n g a s e q u e se a s ig n a u n s is te m a de
c o o r d e n a d a s p a r a e s te d ib u jo d e fo rm a q u e
la n iñ a se a el o rig e n . ¿ C ó m o p o d r ía
d e s c rib irs e m a te m á tic a m e n te la tr a y e c to r ia
del a v ió n ? E l te o r e m a d e e s ta se c c ió n
a y u d a r á a re s o lv e r la p re g u n ta .
E n lo s e je m p lo s sig u ie n te s, m u é s tre s e q u e lo s p u n to s e s tá n s o b re el
círc u lo . E s to p u e d e h a c e rs e si se m u e s tr a p r im e r o q u e las
c o o r d e n a d a s d e lo s p u n to s sa tis fa c e n la e c u a c ió n d a d a p a r a el
círcu lo .
x2 + y 2 = 4
X2 + y 2 =
16
x 2 + >’2 = 6 4
C o n s id é re s e el c írc u lo d e la d e re c h a c o n c e n tr o e n el o rig e n
y r a d io 5 u n id a d e s . S u p ó n g a s e q u e (x ,j/) es u n p u n to s o b re el
c írc u lo . L a fó rm u la d e la d is ta n c ia e x p re s a q u e
V (x -
O)2 + ( y - O)2 = 5.
P o r ta n t o , x 2 + y 2 — 25, q u e es la e c u a c ió n d e l c írc u lo .
E sto s u g ie re el s ig u ie n te te o re m a .
Te0reiH3 14.6
L a g rá fic a d e la e c u a c ió n x 2 + y 2
y c e n tr o e n el o rig e n .
r 2 es u n c írc u lo d e r a d io r
14.7
L a e c u a c ió n d e l c írc u lo
APLICA CIO N
C o n s id é re s e a la n iñ a q u e m a n e ja el a v ió n
c o m o se d e s c rib ió al p rin c ip io d e e s ta secció n .
Si la n iñ a e s tá e n el o rig e n y la c u e r d a tie n e
15 p ie s d e lo n g itu d , e n to n c e s , p o r el te o re m a
14.6, la tr a y e c to r ia d e l a v ió n e s tá d e s c rita p o r
la e c u a c ió n
x 2 + y 2 = 225.
. E n, lo s e je m p lo s sig u ie n te s, m u é s tre s e q u e lo s p u n to s e s tá n s o b re los
c irc u io s. L a s c o o r d e n a d a s d el c e n tr o d el c írc u lo se d a n e n ro jo .
(X - 2 f + (y - 3)2 = 16
(X - (_ 3 ))2 + {y _ 1)2 = 25
o ( x + 3)2 + (y - i)-’ = 25
A)2 + ( y - ( - 4 ) ) 2 = 36
o ( x - 4)2 + (y + 4 )2 = 36
(x -
S u p ó n g a s e q u e el c írc u lo d e la d e re c h a tie n e su c e n tr o en el
p u n to (h, k) y tie n e r a d io r u n id a d e s . L a f ó rm u la d e la
d is ta n c ia e x p re s a q u e
V {x -
h )z + ( y -
k)2 --- r.
P o r ta n to , la e c u a c ió n d e l c írc u lo es
(* -
h )2 + ( y - k ) 2 = r 2.
A h o r a se e n u n c ia el te o re m a sig u ie n te .
Teorema 14.7
L a g rá fic a d e la e c u a c ió n (x - h)2 + {y - k)2 = r 2 es u n
c írc u lo d e r a d i o r y c e n tr o e n e l p u n to (h, k).
529
530
G e o m e tría de c o o rd e n a d a s
E JE R C IC IO S________________________________________________
A.
E n los ejercicios 1 a 9, escríbase la ecuación de un círculo con el
radio y el centro dados. D espués, dibújense los círculos con un
com pás.
1- (0,0)s 5.
2. (0 ,0 ); 2 .
3. (0 ,0 ); 6.
4. (0 ,0 ); 4.
5. (2, 3); 6.
6. ( - 3 , - 4 ) ; 4.
7. (5 ,2 ); y /2 .
8. ( - 4 , 6); 2.5.
9. (0, - 4 ) ; 5.
En los ejercicios 10 a 17, encuéntrense el c en tro y el radio del círculo.
10. x2 + ;y2 = 25.
11. x 2 + y 2 = 36.
12. x 2 + y 2 = 20.
13.
14. (x + 4)2 + ( y
- 2)2 = 10.
(x - ( —3))2 + ( y - 4)2 = 25.
15. x 2 + ( y - 3)2 = 12.
16. (x + 2)2 + j 2 = 9.
17.
(x + 2)2 + ( y + 4)2 = 36.
B.
18. Escríbase la ecuación de un círculo con
cen tro en ( —4, 0) y que con ten g a al
origen.
ACTIVIDADES”
19. E scríbase la ecuación de un círculo con
centro en (3, 4) y que contenga al origen,
'
'
U na e lip s e e s u n a figura m uy re la c io n a d a con el círculo. E stú d ie se la definición sig u ien te :
P , y P2 so n p u n to s fijos. La
s u m a d e la s d is ta n c ia s d e sd e
c u a lq u ie r punto d e la c u rv a
h a s ta P , y P2 e s sie m p re la
m ism a. E sto e s , P ,B + S P 2 =
= P ,A + A P t = P t C + CPt .
Una e lip se e s el co n junto de
puntos en el q u e la s u m a d e
la s d ista n c ia s d e s d e d o s
p u n to s fijos (P, y P2) h a s ta un
punto d e la c u rv a e s una
co n sta n te .
El sig u ie n te e s un p ro ced im ien to p a ra c o n stru ir u n a elipse.
1. F íje n se d o s p u n to s co n c la v o s o alfileres.
2. A te n se los e x tre m o s d e u n a c u e rd a a los d o s clavos.
3. M u é v a se un lápiz co m o s e m u e s tra e n la figura.
D ib ú jen se v a ria s e lip s e s ca m b ia n d o la d ista n c ia e n tre los clav o s y la longitud de
la c u e rd a . ¿ C u án d o s e p a re c e la e lip s e m á s a un círculo?
14.7
20. E scríbase la ecuación de u n circulo con centro en
( - 2 , 3 ) y que con ten g a al p u n to (3,3).
21. E scríbase la ecuación de un círculo con u n diám etro
cuyos extrem os sean (—4, 0) y (2, 0).
22. E scríbase la ecuación de u n círculo c o n un diám etro
cuyos extrem os sean (3, 6) y (3, - 2 ) .
23. Escríbase la ecuación de un círculo con u n diám etro
cuyos extrem os sean ( - 4 , 8) y (6, 2).
24. Escríbase la ecuación de una recta que sea tangente al
círculo x 2 + y 2 = 25 en el p u n to ( - 3 , 4). (Recuérdese
que la tangente es p erpendicular al radio.)
25. E scríbase la ecuación de la recta de los centros de los
círculos (x + 4)2 + (y - 2)2 = 36 y (x - 5)2 + (_>- + 3)2 = 17.
26. E scríbase la ecuación del círculo con cen tro en ( —5, —5) y
tang en te a am b o s ejes.
27. E scríbase la ecuación de u n círculo q u e tenga el m ism o
cen tro que el círculo (x + 4)2 + (y - 3)2 = 9 y sea tangente al
eje de las y.
28. E ncuéntrese la ecuación del círculo cuyo centro esté sobre la
recta y = £x y que contenga a los p u n to s (0, 6) y (0, - 2 ) .
29. E scríbase la ecuación del círculo con centro en (1, 7) y sea
tangente a la recta x + 3y = 12.
30. E ncuéntrese la longitud de una tangente desde (6,4) al círculo
x 2 + y 2 = 36.
SOLUCION D E PROBLEM AS__
S u p ó n g a s e q u e u n a e s f e r a con c e n tro en (0,0,0)
c o n tie n e al punto P (4 ,4 ,4 ) e n un s is te m a de
c o o rd e n a d a s trid im e n sio n a l. E s c ríb a s e la
e cu a c ió n q u e re p r e s e n ta la e sfe ra .
E s c ríb a s e la e c u a c ió n d e la e s f e r a con c en tro
e n (1, 3, 2) y q u e c o n te n g a al pun to (4, - 2 , 3).
L a e c u a c ió n d e l c írc u lo
531
532
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
14.8
uso de las coordenadas
en la prueba de teorem as
A lg u n o s te o r e m a s se p u e d e n p r o b a r fá c ilm e n te c o n el u s o d e la s
c o o r d e n a d a s . S in e m b a r g o , es m u y im p o r ta n te e le g ir la s c o o r d e n a d a s co n
c u id a d o . E s tú d ie n s e lo s d o s e je m p lo s sig u ie n te s.
Ejemplo 1
C o n s id é re s e el te o re m a :
L a s d ia g o n a le s d e u n r e c tá n g u lo s o n c o n g ru e n te s .
¿ C u á l d e la s sig u ie n te s p o s ic io n e s d e l r e c tá n g u lo p a re c e s e r la m ejo r?
y .
y>
(a,b + d)
(0, b)
( a,b)
( - a , b)
(a , b )
(a, b)
(-a
0
(0 ,0 )
(a, 0 )
)
(a,0)
'
E l te o r e m a p o d r ía p r o b a r s e u tiliz a n d o la fó rm u la d e la d is ta n c ia c o n
c u a lq u ie r a d e la s tre s p o sic io n e s . S in e m b a r g o , la fig u ra d el c e n tro p u e d e
se r la m á s fácil d e u s a r d a d o q u e la s c o o r d e n a d a s q u e se n e c e s ita n tie n e n
m á s ce ro s.
Ejemplo 2
C o n s id é re s e el te o re m a :
L a m e d ia n a d e la b a s e d e u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo isósceles
es p e r p e n d ic u la r a la b a s e
¿ C u á l d e la s sig u ie n te s p o sic io n e s d e u n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo isósceles
p a re c e s e r la m e jo r?
y
(a , b)
A
00
( , )
(a + c , b + d )
\
(2 a , 0 )
C u a lq u ie r a d e la s tr e s p o s ic io n e s p o d r ía u s a rs e p a r a p r o b a r el te o re m a .
S in e m b a r g o , p a r a la p r u e b a se u s a r á la p o s ic ió n d e la d e re c h a .
( a + c, b)
14.8
Ejemplo 3
U so d e la s c o o rd e n a d a s e n la p ru e b a d e te o re m a s
T e o re m a : L a s d ia g o n a le s d e u n r e c tá n g u lo so n
c o n g ru e n te s .
y
PR U E B A
D ado:
D( 0, b)
A B C D es u n r e c tá n g u lo c o n
c o o r d e n a d a s 4 .(0,0), B (a , 0),_C(a, b),
D (0 ,b ) y d ia g o n a le s A C y B D .
P ru é b e se :
¿(0 ,0 )
A C = BD.
R azones
Afirmaciones
1. A B C D es un rectángulo con ¿ ( 0 ,0 ) ,
B (a,0 ), C (a ,b ), D(0, b).
1. D ado.
2. A C = V (a - O)2 + (b - O f.
2. F ó rm u la de la distancia.
3. A C = V a 2 + b2.
3. P ro p iedades de los núm eros.
4. B D = V (» - 0)2 + (0 - bf -
4. ¿ P o r qué?
5. B D = y ja 2 + b2.
5. P ropiedades de los núm eros.
6. A C = BD .
6. ¿ P o r qué?
Ejemplo 4
x
T e o re m a : L a m e d ia n a d e la b a s e d e u n triá n g u lo
r e c tá n g u lo isó sceles es p e rp e n d ic u la r
a la base.
PR U E B A
D ado:
T r iá n g u lo r e c tá n g u lo isó sc ele s A B C c o n
A ( 0 , 0), B ( a , 0 ), C (0, a ) y B M = M C .
P ru é b e se : A M _L B C
Razones
Afirm aciones
1. T rián g u lo rectángulo isósceles A B C
con A ( 0 ,0 ), B (a, 0), C(0, a).
1. D ado.
2. L as coorden ad as de M son
2. F ó rm u la del p u n to m edio
(T eorem a 14.1).
- |- j.
4 -0
—
2
3. P endiente de A M =
= 1.
3. D efinición de pendiente.
4 -0
4. P endiente de B C = -------— = — 1.
0 —a
4. D efinición de pendiente.
5. Pendiente de A M • pendiente de
5. P ropiedades de los núm eros.
BC _=( 1 X - 1 ) = - 1 .
6. A M 1 BC.
6. ¿ P o r qué?
C( a, b)
B( a , 0)
533
534
G e o m e tría de c o o rd e n a d a s
EJERCICIO S____________________________________
A.
En los ejercicios 1 a 5, dibújese un sistem a de coordenadas y ubíquese
la figura. D ese una prop o sició n sobre la figura que pued a probarse.
1. C u ad rad o .
2. T rián g u lo equilátero.
3. Paralelogram o.
4. T rapecio isósceles.
5. U n trapecio AB C D con A B || CD y m /- A = m /-D = 90.
6. D ado:
A B C D es un cu ad rad o con ,4(0, 0), B(a, 0), C(a,a) y
D(0, a).
Pruébese: ,4C = BD.
7. D ado:
A B C D es un ro m b o con A{0, 0), B(a, 0), C(c, b) y
D(c — a, b).
Pruébese: A C 1 B D .
(Sugerencia : M uéstrese que pendiente de A C • pendiente de
BD = — 1. Recuérdese que A D = AB.)
ACTIVIDADES
C onsíganse alg un os conos de un m a te ria l cu alqu iera. C órtense de va ria s
fo rm a s, com o se s u g ie re a continuación. O bsérvese la fig u ra resultante.
corte
1. C órtese una sección p a ra le la a la base. La fig u ra que se
fo rm a es un circulo.
figura
O
c irc u lo
2. H ágase un corte que no sea p a ra le lo a la base y que no
la interseque. La fig u ra que se form a se llam a elip se.
e lip s e
A
3. C órtese una sección p a ra le la al lado in clin a d o del cono.
La fig u ra que se form a es una p arábola.
p a rá b o la
4. C órte se una sección que sea p e rp e n d icu la r a la base. La
fig u ra que se fo rm a se llam a h ip érb o la .
Expliqúese por qué estas fig u ra s se llam an có n icas.
L
h ip é r b o la
14.8
8. D ado:
U so d e la s c o o rd e n a d a s e n la p ru e b a d e te o re m a s
A B C D es u n p aralelogram o
con ,4(0,0), B{a,0), C{c,b) y
D(c — a, b).
D(c — a, b)
/V
535
C(c, b)
^ 7
Pruébese: A C y BD se bisecan.
9. D ado:
U n círculo con centro
en el origen y cu erd a A B con
coorden ad as (0, a) y (a, 0).
Pruébese: L a bisectriz perpendicular de
u n a cu erd a de un círculo
contiene al centro.
,4(0,0)
B(a, 0)
*
i . ,4(0, a)
(l (0,0)0
B(a, 0)
1
X
B.
C.
10. Pruébese: L as diagonales de un cu ad rad o
son perpendiculares. (Asígnese
u n sistem a de coorden ad as
com o el del ejercicio 6.)
11. Pruébese: L as diagonales de un trapecio
isósceles A B C D son congruentes.
(Asígnense los vértices ,4(0, 0),
B(a, 0), C(c, b) y D(a - c, b).)
12. Pruébese: El p u n to m edio de la
h ip o ten u sa de un triángulo
rectángulo A B C equ id ista de
los vértices. (Asígnense los
vértices ,4(0,0), B(a, 0) y
C(0,b).)
13. Pruébese: Si las diagonales de un
paralelogram o A B C D son
congruentes, el paralelogram o
es un rectángulo. (Asígnense los
vértices ,4(0, 0), B(a, 0), C(c. b) y
D(c - a, b).)
14. Pruébese: Si las diagonales de un trapecio
A B C D son congruentes, entonces
los catetos del trapecio son
congruentes.
15. Pruébese: El segm ento de recta que une
los p u n to s m edios de dos lados
de un triángulo es igual a la
m itad del tercer lado y es
paralelo a él.
_ SOLUCION DE PROBLEMAS
El s ig u ie n te p ro b le m a s e p re se n tó en un e x a m e n d e a d m isió n a u n a
u n iv ersid ad . La r e s p u e s ta p re te n d id a e r a 7 c a ra s . Sin e m b a rg o , un
e stu d ia n te d e b ach ille ra to a le g ó q u e 7 c a r a s no e r a la re s p u e s ta
co rre c ta . ¿ E sta b a en lo c ie rto ? En c a s o afirm ativo, ¿cu ál e s la re s p u e s ta
c o rre c ta ?
En la s p irá m id e s ABCD y EFGHI, to d a s la s c a r a s son
triá n g u lo s e q u ilá te ro s c o n g ru e n te s e x c e p to la b a se
FGHI. Si la c a ra A B C s e c o lo c a ra s o b r e la c a ra EFG
d e m a n e ra q u e los v é rtic e s del triá n g u lo coin cid ieran ,
¿ c u á n ta s c a r a s te n d ría el só lid o re su lta n te ?
a. 5.
b. 6.
c . 7.
d. 8.
e . 9.
536
G e o m e tria d e c o o rd e n a d a s
14.9
Transformaciones
y geometría
de coordenadas
E s to s d ib u jo s fu e ro n e la b o r a d o s p o r u n
c o m p u ta d o r d e la U n iv e r s id a d d e C o n n e c tic u t,
E s ta d o s U n id o s (V éase la r e v is ta S c ie n tific
A m e ric a n d e fe b re ro d e 1980). E l c o m p u ta d o r
u s ó u n tip o e sp e c ia l d e tr a n s f o r m a c ió n p a r a
m o s tr a r la se c u e n c ia (fig u ra s u p e rio r) d e s d e la
in fa n c ia (p erfil in te r n o ) a la e d a d a d u lta (perfil
e x te rn o ). Se e m p le ó u n tip o d e tra n s f o r m a c ió n
d ife re n te p a r a p r o d u c ir la se c u e n c ia (fig u ra
in fe rio r) d e s d e el h o m b r e d e N e a n d e r th a l (perfil
in te r n o ) h a s ta u n s e r h u m a n o d el f u tu r o (perfil
e x te rn o ). L a s tr a n s f o r m a c io n e s a y u d a n a
s im u la r el c re c im ie n to y lo s c a m b io s e n las
c a ra c te rís tic a s d e l c u e r p o h u m a n o p a r a q u e los
c ien tífic o s p u e d a n e s tu d ia rlo s .
L o s e fe c to s d e tra n s f o r m a c io n e s sim p le s, c o m o tra s la c io n e s ,
re fle x io n e s, r o ta c io n e s y o tr a s , p u e d e n m o s tr a r s e e n u n eje d e
c o o r d e n a d a s . E s tú d ie s e e l s ig u ie n te e je m p lo .
Ejemplo-
^ a r a r e p r e s e n ta r u n a fig u ra y s u im a g e n d e sp u é s d e u n a
tr a n s f o r m a c ió n , c u a n d o la re g la es (x, y ) -* (x + 4 , y + 5).
P aso 1 RePres®ntese u n a figura, A A B C , p o r ejemplo.
A ( — i , —4), B (l, —2), C(2, —4).
P aso 2 Apliqúese Ia regla de la transform ación
a los p u n to s A , B y C p a ra o btener
com o im agen los p u n to s A ', B ' y C'.
( x ,y ) ----- * (* + 4, y + 5).
( - 3 , - 4 ) ----- * (1 ,1 ).
( 1 , - 2 ) ------* (5,3).
(2, - 4 ) ----- * (6, 1).
Paso 3‘ RePres¿ntese la im agen de A A B C , que
es A A 'B 'C '.
E sta transform ación es u n a traslación.
14.9
T ra n s fo rm a c io n e s y g e o m e tría d e c o o rd e n a a a s
EJERCICIOS
A.
Represéntese c a d a figura y su im agen con la regla de
transform ación que se p ro p o rcio n a en los ejercicios 1 a 3.
1. Figura: T riángulo A B C , A ( — 6, 3), B( —4, 5) y C (—3, 4).
Regla de transform ación: (x, y) - » (x + 4, y + 3).
2. Figura: T rián g u lo D EF, D(2, 1), E(3, 4), F (l, 5).
R egla de transform ación: (x, y) —►( —x, y).
3. F igura: T rián g u lo P Q R , P (l, 1), 0(7, 4), R(5, 2).
R egla de transform ación: (x, y ) - * ( —y , x).
4. P a ra los ejercicios 1 a 3, digase si la transform ación es una
traslación, u n a ro tació n o una reflexión. Si es una traslación,
encuéntrese la distancia del traslado. Si es una reflexión,
especifiquese la línea de reflexión. Si es una rotación,
especifiquense el centro y el núm ero de g rad o s de la rotación.
B.
En los ejercicios 5 a 7, represéntense el cuadrilátero y su imagen.
D espués, respóndase a las preguntas.
5. C uadrilátero: -4(1, 1), B (l, 2), C(2, 1), D{2, 2).
Regla de transform ación: (x, y) - » (3x, 3y).
E sta transform ación se denom ina ampliación. ¿Q ué relación
existe en tre las longitudes de los lados de esta figura y las
longitudes de los lados de la im agen? ¿Q ué relación h a y entre sus
áreas?
6. C uadrilátero: P (l, 2), 0 (1 , 3), R (3, 3), S(3, 2).
Regla de transform ación: (x, y) -* (x + 3y, y).
E sta transform ación se denom ina partición. ¿Q ué relación
existe en tre el á rea de la im agen y el á rea del cuadrilátero?
7. C uadrilátero: W (4, - 1 ) , X (3 , 2), Y ( - 3, 2), Z ( - 2 , 1).
Regla de transform ación: (x, y) -* (yx, 2y).
E sta transform ación se d en o m in a alargamiento. ¿C óm o cam bia esto
a u n a figura? ¿Q ué relación existe en tre las áreas?
C.
8. E labórense algunas reglas de transform ación y represéntense
una figura y su im agen p a ra ver có m o se tran sform a la figura.
E labórese u n a regla que p ro d u zca u n a «contracción» de la
figura.
537
538
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
Capítulo 14
Conceptos im portantes
Términos
Sistem a de coord en ad as cartesianas (pág. 505)
Pendiente de u n a recta (pág. 512)
Teoremas
14.1 Si las coorden ad as del segm ento P ¡P 2 son (x t, y ,) y (x 2, y 2).
entonces las co o rd en ad as del p u n to m edio de P , P 2 son
*i + * 2
(:
2
J'x
’
+y2
2
14.2 El p ro d u cto de las pendientes de d os rectas perpendiculares es
— 1. (S uponiendo que ninguna de las rectas es paralela al eje de
las y.)
14-3 Las pendientes de d os rectas paralelas son iguales.
(Suponiendo que n in g u n a de las rectas es paralela a l eje de
las y.)
14.4 L a fórm ula de la distancia. Si A tiene coordenadas (x j, y ,) y B
tiene coorden ad as (x2, y2), entonces
14.5 C ualquier recta en el p lan o de coorden ad as que no sea paralela
al eje de las y puede representarse p o r la ecuación y = m x + b,
d o n d e m es la pendiente y b es el p u n to en que se cruza el eje
de las y.
14.6 L a gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = r 2 es un círculo de rad io r
y cen tro en el origen.
14.7 L a gráfica de la ecuación (x - h)2 + (y - k)2 = r 2 es u n círculo
d e ra d io r y cen tro en el p u n to (h, k).
C a p ítu lo 14
Capítulo 14
Resumen
1. E ncuéntrense las distancias en tre las coordenadas,
a. (1, 2) y (5, 8)
c. ( - 4 , - 2 ) y (2, - 2 )
b. ( - 3 , 4) y ( 5 , - 2 )
2. E ncuéntrense las pendientes de las rectas que contienen las
coorden ad as del ejercicio 1.
3. E ncuéntrense los p u n to s m edios de los segm entos
determ inados p o r las co o rd en ad as del ejercicio 1.
4. E ncuéntrese la ecuación de u n a recta que contiene al p u n to
(2, —4) con pendiente —3.
5. E ncuéntrese la ecuación de u n a recta que contiene al p u n to (4, 1)
y es paralela a la recta 3x + 4y = 2.
6. M uéstrese que (8, —5), (0, —7) y (5, 7) son los vértices de un
trián g u lo rectángulo.
7. E ncuéntrese la co o rd en ad a que falta de m an era que A B || CD
p a ra ,4(2, 5), B(4, - 2 ) , C ( - 3 , - 4 ) y £>(6, x).
8. E ncuéntrese la co o rd en ad a que falta de m an era que A B _L CD
p a ra A ( - 4, - 5), B(7, - 2), C( - 4, 6) y D(x, 0).
9. E ncuéntrense el centro y el rad io de u n círculo con ecuación
(x - 2)2 + {y + 3)2 = 24.
10. Escríbase la ecuación de un círculo con cen tro en el origen y que
pasa p o r el p u n to (4, 3).
11. D ado:
A B C D es un c u a d ra d o con vértices ,4(0, 0), B(a, 0), C(a, a)
y_D(0, 4 _
Pruébese: A C 1 BD.
12. Dado:
F ig u ra W X Y Z con vértices tf^O, 0), X (a, 0), Y (a + b, c) y
Z(b,c).
Pruébese: W X Y Z es un paralelogram o.
R esum en
539
540
G e o m e tría d e c o o rd e n a d a s
Capítulo 14
Examen
1. E ncuéntrense las distancias en tre las coordenadas.
a. (3, 6) y ( - 6 , - 3 ) .
b. ( - 4 , 0 ) y (0, - 4 ) .
c. ( - 2 , 5) y ( - 2 , - l ) .
2. E ncuéntrense las pendientes de las rectas que contienen a las
coorden ad as del ejercicio 1.
3. E ncuéntrense los p u n to s m edios de los segm entos determ inados
p o r las co o rd en ad as del ejercicio 1.
4. E ncuéntrese la ecuación de u n a recta que contiene a los puntos
( - 3 , 5) y (2, - 4 ) .
5. E ncuéntrese la ecuación de una recta que contiene al p u n to (3, 5)
y es p erpendicular a la recta 2 x + 6y = —3.
6. M uéstrese que (4, 5), (6, 4), (3, — 1) y (1, 0) son las coordenadas
de los vértices de un paralelogram o.
7. E ncuéntrese la co o rd en ad a que falta de m anera que A B ||
p a ra A ( - 4, 2), B ( - 1, - 3 ) , C(6, 2) y D(x. - 4 ) .
8. E ncuéntrese la c o o rd en ad a que falta de m an era que A B ± CD
p a ra A(5, - 3 ) , B ( - 2, 4), C(3, 3) y D ( - 7 , x).
9. Escríbase la ecuación de un círculo con cen tro en (2,3) y rad io 6.
10. Escríbase la ecuación de u n círculo con cen tro en el origen y que
pasa p o r el p u n to ( —5, 12).
11. Dado:
T riángulo isósceles A B C con vértices C{b,c), -4(0,0),
B(2b,0) y p u n to s m edios E y D de A C y BC, respectivam ente
Pruébese: A D = BE.
Figura A B C D con vértices A( —b, 0), B(0,a), C(b, 0) y
D(0, —a).
Pruébese: A B CD es un rom bo.
12. D ado:
Resumen global (Caps. 11 a 14)
1. E ncuéntrese el área de un c u a d ra d o inscrito en un círculo de
d iám etro 10 cm.
2. E ncuéntrese el á rea de un trián g u lo isósceles de base 8 cm y donde
cada uno de los lados iguales m ide 5 cm.
3. E ncuéntrese el área de un trián g u lo eq u ilátero si su perím etro
es 12 cm.
4. Si la razó n en tre los perím etros de dos triángulos sem ejantes es 2:1,
¿cuál es la razón entre sus áreas?
5. E ncuéntrese el área de un hexágono regular inscrito en un círculo
de rad io 6 cm.
6. Si un prism a tiene de a ltu ra 6 m , y á rea de la base 12 m 2, ¿cuál es
su volum en?
7. Si una pirám ide tiene base cu ad rad a de lad o 3 m y a ltu ra 7 m,
¿cuál es el volum en de la pirám ide?
8. E ncuéntrese el á rea de un cilindro circular recto de a ltu ra 10 cm y
diám etro de la base 4 cm. (Em pléese n = 3.14.)
9. E ncuéntrese el volum en del cilindro del ejercicio 8.
10. Si un trián g u lo A B C con vértices A( 3, 5), B(5, - 2 ) y C ( - 4 , 3) se
reflejara so b re el eje de las y, ¿cuáles serán las co o rd en ad as de su
imagen?
11. Si un trián g u lo A B C con vértices A(4, —2), B( — 3, —7) y C (l, 6) se
reflejara sobre el eje de las x, ¿cuáles serían las co o rdenadas de su
imagen?
12. D ense las ecuaciones d e las líneas de sim etría de u n cu ad rad o con
vértices (1, 1), (5, 1) (5, 5) y (1, 5).
13. Si se ro ta 180° sobre el origen el p u n to (2, 6), ¿cuáles serían las
coorden ad as de su imagen?
14. E ncuéntrese la longitud de la h ip o ten u sa de u n triángulo
rectángulo con vértices en (6, 8), (9, —4) y (1, —6).
15. E ncuéntrese la ecuación de u n a recta que contiene a los puntos
( 2 , - 6 ) y ( - 4 ,3 ) .
542
Símbolos
AB
recta A B (pág. 12)
II
es paralela a (pág.
AB
segm ento A B (pág. 16)
13)
AB
rayo A B (pág. 16)
LABC
ángulo A B C (pág. 17)
A ABC
triángulo A B C
(pág,
0 O
círculo Ó (pág.
17)
17)
AB
longitud del segm ento A B (pág. 20)
=
es congruente c o n (pág. 20)
m L ABC
m edida de L A B C (pág. 20)
^
no es congruente co n (pág. 22)
1
es p erpendicular a (pág. 28)
p-*q
p im plica q (pág. 56)
~P
no p (pág. 60)
p «-»q
p si, y sólo si, q (pág.
61)
jf
no es paralela a (pág.
175)
no es perpendicular a (pág. 160)
#
no es igual a (pág. 161)
s/
raíz c u ad rad a (pág. 227)
~
es sem ejante a (pág. 313)
=
es apro xim adam ente igual a (pág. 331)
AB
arco m enor determ inado p o r A y B (pág. 346)
ACB
arco m ayor d eterm in ad o p o r A y B (pág. 346)
mAB
m edida de A B (pág. 346)
A(R)
á rea de la región R (pág. 394)
P(x, y)
p u n to P con coordenadas x e y (pág. 505)
Tabla de cuadrados y raíces cuadradas
N2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
4
9
16
25
36
49
64
81
10 0
11
12 1
12
13
14
15
16
17
18
19
144
169
196
225
256
289
324
361
400
441
484
529
576
625
20
21
22
23
24
25
VÑ
1.0 0 0
1.414
1.732
2 .0 0 0
2.236
2.449
2.646
2.828
3.000
3.162
3.317
3.464
3.606
3.742
3.873
4.000
4.123
4.243
4.359
4.472
4.583
4.690
4.796
4.899
5.000
N
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
N2
VÑ
N
676
729
784
841
900
961
1,024
1,089
1,156
1,225
1,296
1,369
1,444
1,521
1,600
1,681
1,764
1,849
1,936
2,025
2,116
2,209
2,304
2,401
2,500
5.099
5.196
5.292
5.385
5.477
5.568
5.657
5.745
5.831
5.916
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
6 .0 0 0
6.083
6.164
6,245
6.325
6.403
6.481
6.557
6.633
6.708
6.782
6.856
6.928
7.000
7.071
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
N2
2,601
2,704
2,809
2,916
3,025
3,136
3,249
3,364
3,481
3,600
3,721
3,844
3,969
4,096
4,225
4,356
4,489
4,624
4,761
4,900
5,041
5,184
5,329
5,476
5,625
VÑ
N
7.141
7.211
7.280
7.348
7.416
7,483
7.550
7.616
7.681
7.746
7.810
7.874
7.937
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
8 .0 0 0
8.062
8.124
8.185
8.246
8.307
8.367
8.426
8.485
8.544
8.602
8.660
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
10 0
N2
5,776
5,929
6,084
6,241
6,400
6,561
6,724
6,889
7,056
7,225
7,396
7,569
7,744
7,921
8 ,10 0
8,281
8,464
8,649
8,836
9,025
9,216
9,409
9,604
9,801
10 ,0 0 0
Postulados y teoremas
Postulados
Postulado de la existencia de los puntos. El espacio existe y contiene p o r lo m enos
c u a tro p u n to s n o coplan ares y n o colineales. U n p lan o contiene p o r lo m enos tres
p u n to s no colineales. U n a recta contiene p o r lo m enos dos puntos. (Pág. 68)
Postulado del punto y la recta.
recta. (Pág. 68)
D os p u n to s están contenidos en una, y sólo una,
Postulado del punto y el plano.
y sólo u n plano. (Pág. 68)
T res p u n to s no colineales están contenidos en uno,
Postulado de la intersección de planos. Si d os p lan o s se intersecan, entonces se
intersecan exactam ente en u n a recta. (Pág. 68)
Postulado de los dos puntos, la recta y el plano. Si dos p u n to s están en un plano,
entonces la recta que los contiene está en el plano. (Pág. 69)
Postulado de la separación de planos. Sea N un p lan o y í u n a recta en N. Los
puntos del p lan o que n o estén sobre ( form an d os sem iplanos de m anera que:
a. cada sem iplano es un co n ju n to convexo;
b. si P está so b re u n sem iplano y Q está en el o tro , entonces PQ interseca a t .
(Pág. 69)
Postulado de la separación del espacio. Sea N un plano en el espacio. L os puntos
del espacio que n o están so b re N form an d os sem iespacios de m an era que:
a. ca d a sem iespacio es un co n ju n to convexo;
__
b. si un p u n to A está en un sem iespacio y B e stá en el o tro, A B interseca a N.
(Pág. 69).
Postulado de las perpendiculares. D ad o s un p u n to y u n a recta en un plano, hay
exactam ente u n a recta que p asa p o r el p u n to y es perpendicular a la recta dada.
D ad o un p lan o en el espacio y un p u n to que n o está en ese plano, hay
exactam ente u n a recta que p asa p o r el p u n to y es perpendicular al plano dado.
(Pág. 69)
Postulado de la regla, a. A cada p a r de p u n to s corresponde u n n úm ero positivo
único al cual se le llam a distancia en tre los p untos, b. L os puntos de u n a recta
pueden a p arearse biunívocam ente con los n úm eros reales de m anera que la
distancia en tre d os p u n to s cualesquiera sea el v a lo r ab so lu to de la diferencia de sus
núm eros asociados. (Pág. 72)
Postulado del transportador, a. A cada ángulo corresponde un núm ero real único
en tre 0 y 180, llam ado m ed id a del ángulo, b. Sea P un punto en la a rista del
sem iplano H. C a d a ray o del sem iplano o su arista con un vértice P puede
aparearse biunívocam ente co n los n úm eros reales n, 0 < n < 180, de m an era q u e la
m edida de un ángulo form ad o p o r u n p a r de rayos n o colineales con vértice P es el
valor ab so lu to de la diferencia de sus núm eros reales. (Pág. 73)
P o s tu la d o s y te o re m a s
Postulado de la congruencia LAL. Si d os lados y el ángulo incluido de un
triángu lo son congruentes co n respecto a d os lados y el ángulo incluido de o tro
triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (Pág. 91)
Postulado de la congruencia ALA. Si d os ángulos y el lado incluido de un
triángu lo son congruentes con respecto a d os ángulos y el lad o incluido de o tro
triángulo, entonces los dos trián g u lo s son congruentes. (Pág. 91)
Postulado de la congruencia L L L . Si los tres lados de un triángulo son
congruentes con respecto a los tres lados de o tro triángulo, entonces los dos
triángulos son congruentes. (Pág. 91)
Postulado del p ar lineal. Si d os ángulos form an un p a r lineal, entonces los ángulos
son suplem entarios. (Pág. 146)
Postulado de las paralelas. D a d a u n a recta ( y un p u n to P que n o está sobre la
recta l , existe sólo u n a recta que p asa p o r P y sea paralela a t . (Pág. 180)
Postulado de la desigualdad del triángulo. L a sum a de las longitudes de dos lados
de un trián g u lo es m ay o r que la longitud del tercer lado. (Pág. 244)
Postulado de la sem ejanza AAA. Si tres ángulos de u n trián g u lo son congruentes
con los tres ángulos de o tro triángulo, entonces los triángulos son sem ejantes.
(p á g . 316)
Postulado de la sum a de arcos.
(Pág. 346)
_
_
_
_
Si C está en A B, entonces m A C + m C B = mAB.
Postulado del área. A cada región poligonal se le puede asignar un núm ero
positivo único den o m in ad o área. E l á rea de la región R se representa p o r A ( R ) .
(Pág. 394)
Postulado del área de regiones congruentes. Si dos rectángulos o dos triángulos
son congruentes, entonces las regiones que aco tan tienen la m ism a área. (Pág. 395)
Postulado de la sum a de áreas. Si una región poligonal es la unión de n regiones
poligonales que no se solap an , su á rea es la sum a de las áreas de las n regiones.
(Pág. 395)
Postulado del área del rectángulo.
El á rea de un rectángulo con longitud t
anch o w está d ad a p o r la fórm ula f. w. (Pág. 395)
y
Postulado del volumen. A cada sólido se le asigna un núm ero positivo único
denom in ad o volumen. (Pág. 444)
Postulado del volumen de un sólido rectangular. El volum en de un sólido
rectan g u lar es igual al p ro d u cto de su longitud t , an ch u ra w y a ltu ra h. (Pág. 444)
Postulado de la sum a de volúmenes. Si un sólido es la unión de dos sólidos que no
tienen p u n to s interiores en com ún, entonces su volum en es la sum a de los
volúm enes de los dos sólidos. (Pág. 444)
Postulado de C avalieri. Sean S y T .dos sólidos y X u n plano. Si to d o plano
paralelo a X que interseca a S o T, interseca a S y a T en u n a sección transversal
de la m ism a área, entonces volum en S = volum en T. (Pág. 445)
545
546
P o s tu la d o s y te o re m a s
Teoremas
Prueba de teorem as m ediante propiedades básicas
4.1
Las propiedades reflexiva, sim étrica y tran sitiva valen p a ra la congruencia de ángulos y
segm entos.
4.2
En un triángulo isósceles, el segm ento que va del ángulo del vértice al p u n to m edio del
lad o o p u esto form a u n p ar de triángulos congruentes.
4.3
Sum a de ángulos iguales^Si m L A P B = m ¿ D Q E , m L B P C = m ¿ E Q F , P B e stá entre p l
y PC, y Q E está en tre QD y Q?, entonces m L A P C = m L D Q F .
4.4
Resta de segm entos iguales. Si A C = DF, B C = EF, B está entre A y C, y E está entre D y
F, entonces A B = DE.
4.5
Suma de segm entos iguales. Si A B = DE. B C = EF, B está entre A y C, y E está entre D y
F, entonces A C = DF.
4.6
Re§ta de ángulos iguales. S i m L A P C = m L D Q F , m L B P C = m L EOF, P B está entre P A y
PC,
}
y QE está entre Q Ú y QF, entonces m L A P B = m L D Q E .
4.7
T eorem a de los com plem entos congruentes. D os ángulos que son com plem entarios del
m ism o ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes.
4.8
T eorem a de los suplem entos congruentes. D os ángulos que son suplem entarios del m ism o
ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes.
4.9
Teorem a de los ángulos verticales. Si dos rectas se intersecan, los ángulos verticales son
congruentes.
4.10 Teorem a del ángulo externo. La m edida de un ángulo externo es m ayor q u e la m edida de
cu alquier áng u lo in tern o no contiguo.
Rectas y planos paralelos
5.1
Si dos rectas están co rtad as p o r una transversal y un p a r de ángulos correspondientes son
congruentes, entonces las rectas son paralelas.
5.2
Si d os rectas están c o rtad as p o r una transversal y un p a r de ángulos a ltem o s
son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
interiores
5.3
Si dos rectas están c o rta d a s p o r u n a transversal y un p a r de ángulos alternos
son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
exteriores
5.4
Si d os rectas están co rtad as p o r una transversal y un p a r de ángulos interiores del m ism o
lad o de la transversal son suplem entarios, entonces las rectas son paralelas.
5.5
D ad as las rectas p, q y r, si p || q y q || r, entonces p || r.
5.6
Si dos rectas paralelas están co rtad as p o r u n a transversal, entonces los ángulos alternos
interiores son congruentes.
5.7
Si dos rectas paralelas están c o rtad as p o r una transversal, entonces los ángulos alternos
exteriores son congruentes.
P o s tu la d o s y te o re m a s
5.8
Si dos rectas paralelas están c o rtad as p o r u n a transversal, entonces los ángulos
correspondientes son congruentes.
5.9
Si d os rectas paralelas están co rtad as p o r una transversal, entonces los ángulos interiores
del m ism o lado de la transversal son suplem entarios.
Triángulos
6.1
Si un trián g u lo es isósceles, entonces los ángulos de su base son congruentes.
6.2
Si un trián g u lo es equilátero, entonces es equiángulo.
6.3
Si d os ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos
ángulos son congruentes.
6.4
La sum a de los ángulos de un trián g u lo es 180°.
6.5
Los ángulos de un trián g u lo equilátero m iden 60° ca d a uno.
6.6
L a m edida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la sum a de los ángulos
interiores n o contiguos.
6.7
T eorem a LAA. Si dos ángulos y un lad o o p uesto a u n o de ellos en un triángulo son
congruentes con d os ángulos y el lado correspondiente de u n segundo triángulo, entonces
los dos triángulos son congruentes.
6.8
T eorem a de la hipotenusa y el ángulo. Si la hipotenusa y u n ángulo agudo de un triángulo
rectángulo son congruentes con la h ip o ten u sa y un ángulo agudo de o tro triángulo
rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.
6.9
T eorem a de la hipotenusa y el cateto. Si la h ipotenusa y un cateto de un triángulo
rectángulo son congruentes con la h ip o ten u sa y un cateto de un segundo triángulo
rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.
6.10 Si un p u n to P equidista de u n p a r de p u n to s A y B, entonces P está so bre la bisectriz
perpendicular de A B . A la inversa, u n p u n to sobre la bisectriz perpendicular de A B
equidista de A y de B.
Más sobre triángulos
7.1
T eorem a de Pitágoras. Si A A B C es un triángulo rectángulo, entonces el c u ad rad o de la
hipotenusa es igual a la sum a de los cu ad rad o s de los catetos.
7.2 Si A A B C tiene lados de longitudes a, b y c, y c2 = a2 + b 2, entonces
trián g u lo rectángulo.
7.3
La longitud de la h ipotenusa de un triángulo 4 5 ° - 4 5 l! - 90° es J l m ultiplicada por la
longitud de un cateto.
7.4 La longitud del cateto más larg o de un trián gulo 30° - 60" - 90° es
la longitud de la hipoten u sa o. bien
7.5
A A B C es un
m ultiplicada p o r la longitud
ñ
m ultiplicada por
del lado m ás corto.
L as bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo se intersecan en un p u n to O
que equidista de los tres vértices de un triángulo.
547
548
P o s tu la d o s y te o re m a s
7.6
L as bisectrices de los ángulos de un trián g u lo son concurrentes en un p u n to / que
equidista de los tres lados de un triángulo.
7.7
L as rectas q u e contienen las altu ra s de u n triángulo se intersecan en un punto.
7.8
L as m edianas de un trián g u lo se intersecan en u n p u n to que está a dos tercios de la
d istan cia en tre cada vértice y su lad o opuesto.
7.9
Si las m edidas de dos ángulos de un trián g u lo son desiguales, entonces la longitud del
lad o o p u esto al áng u lo m en o r es m enor que la longitud del lado opuesto al ángulo m ayor.
7.10
Si las longitudes de d os lados de u n trián g u lo son desiguales, entonces la m edida del
áng u lo o p u esto al lado m ás co rto es m enor que la m edida del ángulo opuesto al lad o más
largo.
C uadriláteros y polígonos
8.1
L os ángulos opuestos de un p aralelogram o so n congruentes.
8.2
L os lados opuestos de un p aralelogram o son congruentes.
8.3
C ada p a r de ángulos adyacentes de un p aralelogram o es u n p a r de ángulos
suplem entarios.
8.4
Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un
paralelogram o.
8.5
Si un cuadrilátero tiene un p a r de lados opuestos paralelos y congruentes, es un
paralelogram o.
8.6
Si los ángulos o puestos de un cu ad rilátero son congruentes, entonces el cu ad rilátero es un
paralelogram o.
8.7
T eorem a del segm ento medio. El segm ento en tre los p u n to s m edios de dos lados de un
trián g u lo es p aralelo al tercer lad o y tiene la m itad de su longitud.
8.8
L os p u n to s m edios de los lados de u n cu ad rilátero son los vértices de un paralelogram o.
8.9
U n p aralelogram o es un rectángulo si, y sólo si, sus diagonales son congruentes.
8.10
U n p aralelogram o es un ro m b o si, y sólo si, sus diagonales son perpendiculares entre sí.
8.11
U n p aralelogram o es un ro m b o si, y sólo si, cada diagonal biseca u n p a r de ángulos
opuestos.
8.12
El segm ento que une los p u n to s m edios de los lados no paralelos de un trapecio es
p aralelo a las dos bases y tiene u n a lo n g itu d igual a la sem isum a de las longitudes de las
bases.
8.13
En un trapecio isósceles, los ángulos de la base son congruentes y tam bién lo son las
diagonales.
8.14
L a sum a de las m edidas de los ángulos de u n polígono convexo de n lados es ( n — 2J1800.
8.15
L a m ed id a de un ángulo de un polígono regular de n lados es ----------180°.
n
8.16
L a sum a de las m edidas de los ángulos exteriores de un polígono, u n o en ca d a vértice, es
360°.
P o s tu la d o s y te o re m a s
Semejanza
entonces
sií
a
X
d
=
b
x
c.
c
+
d
d '
c
=d
« í
entonces
O
wMja
—
b ~
b
’
c
=d
a + b
entonces
a - b
c
entonces
c
b
’
d '
d
x
d = b
x
c,
d
d
a
b
c
d ’
a
9.5 Si a
—
c
entonces - =
b d
9.6 Teorem a fundam ental de la proporcionalidad. Si u n a recta es paralela a u n lad o de un
trián g u lo e interseca a los o tro s dos lados, entonces divide proporcionalm ente a dichos
lados.
9.7 Si u n a recta interseca a dos lados de un trián g ulo y los divide proporcionalm ente,
entonces la recta es paralela al tercer lado.
9.8 Teorem a de la sem ejanza AA. Si d os ángulos de u n triángulo son congruentes con dos
ángulos de o tro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.
9.9 D os triángulos rectángulos son sem ejantes si un ángulo agudo de u n o de los triángulos es
congruente con un áng u lo ag u d o del o tro triángulo.
9.10
En un trián g u lo rectángulo, la lo n g itu d de la altu ra a la hip o ten u sa es la m edia geom étrica
en tre las longitudes de los d os segm entos de la hipotenusa.
9.11 D ad o s un trián g u lo rectángulo y la altu ra a la hipotenusa, ca d a cateto es la media
geom étrica en tre la lo n g itu d de la h ip o ten u sa y la longitud del segm ento de la hipotenusa
adyacente al cateto.
9.12 Teorem a de la sem ejanza L L L . Si tres lados de un triángulo son proporcionales a tres
lad o s de o tro triángulo, entonces los d os trián gulos son semejantes.
9.13 Teorem a de la sem ejanza LA L. Si u n áng u lo de un triángulo es congruente con un ángulo
de o tro trián g u lo y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son
proporcionales, entonces los triángulos so n semejantes.
Círculos
10.1
E n u n círculo o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes tienen arcos m enores
congruentes.
10.2
E n u n círculo o en círculos congruentes, los arcos m enores congruentes tienen cuerdas
congruentes.
10.3
En un círculo o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes equidistan del centro.
10.4
E n un círculo o en círculos congruentes, las cuerdas que equidistan del centro son
congruentes.
549
550
P o s tu la d o s y te o re m a s
10.5
L a bisectriz p erpendicular de u n a cuerda contiene al centro del círculo.
10.6
Si una recta que p asa a través del centro de un círculo es perpendicular a u n a cuerda que
n o es un diám etro, entonces biseca a la cuerda y a su arco menor.
10.7
Si una recta que p asa a través del centro de u n círculo biseca a u n a cuerda que n o es un
diám etro, entonces es perpendicular a la cuerda.
10.8
Si una recta es perpendicular a un radio en un p u n to sobre el círculo, entonces la recta es
tangente al círculo.
10.9
Si una recta es tangente a un círculo, entonces el radio h asta el p u n to de co n tacto es
perpendicular a la tangente.
10.10
Si u n a recta es p erpendicular a u n a tang en te en un p u n to sobre el círculo, entonces la
recta contiene al centro del círculo.
10.11
Los segm entos tangentes a un círculo desde un p u n to fuera de él son congruentes y
form an ángulos congruentes con la recta que une al centro y al punto.
10.12
L a m edida de un ángulo inscrito es igual a la m itad de la m edida de su arco interceptado.
10.13
U n ángulo inscrito en un sem icírculo es u n ángulo recto.
10.14
U n áng u lo form ado p o r d os cuerdas que se intersecan en el interior de un círculo tiene
una m edida igual a la sem isum a de los arcos interceptados.
10.15
L a m edida de un ángulo form ado p o r u n a tangente y u n a cuerda h asta el p u n to de
co n tacto es igual a la m itad del arco interceptado.
10.16
L a m edida de u n ángulo form ad o p o r dos rectas tangentes a un círculo que se intersecan
es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos interceptados.
10.17
L a m edida de un ángulo form ado p o r u n a tangente y u n a secante o dos secantes desde un
p u n to exterior a un círculo es igual a la m itad de la diferencia de las m edidas de los arcos
interceptados.
10.18
Si un segm ento tangente y un segm ento secante a un círculo se trazan desde un punto
exterior, entonces el cu a d ra d o de la longitud del segm ento tangente es igual al p ro d u cto
d e las longitudes del segm ento secante y su segm ento secante externo.
10.19
Si d os cuerdas se intersecan en un círculo, entonces el p ro d u c to de las longitudes de los
segm entos de una cu erd a es igual al p ro d u cto de las longitudes de la segunda cuerda.
10.20
Si se trazan d os segm entos secantes a un círculo desde un p u n to exterior, entonces el
p ro d u cto de las longitudes de un segm ento secante y su segm ento secante externo es igual,
al p ro d u c to de las longitudes del o tro segm ento secante y su segm ento secante externo.
A rea y perím etro
11.1 D a d o un p aralelogram o con base b y a ltu ra correspondiente h, el á rea está d ad a p o r la
fórm ula A = bh.
11.2 D a d o un triáng u lo con base b y a ltu ra correspondiente h, el área A está d ad a p o r la
fórm u la A = 1/2bh.
11.3 F ó rm ula de H erón. Si A A B C tiene lados de longitud a, b y c, entonces A ( A A B C ) =
= y j s ( s — a ) ( s — b ) ( s — c), d o n d e s = \ ¡ 2( a + b + c).
P o s tu la d o s y te o re m a s
11.4
D ad o un trapecio con bases bx y b2 y altu ra h, el área A está d a d a por la fórm ula
A = 1/2 h ( b 1 + b2).
11.5
D a d o un polígono regular de n lados de longitud s y ap o tem a a, el área A está d a d a por
la fórm ula A = 1/2ans = 1/2ap, d o n d e el perím etro p = ns.
11.6
L a razó n entre los perím etros de dos polígonos sem ejantes es igual a la razón entre las
longitudes de cu alquier p a r de lados correspondientes.
11.7
L a ra z ó n en tre las áreas de d os polígonos sem ejantes es igual a la sum a del cu ad rad o de
la razó n en tre las longitudes, de cualquier p a r de lados correspondientes.
11.8
L a ra z ó n en tre la circunferencia y el diám etro es igual p a ra to dos los círculos.
11.9
D a d o un circulo con ra d io r y d iám etro d, la circunferencia C está d a d a p o r la fórm ula
C = nd = 2nr.
11.10 D a d o un círculo con ra d io r, el á rea A está d a d a p o r la fórm ula A = nr2.
Sólidos "
'
12.1
Las aristas laterales de un prism a son paralelas y congruentes.
12.2
D ad o un prism a con caras laterales rectangulares, si la a ltu ra del prism a es h y las bases
tienen área B y perím etro p, entonces el área S está d a d a p o r la fórm ula S = hp + 2B .
12.3
D ad a una p irám id e regular con a ltu ra inclinada t y u n a base con área B y perím etro p el
area S está d a d a p o r la fórm ula S = \ t p + B.
12.4 El volum en de cualquier prism a es el p ro d u cto dé la altu ra p o r el á rea de la base.
12.5 D a d a u n a pirám ide con base B y a ltu ra h, si A es u n a sección transversal paralela a la
base y la distancia desde el vértice a la sección transversal es K , entonces — - — =
área B
12.6
D os pirám ides con a ltu ra s iguales y bases de igual área tienen el m ism o volum en.
12.8
D a d o u n cilindro circular recto con altu ra h, si la circunferencia de la base es C y el área
de la base es £ , entonces el área está d ad a p o r la fórm ula S = Ch + 2 B = 2nrh + 2nr2.
12.9 D a d o un cilindro circular recto con área de la base B y a ltu ra h, el volum en está d a d o por
la fórm ula V = Bh = nr2h.
12.10 D ad o un cono circular recto con a ltu ra inclinada
si la circunferencia de la base es C y el
área de la base es B, entonces el área S está d ad a p o r la fórm ula S = \ t C + B = nri + n r 2.
12.11
D ad o un cono circular recto con altu ra h y área de la base B, el volum en está d a d o por la
fórm ula V = %Bh = %nr2h.
12.12 D a d a una esfera de rad io r, el volum en está d ad o p o r la fórm ula V = f nr3.
12.13 D ad a una esfera con radio r, el área S está d ad a p o r la fórm ula S = 4nr2.
12.14
H ay exactam ente cinco poliedros regulares que son sólidos convexos.
551
552
P o s tu la d o s y te o re m a s
Transform aciones y sim etría
13.1
D a d a u n a reflexión sobre u n a recta:
a. la im agen reflejada de u n segm ento es un segm ento de igual longitud;
b. la im agen reflejada de u n áng u lo es u n ángulo de igual medida.
13.2
Si las rectas r y s son paralelas, entonces u n a reflexión sobre la recta r seguida p o r una
reflexión sobre la recta s es u n a traslación. Adem ás, si A" es la im agen de A, entonces
a. A A" _L r;
b. A A" = 2d, d o n d e d es la distancia e n tre las rectas r y s.
13.3
Si las rectas r y s se intersecan en un p u n to O, entonces una reflexión sobre r, seguida de
u n a reflexión so b re s, es u n a rotación. El p u n to O es el centro de ro tación y el ángulo de
ro tació n es 2a, d o n d e a es la m edida del ángulo agudo o recto q u e está entre las rectas
rys.
Geometría de coordenadas
14.1
Si las co o rd en ad as de los extrem os del segm ento P ¡ P 2 son (X i,} '1) y
-------fx l + x2
_Vi -í- 3^2%
co o rd en ad as del p u n to m edio de P¡.P2 son I — - — , y — - — I.
14.2
El p ro d u cto de las pendientes de d o s rectas perpendiculares es — 1.
14.3
Las pendientes de d os rectas paralelas son iguales.
14.4
entonces las
La fórm ula de la distancia. Si A tiene co o rd enadas ( x ^ . y ^ y B tiene co o rd en ad as ( x 2, y 2),
entonces A B = - J ( x , — x 2) 2 + ( y \ — y 2) 2-
14.5
C u alq u ier línea recta en u n p lan o de coorden adas que n o sea paralela al eje de las y,
puede representarse con la ecuación y = m x + b, donde m es la pendiente y b es el punto
en que cruza al eje de las y.
14.6
La gráfica de la ecuación x 2
14.7
L a gráfica de la ecuación ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r2 es un círculo con rad io r y centro en
el p u n to (h, k).
+ y 1 = r2 es
u n círculo con rad io
ry
cen tro en el origen.
[553]
Glosario
afirmación de la hipótesis F o rm a de
razon am ien to que se representa com o sigue:
Siem pre que p -» q sea verdad y p sea verdad,
se concluye que q es verdad. (Pág. 64)
altura de una pirámide U n segm ento que va
desde vértice a la base y es p erpendicular a
ésta. (Pág. 434)
altura de un paralelogramo U n segm ento
ángulos complementarios D os ángulos cuyas
m edidas sum an 90°. (Pág. 144)
ángulos congruentes A ngulos que tienen la
m ism a m edida. (Pág. 20)
ángulos correspondientes D os ángulos que están
en el m ism o lado de una transversal. U n o de
ellos es u n ángulo exterior, y el o tro, un
ángulo interior. (Pág. 171)
perpendicular a un p a r de lados, paralelos con
extrem os en esos lados paralelos. (Pág. 399)
altura de un prisma U n segm ento en tre las
bases y p erpendicular a ellas. (Pág. 435)
ángulos interiores no contiguos Los dos ángulos
altura de un trapecio U n segm ento
ángulos suplementarios D os ángulos cuyas
p erpendicular a los lados paralelos (Pág. 403)
altura de un triángulo U n segm ento desde un
vértice h a sta u n p u n to sobre el lad o opuesto
(quizá extendido) y p erpendicular a ese lado
opuesto. (Pág. 199)
altura inclinada de un cono U n segm ento que
une al vértice con u n p u n to sobre la
circunferencia de la base. (Pág. 456)
ángulo L a unión de dos ray o s n o colineales, los
cuales tienen el m ism o extrem o. (Pág. 17)
ángulo agudo U n ángulo que m ide m enos de
90". (Pág. 21)
ángulo central U n ángulo con vértice en el
centro de un circulo. (Pág. 343)
ángulo exterior de un triángulo U n ángulo que
form a un p a r lineal con uno de los ángulos
del triángulo. (Pág. 154)
ángulo inscrito U n ángulo con vértice en un
círculo y co n lados que contienen cuerdas del
círculo. (Pág. 343)
ángulo obtuso U n áng u lo que m ide m ás de 90°.
(Pág. 21)
ángulo recto U n áng u lo que m ide 90°. (Pág. 21)
ángulos alternos exteriores D o s ángulos
exteriores con diferentes vértices en lados
opuestos de una transversal. (Pág. 171)
ángulos alternos interiores D o s ángulos
interiores con diferentes vértices en lados
o p uesto s de una transversal. (Pág. 171)
de un triángulo, con recpecto a un ángulo
exterior, que n o son adyacentes al ángulo
externo. (Pág. 154)
m edidas su m an 180°. (Pág. 144)
ángulos verticales D os ángulos form ados por
dos rectas que se intersecan pero que n o son
un p a r lineal de ángulos. (Pág. 150)
apotema de un polígono regular La distancia
desde su centro a un lado. (Pág. 408)
arco U n a p a rte continua de un círculo. (Pág.
343)
arco interceptado U n arco con extrem os sobre
los lados de ángulos inscritos o centrales.
(Pág. 343)
arco mayor Un arco que no está en el interior
de un ángulo central. La m edida de un arco
m ayor es 360, m enos la m edida de su arco
m enor asociado. (Pág. 346)
arco menor U n arco q u e está en el in terio r de
un ángulo central. La m edida de u n arco
m enor es la m edida de un ángulo central
asociado. (Pág. 346)
arcos congruentes D os arcos de un círculo que
tienen la m ism a m edida (Pág. 347)
área de un círculo El n úm ero al q u e se
aproxim an las áreas de los polígonos regulares
inscritos de n lados a m edida que n aum enta.
(Pág. 420)
arista de un poliedro Véase poliedro
bisectriz de un ángulo La bisectriz de ¿ A B C es
un rayo BD en el in terio r de L A BC, de
m an era que L A B D = ¿ D B C . (Pág. 24)
554
G lo s a rio
bisectriz de un segmento C ualquier punto,
segm ento, rayo, recta o p lan o que contiene al
p u n to m edio del segm ento. (Pág. 24)
bisectriz perpendicular de un segmento U na
recta perpendicular al segm ento que contiene
a su p u n to m edio. (Pág. 29)
contraejemplo U n sólo ejem plo que m uestra
que u n a generalización es falsa. (Pág. 48)
contrarrecíproca de una proposición La
co n trarrecíproca de la proposición p -* q es la
proposición ~ q -+ ~ p. (Pág. 60)
coordenada de un punto en una recta U n
nú m ero real asociado con el p unto. (Pág. 14)
cara de un poliedro Véase poliedro
catetos de un triángulo rectángulo Los lados
que incluyen al áng u lo recto de un triángulo
rectángulo. (Pág. 199)
cilindro circular U n sólido con dos bases
congruentes en planos paralelos. Las bases
son regiones circulares congruentes. (Pág. 542)
cilindro recto U n cilindro con sus ejes
perpendiculares a am bas bases. (Pág. 452)
círculo El co n ju n to de to d o s los p u n to s en un
p lano q u e están a una distancia fija de un
p u n to d a d o en el plano. (Pág. 17)
círculo circunscrito U n círculo q u e contiene los
tres vértices de un triángulo. El centro del
círculo es el p u n to de intersección de las
bisectrices perpendiculares de los lados del
triángulo. (Pág. 238)
círculo inscrito U n círculo que to ca cada lado
de un trián g u lo exactam ente en un p u n to . El
centro del círculo es el p u n to de intersección
de las bisectrices de los ángulos del triángulo.
(Pág. 238)
círculo máximo L a intersección de u n a esfera y
u n plan o que contiene al cen tro de la esfera.
(Pág. 460)
círculos congruentes C írculos con rad io s de
igual longitud. (Pág. 347)
circunferencia de un círculo El n ú m ero al que se
aprox im an los perím etros de los polígonos
regulares inscritos conform e se in crem enta el
núm ero de lados de los polígonos regulares.
(Pág. 416)
cono circular U n sólido co n u n a base circular y
un vértice que n o está sobre el p lan o que
contiene a la base. (Pág. 456)
cono recto U n cono con sus ejes
perpendiculares a su base. (Pág. 456)
coordenadas de un punto en un plano U n p a r de
núm eros (x ,> ) que d en o tan la ubicación del
punto. El prim er p u n to es la co o rd en ad a x y
el segundo es la c o o rd en ad a y. (Pág. 505)
coordenada x
U n a recta que corta al eje de las
x en un p u n to (a, 0) tiene el cruce a en x .
(Pág. 505)
coordenada y
U n a recta que corta a l eje de las
y en un p u n to (0, b) tiene el cruce b en y.
(Pág. 505)
cuadrado U n rectángulo con c u atro lados
congruentes. (Pág. 261)
cuadrilátero L a unión de cu atro segm entos
determ inados p o r cu atro p u n to s de los cuales
no hay tres que sean colineales. Los
segm entos se intersecan sólo en sus extremos.
(Pág. 17)
cuerda de un círculo U n segm ento con extrem os
sobre el círculo. (Pág. 342)
demostración o prueba indirecta Suponer la
negación de lo que debe dem ostrarse y
después m o stra r que esta suposición lleva a
una contradicción (Pág. 158)
diagonal de un polígono U n segm ento que une
un p a r de vértices n o consecutivos
cualesquiera de u n polígono. (Pág. 32)
diámetro de un círculo U n a cuerda que
contiene al centro del círculo (Págs. 17 y 342)
distancia de un punto a una recta La longitud
del segm ento que p arte del p u n to y es
perpendicular a la recta. (Pág. 29)
distancia entre dos puntos Los puntos sobre
una recta pueden aparearse biunívocam ente
con los núm eros reales de m anera que la
distancia en tre dos p u n to s cualesquiera es el
valor ab so lu to de la diferencia entre los
núm eros asociados. (Pág. 72)
G lo s a rio
ecuación de la recta C ualquier línea recta en el
plano de coordenadas, que no sea paralela al
eje de las y, puede representarse con la
ecuación y = m x + b, d o n d e m es la pendiente
y b es el p u n to en que se cruza el eje de las y.
(Pág. 524)
ecuación del círculo La gráfica de la ecuación
x 2 + y 2 = r2 es u n círculo con ra d io r y
centro en el origen. La gráfica de la ecuación
(x - h)2 + (y - k)2 = r 2 es un círculo con
radio r y centro en el p u n to (h, k). (Págs. 528
y 529)
eje de un cilindro U n segm ento que une el
centro de las dos bases (Pág. 452)
eje de un cono El segm ento que une el vértice al
centro de la base. (Pág. 456)
«entre» puntos El p u n to B está en tre A y C si,
y sólo si, A, B y C son colineales y A B + B C =
= AC. (Págs. 12 y 72)
555
hipotenusa El lado opuesto al ángulo recto de
un triángulo rectángulo. (Pág. 199)
imagen U n a figura resultante de una
transform ación. (Pág. 476)
interior de un ángulo El interior de A A B C es la
intersección de los puntos del lad o A de BC
con los del lad o C de AB. (Pág. 17)
inversa de una proposición La inversa de una
proposición p -* q es la proposición ~ p ->
~<j. (Pág. 60)
línea de reflexión Véase reflexión
linea de simetría Véase sim etría reflexiva
línea o recta auxiliar U n a recta in tro d u cid a a
un a figura p a ra a y u d a r a resolver el problem a.
(Pág. 157)
«entre» rayos B C está en tre B A y B D ^ i , y sólo
media geométrica U n n úm ero x es una m edia
si, BC, B A y BD son coplanares y m / L A B C +
+ m ¿ C B D = m L ABD. (Pág. 73)
a
x
geom etnca entre d o s núm eros a y b si - = - ,
x
b
x * 0, b # 0. (Pág. 322)
esfera El co n ju n to de todos los p u n to s que
están a u n a distancia d eterm in ad a de un
p u n to dado. (Pág. 460)
espacio El co n ju n to de todos los puntos.
(Pág. 11)
, .
mediana de un triángulo U n segm ento que une
un vértice con el p u n to m edio del lado
opuesto. (Pág. 239)
medida en grados El núm ero real entre 0 y 180
que se asigna a un ángulo. (Pág. 20)
figura espacial U n a figura que tiene p u n to s que
no están to d o s en un solo plano. (Pág. 16)
figura plana U n a figura con to d o s sus puntos
en un sólo plano, p ero n o to d o s en una spla
línea. (Pág. 16)
fórmula de la distancia Si A tiene coordenadas
(*i>3'i) y B tiene coorden ad as ( x 2, y 7),
entonces A B = J ( x 1 - x 2)2 + (y, - y ,)2.
(Pág. 520)
generalización U n a conclusión a la que se llega
negación de la conclusión F o rm a de
razonam iento que se representa com o sigue:
Siem pre que p -* q sea verdad y q sea falso, se
concluye que p es falso. (Pág. 65)
octágono U n polígono con ocho lados.
(Pág. 32)
origen L a intersección del eje de las x con el eje
de las y en un plano de coordenadas.
(Pág. 504)
a través del razo n am ien to inductivo. (Pág. 44)
paralelogramo U n cu ad rilátero con am bos
heptágono U n polígono con siete lados.
(Pág. 32)
hexágono U n polígono con seis lados. (Pág. 32)
pares de lados paralelos. (Pág. 261)
par lineal de ángulos U n p a r de ángulos con un
lad o en com ún de m an era que la unión de los
o tro s lados es una recta. (Pág. 144)
556
G lo s a rio
pendiente de una recta Si P l y P 2 tienen
coorden ad as (jc1, j '1) y {x2, y 2)>
respectivam ente, entonces la pendiente m de
P j T es tn = y i ~ y 2 _ (Págs. 512 y 516)
X! - X 2
pentágono U n polígono con cinco lados,
nave no pom
perímetro de un polígono L a sum a de las
longitudes de los lados del polígono.
(Pág. 408)
perpendiculares a un plano U n a recta es
perpendicular a un p la n o si es perpendicular a
cada recta del p lan o que interseque a la recta.
(Pág. 28)
pi (ít) La ra z ó n
C
que es el m ism o núm ero
a
real p ara cu alquier círculo. (Pág. 417)
pirámide U n poliedro en el cual to d as las caras,
m enos una, tienen un vértice com ún.
(Pág. 434)
pirámide regular U n a pirám ide con un
polígono regular com o base y aristas laterales
de igual longitud. (Pág. 434)
planos paralelos P lan o s que no tienen p u n to s
com unes. (Pág. 170)
planos perpendiculares D os p lan o s son
perpendiculares si hay u n a recta en un plano
q u e sea p erpendicular al o tro plano. (Pág. 28)
poliedro Un núm ero finito de regiones
poligonales llam adas caras. C a d a a rista de
u n a región es la a rista de exactam ente o tra
región. Si dos regiones se intersecan, lo hacen
en u n a a rista o en un vértice. (Pág. 434)
poliedro regular U n p o lied ro cuyas caras son
polígonos regulares con el m ism o n ú m ero de
aristas y cuyos vértices está n rod ead o s p o r el
m ism o n ú m ero de caras. (Pág. 464)
polígono L a unión de segm entos que se tocan
sólo en los extrem os, de m anera que 1) com o
m áxim o d os segm entos se to c a n en un p u n to
y 2) cada segm ento toca exactam ente a o tro s
dos segm entos. (Pág. 32)
polígono convexo U n polígono es convexo si
todas sus diagonales están en el in terio r del
polígono. (Pág. 32)
polígono regular U n polígono con to d o s sus
ángulos y to dos sus lados congruentes.
(Pág. 33)
polígonos semejantes D os polígonos son
sem ejantes si hay correspondencia entre los
vértices de m anera que los ángulos
correspondientes sean congruentes y los lados
correspondientes sean proporcionales.
(Pág. 312)
postulado U n a generalización básica aceptada
sin dem ostración. (Pág. 52)
prisma U n poliedro tal que 1) hay un p a r de
caras congruentes que están en planos
paralelos y 2) todas las dem ás caras son
paralelogram os.
(Pág. 435)
prisma recto U n prism a que tiene sus caras
laterales perpendiculares a am bas bases.
(Pág. 435)
proporción U n a igualdad entre dos razones.
,
a c
Las razones - y b a
b ¿ o y d ¿ 0 . (Pág. 304)
.a
c
son proporcionales si
b
d
proposición si-entonces U na proposición de la
form a si p, entonces q, donde p y q son
proposiciones sencillas, p es la hipótesis y q es
la conclusión. El sím bolo p -» q (léase p implica
a q) se usa p a ra representar u n a proposición
si-entonces. (Pág. 56).
punto medio de un segmento El p u n to medio
del segm ento A B es un p u n to C sobre A y B
tal que A C a CB. (Págs. 24 y 508)
radio de un círculo U n segm ento cuyos
extrem os son el centro del círculo y un punto
sobre su circunferencia. (Págs. 17 y 342)
rayo U n rayo A B es un subconjunto de una
recta. C ontiene u n p u n to dad o A y to d o s los
puntos sobre el m ism o lado de A que B.
(Pág. 16)
razonamiento deductivo Se em pieza con una
hipótesis y se usan la lógica y definiciones,
postulados o teorem as d em ostrados con
an terioridad p a ra justificar una serie de
proposiciones o pasos que llevan a la
conclusión deseada. (Pág. 52)
- = -
G lo s a rio
557
razonam iento inductivo O bservar q u e un suceso
da el m ism o resultado varias veces sucesivas, y
luego concluir que el suceso siem pre ten d rá el
m ism o resultado. (Pág. 44)
regla de cadena U n a form a de razonam iento
representado com o sigue: Siem pre que p -> q
sea verdad y q - * r sea verdad, se concluye que
p -* r es verdad. (Pág. 65)
razón del coseno El coseno de un áng u lo agudo
de u n trián g u lo rectángulo es la razón
rombo U n paralelogram o con cu atro lados
congruentes. (Pág. 261)
longitud del lad o adyacente
— — --------------- ;— ----------. (Pág. 330)
longitud de la hipotenusa
razón de la tangente L a tangente de u n ángulo
agudo de un triángulo rectángulo es la razón
longitud del lado opuesto
longitud del lado adyacente'
rotación U n a transform ación con centro O y
ángulo a que m arca cada pu n to P del plano
en un p u n to P' com o sigue:
a. Si P es el p u n to central O, P' = P.
b. Si P
0, entonces P'O = PO
y m í POP' = a.
A P se le llam a la imagen de rotación
del p un to P. (Pág. 488)
recíproca de una proposición L a recíproca de
u n a proposición p -» q es la proposición q - * p.
(Pág. 91)
secante de un círculo U n a recta que interseca al
círculo exactam ente en dos puntos. (Pág. 343)
rectángulo U n paralelogram o con cuatro
ángulos rectos. (Pág. 390)
sección transversal de un sólido U n a región
com ún al sólido y a un p lan o q u e interseca al
sólido. (Pág. 445)
rectas alabeadas D os rectas que n o se
intersecan v que n o están en el m ism o plano.
(Pág. 261)
rectas concurrentes Tres o m ás rectas
coplanares que tienen un p u n to en común.
(Pág. 13)
rectas intersecantes
com ún. (Pág. 13)
D os rectas con u n pu n to en
rectas paralelas Rectas en el mismo plano y
que no se intersecan. (Págs. 13 y 174)
sector de un círculo U n a región lim itada p o r un
ángulo central y su arco interceptado.
(Pág. 421)
segm ento U n segm ento, A B , es el conjunto de
puntos A y B y todos los puntos entre A v B.
(Pág. 16)
segmentos congruentes Segm entos que tienen la
m ism a longitud. (Pág. 20)
rectas perpendiculares D os rectas que al
intersecarse form an ángulos rectos. (Pág. 28)
semiplano P ara una recta en u n plano, los
puntos del plano que no están sobre la recta
form an dos sem iplanos. C ad a m itad es un
co njunto convexo. (Pág. 69)
recta y plano paralelos Una recta y u n plano
que n o tienen p u n to s en com ún. (Pág, 170)
sim etría Véanse sim etría reflexiva y sim etría
rotacional.
reflexión Una transform ación, en un plano,
sobre la recta t que m arca cada pu n to P del
plano en el p u n to P' com o sigue:
a. Si P está sobre f,P' = P.
b. Si Pestá sobre ¿^entonces f, es la bisectriz
perpendicular de PP'.
A P' se le llam a imagen de P y P es la
preimagen de P'. (Pág. 476)
sim etría reflexiva U n a figura F tiene sim etría
reflexiva si hay u n a recta l tal que la im agen
de reflexión sobre t de cada pu n to P de F es
tam bién un p u n to de F. L a recta l es la línea
de simetría. (Pág. 494)
región poligonal U n subconjunto de un plano
lim itado p o r un polígono (o polígonos).
(Pág. 394)
sim etría rotacional U na figura F tiene sim etría
rotacional si hay u n a ro tación alrededor de un
centro A tal que la im agen de ro tación de
cada pu n to P de la figura F sea tam bién un
pun to de F. El centro, A, de la ro tación se
llam a centro de sim etría de F. (Pág. 495)
558
G lo s a rio
superficie El á rea de prism as y pirám ides es la
sum a de las áreas de las caras laterales m ás el
área de las bases. (Pág. 440)
sólido rectangular U n prism a con bases
rectangulares cuyas aristas son
perpendiculares a las bases. (Pág. 444)
triángulo acutángulo U n triángulo con tres
ángulos agudos. (Pág. 198)
triángulo equiángulo U n triángulo con tres
ángulos congruentes. (Pág. 199)
triángulo equilátero U n triángulo con to dos sus
lados congruentes entre sí. (Págs. 33, 198, 203
y 209)
tangente a un círculo U n a recta que interseca al
círculo en un p u n to exactam ente. (Pág. 349)
triángulo escaleno U n triángulo que n o tiene
lados congruentes. (Pág. 198)
teorem a U n a generalización que puede
dem ostrarse que es v erdadera usando
definiciones, p o stu lad o s y la lógica del
razonam ien to deductivo. (Pág. 52)
triángulo isósceles U n triángulo con dos lados
congruentes entre sí. (Págs. 33, 198 y 202)
teorem a de P itág o ras Si A A B C es un triángulo
rectángulo, entonces el cu ad rad o de la
longitud de la h ipotenusa es igual a la sum a
de los cu ad rad o s de los catetos. (Pág. 226)
transform ación U n a regla u operación que
cam bia u n a figura. L a figura, antes del
cam bio, se llam a preimagen, y la figura que
resulta del cam bio se llam a imagen.
(Págs. 476-495)
transversal U n a recta que interseca a dos rectas
coplanares en dos p u n to s distintos. (Págs. 171
y 174)
triángulo obtusángulo U n triángulo con un
ángulo obtuso. (Pág. 199)
triángulo rectángulo U n triángulo con un
ángulo recto. (Págs. 199 y 226)
triángulos congruentes D os triángulos son
congruentes si hay u n a correspondencia entre
los vértices de m anera que ca d a p a r de lados y
ángulos correspondientes sean congruentes.
(Págs. 84 y 90)
unidad cuadrada U na región c u a d rad a en la
que la longitud de un lad o es una unidad de
longitud. (Pág. 261)
trapecio U n cu ad rilátero con exactam ente un
p a r de lados paralelos. (Pág. 261)
traslación D a d a u n a flecha AA' , la im agen de
traslación de u n p u n to P p ara la flecha A A' es
el p u n to P \ donde:
a. A A' = P P \ y
b. las flechas A A' y P P' tienen la m ism a
dirección. (Pág. 484)
triángulo L a u n ió n de tres segm entos
determ inados p o r tres p u n to s no colineales.
(Págs. 17 y 32)
vértice de un ángulo El extrem o de los dos
rayos n o colineales que determ inan al ángulo.
(Pág. 17)
vértice de un polígono El extrem o de un lado
del polígono. (Pág. 32)
volumen U n a m edida de la can tid ad de espacio
que ocupa u n sólido. A cada sólido se asigna
un núm ero real positivo único que es su
volum en. (Pág. 444).
[559]
Respuestas seleccionadas
Se d a n las respuestas a la m ayoría de los
ejercicios im pares y a to d o s los de «Solución de
problem as». Se incluyen to d as las respuestas a
los resúm enes de capítulo y a los resúmenes
globales. N o se d a n las respuestas a los
exám enes de los capítulos.
11. ¿ E O F , L F O M , ¿ L O H . L J O D .
19. 67¿°.
Solución de problem as
CAPITULO 1
páginas 14 y 15
3. A, F, C; A, E, D; B, F, E: B, C, D.
5. Ejem plo : A, F, D, B. 1. r, t. q.
11. A E , BG o B?. 13. A B , H C , ^ D .
15. 12; A BCD, A D H E , CDHG, A BF E , BCGF,
EFGH, ADFG, B C E H , A B G H , CDEF,
BFHD, AEGC.
17. T o d a s son posibles excepto 2; el m áxim o
es 6.
páginas 26 y 27
5.
13.
19.
21.
25.
¿ A B C ^ L C B A . 15. L A C B . L B C A .
A B , A C , A $ , BD, M
A B , p. 23. £Ü?, BD.
¿ A B C , L A C B , L A C D , L A DC , L CAD,
LCAB.
27. Sí, los segm entos tienen los m ism os
extremos.
29. Tres rectas; no; los lad o s de un triángulo
son segmentos.
31. D ibújese el segm ento El.
Solución de problem as F órm ese una pirám ide
con u n a base triangular.
43.
páginas 30 y 31
jlk.
AB CD , A B F E ; ABCD, B C G F; A B C D ,
C D H G ; A BCD, ADHE.
13. U n a recta contenida en un plano debe ser
perpendicular al segundo plano.
15. C onstrúyase una perpendicular de A al
pu n to C de m an era que e l'río pase p o r el
p u n to m edio de AC. Sea M la intersección
de CB y el río. Entonces, A M + M B es el
mínimo.
Solución de problem as A y D.
páginas 34 y 35
Ib.
páginas 22 y 23
4 cm.
PQ S R S , M Ñ £ X Y ,
140°. 7. 90°.
17.
1.
7.
páginas 18 y 19
1.
3.
5.
Sí.
JE s
3a.
5.
11.
EF.
13.
C ad a segm ento n o toca exactam ente a
otros dos segm entos.
Igual que el ejercicio 1.
2c, 3c. 9a. Regular. 9d. Regular.
AAFB, ACGB, A A J E , AEID, ADHC,
A F B G , A G C H , A H DI, A J I E , A A F J . '
N ú m ero p a r de aristas.
560
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
15.
H I J , ACE G, J I D E F , C E G J H A , B H I J F G A ,
CIDEGJHA, ABH ICE FJG ,
AHBCIDEFJG.
?s
500
Solución de problem as —— = -----; 25 000 millas.
360
x
página 37 capítulo 1
2a.
2d.
3.
4.
11.
12.
13.
14.
Resumen
Falso. 2b. Falso. 2c. Falso.
V erdadero. 2e. Falso. 2f. V erdadero.
N inguno; uno; dos.
Sí, am bos segm entos tienen los m ism os
extremos.
Planos: ABCD, GHFE; B C F H , ADEG; o
CDEF, BAGH.
Recta: DE, CF, A G o BH.
R ecta: A B o GH, A H o BG.
R ecta CB.
página 39 Técnicas para la solución de
problemas
1.
5.
10. 2.
19 pies.
9 ó 21. 3. 20. 4. 26.
6. U n a calle al sur.
páginas 5 0 y 51
1. Falso. 3. a.
5. Falso; úsese u n triángulo obtusángulo.
Solución de problem as
1.
1
5
15
20
15
6
1
1
21
35
35
21
7
1
8
28
56
70
56
28
8
2 . 1,
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ..., 2 " ~ \
donde n es el núm ero de la fila.
3. a2 + l a b + b2, a3 + 3a2b + 3ab2 + b 3,
a4 + 4 a 3/) + 6a 2b2 + 4ab3 + 64. Los
coeficientes son los m ism os que los
núm eros de cada fila del triángulo de
Pascal.
páginas 54 y 55
1. Superficie, llana, plana.
3. Si. L a definición de plano requiere m ás
térm inos básicos.
7. L os ángulos verticales son congruentes.
9. El segm ento de recta que une los puntos
m edios de dos lados de un triángulo es
paralelo al tercer lado.
Solución de problem as (30 — 3) — 2 = 25 ó
25 + 2 + 3 = 30 son correctos. (30 — 3) + 2 no
es correcto.
CAPITULO 2
páginas 58 y 59
páginas 46 y 47
1.
1. C B , G F , X Z ; el m ás largo.
3. T res iguales. 5. h = a + b + c.
Solución de problem as
1. M uévase el palillo # 2 hacia la derecha.
2. M uévase el palillo # 1 ab ajo a la derecha.
3.
5.
7.
O
O
9.
2
4
4
11.
(p) Lisa tiene 15 años, (q) Lisa es
dem asiado joven p a ra v o tar en las
elecciones de P u erto Rico. V erdadero.
(p) Algunas m anzanas son rojas, (q) Los
caballos tienen c u a tro p atas. V erdadero.
(p) D os rectas se intersecan, (q) E sas dos
rectas no son paralelas. Verdadero.
(p) A A B C es isósceles, (q) A A B C es
equilátero. Falso.
Si un hom bre vive en San Juan, entonces
vive en P u erto Rico.
Si dos rectas son perpendiculares, entonces
se intersecan p a ra form ar ángulos rectos
congruentes.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
13.
Si dos rectas son paralelas, entonces no se
intersecan.
15. (p) T erm in a en 2. (q).El n ú m e ro es par. Si
un núm ero term in a en dos, entonces es un
núm ero par.
17. (p) U n trián g u lo equiángulo, (q) D ebe ser
equilátero. Si u n a figura es u n triángulo
equiángulo, entonces debe ser equilátero.
19. (p) H a z co m o te digo, (q) Serás rico. Si
haces lo q u e yo te digo, entonces serás rico.
21. (p) D os d e sus ángulos son congruentes.
(q) U n trián g u lo es isósceles. Si dos ángulos
de un trián g u lo son congruentes, entonces
el triángulo_es isósceles.
23. (g) A B s B C. (q) B es el p u n to m edio de
A C . Si A B s B C , entonces B es el p u n to
m edio de A C .
Solución de problem as N ueve viajes de ida y
ocho de regreso.
p á g in a s 62 y @3
1.
Si u n a p erso n a está m ojada, entonces está
nadando.
3. Si u n a persona n o tiene m ucho dinero,
entonces es pobre.
5. Si u n a persona n o ro b a, entonces no es
deshonesta.
7. Si un equipo n o gana c u a tro juegos de la
Serie M undial, entonces n o g an a la Serie.
9. Si u n a p erso n a n o tiene 16 años o más,
entonces n o conduce u n autom óvil
legalm ente.
11. Si n o se gana el p a rtid o de esta noche,
entonces n o se g a n a rá el cam peonato.
13. Si u n trián g u lo es equilátero, entonces es
equiángulo. Si un trián g u lo es equiángulo,
entonces es equilátero.
15. Si dos rectas en u n p lan o son paralelas,
entonces no tienen p u n to s en com ún. Si dos
rectas en un p lan o no tienen p u n to s en
com ún, entonces son paralelas.
17. Si un cu ad rilátero es un paralelogram o,
entonces tiene dos pares de lados paralelos.
Si un cu ad rilátero tiene d os pares de lados
paralelos, entonces es un paralelogram o.
Solución de problem as Alicia.
561
p á g in a s 66 y 67
1.
3.
7.
E lla votó a A rm ando Amigable.
N o está nevando. 5. N o son paralelas.
El p u n to C está sobre la bisectriz
perpendicular.
9. U n ángulo con m edida m ay o r de 90u es un
ángulo obtuso.
11. 1. Si A A B C es u n trián g u lar rectángulo
con L C com o ángulo recto, entonces
m L A + m L B + m L C = 180 y m L C = 90.
3. Si m L A + m L B = 90, entonces L A
y L B son com plem entarios.
Solución de problem as L eón es el encargado,
M artínez es el cajero y Nieves es la
adm inistradora.
p á g in a s 70 y 71
1.
Recta, dos puntos, recta, p o stu lad o del
plano.
3. Recta, po stu lad o de la recta y el plano.
5. Recta, po stu lad o de la perpendicular.
7. R ecta, po stu lad o de la perpendicular.
9. P o stu la d o de la intersección de planos.
11. P o stu lad o de la perpendicular.
13. P o stu lad o del p u n to y el plano.
15. P o stu lad o de la perpendicular.
17. P o stu lad o del p u n to y el plano.
19. 4.
Solución de problem as
p á g in a s
1. 3.
11. 8.
19. C.
74 y 75
3. 9. 5.
8. 7.
11. 9.
13. 40.
15. 155.
17.
21. B.
19.
80.
562
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
23.
D efinición de «entre», p ostulado de la
regla.
25. 28,3 5 .
27. B C = 14, C A = 42 ó 14. 29. 4 ó 24.
31. 96. 33. 20.
Solución de problem as A = 0.010, B = 0.540,
C = 0.249, D = 0.882, E = 1.1555.
p á g in a 77 C apitulo 2 R esum en
1.
2a.
2b.
3.
4a.
4d.
7a.
7b.
8a.
8b.
8c.
8d.
9.
10.
T rián g u lo equilátero; triángulo equilátero.,
U n a com eta o un ro m b o sin ángulos rectos.
U n rectángulo con lados adyacentes no
congruentes.
U n p o stu lad o es u n a proposición que se
acepta com o v erdadera sin necesidad de
d em ostrarla. U n teorem a es una
proposición que se puede dem ostrar.
Falso. 4b. V erdadero. 4c. Falso
Falso. 5. 16. 6. 30.
(Hip) no se intersecan (con) dos rectas son
paralelas.
(Hip) to d o s son cuad rad o s (con) todos
son rectángulos.
Si u n a figura tiene c u atro ángulos rectos,
entonces es un cuadrado.
Si u n a figura n o es un cu ad rad o , entonces
no tiene c u a tro ángulos rectos.
Si u n a figura no tiene c u atro ángulos
rectos, entonces, no es un cuadrado.
R ectángulo (a y b).
L as diagonales de la figura A B CD son
congruentes.
A É y £ d están en el m ism o plano.
p á g in a 79 R epaso d e á lg e b ra
1.
11.
21.
27.
33.
41.
A. 3. D. 5. C. 7.
26. 13. 1.15. - 3 2 .
x > - 1 8 . 23. x > 22.
- 9 ,9 . 29. 3 , - 5 . 31.
6 , - 7 . 35. 8 , - 8 . 37.
-1 2 .
F. 9. 32.
17.
12.
25.x > 20.
3 7 ,- 3 7 .
11.
39. 20.
CAPITULO 3
p á g in a s 86 a 89
1.
5.
9b.
11.
N o son congruentes. 3. C ongruente.
b^_ 7. _b. 9a. B C =? DE.
A B ^ EF. 9c. L C m L D .
L C 3 LD, L A s LO, L T s ¿G ,
C A s DO, A T s OG, C T 3 D G .
13. a, c. 15. A P R , B T J .
17. A A B C sé A A'B'C'.
19. A A B C s ¿\BAC, A A B C = A A C B ,
A A B C 3 A A B C , A Á B C ZáACAB,
AABC^CBA.
21. A A B D ^ A D C A , A B A E s A CDE.
23. A A E B s; A A D C , A D B C 3 A ECB.
Solución de problem as b, e; c, g; d, f
T riángulos congruentes: ADI , BCI; ADB, BCA;
A D H , BCJ; A F C, BDG; A H I , BJI; A E I , BEI.
p á g in a s 92 a 95
1.
9.
17.
19.
21.
23.
27.
31.
A L M N . 5. L D B C . 7.
L B D C . 11. L A L . 13. A L A . 15.
N o hay suficiente inform ación.
N o hay suficiente inform ación.
N o hay suficiente inform ación.
L L L. 25. N o congruente.
N o congruente.
A C 3 AC, A A C D ^ A ACB, LAL,
definición de triángulos congruentes.
33. A A B C ^ CDA, A LA.
35.
A A B E s A CBD, L AL .
37.
A D B A ^ A EBC, A L A .
Solución de problem as 8, 27, 64.
BD.
LLL.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
páginas 9 8 y 99
1.
5.
L A L . 3^ A L A .
BD £ D B , un segm ento es congruente
consigo m ism o; ALA.
7. L A L. 9. A L A . 11. ¿ B Sí A B; A L A .
Solución de problemas T odos m enos el m odelo
medio.
p á g in a s 102 y 103
1.
5.
7.
9.
11.
13.
A Z X M _ p A Y X M ^ 3. A Ñ s z B Ñ .
P V ^ Q V , S V L P Q , A P V S y A Q V S son
ángulos rectos.
O T^ST.
Definición de bisectriz del ángulo.
Definición de p u n to medio.
D efinición de bisectriz perpendicular.
Solución de problemas
563
15.
17.
A N = E N , definición de p u n to medio; A L A .
ES = N S , definición de bisectriz del
segmento; LAL.
19. A A B F = CBF, definición de bisectriz del
ángulo; A B = C B , definición de pentágono
regular; B F sr BF: L A L .
21. A M = C M , definición de p u n to medio;
MB.si M B , A A M B ,s A CMB, LLL;
definición de triángulos congruentes.
Solución de problemas N o hay solución única;
7. 8 y 9 son u n a solución.
p á g in a s 112 a 115
1.
3.
5.
7.
9.
AABD, AACD.
A EFG, A E I H , A E F H , A EI G.
AJNK, ALNK; AJNM , ALNM.
1. D ado. l . M O ^ MO; un segm ento es
congruente consigo mismo. 3. LLL.
4. L P M O = L N M O . 5. D efinición de
bisectriz del ángulo.
A C == AC ; A A C B = A A C D , A LA;
PCTCC..
11. L E ^ A B , A E ^ A B ^ E D ^ B C ;
p á g in a s 106 a 109
1.
5.
3.
4.
7.
L L L. 3. ALA.
2. D ado.
D efinición de rectas perpendiculares
CD = CD. 5. L A L.
2. A 3 £ Z.4. 3. D ado.
4. D efinición de bisectriz del ángulo.
5. U n segm ento es congruente consigo
m ism o. 6. A LA.
9. Í M s J CM; L A L .
11. N Q s N Q ; LLL.
13. A R A D 3? L E AH; A L A.
definición de polígono regular; definición de
isósceles: A A E D ~ A A B C, LAL;
A D ^ A C , PCTCC.
13. C.D s ED, definición de bisectriz del
segm ento; A BCD = A F E D , ALA ; P C T C C .
15. A P = B P y A N = B N , d a d o que los puntos
P y N en el plano de la red están a una
distancia igual de las líneas de la base;
P N £ PN; A A P N £ A B P N , LLL;
L P N A ^ L P N B , PCTCC; L P N A
y L P N B son suplem entos con m edidas
que sum an 180°; cad a un o tiene una
m edida de 90° ya que los ángulos son iguales;
L P N A y L P N B son ángulos rectos
y P M es perpendicular a_AB.
17. A A F E ^ A BCD, LA L; A E s BD, P C T C C ;
A A E B s A D B E , LLL; P C T C C _
19. A DFG ^ A CFG, L AL ; FD s_ F C , P C T C C ;
A A E F sé A A B F, L AL; E F A B F , P C T C C C ,
LLL.
564
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
S olución de problem as
3a.
3b.
3c.
3d.
4.
5.
6.
Z-/4BC y L A B D son ángulos rectos.
F E ^ GE.
LABD ^LC BD ;LAD B^LC D B.
T odos los ángulos y lados son congruentes.
AQPM SíLN P M ,LQ M P s íLNM P^
definición de bisectriz del ángulo; M P =
S M P, A M Q P s A M N P , ALA, PCTCC.
Z-D BA = L EBC, rectas perpendiculares
form an ángulos rectos congruentes;
A D B A s A E B C , LAL; P C T C C .
AZgAT s A P Y X , LAL; P C T C C .
página 125
páginas 1 18 y 119
I.
3.
A ABC, A CDA; A A B E, A CDE.
L l = * L 2 ; A C ^ D F , ¿ 3 _ S ¿ 4 i dado;
AE F D ^_A B C A , A L A ; EF s B C , PCTCC.
5. C B — BC; A ECB s A DBC, LAL; P CT CC .
7. A A C E s A B D F , ALA, P C T C C .
9. A Q P V g z A Q R T , L A L , P C T C C .
11. L A H G ^ L D H F ; A A H G ^ A D H F , A L A ;
PCTCC.
Solución de problem as >1-36, B-36, C-24, D- 8.
la .
3.
5.
7a.
7b.
7c.
7d.
8.
9.
página 121
A P U Q T l/S , .4L/1; Q Ü ^ S U , P C T C C .
QR = S R , definición de bisectriz del
segm ento; U R ^ U R ; LLL.
3. A GF E sí A D E F , L A L , GE s D F , P CT C C ;
A H G E s A C D F , LAL; P C T C C .
5. A A H B s A D H E , LAL; ¿ 4 s ¿ 3 , P CTC C;
A A C B 3 A D F E , A LA; P C TC C.
Solución de problem as 255; sea n = núm ero de
letras, 2" — 1.
Resumen g lo b al capítulos l a s
Falso. Ib. Falso, le . V erdadero
D eductivo. 4. Inductivo.
N o hay conclusión. 6. A B || CD.
Si dos rectas n o son perpendiculares,
entonces son paralelas.
Si dos rectas no son paralelas, entonces son
perpendiculares.
Si dos rectas son perpendiculares, entonces
n o son paralelas.
7a, b; m o strar rectas intersecantes que no
sean paralelas.
A C » A C; LLL.
L B A D £ ¿ C A D ; A B A D ^ A C A D , L AL;
PCTCC.
1.
página 1 2 3
1.
2a.
C apitulo 3
Resumen
/-B^¿-Q ,L_A^LR,LC _^¿P,
BA
Qi?, ¿ C 3 R P , BC ss Q P .
A L A . 2b. LL L. 2c. L A L . 2d.
LAL.
C A PITU LO 4
páginas 1 3 4 a 137
5.
Si d o s rectas se intersecan, entonces form an
dos pares de ángulos congruentes.
7. Si u n segm ento es la bisectriz de un ángulo
del vértice de un triángulo equilátero,
entonces el segm ento es la bisectriz
perpendicular de un lado.
9. Reflexiva.
11. Si u n trián g u lo es isósceles, entonces los
ángulos opuestos a los lados congruentes
son congruentes.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
13.
Si un trián g u lo es equilátero, entonces
to d o s los ángulos son congruentes.
15. P ro p ied ad transitiva.
17. A B = AC, transitiva; tres lados
congruentes.
19. B E = BD, A D = BB, A D = BD, B E = AD,
transitiva; sustitución.
21. D B £ BD, reflexiva; A L A .
23. L A O B ^ L B O Q L B O C £ LCOD,
transitiva.
25. A B £ C D, teorem a de la página 198;
¿ A & L D , A E £ D F , P C T C C ; LAL.
27. A A B C £ A DEF, A D E F £ A GHI, dado;
L A £ L D , L D £ LG ; L A £ L G , transitiva,
A B £ D E , D E £ GH; A B £ GH,
transitiva; com pletar el m odelo p a ra cuatro
pares más.
Solución de problem as
a. 45, 66. b. Sí.
565
27.
A A B E £ A D C E , LAL; L A E B £ DEC,
P C T C C ; m L E A F = m L E D G , resta
de_ángulos iguales; A A E F £ DEG, ALA;
F E £ GE, P C T C C .
Solución de problem as O bsérvese que se pueden
colocar 9 triángulos p a ra form ar un triángulo
con 6 sím bolos en el centro.
páginas 1 4 8 y 149
páginas 14 0 a 143
1.
5.
7.
9.
T ransitiva. 3. R esta de ángulos iguales.
T ransitiva.
R esta de segm entos iguales.
B E = A C , transitiva, resta de segm entos
iguales.
11. 2. P ro p ied ad reflexiva. 3. Sum a de
segm entos iguales.
13. 3. P ro p ied ad reflexiva. 4. Sum a de
segm entos iguales. 5. P ro p ied ad transitiva.
15a. 29.73 cm. 15b. 6.045 cm.
15c. Sum a y resta de segm entos iguales.
17. Sum a de ángulos iguales.
19. A A B E £ ADCE, _ALA; A B = DC,
P C T C C ; A C = D B, sum a de segm entos
iguales.
21. A B = BC; m L A B F = m L C B G , sum a de
ángulos iguales; A F B A £ A GBC, LAL;
LF_ £ L G , A F B D 3 A G BE, A LA; P C T C C .
23. A C £ CD; m L A C B = m L D C E , sum a de
ángulos iguales; A A C B £ A D C E , ALA ;
L E £ L B , E C £ BC, P C T C C ^ A L A .
25. A E £ D F , L A £ L D , A C £ D B , P C T C C ;
A C - B C = DB - CB; LAL.
1. L C O B . 3. ¿ l o bien ¿ 2 .
5. C om plem entos de ángulos congruentes.
7. L C O F , L E O D . 9. L H O A , L F O D .
11. C om plem entos del m ism o ángulo, L A O C .
13. C om plem entos del m ism o ángulo, L C O E .
15. 90 - x. 17. x + 4x = 180; 36, 144.
19. L B A D £ L BCD, suplem entos congruentes;
ALA.
21. B W = B X = YD = DZ; L W B X £ L Z D Y .
suplem entos congruentes; LAL.
23. L E B C £ L E D C , com plem entos
congruentes; L B E C £ ¿ D E C , suplem entos
congruentes; A LA .
25. Em pléese el d iagram a de la página 217 con
L D £ L C , L A es com plem entario de L C ,
L B es com plem entario de LD;
m L A + m L C = 90, m L B + m L D = 90;
m L A + m L C = m L B + m L D , sustitución;
m L A = m L B , resta; L A £ L B .
Solución de problem as x = 1.618; y = 0.618;
566
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
páginas 152 y 153
1.
3.
5.
13.
L COE, L B OF ; L BOC, L FOE.
Ejem plo : L A O C , L F O D .
145. 7. 145. 9. 40. 11. 50.
CO = DO, L C O A £ L D O B , ángulos
verticales; A LA .
15. L A E B £ L DEC, A A E B s AZ)£C, L/4 L.
17. L A E B s ¿ DEC; A X £ B £ AZ>£C, L-4L;
L A ^ L D , A B ^ D C , PCTCC;
A E + E C = D E + EB; LAL.
19. L 1 s L 2, L 1 y L 2 son suplem entarios,
dado; m L l + m L 2 = 180; 2 m L 1 = 180,
___
sustitución, sum a; m L 1 = 90:__
Solución de problem as D ibújese A M y DM.
definición de ángulo recto, sustitución;
ni L Z ni L Y son ángulos obtusos
(Ejercicio 16); en A X Y Z , sea L 2 un ángulo
obtuso, dado; 90 > m L Z , 90 > m L Y
(Ejercicio 17); ni L Z ni L Y son ángulos rectos.
Solución de
problem as Si el
trián g u lo n o es isósceles,
el p u n to m edio de B C y
el pie de la perpendicular
son dos puntos distintos.
páginas 1 6 0 a 163
A B = 2a; m í - A M D = 90; A M = D M — a^ /s .
1.
páginas 15 6 y 157
3.
1.
3.
5.
7.
11.
13.
15.
17.
Seis; ángulos I C B , F C A , CAD, H A B , ABG,
EBC.
¿ACB, ¿ABC.
N o , n o form a p a r lineal con L C A B .
A ngulo vertical. 9. A ngulo exterior.
m ¿ 3 > m / - \ ; m ¿ - \ > m/L4, ángulo
exterior, transitiva.
m L A B D > m LBD C ;m /-BD C = mLEDF.
m L R C B > m L B ; m L R C B > 90.
E n A X Y Z , L 2 es u n áng u lo obtuso,
5.
7.
9.
11.
13.
15.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
19.
dado; m L 2 > 90,
definición de ángu lo obtuso;
m L 1 + m L 2 = 180; 90 > m L 1;
m L 1 > m L Z , m L \ > m L y, teorem a
del áng u lo exterior; 90 > m L Z ,
90 > m L Y, transitiva.
U sese el d iag ram a del ejercicio 17; en
A X Y Z , sea ¿ 2 u n ángulo recto, dado;
m L 1 > m L Z , m L l > m L Y, teorem a del
ángulo exterior; L 1 es u n áng u lo recto,
resta; 90 > m L Z , 90 > m L Y,
31.
t J. m; los ángulos form ados n o son
ángulos rectos.
Los lados adyacentes son paralelos. Los
lados adyacentes no se intersecan.
A B ^ CD; A B * CD.
L A n o es un ángulo agudo. m L A ^ 90.
A A B C no es u n trián g u lo isósceles.
AB / BC
AC.
N o es una contradicción.
F o rm a u n a contradicción.
F o rm a u n a contradicción. 17. c.
m L A + m L B i= 90 (Ejercicios 19 a 27, las
respuestas pueden variar).
AABCgeAXYZ.
m L A # 117.
A B + E F = CD + EF.
m L \ + r r i L 2 ¿ 180.
1. Suposición de la p ru e b a indirecta.
2. D ado. 4. P ro p ied ad reflexiva.
5. P o stu lad o LA L . 6. A B ^ A C ,
P C T C C . 1. A B
A C , dado.
8. BD £ DC, lógica de la dem ostración
indirecta.
U n ab o g ad o descubre que un cliente suyo,
acusado de un delito en Ponce, estaba en la
ciudad de S an Ju a n cuando se com etió el
delito. El a b o g ad o hace la siguiente
proposición: Si m i cliente estaba en San
Ju a n , entonces no com etió el delito. El
a b o g ad o usa este razonam iento: Supóngase
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
q u e m i cliente com etió el delito. El delito se
com etió en Ponce. M i cliente e stab a e n San
Juan . N o p u d o h a b e r estad o en P once y en
San Ju a n al m ism o tiem po. P o r ta n to , mi
cliente n o com etió el delito.
1.
2.
3.
1
.
2.
3.
4.
5.
Supóngase que
L A y L B son
ángulos
verticales.
LA^LB.
LA
LB.
(contradicción).
4. L A y L B
n o son ángulos
verticales.
Supóngase que
B C = QR.
A A B C 2 A PQR.
LAgsLP.
L A ^L P
(contradicción)
BC
QR.
1.
2.
3.
4.
1
.
2.
3.
4.
5.
Suposición de
la dem ostración
indirecta.
Definición de
ángulos
verticales.
D ado.
Lógica d e la
dem ostración
indirecta.
Suposición
de la
dem ostración
indirecta.
LLL.
PCTCC.
D ado.
Lógica de la
dem ostración
indirecta.
9a.
A B \ \ C D . 9b. L A y L B n o son
suplem entarios.
página 167
1.
1296.
Técnicas d e solución d e problem as
2.
35.
la .
4a.
4c.
6.
7.
8.
Resumen
V erdadero. Ib. Falso, le . V erdadero.
x = 22.5°, 3x = 67.5°. 4b. 56.
100,80. 5. 45.
L B C A = L D C E ; em pléese A L A .
Em pléese la sum a de ángulos iguales.
A A B C =* A A E D , A L A ; L 3 s LA, P C T C C ,
em pléense los suplem entos de ángulos
congruentes.
45.
páginas 172 y 173
1.
3.
E jem plo E H , M , CG, M .
E F G H y AB CD , B C G F y A D H E , A B F E y
DCGH.
5. L 2 y L l , L 1 y L 8.
7. A B G y D J I L A G L y CDJ, A B C y J KL .
9.
y EF; AÉ.
11. ¿ 1 4 y ¿ 1 7 , ¿ 1 4 y ¿ l l .
Solución de problemas
£3
páginas 1 7 6 a 1 7 9
C apitulo 4
3.
CAPITULO 5
Solución de problem as Si se supone que A na
está diciendo la verdad, puede llegarse a una
contradicción. Si se su p o n e que Isa o Ive dicen
la verdad, tam bién se llega a una contradicción.
Si se supone que L eo está diciendo la verdad, no
se llega a u n a contradicción. P o r tan to , A na es
la culpable.
p ág in a 1 6 5
567
,
la . a y c, 5.1. Ib. a y b, 5.2.
le . b y c, 5.4. Id. a y c, 5.2.
le . b y c, 5.1. lf. a y b, 5.3.
3. T eorem as 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4.
5. L 2 y ¿ 3 .
7. ¿ 8 y (LA y L5); L l y ( L 5 y L6).
9. LL L; L 3 s L 2 , P C T C C ; teorem a 5.2.
11. A F + F C = D C + CF; A A B C s A DEF,
LL L; L A C B s L D F E ; teorem a 5.2.
568
13.
15.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
Em pléese el teorem a 5.4.
L 2 es suplem entario de Z.3, d ad o ; L 2 es
suplem entario de L 1, p a r lineal; L 1 £ L 3,
suplem entos congruentes;
t || m, teorem a 5.1.
17.
% m L A B C = % m¿ B C D , ¿ 2 s ¿ 3 ;
teorem a 5.2.
19. ( m L 2 + m ¿ 3 ) + m A l = 180; mZ.1 = m A 5 ;
m¿11 = m ¿ 4 ; teorem a 5.1.
21. D ibújense D M y C M . P r uébese que
A A M D £ A B M C , LAL; D M £ CM,
L D M A £ L C M B , PCTCC;
L D M P = L C MP; A D M P £ A C M P , L A L ;
L D P M = L C P M . Em pléese el teorem a 5.4.
23. L a p lo m ad a es paralela a las puertas,
ventanas y esquinas de las paredes.
Solución de problem as
OBI
páginas 182 y 183
3a.
3c.
5.
7.
9.
V erdadero. 3b. V erdadero.
V erdadero. 3d. V erdadero.
N o paralelas.
q || p, teo rem a 5.4, q || r, teo rem a 5.4;
teo rem a 5.5.
Usese el teorem a 5.1 o el 5.2.
11. A B 1 BG. H G 1 BG; BA |l H G ; F.F || H G ;
úsese el teo rem a 5.5.
Solución de problem as Sea E la intersección de
A B y CD; A E = BE, C E = DE;
L A E C £ L B E D ; A A E C £ A BED, LAL;
L E D B £ L E C A , P C T C C ; ángulos alternos
interiores.
páginas 1 8 6 a 189
1. 125. 3. 125.
5. 55. 7. 125.
9. ' 37. 11. 37.
13. 110.15. 28.
17. 70. 19. 70.
21. 42.
23. m L A B C = m L C D A = 110; m L D A B = 70.
25. m L l = m L 5 = 78; m L 2 = 102.
27. t || m; L 1 = L 3, teorem a 5.8;
L 2 es suplem entario de ¿ 3 ,
p a r lineal;
L 2 es suplem entario de Z_ 1;
sustitución.
29. U n ángulo in terio r form ado p o r r y t es
90°, teorem a 5.6; definición de
perpendicular.
31.
1 = m L 11, m L 11 = m L 7 ,
m L \ = m L l , transitiva; m L 2 = mZ.4,
m ¿ 4 = m/L9, m L 2 = m L 9 , transitiva.
33. L 9 es suplem entario de L 6 , teorem a 5.9;
L \ £ L 6, suplem entos de ángulos
congruentes; úsese el teorem a 5.2.
35. ¿ 8 s L D E F , A A B C £ A D E F , ALA.
37. L 4 £ L 2, teorem a 5.8; m L l + m L 2 = 180,
teorem a 5.9; m L 1 + m L 4 = 180,
sustitución.
39. L B es suplem ento de L A, L D es
suplem ento de Z./1, teorem a 5.9; suplem ento
de ángulos congruentes.
41. L os bordes del papel
tapiz deben ser paralelos
___ _______
de tal m anera que
L A ^ L C ; dad o que el
7
B?
piso es paralelo al techo,
IA
/c
L B = L C . P o r tanto,
LA
sé LB.
Solución de problem as
1. D a d o que A B sufre la m ism a inclinación al
e n tra r que al salir, se form a un p a r de ángulos
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
correspondientes congruentes al hacer que
X É || C$.
2.
Usese el teorem a 5.5.
p ág in a 191
la .
Ib.
le .
2a.
2c.
3b.
4.
7.
8.
21.
Resumen
¿ 3 y ¿6 , ¿ 4 y ¿5.
L l y L l , L l y ¿8.
L 2 y L 6 , L l y L5, ¿ 3 y ¿ 7 , ¿ 4 y ¿ 8 .
V erdadero. 2b. Falso.
V erdadero ^ 3a. A B E y DCF.
S £ y FD, A D y P d .
N o. 5. 55. 6. 78.
¿ 8 3 ¿ 1 1 , teorem a 5.6. ¿ 1 0 y ¿ 1 1 son
suplem entarios. Usese el teorem a 5.4.
S á || 5 ? , teorem a 5.1. Usese el teorem a 5.8.
página 19 3
1.
9.
15.
C a p ítu lo s
Repaso d e álgebra
4. 3. - f 5. - 8 . 7. 2.
$ 11. x < 5. 13. x < ^
x > 36. 17. —5 < x < 5. 19.
4^3.
23.
3 n//3.
25.
¿ 27.
2 ^/2 .
—
4
29.
35.
(- 1 0 ,3 4 ) .
(7,14). 37.
31. (4,2). 33. ( 1 4 ,- 4 ) .
3 ,9 .
CAPITULO 6
páginas 200 y 201
la .
le.
3a.
3d.
9.
11.
13.
15.
17.
Escaleno. Ib. E quilátero,
Isósceles. Id. Escaleno.
L N . 3b.
M N , P Ñ . 3c. M P .
M N ,P N .
U n trián g u lo equilátero debe ser un
trián g u lo acu tá n g u lo ._
A X Y Z ¿ a ltu ra s XZ_, YZ,\ Z P ^ A Z P Y, Z P ^ _
PQ, Y P ; A P Q Y , PQ, Q W , Y W ; A X P Z , X P ,
Z P ; A P Q Z , PQ, ZQ.
A H A B , A CBA.
T riángulos equiláteros A B C, D EF ;
triángulos escalenos DEA, FDC, EFB.
CD L A B , A E ± B C ; L C D B S í L A E B ;
569
L B ^ L B ; A B - A D = C B - CE,
D B = E B ; A B A E 3 A BCD, A L A .
Solución de problem as 16 triángulos com o
A M O N ; tam bién los triángulos A J C, B K D ,
CLE, F M H , G N I , J O L, A M D , B N E , FO¡, J L C ,
AOE.
páginas 2 0 4 a 207
1. L B = L E ; L A C D = L A D C .
3. ¿ M N L , L M L N ; L K N L , L K L N .
5. A A EB , A DEC, A D E A , A C E B .
1. 50. 9. 31.
11. 14. 13. 30.
15. m L X = m L Z = 72; m L Y = 36.
17. m L A B C — m L 3 = m L A C B — m ¿ 4 .
19. L A C D 3 L A D C ; L A C B ^ L A D E ,
suplem entos de ángulos congruentes;
A A C B 3 A ADE, L AL ; A B 3 AE.
21. L A B C ^ _ L A C B ; m L E B C = m L D C B ;
B C 3 CB; A D B C 3 A L A .
_
23. L A B C s * L A C B ; m L 3 = m L A ; D C zéDB.
25. L D y L A B D son suplem entarios de ¿ ABC;
L D 3 L A B D ; AD 3 AB.
27. A A B C 3 ABA E, LAL; L C A B 3 ¿ EBA,
PCTCC.
29. E n el triángulo equilátero A B C, L A 3 ¿ C ,
L B 3 ¿ C , teorem a 6 . 1 ; ¿ ^ s ¿ B í ¿ C ;
transitiva.
31. A A B C es isósceles con AB 3 AC; sea el
p u n to £) la intersección de B C y la bisectriz
de L A U B A D j í L C A D ; A B A D 3 A CAD,
LA L; BD 3 CD, L A D B 3 L A D C , C P CT C;
L A D B y L A D C son ángulos rectos,
A D 1 BC.
_
33. A A B C es isósceles con A B 3 A C , BD
biseca a L A B C , C E biseca a L A C B , dado;
L A B C 3 L A C B , ángulos de la base;
m L D B C = m L E C B , m itades de iguales;
A D B C |_ A .ECB, A LA; E C 2 DB, P C T C C .
35. X B 3 Y C ; L B X W = L C Y Z ;
L A B C Zé L A C B ; A X B W = A Y C Z ^ L A .
37. m L E A P = m L D B P , resta; A P 3 BP;
L E P A S í L D P B ; A E P A 3 A DPB, A LA ;
E P 3 DP.
Solución de problem as 29, 16.
570
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
páginas 2 10 y 211
1.
9.
13.
15.
17.
19.
21.
páginas 2 1 4 y 215
54. 3. 110. 5. 55. 7. 60.
110. 11. 5 5 ,4 0 ,8 5 .
180 - 9 0 = 90; ^ = 45.
E n el trián g u lo isósceles X Y Z ,
m L X + m L Y + m L Z = 180;
2 m L X + m L Z = 180;
m L X + ± m Z .Z = 90; m L X < 90;
empléese la definición de ángulo agudo.
En el trián g u lo rectángulo A B C con ángulo
recto B, m L A + m / - B + m L C = 180;
m L B = 90; m / - A + m L C = 90, resta; úsese
la definición de ángulos com plem entarios.
L D C E s L E C B ; L A = L B ; úsese el
teo rem a 6.6\_LECB £ L B .
D ibújese A C . m L \ + m L D A C — m L B +
+ mLACB. m L 2 = m L D A C + mLDCA.
Sum ar.
1.
7.
9.
11.
H A . 3. A L A . 4 _ H A^ _
L C D A £ LC D B; A C
B C ; HA.
AAL.
B E + E C = F C + C E ; AAL.
13.
15.
17.
Usese el teorem a A AL .
A E A B £ A B C A, LA L; L A E B £ L B C A ,
P C T C C ; L E F A £ L C F B ; A AL.
T riángulo isósceles 4 B C con
L A ^ L B , FD 1 A C , F E 1 BC,
m L A D F = m L B E F — 90,
definiciones de rectas
perpendiculares
y de ángulos rectos;
___ £
A
1. mZ-2 + mZ.3 + m ¿L4=180.
2. m L l + m Z .4 = 180.
3. mZ_2 + w ¿ 3 +
+ (18° —m Z -l)= 180.
4. m L 2 + m L 3 —m L l .
1. T eo rem a 6.4.
2. P a r lineal;
def. de
suplem entos.
3. Sustitución.
4. Algebra.
páginas 2 1 8 y 219
1.
7.
Solución de problem as
9.
13.
—i—
i
•+ - I
_i_
15.
-“ 1
F
m LA + mLADF + m L l = m LB +
+ m L B E F + m L 2 , teorem a 6.4, transitiva;
m L 1 - m L 2, resta.
Solución de problem as 4.
HC. 3. H A . 5. A L A .
N o congruentes; hágase PQ = 2ST,
P R = 2S U, Q R = 2 T U .
L LL . 11. 35.
A E C B £ A DBC, HA; L D B C £ L E C B ,
PCTCC.
A E F B £ A D F C (Ejercicio 14); E F £ DF;
L D E F £ L F D E ; L D E A £ L E D A , sum as de
ángulos.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
Si P n o está sobre A B , entonces
construyase la p erpendicular de P a ÁB;
A C P £ A B C P J Í C ; A C £ B C, P C T C C . (Si
P está sobre A B , entonces P es el punto
m edio.) Si P está so b re la bisectriz
perpendicular, entonces A A C P £ A B C P
p o r L A L , P A 2í P B , P C T C C .
Solución de problem as A, sí; B, no; C, sí; D , no.
571
13.
21.
10. 15. 2y/2.
Sí. 23. No.
25.
27.
31.
y / 4 2 4 = 2 ^ 1 0 6 = 20.6.
4v /<2 pies.
Area del cu a d ra d o 1 = á rea del cuad rad o 2;
4(l/2ab) + c2 = 4(l/2a&) + a 2 + b2;
c2 = a 2 + b 2.
33.
' / ‘40° A l i n e a ,
17.
^5.
19.
Si.
0.5
página 221
C apítulo 6
Resumen
la .
le.
2.
4.
Falso. Ib. V erdadero,
Falso. Id. Falso.
70. 3. 80.
mACAB -m ¿ D /IB = m¿CBA — m L DBA.
5. A B ^ BA; A A D B ^ B C A , A A L .
6. A A C D £ A ABD, HA.
7. A C Y A £ A A X C ^ H C ; L Y C A £ L X A C ,
P C T C C ; B C £ BA.
8a. U n ángulo exterior iguala la sum a de dos
ángulos interiores no contiguos.
8b. 45__
9. K M £ K N ; L K M N £ K N M ;
L K M G £ L K N H , suplem entos de ángulos
congruentes;
A K G M ^ _ A K H N , ALA;
KG £ K H .
35. 26.96 metros.
Solución de problem as
la . 4. Ib . 3. le . 1. Id. 2.
2a. „ /5 2 Í . 2b. 23 = ^/5292c.
^545.
2d.
v /565.
páginas 2 3 4 y 235
2 ,2 ^ 2 .
3.
5 ,5 .
7. 2 ^ 3 , 2 .
1.
9.
8 ^ /7 , % J l \ .
15.
5.
2 ,^ 3 .
1.
4.
5.
Técnicas d e solución d e problem as
37. 2. 28. 3. Ts = 15, T6 = 21,
Tl0 = 55.
P 5 = 35, P6 = 51, P 10 = 145.
H 3 = 18, H 4 = 34, H l0 = 235.
^ 5 .
3 ^ 3 m.
17.
En el triángulo 30-60-90, el lado opuesto al
ángulo de 30° es - ; el lad o opuesto al
ángulo de 60° es v 73 veces la longitud del
páginas 22 8 a 231
C orrecto.
5. 9. 8.
•
i9 . i é .
3
Solución de problemas
1. A B 2 + 12 = 2 2, A B = ^ 3 .
2. A D 2 + B D 2 = A B 2; AD = J l .
3. N o.
páginas 2 4 0 a 243
CAPITULO 7
1.
7.
38, 19^/3.
13.
cateto m ás corto o bien —
p ág in a 22 3
11.
3. Incorrecto.
11. y í 9 .
5.
C orrecto.
1.
13.
13.
19.
B X , B Y , BZ. 3. 3. 5. 4.
A lgunas veces.
Algunas veces. 17. A lgunas veces.
O b tu so , fuera; recto, sobre; o agudo,
dentro.
572
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
23.
A D = DC, definición de m ediana y de
pu n to m edio; B A = BC, definición de
isósceles; L A s L C \ A A B D
A CBD,
L A L ; L A B D £ L C B D , P C T C C ; BD
es la bisectriz del ángulo.
En el trián g u lo equilátero AX Y Z , M es el
p u n to m edio de X Z ; A X Y M = A Z Y M ,
L L L ; L X M Y y L Z M Y son congruentes y
suplem entarios, p o r ta n to , ángulos rectos;
Y M es una altu ra.
__
_
A N C B £_A M B C , A LA; M B £ C N ,
M C £ N B , PCTCC; A M C N ^ A NBM ,
LAL; L N M C £ M N B , O M £ ON.
25.
27.
29.
11. Escoger C fuera de A B; A C + C B > ,48.
13. A D + A B > BD y CD + B C > BD. Sum ar.
15. H está en la intersección de las diagonales.
D H + H B = 4. Fórm ese un triángulo
rectángulo con A C com o hipotenusa.
2 2 + (4 + 2 ^ 3 ) 2 = A C 2; A C = 7.7; DB = 4;
m ínim o = 11.7.
Solución de problem as E ncuéntrese la longitud
de la perpendicular que va de la p arte superior
de la figura al p u n to O (diagram a izquierdo),
yj2 ;
encuéntrese AO. ( \ A B ) 2 + %/ 2 2 = A O 2;
AO =
/Í7
dad o que la longitud del cordón es
3^2
el doble de AO, longitud = y / 17.
31.
E n el triángulo
equ ilátero ABC, AD,
B E y C F son
m edianas; A F = BF,
definiciones de m ediana
y de p u n to medio;
A A F C £ A BFC, LLL;
L A F C y L B F C son
congruentes y suplem entarios, y p o r
ta n to ángulos rectos; A A F X s A B F X ,
LA L; d a d o que A A C F £ A B C F ,
L X C E = L X C D ; C E = CD, m itades de
iguales; A E C X £ A P C X , LAL; repítase
el m odelo p a ra AD y BE.
33. T riángulo isósceles ABC,
A C = B C con altu ras
B E y AD;
L C E B £ LCDA,
definiciones de altura
y ángulo recto;
A C £ B j= A C D A ,
A AL; B E £ AD, P C T C C .
Solución de problem as
1. A'B = 5 = PR ; úsase A A L.
2. En A P fiR , y2 = R Q 2 + 52; y + RQ = x;
sustituir.
páginas 2 5 0 y 251
1. A B , A C . 3. G H , GI.
5. A C < B C < AB.
7. B C < A C < AB.
9. m L C < m L B < m L A .
11. CD < B C < BD < A B (AD = AB).
13. E n A ABD, BD < AB; CD = BD; sustituir.
15. Usese el ejercicio 14.
17a. Posible, no.
17b. Posible, no. 17c. Posible, sí.
17d. N o es posible. 17e. N o es posible.
Solución de problemas
= sñr - J l ;
372
Sí. 3. N o. 5. Sí. 7. Sí.
M ay o r que 2 y m enor que 16.
y?
2
página 2 5 3
la .
le .
2.
4.
páginas 24 6 y 247
1.
9.
-
6.
= 1.3 m.
C apítulo 7
Falso. Ib.
V erdadero.
Resumen
Verdadero,
Id. V erdadero.
CD. 3. 2x//2.
E n el triángulo 30°-60°-90° A A B E , A E es
el ángulo opuesto de 60°. A E = ^ 3 ; A C
= 2^/3.
Fórm ese un triángulo. C onstrúyanse dos
bisectrices perpendiculares cualesquiera.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
7.
9.
16. 8. 1Z_
D ibújese ATZ. En A X YZ,
m L Y X Z > m ¿ Y Z X . En A X W Z
m ¿ Z X W > m L X Z W . Sum ar.
31.
CD || B A ; L CDB 3 L ABD; ángulos
verticales; A B E G 3 A D E F A L A
FJÍ=íG_E.
’
33. D C 3 B A , L D 3 L B , A D 3 CB;
A D - A E = C B ~ CF; A D E C 3 A B F A
LAL, PCTCC.
35. P aralelogram o A B C D con ángulo recto A
dado; m L A = m L C = 9 0 , ángulos
opuestos; L D es suplem ento de L A
m / D = 90; m L D = m L B = 90, úsese la
definición de rectángulo.
p a g in a 255 R esum en global, c a p ítu lo s 4 a 7
Ejem plo D F . Ib. Ejem plo FE.
le. Ejem plo A B E H . Id. H B .
le. D GHA . 2a. 75. 2b. 113^,664
2c. 1 2 3 i 5 6 |
3
3
3. A B 3 A £ ; úsese A LA .
4. B C + CD = ED + D C \ L 5 3 ¿ 6 :
úsese LAL.
10a. 8&_ 10b. _ 7 5 .__10c. 163.
11. CD, BC, BD, A D , AB.
1-
CAPITULO 8
Páginas 262 y 263
1- DC. 3. DC, AB.
5. V erdadero. 7. Falso.
9. V erdadero. 11 . V erdadero.
19. Rom bo. 21. 5.4 cm, 10.6 cm.
23. c.
Solución de problem as
A B G l . D E G J H C 1 DH EGB , B J D H , J I E F , HFGG, CEDA, A J GC . ’
Páginas 266 a 269
1.
^A ,L D ;L D ,L C ;L C ,L B ;L B ,L A
132. 7. 90. 9. 132. 11. 4 cm.
122. 15. 58.
17.
Si los lados opuestos de un cu ad rilátero no
son congruentes, entonces el cuadrilátero
n o es un paralelogram o.
R o m bo o trapecio con 3 lados congruentes.
N o es un paralelogram o, co n trap o sitiv a del
teorem a 8.1.
N o es un paralelo g ram o , co n trap o sitiv a del
teorem a 8.1.
17°, 163°. 27. 17. 29. 85.
19.
21.
23.
25.
3?‘ H A ~ á C\ F ¿ te ° rem ^ 5:8; 1 5 =
úsese
ir
11
’ usese el eJercicio 35.
39. Usese la definición de paralelogram o v el
teorem a 5.9.
41. 9 a 431_ 4 0 1_
^ A B ~ KJ; tr ^2S'tiva.
B C 3 P g , teorem a 8.2; B C 3 &./,
definición de polígono regular;
KJ 3
3 P S , teorem a 8.2; PO es p e
sustitución.
""
’
Solución de problem as
47.
1.
2.
La sección transversal corta p o r lo m enos un
p a r de planos paralelos.
C ualquier co njunto de cinco caras del cubo
debe contener dos pares de aristas paralelas.
Páginas 272 a 275
1.
9.
13.
AB,DC:AD,BC.
3.
5.
13.
573
15.
17.
19.
21.
Sí- 3. Sí. 5. No.
60°. 11. 811 ,8 .
7.
14 mm.
X , X 2 e Y1Y2 son congruentes y paralelas.
x i x 2 Y2Y, es un paralelogram o.
X iYiV C zl»
__
A D || B C , EF_|| BQ_AD || FE; A D 3 BC,
F E = BC, A D 3 F £ ; úsese el teorem a 8.5
A H A E 3_A FCG, A D H G = A B F E , L A L
H E 3 FG, H G 3 FE, P C T C C ; úsese e l’
teo rem a 8.4.
\ D C = %AB; D F || AE; úsese el teorem a 8 5
A E = EC, D E = EB,
dado; A A E B 3 A CED,
A D £ 4 3 ABEC,LAL,
A B 3 CD, A D ^ C B ,
P C T C C , úsese el
teorem a 8.4.
574
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
23.
A E G D y A B F H son paralelogram os,
teorem a 8.5; GE || D A , H F || AB; úsese la
definición de paralelogram o.
25. A A E D £ A C D E , LAL; L CED £ Z A D E ;
A A E D y A C D E son isósceles;
m L E A D = 36, sum a de trián g u lo de 180;
m A E F D = 108, sum a de trián g u lo de 180;
m A B A F = m A B C F = 72; A B C F es_un
paralelogram o, teorem a 8.6; A B £ BC.
27. D ibújese FB; A E B F £ A CBF, HC;
E F = FC; L B D C £ Z D BC, ángulos
base; ¿ D F E £ ¿ DBC, 180 - m A E F C ;
¿ B D C j= LDFE.
29. A C || BD, ángulos correspondientes; úsese el
teorem a 8.5.
Solución de problem as a, b, c, d. e
:
\
2 = r -
páglnas 27 8 a 281
1.
11.
17.
23.
25.
27.
29.
31.
4. 3. 10. 5. 34. 7. 5. 9. 7.5.
8, 16. 13. 20. 15. & = 7.
a = 31.5. 19. 5, 1 0 _ 2 h _ No.
Usese teorem a 8.7, FD || A E , DEJ _AF.
ABDE_es paralelogram o; A E ^ BD,
A E || BD; obténgase Y X = Z W , Y X || Z W .
W Z Y X es u n p aralelogram o, teorem a 8.8;
las diagonales de un p aralelogram o se
biseca n en tre sí.
W Z || A B , X Y || A B , teorem a 8.7.
W G = GY, X G - GZ, diagonales de
paralelogram o; úsese la propiedad
transitiva.
33.
Y X = j D B 1 Z W = ^D B , Y X = ZW;
Y X || DB, Z W || DB, Y X || Z W ; úsese el
teorem a 8.5.
35. E n A A O B , A' y B' son puntos m edios de
los lados, en A DOC, D' y C' tam bién son
p u n to s medios; úsense los teorem as 8.7
y 8.5.
Solución de problemas
1. Pruébese que jo s triángulos rectángulos son
congruentes con A B , BC, CD y A D com o partes
correspondientes.
2.
I 2 + (i)2 = longitud2; longitud = v í*
2 ‘
3.
páginas 2 8 4 a 287
1.
3.
5.
13.
19.
23.
27.
29.
31.
33.
35a.
37.
A D £ BC, D C £ A B , D B £ AC,
DE £
AE_ £ EC, D E £ EC,
D E £ A E , A E £ EB, C E £ BE.
LD E A,¿D EC ,¿C EB,¿BEA.
N o. 7. Si. 9. N o. 11. Si.
N o. 15. Falso. 17. Verdadero.
Falso. 21. Rectángulo.
N o es posible. 25. C uadrado.
4x + 10 = 90; x = 20; 116.
D B = AC, B E = ,4C; D B = BE, transitiva.
Pruébese que cu atro triángulos son
congruentes con EF, F G , G H y H E p o r
PCTCC; m ¿ D H G + m A G H E + m L A H E
= 180; A D H G s L A E H , P C T C C ;
A A E H y ¿ A H E son com plem entarios,
A D H G y L A H E son com plem entarios,
sustitución; L G H E es un ángulo recto.
Z V = X V , W V = Y V : Z X ± W Y ; úsese
LAL.
Si las diagonales son congruentes, entonces
la figura es un rectángulo.
D ibújese GFEH; A D G H
A D G //_ £ A CF G £ A B E F £ A A H E , L A L
GF £ F E £ E H ^ H G
teorem a 8.10.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
39.
1. Si c a d a diagonal
biseca a un p a r de
ángulos opuestos,
entonces un
paralelo g ram o es un
rom bo;
L D A B s L D C B , L D C A s L D A C , dado,
m itades de ángulos iguales; A D £ D C ;
dad o que los lados opuestos tam bién son
congruentes, entonces todos los lados son
congruentes. 2. Si u n p aralelo g ram o es un
ro m b o , entonces c a d a diagonal biseca a un
p a r de ángulos opuestos; A D C E s A BCE,
HC; L D C E » ¿ B C E , P C T C C ; obténgase
L D A E £ LB AE.
Solución de problem as
1.
2.
4
2
3.
12.
páginas 290 y 291
1. 33.5. 3. 36. 5. 17.15.
7. 21. 9. 18.
11. L D A P s L P A B, bisectriz del ángulo;
i'-DPA £ L P A B , ángulos altern o s internos.
13. Trácense las perpendiculares de D a A É
que se intersecan en £ y de C a A É que se
intersecan en F; A D E A £ A CFB, HC;
L-DAB s / - C B A , sup. congruente;
A D A B as A C B A J . A L .
15. D ibújese D E || C B con_E so b re AB_; D E B C
es un paralelogram o; D E s CB; D E £ DA;
L A s L D E A ; L D E A L B , ángulos
correspondientes; L A =? L B , transitiva.
Solución de problem as
3.
575
x
T rácese la figura con form a de Y en el centroide
del triángulo de m anera que (1) A G = B G = CG,
(2) m L A G B = m L B G C = m L A G C = 120,
(3) /fG no está sobre u n a altura. C om plétese la
figura dibujando A X , B Y y C Z . X A G C Z ,
Y B G A X y Z C G B Y son pentágonos congruentes.
páginas 2 9 4 y 295
1. 8. 3. x — 2. 5. 1800°. 7. 6120°
9. ( p - 2)180°. 11. 13. 13. 12.
15. 21. 17. 140°. 19. 156°.
21. 176.4°. 23. 45°, 30°. 25. 5.10.
27. 60° + 1 2 8 f + 1 7 l f = 360°.
29. T rácense X A e YB con
intersección en T;
AX Y
A Y XA,
LAL; X A = YB,
PCTCC;
A X A B s AYBA,
LLL;
LXAB ^LYBA^_
P C T C C ; T B s TA,
lados opuestos
de ángulos
congruentes; T X
T Y,
resta; A B T A y A X T Y
son isósceles; L T X Y z L T Y X ,
L T B A ^ L TAB, ángulos base;
L X T Y s L A T B , ángulos verticales;
L T X Y ^ L T A B , sum a de ángulos
del triángulo, resta; X Y \ \ BA; L X B A es
suplem ento de L B X Y , teorem a 5.9;
m L B X Y = 135, octágono regular:
m L X B A = 45; m L E B C = 45
(m ism o m odelo que el anterior);
m L A B C = 135 - 2(45) = 45.
Solución de problem as 1. 56. 2. 50.
576
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
página 297
la .
Id.
3.
4.
Capftulo 8
Resumen
Falso. Ib . Falso, le. V erdadero.
Falso. 2. 40.
DA s CB; E F £ CB; DA || CB; E F || C B ;
úsese el teorem a 8.5.
m L 3 = m L l = 60; L 4 £ L A D E ;
(180 - 60)
m L 4 = -------------= 60; L A s L B .
páginas 3 1 0 y 311
la . V erdadero. Ib. Verdadero.
le . V erdadero. Id. Falso, le. V erdadero.
lf. Falso. 3. 2§. 5. 2.4. 7. 10.
9. T eorem a 9.6. 11. 6 ,2 4 . 13. 42 cm.
15. 7 i 10f,
Solución de problem as iy ,
2
5.
6.
7.
L 3 = L l , ángulos correspondientes;
L 4 £ L 3 , transitiva.
E F G H es un p aralelogram o p o r el teorem a
8.7; m L E H G = 100; m L E F G = 100.
20. 8. 150. 9. 100°. 10. 6.5.
página 299
1.
11.
17.
23.
31.
Repaso d e álg eb ra
4. 3. 7. 5. 12.
7. 9. 9.
±3.
( 0 ,- 5 ) . 13. ( - | , 2 ) .
15. ( - 3 ,3 ) .
(!>!). 18. 81. 21. 7.
- 2 . 25. - 2 , 5 .
27. 5. 29. 4 , - 3 .
36°, 54°, 90°.
páginas 3 1 4 y 315
1.
5.
7.
9.
n.
13.
15.
CAPITULO 9
AD
páginas 30 6 y 307
la .
T eorem a 9.4.
le.
T eorem a 9.3.
3b.
^
3d.
— =— .
- 4
1 v/3
Aß
GH
EF
CD
Sí. 3. N o.
L I £ L F , L J s LJ', L H £ LH'.
6 f, lO f
LA ^ L A , L A D E ^ L B , / A E D ^ L C ;
úsese la definición de polígonos semejantes.
AD
A E DE
1
-----= ------= — = - ; ¿ A D E £ ¿ ABC,
AB
AC BC
3
LAE D £ LACB, L A £ LA.
H ágase la hipotenusa de 2 unidades de
largo.
AD
AE
L A D E ~ A A BC , AA; ■
AB
AC’
AB
A C A D + DB
A E + EC
Ib.
3a.
3c.
2
Teorem a 9.2.
3
6
2 _ 4'
X Y
páginas 3 1 8 a 321
3 _ MÑ'
a
c
Si ad j=- be, entonces - i=
b
d
7. $70. 9. 67.5, 112.5.
11. 1 2 j x 17¿. 13. 3, 5.
Solución de problem as
1. 128 pies NS, 133 pies EW.
5a.
2.
32 pies
NS: 19 mm
x pies
3.
A proxim adam ente $7000.
76 mm
AE'
AD
AE
DB
EC DB
EC
1 + — = 1+
AD
A E AD
ÂË’
Solución de problem as 13, 4 s + 1,41.
32 pies
; EW: 19 m m
y pies
79 mm
1. A X Y Z . 3. A Y Z X .
5. C ad a uno contiene dos pares de ángulos
congruentes.
7. 10. 9. 3f.
11. N o , ángulos agudos diferentes.
13. Sí, A A A.
15. L A L B ^ L A ' L B 1, L B ' £ L B .
17. L 3 £ L 4 , ángulos verticales;
A A B C ~ A E D C , teorem a 9.8.
19. A A E D = L C E B , ángulos verticales L E B C
£ ¿ E D A , ángulos alteraos internos; A A.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
21.
L B ^ L E , m L B G A = m L E H D = 90,
L B G A = L EHD: A BGA ~ A E H D , AA;
úsese la definición de triángulos semejantes.
23. Fórm ense paralelogram os; L E s L E H Y ,
ángulos opuestos;
L H N Y , A A.
25a. A R 3 Z.R;
AA.
25b. RS || V V , L R ^ L V U T , L \ 3 ¿ 2 ; AA.
27. m L B AD = m L F E H , m itades de ángulos
iguales; A,ABD - A E F H, AA.
29. Trácese BG intersecando a C F en H; úsese
el teorem a fundam ental de la
BC
BH
BH
EF
pro porcionalidad
= -----y ------ = — :
1 1
CD
HG HG
FG
úsese la p ro p ied ad transitiva.
31. A A F C ~ A AEB, A B D A ~ A B F C ,
AF
F C BD
DA
A CDA ~ A C E B ; ----- = — , — = — -,
AE
EB BF
FC
C E _ EB
y CD~~DA’
A F BD C E _ F C D A E B _ ]
x
2.
20
Se
19.
23.
páginas 3 2 8 y 329
1.
7.
AB
20 A B
= -------; A ' B ' = --------- .
A 'B '
x
duplica A 'B '.
AB _ 5 AC
13.
13. 15.
21.
|
BD = y j B C - B A . E n A A DE,
DF2 = A F FÉ, DF = J A F - F E;
AB ~
AC '
AC
~DE ~ To’ ~EF ~ 6’
no son triángulos semejantes.
F
c
B D
A A B C y A D E F son triángulos isósceles
con LL B
B =
3 L EE; — —
BD ■DF = ^ B C ■BA • A F ■FE.
BC
A B BC + AB
AB + AC
~
Sí, L LL . 3. No. 5. f
L D O C s L A O B , ángulos verticales;
L C A B = L D C A . ángulos alternos
interiores; A A.
JKKL
kKL
KI
------= ------ = f-------= -------. / K ^ L M :
NM
MP
jM P
MO
A K J l ~ AAÍiVO, L A L sem ejanza; partes
proporcionales.
A•
6. 3. 2x/5 . 5. AD y DB.
A B y AD. 9. 6. 11. 16.
f§ 17. 2.
EG = 12; H E = 6 ^ 5 ; 72v /5 .
E n A CDA, B D 2 = B C ■BA,
AB ~ A C ’
AB
AC
AC+CD
CX
11.
páginas 32 4 y 325
1.
7.
15.
XB
AF
“ CX ’
CX
XB1
A F 2 = A F C X + C X 2; C X 2 = C X ■X B + X B 1,
C X 2 = A F - A F C X , sum ar; 2 C X 2 = 2 A F X B .
Usese el teorem a de P itágoras, 2C X 2 = E X 2,
2 A F 2 = A E 2, 2X S 2 = X Y 2,
A E 2 ■X Y 2 = 2 A F 2 ■2 X B 1 = 4A F 2 X B 2 o
AE- X Y = 2 A F X B . E X 2 = A E -X Y ,
sustitución.
9.
A E B F ' CD ~ E B F C D A ~
AB
33. A A C B - A A B D , AA- ^ C- =
AB
AD'
Solución de problem as
1.
Solución de problemas
AF + CX
AF CX
577
(180 — m L E )
’
-
= mLA;
= m L D ; A A B C ~ A DEF,
AA.
Solución de problem as A lgunas respuestas
posibles son: p en tágono A B C DE ~ A'B'C'D'E';
F
578
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
estrella con los p u n to s A B C D E ~ estrella con los
p u n to s A'B'C'D'E'; triángulo obtusángulo,
A A ' B ~ A'BB' B
triángulo acutángulo, A E ' B ~ A'A"B';
triángu lo isósceles, A E ' A ~ A A ' B " ,
A E B ~ A ' E ’B', C' CD ~ C'D"D'\ rom bo,
A B C ' E ~ E ’A'C"D'\ trapecio isósceles,
ABC' D' ~ E'A' C' D" , A B C E ~ A'B'C'E'.
página 337 c a p ítu lo 9
la .
le.
2a.
3.
páginas 33 2 y 333
1.
7.
15.
19.
f, f, |
3. 0.2924. 5. 0.3839.
0.7002, 9. 37°. 11. 17°. 13. 4°.
10sen40° = 6.4. 17. 2 5 ,2 4 ,^
53°, 37°. 21. 35.7 m. 23. 0.42 cm.
DC
Solución de problem as ta n 40° =
200 + B C ’
DC
tan 60° = — ; 325.5 m.
BC
4a.
5a.
6.
7a.
7b.
7c.
Resumen
V erdadero. Ib. Verdadero.
Falso. Id. V erdadero, le. V erdadero.
12 j
2b. 3 j 2c. 2 f
2d. 6.
A Ti
QC'
A ABC ~ ADCE, A A ; — = — .
DC
CE
^
4b. 9. 4c.
9.
A 5b.
5c.
f
67.5 pies.
L E D F £ / £ C fí, teorem a 5.8; /M .
Z. EF D = L B F A, ángulos verticales;
L D E F £ L A B F , teorem a 5.7; ,4.4.
L A ^ L C , ángulos opuestos;
L C E B & L A B F ; A A.
página 3 3 9
Técnicas p ara la solución de
problem as
página 335
1.
„
9.
15.
-.
4 . . - . 3. v"3. 5.
2
v
2
1 , J l
r
11. V 3 . 13.
v /3
3
2 sen 30° = 2(|) = 1;
la .
Id.
2.
3c.
30°.
2 sen 30° eos 30° = 2( ^ ( ^ ) = ^ ;
sen (2-30°) = sen 60° = ^ ;
2
2 sen A eos A = sen 2A.
Recto. Ib. Sí. le . DF.
E F = C F , A F = 6.
E F = 4.2. 3b. 90.
m L C = 90,
m ¿ 2 + m L 4 = 90, m L 1 + m L 3 = 90;
m L l + m L 2 + m L 3 + m L 4 = 180;
m L 1 + m L 2 + m L D E F = 180,
m L 3 + m ¿ 4 + m L G F E = 180, sum ar;
180 + m L D E F + m L G F E = 360; L D E F y
L GF E son suplem entarios.
CAPITULO 10
páginas 3 4 4 y 345
17.
tan 2(30°) = ta n 60° = ^ 3 ; 2 ta n 30° =
, n/ 3
2
2^3
ta n 30
= v /3;
7 — (tan 30)2
1ta n 2 A =
2 t a n -4
1 — (ta n A) 2 ‘
1.
11.
13.
21.
A E , AD, BC, BE. 3. AE, BC, CD, AB.
LCAD , LA CD , LC D A, LCDB, LADB.
LAO B,LBO F,LFO E,LEO B,LAO F.
El arco m ás co rto es la circunferencia
m áxim a.
Solución de problem as
3. Son los m ism os que los de la lista del
núm ero 1.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
579
páginas 3 48 y 349
I.
3d.
7.
9.
13.
Sí, no. 3a. 90. 3b. 150. 3c. 270.
2J0. 5a. 70. 5b. 50. 5c. 310.
A B £ EF, B C £ f G ^ C D £ DE.
A B ^ C D , A C ^ B D . 11. Sí.
Fórm ense triángulos congruentes, LLL;
ángulos centrales congruentes; definición de
arco m enor.
15. mE A + m A S = m A S + mSY; m E A = mSY.
17. m A C B = mDAC;
tuD A + mAC^= m B C + mAC:
mDA^= mBC;_DA = BC, teorem a 10.2;
m A C B = mDBC; ^
m A C + m C B = mD B + mBC;
m A C - mDB; A C = DB, teorem a 10.2;
úsese el teorem a 8.4.
19. A S O R es isósceles, L ! £ L 3, Z 3 == / 4 ,
L 1 £ L 2 , L 4 s Z12, transitiva.
Solución de problem as
2. C uatro.
11. A X O Z s A Y O Z , H A ; Ó X s O Y , P C T C C ;
teorem a 10.4.
Solución de problem as Usese la figura de la
página 533; cuerdas iguales son equidistantes del
centro; trácese un segm ento perpendicular desde
el centro a cada cuerda; el segm ento
p erpendicular interseca a la cuerda en su p u n to
medio; em pléense los triángulos congruentes
p a ra dem ostrar que los segm entos
perpendiculares son radios iguales; radios iguales
determ inan un círculo.
páginas 3 5 6 a 359
3.
5.
7.
13.
15.
m A C = mCB, teorem a 10.6.
Teorem a 10.6.
T eorem a 10.5. 9. 5. 11. 3 cm.
O M 1 A B , teorem a 10.7;
A O 2 = A M 2 + O M 2: 8
2.
17.
19.
3.
Prolongúese el segm ento que une los centros
de C ¡ y C 2 h asta el p u n to m ás lejano de
cada círculo. Biséquese el segm ento. U se el
centro com o un nuevo radio.
páginas 352 y 353
1.
3.
5.
7.
9.
OB = 4; x = distancia; 4 = x ^ / 2: x = i j l .
Trácense dos cuerdas del arco;
constrúyanse bisectrices perpendiculares
p a ra cada cuerda; la intersección da el
centro. _
21. A B 1 X Y , CD ± X Y , teorem a 10.7; dos
rectas perpendiculares a la m ism a recta son
paralelas.
23. E ncuéntrese la distancia de O a A B,
x 2 = 102 — 82,_x = 6; la distancia de F al
p u n to m edio CD tam bién es 6; 15.
25. L M O Q £ A M O P ; arcos congruentes tienen
ángulos centrales congruentes.
A X O M j ^ A Y O M , HA; P C T C , C _
27. A C £ BC, teorem a 10.2; O A £ OB; úsese el
teorem a 6.10.
Solución de problem as D C = AC, DB = AB; LLL.
3, teo rem a 10.3.
O M £ O N , teorem a 10.3;
2
T eo rem a 10.4.
O X £ O Y, lados opuestos de ángulos
congruentes; teorem a 10.4.
T eorem a 10.3,
í = 15
páginas 362 y 363
3.
5.
39.
P B 1 OB, PA 1 OA , teorem a 10.9;
P A || BO, P B || AO, teorem a 5.4;
A O B P es un paralelogram o; O A = OB = 4;
580
R e sp u e sta s s e le c c io n a d a s
la d o s o p u e s to s c o n g ru e n te s ;
7.
9.
L P e s u n á n g u lo re c to .
O A 1 A P , OB 1 BP, te o r e m a 10.9;
A O A P £ A OBP, H C ; P C T C C .
A P A O £ A PBO, HC; PA £ PB: A O £ OB;
te o r e m a 6 . 1 0 .
T rá c e s e OB; 2 m L O C B + m L C O B = 180,
2 m L A O P + m L C O B = 180;
L A O P £ L O C B ; te o r e m a 5.1.
13. t i . m e n P, d a d o ;
s u p ó n g a s e q u e f, n o
c o n tie n e a l c e n tr o d e l
c írc u lo ; tr á c e s e el r a d io
d el c e n tr o 0 a l p u n to
P; OP 1 m, te o r e m a
10.9; h a y e x a c ta m e n te
u n a re c ta q u e p a s a p o r
P p e r p e n d ic u la r a m;
la r e c ta t c o n tie n e al
c e n tr o d el c írc u lo .
Solución de problem as U n a s e D c o n e l p u n to d e
ta n g e n c ia s o b r e BC; m u é s tre s e q u e lo s tr e s
tr iá n g u lo s s o n c o n g r u e n te s p o r HC.
11.
páginas 36 6 y 367
1.
7.
9.
11.
5 c m . 3. 10 cm . 5 . 20.
D e n o m ín e s e x a la d is ta n c ia d e A al
c irc u lo ; y a la d is ta n c ia d e B a l c írc u lo ; z a
la d is ta n c ia d e C a l c írc u lo ; x + y = 6 ;
x + 2 = 10; y + z = 8 ; y = 2 , O X = 2. _
E es el p u n to d e in te rs e c c ió n d e A B y C D ;
A E £ ED y B E £ C E ,
A E 4- B E = £ D + C E .
Y= fV 3+|=1.025.
X = 2 Y + 3.
X = 5.05.
páginas 3 7 0 a 373
1.
5.
7.
15.
21a.
23.
25.
27.
29.
31.
33.
T r á c e s e u n a re c ta
p e r p e n d ic u la r d e A a t q u e in te r s e q u e a t e n D;
A A D B es u n tr iá n g u l o 3 0 -6 0 -9 0 c o n A B = ~ \ / 3 -
in te r c e p ta n a l m is m o a rc o .
m L E = m / D = 90; L A B E s z L C B D ,
á n g u lo s v e rtic a le s.
T r á c e s e u n s e g m e n to d e P a l c e n tr o del
c ír c u lo d a d o ; b is é q u e s e el s e g m e n to ; ú sese
la m i ta d d e e s te s e g m e n to c o m o r a d io ,
ú se se e l c e n tr o c o m o p u n to m e d io del
s e g m e n to , c o n s tr ú y a s e el c írc u lo ; lo s p u n to s
d e in te rs e c c ió n c o n el c ír c u lo d a d o so n
p u n to s d e ta n g e n c ia .
S u m a d e lo s a r c o s in t e r c e p t a d o s p o r
v é rtic e s o p u e s to s = 360°; y - 3 6 0 = 180.
L o s á n g u lo s o p u e s to s s o n c o n g r u e n te s y
s u p le m e n ta rio s .
L C A D = L A D B , á n g u lo s a lt e r n o s
in te rio re s ; á n g u lo s c o n g r u e n te s in s c rito s
in te r c e p ta n a ta r e o s c o n g ru e n te s .
^
35.
A D = BC: mDA + m A B + m B C + mCD
- 360; L A D C in te r c e p ta A B j i i á s BC,
L D A B in te r c e p ta a B C m á s CD;
m L A D C + m L D A B = \(mAB + mBC +
+ m B C + m C D ) = _ 180j_¿ A D C y L D A B s o n
s u p le m e n ta r io s ; A B I! DC.
Solución de problem as M P d e l c ír c u lo Q es
c o n g r u e n te c o n M N d e l c ír c u lo O;
m M P = m M N = t; L M A P e s u n á n g u lo in s c rito ,
a sí q u e m L M A P = j , te o r e m a 10.12.
páginas 3 7 6 y 377
1.
7.
9.
Solución de problem as
3. 65.
m L A = 8 0 , m L B = 5 5 , m L C = 45.
100, 120, 140. 9. 80. 13. 40.
10. 17. 120. 19. 87.
50. 21b. 40 . 21c. 50. 21d. 80.
L A E B y L C E D , v e rtic a l; L A B E y L E C D
in te r c e p ta n a l m is m o a rc o ; L B A E y L E D C
25.
25. 3. 60. 5. 55, 110.
55 , 5 5 , 7 5 , 5 0 , 20.
_
_
O e s la in te rs e c c ió n d e A B y CD;
mLAOD =
+ mBC);
m L A O C ^ % ( m A C ^ + mBD). ^
____
11.
9Q=^j(mÁ¡l + mCb), 9 0 = j { m A E + mBC);
m Á E + mCD = m X É + mBC.
Solución de problem as 36 , 6 0 , 8 4 , 108, 132.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
páginas 382 a 385
1.
9.
120. 3. 22b. 5. 20 . 7. 3.
8. 11. 23. 13. 30. 15. 85.
17. 30. 19. 110, 100.
21. 62 = x(x + 9); x = 3; 62 = 4(4 + >■); y = 5.
23. 40. 25. 20. 27. 70.
29. N o, L 1 y L 2 no son suplem entarios.
_
31. 7 ,8 .
33. Sea X el p u n to de intersección de A B y £¿
los ángulos verticales en X son
congruentes; los arcos m ayores son
congruentes; los ángulos altern o s interiores
son congruentes.
35. m L 3 = jy; m L 2 =
m LP + mL2 =
= m L 3, áng u lo externo; m L P = | ( x — y).
37. ¿ P C B = L P D A ; los ángulos
___
inscritos interceptan a AB:
A,
A P C B ~ A PDA, A A;
PA
PD
P B^PC ’PAPC = FBPDSolución de problem as
5a.
6.
7a.
8a.
60. 5b. _30. 5c. 75. 5d.
T rácese AC; L B A C s L D C A ,
m enores congruentes; ángulos
interiores.
20. 7b. 110. 7c. 40. 7d.
4. 8b. 24. 9. 17 cm.
10.
V'51- 12.
página 3 8 9
Resumen global
la . V erdadero.
le .' V erdadero.
2a.
3.
Ib.
Id.
581
90.
arcos
alternos
70.
7e.
20.
cap ítu los 8 a 10
Falso,
Falso.
4 ^ 2 . 2b. 4 ó 9. 2c.
144. 4a. 100. 4b. 50.
2d.
4c. 30.
A A.
4d. 80.
5.
& A N B ~A C N D ,A A : — = — .
NC
ND
6. 40.
7. A B = \ M P , DC = \ M P , B C = j Q N ,
A D = ±QN.
Teorem a del segm ento medio; D C = AB,
A D = BC-, A B C D es un paralelogram o, lados
opuestos congruentes; A B = AD = D C = BC
dad o que M P = ON.
CAPITULO 11
páginas 3 9 6 y 397
3.
7.
No. 5. P o stu lad o del área.
T riángulo con base 20, a ltu ra 7; rectángulo
con longitud 10, ancho 7.
630. 11. 6. 13. 3. 15. 3 j 17. 720.
Se traza un ray o a p a rtir de cada n roja a través
de la n negra p a ra ca d a entero 0, 1 ,2 ,..., 71.
D ad o que los num erales rojos m antienen un
espacio de 10°, un n um eral rojo n, 0 < n ^ 35, y
u n a n ro ja + 36 designan al m ism o punto. ¿Q ué
relación existe en tre los núm eros n negros y los
n + 36? El pun to con n negra + 36 está 180°
alrededor del círculo a p a rtir del p u n to n. El
resultado se desprende del teorem a 10.13.
A {A A CE ) = A(AAGE);
A ( A A H I ) + A(HIFG) + A ( A F I E ) =
= A ( A A B I ) + A(BCDI) + A(AIDE);
A(AAHI) = A(AABl), A(AFIE) =
A{AIDE); restar.
Solución de problem as
no.
página 387
p á g in a s a o o y 401
l.
4.
C a p itu ló lo
Verdadero.
V erdadero.
2.
Resumen
Falso.
3.
9.
19.
21.
Falso. 1- 147. 3. 9 0 f
7. 1 4 - 1 ^ 3 = 35^/3.
2 (3 2 -1 0 ^ /3 2 )-1 .1 = 31.1; 32 hojas.
5.
12.
582
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
páginas 4 1 0 y 411
9.
1 2 - ^ = 20 n/ 3.
11.
13. C uadruplicado. 15.
Solución de problem as 1.
f
Igual. 17. 13.
Sí. 2. No.
páginas 40 4 a 407
429. 3. 264. 5. 425.
198. 9. 512^
11. 8.75. 13. 5 pies. 15. J .2 .5 ._ 1 7 . 30.
19. Sea h = distancia en tre A B y C D ;
A( AE CD ) = \ h ( A E + DC);
A(EBCD) = x2h(EB + DC); A E = EB.
21. A A B D y A BD C tienen la m ism a altu ra y
bases iguales, A D y CD.
23. A(ABCD) = (hi + h2)AB; A ( A C D X ) =
= \ h xAB; A ( A A B X ) = \ h 2AB;
A ( A C D X + A A B X ) = \ h ^ A B + %h2A B =
= ^ A B { h l + h2).
25. A ( A B A A ' ) = A(ACAA'), tienen la m ism a
a ltu ra y bases iguales; sea H el centroide de
A A B C ; A ( A B H A ’) = A ( A C H A ‘);
A ( A A H B ) = A (A A H C ) , resta;
A (A B H C ) = A(AAHC') = A(AAHB') =
= A( ACHB') ;
repítase el procedim iento con
A( AB AB ') = A( ACBB') com o p rim er paso.
27. A( ABCD) = i¿h{AB + DC); A ( A A D E ) =
= A{ABCD) + ( A{ADCE) + A{AABE));
trá c e n se la s perpendiculares de £ a D C y
de £ a AB; longitudes de estas altu ra s =
= %h; A{ AA DE ) = $h{AB + DC) - ( i ^ hD C + \ \ h A B ) = $h(AB + DC);
\ A( ABCD) .
29. Usese el ejercicio 25; sum a de áreas.
1.
7.
31.
9.
11, 484.
3.
104.
5.
11.
20k.
v /3 .
3.
2 '
5.
A
4 '
,2 5 ^ /3 .
20v//3 pies, 5 pies.
2, 96; 5, 225; 10, 400; 15, 525; 20, 600;
25, 625; en cerrar un cuadrado.
Solución de problem as
4 + 3 ^ /5 + 7 1 7 ;
10 + 2x//5 + N//2;
3x/ 2 + 2s/ l 0 + 2 ^ 5 + 2 y / l 3 .
páginas 4 1 4 y 415
1. 1:2. 3. 13:20.
5. 3:4.
7. 200, 72; 25x + 9 x = 272.
y z _ i /iy _ i
9.
BC~2’[ y ~ 4
11. 2:1. 13. ^ 2 8 8 = 17.
Solución de problem as 1:16.
páginas 4 1 8 y 419
1. Circunferencia.
3. 3^, 3.14, 3.1416.
5. 3, 6n.
7. 4, 8. 8. D iám etro.
11. 3Ó7c pulgadas2.
13. (32 + 4n) pies.
15. (10 + 4?i)m . 17. 6 pies.
Solución de problem as AD2 + OD2 = AO2;
s2
OD2 = \ - -
. 4
; O D
CD = 1 —
s2
O D
=
^ Í 4 — s2
-
-; x 2 = C D 2 + A D 2;
s2V
fs^2
+ í 2,
páginas 4 2 2 a 425
y/2.
5^3
2 0 ^/3 m , 5 0 ^ 3 m 2.
— 2 — sj4 —
1=
- 'f i
V?
7.
15.
17.
x2 = 1 1 -
Solución de problem as
2.
72.
13.
E n el triángulo 30-60-90, C G = —
A( AC F G ) = ~ ~
1.
102.
x j 2 = 3 — 2x; x = --------- —
2 + %/ 2
33.
1.
1.
4n,
7T3, 3n.
3.
n, 9 n, \ n , —. 5.
n
18n cm 2.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
7.
25 tt
9a.
cm
3.93 cm 2.
9b.
5.89 m 2.
9c.
13.
~24~
13.08 p u lg ad as2. 11. 16:25.
2%/ 2 : v /5 . 15. 9 - Jir.
17.
9 - ln.
21.
21.5% ; ( 9 ~ 47f).
9
i n g A B ) 2 - - H A B 2 + { ( n ^ A B ) 2) = \ n A B 2
som breada; la fracción del círculo es 31 (a\2 1 /b\2
T eo rem a de P itá g o r a s ,- 71I - j +
=
23.
25.
n
=
27.
19.
,
n
,
8 (fl + f , ) = 8 ( c ) = r ( 2
>4,
7 t//lB \2
rc /A C V
7 t/B C \2
2y 2 y
2\ 2 J
2 \ 2 )
^ =
1.
5.
7.
9.
11.
17.
23.
27.
1.
5.
7.
9.
A L = -------------; A 2 = n
%
nACBC
C D 2 = A C • BC, A 2 =
A rea del c u a d ra d o
área de c u atro cuartos
de círculo— á rea del círculo pequeño =
área som breada; sea 2x = longitud de un
lad o del cu ad rad o ; dibújese un triángulo
30-60-90 con vértice en el centro
y longitudes x, x, x N/ 2; ra d io del
círculo peq u eñ o = x v/2 - x; (2x )2 — n x 2 -
— n(Xy/2 — x )2 = 4 x 2 — 4 n x 2 + 2 n x 2s¡ 2 \
razó n del área so m breada con el área
4
del círculo =
— 4 + 2 j 2 ó 10% .
n
Solución de problem as =
11.
13.
19.
23.
27.
31.
33.
35.
37.
página 427
5N/2 .
2a.
3.
5.
AD.
.
471.
Repaso d e álgebra
24 cm 2. 3. 87.92 cm,
3658.77Î c m 3 ó 11 488.2
cm 3.
h — 3.6 cm.
/4 = 58.571 p u lg ad as 2 o 183.69 p u lg ad as2.
- 2 , 3 . 13. - 2 . 15.
- 3 ,- 2 .
1 0 , - 9 . 19. ü
21. 2,3.
7900 yard as2. 25. 93.75 cm 2.
486 m m 2. 29. 2 m.
páginas 4 3 6 a 4 3 9
7ty4C • B C
la .
8
CAPITULO 12
n((AC + BC)2 - A C 2 - B C 2
29.
1:4.
página 4 2 9
/c
1
T riángulo 30-60-90, OB = 2, O A = 1,
B A = ^ 3 ; n ■22 - f 3 • 2 ^ 3 = 4 n - 3 ^ /3 .
7.
1271 - 9^/3.
n
6.
583
2b.
Capitulo 11
Ib.
27
—.
4
40.
3.
Resumen
le .
2:1.
5^/TT9.
4.
Id.
21J Ï
—
2
50.
39.
b. 3. A B , BC, CD, DE , AE.
A F B C _A F A B_A/vl_£, M-'DE, ¿\FDC.
E F, H G , I J , L K , AB, DC.
M ism a. _
EFGH, A E , BF, CG, DH.
A D H E _ 15^ 5 ^ 17. 6.
B H , A G , CE, DF.
_
152 + 82 = 289 = 172. 25. 2 ^ 3 3 .
5V 3 . 29. 6.
A F , FC y A C son diagonales congruentes
y form an la base de un triángulo equilátero;
FB, C B y A B son aristas congruentes y
form an aristas laterales congruentes.
8; BDEA, A C F B , BDGC, A C H D , AF H E ,
BEGF, C F HG, DEGH.
Las diagonales del p aralelogram o A H G B se
bisecan entre sí.
En el paralelogram o A BGH, O es el punto
m edio de A G y B H (Ejercicio 35); en el_
paralelogram o AC.GE, las diagonales A G y
C E se intersecan en el p u n to m edio; el
p u n to m edio de AG es O.
Sea E la esquina interior; C A B E y A B D E
son paralelogram os, definición; C E = ED =
= 9 ^ /2 , lados o p u estos congruentes; sum ar.
584
R e s p u e s ta s .s e le c c io n a d a s
Solución de problem as
J 5 4 4 = 23.3.
M éto d o 1, 32; M éto d o 2,
A.
B.
C.
páginas 44 2 y 443
1.
c.
9.
7 2 ^ 3 + ^ ^ 3 = 1 1 2 .5 7 3 .
3.
24.
5.
120.
7.
12 + 2 ^ 3 .
D.
í x 5 x l ' x f ' x M , = W = 7 .0 3 p ies3.
v 9 ' _ 1 1 v 1 „ 9 _ 213 _
* * x 2
12
2
2
16 —
= 1 3 .3 1 pies3.
l!
V è!
y
3
2 : 5 = j f = 3.75 pies3.
20.81 + 7.03 + 13.31 + 3.75 = 44.90 pies 3
44.90 -=- 27 = 1.66 y a rd as3.
11. 6 cm , 12 cm.
13.
y á i ' - 1 y 37 y 9 _ 333 _
r x 4'7-:L"
l x ^ 2 — 1 X 8 X 2 — 16—
= 2 0 .8 1 pies3.
D eterm ínese la arista, x 2 +
^
= c2,
páginas 4 5 0 y 451
c2 = - x 2; - x 2 + (2y f l ) 2 = a ltu ra 2;
15.
1.
7.
a ltu ra =
cm.
C a d a m olde necesita 880 cm 2,
880 cm 2 x
7 = 0.088 m 2,
10000 cm 2
, x m oldes
100 m 2----——— - = 1136 moldes.
0.088 m 2
Solución de problem as
1. M uévase el cu b o de a rrib a de la derecha un
espacio hacia adentro.
2. M uévase el cubo inferior d elantero de la
esquina h acia a rrib a y hacia atrás.
V erdadero. 3.
2 6 f 9. 4 5 8 3 |
64,6 cm 3.
5.
17.
402 = 82 + h2; h = ^ 1 5 3 6 ; V = 2 ^ 1 5 3 6 ;
1 min
, 1000(
2 y i 5 3 6 m - x - — 3- x --------x
1 mJ
50 £
l h
= 26.1 h.
60 m in
Solución de problem as
p a r te
s u p e r i o r / '^ *
2 cubos.
7. 42 cubos. 9.
60. 11. 4 3 2 , / í
13. O ch o veces.15. 102 cm 3. 17. 5 pies.
19. y (8 pies)(30 pies + 14 pies) x 620 pies
1 y a rd a 3
$1.50
x -- f - : ■ x ----- — r = $6062.22;
27 p ies -3 yardas^
$6062.22 x 1.1 = $6668.44.
Solución de problem as
Falso.
3 4 5 6 ^ 3 . 13. 9:4.
i- 6 4 - 8 — 1 -2 5 -5 = 129.
fren te
3.
5.
11.
15.
páginas 4 4 6 y 44 7
1. 24 cm 3.
Falso.
x
V
p a r te
s u p e rio r
fren te
□
p a r te
fren te
s u p e rio r
V
'
páginas 4 5 4 y 455
1.
3.
768 tt unidades cuadradas, 28 807T unidades
cúbicas.
30071 unidades cu ad radas, 6257c unidades
cúbicas.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
9.
11.
512 - 12871 p u lg ad as3; 384 — 32 jz + 64n
p u lg ad as2.
r = rad io de la lata; h = p ro fu n d id ad de la
caja: volum en de las latas = 6nr2h;
volum en de la caja = 24r2h; razó n 4:n.
Solución de problem as
22871
9
16
+ — p u lg ad as3;
32
9J5
585
páginas 4 6 6 y 467
1.
T etraed ro regular; octaed ro regular,
icosaedro regular.
3. Los «tejados» no se juntan.
5. T etraedro. 13.
Sí. 15.
Sí.
Solución de problem as
1. 12. 2. 30.
3. 30. 4. 20.
T 6 T ' l' s + ~ 8 ~ p u l g
página 4 6 9
páginas 4 5 8 y 4 5 9
1.
1.
32(k;2007í.
3.
25n^ U 9 .. %5n_ 5> 6
7.
367t + 471^/10 cm 3.
9. 871^/113 + 167^/165.
11. 0.001 p u lg ad as3.
u
96 cm 2; 64 cm 3.
2a. 156
cm 2.
Técnicas p ara la solución de
problem as
1-4, 2-5, 3-3, 4-6, 5-1,
6 - 2.
1.
páginas 46 2 y 463
97271 c m 3.
Resumen
72 + 12^/3 cm 2. 3a. ^ c m 3.
32 ^/3 cm 3. 4. 607t cm 2.
9071 cm 3. 6 . 8. 7. 3671
cm 3.
El volum en se duplica.
3 cm. 10. 400 tt cm 2.
p ág in a 471
2V 13+ 4
Solución de problem as
1.
2b.
3b.
5.
8.
9.
c a p ítu lo 1 2
3.
7 veces.
2.
5 veces.
3.
3 . 4.
23 min.
CAPITULO 13
5.
3.
7.
Jl.
páginas 4 7 8 y 479
la .
15.
11. 2287t unidades cúbicas. 13. 3 pies.
15. Sea r = rad io de la esfera; sea h = 2r; área
lateral = 2nrh = 2nr(2r) = 47tr 2.
17. 1:2.
Solución de problem as V olum en de la esfera =
= 9727i; determ ínese la a ltu ra del cilindro,
92 = 32 + V ,
A. Ib . D. le . I. Id. G.
L as diagonales de un ro m b o son bisectrices
perpendiculares en tre sí.
17.
/ii = 6 ^ / í , a ltu ra = 12^ / 2;
volum en del cilindro = n ■9 • 12^/2 = lOSn^/í;
h = 9 - 6 ^ / 2 = 0.515;
volum en del casquete = 571: -9(0.515) +
+ ¿7t(0.515)3 = 7.35; volum en del sólido =
= 972ti - 10871^2 - 2(7.35) = 2559 c m 2.
T rácese A' A, A B interseca a la recta de la
base en D, A ' B interseca a la recta de la
base en C; la intersección de AÍ> y Á C es
586
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
B'; es necesario m o stra r que B' es la
reflexión de B sobre la recta de la base;
A A ' F D £ A A F D , L A L ; A'D £ A D,
¿ F A ' D ^ I F A D , L A ' D F ^ L A D F , P C T CC ,
¿-BDF £ L B ' D F , ángulos verticales y sum a;
A A ' F C £ L A F C , L A L ; A'C £ A C ,
PCTCC; A F A 'C £ ¿F A C , PCTCC;
L CA ' D £ ¿L C-4£>, resta de ángulos;
A C A ' D £ A C A D , LAL; L A ' C D P C T C C ; A B D A ^ A B ' D A , A LA; BD £ B'D,
P C T C C ; d a d o que L B D F £ L B' DF,
L B D C £ L B ' D C , A B D G £ A B' DG , LAL;
BG £ B'G, P C T C C ; L B G D y A B ' G D son
ángulos rectos, congruentes y
suplem entarios; BG _L CF; B' es la reflexión
de B sobre C F.
19. T eorem a 13.1a.
Solución de problem as
1. L a razó n de que este m ensaje parezca tan
extraño-es q u e se escribió u san d o un espejo.
2. N ueve + u n o + ocho = dieciocho.
páginas 4 8 6 y 487
la .
F.
Ib .
H.
le.
G.
Id.
E.
3.
páginas 4 8 2 y 483
1.
3.
31
44
61
78
99
103
78
59
40
22
134
122
120
118
121
7.
p
i.
xV,7 D
f7
B
E
F
r
,r
X
Y
Solución de problem as La región form ada por
los cuad rad o s 1, 2 y 3 está som breada en y de su
área. La región form ada p o r los cuad rad o s 4, 5 y
6, está som breada en y de su área, etc. P o r tan to ,
está som breado j del total de la región.
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
páginas 49 0 a 493
1.
7.
E.
587
Solución de problemas
1. 120°, 180°, 240°, 300°.
2. 120°, 240°; 90=, 180°, 270°.
3.
páginas 4 9 6 y 4 9 7
1.
7.
Sí.
3.
Sí.
5.
Sí.
E ncuéntrese la intersección de las
bisectrices perpendiculares de R F y W ;
m L R O V = 95.
13.
15. U n a m itad del áng u lo de rotación.
17a.
•
•
X
Y
T \
, R‘
•
17b.
U n a traslación a lo larg o de x f de doble
lo n g itu d que X Y.
13. N o es posible. 15. Círculo.
17. Ejem plo: un p en tágono regular.
19. p y r.
Solución de problem as G ira r cada tarjeta 180°.
página 4 9 9
cap ítu lo 13
la . V erdadero.
le . V erdadero.
2. H , X , /. 3.
5.
Resumen
Ib. V erdadero.
Id . Falso, le . Falso.
N, S y Z . 4. 8.
588
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
6.
11. ( - 2 ,8 ) . 13. ( 4 ,- 3 ) .
15. (7,6).
17. ( - 1 , - ! ) .
1Q f x i + x 2 y t + y 2\ ( 2 ( x x + x 2 ) 2(y, +
• V
3
’
3
Solución de problem as
)’{
3
y 2)
’
3
(2,2,2).
páginas 5 1 4 y 515
m / - B O B ' = m L A O A ' = 57, ro ta c ió n en la
dirección en que giran las m anecillas del
reloj.
página s o i
1.
2.
3.
Técnicas p a ra la solución de
problem as
Sí.
P A + P C = P B cu an d o P está sobre AC.
P A + P B = P C cu a n d o P está sobre AB.
P B + P C = P A cu a n d o P está sobre §C.
2 ^ /J c m .
4.
Intersección de diagonales.
págin as 5 0 6 y 507
1.
2.
3.
(13,2), (10,5); - 1 . Ib. (0,5), (8,10); f
(13,2), (9,3);
Id. (4,3), (9,3); 0.
(4,0), (9,0); 0. lf. (2,4), (0,1); f
(0,5), (4,0); - |
lh . (4,3), (10,5); i
(4,3), (4,0); indefinido.
- i
7. 1.
EF, 0; FG, indefinido; G H , 0; H E ,
indefinido.
11. A B , f , B C , - 2 ; CA, 5.
13a. X Y , - i ; Y X J ) ; X Z , - j
13b. M ediana de X Y , indefinido; m ediana de
Z X , —¿; m ediana de Y Z , —j
15. i
17
o _ > ' + 4 , / 2 4 12
X -8 ’ \ 5 ’ 5
1 .. y + 3
2
x + 6’
Solución de problem as D eterm ínense las
1
v- 0
co o rd en ad as de G, - = -— - , G(4,2), F (6 ,2);
CAPITULO 14
9. O btuso. 11. Recto. 17.
19. ( 3 ,- 3 ) . 21. (0,2).
23. ( 3 ,- 1 ) , ( - 3 , - 1 ) , (5,3).
27. - 6 .
Solución de problem as
la .
le.
le .
lg .
1i.
3.
9.
(5,3).
(3 ,3 ^ 3 ) ; ( 3 , - 3 ^ 3 ) .
(0,6), (6,6); (0, - 6), (6, - 6); (3,3), (3, - 3).
Ejem plo: (1,4), (7,4).
1
y - 0
determ ínense las co o rd en ad as de K , - = --------- ,
2
10-0
K(10,5), 7(15,5); determ ínense las coordenadas
de
P ’
2 = t
ó
’ P (1 8’ 9)’ Aí(27,9); P endiente de
—
1
—
1
F J = - ; pendiente de J N = - .
páginas 5 1 8 y 519
páginas 51 0 y 511
la .
Id.
7.
( f , 3). Ib. (2, - i ) , le . ( i - 2 ) .
( - 2 , 0 ) . 3. (1,0). 5. ( - 5 , - 1 ) .
( 1 ,- 1 ) .
9- (1,4), (7, - i) , ( i —i), (-2,4),
paralelogram o.
1.
3.
Sí.
L a pendiente de la recta form ada p o r (3,9)
y (7,5) es igual a la pendiente form ada p o r
(4, — 1) y (0,3), la pendiente de la recta
form ada p o r (3,9) y (0,3) es igual a la
pendiente de la recta form ada p o r (7,5) y
( 4 ,- 1 ) .
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
5.
L a recta que contiene a los p u n to s (4,5) y
(1, —3) es paralela a la recta que contiene a
( —3,7) y ( —6, — 1); la recta que contiene a
(4,5) y ( —3, —7) es paralela a la recta que
contiene a (1, —3) y (—6, —1).
7. El p ro d u cto de las pendientes de la recta
que contiene a (7,9) y (10, —3) y la recta
que contiene a (2, —5) y (10, —3) es —1.
9. P aralelogram o, la recta que contiene a
( —3, —3) y ( — 1, —7) es paralela a la recta
que contiene a ( — 1, —2) y (1, —6); la recta
que contiene a ( —3, —3) y ( —1, —2) es
paralela a la recta que contiene a ( — 1, —7)
y (1, —6); empléese el teorem a 14.2.
11. - 1 , - 5 , 1 ; 1, | , - 1 .
13. |
15. - 8 . 17. C (^ ,0 ). _
19. E ncuéntrese la pendiente de A D y CD;
empléese D(x, y); em pléese la definición de
p endiente d o b le p a ra fo rm ar dos
ecuaciones; resuélvase; D(6, — 1).
Solución de problem as C (8,0); a ltu ra = 4;
A = f 1 0-4 = 20.
589
Solución de problem as
1.
4^3.
2.
OP
s / x S + y S + zS-
páginas 5 2 6 y 527
1.
5.
y = 2x + 3. 3.
y - lOx - 4.
y = —| x + 5.
páginas 52 2 y 523
1.
9.
10. 3. i j í . 5. 2 7 T 3. 7. J T A .
B C — A C = 5, isósceles. 11. Escaleno.
13.
15.
17.
= J a ? + y í s o 2; si.
D efinición de pendiente.
P u n to m edio (1,1); J 26 .
19.
^ 3 4 + J ñ l # n/2 2 7 , no.
21.
10 = 7 ( 1 - x )2 + (2 - 8)2;
100 = x 2 — 2x + 37; x = 9 ó —7.
P endiente de BC = i; pendiente de A C =
= - 2 , BC_ ± Á C; B C = 4 ^ 5 ,
23.
25.
27.
A C = 2 ^/5 ; 20.
E ncuéntrense las bisectrices perpendiculares
de dos segm entos; el p u n to de intersección
es (2,4).
El d o b le de la distancia de ( —3,7) a (0, y) es
igual a la distancia de ( 6 ,1) a (0, y);
y = 5 ó 13; (0,5),(0, 13).
11.
15.
19.
23.
29.
35.
39.
43.
45.
m = —2, b = 4. 13. m = §, b = —2.
m = - |, b = |
17.
y = 2x - 5.
y = f x. 21. y = | x + |
= |x . 25. >' = x. 27. y = 2.
m= ¿ 31. m = f
33. (4,1).
^
37. y = | x , y =
- f x - 2.
y = - x + 4. 41. y = —f x + 4.
Fórm ese el triángulo 45-45-90; f J l .
G rafiquese; los f de la distancia entre (0,0)
y el p u n to m edio (12,6) es (8,4).
Solución de problem as E ncuéntrese la
intersección de la recta d a d a con la ecuación
3y = 4x + 11 d an d o (ff, 25)', úsese la fórm ula
de la distancia, f
590
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
páginas 53 0 y 531
1.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
x 2 + y 2 = 25.
(x - 2)2 + (y (x - 5)2 + (y x 2 + O + 4)2 =
(0,0); 6.
( - 3 ,4 ) ; 5.
(0,3); 2^/3.
( - 2 , - 4 ) ; 6.
(x - 3)2 + (y (x + l ) 2 + y 2 =
(x - l )2 + (y -
3. x 2 + y 2 = 36.
3)2 = 36.
2)2 = 2.
25.
encuéntrese c, c = a; dése nuevo n om bre a
D(0,b), C(a, b).
15. En A A B C , A(0,0), B(2a, 0), C(2b, 2c); D(b, c)
es p u n to m edio de AC; E(b + a,c) es p u n to
m edio de BC; D E =
= a; D E = j A B ;
pendiente de DE = 0, D E || AB.
Solución de problem as 5 caras.
página 537
4)2 = 25.
9.
5)2 = 34.
1.
y= i* -i
(x + 4)2 + (y .- 3) 2 = 16.
G rafiquese; encuéntrese la ecuación del
rad io perpendicular a la recta tangente;
resuélvase el sistem a de dos ecuaciones
p a ra el p u n to de intersección; (0,4);
r = V lO ; (x - 1) + ( y - 7)2 = 10.
Solución de problem as x 2 + y 2 + z 2 = 48;
(x - l)2 + (>• - 3)2 + (z - 2)2 = 35.
(-4 , 5)B
a2
(-6 ,3 )
7.
V:
/I
- i l ri ll ii
5.
y/ ( c — a)2 + h2 = ^ / a 2, despéjese a,
c2 - b 2
= -----------;
2c
— c
sustitución en la pendiente de BD; - .
b
^
(5, 2)^1/>(7
i l i
i l .
M r-rH—
1
—
r*
i l i
y
1 - (6, 3)
(6 ,6 )
+ (3. 3)
(3 ,6)
Br-yD
A*—¡C
■H-+-H-
pendiente de
A B = — 1; y = x contiene a (0,0).
11. A C = J e 1 + b2; BD = V ( - c )2 + b2.
13. A C = V e 2 + b2; BD = J { c - 2 a f + b 2;
J e 2 + b2 = y / c 2 - 4ac + 4 a 2 + b2,
fi (7,
(-2,5) _
Las respuestas variarán.
—
b
P endiente de A C = - ; pendiente de
c
—
b
BD =
—;
c — 2a
P u n to m edio de A B =
\
7
> i“ 1-7)
AD = y /( c - a)2 + b 2, A B = , / a 2,
9.
> ( - 3c, 4 ) -+-
3.
páginas 53 4 y 535
1-5.
y
h o , 8)
7.
L as longitudes de los lados de □ A B CD
son 5 de la longitud de la m agnificación.
Se «encoge» horizontalm ente y se «estira»
verticalm ente; igual
R e s p u e s ta s s e le c c io n a d a s
7.
X
9.
11.
12.
x = -^ -
la .
2b.
3c.
5.
6.
C apítulo 14
Resumen
2 7 1 3 . Ib. 10. Ic. 6. 2a. f
2c. 0. 3a. (3,5). 3b. (1,1).
( - 1 , - 2 ) . 4. y = —3x + 2.
y = - f x + 4.
L a recta que contiene a los p u n to s (5,7) y
(8, —5) es p erpendicular a la recta que
contiene a los p u n to s (0, —7) y (8, —5).
1.
x = —26.
(2, - 3); 2 ^/6. 10^_ x 2 + y 2 = 25.
L a pendiente de .-4C es 1;
la pendiente de BD es — 1;
el p ro d u cto de las pendientes es — 1.
W X = a; Y Z = a; la pendiente de W X es 0;
la pendiente de Y Z es 0; W X || YZ;
teorem a 5.8.
página 5 4 1
página 539
8.
591
50 cm 2.
Resumen global
2.
12cm 2.
3.
Capítulos 11 a 1 4
4 V'3 cm 2.
4.
6.
8.
10.
11.
12.
13.
4:1. 5. 54v/3 cm 2.
72 m 3. 7. 21 m 3.
150.72 cm 2. 9. 125.60 cm 2.
( - 3 ,5 ) , ( - 5 , - 2 ) , (4,3).
(4,2), ( - 3 ,7 ) , ( 1 ,- 6 ) .
y = x; y = —x + 6; y = 3, x = 3.
( - 2 ,- 6 ) .
14.
V/2 2 Í.
15.
y = - | x - 3.
índice de materias
afirm ación de la hipótesis, 64
agrim ensura, 390, 391
álgebra, repasos de, 79, 299, 429
altu ra
de triángulo s
equiláteros, 242
isósceles, 242
de u n a pirám ide, 434
de u n paralelogram o, 399
de u n prism a, 435
de u n trapecio, 403
de un triángulo, 199
inclinada
d e un cono, 456
d e u n a pirám ide, 441
ángulo(s), 17
ag udo, 2 1
altern o s exteriores, 171
altern o s interiores, 171
bisectriz de un, 24
central, 343
com plem entarios, 144
congruentes, 2 0
construcción de, 2 1
correspondientes, 171
de un polígono, 292, 293
de un triángu lo, 44, 154, 208, 209
exteriores de un polígono, 293
exteriores de un triángu lo , 154, 209
inscrito, 343
in te rio r de un, 17
interiores n o contiguos, 154, 209
lados del, 17
m ed id a de, 2 0
m ed id a en g ra d o s de, 20, 73
o b tu so , 2 1
p a r lineal de, 144
recto , 2 1
re sta de iguales, 138,139
su m a d e iguales, 138
suplem entarios, 144
trisección de, con tom ahawk, 362, 363
verticales, 150
vértice del, 17
ap o tem a, 408
arco(s), 343
congruentes, 347-
interceptado, 343, 368
lo n g itu d de, 417
m ay o r, 346
m ed id a en grad o s de, 346, 347
m enor, 346
área
d e conos, 456, 457
d e esferas, 461
d e paralelo g ram o s, 398, 399
de pirám ides, 441
de polígonos
regulares, 408, 409
sem ejantes, 412, 413
d e prism as, 440, 441
de rectángulos, 395
de regiones poligonales, 394
de trapecios, 403
d e triángulos, 402, 403
d e u n cilindro, 453
d e un círculo, 420, 421
arista, 434
lateral
d e u n a pirám ide, 434
d e un prism a, 435
arq u ite ctu ra , 126, 300
base(s),
án g u lo s base d e u n trián g u lo isósceles,
de conos, 456
d e cilindros, 452
d e paralelo g ram o s, 399
de pirám ides, 434
de prism as, 435
de trapecios, 261
d e triángulos, 402
bisectriz
d e u n a cu erd a, 354, 355
d e u n ángulo, 24, 148
de u n segm ento, 24
p erp en d icu lar, 29, 142, 217
Bolyai, Ján o s, 181
cad en a, regla d e la, 65
cara, 434
lateral
de u n a pirám ide, 434
202
594
In d ic e de m a te ria s
d e un prism a, 435
cardioide, 352, 359, 373
centro
de ro tació n , 488
de u n a esfera, 460
de un círculo, 17
d e un polígono, 408
cen tro id e de un triángulo , 242
cilindro, 452, 453
á re a de un, 453
bases de un, 452
eje de un, 452, 453
recto, 452
volum en del, 452, 453
círculo(s), 17, 341
án g u lo central del, 343
án g u lo inscrito en un, 343
ángulos form ados p o r cu erd as del, 374, 375
ángulos form ados p o r secantes del, 379
ángulos fo rm ad o s p o r tangentes a, 378
ángulos form ados p o r tan g en te y cu erd a del, 375
ángulos form ados p o r tan g en te y secante del, 379
arco d e un, 343
a rc o m a y o r del, 346
arco m en o r del, 346
á re a de un 420, 421
centro del, 17
circunferencia del, 416, 417
circunscrito, 238
congruentes, 347
cu erd a del, 342
d iám etro del, 17, 342
ecuación de!, 528, 529
inscrito, 238
m áxim o, 460
rad io del, 17, 342
secante del, 343
secto r del, 421
segm entos form ados p o r tan g en te y secante del, 380,
381
tangente al, 343, 361-65
com eta, 115, 207
com pás, 2 1
conclusión, 56
congruencia entre
ángulos, 2 0
arcos, 347
círculos, 347
cuerdas, 347, 350, 351
p artes de triángulos, 1 1 0 , 1 1 1
segm entos, 2 0
triángulos, 84, 85, 90, 91
cónicas, 534
co n ju n to s, 16
cono, 456, 457
a ltu ra in clin ad a del, 456
á re a d e u n , 456, 457
base del, 456
circular, 456
eje del, 456, 457
recto, 456
vértice d e un, 456
volum en del, 457
construcción(es), 2 1
con ho jas de plástico, 30
de a ltu ra s de un trián g u lo , 241
de ángulos, 2 1
de bisectrices de los án g u lo s d e u n trián g u lo , 241
d e bisectrices p erpendiculares d e los lad o s d e un
trián g u lo , 240
d e bisectriz d e ángulos, 25
de bisectriz p erp en d icu lar, 25
d e círculo circunscrito, 240, 328
d e c u ad rad o s, 31
d e la im agen de reflexión, 478, 479, 487
de la im agen d e ro tació n , 490
d e m edianas de un trián g u lo , 241
d e perpen d iculares a u n a recta a trav és d e u n p u n to
d a d o q u e n o está so b re la recta, 29
de perpen d iculares a u n a re c ta a través d e u n p u n to
d a d o sobre la recta, 29
d e polígonos
regulares, 34
sem ejantes, 314
de rectán g u lo áu reo , 301
de rectángulos, 30, 263
de rectas paralelas, 178
de ro m b o s, 263
de segm entos, 2 1
d e u n p aralelo g ram o , 263
d e u n p e n tág o n o regular, 274
d e u n segm ento dividido en segm entos congruentes,
23
d e u n trap ecio , 263
d e u n trián g u lo , 31, 8 8 , 94
contraejem p lo , 48, 49
co n trap o sitiv a, 60
conversa, 91
c o o rd en adas
d e u n p u n to en u n a recta, 74
d e u n p u n to en u n p lan o , 505
co o rd e n a d a x, 505
In d ic e d e m a te ria s
co o rd en ad a y, 505
cruce
en x , 527
en y, 524
cuadrado(s), 261
dividido en partes congruentes, 103
en un sistem a de coord en ad as, 507
líneas d e sim etría de u n , 496
p ro p ied ad es del, 285
cuad rilátero , 17, 32, 260
cubo, 464
en un sistem a tridim en sio n al d e c o o rd en ad as, 511.
523
m odelo d e un, 464, 467
secciones transversales del, 269, 275
cuerda(s), 342
bisectriz p erp en d icu lar d e u n a, 354, 355
congruentes, 347, 350, 351
lon g itu d de un a, 381
deltaedro, 442
deltoide, 384, 385
D escartes, René, 505
desigualdades
entre n úm eros, 514
e n tre triángulos, 45, 244, 248, 249
d iagonal de un polígono , 32
d iám etro de un círculo, 17, 342
diseño interior, 40
distancia
de un p u n to a u na recta, 29
e n tre d o s p u n to s, 72
fórm ula de la, 520
d o m o geodésico, 126, 202
ecuación
del círculo, 528, 529
de la recta, 524
eje
de u n cono, 456, 457
de un cilindro, 452, 453
elipse, 530, 534
«entre»
p u n to s, 12, 72
rayos, 73
E ratóstenes, 35
esfera, 460, 461
área d e la superficie d e una, 461
centro d e un a, 460
circunferencia m áxim a d e u n a, 460
en u n sistem a d e co o rd en ad as, 531
ra d io d e u n a, 460
volum en d e u n a, 460
espacio, 11
E uler, fórm ula de, 467
extrem o
d e u n rayo, 16
d e un segm ento, 16
figura(s)
espacial, 16
p lan a, 16
rígidas, 119
G au ss, K a rl F ried rich , 181
g eneralización, 44
falsa, 48, 49
g eom etría en n u estro m undo,
agrim ensura, 390, 391
a rq u itectu ra, 126, 127, 300, 301
diseñ o in terio r, 40, 41
fotografía, 80, 81
gráficas p o r c o m p u tad o r, 256, 257, 430, 431
m ineralogía, 194, 195
navegación, 472, 473
geom etría n o euclídiana, 181
gráfica
d e u n a recta, 524
d e u n círculo, 528, 529
p o r c o m p u ta d o r, 256, 430
h ep tág o n o , 32
H eró n , fórm ula de, 452
h exadiam ante, 108
h exágono, 32
líneas d e sim etría d e un h exágono regular, 496
h ip érb o la, 534
h ipo tenu sa, 199
hipótesis, 56
ilusiones ó pticas, 136
im agen, 476
in terio r
d e u n ángulo, 17
d e u n políg o n o , 32
595
596
In d ic e de m a te ria s
intersección
d e conjuntos, 16
d e planos, 68
de rectas, 13
inversa, 60
lad os
de un ángulo, 17
de un polígono, 32
d e un triángulo, 1 7
línea de sim etría, 494
línea o recta auxiliar, 157
L obachevsky, N icolai Ivanovitch, 181
locus o lu g ar geom étrico, 142, 148, 152
lon g itu d de un segm ento, 20, 72
m edia geom étrica, 322
m edianas
d e triángulos
equiláteros, 242
isósceles, 242
m edida en grados
de u n ángulo, 20
de un arco, 346, 347
m ineralogía, 194
m odus ponens (véase afirmación de la hipótesis)
modus tollens (véase negación d e la conclusión)
m ultiplicación d e iguales, 138
navegación, 472
negación d e la conclusión, 65
núm eros
hexagonales, 137
reales, p ropiedades de los, 130, 154
o ctág o n o , 32
origen, 504
paralelepípedo, 437
paralelogram o(s), 2 6 1
a ltu ra d e un, 399
á rea de un, 398, 399
base de un, 399
d iagonales d e un, 267, 282
en un sistem a de co o rd en ad as, 507
p ro p ied ad es del, 264, 265
p antógrafo, 308, 310
p a rá b o la , 534
p a r lineal de ángulos, 144
P ascal, trián g u lo de, 51
pendiente
d e rectas paralelas, 517
d e rectas p erpendiculares, 516
d e u n a recta, 512, 513
p en tág o n o , 32
líneas d e sim etría d e u n p en tág o n o regular, 4 9 6
pen tam in ó s, 94, 98, 102, 114
p erím etro , 408 i
d e p o líg o n o s sem ejantes, 412, 413
pi (n), 417
pirám ide(s), 434
a ltu ra d e una, 434
a ltu ra inclin ad a de, 434
á re a d e una, 441
arista d e la base d e u n a, 434
a rista lateral d e u n a, 434
m odelos de, 439, 450
regular, 434
vértice d e u n a, 434
volum en d e u n a, 448, 449
P itág o ras, teo rem a de, 226
plano(s)
figura d e un, 16
intersección de, 68
paralelos, 170
p erpendiculares, 28
poliedro(s), 434
caras d e un, 434
m o d elo s de, 99, 219, 234, 439, 446, 450, 466, 467
regulares, 4 6 4 ,4 6 5
polígono(s), 32
a lred e d o r d e p u n to s, colocación de, 280, 2 9 2
án g u los de, 292, 293
ángulos exteriores d e u n , 293
á reas d e p o líg o n o s sem ejantes, 412, 413
ce n tro d e u n , 408
con fo rm a d e estrella, 345, 374, 376, 377
convexo, 32
de n lados, 32
d iag o n al d e un, 32
in te rio r d e u n , 32
lad o s d e un, 32
po líg o n o regular, 33
a p o te m a d e u n , 408
á re a d e u n , 408, 409
c en tro d e un, 408
en espejos, 478
In d ic e d e m a te ria s
postulado(s), 52, 68
de C avalieri, 445
de la sum a de arcos, 346
d e la sum a de áreas, 395
de la su m a de regiones congruentes, 3 9 5
de la sum a d e volúm enes, 445
de la congruencia
ALA, 91
LA L, 91
L L L , 91
de la desigualdad del trián g u lo , 2 4 4
de la existencia de p u n to s, 68
de la intersección d e plan o s, 68
del área, 394
del rectángulo, 394
de la regla, 72
de la sem ejanza AAA, 316
d e la sep aració n del espacio, 69
de la separación de plan o s, 69
de las paralelas, 180
de las perpendiculares, 69
de los d o s p u n to s, la recta y el p lan o , 69
del p a r lineal, 146
del p u n to y el p lan o , 68
del p u n to y la recta, 68
del tra n sp o rta d o r, 73
del volum en, 444
de un sólido rectangular, 444
preim agen, 476
principio de la sustitución, 138
prism a(s), 435
a ltu ra de un, 435
á re a d e un, 440, 441
aristas laterales de, 435
b ase de un, 435
caras laterales de, 435
m odelos de, 446
recto, 435
volum en de un, 444, 445
p ro p ie d a d e s)
a d itiv a de las desigualdades, 1 5 4
d e los núm eros, 130, 138, 154
de m ultiplicación de las desigualdades, 1 5 4
de trico to m ía, 154
reflexiva, 130
sim étrica, 130
tran sitiv a, 130
d e las desigualdades, 154
p rop o rcio n es, 304, 305
en m odelos a escala, 307, 313
en p olígo nos sem ejantes, 312, 3 1 3 ,4 1 2 ,4 1 3
p ro d u c to s de, 307
p roposiciones
equivalentes, 61
si-entonces, 56, 57
si-entonces v erdadera, 57, 60, 61
si, y sólo si, 6 1
prueba(s),
a d o s colum nas, 96
afirm ación d e la hipótesis, 96
co n el u so d e co o rd en ad as, 532, 533
co n el uso de definiciones, 100, 101, 104
105
co n el uso de p o stu lad o s, 90, 91, 104, 105
in d irecta, 158, 159
pasos p a ra u n a, 130-33, 158, 159
p u n to m edio d e un segm ento, 2 4
c o o rd e n a d a s del, 508
punto(s), 10, 12
«entre», 12, 72
colineales, 13
coordenada(s) de, 74, 505
coplanares, 13
d istan cia en tre, 72, 520
n o colineales, 13
n o co p lan a res, 13
rad io
d e un circulo, 17, 342
de u n a esfera, 460
rayo, 16
razón
d e la tangente, 330
del coseno, 330
del seno, 330
razo n am ien to ,
afirm ación d e la hipótesis, 64, 96
d eductivo, 52, 53
in ductivo, 44, 45
negación d e la conclusión, 65
regla d e la cad en a, 65
razo n es trig o n o m étricas, 330, 331
identidades, 332
p a ra án g u lo s especiales, 334, 335
ta b la d e valores, 331
rectángulo(s), 2 6 1
á re a d e un, 395
áureo, 300, 324
en u n sistem a d e co o rd en ad as, 507
líneas d e sim etría de, 496
p ro p ied ad es del, 282, 283
597
598
In d ic e d e m a te ria s
recta(s), 13
alabeadas, 170
auxiliares, 157
concurrentes, 13, 236-39
en un trián g u lo , 236-39
ecuación d e la, 524
intersección, 13
p a ra le la a un p lan o , 170
paralelas, 13, 174, 175
p en diente d e u na, 512, 513
perpendiculares, 28
a un p lan o , 28
reflexión(es), 476
con h o jas de plástico, 476, 478
de ángulos, 477
d e segm entos, 477
en un sistem a de co o rd en ad as, 510, 514, 518
p a ra la solución de pro b lem as 480, 481
reflexión de u na, 485, 489
región poligonal, 394
resta de iguales, 138
rom bo(s), 261
líneas de sim etría d e un, 496
p ro p ied ad es del, 283
rotación(es), 488, 489
c o m o reflexión oe u n a reflexión, 489
secante, 343
sección
áu rea, 149
transversal, 445
sector d e un círculo, 421
segm ento(s), 16
bisectriz d e un, 24
bisectriz p erpendicular d e un, 29, 142, 217
congruentes, 20
con stru cció n d e, 21
divididos en segm entos congruentes, 23, 286
lon g itu d de un, 20, 72
p u n to m edio de un, 24, 508
resta de iguales, 139
secante, 380
su m a de iguales, 139
tangente, 380
sem iespacío, 69
sem iplano, 69
sim etría, 194, 195, 494, 495
cen tro de, 495
línea d e 494
líneas de, en polígonos, 496
reflexiva, 494
ro tacio n al, 495
sistem a d e co o rd en ad as, 504, 505
origen d el, 504
po lares, 522
tridim en sio n al, 515, 523, 531
sólidos, 434
rectangulares, 444
su b co n ju n to , 16
superficie (o área)
d e cilindros, 453
d e conos, 457
d e esferas, 461
de p irám ides, 441
d e p rism as, 440, 441
su m a d e iguales, 138
tan g e n te a u n círculo, 349
T an g ram , ro m pecabezas, 7, 268
técnicas p a ra la solución d e problem as,
d ib u ja r u n d iag ram a, 39
e x a m in a r casos especiales, 501
hacer u n a ta b la I, 167
hacer u n a ta b la II, 223
hacer u n d ib u jo preciso, 471
tra b a ja r h acia a trá s, 339
teo d o lito , 390
teorem a, 52
de la h ip o ten u sa y el án g u lo , 213
d e la h ip o ten u sa y el cateto , 216
d e la sem ejanza
AA, 316
LA L, 327
L L L , 326
d e los án g u lo s verticales, 150
d e los com p lem en to s congruentes, 145
d e los suplem entos congruentes, 146
del án g u lo exterio r, 154
del segm ento m edio, 276
d e P itá g o ra s, 226
fu n d am en tal d e la p ro p o rcio n a lid a d , 308
LA A , 212
pasos p a ra d em o strar u n , 130-33
uso d e la p ru e b a indirecta, 158, 159
térm in o s indefinidos, 10, 11, 52
teselados, 40
trapecio(s), 261
a ltu ra d e u n , 403
á re a d e u n , 403
bases de un, 261
isósceles, 289
In d ic e d e m a te ria s
propiedades del, 288, 289
transform ación(es), 476-95
en u n sistem a de co o rd en ad as, 536
im agen de u n a, 476
preim agen de un a, 476
reflexión, 476, 477
ro tació n , 488, 489
traslación, 484, 485
tra n sp o rta d o r, 22
transversal, 171, 174
triángulo(s), 17
acutángulo, 198
altu ra de un, 199
ángulos exteriores de u n , 154, 209
ángulos interiores no contiguos d e un, 154
área de un, 402, 403
bisectrices de los ángulo s d e u n , 45, 237
cen tro id e de un, 242
congruentes, 84, 85, 90, 91
d em o stración de congruencia entre, 96, 97, 104, 105,
110, 111, 116, 117, 120, 121
desigualdades del, 45, 244, 248, 249
equiángulo, 199, 203
equilátero, 33, 198, 203, 209
en un sistem a de co o rd en ad as, 507
m edida d e los ángulos d e un, 209
escaleno, 198
isósceles, 33,198, 202, 203
p ropiedades del, 132, 202, 203
lados de un, 17
m ed ian as de, 239
o b tu sán g u lo , 199
partes congruentes de, 110, 111
p a rte s co rresp o n d ien tes de, 85
rectán g u lo , 199, 226, 227
cate ro s d e un, 199
45°-45°-90°, 232, 233
h ip o te n u sa d e un, 199
m edias geom étricas d e un, 322, 323
sem ejantes, 316, 317, 322, 323
teo rem as d e co n g ru en cia p ara , 213, 216
30°-60“-90°, 232, 233
sem ejantes, 316, 317, 326, 327
su m a d e la m ed ida d e los ángulos d e un, 44, 208
teorem as d e co n cu rre n c ia de, 236-39
30°-60°-90°, 232, 233
vértices d e u n , 17
u n id ad es c u ad rad as, 261
unión d e co nju n to s, 16
vértice(s)
d e u n án g u lo , 17
d e u n a pirám id e, 434
d e un co no , 456
d e u n políg o n o , 32
d e u n trián g u lo , 17
v olum en, 444
d e u n a esfera, 460
d e u n a pirám ide, 448, 449
de u n c o n o , 457
d e u n cilin d ro , 453
d e u n prism a, 444, 445
GEOMETRIA
S e terminó d e imprimir e n abril d e 1998
en los talleres d e L asna Grafhic, S.A. d e C.V.
Mixcoatl No. 452 Col. S anta Isabel Tola
C.P. 07010 México, D.F.
S e imprimieron 3 000 ejem plares
599
.[600 ]
598
Reconoció
recta
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2 ar. izq.
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L ick O b serv ato ry /U n iv ersity of
C alifornia
ar. cent
G ra n t H eilm an P h o to g rap h y
ab. izq.
G ra n t H eil P h o to g ra p h y
3 ar. izq.
G eorge B. F ry III*
ar. der.
Jim G oldberg*
ab. izq.
G eorge B. F ry III*
ab. der.
Rene B u rri/M ag n u m P h o to s
9
R o b ert A. Isaacs
14
G eorge B. F ry III*
17 ar. cent... ab. G eorge B. F ry III*
33 ab. der.
G eorge B. F ry III*
43
G eo rg e B. F ry III*
44
B. C. con p erm iso de Jo h n n y H a rt y
Field E nterprises
48
© copyright, 1980, U niversal Press
Syndicate. T o d o s los derechos
reservados
50
H ale O bservatories
53
© 1961 U nited F e a tu re Syndicate, Inc.
56
© 1961 U nited F e a tu re Syndicate, Inc.
64
© 1961 U n ited F eatu re Syndicate, Inc.
65 ar., ab.
© 1971 U n ited F ea tu re Syndicate! Inc.
83
R ene B u rri/M ag n u m P h o to s
84
C o rtesia d e G en eral M o to rs
104
© 1980 U n ited F ea tu re Syndicate, Inc.
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B aro n W olm an*
126 ar.
T o m S tack/T om S tack & Associates
ab.
R oger B. S m ith /E d ito rial P h o to c o lo r
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129
R obert A. Isaacs
130
© 1958 U nited F eatu re Syndicate
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Games and P uzzles, N um . 46 (m arzo
1976), con perm iso d e E duG am es
(U .K .) Ltd.
150
Sam uel C h am b erlain
158
B. C. co n perm iso d e Jo h n n y H a rt
a n d Field E nterprises
162
C o p y rig h t © 1969 de M artin
G ard n er, R eim preso co n perm iso
de S IM O N & S C H U S T E R , una
division de G u lf & W estern
C o rp o ratio n .
169
R obert A. Isaacs
170
© 1979 Steve F in b erg
181
C ulver Pictures
194 ar.
© Lester V. B ergm an & Associates
197
Jim G oldberg*
202
Rene B u rri/M ag n u m P hotos
225
R obert A. Isaacs
236
© L e o n a rd F reed /M ag n u m P hotos
244
R obert A. Isaacs
256 ar.
C o rtesia d e T h e Perkin-E lm er
C o rp o ratio n
260075
ab. i
ab.
259
290
300
301, 303
304 ar.
307 ab.
¿12 izq.
der.
322, 325
330
341
350, 351
369
390 ar. izq.
393
403
408
416
433
434 ar.
444
460
464 ar. izq.
ar. der.
475
476
479 ab . der.
484
494 ar., cent.
503
536
C o rtesia de A pplicon, Inc.
L ockheed M issiles a n d Space
C o m p an y , Inc.
Jo sep h W. M o lito r
B ureau o f R eclam ation
M ich o s T zo v o ras/E d ito rial
P h o to c o lo r Archives, Inc.
Joseph W. M o lito r
Bill P lum m er*
C o rtesia de L eR oy T ro v er an d
A ssociates
C h evrolet M o to rs D ivision, G eneral
M o to rs C o rp o ra tio n
L ockheed-C alifornia C om pany
G ra n t H eilm an P h o to g ra p h y
Ju lian E. C a ra b allo /T o m Stack &
A ssociates
R o b ert A. Isaacs
Illinois S ta te U niversity P h o to
Services
P hiz M ezey*
P hiz M ezey*
© 1979 B arrie R okeach
U.S. D ep a rtm en t o f In terio r
U.S. A ir F orce
F o to co rtesia d e H ew lett-P ack ard
C o m p an y
R o b ert A. Isaacs
S cala/E d ito rial P h o to c o lo r Archives,
Inc.
B aron W olm an*
NASA
D avid S ch arf/P eter A rn o ld Inc.
L ester V. B ergm an & A ssociates
R obert A. Isaacs
D ib u jo de W. M iller; © 1962, The
N ew Y o rk er M agazine, Inc.
D e M a rtin G ard n er, The
A m bidextrous Universe. C o p y rig h t
© 1979 d e M artin G a rd n e r (N ueva
York: C harles S cribner's Sons,
1979) R eim preso co n perm iso de
C harles S cribner’s Sons.
D ibujo de C h arles A ddam s; © 1957
T he N ew Y o rk er M agazine, Inc.
G eorge B. F ry III*
R obert A. Isaacs
R obert E. S haw /U niversity of
C onnecticut
* F otografías p ro p o rc io n a d a s expresam ente p ara el
editor. L as d em ás fotografías so n d e W ayland Lee, de
la p lan tilla de Addison-W esley.
G e o m e tría c o n a p lic a c io n e s y s o lu c ió n d e p ro b le m a s e s u n t e x t o q u e d e s ta c a
la r e la c ió n e s tr e c h a q u e e x is t e e n tr e lo s c o n c e p t o s g e o m é t r ic o s y s u s a p lic a c io
n e s e n el m u n d o q u e n o s ro d e a . L a s id e a s e n q u e s e b a s a ro n lo s a u to r e s p a ra
r e a liz a r e s ta o b r a s o n :
1 L a g e o m e tr ía s u r g e a p a r t ir d e la o b s e r v a c ió n d e c o s a s s im p le s y r e la c io
nes co m unes.
2 . L a c a p a c id a d d e r e d a c ta r p ru e b a s d e b e d e s a r r o lla r s e e m p e z a n d o c o n la s
s it u a c io n e s m a s s e n c illa s .
3. L o s e s tu d ia n te s d e g e o m e t r ía d e b e n d e s a r r o lla r s u c a p a c id a d e n e l m a r
c o d e l p e n s a m ie n to c r i t i c o , e l r a z o n a m ie n to ló g ic o y la r e s o lu c ió n d e p r o
b le m a s .
4. El e s t u d io d e la g e o m e tr ía n o d e b e a is la r s e d e l m u n d o n i d e o tr a s á re a s
d e la s m a te m á tic a s .
E l t e x t o r e s u lta p r á c t ic o p a ra e l e s t u d io d e la g e o m e tr ía p u e s s u le n g u a je e s b r e
ve p e ro p r e c is o , lo s e je r c ic io s e s tá n c la s if ic a d o s e n tr e s n iv e le s d e d if ic u lt a d , se
in c lu y e la m a y o r ía d e la s r e s p u e s ta s a lo s p r o b le m a s im p a r e s y a l f in a l h a y u n
g lo s a r io d e té r m in o s .
E l e s t u d io d e e s ta o b r a h a rá q u e e l le c t o r a u m e n te s u h a b ilid a d p a ra r e s o lv e r p r o
b le m a s y q u e v e a u n m u n d o f í s ic o m á s c o m p r e n s ib le .
O T R A S O B R A S D E IN T E R É S P U B L IC A D A S P O R
A D D IS O N -W E S L E Y IB E R O A M E R IC A N A :
K E E D Y /B IT T IN G E R : Á lg e b ra y trig o n o m e tr ía (0 3 8 7 9 )
A R IZ M E N D I/C A R R IL L O /L A R A : C á lc u lo , p r im e r c u rs o n iv e l s u p e r io r (6 4 0 2 0 )
T H O M A S /F IN N E Y : C á lc u lo c o n g e o m e tría a n á litic a , s e x ta e d ic ió n
V o lu m e n 1: c a p í t u lo s 1 a 10 (6 4 0 1 2 )
V o lu m e n 2: c a p í t u lo s 11 a 18 (6 4 0 1 4 )
E d ic ió n c o m p le t a (64011)
