EAFIT Escuela de Administración Casos de administración. Realidades colombianas María Andrea de Villa Correa –Editora académica– El riesgo y la historia empresarial antioqueña Rubi Consuelo Mejía Quijano Escuela de Ciencias y Humanidades Lógica básica para la verdad aristotélica Manuel Sierra A. Ecuaciones diferenciales Orlando García Jaimes Jairo A. Villegas Gutiérrez Jorge Iván Castaño Bedoya José A. Sánchez Cano Escuela de Ingeniería Métodos numéricos Francisco José Correa Zabala Dinámica de estructuras Sistemas de un grado de libertad Juan Carlos Botero Palacio Simulación numérica de turbinas Francis Santiago Laín Beatove Manuel Julio García Ruiz François Avellan Brian Quintero Arboleda Santiago Orrego Bustamante En el presente texto se ilustra el procedimiento de análisis y diseño sísmico de un edificio de acuerdo con el Reglamento Colombiano de Construcciones Sismo Resistentes, NSR-10. Se desarrolla un modelo analítico lineal de pórticos tridimensionales, se analiza una estructura en el espacio y se ilustra y desarrolla el diseño y detalle de los diferentes elementos que lo conforman como son las columnas, vigas, nudos y muros. No sólo se aplica la norma sino que se discuten sus disposiciones y se compara con las normas de otros países. C A EAFIT Escuela de Derecho Hans Kelsen. El reto contemporáneo de sus ideas políticas Mario Montoya Brand Nataly Montoya Restrepo –Editores y compiladores– Análisis y diseño sísmico de edificios Roberto Rochel Awad COLECCIÓN ACADÉMICA Análisis y diseño sísmico de edificios Roberto Rochel Awad COLECCIÓN ACADÉMICA ESCUELA DE INGENIERÍA Roberto Rochel Awad Ingeniero Civil de la Universidad de la Salle, Magíster en Estructuras de la Universidad Nacional de Colombia, profesor invitado de la Universidad del Norte en Barranquilla, Universidad Industrial de Santander, en Bucaramanga, y Universidad Nacional, Sede Medellín. Expresidente de la Asociación de Ingenieros Estructurales de Antioquia, Profesor Emérito de la Universidad EAFIT, donde ha sido jefe de la carrera de Ingeniería Civil y decano encargado de la Escuela de Ingeniería en varias ocasiones. Actualmente es docente de tiempo completo de la carrera de Ingeniería Civil de la Universidad EAFIT. Autor del libro Hormigón reforzado publicado por este mismo Fondo Editorial. Análisis y diseño sísmico de edificios Roberto Rochel Awad Rochel Awad, Roberto Análisis y diseño sísmico de edificios / Roberto Rochel Awad. -Medellín : Fondo Editorial Universidad EAFIT, 2012. 388 p. ; 22 cm. -- (Colección académica) Incluye referencias bibliográficas. ISBN 978-958-720-117-8 1. Ingeniería sísmica. 2. Diseño sismo resistente 3. Diseño de Estructuras 4. Construcciones sismo resistentes - Diseño I. Tít. II. Serie. 693.85 cd 21 ed. A1332098 CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango Análisis y diseño sísmico de edificios Segunda edición: abril de 2012 Segunda reimpresión: noviembre de 2012 © Roberto Rochel Awad © Fondo Editorial Universidad EAFIT Carrera 48A # 10 Sur- 107, Tel. 261 95 23 www.eafit.edu.co/fondoeditorial Correo electrónico: fonedit@eafit.edu.co ISBN: 978-958-720-117-8 Diseño de colección: Miguel Suárez Fotografía de carátula: Robinson Henao, Edificio de Ingenierías, Universidad EAFIT. Editado en Medellín, Colombia Tabla de contenido Capítulo 1 Fundamentos del diseño sísmico de edificios 1.1 1.2 1.3 1.4 Aspectos generales del diseño sísmico ............................... Filosofía del diseño sismo resistente .................................. Solicitaciones sísmicas .......................................................... Amenaza sísmica .................................................................... 25 27 28 31 1.4.1 Espectro de respuesta sísmica ...................................... 34 1.4.2 Espectro elástico de diseño........................................... 41 1.4.3 Espectro inelástico de diseño ....................................... 45 1.5 Configuración estructural de la edificación y coeficiente de capacidad de disipación de energía para ser empleado en el diseño, R ........................................................................ 84 1.5.1 Asimetrías del sistema estructural de resistencia sísmica............................................................................ 84 1.5.2 Redundancia del sistema estructural de resistencia sísmica............................................................................ 91 1.5.3 Recomendaciones para una buena estructuración ....... 92 1.6 Evaluación de la deriva máxima .......................................... 96 1.6.1 Límites de la deriva máxima ......................................... 96 1.6.2 Separación entre estructuras adyacentes por consideraciones sísmicas ............................................... 97 Capítulo 2 Filosofía del diseño sísmico 2.1 Sistemas estructurales .......................................................... 101 2.1.1 Sistema de muros .......................................................... 102 2.1.2 Sistema de pórticos dúctiles a flexión .......................... 103 2.1.3 Sistema de pórticos ....................................................... 103 2.1.4 Sistema dual .................................................................. 104 2.1.5 Sistema combinado ....................................................... 105 2.2 Métodos de análisis ............................................................... 106 2.2.1 Método de la Fuerza Horizontal Equivalente .............. 108 2.2.2 Método del análisis dinámico elástico .......................... 108 2.3 Aspectos generales del diseño sísmico ............................... 109 2.3.1 Comportamiento de las estructuras hiperestáticas ...... 111 2.3.2 Ejemplo numérico ......................................................... 113 2.4 Filosofía del diseño sísmico según la NSR-10 .................. 116 2.5 Procedimiento para el diseño a flexión de vigas y columnas .................................................................................. 119 2.5.1 Diseño a flexión de vigas ............................................... 119 2.5.2 Diseño a flexo-compresión de columnas ...................... 119 2.6 Procedimiento para el diseño a cortante de vigas y columnas .................................................................................. 121 2.6.1 Estructuras con Demanda Moderada de Ductilidad (DMO)........................................................................... 121 2.6.2 Estructuras con Demanda Especial de Ductilidad (DES) ............................................................................ 125 Capítulo 3 Análisis tridimensional 3.1 Introducción............................................................................ 129 3.2 Hipótesis del modelo matemático ...................................... 130 3.3 Definiciones ............................................................................ 132 3.4 Sistema global de coordenadas ............................................ 133 3.5 Procedimiento de análisis, diagrama de flujo.................... 134 3.6 Matriz de rigidez de la estructura....................................... 135 3.6.1 Fundamentos ................................................................. 135 3.6.2 Desplazamientos de los entrepisos............................... 137 3.6.3 Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales .......................................................................... 138 3.7 Vector de cargas ...................................................................... 140 3.7.1 Coordenadas del centro de cortante ............................. 140 3.7.2 Coordenadas del centro de torsión ............................... 141 3.7.3 Excentricidades estáticas y de diseño .......................... 143 3.7.4 Momentos torsores ........................................................ 146 3.8 Análisis de los pórticos planos ............................................. 147 3.8.1 Desplazamientos de los entrepisos............................... 147 3.8.2 Desplazamientos de los pórticos planos ....................... 148 3.8.3 Cortantes y fuerzas sísmicas en los pórticos................. 148 3.9 Control de derivas .................................................................. 149 3.10 Ejemplo .................................................................................... 149 3.11 Análisis del período natural de vibración, T. ..................... 185 3.11.1 Métodos empíricos ........................................................ 185 3.11.2 Método de análisis dinámico ........................................ 186 3.11.3 Método de Rayleigh ...................................................... 188 3.11.4 Restricciones de la NSR-10 .......................................... 190 3.11.5 Revisión del período ...................................................... 191 Capítulo 4 Análisis y diseño de vigas 4.1 Introducción............................................................................ 193 4.2 Materiales ................................................................................ 195 4.3 Requisitos de diseño ............................................................. 196 4.3.1 Requisitos geométricos ................................................. 196 4.3.2 Requisitos generales para el refuerzo longitudinal ...... 197 4.3.3 Detallado del refuerzo en flexión ................................. 200 4.4 Tuberías embebidas ............................................................... 217 4.5 Sistema de losas aligeradas o nervadas ............................... 218 4.6 Requisitos de diseño sismo resistente para vigas, NSR-10 .................................................................................... 223 4.7 Ejemplo de diseño ................................................................. 229 4.8 Comentarios sobre la NSR-10 ............................................. 255 4.8.1 Secciones críticas para el diseño del refuerzo negativo.......................................................................... 255 4.8.2 Longitud de desarrollo para barras terminadas con gancho estándar, estructuras con demanda especial de ductilidad............................................. ..................... 255 4.8.3 Espesores mínimos de vigas y columnas en uniones interiores, estructuras con demanda moderada de ductilidad.......................................... ........................ 256 4.8.4 Método para evaluar el cortante de diseño en vigas de estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO ................................................................................ 257 4.8.5 Factor de seguridad a cortante para estructuras aporticadas con demanda moderada de ductilidad ...... 258 4.8.6 Zonas de traslapos en vigas de estructuras con demanda moderada de ductilidad................................................. 259 Capítulo 5 Análisis y diseño de columnas 5.1 Definición................................................................................ 261 5.2 Requisitos geométricos ......................................................... 261 5.3 Requisitos para el refuerzo ................................................... 262 5.3.1 Refuerzo longitudinal .................................................... 262 5.3.2 Refuerzo transversal ...................................................... 265 5.4 Longitud de diseño, Lu ......................................................... 271 5.5 Cambios de sección ............................................................... 272 5.6 Requisitos de diseño ............................................................. 274 5.6.1 Requisitos generales ...................................................... 274 5.6.2 Requisitos de diseño a flexión ...................................... 275 5.6.3 Requisitos de diseño a cortante .................................... 277 5.6.4 Empalmes o traslapo del refuerzo................................. 279 5.7 Ejemplo de diseño ................................................................. 282 5.8 Especificaciones de diseño para columnas, NSR-10 ....... 295 Capítulo 6 Uniones viga-columna 6.1 Introducción............................................................................ 305 6.2 Criterios de diseño................................................................. 307 6.3 Comportamiento esperado de las uniones ........................ 307 6.4 Clasificación de los nudos .................................................... 309 6.4.1 Según su geometría y su confinamiento ....................... 309 6.4.2 Clasificación del ACI según su comportamiento ........... 310 6.4.3 Clasificación de la NSR-10 según su comportamiento ............................................................ 312 6.5 Análisis de los nudos para estructuras con ductilidad especial .................................................................................... 313 6.5.1 Nudos interiores ............................................................ 313 6.5.2 Nudos exteriores ........................................................... 317 6.5.3 Nudos de esquina .......................................................... 319 6.6 Diseño de las uniones viga-columna .................................. 320 6.6.1 Secciones críticas........................................................... 320 6.6.2 Longitud de desarrollo .................................................. 321 6.6.3 Fuerza cortante en los nudos interiores ........................ 323 6.6.4 Resistencia del hormigón a tensiones cortantes .......... 326 6.6.5 Refuerzo transversal en los nudos................................. 328 6.7 Las uniones en los planos de construcción ....................... 329 6.8 Especificaciones de diseño para los nudos ........................ 330 6.9 Ejemplo de diseño............................................................ 334 6.10 Observaciones sobre la NSR-10 .......................................... 340 Anexo A Teoría general de columnas 7.1 Columnas uniaxiales .............................................................. 341 7.1.1 Tipos de refuerzo .......................................................... 341 7.1.2 Tipos de columnas......................................................... 341 7.1.3 Columnas rectangulares uniaxiales, simétricas, con refuerzo en dos caras .............................................. 342 7.2 Columnas biaxiales ................................................................ 353 7.2.1 Método de la superfice de falla..................................... 355 7.3 Ejercicios ................................................................................. 359 Referencias bibliográficas ................................................................ 383 Índice de tablas Tabla 1.1 Valores de Aa y Av para algunas ciudades capitales de departamento, para otras ciudades véase el Apéndice A-4 de la NSR-10 ......................................................................... 34 Tabla 1.2 Valores del coeficiente de importancia ....................................... 50 Tabla 1.3 Clasificación de los perfiles del suelo ......................................... 52 Tabla 1.4 Criterios para clasificar suelos dentro de los perfiles de suelo tipo C, D o E ................................................................. 53 Tabla 1.5 Valores del coeficiente Fa, para zonas de períodos cortos del espectro .................................................................................. 53 Tabla 1.6 Valores del coeficiente Fv, para zonas de períodos intermedio del espectro .................................................................................. 54 Tabla 1.7 Valores del coeficiente Ct, y a para el cálculo del período aproximado Ta ............................................................................... 55 Tabla 1.8 Valores del coeficiente básico debido a la redundancia, Ro ....... 62 Tabla 1.9 Sistemas estructurales de muros de carga, NSR-10, Tabla A.3-1 ................................................................................... 67 Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 ............... 70 Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10, Tabla A.3.3.................................................................................... 75 Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 ..................... 79 Tabla 1.13 Mezcla de sistemas estructurales en altura ................................ 88 Tabla 1.14 Derivas máximas como porcentaje de hpi .................................... 97 Tabla 1.15 Separación sísmica mínima en la cubierta entre edificaciones colindantes que no hagan parte de la misma construcción ........ 98 Tabla 2.1 Proporcionamiento de sobre resistencia .................................... 114 Tabla 2.2 Sobre-resistencia residual ............................................................ 115 Tabla 2.3 Especificaciones para diseño a flexión de columnas según la NSR-10 ..................................................................................... 120 Tabla 2.4 Especificaciones para diseño a cortante de vigas según la NSR-10 ..................................................................................... 126 Tabla 2.5 Especificaciones para diseño a cortante de columnas según la NSR-10 ..................................................................................... 126 Tabla 4.1 Dimensiones de los ganchos estándar ........................................ 202 Tabla 4.2 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado con gancho estándar a 90°, DMI y DMO ............................................... 204 Tabla 4.3 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado con gancho estándar a 90°, DES .......................................................... 205 Tabla 4.4 Longitudes de desarrollo para barras rectas a tracción, refuerzo sin recubrimiento epóxico (e = 1.0), hormigón de peso normal (l=1.0), fy=4,200 kgf/cm2, f ’c=210 kgf/cm2. Estructuras con demanda mínima, DMI y moderada DMO de ductilidad ........ 206 Tabla 4.5 Longitudes de desarrollo para barras rectas a tracción, refuerzo sin recubrimiento epóxico (e = 1.0), hormigón de peso normal (l=1.0), fy=4,200 kgf/cm2, f ’c=210 kgf/cm2. Estructuras con demanda especial de ductilidad, DES ................................... 207 Tabla 4.6 Requisitos geométricos para las vigas.......................................... 223 Tabla 4.7 Refuerzo longitudinal en vigas .................................................... 224 Tabla 4.8 Refuerzo transversal en vigas....................................................... 226 Tabla 4.9 Tensiones cortantes en vigas ....................................................... 228 Tabla 5.1 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas a tracción, estructuras con demanda mínima, DMI; y demanda moderada, DMO, de ductilidad, t = 1.0, e = 1.0 ...................... 280 Tabla 5.2 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas a tracción, estructuras con demanda especial, DES, de ductilidad, cálculo según literal (a) ............................................................... 282 Tabla 5.3 Requisitos geométricos ................................................................ 295 Tabla 5.4 Resistencia mínima a la flexión de las columnas ........................ 296 Tabla 5.5 Refuerzo longitudinal en las columnas ....................................... 297 Tabla 5.6 Refuerzo transversal en las columnas .......................................... 298 Tabla 5.7 Requisitos para refuerzo a cortante en columnas ....................... 303 Tabla 6.1 Altura mínima para vigas o columnas basadas en la adherencia de refuerzo longitudinal que pasa a través de un nudo interior ...... 317 Tabla 6.2 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo de las vigas terminadas con ancho estándar, DMI y DMO .................................................................................... 322 Tabla 6.3 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo de las vigas terminadas con ancho estándar, DES ................................................................................ 323 Tabla 6.4 Valores de g para el cálculo de la resistencia a cortante de las uniones viga-columna .................................................................. 326 Tabla 6.5 Requisitos generales para el diseño de las uniones viga-columna ................................................................................ 330 Tabla 6.6 Requisitos para el refuerzo transversal en las uniones viga-columna ................................................................................ 331 Tabla 6.7 Requisitos para el diseño a cortante en las uniones viga-columna ................................................................................ 332 Tabla 6.8 Requisitos para el desarrollo del refuerzo dentro de las uniones viga-columna ................................................................................ 333 Tabla 7.1 Cálculo de los puntos que definen el diagrama de interacción . 351 Índice de figuras Figura 1.1 Propagación de la energía sísmica desde el hipocentro o foco hasta la estructura ..................................................................... 31 Figura 1.2 Mapa de amenaza sísmica en Colombia ................................... 33 Figura 1.3 Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento ........... 35 Figura 1.4 Espectro de respuesta de desplazamiento ............................... 38 Figura 1.5 Espectro de aceleraciones, sismo de El Centro, California, mayo 18 de 1940........................................................................ 39 Figura 1.6 Espectro de respuesta de aceleraciones ................................... 40 Figura 1.7 Espectro elástico promedio de aceleraciones........................... 42 Figura 1.8 Espectro de diseño suavizado ................................................... 43 Figura 1.9 Espectro elástico de diseño para Colombia, NSR-10, Sec. A.2.6 ................................................................................... 45 Figura 1.10 Procedimientos simplificados para obtener espectros inelásticos de diseño ................................................................................... 46 Figura 1.11 Espectro de diseño inelástico para Colombia, NSR-10, Sec. A.2.6 ................................................................................... 46 Figura 1.12 Comportamiento de una estructura aporticada ante cargas monotónicas............................................................................... 47 Figura 1.13 Modificación de la respuesta debido a la ductilidad................ 57 Figura 1.14 Criterio de igualdad de desplazamientos ................................. 58 Figura 1.15 Criterio de igualdad de energía ................................................ 59 Figura 1.16 Variación del factor Rom con la ductilidad y el período ............. 60 Figura 1.17 Sistemas estructurales de pórticos y de muros de carga.......... 64 Figura 1.18 Sistemas estructurales dual ...................................................... 65 Figura 1.19 Irregularidades en planta .......................................................... 89 Figura 1.20 Irregularidades en altura ........................................................... 90 Figura 1.21 Derivas de entrepiso ................................................................. 96 Figura 1.22 Medición de la separación sísmica (vista en elevación) .......... 99 Figura 2.1 Viga hiperestática de dos luces continuas ................................ 112 Figura 2.2 Viga continua de dos luces con articulación plástica en el apoyo B .................................................................................. 112 Figura 2.3 Viga continua de dos luces con articulación plástica en el apoyo B y la L2 ..................................................................................... 113 Figura 2.4 Demanda de resistencia a la flexión en t-m ............................. 113 Figura 2.5 Formación de la primera articulación plástica en el apoyo B ... 115 Figura 2.6 Diferentes tipos de mecanismos de falla en estructuras aporticadas de hormigón reforzado ........................................... 116 Figura 2.7 Equilibrio de momentos en un nudo, SMcol = SMvig ............... 119 Figura 2.8 Cortante de diseño en vigas y columnas .................................. 123 Figura 2.9 Cortante en las columnas Vc = (Mvi + Mvd) / H ...................... 127 Figura 3.1 Los efectos sísmicos se analizan independientemente en dos direcciones ortogonales ............................................................. 131 Figura 3.2 Sistema global de coordenadas ................................................. 133 Figura 3.3 Diagrama de flujo ...................................................................... 134 Figura 3.4 Efectos de las acciones sísmicas sobre las estructuras ............. 135 Figura 3.5 Análisis de la torsión, momento torsor ..................................... 136 Figura 3.6 Distancia del pórtico j al origen de coordenadas, rj ................. 136 Figura 3.7 Desplazamientos del entrepiso, nivel i-ésimo ........................... 137 Figura 3.8 Vista en planta del pórtico j en el nivel i-ésimo de una estructura cualquiera ................................................................ 137 Figura 3.9 Desplazamiento del pórtico j en el nivel i en función de los desplazamientos del nivel i ....................................................... 138 Figura 3.10 Fuerza aplicada al pórtico j para producir el desplazamiento dji ..................................................................... 139 Figura 3.11 Análisis del sismo en X.............................................................. 142 Figura 3.12 Análisis del sismo en Y .............................................................. 143 Figura 3.13 Excentricidades de diseño según las diferentes normas ......... 145 Figura 3.14 Análisis del sismo en X.............................................................. 146 Figura 3.15 Análisis del sismo en Y .............................................................. 147 Figura 3.16 Desplazamientos de los nudos.................................................. 148 Figura 3.17 Cortantes y fuerzas horizontales .............................................. 148 Figura 4.1 Requisitos geométricos para las vigas de pórticos dúctiles de hormigón reforzado .............................................................. 197 Figura 4.2 Envolvente de momentos para vigas de pórticos dúctiles de hormigón............................................................................... 197 Figura 4.3 Zonas confinadas y de traslapos en vigas de pórticos resistentes a momentos, DMO y DES ............................................................ 198 Figura 4.4 Distribución de estribos en vigas de pórticos con demanda especial de ductilidad, DES ....................................................... 199 Figura 4.5 Distribución de estribos en vigas de pórticos con demanda moderada de ductilidad ............................................................ 200 Figura 4.6 Recubrimiento y separación del refuerzo longitudinal en vigas ...................................................................................... 200 Figura 4.7 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los nudos exteriores .................................................................................. 202 Figura 4.8 Dimensiones mínimas de vigas y columnas para anclaje en nudos exteriores ........................................................................ 202 Figura 4.9 Desarrollo del refuerzo negativo en un apoyo interior............. 209 Figura 4.10 Diagrama de momentos flectores con inversión en el apoyo central ........................................................................................ 209 Figura 4.11 Dimensiones mínimas de vigas y columnas en uniones interiores, pórticos de hormigón con DES ................................. 210 Figura 4.12 Diagrama de momentos flectores sin inversión en el apoyo central ........................................................................................ 211 Figura 4.13 Estribos de confinamiento ........................................................ 212 Figura 4.14 Acciones en las vigas de pórticos dúctiles debidas al efecto simultáneo de cargas de gravedad y cargas sísmicas ................ 213 Figura 4.15 Superposición de los efectos de cortante en una viga dúctil de hormigón reforzado .............................................................. 214 Figura 4.16 Dimensiones mínimas de losas aligeradas ................................ 218 Figura 5.1 Requisitos geométricos para las columnas ............................... 262 Figura 5.2 Localización de la zona de traslapos en columnas con DES ..... 263 Figura 5.3 Separación y recubrimiento del refuerzo longitudinal en columnas .................................................................................... 264 Figura 5.4 Estribos de confinamiento con ganchos sísmicos .................... 265 Figura 5.5 Ejemplo de confinamiento empleando estribos ...................... 267 Figura 5.6 Ejemplo de confinamiento con el empleo simultáneo de estribos de confinamiento y ganchos suplementarios ........................... 267 Figura 5.7 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares en pórticos dúctiles de hormigón con demanda mínima de ductilidad, DMI .......................................................................... 268 Figura 5.8 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares en pórticos dúctiles de hormigón con demanda moderada de ductilidad, DMO .................................................................... 270 Figura 5.9 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares en pórticos dúctiles de hormigón con demanda especial de ductilidad, DES ...................................................................... 270 Figura 5.10 Longitud de diseño de las columnas ........................................ 271 Figura 5.11 Cambios de sección en las columnas ........................................ 273 Figura 5.12 Unión viga-columna de un pórtico con demanda de ductilidad especial ...................................................................................... 276 Figura 5.13 Cortante de diseño para columnas con DES ............................. 277 Figura 5.14 Análisis de los cortantes en las columnas de ductilidad moderada a partir del método de Bowman, suponiendo la ubicación de los puntos de inflexión de columnas en su punto medio .............................................................................. 278 Figura 6.1 Uniones típicas viga-columna ................................................... 306 Figura 6.2 Fuerzas en una unión viga-columna .......................................... 308 Figura 6.3 (a) Unión interior, (b) Unión exterior, (c) Unión de esquina . 309 Figura 6.4 Requisitos de confinamiento para un nudo interior ................ 310 Figura 6.5 Requisitos de confinamiento para un nudo exterior................ 310 Figura 6.6 En los nudos tipo 1, diagrama de momentos dominado por las cargas gravitacionales, no se esperan deformaciones inelásticas de importancia........................................................................... 311 Figura 6.7 Nudos tipo 2, diagrama de momentos dominado por los efectos sísmicos, se esperan deformaciones inelásticas de gran importancia ................................................................................ 311 Figura 6.8 Inversión de momentos en una estructura con demanda especial de ductilidad ............................................................... 313 Figura 6.9 Transferencia de cortante en un mecanismo de puntal en compresión diagonal.................................................................. 314 Figura 6.10 Mecanismo del puntal diagonal y confinamiento de un exterior....................................................................................... 317 Figura 6.11 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los nudos .................................................................................... 321 Figura 6.12 Fuerzas en los nudos (DMI y DMO) ........................................... 324 Figura 6.13 Fuerzas en los nudos tipo 2 (DES)............................................. 325 Figura 6.14 Determinación del ancho efectivo, bj, del nudo ...................... 327 Figura 7.1 Tipos de columnas .................................................................... 342 Figura 7.2 Acciones en columnas uniaxiales y biaxiales ............................ 343 Figura 7.3 Acciones mecánicas en los elementos de hormigón reforzado .................................................................................... 344 Figura 7.4 Diagrama de deformaciones para la condición de falla balanceada ................................................................................. 345 Figura 7.5 Diagramas de deformación para condición de falla no balanceada ................................................................................. 346 Figura 7.6 Diagrama de interacción ........................................................... 347 Figura 7.7 Diagrama de interacción dimensional para una cuantía de 0.015, considerando f ’c=210 kgf/cm2, fy=4,200 kgf/cm2, d=34 cm, d’=6 cm ................................................................... 352 Figura 7.8 Familia de curvas de interacción de columnas para cuantías que varían entre 0.01, curva N.o 1, hasta 0.04, curva N.o 4 ...... 353 Figura 7.9 Flexión uniaxial sobre los ejes Y y X, respectivamente............ 354 Figura 7.10 Flexión biaxial, diagrama tridimensional de interacción ......... 355 Figura 7.11 Método de la superficie de falla para el análisis biaxial de columnas .................................................................................... 356 Figura 7.12 Diagrama de interacción de columnas biaxiales en la zona de cargas axiales de tracción .......................................................... 357 Figura 7.13 Plano del diagrama de interacción en el caso de columnas biaxiales ..................................................................................... 358 Índice de imágenes Imagen 1.1 En el sismo de El Salvador, en 1986, muchos hospitales quedaron fuera de servicio ........................................................ 48 Imagen 1.2 En el sismo de Armenia, Colombia, en 1999, las instalaciones de los bomberos colapsaron ...................................................... 49 Imagen 1.3 Daños en una edificación debido a la flexibilidad del sistema estructural aporticado.Armenia, Colombia, 1999..................... 66 Imagen 1.4 Sistema reticular celulado, no recomendado para zonas con amenaza sísmica debido a su alta flexibilidad y al mal comportamiento durante el sismo de México, en 1985........... 66 Imagen 1.5 Comportamiento deficiente de una estructura con asimetría en planta en forma de U, El Salvador, 1986 ............................. 84 Imagen 1.6 Comportamiento deficiente de una estructura con asimetría en planta en forma de E, palacio presidencial, Haití, 2010 ..... 85 Imagen 1.7 Las pesadas divisiones tradicionales, ladrillos de arcilla, deben reemplazarse por divisiones modulares, en yeso, muy livianas ....................................................................................... 93 Imagen 1.8 La localización de las acometidas de agua, teléfono, luz, gas y televisión deben ubicarse adecuadamente para no obligar a la colocación de pesados materiales de nivelación de los pisos ... 93 Imagen 1.9 Colapso en Armenia, Colombia, en 1999. Muros estructurales dispuestos en una sola dirección .............................................. 94 Imagen 1.10 Daños en acabados por flexibilidad del primer piso, Pereira, Colombia, 1999 ......................................................................... 95 Imagen 1.11 Daños por separación insuficiente de construcciones vecinas, Armenia, Colombia, 1999.......................................................... 99 Imagen 1.12 Daños por separación insuficiente, edificio Facultad de Ingeniería Universidad de Concepción, Chile, febrero 27 de 2010 ...................................................................................... 100 Imagen 2.1 La disposición asimétrica de muros en edificios de esquina puede inducir torsión en la estructura ..................................... 101 Imagen 2.2 Sistema estructural con muros de cortante.............................. 102 Imagen 2.3 Sistema estructural con pórticos dúctiles de hormigón .......... 103 Imagen 2.4 Sistema estructural con pórticos de acero arriostrados (izquierda). Disponibilidad de espacios en una estructura con pórticos dúctiles de hormigón (derecha) .......................... 104 Imagen 2.5 Limitaciones en la distribución de espacios en un sistema de muros .................................................................................... 106 Imagen 2.6 Comportamiento dúctil de un edificio de hormigón reforzado .................................................................................... 111 Imagen 2.7 Las grandes deformaciones de las estructuras dúctiles van asociadas a graves daños en acabados y en elementos estructurales .............................................................................. 118 Imagen 2.8 Articulación plástica en vigas .................................................... 124 Imagen 2.9 Fallas de columna corta, Armenia, Colombia, enero de 1999 .. 128 Imagen 3.1 Daños en la mampostería debido a la ductilidad de la estructura ............................................................................... 182 Imagen 3.2 Falla en los pisos superiores por falta de separación en las estructuras adyacentes. México D.F. 1985 ............................... 183 Imagen 3.3 Daños por separación insuficiente o inexistente entre construcciones adyacentes. Armenia, Colombia, 1999 ............ 185 Imagen 4.1 Falla por tensión diagonal, en una viga, debido a sobrecargas................................................................................. 216 Imagen 4.2 Colocación prohibida de tuberías atravesando los elementos de resistencia sísmica, DMO y DES ............................................ 217 Imagen 4.3 Recubrimiento insuficiente del refuerzo de temperatura en una losa aligerada....................................................................... 219 Imagen 4.4 El recubrimiento insuficiente del refuerzo longitudinal se manifiesta en una fisura paralela al refuerzo y la posterior pérdida del recubrimiento ........................................................ 220 Imagen 4.5 Desprendimiento del refuerzo longitudinal en nervios por falta de recubrimiento y de estribos ................................................. 221 Imagen 4.6 Apoyo extremo de nervios con refuerzo negativo en exceso, lo cual ocasionó torsión en la viga indicada en la Imagen 4.4 ...... 221 Imagen 4.7 Colapso estructural por torsión en la viga de borde. Obsérvese la verticalidad de la baranda respecto a la arista de la viga ...... 222 Imagen 4.8 Falla en voladizos, Armenia, Colombia, 1999 ........................... 222 Imagen 5.1 En una correcta colocación del gancho de un estribo no debe quedar espacio entre el estribo y el refuerzo longitudinal; el alambre de amarre debe doblarse hacia el núcleo de la columna.................................................................................. 266 Imagen 5.2 Fallas en las columnas por falta de estribos o por excesiva separación de los mismos. Armenia, Colombia, 1999 .............. 268 Imagen 5.3 Inadecuado inicio de columna en la viga del segundo nivel. Armenia, Colombia, 1999.......................................................... 272 Imagen 5.4 Escandaloso doblez del refuerzo longitudinal en la estructura del Palacio Municipal de Armenia, Colombia, 1999 ................ 273 Imagen 5.5 Falla por cortante en una columna. Estribos insuficientes, pandeo del refuerzo longitudinal y hormigón de baja calidad. Armenia, Colombia, 1999.......................................................... 275 Imagen 6.1 Falla por cortante en un nudo de esquina. Armenia, Colombia, 1999 ......................................................................... 305 Imagen 6.2 Falla en un nudo de esquina por falta de confinamiento y mala calidad del hormigón. Armenia, Colombia, 1999 .......... 320 Capítulo 1 Fundamentos del diseño sísmico de edificios 1.1 Aspectos generales del diseño sísmico Todo proyecto se inicia con la identificación de una necesidad que requiere algún tipo de construcción para ser satisfecha y con la realización del estudio socioeconómico que demuestre su factibilidad. El lugar donde se construirá la nueva edificación no suele estar en discusión, aunque sea en una zona de alta sismicidad. Toda edificación debe diseñarse y construirse con especificaciones que ofrezcan garantías en cuanto a su seguridad, funcionalidad, estética, factibilidad y economía. Tomada la decisión de construir, se elabora un anteproyecto arquitectónico del edificio que considere todos los aspectos económicos y funcionales que llevaron a esa decisión. A partir de esta etapa debe intervenir un equipo multidisciplinario que colabore con el arquitecto, quien debe tener muy en cuenta, desde que empieza a desarrollar sus ideas, las restricciones impuestas por las instalaciones y equipos que requiere la operación del edificio y, sobre todo, la necesidad de contar con una estructura, indispensable para dar forma a la construcción, crear los espacios que la constituyen y soportar, segura y económicamente, las cargas y acciones de otros tipos que actuarán sobre ella durante toda su vida útil. La seguridad de una edificación es el factor más importante, y está relacionado con la capacidad de la estructura para resistir las cargas o solicitaciones máximas posibles que puedan ocurrir durante su vida útil, sin incurrir en daños excesivos o en colapso parcial o total de la edificación. Hay varios tipos de funcionabilidad, las más importantes son la arquitectónica y la estructural. La funcionabilidad arquitectónica está ligada a su función misma como edificio y a sus aspectos estéticos, que suponen una configuración o distribución de espacios y formas agradables 25 con el fin de crear un ambiente positivo y productivo para la comunidad en la cual está localizado y para los usuarios que hacen uso directo de él. La funcionabilidad estructural, por su parte, se relaciona con las limitaciones por las deformaciones, el fisuramiento y la vibración de los elementos estructurales, de ella depende que durante su servicio normal, la edificación no dé la impresión de haber perdido su valor, porque se considera insegura y poco confortable. Esta clase de funcionabilidad representa la respuesta de la edificación durante su vida útil, cuando es sometida a las cargas o solicitaciones normales; mientras que la seguridad estructural se refiere al comportamiento de la edificación durante su vida total (incluyendo el tiempo de construcción, uso, reparaciones, etc.) cuando se somete a cargas excesivas, como son las cargas vivas altas, las laterales de sismos destructivos y las de vientos de alta velocidad. La factibilidad y economía de una edificación no solamente depende de la disponibilidad de capitales, la localización, las condiciones de soporte y fundaciones, los recursos de materiales y las características arquitectónicas sino también de su importancia (socio económica-cultural) en la comunidad y de los niveles de seguridad y funcionabilidad requeridos. Por otro lado, la configuración de una edificación, y sus detalles arquitectónicos y estructurales, son factores determinantes en su comportamiento e influyen en la manera como las fuerzas sísmicas se distribuyen en su altura, en la intensidad de esas fuerzas y en la interacción entre los miembros. Una vez elegida una configuración deficiente, puede ser difícil obtener un edificio sano, aunque el diseño estructural sea correcto. No sólo el ingeniero estructural, sino también el arquitecto, deben estar familiarizados con los efectos que las características de los materiales, la configuración geométrica y la distribución de elementos de carga y de rigidez tienen sobre el comportamiento sísmico de los edificios. Y los dos deben estar conscientes de la responsabilidad que comparten. Los arquitectos e ingenieros responsables de la creación de una edificación deben comunicarse e interactuar desde el anteproyecto, durante la construcción y hasta la aceptación de la obra para lograr un diseño sismo resistente efectivo y al mismo tiempo un sistema estructural adecuado que permita la funcionabilidad y estética arquitectónica de la edificación. 26 1.2 Filosofía del diseño sismo resistente                cinturón del Pacífico, del sur de Europa y de Asia– el diseño apropiado para resistir las cargas inducidas por terremotos es de vital importancia en cualquier edificación. Los investigadores y profesionales suelen estar de acuerdo en los siguientes criterios de diseño que permiten definir conceptualmente la acción sísmica:                   aquellos sismos de intensidad reducida que ocurran durante su vida útil.                  admitiendo que se podría comportar de manera no lineal–, todos aquellos sismos de intensidad moderada que ocurran durante su vida útil. Se permiten daños menores como algún fisuramiento a flexión en el hormigón y pequeñas incursiones de fluencia del acero de vigas y losas, o fallas en los elementos no estructurales cuya reparación económica sea rápida y factible.                 que ocurra una sola vez durante su vida útil. Se admiten daños significativos en los elementos estructurales, aunque no el colapso de la estructura. El nivel permitido de daños depende de la importancia de la edificación: si una edificación es vital para la supervivencia de la comunidad, como lo son los hospitales, centros de salud, plantas de energía, agua, teléfonos, etc., el nivel permitido de daños debe ser mínimo, para así garantizar su funcionamiento después de la ocurrencia de sismos destructivos. La norma colombiana NSR-10, en el parágrafo del Artículo 1° expresa que: Una edificación diseñada siguiendo los requisitos consagrados en las normas que regulen las construcciones Sismo Resistentes, debe ser capaz de resistir, además de las fuerzas que le impone su uso, temblores de poca intensidad sin daño, temblores moderados sin daño estructural, pero posiblemente con algún daño en elementos no estructurales y un temblor fuerte con daños a elementos estructurales y no estructurales pero sin colapso. 27 No existe, sin embargo, un claro consenso sobre qué se entiende por sismo de intensidad reducida, moderada o severa, pues existen varios factores que los determinan, como localización geográfica, calidad y tipo de las construcciones existentes, entre otros. Los anteriores criterios son particularmente difíciles de establecer para estructuras con un comportamiento no lineal, ya que la solicitación que produce la respuesta más desfavorable es compleja y depende del tipo de estructura. Su objetivo, sin embargo, está cualitativamente especificado y es ampliamente aceptado en el diseño sismo resistente. Las normas sísmicas actuales prescriben que una estructura sometida a sismos moderados puede experimentar daño estructural reparable, pero no definen claramente el concepto de daño, ni la metodología para su cuantificación. Con frecuencia las edificaciones sometidas a sismos severos sufren daños significativos, que incluso pueden llegar al colapso total de las mismas. Para el ingeniero estructural es muy importante la predicción y estimación del daño estructural, aunque las normas sísmicas se refieren al daño estructural de manera ambigua y establecen indirectamente las prescripciones para reducirlo, pues sólo propone valores límites para las derivas laterales. Esto, en general, apunta en la dirección correcta, pero una mala distribución de rigideces y resistencias relativas entre vigas y columnas puede cumplir los límites de desplazamiento establecidos por ella sin reducir el nivel de daño esperado. En consecuencia, es más racional limitar el daño en forma cuantitativa. Futuras ediciones de las normas sismo resistentes deben incluir definiciones precisas del daño estructural, así como recomendaciones sobre métodos idóneos para su cuantificación y, más aún, valores límites de daño como requerimiento de un buen diseño. 1.3 Solicitaciones sísmicas El objeto de una construcción urbana es crear espacios en los que se viva y trabaje en condiciones adecuadas de seguridad y confort. Para ello, la estructura debe tener:  Resistencia suficiente para soportar la combinación de efectos producidos por cargas verticales, de viento o sismo. 28  Rigidez adecuada para que sus deformaciones, bajo esos efectos, no sean excesivas, con lo cual se evita el pánico entre los ocupantes                en elementos no estructurales y en instalaciones, y se regulan los efectos de segundo orden, provenientes de la interacción de cargas verticales y desplazamientos horizontales, que pueden influir de manera significativa en la resistencia de estructuras flexibles y propiciar inclusive fallas por inestabilidad.  Ductilidad suficiente para que en caso de que las cargas del sismo llegasen a superar los valores estimados para el diseño, la estructura se deforme en el rango inelástico, con graves daños en los elementos tanto estructurales como no estructurales, pero sin colapsar. Las cargas muertas y vivas se determinan, en general, con relativa precisión. En cambio, las incertidumbres relativas a las acciones producidas por viento y sismo son muy grandes, pues se trata de fenómenos naturales que el hombre no controla. Sin embargo, los vientos intensos son frecuentes y se conoce mucho sobre ellos, lo que permite determinar sus valores de diseño de manera confiable; mas no sucede lo mismo con los sismos, cuyas intensidades y características son impredecibles. Buena parte de las incertidumbres del diseño en zonas sísmicas, que hace que difiera de todos los problemas restantes de diseño estructural, proviene del desconocimiento de las acciones máximas a que puede verse expuesta la construcción. La base del diseño sísmico de los edificios no es el temblor más intenso que deberán resistir, que no se conoce, sino los sismos que han afectado en el pasado el lugar donde se construirán. Como la informa!       "      $ das, a lo sumo, que son un instante en la vida de nuestro planeta– poco se sabe acerca del temblor de diseño. La intensidad probable del temblor de diseño depende también del período de retorno que se considere, relacionado con la vida útil de la construcción; aquí se origina otra fuente de incertidumbre, pues los edificios no se demuelen cuando termina su vida útil de diseño sino que se conservan hasta que dejan de ser convenientes económicamente. La ingeniería estructural en zonas sísmicas se enfrenta con un problema que, aparentemente, no tiene solución: seleccionar sistemas es- 29 tructurales y dimensionar los elementos que los componen, para que resistan solicitaciones desconocidas, por medio de mecanismos de respuesta que tampoco se comprenden por completo. La amplitud y el contenido de las frecuencias de las ondas que produce un sismo en un sitio dado dependen de las características de la ruptura de la zona de falla, de la magnitud del sismo, de la distancia entre ese sitio y la zona donde se generó, de las propiedades mecánicas del medio que atraviesan para llegar al sitio, y de las características del suelo en éste. Puede haber amplificaciones y atenuaciones de ondas de determinadas frecuencias cuando pasan por estratos de suelos con ciertas propiedades, con lo que aumenta o disminuye la amplitud de los movimientos, y su frecuencia varía. Como las ondas que originan el movimiento del suelo en que se desplanta una construcción provienen de la zona de ruptura de una falla, llegan al edificio con una dirección determinada, pero las características de esas ondas, su interacción y los efectos locales, geológicos y topográficos, hacen que el movimiento real del suelo resulte aleatorio, predominantemente horizontal, con algún énfasis direccional, y con un componente vertical, en las zonas cercanas al epicentro, que puede ser importante. En lo que se refiere a un edificio determinado, los efectos de un temblor se ven afectados por las características de las construcciones vecinas, su geometría, masa y tipo de cimentación. Por su parte, el estudio de los mecanismos que originan los terremotos, y de cómo se trasmiten sus efectos al terreno que rodea a la zona de ruptura, no les corresponde a los ingenieros estructurales, sino a los geofísicos, geólogos y sismólogos. En diversas instituciones de investigación, profesionales y oficiales, existen organismos que realizan los estudios de sismología, sismicidad y riesgo sísmico, necesarios para determinar las acciones de diseño que se mencionan anteriormente; estos estudios se ponen en conocimiento de los ingenieros que proyectarán las estructuras por medio de un reglamento de construcciones, de carácter legal y obligatorio. Toda la información obtenida mediante estudios laboriosos y complicados, realizados a lo largo de años de mediciones de temblores reales, de interpretación de la información obtenida y de desarrollo y aplicación de complejos y elegantes modelos matemáticos, se reduce a dos datos principales, en los que se basa el diseño estructural: el coeficiente sísmico y el espectro de diseño. 30 El coeficiente sísmico, Cs, es un índice de la acción de diseño; es la base de los espectros de diseño y se usa directamente para evaluar, con métodos estáticos, las acciones horizontales que habrán de ser resistidas por la estructura. 1.4 Amenaza sísmica Por amenaza sísmica de una zona se entiende cualquier descripción de los efectos provocados por los terremotos en el suelo de dicha zona (Udías y Mezcua, 1986; Bertero, 1992). Estos efectos pueden ser representados mediante la aceleración, la velocidad o el desplazamiento sísmico del terreno. Para evaluar la amenaza es necesario analizar los fenómenos que ocurren desde la emisión de las ondas sísmicas en el foco, hasta que dichas ondas alcancen la zona en estudio. Figura 1.1 Propagación de la energía sísmica desde el hipocentro o foco hasta la estructura* *Todas las figuras, imágenes y tablas fueron elaboradas por el autor; con excepción de la Figura 1.8 En la Figura 1.1 se observa el mecanismo de propagación de la energía de un sismo desde el epicentro hasta la base de una estructura. Cuando se produce un terremoto con determinadas características (pro- 31 fundidad del foco, mecanismo focal, magnitud, etc.), parte de la energía disipada se convierte en ondas sísmicas. Al propagarse por el suelo, dichas ondas se reflejan, refractan, atenúan o amplifican y llegan en forma de excitación sísmica, X1, al basamento rocoso que se encuentra debajo del edificio. Las ondas sufren un nuevo filtrado a través de la función de transferencia, A, correspondiente a las capas de suelo que se encuentran entre el basamento y la superficie, por lo que se obtiene la señal X2. Debido al fenómeno de interacción suelo-estructura, descrito por una función de transferencia I, la señal tendrá nuevos cambios hasta obtenerse la señal X3, que será la excitación en la base del edificio. El objetivo del estudio de amenaza sísmica es evaluar el movimiento del terreno en un lugar determinado como consecuencia de un terremoto probable o, como mínimo, proporcionar una estimación de la severidad del mismo (Canas, Pujades y Banda, 1994). Los estudios de amenaza sísmica a escala regional evalúan el parámetro X1, mientras que los estudios de microzonificación tienen como objetivo la determinación de la función de transferencia A, y por ende, la señal X2. La amenaza sísmica de una región está asociada con una probabilidad de excedencia de un parámetro descriptivo del sismo. La NSR-10 seleccionó los siguientes parámetros: la aceleración pico efectiva, Aa, y la velocidad pico efectiva, Av, calculadas a nivel del basamento rocoso. Se definen para un nivel de amenaza tal que hay una probabilidad del 10% de que sea excedida en un lapso de cincuenta años, para lo cual el período de retorno del sismo de diseño resulta ser de 465 años. Esta definición es tomada del Código ATC-3, documento que sirvió de modelo para la elaboración de la NSR-10. Para determinar el nivel de amenaza sísmica la edificación debe localizarse en una de las tres zonas de amenaza sísmica en las cuales se ha dividido el territorio colombiano (NSR-10, Sec. A.2.3):       es el conjunto de lugares en donde tanto Aa como Av son inferiores o iguales a 0.10.          es el conjunto de lugares en donde Aa o Av, o ambos, son mayores que 0.10 y ninguno de los dos excede de 0.20.        es el conjunto de lugares en donde Aa o Av, o ambos, son mayores que 0.20. 32 Figura 1.2 Mapa de amenaza sísmica en Colombia Para definir los coeficientes sísmicos, Aa y Av, debe consultarse la Tabla A.2.3-2 de la NSR-10 para todas las capitales de departamento, y su apéndice A-4 para todos los municipios del país. En la Tabla 1.1 se indican los valores de Aa y Av esperados en las principales ciudades de Colombia. 33 Tabla 1.1 Valores de Aa y Av para algunas ciudades capitales de departamento, para otras ciudades véase el apéndice A-4 de la NSR-10 Ciudad Aa Av Zona de amenaza sísmica Armenia 0.25 0.25 Alta Barranquilla 0.10 0.10 Baja Bogotá D. C. 0.15 0.20 Intermedia Bucaramanga 0.25 0.25 Alta Cali 0.25 0.25 Alta Cartagena 0.10 0.10 Baja Cúcuta 0.35 0.30 Alta Ibagué 0.20 0.20 Intermedia Manizales 0.25 0.25 Alta Medellín 0.15 0.20 Intermedia Montería 0.10 0.15 Intermedia Pasto 0.25 0.25 Alta Pereira 0.25 0.25 Alta Popayán 0.25 0.20 Alta Santa Marta 0.15 0.10 Intermedia San Andrés, Isla 0.10 0.10 Baja 1.4.1 Espectro de respuesta sísmica Para poder estimar la respuesta sísmica de una estructura, el ingeniero civil especialista en estructuras se vale de un modelo matemático en el cual las propiedades mecánicas y dinámicas sean las mismas que posee la estructura. Uno de los modelos más simples y más empleados para estimar la respuesta sísmica de edificios es el sistema de un grado de libertad. Este modelo se caracteriza por ser un sistema dinámico en el que se concentra la masa participante a una altura equivalente (sólo existe una masa) (Figura 1.3a). 34 Con fines de ingeniería estructural, el sistema de un grado de libertad está representado como una estructura de un solo piso, en la cual las columnas no tienen masa, pues ésta se incluye en la masa total, y están empotradas en su base. Toda su masa se encuentra localizada en la parte superior del modelo, el cual se considera rígido. Si a esta estructura se le aplica una fuerza lateral P, que produce un desplazamiento lateral uo y luego se retira en forma repentina, esta estructura oscilaría de un lado para otro, con la misma amplitud, en un movimiento que se conoce de vibración libre no amortiguada. Esto no es real, ya que, intuitivamente se espera que la amplitud de las oscilaciones disminuya poco a poco hasta detenerse por completo. Con el objeto de introducir este fenómeno al sistema de un grado de libertad se le agrega un elemento que disipa energía. Normalmente el tipo de elemento que se considera es un amortiguador de tipo viscoso. Así, entonces, los elementos que forman el sistema de un grado de libertad son los siguientes: una masa M, una estructura de un piso con rigidez lateral K y un amortiguador de tipo viscoso con un coeficiente de amortiguamiento C (Figura 1.3b). Se dice que el sistema de un grado de libertad es lineal cuando la rigidez permanece constante, o sea que el desplazamiento lateral siempre es proporcional a la fuerza lateral. Cuando se aplica la fuerza P se produce un movimiento de la masa, esto genera la aparición de las siguientes fuerzas: la fuerza externa P(t), la fuerza elástica resistente Fe que es la fuerza que las columnas ejercen sobre la masa cuando ésta se mueve; la fuerza de amortiguamiento Fa que es la fuerza que el amortiguador ejerce sobre la masa, y la fuerza de inercia, Fi. En todo instante debe existir equilibrio dinámico entre estas fuerzas (Figura 1.3c). Figura 1.3 Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento 35 De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza de inercia es directamente proporcional a la masa, Fi = M * ü(t), donde M es la masa del sistema y ü(t) es la aceleración total. La fuerza de amortiguamiento está dada por Fa = C * (t), en donde C es el coeficiente de amortiguamiento y (t) es la velocidad relativa de la masa con respecto al suelo. Para un sistema lineal, la fuerza elástica está dada por Fe = K * u(t), K es la rigidez lateral del sistema y u(t) es el desplazamiento relativo de la masa respecto al suelo. Fi + Fa + Fe = P(t) M * ü(t) + C * (t) + K * u(t), = P(t) En el caso de una excitación sísmica no existe fuerza externa, P(t) = 0, la solicitación del sistema obedece al movimiento del terreno sobre el cual se apoya la estructura. Como resultado de esta excitación la base de la estructura tiene un desplazamiento igual al del suelo, ug(t), y a su vez la estructura se deforma, u(t), así que el desplazamiento total de la masa es igual a u(t) = u g(t) + u(t), reemplazando: M * { üg(t) + ü (t) } + C * (t) + K * u(t), = 0 M * ü(t) + C * (t) + K * u(t), = – M * üg(t) (1.1) Esta es la ecuación dinámica del movimiento que gobierna la respuesta de un sistema de un grado de libertad amortiguado, sujeto al movimiento del terreno. La solución de esta ecuación se conoce como la respuesta de la estructura y está fuera del alcance de este texto; Juan Carlos Botero (2011) presenta una discusión amplia sobre los métodos de solución. Para fines de diseño sismo resistente interesa conocer la respuesta máxima de la estructura. Por ejemplo, nos interesa conocer el desplazamiento lateral máximo, el cortante basal máximo, la aceleración máxima, etc. Una de las herramientas más útiles para evaluar la severidad de la respuesta máxima de una estructura a un sismo dado es el espectro de respuesta. Un espectro de respuesta es la representación gráfica de la 36 respuesta máxima de la estructura, medida en valor absoluto, modelada como un sistema de un grado de libertad, en función del período natural de vibración del sistema (T). Esto es, el espectro de respuesta nos da información de la respuesta máxima para toda una familia de sistemas de un grado de libertad, sometido a un solo sismo. La forma en la que se calcula un espectro de respuesta se ilustra en la Figura 1.4, para el caso de un espectro de desplazamientos. En este caso, para cada período, se calcula la historia de desplazamientos y sólo se selecciona la máxima respuesta absoluta, que es la que se grafica para el período natural de vibración correspondiente. Obsérvese que los puntos máximos no ocurren al mismo tiempo. En la Figura 1.4 se muestra el espectro de desplazamientos para el acelerograma medido en el temblor de El Centro, California, el 18 de mayo de 1940. En el primer ejemplo, se tiene un sistema de un grado de libertad con un período natural de vibración igual a 0.5 segundos y con un 2% del amortiguamiento crítico ([ = 0.02). Se calcula toda la historia de desplazamientos y se selecciona el máximo, que en este caso es 2.48 pulgadas (6.3 cm). Con la abscisa T = 0.5 segundos y Sd = 2.48 pulgadas se forman las coordenadas de un punto en el espectro de respuesta. En el segundo ejemplo se tiene un sistema de un grado de libertad con un período natural de vibración igual a 1.0 segundos; se calcula toda su historia de desplazamientos cuando al sistema se le somete el mismo acelerograma y se obtiene su respuesta máxima de 6.61 pulgadas (16.8 cm). Si este proceso se repite para toda una familia de sistemas de un grado de libertad con diferentes períodos de vibración y con el mismo amortiguamiento, se obtiene el espectro de respuesta. Una vez calculado el espectro de respuesta de desplazamiento puede saberse de manera inmediata el desplazamiento aproximado que tendría una estructura al ser sometida a dicho movimiento de terreno. Este espectro de respuesta permite también evaluar la magnitud del desplazamiento máximo de una estructura en cierto período, en comparación con el desplazamiento máximo de otra estructura sometida al mismo movimiento de terreno. Por ejemplo, si se tiene una estructura con un período de vibración de 1.0 segundos y otra con un período de 1.5 segundos, con el espectro de respuesta de la Figura 1.4 vemos que 37 si ambas estructuras se sometieran al mismo movimiento de terreno, la estructura con período de 1.0 segundos estaría sometida a un desplazamiento mayor que el de la otra estructura, a pesar de que ambas tengan el mismo movimiento en su base. Figura 1.4 Espectro de respuesta de desplazamiento Así como se puede calcular la historia de los desplazamientos, se puede calcular la historia de las aceleraciones. De modo que para cada sistema de un grado de libertad se puede calcular la historia de las aceleraciones y de ahí seleccionar la aceleración máxima para poder graficar el espectro de aceleraciones. 38 Figura 1.5 Espectro de aceleraciones, sismo de El Centro, California, mayo 18 de 1940 La Figura 1.5 muestra el cálculo de tres puntos del espectro de repuesta de aceleraciones. Por ejemplo, para el caso de un sistema de un grado de libertad con un período natural de vibración de 0.3 segundos, o sea una estructura que tarda 0.3 segundos en completar un ciclo de vibración, y con un amortiguamiento del 5%, cuando es sometido a la 39 historia de aceleraciones del temblor de El Centro, California, tiene una aceleración máxima de 0.75 veces la aceleración de la gravedad. Así, la pareja de coordenadas constituída por la abscisa T = 0.3 segundos y la ordenada 0.75 g son un punto en el espectro de respuesta de aceleraciones. Si se repite el mismo proceso para sistemas de un grado de libertad con períodos naturales de vibración de 0.5 y 1.0 segundos se obtienen aceleraciones máximas de 1.02 g y 0.48 g, respectivamente. Si esto se repite para toda una familia de sistemas dinámicos de un grado de libertad con períodos entre 0 y 2 segundos, se obtiene el espectro de aceleraciones mostrado en la parte inferior de la Figura 1.5. Es importante aclarar que la aceleración espectral representa la aceleración en la estructura, la cual puede ser mayor o menor a la máxima aceleración del terreno. En un espectro de respuesta de aceleraciones, la máxima aceleración del terreno está representada como la ordenada del espectro para un período igual a 0 (Figura 1.6). Dicho período corresponde a un sistema infinitamente rígido, de modo que el movimiento que se tiene en la parte superior de la estructura es exactamente igual al del terreno. Figura 1.6 Espectro de respuesta de aceleraciones 40 Por ejemplo, para el espectro de aceleraciones mostrado en la Figura 1.6, la aceleración máxima de terreno es igual al 20% de la aceleración de la gravedad. Así mismo, puede verse que estructuras con períodos de vibración menores a 1.45 segundos son sometidas a aceleraciones mayores a las del terreno, o sea, sufren una amplificación de aceleraciones, mientras que estructuras con períodos de vibración mayores a 1.45 segundos tienen aceleraciones máximas en la estructura que son menores a la máxima aceleración del terreno. El tipo de terreno en que se haya obtenido el acelerograma es muy importante, pues las características dinámicas de la excitación varían en función de éste. En suelos firmes las vibraciones son rápidas y la velocidad de onda de cortante es alta, mientras que en suelos blandos las oscilaciones son de menor frecuencia, esto es, su período es relativamente más largo. Esto modifica la forma de los espectros de respuesta. Se conoce como amortiguamiento crítico el que tiene una estructura que, al separarla de su posición y soltarla, no oscila sino que regresa a la posición de equilibrio; las estructuras de hormigón suelen tener amortiguamiento del orden de 3% a 10% del crítico, y es el 5% el valor más empleado. 1.4.2 Espectro elástico de diseño El espectro de diseño es la herramienta que permite diseñar las construcciones teniendo en cuenta las condiciones sismo-tectónicas regionales y las condiciones locales de la respuesta del subsuelo de fundación. Para efectos de diseño se requieren los espectros de respuesta a nivel de la cimentación y no a nivel del basamento rocoso. Para poder adelantar estudios de esta naturaleza se necesita determinar la aceleración local máxima probable en terreno firme y las formaciones dominantes en un área determinada a partir de una microzonificación. Conocidas las propiedades mecánicas del suelo dominante se propagan los acelerogramas de diseño de la roca hasta la superficie o cota de cimentación. Este tipo de estudios están por fuera del alcance del presente texto. Los espectros de los temblores, como el de la Figura 1.6, tienen forma irregular y presentan variaciones bruscas en la respuesta máxima en función del período natural. Por tanto, es posible que dos estructuras que tengan casi las mismas características dinámicas respondan de manera bastante diferente a un sismo dado. 41 En la práctica, este hecho tiene menos importancia de lo que parece a primera vista, gracias a la influencia del amortiguamiento que hace menos bruscas las variaciones de los espectros, a que no se conoce con certeza el período natural por las incertidumbres que existen en el cálculo de masas y rigideces, y a que las incursiones de la estructura en el rango inelástico, así como la interacción suelo-estructura, modifícan el período natural de vibración. Por lo expuesto, para fines de diseño, los reglamentos de construcción prescriben espectros suavizados en los que se ensanchan los picos y se suprimen los valles (Figura 1.7). Figura 1.7 Espectro elástico promedio de aceleraciones El mejor modo de describir el sismo de diseño en forma cuantitativa para niveles de servicio, es la respuesta espectral promedio o suavizada. Se obtiene a partir de un estudio estadístico de los espectros de respuesta lineales para sismos de magnitudes similares, obtenidos en condiciones parecidas de suelos y distancias epicentrales. Seed e Idriss (1982) estudiaron ampliamente las formas de los espectros de respuesta y presentaron las envolventes correspondientes a las diferentes posibilidades de localización de los acelerógrafos que re- 42 gistraron las señales. Los resultados de estos investigadores han servido de base para una buena parte de los códigos de construcciones sismo resistentes de la actualidad. Los investigadores conciben el espectro de diseño como la envolvente de los valores máximos a partir de ciertas dispersiones de los datos. Por tanto, el resultado corresponde a líneas curvas suavizadas y no a los característicos dientes de sierra del espectro de respuesta. El procedimiento propuesto por los autores consiste en determinar una aceleración máxima del terreno y obtener el espectro de diseño empleando directamente los espectros normalizados de la Figura 1.8. Estas son funciones de las características de suelos locales y corresponden a un amortiguamiento del 5%. Este procedimiento simple se desarrolló a partir de un estudio estadístico de ciento cuatro registros que incluían las tres condiciones de suelos indicadas en la Figura 1.8. Figura 1.8 Espectro de diseño suavizado Fuente: adaptado de B. Seed e I. Idriss (1982).         ! . Berkeley: Engineering Monographs on Earthquake Criteria, Structural Design and Strong Motions Record, EERI. Desde el punto de vista económico, resulta casi imposible diseñar todas las estructuras para que se comporten elásticamente durante terre- 43 motos fuertes, sin daños estructurales ni deformaciones permanentes. Es necesario considerar la posibilidad de disipar energía al incursionar la estructura en el rango inelástico; en este caso las deformaciones inelásticas deben mantenerse dentro de límites que permitan a la estructura deformarse según su capacidad, considerando el daño no estructural asociado. Aparece, entonces, la necesidad de derivar un espectro inelástico suavizado. Derivarlo a partir del espectro elástico no es correcto porque el tipo de solicitación que produce el máximo elástico es diferente al que produce el máximo inelástico. La información utilizada para obtener el espectro inelástico a partir del elástico no es suficiente y debe complementarse con datos como la duración del movimiento fuerte y el número y secuencia de los pulsos. La NSR-10 propone para Colombia el espectro de diseño elástico mostrado en la Figura 1.9, el cual es calculado a nivel de fundación. En él: Aa, Av = coeficientes que representan la aceleración y velocidad horizontal pico efectiva, para diseño, al nivel de roca. I = coeficiente que mide la importancia de la edificación para la comunidad, entre más importante es la edificación mayor es la resistencia que debe tener. Fa = coeficiente de amplificación que afecta la aceleración en la zona de períodos cortos, debido a los efectos de sitio, adimensional. Fv = coeficiente de amplificación que afecta la aceleración en la zona de períodos intermedios, debido a los efectos de sitio, adimensional. T = período de vibración, en segundos, del sistema elástico. Tc = período de vibración, en segundos, correspondiente a la transición entre la zona de aceleración constante y la parte descendente del mismo. Tl = período de transición, en segundos, correspondiente al inicio de la zona de desplazamiento aproximadamente constante del espectro de diseño para períodos largos. Sa = valor del espectro de aceleraciones de diseño para un período de vibración dado. Máxima aceleración horizontal de diseño expresada como porcentaje de la gravedad, para un sistema de un grado de libertad con un período de vibración T. 44 Figura 1.9 Espectro elástico de diseño para Colombia, NSR-10, Sec. A.2.6 1.4.3 Espectro inelástico de diseño Las recomendaciones del ATC-3 (Applied Technology Council) adoptan el método de modificar un espectro de respuesta lineal elástico para obtener un espectro de respuesta no lineal. La manera más simple de hacerlo es reducir las fuerzas de diseño obtenidas a partir del espectro elástico de diseño, por un factor constante, que no depende del período. Existen otros métodos para obtener espectros de respuestas inelásticos a partir de los elásticos. Después de evaluar la respuesta de sistemas elastoplásticos de un grado de libertad, se han propuesto factores de modificación que dependen del período y de la ductilidad. Dado que el número de registros es limitado, se debe ser cauteloso al aplicarlos a estructuras con ciclos histeréticos y amortiguamiento muy diferentes, o ante movimientos de suelos diferentes. A partir de estudios analíticos, Newmark y Hall (1982) concluyeron que para estructuras de período corto, cualquier reducción de la fuerza elástica requerida significaría un requerimiento de ductilidad excesivo. Para estructuras de período intermedio, la energía obtenida por el sistema elástico en su desplazamiento máximo es aproximadamente igual a la obtenida por un sistema elástico resultante al aplicar un factor de modificación a la resistencia de: 1 / 2ȝ  1 =1/R. 45 Figura 1.10 Procedimientos simplificados para obtener espectros inelásticos de diseño Para períodos largos, los desplazamientos máximos lineales y los no lineales son parecidos y el factor de modificación es 1/μ = 1/R. Las normas colombianas siguen los lineamientos del ATC-3 y proponen el siguiente espectro de diseño inelástico, calculado a nivel de fundación: Figura 1.11 Espectro de diseño inelástico para Colombia, NSR-10, Sec. A.2.6 46 R: es un coeficiente de modificación de respuesta, obtenido en forma empírica, en el que se intenta considerar el amortiguamiento y la capacidad de la estructura para desarrollar deformaciones inelásticas. Su discusión se realizará en las secciones que tratan los temas: “Configuración estructural de la edificación y coeficiente de capacidad de disipación de energía para ser empleado en el diseño, R” y “Coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro”, del presente texto. Ductilidad, μ: se define como la capacidad que tiene la estructura de incursionar en el rango inelástico. Para su cuantificación se analiza el comportamiento del pórtico de la Figura 1.12 al someterse a cargas horizontales, gradualmente crecientes; en ella se distinguen tres etapas en el comportamiento de la estructura: Figura 1.12 Comportamiento de una estructura aporticada ante cargas monotónicas Etapa (a): para niveles bajos de carga la estructura tiene un comportamiento elástico y el desplazamiento horizontal, d, es proporcional a la carga horizontal. Etapa (b): al incrementarse la carga se incrementa el desplazamiento. Para cierto valor de la carga una sección cualquiera agota su capacidad de resistencia y se plastifica, de allí en adelante esta sección girará libremente sin absorber más carga. En este instante se calcula el desplazamiento en la parte superior, Gy , y el giro en la sección que se ha plastificado, Øy . Etapa (c): al incrementarse nuevamente la carga, la estructura no colapsa y las otras secciones empiezan a plastificarse hasta que se forma el mecanismo de colapso de la estructura, en este instante se calcula el desplazamiento en la parte superior de la estructura, Gu , y el giro final en la sección que primero se plastificó, Øu. 47 Se conoce como ductilidad global por desplazamiento a la relación: P global Gu Gy (1.2) Y como ductilidad local a la relación: P local  Iu Iy (1.3) "     #$%&'()*+$ ,-,.,/0 Este coeficiente mide la importancia de la edificación para la comunidad, y de los niveles de seguridad y funcionabilidad requeridos. Es una clara indicación del reconocimiento de que en el caso de un desastre mayor, la destrucción de algunos edificios causa más perjuicios que la de otros. La NSR-10 adopta para Colombia la misma clasificación dada por el International Building Code (IBC), el cual cataloga las estructuras en los siguientes cuatro grupos. Grupo IV: edificaciones indispensables. Comprende aquellas edificaciones de atención a la comunidad que deben funcionar durante y después de un sismo, y cuya operación no puede ser trasladada rápidamente a un lugar alterno. Pertenecen a este grupo:  Todas las edificaciones que componen hospitales, clínicas y centros de salud que dispongan de servicios de cirugía, salas de cuidados intensivos, salas de neonatos y atención de urgencias. Imagen 1.1 En el sismo de El Salvador, en 1986, muchos hospitales quedaron fuera de servicio 48 Todas las edificaciones que componen aeropuertos, estaciones ferroviarias y de sistemas masivos de transporte, centrales telefónicas, de telecomunicación y radiodifusión.  Edificaciones designadas como refugios para emergencias, centrales de aeronavegación. Hangares de aeronaves de servicios de emergencia.  Edificaciones de centrales de operación y control de líneas vitales de energía eléctrica, agua, combustibles, información y transporte de personas y productos.  Edificaciones que contengan agentes explosivos, tóxicos y dañinos para el público. En este grupo deben incluirse las estructuras que alberguen plantas de generación eléctrica de emergencia, los tanques y estructuras que formen parte de sus sistemas contra incendios, y los accesos peatonales y vehiculares de las edificaciones tipificadas en los literales a, b, c, d, y e del presente numeral.  Grupo III: edificaciones de atención a la comunidad. Este grupo comprende aquellas edificaciones y sus accesos, que son indispensables después de un temblor para atender la emergencia y preservar la salud y la seguridad de las personas, exceptuando las incluidas en el Grupo IV. Este grupo debe incluir:  Estaciones de bomberos, defensa civil, policía, cuarteles de las fuerzas armadas y sedes de las oficinas de prevención y atención de desastres. Imagen 1.2 En el sismo de Armenia, Colombia, en 1999, las instalaciones de los bomberos colapsaron 49  Garajes de vehículos de emergencia.  Estructuras y equipos de centros de atención de emergencias.  Guarderías, escuelas, colegios, universidades y otros centros de enseñanza.  Aquellas del Grupo II para las que el propietario desee contar con seguridad adicional.  Aquellas otras que la administración municipal, distrital, departamental o nacional designe como tales. Grupo II: estructuras de ocupación especial. Pertenecen a este grupo:  Edificaciones en donde se puedan reunir más de doscientas personas en un mismo salón.  Graderías al aire libre donde pueda haber más de dos mil personas a la vez.  Almacenes y centros comerciales con más de 500 m2 por piso.  Edificaciones de hospitales, clínicas y centros de salud, no cubiertas en el Grupo IV.  Edificaciones en donde trabajen y residan más de tres mil personas.  Edificios gubernamentales. Grupo I: estructuras de ocupación normal. Todas las edificaciones cubiertas por el alcance de la NSR-10, pero que no están incluidas en los grupos IV, III y II. Tabla 1.2 Valores del coeficiente de importancia, I  Grupo de uso Coeficiente de importancia, I IV 1.50 III 1.25 II 1.10 I 1.00 "      $1a21v&'()*+$ ,-,.,30 El cálculo de la amplificación debida a condiciones locales está basada en la clasificación de sitios y factores de amplificación propuesto en 50 1997 por NEHRP (National EarthquakeHazards Reduction Program) y adoptada por el International Building Code (IBC). La onda de corte viaja a través de los diferentes tipos de suelos a diferentes velocidades, su velocidad es mayor cuando viaja a través de roca y suelos duros, y disminuye cuando lo hace a través de suelos blandos, por esta razón la velocidad de la onda de corte se utiliza como una medida del tipo de suelo. La NEHRP define un esquema estandarizado para la clasificación de la geología local y especifica factores de amplificación para la mayoría de las clases de sitios. La NEHRP y la NSR-10 especifican seis tipos de perfiles de suelos, identificados con las letras A, B, C, D, E y F, para cada uno de ellos definen los coeficientes de sitio. El perfil del suelo debe ser determinado por un ingeniero geotecnista a partir de datos geotécnicos debidamente sustentados. Se prescriben dos factores de amplificación del espectro por efectos de sitio, Fa y Fv, los cuales afectan la zona del espectro de períodos cortos y períodos intermedios respectivamente. Los efectos locales de la respuesta sísmica de la edificación deben evaluarse con base en los perfiles de suelos, independientemente del tipo de cimentación. Los parámetros utilizados en la selección del perfil del suelo corresponden a los 30 m superiores del perfil, de acuerdo a ensayos de muestras tomadas cada 1.50 m de espesor del suelo, para los perfiles tipo A a E. Para el perfil tipo F se aplican otros criterios y la respuesta no debe limitarse a los últimos 30 m superiores del perfil. Vs = velocidad media de la onda de corte en m/s. N = número medio de golpes de ensayos de penetración estándar en golpes/pie a lo largo de todo el perfil. Nch = para los estratos de suelos no cohesivos representa el número medio de golpes del ensayo de penetración estándar. Su = para los estratos cohesivos representa la resistencia media al corte obtenida del ensayo para determinar su resistencia no drenada en kPa. IP = índice de plasticidad. W = contenido de agua en porcentaje. 51 Tabla 1.3 Clasificación de los perfiles del suelo Tipo de perfil Descripción Definición A Perfil de roca competente Vs t 1500 m/s B Perfil de roca de rigidez media C D 1500 m/s > Vs t 760 m/s Perfiles de suelos muy densos o roca blanda, que cumplan con el criterio de 760 m/s > Vs t 360 m/s la velocidad de la onda de cortante Perfiles de suelos muy densos o roca blanda, que cumplan con cualquiera de los dos criterios N t 50 o Su t 100 kPa Perfiles de suelos rígidos, que cumplan con el criterio de la velocidad de la onda 360 m/s > Vs t 180 m/s de cortante Perfiles de suelos rígidos, que cumplan 50 > N t 15 o con cualquiera de los dos condiciones 100 kPa > Su t 50 kPa E F 52 Perfiles que cumplan con el criterio de la velocidad de la onda de cortante 180 m/s > Vs Perfil que contiene un espesor total H mayor de 3 m de arenas blandas IP > 20 W t 40% 50 kPa > Su Los perfiles de suelo tipo F requieren una evaluación realizada explícitamente en el sitio por un ingeniero geotecnista de acuerdo con el procedimiento de la NSR-10, Sec. A.2.10. Se contemplan las siguientes subclases: F1 – Suelos susceptibles a la falla o colapso causado por la excitación sísmica, tales como suelos licuables, arcillas sensitivas, suelos dispersivos o débilmente cementados, etc. F2 – Turba y arcillas orgánicas y muy orgánicas (H > 3 m para turba o arcillas orgánicas y muy orgánicas) F3 – Arcillas de muy alta plasticidad (H > 7.5 m con índice de plasticidad IP >75) F4 – Perfiles de gran espesor de arcillas de rigidez mediana a blanda (H > 36 m) Tabla 1.4 Criterios para clasificar suelos dentro de los perfiles de suelo tipo C, D o E Tipo de perfil Vs N o Nch Su C Entre 360 y 760 m/s Mayor de 50 Mayor de 100 kPa D Entre 180 y 360 m/s Entre 15 y 50 Entre 100 y 50 kPa E Menor de 180 m/s Menor de 15 Menor de 50 kPa Nota 1: para valores intermedios de Aa se permite interpolar linealmente entre valores del mismo tipo de perfil Nota 2: 1 kPa = 0.01 kgf/cm2 Tabla 1.5 Valores del coeficiente Fa, para zonas de períodos cortos del espectro Tipo de perfil Intensidad de los movimientos sísmicos Aa d 0.1 Aa = 0.2 Aa = 0.3 Aa = 0.4 Aa t 0.5 A 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 B 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 C 1.2 1.2 1.1 1.0 1.0 D 1.6 1.4 1.2 1.1 1.0 E 2.5 1.7 1.2 0.9 0.9 F Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Nota 1: para valores intermedios de Aa se permite interpolar linealmente entre valores del mismo tipo de perfil Nota 2: 1 kPa = 0.01 kgf/cm2 53 Tabla 1.6 Valores del coeficiente Fv , para zonas de períodos intermedio del espectro Tipo de perfil Intensidad de los movimientos sísmicos Aa d 0.1 Aa = 0.2 Aa = 0.3 Aa = 0.4 Aa t0.5 A 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 B 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 C 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 D 2.4 2.0 1.8 1.6 1.5 E 3.5 3.2 2.8 2.4 2.4 F Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Nota: para el perfil tipo F debe realizarse una investigación geotécnica particular para el lugar específico y debe llevarse a cabo un análisis de amplificación de onda de acuerdo a lo especificado en la NSR-10, Sec. A.2.10.  4     $5&'()*+$ ,-,3,.0 El valor del período fundamental de la edificación debe obtenerse a partir de las propiedades de su sistema de resistencia sísmica, en la dirección en consideración, de acuerdo con los principios de la dinámica estructural, utilizando un modelo matemático linealmente elástico de la estructura. El anterior requisito puede obviarse por medio del uso de la siguiente expresión: (1.4) Los valores de fi representan las fuerzas horizontales calculadas por el método de la Fuerza Horizontal Equivalente. Los desplazamientos horizontales Gi se deben calcular para las fuerzas fi. El valor de Tr no debe exceder de Cu * Ta, donde Cu se calcula por medio de la expresión (1.5) y Tu se calcula mediante la expresión (1.6) 54 (1.5) Cu = 1.75 – 1.2 Au Fu &'<? Alternativamente, el valor del período fundamental de la edificacion, T, puede ser igual al período fundamental aproximado, Ta, que se obtiene por medio de la expresion 1.6: (1.6) Ta = Ct * hnĮ Donde Ct y D tienen los valores dados en la Tabla 1.7. Tabla 1.7 Valores del coeficiente Ct, y D para el cálculo del período aproximado Ta Sistemas estructurales de resistencia sísmica Ct  Pórticos resistentes a momentos de hormigón reforzado que resisten la totalidad de las fuerzas sísmicas y que no están limitados o adheridos a componentes más rígidos estructurales o no estructurales, que limiten los desplazamientos horizontales al verse sometidos a las fuerzas sísmicas 0.047 0.90 Pórticos resistentes a momentos de acero estructural que resisten la totalidad de las fuerzas sísmicas y que no están limitados o adheridos a componentes más rígidos estructurales o no estructurales, que limiten los desplazamientos horizontales al verse sometidos a las fuerzas sísmicas 0.072 0.80 Pórticos arriostrados de acero estructural con diagonales excéntricas restringidas a pandeo 0.073 0.75 Todos los otros sistemas estructurales basados en muros de rigidez similar o mayor a la de muros de hormigón o mampostería 0.049 0.75 Alternativamente, para estructuras que tengan muros estructurales de hormigón reforzado o de mampostería estructural, pueden emplearse los siguientes parámetros Ct y , donde Cw se calcula utilizando la expresión (1.7) 0.0062 C 1.00 w 55 (1.7) En la cual: AB = área de la edificación en la base. Awi = área mínima de cortante de la sección de un muro estructural i, medida en un plano horizontal, en el primer nivel de la estructura y, en la dirección en estudio, en m2. hn = altura en metros, medida desde la base, al piso más alto del edificio. hwi = altura del muro i, medida desde la base, en metros. nw = número de muros de la edificación efectivos para resistir las fuerzas sísmicas horizontales en la dirección bajo estudio. lwi = longitud medida horizontalmente, en metros, de un muro estructural i en el primer nivel de la estructura y en la dirección en estudio. Alternativamente, para edificios de doce pisos o menos, con altura de piso hp, no mayores de 3 m cuyo sistema estructural de resistencia sísmica está compuesta por pórticos resistentes a momento de hormigón reforzado o acero estructural, el período de vibración aproximado, Ta, en segundos puede determinarse mediante la siguiente expresión: Ta = 0.1 * N (1.8) El valor del período obtenido,T, utilizando las ecuaciones anteriores, es un estimativo inicial del período estructural para predecir las fuerzas a aplicar sobre la estructura con el fin de dimensionar su estructura de resistencia sísmica. Una vez dimensionada la estructura debe calcularse el valor ajustado del período,T, mediante la aplicación del análisis modal o mediante la expresión (1.4) para compararlo con el estimativo inicial; si el período inicial de la estructura difiere en más del 10% del período estimado ini- 56 cial, debe repetirse el proceso de análisis, utilizando el último período calculado como nuevo estimativo, hasta que se converja en un resultado dentro de la tolerancia del 10% señalada.  "    #  #6    7 $(o El coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, es uno de los parámetros de mayor importancia en el cálculo de las cargas sísmicas inelásticas utilizadas en el proceso de diseño o evaluación estructural de un edificio. El factor Ro se utiliza para reducir la intensidad de las cargas elásticas usadas para diseño a niveles inelásticos. Durante la respuesta inelástica a la acción de cargas dinámicas, las estructuras disipan energía y hay tres factores esenciales en su comportamiento: la ductilidad (P), la sobre-resistencia (:) y la redundancia (U) que afectan al coeficiente de capacidad de disipación de energía básico. Se asocia con cada uno de estos parámetros un componente del factor Ro, de tal forma que puede definirse de la siguiente forma: Ro = RoP * Ro: * Roȡ (1.9) En esta sección se presenta un enfoque para determinar el factor Ro, según conceptos simples de energía a partir de la curva de comportamiento carga-desplazamiento.  "    #  #6    7  (RoP) Figura 1.13 Modificación de la respuesta debido a la ductilidad El coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, debido a la ductilidad traslacional (RoP) de una estructura se define como la relación entre la fuerza máxima elástica (Pue) que puede resistir una estructura y la fuerza máxima inelástica (Pu) que puede resistir esa misma estruc- 57 tura si tuviese un comportamiento inelástico. Debido a que tradicionalmente se ha representado dicho comportamiento de manera bilineal, suele decirse que Pu = Py. RoP = Pue / Py (1.10) Una de las investigaciones de mayor trascendencia en torno al componente de la ductilidad del factor Ro proviene de Newmark y Hall (1982). Allí se establece que este parámetro es sensitivo al período natural de la estructura.  Criterio de iguales desplazamientos (largos períodos de vibración) De acuerdo con la curva de fuerza-desplazamiento descrita anteriormente, se puede generalizar que para aquellas estructuras con períodos naturales mayores de 1 segundo existe una relación simple y directa entre el factor Ro y la ductilidad (P = Gu / Gy), de forma que se puede establecer la siguiente relación: Ro = μ Esta relación fue presentada por Newmark y Hall (1982) para una estructura con comportamiento perfectamente elasto-plástico. El fundamento básico se explica porque, para períodos largos, los desplazamientos máximos lineales, y los no lineales, son parecidos; el factor de modificación se calcula de la siguiente manera: Figura 1.14 Criterio de igualdad de desplazamientos OEC = OAB + ABCD + AED Ro = Pu / Py P = Gu / Gy 58 (1.11)  Q         [   \<'?]^]\<_` El área bajo la curva de comportamiento elástico debe ser igual al área bajo la curva de comportamiento elasto-plástico, es decir, que para estructuras de período intermedio, la energía obtenida por el sistema elástico en su desplazamiento máximo es aproximadamente igual a la obtenida por un sistema elástico: Figura 1.15 Criterio de igualdad de energía OEC = OAB + ABDF K = Rigidez K = Pue / Gue = Py / Gy Ro = Pue / Py (1.12) 59 Es importante observar que existen rangos de períodos que estas ecuaciones no cubren. De acuerdo con Newmark y Hall (1982), para períodos estructurales muy bajos, menores de 0.03 segundos, debe tomarse Ro = 1, y para valores intermedios entre 0.03 y 0.12 segundos o entre 0.50 y 1.00 segundos es válido hacer una interpolación lineal. Estudios recientes han obtenido resultados para las curvas RoP–P –T muy similares a los de Newmark y Hall; entre éstos se pueden mencionar: Krawinkler y Nassar (1992) se basaron en el análisis estadístico de quince movimientos sísmicos con magnitudes entre 5.7 y 7.7, actuando en sistemas de un grado de libertad. La importancia de este trabajo fue la correlación existente entre los sistemas de un grado de libertad y sistemas de múltiples grados de libertad. Miranda y Bertero (1994) obtuvieron curvas RoP– P –T para diferentes condiciones de suelo: roca, suelo aluvial y suelo blando. Los resultados obtenidos son consistentes con los obtenidos por Krawinkler y Nassar, y en todas las curvas las relaciones obtenidas tienen una particularidad: el valor máximo para RoP ocurre para un período cercano a T = 1 segundo. Figura 1.16 Variación del factor RoP con la ductilidad y el período  Coeficiente de capacidad de disipación de energía básico debido a la sobre resistencia (Ro:) Generalmente, la respuesta lateral máxima de todo edificio suele ser mayor que la resistencia de diseño. Tanto los métodos de diseño como 60 las especificaciones de los códigos y los requisitos para control de desplazamientos, entre otros, conducen a elementos estructurales de mayor tamaño y refuerzo que los que resultan de un análisis debido estrictamente a cargas verticales y horizontales (sísmicas). La herramienta para determinar la reserva de resistencia es el análisis elástico no lineal (Pushover Analysis). Debe disponerse de un programa computacional que permita detectar paso a paso las fallas estructurales de los elementos. Generalmente se toman como parámetros de control las derivas de entrepiso y la rotación máxima de las rótulas plásticas. Sin embargo, no necesariamente estos dos parámetros representan la totalidad del comportamiento debido a que hay otros tipos de falla estructural que suelen pasar desapercibidas si el software utilizado no las considera, como por ejemplo: las fallas por cortante, por anclajes deficientes y longitudes de desarrollo inadecuadas del refuerzo. El factor Ro: se calcula como el coeficiente entre el cortante basal máximo alcanzado por la estructura, antes de llegar a cualquiera de los estados límites, y el cortante basal de diseño. Ro: = Vu / Vdiseño (1.13) Es importante tener en cuenta que a pesar de que se han realizado diferentes estudios orientados a determinar valores razonables del factor de sobre resistencia, los mismos no han arrojado una tendencia fiable de valores característicos que se puedan asignar a los diferentes tipos de sistemas estructurales, materiales y diferentes demandas de ductilidad (Osteraas y Krawinkler, 1990; Uang y Maarouf, 1993; Hwang y Shinozuka, 1994). El análisis no lineal para el diseño de estructuras sismo resistentes resulta extremadamente importante y su inclusión como procedimiento obligatorio en los códigos de construcción está muy cercana. Sin este análisis es imposible obtener el factor de sobre resistencia, Ro:.  Coeficiente de capacidad de disipación de energía básico debido a la redundancia (RoU) El componente de modificación de respuesta a partir de la redundancia resulta muy difícil de establecer y existen muy pocos estudios que ayuden a determinar la forma de cuantificarlo. Los estudios hechos al res- 61 pecto tienden a demostrar que la redundancia tiene mucha relación con la cantidad de líneas verticales de resistencia sísmica (ejes de columnas) y principalmente con la cantidad de rótulas plásticas requeridas para formar el mecanismo de colapso de la estructura. Se establece como regla general que el factor de redundancia puede ser inferior a 1 y en aquellos sistemas con adecuada redundancia puede asumirse RoU = 1.0. El ATC-19 (1995) propone valores tentativos para el factor de redundancia de la siguiente forma: Tabla 1.8 Valores del coeficiente básico debido a la redundancia, Roȡ N.ode ejes de columnas Factor Roȡ 2 0.71 3 0.86 4 1.00 El cálculo del factor debido a la redundancia, RoU, requiere un mayor estudio e investigación. Coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, R0, según la NSR-10 Por los inconvenientes mencionados en los numerales anteriores para determinar el coeficiente básico de diseño, las normas consideran sólo el factor de ductilidad Roμ. El ATC-3 utiliza un factor de reducción constante sobre todo el período, a pesar de que en el método de Newmark depende de él. Para espectros de respuesta elásticos comparables, el ATC-3 da fuerzas de diseño menores para períodos cortos. Los métodos del ATC-3 y de Newmark y Hall son aproximados. Los resultados indican que la respuesta no lineal depende del tipo de movimiento y de las características mecánicas y dinámicas de la estructura. La diferencia entre las respuestas máximas obtenidas es tan grande que los métodos aproximados no pueden dar límites confiables a la ductilidad requerida. 62 Estos métodos sirven para orientar al ingeniero, si se tiene en cuenta sus limitaciones. La gran dispersión de resultados enfatiza la necesidad de una adecuada elección del sistema estructural y de los materiales, de manera que al diseñar una estructura dúctil, ésta sea capaz de sobrepasar la capacidad que se le suministra al utilizar un espectro no lineal construido como ya se ha visto. La cuantificación de las fuerzas sísmicas según los códigos actuales no atienden con suficiente claridad el verdadero valor del factor Ro, que debe ser asignado a una estructura en particular, sino que generaliza los valores correspondientes por grupos de sistemas estructurales. Los coeficientes que se sugieren provienen exclusivamente de la experiencia y poseen muy poco rigor cuantitativo, razón por la cual pueden llevar a sobre-estimar o reducir excesivamente las cargas sísmicas de diseño. La norma colombiana sigue los lineamientos del ATC-3, es decir, utiliza un factor de reducción constante sobre todo el período. Los valores recomendados por la NSR-10 para el coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, se resumen en las Tablas 1.10 a 1.13. Este coeficiente depende del sistema estructural y de la ductilidad global del sistema. La NSR-10 reconoce cuatro tipos generales de sistemas estructurales de resistencia sísmica y tres grados de capacidad de disipación de energía. Dependiendo del tipo de material estructural y de la característica del sistema de resistencia sísmica se establecen los grados de capacidad de disipación de energía mínimos (DES, DMO y DMI) que debe cumplir el material en las diferentes zonas de amenaza sísmica. Los sistemas estructurales de resistencia sísmica que reconoce la NSR-10 son los siguientes:  Sistema de pórticos: es un sistema estructural compuesto por un pórtico espacial, resistente a momentos, esencialmente completo, sin diagonales, que resiste todas las cargas verticales y fuerzas horizontales.  Sistema de muros de carga: es un sistema estructural que no dispone de un pórtico esencialmente completo y en el cual las cargas vertica- 63 les son resistidas por los muros de carga y las fuerzas horizontales son resistidas por muros estructurales o pórticos con diagonales. Figura 1.17 Sistemas estructurales de pórticos y de muros de carga  Sistema combinado: es un sistema estructural en el cual: – Las cargas verticales son resistidas por un pórtico no resistente a momentos, esencialmente completo, y las fuerzas horizontales son resistidas por muros estructurales o pórticos con diagonales. – Las cargas verticales y horizontales son resistidas por un pórtico resistente a momentos, esencialmente completo, combinado, con muros estructurales o pórticos con diagonales que no cumplen los requisitos de un sistema dual.  Sistema dual: es un sistema estructural que tiene un pórtico espacial resistente a momentos y sin diagonales, combinado con muros estructurales o pórticos con diagonales. Para que el sistema estructural se pueda clasificar como sistema dual se deben cumplir los siguientes requisitos: 64 – El pórtico espacial resistente a momentos, sin diagonales, esencialmente completo, debe ser capaz de soportar las cargas verticales. – Las fuerzas horizontales son resistidas por la combinación de muros estructurales o pórticos con diagonales, con el pórtico resistente a momentos. El pórtico resistente a momentos, actuando independientemente, debe diseñarse para ser capaz de resistir como mínimo 25% del cortante sísmico en la base. – Los dos sistemas deben diseñarse de manera que actuando en conjunto sean capaces de resistir la totalidad del cortante en la base, en proporción a sus rigideces relativas, considerando la interacción del sistema dual en todos los niveles de la edificación. Pero en ningún caso la responsabilidad de los muros estructurales, o de los pórticos con diagonales, puede ser menor del 75% del cortante sísmico en la base. Figura 1.18 Sistemas estructurales dual El coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, depende del sistema estructural y varía entre 1 y 8. Este coeficiente es una medida de la capacidad del sistema para disipar energía en el rango inelástico, de su redundancia y de su sobre resistencia, pero debe recordarse que esa disipación de energía está asociada a daños en la edificación. En zonas de amenaza sísmica alta no se permiten ciertos tipos de sistemas estructurales, tales como edificios de hormigón reforzado sin ductilidad, o sistemas reticulares celulados. 65 Imagen 1.3 Daños en una edificación debido a la flexibilidad del sistema estructural aporticado. Armenia, Colombia, 1999 Imagen 1.4 Sistema reticular celulado, no recomendado para zonas con amenaza sísmica debido a su alta flexibilidad y al mal comportamiento durante el sismo de México, en 1985 66 Tabla 1.9 Sistemas estructurales de muros de carga, NSR-10, Tabla A.3-1 Zonas de amenaza sísmica Sistema de muros de carga Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) 1. R0 |0 (2) (4) Alta Intermedia Baja Uso Altura máx. Uso Altura máx. Uso Altura máx. Paneles de madera a. Paneles de cortante de madera 2. Sistema resistente para cargas verticales Muros ligeros de madera laminada 3.0 2.5 Sí 6m Si 9m Sí 12 m Sí 50 m Sí Sin límite Sí Sin límite Si 50 m Si Sin límite No se permite Si 50 m Muros estructurales a. Muros de hormigón con DES El mismo 5.0 2.5 b. Muros de hormigón con DMO El mismo 4.0 2.5 No se permite c. Muros de hormigón con DMI El mismo 2.5 2.5 No se permite 67 68 Tabla 1.9 Sistemas estructurales de muros de carga, NSR-10, Tabla A.3-1 (continuación) Sistema de muros de carga Zonas de amenaza sísmica Sistema resistente para cargas verticales R0 |0 (2) (4) d. Muros de mampostería reforzada de bloque de perforación vertical (DES) con todas las celdas rellenas El mismo 3.5 e. Muros de mampostería reforzada de bloque de perforación vertical (DMO) El mismo f. Muros de mampostería reforzada de bloque de perforación vertical Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Alta Intermedia Intermedia Uso Altura máx. Uso Altura máx. 2.5 Sí 50 m Sí Sin límite Sí 2.5 2.5 Sí 30 m Sí 50 m Sí Sin límite El mismo 2.0 2.5 Grupo I 2 pisos Sí Sí 18 m g. Muros de mampostería confinada El mismo 2.0 2.5 Grupo I 2 pisos Grupo I 12 m Grupo I h. Muros de mampostería de cavidad reforzada El mismo 4.0 2.5 Sí 45 m Si 60 m Sí Sin límite i. Muros de mampostería no reforzada El mismo 1.0 2.5 Grupo I (3) 2 pisos 2. Uso Altura máx. Muros estructurales No se permite 12 m No se permite Sin límite 18 m Tabla 1.9 Sistemas estructurales de muros de carga, NSR-10, Tabla A.3-1 (continuación) Zonas de amenaza sísmica Sistema de muros de carga Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) 3. Sistema resistente para cargas verticales R0 |0 (2) (4) Alta Intermedia c Uso Altura máx. Uso Altura máx. Uso Altura máx. Sí 24 m Sí 30 m Sí Sin límite No se permite Sí 30m Sí 30 m Sí 15 m Sí 18 m Pórticos con diagonales (las diagonales llevan fuerza vertical) a. Pórticos de acero estructural con diagonales concéntricas, DES El mismo 5.0 2.5 b. Pórticos con diagonales de hormigón, DMO El mismo 3.5 2.5 c. Pórticos de madera con diagonales El mismo 2.0 2.5 Sí 12 m (2) Para edificaciones calificadas como irregulares el valor de Ro debe multiplicarse por Ia, Ip y Ir, R = Ia Ip Ir R0. (3) La mampostería no reforzada sólo se permite en las regiones de las zonas de amenaza sísmica baja donde Aa sea menor o igual a 0.05. (4) El valor de :0 puede reducirse restándole 0.5 en estructuras de diafragma flexible, pero no debe ser menos de 2.0 para cualquier estructura. 69 70 Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 Sistema dual Zonas de amenaza sísmica R0 |0 (2) (3) a. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero excéntricas si las conexiones con resistentes a molas columnas por fuera del vínmentos con DMI culo son resistentes a momento 7.0 b. Pórticos de acero con diagonales excéntricas si las conexiones con las columnas por fuera del vínculo no son resistentes a momento Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales Alta Intermedia Baja Uso Altura máx. Uso Altura máx. Uso Altura máx. 2.0 Sí 45 m Sí 60 m Sí Sin límite 6.0 2.0 Sí 45 m Sí 60 m Sí Sin límite c. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero no excéntricas si el vínculo no se resistentes a momentos conecta a la columna 6.0 2.0 Sí 30 m Si 45 m Sí Sin límite d. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero excéntricas si el vínculo tiene resistentes a moconexión resistente a momento mentos con DMI con la columna 5.0 2.0 Sí 30 m Sí 45 m Si Sin límite 1. Pórticos de acero con diagonales excéntricas Pórticos de acero resistentes a momentos con DMI Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 (continuación) Zonas de amenaza sísmica Sistema dual Sistema resistente para cargas verticales R0 |0 (2) (3) a. Muros de Hormigón con DES Pórticos de hormigón con DES 7.0 2.5 b. Muros de hormigón con DMO Pórticos de hormigón con DMO 5.0 c. Muros de hormigón con DMO Pórticos losa-columna, nota (3) con DMO d. Muros de hormigón con DMI e. Muros de hormigón con DMI Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Alta Intermedia Baja Uso Altura máx. Uso Altura máx. Uso Altura máx. Sí 72 m Sí Sin límite Sí Sin límite 2.5 No se permite Sí 72 m Sí Sin límite 3.5 2.5 No se permite Sí Sí 27 m Pórticos losa-columna, nota (3) con DMO 2.5 2.5 No se permite No se permite Sí 72 m Pórticos losa-columna, nota (3) con DMI 2.0 2.5 No se permite No se permite Sí 18 m f. Muros de mampostería reforzaPórticos de hormigón da de bloque de perf. vertical, con DES DES, con todas las celdas rellenas 4.5 2.5 Sí 30 m Sí Sí 45 m g. Muros de mampostería reforzada Pórticos de hormigón de bloque de perf. vertical, DMO con DES 3.5 2.5 Sí 30 m Sí Sí 45 m 2. Muros estructurales 18 m 35 m 35 m 71 72 Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 (continuación) Sistema dual Zonas de amenaza sísmica R0 |0 (2) (3) h. Muros de mampostería reforzada Pórticos de hormigón de bloque de perf. vertical, DMO con DMO 2.5 2.5 i. Muros de mampostería confinada, Pórticos de hormigón DMO con DMO 2.0 j. Muros de mampostería confinada, Pórticos de hormigón DMO con DMI Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales Alta Intermedia Altura máx. Baja Uso Altura máx. Uso Altura máx. No se permite Sí 30m Sí 45 m 2.5 No se permite Grupo 1 18 m Grupo 1 21 m 2.0 2.5 No se permite No se permite Grupo 1 18 m k. Muros de mampostería de cavidad Pórticos de hormigón reforzada con DES con DMO 4.0 2.5 No se permite 30 m Sí 45 m l. Muros de mampostería de cavidad Pórticos de hormigón reforzada con DES con DMI 2.0 2.5 No se permite No se permite Sí 45 m Pórticos de acero, resistentes a momentos 7.0 2.0 Sí 50 m Sí Sin límite Sí Sin límite Pórticos de acero ren. Muros de cortante compuesto con sistentes o no a moplacas de acero y hormigón mentos 6.5 2.5 Sí 50 m Sí Sin límite Sí Sin límite Uso 2. Muros estructurales m. Muros de cortante con placa de acero, DES Sí Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 (continuación) Sistema dual Zonas de amenaza sísmica R0 |0 (2) (3) Uso Altura máx. Uso Altura máx. Uso Altura máx. o. Muros de hormigón reforzado, Pórticos de acero reDES , mixtos con elementos de sistentes o no a moacero mentos 6.0 2.5 Sí 50 m Sí 60 m Sí Sin límite p. Muros de Hormigón reforzado, Pórticos de acero reDMO , mixto con elementos de sistentes o no a moacero mentos 5.5 2.5 No se permite No se permite Sí Sin límite q. Muros de hormigón reforzado, Pórticos de acero reDMI , mixto con elementos de sistentes o no a moacero mentos 5.0 2.5 No se permite No se permite Sí Sin límite 60 m Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales Alta Intermedia Baja 2. Muros estructurales 3. Pórticos con diagonales concéntricas 73 a. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero no resistentes a momentos concéntricas, DES 5.0 2.5 b. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero no reconcéntricas, DMI sistentes a momentos 4.0 2.5 Pórticos de acero rec. Pórticos mixtos con diagonales sistentes o no a moconcéntricas, DES mentos 5.0 2.0 Sí 30 m Sí 45 m Sí No se permite Sí 10 m Sí 60 m Sí Sin límite Sí Sin límite Sí 50 m 74 Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 (continuación) Sistema dual Zonas de amenaza sísmica R0 |0 (2) (3) Pórticos de acero red. Pórticos mixtos con diagonales sistentes o no a moconcéntricas, DMI mentos 3.0 2.0 e. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero no concéntricas restringidas a panresistentes a momendeo, con conexiones viga-columna tos resistentes a momento 7.0 2.5 Sí 30 m Sí f. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero no concéntricas restringidas a panresistentes a momendeo, con conexiones viga-columna tos no resistentes a momento 6.0 2.5 Sí 30 m Sí g. Pórticos de hormigón con diago- Pórticos de hormigón nales concéntricas con DMO con DMO 3.5 2.5 No se permite Sí Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales Alta Uso Intermedia Altura máx. Uso Baja Uso Altura máx. Sí Sin límite Sí Sin límite 45 m Sí Sin límite 24 m Sí 30 m Altura máx. 3. Pórticos con diagonales concéntricas (2) (3) [~` (4) No se permite (5) No se permite (5) 45 m Para edificaciones calificadas como irregulares el valor de R0 debe multiplicarse por ija, ijp y ijr, R = ija ijp ijr R0. Los pórticos losa-columna incluyen el reticular celulado.    |0 puede reducirse restándole 0.5 en estructura de diafragma flexible, pero no debe ser menos de 2.0. Se permite hasta una altura de 20 m en edificios de un piso (naves industriales o similares) que no sean del Grupo de uso IV. Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10, Tabla A.3.3 Zonas de amenaza sísmica Sistema de pórticos resistentes a momentos Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales R0 |0 (2) (4) Alta Uso Altura máx. Intermedia Baja Uso Altura máx. Uso Altura máx. 1. Pórticos resistentes a momentos con capacidad especial de disipación de energía (DES) a. De hormigón con DES El mismo 7.0 3.0 Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite b. De acero con DES El mismo 7.0 (3) 3.0 Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite c. Mixtos Pórticos de acero o mixtos resistentes o no a momentos 7.0 3.0 Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite Pórticos de acero o d. De acero con cerchas dúctiles mixtos resistentes o (DES) no a momentos 6.0 3.0 Sí 30 m Sí 45 m Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite 2. Pórticos resistentes a momentos con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) a. De hormigón con DMO El mismo 5.0 3.0 No se permite 75 76 Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10, Tabla A.3.3 (continuación) Sistema de pórticos resistentes a momentos Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales Zonas de amenaza sísmica R0 |0 (2) (4) Alta Uso Altura máx. Intermedia Uso Baja Altura máx. Uso Altura máx. Sin límite Sí Sin límite Sin límite Sí Sin límite 2. Pórticos resistentes a momentos con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) b. De acero con DMO El mismo Pórticos de acero o c. Mixtos con conexiones rígidas mixtos resistentes o (DMO) no a momentos 5.0 (3) 3.0 No se permite 5.0 3.0 No se permite Sí Sí 3. Pórticos resistentes a momentos con capacidad mínima de disipación de energía (DMI) a. De hormigón con DMI El mismo 2.5 3.0 No se permite No se permite Sí Sin límite b. De acero con DMI El mismo 3.0 2.5 No se permite No se permite Sí Sin límite 3.0 3.0 No se permite No se permite Sí Sin límite Pórticos de acero o c. Mixtos con conexiones totalmente mixtos resistentes o restringidas a momento (DMI) no a momentos Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10, Tabla A.3.3 (continuación) Sistema de pórticos resistentes a momentos Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales Zonas de amenaza sísmica R0 |0 (2) (4) Alta Uso Altura máx. Intermedia Baja Uso Altura máx. Uso Altura máx. Si 30 m Sí 50 m 3. Pórticos resistentes a momentos con capacidad mínima de disipación de energía (DMI) Pórticos de acero o d. Mixtos con conexiones parcialmixtos resistentes o mente restringidas a momento no a momentos 6.0 3.0 e. De acero con cerchas no dúctiles El mismo 1.5 1.5 No se permite (5) No se permite (5) Sí 12 m f. De acero con perfiles de lámina doblada en frío El mismo 1.5 1.5 No se permite (5) No se permite (5) Sí Sin límite g. Otras estructuras de celosía tales como vigas y cerchas No se permite No se pueden usar como parte del sistema de resistencia sísmica a no ser que tengan conexiones rígidas a columnas, en cuyo caso serán tratadas como pórticos de celosía 77 78 Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10, Tabla A.3.3 (continuación) Zonas de amenaza sísmica Sistema de pórticos resistentes a momentos Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales R0 |0 (2) (4) Alta Uso Altura máx. Intermedia Baja Uso Altura máx. Uso Altura máx. Sí 15 m Sí 21 m No se permite Sí 15 m 4. Pórticos losa-columna (incluye reticular celulado) a. De hormigón con DMO El mismo 2.5 3.0 No se permite b. De hormigón con DMI El mismo 1.5 3.0 No se permite a. Pórticos de acero resistentes a momentos con DES El mismo 2.5 (3) 2.0 Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite b. Pórticos de hormigón con DES El mismo 2.5 2.0 Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite c. Pórticos de acero resistentes a momentos con DMO El mismo 1.5 (3) 2.0 Sí Sin límite Sí Sin límite 5. Estructuras de péndulo invertido (3) No se permite Cuando se trate de estructuras de acero donde las uniones del sistema de resistencia sísmica son soldadas en obra, el valor de Ro debe multiplicarse por 0.9. [`    |0 puede reducirse restándole 0.5 en estructura de diafragma flexible, pero no debe ser menos de 2.0. (5) Se permite hasta una altura de 12 m en edificios de un piso, (naves industriales o similares) que no sean del Grupo de uso IV. Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 Sistema dual Zonas de amenaza sísmica Alta Intermedia Baja Altura Altura Altura Uso Uso Uso máx. máx. máx. R0 |0 (2) (3) 8.0 2.5 Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite 8.0 2.5 Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite 6.0 2.5 No se permite Sí Sin límite Sí Sin límite 6.0 2.5 No se permite Sí Sin límite Sí Sin límite e. Muros de mampostería reforzada Pórticos de hormigón de bloque de perf. vertical con con DES todas las celdas llenas, DES 5.5 3.0 Sí 45 m Sí 45 m Sí 45 m f. Muros de mampostería reforzada Pórticos de acero rede bloque de perf. vertical con sistentes a momentos todas las celdas rellenas, DES con DES 5.5 3.0 Sí 45 m Sí 45 m Sí Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales 1. Muros estructurales Pórticos de hormigón con DES Pórticos de acero reb. Muros de hormigón con DES sistentes a momentos con DES Pórticos de hormigón c. Muros de hormigón con DMO con DMO Pórticos de acero red. De hormigón con cerchas dúctiles sistentes a momentos (DMO) con DMO a. Muros de hormigón con DES 45 m 79 80 Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 (continuación) Zonas de amenaza sísmica Sistema dual R0 |0 (2) (3) g. Muros de mampostería reforzada Pórticos de Hormigón de bloque de perf. vertical, DMO con DES 4.5 Pórticos de acero reh. Muros de mampostería reforzada sistentes a momentos de bloque de perf. vertical, DMO con DES Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales Alta Intermedia Baja Uso Altura máx. Uso Altura máx. Uso Altura máx. 2.5 Sí 35 m Sí 35 m Sí 35 m 4.5 2.5 Sí 35 m Sí 35 m Sí 35 m Pórticos de acero rei. Muros de mampostería reforzada sistentes a momentos de bloque de perf. vertical, DMO con DMO 3.5 2.5 No se permite Sí 30 m Sí 30 m j. Muros de mampostería reforzada Pórticos de hormigón de bloque de perf. vertical, DMO con DMO 3.5 2.5 No se permite Sí 30 m Sí 30 m Pórticos de acero, con k. Muros de cortante con placa de alma llena, con conexacero, DES iones rígidas, DES 7.0 2.5 Sí Sin límite Si Sin límite Sí Sin límite Pórticos de acero, con l. Muros de cortante mixtos con alma llena, con conexplaca de acero iones rígidas, DES 6.5 2.5 Sí Sin límite Si Sin límite Sí Sin límite 1. Muros estructurales Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 (continuación) Sistema dual Zonas de amenaza sísmica R0 |0 (2) (3) m. Muros de hormigón reforzado, Pórticos de acero, con DES , mixtos con elementos de alma llena, con conexacero iones rígidas, DES 6.0 2.5 n. Muros de hormigón reforzado, Pórticos de acero, con DMI , mixtos con elementos de alma llena, con conexacero iones rígidas, DES 5.0 2.5 o. Muros de hormigón reforzado, Pórticos de acero, con DMI , mixtos con elementos de alma llena, con conexacero iones rígidas, DMO 4.0 3.0 8.0 2.5 Sí Sin límite 7.0 2.5 Sí Sin límite Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales Alta Intermedia Baja Uso Altura máx. Uso Altura máx. Uso Altura máx. Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite No se permite No se permite Sí Sin límite No se permite No se permite Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite 1. Muros estructurales 2. Pórticos de acero con diagonales excéntricas a. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero reexcéntricas si las conexiones con sistentes a momento las columnas por fuera del vínculo con DES son resistentes a momento 81 82 Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 (continuación) Sistema dual Zonas de amenaza sísmica R0 |0 (2) (3) Uso Altura máx. Uso Altura máx. Uso Altura máx. b. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero reexcéntricas si las conexiones con sistentes a momento las columnas por fuera del vínculo con DMO son resistentes a momento 6.0 2.5 Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite c. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero reexcéntricas si las conexiones con sistentes a momento las columnas por fuera del vínculo con DMO son resistentes a momento 8.0 2.5 Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite 6.0 2.5 Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales 3. Pórticos con diagonales concéntricas Pórticos de acero rea. De acero con DES sistentes a momento con DES Alta Intermedia Baja b. De acero con DMI Pórticos de acero resistentes a momentos con DMO 3.0 2.5 No se permite Sí 60 m Sí Sin límite c. De hormigón con DMO Pórticos de hormigón con DMO 4.0 2.5 No se permite Sí 24 m Sí 30 m Pórticos de acero, con d. Pórticos mixtos con diagonales alma llena, con coneconcéntricas, DES xiones rígidas, DES 6.0 2.5 Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 (continuación) Sistema dual Zonas de amenaza sísmica R0 |0 (2) (3) e. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero, con concéntricas restringidas al pan- alma llena, con conexdeo iones rígidas, DES 7.0 2.5 Pórticos de acero, con f. Pórticos de acero con diagonales alma llena, con conexconcéntricas, DES iones rígidas, DES 6.0 2.5 Pórticos de acero, con g. Pórticos mixtos con diagonales alma llena, con conexconcéntricas iones rígidas, DMO 5.5 2.5 h. Pórticos con diagonales concénEl mismo tricas que resistan sólo a tensión 3.0 2.5 Sistema resistencia sísmica (fuerzas horizontales) Sistema resistente para cargas verticales Alta Intermedia Baja Uso Altura máx. Uso Altura máx. Uso Altura máx. Sí Sin límite Sí Sin límite Sí Sin límite No se permite Sí 10 m Sí 30 m Sí 30 m Sí Sin límite 3. Pórticos con diagonales concéntricas (2) Sí 50 m No se permite, nota (4) 83 Cuando se trate de estructuras de acero donde las uniones del sistema de resistencia sísmica son soldadas en obra, el valor de Ro debe multiplicarse por 0.9. [~`    |0 puede reducirse restándole 0.5 en estructura de diafragma flexible, pero no debe ser menor de 2.0. (4) Se permite hasta una altura de 12 m en edificios de un piso, (naves industriales o similares) que no sean del Grupo de uso IV. 1.5 Configuración estructural de la edificación y coeficiente de capacidad de disipación de energía para ser empleado en el diseño, R 1.5.1 Asimetrías del sistema estructural de resistencia sísmica Debido al número infinito de variables en la configuración de una edificación, no ha sido práctico para los códigos de construcción definir parámetros o reglas que se apliquen a cualquier tipo de construcción. Sin embargo, por la gran utilización de estructuras irregulares en la arquitectura moderna y la importancia de la construcción en la economía de cada país, las versiones recientes de códigos como el SEAOC, UBC, y ATC-3, han cuantificado más de veinte configuraciones irregulares críticas. Edificios con irregularidades severas se han comportado mal durante los sismos de Venezuela, Nicaragua, México, Chile, Haití, Europa y Asia. Es necesario analizar estas estructuras irregulares, no con el método de cargas estáticas equivalentes (pues se llegaría a resultados totalmente erróneos y poco conservadores) sino con métodos más precisos como el método de análisis modal (elástico o inelástico), teniendo en cuenta el espectro de diseño de terremotos (elástico o inelástico). Imagen 1.5 Comportamiento deficiente de una estructura con asimetría en planta en forma de U, El Salvador, 1986 84 Es importante recalcar que una edificación simétrica no es necesariamente calificada como regular por los códigos de construcción. Por ejemplo, edificaciones en forma de T, E, L, +, U, son consideradas como irregulares. Vista en planta, las aletas o extremos de estas edificaciones son más flexibles que la parte central, como sucede con la forma en cruz. Además los efectos torsionales en las formas T, E, L, + y U hacen que las columnas más alejadas del centro estén sometidas a grandes derivas, mientras la parte central está sometida a gran concentración de tensiones por su gran rigidez. Las estructuras deben ser simétricas y de forma simple para clasificarse como regulares, esto es, edificaciones con esquinas obtusas no son regulares por la gran concentración de tensiones en esas esquinas. Hay necesidad de enfatizar que no solamente la simetría está en la forma de la edificación, sino también en los detalles de diseño y construcción. Estudios y experiencias indican que el comportamiento sísmico es bastante sensitivo a pequeñas variaciones en la simetría. Muchas edificaciones simétricas y simples durante el terremoto de la ciudad de México sufrieron grandes daños por la localización excéntrica de los puntos fijos (taco de escaleras y muros de ascensores). Imagen 1.6 Comportamiento deficiente de una estructura con asimetría en planta en forma de E, palacio presidencial, Haití, 2010 85 Cuando las columnas y los muros estructurales sufren fisuramiento, el centro de rigidez y la distribución de la resistencia de los miembros a fuerzas laterales pueden cambiar significativamente, crear asimetría dinámica y efectos torsionales aun en edificaciones regulares. En muchos casos, las condiciones de diseño arquitectónicas hacen que una edificación sea altamente asimétrica. En tales situaciones, para reducir los efectos negativos, como los debidos a la torsión, es aconsejable dividir la edificación en partes más simples y menos asimétricas. Este problema es más común en edificaciones de baja a mediana altura, porque en los edificios de gran altura la tendencia es hacia formas simétricas y simples. Para efectos de diseño toda estructura se debe clasificar como regular o irregular (NSR-10, Sec. A.3.3.1). Cuando una estructura es clasificada como irregular debe proporcionársele una mayor rigidez, mediante la reducción del coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, al multiplicarlo por los siguientes factores menores o iguales a la unidad: R = Ia * Ip * Ir * Ro (1.14) La NSR-10 cuantifica los valores de los coeficientes Ia y Ip, los cuales pueden obtenerse de las Figuras 1.19 y 1.20. Debe reducirse el valor del coeficiente R0 multiplicándolo por Ip, debido a irregularidades en planta, por Ia, debido a irregularidades en altura y por Ir, debido a la ausencia de redundancia. Cuando una edificación tiene simultáneamente varios tipos de irregularidades en planta, se aplicar7 el menor valor de Ip. Análogamente, cuando una edificación tiene simultáneamente varios tipos de irregularidades en altura, se aplicar7 el menor valor de Ia.  8 #     '()*+$ ,-,9,9,/,* Cuando, para todos los pisos, la deriva de cualquier piso es menor que 1.3 veces la deriva del piso siguiente hacia arriba, puede considerarse que no existen irregularidades en altura de los tipos 1aA, 1bA, 2A o 3A, tal como se define en la Figura 1.20, en este caso se aplica Ia = 1.0. No hay necesidad de considerar en esta evaluación las derivas de los dos 86 pisos superiores de la edificación ni los sótanos que tengan muros de contención integrados a la estructura en toda su periferia. Las derivas utilizadas en la evaluación pueden calcularse sin incluir los efectos de la torsión.  " 6       '()*+$ ,-,9,. Cuando se combinen sistemas estructurales en altura se presentan dos casos: – Estructura flexible apoyada sobre una estructura con mayor rigidez: pueden utilizarse cuando cumplan los requisitos consignados en la Tabla 1.14. – Estructura rígida apoyada sobre una estructura de menor rigidez: este tipo de combinación de sistemas estructurales en la altura presenta inconvenientes en su comportamiento sísmico. No es aceptable como solución estructural. – Combinación de sistemas estructurales en planta. Pueden combinarse sistemas estructurales en planta, sin que esto de pie a que la estructura se clasifique como irregular, con las siguientes limitaciones: – Los dos sistemas deben coexistir en toda la altura de la edificación. – Cuando la estructura tiene un sistema de muros de carga únicamente en una dirección, el valor de R para diseñar la dirección ortogonal no puede ser mayor que 1.25 veces el valor de R del sistema estructural de muros de carga. – Cuando la estructura tiene dos sistemas de muros de cargas diferentes en la misma dirección, para el sistema que tiene el mayor valor de R el valor a emplear no puede ser mayor que 1.25 veces el valor de R del sistema con el menor valor de R. – Cuando la estructura tiene sistemas diferentes al de muros de carga en ambas direcciones, para el sistema que tiene un mayor valor de R, el valor a emplear no puede ser mayor que 1.25 veces el valor de R del sistema con el menor valor de R. 87 Tabla 1.13 Mezcla de sistemas estructurales en altura Descripción de la combinación Requisitos Estructura flexible apoyada sobre una estructura con mayor rigidez Pueden utilizarse los siguientes requisitos dados aquí si la estructura cumple las siguientes condiciones: a. Ambas partes de la estructura, consideradas separadamente, pueden ser clasificadas como regulares. b. El promedio de las rigideces de piso de la parte baja sea por lo menos diez veces el promedio de las rigideces de piso de la parte alta. c. El período de la estructura considerada como un todo, no debe ser mayor que 1.1 veces el período de la parte superior, al ser considerada como una estructura independiente empotrada en la base. Si no se cumplen las condiciones anteriores la estructura se considera irregular Se permite que esta combinación de sistemas estructurales no se considere irregular (Ip = Ia = 1.0), y el sistema puede diseñarse sísmicamente utilizando el método de la fuerza horizontal equivalente. 1. La parte superior flexible puede ser analizada y diseñada, como una estructura separada, apoyada para efecto de las fuerzas horizontales por la parte más rígida inferior, usando el valor apropiado de R0 para su sistema estructural. 2. La parte rígida inferior debe ser analizada y diseñada como una estructura separada, usando el valor apropiado de R0 para su sistema estructural, y las reacciones de la parte superior, obtenidas de su análisis, deben ser amplificadas por la relación entre el valor de R0 para la parte superior y el valor de R0 de la parte inferior Estructura rígida apoyada sobre una estructura con menor rigidez Corresponde a edificaciones en las cuales se suspende antes de llegar a la base de la estructura, parcial o totalmente, un sistema estructural más rígido que el que llega a la base de la estructura Este tipo de combinación de sistemas estructurales en la altura presenta inconvenientes en su comportamiento sísmico. No es aceptable como solución estructural 88 3. No es aceptable como solución estructural Figura 1.19 Irregularidades en planta IS   § '  '  · ¨  ¸ t ' ²  © ¹ IS § '  '  · ¨  ¸ © ¹  ' ²  § '  '  · ¨  ¸ © ¹ 89 Figura 1.20 Irregularidades en altura Tipo 1aA - Piso flexible - Ia = 0.9 0.60 Rigidez KD E d Rigidez KC < 0.70 Rigidez KD, ó D 0.70 (KD+KE+KF)/3 d Rigidez KC < 0.80 (KD+KE+KF)/3 C Tipo 1bA - Piso flexible - Ia = 0.8 B Rigidez KC < 0.60 Rigidez KD, ó A Rigidez KC < 0.70 (KD+KE+KF)/3 Tipo 2A – Distribución masa - Ia = 0.9 E D mD ! 1.50 mE C ó B mD ! 1.50 mC A b Tipo 3A – Geométrica - Ia = 0.9 1.2 A a S I 2.5 A a aI ! d1.30Sb a T d Aa I 2 a Tipo 4A – Desplazamiento dentro del plano de acción, Ia = 0.8 b a Ta b!a Ct hn3 4 Tipo 5aA – Piso débil - Ia = 0.9 0.65 Resist. Piso C d Resist. Piso B < 0.80 Resist. Piso C E D C Tipo 5bA – Piso débil extremo - Ia = 0.8 Resist. Piso B < 0.65 Resist. Piso C 90 B A 1.5.2 Redundancia del sistema estructural de resistencia sísmica Debe reducirse el valor del coeficiente R0 multiplicándolo por Ir, debido a la ausencia de redundancia en el sistema estructural de resistencia sísmica, en las dos direcciones principales en planta de la siguiente manera: NSR-10, Sec. A.3.3.8.1: en edificaciones con un sistema estructural con capacidad de disipación de energía mínima (DMI) se le asigna un valor igual a la unidad, Ir = 1.0. NSR-10, Sec. A.3.3.8.2: en edificaciones con un sistema estructural con capacidad de disipación de energ   (DMO) y especial (DES) se le asigna un valor igual a la unidad, Ir = 1.0 cuando en todos los pisos que resistan más del 35% del corte, en la dirección bajo estudio, el sistema estructural de resistencia sísmica cumpla las siguientes condiciones de redundancia: a)       #   # #6        : , La falla de cualquiera de las diagonales o sus conexiones al pórtico no resulta en una reducción de más del 33% de la resistencia ante fuerzas horizontales del piso, ni produce una irregularidad torsional en planta tipo 1bP. b)       #   # #6        8: , La pérdida de resistencia a momento o a cortante (para el caso de vínculos a corte) de los dos extremos de un vínculo no resulta en una reducción de más del 33% de la resistencia ante fuerzas horizontales del piso, ni produce una irregularidad torsional en planta tipo 1bP. c)      #6        , La pérdida de resistencia a momento en la conexión viga-columna de los extremos de una viga no resulta en una reducción de más del 33% de la resistencia ante fuerzas horizontales del piso, ni produce una irregularidad torsional en planta tipo 1bP. d)           6 , La falla de un muro estructural o de una porción del que tenga una relación de la altura de piso a su longitud horizontal mayor de la unidad, o de los elementos colectores que lo conectan al diafragma, no resultan en una reducción de más del 33% de la resistencia ante fuerzas horizontales del piso, ni produce una irregularidad torsional en planta tipo 1bP. 91 En los sistemas estructurales que no cumplan las condiciones enunciadas en los literales (a) a (d) el factor de reducción por ausencia de redundancia en el sistema estructural de resistencia sísmica, Ir, se le debe asignar un valor de Ir = 0.75. Aunque no se cumplan las condiciones enunciadas en los literales (a) a (d) se le asignará al factor de ausencia de redundancia, Ir, un valor Ir = 1.0 en todos los pisos que resistan más del 35% del cortante basal, en la dirección bajo estudio, si el sistema estructural es simétrico y tiene al menos dos vanos (tres ejes de columnas) localizadas en la periferia en las dos direcciones principales. Cuando se trata de muros estructurales para efectos de contar el número de vanos equivalentes se calcula como la longitud horizontal del muro dividida por la altura del piso. 1.5.3 Recomendaciones para una buena estructuración Cuando se habla de estructuración no solamente se refiere a la simetría de la estructura, pues hay otros factores que deben tenerse en cuenta para lograr que la estructura tenga un buen comportamiento sísmico. Con base en la experiencia obtenida en muchos sismos ocurridos en diferentes partes del mundo, se ha elaborado una serie de recomendaciones sobre estructuración, para lograr un mejor comportamiento sísmico; entre ellas se cuenta:     ‚  ƒ  "           !         „      !      ƒ"   †   "              ‡  !          ˆ ƒtales antes que en los verticales               "  la estructura  Q      "  "   Se recomienda que las estructuras sean livianas, pues las fuerzas debidas al sismo surgen como consecuencia de la inercias de las masas al desplazarse, por lo cual entre menos peso, menores serán los efectos de los sismos en ellas. El peso de los muros y de los acabados representa aproximadamente el 50% del peso de la estructura. Son estos los ítems a los que debe prestarse especial atención para reducir el peso de la estructura. 92 Imagen 1.7 Las pesadas divisiones tradicionales, ladrillos de arcilla, deben reemplazarse por divisiones modulares, en yeso, muy livianas Imagen 1.8 La localización de las acometidas de agua, teléfono, luz, gas y televisión deben ubicarse adecuadamente para no obligar a la colocación de pesados materiales de nivelación de los pisos 93 Las estructuras deben ser sencillas, para que los modelos matemáticos sean realistas, pues una estructura muy compleja, que mezcla distintos tipos de sistemas estructurales y materiales, no es fácil de modelar; debe procurarse que sean simétricas para reducir los efectos de torsión, por lo que se deben evitar las plantas en forma de L, T, y C. También se debe intentar que no sean muy alargadas en planta y elevación: en planta, para reducir la posibilidad de que el movimiento en un extremo del edificio sea diferente a la del otro, y en altura, para reducir el momento de volcamiento que encarece la cimentación. Imagen 1.9 Colapso en Armenia, Colombia, en 1999. Muros estructurales dispuestos en una sola dirección Conviene que la resistencia y la rigidez de la estructura estén repartidas uniformemente, sin concentrarse en unos cuantos elementos. Entre más hiper-estaticidad tenga la estructura, es mayor el número de secciones que deben fallar antes que la estructura colapse. 94 Imagen 1.10 Daños en acabados por flexibilidad del primer piso, Pereira, Colombia, 1999 Se recomienda intentar que las propiedades dinámicas de la estructura sean congruentes con las del suelo en la cual está cimentada; en general, se dice que en suelos firmes se comportan mejor las estructuras flexibles y en suelos blandos las estructuras rígidas. Lo que se trata es de evitar la posible resonancia por coincidencia de las propiedades dinámicas de la estructura y del suelo. Finalmente, es recomendable que lo que se construya sea congruente con lo que se proyecta. En algunos casos la colaboración de los muros divisorios evita el colapso de estructuras sub-diseñadas, si su colocación es relativamente simétrica y tiene continuidad de un piso a otro. Pero cuando su colocación es asimétrica, como ocurre en los muros de linderos en edificios localizados en las esquinas o cuando son discontinuos, como ocurre en algunas construcciones en el primer piso porque se destinan a estacionamientos o comercio, la colaboración de los muros divisorios puede ser causa de daños muy graves o aun del colapso total de la estructura, al propiciar efectos torsionantes importantes. 95 1.6 Evaluación de la deriva máxima Las derivas son los desplazamientos relativos entre dos pisos consecutivos de una estructura, se evalúan para las cargas horizontales sin dividirlas por el factor de modificación de respuesta R. Al someter una estrucFigura 1.21 Derivas de entrepiso tura a la acción de las cargas sísmicas, fi, los entrepisos sufren desplazamientos hoƒ  ‰i. Las derivas de entrepiso, įi, para la estructura de la figura, se calculan de la siguiente manera: Piso 1: į1Š‰1 Piso i: įiŠ‰i‹‰i-1 En estructuras regulares e irregulares que no tengan irregularidades en planta tipo 1aP o 1bP o edificaciones con diafragma flexible, la deriva máxima corresponde a la mayor deriva de las dos direcciones principales en planta, evaluadas en el centro de masa. En estructuras irregulares que tengan irregularidades en planta tipo 1aP o 1bP la deriva máxima en cualquier punto del piso i se calcula por medio de la expresión (1.11). (1.15) 1.6.1 Límites de la deriva máxima La magnitud de la deriva debe limitarse, entre mayor sea su valor mayores serán los daños en los elementos no estructurales y en los acabados. Daños estos que son muy costosos de reparar y su magnitud puede ser tal que con posterioridad a un evento sísmico la estructura puede llegar a ser inhabitable. Los límites de las derivas no pueden exceder las especificaciones de la Tabla 1.15. 96 Tabla 1.14 Derivas máximas como porcentaje de hpi Estructura de Deriva máxima Hormigón reforzado, metálicas, de madera y mampostería que cumplan los requisitos de la Nota 1 De mampostería que cumplan los requisitos de la Nota 2 Nota 1: se permite emplear en edificaciones construidas en mampostería estructural, cuando estas estén compuestas por muros cuyo modo prevaleciente de falla sea la flexión ante fuerzas paralelas al plano del muro, diseñados como elementos verticales esbeltos que actúan como voladizos apoyados en su base o cimentación. Nota 2: cuando se trate de muros de mampostería estructural poco esbeltos, o cuyo modo prevaleciente de falla sea causado por esfuerzos cortantes. 1.6.2 Separación entre estructuras adyacentes por consideraciones sísmicas Las estructuras deben construirse tal como se diseñan, permitiéndoles un desplazamiento lateral; por ello, las estructuras vecinas deben estar separadas, sin interferencias entre sí, de lo contrario se presentaran cambios no previstos en su diseño que pueden llevarlas al colapso parcial o total. La NSR-10, Sec. A.6.5, es muy clara en los requisitos que deben cumplirse en la separación entre edificaciones vecinas, entre estos requisitos están: a) Cuando el paramento del lote sea colindante con vía pública o zona verde pública no requiere separación sísmica con respecto al paramento en ese costado o costados. b) Cuando en la colindancia haya un cerramiento, y la edificación nueva esté separada de este cerramiento en una distancia que supere la señalada para el piso crítico en la Tabla 1.15, no se requiere separación sísmica. c) Las edificaciones con uno o dos pisos aéreos en la colindancia no requieren separación sísmica. 97 d) Las edificaciones de más de dos pisos aéreos en la colindancia deben separarse del paramento con las distancias especificadas en la Tabla 1.15. e) En el caso de edificaciones objeto de reforzamiento y rehabilitación sísmica, el ingeniero diseñador de la rehabilitación debe dejar constancia de que estudió el potencial efecto nocivo de la interacción con las edificaciones vecinas colindantes, y que tomó las medidas apropiadas según su mejor criterio. f) El paramento del lote y la separación sísmica requerida deben quedar claramente indicados en los planos arquitectónicos que se presentan a la autoridad competente, o curaduría, para la obtención de la licencia de construcción. Tabla 1.15 Separación sísmica mínima en la cubierta entre edificaciones colindantes que no hagan parte de la misma construcción Tipo de colindancia Altura de la edificación nueva 1 y 2 pisos 3 pisos Más de 3 pisos 98 Existe edificación vecina que no ha dejado la separación sísmica requerida No existe edificación vecina o la que existe ha dejado la separación sísmica requerida Coinciden las losas de entrepiso No coinciden las losas de entrepiso No requiere separación No requiere separación No requiere separación No requiere separación 0.01 veces la altura de la edificación nueva (1% hn) No requiere separación 0.02 veces la altura 0.03 veces la altura de la edificación de la edificación nueva (3% hn) nueva (2% hn) 0.01 veces la altura de la edificación nueva (1% hn) Figura 1.22 Medición de la separación sísmica (vista en elevación) Imagen 1.11 Daños por separación insuficiente de construcciones vecinas, Armenia, Colombia, 1999 99 Imagen 1.12 Daños por separación insuficiente, edificio Facultad de Ingeniería Universidad de Concepción, Chile, febrero 27 de 2010 100 Capítulo 2 Filosofía del diseño sísmico 2.1 Sistemas estructurales La configuración estructural tiene que ver con la geometría en planta y en altura de la edificación, con la distribución de las masas, con el tamaño relativo de los elementos estructurales que la conforman y con sus uniones (nudos). Edificios asimétricos, esto es, con irregularidades, han sufrido mucho más daños por sismos que edificaciones simétricas; por ello, los códigos de construcción penalizan la utilización de configuraciones irregulares, en planta y en elevación, y recomiendan el empleo de una configuración regular. Entre más sencilla sea la configuración más real es el modelo matemático de la estructura. Imagen 2.1 La disposición asimétrica de muros en edificios de esquina puede inducir torsión en la estructura Es importante que cuando existan discontinuidades en la distribución, ya sea en las inercias (masas), en la geometría o en la rigidez en cualquiera de las tres dimensiones, éstas sean incluidas en el diseño me- 101 diante un análisis más detallado de los efectos de estas irregularidades, y en tal caso, debe hacerse un diseño más conservador y un cuidadoso detallado de las zonas de mayor posibilidad de falla. En toda edificación se distinguen tres sistemas estructurales: uno que soporta las cargas verticales o de gravedad (cargas vivas y muertas), otro que soporta las cargas horizontales de viento y de sismo, y la fundación que distribuye las cargas en el suelo. Comúnmente, y para reducir los costos de construcción, el sistema vertical y horizontal es el mismo, el cual se denomina como la superestructura del edificio. Los sistemas más comunes y aceptados por los códigos de construcción, tales como el ATC-3-06, son los siguientes: 2.1.1 Sistema de muros En este sistema los muros soportan tanto las cargas verticales como las horizontales. Los muros que soportan las cargas verticales se denominan muros cargueros; mientras que los que soportan las cargas horizontales son muros estructurales reforzados. En el sistema de muros no existen columnas ni vigas, y si se presentan son pocas y transmiten cargas muy pequeñas. Este sistema es popular en estructuras de mampostería o de concreto reforzado (sistema túnel). Imagen 2.2 Sistema estructural con muros de cortante 102 Imagen 2.3 Sistema estructural con pórticos dúctiles de hormigón 2.1.2 Sistema de pórticos dúctiles a flexión Consiste en un pórtico tridimensional de alta ductilidad que soporta las cargas por la flexión de las vigas y columnas, tanto para cargas verticales como horizontales. Este pórtico puede tener ductilidad intermedia o alta (especial). Los pórticos con alta ductilidad requieren un detallado muy especial del refuerzo, tanto en los elementos como en las uniones. Este sistema es común en acero y en hormigón reforzado. 2.1.3 Sistema de pórticos En este sistema los pórticos soportan las cargas verticales, y las horizontales son soportadas por pórticos arriostrados con diagonales. Es un sistema popular en estructuras de acero. 103 Imagen 2.4 Sistema estructural con pórticos de acero arriostrados (arriba). Disponibilidad de espacios en una estructura con pórticos dúctiles de hormigón (abajo) 2.1.4 Sistema dual Consiste en un pórtico tridimensional acoplado con muros estructurales, ambos de alta ductilidad y resistencia. Los pórticos deben soportar 104 al menos el 25% de las cargas horizontales. El pórtico acoplado con los muros estructurales debe soportar la totalidad de las cargas laterales. 2.1.5 Sistema combinado Consiste en un pórtico tridimensional acoplado con muros estructurales, ambos de alta ductilidad y resistencia en los cuales los pórticos no alcanzan a soportar el 25% de la carga horizontal. La experiencia ha indicado que el comportamiento de edificaciones de concreto reforzado con sistemas duales, y de configuración regular, es uno de los más adecuados para zonas de alta sismicidad. Este sistema ha sido muy investigado en Japón y en Estados Unidos tanto experimental, como analíticamente. El sistema dual es un sistema racional que ofrece: dos niveles de defensa contra sismos (los muros estructurales y los pórticos especiales), gran estabilidad y ductilidad, y alta resistencia que excede las especificaciones mínimas de los códigos de construcción. Si el sistema estructural es regular y los elementos y nudos se diseñan de acuerdo con las especificaciones, el sistema es bastante noble, es decir, poco susceptible de deterioro prematuro por terremotos de gran capacidad destructiva. Por otra parte, ubicar estratégicamente los muros permite gran versatilidad en el manejo de espacios, pues da lugar a soluciones flexibles que conducen a proyectos muy comerciales, ya que los diseños pueden adecuarse a los requerimientos de los clientes. A la utilización de este sistema se debe el éxito de la ingeniería chilena, la cual desde un principio se decidió por las estructuras rígidas. Los pórticos dúctiles bien diseñados han respondido adecuadamente ante terremotos severos; su inconveniente estriba en que su alta ductilidad conduce a grandes deformaciones que han ocasionado muchos daños en los elementos no estructurales, lo cual hace costosas las reparaciones. Los códigos de construcción tratan de obviar este inconveniente al limitar las derivas de los pisos y aislar los elementos no estructurales, regularmente rígidos, de la estructura flexible. Al igual que el sistema dual, este sistema es muy flexible, permite el manejo de espacios amplios y ofrece múltiples soluciones desde el punto de vista comercial. 105 Imagen 2.5 Limitaciones en la distribución de espacios en un sistema de muros El sistema de muros es un sistema muy rígido, que además de su excelente comportamiento ante cargas horizontales permite procesos constructivos muy acelerados que le dan ventajas económicas si se le compara con el aporticado y el dual. Su desventaja está en la arquitectura rígida, en el manejo de espacios reducidos, y en las limitaciones constructivas de parqueaderos en los primeros niveles, pues los muros deben iniciarse desde la cimentación. Este sistema no permite realizar diseños de acuerdo con las necesidades de los clientes, por lo que se obtienen proyectos menos comerciales desde este punto de vista. Este sistema es una solución ideal para proyectos de vivienda de interés social o de unidades residenciales en las cuales los parqueaderos se construyen en estructuras aporticadas independientes. 2.2 Métodos de análisis El efecto de las fuerzas sísmicas sobre la estructura debe evaluarse por medio del análisis de un modelo matemático de la estructura que represente adecuadamente las características del sistema estructural. El análisis realizado de acuerdo con los principios de la mecánica estructural debe tener en cuenta, como mínimo: 106       "              combinen elementos verticales de resistencia sísmica con diferencias apreciables en su rigidez.             ta de manera flexible o rígida.       -         ƒ  Œ          sistema de resistencia sísmica causados por las fuerzas sísmicas.        <        !   !   ƒ   <       !         fuerzas sísmicas y el grado de capacidad de disipación de energía. Como resultado del análisis de la estructura debe obtenerse, como mínimo:    ƒ  ˆ ƒ       "   efectos torsionales que se emplean para evaluar si la estructura cumple con los requisitos exigidos.     !     "     nales, a todos los elementos verticales del sistema de resistencia sísmica.       ƒ       !<    ƒ          zas cortantes y fuerzas axiales para todos los elementos del sistema de resistencia sísmica. Los métodos de análisis reconocidos por la NSR-10 son los siguientes:  ‘$   ‡ ƒ † ƒ     ‘$       ‘$      Según las características de la estructura que se desea analizar, debe seleccionarse el método de análisis más adecuado. El método de análisis dinámico inelástico está fuera del alcance del presente texto; este método se utiliza en aquellos casos en los cuales se presentan variaciones en la capacidad de disipación de energía en el rango inelástico, que sólo son posibles de identificar por este método. 107 2.2.1 Método de la Fuerza Horizontal Equivalente En el caso de cargas de sismo, tanto las cargas como su distribución se calculan según lo especificado en la Sección 1.6; este procedimiento se denomina Fuerza Horizontal Equivalente (FHE). La NSR-10, Sec. A.3.4.2.1, especifica que este método se puede utilizar en el análisis de las siguientes edificaciones: 1. Todas las edificaciones, regulares e irregulares, en la zona de amenaza sísmica baja. 2. Todas las edificaciones, regulares e irregulares, pertenecientes al grupo de uso I, localizadas en la zona de amenaza sísmica intermedia. 3. Edificios regulares, de veinte niveles o menos, y 60 m de altura, o menos, medidos desde la base, en cualquier zona de amenaza sísmica, excepto las edificaciones localizadas en lugares que tengan un perfil de suelo tipo D, E o F con período de vibración mayor de 2Tc. 4. Edificaciones irregulares que no tengan más de seis niveles o 18 m de altura medidos desde la base. 5. Estructuras flexibles apoyadas sobre estructuras más rígidas que cumplan los requisitos de la NSR-10, Sec. A.3.4.2.3. En el método de la Fuerza Horizontal Equivalente la magnitud y distribución de las cargas están basadas en factores y expresiones empíricas, y en la suposición de que el comportamiento estructural está controlado por el primer modo de vibrar, y de que la distribución de las fuerzas horizontales tiende a una distribución de forma triangular. Es el procedimiento más general para el análisis de estructuras regulares. Pero el método de la Fuerza Horizontal Equivalente no es recomendable para el análisis de estructuras irregulares o estructuras críticas localizadas en zonas sísmicas. 2.2.2 Método del análisis dinámico elástico Este método debe utilizarse para analizar las estructuras que no están cubiertas en el numeral anterior, incluyendo las siguientes:           ’\      excepción de las edificaciones mencionadas en el numeral 2.2.1 (1) y (2). 108  Edificaciones que tengan irregularidades verticales de los tipos 1A, 2A y 3A.         las Figuras 1.20 y 1.21.     $             ?\      calizadas en zonas de amenaza sísmica alta, que no tengan el mismo sistema estructural en toda su altura.         ƒ      un perfil de suelo D1 E o F y un período mayor de 2Tc. En este caso, el análisis debe incluir los efectos de interacción suelo- estructura. En el método dinámico la magnitud y distribución de las cargas son funciones de las características dinámicas de la estructura y del sismo de diseño. En la determinación de las cargas y en su distribución se incluyen los efectos de la geometría, condiciones de apoyo, materiales y distribución de las masas. La diferencia entre estos dos métodos de análisis está en la manera como las cargas laterales son determinadas y aplicadas a lo largo de la altura de la estructura. 2.3 Aspectos generales del diseño sísmico Es deber de los estados salvaguardar la vida, honra y bienes de sus ciudadanos. En la reglamentación se encuentra el medio para garantizar el cumplimiento de los requisitos mínimos de este objetivo. Estos reglamentos, llamados códigos o normas, son escritos por hombres honestos, de buena voluntad y están sometidos a las fragilidades humanas; es decir, no deben considerarse verdades evangélicas pues sólo representan una síntesis del conocimiento actual. Un reglamento no es un conjunto de reglas preparado por unos pocos para la regulación de otros ingenieros, sino una síntesis del conocimiento, las prácticas y las técnicas contemporáneas. Consecuentemente, un reglamento no puede ser mejor que nuestro conocimiento colectivo, obtenido ya sea por la teoría, la investigación o la experiencia en la práctica. El gobierno colombiano, a través de la Ley 400 de 1997 (modificada por la Ley 1229 de 2008) y del Decreto 926 del 19 de marzo del 109 2010, promulgó las Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente (NSR-10), con las cuales se reglamenta el ejercicio de las profesiones afines con la construcción, y se formulan los requisitos mínimos que deben cumplirse para el diseño de estructuras en acero, madera, hormigón y mampostería; igualmente se formulan los requisitos mínimos para la construcción de viviendas de uno y dos pisos. Uno de los materiales más empleado en la construcción de edificios es el hormigón reforzado, pero este material tiene el inconveniente de que no posee las propiedades esenciales que se necesitan para lograr un buen comportamiento sísmico. Para esto hay que prestar mucha atención a ciertas características de estructuración y refuerzo que van más allá de las normales para zonas no sísmicas. Se requiere de gran cantidad de detalles de refuerzo que son costosos y constructivamente difíciles de lograr.   “          ”   dío, el 25 de enero de 1999, es el ejemplo más claro de este comportamiento defectuoso de estructuras de hormigón cuando no se cumplen ciertos requisitos especiales. Estos requisitos pueden clasificarse en tres niveles: estructuración, diseño y ductilidad.      !      •   –   de elementos estructurales más apropiado para resistir las fuerzas sísmicas. Debe tener una resistencia y rigidez alta a carga lateral y debe evitar llevar la estructura a un colapso con falla frágil.                < Los requisitos en cuanto a resistencia y rigidez son los mismos para todas las estructuras.                 ˆ migón en zonas sísmicas. Para que una estructura de hormigón tenga un buen comportamiento sísmico hay que cuidar los siguientes tres factores: resistencia, rigidez y ductilidad. Una estructura debe tener una capacidad de resistencia bastante alta para soportar las cargas laterales, pero también debe tener un comportamiento dúctil para evitar que se presente un colapso total si se excede por alguna razón su capacidad. Es prácticamente imposible diseñar una estructura para que resista las máximas fuerzas sísmicas que pudiesen llegar a presentarse; no se puede prever con suficiente confianza cuál va a ser el nivel máximo que 110 pueden alcanzar y, aun, en el caso hipotético de que se conociese, la solución sería una estructura no funcional por lo voluminoso de las columnas, con costos elevadísimos que la harían inalcanzable para la comunidad. Para resolver el problema se fija un nivel de resistencia, previendo la posibilidad de que las fuerzas inducidas por los sismos puedan exceder ese nivel, pues es imposible ponerle límite al desplazamiento del terreno. Imagen 2.6 Comportamiento dúctil de un edificio de hormigón reforzado Si las fuerzas exceden los límites de resistencia que se han previsto, se pretende que la estructura no presente una falla frágil, sino que sea capaz de disipar la energía adicional que le pueda introducir un sismo, a través de su comportamiento inelástico, de fluencia o de daños locales, pero nunca debe llegar al colapso. 2.3.1 Comportamiento de las estructuras hiperestáticas El comportamiento de las estructuras hiperestáticas puede ilustrarse de manera muy sencilla: considérese el caso más simple de las estructuras hiperestáticas, como es el de una viga continua de dos luces. Olvidando por ahora el efecto del sismo, se asume que sobre la viga actúa una carga uniforme que aumenta desde cierto valor hasta el máximo que puede alcanzar (Figura 2.1). Los valores del diagrama de momentos aumentan proporcionalmente con la carga W cuando la rigidez relativa entre elementos adyacentes 111 permanece constante. Estrictamente, esta proporcionalidad no existe porque la rigidez cambia; al aumentar la carga aumentan las secciones que se fisuran y esto hace que los valores de los diagramas de momentos varíen ligeramente. Si se omiten estas pequeñas diferencias, se puede pensar que al aumentar el valor de la carga los momentos aumentan proporcionalmente y se mantienen las diferencias relativas. Figura 2.1 Viga hiperestática de dos luces continuas Esta proporción se mantiene hasta que alguna sección alcance su máxima capacidad, el valor de su momento de fluencia; asumiendo que esta sección es el apoyo B, a partir de este instante esta sección no puede tomar más momento. Si se aumenta ahora el valor de la carga W el refuerzo de esta sección fluye y ella gira, manteniendo su momento de fluencia, Myb. Para fines prácticos esto es equivalente a tener una articulación plástica en este apoyo, y para cargas superiores a las que causaron este momento, la viga se comporta como una viga continua con una articulación en este apoyo (Figura 2.2) y en este caso entonces el diagrama de momentos cambia porque Myb se mantiene fijo. Figura 2.2 Viga continua de dos luces con articulación plástica en el apoyo B Al formarse la articulación plástica en el apoyo B la viga no ha fallado, sigue siendo estable. De aquí en adelante el tramo BC se comporta como si fuera una viga simplemente apoyada pero con capacidad de soportar aún más carga. Al incrementar ahora la carga los otros momentos 112 se incrementan, hasta que otra sección alcance su momento de fluencia, supongamos que es la luz L2. Dejando fijo el momento Myb se puede aumentar la carga e incrementar, a su vez, el valor del momento en la luz L2, hasta que se forme allí una nueva articulación plástica (Figura 2.3), se crea ahora un mecanismo de falla que deja la viga inestable, así tenga más capacidad de rotación. Figura 2.3 Viga continua de dos luces con articulación plástica en el apoyo B y la L2 Del análisis anterior se concluye que en las estructuras de hormigón reforzado, jugando con el refuerzo, se pueden definir los momentos resistentes de estas secciones de manera que se obtenga la secuencia de articulaciones deseada. El criterio de ingeniería, con manipulación de los factores de seguridad, define cuál es el mecanismo de falla más conveniente para la estructura, y los resultados del análisis elástico sirven sólo como orientación para esta decisión. 2.3.2 Ejemplo numérico Para la viga anteriormente mencionada se asumen los siguientes valores numéricos: W = 3 t/m, L1 = 6 m, L2 = 5 m, ƒ’c = 21 MPa, ƒy = 420 MPa, b = 30 cm, h = 40 cm, d’ = 6 cm. Del análisis se obtienen los resultados elásticos indicados en la Figura 2.4. Figura 2.4 Demanda de resistencia a la flexión en t-m 113 Lo primero que se debe decidir es la secuencia deseada de formación de las articulaciones plásticas; arbitrariamente se define que se forme la primera articulación plástica en el apoyo B y luego en la luz L2. Es importante resaltar, nuevamente, que la secuencia deseada de formación de las articulaciones plásticas es una decisión de ingeniería y el resultado del análisis elástico es sólo una orientación para el diseño. Las secciones que se desean mantener elásticas, secciones en A y L1, se protegen con el factor de seguridad que se considere apropiado, por ejemplo 1.4. La sección menos protegida es el apoyo B, allí se ha decidido que se debe formar la primera articulación plástica, luego en ella se toma un factor de seguridad de 1.0. Para la sección en L2 se toma un factor de seguridad de 1.2, con ello se pretende garantizar que en este punto la articulación plástica se forma después de la del apoyo B y las otras secciones de la viga permanecen en el rango elástico. Para lograr lo anterior, los momentos obtenidos del análisis elástico, Figura 2.4, se multiplican por el correspondiente factor de seguridad y se procede al diseño. Tabla 2.1 Proporcionamiento de sobre resistencia Sec. Melástico t-m Factor de seguridad deseado Ma 8.90 1.4 Mmayorado t-m As cm2 As colocado cm2 Mresistente Factor de seguridad real 12.46 11.12 4N.o6 12.69 1.426 L1 4.45 1.4 6.23 5.15 2N. 5 +1N.o 4 6.38 1.434 Mb 9.20 1.0 9.20 7.87 4N.o 5 9.33 1.014 5.31 2N. 5 +1N.o 4 6.38 1.195 L2 5.34 1.2 6.41 o o Cuando se incremente el valor de la carga W, la primera sección que agotará su resistencia es el apoyo B, que corresponde a la sección de menor factor de seguridad (Tabla 2.1). Como los momentos son proporcionales a las cargas, la carga W1 que agota la capacidad de resistencia del apoyo B será W1 = 1.014*W = 3.04 t/m. Cuando la carga W sobrepase este valor, la sección en B girará sin tomar más momento (Figura 2.5). 114 Figura 2.5 Formación de la primera articulación plástica en el apoyo B La sección del apoyo B agota su resistencia cuando la carga W alcanza el valor de 3.04 t/m, pero las otras secciones permanecen en el rango elástico. Ahora, se incrementa nuevamente el valor de la carga W1 hasta que la siguiente sección agote su capacidad de resistencia, para ello se realizan los cálculos consignados en la Tabla 2.2. Tabla 2.2 Sobre-resistencia residual Sec. Melástico t-m Mresistente t-m Factor de seguridad residual Momento sobre-resistente DM (t-m) Ma 9.02 12.69 1.407 3.67 L1 4.51 6.38 1.415 1.87 L2 5.42 6.38 1.177 0.96 La siguiente articulación plástica se generará en aquella sección que tenga el menor factor de seguridad, en este caso es la luz 2. Para deter          [‰˜`         resistencia en L2, debe considerarse que el tramo BC se comporta como una viga simplemente apoyada. Para la abscisa indicada se obtiene que ‰˜Š\<~~™š       Œ       la viga en estudio es: W2 = W1›‰˜Š~<~œ™< Del ejemplo anterior se puede concluir lo siguiente: en una estructura de hormigón existen ciertas relaciones fijadas por la estática que determinan la resistencia, y puede proporcionarse la resistencia que se desee alcanzar suministrándole a las secciones individuales capacidades diferentes, de manera que propicien el modo de falla que más conviene; así que si la estructura alcanza el mecanismo de falla, llegará al menos desfavorable, uno que dé lugar a una falla dúctil, que sea capaz de disipar 115 energía y que no ocasione un colapso; entonces, a través de la manipulación de las resistencias individuales de las secciones se puede proporcionar el mecanismo de falla más conveniente. 2.4 Filosofía del diseño sísmico según la NSR-10 Si en el pórtico que se muestra en la Figura 2.6a se asume que se conocen exactamente las cargas laterales y su distribución, entonces, como resultado del análisis elástico se obtiene cierto diagrama de momentos, tanto en vigas como en columnas. A partir de estos momentos elásticos se pueden obtener tres comportamientos extremos: Figura 2.6 Diferentes tipos de mecanismos de falla en estructuras aporticadas de hormigón reforzado Tanto a las vigas como a las columnas se les proporciona exactamente la resistencia demandada por el análisis elástico. Si las cargas laterales se incrementan, se incrementarán los desplazamientos y con ellos el valor de los momentos hasta que todas las secciones lleguen simultáneamente a la fluencia y se forme un mecanismo de falla (esto es posible si a todas las secciones se les proporciona un momento resistente exactamente igual al momento elástico). Sería una casualidad que esto sucediera, por simples aproximaciones, redondeo de varillas o por requisitos constructivos esto nunca se obtiene en la realidad, pues siempre hay unas secciones que quedan más sobradas que otras (Figura 2.6b). Se les proporciona a las vigas una resistencia mayor a la que demanda el análisis elástico; se aumenta por ejemplo en un 20%, y a las columnas se les proporciona exactamente la resistencia que éste indica. 116 Al aumentar las cargas las vigas permanecen elásticas y para cierto nivel de carga se forman articulaciones plásticas en las columnas; basta que se formen estas articulaciones en un entrepiso para que la estructura se vuelva inestable. A este mecanismo de falla se le conoce con el nombre de mecanismo de columna (Figura 2.6c). Se les proporciona a las vigas una resistencia exactamente igual a la que indica el análisis elástico, y a las columnas se les suministra una resistencia mayor de la que éste demanda, se incrementa en un 20%, 30% o 40%. Al incrementar las cargas, y cuando los momentos en las vigas alcancen su valor de fluencia, se formarán articulaciones plásticas en sus extremos; si todas se proporcionan iguales éstas se formarán simultáneamente o secuencialmente de acuerdo con la resistencia suministrada. Esto no quiere decir que se forme un mecanismo de falla, pues las columnas quedan como unas barras en voladizo y, finalmente, para que la estructura colapse se tienen que formar articulaciones plásticas en las bases de las columnas. A este mecanismo de falla se le conoce con el nombre de mecanismo de viga (Figura 2.9d). En estos tres casos se logran mecanismos de falla diferentes, dependiendo de la forma como se han reforzado las secciones o de los factores de seguridad, que pueden ser diferentes de un lugar a otro. ¿Cuál de los tres mecanismos de falla es más ventajoso desde el punto de vista del comportamiento sísmico de estructuras? Mientras más articulaciones plásticas se necesiten para llegar al mecanismo de colapso, se tiene más disipación de energía y se requiere menor disipación individual de cada una de las articulaciones; la disipación se reparte entre muchas articulaciones y se requiere menor demanda de ductilidad local. Por otra parte, el mecanismo de falla deseable es aquel que involucra mecanismos de falla en los elementos que tengan más capacidad de rotación. El mecanismo de viga es el mejor por las siguientes razones: las vigas tienen mayor capacidad de rotación que las columnas y el mecanismo disipa más energía por tener una mayor cantidad de articulaciones plásticas. Lo que interesa es que la ductilidad global de la estructura alcance cierto valor, P, esto es, que el desplazamiento, medido en el nivel superior, sea m veces el valor correspondiente al de la formación de la primera 117 articulación plástica. ¿Cuántas veces se necesita exceder la rotación de fluencia en esta primera articulación? En el mecanismo de columna para alcanzar cuatro veces la deformación de fluencia global se necesita un factor de ductilidad de 125 en la articulación más crítica (que rote 125 veces su giro de fluencia). Eso es imposible de lograr en una sección de hormigón cualquiera y menos en una columna que está sometida a carga axial. En el mecanismo de viga, para que la estructura alcance cuatro veces su deformación de fluencia global, se necesita que la sección más crítica tenga ocho veces la deformación de fluencia, es decir, el doble; pero en una viga es razonable, mientras que en el de columna es imposible alcanzar 125 de ductilidad local. En el mecanismo ilustrado en la Figura 2.6b se tiene un mecanismo de colapso claramente definido por la formación simultánea de articulaciones plásticas en todas las secciones críticas. Por las razones anteriormente expuestas es un mecanismo difícil de lograr que no presenta las ventajas del mecanismo de viga. Imagen 2.7 Las grandes deformaciones de las estructuras dúctiles van asociadas a graves daños en acabados y en elementos estructurales 118 2.5 Procedimiento para el diseño a flexión de vigas y columnas 2.5.1 Diseño a flexión de vigas En el diseño sísmico conviene diseñar las vigas con los resultados del análisis elástico. Se diseñan las secciones en las cuales se acepta que se formen articulaciones plásticas con el momento elástico exacto y con el factor de sub resistencia dado por la NSR-10 (I = 0.90 NSR-10, Sec. C.9.3.2.1). 2.5.2 Diseño a flexo-compresión de columnas En las secciones de columnas no se desea un comportamiento inelástico, por ello deben protegerse mediante factores de seguridad adecuados. Existen dos maneras de proceder:              tico pero aumentando los factores de seguridad; este procedimiento es muy sencillo porque se basa en los resultados elásticos, pero no es estrictamente riguroso porque no se puede asegurar que se forme todo el mecanismo previo, no se sabe si el factor de seguridad es suficiente.  ž                     troducen en las secciones que se desean proteger cuando las vigas lleguen a la fluencia, y diseñar para estos valores con un factor de seguridad. Este es una especie de diseño plástico o de diseño en dos etapas: primero se diseñan por métodos elásticos las secciones que se desea plastificar (las vigas) y después, cuando se plastifiquen estas secciones, se observa qué acciones mecánicas se presentan en los otros elementos (columnas) y se diseña para ellas. Figura 2.7 Equilibrio de momentos en un nudo, 6Mcol = 6Mvig 119 La NSR-10 acepta los dos procedimientos, y exige el segundo de ellos para diseño a cortante de vigas y columnas en estructuras con demanda especial y moderada de ductilidad. Para el diseño a flexión de columnas se acepta el primer procedimiento pero debe cumplirse la especificación de la NSR-10 consignada en la Tabla 2.3. La NSR-98 requería que la resistencia de diseño se evaluara en el centro del nudo, por su parte la NSR-10 especifica calcularla en las caras de los nudos; los dos procedimientos conducen a resultados similares, siendo el procedimiento de la NSR-10 más fácil de evaluar. Para estructuras con demanda moderada, DMO; y especial de ductilidad, DES, y con el fin de lograr que se forme el mecanismo de viga, la norma especifica que los momentos nominales de las columnas sean un 20% superiores a los momentos nominales vigas que lleguen al nudo. Tabla 2.3 Especificaciones para diseño a flexión de columnas según la NSR-10 Resistencia mínima a la flexión de las columnas Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada – DMO Sec. C.21.3.6.2 Especial – DES Sec. C.21.6.2.2 No hay requisitos especiales 6Mn col t 1.2 6Mn vigas 6Mn col t 1.2 6Mn vigas 6Mn vigas = suma de momentos, resistentes nominales a flexión de las vigas que llegan al nudo, evaluadas en la cara del nudo (I = 1 y fs = fy). 6Mn col = suma de momentos, resistentes nominales a flexión de las columnas que llegan al nudo, evaluadas en la cara del nudo (I = 1 y fs = fy). Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, la NSR-98 no especificaba ningún requisito especial, no se exigía el empleo de factor de seguridad alguno, y si se diseñaba de acuerdo con los resultados elásticos se llegaría a un estado de falla no aceptable: se presentaría falla simultánea de vigas y columnas. No se deben diseñar estructuras con DMO sin emplear un factor de seguridad apropiado para poder garantizar una falla dúctil, esta deficiencia de la NSR-98 fue co- 120 rregida por la NSR-10, la cual especifica un factor de seguridad de 1.2; su objetivo es proteger las columnas de la falla a flexión y proporcionarle ductilidad a la estructura. La resistencia a la flexión de las columnas debe determinarse a partir de la resistencia real de las vigas y no a partir de los requerimientos por resistencia, Diseñar las columnas a flexión con los valores de los momentos elásticos es inapropiado. Por simple redondeo del área de refuerzo, la resistencia de las vigas es mayor que la requerida por el diseño elástico; por otra parte, el diseño de las vigas se realiza a partir de la resistencia nominal de fluencia del refuerzo. Realmente las siderurgias suministran aceros con puntos de fluencia muy superiores al nominal; SIMESA, por ejemplo, producía aceros con límites de fluencia superiores en un 18% del valor nominal, con una desviación estándar de 1.23 MPa; este solo aspecto puede absorber el factor de seguridad para estructuras con demanda de ductilidad especial, en las cuales la resistencia a la flexión de las columnas puede llega a ser inferior a la de las vigas. A juicio del autor una factor de seguridad de 1.2 para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, puede ser bajo puesto que la sobre resistencia de los aceros nacionales supera en algo más del 10% el valor del esfuerzo de fluencia de los aceros y absorbe cerca del 50% del valor de seguridad propuesto. Por otra parte, estas estructuras tienen grandes deformaciones y pueden llegar a incursionar en la zona de endurecimiento por deformación de los aceros por lo que los momentos resistentes de las vigas deberían ser los probables, fs máx = 1.25 fy, y no los nominales, fs = fy, tal como lo prescribía la NSR-98. Para estructuras con demanda mínima de ductilidad, DMI, no hay necesidad de proporcionar ductilidad a la estructura pues los efectos sísmicos no son de importancia comparados con los efectos de las cargas gravitacionales. 2.6 Procedimiento para el diseño a cortante de vigas y columnas 2.6.1 Estructuras con Demanda Moderada de Ductilidad (DMO) El objetivo del diseño es reducir el riesgo de la falla por cortante en vigas y columnas durante un sismo, la falla por cortante es indeseable por ser 121 imprevisible y violenta. Se proponen dos opciones para determinar la fuerza cortante mayorada. La NSR-10, Sec. C.21.3.3, especifica, para este tipo de estructuras, que el cortante de diseño (Vu) no debe ser menor que el menor valor de: a) La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos nominales del elemento en cada extremo restringido de la luz libre y el cortante calculado para cargas gravitacionales mayoradas. b) El cortante máximo obtenido de las combinaciones de cargas de diseño que incluyan los efectos sísmicos, E, considerando E como el doble del valor prescrito en el título A de la NSR-10. En la norma NSR-98 se exigía cumplir cualquiera de los dos procedimientos mencionados, la NSR-10 modifica este aspecto y obliga a realizar los dos procedimientos para estructuras con demanda moderada de ductilidad (DMO). Los cálculos para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, se basan en los momentos resistentes nominales, mientras que para las estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, los cálculos se basan en los momentos resistentes probables (Tablas 2.4 y 2.5). Para la aplicación del literal (a) se procede de la siguiente manera: El máximo cortante que se puede introducir por sismo es aquel que se presenta cuando los dos momentos de extremo alcanzan su valor de fluencia. En este caso la suma de los momentos de extremo no puede pasar de la suma de sus valores de fluencia y, por tanto, el cortante que se introduce nunca podrá exceder de esta suma dividida por la longitud libre, independiente de qué tan fuerte es el sismo. En todas las aplicaciones los cortantes de diseño se deben calcular suponiendo que los momentos de extremo actúan en el mismo sentido, actuando tanto en el sentido de las manecillas del reloj como en sentido contrario a las manecillas del reloj. La NSR-10 especifica que el valor de los momentos de fluencia debe corresponder al valor de los momentos nominales resistentes a flexión, estos momentos se calculan empleando un factor de sub resistencia I = 1 y un esfuerzo de fluencia en el acero fs = fy. Como para calcular el cortante de diseño se requiere determinar previamente el valor de los momentos resistentes nominales hay necesi- 122 dad de hacer primero el diseño a flexión, tanto de las vigas como de las columnas, para saber qué refuerzo se ha de colocar en estas secciones. Figura 2.8 Cortante de diseño en vigas y columnas En el caso de vigas, si al cortante por carga vertical se le suma el del sismo, mayorado por un adecuado factor de seguridad, y se diseñan los estribos para que soporten este cortante, se logra que la viga nunca falle a cortante, independientemente de qué tan grande o pequeño sea el sismo. Por equilibrio estático, esta viga no podrá fallar a cortante, pues el que se introduce por sismo está limitado por la fluencia de las secciones de extremo; es decir, existe una especie de fusible que impide que entre más cortante del que puede resistir la viga, pues antes fallaría por flexión. Si se diseña con este concepto se está forzando a que la viga presente un modo de falla dúctil. Para la determinación del valor del cortante de diseño para una columna se debe seleccionar la fuerza axial mayorada, Pu, que desarrolle la mayor resistencia a momento de la columna. Como la resistencia a 123 momento de la columna es, como mínimo, 20% mayor que la resistencia a momento de las vigas, este procedimiento garantiza que la columna nunca fallará a corte pues primero fallaran las vigas a flexión. Imagen 2.8 Articulación plástica en vigas Para la aplicación del literal (b) se procede de la siguiente manera: La Figura 2.8 muestra sólo una de las dos condiciones que deben considerarse para cada elemento. La opción (b) determina Vu con base en las combinaciones de carga que incluye el efecto sísmico, E, el cual debe duplicarse. Por ejemplo, de las combinaciones de cargas definidas en la Sección C.9.2.1 de la NSR-10; las expresiones C.9.5 y C.9.7 quedan en este caso: Wu = 1.2D + 2.0E + 1.0L Wu = 0.9D + 2.0E + 1.6H (2. 1) D = carga muerta, L = carga viva, E = f/R = carga sísmica, H = empuje lateral En este caso el cortante se calcula con los resultados del análisis elástico: al cortante debido a las cargas gravitacionales se le suma el correspondiente al sismo, multiplicado por un factor de seguridad de 2.0. 124 Este procedimiento utiliza los resultados del análisis elástico y no requiere el diseño previo a flexión de los elementos. Con este procedimiento no se tiene control sobre los factores de seguridad, algunas secciones pueden quedar sobradas a cortante y otras deficientes. El procedimiento indicado en el literal (a) es un procedimiento racional que garantiza, por sí solo, la seguridad a cortante de los elementos estructurales, por tanto, el procedimiento indicado en el literal (b) no tiene sentido y podría suprimirse de la norma sin afectar la seguridad de la estructura 2.6.2 Estructuras con Demanda Especial de Ductilidad (DES) La fuerza cortante de diseño se debe determinar a partir de las fuerzas estáticas en la parte del elemento comprendida entre las caras del nudo. Se debe suponer que en las caras de los nudos, localizados en los extremos del elemento, actúan momentos de signo opuesto correspondiente a la resistencia probable, Mpr , y que el elemento está cargado con cargas aferentes gravitacionales mayoradas a lo largo de la luz. En estas estructuras no se permite usar los resultados del análisis elástico, se requiere diseñar primero los elementos a flexión y a partir de allí calcular los momentos probables de diseño empleando un factor de sub-resistencia I = 1 y un esfuerzo de fluencia en el acero fs = 1.25fy . Debido a que la resistencia real del refuerzo longitudinal puede exceder la resistencia de fluencia especificada, y a que es probable que ocurra endurecimiento por deformación del refuerzo en un nudo, sometido a grandes rotaciones, la resistencia al cortante requerirá un esfuerzo de al menos 1.25fy para el refuerzo longitudinal. En todos los casos, los cálculos de los momentos de fluencia deben hacerse con el acero realmente colocado en la viga. El procedimiento de cálculo se indica en la Figura 2.8, pero deben utilizarse los momentos resistentes probables a cambio de los momentos resistentes nominales indicados en dicha figura. En las Tablas 2.4 y 2.5 se indican las expresiones a utilizar para su cálculo. 125 Tabla 2.4 Especificaciones para diseño a cortante de vigas según la NSR-10 Resistencia mínima a cortante de las vigas Mínima - DMI No hay requisitos especiales DMI Moderada - DMO El momento nominal de fluencia se calcula para I= 1.0 y ƒs = ƒy Especial - DES El momento probable de fluencia se calcula para I= 1.0 y ƒs = 1.25 ƒy Tabla 2.5 Especificaciones para diseño a cortante de columnas según la NSR-10 Resistencia mínima a cortante de las columnas Mínima - DMI No hay requisitos especiales  Moderada - DMO El momento de fluencia se calcula para I= 1.0 Especial – DES El momento de fluencia se calcula para I = 1.0 y ƒs = 1.25 ƒy 4    #      ; Asumiendo que en las columnas, de estructuras aporticadas resistentes a momento, los puntos de inflexión se presentan en la mitad de su altura, se tiene en el punto medio una articulación, pero más que una articulación ese es un punto de inflexión en la columna; entonces, por equilibrio estático se tiene que el cortante que entra a la columna multiplicado por la altura H es igual a la suma de los momentos de las vigas que llegan al nudo (Figura 2.9). Si se determina cuál es el momento negativo de la viga de un lado y el positivo de la del otro lado, se suman y se divide por la altura H, se obtiene el valor del cortante que se introduce 126 en la columna; y si se diseña para este cortante, con un adecuado factor de seguridad, se garantiza que esa columna no puede fallar a cortante porque las vigas no le pueden introducir más cortante, pues primero fallan por flexión. Figura 2.9 Cortante en las columnas Vc = (Mvi + Mvd) / H (2.2) En el caso de estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, valores de los momentos de fluencia a flexión de las vigas corresponderán a los valores de los momentos nominales y para el caso de estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, a los momentos probables. Existen algunas observaciones adicionales a las expresadas en el numeral anterior y que son propias del diseño de las columnas, como son: la localización de los puntos de inflexión de las columnas, asumidos en la mitad de un entrepiso, se cumple aproximadamente para pisos intermedios pero no en el primero ni el último piso. Por otro lado, debe prestarse mucha atención al proceso constructivo de los muros no estructuras reales, pues si se adosan a la columna pueden reducir peligrosamente la altura H, lo cual conduce a un exagerado incremento del cortante que puede producir la llamada falla por columna corta (Imagen 2.9). 127 Imagen 2.9 Fallas de columna corta, Armenia, Colombia, enero de 1999 128 Capítulo 3 Análisis tridimensional 3.1 Introducción El análisis estructural se considera como el conjunto de actividades que llevan a la determinación de la respuesta de la estructura ante las diferentes acciones exteriores que puedan afectarla. El análisis tiene tres etapas básicas:  Ÿ ƒ !                 ! co, factible de ser analizado por los procedimientos de cálculo disponibles.     !       !    lo de la estructura elegido.   <          - Las estructuras de los edificios son tridimensionales y podrían analizarse, como tales, empleando el Método del Elemento Finito (MEF). Con este método pueden idealizarse losas, columnas, vigas, muros, etc. mediante diferentes tipos de elementos. Sin embargo, en la práctica existen algunos inconvenientes:  ¡ “           Œ  dos de procesos, así como de entrada y salida de datos.  ”               que inducen a errores difíciles de localizar.      !  -     < Un análisis tridimensional de tal naturaleza está reservado para estructuras muy especiales o partes limitadas de un edificio de características poco usuales. La denominación de método “exacto” se refiere a la precisión numérica dentro del marco de ciertas hipótesis. En el análisis de edificios, dicho término alude a resultados precisos de modelos en los que las cargas y las propiedades mecánicas de los materiales son conocidas y se supone un comportamiento elástico lineal. 129 Los reglamentos modernos consideran que ante temblores severos las estructuras de los edificios muy probablemente incursionarán dentro del rango inelástico. Además, existen incertidumbres en las predicciones de las acciones sísmicas y en el cálculo de las propiedades como masas, inercias, etc. Por tales motivos, aun empleando los más refinados programas de computador, se obtienen solamente modelos aproximados de las estructuras y sus solicitaciones. Es concebible que, bajo ciertas circunstancias, un método “aproximado” represente a una estructura con precisión similar a la de un método “exacto”. En edificios, para hacer el análisis tridimensional, la práctica más frecuente es idealizar la estructura como un conjunto de sub estructuras (pórticos y muros) planas, ligadas por los sistemas de piso, que se consideran indeformables en su plano, es decir, funcionan como diafragmas infinitamente rígidos en planta. 3.2 Hipótesis del modelo matemático En este capítulo se desarrolla un modelo matemático para el análisis tridimensional lineal de estructuras aporticadas, y la estructura se subdivide como un conjunto de pórticos planos acoplados por un sistema de entrepiso rígido en su plano. Para generalizar el estudio a los sistemas combinado y dual, basta con hacer las modificaciones correspondientes a la matriz de rigidez, lo que puede consultarse en los textos de análisis estructural. Una vez planteado el modelo, se desarrolla, paso a paso, un ejemplo de análisis. El modelo se fundamenta en las siguientes hipótesis:     <   "         son conocidas y se asume un comportamiento lineal elástico de la estructura; es decir, existe linealidad entre las cargas impuestas y las deformaciones causadas.                  !  planos dúctiles, acoplados por un sistema de entrepiso rígido.            ƒ  nifica que los diafragmas de entrepiso sólo sufren traslaciones o desplazamientos sobre los ejes X y Y, y rotaciones respecto al eje Z, 130 pero no se deforman. Como consecuencia de ello, las vigas no sufren deformaciones axiales. La NSR-10 define en su Sección A.3.6.7.2 qué debe entenderse por diafragma rígido en su propio plano: El diafragma puede suponerse rígido en su propio plano cuando se dispone su rigidez y su resistencia de tal manera que este actúe como una unidad y sus propiedades de masa y rigidez se puedan concentrar en el centro de masa y en el centro de rigidez. En las edificaciones que tengan irregularidades del tipo 2P y 3P la consideración de diafragma rígido debe evaluarse cuidadosamente, pues en la mayoría de los casos estas irregularidades inhiben el comportamiento como diafragma rígido en los entrepisos de la edificación. El diafragma puede suponerse flexible, cuando la máxima deflexión horizontal dentro de diafragma, al verse sometido a las fuerzas sísmicas, F, es más de dos veces el promedio de sus deflexiones horizontales. Figura 3.1 Los efectos sísmicos se analizan independientemente en dos direcciones ortogonales 131  ‚             de masa.  ‚      ƒ        <            Œ     < Las anteriores hipótesis traen como consecuencia la consideración de sólo tres grados de libertad en cada entrepiso de una estructura: dos desplazamientos horizontales (mx, my) y un giro alrededor de un eje vertical (fz), por consiguiente, el número de incógnitas de una estructura será de tres veces el número de pisos de la misma. 3.3 Definiciones  Q   ‘  [Q<‘<`¢    Q   ‘    de aplicación de la fuerza sísmica en un nivel considerado. Para una distribución uniforme de la masa, el centro de masa coincide con el centro geométrico del entrepiso (centro de gravedad).  Q   Q   [QQ`¢  Q   Q     punto de aplicación de la fuerza cortante sísmica del entrepiso. La localización de este punto depende de la localización de los centros de masa o de gravedad de cada entrepiso y no de la rigidez de la estructura.  Q   ^ ![Q^`¢           tante de entrepiso para que el movimiento de todos ellos sea exclusivamente de traslación (fz = 0). La localización del centro de torsión, también conocido como centro de rigidez, depende de la distribución de la rigidez de la estructura. Los Centros de Masa y de Cortante se refieren a la aplicación de las acciones sísmicas, mientras que el Centro de Torsión se asocia con la aplicación de la resistencia.  Œ      ¢          de que la excentricidad estática será la diferencia entre las coordenadas de los centros de cortante y de torsión. En forma simbólica, para la excentricidad estática en el eje X se tiene: 132 eX = XC.C. – XC.T. (3.1)  ‘  ƒ   ƒ  £¤c ]j: es el resultado de la condensación estática de la matriz de rigidez del pórtico j, y relaciona los desplazamientos del piso “i” (Pi)j con las fuerzas laterales (fi) j. Es una matriz cuadrada de orden “n”, donde “n” es el número de pisos. Es indispensable que el lector esté familiarizado con el procedimiento para obtener esta matriz, pues su deducción está fuera del alcance del presente texto. { fi } jŠ£¤c ]j * { Pi }j (3.2) 3.4 Sistema global de coordenadas Se adopta el sistema de coordenadas indicado en la Figura 3.2 como sistema global de coordenadas. Las fuerzas y desplazamientos serán positivos cuando su sentido coincida con el de los ejes X y Y, y los momentos y giros serán positivos cuando su sentido coincida con el del eje Z. Figura 3.2 Sistema global de coordenadas 133 3.5 Procedimiento de análisis, diagrama de flujo Figura 3.3 Diagrama de flujo 134 3.6 Matriz de rigidez de la estructura 3.6.1 Fundamentos Una excitación sísmica es un efecto dinámico que induce movimientos en las estructuras, a estos movimientos las estructuras se oponen por su inercia y por su rigidez. La determinación del valor y ubicación de las fuerzas de reacción a este movimiento es obtenida por algún método estático o dinámico que se asume conocido. Supongamos que la estructura indicada en la Figura 3.4a se somete a una excitación sísmica, la cual se cuantifica por su cortante basal, Vsy, que actúa en la dirección del eje Y y que las fuerzas que se oponen a este movimiento son las indicadas en la Figura 3.4b. Figura 3.4 Efectos de las acciones sísmicas sobre las estructuras La fuerza sísmica que se presenta en el pórtico “j”, fj, genera un momento torsor respecto al eje Z, el valor de este momento es igual al producto de la fuerza por la distancia que existe entre el origen de coordenadas y la línea de acción del pórtico j, rj. Para calcular la distancia rj debe definirse el sistema local de coordenadas del pórtico j, con este fin se selecciona arbitrariamente el nudo inicial y final del pórtico; el resultado es independiente de esta elección. El valor de rj suele expresarse en términos de las coordenadas del punto medio, Pjm (Xjm, Yjm), para su deducción se proyecta la estructura sobre el plano XY. 135 Figura 3.5 Análisis de la torsión, momento torsor Las coordenadas del punto medio se calculan mediante la siguiente expresión: (3.3) El ángulo que forma el eje del pórtico “j” con el eje X se denomina Tzj, se mide del eje X al eje del pórtico y su sentido positivo es contrario al de las manecillas del reloj. (3.4) Figura 3.6 Distancia del pórtico j al origen de coordenadas, rj 136 rj = ab = ac – bc = Xjm * Sen Tzj – Yjm * Cos Tzj (3.5) Aquí rj es una cantidad vectorial, como tal puede tener valores positivos o negativos. 3.6.2 Desplazamientos de los entrepisos La Figura 3.7 corresponde a un entrepiso cualquiera de un edificio, nivel i-ésimo; en ella se indican los desplazamientos que sufre el entrepiso referidos al sistema global de coordenadas. Se pretende ahora obtener los desplazamientos de los pórticos, en el nivel i-ésimo, a partir de los desplazamientos del entrepiso. Figura 3.7 Desplazamientos del entrepiso, nivel i-ésimo Figura 3.8 Vista en planta del pórtico j en el nivel i-ésimo de una estructura cualquiera 137 A cada nivel i del pórtico j se le puede asociar un desplazamiento en el plano del pórtico, dji , en función de los tres grados de libertad del nivel i ( Pxi , Pyi , Izi ). Considerando que el ángulo de torsión, Izi , es pequeño, se obtiene: Figura 3.9 Desplazamiento del pórtico j en el nivel i en función de los desplazamientos del nivel i (3.6) Tzj = ángulo que forma el pórtico j con el eje X Izi = ángulo de torsión del entrepiso i- ésimo PXi , PYi = desplazamientos en X y Y del entrepiso i-ésimo dji = desplazamiento del pórtico j en el entrepiso i-ésimo 3.6.3 Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales De acuerdo con el método de las rigideces: (3.7) Sustituyendo (3.6) en (3.7): (3.8) 138 El vector {fj} representa el conjunto de fuerzas laterales que es necesario aplicar al pórtico j para obtener el vector de desplazamiento {dj}. {Fj} =  {fj} representa la fuerza sísmica (obtenida por algún método estático o dinámico que se asume conocido) correspondiente al nivel i-ésimo y que actúa en el centro de masa del nivel i. Figura 3.10 Fuerza aplicada al pórtico j para producir el desplazamiento dji Si se descompone el vector fji se obtiene: (3.9) Reemplazando (3.8) en (3.9): Al emplear la notación matricial obtenemos finalmente la matriz lateral de la estructura de tamaño 3n*3n, donde n es el número de pisos. Si reemplazamos Cos Tzj por C y Sen Tzj por S se obtiene: (3.10) 139 La matriz de rigidez también suele expresarse con la siguiente notación: (3.11) Cada término de la matriz total es una sub-matriz de orden n*n, en     “  š    $ £¦xx] se obtiene como: (3.12)      ‹  ƒ£¦xx] se suman las matrices condensadas de cada pórtico, multiplicadas por el Cos Tzj correspondiente a cada uno de ellos. 3.7 Vector de cargas 3.7.1 Coordenadas del centro de cortante Si se conocen la fuerza sísmica y la posición del Centro de Masa (C.M.) de cada nivel, por estática se obtienen las coordenadas del Centro de Cortante (CC): (3.13) En la cual: (Xcc, Ycc)i = coordenadas del centro de cortante del entrepiso i (X.cm, Ycm)k = coordenadas del centro de masa del entrepiso k 140 Vi = fuerza cortante del entrepiso i Fk = fuerza sísmica del nivel k 3.7.2 Coordenadas del centro de torsión El planteamiento hasta aquí expresado es de carácter general en el análisis tridimensional de estructuras. La dificultad del análisis de la torsión radica en la determinación del vector de momentos, {Mzi}, indispensable para poder resolver el sistema de ecuaciones. Para determinar la localización del centro de rigidez, también llamado centro de torsión, se deben considerar dos direcciones ortogonales del sismo, por comodidad se seleccionan las direcciones de los ejes X y Y. -7       6   < Se considera como Centro de Torsión (CT) el punto donde al aplicar la fuerza cortante sísmica el desplazamiento de los entrepisos es exclusivamente de traslación (Izi = 0). Para el sismo que actúa en la dirección del eje X: {Fxi} = {Vi} {Fyi} = {0} {Izi} = {0} En donde el vector {Vi} es el vector de las fuerzas cortantes sísmicas de entrepiso. De acuerdo con la expresión (3.11) se obtiene: (3.14) Y al expandir la parte superior de la expresión (3.14): (3.15) La solución del sistema de ecuaciones anteriores permite obtener los desplazamientos de entrepiso. Cuando se expande la parte inferior de la expresión (3.14) se tiene: 141 (3.16) Como el vector de momentos {Mzi} está referido al origen del sistema global de coordenadas, se puede obtener la coordenada YCT del entrepiso i después de dividir el momento Mzi por el cortante de entrepiso Vi. El signo negativo en la expresión (3.17) obedece a que cuando el sismo actúa en dirección del eje X, el momento torsor, Mzi, coincide con la dirección negativa del eje Z. Figura 3.11 Análisis del sismo en X (3.17) -7       6   El desarrollo es análogo al sismo en X. Ahora: {Fxi} = {0} {Fyi} = {Vi} {Izi} = {0} De acuerdo con la expresión (3.11) se obtiene: (3.14a) 142 Al expandir la parte superior de la expresión (3.14a): (3.18) La solución del sistema de ecuaciones anteriores permite obtener los desplazamientos de entrepiso. Si se expande la parte inferior de la expresión (3.14a) se tiene: (3.19) Como el vector de momentos {Mzi} está referido al origen del sistema global de coordenadas, se puede obtener la coordenada Yct del entrepiso, i, si dividimos el momento Mzi por el cortante de entrepiso Vi: Figura 3.12 Análisis del sismo en Y (3.20) 3.7.3 Excentricidades estáticas y de diseño Una vez localizados los centros de cortante y de torsión, se aplica la expresión (3.1) y se determinan las excentricidades estáticas de cada entrepiso, i: (3.21) 143 Esta excentricidad se deduce con buen rigor matemático a partir de un modelo elástico, bajo la hipótesis de un sistema de entrepiso de rigidez infinita, pero la localización del centro de rigidez o centro de torsión es muy imprecisa, pues se han omitido aspectos trascendentales, por ello puede afirmarse que la excentricidad estática deducida tiene una pobre aproximación pues la rigidez de los elementos puede ser alterada por agrietamientos locales al incursionar la estructura en el rango inelástico, por la contribución de elementos no estructurales (muros) y por la incertidumbre en la localización de las masas dentro de los entrepisos. El análisis realizado para la excentricidad se basa en procedimientos elásticos y el efecto sísmico es de carácter dinámico. Debido a que el efecto de la vibración es de carácter dinámico, el momento torsor que actúa en cada entrepiso puede verse en general amplificado y, por tanto, la excentricidad efectiva puede ser mayor que la calculada estáticamente. Por las dos razones expuestas, las normas modernas de análisis sísmico proponen que el momento torsor de entrepiso se calcule no con la excentricidad estática sino con una excentricidad efectiva calculada de acuerdo con la siguiente expresión: ediseño = O ee ± E D (3.22) ee = excentricidad estática calculada a partir de los valores teóricos de los centros de cortante y de torsión, de acuerdo con la expresión (3.21). O = factor que cubre la amplificación dinámica de la torsión. D = longitud de la estructura en dirección normal a la del análisis. b = es un coeficiente igual a 0.05 o 0.10, dependiendo del código. La primera parte de excentricidad de diseño, expresión (3.22), tiene en cuenta el efecto dinámico de la vibración; y la segunda parte, que se conoce como excentricidad accidental, cubre aspectos como el comportamiento no lineal de la estructura, la incertidumbre en la localización de las masas de entrepiso, el efecto de los elementos no estructurales, etc. O * ee = excentricidad dinámica 144 La NSR-10, Sec. A.3.6.7, especifica: “Debe suponerse que la masa de todos los pisos está desplazada transversalmente hacia cualquiera de los dos lados, del centro de masa calculado de cada piso, una distancia igual al 5% (0.05) de la dimensión de la edificación en ese piso, medida en la dirección perpendicular a la dirección en estudio”. ediseño = ee ± 0.05*D (NSR-10) (3.23) La excentricidad de diseño según la NSR-10 no tiene en cuenta el efecto dinámico de la vibración. El término D se refiere a la dimensión de la estructura normal, a la dirección en estudio medida en cada entrepiso. Las siguientes son las especificaciones para calcular la excentricidad de diseño en diferentes códigos: ex = 1.5 ee ± 0.10*D (México D.F.) ex = (1.7 ee – ee 2 / D) ± 0.10*D (Nueva Zelanda) ex = 1.5 ee ± 0.05*D (Canadá)1 ex = ee ± 0.05*D (ATC3) La norma colombiana adopta la expresión propuesta por el ATC3. Figura 3.13 Excentricidades de diseño según las diferentes normas 1 Si la excentricidad de diseño excede de 0.25*D se duplica el efecto torsional. 145 3.7.4 Momentos torsores -7       6   < La condición de carga para esta dirección queda determinada de la siguiente forma: Para obtener {Mzi} de la expresión (3.17) para el entrepiso i-ésimo: Figura 3.14 Análisis del sismo en X {YCCi}1 = {YCTi} + {EYi}1 { YCCi }2 = {YCTi} + {EYi}2 (3.24) Por tanto: {Mzi}1 = - V * { YCCi }1 {Mzi}2 = - V * { YCCi }2 (3.25) Lo anterior implica que para el sismo en X se debe resolver dos veces el sistema para los siguientes estados de carga: -7       6   = La condición de carga para esta dirección queda determinada de la siguiente forma: 146 Para obtener {Mzi} de las expresiones (3.20) para el entrepiso i-ésimo: Figura 3.15 Análisis del sismo en Y {XCCi}1 = {XCTi} + {EXi}1 { XCCi }2 = {XCTi} + {EXi}2 (3.26) Por tanto: {Mzi}1 = - Vyi * { XCCi }1 {Mzi}2 = - Vyi * { XCCi }2 (3.27) En suma, se resolverá el sistema dos veces para los siguientes estados de carga: 3.8 Análisis de los pórticos planos 3.8.1 Desplazamientos de los entrepisos Una vez determinadas las fuerzas sísmicas y los momentos torsores que actúan sobre la estructura, se deben aplicar a los diferentes elementos de resistencia sísmica para proceder a su diseño, para esto debe analizarse la estructura, para cada uno de los cuatro casos de carga sísmica mencionados (dos para sismo en X y dos para sismo en Y), y obtenerse los dos desplazamientos y el giro de cada uno de los entrepisos. Estos cálculos se realizan empleando la expresión (3.11): 147 (3.11) 3.8.2 Desplazamientos de los pórticos planos Determinados los desplazamientos y giros de cada entrepiso, se calculan los desplazamientos que tienen los diferentes pórticos, en cada nivel, para cada uno de los cuatro casos de carga. Estos cálculos se realizan aplicando la expresión (3.6): Figura 3.16 Desplazamientos de los nudos (3.6) 3.8.3 Cortantes y fuerzas sísmicas en los pórticos Obtenidos los desplazamientos de cada pórtico, se calculan los cortantes con la expresión (3.7): {Vi}jŠ£¦c]j * {di}j Figura 3.17 Cortantes y fuerzas horizontales 148 (3.7) 3.9 Control de derivas El primer objetivo del diseño sismorresistente es proporcionar a la estructura la capacidad de disipar la energía que induce en ella un sismo severo sin que ésta sufra un colapso o daños irreparables. Esta capacidad puede lograrse diseñando la estructura para que tenga una resistencia menor, pero cuente con propiedades de ductilidad que le permitan disipar la energía introducida por el sismo mediante ciclos de histéresis en etapas inelásticas. El logro de este objetivo se pretende alcanzar en los siguientes capítulos. El segundo objetivo básico del diseño sismorresistente consiste en evitar daños ante sismos moderados; este objetivo se pretende lograr limitando los desplazamientos laterales de la estructura. El índice más importante para la determinación de la magnitud de los posibles daños es la deriva de entrepiso, o sea el desplazamiento relativo entre dos pi ‰i . Si la deriva se divide por la altura de entrepiso, Hpi , se obtiene el ángulo de distorsión del entrepiso (JiŠ‰i / Hpi). El objetivo es limitar las derivas a valores que no causen daños en elementos estructurales y no estructurales, no para el sismo de diseño sino para uno de mucha menor intensidad. Para poder emplear los mismos resultados del análisis ante el sismo de diseño, la distorsión angular se multiplica en la NSR-10 por un factor del orden de cinco, con respecto a las que realmente se quieren controlar. Experimentalmente se ha determinado que en muros de mampostería y en recubrimientos frágiles de muros divisorios se provoca agrietamiento cuando las distorsiones exceden de Ji = 0.002; la NSR10, Sec. A.6.4.2, exige que el valor de la distorsión calculada, para estructuras de hormigón reforzado, no exceda el valor de: Ji = 0.01. Para estructuras de mampostería este valor se reduce a la mitad. 3.10 Ejemplo Primera parte, evaluación de cargas Se estudiará el edificio de cuatro niveles mostrado en la figura. Para el análisis sólo se consideran las deformaciones por flexión y el sistema de piso será considerado de rigidez infinita en su plano. Las divisiones y la fachada serán tradicionales, ladrillos de arcilla huecos (mampostería). 149 Localización................... Zona de amenaza sísmica Uso................................. Sistema estructural........ Capacidad de ductilidad Medellín, Aa = 0.15, Av = 0.20 (NSR-10, Apéndice A.4) Intermedia Residencial Pórticos dúctiles de hormigón resistentes a momento Moderada (DMO) Perfil del suelo............... C Grupo de uso................. 1 Fa = 1.2, FV = 1.6 (NSR-10, Tabla A.2.4-3) Coeficiente Importancia. I = 1.0 Peso de particiones........... 3.0 KN/m2 Peso de acabados............. 1.6 KN/m2 Carga viva......................... 1.8 KN/m2 (300 kgf/m2) (160 kgf/m2) (180 kgf/m2) Hormigón....................... f ’c = 21 MPa (210 kgf/cm2) Acero............................. fy = 420 MPa (4,200 kgf/cm2) 150 NSR-10, Sec.B.3.4.3 NSR-10, Sec. B.3.4.3 NSR-10, Sec. B.4.2.1 Planta primer piso 151 Planta segundo piso 152 Planta tercer piso 153 Corte A-A Vigas de........................ Columnas eje 4............. Columna 2B.................. Columnas eje 4………… Otras columnas............. 30 x 40 cm 30 x 30 cm Lx = 30, Ly = 50 cm Lx = 30, Ly = 30 cm Lx = 50, Ly = 30 cm Solución:    !           2 Por la configuración del sistema de entrepiso, ubicación de vacíos y voladizos, se consideró que el sistema más apropiado para estructurar la losa 154 es el de armado en una dirección. Para deducir su peso será empleada una losa aligerada, y como aligerantes se usarán casetones de madera no recuperables. La sección más representativa de la losa es la indicada en la figura inferior, ella será tomada como base para evaluar las cargas gravitacionales. Para las cargas producidas por acabados y particiones se adoptarán los valores mínimos sugeridos por la NSR-10, pero se recomienda evaluarlos para cada estructura; en este caso no se hizo por tratarse de un ejemplo académico, pero ellas representan cerca del 50% de la masa del edificio. Loseta superior 0.05 * 1.00 * 2,400 = 120 kgf/m2 Torta inferior 0.02 * 1.00 * 2,300 = 46 Nervio 0.33 * 0.10 * 2,400 = 79 Casetones 32 * 0.9 = Peso de la losa 29 ---------= 274 Acabados (NSR-10, Sec. B.3.4.3) = Particiones (NSR-10, Sec. B.3.4.3) = Total carga muerta de servicio: Carga viva de servicio (NSR-10, Sec. B.4.2.1) 160 300 ==== CM = 734 kgf/m2 = 180 kgf/m2 Cargas por m2 de losa: Carga de servicio Ws = CM + CV = 734 + 180 = 914 kgf/m2 Carga última de diseño Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 1,168.8 kgf/m2 Factor de seguridad promedio de carga Wu / Ws = 1,168.8 / 914 = 1.28 La carga última de diseño para la losa es de 1,168.8 kgf/m2, en esta carga no está incluido el peso de las vigas, el cual debe adicionarse cuando se trate su diseño (Capítulo 4). Para evaluar la masa de un entrepiso, a la carga muerta de la losa debe adicionársele la masa de las vigas y de las columnas aferentes al mismo. 155    ! entrepisos       "             A la masa de la losa de cada entrepiso se le adicionan las masas de las vigas y de las columnas aferentes (mitades de la longitud del entrepiso inferior y superior). Piso 1 Planta primera losa Área total de la losa (no incluye buitrones, ni vacío del ascensor) Área de la losa (no incluye buitrones, vacío del ascensor ni vigas) = 170.40 m2 Longitud de vigas de 30 x 40 Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.5 + 9 * 1.2) Longitud columnas de 30 x 30 (3 * 1.5 + 3 * 1.2) = 94.70 m = 24.30 m = 8.10 m Peso de la losa Peso vigas Peso columnas Peso columnas = = = = = = = = 170.40 * 734 94.70 * 0.30 * 0.40 * 2,400 24.30 * 0.30 * 0.50 * 2,400 8.10 * 0.30 * 0.30 * 2,400 Peso del primer entrepiso 156 = 198.80 m2 125,073.6 kgf 27,273.6 kgf 8,748.0 kgf 1,749.6 kgf ========= = 162,844.8 kgf Piso 2 Planta segunda losa Área de la losa (no incluye buitrones ni vacío del ascensor) Área de la losa (no incluye buitrones, vacío del ascensor ni vigas) = 142.80 m2 Longitud de vigas de 30 x 40 Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.2 + 9 * 1.2) Longitud columnas de 30 x 30 (3 * 1.2) = 94.70 m = 21.60 m = 3.60 m Peso de la losa Peso vigas Peso columnas Peso columnas = 104,815.2 kgf = 27,273.6 kgf = 7,776.0 kgf 777.6 kgf ========= = 140,642.4 kgf = = = = 142.80 * 734 94.70 * 0.30 * 0.40 * 2,400 21.60 * 0.30 * 0.50 * 2,400 3.60 * 0.30 * 0.30 * 2,400 Peso del segundo entrepiso = 171.20 m2 157 Piso 3 Planta tercera y cuarta losa Área de la losa (no incluye buitrones ni vacío del ascensor) Área de la losa (no incluye buitrones, vacío del ascensor ni vigas) = 163.90 m2 = 142.09 m2 Longitud de vigas de 30 x 40 Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.2 + 9 * 1.2) = = 72.70 m 21.60 m Peso de la losa = Peso vigas = Peso columnas = = = = 142.09 * 734 72.70 * 0.30 * 0.40 * 2,400 21.60 * 0.30 * 0.50 * 2,400 Peso del tercer entrepiso 158 104,294.1 kgf 20,937.6 kgf 7,776.0 kgf ========= = 133,007.7 kgf Piso 4 Por tratarse de una terraza no se considera el peso de los muros divisorios, por esta razón el peso de la carga muerta en este nivel es de 434 kgf/m2. Área de la losa, no incluye buitrones ni vacío del ascensor Área de la losa, no incluye buitrones, ni vacío del ascensor, ni vigas = 163.90 m2 = 142.09 m2 Longitud de vigas de 30 x 40 Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.2) = = 72.70 m 10.80 m Peso de la losa Peso vigas Peso columnas = 61,667.1 kgf = 20,937.6 kgf = 3,888.0 kgf ========= = 86,492.7 kgf = 142.09 * 434 = 72.70 * 0.30 * 0.40 * 2400 = 10.80 * 0.30 * 0.50 * 2400 Peso del cuarto entrepiso Los centros de masa, que para el modelo asumido coinciden con los centros de gravedad, han sido determinados con ayuda del programa Autocad y sus resultados aparecen en los planos anteriores. Como resumen de estos cálculos se tiene: Entrepiso Pesos (kgf) Centro de Masa (CM) X C.M. Y C.M. 1 162 844.8 773 581 2 140 642.4 668 575 3 133 007.7 631 576 4 86 492.7 631 576 Peso del edificio 522 987.6 Masa del edificio = peso del edificio / gravedad = 522,987.6/ g 159  Determinación de las fuerzas sísmicas, Método de la Fuerza Horizontal Equivalente Cortante basal (Vs): NSR-10, Sec. A.4.3.1 Vs = Sa * g * M M = masa del edificio, calculada en el numeral anterior (522,987.6 kgf / g) g = aceleración de la gravedad Sa = valor del espectro de aceleraciones de diseño para un período de vibración dado. Se expresa como una fracción de la aceleración de la gravedad. Para poder obtener Sa se requiere determinar el período de vibración de la estructura, el cual puede calcularse en forma aproximada con la siguiente ecuación, dada para estructuras aporticadas de hormigón: NSR-10, Sec. A.4.2.2 hn = altura en metros, medida desde la base al piso más alto. Para pórticos resistentes a momentos de hormigón reforzado: Ct = 0.047 y D = 0.9 (NSR-10, Tabla A.4.2-1) hn = 3.4 + 3*2.8 = 11.80 m La anterior expresión proporciona un valor del período fundamental muy aproximado. De acuerdo con esta ecuación, todos los edificios que tengan 11.80 m de altura tienen el mismo período, en todas las direcciones, independiente de su rigidez. Como el cortante basal depende del período, éste debe evaluarse lo más real posible. El período fundamental de una estructura, T, con un modelo linealmente elástico, puede obtenerse de manera más precisa empleando los conceptos de la dinámica estructural. Si no se realiza un análisis dinámico, la NSR-10, Sec. A.4.2.1, sugiere el uso de la siguiente expresión, pero limita el valor de T a un valor máximo de Cu Ta, donde Cu = 1.75 – 1.2 Av Fv, pero Cu no debe ser menor de 1.2: 160 n T 2ʌ 2 ¦ mi * į i i 1 NSR-10, Sec. A.4.2.1 n ¦ fi * įi i 1 Al final del presente capítulo, una vez evaluada la rigidez de la estructura, se volverá sobre este tema y se hará la evaluación dinámica del período de vibración de la estructura. Definido cuál es el período natural de vibración de la estructura se emplea el espectro de diseño para evaluar el cortante basal. Aa = 0.15, Av = 0.20 Tc 0.48 A v Fv A a Fa 0.48 0.20 1.6 0.15 * 1.2 0.85 s Sa = 2.5 Aa Fa I = 2.5*0.15*1.20*1.0 = 0.45 Vs = Sa * M * g = 0.45 *(522.99/g)* g = 235.34 t  Método de la Fuerza Horizontal Equivalente Este método permite obtener las fuerzas sísmicas horizontales, Fi, en cualquier nivel, i, para la dirección en estudio. C vi mi * hik n k ¦ m i * hi NSR-10, Sec. A.4.3.2 i 1 k es un exponente que se relaciona con el período fundamental, T, de la estructura (NSR-10, Sec. A.4.3.2) Para: T d 0.5 segundos k = 1.0 Para: 0.5 < T d 2.5 segundos k = 0.75 + 0.5T Para: T > 2.5 segundos k = 2.0 Para este ejemplo T = 0.43 segundos: k = 1.0 Este método es muy conocido por los ingenieros, razón por la cual no hay necesidad de entrar en detalle sobre su aplicación. Los cálculos realizados se resumen en la siguiente tabla: 161 Entrepiso hi m mi t mi hik Cvi Fi t Vi t 1 3.4 162 85 553.69 0.152 35.77 235.34 2 6.2 140 64 871.97 0.239 56.32 199.57 3 9.0 133 01 1 197.09 0.329 77.33 143.25 4 11.8 86 49 1 020.58 0.280 65.92 65.92 ============================ 522 99 6 3,643.33 1.000 235.34 Las fuerzas sísmicas, Fi, son fuerzas inerciales que actúan en el centro de masa o centro de gravedad de cada uno de los entrepisos, puntos estos que han sido previamente calculados en el literal anterior.  Q   Q   El Centro de Cortante (C.C.) es el punto de aplicación de la fuerza cortante de un entrepiso. En el entrepiso 4, por ser Fi = Vi, los centros de masa y de cortante coinciden. En el entrepiso 3, como las fuerzas Fi de los pisos 3 y 4 están en la misma línea de acción, el centro de cortante y de masa coinciden. Para los otros entrepisos, tomando momentos de las fuerzas sísmicas, Fi, respecto al origen de coordenadas se tiene: Para el entrepiso 1: Para el entrepiso 2: 162 En resumen: Fi Vi (t) (t) X (cm) Y (cm) X (cm) Y (cm) 1 35.77 235.34 773.00 581.00 661.44 576.52 2 56.32 199.57 668.00 575.00 641.44 575.72 3 77.33 143.25 631.00 576.00 631.00 576.00 4 65.92 65.92 631.00 576.00 631.00 576.00 Entrepiso Coord.CM Coord. CC  Cálculo de la matriz de rigidez condensada de cada uno de los pórticos Unidades de los términos de rigidez en t/m. Pórticos 1 y 3: 2.80 m 2.80 m Vigas: b = 30 cm h = 40 cm Columnas: b = 50 cm h = 30 cm 2.80 m Piso 1 3.40 m 4.45 m A Piso 2 Piso 3 Piso 4 5 332.290 -3 729.964 870.737 -3 729.964 6 168.097 --3 811.510 721.585 870.737 --3 811.510 5 800.278 -2 756.129 -111.009 721.585 -2 756.129 2 131.900 7.20 m -111 009 C B Pórtico2: 2.80 m 2.80 m Vigas: b = 30 cm h = 40 cm Columnas A y C: b = 50 cm h = 30 cm Columna B: b = 30 cm h = 50 cm 2.80 m 3.40 m 4.45 m A 7.20 m B Piso 1 Piso 2 Piso 3 8 258.898 -5 861.617 1 593.501 Piso 3 -223,386 -5 861.617 9 328.843 -5 952.104 1 278.566 1 593.501 -5 952.104 8 550.975 -3 978.795 -223.386 1 278.566 -3 978.795 2 893.509 C 163 Pórtico 4: Vigas: 2.80 m 3.40 m 4.45 m A 7.20 m B b = 30 cm h = 40 cm Columnas: b = 30 cm h = 30 cm Piso 1 Piso 2 Piso 3 Piso 4 3 163.733 -1 767.870 0 0 -1 767.870 1 507.234 0 0 C 0 0 0 0 0 0 0 0 Pórtico A y C: Vigas: b = 30 cm, h = 40 cm Columnas 1,2,3 b = 30 cm h = 50 cm Columna h = 30 cm Piso 1 4: b = 30 cm Piso 2 Piso 3 Piso 4 15 158.100 -10 678.260 3 008.614 -462.605 -10 678.260 15 812.610 -9 933.807 2 384.915 3 008.614 -9 933.807 13 231.110 -5 849.771 -462.605 2 384.915 -5 849.771 3 857.136 Pórtico B: Vigas: b = 30 cm h = 40 cm Columnas 1,3: b = 30 cm h = 50 cm Columnas 2: b = 50 cm h = 30 cm Columnas 4: b = 30 cm h = 30 cm Piso 1 Piso 2 Piso 3 Piso 4 12 220.380 -8 537.994 2 281.197 -347.887 -8 537.994 12 609.190 -7 739.772 1 803.572 2 281.197 -7 739.772 10 347.670 -4 539.145 -347.887 1 803.572 -4 539.145 3 028.792 Se ensambla la matriz de rigidez de toda la estructura. Para cada pórtico debe obtenerse el término rj, para ello se debe trazar la proyección del edificio sobre el plano XY. 164 En la anterior planta de fundaciones se ha definido, arbitrariamente, la orientación de cada uno de los pórticos; el resultado es independiente del sentido que se asuma. Para cada pórtico se calculan las coordenadas del nudo inicial, nudo final, punto medio y el ángulo de orientación del pórtico, T, medido respecto al eje X, positivo en sentido antihorario. Pórtico 1: Ni (0,0), T1 = 90°, Nf (0, 11.65), Pm (0, 5.825), Tan T1 = (Yf – Yi) / (Xf – Xi) Cos T1 = 0 (C1 = 0), Sen T1 = 1 r1 = Xm1 * S1 - Ym1 * C1 = 0 * 1 - 5.825 * 0 = 0 (S1 = 1) (r1 = 0) Pórtico 2: Ni (6.15 , 0), Nf (6.15, 11.65), Pm (6.15, 5.825) T2 = 90°, Cos T2 = 0 (C2 = 0), Sen T2 = 1 r2 = Xm2 * S2 - Ym2 * C2 = 6.15 * 1 - 5.825 * 0 = 6.15 (S2 = 1) (r2 = 6.15 m) Pórtico 3: Ni (11.55, 0), Nf (11.55, 11.65), Pm (11.55, 5.825) T3 = 90°, Cos T3 = 0 (C3 = 0); Sen T3 = 1 (S3 = 1) r3 = Xm3 * S3 - Ym3 * C3 = 11.55 * 1-5.825 * 0 = 11.55 (r3 = 11.55 m) Pórtico 4: Ni (16.05 , 0), T4 = 90°, Nf (16.05, 11.65), Pm (16.05, 5.825) Cos T4 = 0 (C4 = 0), Sen T4 = 1 r4 = Xm4 * S4 - Ym4 * C4 = 16.05 * 1-5.825 * 0 = 16.05 Pórtico A: Ni (0, 0), TA = 0°, Nf (16.05, 0), Cos TA = 1 (S4 = 1) (r4 = 16.05 m) Pm (8.025, 0) (CA = 1); Sen TA = 0 rA = XmA * SA - YmA * CA = 8.025 * 0-0 * 0 = 0 (SA = 0) (rA = 0 m) 165 Pórtico B: Ni (0 , 4.45), TB = 0°, Nf (16.05, 4.45), Cos TB = 1 Pm (8.025, 4.45) (CB = 1); Sen TB = 0 (SB = 0) rB = Xm1 * SB - YmB * CB = 8.025 * 0-4.45 * 1 = -4.45 (rB = - 4.45 m) Pórtico C: Ni (0 , 11.65), Nf (16.05, 11.65), Pm (8.025, 11.65) TC = 0°, Cos TC = 1 (CC = 1); Sen TC = 0 (SC = 0) rC = XmC*SC - YmC *CC = 8.025 * 0 -11.65 * 1 = -11.65 (rC = - 11.65 m) Las unidades de la anterior matriz están en t/m. La relación se puede escribir de manera abreviada, separando los desplazamientos de los giros, de la siguiente forma: FXi FYi KXX KXY KXI KYX KYY KYI KIX KIY KIf = MZi  Q Q   PXi * PYi IZi ^ ![Q^` El centro de torsión es el punto en donde al aplicar la fuerza cortante del entrepiso no se presenta torsión, (IZi = 0). Para su determinación se analiza el sismo en dos direcciones ortogonales independientes, la dirección X y la dirección Y.  ”     !   ¨ La fuerza sísmica se aplica en la dirección positiva del eje X, {FXi} = {VXi}, en la dirección Y no hay fuerza sísmica, {FYi} = {0}, y por condición del análisis no se presenta torsión, {IZi} = {0}. Al expandir la parte superior de esta ecuación se obtiene la expresión (3.15): FXi 0 235.34 425.366 -298.945 199.57 -298.945 143.25 65.92 0 0 442.344 82.984 -276.074 = = KXX KXY KYX KYY * PXi PYi 82.984 -12.731 0 0 0 0 μX1 -276.074 65.734 0 0 0 0 μX2 368.099 -162.387 0 0 0 0 μX3 0 0 0 0 220.872 -150.894 33.350 -4.454 -135.751 27.217 μY2 -12.731 65.734 -162.387 107.431 0 0 0 0 0 0 0 0 -150.894 231.722 x μX4 μY1 0 0 0 0 0 33.350 -135.751 201.515 -94.911 μY3 0 0 0 0 0 -4.454 -94.911 71.573 μY4 166 27.217 X1 X2 X3 X4 Y1 Y2 Y3 Y4 I1 I2 I3 425.366 -298.945 82.984 -12.731 0 0 0 0 -230972.516 162395.875 -45201.680 6937.445 -298.945 442.344 -276.074 65.734 0 0 0 0 162395.875 -240327.672 150170.844 -35810.156 82.984 -276.074 368.099 -162.387 0 0 0 0 -45201.680 150170.844 -200189.578 88349.023 -12.731 65.734 -162.387 107.431 0 0 0 0 6937.445 -35810.156 88349.023 -58413.801 0 0 0 0 220.872 -150.894 33.350 -4.454 163157.813 -107504.367 19857.053 -2655.977 0 0 0 0 -150.894 231.722 -135.751 27.217 -107504.367 152804.750 -80628.391 16197.486 0 0 0 0 33.350 -135.751 201.515 -94.911 19857.053 -80628.391 119581.555 -56302.883 0 0 0 0 -4.454 27.217 -94.911 71.573 -2655.977 16197.486 -56302.883 42418.379 -230972.516 162395.875 -45201.680 6937.445 163157.813 -107504.367 19857.053 -2655.977 413798400 -279304992 62993876 -9293283 162395.875 -240327.672 150170.844 -35810.156 -107504.367 152804.750 -80628.391 16197.486 -279304992 395976256 -223509648 50402168 -45201.680 150170.844 --200189.578 88349.023 19857.053 -80628.391 119581.555 -56302.883 62993876 -223509648 309785856 -140199440 6937.445 -35810.156 88349.023 -58413.801 -2655.977 16197.486 -56302.883 42418.379 -9293283 50402168 -140199440 97731728 Matriz rigidez en coordenadas globales (t/m) I4 167 Resolviendo: μX1 6.631 μX2 12.412 μX3 16.419 μX4 μY1 cm 18.822 = 0 μY2 0 μY3 0 μY4 0 Conocidos los desplazamientos de los entrepisos, se calculan los momentos torsores que los cortantes de entrepiso generan respecto al eje Z. Después de expandir la parte inferior de la relación matricial se obtiene la expresión (3.16): MZi Mz1 Mz2 Mz3 Mz4 -230972.516 162395.875 -45201.680 = KMX KMY * PXi PYi 6937.445 163157.813 -107504.367 19857.053 -2655.977 6.631 162395.875 -240327.672 150170.844 -35810.156 -107504.367 152804.750 -80628.391 16197.486 12.412 = -45201.680 150170.844 -200189.578 88349.023 6937.445 -35810.156 88349.023 -58413.801 19857.053 -80628.391 119581.555 -56302.883 16.419 -2655.977 16197.486 -56302.883 42418.379 18.822 cm 0 MZ1 -128,792 MZ2 --107,444 MZ3 MZ4 = -77,359 0 0 t-cm 0 -35,709 Determinados los momentos torsores, respecto al eje Z, se puede determinar la ordenada de la fuerza cortante respecto al eje Z, mediante la expresión (3.17): 168  ”     ! ª Se procede de manera similar que para el eje X. En este caso: {FXi} = {0}, {FYi} = { VYi}, {IZi} = {0} Si aplicamos la expresión (3.18): 0 425.366 -298.945 0 82.984 -12.731 0 0 0 0 μX1 442.344 -276.074 65.734 0 0 0 0 μX2 82.984 -276.074 368.099 -162.387 0 0 0 0 μX3 -162.387 107.431 0 0 0 0 -298.945 0 0 -12.731 65.734 = x μX4 235.34 0 0 0 0 220.872 -150.894 33.350 -4.454 μY1 199.57 0 0 0 0 -150.894 231.722 -135.751 27.217 μY2 143.25 0 0 0 0 33.350 -135.751 201.515 -94.911 μY3 65.93 0 0 0 0 -4.454 27.217 -94.911 μY4 71.573 Resolvemos: μX1 0 μX2 0 μX3 0 μX4 μY1 = 0 10.991 μY2 19.100 μY3 24.222 μY4 26.462 169 Los momentos de entrepiso se calculan con la expresión (3.19): Mz1 Mz2 -230972.516 162395.875 -45201.680 6937.445 163157.813 -107504.367 19857.053 -2655.977 0 162395.875 -240327.672 150170.844 -35810.156 -107504.367 152804.750 -80628.391 16197.486 0 -45201.680 150170.844 -200189.578 88349.023 19857.053 -80628.391 119581.555 -56302.883 0 -2655.977 0 = Mz3 Mz4 6937.445 -35810.156 88349.023 -58413.801 16197.486 -56302.883 42418.379 10.991 19.100 MZ1 MZ1 MZ1 MZ1 = 150 542 24.222 212 688 26.462 t-cm 84 850 38 878 Determinación de las abscisas del centro de torsión según la expresión (3.20):  Q (3.1)  Œ     ¢       Œ ! La excentricidad estática se define como la diferencia entre las coordenadas del Centro de Cortante (punto en el cual está aplicado el cortante de entrepiso) y el Centro de Torsión, punto en el cual debería estar aplicado el cortante de entrepiso para que no se presente torsión. Entrepiso 170 Coord. CC Coord. C.T. Excentricidad = CC – CT X (cm) Y (cm) X (cm) Y (cm) ex (cm) ey (cm) 1 661.44 576.52 639.68 547.26 21.75 29.26 2 641.44 575.72 1065.73 538.38 -424.29 37.34 3 631.00 576.00 592.32 540.03 38.68 35.97 4 631.00 576.00 589.78 541.70 41.22 34.30 Estas excentricidades se han obtenido por un procedimiento elástico. No se ha tenido en cuenta el efecto dinámico del movimiento sísmico, tampoco el comportamiento no lineal de la estructura, ni los daños en los elementos no estructurales que pueden afectar el centro de rigidez. En el sentido del eje X la estructura tiene pequeñas excentricidades, ey , relativamente iguales en todos los pisos debido a que no se presentan irregularidades importantes en este sentido. En el sentido del eje Y, el segundo piso presenta una excentricidad muy grande, ex = -424 cm, que refleja la asimetría de la estructura en este nivel. Para reducir los efectos torsionales es aconsejable hacer una junta de dilatación tal como se indica en la gráfica anterior.  Œ       8     ; la excentricidad accidental la define la NSR-10 como el 5% de la dimensión de la estructura en cada entrepiso, medida en dirección perpendicular a la dirección en estudio. Sismo en X: Todos los entrepisos: ± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1165 = ± 58.25 cm Sismo en Y: Entrepiso 1 y 2: ± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1605 = ± 80.25 cm Entrepiso 3 y 4: ± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1155 = ± 57.75 cm 171 8   2   >; La excentricidad accidental define una franja en la que se espera esté localizado el Centro de Cortante, por esta razón existen dos condiciones de borde para cada una de las direcciones en estudio. Se distinguen cuatro casos: dos para sismo en X y dos para sismo en Y. Entrepiso  Q Sismo en X Sismo en Y eY1 cm eY2 cm eX1 cm eX2 cm 1 87.51 -28.99 102.00 -58.50 2 95.59 -20.91 -344.04 -504.54 3 94.22 -22.28 96.43 -19.07 4 92.55 -23.95 98.97 -16.53    [‹` Las ordenadas de los nuevos Centros de Cortante se calculan adicionándole a las coordenadas del Centro de Torsión el valor de la excentricidad mayorada. Los momentos torsores se calculan mediante las siguientes expresiones: Sismo en X: {Moz}i = - {Vi} * {YCC}i Sismo en Y: {Moz}i = + {Vi} * {XCC}i 172 piso Sismo en Y Vi Caso N.o 1 Sismo en X Caso N.o 2 Caso N.o 3 Caso N.o 4 t Xcc cm Moz t-cm Xcc cm Moz t-cm Ycc cm Moz t-cm Ycc cm Moz t-cm 1 235.34 634.77 -149,390.4 518.27 -121,972.6 741.68 174,552.3 581.19 136,779.4 2 199.57 633.97 -126,526.8 517.47 -103,275,8 721.69 144,034.8 561.19 112,002.3 3 143.25 634.25 -90,858.4 517.75 -74,169.4 688.75 98,665.7 573.25 82,120.0 4 65.92 634.25 -41,813.4 517.75 -34,133.1 688.75 45,406.4 573.25 37,792.0  ‚!   ƒ  "     Se deben resolver cuatro casos, las condiciones de carga para cada uno de ellos son: Sismo en X: Sismo en Y: Caso 1: {Fxi}1 = {V}i, {Fyi}1 = {0}, {Mzi}1 Caso 2: {Fxi}2 = {V}i, {Fyi}2 = {0}, {Mzi}2 Caso 3: {Fxi}3 = {0}, {Fyi}3 = {V}i, {Mzi}3 Caso 4: {Fxi}4 = {0}, {Fyi}4 = {V}i, {Mzi}4 Se distinguen los siguientes cuatro casos de carga, fuerzas en t y momentos en t-m: Caso 1 Caso 2 Caso 3 ­235.34 ½ °199.57 ° ° ° °143.25 ° ° ° ° °65.92 ° °0 ° ° ° °0 ¾ ® ° °0 ° °0 ° ° °- 1,493.90 ° °- 1,265.27 ° ° ° °- 908.58 ° °- 418.13 ° ¿ ¯ ­235.34 ½ °199.57 ° ° ° °143.25 ° ° ° ° °65.92 ° °0 ° ° ° °0 ¾ ® ° °0 ° °0 ° ° ° 1,219.73 ° ° 1,032.76 ° ° ° ° 741.69 ° ° 341.33 ° ¿ ¯ ½ ­0 ° °0 ° ° ° °0 ° ° ° °0 °235.34 ° ° ° °199.57 ° ¾ ® °143.25 ° °65.92 ° ° ° °1,745.52 ° °1,440.35 ° ° ° °986.66 ° °454.06 ° ¿ ¯ Caso 4 ½ ­0 ° °0 ° ° ° °0 ° ° ° °0 °235.34 ° ° ° °199.57 ° ¾ ® °143.25 ° °65.92 ° ° ° °1,367.79 ° °1,120.02 ° ° ° °821.20 ° °377.92 ° ¿ ¯ 173 Cada uno de los casos anteriores de carga se resuelve para desplazamientos empleando la siguiente expresión de rigidez. Las unidades de la matriz de rigidez están expresadas en t/m, por lo cual los desplazamientos deben expresarse en m y los momentos en t-m: FXi FYi MZi = KXX KXY KXf KYX KYY KYf * mYi KfX KfY Kff IZi mXi Resultados: desplazamientos en cm y giros en radianes. Caso 1 ­ȝx1 ½ °ȝ ° ° x2 ° °ȝx3 ° ° ° °ȝx4 ° °ȝ ° ° y1 ° °°ȝy2 °° ® ¾ °ȝy3 ° °ȝ ° ° y4 ° °Iz1 ° ° ° °Iz2 ° °I ° ° z3 ° ¯°Iz4 ¿° ­6.8332 ½ °12.7684 ° ° ° °16.8873 ° °19.1516 ° ° ° °-0.2828 ° °-0.5027 ° ® ¾ °-0.6389 ° °-0.7068 ° °0.0003701° ° ° °0.0006521° °0.0008587° °0.0009700° ¯ ¿ Caso 2 Caso 3 Caso 4 ­ȝx1 ½ °ȝ ° ­5.8618 ½ ° x2 ° ° ° 11.0181 °ȝx3 ° ° ° ° ° °14.5649 ° °ȝx4 ° ° ° °ȝ ° °16.5268 ° ° y1 ° °1.0882 ° °°ȝy2 °° °1.9913 ° = ® ¾ ® ¾ °ȝy3 ° °2.5529 ° °ȝ ° °2.8265 ° y4 ° ° °-0.0014226° ° °Iz1 ° ° ° ° °-0.0025818° °Iz2 ° °-0.0034336° °Iz3 ° °-0.0038813° ¿ ° ° ¯ ¯°Iz4 ¿° ­ȝx1 ½ °ȝ ° ­-1.6044 ½ ° x2 ° ° ° °ȝx3 ° °-2.9806 ° ° ° °-3.4653 ° °ȝx4 ° ° ° °ȝ ° °-3.6016 ° ° y1 ° °13.2579 ° °°ȝy2 °° °23.3490 ° ® ¾=® ¾ °ȝy3 ° °29.1296 ° °ȝ ° °31.5390 ° ° y4 ° °-0.002961° ° °Iz1 ° ° ° ° °-0.005506° °Iz2 ° °-0.006406° °Iz3 ° °-0.006660° ¿ ° ° ¯ ¯°Iz4 ¿° ­ȝx1 ½ °ȝ ° ­-0.4029 ½ ° x2 ° ° ° °ȝx3 ° °-0.8601 ° ° ° °-0.7358 ° °ȝx4 ° ° ° °ȝ ° °-0.5628 ° ° y1 ° °11.5638 ° °°ȝy2 °° °20.3288 ° ® ¾=® ¾ °ȝy3 ° °25.3586 ° °ȝ ° °27.4168 ° ° y4 ° °-0.0007437° ° °Iz1 ° ° ° ° °-0.001588 ° °Iz2 ° °-0.001361 ° °Iz3 ° °-0.001043 ° ¿ ° ° ¯ ¯°Iz4 ¿°   ƒ   ƒ    " ƒ     de los pórticos  Deducidos los desplazamientos de los entrepisos para caso de carga, se calculan ahora los desplazamientos que sufre cada uno de los pórticos para cada caso de carga. Según la expresión (3.6) se tiene: dji = mxi * Cos qzj + myi * Sen qzj + rj * fzi Por ejemplo: 174 d33 = - 3.4653 * 0 + 29.1296 * 1.0 + 1155 * (-0.006406) = 21.73 cm Pórtico j 1 2 3 4 A B C Coseno Tzj 0 0 0 0 1 1 1 Seno Tzj 1 1 1 1 0 0 0 rj (cm) 0.000 615 1155 1605 000 -445 -1165 dj1 (cm) -0.2827 -0.0551 0.1447 0.3112 6.8315 6.6669 6.4005 dj2 (cm) -0.5026 -0.1016 0.2504 0.5438 12.7656 12.4755 12.0061 dj3 (cm) -0.6387 -0.1107 0.3529 ---------- 16.8840 16.5020 15.8838 dj4 (cm) -0.7067 -0.1103 0.4134 ---------- 19.1480 18.7165 18.0182 dj1 (cm) 1.0879 0.2132 -0.5548 -1.1948 5.8604 6.4933 7.5173 dj2 (cm) 1.9908 0.4034 -0.9905 -2.1520 11.0157 12.1643 14.0228 dj3 (cm) 2.5524 0.4411 -1.4127 ---------- 14.5620 16.0897 18.5614 dj4 (cm) 2.8260 0.4394 -1.6561 ---------- 16.5237 18.2506 21.0446 dj1 (cm) 13.2579 11.4369 dj2 (cm) 23.3489 dj3 (cm) Caso N.o 1 2 9.8380 8.5056 -1.6044 -0.2868 1.8451 19.9629 16.9898 14.5123 -2.9806 -0.5305 3.4336 29.1295 25.1902 21.7312 --------- -3.4653 -0.6149 3.9971 d2 (cm) 31.5389 27.4434 23.8473 ---------- -3.6016 -0.6382 4.1566 dj1 (cm) 11.5637 11.1063 10.7047 10.3701 -0.4029 -0.0719 0.4636 dj2 (cm) 20.3287 19.3520 18.4943 17.7796 -0.8601 -0.1533 0.9902 dj3 (cm) 25.3586 24.5216 23.7866 ---------- -0.7358 -0.1301 0.8498 dj4 (cm) 27.4167 26.7754 26.2123 ---------- -0.5628 -0.0897 0.6521 3 4 Deducidos los desplazamientos horizontales de los pórticos, se calculan los cortantes de entrepiso mediante el sistema de ecuaciones: {Vi}jŠ£¦c]j * dji   £¦c]j es la matriz de rigidez condensada del pórtico. 175 Caso N°. 1 2 3 4 Cortante Portico Portico Portico Portico Vji (t) 1 2 3 4 6Vj (t) Portico Portico Portico A B C 6Vj (t) Vj1 -1.10 -0.11 0.99 0.23 0 91.78 60.89 82.67 235.34 Vj2 -1.21 -1.07 -0.42 2.70 0 68.52 64.19 66.86 199.57 Vj3 -0.88 0.09 0.79 ------ 0 51.25 44.51 47.49 143.25 Vj4 -0.77 0.04 0.74 ------ 0 23.74 19.64 22.54 65.92 Vj1 2.84 0.01 -3.10 0.25 0 73.71 58.46 103.17 235.34 Vj2 5.33 4.49 1.49 -11.31 0 63.59 63.28 72.70 199.57 Vj3 3.75 -0.38 -3.37 ------ 0 42.15 43.12 57.98 143.25 Vj4 3.06 -0.16 -2.90 ------ 0 21.10 19.24 25.58 65.92 Vj1 54.67 114.51 53.62 12.53 235.34 -12.52 -1.55 14.07 0 Vj2 62.97 43.45 24.79 68.36 199.57 -41.65 -6.33 47.98 0 Vj3 45.83 56.12 41.30 ------ 143.25 0.01 -0.14 0.13 0 V4 23.29 21.50 21.13 ------ 65.92 0.13 0.01 -0.14 0 Vj1 48.73 113.86 59.00 13.76 235.34 11.24 1.68 -12.92 0 Vj2 53.86 37.09 23.98 84.64 199.57 -33.31 -4.90 38.21 0 Vj3 41.09 56.62 45.54 ------ 143.25 8.88 1.24 -10.12 0 Vj4 19.43 21.70 24.79 ------ 2.69 0.40 -3.09 0 65.92 En esta tabla se ha verificado que la solución es precisa, matemáticamente, puesto que el valor de los cortantes de entrepiso es el correspondiente a los valores de diseño. Finalmente, se obtienen las fuerzas sísmicas que actúan en cada uno de los pórticos para los cuatro casos de cargas estudiados: 176 Caso N.o 1 2 3 4 Fuerza fji (t) Portico 1 Portico 2 Portico 3 Portico 4 -2.46 Portico A Portico B 23.25 Portico C fj1 0.10 0.95 1.40 -3.30 15.81 fj2 -0.33 -1.16 -1.20 2.69 17.27 19.68 19.38 fj3 -0.10 0.05 0.05 --------- 27.52 24.87 24.95 f4 -0.77 0.04 0.74 --------- 23.73 19.65 22.54 fj1 -2.48 -4.48 -4.59 11.56 10.12 -4.83 30.47 fj2 1.58 4.87 4.86 -11.31 21.44 20.17 14.72 f3 0.69 -0.22 -0.47 --------- 21.05 23.87 32.40 fj4 3.06 -0.16 -2.90 --------- 21.10 19.24 25.58 fj1 -8.30 71.06 28.84 -55.83 29.13 4.78 -33.91 fj2 17.14 -12.66 -16.51 68.37 -41.65 -6.20 47.84 fj3 22.54 34.62 20.17 --------- -0.13 -0.15 0.28 fj4 23.29 21.50 21.13 --------- 0.13 0.01 -0.14 fj1 -5.13 76.77 35.02 -70.89 44.55 6.58 -51.12 fj2 12.77 -19.53 -21.56 84.65 -42.19 -6.14 48.33 fj3 21.66 34.93 20.74 ---------- 6.19 0.84 -7.03 fj4 19.43 21.70 24.80 ---------- 2.69 0.40 -3.09 Se ha verificado que la solución cumple la relación de equilibrio en cada uno de los pisos, en los cuatro casos de cargas analizados. Para visualizar estos resultados se indican, en el siguiente gráfico, dos de las soluciones encontradas para la fuerza cortante de entrepiso: Entrepiso 2, caso 1 Entrepiso 3, caso 3 6 Fx = 66.86 + 64.19 + 68.52 = 199.57 t — 6 Fx = 0.13 – 0.14 + 0.01 6 Fy = -1.21 – 1.07 – 0.42 + 2.70 = 6 Fy = 45.83 + 56.12 + 41.30 = 143.25 t — 0t— = 0t— 177 La solución es satisfactoria, pues la sumatoria de fuerzas en ambas direcciones corresponde a los valores de las fuerzas cortantes deducidas en el literal “c”. Para el diseño de vigas, columnas, nudos y fundaciones se deben combinar los resultados obtenidos para los cuatro casos de sismo con los de las cargas gravitacionales según la NSR-10, Sec. B.2.4. Fuerzas sísmicas en pórticos en el sentido del eje X (valores en toneladas): Al sumar los cortantes en la base, para un caso de carga, se obtienen los cortantes de diseño a nivel de fundación. Los dos primeros casos 178 corresponden al análisis del sismo en el sentido X y los últimos casos al análisis del sismo en Y (Vy = 0). Vx caso 1 = 235.34 t Vx caso 2 = 235.34 t Vy caso 3 = Vy caso 4 = 0t 0t Fuerzas sísmicas en pórticos en el sentido del eje Y (valores en toneladas): Procediendo de manera similar se obtiene: 179 Los dos primeros casos corresponden al análisis del sismo en el sentido X (Vx = 0), y los dos últimos al análisis del sismo en Y: VX caso 1 = 0t Vx caso 2 = VY caso 3 = 235.34 t 0t Vy caso 4 = 235.34 t Hasta ahora se ha analizado el sismo en dos direcciones independientes, en la dirección del eje X y en la dirección del eje Y. Para considerar el efecto tridimensional del fenómeno sísmico, la NSR-10, Sec. A.3.6.3.2, recomienda tomar el 100% del sismo en una dirección y adicionarle el 30% del efecto del sismo en la dirección ortogonal. Lo anterior conduce a un gran número posible de combinaciones de cargas, como ejemplo de ello se indican en el literal “o” las combinaciones básicas asumidas por los autores del programa RCB- Building.  Q     Las derivas corresponden a los desplazamientos horizontales, en las dos direcciones principales en planta, que tiene el centro de masa del edificio (NSR-10, Sec. A.6.2.1.1). Para su cálculo se permite que el coeficiente de importancia, I, tenga un valor igual a la unidad (NSR-10, Sec. A.6.2.1.2). El análisis de las fuerzas sísmicas se realizó en la sección “Determinación de las fuerzas sísimicas, Método de la Fuerza Horizontal Equivalente” (p. ) para un coeficiente de importancia igual a la unidad. Derivas en la dirección del eje X: {Fi«Š£¦xx] * {di} 35.77 425.366 -298.945 82.984 -12.731 d1 56.32 -298.945 442.344 -276.074 65.734 d2 82.984 -276.074 368.099 -162.387 -12.731 65.734 -162.387 107.431 77.33 65.92 180 = * d3 d4 di cm Deriva cm Deriva permitida cm Piso 1 2.62 2.62 (0.77%) 3.4 Piso 2 5.37 2.75 (0.98%) 2.8 Piso 3 7.83 2.46 (0.88%) 2.8 Piso 4 9.47 2.28 (0.81%) 2.8 Derivas en la dirección del eje Y: {Fi«Š£¦yy] * {di} 35.38 57.82 81.00 = 69.78 220.872 -150.894 33.350 -4.454 -150.894 231.722 -135.751 27.217 33.350 -135.751 201.515 -94.911 -4.454 27.217 -94.911 71.573 di cm Deriva cm Deriva permitida cm Piso 1 4.24 4.24 (1.25%) 3.4 Piso 2 8.08 3.84 (1.37%) 2.8 Piso 3 11.28 3.20 (1.14%) 2.8 Piso 4 13.07 1.79 (0.64%) 2.8 d1 * d2 d3 d4 La deriva máxima en cada piso corresponde a la mayor deriva de las dos direcciones principales en planta (NSR-10, Sec. A.6.3.1.1). En este ejemplo las derivas máximas en los pisos 1, 2 y 3 se presentan en la dirección del eje Y, mientras que en el piso 4 corresponde a la dirección X. La deriva máxima para cualquier piso no puede exceder, en estructuras de hormigón, del 1% de la altura de entrepiso, hp; en consecuencia, las derivas de los pisos 1, 2 y 3, en la dirección Y, no cumplen este requisito de la NSR-10 y la estructura debe rigidizarse, en este sentido, hasta que se cumpla con el límite permitido; este proceso se omite en el presente texto. 181 Imagen 3.1 Daños en la mampostería debido a la ductilidad de la estructura La restricción de la deriva al 1% (NSR-10, Tabla A.6.4-1) de la altura de entrepiso es un requisito difícil de cumplir en estructuras aporticadas, pues la característica de este sistema estructural es precisamente su gran ductilidad. Una vez realizado el análisis, y considerando la rigidez de los nudos, si la deriva aún no cumple ese requisito debe rigidizarse la estructura aumentando las dimensiones de los elementos de resistencia sísmica o acoplando muros al sistema estructural. Debido a esta alta ductilidad se presentan daños frecuentes y cuantiosos en los elementos no estructurales. Los daños en la mampostería de ladrillos de arcilla obedece a que los muros son muy rígidos y la estructura es muy flexible; el problema tiene dos soluciones: una de ellas es aislar los muros de la estructura para que ésta pueda deformarse libremente y la otra es cambiar las divisiones tradicionales hechas con ladrillos de arcilla por paneles de yeso, los cuales además de ser más fáciles y económicos de reparar, tienen la gran ventaja de su poco peso, lo cual disminuye el efecto sísmico.  ‚  !      "    En todo proyecto debe existir concordancia entre lo proyectado y lo construido. Si el análisis está basado en un comportamiento dúctil de la estructura, en la construcción ésta debe aislarse de las construcciones vecinas para que pueda deformarse. La separación que debe tener una estructura del lindero es la calculada en el literal anterior. 182 Las oficinas de plantación urbana deben ser estrictas y obligar al cumplimiento de este requisito con el mismo rigor que exigen cumplir la separación del eje de la vía. En México D.F. fueron numerosos los casos de falla de estructuras por el incumplimiento de este requisito. La NSR-10, Sec. A.6.5, reglamenta la separación entre estructuras adyacentes en Colombia. Si no existe edificación vecina y por ser la edificación de más de tres pisos debe dejarse una separación del lindero igual al 1% de la altura del edificio, para el caso 11.8 cm (NSR-10, Tabla A.6.5-1). Imagen 3.2 Falla en los pisos superiores por falta de separación en las estructuras adyacentes. México D.F. 1985  Q   B.2.4.2           “   ¬‚­‹'\ ‚ < La NSR-10, Sec. B.2.4, exige diseñar para las siguientes combinaciones de cargas, deducidas de sus ecuaciones B.2.4-1, B.2.4-4 y B.2.4-5: 1. 1.2CM + 1.6CV 2. 1.20CM + 1.00CV + Sx1 + 0.3 Sy1 3. 1.20CM + 1.00CV - Sx1 - 0.3 Sy1 4. 1.20CM + 1.00CV + Sx1 - 0.3 Sy1 5. 1.20CM + 1.00CV - Sx1 + 0.3 Sy1 183 6. 1.20CM + 1.00CV + Sx2 + 0.3 Sy2 7. 1.20CM + 1.00CV - Sx2 - 0.3 Sy2 8. 1.20CM + 1.00CV + Sx2 - 0.3 Sy2 9. 1.20CM + 1.00CV - Sx2 + 0.3 Sy2 10. 1.20CM + 1.00CV + 0.3 Sx1 + Sy1 11. 1.20CM + 1.00CV - 0.3 Sx1 - Sy1 12. 1.20CM + 1.00CV - 0.3 Sx1 + Sy1 13. 1.20CM + 1.00CV + 0.3 Sx1 - Sy1 14. 1.20CM + 1.00CV + 0.3 Sx2 + Sy2 15. 1.20CM + 1.00CV - 0.3 Sx2 - Sy2 16. 1.20CM + 1.00CV - 0.3 Sx2 + Sy2 17. 1.20CM + 1.00CV + 0.3 Sx2 - Sy2 18. 0.90CM + Sx1 19. 0.90CM - Sx1 20. 0.90CM + Sx2 21. 0.90CM - Sx2 22. 0.90CM + Sy1 23. 0.90CM - Sy1 24. 0.90CM + Sy2 25. 0.90CM - Sy2 CM = Carga Muerta de servicio CV = Carga Viva de servicio Sx1 = resultados del caso 1 para sismo en X, divididos por R (E = fi/R) Sx2 = resultados del caso 2 para sismo en X, divididos por R (E = fi/R) Sy1 = resultados del caso 3 para sismo en Y, divididos por R (E = fi/R) Sy2 = resultados del caso 4 para sismo en Y, divididos por R (E = fi/R) 184 Imagen 3.3 Daños por separación insuficiente o inexistente entre construcciones adyacentes. Armenia, Colombia, 1999 3.11 Análisis del período natural de vibración, T 3.11.1 Métodos empíricos El período de vibración de la estructura puede calcularse en forma aproximada empleando la siguiente ecuación, dada para estructuras aporticadas de hormigón: Ta = 0.047 hn 0.9 (NSR-10, Sec. A.4.2.2, Ecuación A.4.2-3) hn: altura en metros, medida desde la base hasta el piso más alto. hn = 3.4 + 3*2.8 = 11.80 m Ta = 0.047 hn 0.9 = 0.047 * 11.80.9 = 0.43 s El valor del período depende de la altura del edificio y no tiene en cuenta de manera explícita la rigidez de la estructura. Este valor es único, cualquiera que sea la dirección de análisis del sismo, e igual para todas las estructuras de igual altura. 185 Alternativamente, para edificaciones de doce pisos o menos, con alturas de piso, hp, no mayores de 3 m, cuyo sistema estructural de resistencia sísmica está compuesto por pórticos resistentes a momentos de hormigón reforzado, el período de vibración aproximado, Ta, en s, la NSR-10 permite determinarlo por medio de la expresión A.2.4-5: Ta = 0.1 N (NSR-10, Sec. A.4.2.2, Ecuación A.4.2-5) N = número de pisos Si obviamos que para el presente ejemplo la altura del primer piso supera el límite de 3 m, el período aproximado aplicando esta expresión es: Ta = 0.1 * 4 = 0.40 s El valor del período aproximado al emplear las expresiones anteriores es un estimativo inicial para calcular las fuerzas a aplicar sobre la estructura con el fin de dimensionar su sistema de resistencia sísmica. 3.11.2 Método de análisis dinámico Una vez dimensionada la estructura, debe calcularse el valor ajustado del período mediante la aplicación del análisis modal, para compararlo con el estimativo inicial, si el período de la estructura diseñada difiere en más del 10% con el estimado inicialmente; debe repetirse el proceso de análisis, utilizando el último período calculado como nuevo estimativo, hasta que se converja en un resultado dentro de la tolerancia del 10% señalada (NSR-10, Sec. C.4.2.3).       ! La relación que gobierna la respuesta de un sistema de un grado de libertad en el caso de una excitación sísmica ha sido discutida en la Sección 1.4.1:  £‘®¯²[`›£Q®¯Ĥ[`›£¦®¯[`Š‹£‘®¯²g(t) (1.1) Para obtener las frecuencias y períodos naturales de la estructura basta con estudiar el caso de vibración libre (üg(t) = 0 ) no amortiguada (C = 0): £‘®¯²[`›£¦®¯[`Š\ 186 Una solución de esta ecuación diferencial es:  ³£¦®‹£‘®¯2 } * A = 0 (3.28) La solución no trivial es: det ȱ£¦®‹£‘®¯2 ȱ = 0 (3.29) La expresión (3.29) es una expresión algebraica de grado n, (n = número de pisos de la estructura); la incógnita es v2, la cual se satisface para n valores de v2. Esta ecuación es conocida como ecuación característica del sistema. Para cada valor de v2 que satisfaga la ecuación (3.29) se resuelve la expresión (3.28), para A1, A2…..An, en términos de una constante de proporcionalidad arbitraria. Estas soluciones representan los modos de vibrar de la estructura.     ƒ   £‘®    ƒ   "             [‘Š˜™`"£¦®    ƒ de rigidez de la estructura en la cual se analiza el sismo. Debe tenerse cuidado en la concordancia de unidades. T = 2S/Y        ! (3.30)   ¨ Unidades de la matriz de rigidez t/cm Unidades de la matriz de masa t * s2/cm Piso 1 Piso 2 425.365 -298.945 -298.945 Piso 3 Piso 4 82.984 -12.731 442.344 -276.074 65.734 - 82.984 -276.074 368.099 -162.387 -12.731 65.734 -162.387 107.431 Piso 1 Piso 2 Piso 3 Piso 4 0.16616 0 0 0 0 0.14352 0 0 0 0 0.13572 0 0 0 0 0.08826 * Y2= 0 AMPLITUD Solución: Modo 1 2 3 4 Período, s +,?.9 0.242 .123 0.080 Piso 1 0.2775 -0.6863 1.0317 -1.2857 Piso 2 0.5710 -0.7487 -0.3295 2.0729 Piso 3 0.8300 0.0458 -0.9605 -1.7649 Piso 4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 T = 0.72 s 187   Piso 1      ! Piso 2 220.872 -150.894 -150.894   ª Piso 3 Piso 4 Piso 1 33.350 -4.454 0.16616 0 0 0 0 0.14352 0 0 * Y2 =0 231.722 -135.751 27.217 - Piso 2 Piso 3 33.350 -135.751 201.515 -94.911 0 0 0.13572 -4.454 0 0 27.217 -94.911 71.573 Piso 4 0 0 0.08826 AMPLITUD Modo Solución: 1 2 3 4 Período, s 0.869 0.294 0.160 Piso 1 0.3311 -0.7564 Piso 2 0.6284 -0.7214 Piso 3 0.8703 0.1593 Piso 4 1.0000 1.0000 0.080 0.9083 -1.0796 -0.4258 1.8125 -0.8397 -1.6279 1.0000 1.0000 T = 0.87 s 3.11.3 Método de Rayleigh       ! El método de Rayleigh puede utilizarse para determinar la frecuencia natural de un sistema continuo de modelos discretos. Este método lo permite la NSR-10, Sec. A.4.2.1; es un método dinámico que corresponde a un oscilador simple. La expresión dada por la NSR-10 es la siguiente: (3.31) Fi = fuerzas horizontales distribuidas aproximadamente de acuerdo con el Método de la Fuerza Horizontal Equivalente. di = desplazamientos horizontales calculados utilizando las fuerzas fi en la dirección considerada. 188 Procedimiento para su aplicación: a) Se asume un período cualquiera de la estructura. b) Se calcula el cortante basal empleando el espectro de diseño. c) Se aplica el Método de la Fuerza Horizontal Equivalente para obtener las fuerzas de entrepiso. ` ‚       ³‡«Š£¦®¯³ «< e) Se aplica la expresión (3.31) para obtener el período. Nota: el resultado es independiente del valor del período que se asume en el literal (a). Cálculos: de la sección “Determinación de las fuerzas sísmicas, Método de la Fuerza Horizontal Equivalente” para este ejemplo se toman los siguientes parámetros: Entrepiso hi m mi t 1 2 3 4 3.4 6.2 9.0 11.8 162.85 140.64 133.01 86.49 6 mi hik Cvi 553.66 871.97 1,197.09 1,020.58 0.152 0.239 0.329 0.280 Fi t 35.77 56.25 77.43 65.90 =========================== 522.99 3,643.30 1.000 235.35 Período en la dirección del eje X: {Fi«Š£¦xx] * {di} 35.77 56.24 77.43 = 425.366 -298.945 82.984 -12.731 -298.945 442.344 -276.074 65.734 82.984 -276.074 368.099 -162.387 -12.731 65.734 -162.387 107.431 65.90 d1 * d2 d3 d4 Solución: Peso t Fuerza t di cm Wi di2 Fi * di Piso 1 162.85 35.77 2.618 1,116.16 93.65 Piso 2 140.64 56.24 5.374 4,061.67 302.23 Piso 3 133.01 77.43 7.827 8,148.45 606.04 Piso 4 86.49 65.90 9.466 7,749.95 623.81 21,076.23 1625.73 189 Masa = W / g, reemplazando: T=2S Período en la dirección del eje Y: {Fi«Š£¦yy] * {di} 35.77 56.24 77.43 = 220.872 --150.894 33.350 -4.454 -150.894 231.722 -135.751 27.217 33.350 -135.751 201.515 -94.911 -4.454 27.217 -94.911 71.753 65.90 d1 * d2 d3 d4 Solución: Peso t Fuerza t di m Wi di2 Fi * di Piso 1 162.85 35.77 4.196 2,867.20 150.09 Piso 2 140.64 56.24 7.986 8,969.48 449.13 Piso 3 133.01 77.43 11.135 16,491.67 862.18 Piso 4 86.49 65.90 14,345.98 848.73 42,674.33 2,310.13 12.879 T = 2S 3.11.4 Restricciones de la NSR-10 La NSR-10, Sec. A.4.2.1, especifica que el período determinado por procedimientos dinámicos no puede ser superior a Cu * Ta , en donde Cu = 1.75 – 1.2 Av Fv. Cu = 1.75 – 1.2*0.20*1.6 = 1.366 Ta = 0.43 s (calculado en la Sección 3.11.1) T máx. = 1.366*0.43 = 0.59 s En el método dinámico el valor del período fundamental es superior al período aproximado, pero la NSR-10 restringe su aplicación al limitar su valor a 0.59 s. 190 3.11.5 Revisión del período Una vez se cumpla con los requisitos de deriva debe revisarse el período estimado inicialmente para calcular las fuerzas sísmicas, para este caso: El período aproximado inicialmente estimado = 0.43 s < Tc = 0.85 s El período calculado con análisis modal = 0.59 s < Tc = 0.85 s Como la diferencia entre el período estimado y el resultado del análisis modal supera la tolerancia permitida del 10% debe tomarse como nuevo período de diseño el valor obtenido en el análisis modal, que es de 0.59 s, con este cambio los cálculos realizados, en este ejemplo, no sufren modificación pues el valor del período es inferior al período de transición Tc , y el valor de Sa se mantiene igual a 0.45 (véase sección “Determinación de las fuerzas sísmicas, Método de la Fuerza Horizontal Equivalente” de este ejemplo). 191 Capítulo 4 Análisis y diseño de vigas 4.1 Introducción Dado que las solicitaciones que el sismo de diseño impone a las estructuras son muy elevadas, y de características muy aleatorias, no es económico diseñar las estructuras para que resistan, sin daño, un sismo con un período de retorno muy largo (495 años). Para evitar daños y pánico a los ocupantes de una edificación, durante sismos moderados, que pueden ocurrir varias veces durante su vida útil, se diseña la estructura para un sismo de menor intensidad pretendiendo que la estructura permanezca elástica con deformaciones laterales pequeñas. Este análisis se realiza para un sismo de menor intensidad, que se llama sismo en condiciones de servicio. Como los métodos de análisis son elásticos las deformaciones que se tendrán para un sismo “n” veces inferior al de diseño, serán “n” veces inferiores a las calculadas para el sismo de diseño. Por lo anterior, las normas de diseño no consideran la realización de dos análisis, uno para el sismo de diseño y otro para condiciones de servicio, sino que aceptan que se realice sólo el análisis para el sismo en condiciones de servicio y se hagan las correcciones necesarias para tener en cuenta la intensidad del sismo para el cual se desea proteger la estructura contra deformaciones excesivas. Esto se hace dividiendo las fuerzas obtenidas para el sismo de diseño por el coeficiente de capacidad de disipación de energía, R, por lo que las deformaciones para el sismo de diseño son R veces superiores a los valores obtenidos para un análisis elástico de las fuerzas reducidas por ductilidad. Habrá deformaciones inelásticas tanto mayores cuánto más grande sea la reducción por ductilidad. Para que las estructuras estén en capacidad de sufrir estas deformaciones inelásticas sin colapsar, son muchos los detalles del refuerzo que deben tenerse en cuenta en las estructuras de hormigón reforzado; estos detalles son costosos y difíciles de lograr. 193 En las estructuras de hormigón los códigos especifican el conjunto más amplio y detallado de requisitos por ductilidad. La experiencia de campo y de laboratorio ha mostrado que sólo con cuidados muy estrictos se puede lograr que las estructuras de hormigón desarrollen ductilidades importantes. Los requisitos prescritos por los códigos de los diversos países tienden a uniformizarse y coincidir; sin embargo, aún existen diferencias importantes; por ejemplo, las que establece el código de Nueva Zelanda son mucho más estrictas que las de los contenidos en el Código ACI. La NSR-10 está basada en este último. Para estructuras en las que la resistencia a cargas laterales sea proporcionada por un sistema de pórticos resistentes a momentos de hormigón reforzado, la NSR-10 especifica los siguientes valores para el coeficiente de capacidad de disipación de energía básico: para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, Ro  5, y para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, Ro  7 (Capítulo 1, Tabla 1.12). De conformidad a lo tratado en el Capítulo 1, Sección 1.5, el coeficiente de capacidad de disipación de energía, R, se calculará de acuerdo con la expresión (1.10). RoP = Pue / Py R = Ia * Ip* Ir* R0 (1.14) Ia = factor de irregularidad en altura. Ip = factor de irregularidad en planta. Ir = factor de redundancia. En los siguientes numerales se comentarán los requisitos especificados en la NSR-10 para el diseño de vigas, sólo se hará énfasis a los requisitos relativos al dimensionamiento y detallado del refuerzo; sin embargo, se recuerda que la NSR-10 establece, además, requisitos de regularidad y uniformidad de la estructura que ya se han comentado en el Capítulo 1 de este texto. 194 4.2 Materiales El empleo de hormigones de elevada resistencia es favorable en estructuras en zonas sísmicas, en cuanto disminuye la posibilidad de fallas frágiles por compresión o por tensión diagonal del hormigón y favorece el desarrollo de la capacidad total del acero de refuerzo, cuya fluencia gobierna el comportamiento inelástico de la estructura. Sin embargo, la condición anterior se puede lograr para hormigones de cualquier resistencia, siempre que se sigan los criterios adecuados de dimensionamiento de las secciones. Debe exigirse un control de calidad estricto de la resistencia del hormigón para evitar que la variabilidad de la misma pueda dar lugar a zonas mucho más débiles que el resto de la estructura; en dichas zonas se llegaría a concentrar la disipación inelástica de energía, la cual redundaría en una menor ductilidad del conjunto. El hormigón debe dosificarse por peso y con procedimientos que garanticen que la desviación estándar de la resistencia no exceda de 35 kgf/cm2. Para estructuras con capacidad de disipación de energía moderada (DMO) y especial (DES) la NSR-10, Sec. C.21.1.4.2, exige que la resistencia a la compresión del hormigón no deba ser inferior a 210 kgf/cm2 (21 MPa) y exime de esta restricción a las estructuras hasta de tres pisos cuyo sistema de resistencia sísmica consista en muros de carga. La limitación de resistencia mínima que se impone en la NSR-10, ’c&?'\¤™2 (21 MPa), tiene como intención evitar hormigones en los que se suele tener poco control de calidad sobre la resistencia, más que propiciar resistencias elevadas. En lo que respecta al acero de refuerzo, la NSR-10, Sec. C.3.5, exige que el refuerzo debe ser corrugado, el refuerzo liso sólo se puede utilizar en estribos, espirales y refuerzo de repartición y temperatura. Las barras corrugadas deben ser de acero de baja aleación que cumplan con la norma NTC 2289 (ASTM A706M). Para estructuras con capacidad de disipación de energía moderada (DMO) y especial (DES) la NSR-10, Sec. C.21.1.5, especifica que todo refuerzo corrugado que resista fuerzas axiales y de flexión, inducidas por sismo, debe cumplir con las especificaciones de la norma NTC 2289 (ASTM A706M), Grado 4,200 kgf/cm2 (420 MPa) y especialmente: 195              que fy en 1,250 kgf/cm2 (125 MPa).    "  "       !        real de fluencia no sea menor de 1.25.  !"     Los valores de fy, usados en los cálculos de diseño, no deben exceder de 5,500 kgf/cm2 (550 MPa), (NSR-10, Sec.C.9.4). 4.3 Requisitos de diseño Los requisitos que aquí se describen se aplican a elementos que trabajan esencialmente en flexión, lo que incluye las vigas y aquellos elementos con cargas axiales muy bajas, que no excedan de 0.10 ’c Ag, en donde Ag es el área bruta de la sección de hormigón (b*h). 4.3.1 Requisitos geométricos La Figura 4.1 resume los requisitos geométricos de la NSR-10 para las vigas. Las relaciones Llibre / bw y h / d tienen como objetivo controlar la esbeltez de la viga para evitar que su ductilidad se vea limitada por problemas de pandeo lateral. Los requisitos sobre un ancho mínimo de la base, además de pretender evitar el pandeo lateral de la viga, persiguen que en pórticos dúctiles la sección de la viga tenga una zona de compresión que le permita desarrollar ductilidad elevada. La NSR-10 limita, en pórticos dúctiles, el ancho de las vigas respecto del ancho de la columna que le sirve de apoyo, con esto pretende asegurar que la transmisión de momentos entre viga y columna pueda realizarse sin la aparición de tensiones importantes por cortante y torsión. Para tal objeto, se requiere que el refuerzo longitudinal de las vigas cruce la columna por el interior de su núcleo confinado. La limitación del valor de la excentricidad, que el eje de la viga puede tener con respecto al de la columna, tiene como finalidad lograr una transmisión directa de momentos entre la viga y la columna, y evitar los problemas torsionales en el nudo, esta limitación debe cumplirse tanto en los pórticos con demanda moderada de ductilidad, DMO, como en los de demanda especial, DES; a pesar que la NSR-10 no incluye esta 196 limitante para estructuras con demanda especial de ductilidad, sugiere conservar la especificación de la NSR-98. DES, se Figura 4.1 Requisitos geométricos para las vigas de pórticos dúctiles de hormigón reforzado 4.3.2 Requisitos generales para el refuerzo longitudinal La ductilidad que es capaz de desarrollar una sección de hormigón reforzado es mayor a medida que la sección sea más sub reforzada. Es por ello que se limita la cuantía máxima de refuerzo, tanto superior como inferior, al 75% del valor que corresponde al de la falla balanceada. Para estructuras con demanda moderada y especial se limita su valor a un máximo de 0.025 para evitar congestionamiento del refuerzo. Figura 4.2 Envolvente de momentos para vigas de pórticos dúctiles de hormigón (a) Ductilidad mínima (b) Ductilidad moderada (c) Ductilidad especial 197 Para los pórticos dúctiles se requiere de un refuerzo mínimo, tanto positivo como negativo en toda la longitud de la viga, y deben disponerse, al menos, dos barras tanto en la parte superior como en la inferior. La NSR-10, Sec.C.21.3.4.3, especifica que este refuerzo debe tener un diámetro mínimo de ½” para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, mientras que para las estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, no especifica su diámetro (NSR-10, Sec.C.21.5.2.1); se sugiere conservar la especificación de la NSR-98, Sec.C.21.3.2.a, que recomienda emplear un diámetro mínimo de 5/8” para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES. La distribución de los momentos flectores a lo largo de la viga varía considerablemente durante un sismo y puede diferir significativamente de la que se obtiene en el análisis. Por ello, para proporcionar una mínima ductilidad, se recomienda: Para pórticos con demanda moderada de ductilidad, DMO, la resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que 1/3 de la resistencia a momento negativo en la misma cara del nudo. La resistencia a momento, tanto positiva como negativa, en cualquier sección a lo largo de la viga, no puede ser menor que 1/5 de la resistencia máxima a momento del elemento en cualquiera de los nudos (NSR-10, Sec.C.21.3.4.4). Para pórticos con demanda especial de ductilidad, DES, la resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que 1/2 de la resistencia a momento negativo en la misma cara del nudo. La resistencia a momento, tanto positiva como negativa, en cualquier sección a lo largo de la viga, no puede ser menor que 1/4 de la resistencia máxima a momento del elemento en cualquiera de los nudos (NSR-10, Sec.C.21.5.2.2). Figura 4.3 Zonas confinadas y de traslapos en vigas de pórticos resistentes a momentos DMO y DES 198 Los traslapos y cortes de barras introducen tensiones en el hormigón que reducen su resistencia a cortante. Por ello, para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, la NSR-10 no los admite en las zonas donde se pueden formar articulaciones plásticas; como son los extremos de las vigas en una longitud de dos veces su altura, 2h, medidos a partir de la cara del nudo, ni los admite dentro de los nudos. Fuera de esas zonas, cuando se requieran traslapos deberán colocarse estribos cerrados a una separación no mayor de 10 cm ni de ¼ de la altura efectiva de la viga, d/4 (NSR-10, Sec. C.21.5.2.3). Figura 4.4 Distribución de estribos en vigas de pórticos con demanda especial de ductilidad, DES Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, la NSR-10 no admite los traslapos dentro de los nudos, ni exige la colocación de estribos de confinamiento a lo largo de la longitud de traslapo. En estructuras con demanda mínima de ductilidad no hay restricciones para los traslapos. 199 Figura 4.5 Distribución de estribos en vigas de pórticos con demanda moderada de ductilidad Figura 4.6 Recubrimiento y separación del refuerzo longitudinal en vigas Es importante que el refuerzo longitudinal esté ubicado con el recubrimiento y la separación entre barras que permitan una fácil colocación del hormigón y una adecuada transmisión de tensiones de adherencia. Se recomienda no colocar paquetes de más de dos barras, con la finalidad de evitar concentraciones de tensiones de adherencia y favorecer una distribución uniforme del refuerzo longitudinal, para que proporcione un buen confinamiento al hormigón. Entre las funciones de los estribos están la de fijar la posición del refuerzo longitudinal durante el vaciado y la de proporcionar la resistencia necesaria para evitar una falla del hormigón por tensión diagonal. 200 Una buena disposición de estribos incrementa la ductilidad al confinar el núcleo de hormigón y evitar el pandeo del refuerzo longitudinal que trabaja a compresión. 4.3.3 Detallado del refuerzo en flexión "   78 2    > 86 En cualquier sección de la viga el refuerzo superior e inferior no debe tener una cuantía, U, inferior a la que se obtiene por la ecuación 4.5 (NSR-10, Sec. C.10.3), ni debe exceder de 0.025. Para pórticos con demanda moderada de ductilidad, DMO (NSR-10, Sec. C.21.3.4.3) debe haber al menos dos barras continuas tanto arriba como abajo, estas barras deben tener como mínimo un diámetro de N.o 4 (1/2”) o 12M (12mm). Para pórticos con demanda especial de ductilidad, DES, la NSR-10, Sec. C.21.5.2.1, no especifica el diámetro de este refuerzo, pero un diámetro de 5/8”, tal como lo prescribía la NSR-98, es apropiado. (4.1) El límite a la cuantía de refuerzo de 0.0025 pretende evitar el congestionamiento del refuerzo en vigas principales, mientras que el requisito de al menos dos barras de refuerzo arriba y abajo tiene como objetivo facilitar el proceso constructivo y proteger todas las secciones de la viga de un modo de falla frágil por flexión. La ductilidad de una sección de hormigón reforzado es mayor en secciones sub reforzadas, y entre más sub reforzada es la sección, mayor es su ductilidad. Por esta razón se limita la cuantía máxima de diseño a una fracción de la cuantía balanceada, al 75% de su valor. (4.2) Para ’c  280 kgf/cm2, D = 0.7225 y decrece a razón de 0.04 por cada 70 kgf/cm2 de exceso sobre 280 kgf/cm2.   #      7  @+A       $DMI,2  $DMO$  El principal inconveniente en los nudos exteriores, para el refuerzo longitudinal de las vigas, es satisfacer las condiciones de anclaje. Por con- 201 diciones geométricas el refuerzo debe doblarse en este extremo, para lo cual se emplea un gancho estándar de 90°. La NSR-10 no formula ninguna especificación sobre la localización de las secciones críticas, por lo que puede asumirse que debe tomarse en la cara de la columna de apoyo; sin embargo, para estructuras con alta demanda de ductilidad, DES, el recubrimiento del refuerzo pierde rápidamente su eficiencia y en este caso la sección crítica debe tomarse en el borde del núcleo confinado. Figura 4.7 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los nudos exteriores Figura 4.8 Dimensiones mínimas de vigas y columnas para anclaje en nudos exteriores Tabla 4.1 Dimensiones de los ganchos estándar db 202 Lg. cm A cm Pulg. cm 17.5db 16db 1/2” 1.270 22 20 5/8” 1.588 28 25 3/4” 1.905 33 30 7/8” 2.222 39 36 1” 2.540 44 41 En este diseño deben considerarse los siguientes aspectos:  ‚      !    !       columna, el anclaje de las varillas de la viga se debe suponer que se inicia dentro de la columna.    ƒ              lumnas poco profundas, es recomendable:  Usar varillas de diámetro pequeño.  Emplear placas de anclaje soldadas a los extremos de las varillas.  Colocar pequeñas varillas en el radio interior del doblez para retrasar el aplastamiento o desprendimiento del hormigón en ese lugar.  Colocar una cantidad suficiente de estribos horizontales para restringir el movimiento del gancho.    ƒ         ´\¶ˆ      < El detalle de ubicar el doblez hacia afuera del nudo, es decir, hacia la columna, no es apropiado en zonas sísmicas.  Q    ƒ  ˆ      Œ     columna, pero debe quedar dentro del núcleo confinado de la columna o del elemento de borde.  Q                     gran altura lleguen a columnas esbeltas, se recomienda terminar las varillas de las vigas en pequeñas extensiones en la fachada. Este detalle mejora notablemente las condiciones de anclaje de las varillas, lo que se traduce en un comportamiento superior del nudo. Según la NSR-10, Sec. C.12.5.1, la longitud de desarrollo, Ldh, para una barra corrugada a tracción que termine en gancho estándar no debe ser menor de 8 db, 150 mm o la longitud dada por la siguiente expresión (NSR-10, Sec. C.12.5.2): (4.3) La NSR-10, Sec. C.12.5.3, permite multiplicar esta longitud de desarrollo, Ldh, por uno o varios de los siguientes coeficientes: 203 a) Por 0.7 para ganchos de barras 11 (1-3/8”) o 36M (36 mm) con recubrimiento lateral, normal al plano del gancho, no menor de 6.5 cm y para ganchos de 90°, con recubrimiento en la extensión de la barra más allá del gancho no menor de 5 cm. b) Por 0.8 para ganchos de 90° de barras N.o 11 (1-3/8”) o 36M (36 mm) y menores que se encuentran confinados por estribos perpendiculares a la barra que se está desarrollando, a lo largo de Ldh a no más de 3db; o bien, rodeado con estribos paralelos a la barra que se está desarrollando y espaciados a no más de 3 db a lo largo de la longitud de desarrollo del extremo del gancho más el doblez. c) Por 0.8 para ganchos de 180° de barras N.o 11 (1 3/8”) o 36M (36 mm) y menores que se encuentran confinados con estribos perpendiculares a la barra que está desarrollando, espaciados a no más de 3 db a lo largo de Ldh. d) Por As colocado / As requerido, cuando se coloca acero en exceso. Este factor es sólo aplicable a estructuras con demanda mínima de ductilidad, DMI; y debe aplicarse sólo donde no se requiera o no se necesite anclar o desarrollar específicamente fy. La Tabla 4.2 se ha calculado para un recubrimiento al estribo, según la NSR-10, Sec. C.7.7.1.c, de 40 mm (4 cm) y para diámetros de los estribos de I3/8” (0.95 cm). Tabla 4.2 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado con gancho estándar a 90°, DMI y DMO Barra N.o Ldh, cm hmín. columna en cm Diámetro Se Se No se Se Se No se db en cumplen cumple cumple cumple cumple cumple cm (a) y (b) (a) (a) y (b) ni (a) ni (b) (a) (a) y (b) hmin viga cm 4 1.27 27.6 19.3 15.5 32.6 24.3 20.4 25.3 5 1.59 34.6 24.2 19.4 39.6 29.2 24.3 30.4 6 1.91 41.5 29.1 23.2 46.5 34.0 28.2 35.5 7 2.22 48.3 33.8 27.0 53.3 38.8 32.0 40.5 8 2.54 55.2 38.6 30.9 60.2 43.6 35.9 45.6 Cálculos para fy = 420 MPa (4200 kgf/cm2), f ’c = 21 MPa (210 kgf/cm2). A Ldh se le adicionan 4.95 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm en el extremo del nudo y 0.95 cm del diámetro del estribo (I3/8”). 204      #  $DES Los requisitos para el anclaje de barras corrugadas con gancho estándar de 90° son más estrictos para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES; la NSR-10, Sec. C.21.7.5.1, especifica que la longitud de desarrollo, Ldh, no debe ser menor que el mayor valor entre 8db, 15 cm y la longitud requerida por la expresión (4.4). Esta expresión es válida para barras de 3/8”, (No 3), a barras de 1-3/8” (N.o 11). (4.4) A esta expresión se le han incorporado los coeficientes: 0.7 (por recubrimiento del hormigón) y 0.8 (por estribos) relacionados en la sección anterior. Por otra parte, la longitud de desarrollo calculada por la expresión (4.3) se ha incrementado en la expresión (4.4) para reflejar el efecto de las inversiones de carga. Tabla 4.3 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado con gancho estándar a 90°, DES Barra N.o Diámetro db en cm Ldh cm hmin columna (cm) hmin viga (cm) 4 1.27 21.4 30.4 25.3 5 1.59 26.8 35.8 30.4 6 1.91 32.2 41.2 35.5 7 2.22 37.4 46.4 40.5 8 2.54 42.8 51.8 45.6 Cálculos para fy = 420 MPa (4,200 kgf/cm2), f ’c = 21 MPa (210 kgf/cm2). A Ldh se le adicionan 8.95 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm en cada cara y 0.95 cm del diámetro del estribo (I3/8”).   #    6       $DMI$2  $DMO, de ductilidad La NSR-10, Sec. C.12.2.2, formula las expresiones básicas para el cálculo de la longitud de desarrollo, Ld, especificando que esta no debe ser inferior a 30 cm. 205 Para barras  N.o 6 (4.5) Para barras > N.o 6 (4.6) Estas expresiones son aplicables a estructuras con demanda mínima, DMI, y moderada DMO de ductilidad; se excluyen las estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, las cuales deben cumplir las especificaciones especiales de la sección de la NSR-10, Sec. C.21.7.5.2. Para el refuerzo horizontal se colocan más de 30 cm de hormigón fresco debajo de la longitud de desarrollo, \t =1.3. Para otros casos \t =1.0. Para el refuerzo sin recubrimiento o recubierto con zinc (galvanizado) \e =1.0. Para las barras con recubrimiento epóxico, con menos de 3db de recubrimiento o separación libre, menos de 6db, \e =1.5; para otros casos con recubrimiento epóxico \e =1.2. Tabla 4.4 Longitudes de desarrollo para barras rectas a tracción, refuerzo sin recubrimiento epóxico (\e = 1.0), hormigón de peso normal (O = 1.0), fy = 4,200 kgf/cm2, f ’c=210 kgf/cm2. Estructuras con demanda mínima, DMI y moderada DMO de ductilidad Barra Diámetro Ld cm N.o db en cm Otras barras \t = 1.0 Barras altas \t = 1.3 4 1.27 56 73 5 1.59 70 91 6 1.91 84 109 7 2.22 121 158 8 2.54 139 181 Además deben cumplirse los siguientes requisitos:  Q             mínimos a flexión en las zonas no confinadas (ver la Sección 4.3.2 de este capítulo). 206     !             debe ser inferior al diámetro db, no menor de 25 mm ni menor de 1.33 veces el tamaño máximo del agregado grueso (NSR-10, Sec. C.7.6.1).                \ (4 cm) en vigas y columnas no expuestas a la intemperie (NSR-10, Sec. C.7.7.1.c).     #  $DES Tabla 4.5 Longitudes de desarrollo para barras rectas a tracción, refuerzo sin recubrimiento epóxico (\e = 1.0), hormigón de peso normal (O = 1.0), fy = 4,200 kgf/cm2, f ’c=210 kgf/cm2. Estructuras con demanda especial de ductilidad, DES Barra Diámetro Ld cm N.o db en cm Otras barras Barras altas 4 1.27 54 70 5 1.59 67 87 6 1.91 81 105 7 2.22 94 122 8 2.54 106 137 Para barras No 3 (3/8”) o 10M (10 mm) a No 11 (1-3/8”) o 36M (36 mm), la longitud de desarrollo en tracción para una barra recta, Ld, no debe ser menor que:  ?<_          Œ ![<`      hormigón colocado fresco, en una sola operación, debajo de la barra, no excede de 30 cm.  ~<?_          Œ ![<`     de hormigón colocado fresco, en una sola operación, debajo de la barra, excede de 30 cm (barras altas). Además deben cumplirse los siguientes requisitos:  Q             mínimos a flexión en las zonas no confinadas (ver la Sección 4.3.2 de este capítulo). 207  La separación libre entre barras paralelas, colocadas en una capa, no debe ser inferior al diámetro db, no menor de 25 mm ni menor de 1.33 veces el tamaño máximo del agregado grueso (NSR-10, Sec. C.7.6.1).                \ (4 cm), en vigas y columnas no expuestas a la intemperie (NSR-10, Sec. C.7.7.1.c).  ‚      ƒ    !Œ    to menor de 3db o separación libre entre barras, menor de 6db, las longitudes de desarrollo deben multiplicarse por el factor \e = 1.5 para las otras barras con recubrimiento epóxico \e = 1.2 (NSR-10, Sec. C.21.7.5.4).                  $ del núcleo confinado de la columna o elemento de borde. Cualquier porción de Ld fuera del núcleo confinado debe incrementarse mediante un factor de 1.6 (NSR-10, Sec. C.21.7.5.3).          Las secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en elementos sometidos a flexión son los puntos en donde se presentan esfuerzos máximos y puntos de la luz donde termina o se dobla el refuerzo adyacente (NSR-10, Sec. C.12.10.2). El refuerzo debe extenderse más allá del punto en el que ya no se requiera para resistir flexión, una distancia igual a la altura efectiva del elemento, d o 12db, la que sea mayor, excepto en los de vigas simplemente apoyadas y en el extremo libre de voladizos (NSR-10, Sec. C.12.10.3). Lo anterior se debe a que existen diferencias entre los diagramas teóricos, obtenidos en el análisis, y los que se presentan realmente, ocasionadas por la incertidumbre en la magnitud y distribución de las cargas y por las aproximaciones usadas en el análisis. El refuerzo que continúa debe tener una longitud embebida no menor de Ld, más allá del punto donde no se requiera refuerzo de tracción para resistir flexión (NSR-10, Sec. C.12.10.4). Por lo menos 1/3 del refuerzo total por tracción en el apoyo proporcionado para resistir momento negativo, debe tener una longitud embebida, más allá del punto de inflexión, no menor que la altura efectiva del elemento, d, 12 db o 1/16 de la luz libre, la que sea mayor (NSR-10, Sec. C.12.12.3). 208 Figura 4.9 Desarrollo del refuerzo negativo en un apoyo interior (          $DES En las estructuras con demanda especial de ductilidad, el efecto de las cargas sísmicas prima sobre el de las cargas de gravedad; por ello, en este tipo de estructuras se presenta con frecuencia el siguiente tipo de diagrama de momentos: Figura 4.10 Diagrama de momentos flectores con inversión en el apoyo central En un nudo interior, para estructuras con demanda especial de ductilidad, una barra de refuerzo colocada en la parte superior de la viga 209 pasa de trabajar a tracción en una cara de la columna, a compresión en la otra cara, por lo que se necesita un espesor mínimo de la columna para que dentro del nudo la barra pueda invertir sus tensiones. Para que esta inversión de tensiones sea posible, se necesita garantizar un espesor mínimo de la columna con el fin de proporcionar la adherencia necesaria para que la barra pueda cambiar de tensión dentro del nudo. Para lograr lo anterior, la NSR-10, Sec. C.21.7.2.3, establece en pórticos con demanda especial de ductilidad, DES, una relación mínima de 20 entre el ancho de la columna o viga y el diámetro de la barra que los atraviese. hv = 20 * db2 hc = 20 * db1 Figura 4.11 Dimensiones mínimas de vigas y columnas en uniones interiores, pórticos de hormigón con DES (          $DMO Para el diseño de estructuras aporticadas de hormigón con demanda moderada de ductilidad, DMO, se exigen las mismas cuantías de diseño que para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES; la diferencia está en que no existen restricciones para el dimensionamiento por adherencia de las vigas y columnas en nudos interiores, de allí se infiere que en la NSR-10 se asume que el efecto de las cargas sísmicas no domina sobre el de las cargas verticales y que los diagramas de momento no presentan inversión en los nudos centrales. 210 Figura 4.12 Diagrama de momentos flectores sin inversión en el apoyo central En este caso, una barra colocada en la parte superior de la viga trabaja a tracción a ambos lados del nudo o de la columna, no presenta inversión de momentos y por tanto no existen problemas de adherencia que obliguen a la exigencia de dimensiones mínimas para vigas y columnas, como es el caso de estructuras con demanda especial de ductilidad. No obstante, debe analizarse si la estructura aporticada presenta o no inversión de momentos y de presentarse debe aplicarse este requisito. En las estructuras con demanda mínima de ductilidad dominan las cargas verticales, y en las de demanda especial de ductilidad, las cargas sísmicas. En las estructuras con demanda moderada de ductilidad no se tiene certeza sobre cuál de ellas domina el diseño. No tiene sentido cuidar la resistencia, rigidez y ductilidad de los elementos estructurales si estos no se unen entre sí, de manera que estas características se puedan desarrollar plenamente. (   #     B   Los estribos cumplen las funciones de fijar la posición del refuerzo longitudinal y de proporcionar resistencia a tensión en la viga para evitar una falla frágil por cortante. Una distribución adecuada de estribos cerrados incrementa sustancialmente la ductilidad de las secciones de hormigón en flexión al proporcionar confinamiento al hormigón del núcleo y restringir el pandeo del refuerzo longitudinal en compresión. El suministro de estribos cerrados a una separación no mayor de “d/2” es requisito para vigas de pórticos dúctiles y es recomendable en cualquier viga con función estructural. 211 Los requisitos ilustrados en las Figuras 4.4 y 4.5 se refieren esencialmente a separación de los estribos de confinamiento en las zonas de posible formación de articulaciones plásticas. Estos deben ser cerrados, de una pieza, se deben rematar con dobleces a 135° o más, con una extensión de 6de pero no menor de 75 mm (NSR-10, Sec. C.7.1.4), como se indica en la Figura 4.13. El remate a 135° es necesario para impedir que el estribo se abra al ser sometido a la presión producida por la expansión del hormigón del núcleo interior, con lo cual perdería su función de proporcionar confinamiento. La ejecución de estos dobleces en la obra presenta ciertas dificultades, por lo que el detalle es frecuentemente objetado por los constructores. Sin embargo, se trata de un requisito importante que debe ser respetado. Figura 4.13 Estribos de confinamiento (   #        > En el diseño de vigas a cortante se tiene como objetivo principal evitar la posibilidad de una falla frágil por tracción diagonal en el hormigón. Las especificaciones para el diseño a cortante no se basan en los valores obtenidos del análisis, sino que se fundamentan en el valor de las fuerzas cortantes que aparecen cuando se forman las articulaciones plásticas en los extremos de las vigas. Para su cálculo deben diseñarse primero las vigas y luego, de acuerdo con el refuerzo colocado, se determina el valor de los momentos de fluencia en los extremos de las vigas, para calcular 212 después el cortante máximo que entra a la viga cuando estos extremos se plastifican. Las vigas tienen que ser capaces de soportar los cortantes que se presentan cuando se forma el mecanismo de falla aceptado, que consiste en la aparición de una articulación plástica de momento negativo en un extremo y, posteriormente, de una articulación plástica de momento positivo en el otro extremo o cerca de él. Aplicando el principio de superposición se pueden analizar, de manera separada, el efecto de la carga de gravedad y el de las cargas sísmicas, cuando éstas predominan. De esta superposición, indicada en la Figura 4.15, se deduce que el máximo cortante que entra a la viga está dado por la siguiente expresión:  (4.7) Figura 4.14 Acciones en las vigas de pórticos dúctiles debidas al efecto simultáneo de cargas de gravedad y cargas sísmicas 213 Los valores de los momentos de fluencia se calculan a partir de las siguientes expresiones: Muy= I As fy*(d - a / 2), a=(D / 0.85) * c, c=U* fy * d / D f ’c (4.8) El máximo cortante que se introduce en la viga, Vu máx., es aquel que se presenta cuando los dos momentos de extremo, Ma y Mb, alcanzan su valor máximo, el de fluencia. Es decir, que su valor no se deduce del análisis, sino que debe hacerse primero el diseño a flexión de la viga y una vez seleccionado el refuerzo en los apoyos, se calcularán los momentos para los cuales este acero fluye. En este caso, la suma de los momentos de extremo no puede pasar de sus valores de fluencia y, por tanto, el cortante que se introduce nunca podrá exceder de esta suma, dividida por la longitud libre de la viga, L. Este valor es independiente del sismo. Figura 4.15 Superposición de los efectos de cortante en una viga dúctil de hormigón reforzado Al cortante por carga vertical, isostático, se le debe sumar el correspondiente cortante hiper-estático, mayorado por un adecuado factor de seguridad, y con este valor se procede al diseño de los estribos. Así se pretende garantizar que la viga nunca va a fallar a cortante porque primero falla a flexión. 214 Para pórticos con ductilidad moderada, DMO, los momentos de fluencia se calculan a partir del refuerzo longitudinal que resulte en las secciones extremas, para el cual la tensión de fluencia del acero se tomará igual a su valor nominal, el factor de sub resistencia se tomará igual a la unidad, (I = 1.0). Los momentos calculados con estos parámetros se denominan momentos nominales, Mn (NSR-10, Sec. C.21.3.3.1). Para pórticos con ductilidad especial, los momentos flectores se calculan tomando la tensión de fluencia del acero igual a 1.25 veces su valor nominal, y el factor de sub-resistencia igual a la unidad, (I = 1.0). Los momentos calculados con estos parámetros se denominan momentos probables, Mpr, (NSR-10, Sec. C.21.5.4.1). Para pórticos con ductilidad mínima, los momentos flectores se calculan tomando la tensión de fluencia del acero igual a su valor nominal, y el factor de sub resistencia igual al especificado para flexión, (I = 0.9). El cálculo del cortante último de diseño, por el procedimiento anterior, puede resultar poco familiar, pero es el procedimiento racional que posibilita hacer un diseño sísmico seguro, que le permite al ingeniero calculista saber qué factor de seguridad está usando en cada caso y con ello controlar el mecanismo de falla. Este procedimiento racional es el único recomendado por la NSR-10 para pórticos con ductilidad especial DES. Para pórticos con ductilidad moderada, DMO, recomienda tomar como cortante de diseño el menor valor entre:  La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos nominales del elemento en cada extremo restringido de la luz libre y el cortante calculado para cargas mayoradas (expresión (4.7).  El cortante máximo obtenido de las combinaciones de cargas de diseño que incluyen E, considerando E como el doble del prescrito por el título A de la NSR-10. (   #          6 Para estructuras con ductilidad especial, se prescribe ignorar la contribución del hormigón a la resistencia al cortante, cuando el cortante sísmico domine sobre el cortante de la carga vertical. Lo anterior, para tomar en cuenta que la repetición de ciclos de carga alterna, producidos por el sismo, puede llegar a degradar el mecanismo con el cual el hormigón contribuye a la resistencia a cortante, después de que se han llegado a formar grietas de tensión diagonal. 215 La NSR-10, Sec. C.21.5.4.2, especifica que la contribución del hormigón a cortante debe considerarse nula cuando:  La fuerza cortante introducida por el sismo representa la mitad o más de la resistencia máxima a cortante requerida.  La fuerza axial de compresión mayorada, Pu, incluyendo los efectos sísmicos, es menor que 0.1 f ’c Ag. Es recomendable considerar nula la contribución del hormigón a la resistencia a cortante (Vc) en los extremos de las vigas donde se pretenda que la sección de la viga sea capaz de alcanzar más de una vez rotaciones inelásticas elevadas, que provocan un deterioro significativo de la contribución del hormigón a cortante. Cuando se considere la contribución del hormigón, ésta se puede calcular con la expresión dada por la NSR-10, Sec. C.11.2.1.1: (4.9) (4.10) Imagen 4.1 Falla por tensión diagonal, en una viga, debido a sobrecargas Se requiere un refuerzo transversal poco espaciado para evitar el agrietamiento por tensiones diagonales, para restringir el pandeo del re- 216 fuerzo longitudinal que trabaje a compresión y para proporcionar confinamiento al hormigón. No deben realizarse cortes ni traslapos en las zonas de formación de las articulaciones plásticas para evitar que aparezcan tensiones en el hormigón por la transmisión de tensiones de adherencia, lo que reduciría su capacidad de rotación. 4.4 Tuberías embebidas Se permite, previa aprobación del ingeniero calculista, embeber cualquier material que no sea perjudicial para el hormigón, siempre y cuando se considere que no reemplaza al hormigón y no debilita significativamente la resistencia de la estructura (NSR-10, Sec. C.6.3). Se deben cumplir los siguientes requisitos:  Los ductos y tuberías, junto con sus conexiones, embebidas en una columna, no deben ocupar más del 4% del área de la sección transversal que se empleó para calcular su resistencia, o la requerida para la protección contra el fuego. Imagen 4.2 Colocación prohibida de tuberías atravesando los elementos de resistencia sísmica, DMO y DES  No deben tener dimensiones exteriores mayores que 1/3 del espesor total de la losa, muro o viga donde están embebidos. 217  No deben estar espaciados a menos de tres veces su diámetro o ancho medido de centro a centro.  El recubrimiento del hormigón para las tuberías, conductos y sus conexiones no debe ser menor de 40 mm para hormigón en contacto con el suelo, o de 20 mm cuando el hormigón no está expuesto a la intemperie o en contacto con el suelo.  Debe colocarse refuerzo en la dirección normal a la tubería, con un área no menor de 0.002 veces el área de la sección de hormigón.  En losas macizas las tuberías deben colocarse entre las capas de refuerzo superior a menos que se requieran para irradiar calor. 4.5 Sistema de losas aligeradas o nervadas Estas losas deben cumplir los siguientes requisitos, según la NSR-10, Sec. C.8.13. Figura 4.16 Dimensiones mínimas de losas aligeradas El ancho mínimo de un nervio es de 10 cm en su parte superior y su ancho promedio no debe ser inferior a 8 cm. Su altura libre no puede ser superior a cinco veces su ancho promedio (NSR-10, Sec. C.8.13.2). Para losas nervadas en una dirección la separación máxima entre nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor de 2.5 veces la altura total de la losa, sin exceder de 1.20 m (NSR-10, Sec. C.8.13.3). Para losas nervadas en dos direcciones la separación máxima entre nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor de 3.5 veces la altura total de la losa, sin exceder de 1.50 m (NSR-10, Sec. C.8.13.3). Cuando se trate de losas en una dirección deben colocarse nervios transversales de repartición con una separación máxima de diez veces el espesor total de la losa, sin exceder de 4.00 m. Estos nervios trans- 218 versales deben diseñarse, a flexión y a cortante, de tal manera que sean capaces de transportar la carga total (muerta más viva) de cada nervio a los dos nervios adyacentes (NSR-10, Sec. C.8.13.3.1). Cuando se utilicen aligerantes de arcilla cocida u hormigón, que tengan una resistencia unitaria a la compresión por lo menos igual al ’c de las viguetas, se debe cumplir:  La porción vaciada en el sitio de la loseta superior debe tener al menos 4.5 cm de espesor, pero ésta no debe ser menor de 1/20 de la distancia libre entre los nervios. Cuando se utilicen bloques de aligeramiento permanentes de hormigón o de arcilla recocida, la parte de la loseta superior vaciada en el sitio puede tomarse de 4 cm (NSR-10, Sec. C.8.13.5.2).  La loseta superior debe tener, como mínimo, el refuerzo de retracción y temperatura especificados por la NSR-10, Sec. C.7.12. Para mallas electro-soldadas esta cuantía es de 0.0018. Cuando se utilicen aligerantes removibles que no cumplan lo anterior se debe cumplir:  El espesor de la loseta superior no debe ser menor que 1/12 de la distancia libre entre las nervaduras, ni menor de 5 cm (NSR-10, Sec. C.8.13.6.1).  La loseta superior debe tener, como mínimo, el refuerzo de retracción y temperatura especificados por la NSR-10, Sec. C.7.12 (NSR-10, Sec. C.8.13.6.2). Imagen 4.3 Recubrimiento insuficiente del refuerzo de temperatura en una losa aligerada 219 El refuerzo positivo de los nervios, para las luces más frecuentes, está constituido por una sola barra. Se recomienda llevar y anclar este refuerzo en los apoyos para prevenir que un error constructivo en el control del recubrimiento lleve a una falla por adherencia. Para las vigas paralelas a los nervios, en losas aligeradas en una dirección, además de las cargas propias de su función, debe considerarse el efecto de la carga que puedan transportar los nervios transversales. Este efecto puede tenerse en cuenta considerando una carga aferente sobre la viga, equivalente al doble de la que lleva un nervio (NSR-10, Sec. C.8.13.3.3). En losas nervadas puede considerarse que IVc es un 10% mayor que lo especificado por la NSR-10 para elementos sometidos a flexión y corte en su Sección C.11.2.1.1. Imagen 4.4 El recubrimiento insuficiente del refuerzo longitudinal se manifiesta en una fisura paralela al refuerzo y la posterior pérdida del recubrimiento Los apoyos extremos de los nervios deben modelarse como apoyos simples para evitar generar torsión en la viga de apoyo, no obstante lo anterior este apoyo debe llevar un refuerzo mínimo (I3/8”) para controlar las posibles fisuras que puedan presentarse. 220 Los extremos de los nervios que terminan en voladizos deben detallarse colocándoles, además del refuerzo negativo, una cantidad mínima de refuerzo positivo para absorber las tracciones que puedan presentarse en la fibra inferior. Imagen 4.5 Desprendimiento del refuerzo longitudinal en nervios por falta de recubrimiento y de estribos Imagen 4.6 Apoyo extremo de nervios con refuerzo negativo en exceso, lo cual ocasionó torsión en la viga indicada en la Imagen 4.4 221 Imagen 4.7 Colapso estructural por torsión en la viga de borde. Obsérvese la verticalidad de la baranda respecto a la arista de la viga Imagen 4.8 Falla en voladizos, Armenia, Colombia, 1999 222 4.6 Requisitos de diseño sismo resistente para vigas, NSR-10 Tabla 4.6 Requisitos geométricos para las vigas Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Moderada - DMO Mínima - DMI Especial - DES 1. La separación entre los 1. La fuerza axial mayorada 1. La fuerza axial mayorada en el elemento no debe apoyos laterales de una en el elemento no debe exceder de 0.10 f ’c Ag viga no debe exceder exceder de 0.10 f ’c Ag de cincuenta veces el NSR-10, Sec. C.21.5.1.1 NSR-10, Sec. C.21.3.2 menor ancho b del ala o cara de compresión NSR-10, Sec. C.10.4.1 2. La luz libre del elemento, Ln, no debe ser menor de 4h 2. La luz libre del elemento, Ln, no debe ser menor de 4h NSR-10, Sec. C.21.5.1.2 NSR-10, Sec. C.10.7.1 3. bw / d 0.30 NSR-10, Sec. C.21.5.1.3 2. bw ³ 0.20 m NSR-10, Sec. C.21.3.4.1 4. bw ³ 0.25 m NSR-10, Sec. C.21.5.1.3 5. El ancho del elemento, bw, no debe exceder el ancho del elemento de apoyo, c 2, más una distancia a cada lado del elemento de apoyo que sea igual al menor valor de: a. El ancho del elemento de apoyo, c2. b. 0.75 veces la dimensión total del elemento de apoyo c2 NSR-10, Sec. C.21.5.1.4 3. La excentricidad respecto a la columna que le da apoyo no debe ser mayor que el 25% del ancho del apoyo, medido en la dirección perpendicular a la dirección del eje longitudinal de la viga NSR-10, Sec. C.21.3.4.2 223 Tabla 4.7 Refuerzo longitudinal en vigas Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO Especial - DES 1. Las vigas deben tener 1. En cualquier sección de 1. En cualquier sección de la viga el refuerzo supeun elemento a flexión, al menos dos barras lonrior e inferior no debe excepto por lo dispuesgitudinales continuas tener una cuantía, U, into en C.10.5.3, para el colocadas a lo largo de ferior a la que se obtiene refuerzo tanto superior ambas caras superior e con la ecuación C.10-3, como inferior, el área inferior. Estas barras ni debe exceder 0.025. de refuerzo no debe ser deben desarrollarse en Debe haber al menos menor que la dada por la cara del apoyo dos barras continuas de la ecuación C.10-3 ni diámetro igual o superior menor que 1.4 bwd/fy, y NSR-10, Sec. C.21.2.2 a N.o 4 (1/2”) o 12M (12 la cuantía de refuerzo, U, no debe exceder 0.025. mm) tanto arriba como Al menos dos barras deabajo ben disponerse en forma continua tanto en la parte NSR-10, Sec. C.21.3.4.3 superior como inferior NSR-10, Sec. C.21.5.2.1 2. La resistencia a momen- 2. La resistencia a momento positivo en la cara del to positivo en la cara del nudo no debe ser menor nudo no debe ser menor que 1/2 de la resistencia que 1/3 de la resistencia a momento negativo proa momento negativo en porcionada en esa misla misma cara del nudo. ma cara. La resistencia La resistencia a momena momento negativo o to negativo o positivo, positivo, en cualquier en cualquier sección a lo sección a lo largo de la largo de la viga, no puede longitud del elemento no ser menor que 1/5 de debe ser menor que 1/4 la resistencia máxima a de la resistencia máxima a momento proporcionada momento proporcionada en la cara de cualquiera en la cara de cualquiera de los nudos de los nudos NSR-10, Sec. C.21.3.4.4 NSR-10, Sec. C.21.5.2.2 224 Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO Especial - DES 1. Las vigas deben tener 3. No se permite empalme 3. No se permite empalme por traslapo en los sipor traslapo dentro de al menos dos barras longuientes lugares: los nudos gitudinales continuas colocadas a lo largo de x Dentro de los nudos. NSR-10, Sec. C.21.3.4.5 ambas caras superior e x Dentro de una distancia inferior. Estas barras igual a 2h de la cara del deben desarrollarse en nudo. la cara del apoyo x Donde el análisis indique fluencia por fleNSR-10, Sec. C.21.2.2 xión causada por desplazamientos laterales inelásticos del pórtico NSR-10, Sec. C.21.5.2.3 4. Sólo se permiten empalmes por traslapo del refuerzo de flexión cuando se proporcionan estribos cerrados de confinamiento en la longitud de empalme por traslapo. El espaciamiento del refuerzo transversal que confina las barras traslapadas no debe exceder de d/4 o 100 mm NSR-10, Sec. C.21.5.2.3 5. Los empalmes mecánicos deben cumplir los requisitos C.21.1.6 y los empalmes soldados deben cumplir con C-211-7 NSR-10, Sec. C.21.5.2.4 225 Tabla 4.8 Refuerzo transversal en vigas Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI No hay requisitos especiales Moderada - DMO Especial - DES 1. Deben colocarse estribos 1. Deben disponerse estribos cerrados de confinacerrados de confinamienmiento en las siguientes to, en ambos extremos regiones de los elemendel elemento, al menos tos pertenecientes a pórde diámetro N.o 3 (3/8”) ticos: o 10M (10 mm) en lona. En una longitud igual a gitudes iguales a 2h, me2h, medida desde la cara didos desde la cara del del elemento de apoyo elemento de apoyo hacia hacia el centro de la luz el centro de la luz en ambos extremos del NSR-10, Sec. C.21.3.4.6 elemento en flexión. b. En longitudes iguales a 2h a ambos lados de una sección en donde puede ocurrir fluencia por flexión debido a desplazamientos laterales inelásticos del pórtico NSR-10, Sec. C.21.5.3.1 2. El primer estribo cerrado 2. El primer estribo cerrade confinamiento debe do de confinamiento estar situado a no más de debe estar situado a no 50 mm de la cara del elemás de 50 mm de la cara mento de apoyo. El espadel elemento de apociamiento de los estribos yo. El espaciamiento de cerrados de confinamienlos estribos cerrados de to no debe exceder el confinamiento no debe menor valor de: exceder de: xd/4. x d/4. x8db de la barra longitudix 6db de la barra longinal de menor diámetro. tudinal más pequeña. x24 de de la barra del esx 150 mm tribo de confinamiento. NSR-10, Sec. C.21.5.3.2 x300 mm NSR-10, Sec. C.21.3.4.6 226 Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI No hay requisitos especiales Moderada - DMO Especial - DES 3. Las barras longitudinales 3. Cuando se requieran estribos cerrados de confidel perímetro deben tenamiento, las barras lonner el soporte lateral congitudinales principales forme a C.7.10.5.3, donde para flexión más cercanas se requieran estribos cea las caras de tracción y rrados de confinamiento compresión deben tener NSR-10, Sec. C.21.3.4.7 soporte lateral conforme a C.7.10.5.3 o C.7.10.5.4. El espaciamiento entre barras longitudinales con soporte lateral no debe exceder de 350 mm NSR-10, Sec. C.21.5.3.3 4. Deben colocarse estribos 4. Cuando no se requieran estribos cerrados de con ganchos sísmicos en confinamiento deben ambos extremos, espacolocarse estribos con ciados a no más de d/2 ganchos en ambos exen toda la longitud del tremos, espaciados a no elemento más de d/2 en toda la NSR-10, Sec. C.21.3.4.8 NSR-10, Sec. C.11.4.5.1 longitud del elemento 1. El espaciamiento del refuerzo de cortante colocado perpendicularmente al eje del elemento no debe exceder de d/2 NSR-10, Sec. C.21.5.3.4 2. Donde Vs sobrepase \<~~¸ ¹c bwd (MPa) la separación de los estribos no debe exceder de d/4 NSR-10, Sec. C.11.4.5.3 5.Los estribos que se requieran para resistir cortante deben ser estribos cerrados de confinamiento colocados en los lugares dentro de los elementos descritos en C.21.5.3.1 NSR-10, Sec. C.21.5.3.5 227 Tabla 4.9 Tensiones cortantes en vigas Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI No hay requisitos especiales Moderada - DMO Especial - DES 1. El IVn de vigas que resisten 1. La fuerza cortante de diseño, Ve, se debe determinar a efectos sísmicos, E, no debe partir de las fuerzas estáticas ser menor que el menor en la parte del elemento valor de (a) y (b): comprendida entre las caras a. La suma del cortante debido a del nudo. Se debe suponer flexión, en curvatura inversa, que en las caras de los nudos asociado con el desarrollo de actúan momentos de signo los momentos nominales de opuesto correspondientes a la viga, Mn, en cada extremo la resistencia probable, Mpr, y restringido de la luz libre y que el elemento está además el cortante calculado para cargado con cargas aferentes cargas gravitacionales magravitacionales mayoradas a yoradas. lo largo de la luz b. El cortante máximo obtenido de las combinaciones de carNSR-10, Sec. C.21.5.4.1 gas de diseño que incluyan, E, considerando E como el doble del prescrito por el título A de la NSR. NSR-10, Sec. C.21.3.3.1 2. El refuerzo transversal identificado en C.21.5.3.1 debe diseñarse para resistir cortante suponiendo V c = 0 cuando se produzcan simultáneamente (a) y (b): a. 228 La fuerza cortante inducida por el sismo calculada de acuerdo con C.21.5.4.1 representa la mitad o más de la resistencia máxima a cortante requerida en esas zonas. Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO No hay requisitos especiales Especial - DES b. La fuerza axial de compresión mayorada, incluyendo los efectos sísmicos, es menor que: 0.05 f ’c Ag NSR-10, Sec. C.21.5.4.2 Donde el refuerzo longitudinal de una viga atraviesa un nudo viga-columna, la dimensión de la columna paralela al refuerzo de la viga no debe ser menor que veinte veces el diámetro de la barra longitudinal de viga de mayor diámetro, para hormigón de peso normal C.21.7.2.3 4.7 Ejemplo de diseño Segunda parte: diseño de vigas En esta segunda parte se evalúan con detalle las cargas gravitacionales, muertas y vivas, y se analiza el pórtico 1, para cinco combinaciones de cargas. Igualmente, se realizan ejemplos de diseño de escaleras, nervios, N2, y vigas, V4. 229 Planta tercera y cuarta losa 230 Planta segunda losa 231 Planta primera losa 232  Diseño de la escalera En este tipo de escalera se analiza su proyección horizontal, como si se tratase de una viga simplemente apoyada. Materiales: Acero: fy =4,200 kgf /cm2 Hormigón: f ’c=210 kgf /cm2 Cargas: Acabados: 160 kgf /m2 Carga viva: 300 kgf /m2 Dimensionamiento: NSR-10, Tabla C.9-1.a h L / 20=255 / 20=12.8 cm Se asume h = 15 cm NSR-10, Sec. C.7.7.1.c Recubrimiento: r = 2 cm, d = h - r - db/2, Se asume d = 12 cm Peso total de la escalera por metro de profundidad: Carga muerta (P ): cm Peso de la losa horizontal: 0.95 * 0.15 * 2,400 = 342.0 kgf Peso de la losa inclinada: 1.80 * 0.15 * 2,400 = 648.0 Peso de los peldaños: 5 * (0.187 * 0.30/2) * 2,300 = 322.6 Peso de los acabados: 160 * (0.95 + 1.70) = 424.0 ======= P = 1,36.6 kgf cm Carga viva (Pcv): Pcv = 2.55 *300 = 765 kgf Carga última (Pu): Pu = 1.2 * P + 1.6 * Pcv = 3,307.9 kgf cm Wu = Pu / L = 3,307.9 / 2.55 = 1,297 kgf/m Armadura por retracción de fraguado y cambios de temperatura: NSR-10, Sec. C.7.12.2.1: As temp=0.0018 * b * h= 0.0018 * 100 * 15= 2.70 cm2 Refuerzo I3/8” (0.71 cm2): se requieren: (2.70 / 0.71) 3.8 barras cada (100 / 3.8) 26.3 cm Solución: colocar 1I3/8” cada 25 cm NSR-10, Sec. C.7.12.2.2: smáx.  5h = 5 * 15 = 75 cm 9 smáx.  45 cm 9 233 Diseño a flexión: Mu = Wu * L2 / 8 = 1.2975 * 2.552 / 8 = 1.06 t-m = 106 t-cm K = Mu / bd2 = 0.00734 t / cm2 U mín = 0.80 / f 'c fy ŸU = 0.001955 14 / fy = 0.003333 As = U * bd = 0.00333 * 100 * 12 = 4.00 cm2 La armadura requerida por la flexión (4.00 cm2) no debe ser inferior a la requerida para controlar los cambios de temperatura (2.70 cm2). Se requiere colocar (4.00/1.29) 3.1 barras de I1/2” cada (100/3.1) 32 cm. Solución: colocar: 1I1/2” c/30 cm. NSR-10, Sec. C.7.6.5: smáx  3h = 3 * 15 = 45 cm 9 smáx  50 cm 9 Diseño a cortante: IVc=0.53*I fc' * bd=0.53*0.75 *  210 *100* 12=6,912.4 kgf Cortante crítico a la distancia “d” del borde del apoyo: Vu critica=1,297 *(2.55/2 – 0.15/2 – 0.12)=1,400.8 kgf, IVc>Vu 9 IVc > Vu 234 Ÿ no requiere estribos    !        Las cargas sobre los nervios fueron evaluadas en la Sección 3.10, Primera Parte, evaluación de cargas, y se obtuvo una carga de diseño de 1.17 t/m. Todos los nervios se diseñan para la carga anterior excepto el nervio N4 que se diseña para la carga de la escalera (1.65 t/m) y la mitad del valor de la carga de los nervios (0.59 t/m) debido al vacío de las escalas. N1: N2: N3: N4: N7: La evaluación de las cargas sobre las vigas de la losa 1, se obtienen sumando las reacciones de los nervios y dividiendo por la luz de la viga, entre ejes: V7 (C-B) = (2.08 + 2*2.05 + 2.29 + 2*1.82) / 7.20 = 1.76 t/m N1 + 2N2 + N7 + 2N3 V7 (B-A) = (2*2.08 + 2.05) / 4.45 = 1.40 t/m 2N1 + N2 V6 (C-B) = (6.00 + 2*6.13 + 4.97 + 2*7.29) / 7.20 = 5.25 t/m N1 + 2N2 + N7 + 2N3 V6 (B-A) = (2*6.00 + 6.13) / 4.45 = 4.07 t/m 2N1 + N2 V5 (C-B) = (7.82 + 2*7.36 + 12.27 + 2*2.48) / 7.20 = 5.52 t/m N1 + 2N2 + N7 + 2N3 V5 (B-A) = (2*7.82 + 7.36) / 4.45 = 5.17 t/m 2N1 + N2 235 V4 (C-B) = (2.89 + 2*5.25 + 9.74 + 2*4.92) / 7.20 = 4.58 t/m N1 + 2N2 + N7 + 2N6 V4 (B-A) = (2*2.89 + 5.25) / 4.45 = 2.48 t/m 2N1 + N2 La evaluación de las cargas sobre las vigas de la losa 2 y 3 se obtiene siguiendo el mismo procedimiento, se analizan los nervios N8 a N14 y luego se evalúan las cargas de diseño sobre las vigas. N8: N9: N10: N11: N12: N14: Cargas sobre las vigas: 236 V9 (C-B) = (5.49 + 5.57 + 6.68 + 7.31 + 6.28 + 5.99) / 7.20 = 5.18 t/m N8+N9+N10+ N11+N13+N14 V9 (B-A) = (5.49 + 5.57 + 6.62) / 4.45 = 3.97 t/m N8 + N9 + N12 V8 (C-B) = (7.73 + 7.31 + 6.84 + 2.31 + 2.64 + 11.47) / 7.20 = 5.32 t/m N8+N9+N10+N11+N13+N14 V8 (B-A) = (7.73 + 7.31 + 7.15) / 4.45 = 4.99 t/m N8 + N9 + N12 V10 (C-B) = (2.90 + 5.26 + 5.33 + 9.86 + 2*4.92) / 7.20 = 4.61 t/m N8+N9+N10+N14+ 2N6 V10 (B-A) = (2.90 + 5.26 + 4.14) / 4.45 = 2.76 t/m N8 + N9 + N12 Evaluación de las cargas sobre las vigas de la losa 4:la losa 4 es una losa de cubierta, no lleva muros divisorios, por ello debe modificarse el valor de la carga muerta. Este análisis se hizo en la Sección 3.10 y se obtuvo: CM = 434 kgf/m, CV = 180 kgf/m, Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 808.8 kgf/m | 0.81 t/m Por ser el análisis lineal y tener la misma geometría (las losas 3 y 4) los resultados de la losa de cubierta, losa 4, pueden deducirse de los obtenidos de la losa 3, multiplicando estos resultados por la relación que existe entre las cargas: 0.81/1.17 = 0.69. Cargas sobre las vigas: V9 (C-B) = 5.18 * 0.69 = 3.93 t/m N8+N9+N10+ N11+N13+N14 V9 (B-A) = 3.97 * 0.69 = 3.01 t/m N8 + N9 + N12 V8 (C-B) = 5.32 * 0.69 = 3.67 t/m N8+N9+N10+N11+N13+N14 V8 (B-A) = 4.99 * 0.69 = 3.44 t/m N8 + N9 + N12 V10 (C-B) = 4.61 * 0.69 = 3.18 t/m N8+N9+N10+N14+ N6 V10 (B-A) = 2.76 * 0.69 = 1.90 t/m N8 + N9 + N12 Cargas gravitacionales últimas (mayoradas) sobre los pórticos en t/m (1.2*CM + 1.6*CV, no incluyen el peso de las vigas): Se aconseja diseñar las vigas en los ejes A, B, C y las losas 1, 2 y 3, para una carga igual al doble de la de los nervios, es decir, de 2.64 t/m, y en la cubierta, losa 4, el 68% de este valor, o sea de 1.80 t/m. Esta sugerencia se debe a la posible transmisión de cargas de los nervios NT. 237     Œ!"     ¬? f ’c=210 kgf/cm2, fy=4,200 kgf/cm2, b=15 cm, h=40 cm, d=37 cm, d’=3 cm * Diagramas de fuerza cortante y de momento flector; entre paréntesis se indica el área de acero de refuerzo requerido a flexión en cm2 En la siguiente figura se muestra la selección del refuerzo y los requisitos de anclaje para el refuerzo negativo: Las barras superiores deben considerarse como barras altas por tener más de 30 cm de hormigón por debajo, el recubrimiento para el refuerzo de las losas es de 2 cm. Como ejemplo de corte de barras se suprimirá una barra del refuerzo negativo en el apoyo 2 (1I5/8”) y una de refuerzo positivo (1I1/2”) 238 en la primera luz. Los momentos que resiste un nervio, reforzado con cada una de estas barras, son: 1I5/8” (As = 2 cm2), M = 2.68 t-m y para 1I1/2” ( As = 1.29 cm2) M = 1.75 t-m. De la Tabla 4.4 se obtiene que la longitud de desarrollo para 1I1/2” ld = 56 cm, y para una barra alta de 1I5/8” ld = 91 cm. Corte del refuerzo en el apoyo 2: la longitud de la barra corta será el mayor de los siguientes valores: L 2 * 91 = 182 cm L (38 + 37)+(32+37)=144 cm Longitud de la barra = 182 cm La longitud de la barra larga será el mayor de los siguientes valores: L (38 + 91) + (32 + 91) = 252 cm L (155 + 37) + (119 + 37) = 348 cm Longitud de la barra = 348 cm Corte del refuerzo en la luz 1: la longitud de la barra a cortar será el mayor de los siguientes valores: L 2 * 56=112 cm L (135+37)+(135+37)=334 cm Longitud de la barra = 334 cm La barra que no se corta debe llevarse hasta los apoyos y penetrar en estos un mínimo de 15 cm. Análisis del cortante: IVcŠ\<_~¸ ¹c ¯ Š\<_~¯\<œ_¯¸?'\¯'_¯~œŠ~<_? En losas nervadas puede considerarse que IVc es un 10% mayor que lo especificado: IVc = .1*3.52 = 3.87 t. Solamente a la izquierada del apoyo 2 se requieren estribos. Vud = 3.96 – 1.17 * (0.37 + 0.15) = 3.35 t Vud < IVc Ÿ no se requieren estribos 239        "     Œ!      º   ' pórtico 1, primer entrepiso Para poder emplear las combinaciones de cargas especificadas en la NSR-10 en su Sección B, se necesita reorganizar las cargas de diseño deducidas en el literal “b” con el fin de adicionar, a las cargas muertas, el peso propio de las vigas. Pisos 1, 2, 3CM=734 kgf / m, CV=180 kgf / m, Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 1,168.8 kgf / m % de la CM de servicio = 734 / 1,168.8 » 0.63, % de la CV = 180 / 168.8 = 0.15 Piso 4CM = 434 kgf / m, CV = 180 kgf / m, % de la CM de servicio = 434 / 808.8 | 0.54 Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 808.8 kgf / m % de la CV = 180 / 808.8 = 0.22 Peso de la viga: CM = 0.30 * 0.40 * 2.4 | 0.29 t/m (carga de servicio) Cargas verticales: el cálculo de las cargas de servicio se hace a partir de los valores deducidos en el literal “b” de esta segunda parte del ejemplo. Carga muerta: Piso 1 (C-B) = 4.58*0.63 + 0.29 = 3.18 t/m (B-A) = 2.48*0.63 + 0.29 = 1.85 t/m Piso 2,3 (C-B) = 4.61*0.63 + 0.29 = 3.19 t/m (B-A) = 2.76*0.63 + 0.29 = 2.03 t/m Terraza (C-B) = 3.18*0.54 + 0.29 = 2.01 t/m (B-A) = 1.90*0.54 + 0.29 = 1.32 t/m Carga viva: Piso 1 (C-B) = 4.58*0.15 = 0.69 t/m (B-A) = 2.48*0.15 = 0.37 t/m Pisos 2,3 (C-B) = 4.61*0.15 = 0.69 t/m (B-A) = 2.76*0.15 = 0.41 t/m Terraza (C-B) = 3.18*0.22 = 0.70 t/m (B-A) = 1.90*0.22 = 0.42 t/m Cargas horizontales: las cargas sísmicas ya fueron analizadas en el Capítulo 3. Los valores obtenidos deben dividirse por el coeficiente de capacidad de disipación de energía, R: 240 Ro: factor de ductilidad básico, para pórticos dúctiles de hormigón con DMO, su valor máximo es de 5.0.  Ip: factor de irregularidad en planta = 1.0, por ser la estructura regular en planta. Ia: factor de irregularidad en altura = 0.9, presenta irregularidad del tipo 3A. Ir: factor de redundancia = 1.0, por tener el sistema al menos tres ejes de columnas en cada dirección. R = Ro * Ip * Ia * Ir = 5 * 1.0 * 0.9 * 1.0 = 4.5 Los valores de las cargas sísmicas de diseño, ya divididas por el factor de ductilidad, R, se indican en la siguiente figura. Por efectos puramente académicos se seleccionan arbitrariamente cinco (5) combinaciones de cargas. Para el análisis y diseño se utilizarán las siguientes cinco combinaciones de cargas NSR-10, Sec. C.9.2.1: 1.2*CM + 1.6*CV 1.2*CM * 1.0*CV + SX1 + 0.3 SY1 1.2*CM * 1.0*CV – SY1 + 0.3 SX1 0.90*CM – SX2 0.90*CM + SY2 241 Para el análisis del pórtico 1 hay necesidad de recurrir a un programa de análisis lineal de pórticos planos. Dimensiones: vigas de b = 30, h = 40 cm y columnas de b = 50, h = 30 cm 242 Diagramas de momentos para las cinco combinaciones de cargas; viga 4, pórtico 1 Envolvente de momentos para demanda moderada de ductilidad: Tramo C-B Mc+ Mc– / 3 = 22.31 / 3 = 7.44 t-m Mb+ Mb– / 3 = 19.56 / 3 = 6.52 t-m Máximo momento negativo = 22.31 t-m En todas las abscisas de la viga M+ y M– 22.31 / 5 = 4.46 t-m Tramo B-A M b+ Mb– / 3 = 16.06 / 3 = 5.35 t-m Ma+ Ma– / 3 = 10.91 / 3 = 3.64 t-m Máximo momento negativo = 16.18 t-m En todas las abscisas de la viga M+ y M- 16.06 / 5 = 3.21 t-m La siguiente figura nos muestra el envolvente de momentos para las cinco combinaciones de cargas; viga 4, pórtico 1: 243 La siguiente tabla especifica el diseño a flexión de la viga V4, pórtico 1, entrepiso 1: VIGA V4 (C-B) Piso 1 L = 7.20 m Lu = 6.90 m Xm Mu (-) t-m Mu (+) t-m As (-) cm2 As (+) cm2 0.15 Sección: b = 30 cm, h = 40 cm d = 34 cm, d’= 6 cm 0.84 1.53 2.22 2.91 3.60 4.29 4.98 5.67 6.36 22.31 11.57 4.48 4.46 4.46 4.46 4.46 4.46 4.46 9.33 19.58 7.44 4.46 4.97 7.57 10.49 11.36 9.94 21.30 10.20 3.62 3.62 6.24 3.62 4.06 6.36 7.81 4.46 4.46 3.62 3.62 3.62 9.12 9.99 8.58 6.58 VIGA V4 (B-A) Piso 1 L = 4.45 m Lu = 4.15 m 7.05 6.53 3.62 3.62 8.00 18.72 3.62 3.62 5.42 Sección: b = 30 cm, h = 40 cm d = 34 cm, d’= 6 cm Xm 0.15 0.57 0.98 1.40 1.81 2.23 2.64 3.06 3.47 3.89 Mu (-) t-m 16.06 11.65 7.68 4.17 3.21 3.21 3.21 3.32 5.56 8.09 10.91 Mu (+) t-m 5.35 4.10 3.58 3.21 3.21 3.21 3.71 5.44 6.73 7.57 7.97 As (-) cm2 15.14 10.26 6.46 3.40 3.40 3.40 3.40 3.40 4.57 6.83 9.54 As (+) cm2 4.38 3.40 3.40 3.40 3.40 3.40 3.40 4.46 6.72 5.60 6.36 4.30 Criterio para el despiece del refuerzo negativo en los apoyos: el refuerzo negativo se coloca en la parte superior de la viga y debe considerarse como alto cuando tenga más de 30 cm de hormigón por debajo. Una barra de refuerzo negativa debe considerarse como alta cuando: hviga > r + de + db + 30 cm r = recubrimiento, para estribo de vigas y columnas, para interiores r = 4 cm. de = diámetro del estribo, usualmente de I3/8” (0.95 cm). db = diámetro de la barra, valor máximo de I1” (2.54 cm). hviga = 4 + 0.95 + 2.54 + 30 = 37.5 cm 244 Las barras del refuerzo negativo, en vigas que tengan altura superior a 37.5 cm, deben considerarse como barras altas para el cálculo de las longitudes de desarrollo y de traslapo. -#2" El punto crítico para el despiece de esta viga es el apoyo C, por ser aquel que requiere mayor cantidad de refuerzo (As = 21.30 cm2); al seleccionar el refuerzo debe verificarse que éste pueda desarrollarse adecuadamente en la columna de apoyo y que quepa dentro de la misma. De acuerdo con la Tabla 4.2 se observa que el mayor diámetro que se puede desarrollar en una columna de 30 cm es el de I3/4”, pero si se colocan barras de I3/4” en el apoyo C se requieren 7 barras, cantidad que no se puede colocar en una viga con un ancho de 30 cm, por ello, deben modificarse las dimensiones de la columna con la finalidad de seleccionar una barra de mayor diámetro y reducir el número de barras de refuerzo que se colocarán. Se opta por colocar como refuerzo negativo del apoyo C: 4I7/8” + 2I3/4” (21.16 cm2), que obliga a aumentar la altura de la columna C1 a 35 cm y la base de la viga V4 a 40 cm, dimensiones con las que sí se pueden satisfacer las condiciones de anclaje y de separación entre las barras. -#2C Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, en los apoyos centrales, la NSR-10 no exige revisar el ancho de la columna para controlar las tensiones de adherencia, ocasionadas por la inversión de momentos. Se debe revisar la separación entre las barras, 3I1”+ 2I3/4” para que puedan colocarse adecuadamente en una viga de 40 cm de ancho, empleando estribos de I3/8”. -#2La altura de la columna del apoyo A, 30 cm, es suficiente para desarrollar y colocar las 4I3/4” que se requieren. En la siguiente figura se muestran las secciones críticas y la selección del acero de refuerzo V4 (área en cm2): 245 Despiece del refuerzo negativo en los apoyos: -#2" Se calcula la longitud teórica del refuerzo de I7/8”, igual a la longitud de la barra dentro de la columna, más la longitud de desarrollo a partir de la cara del nudo, y se verifica si allí se puede suspender el refuerzo o si requiere de una longitud adicional (Tabla 4.2). Para una barra de 7/8” y estribos de 3/8”: r= 4 cm, db = 2.22 cm, de = 0.95 cm Lg = 39 cm (Tabla 4.1) Ldh = 27 cm (Tabla 4.2) Ld = 158 cm (Tabla 4.4) Lbarra embebida en el nudo =Lg + hc –(r+de+4db) Lbarra embebida en el nudo =39 + 35 –(4+0.95+4*2.22) Lbarra embebida en el nudo =60 cm Barra I7/8”: Longitud mínima = Lbarra embebida en el nudo + Ld Longitud mínima = 60 + 158 = 218 cm (abscisa 1.58 + 0.15 =1.73 m). En la tabla de diseño se observa que en la abscisa 1.73 m se requieren 3.62 cm2; este refuerzo se proporciona con 2I3/4”, por lo que las barras de I7/8” pueden suspenderse. -#2C Las barras de I1” deben tener una longitud mínima de 2Ld + el ancho de columna. L = 2*181 (Tabla 4.4) + 30 cm (ancho de la columna) = 392 cm. Se verifica si allí se puede suspender el refuerzo o si requiere de una longitud adicional. 246 -#2Las barras seleccionadas de 4I3/4” pueden desarrollarse en la columna de 30 cm, se decide suspender dos de las cuatro barras de ¾”. Barras 2I3/4”: Lg = 33 cm (Tabla 4.1) Ldh = 23 cm (Tabla 4.2) Ld = 109 cm (Tabla 4.4) Lbarra embebida en el nudo = Lg + hc –(r+de+4db) Lbarra embebida en el nudo = 33 + 30 –(4+0.95+4*1.91) Lbarra embebida en el nudo = 50 cm Para el refuerzo negativo del apoyo se observa que 2I3/4” son suficientes hasta la abscisa 3.47 m (ver la tabla de la página de este mismo capítulo). A partir de allí deben colocarse las dos barras adicionales de I3/4”, con una longitud mínima de: L = (4.30 – 3.47) + 0.50 = 1.33 m. Debe verificarse que a partir del borde de la columna la barra tenga una longitud superior o igual a la longitud de desarrollo: (4.30 – 3.47) = 0.83 m < Ld = 1.09 m; debe proporcionarse la longitud de desarrollo: L = 109 + 50 = 159 cm. Despiece de refuerzo positivo en las luces: Luz 1 Se llevan de apoyo a apoyo 2I7/8” (As = 7.74 cm2); la otra barra de 1I3/4” se requiere cuando el área de refuerzo solicitado sea mayor al proporcionado por las 2I7/8” (7.74 cm2), esto ocurre entre las abscisas 2.22 y 4.98 m (ver la tabla de la página 244 de este mismo capítulo). La longitud mínima de las barras de I3/4” es de 4.98 – 2.22 = 2.76 m. Debe verificarse que a ambos lados de la sección de momento positivo máximo, la longitud de estas barras sea Ld = 0.84 m (Tabla 4.4, barras bajas). El momento máximo ocurre en la abscisa 3.60 m (ver la tabla de la página 244 de este mismo capítulo), luego la barras de I3/4” deben cubrir las abscisas 3.60 – 0.84 = 2.76 m y 3.60 + 0.84 = 4.44 m, límites que efectivamente cumplen las abscisas 2.22 y 4.98 m. 247 Para estructuras con demanda moderada de ductilidad la NSR-10 sólo restringe los traslapos en la zona de los nudos, sin embargo, es recomendable hacerlos en la zona no confinada para no inducir tensiones adicionales en las zonas en las cuales se esperan altas tensiones debido a su plastificación. La siguiente figura nos muestra el despiece teórico de la viga V4 (40x40), pórtico 1, piso 1: Realizado el despiece debe verificarse si se cumplen los requisitos de resistencia exigidos para pórticos dúctiles con demanda moderada de ductilidad, para ello deben determinarse los momentos resistentes en las diferentes secciones de acuerdo con el acero realmente colocado. Apoyo C Apoyo B Apoyo A La siguiente tabla muestra los momentos resistentes en t-m: Sección C L1 B L2 A Asuperior (cm ) 21.16 5.68 19.30 5.68 11.36 Asinferior (cm2) 7.74 11.74 11.74 4 M - (t-m) 23.14 7.11 21.45 7.06 13.18 M+ (t-m) 9.32 13.58 13.58 5.25 8.35 2 248 6.84 Envolvente de momentos para demanda moderada de ductilidad: Mc+ = 9.32 t-m Tramo C-B Mb+ = 13.58 t-m Mc– / 3 = 23.14 / 3 = 7.71 t-m 9 Mb– / 3 = 23.14 / 3 = 7.71 t-m 9 Máximo momento negativo = 23.14 t-m En todas las abscisas de la viga M+ y M– Tramo B-A 23.14/ 5 = 4.63 t-m 9 Mb+ = 13.58 t-m Mb– / 3 = 21.45 / 3 = 7.15 t-m 9 Ma+ = 8.35 t-m Ma– / 3 = 13.18 / 3 = 4.39 t-m 9 Máximo momento negativo = 21.45 t-m En todas las abscisas de la viga M+ y M– 23.14 / 5 = 4.63 t-m 9 Se cumplen los requisitos de resistencia a flexión exigidos para pórticos dúctiles con demanda moderada de ductilidad, se procede ahora al diseño a cortante.       ¢ La NSR-10, Sec. C.21.3.3.1, especifica que el cortante sísmico para vigas y columnas de estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, que resisten efectos sísmicos, E, no debe ser menor que el menor valor calculado en (a) y (b): a. La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos nominales del elemento en cada extremo restringido de la luz libre y el cortante calculado para cargas gravitacionales mayoradas. Al cortante por carga vertical debe adicionársele el cortante que se presenta cuando se forma el mecanismo de colapso, es decir, cuando los extremos se plastifican, se debe calcular para el momento actuando tanto en el sentido de las manecillas del reloj como en el sentido contrario a las manecillas del reloj. La siguiente tabla muestra los momentos nominales y probables en los apoyos de la viga 4 (t-m), pórtico 1, piso 1: Sección Momento resistente Momento nominal Momento probable M M M M M– M+ Apoyo C 23.14 9.32 25.71 10.36 31.10 12.65 Apoyo B 21.45 13.58 23.83 15.09 29.15 19.54 Apoyo A 13.18 8.35 14.64 9.28 17.95 11.32 – + – + 249 b. El cortante máximo obtenido de las combinaciones de carga de diseño que incluyan E, considerando E como el doble del prescrito por el título A de la NSR-10. Para el presente ejemplo se analizó el pórtico con el programa RCBE Building para las siguientes combinaciones de carga: 1.2*CM + 1.6*CV 1.2*CM * 1.0*CV + 2SX1 + 0.6 SY1 1.2*CM * 1.0*CV – 2SY1 + 0.6 SX1 0.90*CM – 2SX2 0.90*CM + 2SY2 El resultado del análisis es el siguiente: El procedimiento que se sigue en el punto (a) es un procedimiento racional, que garantiza que la viga nunca fallará a cortante, pues primero 250 lo hará a flexión, es el procedimiento aceptado para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES. El procedimiento del punto (b) es un procedimiento que no permite determinar el valor del factor de seguridad con el cual se está diseñando, este procedimiento no se acepta para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, y según el criterio del autor no debería aceptarse para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO. Para el diseño, según la NSR-10, puede tomarse el menor valor obtenido en los pasos (a) y (b), para este caso los menores valores del cortante se obtienen en el punto (a) y son los adoptados para el diseño.     Q‹À Diseño en el borde de la columna (zona confinada), Vu = 22.88 t: IVcŠ\<_~¸ ¹c Š\<_~¯\<œ_¯¸?'\¯\¯~ŠœÂ~¤ I Vs = Vu – I Vc = 22,880.00 – 7,834 = 15,046 kgf Para estribos de I3/8” de 2 ramas con fy = 4,200 kgf/cm2 se tiene: s = I Av fy d / I Vs = 0.75 * (2 * 0.71) * 4200 * 34 / 15,046 = 10.11 cm La separación máxima permitida para efectos de confinamiento es: d/4 = 8.5 cm < 10.11 cm. Diseño a la distancia 2h de la cara de la columna, (80 cm), (zona no confinada): Vud = Vu – Wu * 2h = 22,880 – 4.920 * 0.80 = 18.944 kgf I Vs = Vu – I Vc = 18.944 – 7.834 = 11.110 kgf s = I Av fy d / I Vs = 0.75 * (2 * 0.71) * 4200 * 34 / 11,110 = 13.70 cm La separación máxima permitida para efectos de confinamiento es: d/2 = 17 cm. Solución: para el tramo C-B, en las zonas confinadas: colocar 11 (80 / 8.5 + 1) estribos I3/8” cada 8.5 cm y en la zona no confinada 40 £[’<´\?¯\<Â\`™<'~®  I3/8” cada 13 cm.     À‹” Diseño en el borde de la columna (zona confinada), Vu = 13.81 t: en esta zona dominan los requisitos de confinamiento según el diseño del apoyo C. 251 La separación máxima permitida en la zona de confinamiento: d/4 = 8.5 cm. Diseño a la distancia 2h de la cara de la columna, (80 cm), (zona no confinada): Vu = Vud – Wu * 2h = 13,810 – 2,810 * 0.80 = 11,562 kgf I Vs = Vu – IVc = 11,562 – 7,834 = 3,728 kgf s = f Av fy d / IVs = 0.75 * (2 * 0.71) * 4200 * 34 / 13,728 = 40.80 cm La separación máxima permitida en la zona no confinada: d/2 = 17 cm. Solución: para el tramo B-A colocar en la zona confinada 10 (80 / 8.5 + 1) estribos I~™Â– Â<_"  ƒ  '_£[<'_ 2*0.80) /.17] estribos I3/8” cada 17 cm. En la figura vemos la V4 (40x40), pórtico 1, piso 1:     Œ!"     º?[~\Œ\`! À   trepiso La viga 2 ubicada en el pórtico B, primer piso, debe analizarse y diseñarse para facilitar el desarrollo del presente ejemplo en los capítulos posteriores. 252 Cargas verticales: como este pórtico lleva la misma orientación de los nervios, sobre las vigas debe considerarse una carga vertical igual al doble de la de los nervios. Esta consideración se hace para prever la posible carga que los nervios NT le transfieren. Pisos 2,3,4 luces 2-3 y 3-4 CM=2*0.734+0.29=1.76 t/m, Peso de la viga=0.29 t/m CV = 2*0.18 = 0.36 t/m Piso 5 luces 2-3 y 3-4 CM=2*0.434+0.29 1.16 t/m, Peso de la viga=0.29 t/m CV = 2*0.18 = 0.36 t/m Para la luz 1, por simplicidad, las reacciones de los nervios 3 y 4 se convierten en carga uniforme sobre la viga. Conforme a lo expuesto en la Sección 3.10 para la cubierta se lleva solo el 68% de este valor y los resultados se descomponen en cargas vivas y muertas de acuerdo con los porcentajes allí deducidos. Como se consideran las reacciones de los nervios N13 y 2N4, sólo se adiciona una carga vertical igual a una de la de los nervios. Wu (1-2) = (2*3.36 + 2.64) / 6.15 = 1.52 t/m Pisos 2,3,4 Luz 1 CM = 0.734 + 0.29 + 1.52*0.63 = 1.98 t/m CV = 0.18 + 1.52*0.15 Piso 5 Luz 1 = 0.41 t/m CM = 0.434 + 0.29 + (0.69*1.52) * 0.54 = 1.29 t/m CV = 0.18 + (0.69*1.52) * 0.22 = 0.41 t/m 253 Cargas horizontales: sus valores fueron deducidos en el Capítulo 3. Dividiendo estos valores por el factor de ductilidad, R = 4.50, se obtienen los siguientes valores de diseño: Para el análisis y diseño se utilizarán las siguientes cinco combinaciones de cargas: 1.2 CM + 1.6 CV 1.2 CM * 1.0 CV + SX1 + 0.3 SY1 1.2 CM * 1.0 CV – SY1 + 0.3 SX1 0.90*CM – SX2 0.90*CM + SY2 Los resultados obtenidos del diseño se resumen en el siguiente esquema de despiece: 254 La figura muestra la V2 (30x40), pórtico B, piso 1: 4.8 comentarios sobre la NSR-10 4.8.1 Secciones críticas para el diseño del refuerzo negativo La NSR-10 no formula ninguna especificación sobre la localización de las secciones críticas, se asume que deben tomarse en la cara de la columna; sin embargo, para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, el recubrimiento del refuerzo pierde rápidamente su eficiencia y en este caso la sección crítica debe tomarse en el borde del núcleo confinado. 4.8.2 Longitud de desarrollo para barras terminadas con gancho estándar, estructuras con demanda especial de ductilidad Según la NSR-10, Sec. C.21.5.4.a:“La longitud de desarrollo Ldh, para una barra con gancho estándar de 90° no debe ser menor de 8 db, 150 mm o la longitud dada por la siguiente expresión para barras No. 3 a No.11”: La NSR-98 adopty esta expresión del ACI, pero le falty aclarar que ya incluye los factores de 0.7 (recubrimiento) y 0.8 (confinamiento con estribos). De no ser así esta expresión proporcionaría longitudes de desarrollo menores que las obtenidas para demanda moderada de ductilidad, conclusión ilógica ya que esta expresión debe considerar los efectos de inversión de carga. La NSR-10, Sec. C.21.7.5.1, adopta esta misma expresión pero en sus comentarios aclara que los coeficientes de 0.7 (por recubrimiento 255 de hormigón) y 0.8 (por estribos) se han incorporado en la constante empleada en esta ecuación. 4.8.3 Espesores mínimos de vigas y columnas en uniones interiores, estructuras con demanda moderada de ductilidad La NSR-98, Sec. C.21.5.1.d, y la NSR-10, Sec. C.21.7.2.3, establecen que en pórticos con demanda especial de ductilidad, una relación mínima de 20 debe cumplirse entre el ancho de la columna y el diámetro de la mayor barra longitudinal de la viga que lo atraviese (no hay ningún requerimiento para regular la altura mínima de las vigas). hc = 20 * dbv En un nudo interior, para estructuras con demanda especial de ductilidad, una barra de refuerzo colocada en la parte superior de la viga pasa de trabajar a tracción en una cara de la columna, a compresión en la otra cara, por lo que se necesita un espesor mínimo de la columna para que dentro del nudo la barra pueda invertir sus tensiones. Si la inversión de momento se acepta que se presenta en las vigas, esta también se presentará en las columnas que lleguen al nudo, de allí que este requisito debe aplicarse a los espesores mínimos de las vigas. hv = 20 * dbc La NSR-10 no tiene ninguna especificación similar para estructuras con demanda moderada de ductilidad, por lo cual puede asumirse que se piensa que el efecto de la inversión de momentos en el nudo no es importante en este tipo de estructuras. El autor ha sido director de varios proyectos de grado y en los diseños que ha realizado en la ciudad de Medellín (para el espectro de diseño de esta ciudad y para estructuras aporticadas de hormigón con demanda moderada de ductilidad), ha podido comprobar que este efecto es más frecuente de lo que puede pensarse, pues en todos estos proyectos se ha comprobado el caso de inversión de momentos. Para el ejemplo que se ha desarrollado y para las veinticinco combinaciones de carga mencionadas en la Sección 3.10, en la primera parte del ejemplo, se han encontrado los siguientes casos de inversión de momentos: En el pórtico 1 se presentan 6 casos En el pórtico 2 se presentan 6 casos En el pórtico 3 se presentan 2 casos 256 En el pórtico A se presentan 14 casos En el pórtico B se presentan 12 casos En el pórtico C se presentan 14 casos Los pórticos A, B y C presentan un mayor número de casos de inversión de momentos, las plantas estructurales obligaron a un armado de las losas en una dirección y dado que no reciben cargas de gravedad, en ellos predomina el efecto de la carga sísmica. Este hecho no puede pasar inadvertido, pues es necesario regular los espesores de vigas y columnas en estructuras de hormigón con demanda moderada de ductilidad, para garantizar que el refuerzo que pasa a través de un nudo pueda invertir el sentido de sus tensiones dentro del mismo sin que se presente falla por adherencia. 4.8.4 Método para evaluar el cortante de diseño en vigas de estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO El cálculo del cortante último de diseño, basado en los momentos nominales y probables del acero realmente colocado, puede resultar poco familiar, pero es el procedimiento racional que permite hacer un diseño sísmico seguro, que le ayuda al ingeniero calculista a saber qué factor de seguridad está usando en cada caso y con ello controlar el mecanismo de falla. Este procedimiento racional es el único recomendado por la NSR-10 para pórticos con ductilidad especial. Para pórticos con ductilidad moderada, la NSR-10 recomienda que el cortante de diseño no sea menor que el menor valor obtenido entre el procedimiento anterior y el obtenido de la combinación de cargas de diseño, con E como el doble del valor calculado. Con esto se busca tener un factor de seguridad sustancialmente mayor contra falla por cortante que contra falla de flexión, de manera que la segunda sea la falla predominante. En estructuras con DMO, al calcular el cortante del análisis, tomando para E el doble de su valor, se puede llegar a resultados poco conservadores con respecto al procedimiento de cálculo basado en los momentos nominales, ese método no es seguro, no garantiza el valor del factor de seguridad a cortante y no tiene sentido incluirlo en la norma. 257 4.8.5 Factor de seguridad a cortante para estructuras aporticadas con demanda moderada de ductilidad El máximo cortante que entra a la viga está dado por la siguiente expresión: Aplicando el principio de superposición se pueden analizar, de manera separada, el efecto de la carga de gravedad y el de las cargas sísmicas. El segundo término es el cortante que se introduce en la viga por efectos sísmicos, cuyo valor máximo es aquel que se presenta cuando los dos momentos de extremo, Ma y Mb, alcanzan su valor máximo, el de fluencia. Su valor no se deduce del análisis, sino que debe hacerse primero el diseño a flexión de la viga y, una vez seleccionado el refuerzo en los apoyos, se calcularán los momentos para los cuales este acero fluye. Para pórticos con ductilidad moderada, los momentos de fluencia se calculan a partir del refuerzo longitudinal que resulte en las secciones extremas, para el cual la tensión de fluencia del acero se tomará igual a su valor nominal, y el factor de sub resistencia se tomará igual a la unidad, (I = 1.0). Los momentos calculados con estos parámetros se denominan momentos nominales, Mn. El factor de seguridad empleado está dado por la relación: 1.00 / 0.90 = 1.11. En la evaluación de los momentos nominales no se tiene en cuenta la contribución de la losa de entrepiso ni la sobre resistencia de los aceros, por lo que los momentos que realmente soporta la viga son superiores a los nominales, de allí que sea importantísimo tomar un factor de seguridad que garantice que la viga nunca fallará a cortante porque primero fallará a flexión. El factor de seguridad que actualmente especifica la NSR-10 de 1.11 parece ser insuficiente, pues la sola sobre resistencia de los aceros comerciales (del orden del 12%) absorbe la totalidad del factor de seguridad, lo cual deja abierta la posibilidad de una falla frágil a cortante. 258 4.8.6 Zonas de traslapos en vigas de estructuras con demanda moderada de ductilidad Los traslapos y cortes de barras introducen tensiones en el hormigón que reducen su resistencia a cortante, por ello debe evitarse su localización en las zonas en que se espera la fluencia del acero. La NSR-10 especifica que los traslapos en vigas de estructuras aporticadas de hormigón, con demanda moderada de ductilidad, no se permiten dentro de los nudos; se recomienda, sin embargo, extender esta restricción a las zonas confinadas, pues allí existe gran concentración de tensiones. 259 Capítulo 5 Análisis y diseño de columnas 5.1 Definición Las columnas están definidas por la NSR-10, Sec. C.2.2, como aquellos elementos estructurales cuya solicitación principal es la carga axial de compresión, acompañada o no de flexión, torsión o cortante, con una relación de longitud a su menor dimensión lateral mayor de 3; no necesita ser vertical, puede tener cualquier orientación en el espacio. Las columnas sometidas a carga axial pura no existen. En estructuras aporticadas las vigas de entrepiso y las columnas son fundidas monolíticamente y esta situación produce algunos momentos en los extremos restringidos de las columnas. Las especificaciones para el diseño de columnas se aplican cuando el valor de la carga axial exceda de 0.1 f’c Ag. Para las columnas que hacen parte de pórticos dúctiles la NSR-10 impone restricciones muy estrictas en cuanto a su geometría, a su refuerzo longitudinal y a su refuerzo transversal. 5.2 Requisitos geométricos En la Figura 5.1 se presentan en forma comparativa los requisitos exigidos por la NSR-10. Para estructuras de capacidad de disipación de energía moderada (DMO) y especial (DES) se exigen las siguientes dimensiones mínimas: x    #    #6    $DMO NSR-10, Sec. C.21.3.5.1: la menor dimensión de la sección del elemento, medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico de la sección, no debe ser menor de 25 cm. Las columnas en forma de T, C o I pueden tener una dimensión mínima de 20 cm, pero su área no puede ser menor que 625 cm2. 261 x    # #   #6    $DES NSR-10, Sec.C.21.6.1.1: la menor dimensión de la sección del elemento, medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico de la sección, no debe ser menor de 30 cm. Las columnas en forma de T, C o I pueden tener una dimensión mínima de 25 cm, pero su área no puede ser menor que 900 cm2. NSR-10, Sec.C.21.6.1.2: la relación entre la dimensión menor de la sección transversal y la dimensión perpendicular no puede ser menor a 0.40 cm. Se exige una dimensión mínima de la sección de la columna para garantizar un tamaño mínimo del núcleo confinado (una vez descontados los recubrimientos) que pueda mantener una capacidad significativa de carga axial, aun después de fallado el hormigón de recubrimiento. El requisito geométrico adicional para columnas de estructuras aporticadas con demanda especial de ductilidad (b/h 0.4) tiene la finalidad de evitar que los problemas de pandeo reduzcan la ductilidad de la columna. Figura 5.1 Requisitos geométricos para las columnas 5.3 Requisitos para el refuerzo 5.3.1 Refuerzo longitudinal Este refuerzo está constituido por barras longitudinales paralelas al eje de la columna; su función es aumentar la capacidad de carga a flexocompresión, reducir la retracción del fraguado y el flujo plástico y mejorar el confinamiento del hormigón. 262 "    > Figura 5.2 Localización de la zona de traslapos en columnas con DES La NSR-10, Sec.C.10.9.1, especifica que la cuantía de diseño, en columnas, debe estar entre el 1% y el 4%. El ACI 318-08, Sec. 10.9, acepta cuantías entre el 1% y el 8%, pero reduce el límite máximo al 6% para pórticos con ductilidad especial (Sec. 21.6.3.2). El límite superior de la cuantía tiene por objeto prevenir la congestión de refuerzo y evitar el desarrollo de grandes tensiones cortantes en la columna. Cuantías superiores al 3% constituyen una solución poco económica. Se debe especificar una cantidad mínima de refuerzo longitudinal con el propósito de evitar que este fluya para cargas inferiores a la de la fluencia teórica, a causa del flujo plástico del hormigón que produce una transferencia de tensiones entre este y el acero; también se pretende darle a la columna una resistencia mínima a la flexión. Se debe limitar la cantidad máxima de refuerzo longitudinal para evitar el congestionamiento del refuerzo, tanto en las columnas como en los nudos. Indirectamente también se pretende evitar que la columna esté sometida a tensiones promedio de compresión muy elevadas. La ductilidad de una columna disminuye rápidamente a medida que aumenta el nivel de carga axial sobre ella, mientras más pequeña sea la tensión promedio de compresión con respecto al máximo permitido, más garantía se tendrá de un comportamiento dúctil. 'E     La NSR-10, Sec.C.10.9.2, especifica que el número mínimo de barras del refuerzo longitudinal debe ser de 4 para barras colocadas dentro de estribos rectangulares o circulares, de 3 dentro de estribos triangulares y de 6 para barras longitudinales ubicadas dentro de espirales que cumplan las especificaciones de la Sección C.10.9.3. La NSR-10, Sec.C.21.6.3.2, especifica que en el caso de estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, el 263 número de barras longitudinales es de 6 cuando se empleen estribos de confinamiento circulares, las otras especificaciones no sufren alteración.  #62        La NSR-10, Sec.C.7.6.3, especifica que la separación libre entre las barras longitudinales, s, no debe ser menor de 1.5 db, de 4 cm, ni de 4/3 del tamaño del agregado grueso. Esta distancia libre entre barras debe aplicarse entre un empalme por traslapo y los empalmes o barras adyacentes. Estos límites mínimos se establecieron con el fin de permitir el flujo rápido del hormigón dentro de los espacios comprendidos entre las barras y la formaleta (también entre las mismas barras) sin crear hormigueros, y para evitar la concentración de barras en un mismo plano que puede causar un agrietamiento por esfuerzo cortante y retracción. La NSR-10, Sec.7.7.1, para proteger el acero de refuerzo de la agresividad del medio ambiente especifica los espesores mínimos del hormigón de recubrimiento dependiendo de la agresividad del medio. Para hormigón no expuesto a la intemperie, ni en contacto con Figura 5.3 Separación y el suelo el recubrimiento del recubrimiento del refuerzo refuerzo en vigas y columnas longitudinal en columnas no debe ser menor de 4 cm, esta dimensión debe cumplirse para el refuerzo principal, estribos o espirales. x Para hormigón colocado contra el suelo y expuesto permanentemente, el recubrimiento mínimo debe ser de 7.5 cm. Para hormigón expuesto al suelo o a la intemperie: Barras N.o 6 o mayores 5 cm Barras N.o 5 y menores 4 cm x x Debe prestarse atención a las columnas ubicadas en el primer piso puesto que el recubrimiento del refuerzo debe incrementarse en la zona en que estará en contacto permanente con el suelo, lo anterior obliga a que toda columna debe llevar un pedestal para proporcionar un recubrimiento mínimo al refuerzo de 7.5 cm. Para cumplir este requisito basta con incrementar en 10 cm, 5 cm a cada lado, las dimensiones de la columna por debajo del nivel de acabado de piso. 264 La buena protección del refuerzo no depende únicamente de un buen espesor de recubrimiento, es importante controlar que este sea impermeable, sin poros, para evitar que los elementos agresivos del medio ambiente penetren a su interior, un buen vibrado es fundamental.  6    # Para pórticos con demanda de ductilidad moderada, DMO, la NSR-98 no especificaba restricciones en la localización de los traslapos del refuerzo longitudinal, aspecto que se modificó en la NSR-10, Sec.C.21.3.5.3, al restringir los traslapos para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, a la mitad central de la longitud de la columna y exigir diseñarlos como empalmes por traslapo a tracción. Para pórticos de ductilidad especial, DES, las longitudes de empalme por traslapo se permiten únicamente en la mitad central de la longitud de la columna, deben calcularse como traslapos a tracción y deben estar confinados dentro del refuerzo transversal de acuerdo con las NSR 10, Sec. C.21.6.4.2 y NSR 10, Sec. C.21.6.4.3 (NSR-10, Sec. C.21.6.3.3). 5.3.2 Refuerzo transversal El refuerzo transversal consiste en estribos o espirales formados de barras de pequeños diámetros, dispuestos de modo que abracen el refuerzo longitudinal y lo mantengan vertical para evitar su pandeo durante el vaciado. Entre sus funciones están el confinar el hormigón para proporcionarle mayor ductilidad a la columna y darle soporte al refuerzo longitudinal para evitar su pandeo. Al igual que las barras longitudinales, disminuye la retracción del fraguado y el flujo plástico. Figura 5.4 Estribos de confinamiento con ganchos sísmicos Especificaciones de la NSR10, Sec.C.7.1.4: x El diámetro mínimo de los estribos es el N.o 3 (3/8”) o 10M (10 mm) cuando las barras longitudinales sean menores o iguales a la N.o 10 (1-1/4”). x Para barras superiores a la N.o 10 y para paquetes de barras el diámetro mínimo del estribo es el N.o 4 (1/2”) o 12 mm. 265 Se permiten estribos de diámetro N.o 2 (1/4”) en estructuras de capacidad de disipación de energía mínima, DMI, cuando las columnas soportan únicamente uno o dos pisos. Los estribos de confinamiento deben terminarse con ganchos sísmicos de 135° o más, con una extensión de 6db pero no menor de 75 mm, que abraza el refuerzo longitudinal y se proyecta hacia el interior de la sección del elemento (NSR-10, Sec.C7.1.4). En los ganchos suplementarios el doblez en los extremos debe ser un gancho sísmico de 135° o más, con una extensión de 6db, pero no menor de 75 mm, y se permite que en uno de sus extremos se utilice un gancho de 90° o más, con una extensión de 6db (NSR-10, Sec. C.7.1.4). x Imagen 5.1 En una correcta colocación del gancho de un estribo no debe quedar espacio entre el estribo y el refuerzo longitudinal; el alambre de amarre debe doblarse hacia el núcleo de la columna La mejor manera de dar confinamiento al hormigón es mediante el empleo de refuerzo transversal en forma de estribos o de espirales, para restringir la expansión lateral del hormigón cuando es sometido a tensiones de compresión, cercanas a su máximo resistente. El refuerzo transversal en espiral es práctico sólo para columnas circulares, pero se presentan algunos problemas de orden constructivo en los nudos. Para columnas rectangulares la forma más apropiada de proporcionar confinamiento es mediante el empleo de estribos horizontales de confinamiento, de 266 varias ramas, o mediante la combinación de estribos de confinamiento y suplementarios poco espaciados. La Figura 5.5 ilustra los requisitos de distribución del refuerzo longitudinal y una de las formas de lograr el confinamiento con el empleo de estribos de confinamiento múltiples. Figura 5.5 Ejemplo de confinamiento empleando estribos Figura 5.6 Ejemplo de confinamiento con el empleo simultáneo de estribos de confinamiento y ganchos suplementarios La Figura 5.6 muestra un ejemplo del refuerzo transversal de una columna constituido por un estribo de confinamiento y tres estribos suplementarios. Los estribos suplementarios con dobleces a 90° son menos efectivos que si los dobleces fueran de 135°. El confinamiento puede mejorarse si los dobleces de los ganchos a 90° se alternan. Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de esquina y de barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un estribo con un ángulo no mayor de 135º, y ninguna barra longitudinal debe estar separada a más de 15 cm libres de una barra apoyada lateralmente. Cuando las barras longitudinales estén localizadas alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso de un estribo circular completo (NSR-10, Sec.C.7.10.5.3). El espaciamiento vertical de los estribos, para columnas de pórticos con demanda mínima de ductilidad, DMI, no debe exceder de 16 diámetros de la barra longitudinal, 48 diámetros del estribo o la menor dimensión de la columna (NSR-10, Sec.7.10.5.2). El principal objetivo del anterior requisito es impedir que las barras longitudinales se pandeen hacia fuera una vez el hormigón pierda el recubrimiento. 267 Figura 5.7 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares en pórticos dúctiles de hormigón con demanda mínima de ductilidad, DMI Los extremos de las columnas requieren de un confinamiento especial para asegurar su comportamiento dúctil en el evento de la formación de una articulación plástica. También requieren de un adecuado refuerzo a cortante para prevenir que se genere una falla por cortante antes que la sección falle por fluencia del acero longitudinal. La cantidad del refuerzo a cortante, su espaciamiento y localización, deben ser los adecuados para garantizar su comportamiento dúctil e impedir el pandeo del refuerzo longitudinal. Imagen 5.2 Fallas en las columnas por falta de estribos o por excesiva separación de los mismos. Armenia, Colombia, 1999 268 Para evitar que se presenten las fallas ilustradas en la Imagen 5.2, las normas sísmicas exigen estrictos requisitos de diseño para el refuerzo transversal de las columnas. Los requerimientos que deben seguirse para garantizar el buen confinamiento del hormigón, y proporcionarle un adecuado soporte lateral al refuerzo longitudinal, se encuentran en la NSR-10, Sec. C.21. Estos requisitos pueden satisfacerse con refuerzo de estribos de confinamiento sencillo o múltiple (Figura 5.4). Se pueden utilizar estribos suplementarios del mismo diámetro del estribo de confinamiento y deben tener el mismo espaciamiento de estos (Figura 5.5). La NSR-10 establece una longitud mínima, Lo, en ambos extremos de la columna, la cual debe proporcionar un refuerzo transversal con un menor espaciamiento para proteger estas zonas que son en las que generalmente se produce la fluencia por flexión. El requisito de separación de estribos, en función del diámetro de la menor barra longitudinal, tiene por objeto restringir el pandeo del refuerzo longitudinal una vez se pierda el recubrimiento. El requisito de separación de estribos en función de las dimensiones transversales de la columna tiene por objeto confinar el hormigón. 269 Figura 5.8 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares en pórticos dúctiles de hormigón con demanda moderada de ductilidad, DMO Figura 5.9 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares en pórticos dúctiles de hormigón con demanda especial de ductilidad, DES 270 Para el caso de columnas circulares, el refuerzo transversal esta constituido por espirales que deben cumplir los siguientes requisitos (NSR-10, Sec.C.7.10.4): x El diámetro mínimo de la espiral debe ser de 3/8” (NSR-10, Sec.C.7.10.4.2). x El espaciamiento entre espirales no debe exceder de 75 mm, no debe ser menor de 25 mm, ni de 4/3 el tamaño máximo del agregado grueso (NSR-10,Sec. C.7.10.4.3). x La espiral debe anclarse por medio de 1.5 vueltas adicionales en cada extremo (NSR-10, Sec.C.7.10.4.4). x Los empalmes por traslapo del refuerzo en espiral deben ser: 48 de para barras corrugadas, 72 de para barras lisas o para barras con recubrimiento epóxico (NSR-10, Sec.C.7.10.4.5). La NSR-10 eliminó la restricción de un diámetro mínimo para columnas circulares de 25 cm que especificaba la NSR-98; sin embargo, esta dimensión mínima es una recomendación razonable y segura. La cuantía de refuerzo en la espiral no debe ser inferior a (NSR-10, Sec.C.10.9.3): Us = 0.45 * (Ag / Ach – 1) * f ’c / fy (5.1) 5.4 Longitud de diseño, Lu (NSR-10, Sec.C.10.10.1.1) Figura 5.10 Longitud de diseño de las columnas 271 La longitud libre de una columna es la longitud de diseño; se mide entre el piso y la parte inferior del capitel (para placas aligeradas) o la distancia libre entre el piso y cualquier elemento capaz de proveerle soporte lateral. Todas las columnas deben llevarse desde la cimentación hasta el nivel considerado en el diseño; no es aconsejable iniciar las columnas en las vigas de entrepisos, a menos que se realice un juicioso análisis dinámico del comportamiento estructural. 5.5 Cambios de sección (NSR-10, Sec.C.7.8) Imagen 5.3 Inadecuado inicio de columna en la viga del segundo nivel. Armenia, Colombia, 1999 Los cambios fuertes en la sección de la columna deben hacerse siempre en los entrepisos. En dichos cambios, las barras que pasan del piso inferior al superior deben doblarse de forma que su pendiente, respecto al eje de la columna, sea máximo de 1:6. Las partes de las barras por encima y por debajo de la reducción deben ser paralelas al eje de la columna. 272 Las barras dobladas en un cambio de sección deben figurarse antes de ser colocadas, no se permite hacer el doblamiento de barras embebidas en el hormigón. Figura 5.11 Cambios de sección en las columnas El soporte horizontal del acero longitudinal en el doblez debe ser provisto por medio de estribos o espirales, y debe diseñarse para que resista 1.5 veces la componente horizontal de la fuerza calculada en la porción inclinada de la barra que se dobla. Los estribos o espirales deben colocarse a una distancia no mayor de 15 cm de los puntos de doblado. Este refuerzo es adicional al requerido por consideraciones sísmicas (NSR-10, Sec. C.7.8.1.3). Imagen 5.4 Escandaloso doblez del refuerzo longitudinal en la estructura del Palacio Municipal de Armenia, Colombia, 1999 273 Cuando se disminuya el ancho de una columna, de manera que una de sus caras quede a 7.50 cm o más de la correspondiente en la columna del piso inferior, no pueden doblarse las barras longitudinales para adaptarse a la reducción y es necesario emplear barras adicionales de empalme, traslapadas por contacto con las barras longitudinales adyacentes a las caras desplazadas de la columna (NSR-10, Sec.C.7.8.1.5). 5.6 Requisitos de diseño 5.6.1 Requisitos generales La resistencia de diseño es igual a la resistencia nominal, multiplicada por un coeficiente de reducción de resistencia (I). Para columnas se recomienda (NSR-10, Sec.C.9.3.2.2): Columnas con refuerzo en espiral: I = 0.75 Columnas reforzadas con estribos: I = 0.65 Las columnas reforzadas con estribos requieren un mayor coeficiente de reducción de resistencia, en razón de que una columna con estribos no espaciados en forma adecuada falla a una carga muy baja. Su falla va acompañada de la ruptura del hormigón y de pandeo de las barras longitudinales entre los estribos; es una falla violenta. Las espirales presentan un paso pequeño que impide el pandeo de las barras longitudinales. Al no fallar este refuerzo la columna continúa transmitiendo carga, se producen grandes deformaciones, el hormigón del núcleo oprime la espiral y esta reacciona confinándolo y proporcionándole así más ductilidad a la columna. La NSR-10, Sec.C.9.3.2.2, especifica que para columnas con refuerzo simétrico de fy  4.200 kgf / cm2, con (d – d’) / h 0.7 el valor del factor de sub resistencia (I) puede aumentarse linealmente hasta 0.90 en la medida en que Pu disminuya desde 0.1 f ’c Ag hasta 0. Las expresiones (5.2) y (5.3) fijan el valor de la carga máxima que se puede emplear en el diseño. Estas expresiones reemplazaron los requisitos de excentricidad mínima de carga axial que exigían los códigos anteriores al ACI-318-77, en las cuales se requería cumplir con una excentricidad mínima de 0.10*h para columnas con estribos y de 0.05*h para columnas con espirales. 274 Imagen 5.5 Falla por cortante en una columna. Estribos insuficientes, pandeo del refuerzo longitudinal y hormigón de baja calidad. Armenia, Colombia, 1999 La resistencia de diseño a carga axial de una columna con espiral no puede ser mayor de (NSR-10, Sec.C.10.3.6.1): Pu = IPn = 0.80 I£\<Â_ ¹c (Ag - As total) + fy As total] (5.2) La resistencia de diseño a carga axial de una columna con estribos no puede ser mayor de (NSR-10, Sec. C.10.3.6.2): Pu = IPn = 0.75 I£\<Â_ ¹c (Ag - As total) + fy As total] (5.3) 5.6.2 Requisitos de diseño a flexión La resistencia a la flexión que se le debe proporcionar a una columna debe ser tal que garantice que primero llegan las vigas a la fluencia. Este requerimiento obedece a que los desplazamientos laterales causados por fallas de las columnas conllevan excesivos daños y fácilmente pueden ocasionar 275 el colapso total de la estructura. Por estas razones las columnas, para estructuras con demanda especial, DES, y moderada, DMO, de ductilidad, son diseñadas con un 20% más de resistencia a la flexión, comparadas con la resistencia de las vigas que llegan a las caras de un nudo determinado. La NSR-10, Sec.C.21.3.6.2 y Sec.C.21.6.2.2, y el ACI 318-08 exigen cumplir la siguiente relación para estructuras con demanda especial de ductilidad: Figura 5.12 Unión viga-columna de un pórtico con demanda de ductilidad especial (5.4) El ACI 318-08 y la NSR-10 especifican que en la anterior expresión los momentos deben calcularse en la cara del nudo y corresponden a la resistencia nominal (I =1.00). El RDF de ciudad de México es aún más conservador y exige cumplir una relación de 1.5 a cambio del 1.2 propuesto por el ACI; todos coinciden que los momentos deben evaluarse en la cara del nudo y que corresponden a sus valores nominales. La NSR-10 y el ACI exigen diseñar las columnas con los momentos correspondientes al acero realmente colocado en las vigas. Este es un procedimiento racional y seguro para lograr un comportamiento dúctil de la estructura. El factor de seguridad empleado por la NSR es un valor que puede ser muy bajo si se considera que la sobrerresistencia de los aceros nacionales es del orden del 12%, con lo cual queda un remanente del factor de seguridad que no permite garantizar la fluencia inicial de las vigas. En la expresión (5.4) la suma de los momentos debe realizarse de modo que los momentos de las columnas se opongan a los de las vigas. Esta condición debe cumplirse en los dos sentidos en que puede actuar el sismo. No es necesario cumplir estos requisitos en los nudos de las terra- 276 zas (“Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto”, Sec.7.3.2.1 (véase referencias bibliográficas)). El momento resistente nominal de la columna debe calcularse para cada dirección principal de acuerdo con la combinación de cargas que conduce a la menor resistencia de la columna. Para realizar este cálculo es indispensable disponer del software apropiado que facilite el análisis; en este caso se ha empleado el programa de la PCA para columnas, versión 2.3. Para estructuras con demanda de ductilidad mínima, DMI, no tienen requerimientos especiales. 5.6.3 Requisitos de diseño a cortante Figura 5.13 Cortante de diseño para columnas con DES El refuerzo transversal en las columnas cumple varias funciones, entre otras: proporcionar un adecuado confinamiento al hormigón, dar soporte lateral al refuerzo longitudinal, e incrementar la resistencia para soportar la máxima fuerza cortante que se presenta cuando se forman las articulaciones plásticas en el pórtico. Las columnas se deben dimensionar de modo que no fallen por fuerza cortante antes que se formen articulaciones plásticas por flexión en sus extremos. Vu = Mpr sup + Mpr infp Lu (5.5) 277 La NSR-10, Sec.C.21.6.5.1, y el ACI 318-08 estipulan que para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, la fuerza cortante de diseño debe calcularse a partir del equilibrio de la columna en su altura libre, suponiendo que en sus extremos actúan momentos flectores del mismo sentido, numéricamente iguales a los momentos que representan una aproximación a la resistencia real a flexión de estas secciones, con factor de subrresistencia, I, igual a 1.0, y fs = 1.25 fy, obtenidos con la carga axial de diseño que conduzca al mayor momento flector resistente. Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, la NSR10, Sec.C.21.3.3.1, especifica que el cortante de diseño no debe ser menor que el menor valor de: a) La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos nominales (I = 1, fs = fy) y el cortante calculado para cargas gravitacionales mayoradas. b) El cortante máximo obtenido de las combinaciones de cargas de diseño que incluyan las fuerzas sísmicas E, considerando para E el doble de su valor de diseño. Figura 5.14 Análisis de los cortantes en las columnas de ductilidad moderada a partir del método de Bowman, suponiendo la ubicación de los puntos de inflexión de columnas en su punto medio V= Mn izq + Mn der Lu (5.6) Al plantear la NSR-10 el cálculo del cortante de diseño para columnas con DMO, a partir de los momentos nominales, se corre el riesgo de 278 no llegar a lograr el mecanismo de colapso propuesto, debido a que la sobrerresistencia de los aceros nacionales supera en un 12% el valor del esfuerzo fluencia; por otra parte, el autor considera que la alternativa de diseño descrita en el literal (b) no tiene sentido puesto que el procedimiento desarrollado en el literal (a) es un procedimiento racional que con un adecuado factor de seguridad garantiza la formación del mecanismo de colapso deseado. El cortante de las columnas se puede obtener a partir de los momentos de las vigas, asumiendo que los puntos de inflexión de las columnas están ubicados en el punto medio de los entrepisos. Esta es una solución aproximada que se cumple para los pisos intermedios pero no para los primeros y últimos entrepisos. En columnas con demanda especial de ductilidad, el cortante que resiste el hormigón debe despreciarse cuando se cumplan los siguientes dos requisitos (NSR-10, Sec.C.21.6.5.2): x El esfuerzo cortante inducido por sismo representa la mitad o más de la resistencia máxima a cortante requerida dentro de Lo. x La fuerza axial mayorada, incluyendo los efectos sísmicos, es menor que fc Ag / 20. 5.6.4 Empalmes o traslapo del refuerzo Los empalmes por traslapo deben diseñarse como empalmes de tracción NSR-10, Sec. C.21.3.5.3 para DMO y Sec.C.21.6.4.4 para DES. La longitud mínima del empalme por traslapo a tracción debe ser la requerida para empalmes por traslapo clases A o B, pero no menor de 30 cm (NSR-10, Sec.C.12.15). Empalme por traslapo Clase A = 1.0 Ld Empalme por traslapo Clase B = 1.3 Ld Los empalmes por traslapo de barras corrugadas sometidas a tracción deben ser empalmes Clase B, excepto que se admitan empalmes Clase A (NSR-10, Sec.C.12.15) cuando: x El área de refuerzo proporcionada es al menos el doble del valor requerido por análisis a todo lo largo del empalme. x La mitad, o menos, del refuerzo total esta empalmado dentro de la longitud de empalme por traslapo. 279 Cuando se empalman por traslapo barras de diferente diámetro en tracción, la longitud del empalme por traslapo debe ser el mayor valor entre Ld de la barra de mayor diámetro y el valor de la longitud del empalme en tracción de la barra de menor diámetro (NSR-10, Sec.C.12.15.3). La longitud de desarrollo, Ld, se calcula de acuerdo con lo especificado por la NSR-10, Sec.C.12.2.2.   ##  $     $ DMI2  $DMO$ '()*+$ ,",*.,.,. La NSR-10, Sec.C.12.2.2, formula las expresiones básicas para el cálculo de la longitud de desarrollo, Ld, especificando que esta no debe ser inferior a 30 cm. Para barras  N.o 6 (5.7) Para barras > N.o 6 (5.8) Tabla 5.1 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas a tracción, estructuras con demanda mínima, DMI; y demanda moderada, DMO, de ductilidad, \t = 1.0, \e = 1.0 Barra N.o Diámetro en pulgadas Diámetro en cm Área en cm2 Longitud de desarrollo y de traslapo a tracción en cm f ’c = 210 kgf/cm2 f ’c = 280 kgf/cm2 Ld Lt Ld Lt N.o 3 3/8” 0.95 0.71 42 43 36 47 N.o 4 1/2” 1.27 1.29 56 73 48 63 o N. 5 5/8” 1.59 1.99 70 91 60 79 N.o 6 3/4” 1.91 2.84 84 109 73 94 N.o 7 7/8” 2.22 3.87 121 158 105 137 N.o 8 1” 2.54 5.10 139 181 120 156 280 Barra N.o Diámetro en pulgadas Diámetro en cm Área en cm2 N.o 9 1-1/8” 2.87 o N. 10 1-1/4” N. 11 1-3/8” o Longitud de desarrollo y de traslapo a tracción en cm f ’c = 210 kgf/cm2 f ’c = 280 kgf/cm2 Ld Lt Ld Lt 6.45 157 204 136 177 3.23 8.19 177 230 153 199 3.58 10.06 196 255 170 220 Las anteriores expresiones son aplicables cuando el espaciamiento libre entre las barras que se empalman no es menor de db, cuando el recubrimiento libre no es menor de db y tiene estribos a lo largo de la longitud, Ld, no inferior al especificado en el título C de la NSR-10 o bien cuando el espaciamiento libre entre las barras que se empalman no es menor de 2db y el recubrimiento libre no menor de db. La NSR-10 para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, y moderada, DMO, exige realizar el traslapo en la mitad central de la columna; para columnas con demanda de ductilidad mínima, DMI, no hay restricciones.   ##  $    # $ DES$ '()*+$ ,",*.,.,. La NSR-10, Sec.C.21.7.5, especifica que para tamaño de barras No 3 (3/8”) a barras N.o 11 (1-3/8”) la longitud de desarrollo, Ldh, para una barra con gancho estándar de 90° en hormigón de peso normal, no debe ser menor que el mayor valor entre 8db, 15 cm y la longitud requerida por la siguiente expresión: (5.9) Para barras N.o 3 (3/8”) a N.o 11 (1-3/8”), la longitud de desarrollo, Ld, en tracción para una barra recta no debe ser menor que (NSR-10, Sec. C.21.7.5.2): a) 2.5 veces la longitud, Ldh, calculada si el espesor de hormigón colocado fresco, en una sola operación, debajo de la barra no excede de 30 cm (barras bajas). 281 b) 3.25 veces la longitud, Ldh, calculada si el espesor de hormigón colocado fresco, en una sola operación, debajo de la barra excede de 30 cm (barras altas). Tabla 5.2 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas a tracción, estructuras con demanda especial, DES, de ductilidad, cálculo según literal (a) Barra N.o Longitud de desarrollo y de traslapo a Diáme- Diámetracción en cm Área tro en tro en en cm2 f ’c = 210 kgf/cm2 f ’c = 280 kgf/cm2 pulgadas cm Ld Lt Ld Lt N.o 3 3/8” 0.95 0.71 40 52 35 45 o N. 4 1/2” 1.27 1.29 54 70 46 60 o N. 5 5/8” 1.59 1.99 67 87 58 76 o N. 6 3/4” 1.91 2.84 80 105 70 91 o N. 7 7/8” 2.22 3.87 94 122 81 106 o N. 8 1” 2.54 5.10 107 139 93 121 o N. 9 1-1/8” 2.87 6.45 121 157 105 136 o N. 10 1-1/4” 3.23 8.19 136 177 118 153 N. 11 1-3/8” 3.58 10.06 151 196 131 170 o 5.7 Ejemplo de diseño 5  # ; >   Como ejemplo se analiza y diseña la columna B1 en las secciones superior e inferior al nudo del entrepiso 1. En el capítulo anterior se han deducido las cargas de diseño que corresponden a las cinco combinaciones de cargas seleccionadas. x Análisis lineal de los pórticos 1 y B para deducir las acciones de diseño en la columna B1. 282 Con la ayuda de un software de análisis lineal de pórticos planos se obtienen los siguientes resultados para la columna B1, tanto en la parte superior como en la inferior del entrepiso 1. En este caso se empleó el programa RCB-Building. Los resultados del pórtico 1, entrepiso 1, columna B1, momentos en el eje del nudo son: Piso 2 Piso 1 Caso carga Pu t Mux t-m 1 69.4 -9.28 -6.34 94.8 4.84 -2.24 2 61.6 -11.16 -7.71 84.0 6.51 -3.41 3 68.1 1.11 1.08 94.3 -3.04 2.83 4 39.7 -4.57 -3.10 54.7 2.42 -1.03 5 34.8 -13.57 -9.54 47.1 9.41 -5.60 Vu t Pu t Mux t-m Vu t Los resultados del pórtico B, entrepiso 1, columna B1, momentos en el eje del nudo son: Caso carga Piso 2 Pu t Muy t-m Piso 1 Vu t Pu t Muy t-m Vu t 1 24.7 5.79 4.08 34.0 -3.83 1.53 2 18.7 2.86 1.74 25.5 -0.12 -2.46 3 21.2 3.99 2.68 29.1 -2.70 0.23 4 18.1 6.26 4.67 25.4 -5.63 4.88 5 14.2 4.02 2.82 19.6 -1.77 0.67 Caso N.o Caso de carga analizado 1 1.2 CM + 1.6 CV 2 1.2CM * 1.0CV + SX1 + 0.3 SY1 3 1.2CM * 1.0CV - SY1 + 0.3 SX1 4 0.90*CM - SX2 5 0.90*CM + SY2 Mu en el borde = Mu en el eje – Vu * h viga / 2 283 Los resultados del pórtico 1, entrepiso 1, columna B1, momentos en el borde del nudo: Piso 2 Caso carga Piso 1 Pu t Mux t-m Pu t Mux t-m 1 69.4 -8.01 94.8 4.39 2 61.6 -8.62 84.0 5.94 3 68.1 0.89 94.3 -2.47 4 39.7 -3.95 54.7 2.21 5 34.8 -11.66 47.1 8.29 Los resultados del pórtico B, entrepiso 1, columna B1, momentos en el borde del nudo: Caso carga Piso 2 Piso 1 Pu t Muy t-m Pu t Muy t-m 1 24.7 4.97 34.0 -3.52 2 18.7 2.51 25.5 0.61 3 21.2 3.45 29.1 -2.65 4 18.1 5.33 25.4 -4.65 5 14.2 3.46 19.6 -1.64 Los resultados biaxiales para la columna B1, entrepiso 1: Caso de carga Resultados biaxiales Piso 2 Resultados biaxiales Piso 1 Pu KN Mux KN-m Muy KN-m Pu KN Mux KN-m Muy KN-m 1 941 -80.1 49.7 1 288 43.9 -35.2 2 803 -86.2 25.1 1 095 59.4 6.1 3 893 8.9 34.5 1 234 -24.7 -26.5 4 578 -39.5 53.3 801 22.1 -46.5 5 490 -116.6 34.6 667 82.9 -16.4 El diseño biaxial de la columna B1 se realiza empleando el programa de análisis y diseño de columnas PCACOL; este diseño debe hacerse en la columna en la parte superior del nudo y en la parte inferior de este. Como refuerzo debe seleccionarse el mayor valor obtenido. x 284 La siguiente gráfica muestra el resultado del diseño para la columna B1, entrepiso 1, parte superior: Esta gráfica corresponde al caso de carga N.o 5 que resultó ser el más crítico para la columna B1 en la parte superior del nudo (piso 2), allí se requiere un refuerzo de 38.57 cm2 (10 barras N.o 7) para una cuantía del 2.58%. En la siguiente figura (resultado del diseño para la columna B1, entrepiso 1, parte inferior) se registra el diseño para la columna B1 en la parte inferior del nudo (piso 1), en este caso la combinación de carga N.o 1 resultó ser la más crítica. 285 Esta gráfica corresponde al caso de carga N.o 5 que resultó ser el más crítico para la columna B1 en la parte inferior del nudo (piso 1), allí se requiere un refuerzo de 15.48 cm2 (12 barras N.o 4) para una cuantía del 1.03%. En el nudo no se permiten traslapos, por tanto se debe seleccionar el mayor refuerzo de estos dos análisis, que para el caso corresponde a un refuerzo longitudinal de 10 barras N.o 7, con una cuantía de diseño de 2.58%. Una vez realizado el diseño a flexión, debe revisarse la rigidez relativa, a flexión, de las columnas respecto a las vigas. Esta revisión es importante pues tiene como objetivo garantizar que el acero de las vigas fluya primero que el de las columnas. En la figura se puede ver la sección de la columna B1 en el entrepiso 1: Revisión de la rigidez relativa a flexión de las columnas respecto a la de las vigas que llegan al nudo. La NSR-10 exige hacer esta revisión para estructuras con demanda moderada, DMO y especial, DES, de ductilidad; la revisión debe hacerse en las direcciones de las cargas sísmicas. x Los momentos resistentes nominales de las vigas que llegan al nudo han sido determinados en la segunda parte de este ejemplo. Se deben determinar los momentos resistentes nominales de la columna, en cada una de las direcciones de las cargas sísmicas, para todas las cargas axiales obtenidas de las diferentes combinaciones de cargas. En la siguiente figura se registran los momentos nominales resistentes para la carga axial del piso 2, caso de carga N.o 1: 286 La siguiente tabla nos muestra la columna B1, entrepiso 1 y los momentos resistentes para cada caso de carga: Caso de carga Piso 2 M nx Mny Piso 1 Mnx Mny 6M Pisos 1 y 2 Pu KN KN-m KN-m Pu KN KN-m KN-m 6Mnx 6Mnx 1 941 124.5 227.2 1 288 115.4 203.4 239.9 430.6 2 803 127.6 236.0 1 095 120.7 217.1 248.3 453.1 3 893 125.6 230.3 1 234 117.0 207.4 242.6 437.7 4 578 131.1 233.5 801 127.7 236.1 258.8 469.6 5 490 124.0 228.5 667 130.6 235.3 254.6 463.8 Una vez obtenidos los momentos nominales para cada combinación de carga, se selecciona como la más desfavorable aquella que tenga la menor rigidez a la flexión, la de menor sumatoria de momentos en cada dirección. Para la dirección Y (pórtico 1) la condición crítica de carga es la N.o 3 y para la dirección X (pórtico B) la condición crítica corresponde al caso de carga N.o 1. Al final de la segunda parte del ejemplo se han determinado los momentos nominales de las vigas V2 y V4. Sus valores se trasladan a los siguientes diagramas y se ubican en sentido opuesto al de los momentos de las columnas. 287 Este coeficiente debe calcularse para controlar que efectivamente el acero de la viga alcanza la fluencia antes que el de la columna. En la dirección Y se cumple este requisito, pero en la dirección X es crítico el diseño, la columna es muy débil comparada con la viga, lo que lleva al peligroso mecanismo de columna débil-viga fuerte. Esta verificación es obligatoria para estructuras con DES y DMO según la NSR-10, su valor no debe ser inferior a 1.2, en cualquiera de las dos direcciones. Disposición que obligará a tener columnas más voluminosas y resistentes que las vigas, de lo contrario estará seriamente cuestionada la ductilidad de este tipo de estructuras. x Diseño a tensiones cortantes Estribos de confinamiento y suplementarios: En la figura se define el arreglo de estribos de confinamiento y suplementarios que satisface los requerimientos de la NSR-10. Se selecciona x 288 como diámetro de los estribos el de 3/8” (10 mm) y se calcula cuál debe ser su separación para cumplir los requisitos de ductilidad y cortante. La longitud de la zona de confinamiento será el menor de los siguientes valores: Lo  Luz libre / 6 = 240 / 6 = 40 cm (NSR-10, Sec.C.21.3.5.6)  Mayor valor entre “b” y “h” = 50 cm  50 cm Lo = 50 cm Máxima separación permitida para estribos en la zona de confinamiento: (NSR-10, Sec.C.21.3.5.6) s1  8db = 8 * 2.22 = 17.8 cm  16de = 16*0.95 = 15.2 cm  b / 3 = 30 / 3 = 10 cm s1 = 10 cm  15 cm Máxima separación permitida para estribos en la zona no confinada: s2 = 2s1 = 20 cm (NSR-10, Sec.C.21.3.5.11) Los estribos deben cumplir la siguiente relación en las dos direcciones: (NSR-10, Sec.C.21.3.5.7) Ash  0.20 s hc (Ag / Ac - 1) * f ’c / fy Ash  0.06 s hc * f ’c / fy , hc = distancia medida entre los bordes externos del refuerzo transversal hc = 50 – 2r = 50 – 2*4 = 42 cm (NSR-10, Sec.C.2.1) bc = 50 – 2r = 30 – 2*4 = 22 cm Ac = bc * hc = 924 cm2 Ag = b*h = 1500 cm2 Para s = 10 cm se tiene: Estribos paralelos al eje Y (tres ramas): Ash = 0.20*10*42*(1 500/924 -1) * 210 / 4 200 = 2.62 cm2 Ash = 0.06*10*42*210/4 200 = 1.26 cm2 Ash = 2.62 cm2 289 Se colocan tres ramas de 3/8” = 3*0.71 = 2.13 cm2 < 2.62 cm2, la separación de 10 cm no es satisfactoria y debe reducirse. 0.20* s *42*(1 500/924 -1) * 210 / 4 200 = 2.13 cm2 s = 8 cm Estribos paralelos al eje X (dos ramas): Ash = 0.20* 8 *22*(1 500/924 -1) * 210 / 4 200 = 1.10 cm2 Ash = 0.06* 8 *22*210/4 200 = 0.53 cm2 Ash = 1.10 cm2 Se colocan dos ramas de 3/8” = 2*0.71 = 1.41 cm2 > 1.10 cm2 ¡Solución satisfactoria! Colocar 8EI3/8” cada 8 cm en la zona de confinamiento y cada 16 cm en la zona no confinada. x Estribos de confinamiento y suplementarios, requisitos de cortante I Vc = 0.53 I¸ ¹c £'›¬u /(140 Ag)] (NSR-10, Sec.C.11.2.1.2) Se toma el menor valor de las cargas axiales. Así a la combinación de carga N.o 5 corresponden las siguientes cargas axiales mínimas: Piso 2 : Pu = 490 KN = 49.0 t = 49 000 kgf Piso 1 : Pu = 667 KN = 66.7 t = 66 700 kgf Cortante que absorbe el hormigón: El piso 2 es el más crítico al tener menor carga axial: Sentido X: I VcŠ\<_~¯\<œ_¯¸?'\¯~\¯£'›´\\\™['\¯'_\\`®Š´~œœ<¤ Sentido Y: I VcŠ\<_~¯\<œ_¯¸?'\¯_\¯?£'›’’œ\\™['\¯'_\\`®Š´'\œ<´¤ "  E    <2=$ E'()*+ La fuerza cortante de diseño en la columna puede determinarse a partir de los momentos resistentes en los extremos de la columna de acuerdo con la expresión (5.5); para obtener un valor conservador se deduce a partir de los momentos balanceados en cada una de las direcciones. Para estructuras con demanda moderada de ductilidad se emplearán los momentos nominales, y para estructuras con demanda especial de ductilidad los momentos probables: 290 Momentos nominales resistentes balanceados para la columna B: Vuy = 2 * 11.58 / 2.4 = 11.58 t Vux = 2 * 23.70 / 2.4 = 19.75 t Los cortantes de diseño no necesitan exceder el valor obtenido a partir de los momentos resistentes, nominales o probables (según si se trata de demanda moderada o especial de ductilidad) de las vigas, en las caras de los nudos, de acuerdo con la expresión (5.6): 291 V= Mn izq + Mn der Ln Cálculo del cortante utilizando el método de Bowman, se obtiene: En un pórtico resistente a momentos las columnas presentan puntos de inflexión cercanos a la mitad de la altura del entrepiso, el método de Bowman se basa en esta consideración y obtiene los cortantes en las columnas a partir de los momentos resistentes de las vigas, si se emplea un factor de seguridad apropiado se garantiza que la columna nunca fallará a cortante porque primero lo harán las vigas a flexión. Cuando el cortante se calcula a partir de la resistencia de la columna, entre más rígida sea la columna mayor será el cortante de diseño, este cortante es mayor que el cortante obtenido por el método de Bowman, y esta diferencia aumenta a medida que aumente la rigidez de la columna, su cálculo no se basa en la rigidez a la flexión de las vigas sino en la rigidez de la columna. La NSR-10 pide calcular el cortante de la columna a partir de su rigidez, sin embargo, el cortante calculado de acuerdo al método de Bowman con un adecuado factor de seguridad proporciona resultados seguros. 292 Revisión de los estribos: La revisión se hace basados en los requisitos de la NSR-10: En el sentido X: Vu = 19.75 t > I Vc = 9 107.9 kgf I Vs = 19 750 - 9 107.9 = 10 642.1 kgf Se colocarán, por requisitos de confinamiento, estribos I3/8” de dos ramas: s = IAv fy d / I Vs =0.75 *1.42 * 4 200 * 24 / 10 642.1=10.1 cm La separación de 8 cm es suficiente En el sentido X: Vu = 11.58 t > I Vc = 9 377.8 kgf IVs = 11 580 - 9 377.8 = 2 202.2 kgf Se colocarán, por requisitos de confinamiento, estribos I3/8” de tres ramas: s = I Av fy d /I Vs = 0.75 * 2.13 * 4 200 * 24 / 2 202.2 =73 cm La separación de 8 cm es suficiente x Longitud de traslapo Se calcula siguiendo a la expresión (5.4), la cual es aplicable para barras de diámetro superior a la N.o 7; en este caso se traslapa el 50% del refuerzo longitudinal de las barras (de las 10 barras N.o 7 se traslapan 5 barras) db 5/8” = 1.91 cm. Como se traslapa el 50% del refuerzo se trata de un traslapo tipo B: Lt = 1.3 Ld. 293 El traslapo de estas barras se hará en la mitad central de la columna: Los traslapos del refuerzo longitudinal deben alternarse en los entrepisos, 50% en un entrepiso y el otro 50% en el siguiente. En estructuras con DES deben colocarse estribos de confinamiento en toda la longitud del traslapo, de este requisito se exceptúan las estructuras con DMO. El cálculo de los estribos a colocar dentro de los nudos se explica en el siguiente capítulo. 294 5.8 Especificaciones de diseño para columnas, NSR-10 Tabla 5.3 Requisitos geométricos Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI No hay requisitos especiales Moderada - DMO Especial - DES La fuerza axial mayorada en La fuerza axial mayorada el elemento es mayor que en el elemento es mayor que 0.10 f ’c Ag 0.10 f ’c Ag NSR-10, Sec.C.21.3.2 NSR-10, Sec.C.21.6.1 La menor dimensión de la sección del elemento, medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico de la sección, no debe ser menor de 25 cm. Las columnas en forma de T, C o I pueden tener una dimensión mínima de 20 cm, pero su área no puede ser menor que 625 cm2 La menor dimensión de la sección del elemento, medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico de la sección, no debe ser menor de 30 cm. Las columnas en forma de T, C o I pueden tener una dimensión mínima de 25 cm, pero su área no puede ser menor que 900 cm2 NSR-10, Sec.C.21.3.5.1 NSR-10, Sec.C.21.6.1.1 La relación entre la dimensión menor de la sección del elemento y la dimensión perpendicular a ella, no debe ser menor que 0.4 NSR-10, Sec.C.21.6.1.2 El número mínimo de barras longitudinales debe ser de cuatro barras para estribos circulares o rectangulares, tres para barras dentro de estribos triangulares y seis para barras rodeadas por espirales NSR-10, Sec.C.10.9.2 En columnas con estribos de confinamiento circulares el número mínimo de barras longitudinales es seis NSR-10, Sec.C.21.6.3.2 295 Tabla 5.4 Resistencia mínima a la flexión de las columnas Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI No hay requisitos especiales Moderada - DMO Especial - DES Las columnas de pórticos resistentes a momentos, con capacidad moderada de disipación de energía, DMO, deben cumplir uno de los dos siguientes requisitos: 1. La resistencia a la flexión de las columnas debe cumplir la siguiente ecuación: Las columnas de pórticos resistentes a momentos, con capacidad moderada de disipación de energía, DES, deben cumplir uno de los siguientes requisitos: 6Muc 1.20 6 Muv (C.21-4) 6M uc = suma de momentos nominales de flexión de las columnas que llegan al nudo, evaluados en las caras del nudo. La resistencia a la flexión de la columna debe calcularse para la fuerza axial mayorada, congruente con la dirección de las fuerzas laterales consideradas, que conduzca a la resistencia a la flexión más baja. 6Muv = suma de de los momentos, resistentes nominales a flexión de las vigas que llegan al nudo, evaluadas en la cara del nudo. Las resistencias a flexión deben sumarse de tal manera que los momentos de las columnas se opongan a los momentos de las vigas. La ecuación anterior debe cumplirsepara las dos direcciones en el plano vertical del pórtico que se considera NSR-10, Sec. C.21.3.6.2 296 1.La resistencia a la flexión de las columnas debe cumplir la siguiente ecuación: 6Muc 1.20 6 Muv (C.21-4) 6M uc = suma de momentos nominales de flexión de las columnas que llegan al nudo, evaluados en las caras del nudo. La resistencia a la flexión de la columna debe calcularse para la fuerza axial mayorada, congruente con la dirección de las fuerzas laterales consideradas, que conduzca a la resistencia a la flexión más baja. 6Muv = suma de de los momentos, resistentes nominales a flexión de las vigas que llegan al nudo, evaluadas en la cara del nudo. Las resistencias a flexión deben sumarse de tal manera que los momentos de las columnas se opongan a los momentos de las vigas. La ecuación anterior debe cumplirse para las dos direcciones en el plano vertical del pórtico que se considera NSR-10, Sec. C.21.6.2.2 Tabla 5.4 Continuación Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI No hay requisitos especiales Moderada - DMO Especial - DES 2. Cuando no se satisface lo anterior en un nudo, la resistencia lateral y la rigidez de las columnas que soportan las reacciones provenientes de dicho nudo deben ser ignoradas al determinar la resistencia y la rigidez de la estructura. Estas columnas deben tener el refuerzo de confinamiento en toda su longitud, desde el nudo donde no se satisface hasta la cimentación. El incumplimiento de este requisito sólo se permite hasta en un 10% de las columnas de un mismo piso 2. Cuando no se satisface lo anterior en un nudo, la resistencia lateral y la rigidez de las columnas que soportan las reacciones provenientes de dicho nudo deben ser ignoradas al determinar la resistencia y la rigidez de la estructura. Estas columnas deben satisfacer los requisitos para elementos que no se designan como parte del sistema de resistencia ante fuerzas sísmicas (NSR-10, Sec. C.21.13) NSR-10, Sec. C.21.3.6.3 NSR-10, Sec. C.21.6.2.3 Tabla 5.5 Refuerzo longitudinal en las columnas Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO Especial - DES La cuantía de refuerzo longitudinal, Ug, no debe ser menor que 0.01 ni mayor que 0.04 La cuantía de refuerzo longitudinal, Ug, no debe ser menor que 0.01 ni mayor que 0.04 La cuantía de refuerzo longitudinal, Ug, no debe ser menor que 0.01 ni mayor que 0.04 NSR-10, Sec. C.10.9.1 NSR-10, Sec. C.21.3.5.2 Los empalmes por traslapo se permiten únicamente en la mitad central de la longitud del elemento y deben diseñarse como empalmes por traslapo de tracción. Los empalmes mecánicos y soldados deben cumplir los requisitos C.21.1.6 y C.21.1.7 NSR-10, Sec. C.21.3.5.3 NSR-10, Sec. C.21.6.3.1 Los empalmes por traslapo se permiten sólo dentro de la mitad central de la longitud del elemento y deben diseñarse como empalmes por traslapo de tracción; deben estar confinados dentro del refuerzo transversal. Los empalmes mecánicos y soldados deben cumplir los requisitos C.21.1.6 y C.21.1.7 NSR-10, Sec. C.21.6.3.3 297 Tabla 5.6 Refuerzo transversal en las columnas Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO Especial - DES Debe utilizarse refuerzo en espiral o estribos de confinamiento, a menos que se requieran cantidades mayores por esfuerzos cortantes. Cuando se utilice refuerzo en espiral debe cumplirse la expresión C.21-1. Cuando se utilicen estribos de confinamiento se debe cumplir con C.21.3.5.6 a C.21.3.5.11. La Sección C.21.3.5.12 se aplica a todas las columnas y la C.21.5.13 se aplica a todas las columnas que soporten elementos rígidos discontinuos El refuerzo transversal de confinamiento debe suministrarse en una longitud Lo medida desde la cara del nudo y a ambos lados de cualquier sección donde pueda ocurrir fluencia por flexión como resultado de desplazamientos laterales inelásticos del pórtico. La longitud Lo no debe ser menor que el mayor valor de: a. La altura del elemento en la cara del nudo o en la sección donde pueda ocurrir fluencia por flexión. b. Un sexto de la luz libre del elemento c. 45 cm NSR-10, Sec. C.21.3.5.4 NSR-10, Sec. C.21.6.4.1 En ambos extremos del elemento deben proporcionarse estribos cerrados de confinamiento con un espaciamiento so por una longitud Lo, medida desde la cara del nudo. El espaciamiento so no debe exceder el menor valor de: El refuerzo transversal debe disponerse mediante espirales sencillas o traslapadas, que cumplan con C.7.10.4, estribos cerrados de confinamiento con o sin ganchos suplementarios. Se pueden usar ganchos suplementarios del mismo diámetro de barra o con un diámetro menor y con el mismo espaciamiento de los estribos cerrados de confinamiento. Cada extremo del gancho suplementario debe enlazar una barra perimetral del refuerzo longitudinal. Los extremos de los ganchos suplementarios consecutivos deben alternarse a lo largo del refuerzo longitudinal. El espaciamiento de los ganchos suplementarios o ramas con estribos de confinamiento rectilíneos, hx, dentro de una sección del elemento no debe exceder de 35 cm, centro a centro a. Ocho veces el diámetro de la barra longitudinal confinada de menor diámetro. b. Dieciséis veces el diámetro de la barra del estribo cerrado de confinamiento. c. Un tercio de la menor dimensión de la sección transversal de la columna. d. 15 cm NSR-10, Sec. C.21.3.5.6 298 NSR-10, Sec. C.21.6.4.2 Tabla 5.6 Continuación Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO Especial - DES El espaciamiento vertical de los estribos no debe exceder de: a. 16 db La longitud Lo no debe ser menor que el mayor valor entre: La separación del refuerzo transversal a lo largo del eje longitudinal del elemento no debe exceder el menor valor de: a. La cuarta parte de la dimensión mínima del elemento b. Seis veces el diámetro de la barra de refuerzo longitudinal menor c. So según lo definido en la ecuación C.21-5 de la NSR-10 a. Una sexta parte de la luz libre de la columna b. La mayor dimensión de la sección transversal de la c. La menor di- columna mensión de la c. 50 cm columna b. 48 de NSR-10, Sec. C.10.5.2 El valor de so no debe ser mayor de 15 cm y no es necesario tomarlo menor de 10 cm NSR-10, Sec. C.21.3.5.6 La cuantía volumétrica de refuerzo en espiral o de estribos cerrados de confinamiento circulares, U s , no debe ser menor que: y no debe ser menor que la requerida por la ecuación C.10.5: NSR-10, Sec. C.21.6.4.3 Debe proporcionarse refuerzo transversal en las cantidades que se especifican de (a) a (b) a menos que requieran una mayor cantidad por cortante. a. La cuantía volumétrica de refuerzo en espiral o de estribos cerrados de confinamiento circulares, Us, n no debe ser menor que: y no debe ser menor que la requerida por la ecuación C.10.5: NSR-10, Sec. C.21.3.5.5 299 Tabla 5.6 Continuación Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI El espaciamiento vertical de los estribos no debe exceder de: a. 16 db Moderada - DMO Especial - DES El área total de la sección de refuerzo de estribos cerrados de confinamiento rectangulares, Ash, no debe ser menor que el requerido por: b. El área total de la sección de refuerzo de estribos cerrados de confinamiento rectangulares, Ash, no debe ser menor que el requerido por: NSR-10, Sec. C.21.3.5.7 NSR-10, Sec. C.21.6.4.4 b. 48 de c. La menor dimensión de la columna NSR-10, Sec. C.10.5.2 300 Fuera de la longitud, Lo, deben colocarse estribos de confinamiento con la misma disposición, diámetro de barra y resistencia a la fluencia, fy, con un espaciamiento centro a centro que no debe ser mayor que dos veces el espaciamiento utilizado en la longitud Lo Más allá de la longitud, Lo, el resto de la columna debe contener refuerzo en forma de espiral o de estribos cerrados de confinamiento que cumpla C.7.10, con un espaciamiento, s, medido centro a centro que no exceda al menos de seis veces el diámetro de las barras longitudinales de la columna o quince cm, a menos que se requieran mayores cantidades por confinamiento NSR-10, Sec. C.21.3.5.11 NSR-10, Sec. C.21.6.4.5 Tabla 5.6 Continuación Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO Especial - DES Todas las barras deben confinarse por estribos transversales de diámetro mínimo N. o 3 (3/8”) para barras longitudinales menores o iguales a la N.o 11 (1 ¼”). Se permiten estribos de barras N.o 2 (1/4”) cuando las columnas soporten únicamente uno o dos pisos El refuerzo transversal debe disponerse mediante estribos cerrados de confinamiento rectilíneos, con un diámetro mínimo N.o 3 (3/8”) o 10M (10 mm) con o sin ganchos suplementarios. Se pueden usar ganchos suplementarios del mismo diámetro de barra con el mismo espaciamiento de los estribos cerrados de confinamiento. Cada extremo del gancho suplementario debe enlazar una barra perimetral del refuerzo longitudinal. Los extremos de los ganchos suplementarios consecutivos deben alternarse a lo largo del refuerzo longitudinal. El espaciamiento de los ganchos suplementarios o ramas con estribos de confinamiento rectilíneos dentro de una sección del elemento no debe exceder de 35 cm, centro a centro, en la dirección perpendicular al eje longitudinal del elemento estructural Las columnas que soportan reacciones de elementos rígidos discontinuos, como muros, deben satisfacer (a) y (b): NSR-10, Sec. C.7.10.5 NSR-10, Sec. C.21.3.5.8 a. El refuerzo transversal como se especifica en C.21.6.4.2 a C.21.6.4.4, debe proporcionarse en su altura total, en todos los niveles, debajo del nivel en el cual ocurre la discontinuidad, cuando la fuerza mayorada de compresión axial en estos elementos, relacionada con el efecto sísmico exceda 0.1 f ’c Ag. Donde se hayan magnificado las fuerzas de diseño para calcular la sobre resistencia de los elementos verticales del sistema de resistencia ante fuerzas sísmicas el límite de 0.1 f ’c Ag debe aumentarse a 0.25 f ’c Ag 301 Tabla 5.6 Continuación Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO Especial - DES Todas las barras deben confinarse por estribos transversales de diámetro mínimo N. o 3 (3/8”) para barras longitudinales menores o iguales a la N.o 11 (1 ¼”). Se permiten estribos de barras N.o 2 (1/4”) cuando las columnas soporten únicamente uno o dos pisos Alternativamente a lo indicado en C.21.5.7 y C.21.3.5.8 pueden colocarse estribos de confinamiento N.o 3 (3/8”) o 10M (10 mm), con fy = 4,200 kgf/cm2 (420 MPa) con una separación s de 10 cm. Si la distancia horizontal entre dos ramas paralelas de estribo es mayor que la mitad de la menor dimensión de la sección de la columna o 20 cm, deben utilizarse cuantos estribos suplementarios de diámetro N.o 3 (3/8”) o 10M (10 mm), con fy = 4,200 kgf/ cm2 (420 MPa) sean necesarios para que esta separación entre ramas paralelas no exceda la mitad de la dimensión menor de la sección de la columna o 20 cm. Este procedimiento alterno sólo puede emplearse en columnas cuyo hormigón tenga un f ’c menor o igual a 35 MPa b. El refuerzo transversal debe extenderse por lo menos L d dentro del elemento discontinuo, se determina para la barra longitudinal mayor de la columna de acuerdo con los requisitos de resistencia a corte. Si el extremo inferior de la columna termina en un muro, el refuerzo transversal requerido debe extenderse dentro del muro por lo menos Ld de la mayor barra longitudinal de la columna en el punto en que termina. Si la columna termina en una zapata o una losa de cimentación, el refuerzo transversal requerido debe extenderse por lo menos 30 cm en la zapata o losa de cimentación NSR-10, Sec. C.7.10.5 NSR-10, Sec. C.21.3.5.9 NSR-10, Sec. C.21.36.4.6 Cuando vigas o ménsulas concurran a una columna desde cuatro direcciones se permite colocar el ultimo estribo a no más de 7.5 cm del refuerzo más bajo de las vigas o ménsula de menor altura NSR-10, Sec.C.7.10.5.5 302 El primer estribo cerrado de confinamiento debe estar situado a no más de so/2 de la cara del nudo NSR-10, Sec. C.21.3.5.10 Tabla 5.7 Requisitos para refuerzo a cortante en columnas Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI No hay requisitos especiales Moderada - DMO Especial - DES La fuerza cortante de diseño, Vu, de columnas que resistan efectos sísmicos E, no debe ser menor que el menor valor de (a) y (b): La fuerza cortante de diseño, Vu, debe determinar considerando las máximas fuerzas que se puedan generar en las caras de los nudos en cada extremo del elemento. Estas fuerzas en el nudo se deben determinar usando las resistencias a flexión máximas probables, Mpr, en cada extremo del elemento, correspondiente al rango de cargas axiales mayoradas, Pu, que actúan en el. No es necesario que las fuerzas cortantes en el elemento sean mayores que aquellas determinadas a partir de la resistencia de los nudos, basada en Mpr de los elementos transversales que llegan al nudo. En ningún caso Vu debe ser menor que el cortante mayorado determinado a partir del análisis de la estructura a. La suma del cortante debido en curvatura inversa, asociado con el desarrollo de los momentos nominales de la columna en cada extremo restringido de la longitud libre. La resistencia a flexión de la columna debe calcularse para la fuerza axial mayorada, consistente con la dirección de las fuerzas laterales consideradas, que resulte en el mayor valor de la resistencia a la flexión b. El cortante máximo obtenido de las combinaciones de carga de diseño que incluyan E, con E incrementado por   | NSR-10, Sec. C.21.3.2.2 NSR-10, Sec. C.21.6.5.1 El refuerzo transversal en la longitud, L o, identificada en C.21.6.4.1 debe diseñarse para resistir el cortante suponiendo Vc = 0 cuando (a) y (b) ocurren simultáneamente: a. El esfuerzo de cortante inducido por sismo, calculado de acuerdo con C.21.6.5.1 representa la mitad o más de la resistencia máxima al cortante requerida dentro de Lo. b. La fuerza axial de compresión mayorada, Pu, incluyendo el efecto sísmico es menor que: f ’c Ag/20 NSR-10, Sec. C.21.6.5.2 303 Capítulo 6 Uniones viga-columna 6.1 Introducción Imagen 6.1 Falla por cortante en un nudo de esquina. Armenia, Colombia, 1999 Un nudo se define como la parte de la columna que está dentro de la altura de la viga o vigas que se unen a ella. El nudo, al igual que las vigas, las columnas y la cimentación, conforman el sistema de resistencia sísmica de una estructura. Los nudos son secciones muy críticas en un sistema estructural, pues a través de ellos se asegura la continuidad de la estructura al transmitir las fuerzas de un elemento a otro. La eficiencia en la transferencia de las fuerzas depende del detallado de los nudos. El diseño de los nudos no ha recibido la debida atención, y es común que en los planos de construcción no se detallen las uniones y se deje en 305 manos del constructor la definición de detalles críticos que influyen en el buen comportamiento de la estructura. En el pasado, el diseño de los nudos de las estructuras aporticadas se limitaba a satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo, no se le daba mucha importancia porque los colapsos de las estructuras aporticadas de hormigón reforzado se presentaban por diseños mal concebidos en vigas y por un detallado inadecuado de las columnas. Sin embargo, los sismos recientes, como el de México en 1985, el de San Salvador en 1986, el de Loma Prieta en 1989, el de Los Ángeles en 1994, el de Kobe en 1995, el de Armenia (Colombia) en 1999 y el de Haití en el 2010 han evidenciado fallas por corte y por anclaje en las uniones viga-columna. El empleo de materiales de alta resistencia, el uso de secciones cada vez de menores dimensiones y la utilización de barras de refuerzo de diámetros altos, hacen que sea necesario prestar mayor atención al diseño y detallado de las uniones. El diseño y detallado de un nudo depende de su ubicación dentro de la estructura y de la demanda de ductilidad del sistema. A un nudo ubicado en el interior de una estructura le llegan vigas por sus cuatro caras; estas vigas pueden confinar el nudo y mejorar sustancialmente el comportamiento del hormigón. Pero si el nudo se encuentra en una de las caras externas de la estructura, le llegan vigas sólo por tres de sus cuatro caras laterales y queda desconfinada una de las caras del nudo, lo que disminuye la capacidad del hormigón para resistir tensiones diagonales. El caso más crítico es el de los nudos de esquina, los cuales sólo tienen vigas por dos caras adyacentes. Figura 6.1 Uniones típicas viga-columna Interior 306 Exterior Esquina 6.2 Criterios de diseño Los criterios de diseño de uniones viga-columna se pueden formular como sigue: x La resistencia del nudo debe ser mayor o igual que la máxima demanda que corresponda a la formación del mecanismo de colapso del pórtico. El nudo debe ser el elemento de mayor resistencia para eliminar la necesidad de reparar una región inaccesible, que sufre deterioros de resistencia y rigidez considerables si se somete a acciones cíclicas en el intervalo inelástico. x La resistencia de la columna no debe afectarse por una posible degradación de resistencia de la unión. x Ante sismos moderados, las uniones deben responder en el intervalo elástico. x Las deformaciones del nudo no deben contribuir significativamente a la deriva del entrepiso. x El refuerzo en el nudo, necesario para garantizar un comportamiento satisfactorio, no debe dificultar su construcción. Una unión típica conecta elementos provenientes de tres direcciones; se debe evitar la interferencia de las varillas que vienen de todas las direcciones. 6.3 Comportamiento esperado de las uniones Como la respuesta de las uniones viga-columna está controlada por mecanismos de corte y adherencia, que tienen un comportamiento histerético pobre, no es posible considerar a la unión como una fuente importante de disipación de energía. Por tanto, la unión debe experimentar bajos niveles de agrietamiento y plastificación. Es común suponer en el análisis de edificios que las condiciones de apoyo de las vigas en las columnas son iguales a un empotramiento. En realidad, el refuerzo de las vigas se deslizará, aun para bajos niveles de esfuerzo, de manera que un empotramiento perfecto no es posible. 307 Figura 6.2 Fuerzas en una unión viga-columna La unión se deforma en cortante por causa de las fuerzas resultantes que obran en ella (Figura 6.2(c)), éstas producen tracción a lo largo de una diagonal del nudo y compresión a lo largo de la otra. Las primeras grietas diagonales aparecen cuando las tensiones principales de tracción exceden la resistencia a la tracción del hormigón. Como las grietas en los nudos son similares a las grietas por cortante en una viga, las primeras recomendaciones de diseño se basaron en ecuaciones adaptadas de requerimientos de corte para vigas. Es importante notar que las magnitudes de las fuerzas a las que se somete un nudo son varias veces las aplicadas en vigas y columnas. Los factores más importantes a considerar en el diseño de los nudos son: x Cortante x Anclaje del refuerzo 308 x Transmisión de carga axial x Adherencia x Confinamiento del hormigón x Aspectos constructivos 6.4 Clasificación de los nudos 6.4.1 Según su geometría y su confinamiento Con base en su localización dentro de la estructura, los nudos se clasifican en interiores, exteriores y de esquina. La anterior clasificación tiene que ver con el número de vigas que llegan a sus cuatro caras laterales. En un nudo interior llegan cuatro vigas, en uno exterior tres y en uno de esquina dos. Para que un nudo interior se considere como tal, las vigas que llegan deben confinarlo en las dos direcciones, y a un nudo exterior deben confinarlo en una dirección. Ese confinamiento es importante porque de él depende el trabajo del hormigón a tensiones cortante, a mayor confinamiento mayor resistencia. Figura 6.3 (a) Unión interior, (b) Unión exterior, (c) Unión de esquina Un nudo interior se considera confinado por sus cuatros caras mediante vigas, cuando el ancho de cada viga, en cada dirección, sea al menos 0.75 veces el ancho respectivo de la columna. Si el anterior requisito sólo se cumple en una dirección, el nudo debe clasificarse como exterior, y si no se cumple en las dos direcciones, el nudo se clasifica como nudo de esquina (NSR-10, Sec.C.21.7.4.1). 309 Figura 6.4 Requisitos de confinamiento para un nudo interior (6.1) Un nudo exterior se considera confinado por la viga continua cuando el ancho de la viga sea al menos 0.75 veces el ancho respectivo de la columna. Si el anterior requisito no se cumple, el nudo se clasifica como nudo de esquina. Figura 6.5 Requisitos de confinamiento para un nudo exterior (6.2) 6.4.2 Clasificación del ACI según su comportamiento El ACI 318M-08 clasifica los nudos en dos grupos, la cuales identifica como: tipo 1 y tipo 2; la diferencia entre ellos es la condición de carga y las deformaciones previstas en la junta al resistir las cargas laterales. ' #* Un nudo tipo 1 conecta elementos diseñados para satisfacer los requisitos de resistencia del Reglamento ACI 318M-08, en los cuales no se prevén deformaciones inelásticas significativas. El nudo tipo 1 es aquel que hace parte de una estructura continua resistente a momento y la cual es diseñada con base en su resistencia, sin considerar requisitos especiales de ductilidad. Cualquier unión en 310 un pórtico típico, diseñado para resistir cargas por gravedad y cargas de viento, pertenece a esta categoría. En la Figura 6.6 se indica un diagrama de momento propio de estructuras sometidas a cargas gravitacionales. Nótese que en el nudo central los momentos, tanto a la izquierda como a la derecha del eje central, son negativos, quiere decir que no se presenta inversión de momentos en las caras del nudo, por ello, una barra de refuerzo localizada en la parte superior de la viga trabaja a tracción, tanto a la izquierda como a la derecha del nudo, no presenta inversión de tensiones dentro del nudo y por ende no hay problemas de adherencia. Figura 6.6 En los nudos tipo 1, diagrama de momentos dominado por las cargas gravitacionales, no se esperan deformaciones inelásticas de importancia ' #. Un nudo tipo 2 conecta elementos necesarios para disipar energía a través de deformación dentro del rango inelástico. A este grupo pertenecen las uniones en estructuras de pórticos resistentes a momento, diseñadas para resistir movimientos sísmicos, vientos fuertes o efectos de explosión. Figura 6.7 Nudos tipo 2, diagrama de momentos dominado por los efectos sísmicos, se esperan deformaciones inelásticas de gran importancia 311 En el nudo tipo 2 se presenta inversión de momentos en las caras de los nudos, por ello, una barra de refuerzo, localizada en la parte superior de la viga, trabaja a tracción a un lado del nudo, y a compresión en la cara opuesta del mismo; se presenta inversión de tensiones dentro del nudo, por lo tanto hay que prestar atención especial a la adherencia. Para los nudos tipo 2 las recomendaciones de diseño se aplican sólo en los casos en que el refuerzo de la viga esté situado dentro del núcleo de la columna. Todos los resultados de investigaciones actualmente disponibles son para uniones en las que el ancho de la viga es menor o igual al ancho de la columna y en las que el eje de la viga pasa a través del centroide de la columna. Las uniones en las que la línea de eje de la viga no pasa a través del centroide de la columna quedan incluidas cuando todas las varillas de la viga están ancladas en el núcleo de la columna o pasan a través de él. Sin embargo, debe tomarse en cuenta la torsión resultante de esta excentricidad. El nudo en el que el refuerzo de la viga pasa fuera del núcleo de la columna queda excluido como nudo tipo 2 debido a que faltan datos sobre el anclaje de dicho refuerzo. Aunque es preferible diseñar las uniones para que permanezcan en el intervalo elástico, es muy posible que ocurran deformaciones inelásticas en ellas si los elementos adyacentes, vigas o columnas, se deforman plásticamente. En este caso las deformaciones inelásticas a lo largo de las varillas penetrarán el nudo, esta unión será de tipo inelástico y corresponde su clasificación al nudo tipo 2. 6.4.3 Clasificación de la NSR-10 según su comportamiento La NSR-10 clasifica los nudos de acuerdo con la ductilidad del sistema de resistencia sísmica, se identifican tres casos, demanda mínima, moderada y especial de ductilidad. ' #     2    La NSR-10 no presenta especificaciones especiales para el diseño de los nudos correspondientes a estos dos sistemas de resistencia sísmica, por tal motivo pueden asemejarse a la clasificación de nudos tipo 1 del ACI. Según la NSR-10 los nudos para estructuras con demanda mínima y moderada de ductilidad deben cumplir sólo los requisitos generales de diseño dados en las secciones C.7.9. 312 Para las estructuras con demanda mínima de ductilidad (DMI) no hay lugar a dudas que no se presenta inversión de momentos porque dominan los diagramas debido a las cargas gravitacionales. El autor ha podido comprobar mediante el análisis de diferentes estructuras aporticadas, para el espectro de diseño propuesto por la NSR10 para Medellín, que en este tipo de estructuras se da el caso de inversión de momentos. Por lo anterior, es muy cuestionable el procedimiento de diseño propuesto para los nudos de estructuras con demanda moderada de ductilidad (uniones tipo 1), pues el nivel de tensiones y deformaciones asemejan más su comportamiento a un nudo tipo 2 (DES). ' #    #   Las especificaciones de la NSR-10 son exactamente iguales a las formuladas por el ACI para los nudos tipo 2 (especificaciones en las Tablas 6.6 a 6.9). 6.5 Análisis de los nudos para estructuras con ductilidad especial 6.5.1 Nudos interiores Un pórtico de hormigón reforzado, diseñado según la NSR-10, debe disipar energía ante cargas inducidas por sismos, mediante la formación de articulaciones plásticas en las vigas. Cuando estas desarrollan sus resistencias máximas, los nudos estarán sujetos a fuerzas cortantes elevadas. Figura 6.8 Inversión de momentos en una estructura con demanda especial de ductilidad 313 En las estructuras con demanda de ductilidad especial se presenta en los nudos interiores una inversión de momentos; una varilla de refuerzo colocada en la parte superior de la viga debe pasar de tracción, en una cara de la columna, a compresión, en la cara opuesta, y este cambio de tracción a compresión debe ocurrir dentro del nudo. Para que una barra cambie de tensión dentro del nudo se requiere que este nudo tenga un espesor mínimo para poder garantizar que, por adherencia, la varilla de refuerzo pueda invertir su tensión. En nudos interiores el problema principal es la adherencia. Figura 6.9 Transferencia de cortante en un mecanismo de puntal en compresión diagonal Para expresar el cortante del nudo en función del acero superior e inferior de la viga debe considerarse la siguiente relación de equilibrio: Cvd = Tvd Vnudo = Tvi + Tvd – Vcs (6.3) En donde VCS es el promedio de las fuerzas cortantes de las columnas superior e inferior, que puede suponerse igual a cero para fines de un diseño conservador. La transmisión del cortante en el nudo se hace mediante un mecanismo conocido con el nombre de puntal diagonal. El mecanismo del puntal diagonal de compresión se forma a lo largo de la diagonal principal de la unión como resultante de las tensiones verticales y horizontales de compresión que actúan en las secciones críticas de vigas y columnas. Es 314 importante notar que el puntal se desarrolla, independientemente de las condiciones de adherencia de las varillas, dentro de la unión. En este mecanismo, el nudo fallará cuando el puntal lo haga por compresióncortante, entonces debe mantenerse el confinamiento del nudo porque su resistencia al cortante depende de la resistencia del hormigón, y ésta se deteriora cuando se pierde confinamiento. El ángulo de inclinación de los puntales diagonales depende de la relación de aspecto del núcleo del nudo y del nivel de carga axial en la columna. El equilibrio de un puntal inclinado típico depende de la presión de confinamiento horizontal y vertical del nudo. En condiciones de servicio, la presión lateral (horizontal) puede ser provista por las vigas que llegan a las caras del nudo. En casos sísmicos, las cargas cíclicas reversibles causan agrietamiento a flexión de las vigas, lo que disminuye la capacidad de la viga para confinar el nudo. En este caso la presión lateral de confinamiento lo debe proporcionar un refuerzo transversal, estribos, que se deben colocar en una cantidad mínima dentro del nudo, para mantener así la resistencia a corte del hormigón. Si se incrementa la cantidad de estribos dentro del nudo, no se obtienen mayores resistencias al corte. La carga axial en la columna tampoco influye en la resistencia del nudo. La adherencia entre el refuerzo horizontal y el hormigón afecta severamente la rigidez y la capacidad de disipación de energía de la unión. Aun más, el deterioro en la adherencia modifica el mecanismo de transmisión de fuerza cortante. En general, el deterioro de la adherencia entre el acero longitudinal y el hormigón puede provocar: x Una disminución en la capacidad a cortante del nudo x Pérdida de resistencia a flexión de vigas x Degradación de rigidez lateral x Disminución de la capacidad de disipación de energía En el diseño de los nudos interiores debe prestarse cuidado especial a la adherencia. Los parámetros que influyen en ella a través de los nudos son: x El confinamiento del nudo afecta significativamente el comportamiento de la adherencia bajo condiciones sísmicas. La adherencia de las barras 315 de las vigas puede mejorarse si se aumenta el confinamiento por medio del refuerzo longitudinal interior de la columna. x El diámetro de la varilla no afecta significativamente la resistencia a la adherencia, pero sí limita la fuerza máxima que puede ser transferida por este mecanismo. x La resistencia a la compresión del hormigón no afecta de manera importante ya que la adherencia depende de la resistencia a la tracción del hormigón. x Si la separación entre barras de refuerzo es menor de cuatro veces su diámetro, la resistencia de adherencia disminuye en un 20%. x Tipo de corrugación: la reacción de la corrugación contra el hormigón circundante es la fuente más importante de la adherencia. Debe considerarse la posición de las varillas durante el vaciado; en efecto, si se colocan 30 cm o más de hormigón por debajo de la varilla, la resistencia a la adherencia disminuye. Se puede llegar hasta el punto donde el 40% de la deformación lateral de una estructura sea debida a la pérdida de adherencia. Se ha demostrado experimentalmente que debe proporcionarse una relación h / db 20 para garantizar que el refuerzo longitudinal puede cambiar su trabajo de tracción a compresión dentro del nudo. h (columna) / db (barra de la viga) 20 (6.4) h (viga) / db (barra de la columna) 20 La NSR-10, Sec.C.21.7.2.3, especifica que esta relación debe cumplirse en los nudos de estructuras aporticadas con demanda especial de ductilidad, con ello se trata de garantizar que no existirá deterioro de la rigidez de la estructura por pérdidas de adherencia en los nudos. La expresión (6.4) controla las dimensiones de las columnas y de las vigas que llegan a un nudo. Para vigas con refuerzo de 1” (barra N.o 8) se requiere un espesor mínimo de la columna, de 50.8 cm para satisfacer los requisitos de adherencia en los nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad. 316 Tabla 6.1 Altura mínima para vigas o columnas basadas en la adherencia del refuerzo longitudinal que pasa a través de un nudo interior Barra Diámetro h(min) cm N.o db en cm Ldh cm 4 1.270 25.4 5 1.588 31.8 6 1.905 38.1 7 2.222 44.4 8 2.540 50.8 10 3.226 64.5 6.5.2 Nudos exteriores Se analizará la dirección del nudo exterior en la cual sólo llega una viga al nudo. La fuerza cortante es menor que la que se aplica en uniones interiores de dimensiones y refuerzo iguales: Vnudo = T - Vco (6.5) Las barras de refuerzo que llegan a este nudo deben anclarse mediante ganchos estándar, con dobleces hacia el nudo (Figura 6.10); el gancho debe colocarse lo más cerca posible de la cara externa de la columna, a menos que ésta sea muy profunda. Al resistir el nudo los momentos flectores y las fuerzas cortantes sísmicas, se forma un puntal diagonal entre el radio del doblez de la varilla superior y la esquina inferior derecha del nudo. En las uniones exteriores, la mayor parte del cortante horizontal es transmitido al núcleo de la junta mediante el puntal de compresión. Figura 6.10 Mecanismo del puntal diagonal y confinamiento de un exterior 317 Para mantener este mecanismo de transferencia de carga es indispensable confinar el nudo con refuerzo transversal. Usualmente, las barras superiores desarrollan fluencia mediante ganchos estándar a 90° que se doblan hacia abajo dentro del núcleo del nudo. Este tipo de anclaje es adecuado para desarrollar la fluencia del refuerzo, pero existen algunos posibles problemas: x x x x Una concentración de tensiones a compresión en la parte interior del gancho (a menudo combinada con hormigón de relativa baja resistencia debido a sedimentación) produce un aplastamiento local del hormigón. Ante cargas cíclicas, esto conduce a un deterioro más rápido que cuando se tiene un anclaje recto. Si se degrada la adherencia de la parte recta, se agrava el problema ya que el gancho debe resistir toda la carga. Las tensiones de compresión sobre el doblez de la barra tienden a provocar que el gancho trate de abrirse. Si el ancho de vigas y columnas es igual, los dobleces de los ganchos de las vigas estarán junto al refuerzo longitudinal de columnas, reduciendo la eficacia para resistir la adherencia. Los estribos en nudos exteriores persiguen dos objetivos: x x Confinar el hormigón a compresión para incrementar su capacidad de deformación y mantener su resistencia (quizás aumentarla). Confinar el tramo recto del gancho que tratará de salirse por la cara externa de la columna. Al diseñar un nudo exterior deben considerarse los siguientes aspectos: x x   318 Si se espera la formación de una articulación plástica en la cara de la columna, el anclaje de las varillas de la viga se debe suponer que inicia dentro de la columna. Para garantizar un anclaje adecuado de las varillas de la viga, en columnas poco profundas, es recomendable:  Usar varillas de diámetro pequeño.  Emplear placas de anclaje soldadas a los extremos de las varillas.  Colocar pequeñas varillas en el radio interior del doblez para retrasar el aplastamiento o desprendimiento del hormigón en ese lugar. Colocar una cantidad suficiente de estribos horizontales para restringir el movimiento del gancho.   x El refuerzo de las vigas debe doblarse hacia dentro del nudo. El detalle de colocar el doblez hacia afuera del nudo, es decir, hacia la columna, no es adecuado en zonas sísmicas. Colocar el doblez del gancho lo más cercano a la cara externa de la columna. Cuando la arquitectura del edificio lo permita, o cuando las vigas de gran altura lleguen a columnas esbeltas, se recomienda terminar las varillas de las vigas en pequeñas extensiones en la fachada. Este detalle mejora notablemente las condiciones de anclaje de las varillas, lo que se traduce en un comportamiento superior del nudo. Para reducir las tensiones de adherencia, siempre es preferible el empleo de varillas del menor diámetro posible. En uniones exteriores, en la dirección en estudio, no es aplicable el requerimiento del diámetro de la varilla en función de las dimensiones de la columna. En general, es más fácil cumplir con los requisitos de anclaje en los nudos exteriores que en los interiores. x x x 6.5.3 Nudos de esquina Los nudos de esquina están sometidos a carga axial y cortante bajas, por lo que no presentan problemas de cortante ni de confinamiento. El principal inconveniente de este tipo de nudos es que sólo está confinado por las dos caras en las que le llegan vigas, y por ello basta la presencia de pequeñas tensiones cortantes para que se agrieten. Los nudos de las esquinas requieren un cuidadoso detallado, hay que prestar mucha atención a un adecuado diseño del anclaje del refuerzo y al confinamiento del hormigón. El refuerzo se debe anclar con ganchos estándar y para confinar el hormigón deben colocarse estribos cerrados horizontales dentro del nudo. La falla de este tipo de uniones es el resultado del agrietamiento por tensión diagonal, por falta de anclaje del refuerzo, por fluencia del acero, por daño del anclaje o por aplastamiento del hormigón. Aunque la tensión diagonal es a menudo ignorada, esta puede ser la causa de la falla en esquinas que se abren. 319 Imagen 6.2 Falla en un nudo de esquina por falta de confinamiento y mala calidad del hormigón. Armenia, Colombia, 1999 6.6 Diseño de las uniones viga-columna 6.6.1 Secciones críticas La sección crítica para el desarrollo del retuerzo debe tomarse en la cara de la columna, para uniones con demanda mínima y moderada de ductilidad, DMI y DMO (nudo tipo 1), y en el borde exterior del núcleo de la columna, para los nudos con demanda especial de ductilidad, DES (nudo tipo 2). Durante cargas sísmicas intensas, se puede esperar inversión de momento en las uniones viga-columna, que causan cambios de tensiones en el refuerzo longitudinal dentro del nudo. 320 Figura 6.11 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los nudos Los resultados de varias investigaciones han demostrado que el recubrimiento de hormigón sobre el refuerzo de la columna pierde rápidamente efectividad en el desarrollo de barras en nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad (nudo tipo 2); por lo que la sección crítica para el desarrollo se debe tomar en la cara del núcleo. 6.6.2 Longitud de desarrollo      2    Para estructuras con demanda mínima y moderada de ductilidad, la NSR-10 no exige ningún requisito especial, basta entonces con cumplir los requerimientos de anclaje para barras terminadas en gancho estándar dados en la Sección C.12.5.2. La longitud de desarrollo Ldh, para barras corrugadas a tracción que terminen en un gancho estándar de 90° no debe ser menor que el mayor valor de 8 db, 150 mm o la longitud dada por la siguiente expresión: (6.6) A partir de esta expresión se deducen los valores consignados en la Tabla 6.2 que determinan el ancho mínimo que debe tener una columna para satisfacer las condiciones de anclaje de una barra determinada. El recubrimiento al estribo, según la NSR-10, Sec.C.7.7.1.c, para barras N.o 11 y menores, debe ser de 40 mm (4 cm) si el hormigón no está expuesto a la intemperie. 321 Tabla 6.2 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo de las vigas terminadas con ancho estándar, DMI y DMO Barra Diámetro h (mín) columna en cm N.o db en cm Ldh cm Estribos s > 3db Estribos s < 3db 4 1.270 27.9 32.8 27.3 5 1.588 34.9 39.8 32.8 6 1.905 41.8 46.8 38.4 7 2.222 48.8 53.7 44.0 8 2.540 55.8 60.7 49.6 10 3.226 70.8 75.8 61.6 Cálculos para fy = 420 MPa (4200 kgf/cm2), f ’c = 21 MPa (210 kgf/cm2). A Ldh se adicionan 4.95 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm en el extremo del nudo y 0.95 cm del diámetro del estribo (3/8”). Para espaciamiento corto de estribos Ldh se reduce en un 20% (NSR-10, Sec.C.12.5.3.c).     #   Para estructuras con demanda especial de ductilidad la NSR-10, Sec.C.21.7.5, exige cumplir los siguientes requisitos: Para tamaño de barras N.o 3 a N.o 11 la longitud de desarrollo Ldh, para una barra con gancho estándar de 90° no debe ser menor de 8 db, 150 mm o la longitud dada por la siguiente expresión: (6.7) El gancho de 90° debe estar colocado dentro del núcleo confinado de una columna o elemento de borde. 322 Tabla 6.3 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo de las vigas terminadas con ancho estándar, DES Barra Diámetro h (mín) columna en cm N.o db en cm Ldh cm Estribos s > 3db Estribos s < 3db 4 1.270 23.2 32.4 27.8 5 1.588 29.0 38.2 32.4 6 1.905 34.7 44.0 37.1 7 2.222 40.5 49.8 41.7 8 2.540 46.3 55.6 46.3 10 3.226 58.8 68.1 56.3 Cálculos para a = 1.25, fy = 420 MPa (4 200 kgf / cm2), fc = 28 MPa (280 kgf / cm2). A Ldh se adicionan 9.27 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm en cada cara y 1.27 cm del diámetro del estribo (1/2”). Para espaciamiento corto de estribos Ldh se reduce en un 20% (NSR-10, Sec.C.12.5.3.c). 6.6.3 Fuerza cortante en los nudos interiores El nudo se debe diseñar para la interacción de las fuerzas multidireccionales que los elementos le transfieren, incluyendo cargas axiales, de flexión, de torsión y cortantes. Estas fuerzas son una consecuencia de los efectos de cargas aplicadas externamente, así como de las resultantes de fluencia, contracción, temperatura o asentamientos. El nudo debe resistir todas las fuerzas que le puedan ser transferidas por elementos adyacentes, y emplear aquellas combinaciones de cargas que produzcan la distribución de fuerza más crítica en la unión, incluyendo el efecto de cualquier excentricidad del elemento.      2    El comportamiento de los nudos de estas estructuras está gobernado por las cargas gravitacionales, en ellos se espera una deformación inelástica moderada y no se presenta inversión de momentos en las vigas que llegan a los nudos. 323 Figura 6.12 Fuerzas en los nudos (DMI y DMO) (6.8) T = fuerza de tensión C = fuerza de compresión V = fuerza cortante Como en los nudos no se permite hacer traslapos, el refuerzo, en las caras opuestas de los nudos, es el mismo y por tanto Tvi = Tvd Ÿ el cortante en el nudo será igual al cortante de la columna. Nótese que en este caso, como no hay inversión de momentos, una barra colocada en la parte superior de la viga estará a tracción a ambos lados del nudo.     #   En los nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, el efecto sísmico es muy importante. En ellos se espera una alta deformación inelástica e inversión de momentos en las caras de los nudos. En este caso, el cortante que debe absorber el nudo es muy superior a los casos con DMI y DMO. 324 Figura 6.13 Fuerzas en los nudos tipo 2 (DES) (6.9) T = fuerza de tensión C = fuerza de compresión V = fuerza cortante En los nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad, las fuerzas de diseño que los elementos transfieren al nudo no son fuerzas determinadas en un análisis estructural convencional, sino que deben calcularse con base en las resistencias nominales de los elementos, calculadas a partir del acero realmente colocado, empleando un factor de subrresistencia f = 1.0. En el refuerzo de flexión, en las caras de la unión, se deben emplear esfuerzos de fluencia iguales a a fy, donde fy es la resistencia de fluencia especificada para las varillas de refuerzo y a es un multiplicador de esfuerzo. DES, Para nudos tipo 1 (DMI y DMO) D Para nudos para DES D 1.0 1.25 (6.10) El factor D tiene como propósito considerar los siguientes hechos: x La tensión efectiva de fluencia de una barra de refuerzo típica es comúnmente del 10% al 25% mayor que el valor nominal. 325 x Las varillas de refuerzo alcanzan su endurecimiento por deformación cuando ocurren desplazamientos del elemento, ligeramente mayores a los que producen su fluencia. Para los nudos del tipo 1 se permite un valor de D = 1.0 porque sólo se requiere una ductilidad limitada en los elementos adyacentes a este tipo de unión. Según la NSR-10 y el Comité ACI-ASCE 352, un valor de D = 1.25 se debe considerar como el mínimo para uniones del tipo 2 (DES). Para aceros de refuerzo cuyas propiedades no están debidamente controladas, puede ser adecuado un valor de D mayor que el mínimo recomendado. 6.6.4 Resistencia del hormigón a tensiones cortantes Un nudo confinado resiste cargas superiores a otros nudos. El esfuerzo nominal obrará sobre un área definida por la profundidad de la columna y un ancho efectivo, que es, por lo general, igual al promedio de los anchos de la o las vigas y de la columna en la dirección de análisis. Los esfuerzos máximos señalados se refieren a la resistencia a compresión-cortante del hormigón en el mecanismo del puntal diagonal de compresión. El Comité ACI-ASCE 352, propone evaluar la resistencia del hormigón a tensiones cortantes de acuerdo con la siguiente expresión: (6.11) Los valores de parámetro J dependen del tipo de nudo y de su confinamiento: Tabla 6.4 Valores de J para el cálculo de la resistencia a cortante de las uniones viga-columna Tipo de nudo Tipo de nudo Interior Exterior Esquina 1 24 20 15 2 20 15 12 La NSR-10, Sec.C.21.7.4.1, recomienda adoptar los siguientes valores para el diseño de los nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad (DES): 326 (6.12) Obsérvese que las expresiones sugeridas por la NSR-10 son muy parecidas a las recomendadas por el Comité ACI-ASCE 352, para uniones con demanda especial de ductilidad, uniones tipo 2. La NSR-10 no hace ninguna sugerencia para evaluar el cortante que absorbe el hormigón en estructuras con demanda mínima, DMI, y moderada, DMO de ductilidad. Por lo anterior, se sugiere utilizar las especificaciones del Comité ACI-ASCE 352 para el diseño de estructuras con demanda moderada de ductilidad. Aj = bj * h = Área efectiva dentro del nudo, en un plano paralelo al plano del refuerzo que genera el cortante en el nudo. La altura de la sección efectiva del nudo debe ser la altura total de la sección de la columna. En los casos en que una viga llegue a un nudo que tenga un ancho mayor que la viga, el ancho efectivo del nudo no debe exceder al más pequeño de los siguientes valores: al ancho de la viga más la altura efectiva del nudo o dos veces la distancia perpendicular más corta, medida desde el eje longitudinal de la viga al lado de la columna. Figura 6.14 Determinación del ancho efectivo, bj, del nudo 327 6.6.5 Refuerzo transversal en los nudos      2    La NSR-98 exigía un área mínima de refuerzo transversal cuyo valor no dependía de la resistencia del hormigón. Nuevos ensayos muestran la necesidad de incrementar el área mínima de refuerzo a cortante a medida que aumente la resistencia del hormigón para evitar las fallas repentinas de cortante cuando se producen fisuras inclinadas. La NSR-10, Sec.C.11.4.6.3, exige colocar un área mínima de refuerzo a cortante calculada según la expresión: (6.13)     #   En nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad debe colocarse refuerzo de confinamiento dentro del nudo, igual al exigido para columnas (NSR-10, Sec.C.21.6.4.4). Cuando se utilicen estribos rectangulares de confinamiento, de diámetro mínimo 3/8”, no pueden ser menores que: (6.14) La separación no debe exceder la cuarta parte de la menor dimensión transversal del elemento, ni de l00 mm. En los nudos interiores, confinado adecuadamente por vigas que llegan a sus cuatro caras, el espaciamiento máximo de 100 mm puede incrementarse a 150 mm (NSR-10, Sec.C.21.7.3.2). Los requisitos anteriores buscan preservar la integridad del hormigón, de manera que se mantenga el mecanismo de transferencia del puntal diagonal de compresión. Es importante cumplir estrictamente con las recomendaciones anteriores para evitar daños severos, difíciles de reparar, en la unión. 328 6.7 Las uniones en los planos de construcción Para evitar errores o malas interpretaciones durante la construcción de los nudos, es necesario que el diseñador muestre los detalles de las conexiones en los planos estructurales. Al momento de incluir estos detalles, el diseñador es forzado a verificar que dicho detalle se pueda construir. Esto se relaciona con la colocación del refuerzo, y con la colocación y compactación del hormigón. Por ejemplo, una viga del mismo ancho que el de la columna causará problemas al obrero de la construcción si durante el diseño no se consideró que un recubrimiento igual sobre el acero transversal de la viga y la columna provocará que los refuerzos longitudinales de la columna y la viga coincidan. Si en este caso se agrandara la sección transversal de la columna no habría problema. La NSR-10 no requiere que se incluyan dibujos acotados y a escala del retuerzo en uniones viga-columna. 329 6.8 Especificaciones de diseño para los nudos Tabla 6.5 Requisitos generales para el diseño de las uniones viga-columna Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO Especial - DES 1. En las conexiones de los 1. En las conexiones de los 1. Las fuerzas en el reelementos principales de elementos principales de fuerzo longitudinal pórticos (tales como vigas y pórticos (tales como vigas y de las vigas en la cacolumnas) debe disponerse columnas) debe disponerse ra del nudo de ben de confinamiento para los de confinamiento para los determinarse su poempalmes del refuerzo que empalmes del refuerzo que niendo que el esfuerzo continúa y para el anclaje continúa y para el anclaje en el refuerzo de del refuerzo que termina del refuerzo que termina tracción por flexión es en tales conexiones. en tales conexiones. 1.25 y 2. El confinamiento en las 2. El confinamiento en las conexiones debe consistir conexiones debe consistir en hormigón ex terior, o en hormigón exterior, o en estribos cerrados o esen estribos cerrados o espirales interiores pirales interiores NSR-10, Sec.C.7.9 NSR-10, Sec.C.7.9 NSR-10, Sec.C.21.7.2.1 3. Cuando se requiera re- 3. Cuando se requiera re- 2. E l r e f u e r z o l o n g i fuerzo para cortante, o fuerzo para cortante, o tudinal de una viga para resistencia, se debe para resistencia, se debe que termine en una colocar un área mínima a colocar un área mínima a columna debe pro cortante calculada según cortante calculada según longarse hasta la cara la expresión: la expresión: más distante dentro del núcleo confinado de la columna y anclarse en tracción de acuerdo con C.21.7.5, y en comprensión de acuerdo con el capítulo C.12 NSR-10, Sec.C.21.7.2.2 3. Cuando el refuerzo longitudinal de la viga pasa a través del nudo, la dimensión de la columna, paralela al refuerzo longitudinal de la viga, no puede ser menor que 20 db, calculado para la barra longitudinal de mayor diámetro de la viga NSR-10,Sec.C.11.4.6.3 330 NSR-10, Sec.C.11.4.6.3 NSR-10, Sec.C.21.7.2.3 Tabla 6.6 Requisitos para el refuerzo transversal en las uniones viga-columna Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO No hay requisitos especiales No hay requisitos especiales Especial - DES 1. El refuerzo transversal del nudo debe satisfacer: C.21.6.4.4.a. La cuantía volumétrica para refuerzo en espiral o estribos cerrados de confinamiento circulares no debe ser menor que: C.21.6.4.4.b. El área total del refuerzo en estribos cerrados de confinamiento rectangulares no debe ser menor que: Deben cumplirse los espaciamientos dados en C.21.6.4.7, excepto lo prescrito en C.21.7.3.2 NSR-10, Sec.C.21.7.3.1 2. Cuando existan elementos que lleguen en los cuatro lados del nudo y el ancho de cada elemento mide por lo menos ¾ del ancho de la columna, refuerzo transversal igual, por lo menos, a la mitad de la cantidad requerida en C.21.6.4.4.a y C.21.6.4.4.b, dentro del h del elemento de menor altura que llegue al nudo. En estos lugares, se permite que el espaciamiento especificado en C.21.6.4.3 se incremente a 15 cm NSR-10, Sec.C.21.7.3.2 3. Debe proporcionarse refuerzo transversal que pase a través del nudo para proporcionar confinamiento al refuerzo longitudinal de viga que pasa fuera del núcleo de la columna que cumpla con los requisitos de espaciamiento de C.21.5.3.2 y los requisitos C.21.5.3.3 y C.21.5.3.6, cuando dicho confinamiento no es suministrado por una viga que llegue al nudo NSR-10, Sec.C.21.7.3.3 331 Tabla 6.7 Requisitos para el diseño a cortante en las uniones viga-columna Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO No hay requisitos especiales No hay requisitos especiales Especial - DES La resistencia nominal al cortante en los nudos de pórticos no puede ser mayor que los valores que se dan a continuación: x Nudos confinados por vigas en sus cuatro caras: (Kgf/cm)2 x Nudos confinados por vigas en tres caras o en dos caras opuestas: (Kgf/cm)2 x Otros nudos: (Kgf/cm)2 Se considera que una viga proporciona confinamiento al nudo si al menos ¾ partes de la cara del nudo está cubierta por la viga que llega. Se permite considerar como elemento de confinamiento a las extensiones de las vigas que sobresalen al menos una altura total h hacia afuera de la cara del nudo NSR-10, Sec.C.21.7.4.1 332 Tabla 6.8 Requisitos para el desarrollo del refuerzo dentro de las uniones viga-columna Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico Mínima - DMI Moderada - DMO No hay requisitos especiales No hay requisitos especiales Especial - DES 1. La longitud de desarrollo, Ldh, para una barra con un gancho estándar de 90°, no debe ser menor que 8 db, 150 mm, o la longitud dada por la ecuación C.21-9 para barras N.o 3 o 10M (10 mm), a N.o 11 (1-3/8”) o 32M (32mm). El gancho de 90° debe quedar localizado dentro del núcleo confinado de una columna o elemento de borde NSR-10, Sec.C.21.7.5.1 2. Para barras N. 3 o 10M (10 mm) a N.o 11 (1-3/8”) o 32M (32 mm) la longitud de desarrollo, Ldh, para barras rectas no puede ser menor que: o x 2.5 veces la longitud dada en (1) si no hay más de 300 mm de hormigón, vaciado en una sola etapa, por debajo de la barra, o x 3.5 veces la longitud requerida en (1) si hay más de 300 mm de hormigón vaciado en una sola etapa, por debajo de la barra NSR-10, Sec.21.7.5.2 3. Las barras rectas que terminen en un nudo deben pasar a través del núcleo confinado de la columna o elemento de borde. Cualquier porción de Ld fuera del núcleo confinado debe incrementarse mediante un factor de 1.6 NSR-10, Sec.C.21.7.5.3 4. Si se utiliza refuerzo con recubrimiento epóxico, las longitudes de desarrollo dadas en (1) a (3) deben multiplicarse por el coeficiente apropiado de C.12.2.4 o C.12.5.3 NSR-10, Sec.C.21.7.5.4 333 6.9 Ejemplo de diseño Cuarta parte, diseño de nudos x E #  >  8  Se desea diseñar a cortante el nudo indicado, tanto en la dirección de la viga A como en la dirección de la viga 1. Se hará un paralelo, a través del ejemplo, del procedimiento a seguir para un nudo tipo 2 (DES) y uno tipo 1 (DMI y DES). fy = 420 MPa y f ’c = 21 MPa Clasificación del nudo: geométricamente, el nudo corresponde a un nudo exterior. Debe comprobarse que en la dirección del eje A el nudo esté adecuadamente confinado. by ¾ * hy 30 = ¾ * 40 cm 9 El nudo se clasifica como nudo exterior Análisis de la dirección A Momentos resistentes de la viga A: el refuerzo de la viga 1 se localiza encima del refuerzo de la viga A, de allí los valores de d’: 334 Nudo tipo 2 (DES) Nudo tipo 1 (DMI) y (DMO) Revisión de la adherencia: se revisa la dimension del nudo en la direccion de la viga A. Se asume que hay inversión de momentos hn 20 db = 20 * 2.91 = 38.2 cm La dimensión de 50 cm es aceptable Se asume que no hay inversión de momentos No hay requisitos especiales No hay restricción Cortante en la columna en la dirección A: Cortante en el nudo: 335 D = 1.25 D = 1.00 Tvi = D A’s fy = 1.25*4*2.84*4 200 Tvi = D A’s fy = 1.00*4*2.84*4 200 Tvi = 59 640 kgf Tvi = 47 712 kgf Cvd = D A+s fy = 1.25*2*2.84*4 200 Tvd = 47 712 kgf Cvd = 29 820 kgf Vnudo= Tvi + Cvd –Vc = 82 260 kgf Vnudo = Tvi - Tvd –Vc = 0.00 kgf Cortante en el nudo: No hay especificación bv =30 cm, bc=40 cm hn =50 cm, bn=(40+30)/2=35 cm  An = 50*35 = 1 750 cm2 Colocar los estribos mínimos IVc=86 224 kgf>Vnudo=82 260 kgf9 especificados para columnas Cálculo de los estribos: Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.4.b Cálculos según la NSR-10, Sec. C.21.3.5.7 Se colocarán estribos de cuatro ramas: Se colocarán estribos de cuatro ramas: Ash = 4 * 0.71 = 2.84 cm Ash = 4 * 0.71 = 2.84 cm2 fyt = 4 200 kgf/cm2, smáx = 10 cm fyt =4 200 kgf/cm2, cálculos para s=10 cm Recubrimiento = 4 cm Recubrimiento = 4 cm 2 bc = 32 cm, hc = 42 cm bc = 32 cm, hc = 42 cm Ag = b * h = 40x50 = 2 000 cm Ag = b * h = 40x50 = 2 000 cm2 Ach = bc* hc = 32*42 = 1 344 cm2 Ach = bc* hc = 32*42 = 1 344 cm2 Ash = 3.08 cm2 > 1.89 cm2 Ash = 2.05 cm2 > 1.26 cm2 No cumple Ash > 2.84 cm . Se puede reducir la separación a 9 cm, con lo cual: Se puede aumentar la separación de los estribos a 14 cm, con lo cual: Ash = 2.77 cm2 < 2.84 cm2 9 Ash = 2.87 cm2 2 2 2.84 cm2 9 Revisión de la separación de estribos: Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.3 Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.3.5.6 smax  15 cm smax  8 db = 8 * 1.91 = 15.28 cm smax  Menor dimensión/4 = 40/4 =10 cm smax  16 de = 16 * 0.95 = 15.20 cm smax  6 db = 6 * 1.91 = 11.46 cm smax  Menor dimensión/3=40/3 =13.3 cm smax  15 cm La solución EI3/8” c/9 cm, de cuatro ramas, es satisfactoria 336 La solución EI3/8” c/14 cm, de cuatro ramas, es satisfactoria Nudo tipo 2 (DES) Nudo tipo 1 (DMI) y (DMO) Análisis de la dirección 1 En la dirección A del nudo, era crítico el control de adherencia porque las barras de ¾” cambian de tensión en el ancho del nudo. En la dirección 1 este caso no se presenta, pero ahora es crítico el anclaje de las barras de refuerzo de la viga 1. Se asumió que el refuerzo de la viga 1 se localiza encima del refuerzo de la viga A. Momentos resistentes de la viga 1: el refuerzo de la viga 1 se localiza encima del refuerzo de la viga A, de allí los valores de d’: Revisión del anclaje para la barra 7/8”: NSR-10, Sec.C.21.7.5.1 D=1.25, db=2.22 cm, r =4 cm Ldh = 46.8 cm NSR-10, Sec.C.12.2.2 D = 1.00, db = 2.22 cm, r = 4 cm Ldh = 48.8 cm Esta Ldh puede multiplicarse por el factor 0.7 dado en la NSR-10, Sec.C.12.5.3.a. Cumple los requisitos exigidos Esta Ldh puede multiplicarse por el factor 0.7 dado en la NSR-10, Sec.C.12.5.3.a. Cumple los requisitos exigidos Ÿ Ldh = 0.7*46.8 = 32.76 cm Ÿ Ldh = 0.7*48.8 = 34.16 cm Sección crítica en el borde del núcleo confinado Sección crítica en el borde del nudo confinado bc=Ldh+2r+de=32.76+2*4+0.95 bc=Ldh+r +de =34.16+4+0.95 bc = 41.71 cm bc = 39.19 cm Los 40 cm de columna no son suficientes para anclar las barras de 7/8” Los 40 cm de la columna son suficientes 337 Nudo tipo 2 (DES) Nudo tipo 1 (DMI) y (DMO) Cortante en la columna en la dirección A: Cortante en el nudo: D = 1.25 D = 1.00 Tvd = D A’s fy=1.25*4*3.87*4 200 Tvd = D A’s fy = 1.00*4*3.87*4 200 Tvd = 81 270 kgf Tvd = 65 016 kgf Vnudo = Tvd – Vc = 74 650 kgf Vnudo = Tvd –Vc = 59 546 kgf Cortante en el nudo: No hay especificación bv =40 cm, bc=40 cm hj =40 cm, bj=(50+40)/2=45 cm 338 Aj =40*45 = 1 800 cm2 Colocar los estribos mínimos I Vc=86 687 kgf > Vnudo=74 650 kgf 9 especificados para columnas Nudo tipo 2 (DES) Nudo tipo 1 (DMI) y (DMO) Cálculo de los estribos: Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.4.b Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.3.5.7 Se colocarán estribos de cuatro ramas: Se colocarán estribos de cuatro ramas: Ash = 4*0.71 = 2.84 cm2 Ash = 4*0.71 = 2.84 cm2 fyt = 4 200 kgf/cm , Smáx = 10 cm fyt = 4 200 kgf/cm2, cálculos para s = 10 cm 2 Recubrimiento = 4 cm Recubrimiento = 4 cm bc = 42 cm, hc = 32 cm bc = 42 cm, hc = 32 cm Ag = b * h = 40x50 = 2 000 cm2 Ag = b * h = 40x50 = 2 000 cm2 Ach = bc* hc = 32*42 = 1 344 cm2 Ach = bc* hc = 32*42 = 1 344 cm2 Ash = 2.35 cm2 > 0.76 cm2 Ash = 1.56 cm2 > 0.96 cm2 Cumple 2.84 cm2 > Ash. Se puede aumentar la separación de los estribos a 12 cm: Se puede aumentar la separación de los estribos a 15 cm, con lo cual: Ash = 2.81 cm2 Ash = 2.34 cm2 < 2.84 cm2 9 2.84 cm2 9 Revisión de la separación de estribos: Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.3 Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.3.5.6 smáx  15 cm smáx = 8 db = 8*1.91 smáx  menor dimensión /4 =40/4 =10 cm smáx = 16 de = 16*0.95 = 15.20 cm smáx  6 db = 6*1.91 = 11.46 cm smáx = menor dimensión / 3 = 40/3 = 13.3 cm = 15.28 cm smáx = 15 cm La solución E I3/8” c/12 cm, de cuatro ramas, es satisfactoria La solución E I3/8” c/15 cm, de cuatro ramas, es satisfactoria Conclusión Como solución final se obtiene colocar estribos de 3/8”, de cuatro ramas, espaciados cada 9 cm, en ambas direcciones, para los nudos tipo 2 (DES) y cada 14 cm para los nudos tipo 1 (DMI y DMO). Con este refuerzo se satisfacen los requisitos de la NSR-10, Sec.C.11.4. La dimensión de la columna, de 40 cm, es insuficiente para anclar las barras de 7/8”, en los nudos tipo 2, y por tanto esta dimensión debe ampliarse como mínimo a 42 cm. 339 La diferencia fundamental entre un nudo tipo 1 (DMI y DMO) y un nudo tipo 2 (DES) es el cambio radical en el valor del cortante, debido a la inversión de momentos que presenta el nudo tipo 2. Esta situación es más crítica en los nudos interiores y exteriores. 6.10 Observaciones sobre la NSR-10 La NSR-10 asimila el comportamiento de los nudos de estructuras con DMI al de los nudos tipo 1. Un nudo tipo 1 corresponde a estructuras cuyo comportamiento es gobernado por las cargas gravitacionales. En este tipo de estructura no se presenta inversión de momentos y se esperan deformaciones inelásticas de poca importancia. El comportamiento de los nudos de estructuras con DES lo asimila la NSR-10 al de los nudos tipo 2. Un nudo tipo 2 corresponde a estructuras cuyo comportamiento es gobernado por las cargas sísmicas. En este tipo de estructura se presenta inversión de momentos y se esperan deformaciones inelásticas de gran importancia.  Ə$           DMO? Para responder esta inquietud, el autor, en su experiencia profesional y académica, ha analizado con el espectro de diseño dado para Medellín por la NSR-10 numerosas estructuras aporticadas y ha podido comprobar que en ellas se presenta el caso de inversión de momentos. Por otra parte, de acuerdo con el planteamiento formulado, se espera que una estructura con DMO tenga un comportamiento entre los dos extremos expuestos para DMI y DES, por lo que debe presentar deformaciones inelásticas de importancia. El anterior planteamiento concuerda con el elevado factor de ductilidad asumido para este tipo de estructuras. En conclusión, el comportamiento de los nudos de estructuras con DMO de ductilidad no puede asimilarse al de estructuras con DMI, como lo hace la NSR-10. Su comportamiento se asemeja más al de estructuras con DES. Es indispensable revisar la NSR-10, 340 7. Anexo A Teoría general de columnas 7.1 Columnas uniaxiales 7.1.1 Tipos de refuerzo En toda columna se tienen dos tipos de refuerzo: (   ## Está constituido por barras longitudinales, paralelas al eje de la columna. Su función es aumentar la capacidad de carga a flexocompresión y a la vez reducir la retracción del fraguado y el flujo plástico, mejorando el confinamiento del hormigón. x x (    B   Consiste en estribos, también llamados cercos o espirales, formados por barras de pequeños diámetros, dispuestos de modo que abracen el refuerzo longitudinal y lo mantengan vertical para evitar su pandeo durante el vaciado. Su función es confinar el hormigón y proporcionarle mayor ductilidad a la columna, en este sentido es más eficiente la espiral. Al igual que las barras longitudinales disminuye la retracción del fraguado y el flujo plástico. También evita el pandeo de las barras longitudinales y les brinda confinamiento lateral. 7.1.2 Tipos de columnas Los principales tipos de columnas de hormigón reforzado son: x "     ; en ellas las barras longitudinales se confinan con refuerzo transversal en estribos espaciados cada cierta distancia. Pueden ser cuadradas, rectangulares o poligonales. x "   # ; en ellas las barras longitudinales se confinan con refuerzo transversal en forma de espiral. Pueden ser circulares o cuadradas con refuerzo circular. 341 x x "   #  ; en ellas se embebe el hormigón en un perfil de acero. Pueden contener barras longitudinales con estribos o espirales. "         ; en ellas el tubo se llena con hormigón simple. Figura 7.1 Tipos de columnas Según el tipo de falla, las columnas se clasifican como: x " ; son aquellas en las que su capacidad de carga está controlada por las propiedades de los materiales que la conforman y por sus dimensiones. Su falla es por aplastamiento. x  ; son aquellas en las que la relación entre la longitud y las dimensiones laterales es muy alta, por ello, es posible una falla por pandeo. La esbeltez de la columna hace que las solicitaciones se incrementen por la deformación propia del elemento. Su análisis se hace mayorando las solicitaciones y con ellas se procede al diseño como si se tratase de columnas cortas. 7.1.3 Columnas rectangulares uniaxiales, simétricas, con refuerzo en dos caras La condición general de carga de una columna está representada por un momento flexionante, Mux, y por una carga axial, Pu, transmitidas por la placa o por las vigas de piso. 342 Figura 7.2 Acciones en columnas uniaxiales y biaxiales El sistema de cargas puede transformarse colocando la carga axial, Pu, con una excentricidad “ey” tal que Mux = Pu * ey . En el caso de flexión uniaxial, el eje neutro permanece paralelo a una de las caras de la columna, situación que no se presenta en flexión biaxial. Se asumen las siguientes hipótesis: x Se desprecia la resistencia del hormigón a la tracción. x El hormigón es utilizable hasta una deformación de 0.003 (NSR-10, Sec.C.10.2.3). x La deformación en el acero es igual a la del hormigón que lo rodea. x Las secciones planas permanecen planas. x En la zona elástica del acero es aplicable la Ley de Hooke. x El módulo de elasticidad del acero se tomará como: Es = 2 000 000 kgf/cm2 (NSR-10, Sec.C.8.5.2). x El módulo de elasticidad del hormigón se evaluará conforme a las especificaciones de la NSR-10, Sec.C.8.5.1. x Se asume una tensión uniforme de compresión en el hormigón de 0,85 f ’c, distribuida sobre una zona limitada por los bordes de la sección transversal y por una recta paralela al eje neutro a una distancia: a = E1 * c (NSR-10, Sec.C.10.2.7.1). x E1 se tomará como 0.85 para hormigones con f ’c  280 kgf/cm2. Para resistencias superiores se reduce a razón de 0.05 por cada 70 kgf/ cm2 de exceso sobre 280 kgf /cm2 pero E1 no será inferior a 0.65 (NSR-10, Sec.C.10.2.7.3). 343 Figura 7.3 Acciones mecánicas en los elementos de hormigón reforzado En el diseño se asume una tensión uniforme del bloque de compresiones de 0.85 f ’c en la cual f ’c representa la resistencia de laboratorio, se toma el 85% de este valor debido a: x La forma y tamaño de las probetas de ensayo son diferentes a la de las columnas, obteniéndose una resistencia mayor de la real. x El vaciado vertical de una columna induce segregación y exudación, lo cual desmejora la calidad del hormigón de la columna respecto a la de la probeta, y en la misma columna se obtiene un mejor hormigón en la parte inferior. Despreciando el hormigón desalojado se obtiene: Pu = Cc + Cs - Ts (7.1) Pu = I£\<Â_ ¹c ab + A’s f ’s - As f s ] (7.2) Mu = Pu * e = I£\<Â_ ¹c ab*(h/2 – a/2)+A’s f ’s*(d – d’)/2+As fs *(d – d’)/2] (7.3) Estas expresiones representan la capacidad de la columna para soportar carga externa, y pueden simplificarse si se emplea armadura simétrica, As = A’s. Conocidos los valores de las solicitaciones externas, Pu y Mu, la columna puede diseñarse a partir de estas expresiones, pero el proceso es muy laborioso pues de la expresión (7.2) hay que despejar el término “a” en función de la cuantía de acero y reemplazar su valor en la expresión (7.3). Para obviar la anterior dificultad, tradicionalmente, se ha recurrido a la elaboración de tablas y gráficos que permitan un análisis rápido y sencillo. Hoy en día, con los medios computacionales que existen, estos métodos tradicionales pierden su utilidad. 344 Los gráficos utilizados son un conjunto de diagramas que relacionan la carga y el momento de diseño, y se pueden hacer en forma dimensional o adimensional, según como se manejen las expresiones anteriores. Estos gráficos se denominan diagramas de interacción y representan el lugar geométrico de las cargas Pu y Mu, que representan la capacidad de la columna. En el proceso de diseño se conocen previamente las dimensiones y los materiales de la columna, pues inicialmente ha sido necesario realizar un análisis de estabilidad y de control de derivas; sólo cuando se han satisfecho las condiciones generales de estabilidad se obtienen las acciones sobre los elementos y se procede al diseño. A continuación analizaremos cómo se pueden trazar los diagramas dimensionales para columnas uniaxiales, simétricas, con refuerzo en dos caras. -7     La condición de falla balanceada existe cuando el refuerzo extremo en tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy, al mismo tiempo que el hormigón en compresión alcanza la deformación unitaria última supuesta de 0.003. En este caso, la distancia de la fibra extrema del hormigón a compresión al eje neutro se denomina cb, y la capacidad de carga y momento Pb y Mb. Figura 7.4 Diagrama de deformaciones para la condición de falla balanceada Del diagrama de deformaciones: Hs = Hy Huc = 0.003 Hy = fy /Es, f ’s= H’s * Es, Es=2 000 000 kgf/cm2 (7.4) 345 -7   6 Analizando el diagrama de deformaciones: Figura 7.5 Diagramas de deformación para condición de falla no balanceada Cuando c < cb, el acero localizado en la zona de tracciones presenta una deformación unitaria Hs > Hy, (fs = fy) Ÿ El acero a tracción controla el diseño. Por compatibilidad de deformaciones se obtiene: Para: Es = 2 000 000 kgf/cm2: f s = fy (7.5) Al reemplazar la expresión (7.5) en (7.2) y (7.3) se obtiene la capacidad de carga de la columna. Análisis de la falla a compresión Cuando c > cb se presenta: Hs < Hy Ÿ fs < fy , Ÿ; por compatibilidad de deformaciones se obtiene: (7.6) Para el acero a compresión se asume f ’s = fy y se revisa que se cumpla esta suposición una vez calculada la profundidad del eje neutro. 346 Si reemplazamos la expresión (7.6) en (7.2) y (7.5) obtenemos la capacidad de carga de la columna. 5      6 Para trazar los diagramas se acostumbra expresar la ecuación (7.3) respecto al centro plástico de la sección. Se conoce como centro plástico al centro de resistencia de la sección; este coincide con el centro geométrico para secciones simétricas. Estos diagramas se trazan seleccionando previamente los siguientes parámetros: x Dimensiones de la columna x Materiales x Cuantía de refuerzo A manera de ejemplo trazaremos el diagrama de interacción para la siguiente columna: Figura 7.6 Diagrama de interacción As total = U * bh = 0.015 * 30 * 40 = 18 cm2, d’ = r + de + db / 2 = 4.00 + 0.95 + db / 2 A’s = As = 9 cm2 6 cm d = h – d’ = 40 – 6 = 34 cm x -7     De (7.4): 347 De (7.2): Pb = I£\<Â_ ¹c ab b + A’s f ’y - As f y ] Pb Š\<’_£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\®Š_´'œ~¤ 59.17 t De (7.3): (d – d’)/2 = 14 cm MbŠ\<’_£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\¯[?\'œ™?`›´¯?\\¯['`›´¯?\\¯['`® Mb = 1 368.447 t-cm = 13.68 t-m Con estos valores de Pb y de Mb se obtiene el punto A del gráfico. -7    # 6$7#4 x 8 La máxima carga axial pura, sin excentricidad, (Mu = 0), que puede soportar una columna con estribos es: P0 = I¯£\<Â_ ¹c * (bh – As total) + As total * f y ] P0.Š\<’_¯£\<Â_¯?'\¯[~\¯\'Â`›'¯?\\®Š'’?Â'¤ En la práctica las cargas axiales puras no existen, por ello las normas exigen emplear una excentricidad mínima para el diseño, esta especificación se expresa indirectamente limitando la carga axial de diseño al 75% del valor obtenido para carga axial pura cuando se emplean estribos de confinamiento: Pu máx. = 0.75 * P0 (NSR-10, Sec.C.11.3.6.2). Pu máx. = 0.75 * I¯£\<Â_ ¹c * (bh – As total) + As total * f y ] Pu máx.Š\<œ_¯\<’_¯£\<Â_¯?'\¯[~\¯\‹'Â`›'¯?\\® 139 711 kgf En esta zona que controla la compresión las tensiones en los aceros obedecen a las siguientes relaciones: f ’s = f y = 4 200 kgf/cm2, De la expresión (7.2) con a = E1 * c: 348 (7.2) Reemplazando se obtiene: cmáx. = 37.74 cm, a máx = 0.85 * 37.74 = 32.08 cm. Una vez obtenido el valor de “c” debe revisarse la tensión del acero a compresión: De (7.3): Mu máx =I£\<Â_ ¹c a b*(h/2 – a/2) + A’s* fy *(d – d’)/2 + A’s* fs *(d – d’)/2 ] Mu máxŠ\<’_£\<Â_¯?'\¯~?<\¯~\¯[?\'’<\`›´¯?\\¯'›´¯[‹_´<’`¯'® Mu máx = 7 374.66 t-cm Con estos valores de Pu máx y de Mu máx se obtiene el punto H. Para trazar la gráfica hay necesidad de localizar nuevos puntos, la zona de compresiones está definida para valores de Pu comprendidos en el rango: 139.71 t (Pu máx) Pu 59.17 t (¨Pb); se procede ahora a asignarle a Pu valores que estén dentro de este rango, y con las expresiones (7.2) y (7.3) se localizan nuevos puntos. En este ejemplo se le asignan valores a Pu de 70 t, 80 t, 90 t, 100 t, 110 t y 120 t. x -7   6$7#4u min En esta zona las tensiones en los aceros obedecen a las siguientes relaciones: fs = fy = 4 200 kgf/cm2, f ’c  280 kgf/cm2, a = E1* c, E1 = 0.85, A’s = As = 9cm2, d=34 cm, d’=6 cm De (7.3): Mu = I£\<Â_ ¹c a b * (h/2 – a/2)+ A’s* f ’s * (d - d’)/2+ As* fy * (d - d’)/2] 349 El valor de I = 0.65 se puede aplicar sólo en el siguiente rango: 0.10 * f ’c * bh  Pu  Pb Para valores de Pu inferiores a Pu mín. = 0,10 * f ’c * bh, f debe calcularse mediante la expresión: (7.7) Pu mín = 0.10 * 210 * 30 * 40 = 25 200 kgf I = 0.65 para valores de Pu entre: 25.2 t (Pu mín)  Pu  59.17 t (Pb). Para valores de Pu < 25.2 t (Pu mín) el valor de I debe calcularse con la expresión (7.7). Calculamos inicialmente el valor de “c” que corresponde al valor de Pu mín: (7.2) Reemplazando se obtiene: cmin.=11.27 cm, a mmin= 0.85 * 11.31 = 9.58 cm De (A.3): Mu min =I£\<Â_ ¹c a b*(h/2 – a/2) +A’s* f ’s*(d - d’)/2 + As* fy * (d - d’)/2] Mu min Š\<’_£\<Â_¯?'\¯´<_¯~\¯[?\<œ´`›´¯?Â\’<_~¯'›´¯[?\\<\`¯'® Mu min = 1 081.00 t-cm Con estos valores de Pu mín y de Mu min se obtiene el punto N.o 4. Para trazar la gráfica en la zona que controlan las tracciones hay necesidad de localizar nuevos puntos, la zona de tracciones está definida para valores de Pu inferiores a Pb = 59.17 t; se procede ahora a asignarle a Pu valores que estén dentro de los siguientes rangos: Para: 25.2 cm (Pu mín)  Pu  59.17 t (Pb), rango en el cual I = 0.65 Para: 0 < Pu  25.2 cm (Pu mín), 0.65 y 0.90, ver expresión (7.7) 350 rango en el cual I varía entre Para elaborar el gráfico se le asignan valores a Pu de: 0 t, 5 t, 10 t, 20 t, 30 t, 40 t y 50 t. -7   6$7#4u H+ x Este caso corresponde al de una viga, I = 0.90 Localización del eje neutro: C = T, 0.85 f ’c ab + A’s f ’s = As fs Para este caso: Reemplazando valores se obtiene: c = 6.84 cm, a = 5.83 cm y f ’s = 736 84 kgf/cm2 Mu = I£\<Â_ ¹c ab * (d - a/2) + A’s f ’s * (d - d’)] Mu=I£\<Â_¯?'\¯_<Â~¯~\¯[~?<´'_`›´¯œ~’<¯[~’`®¯'\-5= 10.41 t-m Tabla 7.1 Cálculo de los puntos que definen el diagrama de interacción c Pu fs f ’s Mu cm t kgf/cm2 kgf/cm2 t-m 0.65 37.74 139.71 - 594.60 4 200 7.37 G 0.65 32.72 120.00 234.91 4 200 9.53 F 0.65 30.32 110.00 729.12 4 200 10.42 E 0.65 28.02 100.00 1 279.47 4 200 11.20 D 0.65 25.85 90.00 1 890.77 4 200 11.88 C 0.65 23.81 80.00 2 567.47 4 200 12.50 B 0.65 21.91 70.00 3 315.07 4 200 13.08 A 0.65 20.00 59.17 4 200 4 200 13.68 1 0.65 17.43 50.00 4 200 3 934.03 13.15 2 0.65 14.78 40.00 4 200 3 563.95 12.36 3 0.65 12.35 30.00 4 200 3 084.08 11.35 4 0.65 11.27 25.20 4 200 2 806.53 10.81 5 0.70 9.90 20.00 4 200 2 362.22 10.79 6 0.80 8.04 10.00 4 200 1 521.83 10.63 7 0.85 7.38 5.00 4 200 1 121.29 10.53 8 0.90 6.84 0.00 4 200 736.84 10.41 Punto f H Modo de falla Controla la compresión Balanceada Controla la tracción 351 Figura 7.7 Diagrama de interacción dimensional para una cuantía de 0.015, considerando f ’c = 210 kgf/cm2, fy = 4 200 kgf/cm2, d = 34 cm, d’ = 6 cm Se ha calculado la curva correspondiente a una cuantía de 0.015, pero puede trazarse una familia de curvas que representen diferentes valores de la cuantía (0.01  U  0.04). Para su aplicación en los ejemplos se han desarrollado estas gráficas variando la cuantía entre los límites permitidos a un intervalo de 0.005. Una columna cuyas dimensiones y propiedades correspondan a la analizada, puede diseñarse fácilmente buscando el punto del diagrama que corresponda a las solicitaciones, Pu y Mu. Obtenida la cuantía se calcula el refuerzo y se dispone simétricamente en dos caras. 352 Figura 7.8 Familia de curvas de interacción de columnas para cuantías que varían entre 0.01, curva N.o 1, hasta 0.04, curva N.o 4 Hay necesidad de recurrir a la elaboración de un programa de computador que permita resolver rápidamente el elevado número de operaciones que conlleva el diseño de una columna. Uno de los mejores –sino el mejor– de los programas comerciales que se encuentran en el mercado es el PCACOL. 7.2 Columnas biaxiales El método desarrollado en la sección anterior permite el diseño de columnas de secciones rectangulares cuando se presenta la flexión con respecto a uno de los ejes principales; esta, sin embargo, no es la situación general en el diseño de columnas. Ellas hacen parte de un entramado espacial y están solicitadas a flexión, respecto a sus dos ejes principales. Las columnas sometidas a carga axial pura no existen. En estructuras aporticadas, las vigas de piso y las columnas son fundidas monolíticamente y esta situación produce algunos momentos en los extremos restringidos de las columnas. 353 Figura 7.9 Flexión uniaxial sobre los ejes Y y X, respectivamente Los ejes X y Y son los ejes principales de la sección. En la figura 7.9 (a) la sección se somete a flexión sobre el eje Y al aplicarse la carga axial sobre el eje X, con una excentricidad ex, tal que Muy = Puz * ex. El diagrama de interacción de este caso corresponde a la curva ilustrada como caso (a) de la figura 7.9, la cual muestra el diagrama de interacción biaxial. Esta curva es calculada de acuerdo con el procedimiento descrito en la sección anterior. De manera análoga, en la figura 7.9, se ilustra como caso (b) la curva que corresponde al diagrama de interacción para la flexión sobre el eje X, al tener la carga axial una excentricidad ey, Mux = Puz * ey. El caso (c), ilustrado en la figura 7.10, corresponde al caso de flexión biaxial en el cual la carga axial Puz se aplica en un plano que forma un ángulo a con el eje X. D = arc tg (ex / ey) = arc tg (Muy / Mux) (7.8) En este caso la flexión se presenta con respecto al eje neutro que forma un ángulo E con respecto al eje X. El ángulo a define un plano en la figura 7.9 que pasa por el eje Pu y forma un ángulo D con el eje X. Para construir el diagrama tridimensional de interacción hay necesidad de asignarle valores a la profundidad “c” del eje neutro y al ángulo E de su inclinación, esto hace que su construcción sea mucho más difícil, desde el punto de vista operativo, que el caso correspondiente a columnas uniaxiales; su principal dificultad obedece a que el eje neutro no va a ser perpendicular a la excentricidad, la zona de compresión es de forma triangular o trapezoidal, y las deformaciones de cada barra serán diferentes. 354 Figura 7.10 Flexión biaxial, diagrama tridimensional de interacción Para obviar las dificultades operativas de una solución exacta se utilizan métodos aproximados, mucho más simples. Entre estos métodos se pueden mencionar: x Método de la carga de contorno o de la superficie de falla. x Método de la carga inversa, desarrollado por Bresler. Para el análisis y diseño de las columnas biaxiales se selecciona, en este texto, el método de la ecuación de la superficie de falla presentado en el I  del ACI, de marzo y abril de 1988. Este método se basa en el análisis uniaxial de columnas, tema ampliamente discutido en las secciones anteriores; es sencillo de aplicar y proporciona una solución muy cercana a la exacta, con un error de precisión aceptable dentro del campo de la seguridad. 7.2.1 Método de la superficie de falla La ecuación que representa la superficie de falla del diagrama de interacción para columnas de hormigón reforzado con estribos, sujetas a flexión biaxial combinada con carga axial, es la siguiente: (7.9) 355 Figura 7.11 Método de la superficie de falla para el análisis biaxial de columnas En donde: Pu =carga axial mayorada, positiva para compresión y negativa para tracción. Mux = momento flector mayorado sobre el eje X. Muy = momento flector mayorado sobre el eje Y. Po = máxima carga axial teórica que puede soportar la columna, positiva para compresión y negativa para tracción. Pb = carga axial mayorada para condiciones balanceadas. Mbx = momento mayorado en condiciones balanceadas sobre el eje X. Mby = momento mayorado en condiciones balanceadas sobre el eje Y. 356 Figura 7.12 Diagrama de inteacción de columnas biaxiales en la zona de cargas axiales de tracción Cálculo de Po: Para falla a compresión: Po = 0.85 I *f ’c * (Ag – Ast) + I * Ast * fy Para falla a tracción: Po = – I * Ast * fy I = 0.65 I = 0.90 (7.10) (7.11) Ag = b*h Ast = área total del refuerzo Cálculo de Pb: se calcula tal como se explicó en la sección anterior: se asume que el acero colocado en la capa externa a tracción alcanza su deformación de cedencia (Hy = 0.0021), al mismo tiempo que el hormigón alcanza en su fibra extrema a compresión la máxima deformación permitida (Huc = 0.003). x 4     > Deben definirse previamente las dimensiones de la sección y los materiales a utilizar. Mediante un análisis estructural se determinan los valores de diseño Pu, Mux y Muy. 357 Se asume una cuantía de refuerzo entre los límites del 1% al 4%, se selecciona el refuerzo y se procede a evaluar la carga para las condiciones de falla balanceada. Para una sección cuadrada con refuerzo simétrico, la carga balanceada es la misma para la flexión sobre el eje X y para la flexión sobre el eje Y. Cuando la sección es rectangular, la carga balanceada evaluada para la flexión sobre el eje X, Pbx, es diferente al valor de la carga balanceada evaluada para la flexión sobre el eje Y, Pby, en este caso debe hacerse una interpolación para evaluar el valor de la carga balanceada sobre el plano de flexión, D. Figura 7.13 Plano del diagrama de interacción en el caso de columnas biaxiales D = arc tg (Muy / Mux) Pb = Pbx‹‰b x Cálculo de Mbx Se analiza la flexión sobre el eje X sin tener en cuenta la flexión sobre el eje Y; con el valor de Pbx determinado mediante la ecuación (7.3) se calcula el valor de Mbx. x Cálculo de Mby Se analiza la flexión sobre el eje Y sin tener en cuenta la flexión sobre el eje X; con el valor de Pby determinado mediante la ecuación (7.3) se calcula el valor de Mby. 358 Pu = Cc + Cs – Ts (7.12) (7.13) Para mayor precisión en la expresión (7.6) debe adicionarse el término que considera el hormigón desalojado por el acero. x Controles al proceso de diseño Cuando controla la compresión: debe comprobarse que la carga axial no sobrepase el valor máximo permitido por la NSR-10; si este valor se sobrepasa la sección es insuficiente. Pu máx = 0.80 I£\<Â_ȹc * (bh – As total) + As total * ƒy] (7.14) Cuando controla la tracción: debe comprobarse que la carga axial no sea inferior al valor mínimo dado por la NSR-10 (0.10 * f ’c* bh); de ser así, puede calcularse el valor del factor de sub resistencia I, interpolando linealmente entre 0.90 y 0.65. (7.15) 7.3 Ejercicios Ejercicio 1 Se desea diseñar la columna cuya sección transversal se indica en la siguiente figura. El acero de refuerzo se colocará en dos capas paralelas a la base “b”, que estarán localizadas a 6 cm de los bordes de la sección. Es = 2 000 000 kgf/cm2. 359 Debe calcularse el valor de la carga axial, para las condiciones balanceadas, con el fin de determinar si el diseño es controlado por la tracción o por la compresión. I=0.65 E1=0.85 para f ’c  280 kgf/cm2 d=h – d’=40 – 6=34 cm Se supone que f ’s = fy , y al final se revisa si se cumple o no: Pu>PbÖcontrola la compresión, I=0.65, Solución: 100 000 / 0.65 =0.85 *210 *(0.85 *c *30 – A’s)+ A’s * 4 200 - As*6 000 *(34 – c) / c A’s = As = As total / 2 360 La ecuación de momentos referida al centro plástico es: De donde: Igualando las dos expresiones de As total: c = 28.26 cm, As total = 18.00 cm2, U = As total / bh = 0.015 fs = 1 219 kgf / cm2 Revision de f ’s:  Ö el acero a compresión entra en cedencia tal como se supuso. 361 Solución empleando el programa del texto: U = 0.0015, As = 18 cm2: Solución utilizando el programa de la PCACOL: U = 0.015, As = 18 cm2: 362 Ejercicio 2 Se desea resolver el ejercicio anterior para las siguientes solicitaciones: Pu = 30.00 t, Mu = 20.20 t-m. Debe analizarse si para esta condición de carga el diseño es controlado por la tracción o por la compresión. En el ejercicio anterior se ha deducido el valor de la carga axial en condiciones balanceadas. Pb = 59.17 t. Pu < Pb controla la tracción y debe determinarse el valor que se debe tomar para el factor de sub resistencia, I: Pu mín = 0.10 f ’c Ag = 25 200 kgf Pu > Pu mín Ÿ I = 0.65 Solución empleando el programa del texto: U = 0.035, As = 42.00 cm2: 363 Solución con el programa PCACOL: U = 0.035, As = 42 cm2: Ejercicio 3 Se desea calcular la pareja de valores Pu y Mu que corresponden a la condición de Pmín, Pb, y Pmáx. La sección está reforzada con 16 barras de 1’’ dispuestas simétricamente en sus cuatro caras. Es = 2 000 000 kgf/cm2. fy = 4 200 kgf/cm2 y f ’c = 280 kgf/cm2. x B6 6 $4 Para evaluar el valor de la carga balanceada se numeran las capas de acero. En estas condiciones el acero de la capa externa alcanza su deformación de fluencia (Hs5 = fy /Es = 0.0021) al mismo tiempo que el hormigón alcanza en su fibra extrema a compresión una deformación de Huc = 0.003. Utilizando la proporcionalidad de las deformaciones se calcula la profundidad del eje neutro cb. 364 Deben determinarse las deformaciones del refuerzo interior para obtener, a partir de ellas, sus tensiones de trabajo. fs5= 4,200 kgf/cm2, As1=As5=25.50 cm2, As2=As3=As4=10.20 cm2 La solución “exacta” se obtiene considerando el concreto desalojado por el acero localizado en la zona de compresiones (capas 1, 2 y 3 de refuerzo). Pb = I£\<Â_ ¹c ab + A’s1 f ’s1 + A’s2 f ’s2 + A’s3 f ’s3 - {A’s1 + A’s2 + A’s3} * 0.85 f ’c – As4 fs4 – As5 fs5] Para I = 0.65 Ÿ Pb = 196.86 t 365 Tomando momentos respecto al centro plástico: Mb = I£\<Â_ ¹c ab (h/2 – a/2) + A’s1 f ’s1 (h/2 – 7.50) + A’s2 f ’s2 (h/2 – 17.5) + A’s3 f ’s3 (h/2 – 27.50) – A’s1 * 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) – A’s2 * 0.85 f ’c (h/2 – 17.50) – A’s3 * 0.85 f ’c (h/2 – 27.50) + As4 fs4 (h/2 – 17.50) + As5 fs5 (h/2 – 7.50)] Mb = I£\<Â_¯?Â\¯?~<œ_¯__¯[?œ<_\?~<œ_™?`›_¯_<'¯ 200 * 20 + 2 * 5.1 * 2 242.08 * 10+ 2 * 5.1 * 94.72 * (0)– 5 * 5.1 * 0.85 * 280 * 20 – 2 * 5.1 * 0.85 * 280 * 10 – 2 * 5.1 * 0.85 * 280 * (0) + 2 * 5.1 * 2 052.68 * 10 + 5 * 5.1 * 4 200 * 20] Mb = 61.32 t-m Evaluación de la condición de Pu = Pu máx. Pu máx = I Pu = 0.75 * I¯£\<Â_¯f ’c * (Ag – As total) + fy As total] Pu máxŠ\<œ_¯\<’_¯£\<Â_¯?Â\¯[__¯__'’¯_<'\`›?\\¯'’¯_<'® Pu máx = 508.58 t Domina la compresión; el acero localizado en la capa externa fluye, f ’s1 = fy = 4 200 kgf/cm2. Si se considera el hormigón desalojado, para los materiales empleados se cumple que a = E1*c = 0.85*c. Se asume que el eje neutro se localiza entre la tercera y cuarta capa de refuerzo (27.5 cm  cb  37.5 cm).  _\Â_Â\Š\<’_¯£\<Â_¯ ¹c*ab - (A’s1 + A’s2 + A’s3) * 0.85 f ’c + A’s1 fy + A’s2 f ’s2 + A’s3 f ’s3 – As4 fs4 – As5 fs5] 782 430 = 11 126.50 *c - 10 924.20 + 5*5.1*4 200 + 2*5.1*6 000 * (c – 17.50) / c + 2*5.1*6 000 * (c-27.5) / c - 2*5.1*6 000 * (37.5 – c) / c - 5*5.1*6 000 * (47.5 – c) / c 11 126.50 * c2 – 349 654.97 * c –12 316 500.00 = 0 Ÿ c = 52.51 cm El eje neutro no está localizado en la sección estimada. Todo el refuerzo está trabajando a compresión, para un cálculo exacto hay que 366 replantear la ecuación de equilibrio considerando que todas las cinco capas de refuerzo desalojan concreto a compresión.  _\Â_Â\Š\<’_¯£\<Â_¯ ¹c*ab – (A’s1+A’s2 + A’s3 + A’s4 + A’s5) * 0.85 f ’c + A’s1 fy + A’s2 f ’s2 + A’s3 f ’s3 + A’s4 f ’s4 + A’s5 f ’s5] 11 126.50 * c2 – 358 151.57 * c –12 562 830.00 = 0 Ÿc=53.35 cm Ÿa = 45.35 cm f ’s1 = 4 200 kgf/cm2, f ’s2 = 4 031.87 kgf/cm2, f ’s3 = 2 907.22 kgf/cm2, f ’s4 = 1 782.57 kgf/cm2, f ’s5 = 657.92 kgf/cm2 Momento respecto al centro plástico: Mu = I£\<Â_ ¹c ab (h/2 – a/2) + A’s1 f ’s1 (h/2 – 7.50) + A’s2 f ’s2 (h/2 – 17.5) + A’s3 f ’s3 (h/2 – 27.50) – A’s4 f ’s4 (h/2 – 17.50) – A’s5 f ’s5 (h/2 – 7.50) - A’s1 * 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) – A’s2 * 0.85 f ’c (h/2 – 17.50) – A’s3 * 0.85 f ’c (h/2 – 27.50) + As4 * 0.85 f ’c (h/2 – 17.50) + As5 * 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) ] Mu = I £\<Â_¯?Â\¯_<~_'¯__¯[?œ<_ ‹ _<~_ ™ ?` › _¯_<'¯ ?\\ *(20) + 2*5.1*4 031.87*(10) + 2*5.1*2 907.22*(0)– 2 *5.1 *1 782.57*(10) – 5*5.1*657.92*(20) – 5*5.1*0.85 *280 *(20) –2*5.1* 0.85*280*(10) – 2*5.1*0.85*280 *(0) + 2*5.1*0.85*280*(10) + 5*5.1*0.85*280*(20)] Mu = 31.85 t-m, e = Mu / Pu = 6.26 cm Evaluación de la condición Pu = Pmín. I es igual a 0.65 para valores de Pu superiores o iguales a Pu mín = 0.10 *f ’c*bh = 0.10*280*55*55 = 84 700 kgf. En este caso Pu min < Pb controla la tracción, la capa N.o 5 del refuerzo fluye, fs5 = 4 200 kgf/cm2. Luego de varias aproximaciones se deduce que el eje neutro se localiza entre la segunda y tercera capa de refuerzo (17.5 cm  cb  27.5 cm) y que el refuerzo de las capas cuarta y quinta esta en fluencia. 367  Âœ\\Š\<’_¯£\<Â_¯ ¹c*ab – (A’s1 + A’s2) * 0.85 f ’c + A’s1 f ’s1 + A’s2 f ’s2 + A’s3 f ’s3 – As4 fs4 – As5 fs5] 134 461.54 = 11 126.50 * c – 8 496.60 + 5*5.1*6 000 * (c - 7.5) / c + 2*5.1*6 000* (c – 17.50) / c + 2*5.1*6 000 *(c – 27.5) / c – 2*5.1*4 200 – 5*5.1 * 4 200 11 126.50 * c2 – 13 344.29 * c – 3 901 500.00 = 0 Ÿ c = 19.36 cm, a = 16.43 cm f ’s1 = 3 672 kgf/cm2, f ’s2 = 568 kgf/cm2, f ’s3 = - 2 536 kgf/cm2 (tracción), fs4 = 4 200 kgf/cm2, fs5 = 4 200 kgf/cm2 Mu = I£\<Â_ ¹c ab (h/2 – a/2) + A’s1 f ’s1 (h/2 – 7.50) + A’s2 f ’s2 (h/2 – 17.5) + A’s3 f ’s3 (27.5 – h/2) + A’s4 fy (37.5 – h/2) + A’s5 fy (47.5 – h/2) - A’s1 * 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) – A’s2 * 0.85 f ’c (h/2 – 17.50)] Mu = I£\<Â_¯?Â\¯'’<~¯__¯[?œ<_'’<~™?`›_¯_<'¯~ 672 *(20) + 2 * 5.1 * 568 * (10) + 2 * 5.1 * 2 536 * (0) + 2 * 5.1 * 4 200 * (10) +5 * 5.1 * 4 200 * (20) – 5 * 5.1 * 0.85 * 280 * (20) – 2 * 5.1 * 0.85 * 280 *(10)] Mu = 55.27 t-m Evaluación de la condición Pu = 0. Luego de varias aproximaciones se deduce que el eje neutro se localiza entre la primera y segunda capa de refuerzo (7.5 cm  cb  17.5 cm) y que el refuerzo de la tercera, cuarta y quinta capa están en fluencia. 0.85*f ’c*ab – A’s1 * 0.85 f ’c + A’s1 f ’s1 = As2 f ’s2 + As3 f ’s3 – As4 fs4 – As5 fs5 368 11 126.50 * c – 6.049 0 + 5*5.1*6 000 * (c – 7.5) / c = 2*5.1* 6 000* (17.5 - c) / c + 2*4 200 + 2*5.1*4 200 + 5*5.1 * 4 200 11 126.50 * c2 + 15 531.00 * c – 2 218 500.00= 0 Ÿ c=13.44 cm, a = 11.424 cm f ’s1 = 2 651.79 kgf/cm2, fs2 = 1 812.50 kgf/cm2, fs3 = fs4 = fs5= 4 200 kgf/cm2 Se toma momento en la capa cinco del refuerzo: Mu = I£\<Â_ ¹c ab(47.5 – a/2) + A’s1 f ’s1 (40) - As2 fs2 (30) + As3 fy (20) + As4 fy (10) - A’s1 * 0.85 f ’c (40)] Mu = I £ \<Â_¯?Â\¯''<?¯__¯[œ<_  ''<?™?` › _¯_<'¯? ’_'<œ´ *(40) - 2*5.1*1 812.50*(30) + 2*5.1*4 200*(20) + 2*5.1* 4 200*(10) – 2*5.1* 0.85*280*(40) ] I = 0.90, Mu = 6.18 t-m Solución con el programa de la PCACOL: 369 Ejercicio 4 Se desea diseñar la columna del Ejercicio 1 aplicando el método de la superficie de falla. El acero de refuerzo se dispone en dos filas paralelas a “b” que estarán ubicadas a 6.0 cm del borde de la sección. Es = 2 000 000 kgf/cm2. d’ = 6.00 cm d = h – d’ = 40.00 – 6.00 = 34.00 cm Análisis de la profundidad del eje neutro para la condición balanceada. Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene: cb = 20 cm, H’s = 0.0021 En consecuencia: a = E1 cb = 0.85 * 20 = 17 cm f ’s = H’s * Es = 4 200 kgf/cm2 370 La solución por el método de la superficie de falla es un proceso iterativo en el cual hay que suponer el refuerzo y buscar la cantidad que satisface la ecuación del método con precisión aceptable. Para iniciar se asume una cuantía del 2.00% . As total = 0.020 * 30 * 40 = 24 cm2, As = A’s = 12.00 cm2 Pu máx=0.80 * I¯£\<Â_ ¹c*(bh–As total)+As total*fy] = 161,572.32 kgf > 100 000 kgf Pu > Pbx Ÿ controla la compresión Para este caso, el momento Muy = 0 Ÿ no hay necesidad de calcular el Mby. Cálculo del momento Mbx respecto al centro plástico. Pu = I£\<Â_¯ ¹c * ab + A’s f ’s – As fs ] Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + As * fs * (h/2 - d’)] Mbx Š\<’_¯£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\¯[?\Â<_`›'?¯?\\¯'›'?¯ 4 200*14] Mbx = 1 597 766.63 kgf-cm Cálculo de Po: Po = I¯£\<Â_ ¹c * (bh – As total) + As total * fy] = 201 965.54 kgf Aplicación de la ecuación de la superficie de falla: 371 La solución no es satisfactoria, tiene un error del 14.8%; para aumentar el valor de la expresión anterior debe disminuirse el denominador, lo cual se logra reduciendo la cantidad de acero. Se selecciona ahora una cuantía del 1.5%. Se reduce la cuantía al 1.5% buscando que la expresión de la superficie de falla se aproxime a la unidad con precisión aceptable. As total = 0.015*30*40 = 18.00 cm2 As = A’s = 9.00 cm2 Pu máx=0.80 I¯£\<Â_f ’c * (bh – As total) + As total* fy] = 149 025.24 kgf > 100 000 kgf Cálculo del momento Mbx respecto al centro plástico. Pu = I£\<Â_¯ ¹c * ab + A’s f ’s - As fs ] Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + As * fs * (h/2 - d’)] MbxŠ\<’_¯£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\¯[?\Â<_`›´¯?\\¯'›´¯ 4 200*14] Mbx = 1 368 446.63 kgf-cm Po = I¯£\<Â_ ¹c * (bh – As total) + As total * fy] = 186 281.55 kgf 372 El error con respecto a la solución exacta del Ejercicio 1 es mínimo, la solución es correcta. As total = 18 cm2. Ejercicio 5 Se desea diseñar la columna del Ejercicio 2 aplicando el método de la superficie de falla. El acero de refuerzo se dispone en dos filas paralelas a “b” que estarán ubicadas a 6.0 cm del borde de la sección. Es = 2 000 000 kgf /cm2. d’ = 6.00 cm d = h – d’ = 40.00 – 6.00 = 34.00 cm Análisis de la profundidad del eje neutro para la condición balanceada Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene: cb = 20 cm, H’s = 0.0021 En consecuencia: a = E1 cb = 0.85 * 20 = 17 cm f ’s = H’s * Es = 4.200 kgf/cm2 373 La solución por el método de la superficie de falla es un proceso iterativo en el cual hay que suponer el refuerzo y buscar la cantidad que satisface la ecuación del método con precisión aceptable. Para iniciar se asume una cuantía del 3.00%. As total = 0.030 * 30 * 40 = 36 cm2, As = A’s = 18.00 cm2 Pu máx=0.80 * I¯£\<Â_ ¹c*(bh – As total) As total * fy] = 186 666.48 kgf > 30 000 kgf Pu < Pbx Ÿ controla la tracción Cálculo del momento Mbx respecto al centro plástico. Pu = I£\<Â_¯ ¹c * ab + A’s f ’s - As fs ] Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + As * fs * (h/2 - d’)] MbxŠ\<’_¯£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\¯[?\Â<_`›'¯?\\¯'›'¯ 4 200*14] Mbx = 2 056 406.63 kgf-cm Para este caso, el momento Muy = 0 Ÿ no hay necesidad de calcular el Mby. Cálculo de Po: Po = – I * As total * fy = - 98 280.00 kgf Aplicación de la ecuación de la superficie de falla: 374 La solución no es satisfactoria, tiene un error del 15.9%, para reducir el valor de la expresión anterior debe aumentarse el valor del denominador, lo cual se logra aumentando la cantidad de acero. Se aumenta la cuantía al 3.5% buscando que la expresión de la superficie de falla se aproxime a la unidad con precisión aceptable. As total = 0.035*30*40 = 42.00 cm2 As = A’s = 21.00 cm2 Pu máx=0.80 *I¯£\<Â_f ’c * (bh – As total)+As total*fy] = 199 213.56 kgf > 30 000 kgf Cálculo del momento Mbx respecto al centro plástico. Pu = I£\<Â_¯ ¹c * ab + A’s f ’s - As fs ] Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + As * fs * (h/2 - d’)] Mbx Š\<’_¯£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\¯[?\Â<_`›?'¯?\\¯'›?'¯ 4 200*14] Mbx = 2 285 726.63 kgf-cm Pu < Pbx Ÿ controla la tracción Po = – I* As total * fy = -114 660.00 kgf El error con respecto a la solución exacta del Ejercicio 2 es mínimo, la solución es correcta. As total = 42 cm2. 375 Ejercicio 6 Se desea revisar si el diseño de una columna corta con estribos, cuya sección y propiedades se indican, es apropiada para las solicitaciones indicadas, la columna ha sido reforzada con 8 barras N.o 8 (As = 40.80 cm2). El análisis se hará por el método de la superficie de falla. Pu máx=0.80* I£\<Â_¯ ¹c * (bh – As total)+As total* fy ]=430 585.79 kgf > 230 000 kgf Análisis de la flexión sobre el eje X, para condiciones balanceadas (b = 70 cm, h = 40 cm) Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene: cb = 20 cm, H’s = 0.0021, H’s1 = 0.0000 En consecuencia: a = E1 cb = 0.85 * 20 = 17 cm f ’s = e’s * Es = 4 200 kgf/cm2 f ’s1 = e’s1 * Es = 0.00 kgf/cm2 376 Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 – a/2) + A’s* f ’s * (h/2 – d’) + A’s1* f ’s1 * (h/2 - d1’) + As* fs * (h/2 - d’)] MbxŠ\<’_¯£\<Â_¯?Â\¯'œ¯œ\¯[?\Â<_`›'_<~¯?\\¯' + 10.2 * 0.00 * 0.00 + 15.3 * 4 200 * 14] Mbx = 3 286 601.50 kgf-cm Análisis de la flexión sobre el eje Y, para condiciones balanceadas (b = 40 cm, h = 70 cm) Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene: cb = 37.647 cm, H’s = 0.00252, H’s1 = 0.000211 En consecuencia: a =E1 cb=0.85 * 37.647=32.00 cm f ’s = H’s * Es = 4 200 kgf/cm2 fs1 = Hs1 * Es = 421.87 kgf/cm2 Mby = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + As1 fs1 * (h/2 - d1) + As * fs * (h/2 - d’)] Mby Š\<’_¯£\<Â_¯?Â\¯~?¯\¯[~_'’`›'_<~¯?\\¯?´ + 10.2 * 421.87 * 0.00 + 15.3 * 4 200 * 29] Mby = 6 184 906.00 kgf-cm 377 Cálculo de Pb por interpolación Hay necesidad de interpolar por ser Pbx z Pby D = arc tg (Muy /Mux) = 5.33°  Pb = 184 917.55 kgf Pu > Pnb Ÿ controla la compresión Cálculo de Po: Po = I¯£\<Â_ ¹c * (bh – As total) + As total * fy] = 538 232.24 kgf Aplicación de la ecuación de la superficie de falla: Solución satisfactoria. En la siguiente figura se puede ver el resultado obtenido utilizando el programa de la PCACOL, para el cual se obtuvo una cuantía de diseño de 1.46%, que corresponde a un área del refuerzo de 40.80 cm2, valor exacto al obtenido por el método de la superficie de falla. 378 Ejercicio 7 Se desea revisar si el diseño de una columna corta con estribos, cuya sección y propiedades se muestran, es apropiada para las solicitaciones indicadas, la columna ha sido reforzada con 8 barras N.o 7 (As = 30.96 cm2). El análisis se hará por el método de la superficie de falla. Pu máx=0.80 *I£\<Â_¯ ¹c*(bh – As total)+As total * fy ] = 286 553.03 kgf > 70 00 kgf Análisis de la flexión sobre el eje X para condiciones balanceadas, (b = 60 cm, h = 30 cm) 379 Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene: cb = 14.12 cm, H’s = 0.001725, Hs1 = 0.000188 En consecuencia: a = E1 cb = 0.85 * 14.11 = 12.00 cm f ’s = H’s * Es = 3 445.00 kgf/cm2 fs1 = Hs1 * Es = 375.00 kgf/cm2 Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s * f ’s * (h/2 - d’) + As1 * fs1 * (d1- h/2) + As * fs * (h/2 - d’)] Mbx Š\<’_¯£\<Â_¯?Â\¯'?¯’\¯['_’`›''<’'¯~_¯´›œ<œ * 0375.00 * 0.00 + 11.61*4 200*9] Mbx = 1 521 692.93 kgf-cm Análisis de la flexión sobre el eje Y, para condiciones balanceadas (b = 30 cm, h = 60 cm) Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene: cb=31.765 cm, H’s=0.002433, H’s1=0.000167 En consecuencia: a = E1 cb = 0.85 * 31.764 = 27.00 cm f ’s = H’s * Es = 4 200 kgf/cm2 f ’s1 = H’s1 * Es =333.33 kgf/cm2 380 Mby = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + A’s1 f ’s1 * (h/2 - d’1) + As * fs * (h/2 - d’)] Mby Š\<’_¯£\<Â_¯?Â\¯?œ¯~\¯[~\'~<_`›''<’'¯?\\ * 24 + 7.74 * 333.33 * 0.00 + 11.61 * 4 200 * 24] Mby = 3 588 939.90 kgf-cm Cálculo de Pb por interpolación Hay necesidad de interpolar por ser Pbx z Pby D = arc tg (Muy /Mux) = 30.256° Pb = 111 593.79 kgf Pu < Pb Ÿ controla la tracción Cálculo de Po Po = – I *As total * fy = – 84 520.80 kgf Aplicación de la ecuación de la superficie de falla Solución satisfactoria. 381 En la siguiente figura se puede ver el resultado obtenido utilizando el programa de la PCACOL, para el cual se obtuvo una cuantía de diseño de 1.72%, que corresponde a un área del refuerzo de 30.86 cm2, valor exacto al obtenido por el método de la superficie de falla. 382 Referencias bibliográficas ACI (1991).    )       . -"%4)*.9. 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