CI61Q CI 61Q / CI 71M PRI NCI PI OS DE REMEDI ACI ON Y RESTAURACI ON TRAN SPORTE DE CON TAMI N AN TES EN AGUAS SUBT ERRAN EAS SEMESTRE PRI MAVERA 2009 UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q PROCESOS DE TRAN SPORTE Ex ist en diver sos pr ocesos que per mit en descr ibir el movimient o de uno o más cont aminant es en un medio por oso sat ur ado. Par a un compuest o conser vat ivo en un medio homogéneo se t ienen los siguient es pr ocesos: –Advección –Dif usión –Disper sión Mecánica  –Disper sión Hidr odinámica Si consider amos un medio het er ogéneo se agr ega el siguient e pr oceso: –Macr odisper sión CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q TRAN SPORTE POR ADVECCI ON Sólidos disuelt os son llevados j unt o con el f luj o de agua subt er r ánea. Est e pr oceso se denomina t r anspor t e advect ivo o convect ivo. CI61Q TRAN SPORTE POR ADVECCI ON La cant idad de solut o que est á siendo t r anspor t ado es una f unción de su concent r ación en el agua subt er r ánea y de la cant idad de agua subt er r ánea que f luye. vx = K dh ⋅ n dl La velocidad promedio lineal , vx , es la velocidad a la cual el agua subt er r ánea se mueve a t r avés de t ubos de f luj o individuales. El f luj o másico por unidad de ár ea y t iempo (J ) queda dado por : J x = vx ⋅ n ⋅ C CI61Q TRANSPORTE POR ADVECCI ON CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q TRANSPORTE POR DI FUSI ON Un solut o en el agua se mueve desde ár eas de mayor concent r ación hacia un ár ea de menor concent r ación. Est e pr oceso se conoce como dif usión molecular , o simplement e como dif usión. La masa de f luido que se dif unde es pr opor cional al gr adient e de concent r ación, lo cual se expr esa mediant e la pr imer a ley de Fick. J x = − Dd ⋅ dC dx Valor es de Dd son bien conocidos y se encuent r an en el r ango 1x 10 - 9 a 2x 10 - 9 m2 / s a 25°C. Est os valor es no var ían mucho con la concent r ación, per o dependen de la t emper at ur a. CI61Q TRANSPORTE POR DI FUSI ON CI61Q TRANSPORTE POR DI FUSI ON En un medio por oso la dif usión no ocur r e t an r ápido como en el agua debido a que los iones deben seguir caminos más lar gos a t r avés de los gr anos de suelo. Par a t omar en cuent a est e hecho, se debe usar un coef icient e de dif usión ef ect ivo, D* : D* = ω ⋅ Dd J x = −D * ⋅ dC dx CI61Q TRANSPORTE POR DI FUSI ON Un solut o en el agua se mueve desde ár eas de mayor concent r ación hacia un ár ea de menor concent r ación. Est e pr oceso se conoce como dif usión molecular , o simplement e como dif usión. La masa de f luido que se dif unde es pr opor cional al gr adient e de concent r ación, lo cual se expr esa mediant e la pr imer a ley de Fick. J x = − Dd ⋅ dC dx En un medio por oso la dif usión no ocur r e t an r ápido como en el agua debido a que los iones deben seguir caminos más lar gos a t r avés de los gr anos de suelo. Par a t omar en cuent a est e hecho, se debe usar un coef icient e de dif usión ef ect ivo, D* : * D = ω ⋅ Dd CI61Q TRANSPORTE POR DI FUSI ON CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q TRANSPORTE POR DI SPERSI ON MECANI CA El agua subt er r ánea se mueve a t asas que son mayor es y t ambién menor es que la velocidad pr omedio lineal. CI61Q TRANSPORTE POR DI SPERSI ON MECANI CA A un nivel macr oscópico - est o es, sobr e un dominio que incluya un volumen de agua suf icient e par a que los ef ect os de los por os individuales sean pr omediados - exist en t r es causas básicas par a est e f enómeno: – Algunos por os son mayor es que ot r os, lo que per mit e que el f luido se mueva más r ápido a t r avés de los por os. – Algunas par t ículas de f luido se mover án a t r avés de t ubos de f luj o que son más lar gos que ot r os. – A medida que el f luido se mueve a t r avés de los por os, el movimient o es mayor en el cent r o de ellos que en sus bor des. CI61Q TRANSPORTE POR DI SPERSI ON MECANI CA Si t oda el agua subt er r ánea que cont iene un solut o viaj ar a a una velocidad ex act ament e igual se pr oducir ía el desplazamient o del agua que no cont iene el solut o lo que dar ía or igen a una int er f ace abr upt a ent r e los dos líquidos. Sin embar go, debido a que el agua no viaj a a una velocidad const ant e se pr oduce un cier t o gr ado de mezcla a t r avés del t ubo de f luj o. Est e pr oceso de mezcla se conoce como disper sión mecánica, y pr oduce dilución del solut o a lo lar go del f r ent e de avance. La mezcla que ocur r e a lo lar go de la dir ección del f luj o se denomina disper sión longit udinal . CI61Q TRANSPORTE POR DI SPERSI ON MECANI CA La disper sión mecánica puede ser descr it a por una ley similar a la Ley de Fick de dif usión: J x = − Dm ⋅ dC dx La t asa de disper sión mecánica es una f unción de la velocidad pr omedio lineal, ent onces podemos int r oducir el coef icient e de disper sión mecánica como: DmL = α L ⋅ vi donde vi es la velocidad pr omedio lineal en la dir ección i (L/ T), y αL es la disper sividad en la dir ección longit udinal (L). CI61Q TRANSPORTE POR DI SPERSI ON MECANI CA Un f r ent e de solut o que avanza t iende a disper sar se en dir ecciones per pendicular es del f luj o. El r esult ado de est a mezcla se denomina disper sión t r ansver sal . DmT = αT ⋅ vi J y = − DmT ⋅ dC dy CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q TRAN SPORTE POR DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA Los pr ocesos de dif usión molecular y disper sión mecánica no pueden ser separ ados en un f luj o de agua subt er r ánea. Los dos mecanismos se combinan par a def inir un par ámet r o llamado el coef icient e de disper sión hidr odinámica, D. Est e puede ser r epr esent ado por las siguient es expr esiones: DL = α L ⋅ v i + D * DT = α T ⋅ vi + D* donde DL es el coef icient e de disper sión hidr odinámica par alelo a la dir ección pr incipal de f luj o o longit udinal, DT es el coef icient e de disper sión hidr odinámica per pendicular a la dir ección pr incipal de f luj o o t r ansver sal, αL es la disper sividad longit udinal, y αT es la disper sividad t r ansver sal. CI61Q TRANSPORTE POR ADVECCI ON/ DI SPERSI ON CI61Q CI61Q TRANSPORTE POR ADVECCI ON/ DI SPERSI ON TRANSPORTE POR ADVECCI ON/ DI SPERSI ON TRANSPORTE POR ADVECCI ON/ DI SPERSI ON CI61Q EFECTO DE LA DI SPERSI ON LATERAL CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q Consider emos un volumen de cont r ol r ect angular con dimensiones ∆x , ∆y y ∆z, mient r as que su cent r o de masa P se encuent r a ubicado en las coor denadas (x ,y,z). ∆z P x ∆y ∆x y z J i = vi ⋅ n ⋅ C − n ⋅ Di ⋅ ∂C ∂i CI61Q La der ivación de la ecuación de Adveccion-Disper sión est á basada en el t r abaj o de Fr eeze and Cher r y (1979), Bear (1972) y Ogat a (1970). Los supuest os o hipót esis básicas ut ilizadas en est a der ivación son que el acuíf er o es homogéneo, isot r ópico, y sat ur ado. Asimismo, las condiciones de f luj o son t ales que la ley de Dar cy es válida. El solut o es t r anspor t ado por advección y disper sión hidr odinámica. En la dir ección i el t r anspor t e de solut o debido al pr oceso de advección, J ADV, y al de disper sión hidr odinámica, J DI SP, queda dado por : J ADV = vi ⋅ n ⋅ C dA J DISP = − n ⋅ Di ⋅ ∂C dA ∂i donde dA es el ár ea t r ansver sal del element o inf init esimal y la dir ección i es per pendicular a dicha sección. CI61Q La masa t ot al de solut o, por unidad de ár ea, que es t r anspor t ada en la dir ección i por unidad de t iempo, J i , es la suma del f luj o advect ivo y disper sivo: J i = vi ⋅ n ⋅ C − n ⋅ Di ⋅ ∂C ∂i La dif er encia ent r e la masa que ent r a y sale del volumen de cont r ol, ∆J , queda dada por la siguient e ex pr esión: ∂J  ∂J ∂J  ∆J = −  x + y + z  dx dy dz ∂y ∂z   ∂x La t asa a la cual la masa de solut o cambia dent r o del volumen de cont r ol se puede escr ibir como: ∂M ∂C =n⋅ dx dy dz ∂t ∂t CI61Q La ley de conser vación de la masa indica que la t asa a la cual la masa de solut o cambia en el t iempo debe ser igual a la dif er encia de masa que ent r a y sale del volumen de cont r ol: −∇⋅ J = n ⋅ ∂C ∂t Al subst it uir la expr esión del f luj o de cont aminant e se t iene:  ∂ ∂  ∂C ∂  ∂C ∂C ∂C − vx ⋅ C  +  Dy ⋅ − v y ⋅ C  +  Dz ⋅ − v z ⋅ C  =  Dx ⋅ ∂x  ∂x ∂y ∂z  ∂y   ∂t  ∂z  Si consider amos un sist ema de f luj o unidimensional, con pr opiedades homogéneas, podemos escr ibir : Dx ⋅ ∂ 2C ∂C ∂C − vx ⋅ = ∂x 2 ∂x ∂t CI61Q Resolución de un pr oblema de t r anspor t e de cont aminant es r equier e de: Una ecuación de est ado. Dx ⋅ ∂ 2C ∂C ∂C − vx ⋅ = ∂x 2 ∂x ∂t Condiciones de Bor de. C (0, t ) = C0 t >0 C (∞ , t ) = 0 t>0 Condiciones I niciales. C ( x,0 ) = 0 x>0 C ( x, t ) CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q CI61Q Columna Unidimensional, Inyección Continua Contaminante (Condición de Borde de Primer Tipo) de Una solución que contiene un trazador (de color o salino) es incorporada en forma instantánea a una columna de arena en lugar de agua pura, y se mantiene a través del tiempo. El siguiente conjunto de ecuaciones representa la inyección continua de contaminante: Dx ∂ 2C ∂C ∂C − vx = ∂x 2 ∂x ∂t C ( x,0 ) = 0 x>0 C (0, t ) = C0 t >0 C (∞ , t ) = 0 t>0 x CI61Q Columna Unidimensional, Inyección Continua Contaminante (Condición de Borde de Primer Tipo) La solución al problema anterior queda representada por: C ( x, t ) =  x − vx ⋅ t C0  ⋅  erfc  2   2 ⋅ Dx ⋅ t    + exp  v x ⋅ x  ⋅ erfc  x + v x ⋅ t  D    2⋅ D ⋅t  x  x        donde: erfc (x ) = 1 − erf (x ) = 1 − x 2 2 ⋅ e −u du π ∫0 Para muchos problemas prácticos la solución anterior queda: C ( x, t ) = Ogata y Banks (1961)  x − vx ⋅ t C0 ⋅ erfc  2  2 ⋅ Dx ⋅ t     de CI61Q Función de Error: ferc(x) o erfc(x) x erfc (x ) = 1 − 2 2 ⋅ e −t dt π ∫0 Función de Error Complementario (erfc(x)) 2.0 1.8 1.6 1.4 erfc(x) 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x CI61Q Columna Unidimensional, Inyección Contaminante (Pulso de Contaminante) Instantánea de Si se realiza una inyección instantánea de contaminante se producirá un avance gradual de éste, el cual será afectado por un proceso de dispersión hidrodinámica. La ecuación diferencial que describe este problema, junto a las condiciones de borde e iniciales, es la siguiente: Dx ∂ 2C ∂C ∂C − vx = ∂x 2 ∂x ∂t C ( x,0) = C0 ⋅ δ ( x ) C (− ∞ , t ) = 0 t>0 C (∞ , t ) = 0 t>0 CI61Q Columna Unidimensional, Inyección Contaminante (Pulso de Contaminante) Instantánea de La solución al problema anterior queda representada por: C ( x, t ) =  (x + v x ⋅ t )2  M  ⋅ exp  − 4 ⋅ Dx ⋅ t  2 ⋅ π ⋅ Dx ⋅ t  donde M es la masa inyectada por unidad de área CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q Sistema Bidimensional, Inyección Continua Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo) de Si el trazador o contaminante se inyecta en forma continua en un flujo uniforme se formará una pluma de contaminante, la que a medida que se mueve a través del medio poroso se dispersa en las direcciones longitudinal y transversal. 100 25 84 20 68 15 52 10 36 5 20 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 4 CI61Q Sistema Bidimensional, Inyección Continua Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo) de CI61Q Sistema Bidimensional, Inyección Continua Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo) de Para este análisis se supone que la fuente de contaminante se encuentra en un punto ubicado en el origen (x = 0, y = 0), y el acuífero se caracteriza por un flujo uniforme, vx , orientado en la dirección x. Existe una inyección continua de contaminante con una concentración C0 y a una tasa Q. DL ∂ 2C ∂ 2C ∂C ∂C + D − vx = T 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂t Condiciones iniciales: C (x, y,0) = 0 −∞ < x < ∞ −∞< y<∞ CI61Q Sistema Bidimensional, Inyección Continua Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo) de Para este análisis se supone que la fuente de contaminante se encuentra en un punto ubicado en el origen (x = 0, y = 0), y el acuífero se caracteriza por un flujo uniforme, vx , orientado en la dirección x. Existe una inyección continua de contaminante con una concentración C0 y a una tasa Q. DL ∂ 2C ∂ 2C ∂C ∂C + DT − vx = 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂t Condiciones de borde:  − D ⋅ ∂C + v ⋅ C  = C0 ⋅Q   L x ∂x   x =0 , y =0 t >0 C (− ∞ , y, t ) = C(∞ , y , t ) = C (x , ∞ , t ) = C (x ,−∞, t ) = 0 t >0 CI61Q Sistema Bidimensional, Inyección Continua Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo) de Este problema fue resuelto por Bear (1972) para una condición estacionaria, en la cual el crecimiento de la pluma se ha estabilizado. Esta solución tiene la siguiente expresión: C ( x, y ) = C0 ⋅ Q  vx ⋅ x ⋅ exp  2 ⋅ π ⋅ DL ⋅ DT  2 ⋅ DL ⋅ DT   ⋅ K0 (B )  donde K0(x) es la función de Bessel modificada de segundo tipo y orden cero. El argumento B está dado por: B= v 2x x2 y2 ⋅ + 4 ⋅ DL D L DT Bear (1972) CI61Q Sistema Bidimensional, Inyección Continua Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo) de Una solución para este mismo problema pero en régimen transiente fue obtenida por Y. Ensellem (1975). Esta solución tiene la siguiente expresión: C ( x, y, t ) =  vx ⋅ x C0 ⋅Q ⋅ exp  2 ⋅ π ⋅ DL ⋅ DT  2 ⋅ DL ⋅ DT   ⋅ ⋅(W (0, B ) − W (t, B ))  donde W(t,B) es la función de pozo derivada por Hantush. Y. Ensellem (1975) CI61Q Sistema Bidimensional, Inyección Contaminante (Pulso de Contaminante) Instantánea de Si se produce la inyección instantánea de contaminante en un sistema acuífero homogéneo, con un campo de velocidad uniforme el cual se orienta en la dirección x, el problema se puede representar mediante la siguiente ecuación: DL ∂ 2C ∂ 2C ∂C ∂C + D − vx = T 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂t C (x , y ,0) = 0 −∞ < x < ∞ −∞< y<∞ C (x , y ,0) = C0 ⋅ δ ( x − x0 , y − y0 ) C (− ∞, y, t ) = C(∞, y, t ) = C (x, ∞, t ) = C (x,−∞, t ) = 0 t >0 CI61Q Sistema Bidimensional, Inyección Contaminante (Pulso de Contaminante) Instantánea de La solución de este problema fue obtenida por De Josselin De Jong (1958), considerando que la inyección se produce en el punto de coordenadas x=x0 e y=y0. C ( x, y, t ) =  (x + v x ⋅ t − x0 )2 ( y − y0 )2  C0 ⋅ A  ⋅ exp  − − 2 ⋅ π ⋅ t ⋅ DL ⋅ DT 4 ⋅ DL ⋅ t 4 ⋅ DT ⋅ t   De Josselin De Jong (1958) CI61Q DESCARGA INSTANTANEA CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q Las ecuaciones presentadas hasta este punto describen los procesos de advección, dispersión mecánica y difusión. Si existen reacciones químicas o biológicas, la ecuación básica debe ser modificada agregando términos que incluyan la existencia de fuentes o sumideros. El esquema de balance de masas que describe esta nueva condición es: Cambio en el masa masa masa almacenamiento = que − que ± producida o de masa entra sale consumida CI61Q En el caso del problema de transporte de una sustancia contaminante no conservativa, es decir que es afectada por reacciones químicas, se puede escribir como una modificación de la ecuación de Advección-Dispersión: Dx ⋅ ∂ 2C ∂C r ∂C − vx ⋅ ± = ∂x 2 ∂x n ∂t donde r representa la masa producida o consumida por unidad de volumen y unidad de tiempo, y n es la porosidad. La ecuación anterior se conoce comúnmente como ecuación de Advección-Dispersión-Reacción. CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q REACCIONES CINETICAS DE PRIMER ORDEN Ejemplos de una reacción cinética de primer orden son el decaimiento radioactivo y la biodegradación. Esta reacción se puede escribir como: r= d (n ⋅ C ) = −λ ⋅ n ⋅ C dt donde λ es la constante de decaimiento de primer orden, la que tiene unidades de tiempo-1. Con esta reacción la ecuación de transporte reactivo (Advección-Dispersión-Reacción) se puede escribir como: Dx ⋅ ∂ 2C ∂C ∂C − vx ⋅ − λ ⋅C = ∂x 2 ∂x ∂t CI61Q Columna Unidimensional, Inyección Instantánea Contaminante con Decaimiento Lineal (Pulso Contaminante) de de Si se realiza una inyección instantánea de contaminante se producirá un avance gradual de éste, el cual será afectado por un proceso de decaimiento. La ecuación diferencial que describe este problema, junto a las condiciones de borde e iniciales, es la siguiente: Dx ∂ 2C ∂C ∂C − vx − λ ⋅C = ∂x 2 ∂x ∂t C ( x,0 ) = C0 ⋅ δ (x ) C (− ∞ , t ) = 0 C (∞ , t ) = 0 t>0 t>0 CI61Q Columna Unidimensional, Inyección Instantánea Contaminante con Decaimiento Lineal (Pulso Contaminante) La solución al problema anterior queda representada por: C ( x, t ) =  (x + v x ⋅ t )2  M  ⋅ exp (− λ ⋅ t ) ⋅ exp  − 4 ⋅ Dx ⋅ t  2 ⋅ π ⋅ Dx ⋅ t  donde M es la masa inyectada por unidad de área de de CI61Q DESCARGA INSTANTANEA CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q REACCIONES DE ADSORCION EN EQUILIBRIO Otro ejemplo de reacciones químicas que ocurren durante el movimiento o transporte de un soluto a través de un medio poroso permeable es la incorporación de parte de esta masa en los granos de suelo. Este proceso se conoce como adsorción y puede ser modelado en la siguiente forma: r= ∂C * ∂t donde C* es la concentración de soluto en la fase sólida. Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación de transporte se obtiene la siguiente expresión: Dx ⋅ ∂ 2C ∂C 1 ∂C * ∂C − vx ⋅ − ⋅ = 2 ∂x ∂x n ∂t ∂t CI61Q REACCIONES DE ADSORCION EN EQUILIBRIO CI61Q REACCIONES DE ADSORCION EN EQUILIBRIO En condiciones de equilibrio el proceso de adsorción queda representado por las isotermas de equilibrio, las que relacionan la concentración de soluto en la fase líquida con la concentración de soluto en la fase sólida del medio poroso: C * = f (C ) Si se define la concentración S como la masa de soluto adsorbida en la superficie de los granos de suelo, se puede relacionar con la cantidad C* por medio de la siguiente expresión: C * = S ⋅ ρ b = S ⋅ ρ S ⋅ (1 − n ) donde ρ S es la densidad de los minerales que forman la roca o suelo, normalmente 2.65 g/cm3 para muchos suelos arenosos. CI61Q Existen una serie de modelos que permiten representar isotermas de equilibrio: Isoterma Lineal S = Kd ⋅ C donde Kd se conoce como el coeficiente de distribución. Isoterma de Freundlich S = k ⋅ Cn con k y n dos constantes, e, Isoterma de Langmuir con k F, k R y SMAX constantes. S= k F ⋅ C ⋅ SMAX kR + kF ⋅ C CI61Q CI61Q Si se utiliza la isoterma lineal para representar el proceso de adsorción, se obtiene la siguiente expresión: ∂C * ∂C = K d ⋅ ρ S ⋅ (1 − n) ⋅ ∂t ∂t Al reemplazar esta expresión en la ecuación de transporte y reordenar se obtiene: Dx ⋅ ∂ 2C ∂C  1 − n  ∂C − vx ⋅ = 1 + K d ⋅ ρ S ⋅ ⋅ ∂x 2 ∂x  n  ∂t La cantidad entre paréntesis se conoce como el coeficiente de retardación, R, el cual se escribe de la siguiente forma: R = 1+ Kd ⋅ ρ S ⋅ 1− n n CI61Q Al substituir la expresión del coeficiente de retardación, R, en la ecuación diferencial se obtiene: D x ∂ 2 C v x ∂C ∂C ⋅ − ⋅ = R ∂x 2 R ∂x ∂t Tal como se observa en la ecuación, el efecto principal de la adsorción es producir un retardo o demora del contaminante con respecto a uno conservativo. CI61Q Columna Unidimensional, Inyección Instantánea y Continua de Contaminante que se Adsorbe siguiendo una Isoterma Lineal (Condición de Borde de Primer Tipo) El siguiente conjunto de ecuaciones representa la inyección continua de este trazador que es adsorbido por el medio poroso siguiendo una isoterma lineal: Dx ∂ 2 C vx ∂C ∂C ⋅ − ⋅ = R ∂x 2 R ∂x ∂t C ( x,0 ) = 0 x>0 C (0, t ) = C0 t >0 C (∞ , t ) = 0 t>0 CI61Q Columna Unidimensional, Inyección Instantánea y Continua de Contaminante que se Adsorbe siguiendo una Isoterma Lineal (Condición de Borde de Primer Tipo) La solución al problema anterior queda representada por: C ( x, t ) =  R ⋅ x − vx ⋅ t C0  ⋅ erfc  2   2 ⋅ R ⋅ Dx ⋅ t    + exp  vx ⋅ x  ⋅ erfc  R ⋅ x + vx ⋅ t  D    2 ⋅ R ⋅ D ⋅t  x  x        donde: erfc (x ) = 1 − erf (x ) = 1 − x 2 2 ⋅ e −u du π ∫0 Para muchos problemas prácticos la solución anterior queda: C ( x, t ) =  R ⋅ x − vx ⋅ t C0 ⋅ erfc  2  2 ⋅ R ⋅ Dx ⋅ t     CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q Para aplicar las diferentes soluciones para los problemas de transporte de contaminantes, ya sean estos en 1D, 2D o 3D, se requiere el conocimiento de dos parámetros básicos: la velocidad de escurrimiento y el coeficiente de dispersión. La velocidad de escurrimiento se obtiene a partir de datos de conductividad hidráulica, gradientes hidráulicos y porosidad de la formación acuífera. El coeficiente de dispersión requiere el desarrollo de experiencias específicas a partir de las cuales se pueda estimar. Generalmente en las experiencias de laboratorio se estima el coeficiente de dispersión, D, o el coeficiente de dispersividad, α. CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q Las técnicas para estimar dispersividad pueden ser englobadas en tres grandes grupos: –LABORATORIO: trazadores (color, salinos, radioactivos) son incorporados en columnas de suelo para evaluar el coeficiente de dispersión mediante la comparación de soluciones analíticas para casos simples. –TERRENO: uso de un pozo único (de inyección y bombeo) para inducir un escurrimiento controlado e incorporar un trazador. Uso de soluciones analíticas adecuadas permite estimar valor de este coeficiente. –BIBLIOGRÁFICAS (EFECTO ESCALA): uso de información bibliográfica para estimar coeficiente de dispersión a partir de bases de datos. Util en el caso de no disponer de otros datos. CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q TECNICAS DE LABORATORIO CI61Q TECNICAS DE LABORATORIO CI61Q TECNICAS DE LABORATORIO CI61Q TECNICAS DE LABORATORIO CI61Q TECNICAS DE LABORATORIO CI61Q 0.0080 0.0070 α = 0.15 cm Concentración [mg/l] 0.0060 0.0050 0.0040 0.0030 0.0020 0.0010 0.0000 0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 Tiempo [s] Datos Experimentales Curva Ajustada TECNICAS DE LABORATORIO CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q Se utiliza un pozo en el cual se inyecta agua que contiene un contaminante conservativo. Durante un tiempo definido, TINY, se inyecta un trazador conservativo al interior del acuífero. Pasado ese tiempo se comienza a extraer agua a una tasa constante. Para este análisis se define R F como la posición del frente de avance del agua inyectada, al final del período de inyección: 1  Q ⋅ TINY 2 RF =    π ⋅ b⋅ n  donde Q es la tasa de inyección, TINY es el tiempo total de inyección, b es el espesor del acuífero, y n es la porosidad. TECNICAS DE TERRENO CI61Q CI61Q La ecuación diferencial que describe este problema fue derivada y resuelta por Hoopes y Harleman (1967): ∂C ∂C ∂ 2 C D * ∂  ∂C  + u⋅ = α L ⋅ u⋅ 2 + r ⋅  ∂t ∂r ∂r r ∂r  ∂r  La solución de este problema se obtuvo al despreciar el efecto de la difusión molecular, al ser ésta mucho más pequeña que la dispersión mecánica.    C 1  = ⋅ erfc  C0 2  16 α L  ⋅   3 RF     (U p − Ui ) −1  12  12   U    U   ⋅  2 − 1 − p   ⋅  1 − p     Ui    Ui     donde Up es el volumen de agua extraido durante un tiempo definido, Ui es el volumen de agua inyectada durante la experiencia TECNICAS DE TERRENO CI61Q TECNICAS DE TERRENO CI61Q PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS TRAN SPORTE TRANSPORTE TRANSPORTE TRAN SPORTE POR POR POR POR ADVECCI ON DI FUSI ON DI SPERSI ON MECANI CA DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON REACCI ON DE PRI MER ORDEN ADSORCI ON DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD CI61Q INFORMACION BIBLIOGRAFICA CI61Q A par t ir de los dat os de Gelhar: α L = 0.1⋅ L Par a longit udes menor es a 3.500 m, Neuman obt uvo: α L = 0.175 ⋅ L1.46 Xu y Einst ein desar r ollar on un est udio est adíst ico: α L = 0.83 ⋅ (Log L)2.414 INFORMACION BIBLIOGRAFICA