CI61Q
CI 61Q / CI 71M
PRI NCI PI OS DE REMEDI ACI ON Y
RESTAURACI ON
TRAN SPORTE DE CON TAMI N AN TES EN AGUAS
SUBT ERRAN EAS
SEMESTRE PRI MAVERA 2009
UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
PROCESOS DE TRAN SPORTE
Ex ist en diver sos pr ocesos que per mit en descr ibir el
movimient o de uno o más cont aminant es en un medio por oso
sat ur ado. Par a un compuest o conser vat ivo en un medio
homogéneo se t ienen los siguient es pr ocesos:
–Advección
–Dif usión
–Disper sión Mecánica
–Disper sión Hidr odinámica
Si consider amos un medio het er ogéneo se agr ega el
siguient e pr oceso:
–Macr odisper sión
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
TRAN SPORTE POR ADVECCI ON
Sólidos disuelt os son llevados j unt o con el f luj o de agua
subt er r ánea. Est e pr oceso se denomina t r anspor t e
advect ivo o convect ivo.
CI61Q
TRAN SPORTE POR ADVECCI ON
La cant idad de solut o que est á siendo t r anspor t ado es una
f unción de su concent r ación en el agua subt er r ánea y de la
cant idad de agua subt er r ánea que f luye.
vx =
K dh
⋅
n dl
La velocidad promedio lineal , vx , es la velocidad a la cual el
agua subt er r ánea se mueve a t r avés de t ubos de f luj o
individuales.
El f luj o másico por unidad de ár ea y t iempo (J ) queda dado
por :
J x = vx ⋅ n ⋅ C
CI61Q
TRANSPORTE POR ADVECCI ON
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
TRANSPORTE POR DI FUSI ON
Un solut o en el agua se mueve desde ár eas de mayor
concent r ación hacia un ár ea de menor concent r ación.
Est e pr oceso se conoce como dif usión molecular , o
simplement e como dif usión. La masa de f luido que se dif unde
es pr opor cional al gr adient e de concent r ación, lo cual se
expr esa mediant e la pr imer a ley de Fick.
J x = − Dd ⋅
dC
dx
Valor es de Dd son bien conocidos y se encuent r an en el
r ango 1x 10 - 9 a 2x 10 - 9 m2 / s a 25°C. Est os valor es no var ían
mucho con la concent r ación, per o dependen de la
t emper at ur a.
CI61Q
TRANSPORTE POR DI FUSI ON
CI61Q
TRANSPORTE POR DI FUSI ON
En un medio por oso la dif usión no ocur r e t an r ápido como en
el agua debido a que los iones deben seguir caminos más
lar gos a t r avés de los gr anos de suelo. Par a t omar en cuent a
est e hecho, se debe usar un coef icient e de dif usión
ef ect ivo, D* :
D* = ω ⋅ Dd
J x = −D * ⋅
dC
dx
CI61Q
TRANSPORTE POR DI FUSI ON
Un solut o en el agua se mueve desde ár eas de mayor
concent r ación hacia un ár ea de menor concent r ación. Est e
pr oceso se conoce como dif usión molecular , o simplement e
como dif usión. La masa de f luido que se dif unde es
pr opor cional al gr adient e de concent r ación, lo cual se
expr esa mediant e la pr imer a ley de Fick.
J x = − Dd ⋅
dC
dx
En un medio por oso la dif usión no ocur r e t an r ápido como en
el agua debido a que los iones deben seguir caminos más
lar gos a t r avés de los gr anos de suelo. Par a t omar en cuent a
est e hecho, se debe usar un coef icient e de dif usión
ef ect ivo, D* :
*
D = ω ⋅ Dd
CI61Q
TRANSPORTE POR DI FUSI ON
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
TRANSPORTE POR DI SPERSI ON MECANI CA
El agua subt er r ánea se mueve a t asas que son mayor es y
t ambién menor es que la velocidad pr omedio lineal.
CI61Q
TRANSPORTE POR DI SPERSI ON MECANI CA
A un nivel macr oscópico - est o es, sobr e un dominio que
incluya un volumen de agua suf icient e par a que los ef ect os
de los por os individuales sean pr omediados - exist en t r es
causas básicas par a est e f enómeno:
– Algunos por os son mayor es que ot r os, lo que per mit e que el
f luido se mueva más r ápido a t r avés de los por os.
– Algunas par t ículas de f luido se mover án a t r avés de t ubos de
f luj o que son más lar gos que ot r os.
– A medida que el f luido se mueve a t r avés de los por os, el
movimient o es mayor en el cent r o de ellos que en sus bor des.
CI61Q
TRANSPORTE POR DI SPERSI ON MECANI CA
Si t oda el agua subt er r ánea que cont iene un solut o viaj ar a a
una velocidad ex act ament e igual se pr oducir ía el
desplazamient o del agua que no cont iene el solut o lo que
dar ía or igen a una int er f ace abr upt a ent r e los dos líquidos.
Sin embar go, debido a que el agua no viaj a a una velocidad
const ant e se pr oduce un cier t o gr ado de mezcla a t r avés del
t ubo de f luj o. Est e pr oceso de mezcla se conoce como
disper sión mecánica, y pr oduce dilución del solut o a lo lar go
del f r ent e de avance. La mezcla que ocur r e a lo lar go de la
dir ección del f luj o se denomina disper sión longit udinal .
CI61Q
TRANSPORTE POR DI SPERSI ON MECANI CA
La disper sión mecánica puede ser descr it a por una ley similar
a la Ley de Fick de dif usión:
J x = − Dm ⋅
dC
dx
La t asa de disper sión mecánica es una f unción de la velocidad
pr omedio lineal, ent onces podemos int r oducir el coef icient e
de disper sión mecánica como:
DmL = α L ⋅ vi
donde vi es la velocidad pr omedio lineal en la dir ección i
(L/ T), y αL es la disper sividad en la dir ección longit udinal (L).
CI61Q
TRANSPORTE POR DI SPERSI ON MECANI CA
Un f r ent e de solut o que avanza t iende a disper sar se en
dir ecciones per pendicular es del f luj o. El r esult ado de est a
mezcla se denomina disper sión t r ansver sal .
DmT = αT ⋅ vi
J y = − DmT ⋅
dC
dy
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PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
TRAN SPORTE POR DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
Los pr ocesos de dif usión molecular y disper sión mecánica no
pueden ser separ ados en un f luj o de agua subt er r ánea. Los
dos mecanismos se combinan par a def inir un par ámet r o
llamado el coef icient e de disper sión hidr odinámica, D. Est e
puede ser r epr esent ado por las siguient es expr esiones:
DL = α L ⋅ v i + D *
DT = α T ⋅ vi + D*
donde DL es el coef icient e de disper sión hidr odinámica
par alelo a la dir ección pr incipal de f luj o o longit udinal, DT es
el coef icient e de disper sión hidr odinámica per pendicular a la
dir ección pr incipal de f luj o o t r ansver sal, αL es la
disper sividad longit udinal, y αT es la disper sividad
t r ansver sal.
CI61Q
TRANSPORTE POR ADVECCI ON/ DI SPERSI ON
CI61Q
CI61Q
TRANSPORTE POR ADVECCI ON/ DI SPERSI ON
TRANSPORTE POR ADVECCI ON/ DI SPERSI ON
TRANSPORTE POR ADVECCI ON/ DI SPERSI ON
CI61Q
EFECTO DE LA DI SPERSI ON LATERAL
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
Consider emos un volumen de cont r ol r ect angular con
dimensiones ∆x , ∆y y ∆z, mient r as que su cent r o de masa P
se encuent r a ubicado en las coor denadas (x ,y,z).
∆z
P
x
∆y
∆x
y
z
J i = vi ⋅ n ⋅ C − n ⋅ Di ⋅
∂C
∂i
CI61Q
La der ivación de la ecuación de Adveccion-Disper sión est á
basada en el t r abaj o de Fr eeze and Cher r y (1979), Bear
(1972) y Ogat a (1970). Los supuest os o hipót esis básicas
ut ilizadas en est a der ivación son que el acuíf er o es
homogéneo, isot r ópico, y sat ur ado. Asimismo, las condiciones
de f luj o son t ales que la ley de Dar cy es válida.
El solut o es t r anspor t ado por advección y disper sión
hidr odinámica. En la dir ección i el t r anspor t e de solut o
debido al pr oceso de advección, J ADV, y al de disper sión
hidr odinámica, J DI SP, queda dado por :
J ADV = vi ⋅ n ⋅ C dA
J DISP = − n ⋅ Di ⋅
∂C
dA
∂i
donde dA es el ár ea t r ansver sal del element o inf init esimal y
la dir ección i es per pendicular a dicha sección.
CI61Q
La masa t ot al de solut o, por unidad de ár ea, que es
t r anspor t ada en la dir ección i por unidad de t iempo, J i , es la
suma del f luj o advect ivo y disper sivo:
J i = vi ⋅ n ⋅ C − n ⋅ Di ⋅
∂C
∂i
La dif er encia ent r e la masa que ent r a y sale del volumen de
cont r ol, ∆J , queda dada por la siguient e ex pr esión:
∂J
∂J
∂J
∆J = − x + y + z dx dy dz
∂y
∂z
∂x
La t asa a la cual la masa de solut o cambia dent r o del volumen
de cont r ol se puede escr ibir como:
∂M
∂C
=n⋅
dx dy dz
∂t
∂t
CI61Q
La ley de conser vación de la masa indica que la t asa a la cual
la masa de solut o cambia en el t iempo debe ser igual a la
dif er encia de masa que ent r a y sale del volumen de cont r ol:
−∇⋅ J = n ⋅
∂C
∂t
Al subst it uir la expr esión del f luj o de cont aminant e se t iene:
∂
∂
∂C
∂
∂C
∂C
∂C
− vx ⋅ C + Dy ⋅
− v y ⋅ C + Dz ⋅
− v z ⋅ C =
Dx ⋅
∂x
∂x
∂y
∂z
∂y
∂t
∂z
Si consider amos un sist ema de f luj o unidimensional, con
pr opiedades homogéneas, podemos escr ibir :
Dx ⋅
∂ 2C
∂C ∂C
− vx ⋅
=
∂x 2
∂x
∂t
CI61Q
Resolución de un pr oblema de t r anspor t e de cont aminant es
r equier e de:
Una ecuación de est ado.
Dx ⋅
∂ 2C
∂C ∂C
− vx ⋅
=
∂x 2
∂x
∂t
Condiciones de Bor de.
C (0, t ) = C0
t >0
C (∞ , t ) = 0
t>0
Condiciones I niciales.
C ( x,0 ) = 0
x>0
C ( x, t )
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
CI61Q
Columna
Unidimensional,
Inyección
Continua
Contaminante (Condición de Borde de Primer Tipo)
de
Una solución que contiene un trazador (de color o salino) es
incorporada en forma instantánea a una columna de arena en
lugar de agua pura, y se mantiene a través del tiempo. El
siguiente conjunto de ecuaciones representa la inyección
continua de contaminante:
Dx
∂ 2C
∂C ∂C
− vx
=
∂x 2
∂x ∂t
C ( x,0 ) = 0
x>0
C (0, t ) = C0
t >0
C (∞ , t ) = 0
t>0
x
CI61Q
Columna
Unidimensional,
Inyección
Continua
Contaminante (Condición de Borde de Primer Tipo)
La solución al problema anterior queda representada por:
C ( x, t ) =
x − vx ⋅ t
C0
⋅ erfc
2
2 ⋅ Dx ⋅ t
+ exp v x ⋅ x ⋅ erfc x + v x ⋅ t
D
2⋅ D ⋅t
x
x
donde:
erfc (x ) = 1 − erf (x ) = 1 −
x
2
2
⋅ e −u du
π ∫0
Para muchos problemas prácticos la solución anterior queda:
C ( x, t ) =
Ogata y Banks (1961)
x − vx ⋅ t
C0
⋅ erfc
2
2 ⋅ Dx ⋅ t
de
CI61Q
Función de Error: ferc(x) o
erfc(x)
x
erfc (x ) = 1 −
2
2
⋅ e −t dt
π ∫0
Función de Error Complementario (erfc(x))
2.0
1.8
1.6
1.4
erfc(x)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
CI61Q
Columna Unidimensional, Inyección
Contaminante (Pulso de Contaminante)
Instantánea
de
Si se realiza una inyección instantánea de contaminante se
producirá un avance gradual de éste, el cual será afectado por
un proceso de dispersión hidrodinámica. La ecuación
diferencial que describe este problema, junto a las condiciones
de borde e iniciales, es la siguiente:
Dx
∂ 2C
∂C ∂C
− vx
=
∂x 2
∂x ∂t
C ( x,0) = C0 ⋅ δ ( x )
C (− ∞ , t ) = 0
t>0
C (∞ , t ) = 0
t>0
CI61Q
Columna Unidimensional, Inyección
Contaminante (Pulso de Contaminante)
Instantánea
de
La solución al problema anterior queda representada por:
C ( x, t ) =
(x + v x ⋅ t )2
M
⋅ exp −
4 ⋅ Dx ⋅ t
2 ⋅ π ⋅ Dx ⋅ t
donde M es la masa inyectada por unidad de área
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
Sistema
Bidimensional,
Inyección
Continua
Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo)
de
Si el trazador o contaminante se inyecta en forma continua en
un flujo uniforme se formará una pluma de contaminante, la que
a medida que se mueve a través del medio poroso se dispersa
en las direcciones longitudinal y transversal.
100
25
84
20
68
15
52
10
36
5
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
4
CI61Q
Sistema
Bidimensional,
Inyección
Continua
Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo)
de
CI61Q
Sistema
Bidimensional,
Inyección
Continua
Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo)
de
Para este análisis se supone que la fuente de contaminante se
encuentra en un punto ubicado en el origen (x = 0, y = 0), y el
acuífero se caracteriza por un flujo uniforme, vx , orientado en la
dirección x. Existe una inyección continua de contaminante con
una concentración C0 y a una tasa Q.
DL
∂ 2C
∂ 2C
∂C ∂C
+
D
− vx
=
T
2
2
∂x
∂y
∂x
∂t
Condiciones iniciales:
C (x, y,0) = 0
−∞ < x < ∞
−∞< y<∞
CI61Q
Sistema
Bidimensional,
Inyección
Continua
Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo)
de
Para este análisis se supone que la fuente de contaminante se
encuentra en un punto ubicado en el origen (x = 0, y = 0), y el
acuífero se caracteriza por un flujo uniforme, vx , orientado en la
dirección x. Existe una inyección continua de contaminante con
una concentración C0 y a una tasa Q.
DL
∂ 2C
∂ 2C
∂C ∂C
+ DT
− vx
=
2
2
∂x
∂y
∂x
∂t
Condiciones de borde:
− D ⋅ ∂C + v ⋅ C
= C0 ⋅Q
L
x
∂x
x =0 , y =0
t >0
C (− ∞ , y, t ) = C(∞ , y , t ) = C (x , ∞ , t ) = C (x ,−∞, t ) = 0
t >0
CI61Q
Sistema
Bidimensional,
Inyección
Continua
Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo)
de
Este problema fue resuelto por Bear (1972) para una condición
estacionaria, en la cual el crecimiento de la pluma se ha
estabilizado. Esta solución tiene la siguiente expresión:
C ( x, y ) =
C0 ⋅ Q
vx ⋅ x
⋅ exp
2 ⋅ π ⋅ DL ⋅ DT
2 ⋅ DL ⋅ DT
⋅ K0 (B )
donde K0(x) es la función de Bessel modificada de segundo tipo
y orden cero. El argumento B está dado por:
B=
v 2x
x2
y2
⋅
+
4 ⋅ DL
D L DT
Bear (1972)
CI61Q
Sistema
Bidimensional,
Inyección
Continua
Contaminante (Condición de Borde de Tercer Tipo)
de
Una solución para este mismo problema pero en régimen
transiente fue obtenida por Y. Ensellem (1975).
Esta solución tiene la siguiente expresión:
C ( x, y, t ) =
vx ⋅ x
C0 ⋅Q
⋅ exp
2 ⋅ π ⋅ DL ⋅ DT
2 ⋅ DL ⋅ DT
⋅ ⋅(W (0, B ) − W (t, B ))
donde W(t,B) es la función de pozo derivada por Hantush.
Y. Ensellem (1975)
CI61Q
Sistema
Bidimensional,
Inyección
Contaminante (Pulso de Contaminante)
Instantánea
de
Si se produce la inyección instantánea de contaminante en un
sistema acuífero homogéneo, con un campo de velocidad
uniforme el cual se orienta en la dirección x, el problema se
puede representar mediante la siguiente ecuación:
DL
∂ 2C
∂ 2C
∂C ∂C
+
D
− vx
=
T
2
2
∂x
∂y
∂x
∂t
C (x , y ,0) = 0
−∞ < x < ∞
−∞< y<∞
C (x , y ,0) = C0 ⋅ δ ( x − x0 , y − y0 )
C (− ∞, y, t ) = C(∞, y, t ) = C (x, ∞, t ) = C (x,−∞, t ) = 0
t >0
CI61Q
Sistema
Bidimensional,
Inyección
Contaminante (Pulso de Contaminante)
Instantánea
de
La solución de este problema fue obtenida por De Josselin De
Jong (1958), considerando que la inyección se produce en el
punto de coordenadas x=x0 e y=y0.
C ( x, y, t ) =
(x + v x ⋅ t − x0 )2 ( y − y0 )2
C0 ⋅ A
⋅ exp −
−
2 ⋅ π ⋅ t ⋅ DL ⋅ DT
4 ⋅ DL ⋅ t
4 ⋅ DT ⋅ t
De Josselin De Jong (1958)
CI61Q
DESCARGA INSTANTANEA
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
Las ecuaciones presentadas hasta este punto describen los
procesos de advección, dispersión mecánica y difusión.
Si existen reacciones químicas o biológicas, la ecuación básica
debe ser modificada agregando términos que incluyan la
existencia de fuentes o sumideros.
El esquema de balance de masas que describe esta nueva
condición es:
Cambio en el
masa masa
masa
almacenamiento = que − que ± producida o
de masa
entra sale
consumida
CI61Q
En el caso del problema de transporte de una sustancia
contaminante no conservativa, es decir que es afectada por
reacciones químicas, se puede escribir como una modificación
de la ecuación de Advección-Dispersión:
Dx ⋅
∂ 2C
∂C r ∂C
− vx ⋅
± =
∂x 2
∂x n ∂t
donde r representa la masa producida o consumida por unidad
de volumen y unidad de tiempo, y n es la porosidad. La
ecuación anterior se conoce comúnmente como ecuación de
Advección-Dispersión-Reacción.
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
REACCIONES CINETICAS DE PRIMER ORDEN
Ejemplos de una reacción cinética de primer orden son el
decaimiento radioactivo y la biodegradación. Esta reacción se
puede escribir como:
r=
d (n ⋅ C )
= −λ ⋅ n ⋅ C
dt
donde λ es la constante de decaimiento de primer orden, la que
tiene unidades de tiempo-1. Con esta reacción la ecuación de
transporte reactivo (Advección-Dispersión-Reacción) se puede
escribir como:
Dx ⋅
∂ 2C
∂C
∂C
− vx ⋅
− λ ⋅C =
∂x 2
∂x
∂t
CI61Q
Columna Unidimensional, Inyección Instantánea
Contaminante con Decaimiento Lineal (Pulso
Contaminante)
de
de
Si se realiza una inyección instantánea de contaminante se
producirá un avance gradual de éste, el cual será afectado por
un proceso de decaimiento. La ecuación diferencial que
describe este problema, junto a las condiciones de borde e
iniciales, es la siguiente:
Dx
∂ 2C
∂C
∂C
− vx
− λ ⋅C =
∂x 2
∂x
∂t
C ( x,0 ) = C0 ⋅ δ (x )
C (− ∞ , t ) = 0
C (∞ , t ) = 0
t>0
t>0
CI61Q
Columna Unidimensional, Inyección Instantánea
Contaminante con Decaimiento Lineal (Pulso
Contaminante)
La solución al problema anterior queda representada por:
C ( x, t ) =
(x + v x ⋅ t )2
M
⋅ exp (− λ ⋅ t )
⋅ exp −
4 ⋅ Dx ⋅ t
2 ⋅ π ⋅ Dx ⋅ t
donde M es la masa inyectada por unidad de área
de
de
CI61Q
DESCARGA INSTANTANEA
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
REACCIONES DE ADSORCION EN EQUILIBRIO
Otro ejemplo de reacciones químicas que ocurren durante el
movimiento o transporte de un soluto a través de un medio
poroso permeable es la incorporación de parte de esta masa en
los granos de suelo. Este proceso se conoce como adsorción
y puede ser modelado en la siguiente forma:
r=
∂C *
∂t
donde C* es la concentración de soluto en la fase sólida. Al
sustituir la ecuación anterior en la ecuación de transporte se
obtiene la siguiente expresión:
Dx ⋅
∂ 2C
∂C 1 ∂C * ∂C
− vx ⋅
− ⋅
=
2
∂x
∂x n ∂t
∂t
CI61Q
REACCIONES DE ADSORCION EN EQUILIBRIO
CI61Q
REACCIONES DE ADSORCION EN EQUILIBRIO
En condiciones de equilibrio el proceso de adsorción queda
representado por las isotermas de equilibrio, las que
relacionan la concentración de soluto en la fase líquida con la
concentración de soluto en la fase sólida del medio poroso:
C * = f (C )
Si se define la concentración S como la masa de soluto
adsorbida en la superficie de los granos de suelo, se puede
relacionar con la cantidad C* por medio de la siguiente
expresión:
C * = S ⋅ ρ b = S ⋅ ρ S ⋅ (1 − n )
donde ρ S es la densidad de los minerales que forman la roca o
suelo, normalmente 2.65 g/cm3 para muchos suelos arenosos.
CI61Q
Existen una serie de modelos que permiten representar
isotermas de equilibrio:
Isoterma Lineal
S = Kd ⋅ C
donde Kd se conoce como el coeficiente de distribución.
Isoterma de Freundlich
S = k ⋅ Cn
con k y n dos constantes, e,
Isoterma de Langmuir
con k F, k R y SMAX constantes.
S=
k F ⋅ C ⋅ SMAX
kR + kF ⋅ C
CI61Q
CI61Q
Si se utiliza la isoterma lineal para representar el proceso de
adsorción, se obtiene la siguiente expresión:
∂C *
∂C
= K d ⋅ ρ S ⋅ (1 − n) ⋅
∂t
∂t
Al reemplazar esta expresión en la ecuación de transporte y
reordenar se obtiene:
Dx ⋅
∂ 2C
∂C
1 − n ∂C
− vx ⋅
= 1 + K d ⋅ ρ S ⋅
⋅
∂x 2
∂x
n ∂t
La cantidad entre paréntesis se conoce como el coeficiente de
retardación, R, el cual se escribe de la siguiente forma:
R = 1+ Kd ⋅ ρ S ⋅
1− n
n
CI61Q
Al substituir la expresión del coeficiente de retardación, R, en la
ecuación diferencial se obtiene:
D x ∂ 2 C v x ∂C ∂C
⋅
− ⋅
=
R ∂x 2 R ∂x
∂t
Tal como se observa en la ecuación, el efecto principal de la
adsorción es producir un retardo o demora del contaminante
con respecto a uno conservativo.
CI61Q
Columna Unidimensional, Inyección Instantánea y
Continua de Contaminante que se Adsorbe siguiendo una
Isoterma Lineal (Condición de Borde de Primer Tipo)
El siguiente conjunto de ecuaciones representa la inyección
continua de este trazador que es adsorbido por el medio poroso
siguiendo una isoterma lineal:
Dx ∂ 2 C vx ∂C ∂C
⋅
− ⋅
=
R ∂x 2 R ∂x ∂t
C ( x,0 ) = 0
x>0
C (0, t ) = C0
t >0
C (∞ , t ) = 0
t>0
CI61Q
Columna Unidimensional, Inyección Instantánea y
Continua de Contaminante que se Adsorbe siguiendo una
Isoterma Lineal (Condición de Borde de Primer Tipo)
La solución al problema anterior queda representada por:
C ( x, t ) =
R ⋅ x − vx ⋅ t
C0
⋅ erfc
2
2 ⋅ R ⋅ Dx ⋅ t
+ exp vx ⋅ x ⋅ erfc R ⋅ x + vx ⋅ t
D
2 ⋅ R ⋅ D ⋅t
x
x
donde:
erfc (x ) = 1 − erf (x ) = 1 −
x
2
2
⋅ e −u du
π ∫0
Para muchos problemas prácticos la solución anterior queda:
C ( x, t ) =
R ⋅ x − vx ⋅ t
C0
⋅ erfc
2
2 ⋅ R ⋅ Dx ⋅ t
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
Para aplicar las diferentes soluciones para los problemas de
transporte de contaminantes, ya sean estos en 1D, 2D o 3D, se
requiere el conocimiento de dos parámetros básicos: la
velocidad de escurrimiento y el coeficiente de dispersión.
La velocidad de escurrimiento se obtiene a partir de datos de
conductividad hidráulica, gradientes hidráulicos y porosidad de
la formación acuífera.
El coeficiente de dispersión requiere el desarrollo de
experiencias específicas a partir de las cuales se pueda
estimar.
Generalmente en las experiencias de laboratorio se estima el
coeficiente de dispersión, D, o el coeficiente de dispersividad,
α.
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
Las técnicas para estimar dispersividad pueden ser englobadas
en tres grandes grupos:
–LABORATORIO: trazadores (color, salinos, radioactivos) son
incorporados en columnas de suelo para evaluar el coeficiente de
dispersión mediante la comparación de soluciones analíticas para
casos simples.
–TERRENO: uso de un pozo único (de inyección y bombeo) para
inducir un escurrimiento controlado e incorporar un trazador. Uso
de soluciones analíticas adecuadas permite estimar valor de este
coeficiente.
–BIBLIOGRÁFICAS (EFECTO ESCALA): uso de información
bibliográfica para estimar coeficiente de dispersión a partir de
bases de datos. Util en el caso de no disponer de otros datos.
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
TECNICAS DE LABORATORIO
CI61Q
TECNICAS DE LABORATORIO
CI61Q
TECNICAS DE LABORATORIO
CI61Q
TECNICAS DE LABORATORIO
CI61Q
TECNICAS DE LABORATORIO
CI61Q
0.0080
0.0070
α = 0.15 cm
Concentración [mg/l]
0.0060
0.0050
0.0040
0.0030
0.0020
0.0010
0.0000
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
Tiempo [s]
Datos Experimentales
Curva Ajustada
TECNICAS DE LABORATORIO
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
Se utiliza un pozo en el cual se inyecta agua que contiene un
contaminante conservativo.
Durante un tiempo definido, TINY, se inyecta un trazador
conservativo al interior del acuífero. Pasado ese tiempo se
comienza a extraer agua a una tasa constante.
Para este análisis se define R F como la posición del frente de
avance del agua inyectada, al final del período de inyección:
1
Q ⋅ TINY 2
RF =
π ⋅ b⋅ n
donde Q es la tasa de inyección, TINY es el tiempo total de
inyección, b es el espesor del acuífero, y n es la porosidad.
TECNICAS DE TERRENO
CI61Q
CI61Q
La ecuación diferencial que describe este problema fue
derivada y resuelta por Hoopes y Harleman (1967):
∂C
∂C
∂ 2 C D * ∂ ∂C
+ u⋅
= α L ⋅ u⋅ 2 +
r ⋅
∂t
∂r
∂r
r ∂r ∂r
La solución de este problema se obtuvo al despreciar el efecto
de la difusión molecular, al ser ésta mucho más pequeña que la
dispersión mecánica.
C 1
= ⋅ erfc
C0 2
16 α L
⋅
3 RF
(U p − Ui ) −1
12
12
U U
⋅ 2 − 1 − p ⋅ 1 − p
Ui Ui
donde Up es el volumen de agua extraido durante un tiempo
definido, Ui es el volumen de agua inyectada durante la
experiencia
TECNICAS DE TERRENO
CI61Q
TECNICAS DE TERRENO
CI61Q
PROCESOS DE TRANSPORTE DE MASAS
TRAN SPORTE
TRANSPORTE
TRANSPORTE
TRAN SPORTE
POR
POR
POR
POR
ADVECCI ON
DI FUSI ON
DI SPERSI ON MECANI CA
DI SPERSI ON HI DRODI N AMI CA
DERI VACI ON ECUACI ON DE TRANSPORTE
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 1D
SOLUCI ON ES AN ALI T I CAS 2D
EC. ADVECCI ON- DI SPERSI ON- REACCI ON
REACCI ON DE PRI MER ORDEN
ADSORCI ON
DETERMI NACI ON DE DI SPERSI VI DAD
CI61Q
INFORMACION BIBLIOGRAFICA
CI61Q
A par t ir de los dat os de Gelhar:
α L = 0.1⋅ L
Par a longit udes menor es a 3.500 m, Neuman obt uvo:
α L = 0.175 ⋅ L1.46
Xu y Einst ein desar r ollar on un est udio est adíst ico:
α L = 0.83 ⋅ (Log L)2.414
INFORMACION BIBLIOGRAFICA