UN E N F O Q U E Q U E UNIFICA E L M É T O D O
D E AXIOMATIZAR VALORES L I N E A L E S E N
TEORÍA D E JUEGOS*
Francisco Sánchez Sánchez
CIMAT
Resumen:
En la literatura de teoría de juegos se encuentra la
axiomatización de diversos valores para juegos en forma
de función característica, cada uno en un contexto particular. En este trabajo se presenta la axiomatización de
diversos valores lineales bajo un mismo esquema. Se
parte del hecho de que si el valor está establecido en una
base, su linealidad lo determina en todo el espacio, para
generar diferentes conceptos de solución al aplicar
diferentes supuestos a los juegos que forman la base.
Abstract:
In the literature of game theory there are several
axiomatization of values for games in a characteristic
form, each in a particular context. In this work, we
present the axiomatization of several values under the
same framework. We used the fact that if a lineal
operator is defined in a base, it can be extended in a
unique form to the whole space, in order to generate
several solution's concepts. It is just varying the set
of axioms that determine the solution in the base.
1. Introducción
En 1953, Shapley (1953) determina en forma única el valor que lleva su
nombre a partir de tres axiomas: simetría, aditividad, y uno que engloba
eficiencia y nulidad. Dubey, Neyman y Weber (1981), caracterizan a los
semivalores que satisfacen linealidad, simetría, monotonía y proyección.
El índice de Banzhaf lo axiomatiza Lehrer (1988) a partir de los axiomas
de nulidad, reducción, igual tratamiento (se desprende de simetría) y otro
Trabajo apoyado por Conacyt.
E E c o , 9, 2, 1994
251
252 ESTUDIOS ECONÓMICOS
axioma que toma el papel de linealidad cuando la discusión se centra en
juegos simples. Kalai y Samet (1987) hacen lo propio con los valores de
Shapley ponderados a partir de cinco axiomas: eficiencia, aditividad,
positividad, nulidad y sociedad.
En este trabajo se propone un enfoque común para axiomatizar
valores lineales, el cual se utiliza para generar los resultados mencionados en el párrafo anterior. Se considera un espacio de juegos que forma
un espacio vectorial, se utilizan axiomas complementarios para determinar el valor en una base del espacio vectorial, y se aprovecha el hecho
de que la linealidad determina el valor en todo el espacio. La importancia de tener bases comunes radica en poder comparar los supuestos
que determinan los valores al elegir alguno de ellos en aplicaciones
particulares.
En la sección 2 se presentan los conceptos básicos, definiciones, y
se enlistan los axiomas que se mencionan a lo largo del trabajo. En la
parte 3 se caracterizan los valores lineales a partir de los valores en una
base del espacio de juegos, el resultado se utiliza en las secciones 5 y 6
para determinar diversos valores y semivalores cambiando los axiomas
que determinan los valores en la base. En la sección 7 se ilustra el uso
de estos conceptos de solución con un par de aplicaciones.
2. Conceptos básicos
Si N = {1,.. ., n \ es un conjunto finito de jugadores y se denota por 2
a la familia de subconjuntos de N , entonces un juego v en forma de
función característica se define como una función:
N
v:2 -+R
N
tal que v( 0 ) = 0. A cada S e 2 diferente del vacío, se le llama coalición.
La interpretación intuitiva de cada uno de los conceptos anteriores
es la siguiente:
Una coalición S e 2 es un subconjunto de jugadores que potencialmente pueden jugar unidos, caso en el que consiguen una ganancia
conjunta de v(S). Una coalición se considera formada no sólo cuando
los jugadores que la constituyen han decidido jugar unidos, sino que
también han acordado la forma de repartir la ganancia conjunta v(S).
N
N
VALORES LINEALES EN TEORÍA DE JUEGOS 253
El juego v especifica la ganancia que puede obtener cada una de las
coaliciones.
Una partida se lleva a cabo de la siguiente forma: al conocer cada
uno de los jugadores la función v, negocian libremente para formar
coaliciones hasta obtener una partición P = { S
de N, donde ya
se han formado cada una de las S.. La partida termina con el pago de las
ganancias, según lo acordado con anterioridad.
Como resultado de cada partida se obtiene un vector x e R , donde
x . es la ganancia que obtuvo el jugador i en la negociación. Por esta
razón, a cualquier vector* e R" se le llama vector de pago. El problema
principal en este tipo de juegos es encontrar un vector de pago o un
conjunto de ellos que sean "justos" para un juego dado.
En 1953 Shapley enfoca el problema de la siguiente manera: forma
el conjunto G de todos los juegos superaditivos con n jugadores y
define un operador
l
n
1
y : G -> R"
con lo que obtiene que, cualquiera que éste sea, en menor o mayor
medida resuelve todos los juegos en G, y el problema de resolver todos
los juegos en G lo cambia a seleccionar una "buena" y . Para ello, a este
operador le adjudica tres propiedades "deseables", las cuales considera
como axiomas, y demuestra que existe un único operador que las satisface. A raíz del trabajo de Shapley, se plantea el problema de encontrar
otras soluciones a partir de una fundamentación axiomática. A una y así
determinada se le conoce como valor, y un semivalor cuando el conjunto
de axiomas no la determinan completamente. Adicionalmente, por solución se entenderá un operador y : G -» R". A continuación se plantean
algunos de los axiomas que se han manejado con frecuencia en teoría de
juegos y que se utilizarán en este trabajo.
Es fácil ver, que tanto el conjunto de juegos con espacio de jugadores N = {1,. . . , n ) , como el conjunto de juegos superaditivos sobre el
mismo espacio, forman un espacio vectorial sobre el campo de los
números reales, si se define la suma y el producto como sigue:
Un juego v se dice que es superaditivo si y sólo si, v(5 U T) > v(5) + v(T) para toda
S y T e n /VialesqueSn T = 0 .
1
254 ESTUDIOS ECONÓMICOS
a) (v + 9)(5) = v(5) + 9(5) para todo v, 9 6 G
b) (cv)(S) = cv(5) para todo v & G y c e R.
donde G denota a cualquiera de estos conjuntos, convención que se
mantendrá a lo largo del trabajo.
A x i o m a de l i n e a l i d a d : i|/(av + 08) = <xy(v) + p>(9) para toda v,
0 e G y a, p € R.
Ahora considere un juego V y suponga que los jugadores intercambian papeles. Adicionalmente, suponga que cualquier grupo de jugadores logra la misma ganancia que la que conseguían en el juego original
los jugadores a los que sustituyen. E l axioma de simetría pide que el
vector de pago asociado a este nuevo juego, sea la permutación correspondiente del vector de pago asociado al juego original; dicho brevemente, si los jugadores intercambian papeles, entonces deben
intercambiar pagos.
En lo sucesivo se denotará por: 0 = {9l9:/V->yV,9 biyectiva}
y p°
r
e ( S ) = { 9 ( í ) l i e 5}
Es decir, 0 contiene todos los órdenes totales que se pueden definir
sobre el conjunto N , o si se quiere, todas las permutaciones de los n
jugadores. Cada 9 se interpretará como un intercambio de papeles en
el juego, en particular el jugador / pasará a tomar el papel del jugador 9(¿). A continuación se define formalmente el significado de las
frases: "formar un juego intercambiando papeles" e "intercambiar pagos".
Para cada pareja (0, v) e 0 x G se define un nuevo juego 9*v por:
(9*v)(5) = v(9(5))
y para cada pareja (9, x ) e 0 x R" se define un nuevo vector en R",
9 * x donde su t-ésima coordenada está dada por: (9 * x ) . = x
Estas definiciones se pueden interpretar como sigúe: para
(0, v) e 0 x G dado, se desea que 9 * v represente el juego, después de
que los jugadores hayan intercambiado papeles de acuerdo con 9, como
los jugadores en 5 suplantan a los que están en 9(5). Entonces lo que
debe poder conseguir 5 en 9 * v es lo que podía conseguir 9(5) en v,
VALORES LINEALES EN TEORÍA DE JUEGOS 255
es decir, (9 * v)(5) = v(9(S)). Ahora, el pago que recibe el jugador i con
9 * x es el que recibía 9(i) con x .
A x i o m a de simetría: \i/(9 * v) = 9 * \|/(v) para todo (9, v) e 0 x G.
Es decir, la solución y es simétrica si y sólo si para cualquier
(9,v)e G x G , el monto que le asigna y a cada jugador i en
9 * v(i|/.(9 * v)) es el mismo que el que y le asigna al jugador que
suplanta en v ( y (v)).
Para el siguiente axioma, si y ( v ) = (w,(v), .. ., vi/ (v)) es el vector
que le asocia y a v, entonces se denota por:
e
v|/v(S) = 2>,(v)
íe
S
esto es, u/v(S) es el monto que la coalición S obtiene con la solución y .
A x i o m a de eficiencia:
yv{N) = v(/V) para todo v e C .
En otras palabras, el monto y v ( N ) que se reparte entre todos los
jugadores bajo y , es exactamente el monto v(A0 que puede conseguir la
gran coalición.
DEFINICIÓN 1. Se dirá q u e i es u n j u g a d o r n u l o en
v ( S U | i l ) = V(S)para toda
S^N.
V si
y sólo si
A x i o m a de n u l i d a d : Si i es un jugador nulo en v, entonces
y .(v) = 0.
Alguien que sólo juegue el papel de observador del juego, debe ser
excluido de la repartición.
Para cada coalición T c N s e deriva un juego v amalgamando los
jugadores de T en uno solo; a este jugador se le llamará T'. El espacio
de jugadores para v es N \ T U { T } , y se define por:
r
r
v (S)
T
= v(S)
v ^ U i n ) = v(Su7)
donde S c N \ T .
A x i o m a de reducción: (p.(v) + (p.(v) < q > ( v ) para cualquier coalide dos jugadores.
'
ción T =
El axioma de reducción dice que para cualquier coalición de dos
jugadores T = { i j } la suma de los valores de / y j en el juego original
r
T
256 ESTUDIOS ECONÓMICOS
es menor o igual al valor de T en el nuevo juego. De acuerdo con este
axioma la unificación de dos jugadores es productiva.
3. Linealidad
Si {co I 0 * T c N] es una base arbitraria para G, entonces para cada v
existen reales 8 ,0*TcN,
tales que
r
v
T
v = ^ 5 > . = A8
v
7
T
donde
®y0^) y por lo tmito.
5 = A~ 'v.
V
Como \|/ es un<i solución lines!, se debe tener*
¥(v) = v /(X5> .) = 5^i|/((0 .) = fi6 = BA 'v
v
)
7
7
donde b. =
y.{<o ).
La base más comúnmente usada en teoría de juegos, y que se
supondrá en lo sucesivo, es la formada por los juegos
T
T
U
, ,
^ '
]1 s i T c S
10 de otra forma
para 0 * T e
Esto lleva a:
sr
a
íl s i T c S
j o de otra forma
b. =\]f.(u )
T
T
Nótese que A " no depende del juego, y que cada columna de B es
el valor del juego base correspondiente. Así, los valores en la base están
determinados, la linealidad establece el valor en todo el espacio. Aprovechando esta propiedad, cuando se requieran otros axiomas, bastaría
exigir que se satisfagan en juegos de la forma u . A continuación se
encuentra la matriz A~ y posteriormente se analiza la matriz B .
1
T
1
VALORES LINEALES EN TEORÍA DE JUEGOS 257
LEMA 1.
X ( ~\ y +' = \
l
o
DEMOSTRACIÓN. La demostración es directa si T no está contenido en
S o si S = T. Supóngase TaS, entonces
a) Si TIJ {i} = S, R toma los valores T y T U {i} de donde
(-l)'
+ (-l)'
+ (
=0
+ í + 1
b) Supóngase que para cualesquiera S y T tales 7 / l J {i ..., * } = S
se tiene que
X
(-l)
r + í
= 0.
cj Sean S y Ttales que T ( J { i . .., i , } = S, entonces
y
X
(-D
r +
=
I
Í
I/?I
7C/?CS]
i
— —)
k +
(-D
r +
f
+
X
(-D
r + í
I
+
1
DEMOSTRACIÓN. Si D = A A ~ \
A
R
S R
A
~ R T
'
entonces
entonces
=I;(- y
R
r +
(-ir'=o
de la m a t r i z A~ \
i
S T = l <
(-l)
1
PROPOSICIÓN 1. Si a" denota «na entrada
D
I
{ KI 7 c Kc S, ¿, É R ]
'
— — í +1
[l R I T —
Q R C—
S , ' i t+1 , e « )I
+
T
A
S R
A
R T =
Z (~
jfflTcRcSj
l
Y
y por el lema anterior D = I .
Hasta aquí, con sólo pedir linealidad, se tiene que v ( y ) = BA~ V
donde ya se ha caracterizado completamente A " En lo sucesivo,
se trabajarán diferentes conjuntos de axiomas para hacer lo propio
con B .
258
ESTUDIOS ECONÓMICOS
4. Linealidad, simetría y nulidad
El siguiente lema asegura que el pago al jugador i e R, en u , con una
solución que satisface los axiomas de simetría y nulidad, depende únicamente de la cardinalidad de R.
R
LEMA 2. Si y es u n a solución simétrica que satisface el a x i o m a de
nulidad,
entonces
a) v|/.( ) = y.(« ) p a r a t o d o i e RyjeT,
si \R\ = 171
Mfi
r
b) y . ( u ) - o! si i CE R.
R
DEMOSTRACIÓN.
Supóngase y una solución con las características del
lema. Para i , j e R y 9 definida por: 0(i) = j , 9(y) = i y Q(k) = k para
* * i, j se tiene que % * u = u y por simetría
R
R
V(«*) = V(9* u ) = ®*
R
W)
R
es decir
= VQ(Í)("R)
¥,(«/?)
=
¥/("«)
Además, si i i. R, i es un jugador nulo en u y por el axioma de
nulidad y . { u ) = 0. Con esto, y . ( u ) debe ser de la forma:
R
R
R
_ íq
si i e R
~ [O
de otra forma
R
Ahora si 5 y T son tales que s = t y 9 es tal que 9(5) = T, entonces
9 * u = u y Mf{u ) = \|/(9 * u ) = 9 * y { u ) , esto es, si / e S y 0(0 = j ,
entonces j e T y
T
s
s
T
q s
= \ ff u )
¡
K s
T
= \y.{u )
T
= q.
T
El pago común que recibe cada jugador de S, en u cuando 151 = r
se denotará por q .
y
r
TEOREMA 1. L a solución y satisface
y n u l i d a d si y sólo si
l o s a x i o m a s de linealidad,
simetría
VALORES LINEALES EN TEORÍA DE JUEGOS
V,-(v)= X
P
í+1
(v(SU{í))-v(S))
ScAT\ i
donde
n —s
t-s
v
y
para J = 1, . . . , n.
Antes de entrar en la demostración, nótese que la última ecuación
puede escribirse matricialmente como: p = M q donde
(- 1)'
+A
0
y además
t-s
V
si t > s
J
de otra forma
2
si t > s
t-s
\
J
0
de otra forma
Así, al ser M no singular, dado q queda determinado p y viceversa.
DEMOSTRACIÓN. Supóngase y con las características del teorema, entonces por el lema anterior v|/ determina q, la cual a su vez determina p .
Ahora, sea C = B A ~ \ entonces
T
\ T \ S Q T \
Ahora bien, si i e S
y si ¿ £ 5
Se desprende del hecho de que: £ (- 1)* "
pág. 15.
*=o
l
2
K
m
\ \ =0. Ver Riordan (1978),
A*J
n
259
260
ESTUDIOS
ECONÓMICOS
| 7 - | ( SU W ) C7 ]
haciendo el cambio de variable 7? = 5 U {i} se obtiene:
=-
X
[ T \ R
Q
( r i r \ = - p ,
+
í
T \
Como \|Í(V) - B A - 'v se tiene que:
¥ (v) = Xc,. v(S) = X c v ( 7 1
(
T
s
£
+
¡6 T
5
c. v(S)
5
SczN\{i\
=X^ ( )- X /\ i (s)
v
7
v
¡ E T
+
Ss^\|ij
y haciendo S = T\ {¿Jen el primer término:
= l P
r
,v(S U M) ~ P
1
+
,v(S)= J , P , ,(v(S U W) - v(5))
+
Es fácil ver que la y dada en el teorema es lineal, simétrica y
satisface el axioma de nulidad.
LEMA 3 . S i q
t
= l / t entonces
p = (~
J
?
DEMOSTRACIÓN. Por inducción matemática n-s. Para s = n , la demostración es directa. Supóngase que la aserción es válida para 5 con
s = k + 1, . . . , « . Entonces si 151=*y / e 5,
£
¡r i5c7]
( -D ' '_
•£
+
f
t- D
( r i Sc7-, í í 7j
+
_(s-l)l(n-s-l)\
(n-\)\
f
+
+
£
( -D '
\ T \ S Q T , l e T \
'
(-iy '
|risc7-cJV\(/)}
,+I
^
(-iy
|ri(suW)c7)
'
_s\(n-s-l)\
n\
+ J
*
+ f
_(s-l)\(n-s)\
n\
VALORES LINEALES EN TEORÍA DE JUEGOS261
LEMA 4. Si q, = 1 / 2' entonces p
.
DEMOSTRACIÓN. Nuevamente por inducción sobre n - s,
1
r
si s = n , entonces independientemente del valor de n , el único término en la suma es
con T = N y la ecuación satisface. Si S es tal que s = n - k y / <2 S
entonces
£
(- 1
+
' _
^
__1
~2"~
2
(- !)'+•'
^
+
(- !)' + '•
1 _ 1
2"- 2"-'
| _
PROPOSICIÓN 2. Si y es u n a solución l i n e a l entonces c o n la sucesión { q j
dada en el l e m a 2, se t i e n e que:
a) S i q = \ / t entonces y es el v a l o r de Shapley.
b) Si q = 1/2'- entonces \|/ es el v a l o r de
Banzhaf.
f
1
Nótese que el axioma de eficiencia, el único que se utiliza en la
demostración del valor de Shapley, y que no se menciona en la proposición anterior, determina q^ = 1 /s.
5. Linealidad, simetría, nulidad y reducción
El valor de Banzhaf para el jugador i correspondiente al juego v con n
jugadores es el siguiente:
cp.(v) = 1 / 2
' X [v(5 U{'})
- v(S)]
Scíí
En un juego simple, el valor de Banzhaf del jugador /, es el número
de coaliciones perdedoras que se vuelven ganadoras cuando se les incorpora el jugador i, dividido entre el número de coaliciones que no lo
contienen (incluyendo al vacío), con el fin de que el valor quede entre 0
y 1. La expresión anterior es una forma de generalizar esta idea.
LEMA 5. Si cp es
el v a l o r de Banzhaf,
toda coalición T = { i , jf.
entonces
(p^v) + cp.(v) = (p (v ) p a r a
'
'
r
r
262 ESTUDIOS ECONÓMICOS
DEMOSTRACIÓN.
2-'(9,<v) q)/v)) = I [ v ( S u í ¿ l ) - v ( 5 ) ]
+
Sc/Í
+ S[v(SUÜÍ)-v(S)]
Scíí
= I
[v(Sul¿))-v(i) + v(ÍUli.y))-v(ÍUW)]
+
[ v ( S u 0"))-v(S) + v ( Í U ( y ( ) - v ( S U {¿DI
X
s /v\j¡,/)
s
=2 X
[v(5u{¿ Í})-v(5)]-:22' - (p (v .)
i
2
)
r
7
Sc/V\(¿,./j
TEOREMA 2. E x i s t e
nulidad,
una única solución y que satisface l o s a x i o m a s de
simetría, linealidad,
reducción y o, = h el v a l o r de Banzhaf.
DEMOSTRACIÓN. La existencia nuevamente se demuestra exhibiendo que
el valor de Banzhaf satisface los axiomas mencionados. Supóngase un
operador y que satisface los cuatro axiomas mencionados en el teorema.
Por el teorema 4.3 se tiene que:
V,(v)= X
tf (v(SU
{'})-v(S))
+1
S = Af\|i)
=2>:MS)-I>; ,V(S)
+
Vr'( r)=
v
Z
|s c A T i r
= Z
^r'V )E
s)
/fcí (S)
v
{s i r « sj
P;:/V(S)-
!ScWl( /,./|cSl
Z
5
Z
(SIScM(¿,;'j|
Cívw
VALORES LINEALES EN TEORÍA DE JUEGOS 263
así, \|/.(v) + \)/.(v) < y , ( v ) , si y sólo si,
T
T
X pyw - X p'U , ( ^ ) + 1 / ? ® - X p'.u ,v(s>
v
¡«i
¡ E S
jes
J E S
^ X pelvis)ISlM c S)
'
X
^;/v(5)
| SISc M ( ; , j| ) '
si y sólo si
(2¿/:-p';-;)v(S)-
X
+
X
X
(<-/CH)V(S)+
| S I¿ e S , j g S | '
(2/^ -^;í)v(S)
+ 1
X
(p"-/>" i)v(5)<0
+
{S\HS,jeS}'
'
Nótese que en esta desigualdad se tiene uno y sólo un término por
cada coalición. Así, debe suceder que:
2
í = 2,...,n; n > 2
P'l = P Z\
n
s
í =0,...,n-2; n > 2
2P'.U\=P"Z¡
p =p"
n
s
s + x
s = l , . . . , n-í;
n>2
de donde se desprende fácilmente que
.
"s
2 ~'
n
'
=
1
2" ~'
6. Linealidad, nulidad y sociedad
Otro concepto de solución que es lineal es el valor de Shapley ponderado.
El valor de Shapley del juego v({ 1}) = v({2}) = 0 y v({ l , 2}) = 1 es
\|/(v)' = (1 / 2 , 1 /2); sin embargo, posiblemente alguno de los jugadores
necesite realizar un mayor esfuerzo en la coalición {1,2}. A partir de esta
consideración se sugiere repartir de acuerdo con ponderaciones preestablecidas. Esta idea da lugar al valor de Shapley ponderado, un valor que
no necesariamente satisface el axioma de simetría.
264
ESTUDIOS ECONÓMICOS
DEFINICIÓN 2. Se dirá que S es u n a coalición n a t u r a l de socios
v, si p a r a c a d a TczS (7> S) y R c/V \ S, v(R U T) = v(R).
en e l j u e g o
Una coalición natural de socios se comporta como un solo individuo, ya que ninguna subcoalición propia tiene poder.
A x i o m a de sociedad:
Si S es una coalición natural de socios en v,
entonces \|/.(v) = y . ( y v ( S ) u ) para todo / e S.
La interpretación de este axioma es la siguiente: se espera que cada
coalición natural de socios juegue como un solo individuo en v y
negocie lo obtenido entre sus elementos en forma independiente.
s
DEFINICIÓN 3. El v a l o r de Shapley
p o n d e r a d o c o n un sistema de p o n d e ración s i m p l e w £ R", w > 0, es un mapeo lineal V|/ :G -> R" tal que:
W
si i e S
w(S)
0
de o t r a f o r m a
LEMA 6.
y 5=J4 V, e n t o n _1
Si S es u n a coalición n a t u r a l de socios
0ces 8 = 0 s i S < z T y SO
r
DEMOSTRACIÓN. Supóngase que S <xT y
S ( ~ } T * 0 , entonces
S = £ ( - l)' v(fl)
+
/
r
R Q T
ahora para R c T, sea fl. = S n ^ y R, = R D ( T \ S),
X (-i)' ' 'V(/? u*p
= X
+r +r
l
= X (-l) -v(/? )X ( - l ) - = 0
,+ r
r
(
R c:T\S
(
R c S r \ T
s
por el lema 4.3.
TEOREMA
3. vi/ es una ¿o/Kcidn /mea/ awe saíí's/ace /os axiomas de
sociedad,
n u l i d a d y y { u ) > 0 s i y sólo si existe w tal que V|/ es el v a l o r
de Shapley p o n d e r a d o c o n sistema de ponderación simple w.
N
V A L O R E S L I N E A L E S E N TEORÍA D E J U E G O S
265
DEMOSTRACIÓN. Sea v una solución que satisfaga los axiomas mencionados en el teorema. Como N es una coalición natural de socios en u :
N
\|/(.(MA,) = \J/ ,(5)vi/.(M5)
Ma
así, basta considerar w. = \\>.(u ) y sustituir en la ecuación anterior para
obtener para y . ( u ) = w . / w ' ( S ) .
Para demostrar el teorema en la otra dirección, primero supóngase
que el jugador i es un jugador nulo en v. Entonces,
w.
N
s
T
S
T j$ I /
-
V
V
E
S, S c Tj
-^L.(
iv + 'vm
W.
[TíiíT]
=
¡Slie 5,Jc7]
X
L
j r i i e 7")
(- 1)' '[V(TU {»})-v(7)]=0.
V
^7^7
{51 / e S . S e r )
+
*• '
Ahora, como el valor de Shapley ponderado es lineal, el axioma de
sociedad se puede expresar como:
w.
w(S)
^
donde 5 es una coalición natural de socios que contiene al jugador i,
w.
b. = —Jjj si j e 7 y cero de otra forma, B> el í-ésimo renglón de la
T
matriz B y x e R" con suj'-ésima coordenada igual a 1 o 0 dependiendo de
si j G So no. Denotando por 8 = A~ V , la igualdad es equivalente a:
s
5C/58 = ^ f l ' 8 .
w.
J
Ahora bien,
,/ e
S j e T
y
'
T
y
J
266
y
ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S
w(S)
w{S)
w.
w.
YV\IJ
GT
iG T
aplicando el lema anterior, se tiene que las dos últimas expresiones son
iguales.
1
i
7. Aplicaciones
Se desea llevar una señal desde un origen a n poblaciones, se puede
pensar en una red telefónica, cablevisión o una red de agua. La señal que
llega a una población no necesita provenir directamente del origen, sino
que se puede obtener de una población ya conectada. El único requisito
es que todos los nodos estén conectados por alguna ruta al origen.
Supóngase que se cuenta con una gráfica, donde se tiene un nodo por
cada población, otro por el origen, una arista entre cada par de nodos
que se puedan conectar directamente y para cada una de ellas el costo de
hacerlo.
El costo total de conectar a las n poblaciones, es el asociado al
mínimo árbol que genera la gráfica. El problema que aquí se aborda es
cómo repartir "equitativamente" ese costo total entre las n poblaciones.
Si N = [A, B , .. .} representa al conjunto de las poblaciones, se
propone definir el juego por: v(S) = costo mínimo de llevar la señal a las
poblaciones en S c i V , y utilizar alguno de los valores de teoría de
juegos para repartir el costo entre las poblaciones. A manera de ejemplo,
considere la siguiente gráfica:
V A L O R E S L I N E A L E S E N TEORÍA D E JUEGOS
267
Las siguientes matrices sintetizan, respectivamente, el costo de conectar directamente cada par de nodos y la trayectoria "más corta" entre
cada par de ellos, que en este caso, es el mínimo costo con el que se
pueden conectar.
3
0
A
B
C
D
E
T
0
A
B
C
D
E
T
O
' 0
2
5
4
oo
oo
oo
A B
2 5
0 2
2 0
1
7 4
3
oo oo
OO
OO
o A
' 0 2
2 0
4 2
4 3
8 6
7 5
13 11
B
C
4
E
T
OO
OO
7 oo
I 4 3
0
4
oo 0 1 5
4 1 0 7
5 7 0
OO
OO
OO
OO
OO
OO
c
4
2
0
1
4
3
9
D
OO
4
3
1
0
5
4
10
D
8
6
4
5
0
1
5
E
1
5
3
4
1
0
6
T
13"
11
9
10
5
6
0
Para calcular v(S), se modificó el método de Dijkstra de la siguiente
forma:
Se inicia con:
p ={O}, T : = N \ { 0 }
y v(S) = 0.
Iteración:
A.. = min [ b . . : i e P y j e T)
v(S):=v(S) + b
M := {nodos en la trayectoria más corta entre k y l \
p ;= P \ _ J M
T:=T\M
u
3
El método que se utilizó para calcularla fue el de Floyd-Warshall, ver Lawler (1976).
268
ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S
Si T n $ * 0 se realiza otra iteración, de otra forma se ha terminado donde b.. denota el valor de la trayectoria más corta entre i y / Para
este ejemplo se obtuvo el siguiente juego:
V({A}) = 2
v({B}) = 4
v({C}) = 4
v({£>}) = 8
v({£)) = 7
v({F}) = 13
v({A, B)) = 4
v(M, C}) = 5
v({B, C}) = 5
v({-4, D}) = 8
v({B, £>}) = 8
v({C,D}) = 9
v({/4, £ } ) = 7
V ( ( B , £ j) = 7
v({C, £ } ) = 8
v({D,£)) = 8
v ( { A , F } ) = 13
v({B, F}) = 13
v((C, F}) = 14
v ( ( A F ) ) = 13
v({£, F}) = 13
Jugador
A
B
C
D
E
F
v ( { A , B, CJ) =
v((/t, fl, D))=
v({A, C , D ) ) =
v({B, C, £>}) =
v({A,B,E})=
v({A C, £ } ) =
v({B, C, £ } ) =
5
8
9
9
7
8
8
v({A, £>,£)) = 8
v({B,D,E})=
8
v({C, £ > , £ } ) = 9
v ( { A , B , F } ) = 13
v({A, C, F}) = 14
v({B, C, F})= 14
v({A, D ; F ) ) = \ 3
v ( { B , D , F } ) = 13
v({C, A F))= 14
v({/\, £, F j ) = 13
v({B, E, F } ) = \ 3
v ( { C , E , F } ) = 14
v ( { D , E , F))=13
v(|A,e,C,/)))= 9
Valor
de
Shapley
0.3667
0.7667
1.5667
2.2667
1.7667
7.2667
v([A,B,C,E})=
8
v({A,B,D,E))= 8
v({A, C, D , £ } ) = 9
v({B, C, D , E } ) = 9
v({AB, C, F))=14
v({A, B, D , F}) = 13
v([A,C,D,F))=U
V({B, C, D , F}) = 14
v(|A, fl, £, F)) = 13
v((A,C, £ , £ } ) = 14
v((fl, C, E , F } ) = 14
v({A,D, £ , £ ) ) = 13
v({fl, D, E, F)) = 13
v({C, £ > , £ , £ } ) = 14
v({/4, fl, C, £ > , £ ) ) = 9
v({/4, B, C, D , F)) = 14
V({A,B, C, £, F})= 14
v({AB, D , E , F ) ) = 13
v ( { A , C, D , E, F } ) = 14
v({B, C, A £, £ ] ) = 14
v ( { A , B , C, D , E, F } ) = 14
Valor
de B a n z h a f
0.0938
0.2188
1.1563
1.4688
0.9688
6.4688
Los bajos valores para las poblaciones A y B se deben a que la
mayoría de las trayectorias pasan por ellos, lo que induce a las demás
poblaciones a asociarse con ellas. Nótese además, que a pesar de que al
nodo F se le asigna más de la mitad del costo total, tiene una mejoría
V A L O R E S L I N E A L E S E N TEORÍA D E JUEGOS
269
sustancial al no pagar las 13 unidades que le corresponden cuando
juega aislado.
En el siguiente ejemplo se considera una muestra con la que se ha
realizado una regresión múltiple. Se realiza una partición de la muestra y
se define un índice sobre ella, que mida qué tan bueno es el ajuste de la
regresión en cada uno de sus elementos.
Suponga que además de las variables que intervienen en la regresión, cada observación contiene otra variable Z que sólo puede tomar un
número finito de valores, digamos Z e {z, . . . , z }. El objetivo que se
persigue es detectar si el ajuste de la regresión depende de la variable Z.
Sea N = [ N . . . , N } la partición de la muestra, donde N . es el
conjunto de observaciones tales que Z = z.. Se desea distribuir el'coeficiente de correlación entre los elementos de la partición, para ello se define v(S), para cada S Q N , como el coeficiente de correlación que se
obtiene al hacer la regresión con sólo las observaciones que están en S .
Así, un V|/.(v) chico con respecto a los demás indicaría un ajuste
peor para las observaciones donde Z = z Si z, < z < . . . , < z y \|/ (v)
decrece conforme i crece, el ajuste no'sería tan bueno para" valores
grandes de Z como lo es para valores chicos.
Con la muestra que se da a continuación, se realizó una regresión
múltiple, con el ozono como variable dependiente, y la velocidad del
viento y la radiación solar como variables independientes. Para definir
la variable Z, en N se incluyeron las seis observaciones con temperaturas más bajas, en N las seis que le siguieron, y así sucesivamente.
{
N
2
r
n
L
2
Ozono
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
41
36
12
18
23
19
8
16
11
14
18
Temperatura
67
72
74
62
65
59
61
69
66
68
58
Velocidad del
viento
7.4
8.0
12.6
11.5
8.6
13.8
20.1
9.7
9.2
10.9
13.2
Radiación
sotar
190
118
149
313
299
99
19
256
290
274
65
¿
270
ESTUDIOS E C O N Ó M I C O S
continúa
14
34
6
30
11
1
11
4
32
23
45
115
37
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
64
66
57
68
62
59
73
61
61
67
81
79
76
11.5
12.0
18.4
11.5
9.7
9.7
16.6
9.7
12.0
12.0
14.9
5.7
7.4
334
307
78
322
44
8
320
25
92
13
252
223
279
A continuación se presenta el juego, el valor de Shapley y el valor
de Banzhaf que se obtuvieron. L a s o l u c i ó n muestra que se obtiene un
peor ajuste relativo para las temperaturas m á s altas.
v({A)) = 0.9480
v({B)) = 0.8963
v((C)) = 0.8598
v({D}) = 0.7990
v({A, B)) = 0.8009
v({A, C)) = 0.7414
v((B,C}) = 0.8408
v({A,D}) = 0.7393
v({B,D}) = 0.6796
v()C,D}) = 0.7017
v({A, B,C}) = 0.7857
v({A,B,D}) = 0.6389
v({A,C,D)) = 0.6539
v((B,C,D)) = 0.6749
v((A, B, C,D}) = 0.6413
Jugador
A
B
C
D
Valor de
0.1939
0.1902
0.1768
0.0804
Shapley
Valor de B a n z h a f
0.0622
0.0644
0.0497
-0.0430
V A L O R E S L I N E A L E S E N TEORÍA D E JUEGOS
271
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