Números reales/El valor absoluto.

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1 Números reales/El valor absoluto.
Valores Absolutos de Número Reales Distancia entre Números Reales Desigualdades triangulares Demostración de las desigualdades triangulares Propiedades de los Valores Absolutos Ejemplos Números reales/El valor absoluto.

2 Números reales/El valor absoluto.
Tomar el valor absoluto de un número es una operación que convierte un número negativo en uno positivo cambiando el signo del número en cuestión. El valor absoluto de un número positivo es el mismo número positivo. Definición El valor absoluto |x| de un número real x se define como Números reales/El valor absoluto.

3 Números reales/El valor absoluto.
Ejemplo |-5| = 5 y |2| = 2. Así si x ≥ 2 se tiene |x – 2| = x – 2 Y si x ≤ 2 se tiene |x – 2| = 2 – x. Números reales/El valor absoluto.

4 Números reales/El valor absoluto.
Propiedad Importante – |x| ≤ x ≤ |x| siempre y |b| ≤ |a| si y sólo si – |a| ≤ b ≤ |a|. Números reales/El valor absoluto.

5 La distancia entre Números Reales
La distancia entre dos números reales x e y es |x – y|. |x – y| x y Números reales/El valor absoluto.

6 La distancia entre Números Reales
La distancia entre dos números reales x e y es |x – y|. Hallar todos los números x tal que la suma de sus distancias a 1 y -1 sea 4. Ejemplo Solución Estos números cumplen |x – 1| + |x + 1| = 4. Para resolver la ecuación , debemos eliminar los valores absolutos. Para ello, observamos que si x ≥ 1, tanto x – 1 como x + 1 son positivos. Por lo tanto, para x ≥ 1, se tiene |x – 1| + |x + 1| = x – 1 + x + 1 = 2x. La ecuación original ahora resulta 2x = 4, esto es, x = 2. Esta es una solución ya que 2 > 1. Si –1 < x < 1, la ecuación se simplifica hasta 2 = 4, que no tiene solución. Para x ≤ -1, la ecuación se convierte en -2x = 4, esto es, x = –2. Conclusión: los puntos son x = 2 y x = -2. Números reales/El valor absoluto.

7 Las desigualdades triangulares
Las desigualdades triangulares son desigualdades matemáticas muy útiles. Se aplica a muchas situaciones. Son las siguientes: Desigualdades triangulares ||x| - |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|. Las desigualdades triangulares recibe su nombre del hecho de que para un triángulo de lados de longitud a, b, and c, c ≤ a + b. Tendremos igualdad en la parte izquierda si el signo de x e y son opuestos (o si uno de ellos es 0). a b c Tendremos igualdad en la parte derecha si el signo de x e y son iguales (o si uno de ellos es 0). Números reales/El valor absoluto.

8 Demostración de las Desigualdades >Triangulares
Para cualquier par de números x e y, – |x| ≤ x ≤ |x| , – |y| ≤ y ≤ |y|. Sumando estas inecuaciones obtenemos – (|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|. Lo cual implica: |x + y| ≤ |x| + |y|. Sea x = a + b e y = – b. La inecuación |x + y| ≤ |x| + |y| implica |a + b – b| ≤ |a + b| + |b|  |a| – |b| ≤ |a + b|. Intercambiando las posiciones de a y b, obtenemos |b| – |a| ≤ |a + b|. Por tanto ||a| – |b|| ≤ |a + b| para cualquier pareja de valores a y b. Acabamos de demostrar lo siguiente: Desigualdades Triangulares ||x| - |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|. Números reales/El valor absoluto.

9 Propiedades del Valor Absoluto
1 |a| ≥ 0 2 |-a| = |a| 3 a2 = |a|2 4 |ab| = |a||b| 5 -|a| ≤ a ≤ |a| 6 |a| = |b|  a =  b 6 Sea b > 0. |a| > b  a > b o a < -b. 7 ||a| - |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|. Desigualdades triangulares Ejemplo Demostración Aquí sumamos y restamos un mismo número w a |x – y|. De esta forma la expresión no varía. Problema ¿Cuándo tenemos una igualdad en la estimación anterior? Números reales/El valor absoluto.

10 Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos
Ejemplo 1 |2x + 1| = 5 Solución Para los valores de x tales que 2x + 1 ≥ 0 tenemos |2x + 1| = 5  2x + 1 = 5  2x = 4  x = 2. Si x = 2, 2x + 1 ≥ 0. Así que x = 2 es una solución. Para los valores de x tales que 2x + 1 < 0 tenemos |2x + 1| = 5  -2x - 1 = 5  -2x = 6  x = -3. Si x = -3, 2x + 1 < 0. Así que x = -3 es una solución. Conclusión La ecuación tiene dos soluciones: x = 2 y x = -3. Números reales/El valor absoluto.

11 Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos
Ejemplo 2 |2x + 3| ≥ 5 Solución Por la propiedad 6 de los valores absolutos: |2x + 3| ≥ 5  2x + 3 ≥ 5 o 2x + 3 ≤ -5. 2x + 3 ≥ 5  2x ≥ 2  x ≥ 1. 2x + 3 ≤ -5  2x ≤ -8  x ≤ -4. Conclusión Por tanto la solución es x ≤ -4 y x ≥ 1. Números reales/El valor absoluto.

12 Gráficas de ecuaciones con Valores Absolutos
Ejemplo 3 Dibuja la gráfica de x + |x| = y + |y|. Solución La Gráfica de la Ecuación En el primer cuadrante: y = x y todo el tercer cuadrante. Números reales/El valor absoluto.

13 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä