Historia del método axiomático
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Autor: Prof. Sergio Russo
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Historia del método axiomático
- 3. Antecedentes históricosAntecedentes históricos Las ideas centrales del método axiomático surgen en el seno de la civilización griega (S.V y IV a.C) y se asocian con el concepto de demostración. Su primera formulación específica fue realizada por Aristóteles en su obra Segundos Analíticos, obra que incluye su teoría del silogismo y sus concepciones acerca de la ciencia.
- 4. Antecedentes históricosAntecedentes históricos La primera aplicación concreta del método fue realizada por Euclides, quien en su obra Elementos (aprox.300 a.C) desarrolla la axiomatización de la geometría. Aristarco aplicó dicho método a la astronomía, mientras que Galeno hizo uso del método en la medicina. Con la revolución científica de la era moderna, el método se extendió a la física, de la mano de científicos como Tartaglia, Descartes, Galileo, Newton.
- 5. Axiomática formalAxiomática formal La axiomática formal o abstracta alcanza su realización en la segunda mitad del siglo XIX, hecho que coincide y es impulsado por el surgimiento de las geometrías no euclidianas, la lógica matemática y la teoría de conjuntos. A diferencia de lo que ocurre en los sistemas axiomáticos materiales, los términos de un sistema axiomático formal no se refieren a objetos, y sus enunciados carecen de significado empírico.
- 6. La axiomática en elLa axiomática en el siglo XXsiglo XX En 1889 G. Peano publica la primera axiomatización de la aritmética. En 1918 Hilbert emprende la tarea de axiomatizar toda la matemática, ideal que se vería frustrado hasta nuestros días. En 1930 Zermelo y Fraenkel logran axiomatizar la teoría de conjuntos de Cantor. En 1931 Gödel descubre el célebre “teorema de incompletitud” que precisamente demuestra la imposibilidad de axiomatizar toda la matemática. Después de Gödel, comienza una etapa de investigación metateórica rigurosa de las propiedades de los sistemas axiomáticos formales.
- 7. ¿¿Qué es un sistemaQué es un sistema axiomáticoaxiomático?? Desde un punto de vista lógico una teoría es un conjunto de enunciados organizados sistemáticamente. La sistematicidad la provee la relación de consecuencia lógica. Un sistema axiomático constituye un conjunto de enunciados de los que pueden distinguirse un subconjunto de ellos (axiomas) tal que todos los restantes enunciados se consideran consecuencias lógicas de aquellos (teoremas)
- 8. Preguntas ineludibles ¿Que es un axioma? ¿Cómo se seleccionan? ¿Cuántos axiomas puede tener un sistema axiomático?
- 9. Axioma:Axioma: αξιωμααξιωμα Del griego, significa “lo digno de ser estimado, creído o valorado”. Aristóteles los consideraba principios autoevidentes, que ofician de fundamento de toda ciencia. Hasta el siglo XIX, generalmente se los consideraba verdades universales, válidas y aplicables a cualquier ámbito de conocimiento.
- 10. Axiomas: Algunos ejemplosAxiomas: Algunos ejemplos El todo es mayor que cualquiera de sus partes. Cantidades iguales añadidas a cantidades iguales dan iguales cantidades. Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. El todo es igual a la suma de sus
- 11. AxiomaAxioma ≠≠ PostuladoPostulado “Toda ciencia demostrativa tiene que partir de principios indemostrables; de otro modo, los pasos de la demostración serían infinitos. De estos principios indemostrables algunos son comunes a todas las ciencias, otros son particulares o peculiares de una ciencia en particular”. (Aristóteles)
- 12. ALGUNOSALGUNOS POSTULADOS DEPOSTULADOS DE LA GEOMETRÍALA GEOMETRÍA EUCLÍDEAEUCLÍDEA.. Por dos puntos distintos puede trazarse una línea recta y sólo una. Una línea puede prolongarse indefinidamente. Si l1 es una línea recta y P es un punto exterior a ella, entonces puede trazarse por P una recta y sólo una, paralela a L.
- 13. En la actualidad……En la actualidad…… Axiomas se consideran a todas las proposiciones no demostradas, que se adoptan como punto de partida del sistema, sin una prueba o justificación específica. La distinción entre axiomas y postulados ha sido generalmente abandonada, optando por el uso del término axioma para toda proposición no demostrada. Los sistemas axiomáticos más productivos son aquellos en los que se adoptan una reducida cantidad de axiomas y se logran demostrar la mayor cantidad de teoremas.
- 14. Elementos de un sistema axiomáticoElementos de un sistema axiomático Lógica subyacente. Es la lógica presupuesta por el sistema. Se emplea como instrumento para realizar inferencias legítimas. Vocabulario. Conjunto de símbolos / términos mediante los cuáles se construyen las fórmulas o proposiciones del sistema. Se dividen en lógicos y no lógicos. Entre los términos no lógicos algunos se consideran primitivos (no definidos) y otros definidos.
- 15. Elementos de un sistema axiomáticoElementos de un sistema axiomático ReglasReglas • Reglas de definición. Son las que permiten introducir nuevos términos y enriquecer el vocabulario del sistema. Para introducir un término nuevo debe ofrecerse una definición. • Reglas de formación. Son reglas de tipo sintáctico o gramatical que indican cómo construir proposiciones a partir de los términos. • Reglas de derivación (deducción) Son reglas lógicas que permiten la deducción de proposiciones a partir de otras proposiciones.
- 16. Elementos de un sistema axiomáticoElementos de un sistema axiomático Axiomas. El subconjunto de las proposiciones no demostradas del sistema, que se adoptan sin prueba y que ofician de puntos de partida de todo el sistema. • Teoremas. Cualquier proposición obtenida deductivamente a partir de los axiomas, mediante la aplicación de las reglas de derivación del sistema.
- 17. Un ejemploUn ejemplo Términos primitivos: Punto /conjunto. Términos definidos: Línea /Paralela. Definiciones: Toda línea es un conjunto de puntos. Dos líneas son paralelas si no hay ningún punto que esté a las vez en ambas.
- 18. Un ejemploUn ejemplo • Axiomas: 1. Existen por lo menos dos puntos. 2. Si p y q son puntos, entonces existe una y sólo una línea que contiene a p y q. 3. Si L es una línea entonces existe un punto que no esta en ella. 4. Si L es una línea y p un punto no situado en ella entonces existe una y sólo una línea que contiene a p y es paralela a L. 5. Una línea es distinta de otra si posee un punto que no es poseído por la otra.
- 19. Teorema a demostrarTeorema a demostrar *Todo punto se encuentra al menos sobre dos líneas distintas.
- 20. DemostraciónDemostración X es un punto cualquiera. .X Por axioma 1 debe existir otro punto, supongamos Y .X .Y Por axioma 2 existe una línea, L, que los contiene .X .Y L
- 21. DemostraciónDemostración Por axioma 3 debe existir un punto, Z, que no se encuentra en esa línea. .X .Y L . Z Por axioma 2 debe existir una línea K, que contiene a Z y X. K .X .Y L . Z
- 22. DemostraciónDemostración Por el axioma 5, L y K son líneas distintas, dado que el punto Y está sobre L y no sobre K. K .X .Y L . Z X se encuentra tanto en L como en K, lo cual demuestra el teorema.
- 23. Propiedades Formales de losPropiedades Formales de los sistemas axiomáticos. Consistencia.sistemas axiomáticos. Consistencia. 1. Consistencia: *Se dice que un sistema axiomático es consistente cuando no puede haber en él un teorema tal que su negación también sea teorema. Es decir, cuando no pueden deducirse teoremas contradictorios. Ejemplo. Teorema 1. Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela. Teorema 2. Por un punto exterior a una recta no pasa una sola paralela sino infinitas paralelas. (Ambos no pueden ser teoremas del sistema)
- 24. CompletitudCompletitud II. Completitud: *Se dice que un sistema axiomático es completo cuando, dada cualquier proposición correctamente formulada en el vocabulario del sistema, puede probarse que ella o su negación es un teorema del sistema. Ejemplo: Afirmación 1. Por dos puntos puede trazarse una recta. Afirmación 2. Por dos puntos no puede trazarse una recta. (O la afirmación 1 o la 2 debe ser un teorema del sistema).
- 25. IndependenciaIndependencia III. Independencia. *Se dice que un sistema axiomático es independiente cuando cada uno de sus axiomas es independiente del resto, lo cual significa que no es deducible de los otros axiomas. Ejemplo: Axioma 1. El todo es mayor que las partes. Axioma 2. El conjunto de los números naturales constituye una parte del conjunto de los números enteros. Axioma 3. El conjunto de los números enteros es mayor que el conjunto de los números naturales. (Este axioma es deducible de los dos anteriores)
- 26. Otras propiedadesOtras propiedades IV. Decidibilidad. *Se dice que un sistema axiomático es decidible si existe un método (procedimiento mecánico) que permita determinar si una proposición pertenece o no al sistema. V.Satisfacibilidad. *Se dice que un sistema axiomático es satisfacible si tiene al menos un modelo. Se entiende por modelo una interpretación del sistema que satisface a los axiomas, lo que significa que los convierte en afirmaciones verdaderas.