Número 39

ÍNDICE Editorial

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EL MATEMÁTICO DEL NÚMERO Leonhard Euler, el cíclope matemático

................................................................................ 3

AXIOMAS, TEOREMAS Y ALGO MÁS Pelotas, geometría y luz Limpieza de imágenes

.............................................................................................................. 6 ............................................................................................................ 13

ATERRIZANDO IDEAS Regresión lineal. Aritmética inexacta y algoritmos numéricamente estables Componentes Principales: Las Dimensiones de la Confianza De bombas y probabilidades

............................. 25 ............................. 35 ............................. 42

ACTIVA TUS NEURONAS Números escondidos Final de economía Podando el césped Cortando el pastel Dilema de los prisioneros

........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ...........................................................................................................

47 47 47 48 48

ZONA OLÍMPICA Lista de problemas Pregunta de Erdös

..................................................................................................................... 49 ..................................................................................................................... 50

TENDIENDO AL INFINITO Del ITAM a Oxford: entrevista con Rodrigo Mendoza Smith ....................................................... 51 EN EL HORIZONTE ¿Las matemáticas se inventan o se descubren? La constante del círculo: ¿π o τ ? Números mentirosos

.......................................................................... 55 .......................................................................... 55 .......................................................................... 59

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Editorial Consejo Académico Claudia Gómez Wulschner Gustavo Preciado Rosas

Las matemáticas son un puente que nos permite transitar entre el mundo terrenal y un mundo intangible. Aún en su forma más simple –o incluso primitiva– han dado lugar a grandes descubrimientos y avances tecnológicos, aunque a veces presentan Consejo Editorial aspectos contrarios a nuestra intuición. Poseen, además, un aspecto estético innegable. La elegancia de sus proposiciones Director y la gala de sus demostraciones han capturado la atención Juan B. Martínez Parente Castañeda de muchos y, más aún, parece que son capaces de traducir cualquier cosa a un lenguaje que goza de la genial peculiaridad Tesorera de ser universal, además de ser sumamente simple. Esto, Iovannah Rudoy Grimaldo por supuesto, sobre una sólida base conformada por aquellas ramas de las matemáticas que de alguna forma la axiomatizan. Edición Dioney Blanco González Gian Carlo Diluvi José Murguía Fuentes Eduardo Torres Cervantes José Luis Meza Orozco Ricardo Enrique Miranda Montero Stefano Molina Martínez Imanol Núñez Morales José Luis Porcayo Jiménez Víctor Toledo Cortés José Carlos Zamorano Pérez Redes sociales Roberto Galán Diseño web Erick Oleg Fuentes Aguilera

Es claro que hacemos y utilizamos matemáticas para resolver un sinfín de problemas, aun cuando en primera instancia no sea fácil ver la relación que mantienen. Pero ¿cuál es el papel que juega la humanidad en su desarrollo? ¿Provienen de nuestro intelecto, o somos meros intérpretes de un lenguaje que trasciende sobre nosotros? Agradecimientos A la División Académica de Actuaría, Estadística y Matemáticas del ITAM, en especial a Beatriz Rumbos, Claudia Gómez y Gustavo Preciado. A la Dirección Escolar del ITAM, específicamente a Patricia Medina. Gracias a Phi y Prime, representaciones de los alumnos de Matemáticas Aplicadas y Actuaría, respectivamente, por el apoyo brindado. Agradecemos también al Fondo de Organizaciones Estudiantiles y al Consejo Universitario de Honor y Excelencia.

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Se terminó de imprimir en Primavera del 2015, en la imprenta: MULTIGRÁFICA PUBLICITARIA S.A. de C.V. Avena 15, Col. Granjas Esmeralda, México D.F., C.P. 09810 El tiraje fue de 1500 ejemplares. Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción total o parcial de cualquier artículo o imagen sin la autorización del Consejo Editorial. Los artículos son responsabilidad del autor y no reflejan necesariamente el punto de vista del Consejo Editorial. Esta revista es gratuita.

http://laberintos.itam.mx laberintos@itam.mx Imagen de portada: Eduardo Torres Cervantes

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El matem´ atico del n´ umero

Leonhard Euler, el c´ıclope matem´ atico Carlos Dioney Blanco Gonz´alez Estudiante de Matem´ aticas Aplicadas “En aras de la brevedad, siempre vamos a representar el n´ umero 2.718281828459... por la letra e” Leonhard Euler (1707–1783) fue un matem´ atico y f´ısico suizo, que hoy es considerado como uno de los fundadores de las matem´ aticas puras debido a sus aportaciones en ´ areas como el c´ alculo, la geometr´ıa, la mec´anica y la Teor´ıa de N´ umeros. Apodado el “c´ıclope matem´ atico” por Frederick el Grande, rey de Prusia, debido a su ceguera en un ojo. Algunas de sus aportaciones fueron introducir la notaci´ on matem´ atica moderna, como la noci´ on de una funci´ on matem´ atica. Es conocido por ser el matem´ atico m´ as preeminente del siglo XVIII y uno de los matem´ aticos m´ as importantes de la historia. Naci´ o el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Hijo del pastor Paul Euler y Marguerite n´ee Brucker, Euler estaba destinado a seguir los pasos de su padre, quien era amigo de la familia Bernoulli, raz´ on por la cual fue enviado a los 14 a˜ nos a la Leonhard Euler en 1753 Universidad de Basilea donde pudo conocer a Johann Bernoulli, uno de los matem´ aticos m´ as importantes de la ´epoca y a quien Euler pidi´ o lecciones personalizadas para desarrollar su potencial matem´atico. Aunque Euler no consigui´ o que Bernoulli le concediera su petici´on, s´ı recibi´o algunas tutor´ıas de Bernoulli. Para 1723 Euler ya hab´ıa recibido su t´ıtulo de Maestro en Filosof´ıa por haber comparado las ideas filos´ oficas de Descartes y Newton. Decidido a seguir los deseos de su padre inici´o sus estudios en Teolog´ıa, pero no encontraba el mismo placer en este campo como en las matem´ aticas. Euler obtuvo el consentimiento de su padre de cambiar sus estudios a Matem´aticas despu´es de que Johann Bernoulli usara su persuasi´ on para convencerlo. En 1726 complet´ o sus estudios en Basilea. Hab´ıa estudiado ya varios trabajos matem´aticos, recomendados por Bernoulli, entre los que se encontraban los reconocidos Varignon, Descartes, Newton, Galileo y Taylor. Tambi´en para ese tiempo Euler ya hab´ıa escrito su primer art´ıculo, que trataba de curvas isocr´ onicas en medios resistentes. En 1727 escribi´o un nuevo art´ıculo sobre trayectorias rec´ıprocas con el cual concurs´o para ganar el Gran Premio de la Academia de Par´ıs por el mejor arreglo de los m´ astiles de un barco. Consigui´o un honorable 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 3

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segundo lugar, solo detr´ as de Bouguer, un experto en el ´area. En ese mismo a˜ no Euler acept´ o una oferta para una vacante acad´emica en la Academia de Ciencias de San Petersburgo donde fue asignado a la divisi´on f´ısico-matem´atica de la Academia. Ah´ı conoci´ o mucha gente que hizo que el lugar fuera id´oneo para ´el. Antes de desempe˜ nar su vida acad´emica, Euler sirvi´ o en la marina Rusa como teniente hasta 1730, cuando consigui´o ser profesor de f´ısica y as´ı ser miembro de tiempo completo de la Academia. Euler consigui´ o llegar a ser jefe del Departamento de Matem´aticas tres a˜ nos despu´es debido a que Daniel Bernoulli decidi´ o regresar a Basilea. Al a˜ no siguiente Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell con quien tuvo 13 hijos de los cuales u ´nicamente 5 sobrevivieron. Euler dec´ıa que algunos de sus m´ as grandes descubrimientos los hizo con un beb´e en brazos y los dem´ as corriendo a su alrededor. Posteriormente public´ o varios art´ıculos m´ as y su obra M echanicha (1736- 1737), donde presentaba por primera vez din´ amicas Newtonianas con el uso de an´alisis matem´atico, lo que lo condujo a un nivel m´ as avanzado del estudio de las matem´aticas. Tambi´en durante esos a˜ nos iniciaron sus problemas de salud, inicialmente una fiebre lo puso al borde de la muerte en 1735 y para 1738 comenzaron sus problemas de visi´on. Sin importar estos problemas Euler consigui´ o una gran reputaci´on para 1740. Logr´o ganar el Gran Premio de la Academia de Paris dos veces (1738 y 1740) y le ofrecieron un lugar en la Academia de Ciencias de Berlin, el cual acept´o para ser director del departamento de matem´ aticas, aunque no fue su u ´nica labor, pues fungi´o como asesor del gobierno para seguros, anualidades, pensiones, loter´ıas y artiller´ıa. Adem´as de estas labores, se considera que fue este tiempo cuando tuvo su mejor desempe˜ no cient´ıfico. En 1766 despu´es de continuos a˜ nos con problemas con el rey Frederick II, Euler regres´o a San Petersburgo, al tiempo que quedaba casi completamente ciego. Ya para 1771 perdi´o por completo la visi´ on despu´es de lo cual sufri´ o un incendio en su casa, de donde solamente pudo salvarse a s´ı mismo y a sus escritos matem´ aticos. A pesar de todo, Euler pudo seguir trabajando gracias a su impresionante memoria en temas como ´ optica, ´ algebra y movimiento lunar. La mitad de sus trabajos m´as conocidos fueron escritos precisamente en esta etapa de su vida, despu´es de haber perdido por completo la visi´ on. Desde luego Euler recibi´ o ayuda de sus hijos y de distintos miembros de la Academia para poder seguir trabajando en sus escritos. Su muerte se relata por Yushkevich como sigue: “El 18 de Septiembre de 1783 Euler pas´o la primera mitad del d´ıa como sol´ıa hacerlo; dio clases de matem´aticas a uno de sus nietos, hizo c´ alculos sobre el movimiento de los globos y discuti´ o con Lexell y Fuss sobre el planeta Urano, recientemente descubierto. Alrededor de las 5 de la tarde sufri´o una hemorragia cerebral y murmur´ o ‘Estoy muriendo’ antes de perder la conciencia. Muri´o aproximadamente a las 11 de la noche del mismo d´ıa.” 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 4

El matem´ atico del n´ umero

El trabajo de Euler ha sido de tal importancia para la comunidad cient´ıfica que es dif´ıcil comentar sobre toda su vida y sus aportaciones en tan pocas p´aginas. Es uno de los matem´aticos m´as prol´ıficos de todos los tiempos, fue el primero en considerar al sen(x) y cos(x) como funciones en lugar de como coordenadas. Introdujo las funciones beta y gamma. Estudi´o mec´anicas continuas, la teor´ıa lunar con Clairaut, elasticidad, ac´ ustica, la teor´ıa de onda de la luz y m´ usica.

Tumba Leonhard Euler

Tambi´en a Euler debemos reconocer la notaci´ on de f (x), como se mencion´o al inicio, a e como base del logaritmo natural, a i como la ra´ız de −1, y a π para pi, a Σ para la suma y muchas otras aportaciones m´ as fundamentales para las matem´aticas como las conocemos hoy. Y lo m´ as importante de esto es la bella ecuaci´ on con que se relacionan todas estas aportaciones del gran matem´ atico: eπi + 1 = 0

Referencias [1] MacTutor History of Mathematics archive, Leonhard Euler. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euler.html (´ ultimo acceso: Noviembre de 2015). [2 The Euler International Mathematical Institute http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/EulerBio.html (´ ultimo acceso: Noviembre de 2015). [3] Encyclopedia Brittanica. Leonhard Euler Swiss mathematician. http://global.britannica.com/biography/Leonhard-Euler (´ ultimo acceso: Noviembre de 2015). [4] Sociedad Andaluza de Educaci´ on Matem´ atica Thales. Leonhard Euler. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/28-2-B-E.html (´ ultimo acceso: Noviembre de 2015). 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 5

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Pelotas, geometr´ıa y luz Hugo Harleston Aguirre Estudiante de F´ısica de la Facultad de Ciencias de la UNAM

Introducci´ on La Matem´ atica nos acompa˜ na a todos lados, todo el tiempo: desde el simple hecho de tener que calcular a qu´e hora salir en la ma˜ nana para llegar a tiempo al trabajo o escuela, hasta el tener que realizar c´ alculos complejos que nos permitan saber c´omo se va a comportar la bolsa de valores en un momento determinado en el futuro de acuerdo con ciertas condiciones iniciales establecidas previamente. De hecho, la Matem´atica est´a tan inmiscuida en el mundo que nos rodea y en nuestra vida cotidiana, que algunas personas nos hemos aventurado a creer que son el idioma con el que nos habla el Universo.1 Los f´ısicos se han tomado esto muy en serio, pues la F´ısica, que se encarga de estudiar y explicar al Universo, no podr´ıa hacerlo sin su herramienta principal: la Matem´atica. Es con ´esta con la que se obtienen y presentan todos los resultados a los que se llegan en esta ciencia.

Definiciones intuitivas Imaginemos que tenemos dos pelotas distintas. Una es de goma, como aquellas que al soltarse rebotan sin parar, mientras que la otra es una bola de boliche, pesada y dif´ıcil de lanzar. Si le aventamos las dos pelotas a otra persona (al pie, para que no se lastime tanto), a una velocidad constante, y luego le preguntamos cu´ al la lastim´o m´as, todos esperar´ıamos que nos contestara —La bola de boliche—, con un tono enojado. Si nosotros le preguntamos —¿Por qu´e?—, lo m´ as seguro es que nos diga —Es obvio. Es mucho m´as pesada—. El hecho de que un objeto sea m´ as pesado que otro, implica que ´este tiene m´as masa. Ahora, en nuestra hip´ otesis inicial, ambas pelotas ten´ıan la misma velocidad. El hecho de que una pueda romperle el pie a nuestro amigo y otra no, nos permite ver la idea de que la masa y la velocidad de un objeto se pueden relacionar de manera interesante. Al producto de la masa por la velocidad de un objeto se le da el nombre de momento lineal o cantidad de movimiento, y se puede expresar con la siguiente ecuaci´on: P = mv

(1)

Donde P es el momento lineal, m es la masa del objeto con el que se trabaje y v es la velocidad que ´este u ´ltimo tiene. El hecho de que en el ejemplo anterior la bola de boliche lastime m´as 1 Grandes

personajes de la historia han hablado sobre esto. La frase en este art´ıculo es una par´ afrasis de una cita atribuida a Galileo Galilei: “Las matem´ aticas son el lenguaje en el que Dios escribi´ o al mundo”. Adem´ as, personalidades como Bertrand Russell, Jorge Luis Borges, o Plat´ on, realizaron comentarios sobre la belleza de las matem´ aticas o su relaci´ on con la vida. [1]

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Axiomas, teoremas y algo m´ as

al individuo, se debe entonces a que ´esta ten´ıa un momento lineal mayor al de la pelotita de goma. Veamos la ecuaci´ on (1) desde un punto de vista m´ as matem´atico. La velocidad es un vector, pues tiene una magnitud y una direcci´ on. Adem´ as, se encuentra definida en el espacio tridimensional en el que vivimos. Podemos decir que ´este es an´alogo al espacio vectorial R3 . La masa es una cantidad escalar definida en R, y es constante. Por lo tanto, cumpliendo con los axiomas de campo, al ser el momento el resultado de multiplicar una constante escalar por un vector, ´este ser´ a otro vector en el mismo espacio vectorial, R3 . De esta manera, podemos reescribir a la ecuaci´ on (1) como: P~ = m ∗ ~v

(2)

Supongamos que ahora decidimos golpear a nuestro amigo (ya no tan amigo) con dos pelotas al mismo tiempo, en el mismo lugar. Cada pelota tendr´a su propia velocidad (constante), masa y, por lo tanto, su propio momento lineal. Nuestra v´ıctima, de todos modos, no va a sentir “dos dolores” distintos, sino uno solo, causado por el impacto de ambas pelotas. Podemos decir que las dos pelotas forman en conjunto un sistema, y que este sistema tiene un momento lineal total, el cual ser´ a igual a la suma de los momentos de todos los componentes del sistema. En este caso, ser´ an las dos pelotas: P~ = P~1 + P~2 = m1 v~1 + m2 v~2

(3)

Podemos generalizar la ecuaci´ on (3) a un sistema con n componentes, en cuyo caso tendr´ıamos que: P~ = P~1 + P~2 + . . . + P~n = m1 v~1 + m2 v~2 + . . . + mn v~n

(4)

Es muy importante mencionar que estas u ´ltimas ecuaciones se cumplen bajo el supuesto de que cada elemento de nuestro sistema, o “part´ıcula” como los llamaremos de ahora en adelante, solamente est´ a sujeto a su interacci´ on con los otros que forman parte del sistema, y no tienen influencia alguna del exterior. De aqu´ı surge uno de los principios m´ as importantes en la F´ısica: el Principio de Conservaci´on ´ de Momento. Este nos dice que el momento total de un sistema completamente aislado de influencias externas siempre es constante. Esto no es algo trivial, pues nuestras part´ıculas no est´ an exentas de interactuar entre ellas. Por ejemplo, si tomamos a dos part´ıculas al azar del sistema y las observamos, puede que en un instante dado ´estas choquen entre s´ı. Antes de la colisi´ on, ambas tienen un momento lineal dado, y despu´es tendr´an otro diferente. Sin embargo, si calculamos el momento total antes y despu´es del choque, ¡´este seguir´a siendo el mismo! La ecuaci´ on (4), por lo tanto, siempre ser´ a igual a una constante. [2] |P | =

N X

|Pi | = Cte.

(5)

k=1

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La intuici´ on se convierte en geometr´ıa Intuitivamente llegamos a la conclusi´ on de que el momento lineal se puede representar como un vector, y que el momento total es igual a la suma de los momentos de cada componente individual de un sistema. Esto nos permite ver todo desde un punto de vista geom´etrico, y jugar con el plano cartesiano 2 para obtener resultados muy interesantes. Fij´emonos, por ejemplo, en un sistema que involucre solamente a dos part´ıculas. Una se encuentra en reposo al mismo tiempo que la otra se dirige amenazadoramente hacia ella con una cantidad de movimiento distinta de cero. Analicemos entonces el antes y despu´es de la colisi´ on de nuestras part´ıculas. Definimos a los momentos lineales de cada part´ıcula antes de la colisi´on como P1i y P2i , mientras que los momentos despu´es del choque ser´ an P1f y P2f . Si aplicamos la ecuaci´ on (3), tendremos que el momento total del sistema antes de la colisi´on ser´ a: P~ti = P~1i + P~2i = P~1i ,

(6)

pues P2i es igual a 0. Pero entonces, gracias al Principio de Conservaci´ on del Momento, sabemos que el momento total del sistema despu´es de la colisi´ on ser´ a igual a P1i . Es decir: P~1t = P~1f + P~2f

(7)

En la ecuaci´ on (7) todas las cantidades son vectoriales as´ı que, si conocemos los momentos de ambas part´ıculas despu´es de la colisi´ on, podemos realizar una suma de vectores y obtener el momento total del sistema. A estas alturas, uno se pregunta ¿qu´e chiste tiene todo esto? As´ı que podemos darle un toque interesante al problema cambiando las reglas del juego: Supongamos que conocemos el momento final de la primera part´ıcula, P1f , el momento inicial de la misma part´ıcula, P1i , y el ´ angulo ϑ que ambos vectores forman entre ellos. ¿Cu´al ser´a entonces el momento final de la segunda part´ıcula, P2f ? En este momento, pueden contestar: “Claramente es la resta de P1i y P1f ”. Por supuesto que est´ an en lo correcto, pero entonces, ¿qu´e papel tiene el ´angulo ϑ en el juego? Dejemos que venga a jugar con nosotros. Para eso, observemos la Figura 1.

2 Trabajaremos en R2 para fijar ideas, aunque todo lo que se mencione a lo largo del texto puede ser generalizado y representado en Rn .

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Axiomas, teoremas y algo m´ as

Figura 1: Momentos lineales de dos part´ıculas antes y despu´es de una colisi´on. El momento final de la primera part´ıcula forma un ´ angulo ϑ con respecto a su momento inicial. En la figura 1 se puede ver claramente la situaci´ on explicada previamente, donde ambas part´ıculas, despu´es de chocar, tendr´ an momentos lineales distintos de cero. Podemos entonces realizar la suma de los vectores representados en la Figura 1 de manera geom´etrica (ver Figura 2).

Figura 2: Desde el punto de vista geom´etrico, la suma de dos vectores se puede ver como un tri´ angulo. Tenemos en la figura 2 un tri´ angulo formado por los vectores P1i , P1f , y P2f . Conocemos al ´angulo ϑ y queremos conocer el valor de |P1i | .

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Entonces, como queremos que ϑ entre al juego, se nos ocurre una idea interesante: si tenemos un tri´ angulo, uno de sus ´ angulos, y dos lados de la figura, podemos utilizar una ley muy conocida: la Ley de Cosenos. Esta ley se puede expresar de la siguiente manera [4]: 2

2

2

|P1i | = |P1f | + |P2f | − 2 |P1f | |P2f | cos ϑ

(8)

Este es un resultado muy interesante, pues nos permite ver c´omo la conservaci´on del momento se puede representar con conceptos geom´etricos muy sencillos. De hecho, si generalizamos el u ´ltimo ejemplo a un sistema con n part´ıculas, basta con utilizar el m´etodo del paralelogramo para encontrar cu´ al ser´ a el momento total del sistema, realizando simplemente una suma de vectores.

Al final, se hace la luz Conforme la velocidad a la que se mueven nuestras part´ıculas aumenta y se acerca a la velocidad de la luz, cosas raras empiezan a suceder. La masa, que en un principio cre´ıamos que siempre era la misma sin importar c´ omo se moviera un objeto, deja de ser constante. Comienzan a aparecer relaciones inesperadas entre conceptos que previamente se cre´ıan completamente ajenos el uno del otro. El ejemplo m´ as famoso de esto es la relaci´on entre masa y energ´ıa que nos ense˜ na Albert Einstein: E = mc2

(9)

La teor´ıa que se encarga de explicar todo esto se conoce como Teor´ıa de la Relatividad, la cual nos permite estudiar los casos en los que la Mec´anica Newtoniana deja de funcionar, por ejemplo, cuando nos movemos a velocidades extremadamente altas, cercanas a la velocidad de la luz. Uno de los casos m´ as extra˜ nos que encontramos en esta teor´ıa es el referente a un objeto que ha sido estudiado por mucho tiempo y ha logrado confundir a m´as de una persona: el fot´on. Se dice que la luz est´ a formada por fotones. ¿Son part´ıculas? ¿Son ondas? No. Un fot´on es las dos cosas. Dos entes totalmente distintos se encuentran y unen en el concepto de “fot´on”. Dependiendo de la manera en que se observe, el fot´ on nos va a ense˜ nar alguna de sus dos caras. Una de las cosas m´ as extra˜ nas al considerar al fot´ on como una part´ıcula y una onda es el hecho de que algunos conceptos que ten´ıamos definidos previamente van a cambiar notablemente. Por ejemplo, el fot´ on no tiene masa, as´ı que la ecuaci´on (9) no nos sirve para representar su energ´ıa. Para una part´ıcula sin masa, la energ´ıa se define de manera distinta, tomando en cuenta un nuevo concepto: la dualidad onda-part´ıcula. Sabemos que la frecuencia es un concepto relacionado con las ondas. En virtud de que el fot´on se comporta como onda y como part´ıcula al mismo tiempo, entonces podemos suponer que 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 10

Axiomas, teoremas y algo m´ as

existe una frecuencia asociada a ´el. Al final, la energ´ıa de una part´ıcula sin masa se define como el producto de una constante, llamada Constante de Planck3 o h, y la frecuencia de la onda (o en este caso tambi´en part´ıcula) con la que se trabaje [3]4 , lo cual se representa de la siguiente manera: E = hv

(10)

Pero, despu´es de todo lo que hemos definido en este texto, ¿eso no rompe la definici´on que se ha dado de momento lineal? ¿El fot´ on tiene momento lineal? La Relatividad nos da una soluci´ on: el momento lineal del fot´on no depende de su masa. El momento lineal del fot´ on se define como su energ´ıa dividida por la velocidad de la luz c.

Ef

= |Pf | (11)

c

Donde Ef es la energ´ıa del fot´ on y Pf su momento lineal. Esta definici´ on, extremadamente importante en este campo de la F´ısica, nos permite analizar ´ un caso muy especial. Consideremos a una part´ıcula muy interesante: el positr´on. Esta es igual a un electr´ on, pero con carga positiva. Es un ejemplo de algo que en general conocemos como “antimateria”. Cuando un electr´ on y un positr´on se conocen, no se gustan para nada, y explotan. De verdad, explotan. Pero el electr´ on y el positr´on son extremadamente peque˜ nos, entonces lo que para ellos es, literalmente, el fin del mundo, para nosotros significa algo mucho m´ as tranquilo: cuando un electr´ on y un positr´ on entran en contacto, estos se aniquilan y en su lugar se liberan dos fotones (podr´ıamos decir que son sus fantasmas). Pero el positr´on y el electr´ on s´ı tienen masa, y los fotones no. ¿Qu´e le pas´o a la masa? Se transform´o en energ´ıa. A estas alturas, podemos imaginarnos entonces qu´e pasa con el momento lineal del sistema electr´ on-positr´ on: ¡se conserva! A pesar de que ya no hay m´ as masa en nuestro sistema, la cantidad de momento lineal sigue siendo la misma. De hecho, es absolutamente el mismo ejemplo que en la secci´on anterior, en donde se discute la ley de cosenos. El u ´nico cambio es que nuestras pelotitas est´an vivas antes de chocar y, despu´es de la colisi´ on, solo quedan sus fantasmas, huyendo en direcciones distintas, pero cumpliendo con la ecuaci´ on (8) en todo momento [5].

Conclusi´ on Las matem´ aticas permiten a la F´ısica expresarse libremente. Son la herramienta principal de esta ciencia y juntas forman una ventana por la cual podemos observar al mundo sin maquillaje, en su forma m´ as pura. A veces podemos encontrarnos con casos realmente sencillos constante de Planck, h, es igual a 6.6256 x 10− 34 J*s (Joules por segundo) [3]. poder asociar una frecuencia a una part´ıcula es una idea muy compleja. Su planteamiento y desarrollo se le atribuyen a Louis-Victor de Broglie (1892-1987). El concepto de “ondas de de Broglie” y un desarrollo m´ as profundo de esta idea se pueden encontrar en [3]. 3 La

4 El

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como los propuestos a lo largo de este texto. Sin embargo, hay ocasiones en los que las matem´ aticas m´ as complicadas tambi´en juegan un papel importante en la F´ısica. Ramas como ´ la Topolog´ıa, Variable Compleja, Geometr´ıa Diferencial, Algebra Lineal, C´alculo Tensorial, entre much´ısimas otras, son fundamentales para que la F´ısica pueda desarrollarse y expandir sus horizontes hasta, literalmente, el infinito y m´ as all´a.

Referencias [1] http://www.colombiaaprende.edu.co/html/competencias/1746/w3-article-311151.html (Consultada el 24 de octubre de 2015). [2] Alonso, M. Finn, E., Fundamental University Physics, Volume I: Mechanics. Estados Unidos de Am´erica, Addison-Wesley Publishing Company, 1ra edici´on, 1967, Cap´ıtulo 7, pp 154-158. [3] Alonso, M. Finnn, Fundamental University Physics, Volume III: Quantum and Statistical Physics. Estados Unidos de Am´erica, Addison-Wesley Publishing Company, 1ra edici´ on, 1968, Cap´ıtulo 1. [4] Lehmann, C., Geometr´ıa Anal´ıtica. M´exico, Editorial Limusa S.A de C.V., 2011, p 462. [5] Taylor, E. Wheeler,J. , Spacetime Physics. Estados Unidos de Am´erica, W. H. Freeman and Company, 1ra edici´ on, 1963.

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Axiomas, teoremas y algo m´ as

Limpieza de im´ agenes ´ Juan Jos´e Cervantes y Luis Alfonso Avalos Ex alumnos de Matem´ aticas Aplicadas del ITAM

Introducci´ on El prop´ osito de este art´ıculo es estudiar el marco te´orico y la implementaci´on de m´etodos num´ericos eficientes para la limpieza de im´ agenes. El problema de eliminar el ruido de una imagen es un ejemplo de los llamados problemas inversos: dada una imagen borrosa y un modelo que represente al aparato con el que se tom´ o la imagen, se busca recuperar la imagen original con la mayor nitidez posible. La importancia pr´ actica de este problema se encuentra en la necesidad de contar con im´agenes claras de tomograf´ıas, rayos X o im´ agenes astron´ omicas, por mencionar algunos ejemplos. No obstante, la principal dificultad que se presenta al intentar resolver este problema es el mal condicionamiento del mismo, por lo cual ser´ a necesario dise˜ nar algoritmos estables para evitar que el error num´erico se propague a tal grado que la imagen recuperada sea peor que la que se tiene. Comenzamos estudiando el modelo que representa nuestro problema, el cual resulta ser un sencillo sistema de ecuaciones lineales. Es aqu´ı donde encontramos el mal condicionamiento del problema, lo cual impide utilizar los m´etodos num´ericos comunes de soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales. Posteriormente estudiamos dos m´etodos alternativos de soluci´on: la regularizaci´ on de Tikhonov y la descomposici´ on en valores singulares truncada (TSVD). En ambos casos se hace un uso extensivo de una operaci´ on entre matrices poco usual pero por dem´as u ´til: el producto de Kronecker o producto tensorial. Posteriormente, se explicar´ an algunos aspectos relevantes sobre los datos con los que se llevaron a cabo los experimentos num´ericos. En particular, se expondr´an las principales dificultades en el manejo de matrices, y se justificar´ a la necesidad del producto tensorial. Finalmente, se muestran los resultados y conclusiones obtenidos tanto con el m´etodo de regularizaci´ on de Tikhonov como con la descomposici´on en valores singulares truncada. Se presentar´ an los par´ ametros que resultaron ´ optimos en cada caso: el par´ametro de regularizaci´ on para Tikhonov, y la cantidad de valores singulares utilizados en la TSVD.

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Aspectos te´ oricos Modelo Supongamos que se tiene una imagen borrosa representada por una matriz G ∈ R256×256 , 2 con la cual formamos un vector g ∈ R256 apilando cada columna de G. Es decir, toda la informaci´ on que caracteriza a la imagen est´ a contenida en un vector g. 2

Por otro lado, se tiene la imagen f ∈ R256 que se quiere recuperar, y el aparato con el que se 2 2 tom´ o la imagen representado por una matriz K ∈ R256 ×256 . As´ı, se tiene que una imagen f se captura mediante el dispositivo K para obtener una imagen g, o equivalentemente se aplica una transformaci´ on lineal K a un vector f . Se tiene entonces la siguiente igualdad: Kf = g

(1)

Nuestro problema se reduce, entonces, resolver el sistema (1), es decir a encontrar f tal que Kf = g. Desafortunadamente, para este problema en particular, resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los m´etodos num´ericos cl´asicos resulta infactible debido al mal condicionamiento de la matriz K. Recordemos algunos conceptos del an´ alisis num´erico, en particular mal condicionamiento y estabilidad num´erica. De manera intuitiva, el n´ umero de condici´ on de un problema f se define como el cambio de la soluci´ on del problema ante cambios en los datos de entrada. Por otro lado, se tiene que un algoritmo f ∗ para un problema f es estable hacia atr´as si la soluci´on dada por f ∗ (a´ un siendo incorrecta), es la soluci´ on de un problema muy similar al que se quer´ıa resolver originalmente. Es decir, un algoritmo es estable hacia atr´ as si la soluci´on que entrega (incorrecta por la propagaci´ on de error num´erico) es la soluci´ on correcta de un problema casi id´entico al que quer´ıamos resolver en un principio. Cabe se˜ nalar que la estabilidad hacia atr´as , si bien es una propiedad siempre deseable, no siempre resulta suficiente para obtener soluciones num´ericas cercanas a la correcta en aritm´etica de precisi´ on arbitraria. Finalmente, cabe recordar un resultado del c´ alculo num´erico: Teorema 1. Dado un problema f con n´ umero de condici´ on k, y un algoritmo f ∗ estable hacia atr´ as, la p´erdida en precisi´ on (dada por la distancia entre la soluci´ on correcta de f y la soluci´ on obtenida con f ∗ ) es O(kεmach ). Es decir, la p´erdida en precisi´ on est´ a acotada por el producto entre el n´ umero de condici´on y la constante εmach . Recordar finalmente que εmach es el valor que acota el error cometido al asignar un n´ umero real x a un n´ umero de m´ aquina.

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En nuestro caso, tenemos el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales donde la matriz de coeficientes es muy mal condicionada, lo cual por el enunciado anterior conducir´a a la propagaci´ on de error num´erico entregando una imagen de p´esima calidad, si intentamos resolver dicho sistema de forma ingenua a trav´es de la inversa, o de cualquier otro m´etodo cl´ asico de soluci´ on de sistemas lineales. Surge entonces la necesidad de estudiar dos m´etodos de soluci´ on: regularizaci´ on de Tikhonov y la descomposici´ on en valores singulares truncada. A continuaci´ on se presenta una breve discusi´ on acerca de la matriz K del sistema, y de los m´etodos alternativos de soluci´ on que utilizaremos. La matriz K Generalmente, la captura de la imagen g se modela como la convoluci´ on de la imagen original f con un kernel K que representa el aparato con que se toma la imagen. Por lo tanto, se tiene que g es de la forma: Z g(s) =

K(s, t)f (t)dt. Ω

Asimismo, K tiene un soporte peque˜ no, tal que K(s, t) es cero si t y s no son cercanos. En este caso, el valor de la integral es un promedio ponderado de valores de f en una vecindad de s. Finalmente, obtenemos el sistema Kf = g discretizando la integral. Se tiene entonces que: Z K(s, t)f (t)dt ≈

g(sjk ) = Ω

nc nr X X

wlp K(sjk , tlp )f (tlp ),

l=1 p=1

donde los valores wlp se eligen adecuadamente para obtener una mejor aproximaci´on de la integral. Adem´ as, si el kernel K tiene la propiedad de que K(s, t) depende u ´nicamente de la diferencia s−t, entonces se obtiene una matriz K con estructura de producto de Kronecker. Finalmente, la pregunta natural es c´ omo determinar K: generalmente se modela por medio de alguna funci´ on matem´ atica, o se toman mediciones enfocando la c´amara hacia alg´ un punto fijo: una imagen totalmente negra excepto por un pixel blanco. Moviendo este u ´nico p´ıxel blanco y volviendo a medir, se aproximan los valores K(sjk , tlp ). Regularizaci´ on de Tikhonov A continuaci´ on abordaremos el problema de encontrar x tal que Ax = b, en t´erminos de espacios de Hilbert y operadores compactos. Por motivos de espacio en el presente art´ıculo, no se profundizar´ a en ciertos conceptos de an´ alisis funcional, pero se sugiere bibliograf´ıa para consulta.

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Sean H1 y H2 espacios de Hilbert separables de dimensiones finita o infinita, y sea A : H1 7−→ H2 un operador compacto. Consideremos entonces el problema de encontrar x ∈ H1 tal que: Ax = y, (2) donde y ∈ H2 es conocido. Esta ecuaci´ on se conoce como ecuaci´ on de Fredholm del primer tipo. Como claramente la soluci´ on existe si y s´ olo si y ∈ Ran(A), y la soluci´ on es u ´nica si y s´ olo si Ker(A) = {0}, entonces ambas condiciones deben satisfacerse para asegurar que el problema tiene soluci´on u ´nica. En nuestro caso, el operador compacto corresponde a la matriz K, la cual al ser mal condicionada tiene valores singulares cercanos a cero. Por lo tanto, al resolver (2), la aparici´on de valores singulares cercanos a cero produce una soluci´on cuya norma es muy grande. La idea b´ asica de la regularizaci´ on de Tikhonov es controlar simult´aneamente la norma del residuo r = Ax − y y la norma de la soluci´ on x. Definici´ on 1. Sea δ ≥ 0 una constante. La soluci´ on xδ ∈ H1 al problema de regularizaci´ on de Tikhonov es el m´ınimo de: Fδ (x) = kAx − yk2 + δkxk2 ,

(3)

si tal m´ınimo existe. El par´ ametro δ ≥ 0 se llama el par´ ametro de regularizaci´ on. El t´ermino δ 2 kxk2 impone una penalizaci´ on sobre el crecimiento de la norma de la soluci´on kxk, reduciendo los efectos de error debido a los valores singulares peque˜ nos. Se puede probar que (3) es equivalente al siguiente problema de m´ınimos cuadrados:

2

y

A

m´ın

− x

. 0 αI x

Para probar la afirmaci´ on recordemos que para cualquier vector z se tiene que ||z||2 = z T z, entonces:

2

y

A

− x

= y T t − 2y T Ax + (Ax)T (Ax) + α2 xT x.

0 αI Al factorizar el lado derecho obtenemos que:

2

y

A

− x

= (y − Ax)T (y − Ax) + α2 xT x = ky − Axk2 + α2 kxk2 .

0 αI 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 16

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Por lo que podemos concluir que:

2

y

A

arg m´ınkAx − yk + δkxk = arg m´ın

− x

. 0 αI x x 2

2

Proposici´ on 1. Si A tiene una descomposici´ on en valores singulares de la forma A = U ΣV T , entonces el problema de m´ınimos cuadrados anterior se puede reescribir de la siguiente forma:

T

2

U y

Σ m´ın

− V T x

. αI 0 x

Utilizando de nuevo la propiedad del producto interior que se utiliz´o en la prueba de la afirmaci´ on anterior obtenemos la siguiente expresi´ on:

T

2

U y

Σ

− V T x

= y T U U T y − 2y T U ΣV T x + xT V ΣT ΣV T x + α2 xT V V T x.

αI 0

Por ortornormalidad de U y V y como A = U ΣV T , y T U U T y − 2y T U ΣV T x + xT V ΣT ΣV T x + α2 xT V V T x = y T y − 2y T Ax + xT AT Ax + α2 xT x.

Al factorizar la expresi´ on al lado derecho obtenemos que:

T

2

U y

Σ T

− V x

= ky − Axk2 + α2 kxk2 .

αI 0

El an´ alisis aterior nos permite establecer la equivalencia buscada:

T

2

U y

Σ arg m´ınkAx − yk2 + δkxk2 = arg m´ın

− V T x

. αI 0 x x

Teorema 2. Sea A : H1 7−→ H2 un operador compacto con sistema singular (λn , vn , un ). Entonces, la soluci´ on al problema de regularizaci´ on existe, es u ´nica y est´ a dada por la f´ ormula: xδ = (AT A + δI)−1 AT y =

X n

λn hy, un ivn . λ2n + δ 2

(4)

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Descomposici´ on en valores singulares truncada (TSVD) Abordamos a continuaci´ on el segundo m´etodo de soluci´on basado en la SVD de la matriz K. Definici´ on 2. Sea A : H1 7−→ H2 un operador compacto con sistema singular (λ, vn , un ). Definimos la aproximaci´ on a la soluci´ on del problema Ax = y basada en la descomposici´ on en valores singulares truncada (TSVD) como el elemento x ∈ H1 tal que para alguna k ≥ 1 se cumple que Ax = Pk y, x ⊥ Ker(A). Aqu´ı, Pk es la proyecci´ on ortogonal Pk : H2 7−→ span{u1 , . . . , uk },

y 7−→

k X

hy, un iun .

n=1

El problema anterior tiene una soluci´ on u ´nica xk llamada la soluci´on basada en la TSVD, con la siguiente forma: k X 1 xk = hy, un ivn . λ n=1 n A continuaci´ on se presenta la demostraci´ on de este hecho para nuestro problema en particular: Proposici´ on 2. La soluci´ on al problema m´ınkg − Kf k22 f

se puede escribir como f = U ΣV T =

n X uT g i

i=1

λi

vi ,

donde si A = U ΣV T , ui es la i-´esima columna de U y vi es la i-´esima columna de V . Demostraci´ on. Recordemos que Ax = y. Por la factorizaci´on en valores singulares, U ΣV T x = y. Las matrices U y V son ortogonales, por lo tanto son invertibles. La matriz Σ es tambi´en invertible, entonces: x = V Σ−1 U T y. Como (U T y)i = uTi yi, es inmediato que (Σ−1 U T y)i =

uTi yi σi

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Finalmente, por las propiedaes de los productos matriz-vector: V Σ−1 U T y =

n X uT yi i

i=1

σi

vi .

Por u ´ltimo, mostramos el resultado que garantiza la existencia de la descomposici´on en valores singulares de una matriz A de m × n con entradas reales. Teorema 3. Si A es una matriz de m × n con entradas reales, entonces existen matrices ortogonales U y V , con U = [u1 , . . . , um ] ∈ Rm×m y V = [v1 , . . . , vm ] ∈ Rn×n tales que U T AV = diag(σ1 , . . . , σp ) ∈ Rm×n , con p = m´ın{m, n} y donde σ1 ≥ σ2 ≥, . . . , σp ≥ 0. Demostraci´ on. Sean x ∈ Rn y y ∈ Rm tales que kxk = kyk = 1, y Ax = σy donde σ = kAk2 . Se puede probar que existen V2 ∈ Rn×(n−1) y U2 ∈ Rm×(m−1) , tales que V = [x|V2 ] ∈ Rn×n y U = [y|U2 ] ∈ Rm×m son ortogonales. Es f´ acil ver que σ wT T U AV = ≡ A1 . 0 B Por otro lado, como

2

σ

A1

≥ (σ 2 + wT w)2 ,

w 2 tenemos que kAk22 ≥ (σ 2 + wT w)2 . Adem´ as, σ 2 = kAk22 = kA1 k22 , de donde se sigue que w = 0. Repitiendo nuevamente este proceso para B, se tiene el resultado por el principio de inducci´ on. Producto de Kronecker La siguiente observaci´ on se utiliza con frecuencia a lo largo del proyecto. En esta secci´on adelantamos el hecho de que los datos provistos no contienen expl´ıcitamente a la matriz K sino que se proveen dos matrices A y B. Por la descomposici´on en valores singulares de las matrices A y B obtenemos que: A = UA Σ A V A B = UB ΣB VB 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 19

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Al realizar la descomposici´ on en valores singulares de K obtenemos que K = A ⊗ B = U ΣV T , donde U = UA ⊗ UB , Σ = ΣA ⊗ ΣB y V = VA ⊗ VB . De esta manera es posible recuperar la matriz K. Sin embargo, recuperar la matriz K realizando expl´ıcitamente el producto de Kronecker no puede ser efectuado debido a las limitaciones computacionales. Por esta raz´on se hace uso de la siguiente propiedad: para cualesquiera matrices P y Q se tiene que (P T ⊗ Q)vec(X) = vec(QXP ), donde la funcion vec tiene como argumento una matriz y devuelve el vector que resulta de apilar la matriz por columna. Tambi´en vamos a considerar la funci´on mat que toma como argumento un vector y devuelve la matriz que resulta de desapilar el vector por columna. Para el caso de la regularizaci´ on de Tikhonov, es necesario calcular fˆ = V T f = (VA ⊗ VB )T f = (VAT ⊗ VBT )f = vec(VB F VAT ) gˆ = U T g = (UA ⊗ UB )T g = vec(UA GUB ) donde F = mat(f ) y G = mat(g). En cuanto al m´etodo de SVD truncado, se tiene que fls = V Σ−1 U T g. El producto puede ser expresado de la siguiente forma: ˆ 2 VB . fls = V Σ−1 U T g = V Σ−1 gˆ = V gˆ2 = (VA ⊗ VB )ˆ g2 = vec(VA G Esta forma b´ asica para calcular fls sufre ligeras modificaciones que involucran el seleccionar en Σ los valores singulares con valor m´ as alto.

Datos experimentales Recordemos que el problema consiste en resolver el siguiente sistema de ecuaciones linenales: Kf = g Los datos iniciales consisten en tres matrices. Se proporcionan A y B, dos matrices tales que K = A ⊗ B. A y B son matrices de 256 × 256. Tambi´en se proporciona una matriz G de 256 × 256 que representa una imagen de 256 × 256 p´ıxeles en tonos de gris. El objetivo de los experimentos es quitar el ruido de esa imagen. Como gu´ıa se proporciona tambi´en la imagen sin ruido. Este ser´ a el patr´ on de comparaci´ on de los resultados: 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 20

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Figura 1: Comparativa entre la imagen original y la imagen distorsionada.

Experimentos Se programaron los m´etodos de regularizaci´ on de Tikhonov y descomposici´on en valores singulares truncada y se probaron con los datos experimentales descritos en la secci´on anterior. La programaci´ on se realiz´ o en la plataforma MATLAB. Se probaron los m´etodos en una PC con procesador Intel Pentium Dual-Core T2390 de 1.86 GHz y 3072 MB de SDRAM. Regularizaci´ on de Tikhonov Los experimentos para la regularizaci´ on de Tikhonov consideraron los valores para el par´ametro de regularizaci´ on δ dentro del conjunto {1, 0.5, 0.05, 0.005, 0.0025, 0.001, 0.0001, 0.00005, 0}. Los resultados de la regularizaci´ on de Tikhonov se muestran en la figura 2. Los mejores resultados se obtuvieron alrededor del valor δ =0.001. El tiempo de total de procesamiento para los valores de δ indicados anteriormente fue de 1.882 segundos. Este cronometraje no considera el tiempo de graficaci´ on. Se presentaron ligeras variaciones al medir el tiempo de procesamiento en repetidas ocasiones. Es interesante observar como el nombre del autor de la frase, “Jonathan Swift”, es muy dif´ıcil de recuperar. Esto puede deberse a que tiene una distinta alineaci´ on con respecto al resto del texto. Descomposici´ on en valores singulares truncada Los experimentos para la descomposici´ on en valores singulares truncada consideraron los siguientes valores para el par´ ametro de regularizaci´ on n, el cual denota el n´ umero de valores singulares considerados: {100, 200, 500, 1000, 2000, 3000, 4000, 6000, 8000}. Los mejores resultados se obtuvieron alrededor del valor n = 3000 (ver figura 3). El tiempo de total de procesamiento para los valores de n indicados anteriormente fue de 1.783 segundos. Para este cronometraje tampoco se considera el tiempo de graficaci´on. Se presentaron ligeras variaciones al medir el tiempo de procesamiento en repetidas ocasiones. De nueva cuenta el nombre del autor no se recupera satisfactoriamente. 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 21

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Figura 2: Resultados representativos de la regularizaci´on de Tikhonov. Observe que la imagen se puede leer para δ = 0,001. Para valores superiores, la imagen se distorsiona.

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Figura 3: Resultados representativos de la Descomposici´on en valores singulares truncada. Observe que la imagen se puede leer para n = 3000. Para valores superiores a n = 6000, la imagen se distorsiona.

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Conclusiones Se desarroll´ o el marco te´ orico que sustenta la resoluci´on del problema de quitar el ruido de una imagen. Se mostr´ o que resolver el problema consiste en encontrar una soluci´on aproximada a un sistema de ecuaciones lineales Kf = g. Se mostr´ o que dicho sistema es mal condicionado, lo que nos lleva a plantear m´etodos de soluci´ on alternativos al m´etodo de soluci´on por eliminaci´ on gaussiana con pivoteo. Los m´etodos propuestos fueron la regularizaci´ on de Tikhonov y la descomposici´on en valores singulares truncada. Se mostraron propiedades relevantes de ambos m´etodos. Se resolvi´ o satisfactoriamente el problema de quitar el ruido de una imagen utilizando los m´etodos mencionados. Ambos m´etodos fueron programados en MATLAB. La imagen sobre la que se probaron los m´etodos fue la propuesta por Diane O’Leary. Ambos m´etodos, regularizaci´ on de Tikhonov y TSVD, lograron quitar el ruido de la imagen en un tiempo razonable. Es importante observar que el texto que no se encuentra alineado horizontalmente es muy dif´ıcil de recuperar. Una extensi´ on natural al presente trabajo consistir´ıa en investigar el modelo para el ruido en una imagen. El objetivo de considerar otros modelos ser´ıa probar la efectividad de los m´etodos de regularizaci´ on de Tikhonov y TSVD en situaciones m´as generales as´ı como conocer sus limitaciones.

Referencias [1] Golub, G. y C. Van Loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, 1996. [2] Rudin, W. Functional Analysis. McGraw-Hill Book Company, 1973. [3] Kaipio, J. y E. Somersalo. Statistical and computational inverse problems. Springer, 2004. [4] O’Leary, D. Scientific Computing with Case Studies. SIAM Press, 2009. [5] Nygaard, Niels. Linear Algebra Review. The University of Chicago, 2006.

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Aterrizando ideas

Regresi´ on lineal. Aritm´ etica inexacta y algoritmos num´ ericamente estables. Ilan Morgenstern Estudiante de Matem´ aticas Aplicadas y Econom´ıa del ITAM Jos´e Luis Morales Profesor del Departamento de Matem´ aticas del ITAM

Introducci´ on Los modelos estad´ısticos forman parte del arsenal de herramientas matem´aticas utilizadas para apoyar la toma de decisiones en diversos contextos. La posibilidad de cuantificar relaciones entre variables observadas y su potencial predictivo los convierten en medios que aportan indudable valor a empresas, dependencias de gobierno y proyectos de investigaci´on tanto pura como aplicada. Por otra parte, los constantes adelantos en diversas ´areas de la computaci´on facilitan y promueven su uso mediante ambientes gr´ aficos amigables y recursos de bajo costo, accesibles a´ un para el usuario con limitada educaci´on formal en estad´ıstica, matem´aticas y computaci´ on. En este art´ıculo nos concentramos en estudiar modelos basados en par´ametros calculados a partir de observaciones. Espec´ıficamente, nos interesa analizar el efecto de las t´ecnicas computacionales utilizadas para obtenerlos en la efectividad del modelo como herramienta predictiva. Para fines de claridad en la exposici´ on utilizaremos un ejemplo de regresi´on lineal, cuya formulaci´ on es accesible para estudiantes de licenciaturas en matem´aticas aplicadas o ingenier´ıa. El c´ alculo de par´ ametros se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante alg´ un algoritmo num´erico que funciona en una computadora digital dotada de un sistema de aritm´etica de punto flotante, es decir aritm´etica inexacta. Por lo tanto, salvo excepciones triviales, cada operaci´ on aritm´etica que realiza la computadora genera un error por redondeo que se propaga y acumula en los par´ ametros calculados. El error se transmite a las predicciones, lo cual cuestiona su valor y uso en la pr´ actica. Parad´ojicamente, hacer regresi´on lineal aparenta ser un problema muy simple; sin embargo los algoritmos num´ericos para calcular los par´ ametros son extremadamente complejos, ya que est´an dise˜ nados para controlar la propagaci´ on y acumulaci´ on del inevitable error por redondeo. En el art´ıculo investigamos el comportamiento num´erico de 6 paquetes de estad´ıstica computacional en un ejemplo dif´ıcil. El art´ıculo est´ a organizado en tres secciones; en la secci´on 1 describimos brevemente el modelo de regresi´ on simple y una generalizaci´ on al caso m´ ultiple. La secci´on 2 contiene una descripci´ on corta de las estrategias num´ericas disponibles para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En la secci´ on 3 explicamos el concepto dif´ıcil desde un punto de vista t´ecnico con un m´ınimo de herramientas matem´ aticas; tambi´en describimos el ejemplo y la discusi´on 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 25

laberintos e infinitos

de los resultados. Finalmente, en la secci´ on 4 presentamos nuestras conclusiones.

Regresi´ on lineal Supongamos que se quiere cuantificar la relaci´ on entre la proporci´on de la poblaci´on que tiene una licencia de conducir y la cantidad de petr´oleo consumida en una localidad dada. Supondremos que la variable independiente es la proporci´on de la poblaci´on con licencia (x) y que el consumo de petr´ oleo (y) satisface la relaci´ on y = β0 + β1 x + ,

(1)

en donde representa al error. Nos interesa estimar los par´ ametros β0 , β1 a partir de una muestra de datos; una metodolog´Ĺa muy difundida consiste en minimizar la suma de diferencias al cuadrado entre las predicciones del modelo y las observaciones. Es decir, si se ha observado una muestra {(xi , yi ) , i = 1, ..., n}, se definen los estimadores de m´Ĺnimos cuadrados βˆ0 , βˆ1 como aquellos que minimizan la cantidad n X β0 2 (yi − β0 − β1 xi ) , β = S(β) = . β1 i=1

Para nuestro ejemplo del consumo de petr´ oleo, esperar´Ĺamos que una mayor proporci´on de la poblaci´ on con licencia de conducir se asociara con un mayor consumo de petr´oleo, quiz´a porque habr´Ĺa m´ as gente conduciendo autos y consumiendo gasolina. Esto significa que esperar´Ĺamos que el estimador βˆ1 resultara positivo. En la siguiente gr´afica representamos en azul las observaciones y la recta de mejor ajuste (aquella con ordenada al origen βˆ0 y pendiente βˆ1 ), en donde podemos notar que efectivamente βˆ1 > 0. El m´etodo anterior se puede extender al caso de p variables independientes o predictores x(1) ,. . . ,x(p) . La relaci´ on lineal (1) adopta la forma: y = β0 +

p X

βp x(p) + .

j=1 (1)

(p)

Si disponemos de una muestra {(xi , . . . , xi , yi ), i = 1, . . . , n}, entonces la expresi´on anterior se representa como y = Xβ + , (1) (p) en donde X = e, x , ¡ ¡ ¡ , x es una matriz de n Ă— (p + 1) y e es el vector de dimensi´on n cuyas componentes son iguales a 1. El vector de par´ametros βˆ se obtiene resolviendo el problema de optimizaci´ on m´Ĺn S(β) = m´Ĺn ||y − Xβ||22 = m´Ĺn (y − Xβ)T (y − Xβ). β

β

β

6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 26

Aterrizando ideas

Si las columnas de X forman un conjunto linealmente independiente, es f´acil probar que el estimador de m´ınimos cuadrados existe, es u ´nico y se puede calcular como: βˆ = X T X

−1

X T y.

(2)

Desde un punto de vista puramente formal el problema est´a totalmente resuelto. Sin embargo, desde una perspectiva pr´ actica, las dificultades apenas comienzan.

Resoluci´ on num´ erica de sistemas de ecuaciones lineales En esta secci´ on consideramos el problema que consiste en calcular num´ericamente la soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales de a forma Ax = b,

A ∈ Rn×n ,

x, b ∈ Rn ,

(3)

en donde A es invertible. El c´ alculo se har´ a con alg´ un m´etodo num´erico en una computadora digital dotada de un sistema de n´ umeros en punto flotante. Independientemente del m´etodo utilizado, es un hecho que la soluci´ on calculada x ¯ no ser´a soluci´on del sistema original, es decir que A¯ x 6= b. Al menos dos preguntas surgen de inmediato: a) ¿c´omo averiguar la calidad de x ¯?; b) ¿c´ omo saber si el m´etodo es apropiado?. El primer an´ alisis formal sobre las dificultades involucradas al resolver un sistema de ecuaciones lineales en aritm´etica inexacta aparece en el art´ıculo de J. von Neumann y H.H. Goldstein 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 27

laberintos e infinitos

[2]; en el trabajo convergen la matem´ atica, la naciente tecnolog´ıa de la computaci´on y las aplicaciones. El art´ıculo de J.F. Grcar [3] ofrece una rese˜ na de las 8 contribuciones m´as relevantes del trabajo de von Neumann y Golstein; entre ellas sobresalen: a) el an´alisis de los diferentes errores que aparecen en computaci´ on cient´ıfica; b) los conceptos de estabilidad matem´atica y de n´ umero de condici´ on de una matriz; c) los m´etodos basados en factorizaciones de A. Sin lugar a dudas, una lectura obligada para los interesados en la matem´atica computacional, sus fundamentos y sus aplicaciones. En los siguientes p´ arrafos haremos uso de algunos conceptos matem´aticos elementales. Utilizaremos el concepto de norma vectorial y el de norma matricial consistente. Supondremos que el lector est´ a familiarizado con los espacios vectoriales Rn y Rn×n . Una norma vectorial en Rn es una funci´ on || · || : Rn → R que tiene las siguientes propiedades: 1. ||x|| ≥ 0,

∀ x ∈ Rn ,

2. ||αx|| = |α| ||x||,

||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0

∀ x ∈ Rn ,

3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||,

∀α ∈ R

∀ x, y ∈ Rn .

El concepto de norma matricial se puede introducir en la modalidad de norma inducida, es decir mediante el uso de una norma vectorial en Rn ||A|| = sup ||Ax||,

A ∈ Rn×n ,

x ∈ Rn .

||x||=1

Las propiedades que caracterizan a una norma matricial (con A, B ∈ Rn×n ) son las mismas que para una norma vectorial, reemplazando a x por A y a y por B. La propiedad de consistencia es indispensable para hacer an´ alisis y se formula como ||Ax|| ≤ ||A|| ||x||. Por ejemplo, todas las normas matriciales inducidas por las normas-p vectoriales son normas consistentes. Puesto que no conocemos la soluci´ on exacta del sistema (3), tendremos que adoptar una estrategia indirecta para hacer el an´ alisis; comenzaremos por estudiar el m´etodo utilizado. Sabemos que, en general, x ¯ no es soluci´ on del problema original. Sin embargo, x ¯ es soluci´on de un sistema perturbado (A + E)¯ x = b. Si logramos probar matem´ aticamente que el cociente ||E||/||A|| es peque˜ no, entonces diremos que el m´etodo es num´ericamente estable. En otras palabras, que el m´etodo resuelve un problema diferente (A + E, b), pero relativamente cercano al problema original (A, b). Hemos contestado la pregunta referente al m´etodo. La respuesta sobre la calidad de x ¯ la elaboraremos en la siguiente secci´ on. En el problema de regresi´ on disponemos de al menos cuatro m´etodos para calcular soluciones βˆ del sistema (2). 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 28

Aterrizando ideas

1. Calcular el producto X T X y obtener su factorizaci´on de Cholesky X T X = LLT , en donde L es una matriz triangular inferior de p × p con entradas positivas en la diagonal. Resolver el sistema LLT βˆ = X T y on hacia adelante; b) LT βˆ = z, por sustituci´on en dos pasos: a) Lz = X T y, por sustituci´ hacia atr´ as. La factorizaci´ on de Cholesky es aplicable a matrices sim´etricas positivas definidas. Notar que, matem´ aticamente, X T X tiene la propiedad requerida. La desventaja de este m´etodo es la necesidad de calcular el producto X T X en aritm´etica de punto flotante, lo cual puede destruir la propiedad de positividad. El m´etodo de Cholesky es num´ericamente estable. 2. Obtener la factorizaci´ on QR de X, EX = QR, en donde Q es una matriz de n × p con columnas ortonormales, R es triangular superior invertible de p × p y E es una matriz de permutaciones. Resolver el sistema RT βˆ = QT Ey por sustituci´ on hacia adelante (RT es triangular inferior). El uso de permutaciones, reflejado en la matriz E, tiene el objetivo de mejorar la estabilidad num´erica del procedimiento. Esta estrategia es conocida como la versi´on econ´ omica de la factorizaci´on QR. En la versi´ on completa, Q es una matriz ortogonal de n × n y R es de n × p con la siguiente estructura  0  R R =  − , 0 en donde R0 es triangular superior invertible de p × p. Una ventaja de ambas versiones es que no necesitan calcular el producto X T X. La factorizaci´on QR es un m´etodo num´ericamente estable que obtiene las columnas de Q mediante transformaciones de Householder. 3. Calcular la inversa de la matriz X T X y multiplicarla por el vector X T y, es decir usar directamente la expresi´ on (2). El uso de la inversa es poco recomendable desde el punto de vista computacional y num´erico, sin embargo es una metodolog´ıa ampliamente difundida y utilizada. El m´etodo de la inversa no es num´ericamente estable. 4. En t´erminos num´ericamente aceptables, la expresi´on (2) se interpreta como calcular la pseudo inversa de Moore-Penrose de X mediante la descomposici´on en valores singulares, ´esta obtenida mediante un procedimiento num´ericamente estable.

Un ejemplo dif´ıcil En esta secci´ on ilustramos mediante ejemplos sencillos que la resoluci´on de algunos sistemas de ecuaciones lineales puede resultar una tarea extremadamente complicada. Es relevante mencionar que la dificultad proviene del problema original y por lo tanto es independiente 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 29

laberintos e infinitos

del m´etodo y del tipo de aritm´etica usados para resolverlo. Consideremos el problema (3) con A invertible, b 6= 0 y cuya soluci´on es x∗ 6= 0. Ahora estudiemos la soluci´ on del sistema ligeramente perturbado en el lado derecho: Ax = b + h, en donde ||h||/||b|| es peque˜ no. Si denotamos a la soluci´on del sistema anterior como x ¯, esperar´ıamos que el cociente ||x∗ − x ¯|| ∗ ||x || fuera comparable con ||h||/||b||, en general esto puede no ocurrir; a estos casos patol´ogicos los podemos caracterizar informalmente diciendo que la soluci´on del sistema es muy sensible a peque˜ nas perturbaciones en b, es decir ||x∗ − x ¯|| ||h|| . ∗ ||x || ||b|| A las matrices con esta propiedad las llamamos mal condicionadas. Formalmente el resultado anterior se enuncia como ||x∗ − x ¯|| ||h|| ≤ cond(A) , ||x∗ || ||b|| en donde al n´ umero real cond(A) = ||A|| ||A−1 || se la llama n´ umero de condici´on con respecto a la inversi´ on. Mientras mayor sea el n´ umero de condici´on, mayor ser´a la sensibilidad. Es f´acil probar que, independientemente de la norma matricial utilizada, cond(A) ≥ 1. Entonces el n´ umero de condici´ on funciona como un amplificador de la perturbaci´on ||h||/||b||. El lector avezado notar´ a de inmediato que el mal condicionamiento tiene mucho que ver con la posible singularidad de A. Con fines ilustrativos consideremos el sistema 1+γ 1 x1 1 A(γ)x = = , 0 < γ < 1. 1 1 x2 1 La soluci´ on del sistema es x∗ = [0 1]T independientemente del valor de γ. Es importante observar que A(0) es singular. Ahora resolvamos el sistema con el lado derecho perturbado 1+δ δ b= , h= . 1−δ −δ La soluci´ on se puede representar en forma cerrada como 2δ/γ x ¯= . 1 − δ − 2δ/γ 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 30

Aterrizando ideas

En la norma euclidiana es f´ acil verificar que el error relativo satisface √ ||x∗ − x ÂŻ||2 2 2 ||h||2 > |δ| = |δ|, ∗ ||x ||2 Îł ||b||2 en otras palabras, el error crece cuando Îł → 0. Una vez m´as, el lector avezado ya puede adelantar que el n´ umero de condici´ on de A(Îł) es de orden 1/Îł en cualquier norma matricial consistente, por ejemplo 2 ||A||1 ≈ 2, ||A−1 ||1 = Îł ||A||∞ ≈ 2,

||A−1 ||∞ =

2 . Îł

Entonces el inverso del n´ umero de condici´ on se puede interpretar como la proximidad de A al conjunto de matrices singulares. Equipados con los conceptos de m´etodo num´ericamente estable y matriz bien/mal condicionada, estamos en posici´ on de evaluar diferentes sistemas computacionales con los cuales se puede realizar an´ alisis estad´Ĺstico. Los sistemas a evaluar son: R, Excel, Stata, Matlab, SAS y SPSS; todos ellos de amplia difusi´ on y uso en empresas, instituciones gubernamentales, acad´emicas y centros de investigaci´ on. Como problema de prueba utilizaremos el conjunto de datos Filip 1 del Laboratorio de Tecnolog´Ĺas de Informaci´on, que forma parte del Instituto Nacional de Est´ andares y Tecnolog´Ĺa (NIST)2 . El problema por resolver consiste en ajustar un polinomio de grado 10 a los datos Filip. Los datos son parejas (xi , yi ), i = 1, . . . , 82 es decir, se tiene una sola variable dependiente x y se buscan los coeficientes β que mejor ajustan los datos al siguiente modelo: y=

10 X

βj xj + .

j=0

En la pr´ actica no se suele utilizar un ajuste de este tipo. Sin embargo, esta clase de problemas son los que suelen causar dificultades a los m´etodos num´ericos. El NIST utiliza aritm´etica simulada con precisi´ on de 500 d´Ĺgitos para fijar sus est´andares de calidad. En contraste, las computadoras de escritorio y port´ atiles s´ olo cuentan con 16 d´Ĺgitos decimales y utilizan aritm´etica de punto flotante con el est´ andar IEEE. En el Cuadro 1 se reportan los coeficientes que se obtuvieron mediante los procedimientos num´ericos propios de cada sistema computacional. La segunda columna muestra los coeficientes certificados por el NIST. La rutina de Matlab fue programada por los autores del 1 Los datos y los resultados certificados pueden consultarse en http://www.itl.nist.gov/div898/strd/ lls/data/Filip.shtml 2 El NIST es una agencia del gobierno de los E.U.A. que se encarga de establecer est´ andares de calidad para todo tipo de instrumentos de medici´ on. En particular, se utilizan sus juegos de datos para probar la calidad del software estad´Ĺstico. Los juegos de datos utilizados para evaluar la calidad de las regresiones lineales se pueden encontrar en http://www.itl.nist.gov/div898/strd/lls/lls.shtml

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laberintos e infinitos

Cuadro 1: Coeficientes polinomiales obtenidos por diferentes sistemas computacionales R βˆ0 βˆ1 βˆ2 βˆ3 βˆ4 βˆ5 βˆ6 βˆ7 βˆ8 βˆ9 ˆ β10 ˆ S(β)

Excel

NIST

3.1.2

2010

−1.47E+03 −2.77E+03 −2.32E+03 −1.13E+03 −3.54E+02 −7.51E+01 −1.09E+01 −1.06E+00 −6.70E−02 −2.47E−03 −4.03E−05

−1.47E+03 −2.77E+03 −2.32E+03 −1.13E+03 −3.54E+02 −7.51E+01 −1.09E+01 −1.06E+00 −6.70E−02 −2.47E−03 −4.03E−05

8.13E+00 0 −7.14E+00 −4.53E+00 −8.81E−01 1.36E−01 9.90E−02 2.08E−02 2.24E−03 1.25E−04 2.86E−06

7.96E−04

7.96E−04

1.07E−03

SAS IML

Matlab

Statistics 20

Studio 13.2

R2013a

1.39E+01 9.60E+00 0.00E+00 −1.42E+00 0 3.06E−01 1.22E−01 2.29E−02 2.36E−03 1.29E−04 2.94E−06

8.77E−01 −1.23E−02 0 0 −4.69E−05 0 0 1.07E−07 0 0 1.87E−10

−1.11E+01 −1.32E+01 −5.68E+00 −1.18E+00 −1.13E−01 −2.34E−03 2.52E−04 0 −9.24E−07 0 0

−1.47E+03 −2.77E+03 −2.32E+03 −1.13E+03 −3.54E+02 −7.51E+01 −1.09E+01 −1.06E+00 −6.70E−02 −2.47E−03 −4.03E−05

7.06E+01

9.34E−03

4.81E−01

7.96E−04

Stata 12

IBM SPSS

art´ıculo y hace uso de la factorizaci´ on QR (versi´ on econ´omica) de la matriz X. En el u ´ltimo rengl´ on del Cuadro 1 aparece la suma de los cuadrados de los errores, denotada como S, que se obtiene en cada caso ˆ = (y − X β) ˆ T (y − X β). ˆ S(β)

Con fines comparativos el Cuadro 2 muestra los coeficientes obtenidos con los m´etodos descritos en la Secci´ on 2. Solamente se muestran los que terminan exitosamente. Es importante aclarar que el producto X T X no es una matriz positiva definida debido a la acumulaci´ on del error por redondeo, en consecuencia la rutina de Matlab que calcula la factorizaci´ on de Cholesky termina anormalmente. El procedimiento que calcula la inversa de la matriz X T X emite un aviso sobre el mal condicionamiento de X T X. Comparando los coeficientes del polinomio en los Cuadros 1 y 2, es inmediato concluir que Excel, Matlab y R utilizan la factorizaci´ on QR. Matlab y R usan la versi´on econ´omica, mientras que Excel usa la versi´ on completa. Es importante mencionar que los resultados de R se obtuvieron despu´es de cambiar el valor por omisi´on del par´ametro tol = 10−7 en el procedimiento lm.fit. El valor usado en los c´ alculos reportados fue tol = 10−10 . El cambio requiere consultar la documentaci´ on de lm.fit y la del procedimiento qr en el que se describe a tol como la tolerancia para detectar dependencias lineales en las columnas de X, ver [4]. 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 32

Aterrizando ideas

Cuadro 2: Coeficientes polinomiales obtenidos por diferentes m´etodos en Matlab

βˆ0 βˆ1 βˆ2 βˆ3 βˆ4 βˆ5 βˆ6 βˆ7 βˆ8 βˆ9 ˆ β10 ˆ S(β)

QR econ´ omica

QR completa

Pseudo-inversa Moore-Penrose

Ecuaciones normales

−1.47E+03 −2.77E+03 −2.32E+03 −1.13E+03 −3.54E+02 −7.51E+01 −1.09E+01 −1.06E+00 −6.70E−02 −2.47E−03 −4.03E−05

8.13E+00 0.00E+00 −7.14E+00 −4.53E+00 −8.81E−01 1.36E−01 9.90E−02 2.08E−02 2.24E−03 1.25E−04 2.86E−06

8.44E+00 1.36E+00 −5.35E+00 −3.34E+00 −4.06E−01 2.58E−01 1.20E−01 2.31E−02 2.40E−03 1.32E−04 2.99E−06

−1.51E+01 2.64E+08 −2.11E+09 4.55E+09 −3.78E+09 1.36E+09 −2.19E+08 1.51E+07 −3.87E+05 2.55E+03 2.02E−06

7.96E−04

1.07E−03

1.07E−03

4.31E+15

Conclusiones Los resultados del estudio se pueden explicar recurriendo al material de la segunda y tercera secci´ on. Hay dos razones fundamentales para comprender los mejores y los peores resultados. En primer lugar, el n´ umero de condici´ on de X es 1.768 ×1015 , lo cual indica sensibilidad extrema para procesadores con precisi´ on de 16 d´ıgitos decimales. El n´ umero de condici´on de X T X es 4.469 ×1028 , pr´ acticamente el cuadrado del de X. La inversa de Moore-Penrose tiene n´ umero de condici´ on 1.951 ×1016 , ligeramente mayor que el de X. La segunda raz´ on se debe al m´etodo utilizado para resolver el sistema de ecuaciones. El resultado m´ as acertado se obtiene con el mejor m´etodo conocido (la versi´on econ´omica de la factorizaci´ on QR de X) aplicado a la mejor elecci´ on de la matriz, es decir X. El peor resultado se obtiene combinando un m´etodo num´ericamente inestable (la inversa) con la peor elecci´on de la matriz, en este caso X T X. Es dif´ıcil interpretar los resultados de Stata, SPSS y SAS debido a la nula informaci´on que estos paquetes ofrecen cuando sus procedimientos incurren en dificultades de tipo num´erico. El contenido t´ecnico del art´ıculo (ver por ejemplo [1], [3], [5], [7], [8], [10]) es parte del material que constituye el curso de C´ alculo Num´erico de la Licenciatura en Matem´aticas Aplicadas en el ITAM. El art´ıculo es resultado de uno de los proyectos del curso impartido en el segundo semestre de 2013. 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 33

laberintos e infinitos

Agradecimientos Ambos autores agradecen las observaciones y sugerencias aportadas por Alberto Tubilla, profesor del Departamento de Estad´ıstica del ITAM.

Referencias [1] Ascher, Uri and Greif, Chen.A First Course in Numerical Methods, SIAM, Philadelphia, 2011. [2] Draper, Norman and Smith , Harry Applied regression analysis (third edition). New York: Wiley, 1998. [3] Golub, Gene and Van Loan, Charles. Matrix Computations, 4th Edition. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 2013. [4] Grcar, Joseph. “John von Neumann’s Analysis of Gaussian Elimination and the Origins of Modern Numerical Analysis”. SIAM Review, 2011, Vol. 53, No. 4, pp. 607-682. [5] Heath, Michael. Scientific Computing. An Introductory Survey, McGraw-Hill, second ed, 2002. [6] von Neumann, John and Goldstine, Herman. Numerical inverting of matrices of high order Bull. Amer. Math. Soc., 1947, 53, pp. 1021-1099 [7] Meyer, Carl. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM Press, Philadelphia, 2000. [8] Moler, Cleve. Numerical Computing with Matlab: Revised Reprint. SIAM, Philadelphia, 2010. [9] R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, 2014. http://www.R-project.org/ [10] O’Leary, Diane. Scientific Computing with Case Studies, SIAM Press Philadelphia, 2009.

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Aterrizando ideas

Componentes Principales: Las Dimensiones de la Confianza Kin Guti´errez Olivares y Fernando Payr´o Ex alumnos de Matem´ aticas Aplicadas del ITAM Max Mergenthaler Estudiante de Matem´ aticas Aplicadas del ITAM El uso del an´ alisis de componentes principales es cada vez m´as com´ un dada la creciente cantidad de informaci´ on disponible en muchas ciencias. Es una aplicaci´on bastante u ´til del teorema de diagonalizaci´ on para matrices, y muestra una vez m´as el valor del ´algebra lineal, no s´ olo por su car´ acter contemplativo sino por su utilidad en la exploraci´on de datos. Este art´ıculo brindar´ a una visi´ on general del tema y terminar´a con una aplicaci´on del an´alisis a la Encuesta Nacional sobre Confianza del Consumidor (ENCO) [1]. Se mostrar´a que gran parte de la informaci´ on se concentra en dos dimensiones.

¿Qu´ e es el an´ alisis de componentes principales? El an´ alisis de componentes principales (ACP) es una herramienta estad´ıstica utilizada en la exploraci´ on de informaci´ on, y como su nombre lo sugiere, sirve para encontrar las “componentes principales” de los datos. En el an´ alisis exploratorio de datos, en particular cuando el n´ umero de variables del que se dispone es grande, es provechoso representar a las variables de manera resumida porque muchas veces las variables originales contienen informaci´on redundante por estar ampliamente correlacionadas. En palabras sencillas, las componentes principales son las direcciones en las que la dispersi´on de los datos es mayor, es decir, aquellas combinaciones lineales de las variables originales que concentren en ellas la m´ axima varianza. Estas combinaciones satisfacen la propiedad de no tener informaci´ on compartida entre s´ı, son ortogonales. Para ejemplificar lo anterior, observemos las figuras 1 y 2, donde los puntos representan observaciones de la base de datos original a trav´es de las variables X y Y . Si tuvi´eramos que elegir una dimensi´ on en la que la dispersi´ on de los datos sea m´axima, elegir´ıamos el eje etiquetado CP1, el m´ as largo en la subfigura 2. Dicho eje se identifica precisamente como la componente principal 1. Por otro lado, si tuvi´eramos que elegir una segunda dimensi´on de m´ axima varianza y que adem´ as fuera ortogonal a la primera, elegir´ıamos el eje con la etiqueta CP2, que se identifica como la componente principal 2. Claramente sobre la primera componente principal se est´a eligiendo la dimensi´on sobre la que la informaci´ on var´ıa m´ as. Por suerte contamos con el ´algebra lineal para suplir las gr´aficas de ejes y puntos, en la b´ usqueda de las componentes principales.

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laberintos e infinitos

Figura 1: Dispersi´ on de los datos.

Figura 2: Dimensiones de m´axima varianza.

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Aterrizando ideas

Valores y vectores propios En t´erminos de ´ algebra lineal, el ACP utiliza observaciones, originalmente compuestas por variables correlacionadas, en un nuevo conjunto de variables ortogonales, a los que se conoce como componentes principales. A continuaci´ on se plantea el problema como un problema de maximizaci´ on [4]. Considere un conjunto de datos de m observaciones y n variables X1 , X2 , · · · , Xn , cada variable Xi ∈ Rm y cada observaci´ on xj ∈ Rn , la informaci´on se puede representar como una matriz de X ∈ Rmxn de la forma:

 xT1   =  ...  

X = X1

···

Xn

xTm

El problema de maximizaci´ on entonces es encontrar una direcci´on α ∈ Rn tal que la varianza asociada a la transformaci´ on lineal de las variables Xα = α1 X1 + · · · αn Xn sea m´axima. max x

αT Σα (1)

s.t. kαk2 = 1 Donde: Σ =

1 m

Pm

j=1 (xj

−x ˆ)(xj − x ˆ)T es la matriz de varianza-covarianza muestral.

El teorema de diagonalizaci´ on, menciona que al ser Σ una matriz Hermitiana, admite una descomposici´ on en la siguiente forma:

 λ1 0  Σ=V × .  .. 0

0 λ2 0 0

··· ··· .. .

0 0 .. .

···

λn

    × V −1 

(2)

Donde la matriz V = V1 · · · Vn est´ a integrada en sus columna por los eigen-vectores de Σ y {λ1 , · · · , λn } son sus eigen-valores asociados (por simplicidad suponer λn ≤ · · · ≤ λ1 ). La forma cuadr´ atica (1) encuentra su m´ aximo cuando α = V1 y se identifica a la componente Xα = CP1 . As´ı mismo, de forma iterativa, se puede mostrar que la componente principal i es aquella combinaci´ on Xα con m´ axima varianza donde α pertenece al complemento del generado por (V1 , · · · , Vi−1 ), y corresponde precisamente al eigen-vector Vi de la matriz Σ.

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Las Dimensiones de la Confianza Historia del ´Indice de Confianza El antecesor al ´Indice de Confianza del Consumidor fue el ´Indice de Sentimiento del Consumidor propuesto en Estados Unidos por George Katona, en la Universidad de Michigan. Katona centr´ o su atenci´ on en la aplicaci´ on de principios psicol´ogicos en la macroeconom´ıa; el uso de su ´ındice le ayud´ o a predecir el auge econ´ omico de Estados Unidos en la posguerra, cuando los estimadores econom´etricos convencionales predec´ıan que habr´ıa una recesi´on. En 1967 The Conference Board, un grupo de empresarios, se uni´o a la tendencia y comenz´o a publicar su propia medida del optimismo de los consumidores sobre su situaci´on actual y sobre sus expectativas en el futuro [3]. Desde 1946 los ´ındices han probado su utilidad en la predicci´on de los ciclos econ´omicos. En teor´ıa el nivel de la confianza del consumidor augura el gasto que se va a realizar y por tanto el futuro de la trayectoria de la econom´ıa. Existe literatura abundante acerca de la causalidad entre las trayectorias macroecon´ omicas y el ´ındice de confianza. En M´exico, con la labor conjunta del INEGI y Banxico, se recaba cada mes la Encuesta Nacional sobre Confianza del Consumidor (ENCO) en 32 ciudades del pa´ıs. A partir de 2003, el ´ındice est´ a integrado por 5 variables principales y 10 variables complementarias. Las preguntas que se realizan en la encuesta son: Opini´ on sobre la situaci´ on econ´ omica de los integrantes del hogar en el momento actual frente a la que ten´ıan hace doce meses. Expectativa sobre la situaci´ on econ´ omica de los miembros del hogar para dentro de doce meses. Percepci´ on de los consumidores acerca de la situaci´on econ´omica del pa´ıs frente al a˜ no pasado Expectativa sobre la condici´ on econ´ omica del pa´ıs esperada dentro de un a˜ no. Capacidad de compra de bienes durables frente a la situaci´on de hace doce meses. A los participantes de la encuesta se les pide que contesten si su percepci´on es ”positiva”, ”negativa” o ”neutral”. Dicha respuesta tiene asignada un valor num´erico que se usa para el c´ alculo del ´ındice de confianza total. A continuaci´ on se har´ a un an´ alisis de componentes principales para las 5 preguntas que integran el ´ındice de confianza. Limitamos el an´ alisis para el mes de noviembre de 2014.

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Descomposici´ on de la Varianza La gr´ afica de sedimentaci´ on de varianza muestra en orden decreciente el porcentaje de la varianza explicado por la componente i, es decir λ Pn i

j=1

λj

.

Se puede observar en la figura 3 que u ´nicamente en las dos primeras componentes se acumula cerca del 70 % de la varianza, lo que es indicio de que la informaci´on se encuentra compartida entre las variables originales.

Figura 3: Gr´ afica de Sedimentaci´on Las figuras 4 y 5 son bastante ilustrativas. La primera est´a integrada por el c´ırculo de correlaciones donde se proyectan las variables originales en el espacio generado por las dos primeras componentes principales; la segunda es una gr´ afica de dispersi´on de los individuos en la encuesta.

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Figura 4: C´ırculo de Correlaciones

Figura 5: Representaci´ on de los Individuos

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El c´ırculo de correlaciones es u ´til en la interpretaci´ on del significado de las componentes. En este ejemplo el eje horizontal no est´ a estrictamente identificado con ninguna de las preguntas sino con los resultados positivos en todas ellas. Cuando las variables est´an alejadas del centro y cercanas entre ellas significa que existe una correlaci´on positiva entre las preguntas. En el ejemplo las preguntas 3, 4 y 8, tienen una alt´ısima correlaci´on lo que es muy intuitivo porque las 3 preguntas se refieren a la opini´ on de las expectativas y situaci´on actual de los individuos al interior de su hogar. Mientras que las preguntas 5 y 6 tambi´en se encuentran correlacionadas, un resultado bastante natural en el sentido en que estas variables se refieren a la opini´ on de los individuos sobre la situaci´ on actual y futura del pa´ıs. Lo anterior se puede verificar al observar directamente la matriz de correlaciones. Por u ´ltimo la gr´ afica de dispersi´ on, la raz´ on de ser del ACP, permite la observaci´on de los datos en un mapa de dos dimensiones, lo que es muy u ´til en la identificaci´on de tendencias. En nuestro ejemplo acompa˜ namos a la gr´ afica con un an´alisis de aglomeraci´on. Los individuos fueron separados de forma pr´ acticamente lineal, entre los ”pesimistas”, ”moderados” y los ”optimistas”.

Conclusiones Hicimos una breve introducci´ on al an´ alisis de componentes principales, detallando un poco en su motivaci´ on de ´ algebra lineal y probamos la utilidad del an´alisis de componentes principales al aplicarlo en la Encuesta Nacional sobre la Confianza del Consumidor obteniendo resultados bastante intuitivos: el primero es que la dimensi´on sobre la que mayor varianza hay en las preguntas es la del optimismo de las personas, sin destacar alg´ un tema en particular; el segundo resultado fue que la siguiente dimensi´ on se explica principalmente por la diferencia entre la orientaci´ on de la pregunta, si esta es referente al hogar o al pa´ıs.

Referencias [1] Dallas, George. “UK based Information Engineer/Internet Social Scientist”, 2015. https://georgemdallas.wordpress.com [2] INEGI. Encuesta Nacional sobre Confianza del Consumidor (ENCO). 2015. http://www.inegi.org.mx/est/contenidos/proyectos/encuestas/hogares /regulares/enco/ [3] INEGI. “Documento Metodol´ ogico de la Encuesta Nacional sobre Confianza del Consumidor”. http://www.inegi.org.mx/est/contenidos/espanol/metodologias/encuestas /hogares/metodenco.pdf (2003). [4] Meyer, Carl D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM, 2000.

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De bombas y probabilidades Gian Carlo Diluvi Estudiante de Actuar´ıa y Matem´ aticas Aplicadas

Introducci´ on Alguna vez, hace ya varios a˜ nos, le´ı un chiste que dec´ıa m´as o menos as´ı: Un empresario que viajaba mucho por su trabajo decidi´o investigar cu´al era la probabilidad de que le tocara una bomba en alg´ un avi´ on. Se dio cuenta de que, si bien la probabilidad era peque˜ na, era lo suficientemente grande como para que no pudiera volver a viajar tranquilo. Pero el empresario encontr´ o la forma de solucionar este problema: compr´o una bomba y la empez´ o a llevar a cada viaje de avi´ on que hac´ıa. Y es que, pens´o el empresario, si la probabilidad de que te toque una bomba en el avi´ on es peque˜ na, la probabilidad de que te toquen dos es pr´ acticamente nula. Claro est´ a que el razonamiento del empresario es incorrecto, pero ¿por qu´e exactamente? En el siguiente art´ıculo explicar´e, utilizando conceptos sencillos de la teor´ıa de probabilidad, por qu´e el empresario no deber´ıa sentirse tan seguro de s´ı mismo.

Planteamiento Para entender qu´e est´ a haciendo mal el empresario, necesitamos entender el problema y decidir c´ omo lo vamos a atacar. Procedemos como sigue: supongamos que tenemos un avi´on en el que van n personas (con n ≥ 2, para que el problema tenga sentido). Adem´as, supongamos que cada persona del avi´ on tiene una probabilidad p de llevar una bomba (claramente 0 < p < 1), es decir, que cualquier persona tiene la misma probabilidad de llevar o no una bomba. Finalmente, supondremos que las personas llevan o no una bomba de manera independiente. Esto significa que si una persona lleva una bomba, las otras siguen teniendo la misma probabilidad de llevar una bomba. Ya que tenemos eso claro, definimos la siguiente variable aleatoria: Sea X = n´ umero de personas que llevan bomba en el avi´ on. Por lo dicho anteriormente, es claro que X se distribuye binomialmente, i.e., X ∼ Binom(n, p). Luego, la funci´on de masa de probabilidad de X es n x fX (x) = P (X = x) = p (1 − p)n−x ∀x ∈ N ∪ {0} x Esto fue lo que el empresario debi´ o haber pensado, y ya se puede ver su error: el empresario se consider´ o a s´ı mismo como otra persona m´ as del avi´on, con probabilidad p de llevar una bomba. En realidad, el empresario debi´ o de haberse considerado como un pasajero “extra”, en el sentido de que ´el no tiene la misma probabilidad de llevar una bomba que los dem´as. El 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 42

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empresario sabe perfectamente si ´el va a llevar una bomba o no, por lo que la probabilidad de que ello ocurra deber´ıa ser 1 ´ o 0. De cualquier manera, el empresario decidi´o seguir con este razonamiento. Vamos a hacerlo nosotros tambi´en.

Desarrollo Ahora razonemos a qu´e queremos llegar. El empresario calcul´o la probabilidad de que haya al menos una bomba en el avi´ on. ¿Por qu´e? Pues porque el empresario quer´ıa evitar que hubiera bombas en el avi´ on. Una, dos o m´ as, pues en cualquiera de esos escenarios ´el sale perdiendo. Pero, en t´erminos de nuestro planteamiento, el empresario encontr´o P (X ≥ 1). Veamos cu´ anto es. P (X ≥ 1) =1 − P (X < 1) =1 − P (X = 0), porque X es discreta =1 − fX (0) n 0 =1 − p (1 − p)n−0 , sustituyendo en la f.m.p. 0 =1 − (1 − p)n

Ahora bien, la soluci´ on del empresario fue comprar una bomba y llevarla al avi´on, pues la probabilidad de que hubiera m´ as bombas disminuir´ıa. Esto significa que, seg´ un ´el, la probabilidad de que haya dos o m´ as bombas en el avi´ on, dado que ya sabemos que hay una, es menor a la probabilidad de que haya una o m´ as bombas. Plante´emoslo en t´erminos de nuestra variable aleatoria. El empresario dice que P (X ≥ 2|X ≥ 1) ≤ P (X ≥ 1).

Ahora calculemos la probabilidad condicional, es decir, P (X ≥ 2|X ≥ 1). Observamos que, trivialmente, X ≥ 2 =⇒ X ≥ 1.

Adem´ as, an´ alogamente a P (X ≥ 1), se tiene que: P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1).

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Considerando lo anterior, tenemos que:

P (X ≥ 2|X ≥ 1) =

P (X ≥ 2, X ≥ 1) P (X ≥ 1)

=

P (X ≥ 2) P (X ≥ 1)

=

1 − P (X ≤ 1) 1 − P (X = 0)

=

1 − P (X = 0) − P (X = 1) 1 − P (X = 0)

1 − (1 − p)n − n1 p1 (1 − p)n−1 = 1 − (1 − p)n

=

1 − (1 − p)n − np(1 − p)n−1 1 − (1 − p)n

=1−

np(1 − p)n−1 1 − (1 − p)n

Ahora bien, queremos comparar P (X ≥ 1) con P (X ≥ 2|X ≥ 1). Para ello, definimos n−1

1 − np(1−p) P (X ≥ 2|X ≥ 1) 1−(1−p)n Q= = . P (X ≥ 1) 1 − (1 − p)n El empresario afirm´ o que ese cociente es menor a 1. Manipular esa expresi´on no es tarea sencilla, por lo que necesitaremos alg´ un argumento no anal´ıtico para ver si eso es cierto. Pensemos a Q como una funci´ on real multivariable Q(n, p), y fij´emonos s´olo en (n, p) ∈ N ∪ {0} × (0, 1). Lo que queremos es ver c´ omo se comporta ese cociente en donde hay una cantidad positiva de pasajeros, cada uno con probabilidad p de llevar una bomba. La gr´afica de Q en ese dominio se ve as´ı:

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(a)

(b)

Figura 1: Gr´ afica en el dominio de inter´es En ella, p se grafic´ o en el eje de las x, n en el eje de las y, y el cociente Q en el eje de las z, todo esto para que se viera con mayor claridad. Y el resultado es bastante interesante. Pareciera que, en el dominio que nos interesa, el cociente es casi igual al plano z = 1, es decir, el cociente es pr´ acticamente igual a 1. Para ver qu´e tan similar a 1 es, a continuaci´on mostramos la misma gr´ afica, pero con el plano z = 0,999 y luego con el plano z = 1,0000000001. Veamos.

(a)

(b)

Figura 2: Gr´ afica con los dos planos Se ve que, en pr´ acticamente todo el dominio que nos interesa, Q est´a entre esos dos planos, es decir, 0,999 < Q < 1,0000000001. Eso quiere decir que ese cociente no es m´as que un 1 disfrazado de expresiones complicadas. As´ı pues, tenemos que Q(p, n) ≈ 1 ⇐⇒

P (X ≥ 2|X ≥ 1) ≈ 1 ⇐⇒ P (X ≥ 2|X ≥ 1) ≈ P (X ≥ 1). P (X ≥ 1)

Hay varias observaciones que hacer. Primero, incluso despu´es de seguir el razonamiento del empresario, llegamos a una conclusi´ on distinta a la que ´el lleg´o. Pareciera que, si sabemos que hay una bomba en el avi´ on, es igual de probable que m´as personas lleven otra bomba a que, en general, alguien lleve una bomba en el avi´on. Sin embargo, se puede ver que, si (n, p) → (0, 0), el cociente Q deja de tender a 1. La explicaci´on es la que se dio al inicio: el

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empresario no tiene probabilidad p de llevar una bomba. Para solucionar este problema, s´olo habr´ıa que repetir el modelo, pero con los otros n − 1 pasajeros (X ∼ Binom(n − 1, p)), y calculando s´ olo P (X ≥ 1), la probabilidad de que haya al menos una bomba en el avi´on. Es evidente que esta probabilidad depende de los otros pasajeros y no del empresario. Luego, si el empresario decide llevar una bomba, entonces P (X ≥ 1) sigue sirviendo como la probabilidad de que haya m´ as bombas en el avi´ on, dado que el empresario ya lleva una bomba. As´ı pues, es claro que la decisi´ on del empresario no altera la probabilidad de que alguien m´as lleve una bomba, por lo que se llega al mismo resultado.

Conclusiones En este art´ıculo analizamos a fondo un problema que, a simple vista, parec´ıa trivial, concluyendo que el empresario necesitar´ıa pensar en otra soluci´on, como sonaba l´ogico. Para ello, introdujimos y utilizamos ideas b´ asicas de la teor´ıa de probabilidad. El resultado m´ as interesante que obtuvimos fue que, siguiendo la l´ogica del empresario, llegamos a que P (X ≥ 1) ≈ P (X ≥ 2|X ≥ 1) si n no es chico (como el n´ umero de pasajeros en un vuelo comercial) y p no est´ a cerca de 0. Esto resulta interesante porque la distribuci´ on binomial, en general, no es una distribuci´on sin memoria, como la exponencial. Sin embargo, es sensato asumir que p ≈ 0, por lo que el modelo que el empresario us´ o (y que llevamos a sus u ´ltimas consecuencias en el presente art´ıculo) no se comporta como dijimos, y habr´ıa entonces que replantear las cosas como se sugiri´ o al final de la secci´ on anterior (aunque los c´ alculos son casi iguales a los ya hechos). Como dir´ıa una maestra m´ıa, llevando una bomba al avi´on, ni yendo a bailar a Chalma1 ser´a menos probable que alguien m´ as tambi´en lleve otra bomba. Finalmente, quisiera agradecer al Dr. V´ıctor Aguirre, del Departamento de Estad´ıstica del ITAM, por su ayuda y consejo en la realizaci´ on del presente art´ıculo.

Referencias [1] Casella, George y Berger, Roger L. Statistical Inference. Duxbury, California, 2002. [2] Mood, Alexander M., et al. Introduction to the Theory of Statistics McGraw Hill. Singapore, 1974. [3] Ross, Sheldon. A First Course in Probability Theory. Pearson Prentice Hall, New Jersey, 2006.

1 Chalma

es un pueblo en el Estado de M´ exico. La gente va a bailar ah´ı para pedir milagros.

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Activa tus neuronas

Activa tus neuronas N´ umeros escondidos Una maestra piensa en dos n´ umeros naturales mayores a 1. A uno de sus alumnos, Alonso, le dice el producto. Y a otro de ellos, Bernardo, la suma. Luego, Alonso y Bernardo tienen la siguiente conversaci´on: A: No s´e cu´ al es la suma. B: Ya sab´ıa eso. La suma es menor a 14. A: Ya sab´ıa eso. Y ahora ya s´e cu´ ales son los n´ umeros. B: Entonces yo tambi´en lo s´e. ¿Cu´ ales son los n´ umeros?

Final de econom´ıa En tu final de econom´ıa te dan una calculadora descompuesta en alg´ un d´ıgito entre 0 y 9. Al pulsar una tecla aparece otro de los d´ıgitos pero no el que corresponde. Al poner el n´ umero 987654321 aparece en pantalla otro distinto y resulta que es divisible por 11. Adem´as, al dividirlo por 9 se obtiene de resto 3. ¿Sabr´ıas decirnos qu´e tecla es la que est´ a rota? ¿Cu´ al es el n´ umero que apareci´o en la pantalla?

Podando el c´ esped Imagina que deseas podar el c´esped con un patr´ on de tablero de ajedrez, pero debes de considerar lo siguiente: Tu podadora solo puede podar una columna o fila a la vez. Procedes escogiendo una columna o una fila y debes de continuar podando hasta que llegues al otro lado del tablero. Te puedes mover a trav´es de cuadros que ya hayas podado con la condici´on de que exista un cuadro en la misma columna/fila que falte de podar. Si A es el n´ umero m´ınimo de veces que debes de cruzar el tablero y B es el n´ umero m´aximo, ¿Cu´ anto vale A + B?

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laberintos e infinitos

Cortando el pastel Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producir´ a probablemente cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes. ¿Cu´ al es el mayor n´ umero de partes que puedes lograr con seis rectos?

Dilema de los prisioneros Hay 6 prisioneros y el guardia decide jugar el siguiente juego. Los prisioneros ser´ an seleccionados equiprobablemente con remplazo. Dentro del cuarto donde est´ an hay un apagador de luz y un bot´ on. Cada prisionero al ser seleccionado puede hacer lo que quiera con el apagador. Los prisioneros seguir´an siendo seleccionados aleatoriamente hasta que un prisionero presione el bot´ on. Los prisioneros ser´an libres si al presionar el bot´on ya todos fueron seleccionados. No hay comunicaci´ on entre los prisioneros ya que comenz´o el juego y la l´ampara comienza apagada. Sin embargo, pueden hacer un plan antes de empezar el juego. ¿Cu´al es el menor n´ umero de veces que la l´ ampara ser´ a encendida garantizando que ser´an liberados?

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Zona ol´ımpica

Zona Ol´ımpica 1. Sea n un entero mayor que 1 y sean a, b y c complejos tales que: a + b + c = an + bn + cn = 0 ¿Pueden ser los m´ odulos de los tres n´ umeros distintos? 2. ¿De cu´ antas formas se puede arreglar el vector (a1 , . . . , a2n ), con elementos en el multiconjunto {1, 1, 2, 2, . . . , n, n} de tal forma que todas las entradas que se encuentren entre las ocurrencias del valor i excedan el valor i y no existan tres entradas que se incrementen de izquierda a derecha con las u ´ltimas dos entradas adyacentes? (Un ejemplo de esta u ´ltima propiedad: con n = 3, ocurre en 122133.) 3. Para n ≥ 1 sea f (n) el u ´ltimo d´ıgito significativo (distinto de cero) de n!. Para n ≥ 2 probar que f (625n) = f (n). 4. Lau y Kevin jugar´ an un juego. Comenzando con eun n´ umero entero positivo n, toman turnos cambiando el n´ umero dado. Lau tiene el primer turno. Cada jugador puede cam biar el n´ umero que est´ a por k, k − 1 o k2 . La persona que cambie el n´ umero a 1 o 0 gana. Como ejemplo, si n = 3 entonces k toma los valores 3, 2, 1, en ese orden, y Lau gana. Cuando n = 4 Lau gana si y s´ olo si su primer movimiento es 2. ¿Para qu´e valores iniciales de n exise una estrategia ganadora para Lau? 5. Una matriz de permutaci´ on sudoku (MPS) de orden n2 es una matriz de permutaci´on 2 de orden n con exactamente un 1 en cada una de las n2 submatrices de orden n que se obtienen al particionar la matriz original en un arreglo de n por n submatrices. Entonces, para n = 2, la permutaci´ on 1324 nos da una MPS, pero la permutaci´on de identidad 1234 no. ¿Cu´ antas MPS’s existen de orden n2 ? 6. Sea f : (0, ∞) → R una funci´ on decreciente que satisface f (x)e−f (x) = xe−x . Muestra que Z ∞ 1 1 2π 2 x− 6 (f (x)) 6 dx = . 3 0 7. Encuentra el valor de la suma ∞ X k=2

(2k + 1)Hk2 , (k − 1)k(k + 1)(k + 2)

en donde Hk es el k-´esimo n´ umero arm´ onico, definido como

Pk

1 j=1 j .

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8. Sean x1 , . . . , xn n´ umeros reales. Probar que √ x2 xn x1 + + ··· + < n 1 + x21 1 + x21 + x22 1 + x21 + · · · + x2n para toda n ≥ 1. 9. Para p, un n´ umero real positivo, y x ∈ (0, 1), se define la sucesi´on (xn ) por x0 = 1, x1 = x y para n ≥ 1, pxn−1 xn + (1 − p)x2n . xn+1 = (1 + p)xn−1 − pxn Encuentra n´ umeros reales positivos α y β tales que l´ımn→∞ nα xn = β. 10. Dada a ∈ [0, 2] sea (an ) una sucesi´ on definida por a1 = 1 y an+1 = 2n − para n ≥ 1. Calcula ∞ X a2n .

p

2n (2n − an )

n=1

Busca las respuestas aqu´ı:

Pregunta de Erd˝ os n jugadores juegan blackjack continuo. En el turno del jugador k, este considera aceptar un n´ umero aleatorio Xk proveniente de una distribuci´ on uniforme en [0, 1]. Si acepta, entonces Xk es su puntaje; si no acepta, entonces se le da un segundo n´ umero Yk de la misma distribuci´ on, con lo cual su puntaje es Xk + Yk si Xk + Yk < 1 y 0 en otro caso. El jugador con el puntaje m´ as alto resulta vencedor indiscutible. Da una estrategia de cu´ando el jugador k debe pedir un segundo n´ umero en t´erminos de k, n, el resultado de Xk y el mayor puntaje obtenido hasta el momento.

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Tendiendo al infinito

Del ITAM a Oxford Entrevista con Rodrigo Mendoza Smith

Laberintos & Infinitos (L&I): ¿Por qu´ e decidiste estudiar Matem´ aticas Aplicadas? Rodrigo Mendoza (RM): Originalmente entr´e a la Licenciatura en Actuar´ıa y Matem´aticas. Me interes´ o Actuar´ıa porque era muy popular en ese entonces y cre´ıa que era una buena carrera, pero siempre me gustaron m´ as las matem´ aticas y es por eso que met´ı ambas carreras. Finalmente me di cuenta que la actuar´ıa no era lo m´ıo y me quede con matem´aticas. L&I: ¿Cambi´ o tu perspectiva de las Matem´ aticas mientras estudiabas? RM: S´ı, definitivamente. Como cualquier persona, cre´ıa que las matem´aticas son lo que aprendes en la preparatoria: resolver problemas y llegar a resultados. Lo que me cambi´o la perspectiva fue entrar en contacto con la estad´ıstica, con el c´omputo num´erico y con materias como an´ alisis. Descubres que las matem´ aticas pueden ser muy aplicables y que no s´olo se trata de resolver problemas sino que hay un aspecto creativo, y que muchas veces es m´as dif´ıcil definir el problema que resolverlo. L&I: ¿Cu´ ales fueron los cursos que tomaste en la carrera que m´ as te gustaron? RM: Definitivamente fueron los de An´ alisis y Teor´ıa de la Medida, pero creo que el curso ´ que mejor entend´ı fue Algebra Lineal y cuando comprend´ı todas sus posibles aplicaciones me pareci´ o una rama muy atractiva, por lo que quise adentrarme m´as en eso. L&I: ¿Hay algo que cambiar´ıas en el plan de estudios de la carrera? RM: En primer lugar, a˜ nadir´ıa un componente de computaci´on un poco m´as estricto. Cuando yo estudi´e exist´ıa una materia que se llamaba Introducci´on a la Computaci´on, despu´es se cursaba Algoritmos y Programaci´ on y finalmente ten´ıamos Estructuras de Datos Avanzados. De esas tres materias, las dos primeras me parecieron totalmente innecesarias. Creo que se podr´ıa fortalecer un poco el aspecto computacional ense˜ nando a los matem´aticos como programar bien, por ejemplo introducirlos desde el inicio de la carrera a la Programaci´on Orientada a Objetos, las Estructuras de Datos y familiarizarlos con Linux. Pienso que la carrera de Matem´ aticas tiene un vac´ıo en esta ´ area. En la actualidad no se puede ser matem´atico aplicado sin un buen nivel de programaci´ on o sin hacer software. Quiz´as tambi´en se deber´ıan repensar ciertas materias. Por ejemplo, Geometr´ıa Anal´ıtica I y II podr´ıan unirse en una materia al ´ igual que C´ alculo I y II. Tambi´en creo que Algebra Lineal deber´ıa darse en semestres m´as cercanos al inicio de la carrera.

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laberintos e infinitos

L&I: ¿Hay alg´ un recuerdo en especial que conserves de tus a˜ nos de estudio en el ITAM? RM: Recuerdo muy bien haber estado en la representaci´on de la Licenciatura en Matem´aticas Aplicadas del ITAM. Fueron tiempos muy padres en los que tuve la oportunidad de organizar pl´ aticas y eventos con el objetivo de orientar la carrera hacia lo que en ese entonces me interesaba. Tambi´en recuerdo muchos buenos momentos con mis amigos en el ITAM. Encuentras gente para toda la vida, es lo que m´ as recuerdo. L&I: ¿Consideras que la carrera te prepar´ o adecuadamente para tu desarrollo profesional y laboral posterior? Pienso que me prepar´ o muy bien. Sin embargo, en mi primer empleo tuve que llenar algunos huecos que ten´ıa en el ´ area de programaci´ on y desarrollo de software. L&I: ¿C´ omo fue tu primera experiencia profesional? ¿C´ omo has evolucionado en este aspecto? RM: La primera fue haciendo pr´ acticas mientras hac´ıa mi tesis en el Laboratorio de Gen´omica Computacional del INMEGEN. Result´ o muy interesante, pues el trabajo consist´ıa en combinar estad´ıstica, c´ omputo y biolog´ıa. Tuve que aprender biolog´ıa sobre la marcha, pero sin duda el ITAM me prepar´ o muy bien para ese trabajo. Mi primera experiencia laboral despu´es de graduarme fue en una startup que hac´ıa an´ alisis de datos grandes. Yo hac´ıa modelos de aprendizaje de m´ aquina para analizar datos en Twitter; la experiencia fue buena, pero creo que al principio estaba en cierta desventaja por el aspecto computacional. No ten´ıa buenas bases en desarrollo de software, y tambi´en tuve que aprenderlo sobre la marcha. L&I: ¿C´ omo describir´ıas la imagen que se tiene de un matem´ atico aplicado del ITAM en el mundo profesional, fuera del entorno puramente acad´ emico? RM: Yo creo que tiene una buena imagen, en general la gente del ITAM es bien percibida y m´ as los alumnos de Matem´ aticas Aplicadas; a m´ı me toc´o convivir con gente muy talentosa, muy capaz, muy interesante, muy apta para alcanzar sus metas y a la que admiro mucho. L&I: ¿Crees que la carrera te prepar´ o adecuadamente para proseguir tu formaci´ on acad´ emica en la Maestr´ıa y el Doctorado? RM: Definitivamente. La carrera en el ITAM es muy completa y tiene un curr´ıculum bastante particular. Sus componentes de computaci´ on, estad´ıstica, c´omputo num´erico y matem´aticas te´ oricas forman una mezcla inusual entre los Departamentos de Matem´aticas del mundo. Me parece muy admirable que quienes idearon el programa sab´ıan que el c´omputo num´erico, la estad´ıstica y la computaci´ on iban a ser tan importantes hoy en d´ıa. L&I: ¿Te fue dif´ıcil adaptarte a la maestr´ıa? RM: Fue un poco dif´ıcil, pues tuve que estudiar muchos temas nuevos para m´ı, como ecuaciones diferenciales, f´ısica, o computo num´erico enfocado a ecuaciones diferenciales. En este sentido, aunque en el ITAM se imparten materias de estad´ıstica, c´omputo num´erico y matem´ aticas te´ oricas, pr´ acticamente no se hace ´enfasis en los problemas f´ısicos. Muchos departamentos de Matem´ aticas Aplicadas en el extranjero se enfocan mucho en problemas f´ısicos 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 52

Tendiendo al infinito

como fluidos, modelaci´ on biol´ ogica o resoluci´ on de ecuaciones diferenciales, y eso es algo que aqu´ı en el ITAM puedes tomar si quieres, pero no es obligatorio. L&I: ¿A qu´ e te refieres con Modelaci´ on? RM:Me refiero a describir un sistema f´ısico, por ejemplo el movimiento de un fluido con ecuaciones diferenciales, o un proceso gravitacional o de fusi´on. Cuando estaba en la maestr´ıa, el primer d´ıa vi ecuaciones de Navier-Stokes, no ten´ıa idea de lo que estaba viendo. L&I: ¿Podr´ıas hacer una rese˜ na de tu trayectoria profesional? ¿En este momento a qu´ e te dedicas y cu´ ales son las herramientas te´ oricas que aprendiste en la carrera que m´ as aplicas en el d´ıa a d´ıa? RM: Estudi´e Matem´ aticas Aplicadas en el ITAM, despu´es trabaj´e en el INMEGEN haciendo an´ alisis de datos gen´ omicos. Despu´es trabaje en un startup de an´alisis de datos en Twitter, haciendo cosas como aprendizaje de m´ aquina para poder obtener un inside de perspectivas de los datos. Estas dos experiencias fueron muy fruct´ıferas en el sentido de que me ayudaron a rellenar aspectos que en la carrera no se cubren con tanto detalle. En este momento soy estudiante de Doctorado en Matem´ aticas Aplicadas, trabajo en el grupo de an´alisis num´erico y me dedico a hacer investigaci´ on. Estoy empezando una carrera docente en matem´aticas. Lo ´ que m´ as aplico en mi d´ıa a d´ıa es lo que aprend´ı en Algebra Lineal, en cursos de optimizaci´ on y programaci´ on. Tambi´en materias como Probabilidad y Estad´ıstica fueron muy u ´tiles aunque las uso con menor frecuencia. L&I: ¿C´ omo fue que decidiste hacer una maestr´ıa en Modelaci´ on Num´ erica y Computacional? RM: Sent´ı que el ITAM me hab´ıa dado muy buenas bases de Estad´ıstica, y C´alculo Num´erico, Optimizaci´ on e incluso de matem´ aticas m´ as puras como An´alisis Funcional y Teor´ıa de la Medida. Yo sab´ıa que quer´ıa hacer una carrera acad´emica y un doctorado en Matem´aticas Aplicadas o en Matem´ aticas. Sin embargo, sent´ıa sab´ıa muy poco de Modelaci´on Matem´atica. La carrera del ITAM est´ a muy enfocada a datos, al aspecto estad´ıstico pero me di cuenta que en otras partes del mundo los Matem´ aticos Aplicados se dedican con mucha frecuencia a problemas de Ingenier´ıa. Adem´ as, yo quer´ıa dedicarme al an´alisis num´erico y pens´e que la maestr´ıa me ayudar´ıa a ingresar al doctorado que yo quer´ıa. L&I: ¿Consideraste otros programas para la maestr´ıa o por qu´ e elegiste ir a Oxford? RM: Oxford tiene uno de los departamentos de An´ alisis Num´erico m´as reconocidos del mundo, mi decisi´ on no se bas´ o en la universidad, sino en los investigadores de cada departamento. Adem´ as hay muchas becas para estudiar en Oxford. L&I: ¿Hay muchas becas en Oxford? RM: Las hay, adem´ as a m´ı me dieron una beca de manutenci´on.

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L&I: ¿Por qu´ e le recomendar´ıas a un joven que estudiara Matem´ aticas Aplicadas en el ITAM? RM: Porque es una carrera muy vers´ atil que te permite dedicarte despu´es a casi lo que quieras, yo me dediqu´e a la investigaci´ on, pero tengo otros amigos a quienes les gustaron las finanzas o la banca y todos fueron muy exitosos y encontraron empleo en lo que ellos quer´ıan, tambi´en amigos dedicados al desarrollo de software que trabajan en las mejores empresas del mundo. Yo creo que te prepara muy bien para hacer lo que quieras despu´es. En estos tiempos b´ asicamente todo gira alrededor de lo cuantitativo, entonces qu´e mejor que tener un t´ıtulo en Matem´ aticas Aplicadas. L&I: ¿Cu´ al es tu l´ınea de investigaci´ on? RM: Me dedico al estudio y an´ alisis de algoritmos para hacer c´omputo con modelos de datos dispersos de rango bajo. Lo que hago b´ asicamente es dise˜ nar algoritmos para poder hacer c´ omputo o resolver sistemas definidos con poca informaci´on. L&I: ¿Qu´ e lenguajes ocupas? RM: En general MATLAB pero tambi´en hago computo en GPUS con CUDA y C. L&I: ¿C´ omo te ves dentro de 10 a˜ nos? RM: No s´e, definitivamente me gustar´ıa seguir investigando, de preferencia en la rama que estoy trabajando ahora. Definitivamente me veo haciendo investigaci´on pero no s´e si en la Academia o en la Industria. L&I: ¿Cu´ al crees que sea el futuro de tu ´ area de investigaci´ on? ¿Tiene posibles aplicaciones? RM: Tiene muchas aplicaciones. En el siglo XX, la econom´ıa gir´o en torno a la industria automotriz y la computacional; en el sigo XXI va depender de la industria de la Inteligencia Artificial, en particular aplicada a la biolog´ıa. Hoy en d´ıa suena muy de ciencia ficci´on, pero es secretamente la ambici´ on de cada investigador que est´a trabajando en esta ´area: poder materializar la inteligencia artificial. Cuando hablo de biolog´ıa me refiero a modificar organismos, crear nuevas bacterias que puedan sintetizar basura o producir combustible y para dise˜ nar esta bacteria o crear estos organismos se necesita entender el genoma humano. Se necesita much´ısima estad´ıstica, ya que el genoma humano es inmenso. No hay manera en que el ser humano pueda entenderlo sin herramientas computacionales o estad´ısticas que le ayuden a analizarlos. Yo creo que la que sepa hacer estad´ıstica y ciencia de datos interesada por estos temas va a tener much´ısimas oportunidades laborales.

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En el horizonte

¿Las matem´ aticas se inventan o se descubren? Desde la redacci´on “Las matem´ aticas son la creaci´ on m´ as bella y m´ as poderosa del esp´ıritu humano” Stefan Banach

“La naturaleza est´ a escrita en lenguaje matem´ atico” Galileo Galilei

Se ha dicho que las matem´ aticas son el lenguaje que utiliz´o Dios para crear el mundo; otros dijeron que son la manifestaci´ on terrenal de lo divino. Lo cierto es que describen el mundo real con gran precisi´ on. Son de car´ acter universal, y hasta sus rincones m´as abstractos han encontrado alguna aplicaci´ on pr´ actica en el complejo mundo en el que vivimos. Pero ¿son las matem´ aticas como cualquier otra herramienta inventada por los humanos, o est´an siempre ah´ı, escondidas, listas para ser descubiertas? En busca de responder semejante cuestionamiento, hace algunas semanas invitamos en las redes sociales de Laberintos e Infinitos a responder la pregunta “¿Las matem´aticas se inventan o se descubren?”. Curiosamente, se gener´ o un debate entre alumnos que utilizaban muy buenos argumentos. Entre los comentarios m´ as interesantes que recibimos est´an los siguientes: Quiz´ as ambas. La forma (representaci´ on) es dada por quien las entiende pero su materia (sustancia) se sigue necesariamente de los principios l´ ogicos que se presuponen, por lo que de alguna forma ya existen aunque de forma ausente. –Mario Enrique Carranza Barrag´an Hay matem´ aticos que trabajaron mucho en construir toda la teor´ıa de ´ algebra y de los n´ umeros asumiendo u ´nicamente los axiomas de los n´ umeros naturales (Peano), para despu´es crear todas las estructuras algebraicas, los racionales, los n´ umeros reales, y los complejos. Y a partir de ah´ı se puede desarrollar todo lo dem´ as. –Andreu Boada de Atela Sin embargo, nos quedamos con ganas de m´ as, por lo que se nos ocurri´o que el siguiente paso ser´ıa invitar a los profesores del ITAM a responder la pregunta. Una vez m´as, las respuestas que obtuvimos fueron variadas, pero no por eso menos satisfactorias: Las matem´ aticas se inventan para plantear y resolver problemas originados en las ciencias y la tecnolog´ıa. La teor´ıa m´ as abstracta y la m´ as elemental comparten un origen com´ un: resolver un problema pr´ actico. La evoluci´ on y desarrollo de las matem´ aticas son productos del intelecto, de la observaci´ on, la abstracci´ on y de un profundo e innato deseo por comprender la naturaleza. Los ejemplos abundan. –Jos´e Luis Morales P´erez 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 55

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Las matem´ aticas nos permiten describir el comportamiento de algunos fen´ omenos que ocurren en la naturaleza, en ese sentido las matem´ aticas se descubren. Sin embargo, existen fen´ omenos que no tienen una sola representaci´ on matem´ atica, como los fen´ omenos aleatorios, en este sentido las matem´ aticas se inventan y dependiendo de la creatividad del investigador la descripci´ on matem´ atica puede representar algunas o muchas de las caracter´ısticas del fen´ omeno. –Luis Enrique Nieto Barajas Las dos cosas. Por una parte, el estudio de las Matem´ aticas se ocupa de investigar o descubrir las propiedades de los distintos objetos matem´ aticos que forman el acervo de la disciplina, as´ı como las relaciones que existen entre ellos. Sin embargo, tambi´en es cierto que ese mismo descubrimiento conduce a proponer o inventar nuevos objetos con nuevas propiedades. –Manuel Mendoza Ram´ırez He tratado de recordar un texto famoso de un matem´ atico reconocido del siglo antepasado, pero no consigo dar con ´el, ni si quiera recordar su nombre. La tem´ atica, como habr´ an observado en las redes sociales, es muy disonante; hay bandos que defienden a capa y espada su punto y, lo mejor de todo, en cada uno de estos bandos hay una legi´ on. De todos modos, te encuentras con las personas que est´ an en el punto medio, donde se discute que probablemente las matem´ aticas existen per se, pero que somos nosotros los que le damos una construcci´ on propia para su entendimiento. Yo pertenezco a este u ´ltimo grupo. ¿Las razones? Si se observa la historia de las matem´ aticas, se puede ver que cada poblaci´ on ha encontrado un camino a las matem´ aticas, donde lo que se descubre es a grandes rasgos lo mismo. Es decir, las matem´ aticas est´ an ah´ı, las descubrimos. Sin embargo, cada etnia dota este conocimiento de su propia cosmovisi´ on y de su idiosincrasia, las inventamos. Pero lo mejor de todo es que cada invento para visualizar ese mundo fabulant´ astico nos muestre ´ angulos distintos y con ellos desarrollos complementares que simplifican las cosas. Cuando dicen que los mayas ten´ıan matem´ aticas m´ as avanzadas que las nuestras, lo dudo. Son diferentes, s´ı, desde esa manera de filosofarlas con otro sentido, pero no superiores ni inferiores. Si alguien consiguiera extraerlas y entenderlas, se les dar´ıa una nueva explosi´ on de ideas a matem´ aticas que s´ olo pueden ser comprendidas en esa intersecci´ on. –Pablo Casta˜ neda Las matem´ aticas, como todo quehacer humano, est´ an condicionadas a la sociedad y al tiempo en que se desarrollan. Bajo esta perspectiva, y si entendemos al verbo “descubrir” como el de encontrar algo que ya existe por si solo (independiente del que lo descubre), la respuesta a la pregunta es que se “inventan”, en el sentido que son construidas por una sociedad en un tiempo determinado. A m´ı, en particular, me gusta m´ as el verbo “construir” que “inventar” o “descubrir”. 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 56

En el horizonte

Como ejemplo pensemos en c´ omo se construye el objeto matem´ atico “c´ırculo”. En la antig¨ uedad quiz´ as la manera m´ as familiar para entender el c´ırculo era como la forma de una rueda o como aquel trazo que se obtiene al mover un hilo tenso –de medida constante (radio)– alrededor de un lugar fijo; despu´es de Descartes, la cultura occidental une esta concepci´ on primaria con el lenguaje del ´ algebra para describir al c´ırculo mediante la expresi´ on: (x−a)2 +(y −b)2 = r2 , enriqueciendo el concepto como aquella colecci´ on infinita de puntos (x, y) que cumplen la ecuaci´ on, y entendiendo al trazo como la l´ınea o colecci´ on de puntos que distan en r de un punto (a, b) situado en un plano cartesiano. ¿El c´ırculo, como objeto matem´ atico, es el mismo para el hombre griego que para el hombre moderno? Mi intuici´ on es que no. Se puede ver el desarrollo de las matem´ aticas como esta continua creaci´ on y enriquecimiento de conceptos. Pero este desarrollo siempre va ligado a una sociedad y un lenguaje com´ un compartido por esta sociedad. Otras sociedades pueden construir conceptos diferentes o los mismos conceptos de otra manera. Incluso dentro de una misma sociedad, diferentes grupos pueden tener diferentes maneras de ver los conceptos y diferentes herramientas para trabajar con ellos, y no ser´ an necesariamente los mismos hoy que en 100 a˜ nos. Para contestar la pregunta bajo mi humilde percepci´ on y usando un lenguaje diferente, con probabilidad cercana a 1 las matem´ aticas se “inventan”, en lugar de “descubrirse”. –Edgar Possani As´ı pues, es evidente que no existe un consenso general acerca de la naturaleza del origen de las matem´ aticas. Empero, el debate que se genera en torno a dicha pregunta nos da una idea de qu´e opinan personas que se dedican tanto al estudio como a la ense˜ nanza de ellas. Quiz´as, incluso, nunca podremos contestar con certeza la pregunta. Pero que esto no nos detenga de filosofar y preguntarnos de d´ onde vienen las matem´ aticas. Y t´ u, querido lector, ¿qu´e opinas?

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La constante del c´ırculo: ¿π o τ ? Juan Bernardo Mart´ınez Parente Casta˜ neda Estudiante de Matem´ aticas Aplicadas del ITAM

Breve historia de π No se sabe a ciencia cierta desde cu´ ando la humanidad descubri´o que la raz´on de la circunferencia de un c´ırculo con su propio radio es constante. Lo que s´ı sabemos es que el valor exacto de π ha sido calculado un sinn´ umero de veces, al principio de forma meramente pr´ actica y despu´es te´ orica, al menos desde hace 4 mil a˜ nos. Aunque en la historia han existido aproximaciones aberrantes para los ojos actuales (como lo que hicieron los chinos y a˜ nos m´ as tarde la Biblia, en donde se infiere que π = 3), siempre ha habido quien sintiera la necesidad de calcular el n´ umero con la mayor precisi´on posible. El primer c´ alculo te´ orico fue obtenido por Arqu´ımedes de Siracusa. Utiliz´ o un argumento puramente geom´etrico basado en pol´ıgonos circunscritos e inscritos por un c´ırculo (para conocerlo a detalle, v´ease [A history of pi]), y concluy´ o que 223 22 <π< . 71 7 Si estimamos π calculando el promedio de ambas cotas, vemos que π ≈ 3.1418, un valor aceptablemente cercano a la realidad considerando el contexto. Desde entonces, matem´ aticos chinos, ´arabes, indios y europeos utilizaron sus propios m´etodos para calcular π con mayor exactitud. Se lograron calcular hasta 35 posiciones decimales. El Renacimiento trajo consigo herramientas que permitieron el hallazgo de nuevos m´etodos para calcular el valor de π. Muchas de ellas estaban basadas en series infinitas. Algunos ejemplos relevantes son los obtenidos por el matem´ atico franc´es Fran¸cois Vi`ete, quien en 1593 demostr´ o que qp √ √ p √ 2+ 2 2 2 2+ 2 = · · ··· π 2 2 2 o la del escoc´es James Gregory, que en 1671 prob´ o que π 1 1 1 = 1 − + − + ··· . 4 3 5 7

Figura 1: π se puede aproximar calculando los per´ımetros de pol´ıgonos circunscritos e inscritos.

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En el horizonte

Es f´ acil imaginar c´ omo el desarrollo del c´ alculo, la trigonometr´ıa o la probabilidad, entre otros, dispararon el inter´es en su estudio. Durante las siguientes d´ecadas se probaron resultados importantes, como la irracionalidad y la trascendentalidad de π. Todo pudo haber concluido ah´ı. Seg´ un Arndt y Haenel [1], basta con 39 d´ıgitos decimales para hacer c´ alculos cosmol´ ogicos, pues eso es suficiente para calcular la circunferencia del universo observable con precisi´ on at´ omica. Sin embargo, el advenimiento de la computaci´on permiti´o el c´ omputo de much´ısimos m´ as decimales con mayor precisi´on. Neumann y Reitwiesner se apoyaron en ENIAC para calcular 2,037 d´ıgitos decimales (proceso que requiri´o alrededor de 70 horas) (cfr. [1]). En 1973 se calcul´ o el primer mill´ on de d´ıgitos y en 2013 (el r´ecord actual), se lleg´ o a 12.1 billones d´ıgitos. Por u ´ltimo, vale la pena decir que la letra griega que utilizamos para denotar al numerito del que hablamos fue utilizada por primera vez por un matem´atico gal´es, William Jones, hace poco m´ as de 200 a˜ nos. Euler, por su parte, utilizaba las letras p y c, pero tras leer textos de Jones, decidi´ o adoptar el s´ımbolo en 1737. Es a ´el a quien debemos el uso generalizado de dicha letra.

π est´ a mal En 2001, Bob Palais, profesor del departamento de matem´aticas de la Universidad de Utah, public´ o una columna en The Mathematical Intelligencer [4] en la que present´o sus argumentos para decir que π est´ a “mal” en cuanto a que es confuso y no natural. “No cuestiono su irracionalidad, su trascendentalidad o su c´ alculo num´erico, sino la elecci´on del n´ umero al que otorgamos un s´ımbolo que transmite un profundo significado num´erico. El valor correcto que merece toda reverencia y adulaci´ on dadas al actual impostor es el n´ umero que ahora conocemos, lamentablemente, como 2π”, dice Palais antes de explicar el problema mediante la siguiente analog´ıa: ense˜ narle a los alumnos de geometr´ıa y trigonometr´ıa que ◦ un cuarto de giro equivale 360 /4 pero, a su vez, a π/2 es como si dej´aramos a los relojes como son pero redefini´eramos la medici´ on del tiempo con horas compuestas por 30 minutos. As´ı, 15 minutos equivaldr´ıan a media hora pero a un cuarto de giro del reloj.

Figura 2: S´ımbolo que representa 2π.

Palais procede a proponer un curioso s´ımbolo (figura 1) para denotar el valor de 2π. En su columna se limita a mostrar c´ omo varias f´ ormulas famosas se “simplificar´ıan” si dicho s´ımbolo se utiliza. Lo que no sab´ıa es que su propuesta generar´ıa todo un movimiento que plasmar´ıa y ampliar´ıa sus ideas nueve a˜ nos despu´es en The Tau Manifesto, escrito por Michael Hartl, doctor en f´ısica te´orica por la Universidad de Caltech.

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En el Manifesto, Hartl explica c´ omo es poco probable que la idea de Palais sea generalmente aceptada, principalmente debido al extra˜ no s´ımbolo sugerido. Propone entonces una simple soluci´ on: utilizar la letra griega τ como alternativa para denotar 2π. Sobra decir que todas sus propiedades se mantienen, si es que con ligeras modificaciones meramente algebraicas, incluyendo la irracionalidad y trascendentalidad. Adem´as, as´ı se simplifican la distribuci´on normal, (x−µ)2 1 f (x) = √ e− 2σ2 ; τσ la transformada de Fourier, Z

∞

F (k)eτ ikx dk;

f (x) = −∞

la f´ ormula de Euler,

τ

ei 2 = 1; la periodicidad de las funciones trigonom´etricas, sin(x + τ ) = sin(x) (etc´etera); la constante de Planck, ~= la aproximaci´ on de Stirling,

h ; τ 1

n! ≈ (nτ e) 2 nn e−n ; entre muchas otras.

Ejemplos y contraejemplos En r´eplica al movimiento, se public´ o The Pi Manifesto un a˜ no despu´es. En ´el, se asegura que los “tauistas” hacen m´ as mal que bien y se dan razones para sustentar la prevalencia de π. En primer lugar, existen tantas f´ ormulas que se simplifican con τ como con π. Sin embargo, la parte central del debate quiz´ a sea la idea de que “desde la perspectiva de un principiante, utilizar π en lugar de τ es un desastre pedag´ ogico”. [2] Veamos un ejemplo. En primer lugar, los tauistas aseguran que es m´as f´acil entender el concepto de ´ angulo si utilizamos τ . As´ı, suena mucho mejor decir que una vuelta son 360◦ = τ , media vuelta son 180◦ = τ2 y un cuarto de vuelta son 90◦ = τ4 que decir que una vuelta 360◦ = 2π, media vuelta son 180◦ = π y un cuarto de vuelta son 90◦ = π2 (figura 3).

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Figura 3: Conceptualmente es m´ as claro medir ´angulos utilizando τ . Aunque lo anterior es v´ alido, los piistas tienen un argumento similar: el ´area del c´ırculo unitario es π, el ´ area de medio c´ırculo unitario es π2 y el ´area de un cuarto de c´ırculo unitario es π4 y as´ı sucesivamente. En contraste, cambiando a τ , nos topamos con que el ´area del c´ırculo unitario es τ2 , el ´ area de medio c´ırculo unitario es τ4 y el ´area de un cuarto de c´ırculo π unitario es 8 , etc. (figura 4).

Figura 4: Por el contrario, conceptualmente es m´ as claro medir ´areas de c´ırculos con τ .

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Conclusiones Redefinir π es imposible, pero si prefieres τ sobre π, entonces no te ser´a dif´ıcil empezar a cambiar tu notaci´ on. Y es que al final eso es: cuesti´ on de notaci´on. Esto no le quita importancia al debate; despu´es de todo, la constante del c´ırculo es importante. Lo u ´nico verdaderamente malo de utilizar τ quiz´ a sea que no existen suficientes juegos de palabras como con π. Por el contrario, si no nos casamos con una idea y somos flexibles con el uso de ambas, ¡podr´ıamos tener el doble de d´ıas festivos matem´ aticos al a˜ no!

Referencias [1] Arndt, J¨ org and Christoph Haenel. π - unleashed. Berl´ın: Springer, 2001. [2] Hartl, Michael. The Tau Manifesto. 2010. Octubre 2015. tauday.com/tau-manifesto. [3] MacTutor History of Mathematics Archive. A history of Pi. 2001. Octubre 2015. www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi through the ages.html. [4] Palais, Bob. ”Pi is wrong!”The Mathematical Intelligencer, vol. 23, n´ um. 3 (2001). [5] Spikedmath. The Pi Manifesto. 2011. Octubre 2015. www.thepimanifesto.com/. [6] Wilson, Davis. The history of Pi. n.d. Octubre 2015. https://www.math.rutgers.edu/ cherlin/History/Papers2000/wilson.html. [7] Yee, Alexander J. and Shigeru Kondo. 12.1 Trillion Digits of Pi. 2013. Octubre 2015. www.numberworld.org/misc runs/pi-12t/.

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N´ umeros mentirosos Jonathan Antonio Pacheco Ram´ırez Estudiante de Actuar´ıa del ITAM Desde Euclides hasta nuestros d´ıas, los n´ umeros primos han sido misteriosos y escurridizos. Muchos m´etodos han existido para encontrar a estos tan deseados n´ umeros y todos han fracasado, quiz´ a porque ellos quieren seguir escondidos. Pierre de Fermat, matem´ atico por las noches, crey´ o que hab´ıa encontrado una f´ormula que solo arrojaba n´ umeros primos: n 22 + 1, ∀n ≥ 0. Los primeros 5 son llamados n´ umeros de Fermat: 0

3

22 + 1 = 21 + 1 = 2 1

22 + 1 = 22 + 1 = 5

22 + 1 = 28 + 1 = 257 4

22 + 1 = 21 6 + 1 = 64537.

2

22 + 1 = 24 + 1 = 17 5

100 a˜ nos despu´es, Euler prob´ o que el resultado de 22 + 1 no es un n´ umero primo. No conforme con la f´ ormula anterior, Fermat, desarroll´o lo que hoy llamamos el Peque˜ no Teorema de Fermat, que nuevamente Euler demostrar´ıa despu´es. Dicho teorema afirma que para todo n´ umero primo p, se cumple que ap − a ≡ 0 (mod p) ∀ a ∈ Z. Es decir, si p es un n´ umero primo la congruencia ser´a cierta. Por ejemplo, sabemos que 5 es un n´ umero primo, entonces: 15 − 1 = 1 − 1 = 0

45 − 4 = 1024 − 4 = 1020

25 − 2 = 32 − 2 = 30

55 − 5 = 3125 − 5 = 3120

35 − 3 = 243 − 3 = 240

65 − 6 = 7776 − 6 = 7770.

Todos los resultados terminan en 5 o 0, lo que implica que son divisibles por 5. Probemos con p = 7, que tambi´en es un n´ umero primo: 17 − 1 = 1 − 1 = 0

47 − 4 = 16384 − 4 = 16380

27 − 2 = 128 − 2 = 126

57 − 5 = 78125 − 5 = 78120

37 − 3 = 2187 − 3 = 2184

67 − 6 = 279936 − 6 = 279930.

Por u ´ltimo, veamos si p = 341 es un n´ umero primo: 2341 − 2 ≡ 0 (mod 341). 6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 63

laberintos e infinitos

El resultado es divisible por 341. ¿Ser´ a cierto que cualquier n´ umero que pase esta prueba es primo? Lamentablemente, la respuesta es negativa y aqu´ı es donde entra el t´ıtulo de este escrito. Probemos el teorema con a = 3: 3341 − 3 6≡ 0(mod 341). El resultado no es divisible por 341. ¿Por qu´e el resultado no es divisible por 341 si con a = 2 el teorema no falla? En realidad no fall´ o, el teorema dice que si p es un n´ umero primo entonces la congruencia es cierta para toda a. Lo que fall´ o fue que p = 341 es un n´ umero compuesto por 11 y 13. Al 2 lo llamamos n´ umero mentiroso de Fermat porque nos dice que 341 es primo pero si continuamos la prueba con a = 3, el teorema nos revela que en realidad 341 no es primo, entonces al 3 lo llamamos testigo de Fermat. Esto no deja de empeorar. Resulta que hay n´ umeros que satisfacen la congruencia para toda a sin ser primos, lo que significa que existen n´ umeros para los cuales todo el conjunto Z es mentiroso. A estos n´ umeros “pseudo-primos” les llamamos n´ umeros de Carmichael en honor al matem´ atico Robert Daniel Carmichael. Finalmente, el conjunto de n´ umeros primos sigue eludi´endonos y quiz´a alg´ un d´ıa llegar´a la tan esperada ecuaci´ on que nos arroje a toda esta familia.

Referencias [1] Florian Luca. N´ umeros Primos y Aplicaciones. Aportaciones Matem´ aticas, Volumen 26 de Textos: Nivel Avanzado. Sociedad Matem´ atica Mexicana, 2004. [2] Eugene P. Northrop.Riddles in Mathematics. Pelican, 1961. [3] Fermat’s Little Theorem http://mathworld.wolfram.com/FermatsLittleTheorem.html [4] Carmichael Numbers http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Carmichael number

6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949 889184615632812572 64