En este Brain Feeling de Domingo, me gustaría aprender más sobre las matemáticas. En el artículo de hoy, aprenderemos sobre el infinito y sobre cómo es que existen infinitos más grandes que otros.
En 1883, el brillante matemático alemán Georg Cantor produjo la primera teoría rigurosa, sistemática y matemática del infinito. Fue un trabajo de genio, como no se había visto antes. También tuvo algunas consecuencias recalcables. Cantor demostró que que algunos infinitos son más grandes que otros; que podemos idear herramientas matemáticas precisas para medir esos tamaños diferentes de infinitos; y que podemos llevar a cabo cálculos con ellos.
Esto se vio como un asalto no sólo a la intuición, sino a todo el conocimiento matemático. En este Brain Feeling aprenderemos algunas de las características más importantes del trabajo de Cantor, incluyendo su resultado más importante, comúnmente conocido como el ‘Teorema de Cantor‘.
Pero antes de eso echemos un vistazo histórico a por qué su trabajo se percibió como tan iconoclasta. Finalmente, aprenderemos que esta percepción era, de hecho equivocada. Lejos de ser un ataque al conocimiento matemático, el trabajo de Cantor sirvió para corroborarlo.
La concepción estándar del infinito es que no tiene fin, que es ilimitado, inmedible e ilocalizable. Desde que las personas han sido capaces de reflexionar, han tratado al infinito con un combinación de perplejidad, desconfianza, fascinación y respeto. Por un lado, han imaginado si podemos dar sentido al infinito: No deberíamos poder, dado que su naturaleza, se escapa de nuestro alcance finito. Pero por el otro, hemos sido reacios, de hecho, incapaces de ignorarlo.
En el siglo IV a.C. Aristóteles respondió a este dilema dibujando una distinción. Él creía que hay un tipo de infinito del que no podemos tener sentido y otro que es un infinito familiar y fundamental de la realidad.
Al primero le dio la etiqueta de ‘real‘. Al segundo le dio la etiqueta de ‘potencial‘. Un infinito ‘real’ es aquel que se localiza en algún momento del tiempo. Un infinito ‘potencial’ es aquel que se esparce por encima del tiempo. Si existiese un objeto físico tan grande que fuese infinito, seria un ejemplo de infinito ‘real’. Toda su infinitud estaría allí de una vez. Un reloj que hace tic-tac infinitamente, por otro lado, sería un ejemplo de infinito ‘potencial’. El tic-tac siempre estaría incompleto: no importa cuanto tiempo lleve el reloj haciendo tic-tac, siempre habrá más tics-tacs por venir.
Aristóteles pensaba que había algo inmensamente problemático, cuando no incoherente, en un infinito ‘real’. Pero también pensó que los infinitos ‘potenciales’ debían de aceptarse en cualquier proceso que nunca acabara, como el proceso de contar, el de dividir un objeto en partes más y más pequeñas o el paso del tiempo en sí mismo.
La distinción de Aristóteles fue de gran influencia. Se hace difícil exagerar su importancia en los subsiguientes estudios del infinito. Durante más de 2.000 años, tuvo más o menos el estatus de ortodoxa. Pero pensadores más tardíos, interpretaron las referencias al tiempo de la distinción ‘real/potencial’ como una metáfora de algo más abstracto. Tener una localización ‘en el tiempo’ o estar allí ‘todo a la vez’ adquirieron significados más amplios de los que tenían con Aristóteles. Finalmente, la excepción al infinito ‘real’ se convirtió en la excepción de la idea en que el infinito podría ser un objeto de estudio legítimo en las matemáticas por sí mismo. Una pista: Cantor.
Precisamente lo que Cantor hizo fue demostrar, con rigor intachable, que el infinito puede ser un objeto legítimo de estudio matemático por sí mismo. En particular, Cantor demostró que podemos acordar infinitos conjuntos grandes (cómo los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc.) e investigar las propiedades matemáticas de estos conjuntos. Al extender esto implica considerar que los miembros de esos conjuntos todos juntos, su infinito se puede concebir como estar ahí ‘todos a la vez’.
El centro del trabajo de Cantor es la idea de comparar los conjuntos unos con otros en tamaño. Ahora, podemos decir que dos conjuntos tienen el mismo tamaño si contamos sus miembros. Por ejemplo supón que estás en una reunión, y supón que que cuentas cuántos hombres hay en la habitación, luego cuentas el número de mujeres que hay en la habitación y te sale que hay 12 de cada. Luego sabes que el conjunto de hombres en la habitación tiene el mismo tamaño que el conjunto de mujeres. Pero también puedes, a veces, indicar que dos conjuntos tienen el mismo tamaño sin contar. Supón que estás en una reunión en que no sabes cuánta gente está presente, pero te das cuenta que la gente se sienta alrededor de la mesa alternando hombres con mujeres. Entonces podrás afirmar que el conjunto de hombres en la habitación tiene el mismo tamaño que el conjunto de mujeres, incluso cuando no tienes ni idea de cuántos hay de cada uno.
Hay muchos casos en los que puedes afirmar que dos conjuntos son del mismo tamaño sin estar en la posición de contar. Sabes que el conjunto de gemelos mayores que han nacido en toda la historia es del mismo tamaño que el de gemelos menores. El principio básico aquí es que, siempre que sea posible emparejar todos los miembros de un conjunto con los de otro, como el de hombres y mujeres o el de los gemelos, entonces podrás afirmar que los dos conjuntos tienen el mismo tamaño.
¿Se extiende este principio a los conjuntos infinitos? Cantor no vio ninguna razón por la que no tuviese que ocurrir. Pero aquí es cuando las cosas se ponen un poco raras.
Reconsidera el conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. Los miembros de este conjunto se pueden emparejar claramente con los miembros del conjunto de números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, etc. El 1 puede emparejarse con el 2, el 2 con el 4, el 3 con el 6; y sigue. De modo que si extendemos el principio anterior a los conjuntos infinitos, entonces estaremos forzados a concluir que el conjunto de todos los números tiene el mismo tamaño que el conjunto de los números pares, incluso cuando el primero conjunto contiene todos los elementos del segundo además de los número impares.
Algunas personas reaccionan diciendo que no tiene sentido invocar comparaciones donde conjuntos infinitos están involucrados. Pero esa no fue la reacción de Cantor. Cogió esas anomalías en su seno. Aceptó que los conjuntos en cuestión (el conjunto de números y el conjunto de números pares) tenían, de hecho, el mismo tamaño. Y, eso no es tan solo curioso sino que es ultra curioso. Al fin y al cabo, a lo mejor, podemos demostrar que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño. Si pudiésemos, no sería tan contra intuitivo: los conjuntos serían finitos, en cuyo caso la cuestión sería determinar exactamente cuánto de grandes son, o serían infinitos, en cuyo caso no haría falta contar nada. ¡Pero No! el remarcable descubrimiento de Cantor (y aquí es dónde se hace ultra curioso) es que se pueden encontrar distinciones en el caso de los infinitos. Algunos conjuntos infinitos son más grandes que otros. Un emparejamiento de la clase que hemos visto no siempre se puede hacer, incluso cundo los dos conjuntos involucrados son infinitos.
Para ver por qué no, centrémonos de nuevo en los números. No tan sólo hay infinitos números, sino que hay infinitos conjuntos de ellos. Estos son algunos ejemplos:
- El conjunto de los números pares, que hemos estado viendo.
- El conjunto de cuadrados.
- El conjunto de números menores de 100.
- El conjunto de números mayores de 100.
- El conjunto de números divisibles por 13.
- El conjunto de números cuyos 3 únicos factores son el 6, el 17 y el 243.
Pero es imposible emparejar todos estos conjuntos de números con los números individuales. Cantor tuvo un argumento muy ingenioso para demostrar que, siempre que se emparejan conjuntos de números con números individuales, al menos uno quedará fuera: de modo que hay más conjuntos de números que número de números individuales. El Argumento de Cantor se aprovecha del hecho en que, dado ese emparejamiento, algunos números van a pertenecer a lo que se les ha emparejado y algunos no. Imagínate, por ejemplo, que hay un emparejamiento en el que los 6 conjuntos de arriba se emparejan con los 6 primeros números:
- 1 – El Conjunto de números pares.
- 2 – El Conjunto de cuadrados.
- 3 – El Conjunto de números menores de 100.
- 4 – El Conjunto de números mayores de 100.
- 5 – El Conjunto de números divisibles por 13.
- 6 – El Conjunto de números cuyos factores son el 6, el 17 y el 243.
Entonces el 1 no pertenece al conjunto con el que se ha emparejado ya que no es par. Por contraste, el 3 sí que pertenece al conjunto con el que se ha emparejado, ya que es menor que 100. El 6, también pertenece al conjunto con el que se ha emparejado.
Llamemos a los números que no pertenecen al conjunto con que se han emparejado como ‘excluidos‘ y a aquellos que sí que pertenecen al conjunto con que se ha emparejado como ‘incluidos‘. De modo que 1, 2, 4 y 5 son ‘excluidos’ y 3 y 6 son ‘incluidos’. Ahora los ‘excluidos’ son un conjunto en sí mismos. Y este es el conjunto que no puede emparejarse con ningún número, éste es el conjunto que debemos dejar fuera. ¿Por qué? Bien, supón que se ha emparejado con algún número, por ejemplo el 821. En otras palabras, supón que a medida que continuamos la lista que hemos empezado arriba encontramos lo siguiente:
- 821 – el conjunto de número excluidos.
Entonces aparece una contradicción en verso a si el 821 está excluido o no. Si lo está, entonces pertenece al conjunto de números con el que se ha emparejado (el conjunto de los números excluidos), de modo que, al pertenecer al conjunto, está ‘incluido’. Si está incluido, por otro lado, no pertenece al conjunto con el que se le ha emparejado (el conjunto de números excluidos), de modo que está ‘excluido’. No existe una respuesta satisfactoria a la pregunta de si el 821 está ‘incluido’ o ‘excluido’.
Con lo que debemos aceptar que hay más conjuntos de números que números individuales. Y de hecho, con una certificación crucial a la que volveremos, este argumento se puede aplicar a cualquier cosa que exista: hay más conjuntos de plátanos que plátanos, hay más conjuntos de estrellas que estrellas, y más conjuntos de puntos en el espacio que puntos en el espacio, más conjuntos de conjuntos de plátanos que conjuntos de plátanos, y sigue y sigue. En general (sujetos a la certificación crucial que mencionábamos) siempre hay más conjuntos de cosas de cualquier clase que cosas individuales de esa clase. Este es el teorema de Cantor.
Pero, ¿qué hay sobre los conjuntos de conjuntos? ¿Hay más de estos que conjuntos? Ciertamente esto es imposible. ¿Cómo puede haber más conjuntos de algo que todos los conjuntos juntos?
Esto es una paradoja. Íntimamente relacionada con la paradoja de Russell, que toma el nombre del filósofo y matemático Bertrand Russell quien la descubrió a principios del siglo XX.
La paradoja de Russell se basa en el hecho que, aunque un conjunto no pertenezca típicamente a sí mismo, algunos conjuntos sí que parecen hacerlo. El conjunto de plátanos, por ejemplo, no lo hace: es un conjunto, no un plátano. Pero el conjunto de cosas mencionadas en este Brain Feeling, si pueden aparecer, lo harán. La paradoja de Russell incluye el conjunto de conjuntos del concepto temprano: el conjunto de conjuntos que no pertenecen a sí mismos. ¿Pertenece éste a sí mismo? Como pasaba con la pregunta sobre el 821, no hay una respuesta satisfactoria.
Cantor estaba al corriente de estas paradojas. Pero de nuevo estaba impertérrito. Desarrolló una concepción de los conjuntos robusta y relativamente intuitiva en el que las paradojas no afloraban. En esta concepción, los miembros de un conjunto deben existir ‘antes’ que el conjunto en sí mismo: la existencia del conjunto se basa en ello. De modo que primero hay plátanos, luego hay el conjunto de plátanos. Primero hay un conjunto de plátanos, luego un conjunto de conjuntos de plátanos. Generalizando, primero están las cosas que no son conjuntos (plátanos, estrellas, etc.); y luego están los conjuntos de esas cosas (que se convierte en cosas); luego conjuntos de estas nuevas cosas; y sigue y sigue sin fin. En esta concepción, entonces, ningún conjunto pertenece a sí mismo. Un conjunto no puede existir antes que sí mismo.
Además, cada conjunto, se sucede de nuevos conjuntos a los que él mismo pertenece, conjuntos que no existían antes que él existiese. De modo que no existe un conjunto de todos los conjuntos.
Esto sortea la paradoja de Russell, ya que el conjunto de conjuntos que no pertenecen a sí mismos, si hubiese tal cosa, sería el conjunto de todos los conjuntos (ya que ningún conjunto pertenece a sí mismo). No hay nada bajo esta concepción. De modo que la pregunta de si un conjunto pertenece a sí mismo o no nunca puede aparecer.
La paradoja de la que hay más conjuntos de conjuntos que elementos individuales también queda sorteada. El teorema de Cantor tan sólo aplica cuando los conjuntos se están comparando en tamaño: esta es la certificación crucial a la que nos referíamos anteriormente. Esto hace que podamos decir que hay más conjuntos de plátanos que plátanos, ya que el conjunto de conjuntos de plátanos es más grande que el conjunto de plátanos. En contraste, no podemos afirmar que haya más conjuntos de conjuntos que conjuntos. Eso significaría que el conjunto de conjuntos es más grande que el conjunto de conjuntos. Pero no tiene sentido bajo la concepción de Cantor. Ni el conjunto de conjuntos de conjuntos o el conjunto de conjuntos existe. De modo que la pregunta a sí uno de estos conjuntos es más grande que el otro nunca va a aflorar.
La concepción de los conjuntos involucrada aquí, es relativamente intuitiva. Pero, ¿no es también sorprendentemente Aristotélica? Hay una metáfora temporal que la sustenta. Los conjuntos se describen como empezar a existir ‘después’ de sus miembros, de modo que siempre hay nuevos por venir. Su infinito colectivo, en contraposición a cualquiera de ellos, es ‘potencial’, no ‘real’: su existencia se extiende ‘sobre el tiempo’ más que estar localizada en un punto ‘del tiempo’. Aún más, es este infinito colectivo el que tiene más derecho a reclamar el título.
Si recordamos las características del infinito que hemos visto antes sobre la concepción estándar del infinito: sin fin, sin límites, indivisable, inmesurable. Estos conceptos aplican más bien a todo el rango de conjuntos que a cualquiera de ellos. Esto se debe al gran éxito que Cantor colectó al exponer a los conjuntos individuales a un escrutinio matemático riguroso. Demostró, por ejemplo, que el conjunto de los números es limitado en tamaño. Ya que no tiene tantos miembros como el conjunto de conjuntos de números. También demostró (aunque no entró en detalles) que a esta medida se le puede dar una mesura matemática precisa. ¿No tiene sentido, entonces, en el que él estableció que el conjunto de números es ‘realmente’ finito que lo que lo que es ‘realmente’ infinito es totalmente diferente? ¿No sirvió su trabajo, al fin y al cabo, para corroborar la ortodoxia Aristotélica en el que el infinito ‘real’ no puede ser nunca presente, sino que siempre tiene que ser ‘potencial’?
Podrás objetar en base a los siguientes enunciados: para poder decir que el conjunto de numeros es infinito ‘real’ no será la variación en términos matemáticos estándares, sino también la variación, de lo que la mayoría de gente puede decir. Si a la gente le gusta hablar en estos términos, se puede decir que el conjunto de números es infinito. Pero, otra vez, la mayoría de las personas no son conscientes del trabajo de Cantor.
Tampoco dudarán en decir que es imposible que un infinito sea más grande que otro. Trata sobre cómo entienden lo que quieren decir y cómo este entendimiento, para un propósito dado, puede absorber el shock de los resultados de Cantor.
Ciertamente podemos decir que algunos infinitos son más grandes que otros, como lo hace la matemática rutinariamente hoy en día. Pero también podemos decir que el conjunto de números es finito solamente si hay alguna razón para hacerlo. Para ello, podemos ir directos a la pizarra y demostrar que, en primer lugar, no existe tal cosa como el conjunto de números, basándonos en que el coleccionar infinitamente muchas cosas en un conjunto único es una gran concesión a la concepción actual del infinito. Tarde o temprano, basándonos en la concepción de Cantor, diremos cosas en ésta línea: como mínimo deberemos admitir que no existe algo como el conjunto de conjuntos. ¿Por qué no ser preventivos?
Buen Domingo y Día del Padre!! 🙂
Artículo Original: «Infinity and Beyond» en Aeon
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