Uso De Los NúMeros Naturales
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Nociones sobre los numeros naturales
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Uso De Los NúMeros Naturales
- 1. LOS NÚMEROS NATURALES Diferentes usos y formalizaciones
- 2. Noción de número natural
- 3. Formalizaciones o axiomatizaciones de los números naturales Axiomatización de Peano. La axiomatización de Lawvere. La axiomatización de Peirce. 2235 Cien mil
- 4. Formalizaciones o axiomatizaciones de los números naturales Axiomatización de Peano. La axiomatización de Lawvere. La axiomatización de Peirce. 2235 Cien mil
- 5. Varias axiomatizaciones de los números naturales y Sin lugar a dudas, la más conocida es la que presentó el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) por primera vez en 1889 en un pequeño libro publicado en Turín, titulado Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita [
- 6. Arithmetices Principia, escrito en latÍn, es el primer intento de Peano para lograr una axiomatización de las matemáticas en un lenguaje simbólico. Consiste en un prefacio y 10 secciones: 1. Números y Adición 2. Sustracción 3. Máximos y Mínimos 4. Multiplicación 5. Potenciación 6. División 7. Teoremas varios 8. Razones de Números 9. Sistemas de Racionales e Irracionales 10. Sistemas de Cantidades Desarrolla en extenso el primero. Se presentan por primera vez los símbolos actuales para representar la pertenencia, la existencia, la contenencia (en la actualidad es invertido, acorde con el de los números) y para la unión y la intersección.
- 7. El símbolo N significa número (enterno positivo). • El símbolo 1 significa unidad. • El símbolo a + 1 significa el sucesor de a, o, a más 1. • El símbolo = significa es igual a.
- 8. Axiomas En esta presentación sólo se ha modificado la notación lógica. 1. 1 є N 2. Si a є N entonces: a = a 3. Si a є N entonces: a = b si y sólo si b = a 4. Si a, b, c є N entonces: a = b, b = c implica a = c 5. Si a = b y b є N entonces: a є N 6. Si a є N entonces: a + 1 є N 7. Si a є N entonces: a = b si y sólo si a + 1 = b + 1 8. Si a є N entonces: a + 1 ≠ 1 9. Si k es una clase, 1 є k, y si para x є N: x є k implica x + 1 є k, entonces N k. Los axiomas 2, 3, 4 y 5, que se refieren a la igualdad, hoy se consideran pertenecientes a la lógica fundamental. Los restantes cinco axiomas son conocidos como los axiomas de Peano.
- 9. La axiomatización de Lawvere William Presenta una nueva axiomatización de la aritmética, la traducción de los axiomas de Peano al lenguaje categórico. La teoría de categorías puede describirse, en primera instancia, como aquella que se ocupa de todo lo expresable mediante flechas (morfismos) y diagramas conmutativos . En el caso de la matemática usual, se trata de ver las nociones no de manera analítica (en términos de elementos) sino sintética (en términos de funciones).
- 10. Una sucesión en un conjunto X es una función La condición s(n + 1) = f(s(n)) puede expresarse como es la función sucesor definida como La igualdad de funciones puede expresarse afirmando que el diagrama siguiente conmuta.
- 11. Una terna tal que para cualquier terna existe un único que hace conmutativo este diagrama, es lo que Lawvere denomina un objeto números naturales.
- 12. La axiomatización de Peirce Una presentación -con terminología y simbolog´ıa actuales- de la axiomatizaci ´on para los n´umeros naturales contenida en On the Logic of Number es la siguiente. T´erminos: Un conjunto, N, y una relaci´on binaria, R, en N. Axiomas: 1. R es un orden lineal en N 2. N posee elemento R-m´ınimo y no posee elemento R-m´aximo 3. Todo elemento de N distinto del R-m´ınimo posee R-antecesor inmediato 4. Si un subconjunto S N satisface: para cada n 2 N, si S contiene el R-antecesor inmediato de n entonces contiene a n entonces S satisface: si S contiene un elemento k entonces contiene todos los R-sucesores de k Charles Sanders Peirce, científico, filósofo y humanista, es uno de los últimos científicos universales; padre de la semiótica contemporánea, teoría filosófica de la significación y la representación; fundó el pragmatismo auténtico; redujo a un mínimo de tres las categorías ontológicas. 19