Un proceso estocástico es un sistema que nos permite darle seguimiento a un fenómeno aleatorio a través del tiempo.

PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Unidad II: Procesos estocásticos
Mtr. Carlos L. Gencón Villamar
cgencon@gmail.com

OBJETIVO
Reconocer y caracterizar eventos probabilísticos como procesos
estocásticos.

CONTENIDO
Unidad II. Procesos estocásticos
2.1 Definición y características
Definiciones y términos clave. Características,
medidas y funciones.

Procesos estocásticos
Un proceso estocástico es un concepto matemático que representa variables o vectores aleatorios
que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que
evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables
aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y pueden o no estar
correlacionadas entre sí.
Los procesos estocásticos permiten tratar procesos dinámicos en los que hay cierta aleatoriedad.
Las aplicaciones y el estudio de los fenómenos han inspirado a su vez la propuesta de nuevos
procesos estocásticos.
Introducción
Ejemplos: Un electrocardiograma. Un terremoto. El clima. El minuto específico de un partido en el que un
jugador anota un gol. Número de personas que dicen una palabra en específico alrededor del mundo.

Definiciones
Definición de proceso estocástico
La sucesión 𝑋(𝑡) = ω; 𝑡 ∈ 𝑇; ω ∈ Ω es un proceso estocástico si, para cada 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑋(𝑡) es una
variable aleatoria. Siendo 𝑡 un valor o intervalo del parámetro, 𝑇 y ω un suceso o evento del
espacio muestral Ω asociado a la variable aleatoria, discreta o continua, 𝑋 𝑡 .
Si 𝑇 = 1, 2, 3, … , la sucesión de variables aleatorias 𝑋 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑇 es un proceso estocástico en tiempo
discreto. Cuando T es un conjunto continuo o intervalo, hablamos de un proceso estocástico de
tiempo continuo.
Un proceso estocástico es un sistema que nos permite darle seguimiento a un fenómeno aleatorio a
través del tiempo. Cada valor obtenido mediante la variable aleatoria definida nos dará información
de lo que sucede con el fenómeno aleatorio conforme transcurre el tiempo.

Definiciones
Términos clave en un proceso estocástico
• 𝑋(𝑡) es un proceso estocástico o sistema que nos permite darle seguimiento a un fenómeno
aleatorio a través del tiempo.
• Cada posible valor obtenido de la variable aleatoria brindará información de lo que sucede
con el fenómeno aleatorio conforme transcurre el tiempo.
• A cada uno de los posibles valores obtenidos se les llama estado y a los distintos cambios de
estado se les llama transición.
• Al registro del seguimiento se le conoce como realización del proceso, y son aplicables a
cualquier sistema que comprenda variabilidad al azar conforme transcurre el tiempo.
• Se conoce a 𝑇 como espacio del parámetro y se conoce a Ω como espacio de los estados del
proceso estocástico 𝑋(𝑡).

Ejemplo 1: Sea 𝑋 𝑡 el proceso estocástico que modela el marcador durante un partido de fútbol. Determine:
a. El tipo de proceso respecto a la variable y el parámetro.
b. El espacio del parámetro del proceso.
c. El espacio de estados del proceso.
a.
b.
𝑋 𝑡 es un proceso estocástico de variable discreta con parámetro contino.
𝑇: 0 ≤ 𝑡 ≤ 90
c. Ω ∶ ω = 𝑥, 𝑦 | 𝑥 = 0, 1, 2, … ; 𝑦 = 0, 1, 2, …

Ejemplo 2: Sea 𝑋 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵 con parámetro continuo T: 𝑡 ≥ 0. 𝐴 y 𝐵 son variables aleatorias independiente tal que:
𝐴 = 3, 4; 𝑃 𝐴 = 3 = 0.25; 𝑃 𝐴 = 4 = 0.75
𝐵 = 1, 2; 𝑃 𝐵 = 1 = 0.50; 𝑃 𝐵 = 2 = 0.50
a. Halle la distribución de probabilidad de 𝑋 0 .
b. Calcule i. E 𝑋 0 ii. Var 𝑋 0
c. Dibuje las realizaciones del proceso y calcule las probabilidades de cada uno.
a. bi.
𝑋 0 = 𝐵
𝑋 0 = ቊ
𝜔1 = 1; 𝑃 𝜔1 = 0.50
𝜔2 = 2; 𝑃 𝜔2 = 0.50
E 𝑋 0 = ෍
Ω
𝜔 𝑃 𝜔
E 𝑋 0 = 1 0.5 + 2(0.5)
E 𝑋 0 = 1.5
bii. Var 𝑋 0 = E 𝑋2
0 − 𝜇𝑋 0
2
Var 𝑋 0 = ෍
Ω
𝜔2
𝑃 𝜔 − 𝜇𝑋 0
2
Var 𝑋 0 = 12
0.5 + 22
0.5 − 1.52
Var 𝑋 0 = 0.25

c. 𝑋 𝑡 =
𝜔1 = 3𝑡 + 1; 𝑃 𝜔1 = 0.25 ∙ 0.50 = 0.125
𝜔2 = 3𝑡 + 2; 𝑃 𝜔2 = 0.25 ∙ 0.50 = 0.125
𝜔3 = 4𝑡 + 1; 𝑃 𝜔3 = 0.75 ∙ 0.50 = 0.375
𝜔4 = 4𝑡 + 2; 𝑃 𝜔4 = 0.75 ∙ 0.50 = 0.375

a. bi.
𝑋 0 = 𝐴
𝑋 0 = ቊ
𝜔1 = 0; 𝑃 𝜔1 = 0.6
𝜔2 = 1; 𝑃 𝜔2 = 0.4
E 𝑋 0 = ෍
Ω
𝜔 𝑃 𝜔
E 𝑋 0 = 0 0.6 + 1(0.4)
E 𝑋 0 = 0.4
bii. Var 𝑋 0 = E 𝑋2
0 − 𝜇𝑋 0
2
Var 𝑋 0 = ෍
Ω
𝜔2
𝑃 𝜔 − 𝜇𝑋 0
2
Var 𝑋 0 = 02
0.6 + 12
0.4 − 0.42
Var 𝑋 0 = 0.24
Ejemplo 3: Sea 𝑋 𝑡 = 𝐴 + 𝐵𝑡 con parámetro continuo T: 𝑡 ≥ 0. 𝐴 y 𝐵 son variables aleatorias independiente tal que:
𝐴 = 0, 1; 𝑃 𝐴 = 0 = 0.6; 𝑃 𝐴 = 1 = 0.4
𝐵 = 0, 1; 𝑃 𝐵 = 0 = 0.2; 𝑃 𝐵 = 1 = 0.8
a. Halle la distribución de probabilidad de 𝑋 0 .
b. Calcule i. E 𝑋 0 ii. Var 𝑋 0
c. Dibuje las realizaciones del proceso y calcule las probabilidades de cada una.

c. 𝑋 𝑡 =
𝜔1 = 0; 𝑃 𝜔1 = 0.6 ∙ 0.2 = 0.12
𝜔2 = 1; 𝑃 𝜔2 = 0.6 ∙ 0.8 = 0.48
𝜔3 = 𝑡; 𝑃 𝜔3 = 0.4 ∙ 0.2 = 0.08
𝜔4 = 𝑡 + 1; 𝑃 𝜔4 = 0.4 ∙ 0.8 = 0.32

Características, medidas y funciones
Sean 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 las 𝑘 variables aleatorias
obtenidas del muestreo de un proceso 𝑋 𝑡 en los
tiempos 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑘 se describen como:
𝑋1 = 𝑋 𝑡1 , 𝑋2 = 𝑋 𝑡2 , … , 𝑋𝑘 = 𝑋(𝑡𝑘)
El comportamiento conjunto del proceso aleatorio a
estos 𝑘 instantes de tiempo se da por la distribución
acumulada conjunta del vector de las variables
aleatorias 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘.
Distribución conjunta

• Distribuciones de primer orden del proceso: son las distribuciones de cualquier variable
aleatoria unidimensional 𝑋(𝑡), para un 𝑡 fijo.
• Distribuciones de segundo orden del proceso: Distribuciones bidimensionales de un vector de
componentes 𝑋 𝑡1 , 𝑋 𝑡2 para 𝑡1, 𝑡2 cualesquiera fijos.
Medidas asociadas a los procesos estocásticos
Función de medias y varianzas
Media del proceso: 𝜇𝑋 𝑡 = 𝐸 𝑋(𝑡)
Varianza del proceso: 𝜎𝑋
2
𝑡 = 𝐸 𝑋2(𝑡) − 𝜇𝑋
2
𝑡

Sea un proceso estocástico 𝑋(𝑡). Se define la función de autocorrelación a la función de dos
variables 𝑡1 y 𝑡2 tales que:
𝑅𝑋 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑋 𝑡1 ∙ 𝑋 𝑡2
Función de autocorrelación
Para el cálculo de la función autocorrelación se puede proceder de dos maneras: aplicando las
fórmulas si se tiene la distribución conjunta entre 𝑋 𝑡1 y 𝑋 𝑡2 ; caso contrario, lo que es lo habitual,
sustituiremos la fórmula del proceso en 𝑋 𝑡1 y en 𝑋 𝑡2 y realizaremos la operación 𝑋 𝑡1 ∙ 𝑋 𝑡2 .
Si 𝑡1 = 𝑡2 = 𝑡, siempre se tiene que:
𝜎𝑋
2
𝑡 = 𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 − 𝜇𝑋
2
𝑡

Sea un proceso estocástico 𝑋(𝑡). Se define autocovarianza a la función de dos variables 𝑡1 y 𝑡2
tales que:
𝐶𝑋 𝑡1, 𝑡2 = Cov 𝑋 𝑡1 ∙ 𝑋 𝑡2 = 𝑅𝑋 𝑡1, 𝑡2 − 𝜇𝑋 𝑡1 ∙ 𝜇𝑋 𝑡2
Función de autocovarianza
Sea un proceso estocástico 𝑋(𝑡). Se define función de coeficiente de correlación a la función de
dos variables 𝑡1 y 𝑡2 tales que:
𝜌𝑋 𝑡1, 𝑡2 =
𝐶𝑋 𝑡1, 𝑡2
𝜎𝑋
2
𝑡1 ∙ 𝜎𝑋
2
𝑡2
Función coeficiente de correlación

Propiedades:
E 𝑋 = 𝜇𝑋
Var 𝑋 = 𝜎𝑋
2
Cov 𝑋, 𝑌 = 𝜎𝑋𝑌
Var 𝑋 = E 𝑋2
− 𝜇𝑋
2
𝐸 𝑋2
= 𝜎𝑋
2
+ 𝜇𝑋
2
Cov 𝑋, 𝑌 = E 𝑋𝑌 − 𝜇𝑋 𝜇𝑌
E 𝑋𝑌 = 𝜎𝑋𝑌 + 𝜇𝑋 𝜇𝑌
E 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐 = 𝑎 E 𝑋 + 𝑏 E 𝑌 + 𝑐
Var 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐 = 𝑎2
Var 𝑋 + 𝑏2
Var 𝑌 + 2𝑎𝑏 Cov 𝑋, 𝑌
Ejemplo 4: Sea un proceso estocástico 𝑋 𝑡 = 𝐴 + 𝐵𝑡 con parámetro continuo T: 𝑡 ≥ 0. 𝐴 y 𝐵 son variables aleatorias
independientes con medias y varianzas conocidas. Determine una expresión para la función de autocorrelación, 𝑅𝑋 1, 2 .
Solución:
𝑅𝑋 1, 2 = E 𝑋 1 ∙ 𝑋 2
𝑅𝑋 1, 2 = E (𝐴 + 𝐵) ∙ 𝐴 + 2𝐵
𝑅𝑋 1, 2 = E 𝐴2
+ 2𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 + 2𝐵2
𝑅𝑋 1, 2 = E 𝐴2
+ 3𝐴𝐵 + 2𝐵2
𝑅𝑋 1, 2 = E 𝐴2
+ 3E 𝐴𝐵 + 2E 𝐵2
𝑅𝑋 1, 2 = E 𝐴2
+ 3E 𝐴 E 𝐵 + 2E 𝐵2
𝑅𝑋 1, 2 = 𝜎𝐴
2
+ 𝜇𝐴
2
+ 3𝜇𝐴 𝜇𝐵 + 2 𝜎𝐵
2
+ 𝜇𝐵
2

CONTENIDO
2.2 Procesos estacionarios
Procesos estacionarios en sentido estricto.
Procesos estacionarios en sentido amplio.
Función de autocorrelación

Procesos estacionarios
Un proceso estacionario en sentido estricto, denominado ESE, es un proceso estocástico cuya
distribución de probabilidad en un instante de tiempo fijo o una posición fija es constante para
todos los instantes de tiempo o posiciones posteriores.
En este sentido las componentes de un vector 𝑋 𝑡1 , 𝑋 𝑡2 , … , 𝑋 𝑡𝑛 y las de otro vector
𝑋 𝑡1 + 𝑐 , 𝑋 𝑡2 + 𝑐 , … , 𝑋 𝑡𝑛 + 𝑐 tienen la misma distribución para cualquier 𝑐 > 0.
Proceso estacionario en sentido estricto
En consecuencia, parámetros tales como la media y la varianza, si existen, no varían a lo largo del
tiempo o la posición. Por ejemplo, el ruido blanco es estacionario. Sin embargo, el sonido de un
golpe de platillos no es estacionario, pues la energía acústica del golpe (y por lo tanto su varianza)
disminuye con el tiempo.
Es complicado demostrar que un proceso es estacionario en sentido estricto. En la práctica sólo se
puede comprobar si algunas de sus medidas como la media o la varianza son estacionarias.

Un proceso estacionario en sentido amplio, denominado ESA, si se cumplen las siguientes
propiedades:
I. 𝜇𝑋 𝑡 = E 𝑋 𝑡 = 𝜇
La función de medias del proceso es constante e independiente de 𝑡, ∀𝑡 ≥ 0.
II. 𝑅𝑋 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅𝑋 𝜏 ; ∀𝜏 ∈ ℝ | 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1
La función de autocorrelación sólo depende de la diferencia entre los dos instantes de tiempo,
𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1. De lo anterior se puede concluir que 𝑅𝑋 es una función de una sola variable.
Proceso estacionario en sentido amplio
De lo anterior, se puede utilizar un cambio en la notación para simplificar la expresión 𝑅𝑋.
Si 𝑡1 = 𝑡 y 𝑡2 = 𝜏 + 𝑡1, entonces 𝑅𝑋 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = 𝑅𝑋 𝜏 .

I. La función de varianzas es constante: Var 𝑋(𝑡) = 𝑅𝑋 0 − 𝜇2
II. La función de autocovarianzas solo depende de 𝜏: 𝐶𝑋 𝑡, 𝑡 − 𝜏 = 𝑅𝑋 𝜏 − 𝜇2
III. La función de los coeficientes de correlación solo depende de 𝜏:
𝜌𝑋 𝑡, 𝑡 − 𝜏 =
𝑅𝑋 𝜏 − 𝜇2
𝑅𝑋 0 − 𝜇2
IV. Si X(t) es un proceso ESE, entonces es un proceso ESA y no a la inversa.
Propiedades de un proceso ESA
Como se puede observar, las funciones de varianzas, autocovarianzas y de coeficientes de
correlación dependen de la función de autocorrelación 𝑅𝑋 𝜏 .

I. 𝑅𝑋 0 = 𝐸 𝑋2
𝑡 mide la potencia media del proceso o señal.
II. 𝑅𝑋 𝜏 = 𝑅𝑋 −𝜏 ; 𝑅𝑋 𝜏 es una función par.
III. 𝑅𝑋 𝜏 mide la rapidez de cambio del proceso:
Si 𝑅𝑋 𝜏 → 𝑅𝑋 0 rápido cuando 𝜏 → 0, el proceso 𝑋 𝑡 cambia rápidamente.
Si 𝑅𝑋 𝜏 → 𝑅𝑋 0 rápido cuando 𝜏 → 0, el proceso 𝑋 𝑡 cambia rápidamente.
IV. Si 𝑅𝑋 𝜏 alcanza su máximo en 𝜏 = 0, entonces 𝑅𝑋 𝜏 ≤ 𝑅𝑋 0 .
V. Si 𝑋 𝑡 es periódico, 𝑅𝑋 𝜏 también es periódica. Si 𝑅𝑋 0 = 𝑅𝑋 𝑑 , 𝑅𝑋 𝜏 es de periodo 𝑑.
VI. Si lim
𝑛→∞
𝑅𝑋 𝜏 existe, entonces lim
𝑛→∞
𝑅𝑋 𝜏 = 𝜇2
siempre que 𝑅𝑋 𝜏 no sea periódica.
Propiedades de la función de autocorrelación
Normalmente, las señales se modelizan mediante procesos estocásticos estacionarios en sentido
amplio (ESA). Para el estudio de estas señales la herramienta fundamental es la función 𝑅𝑋 𝜏 .

Función autocorrelación de un proceso ESA
Esta función de autocorrelación pertenece a
un proceso estacionario en sentido amplio.
En efecto, se pueden verificar las propiedades
antes enunciadas: es par, alcanza su máximo
en 𝜏 = 0 , tiende rápidamente hacia 𝑅𝑋 0
cuando 𝜏 → 0 y los límites en el infinito
coinciden con la media al cuadrado del
proceso.
lim
𝑛→∞
𝑅𝑋 𝜏 = 𝜇2 = 0
𝐸 𝑋 𝑡 = 𝜇 = 0
𝑅𝑋 𝜏 = 𝑒−2𝜆 𝜏

Ejemplo 5: Sea un proceso estocástico 𝑋 𝑡 = 𝑒−𝜇𝑡
, 𝑡 > 0 donde 𝜇 es una variable continua tal que 𝜇~𝑈𝑛𝑖 𝑎 = 0, 𝑏 = 2 .
a. Halle i. E 𝑋 𝑡 ii. 𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 + 𝜏 iii. Var 𝑋 𝑡
b. ¿𝑋 𝑡 es un proceso ESA?
c. Halle P 𝑋 𝑡 ≤ 𝑒−1
𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = E 𝑋 𝑡 ∙ 𝑋 𝑡 + 𝜏
𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = E 𝑒−𝜇𝑡
∙ 𝑒−𝜇 𝑡+𝜏
𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = E 𝑒−𝜇 2𝑡+𝜏
𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 + 𝜏 =
𝑒− 2𝑡+𝜏
senh 2𝑡 + 𝜏
2𝑡 + 𝜏
E 𝑋 𝑡 = E[𝑒−𝜇𝑡
]
E 𝑋 𝑡 = න
0
2
𝑒−𝜇𝑡
𝑓 𝜇 𝑑𝜇
E 𝑋 𝑡 = න
0
2
𝑒−𝜇𝑡
1
2 − 0
𝑑𝜇
E 𝑋 𝑡 =
𝑒−𝑡
senh 𝑡
𝑡
Var 𝑋 𝑡 = E 𝑋2
𝑡 − E 𝑋 𝑡
Var 𝑋 𝑡 = E 𝑒−𝜇𝑡 2
− E 𝑒−𝜇𝑡
Var 𝑋 𝑡 = E 𝑒−𝜇(2𝑡)
− E 𝑒−𝜇𝑡
Var 𝑋 𝑡 =
𝑒−2𝑡
senh 2𝑡
2𝑡
−
𝑒−𝑡
senh 𝑡
𝑡
ai.
b. El proceso estocásticos no es un ESA, ya que la media no es constante
y la función de autocorrelación no depende solo de 𝜏.
E 𝑋 𝑡
P 𝑋 𝑡 ≤ 𝑒−1
= න
0
𝑒−1
𝑒−𝜇𝑡
𝑓 𝜇 𝑑𝜇
P 𝑋 𝑡 ≤ 𝑒−1
= න
0
1
𝑒
𝑒−𝜇𝑡
1
2
𝑑𝜇
P 𝑋 𝑡 ≤ 𝑒−1
=
1 − 𝑒−
𝑡
𝑒
2𝑡
c.
aii.
aiii.

CONTENIDO
2.3 Procesos estocásticos relevantes
Clasificación y relevancias de los procesos
estocásticos.

Procesos estocásticos relevantes
Por su continuidad en el tiempo
Discretos: El tiempo transcurre solo en valores discretos en el tiempo.
Continuos: El tiempo transcurre de manera continua en un intervalo de tiempo.
Por el número de dimensiones
Procesos unidimensionales: Involucran una única variable estocástica.
Procesos multidimensionales: Involucran múltiples variables estocásticas.

Por sus propiedades de estacionariedad
Estacionarios: : Las propiedades estadísticas son constantes a lo largo del tiempo.
No estacionarios: Las propiedades estadísticas cambian con el tiempo.
Por la dependencia de estado
Procesos de primer orden: El estado futuro depende solo del estado actual.
Procesos de segundo orden: El estado futuro depende del estado actual y estados pasados.

Por el tipo de distribución de probabilidad
Gaussianos: Las variables aleatorias siguen una distribución normal (gaussiana).
No Gaussianos: Las variables aleatorias no siguen una distribución normal.
Por la ergodicidad del proceso
Ergódicos: Las propiedades estadísticas calculadas de una realización se aproximan a las
propiedades estadísticas teóricas.
No ergódicos: Las propiedades estadísticas calculadas de una realización pueden diferir de las
propiedades estadísticas teóricas.

CONTENIDO
2.4 Caminata aleatoria
Introducción y definiciones. Estados y transiciones.
Matriz probabilidad de transición.

Caminata aleatoria RW
Es una formalización matemática de la trayectoria que resulta de hacer sucesivos pasos aleatorios.
El término caminata aleatoria fue introducido por Karl Pearson en 1905. Los resultados del estudio
de las caminatas aleatorias han sido aplicados a muchos campos como la computación, la física, la
química, la ecología, la biología, la psicología o la economía.
En su forma más general, las caminatas aleatorias son cualquier proceso aleatorio donde la posición
de una partícula en cierto instante depende solo de su posición en algún instante previo y alguna
variable aleatoria que determina su subsecuente dirección y la longitud de paso.
Introducción
Ejemplos: La ruta trazada por una molécula mientras viaja por un líquido o un gas, el camino que sigue un
animal en su búsqueda de comida, el precio de una acción fluctuante y la situación financiera de un jugador.

Caminata aleatoria RW
Sea 𝑋 𝑡 una variable aleatoria que varía en el tiempo. Esta variable define una trayectoria que
empieza en la posición 𝑋 0 = 𝑥0. La caminata aleatoria se define como:
𝑋 𝑡 + 𝜏 = 𝑋 𝑡 + Φ 𝜏
Donde Φ 𝜏 es la variable aleatoria que describe la distribución de probabilidad de tomar el
siguiente paso y 𝜏 el tiempo entre pasos sucesivos.
Definición de caminata aleatoria
Cabe mencionar que, en una caminata aleatoria, la probabilidad de estar en una posición o estado
solo depende de la posición o del estado anterior.
En este sentido, el análisis de probabilidad se reduce significativamente ya que la distribución de
probabilidad conjunta está asociada solo a dos variables: estado actual y estado siguiente.

Ejemplo 6: Sea 𝐷 𝑛 un genera pulsos +1 ó -1. La entrada del generador está dada por 𝐷 𝑛 = 2 ∙ 𝐼(𝑛) + 1 donde 𝐼(𝑛) es
proceso estocástico que toma valores discretos 𝐼 = 0, 1 con la misma probabilidad. Por lo tanto:
𝐷 𝑛 = ቊ
+1, 𝐼(𝑛) = 1
−1, 𝐼(𝑛) = 0
𝐷 𝑛 representa el cambio en la posición de una persona que se mueve a lo largo de una línea recta, con un paso hacia la
derecha cuando 𝐷 = +1 y con un paso hacia la izquierda cunado 𝐷 = −1; 𝑛 representan la sucesión de pasos 1, 2, 3 … que la
persona realiza cada segundo.
Se define a 𝑆 𝑛 , caminata aleatoria de la persona, como una serie basada en la sucesión de los pasos 𝐷 𝑛 .
𝑆 𝑛 = 𝑆 𝑛 − 1 + 𝐷 𝑛 ; 𝑛 = 1, 2, 3, …
La posición inicial de la persona se asume como 𝑆 0 = 0. Con base en la información anterior:
a. Elabore una tabla que muestre valores de 𝐷 𝑛 y 𝑆 𝑛 para un máximo de 10 pasos.
b. Muestre 2 realizaciones los procesos 𝐷 𝑛 y S 𝑛 para i. 20 y ii. 40 pasos.
𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝐷 𝑛 +1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1
𝑆 𝑛 0 1 2 1 2 3 4 5 4 5 4
a.

Estados y transiciones
Transiciones entre estados y probabilidades
Considere la siguiente situación:
Una persona se encuentra se encuentra en el centro de un andamio
angosto. Si da dos pasos a la derecha, se cae del andamio. Si da dos
pasos a la izquierda se cae del andamio. La figura de la derecha
representa la situación descrita.
La probabilidad de moverse a la derecha siempre es del 70% debido
la lateralidad de la persona.

La persona en negro representa la posición inicial, denominada
estado 1. Las personas en blanco representan las posibles
posiciones que puede ocupar la persona, a estas posiciones se las
denomina como los estados 2 y 3. El estado 4 se define como la
caída de la persona del andamio.

A continuación, se presenta un diagrama que relaciona los estados que
puede tomar la persona y las probabilidades de transición entre estos.
0.3
0.7
0.3
0.7
0.7 0.3
1
Con la ayuda de este diagrama se puede determinar la probabilidad de
estar en uno de los estados después de caminar n de pasos.

Ejemplo 7: Con base en el diagrama de estados y probabilidades de transición de la situación de la persona en el andamio.
Determine:
a. La probabilidad de estar en el estado 1 en dos pasos.
b. La probabilidad de caer de la plataforma en dos pasos.
a. Sea 𝑋 𝑛 el proceso estocástico que representa la posición de la persona
en el andamio donde 𝑋 𝑛 =1, 2, 3, 4 para cada valor de 𝑛 = 1, 2, 3, … ;
la sucesión de pasos por unidad de tiempo que realiza la persona.
Sea 𝑝𝑖𝑗, la probabilidad de transición del estado 𝑖 al estado 𝑗 para
valores de 𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3, 4.
𝑃 𝑋 2 = 1 = 𝑝13 𝑝31+ 𝑝12 𝑝21
𝑃 𝑋 2 = 1 = 0.7 ∙ 0.3 + 0.3 ∙ 0.7
𝑃 𝑋 2 = 1 = 0.42
b. 𝑃 𝑋 2 = 4 = 𝑝13 𝑝34+ 𝑝12 𝑝21
𝑃 𝑋 2 = 4 = 0.7 ∙ 0.7 + 0.3 ∙ 0.3
𝑃 𝑋 2 = 4 = 0.58

Matriz probabilidad de transición
Sea 𝑋 𝑡 una caminata aleatoria tal que los estados que toma son 1, 2, 3, … , 𝑛. Sea la expresión
𝑝𝑖𝑗 la probabilidad de transición de pasar del estado 𝑖 al estado 𝑗 para 𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛.
Se define la matriz de transición como: 𝑃 =
𝑝11 𝑝12 𝑝13
𝑝21 𝑝22 𝑝23
𝑝31 𝑝32 𝑝33
⋮ ⋮ ⋮
𝑝𝑛1 𝑝𝑛2 𝑝𝑛3
… 𝑝1𝑛
… 𝑝2𝑛
… 𝑝3𝑛
⋱ ⋮
… 𝑝𝑛𝑛
Las filas representan las probabilidades de pasar de un estado 𝑘 a cada uno de los posibles
estados 𝑗. De lo anterior se puede indicar que:
෍
𝑗
𝑝𝑘𝑗 = 1 ; para 𝑘 = 1, 2, 3, … , 𝑛
Definiciones generales

Ejemplo 8: Con base en el diagrama de estados y probabilidades de transición de la situación de la persona en el andamio.
Construya la matriz probabilidades de transición.
𝑋 𝑛 : Posición de la persona en el andamio
𝑋 𝑛 =1, 2, 3, 4; 𝑛 = 1, 2, 3, …
𝑝𝑖𝑗: probabilidad de transición del estado 𝑖 al estado 𝑗; 𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3, 4.
La matriz de probabilidades de transición para este caso, de 4 estados es la siguiente:
𝑃 =
𝑝11 𝑝12 𝑝13 𝑝14
𝑝21 𝑝22 𝑝23 𝑝24
𝑝31 𝑝32 𝑝33 𝑝34
𝑝41 𝑝42 𝑝43 𝑝44
=
0 .3 .7 0
.7 0 0 .3
.3 0 0 .7
0 0 0 1

Ejemplo 9: Sea 𝑋 𝑛 una caminata aleatoria
representada en el siguiente diagrama de estados y
probabilidades de transición, donde 𝑛 es el número de
pasos de la caminata por unidad de tiempo. Determine:
a. Escriba los valores p, q, r, s
b. Halle la matriz de transición
c. Partiendo del estado 1, halle la probabilidad de estar en
el estado 3 en tres pasos.
a.
𝑃 =
.5 .3 .2 0
.2 .2 0 .6
.4 0 .1 .5
0 .4 .1 .5
𝑝 = 1 − 0.5 = 0.5
𝑞 = 1 − 0.9 = 0.1
𝑟 = 1 − 0.8 = 0.2
𝑠 = 1 − 0.5 = 0.5
0.3
0.2
0.4
0.2
0.5 0.6
s
p
0.1 0.4
q
r
b.
𝑃 𝑋 2 = 3 = 𝑝11𝑝11𝑝13+ 𝑝12𝑝21𝑝13 + 𝑝12𝑝24𝑝43 + 𝑝13𝑝31𝑝13 + 𝑝13𝑝33𝑝33+ 𝑝13𝑝34𝑝43
𝑃 𝑋 2 = 3 = 0.5 ∙ 0.5 ∙ 0.2 + 0.3 ∙ 0.2 ∙ 0.2 + 0.3 ∙ 0.6 ∙ 0.1 + 0.5 ∙ 0.4 ∙ 0.2 + 0.2 ∙ 0.1 ∙ 0.1 + 0.2 ∙ 0.5 ∙ 0.1
𝑃 𝑋 2 = 3 = 0.132
c.

REFERENCIAS
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Informáticos. Universidad Politécnica de Madrid. https://acorral.etsisi.upm.es/Tel_Estadistica/
ESPOL. (s.f.). Unidades y temas del curso ESTG1003. Blog de la Escuela Superior Politécnica del Litoral
(ESPOL). http://blog.espol.edu.ec/estg1003/unidades-temas/
Google. (s. f.). Google Colaboratory. Recuperado de https://colab.research.google.com/?hl=es
Hernáez Rioja, I. (s. f.). Fundamentos de Teoría de la Comunicación. Scribd. Recuperado de
https://es.scribd.com/document/675888696/Fundamentos-de-Teoria-de-La-Comunicacion
Walpole, R. E., Myers, R. H. (s.f.). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Biblioteca Virtual La
Serena. Recuperado de https://bibliotecavirtualaserena.files.wordpress.com/2017/05/libro_probabilidad-y-
estadistica-para-ingenerc3ada-y-ciencias-ronald-e-walpole-mayers.pdf
Wolfram Alpha. (s.f.). Wolfram Alpha: Computational Intelligence. Recuperado de
https://www.wolframalpha.com/

ACTIVIDAD DE TRABAJO AUTÓNOMO
Datos generales
Nombre Docente Carlos Gencón
Asignatura Procesos Estocásticos Unidad No. 2
Unidad Procesos Estocásticos Actividad No. 1
Tipo de actividad de trabajo autónomo
Taller x
Ejercicios de
práctica
Análisis de
caso
Investigación
Ensayo Exposición
Control de
lectura
Resumen
Artículo
Ejercicios de
aplicación
Proyecto Análisis de datos
Datos de la actividad
Objetivo: El objetivo de este taller es aplicar los conceptos asociados a los procesos
estocásticos y las caminatas aleatorias en la resolución de problemas.
Tema de la actividad: Procesos estocásticos
Descripción: El taller consta de tres partes, en las que se requiere diferentes niveles
de habilidad en la aplicación de los conceptos descritos en el objetivo.
Orientaciones metodológicas: Para desarrollar esta tarea se deberá revisar el
material proporcionado en la materia durante la Unidad 2.
Orientaciones prácticas (consideraciones y pasos a seguir para entregar la actividad):
• Formato: Formato PDF.
• Fecha máxima de entrega: detallada en la Ruta de Aprendizaje
• Nombre del archivo: Nombre_Apellido_PE_Taller2.pdf
• Extensión mínima: Las páginas que sean necesarias
UNIDAD II: TALLER
Parte A. Definición y características
1. Sea el proceso estocástico 𝑋(𝑡) = (𝐴 − 𝐵)𝑡 + 𝐵 con parámetro T: 𝑡 ≥ 0, donde 𝐴 y
𝐵 son variables aleatorias independiente tal que:
𝐴 = {
3; 𝑃(𝐴 = 3) = 0.35
7; 𝑃(𝐴 = 7) = 0.65
𝐵 = {
5; 𝑃(𝐵 = 5) = 0.55
2; 𝑃(𝐵 = 2) = 0.45
a. Halle la distribución de probabilidad de 𝑋(1).
b. Calcule i. E[𝑋(1)] ii. Var[𝑋(1)]
c. Dibuje las realizaciones del proceso y calcule las probabilidades de cada
uno. Utilice el código del Ejemplo 2 para dibujar las realizaciones.

2. Sea el proceso estocástico 𝑋(𝑡) = (𝐴 − 𝐵)𝑡 + 𝐵 con parámetro T: 𝑡 ≥ 0, donde 𝐴 y
𝐵 son variables aleatorias independientes con medias y varianzas conocidas. Calcule
el valor de 𝑅𝑋(1, 2).
Parte B. Procesos estacionarios
3. Sea un proceso estocástico 𝑋(𝑡) = 𝜆𝑒−𝑡
, 𝑡 > 0 donde 𝜆 es una variable continua
uniforme definida en −1 ≤ 𝜆 ≤ 1
a. Halle i. E[𝑋(𝑡)] ii. 𝑅𝑋(𝑡, 𝑡 + τ) iii. Var[𝑋(𝑡)]
b. ¿𝑋(𝑡) es un proceso ESA?
c. Halle 𝑃(𝑋(𝑡) ≤ 0)
Parte C. Caminatas aleatorias
4. Sea 𝑋(𝑛) una caminata aleatoria representada en el siguiente diagrama de estados y
probabilidades de transición, donde 𝑛 es el número de pasos de la caminata por
unidad de tiempo.
a. Escriba los valores p, q, r, s.
b. Halle la matriz probabilidad de transición.
c. El estado inicial de la caminata aleatoria es el estado 2, calcule la
probabilidad pasar al estado 4 en dos pasos.

Un proceso estocástico es un sistema que nos permite darle seguimiento a un fenómeno aleatorio a través del tiempo.

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