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Homomorfismo de Anillo
- 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS HOMOMORFISMO DE ANILLO Y MODULO Realizado por: Chris Harewood
- 2. HOMOMORFISMO DE ANILLO Se dirá que la aplicación ƒ: R → S, es un homomorfismo de anillo si se cumplen las siguientes dos condiciones: 1.- ƒ (a + b) = ƒ(a) + ƒ(b), cualesquiera que sean a, b ϵ R. 2.- ƒ (a . b) = ƒ(a) . ƒ(b), cualesquiera que sean a, b ϵ R.
- 3. HOMOMORFISMO DE ANILLO La primera condición nos dice que ƒ es en particular un homomorfismo de grupo entre los grupos abelianos (R, +) y (S, +). Con esta definición se ve que la imagen de ƒ, im(ƒ) = ƒ (R), es un subanillo de (S, +, .).
- 4. TIPOS DE HOMOMORFISMOS Se dice que ƒ es un monomorfismo si es una aplicación inyectiva, es decir, ƒ (a) = ƒ (b) implica que a = b, cualesquiera que sean a, b ϵ R. Esto es equivalente a decir que Ker ƒ = {0}.
- 5. TIPOS DE HOMOMORFISMOS • Se dice que ƒ es un epimorfismo si es una aplicación sobreyectiva, es decir, ƒ (R) = im (ƒ) = S. Un epimorfismo de anillos no es necesariamente una aplicación sobreyectiva, aunque todos los homomorfismos de anillos sobreyectivos sí resultan ser epimorfismos.
- 6. TIPOS DE HOMOMORFISMOS dice que ƒ es un isomorfismo si existe el homomorfismo inverso ƒ ⁻ᴵ : S → R de manera que ƒ ᴵƒ ⁻ᴵ= Idѕ y ƒ ᴵƒ ⁻ᴵ= Idʀ. Esto ocurre si y solo ƒ si es una aplicación biyectiva, es decir, ƒ es a la vez monomorfismo y homomorfismo exhaustivo. Se
- 7. TIPOS DE HOMOMORFISMOS • Si R y S son anillos unitarios (cuyos elementos unidades son respectivamente 1ʀ y 1ѕ), entonces la aplicación ƒ: R → S se dirá que es un homomorfismo de anillo unitario si es un homomorfismo de anillo y además se cumple ƒ (1ʀ) = 1ѕ.
- 8. HOMOMORFISMO DE MÓDULO Suponga que M es un R-módulo izquierdo y N es un subgrupo de M. Entonces N es un submódulo de (o R-submódulo, para ser más explícito) si, para cualquier n en N y cualquier r en R, el producto m está en N. Si M y N son R – módulos, entonces una función f: M → N es un homomorfismo de R – módulos si, para cualquier m, n en M y r, s en R se tiene que f (rm + sn) = rf (m) + sf (n). Esto como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es precisamente una función que preserva la estructura de los objetos.
- 9. HOMOMORFISMO DE MÓDULOS Un homomorfismo biyectivo de módulos es un isomorfismo de módulos y los dos módulos se llaman isomorfos. Dos módulos isomorfos son idénticos para todos los propósitos prácticos, diferenciándose en la notación para sus elementos. El núcleo de un homomorfismo de módulo f: M → N es el submódulo de M que consiste en todos los elementos que son enviados a cero por f. Los R-módulos izquierdos junto con sus homomorfismos de módulo, forman una categoría escrita como ʀMod. Esta es una categoría abeliana.