Análisis de fluidos incompresibles

TUBERÍAS PARA FLUIDOS
INCOMPRESIBLES
ANÁLISIS DE FLUIDOS
ALUMNOS: GRUPO: 5U
 ESMERALDA CARRASCO CHÁVEZ
 ALFONSO MARTÍNEZ CHAPARRO
 JOSÉ ALFREDO MONTAÑEZ CELIS
 JESSICA GPE. RODRÍGUEZ FLORES
 EDGAR TOMÁS SILVA CALZADA

DENSIDAD
La densidad de un fluido, denotada por «» (rho griega minúscula), es
su masa por unidad de volumen. La densidad varia mucho en los
gases, aumentando casi de forma proporcional a la presión. La
densidad de los líquidos es casi constante; la densidad del agua
(alrededor de 1000 kg/m3) tan solo se incrementa en un 1% cuando la
presión se multiplica por un factor de 220. Por tanto, la mayoría de los
líquidos se pueden considerar casi “incompresibles”

FLUJO COMPRENSIBLE EN COMPARACIÓN
DEL INCOMPRENSIBLE
Un flujo se clasifica como compresible o incompresible dependiendo de
la variación de la densidad del fluido durante ese flujo. La
incompresibilidad es una aproximación y se dice que el fluido es
incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a
lo largo de todo el flujo.

Por lo tanto, el volumen de todas las porciones del fluido permanece
inalterado sobre el curso de su movimiento cuando el flujo o el fluido es
incompresible.

EL NÚMERO DE MACH
El numero de Mach es el parámetro dominante en el análisis de flujos
compresibles, con efectos distintos dependiendo de su magnitud. Los
estudiosos de la aerodinámica suelen distinguir entre los diferentes
rangos del número de Mach siendo la siguiente clasificación
aproximada:

• Ma < 0.3, FLUJO INCOMPRESIBLE: donde los efectos de la densidad son
despreciables.
• 0.3 < Ma <0.1, FLUJO SUBSÓNICO: donde los efectos de la densidad son importantes,
pero no aparecen ondas de choque.
• 0.8 < Ma < 1.2, FLUJO TRANSÓNICO: donde aparecen por primero vez ondas de
choque que separan regiones subsónicas y supersónicas dentro del flujo. El vuelo
propulsado en régimen transónico resulta difícil a consecuencia del carácter mixto del
campo fluido
• 1.2 <Ma <3.0, FLUJO SUPERSÓNICO: donde hay ondas de choque pero ya no existen
regiones subsónicas.
• 3.0 < Ma, FLUJO HIPERSÓNICO: donde las ondas de choque y otros cambios que
experimenta el flujo son especialmente fuerte.

El número de Mach se define como:
푀푎 =
푉
푐
=
푣푒푙표푐푖푑푎푑 푑푒 푓푙푢푗표
푣푒푙표푐푖푑푎푑 푑푒 푠표푛푖푑표
En donde c es la velocidad del sonido cuyo calor es de 346 m/s en el
aire a temperatura ambiente a nivel del mar.

Para aire en condiciones estándar, un flujo puede considerarse
incompresible si la velocidad es menor que unos 100 m/s (330 ft/s).
Esto comprende una gran variedad de flujos de aire: movimiento de
automóviles y trenes, aviones ligeros, despegue y aterrizaje de aviones
de gran velocidad, la mayoría de los flujos en tuberías y en
turbomaquinaria a moderadas velocidades de giro.

Los flujos de líquidos son incompresibles hasta un nivel alto de
exactitud, pero el nivel de variación de la densidad en los flujos de
gases y el nivel consecuente de aproximación que se hace cuando se
modelan estos flujos como incompresibles depende del número de
Mach.
Entonces, se considera que casi la totalidad de los flujos de líquidos
son incompresibles, puesto que las velocidades del flujo son pequeñas
y la velocidad del sonido es muy grande.

FLUIDOS COMPRESIBLES E
INCOMPRESIBLES (COEFICIENTE DE
COMPRESIBILIDAD)
El coeficiente de compresibilidad β es una medición de la
compresibilidad de una sustancia. Mientras más grande sea este valor,
más compresible es la substancia. Compresibilidad en realidad implica
que el volumen de una sustancia es una función del nivel de presión.
β = −
1
푉
푑푉
푑푝
푇
=
1
푝
=
1
푇
V= volumen p=presión T=temperatura
En general, el coeficiente de compresibilidad es una función de la
presión y la temperatura.

Por el contrario, se puede decir que incompresibilidad es la incapacidad
para cambiar el volumen de una masa dada por la acción de la presión
externa. Se deduce, por lo tanto, que la densidad de una substancia no
es una función de la presión si la sustancia es incompresible.

Generalmente, los líquidos se consideran como substancias
incompresibles, ya que su densidad es muy insensible a los cambios
de presión.

A menudo, como en el caso de los sólidos, se utiliza el modulo de
elasticidad como una medición de incompresibilidad, y por lo tanto es el
recíproco del coeficiente de compresibilidad β:
퐸 =
1
β
= −(
푑푝
푑푉/푉
)푟

Ya que para un aumento de la presión el volumen disminuye, la
derivada de dp/dV es negativo, y en consecuencia el signo menos en el
lado de la mano derecha de la ecuación hace al coeficiente de
compresibilidad y al módulo de elasticidad positivos.
퐸 =
1
β
= −(
푑푝
푑푉/푉
)푟

Para un gas perfecto, β es función de la presión por sí sola. De hecho,
el coeficiente de compresibilidad es la inversa de la presión absoluta, y
por consiguiente la mayor parte de módulo de elasticidad es la propia
presión cuando el proceso de compresión o expansión es isotérmica.

Para un proceso politrópico, el módulo de elasticidad será:
퐸 =
푑푝
푑푉/푉
= 푛푝

EJEMPLO
Encontrar el aumento de presión necesaria para produce una reducción del
1% en el volumen de agua a presión y temperatura normal (45°F).
Para agua a aproximadamente 45 º F, el valor de E es de 300,000 psi,
entonces, para un aumento de presión finita
Δ푃 = −퐸
Δ푉
푉
= −300,000 −0.01 = 3,000 푝푠푖

Que en comparación con el aumento de presión del aire, si lo
sometemos a una reducción del 1% y dentro de un proceso
isoentrópico, donde el módulo de elasticidad kp=-1.4*14.7 psi,
tendremos que:
Δ푃 = −1.4 ∗ 14.7 −0.01 = 0.206 푝푠푖

En ejemplo anterior, pudimos observar el por qué de las clasificaciones
de movimiento de fluido compresible e incompresible, lo cual en esta
ocasión se deberá comprender como la presencia o la omisión de las
fuerzas elásticas, las cuales en general, modifican el carácter sobre
todo el flujo.

RELACIÓN ENTRE LA ECUACIÓN DE
BERNOULLI Y LA ECUACIÓN DE ENERGÍA
EN FLUJO ESTACIONARIO
푃1
푝
+
1
2
2 + 푔푧1 =
푉1
푃2
푝
+
1
2
2 + 푔푧2 = 푐표푛푠푡푎푛푡푒
푉2
Esta es la ecuación de Bernoulli para un flujo estacionario
incompresible y sin fricción a lo largo de una línea de corriente.

esta ecuación está relacionada con la ecuación de la energía en
régimen estacionado (푄 −푊 푠 −푊 휐 =
휕
휕푡
cv 푢 +
1
2
푉2 + 푔푧 휌푑풱 + c푆
ℎ +
1
2
푉2 + 푔푧 휌 푉 ∙ 푛 푑퐴),
que también corresponde al flujo en un tubo de corriente (con una
entrada , y una salida). Dicha ecuación se puede escribir en la forma:
푃1
푝
+
2
2
훼1푉1
+ 푔푧1 =
푃2
푝
+
2
2
훼2푉2
+ 푔푧2 + û2 − û1 − 푞 + 푤푠 + 푤푣

푃1
푝
+
2
2
훼1푉1
+ 푔푧1 =
푃2
푝
+
2
2
훼2푉2
+ 푔푧2 + û2 − û1 − 푞 + 푤푠 + 푤푣
Esta relación es mucho más general que la ecuación de Bernoulli, ya que
permite tener en cuenta:
• La fricción
• La transferencia de calor
• El trabajo mecánico
• El trabajo viscoso (otro efecto de la fricción)

푃1
푝
+
1
2
2 + 푔푧1 =
푉1
푃2
푝
+
1
2
2 + 푔푧2 = 푐표푛푠푡푎푛푡푒
푉2
La ecuación de Bernoulli es una relación entre fuerzas, obtenida a partir de
conservación de cantidad de movimiento. Las consideraciones que hay que
tener en cuenta en la ecuación son:
• Flujo estacionario: una suposición muy común. aplicable a runcho, flujos.
• Flujo incompresible: aceptable si el número de Mach del flujo es inferior a
0.3.
• Flujo sin fricción: muy restrictivo, las paredes sólidas introducen efecto de
fricción.
• Flujo a lo largo de una línea de corriente: líneas de corriente distintas
pueden tener diferentes “constantes de Bernoulli” 푤0 = 푃 푝 + 푉2 2 + 푔푧
dependiendo de las condiciones del flujo.

EJEMPLO (CONSERVACIÓN DE MASA)
Escriba la ecuación de conservación de la masa para el flujo
estacionario por el interior de un tubo de corriente (flujo paralelo a las
paredes en todo punto) con una entrada unidimensional en 1 y salida
unidimensional en 2.

Para el flujo estacionario aplicaremos la siguiente ecuación con una
salida y una entrada:
푚 = 휌1퐴1푉1 = 휌2퐴2푉2 = 푐표푛푠푡푎푛푡푒
Así, en el flujo estacionario en un tubo de corriente, el gasto másico es
constante a través de cualquier sección de dicho tubo. Si la densidad
es constante, tenemos entonces:
푄 = 퐴1푉1 = 퐴2푉2 = 푐표푛푠푡푎푛푡푒 ó 푉2 =
퐴1
퐴2
푉1

En el flujo estacionario e incompresible en un tubo de corriente, el flujo
volumétrico es constante a través de cualquier sección de dicho tubo y
la velocidad aumenta cuando disminuye la sección. Esta relación fue
obtenida por Leonardo Da Vinci en 1500.

Antes de seguir con mas ejemplos, hagamos notar que la ecuación de
Bernoulli no necesita un análisis de volúmenes de control, sino
simplemente seleccionar los puntos 1 y 2 a lo largo de una línea de
corriente. El volumen de control fue utilizado para obtener una ecuación
diferencial ( 휕
휕푡
푑푠 +
푑푝
휌
+ 푉 푑푉 + 푔 푑푧 = 0), cuya forma integrada (푃1
푝
+
1
2
2 +
푉1
푔푧1 =
푃2
푝
+
1
2
2 + 푔푧2) es valida a lo largo de líneas de corriente para flujo
푉2
sin fricción ni adición de calor o trabajo, y por ello no se necesita ningún
volumen de control.

Una aplicación clásica de la ecuación de Bernoulli es el trasiego de
fluido de un recipiente a otro mediante un sifón. La fuerza motriz es
producida por la diferencia da presión hidrostática , sin utilizar ninguna
bomba. Lo analizamos en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO
Considere el sifón mostrado en la Figura E3.22 Suponiendo que se
cumplen un hipótesis que garantizan la validez de la ecuación
Bernoulli. (a) encuéntrese una expresión para la velocidad 푣2 a la
salida del tubo del sifón. (b) Si el tubo tiene 1 cm de diámetro y 푧1=
60cm 푧2= -25 cm 푧3= 90 cm y 푧4= 35 cm, estime el caudal en 푐푚 3 푠.

Consideraciones: Flujo sin fricción, estacionario, incompresible.
Escribimos la ecuación de Bernoulli empezando por el punto donde la
información se conoce (superficie 푧2) hasta el punto donde se desea la
información (salida del tubo, 푧2).
푃1
푝
+
1
2
2 + 푔푧1 =
푉1
푃2
푝
+
1
2
2 + 푔푧2
푉2
Observe que la velocidad es aproximadamente cero en 푧1, y la línea de
corriente va de 푧1 푎 푧2. Fíjese además que 푝1 푦 푝2 son ambas la presión
atmosférica, 푝 = 푝푎푡푚 y se cancelan. (a) Entonces, la velocidad de
salida del tubo queda:
푽ퟐ = ퟐ품 (풛ퟏ − 풛ퟐ)

Se puede ver que cuando mas abajo se situé la salida del tubo con
respecto al nivel de la superficie del depósito, mayor será la velocidad
de salida. El efecto sifón no se produce si la salida esta a un nivel igual
o superior a la superficie del tanque.

Aunque las cotas 푧3 y 푧4 no entran en el análisis, 푧3 no debe ser
demasiado grande ya que la presión podría decrecer basta alcanzar la
presión de vapor del Liquido. (b) Para los valores numéricos dados
(sólo necesitamos 푧1 y 푧2). empleando unidades SI, se tiene:
푉2 = 2 9.81푚 푠2 [0.6푚 − −0.25 푚] = 4.08푚/푠
푸 = 푽ퟐ푨ퟐ = ퟒ. ퟎퟖ풎 풔 흅 ퟒ ퟎ. ퟎퟏ풎 ퟐ = ퟑퟐퟏ푬 − ퟔ풎ퟑ 풔 =
ퟑퟐퟏ 풄풎ퟑ 풔 (Caudal)

FLUJO INCOMPRESIBLE
Un caso especial que da lugar a una gran simplificación es el flujo
incompresible donde las variaciones de densidad son despreciables.
Entonces 휕푝 휕푡 = 0 , independientemente dc que el flujo sea
estacionario o no, y la densidad puede sacarse era de la divergencia
en la ecuación
휕휌
ð푡
+ 훻 ∙ (휌푉). El resultado:
훻 ∙ 푉 = 0
es válido para flujo incompresible estacionado y no estacionario.

Su forma en los dos sistemas de coordenadas:
• Cartesiana:
휕푢
휕푥
+
휕푣
휕푦
+
휕푤
휕푧
= 0
• Cilíndrica:
1
푟
휕
휕푟
푟푣푟 +
1
푟
휕
휕휃
푣휃 +
휕
휕푧
푣2 = 0
Estas son ecuaciones diferenciales lineales.

En los líquidos y los movimientos lentos de los gases sin adición de
calor, el movimiento del fluido pueden, en muchos casos, se
considerarán incompresible, la densidad en ese caso es constante, y la
forma de la ecuación incompresible quedaría como:
1
2
푈2 +
푝
휌
+ 푔푧 = 푐표푛푠푡푎푛푡푒

FLUJO INCOMPRESIBLE CON
PROPIEDADES CONSTANTES
• Continuidad: 훻 ∙ 푉 = 0
• Cantidad de movimiento: 휌
푑푉
푑푡
= 휌푔 − 훻p + μ훻2푉
• Energía: 휌푐푝
푑푇
푑푡
= 휆훻2푇 + 휙
Dado que  es constante, solo hay tres incógnitas: p V y T. El sistema
esta cerrado.

No solo eso, el sistema se divide en dos, puesto que las ecuaciones de la
continuidad y de la cantidad de movimiento son independientes de T. Por
tanto, podemos resolver separadamente las primeras dos ecuaciones
anteriores ecuaciones para la presión y la velocidad, utilizando condiciones de
contorno tales como:
• Superficie solida: 푉 = 푉푝푎푟푒푑
• Entrada o Salida: 푉, 푝 conocidas
• Superficie libre: 푝 ≈ 푝푎 푤 ≈
휕휂
휕푡

EL TUBO ESTÁTICO DE PITOT EN FLUJO
INCOMPRESIBLE
Un tubo estático de Pitot es un pequeño tubo que apunta en la
dirección de la corriente de manera que , gracias a la medición de
presiones apropiadas , la magnitud de la velocidad en esa corriente, se
puede determinar . El instrumento se muestra en la siguiente figura
sumergido en un fluido de densidad de 휌0.

tubo estático de Pitot con manómetro

La sonda de sección circular tiene una abertura en 1, que es el punto
de estancamiento del estancamiento aerodinámico 0-1. La presión
medida en este punto se transmite por separado en la pierna derecha
del manómetro que contiene un fluido de densidad 휌푚. Una serie de
agujeros se perforan a lo largo de la periferia del tubo en 2 .

El contorno de la sonda está diseñada de tal manera que el punto 2
está lo suficientemente lejos de 1 de manera que las condiciones del
fluido en 2 son idénticas a los del flujo no perturbado a 0 . La presión
medida en 2 es sólo la presión ambiente y, en consecuencia no se ve
afectada por la carga dinámica , puesto que la velocidad es paralela al
lado de la sonda.

Esta presión en 2 se transmite a través de un paso independiente en el
lado de la mano izquierda del manómetro . El manómetro, por lo tanto ,
lee la diferencia de presiones entre 1 y 2 o 0.

Mide la presión del aire de impacto resultante del movimiento de la
aeronave.
Suele estar situado debajo del ala o en el morro del avión.
Para evitar el engelamiento en el tubo Pitot, suele llevar incorporado un
elemento calefactoreléctrico que puede ser accionado en cualquier
momento por medio de un interruptor en cabina.

El Sistema estático de Pitot es un sistema que utiliza la presión de
impacto del aire sobre un tubo de Pitot y la presión estática del aire en
calma para el funcionamiento de varios instrumentos de vuelo:
indicador de velocidad indicada (anemómetro),altímetro e indicador de
velocidad vertical (variómetro).

BIBLIOGRAFÍA:
• MECÁNICA DE FLUIDOS; FRANK M. WHITE; 5ª EDICIÓN; EDITORIAL
MCGRAW HILL
• MECÁNICA DE FLUIDOS FUNDAMENTOS Y APLICACIONES; YUNUS
A. CENGEL; EDITORIAL MCGRAW HILL
• PRINCIPLES OF FLUID MECHANICS; SALOMON ESKINAZI; ALLYN
AND BACON, INC., BOSTON, 1962
• HTTP://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=RJBDIZ2F01U
• HTTP://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=OT6BAI6PZF4
• HTTP://WWW.PASIONPORVOLAR.COM/SISTEMA-DE-PITOT-ESTATICO/

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