Esquemas Débilmente Completos y Estructuras Logarítmicas

Esquemas Débilmente Completos y Estructuras
Logar´ıtmicas
Revisando lo Expuesto Anteriormente
J. Rogelio Pérez Buend´ıa
Centro de Investigación en Matemáticas (CIMAT)
Seminario de Aritmética: cohomolog´ıa de De Rham p-ádica
11 de febrero de 2016

Objetivo
Retomamos el seminario con un resumen del lo que se ha trabajado hasta
ahora: esquemas débilmente completos, levantamiento de morfismos
suaves en esquemas †ádicos, esquemas logar´ıtmicos, esquemas
logar´ıtmicos formales, estructuras logar´ıtmicas en esquemas †-ádicos,
morfismos log-suaves. Si el tiempo lo permite se abordará el problema de
levantamiento de morfismos log-suaves para esquemas débilmente
completos.

Estructuras Pre-Logar´ıtmicas
X = (X, OX ) un espacio anillado.

Estructuras Pre-Logar´ıtmicas
X = (X, OX ) un espacio anillado.
Una estructura pre-logar´ıtmica es un par (P, α) en donde P es una
gavilla de monoides (conmutativos con uno) y
α : P → OX
es un morﬁsmo de gavillas de monoides (con la estructura
multiplicativa en OX ).

Morfismos de Estructuras pre-logar´ıtmicas
Un morfismo φ : (P, α) → (Q, β) consiste de un morfismo de
gavillas f : P → Q tal que:
P
α
f // Q
β
~~
OX
conmuta.

P
α
f // Q
β
~~
OX
conmuta.
Una estructura pre-logar´ıtmica (P, α) es llamada idealizada si est´a
dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que
α(I) = 0.

P
α
f // Q
β
~~
OX
conmuta.
Una estructura pre-logar´ıtmica (P, α) es llamada idealizada si está
dotada de una gavilla de ideales I ⊂ P con la propiedad de que
α(I) = 0.
Un morfismo de estructuras logar´ıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)
φ : (P, α, I) → (Q, β, J)
es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⊂ J.

Categor´ıas de Estructuras Logar´ıtmicas
Denotamos por PreLogSt(X) y por IdPreLogSt(X) a las categor´ıas de
estructuras pre-logar´ıtmicas y de estructuras pre-logar´ıtmicas idealizadas
en el espacio anillado (X, OX ).

A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vac´ıo: (P, α) → (P, α, ∅).

A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente
considerando el ideal vac´ıo: (P, α) → (P, α, ∅).
Esta asociaci´on nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de
la desidealizac´ıon.

Estructuras Logar´ıtmicas
Deﬁnici´on
Una estructura pre logar´ıtmica (P, α) es una estructura logar´ıtmica
(log-st) si
α−1
(O∗
X ) O∗
X .
Es decir si P contiene a O∗
X v´ıa α.

Estructuras Logar´ıtmicas
Definición
Una estructura pre logar´ıtmica (P, α) es una estructura logar´ıtmica
(log-st) si
α−1
(O∗
X ) O∗
X .
Es decir si P contiene a O∗
X v´ıa α.
Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logar´ıtmicas, es un morfismo
de (idealizadas) pre-log-st.

A toda Pre-Log-St le corresponde una única Log-St
El funtor de olvido:
LogSt −→ PreLogSt
tiene un adjunto izquierdo de tal manera que a cada pre-log-st (P, α) le
corresponde una única log-st (Pa
, αa
) con al propiedad de que cualquier
morfismo de pre-log-st:
(P, α) −→ (Q, β)
con (Q, β) una log-st se factoriza por αa
:
(P, α) //
$$
(Q, β)
(Pa
, αa
)
OO

−a
: PreLogSt → LogSt
Pa
está definido por el producto amalgamado:
Pa
:= P ⊕α−1(O∗
X ) O∗
X
y αa
está dado por el diagrama cartesiano:
α−1
(O∗
X ) //
α

P

α
O∗
X
// Pa
αa
// OX

Adjunción en IdPreLogSt y en IdLogSt
Podemos extender la adjunción para pre-log-st:
Dotamos a (Pa
, αa
) del ideal Ia
generado en Pa
por la imagen de I por el
morfismo P → Pa
.

Adjunción en IdPreLogSt y en IdLogSt
Podemos extender la adjunción para pre-log-st:
Dotamos a (Pa
, αa
) del ideal Ia
generado en Pa
por la imagen de I por el
morfismo P → Pa
.
La (id) log-st Pa
asociada es la la (id) log-st asociada a P.

Ejemplos:
La categor´ıa LogSt(X) de estructuras logar´ıtmicas en X tiene un
objeto inicial, llamada la estructura logar´ıtmica trivial y est´a dada
por la inclusi´on O∗
X → O∗
X .

Ejemplos:
X → O∗
X .
La categor´ıa (st.logX) también tiene un objeto final dado por la
aplicación OX → OX .

Ejemplos:
X → O∗
X .
La categor´ıa (st.logX) también tiene un objeto final dado por la
aplicación OX → OX .
De hecho tenemos que la categor´ıa de esquemas es una subcategor´ıa
plena de la categor´ıa de esquemas con estructura logar´ıtmica (a
definir más adelante), simplemente dotando a un esquema con su
estructura logar´ıtmica trivial.

Divisor Con Cruzamientos Normales
la estructura logar´ıtmica MD en X asociada al divisor D como:
MD(U) := g ∈ OX (U) : g |UD∈ O∗
X (U D) ⊂ OX (U).

MD(U) := g ∈ OX (U) : g |UD∈ O∗
X (U D) ⊂ OX (U).
El morfismo estructural está dado por la inclusión, lo que hace de M una
estructuras pre-logar´ıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logar´ıtmica basta notar que toda g ∈ O∗
X está trivialmente incluida en
MD.

MD(U) := g ∈ OX (U) : g |UD∈ O∗
X (U D) ⊂ OX (U).
El morfismo estructural está dado por la inclusión, lo que hace de M una
estructuras pre-logar´ıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura
logar´ıtmica basta notar que toda g ∈ O∗
X está trivialmente incluida en
MD.
El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.
Más adelante veremos que en este caso el esquema logar´ıtmico es
log-suave. De hecho, la razón por la que es conveniente usar la
cohomolog´ıa étale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de
cruzamientos normales es en la topolog´ıa étale.

Imagen inversa
Sea f : X → Y un morﬁsmo de espacios anillados. Si MY es una
estructura logar´ıtmica en Y , podemos deﬁnir una estructura logar´ıtmica
en X como la estructura logar´ıtmica asociada a la estructura
pre-logar´ıtmica:
f −1
(MY ) → f −1
(OY ) → OX
Esta es llamada la estructura logar´ıtmica imagen inversa de MY bajo f y
es denotada por f ∗
(MY ) = f ∗
MY .

Morfismos de Esquemas Logar´ıtmicos
Definición
Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura
logar´ıtmica) X → Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas
f : X → Y
y un morfismo
f b
: f ∗
MY → MX
de estructuras logar´ıtmicas en X.

Morfismos de Esquemas Logar´ıtmicos
Definición
Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura
logar´ıtmica) X → Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas
f : X → Y
y un morfismo
f b
: f ∗
MY → MX
de estructuras logar´ıtmicas en X.
Denotamos por LogSch a la categor´ıa de esquemas con estructura
logar´ıtmica y son llamados log-sch o esquemas logar´ıtmicos.

El caso Idealizado
Si iniciamos con una estructura logar´ıtmica idealizada en Y, también
podemos definir la imagen inversa bajo f : X → Y esta de manera
análoga, simplemente defendiendo el la imagen inversa del ideal J.

El caso Idealizado
Si iniciamos con una estructura logar´ıtmica idealizada en Y, también
podemos definir la imagen inversa bajo f : X → Y esta de manera
análoga, simplemente defendiendo el la imagen inversa del ideal J.
También se puede definir la imagen directa de una (id) log-st y estas dos
cumplen la propiedad de adjunción usual entre la imagen directa y la
imagen inversa de gavillas.
En este caso denotamos por IdLogSch a la categor´ıa e esquemas
logar´ıtmicos idealizados (con estructura logar´ıtmica idealizada).

Resultados ´Utiles
Sea f : X → Y un morﬁsmo de espacios anillados
La imagen inversa de la estructura logar´ıtmica trivial, es trivial:
f −1
(O∗
Y ) O∗
X

Resultados ´Utiles
Sea f : X → Y un morﬁsmo de espacios anillados
La imagen inversa de la estructura logar´ıtmica trivial, es trivial:
f −1
(O∗
Y ) O∗
X
Si PY es pre-log-st en Y tal que Pa
Y MY , entonces
f ∗
(MY ) (f −1
(PY ))a
.

Estructura Can´onica Asociada a un Monoide
Sea P un monoide y R un anillo. Denotamos por R[P] al ´algebra
monomial.

monomial.
Sea X = ƒpe™(‚[€]). Entonces X tiene una estructura logar´ıtmica
canónica asociada al morfismo de monoides P → R[P] (la inclusión
canónica de grado uno).

monomial.
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canónico
inducido por P → R[P] definiendo as´ı una estructura pre-logar´ıtmica en
X, entonces a esta le asociamos la estructura logar´ıtmica (P)a
inducida.

monomial.
En efecto la gavilla constante P asociada a P tiene el morfismo canónico
inducido por P → R[P] definiendo as´ı una estructura pre-logar´ıtmica en
X, entonces a esta le asociamos la estructura logar´ıtmica (P)a
inducida.
Denotamos por
ƒpe™(€ → ‚[€])
a el esquema logar´ıtmico con espacio X y estructura logar´ıtmica su
estructura logar´ıtmica canónica inducida.

Ejemplos:
La estructura logar´ıtmica en ƒpe™(€ → ‚[€]) puede entenderse
como la imagen inversa de la estructura logar´ıtmica en
ƒpe™(€ → [€]) v´ıa el morﬁsmo can´onico Z[P] → R[P].

Ejemplos:
Sea k un campo y sa Y = An
k = ƒpe™(k[x1, . . . , xn]). Sea
D = V (x1 · · · xr ).

Ejemplos:
Sea k un campo y sa Y = An
k = ƒpe™(k[x1, . . . , xn]). Sea
D = V (x1 · · · xr ).
MD puede interpretarse como el submonoide de OY generado por
O∗
Y y {x1, . . . , xn}.

Ejemplo: Punto Logar´ıtmico
Si ahora considero la inclusión ƒpe™(k) → ‰ que manda el punto al
origen de Y , entonces la imagen inversa de MD es k∗
Nr
. El morfismo
estructural está dado por
(a, n1, . . . , nr ) → a · 0n1+n2+···+nr
. aqu´ı convenimos que 00
= 1.

Ejemplo: Punto Logar´ıtmico
Si ahora considero la inclusión ƒpe™(k) → ‰ que manda el punto al
origen de Y , entonces la imagen inversa de MD es k∗
Nr
. El morfismo
estructural está dado por
(a, n1, . . . , nr ) → a · 0n1+n2+···+nr
. aqu´ı convenimos que 00
= 1.
Al punto ƒpe™(k) con la estructura logar´ıtmica anterior (para cualquier r)
lo llamamos punto logar´ıtmico. Cuando r = 1 decimos que este es el
punto logar´ıtmico estándar.

Layout
Esquemas Logar´ıtmicos
Esquemas Débilmente Completos Logar´ıtmicos
Esquemas Formales logar´ıtmicos
Esquemas Débilmente Completos
log-Diferenciales y Log-Suavidad
Cartas en Estructuras Logar´ıtmicas
Estructuras Logar´ıtmicas Finas
Diferenciales logar´ıtmicas y Morfismos log-suaves

Completación de un Anillo
A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.
Definición
La completación de A respecto al ideal I es el anillo
Â := lim
←−
n 1
A/In
⊂
n 1
A/In
También decimos que Â es la completación I-ádica de A.
Tenemos un morfismo canónico de anillos A → Â inducido por las
proyecciones A → A/In
.

Completación Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersión cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definición
La completación formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
ˆX := ( ˆX, O ˆX )
tal que:
ˆX = Y como espacio topológico.
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topolog´ıa I-ádica si
A Â. En particular Â es completo.

Completación Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersión cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definición
La completación formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
ˆX := ( ˆX, O ˆX )
tal que:
ˆX = Y como espacio topológico.
O ˆX := lim
←−
OX /In
considerada como gavilla en Y .
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topolog´ıa I-ádica si
A Â. En particular Â es completo.

El caso af´ın
Si X = ƒpe™(e) es un esquema af´ın y si Y = ƒpe™(e/s) es un
subesquema cerrado af´ın, entonces tenemos que:
Γ(O ˆX , ˆX) = Â
es la completación I-ádica de A.

El caso af´ın
Si X = ƒpe™(e) es un esquema af´ın y si Y = ƒpe™(e/s) es un
subesquema cerrado af´ın, entonces tenemos que:
Γ(O ˆX , ˆX) = Â
es la completación I-ádica de A.
ˆX es de hecho un espacio localmente anillado
Los anillos locales de ˆX no son completos en general.

La categor´ıa de esquemas formales noetherianos
Definición
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X, OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui , OUi
) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completación de un esquema Xi respecto a una inmersión cerrada Yi .

La categor´ıa de esquemas formales noetherianos
Definición
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X, OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui , OUi
) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completación de un esquema Xi respecto a una inmersión cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.

Definición
Una R-álgebra A†
es Débilmente completa si se cumple que:
A†
es Hausdorff respecto a la topolog´ıa m-ádica. Es decir si
∩mn
= (0).

Definición
Una R-álgebra A†
es Débilmente completa si se cumple que:
A†
es Hausdorff respecto a la topolog´ıa m-ádica. Es decir si
∩mn
= (0).
Si f = |i| 0 ai Xi
∈ R[[X]] es una serie de potencias con
coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda
n-tupla i:
c[ordm(ai )] |i|
es decir si f está en la completación m-ádica de R[X]; entonces para
toda n-tupla a ∈ A†n
se tiene que f (a) ∈ A†
.

Completación débil
Definición
La completación débil de una R-álgebra A, es el álgebra débilmente
completa más pequeña A†
⊂ Â tal que contiene a A.
Es decir, que satisface la propiedad universal:

Débilmente completa finitamente generada
Definición
Una álgebra A†
débilmente completa es llamada (dcfg) débil completa
finitamente generada si existe una colección finita de elementos
a1, a2, . . . , ak ∈ A†
tal que para todo a ∈ A†
existe una serie de potencias
f en n-variables tal que:
a = f (a1, . . . , an)
Claramente la completación débil de una álgebra R finitamente generada
es una dcfg álgebra.

Esquema formal débil af´ın
Definición
un esquema formal débil af´ın es un espacio (X, OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-álgebra A†
el espacio topológico
asociado es:
X = ƒpe™(e†
/me†
)

Esquema formal débil af´ın
Definición
un esquema formal débil af´ın es un espacio (X, OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-álgebra A†
el espacio topológico
asociado es:
X = ƒpe™(e†
/me†
)
y la gavilla estructural OX está descrita en sus abiertos básicos
principales (en términos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†
/mA†
denotamos por Xf el abierto principal básico correspondiente.
Entonces:
Γ(Xf , OX) := (A†
f )†
la completación débil de la localización A†
f para cualquier
representante f de [f ] en A†
.

Esquema formal débil
Definición
Un (pre)esquema formal débil es un espacio localmente anillado
(X, OX) que es localmente isomorfo a esquemas formales débiles afines.

Teoremas de Meredith
Si R es un anillo de valuación discreta completo y si (X, OX) es el
esquema formal débil asociado a una álgebra A†
débilmente
completa finitamente generada (dcfg), entonces:
Se tiene una equivalencia entre las categor´ıas:
{Gavillas coherentes de OX-módulos} ⇐⇒ A†
-módulos f.g.

Si (X, OX ) es un esquema (ordinario) de R-álgebras propio sobre R
con completación débil (X, OX) y si F es una gavilla coherente de
OX -módulos con completación débil F, entonces el mapeo natural:
Hi
(X, F) −→ Hi
(X, F)
es biyectivo.

Si R es un dominio de valuación discreta completo y si (X, OX ) es un
R-esquema proyectivo con completación formal débil (X, OX) entonces el
funtor “Completación débil” es una equivalencia entre la categor´ıa:
{OX -módulos coherentes} ⇐⇒ { OX-módulos coherentes }

Si R es un dominio de valuación discreta completo y si (X, OX ) es un
R-esquema proyectivo con completación formal débil (X, OX) entonces el
funtor “Completación débil” es una equivalencia entre la categor´ıa:
{OX -módulos coherentes} ⇐⇒ { OX-módulos coherentes }
Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.

Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.

Llamaremos simplemente álgebra †-ádica a un álgebra A†
débilmente
completa.

débilmente
completa.
A un esquema formalmente débil (X, OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-ádico y lo denotaremos por X†
.

débilmente
completa.
.
Dado un esquema †-ádico X†
= (X, OX), definimos su reducción
(módulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X, OX/m)
en dónde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X†
es un
levantamiento de su reducción.

débilmente
completa.
.
Dado un esquema †-ádico X†
= (X, OX), definimos su reducción
(módulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X, OX/m)
en dónde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X†
es un
levantamiento de su reducción.
Si X†
es un esquema †-ádico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .

Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-ádico X†
es af´ın si, y sólo si su reducción (esquema sobre
R1 := R/m) es af´ın.

Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-ádico X†
es af´ın si, y sólo si su reducción (esquema sobre
R1 := R/m) es af´ın.
Corolario
El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto af´ın por un
esquema †-ádico, es un esquema †-ádico af´ın.
levantamiento

Cartas
Definición
Sea (X, MX ) un log-sch y P un monoide.
Consideremos a la gavilla constante PX en X inducida por P.
Una carta para MX es un morfismo
PX → MX
tal que el morfismo inducido de estructuras logar´ıtmicas
Pa
→ MX
es un isomorfismo
Recordemos que Pa
es la estructura logar´ıtmica asociada a la estructura
pre-logar´ıtmica dada por PX → MX → OX

Otra forma de ver a las cartas:
Una carta para MX es equivalente a un morﬁsmo de log-esquemas:
(X, MX ) → ƒpe™(€ → Z[€])
tal que f b
es un isomorﬁsmo.

Otra forma de ver a las cartas:
Una carta para MX es equivalente a un morfismo de log-esquemas:
(X, MX ) → ƒpe™(€ → Z[€])
tal que f b
es un isomorfismo. En general tenemos lo siguiente:
Lema
El morfismo:
HomLogSch(X, ƒpe™(€ → Z[€])) → HomMon(€, (ˆ, MX))
que asocia a f la composición:
P → Γ(X, PX ) → Γ(X, MX )
es un isomorfismo.

Cartas de log-morfismos
Definición
Sea f : X → Y un morfismo de log-esquemas. Una carta para f es una
triplete
(PX → MX , QY → MY , Q → P)
en donde PX , QY son gavillas constantes asociadas a los monoides P, Q
que satisfacen las siguientes condiciones:

Deﬁnici´on
triplete
(PX → MX , QY → MY , Q → P)
PX → MX y QY → MY son cartas de MX y MY respectivamente.

Definición
triplete
(PX → MX , QY → MY , Q → P)
PX → MX y QY → MY son cartas de MX y MY respectivamente.
El morfismo de monoides Q → P hace el siguiente diagrama de
gavillas en X conmutativo:
QX
//

PX

f ∗
MY
// MX

Grupo asociado a un Monoide
Recordemos que a todo monoide P le podemos asociar un grupo (el
grupo de Grothendieck) dado por:
Pgp
:= {(a, b)|(a, b) (c, d) si ∃ s ∈ P tal que s + a + d = s + b + c} ;
que satisface la propiedad universal de que todo morﬁsmo de P a un
grupo se factoriza por Pgp
de manera ´unica.

Definiciones
Definición
Un monoide P es llamado integral si el morfismo canónico
P → Pgp
es inyectivo.
Es llamado saturado si este es integral y para cada p ∈ Pgp
, se tiene que
si np ∈ P para algún entero n, entonces p ∈ P.

Definiciones
Definición
P → Pgp
es inyectivo.
, se tiene que
Definición
Un esquema logar´ıtmico X es llamado fino, si en localmente- étale existe
una carta
P → MX
con P un monoide integral finitamente generado.

Definiciones
Definición
P → Pgp
es inyectivo.
, se tiene que
Definición
Un esquema logar´ıtmico X es llamado fino, si en localmente- étale existe
una carta
P → MX
con P un monoide integral finitamente generado.
Si además P se puede elegir de tal manera que sea saturado, entonces X

Morfismo Estricto e Inmersión cerrada estricta
Definición
Un morfismo f : X → Y de log-equemas es llamado estricto si el
morfismo respectivo
f b
: f ∗
MY → MX
es un isomorfismo.

Morfismo Estricto e Inmersión cerrada estricta
Definición
Un morfismo f : X → Y de log-equemas es llamado estricto si el
morfismo respectivo
f b
: f ∗
MY → MX
es un isomorfismo.
Es una inmersión cerrada estricta, si es estricto y el morfismo de
esquemas X → Y es una inmersión cerrada.

Nota:
Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de log-esquemas:
T0
Φ //
j

X
f

T1
Φ
// Y
con j una inmersión cerrada estricta definida por un ideal J tal que
J2
= 0.
Notemos que tanto T0, como T1 tienen al mismo espacio topológico
subyacente. Además ambos tienen al mismo sitio étale.

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