Estocastica

Programaciń Estoc´stica
o a

E. Cerdá , J. Morenob
a
a Departamento An´lisis Econ´mico. UCM.
a o
b Departamento de Estad´
ıstica. UCM.

1 Introducciń
o
Tal como su nombre indica, la Programaciń Estoc´stica trata problemas de Pro-
o a
gramaciń Matem´tica en cuya formulaciń aparece algń elemento estoc´stico.
o a o u a
Por tanto, mientras que en un problema determin´ ıstico de Programaciń Ma-
o
tem´tica, ya sea de Programaciń Lineal, Programaciń No Lineal, Programaciń
a o o o
Entera, Programaciń Mixta Lineal Entera o Programaciń Mixta No Lineal En-
o o
tera, todos los datos (coeficientes) que aparecen en su formulaciń son n´meros
o u
conocidos, en Programaciń Estoc´stica dichos datos (o al menos alguno de ellos)
o a
son desconocidos, aunque para ellos se conoce o se puede estimar su distribuciń o
de probabilidad. Para precisar m´s, veamos las dos definiciones que propone
a
Prekopa [29]:
Primera definiciń: “Programaciń Estoc´stica es la ciencia que ofrece solu-
o o a
ciones para problemas formulados en conexiń con sistemas estoc´sticos, en los
o a
que el problema num´rico resultante a resolver es un problema de Programaciń
e o
Matem´tica de tamaõ no trivial“.
a n
Segunda definiciń: “La Programaciń Estoc´stica trata problemas de Progra-
o o a
maciń Matem´tica en los que algunos de los par´metros son variables aleatorias,
o a a
bien estudiando las propiedades estad´ ısticas del valor optimo aleatorio o de otras
´
variables aleatorias presentes en el problema o bien reformulando el problema
en otro de decisiń en el que se tiene en cuenta la distribuciń de probabilidad
o o
conjunta de los par´metros aleatorios“.
a
Los problemas resultantes de ambas definiciones son llamados problemas de
Programaciń Estoc´stica.
o a

Rect@ Monogr´fico 2 (2004)
a

4 Programaciń Estoc´stica
o a

La aleatoriedad en coeficientes en unos casos se deber´ a la falta de fiabilidad
a
en los datos recogidos, en otros casos a errores de medida, en otros a eventos
futuros ań no conocidos, etc.
u
Tal como indica Dantzig [11], la Programaciń Estoc´stica comenz´ en 1955
o a o
con los trabajos de Dantzig [10] y Beale [2]. y ya en la misma dćada alcanz´
e o
con Markowitz [23] una aplicaciń muy destacada al problema de selecciń de
o o
carteras que le llevar´ a la consecuciń del Premio N´bel. En [34] se recogen
ıa o o
unas 800 referencias sobre trabajos publicados entre 1955 y 1975, clasificadas en
funciń de su contenido.
o
En 1974 se celebr´ en Oxford (Inglaterra) la primera conferencia internacio-
o
nal en Programaciń Estoc´stica, organizada por Michael Dempster. En 1981
o a
se celebr´ en K¨szeg (Hungr´ la segunda conferencia, organizada por Andra
o o ıa)
Prekopa. En dicho encuentro se puso en marcha el Committee on Stochastic Pro-
gramming (COSP), como una rama de la Mathematical Programming Society.
Dicho comit´ ha sido el responsable de organizar los sucesivas conferencias que
e
se han ido celebrando. La novena conferencia internacional se celebr´ en Berl´
o ın
(Alemania) en 2001 y la dćima se celebrar´ los d´ 9 a 12 de Octubre de 2004
e a ıas
en Tucson, Arizona (USA).
El COSP ha puesto en funcionamiento la p´gina web http// stoprog.org en la
a
que se puede encontrar mucha informaciń y documentaciń sobre Programaciń
o o o
Estoc´stica.
a

2 Definiciones b´sicas
a
Se considera el siguiente problema de Programaciń Estoc´stica:
o a

˜
m´ g0 x, ξ ,
ın ˜
x
sujeto a :
(1.1)
˜
gi x, ξ ≤ 0, i = 1, 2, ..., m,
˜
x ∈ D,
˜
donde el conjunto D ⊂ Rn , ξ es un vector aleatorio definido sobre un conjunto
E ⊂ R .Suponemos que estń dados una familia de eventos F formada por
s
a ,
,
subconjuntos de E y una distribuciń de probabilidad P definida sobre F Por
o .
tanto, para cada A ⊂ E, es A ∈ F, y la probabilidad P (A) es conocida. Adem´s a
suponemos que las funciones gi (x, ·) : E → R, ∀x, i son variables aleatorias y
˜
que la distribuciń de probabilidad P es independiente del vector de variables de
o
decisiń x.
o
Obs´rvese que en el problema formulado (PE) para cada realizaciń ξ del vec-
e o
˜
tor aleatorio ξ se tiene un problema determin´ ıstico. Un vector x ∈ D puede ser
factible para una realizaciń del vector aleatorio y no serlo para otra realizaciń.
o o

a

E. Cerd´, J. Moreno
a 5

ımismo puede ocurrir que para una realizaciń ξ 1 sea g0 x1 , ξ 1 < g0 x2 , ξ 1
As´ o
o 2 ˜
y en cambio para otra realizaciń ξ del vector aleatorio ξ sea g0 x2 , ξ 2 <
1 2
g0 x , ξ .
Un caso particular del problema (PE) es el siguiente problema de Progra-
maciń Lineal Estoc´stica:
o a

m´
ın ˜
cT ξ x,
x
sujeto a : Ax = b,
(1.2)
˜ ˜
T ξ x≥h ξ ,
x ≥ 0,

donde la matriz A y el vector b son determin´ ısticos. La matriz T (·) y los vectores
˜
c (·) y h (·) dependen del vector aleatorio ξ y por tanto son estoc´sticos.
a
Normalmente el problema estoc´stico se reemplaza por un problema deter-
a
min´ ıstico, que se llama determinista equivalente cuya soluciń optima pasa a
o ´
considerarse la soluciń optima del problema estoc´stico.
o ´ a
Fundamentalmente existen dos tipos de modelos en Programaciń Estoc´stica:
o a

• Modelos “esperar y ver” (“wait and see”) o modelos de programaci´m o
estoc´stica pasiva, basados en la suposiciń de que el decisor es capaz de
a o
esperar a que se produzca la realizaciń de las variables aleatorias y hacer
o
su decisiń con informaciń completa de dicha realizaciń, con lo que el pro-
o o o
blema se convierte en determin´ ıstico y es posible encontrar el valor optimo
´
de las variables de decisiń con las tćnicas habituales de programaciń
o e o
matem´tica determin´
a ıstica. En ocasiones puede tener inter´s el conocer
e
la distribuciń de probabilidad del valor objetivo optimo o algunos de sus
o ´
momentos (valor esperado o varianza) antes de conocer la realizaciń de o
sus variables aleatorias. Tales problemas se llaman problemas de distri-
buciń. Estos problemas se estudian en [4], [33], [29].
o

• Modelos “aqu´ y ahora” (“here and now”) o modelos de programaciń es-
ı o
toc´stica activa. En estos modelos el decisor toma la decisiń sin el conoci-
a o
miento de la realizaciń de las variables aleatorias, sin que por ello queden
o
afectadas las distribuciones de probabilidad de las mismas. En los siguientes
apartados veremos diferentes enfoques para resolver el problema.

3 Programaciń con restricciones probabil´
o ısticas
Se considera el problema (1.1) en el que se supone que la funciń objetivo no
o
contiene ninguna variable aleatoria:

a

o a

m´
ın g0 (x) ,
x
˜ ˜
sujeto a : gi x, ξ ≤ 0, i = 1, 2, ..., m, (1.3)
x ∈ D,
El m´todo de restricciones de azar (chance constrained) fue introducido
e
por Charnes, Cooper y Symonds en 1958. Vánse [7], [8]. La idea consiste
e
en transformar el problema dado en un determinista equivalente en el que se
verifiquen las restricciones con, al menos, una determinada probabilidad fijada
de antemano. Hay que distinguir dos casos segń se fije la probabidad para el
u
conjunto de las restricciones o para cada una de ellas por separado.
Restricciones de azar conjuntas:
Se considera el problema (3.1). Sea p ∈ [0, 1] dado. Se define el determinista
equivalente:

m´
ın g0 (x) ,
x
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
sujeto a : P g1 (x, ξ) ≤ 0, g2 (x, ξ) ≤ 0, ..., gm (x, ξ) ≤ 0 ≥ p, (1.4)
x ∈ D.

Para este problema, 1 − p es el riesgo admisible para el decisor de que la
soluciń del problema sea no factible.
o
En el caso particular de que para cada x ∈ D las variables aleatorias
˜ ˜ ˜ ˜
g1 (x, ξ), g2 (x, ξ), ..., gm (x, ξ)
˜ ˜

sean mutuamente estad´ ısticamente independientes, el problema equivalente de-
terminista anterior se puede expresar de la siguiente forma.

m´
ın g0 (x)
x
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
sujeto a : P g1 (x, ξ) ≤ 0 P g2 (x, ξ) ≤ 0 ...P gm (x, ξ) ≤ 0 ≥ p, (1.5)
x ∈ D.

Restricciones de azar separadas o individuales:
Se considera el problema (1.3). Para cada restricciń i ∈ {1, 2, ..., m} sea
o
pi ∈ [0, 1] dado. Se define el determinista equivalente:

m´
ın g0 (x) ,
x
˜ ˜
sujeto a : P gi (x, ξ) ≤ 0 ≥ pi , para i = 1, 2, ..., m, (1.6)
x ∈ D.

a

a 7

La siguiente Proposiciń recoge la relaciń entre los dos casos:
o o
Proposiciń 3.1.
o Supongamos que x es una soluciń factible del problema
ˆ o
m
(1.6) para los valores p1 , p2 , ..., pm . Entonces para p = 1 − m + pi , se verifica
i=1
que x es factible para el problema (1.4).
ˆ
Demostraciń: Sea x soluciń factible del problema (1.4). Ello quiere decir
o ˆ o
que se verifica: P (ξ | gi (ˆ, ξ) ≤ 0) ≥ pi , para todo i = 1, 2, ..., m. Definimos los
x
eventos Ai de la siguiente forma: Ai = {ξ | gi (ˆ, ξ) ≤ 0} , para i = 1, 2, ..., m.
x
Se verifica que P (Ai ) ≥ pi , P AC ≤ 1 − pi . Veamos que se verifica que
i

m
P Ai ≥ p,
i=1

lo cual quiere decir que x es factible para el problema (1.4). En efecto:
ˆ
Teniendo en cuenta la desigualdad de Boole: P Sk ≤ P (Sk ) , se tiene
k k
que
 
m m C m
1−P  =1−P C
P Ai = Ai (Ai ) ≥
i=1 i=1 i=1
m m
C
≥ 1− P (Ai ) ≥1− (1 − pi ) = p.
i=1 i=1

Sean:

q(x) = P (ξ | g1 (x, ξ) ≤ 0, g2 (x, ξ) ≤ 0, ..., gm (x, ξ) ≤ 0) ,
qi (x) = P (ξ | gi (x, ξ) ≤ 0) , i = 1, 2, ..., m.

El conjunto factible del problema (1.4) lo podemos representar de la siguiente
forma: C(p) = {x ∈ D | q(x) ≥ p} .
Sea: Ci (pi ) = {x ∈ D | qi (x) ≥ pi } , i ∈ {1, 2, ..., m} .
El conjunto factible del Problema (1.6) lo podemos respresentar como
m
ˆ
C (p1 , p2 , ..., pm ) = Ci (pi ) .
i=1

ˆ
Ser´ deseable que los conjuntos C(p) y C (p1 , p2 , ..., pm ), que son los conjuntos
ıa
de soluciones factibles de los deterministas equivalentes que estamos estudiando,
fueran no vac´ cerrados y convexos. Las siguientes proposiciones tratan sobre
ıos,
dichas cuestiones.

a

o a

Proposiciń 3.2 Sea C(p) el conjunto de soluciones factibles del Problema (1.4).
o
En dicho conjunto se verifican las siguientes propiedades:
1) Si p1 ≤ p2 , entonces C(p1 ) ⊃ C(p2 ).
2) C(0) = D.
3) C(p) es no vac´ para todo p ∈ [0, 1] ⇐⇒ C(1) = ∅.
ıo
Demostraciń:o
1) Sea p1 ≤ p2 . Si x ∈ C(p2 ), es
q(x) = P (ξ | g1 (x, ξ) ≤ 0, g2 (x, ξ) ≤ 0, ..., gm (x, ξ) ≤ 0) ≥ p2 ≥ p1 =⇒ x ∈
C(p1 ).
2) C(0) = {x ∈ D | q(x) ≥ 0} = D, ya que q(x) es una probabilidad y por tanto
es mayor o igual que cero.
3) Si C(p) = ∅, ∀p ∈ [0, 1] =⇒ C(1) = ∅. Por otra parte, si C(1) = ∅ =⇒ ∀p ≤ 1,
por 1) es C(p) ⊃ C(1) = ∅.

ˆ
Obs´rvese que si C(p) = ∅, ∀p ∈ [0, 1], entonces C (p1 , p2 , ..., pm ) = ∅, para
e
todo p1 , p2 , ..., pm en [0,1].
La siguiente proposiciń, cuya demostraciń se encuentra en [17, ?] da condi-
o o
ciones que aseguran que los conjuntos que estamos considerando son cerrados.
Proposiciń 3.3 Si las funciones gi : Rn × E → R son continuas, entonces los
o
ˆ
conjuntos factibles C(p) y C (p1 , p2 , ..., pm ) son cerrados.
A continuaciń se aborda el problema de la convexidad de los conjuntos C(p)
o
ˆ
y C (p1 , p2 , ..., pm ) . Estos conjuntos en general no son convexos. Veamos con-
diciones en que s´ lo son. Las demostraciones de las proposiciones siguientes se
ı
encuentran en [17, ?]. Váse tambiń [29].
e e
Definiciń 3.1 Una medida de probabilidad P : F → [0, 1] se dice que es cua-
o
sicńcava si ∀S1 , S2 ∈ F , siendo S1 y S2 conjuntos convexos, y ∀λ ∈ [0, 1],se
o
verifica que P (λS1 + (1 − λ) S2 ) ≥ m´ {P (S1 ) , P (S2 )} .
ın
Definiciń 3.2 Una medida de probabilidad P : F → [0, 1] se dice que es log-
o
cńcava si ∀S1 , S2 ∈ F , siendo S1 y S2 conjuntos convexos, y ∀λ ∈ [0, 1],se verifica
o
λ 1−λ
que P (λS1 + (1 − λ) S2 ) ≥ [P (S1 )] [P (S2 )] .
Las dos proposiciones siguientes dan condiciones para que una medida de
probabilidad sea cuasi-cńcava.
o
Proposiciń 3.3 Si P es una medida de probabilidad log-cńcava en F , entonces
o o
P es cuasicńcava.
o
Proposiciń 3.4 Sea P una medida de probabilidad en Rs , de tipo continuo con
o
funciń de densidad asociada f. Entonces se verifica:
o

a

a 9

• P es log-cńcava si y s´lo si el logaritmo de f es una funciń cńcava.
o o o o

• P es cuasi-cńcava si y s´lo si f −1/s es convexa.
o o

La siguiente proposiciń da condiciones suficientes para que los conjuntos que
o
estamos estudiando sean convexos.
Proposiciń 3.5 Si gi (·, ·) es conjuntamente convexa en (x, ξ), para cada i =
o
1, 2, ..., m y P es cuasi-cńcava , entonces C(p) es convexo para todo p ∈ [0, 1] y
o
ˆ
C (p1 , p2 , ..., pm ) es convexo, ∀p1 , p2 , ..., pm en [0, 1].
Algunas medidas de probabilidad cuasi-cńcavas son: La uniforme k−dimen-
o
sional, sobre un conjunto convexo S ⊂ Rk , la distribuciń exponencial en R, la
o
normal multivariante en Rk , la distribuciń de Dirichlet, la beta, la distribuciń de
o o
Wishart, la gamma para ciertos valores del par´metro, la distribuciń de Cauchy,
a o
la distribuciń de Pareto para determinados valores etc.
o
El caso lineal:
Se considera el problema lineal estoc´stico (1.2), en el cual se supone que la
a
funciń objetivo no contiene ninguna variable aleatoria:
o

m´
ın cT x,
x
sujeto a : Ax = b, (1.7)
˜ ˜
T (ξ)x ≥ h(ξ),
x ≥ 0,
Para el Problema (1.7), dado el valor p ∈ [0, 1] , el programa determinista equi-
valente correspondiente al m´todo de restricciones de azar tomadas en conjunto
e
ser´:
a

m´
ın cT x,
x
sujeto a : Ax = b,
(1.8)
˜ ˜
P T (ξ)x ≥ h(ξ) ≥ p,
x ≥ 0,
Para el mismo Problema (1.7), dados los valores p1 , p2 , ..., pm , pertenecientes
al intervalo [0, 1] , el programa determinista equivalente correspondiente al m´todo
e
de restricciones de azar tomadas de manera separada ser´: a

m´
ın cT x,
x
sujeto a : Ax = b,
(1.9)
˜ ˜
P T i ξ x ≥ hi ξ ≥ pi , i = 1, 2, ..., m,
x ≥ 0,

a

o a

ˆ
Sean C(p) el conjunto factible del programa (1.8) y C(p1 , p2 , ..., pm ) el con-
junto factible de (1.9). Aunque el programa estoc´stico inicial (1.7) es lineal,
a
ˆ
los conjuntos de soluciones factibles C(p), C(p1 , p2 , ..., pm ) no tienen por qu´ ser
e
convexos, como se puede observar en el siguiente ejemplo.
Se considera el siguiente programa estoc´stico con una sola variable de decisiń
a o
x:
m´ g0 (x),
ın
x
˜
sujetoa : T x ≥ h ξ ,

−2
en donde T = ,
1

˜
h ξ toma los valores:
−4 −10
, con probabilidad 1/2, y con probabilidad 1/2.
0 3
Para este programa estoc´stico se tiene que, para todo p ∈ [0, 1/2] es C(p) =
a
ˆ
C(p) = [0, 2] ∪ [3, 5], que no es convexo no conexo.
Las siguientes proposiciones recogen los principales resultados conocidos para
el tipo de problema que estamos considerando.
Proposiciń 3.6 Se considera el programa estoc´stico (1.7). Supongamos que
o a
˜
ξ es un vector aleatorio cuya distribuciń de probabilidad es discreta y finita.Sea
o
P ξ = ξ k = αk , para k = 1, 2, ..., K. Entonces para p > 1 − m´ k∈{1,2,...,K} αk
ın
se verifica que el conjunto factible C(p) es convexo.
La demostraciń se encuentra en [17, ?]
o
A la vista de la proposiciń anterior, se comprueba inmediatamente que si
o
ˆ
pj > 1 − m´ k∈{1,2,...,K} αk para cada j = 1, 2, ..., m, el conjunto C (p1 , p2 , ..., pm )
ın
es convexo.
Proposiciń 3.7 Se considera el programa estoc´stico (1.7). Supongamos que
o a
˜ ˜ ˜
T ξ = T y que la probabilidad P correspondiente a h(ξ) = h es cuasi-cńcava. o
ˆ
Entonces los conjuntos C(p) y C (p1 , p2 , ..., pm ) son cerrados y convexos.
La demostraciń se puede ver en [5]
o
˜ ˜ ˜
Proposiciń 3.8Se considera el programa estoc´stico (1.7). Sean T1· , T2· , ..., Tm·
o a
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
las filas respectivas de la matriz T ξ , h ξ = h. Supongamos que T1· , T2· , ..., Tm· ,
˜
h tienen distribuciń normal con
o
T
E ˜ ˜
Ti· − E Ti· ˜ ˜
Tj· − E Tj· = rij C, para i, j = 1, 2, ..., m,

a

a 11

E ˜ ˜
Ti· − E Ti· ˜ ˜
h−E h = si C, para i, j = 1, 2, ..., m,

donde rij y si son constantes para todo i, j. Entonces, C(p) es convexo para
p ≥ 0, 5.

La demostraciń se puede ver en [5]
o

Ejemplos:

1) Se considera el programa estoc´stico con conjunto factible
a

˜
g(x) ≥ ξ, (1.10)
T
en donde x ∈ Rn , g(x) = (g1 (x), g2 (x), ..., gm (x)) no contiene ningń elemneto
u
˜ ˜ ˜ ˜
aleatorio y ξ = ξ1 , ξ2 , ..., ξm es un vector aleatorio de dimensiń m.
o
En este caso para p ∈ [0, 1] se tiene que el conjunto factible del determinista
equivalente para restricciones de azar conjuntas es

C(p) = {x ∈ Rn | P (ξ | g(x) ≥ ξ) ≥ p} =
= x ∈ Rn | Fξ (g(x)) ≥ p ,
˜

˜ o o ˜
en donde Fξ es la funciń de distribuciń del vectora aleatorio ξ.
Para pi ∈ [0, 1], considerando restricciones de azar individuales se tiene que

Ci (pi ) = {x ∈ Rn | P (ξi | gi (x) ≥ ξi ) ≥ pi } =
= x ∈ Rn | Fξi (gi (x)) ≥ pi = {x ∈ Rn | gi (x) ≥ γi } ,
˜

−1
en donde γi = Fξ (pi ) .
˜ i

2) Se considera el programa estoc´stico lineal (1.7) y su determinista equiva-
a
lente (1.9) para restricciones de azar separadas. Sea la restricciń estoc´stica
o a
T
Ti ξ˜ x ≥ hi ξ de la forma tT x ≥ h, siendo tT , h
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ un vector aleato-
rio con distribuciń conjunta normal de media µ ∈ Rn+1 , y matriz de varian-
o
zas y covarianzas V , de dimensiń (n + 1) × (n + 1) . Calculemos su correspon-
o
diente restricciń en el determinista equivalente (para restricciones de azar sepa-
o
T T
radas). P | tT x ≥ h = P tT , h | xT t − h ≥ 0 = P (η | η(x) ≥ 0) ,
tT , h
˜ ˜ ˜
en donde η (x) = xT t − h. La variable aleatoria η es normal (unidimensional),
˜
por ser combinaciń lineal de variables conjuntamente normales. Su media es
o
n
mη (x) =
˜ µj xj − µn+1 , y su varianza es ση (x) = z(x)T V z(x), donde z(x) =
2
˜
j=1

a

o a

T
(x1 , x2 , ..., xn , −1) .

η (x) − mη (x)
˜ ˜ −mη (x)
˜
P (˜ (x) ≥ 0) ≥ pi ⇐⇒ P
η ≥ ≥ pi . ⇐⇒
ση (x)
˜ ση (x)
˜
η (x) − mη (x)
˜ ˜ −mη (x)
˜ −mη (x)
˜
1−P < ≥ pi ⇐⇒ 1 − Φ ≥ pi ,
ση (x)
˜ ση (x)
˜ ση (x)
˜

donde Φ es la funciń de distribuciń de la normal de media cero y varianza 1.
o o
Por tanto, la restricciń de azar correspondiente queda como:
o
−mη (x)
˜ −mη (x)
˜
1−Φ ≥ pi ⇐⇒ Φ ≤ 1 − pi ⇐⇒
ση (x)
˜ ση (x)
˜
−mη (x)
≤ Φ−1 (1 − pi ) ⇐⇒ −Φ−1 (1 − pi ) ση (x) − mη (x) ≤ 0.
˜
⇐⇒ ˜ ˜
ση (x)
˜

El conjunto de los x ∈ Rn que verifican esa condiciń es convexo si y s´lo si
o o
−1
Φ (1 − pi ) ≤ 0, lo cual se verifica si y s´lo si pi ≥ 0, 5.
o
Pueden encontrarse m´s ejemplos en [14], [27], [28], [30], [33], [35]. En [26] se
a
presenta una aplicaciń muy interesante.
o

4 Funciń objetivo aleatoria
o
Consideremos el siguiente problema estoc´stico, en el que todas las restriccio-
a
nes son determin´
ısticas y la funciń objetivo es aleatoria.
o

m´
ın ˜
g0 (x, ξ),
˜
x (1.11)
sujetoa : x ∈ X

El conjunto factible X ⊂ Rn est´ compuesto por restricciones determin´
a ısticas,
bien porque lo sean de manera natural, bien porque se haya obtenido el determi-
nista equivalente utilizando el m´todo de restricciones de azar.
e
Se trata de transformar el objetivo estoc´stico en su determinista equivalente.
a
Ello puede hacerse utilizando distintos criterios, que vamos a ver a continuaciń,
o
siguiendo el enfoque de los trabajos [6] y [27].

4.1 Algunos conceptos de soluciń
o

a) Criterio del valor esperado.
˜ ˜
Se convierte la variable aleatoria g0 (x, ξ) en una funciń determin´
o ıstica to-
mando la esperanza matem´tica
a
˜
E[˜0 (x, ξ)].
g

a

a 13

El determinista equivalente del problema estoc´stico (1.11) ser´
a a

m´
ın ˜
E[˜0 (x, ξ)],
g
x (1.12)
sujeto a : x ∈ X

Para resolver el problema de programaciń estoc´stica siguiendo este criterio,
o a
basta con conocer el valor esperado de la funciń objetivo estoc´stica y, por tanto,
o a
es aplicable ań en el caso en el que se desconozca la distribuciń de probabilidad
u o
˜
de la variable aleatoria g0 (x, ξ).
˜
En [29] se seãla que para que este criterio sea considerado apropiado se deben
n
cumplir dos condiciones:

1) El sistema debe repetir su realizaciń de manera independiente un gran
o
n´mero de veces, para asegurar que la media de los resultados sea bastante
u
pr´xima al valor esperado.
o

2) La magnitud de la variaciń del resultado no debe ser grande. En otro caso
o
nuestra pol´
ıtica optima puede llevar al sistema a la bancarrota antes de que
´
la deseada media a largo plazo pueda ser alcanzada.

En muchas situaciones prćticas estas condiciones no se cumplen y, por tanto,
a
este criterio no deber´ ser utilizado en tales casos.
ıa

ınima varianza.
b) Criterio de m´
˜ ˜
Se convierte la variable aleatoria g0 (x, ξ) en una funciń determin´
o ıstica to-
mando su varianza: V ar[˜0 (x, ξ)]
g ˜ = E[(˜0 (x, ξ))2 ] − {E[˜0 (x, ξ)]}2 .
g ˜ g ˜
La utilizaciń de este criterio da lugar a la elecciń de aquel vector x para
o o
˜ ˜
el que la variable aleatoria g0 (x, ξ) est´ m´s concentrada alrededor de su valor
a a
esperado, de manera que el determinista equivalente segń el criterio de m´
u ınima
varianza puede interpretarse como una medida de error cuadr´tico. a
El criterio de optimizaciń es el de m´
o ınima varianza tanto si se trata de mini-
mizar la funciń objetivo (como estamos suponiendo en este trabajo) como si se
o
trata de maximizarlo.
Para poder utilizar este criterio es suficiente con que se conozca la varianza
˜ ˜
de la variable aleatoria g0 (x, ξ). No hace falta que se conozca su distribuciń de
o
probabilidad.
El determinista equivalente del problema estoc´stico (1.11), segń el criterio
a u
de m´ınima varianza será

m´
ın ˜
V ar[˜0 (x, ξ)]
g
x (1.13)
sujeto a : x ∈ X

a

o a

c) Criterio de eficiencia valor esperado desviaciń estńdar.
o a
Este concepto de eficiencia fue introducido por Markowitz en 1952 para resol-
ver problemas de selecciń de carteras en el campo de las finanzas. Váse [22] y
o e
tambiń [23] y [24].
e
ıtica x0 que sea eficiente en el sentido de Markowitz.
Se trata de elegir una pol´
Expliquemos su significado:
˜ ˜
Sean µ (x) = E[˜0 (x, ξ)], σ 2 (x) = V ar[˜0 (x, ξ)].
g g
Se tiene que verificar que no existe ningń x ∈ X para el cual se tenga que
u
µ(x) = µ(x0 ) y σ(x) < σ(x0 ), o bien σ(x) = σ(x0 ) y µ(x) < µ(x0 ).
El conjunto de puntos eficientes normalmente tiene infinitos elementos. Por
tanto, normalmente este criterio no especifica un unico punto como soluciń
´ o
o
´ptima. Si se quiere llegar a “una“ soluciń optima habr´ que aãdir otras con-
o ´ a n
sidereciones al conjunto obtenido de puntos eficientes.
El c´lculo de soluciones eficientes valor esperado desviaciń estńdar se tra-
a o a
duce en el c´lculo de soluciones eficientes del siguiente problema biobjetivo de-
a
terminista equivalente:

m´
ın ˜ ˜
E[˜0 (x, ξ)], V ar[˜0 (x, ξ)] ,
g g
x (1.14)
sujeto a : x ∈ X

d) Criterio de m´
ınimo riesgo.
Este criterio fue introducido por Bereanu [3] con el nombre de criterio de
m´ınimo riesgo y por Charnes y Cooper [9] con el nombre de P-modelo.
Se trata de maximizar la probabilidad de que la funciń objetivo sea menor
o
o igual que cierto valor previamente establecido. Por tanto, para resolver el
problema hay que fijar un nivel para la funciń objetivo estoc´stica, λ ∈ R,
o a
al que se denomina nivel de aspiraciń, y maximizar la probabilidad de que el
o
˜
objetivo sea menor o igual que ese nivel: P g0 (x, ξ) ≤ λ .
˜
La idea del nivel de aspiraciń es que “como mucho el valor objetivo sea λ”.
o
El determinista equivalente del problema estoc´stico (1.11), segń el criterio
a u
de m´ınimo riesgo será

m´x
a ˜ ˜
P g0 (x, ξ) ≤ λ ,
x (1.15)
sujeto a : x ∈ X

a ˜ ˜ a g ˜
Teniendo en cuenta que m´x P g0 (x, ξ) ≤ λ = m´x 1 − P {˜0 x, ξ > λ} =
x x
ın ˜ ˜
1 − m´ P g0 (x, ξ) > λ , el problema (1.15) es equivalente a
x

m´
ın ˜
P g0 (x, ξ) > λ ,
˜
x
sujeto a : x ∈ X,

a

a 15

y el problema puede interpretarse como la minimizaciń del riesgo de que la
o
funciń objetivo sobrepase el nivel de aspiraciń λ.
o o
Si el problema a resolver consistiera en maximizar la funciń objetivo (en lugar
o
de minimizar como estamos considerando), es decir, si el problema original fuera

m´x
a ˜
g0 (x, ξ),
˜
x
sujeto a : x ∈ X
el problema de m´
ınimo riesgo determinista equivalente ser´
ıa

m´x
a ˜ ˜
P g0 (x, ξ) ≥ λ ,
x
sujeto a : x ∈ X
En este caso la idea del nivel de aspiraciń es que “el valor objetivo al menos
o
sea λ”.
e) Criterio de Kataoka o criterio β−fractil
El criterio fue introducido por Kataoka [20].
Se comienza fijando por el decisor una probabilidad β ∈ (0, 1) para la funciń
o
objetivo y se determina el menor nivel que puede alcanzar la funciń objetivo
o
con esa probabilidad. En concreto, el determinista equivalente del problema es-
toc´stico (1.11), segń el criterio de Kataoka1 ser´:
a u a

m´
ın λ
(xT ,λ)
˜
sujeto a : P g0 x, ξ ≤ λ = β,
˜
x∈X

Si el problema a resolver consistiera en maximizar la funciń objetivo (en lugar
o
de minimizar como estamos considerando), es decir, si el problema original fuera

m´
ın ˜
g0 x, ξ ,
˜
x
sujeto a : x ∈ X
el problema de Kataoka determinista equivalente ser´
ıa
m´
ın λ
(xT ,λ)
˜
sujeto a : P g0 x, ξ ≥ λ = β,
˜
x∈X
1 En trabajos posteriores al de Kataoka otros autores como Stancu-Minasian [33] plantean el

problema con restricciń probabil´
o ˜ ˜
ıstica de desigualdad: P g0 x, ξ ≤ λ ≥ β. Se demuestra
˜
que si la variable aleatoria g0 x, ξ es continua el resultado del problema es el mismo en ambos
˜
casos.

a

o a

Comparando los tres primeros criterios con los dos ultimos (que se llaman de
´
m´xima probabilidad) aparecen algunas diferencias:
a

• En el criterio de m´
ınimo riesgo se fija el nivel de aspiraciń y en el criterio
o
de Kataoka se fija la probabilidad, luego ambos dependen de los valores que
se asignen a estos par´metros, mientras que en los tres primeros casos no
a
hay que fijar ningń par´metro.
u a
• En los criterios valor esperado, m´
ınima varianza y eficiencia valor esperado
desviaciń estńdar s´lo necesita conocerse la esperanza t/o la varianza ,
o a o
no haciendo falta la distribuciń de probabilidad.
o

La elecciń de un criterio u otro deber´ realizarse en base a las caracter´
o a ısticas
del rpoblema y a las preferencias del decisor. De todas formas, los cinco cri-
terios estń relacionados entre s´ dado que cada uno de ellos utiliza diferentes
a ı,
caracter´ısticas de la funciń objetivo.
o

4.2 Relaciones entre las soluciones segń los distintos cri-
u
terios
En [6] se obtienen algunos resultados para problemas estoc´sticos como (1.11)
a
que cumplen algunas condiciones adicionales. Veamos algunos de dichos resulta-
dos.
Consideremos el problema estoc´stico (1.11) en el que suponemos ahora que
a
el conjunto de soluciones factibles X ⊂ Rn es no vac´ cerrado, acotado y con-
ıo,
˜
vexo. Suponemos tambiń que ξ es un vector aleatorio definido sobre un con-
e
junto E ⊂ Rs cuyas componentes son variables aleatorias continuas y cuya distri-
buciń de probabilidad es independiente de las variables de decisiń del problema
o o
x1 , x2 , ..., xn .
Las demostraciones de todas las proposiciones que presentamos a continuaciń
o
se encuentran en [6].
Proposiciń 4.1 Se considera el problema estoc´stico (1.11) con las hip´tesis
o a o
adicionales introducidas en este subapartado.
a) Si la soluciń ´ptima del problema segń el criterio del valor esperado es
o o u
unica, entonces es una soluciń eficiente valor esperado desviaciń estńdar. Si
´ o o a
no es unica s´lo se puede asegurar que las soluciones optimas valor esperado
´ o ´
son soluciones d´bilmente eficientes valor esperado desviaciń estńdar, pero no
e o a
tienen por qu´ ser eficientes valor esperado desviaciń estńdar.
e o a
b) Si la varianza de la funciń objetivo es una funciń estrictamente convexa,
o o
el problema de varianza m´ ınima tiene soluciń unica que es una soluciń eficiente
o ´ o
valor esperado desviaciń estńdar. Si no es unica s´lo se puede asegurar que las
o a ´ o

a

a 17

soluciones optimas de m´
´ ınima varianza son soluciones d´bilmente eficientes valor
e
esperado desviaciń estńdar, pero no tienen por qu´ ser eficientes valor esperado
o a e
desviaciń estńdar.
o a
La siguiente proposiciń establece relaciń entre las soluciones ´ptimas segń
o o o u
los criterios de m´
ınimo riesgo y de Kataoka.
Proposiciń 4.2 Se considera el problema estoc´stico (1.11) con las hip´tesis
o a o
adicionales introducidas en este subapartado. Supongamos que la funciń de
o
o ˜ ˜
distribuciń de la variable aleatoria g0 (x, ξ) es estrictamente creciente. Entonces
x∗ es la soluciń de m´
o ınimo riesgo para el nivel de aspiraciń λ∗ si y s´lo si
o o
∗T ∗ T ∗ ∗ ∗
x ,λ es la soluciń de Kataoka con probabilidad β , con λ y β verificando
o
˜ ≤ λ∗ = β ∗ .
P g0 (x, ξ)
˜

A la vista de la proposiciń anterior se puede asegurar que en las condiciones
o
que estamos considerando en este subapartado:

• Para cada nivel de aspiraciń λ, la soluciń de m´
o o ınimo riesgo es tambiń la
e
soluciń de Kataoka con una probabilidad β igual a la m´xima probabilidad
o a
obtenida en el problema de m´ ınimo riesgo.

• Para cada valor β fijado, la soluciń de Kataoka es tambiń soluciń de
o e o
m´ınimo riesgo para un nivel de aspiraciń igual al valor optimo del problema
o ´
de Kataoka.

En [6] se establecen tambiń relaciones entre soluciones de Kataoka y solucio-
e
nes eficientes valor esperado desviaciń estńdar para algunos tipos de programas
o a
estoc´sticos lineales.
a

4.3 Ejemplo
Como ejemplo vamos a considerar el caso de funciń objetivo lineal con dis-
o
tribuciń de probabilidad normal.
o
Sea el programa estoc´stico lineal
a

m´
ın ˜
ξ T x,
x (1.16)
sujeto a : x ∈ X

El conjunto factible X ⊂ Rn est´ compuesto por restricciones determin´
a ısticas,
bien porque lo sean de manera natural, bien porque se haya obtenido el determi-
nista equivalente utilizando el m´todo de restricciones de azar. Se supone que el
e
˜
vector aleatorio ξ sigue una distribuciń de probabilidad normal multivariante,
o
¯
con valor esperado ξ y matriz de varianzas y covarianzas S definida positiva.

a

o a

˜
En estas condiciones la variable aleatoria ξ T x es normal con valor esperado
˜T ¯
¯T x y varianza xT Sx. Por tanto se tiene que ξ√x−ξT x es una variable aleatoria
ξ
xT Sx
N (0, 1) (normal con valor esperado 0 y desviaciń t´
o ıpica 1).
A continuaciń se calcula el determinista equivalente del programa estoc´stico
o a
(1.16) para cada uno de los criterios considerados en este apartado.
a) Criterio del valor esperado

ın
m´ ¯
ξ T x,
x
sujeto a : x ∈ X
b) Criterio de m´
ınima varianza

m´
ın xT Sx,
x
sujeto a : x ∈ X

c) Criterio de eficiencia valor esperado desviaciń estńdar
o a
√
m´
ın ¯
ξ T x, . xT Sx ,
x
sujeto a : x ∈ X
d) Criterio de m´
ınimo riesgo de nivel λ

m´x
a ˜
P ξT x ≤ λ ,
x (1.17)
sujeto a : x ∈ X
Pero
˜ ¯
ξT x − ξT x ¯
λ − ξT x ¯
λ − ξT x
˜
P ξT x ≤ λ = P √ ≤ √ =Φ √ , (1.18)
xT Sx xT Sx xT Sx

donde Φ es la funciń de distribuciń de la N (0, 1), que es estrictamente creciente,
o o
¯
λ − ξT x ¯
λ − ξT x
por lo que m´x P ξ T x ≤ λ = m´x Φ √
a ˜ a = Φ m´x √ a , y el
x x xT Sx x xT Sx
problema (1.17) es equivalente a
¯
λ − ξT x
m´x
a √
x xT Sx (1.19)
sujeto a : x ∈ X.

Una vez resuelto este problema, la probabilidad m´xima para la que se puede
a
asegurar que la funciń objetivo estoc´stica es menor o igual que el nivel de
o a
¯
λ − ξT x
aspiraciń fijado λ, es: Φ m´x √
o a .
x xT Sx

a

a 19

e) Criterio de Kataoka o criterio β−fractil

m´
ın λ
(xT ,λ)
˜
sujeto a : P ξ T x ≤ λ = β,
x∈X

Teniendo en cuenta (1.18), y que la funciń de distribuciń Φ es estricta-
o o
¯
λ−ξ T x ¯
λ−ξ T x
mente creciente, se tiene que Φ √ T = β ⇐⇒ √ T = Φ−1 (β) ⇐⇒ λ =
√ x Sx x Sx
Φ−1 (β) xT Sx + ξ T x, por lo que el problema (4.11) se puede expresar:
¯

m´
ın λ
(xT ,λ)
√
sujeto a λ = Φ−1 (β) xT Sx + ξ T x,
¯
x∈X
y este problema es equivalente al problema con n variables de decisiń:
o
√
m´
ın Φ−1 (β) xT Sx + ξ T x,
¯
x
sujeto a : x ∈ X.
Este problema es convexo para β ≥ 0, 5. Una vez resuelto este problema, el
menor nivel λ para el que podemos afirmar que la funciń objetivo no supera ese
√ o
−1 ¯
T Sx + ξ T x.
nivel con probabilidad β es λ = m´ Φ (β) x
ın
x

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