Demostración matemática: conceptos clave

MTRO. MARCO ANTONIO
ALANÍS MARTÍNEZ

El trabajo matemático
Utilización de un lenguaje peculiar de
significados precisos.
Su actividad más importante: DEMOSTRAR
“Partir de unas afirmaciones y deducir
mediante reglas otras proposiciones más
complejas”

Razonamiento deductivo:
A forma de pensar utilizado en la ciencia y
particularmente en geometría, se conoce
como método deductivo. El método
consiste en, valiéndonos de la lógica,
deducir nuevos conocimientos a partir de
conocimientos anteriores que se
consideran verdaderos.

Proposiciones
 Una proposición es un enunciado del que se puede decir
si es verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez.
Ejemplo: "Santiago de Chile es la capital de Colombia".
 Afirmaciones que se refieren a objetos ya introducidos y
que son verdaderas o falsas.
 Enunciado de una verdad demostrada, o que se trata
de demostrar.
 Partiendo de proposiciones A,B,C,…, formamos nuevas
proposiciones a partir de ellas y aprendemos a
determinar cuando es verdadera (V) o falsa (F)
dependiendo de la veracidad o falsedad de las que la
forman.
 Descuento a menores de 25 o a estudiantes
 Iremos al cine o al teatro

 La implicación A  B. Si A entonces B.
 Si se verifica A, entonces es suficiente para que
se verifique B.
 Si B no se verifica, tampoco puede hacerlo A.
Si no B entonces no A. B es necesario para A.
Sonia dijo:
“ Si llueve me quedo en casa”
Si está en casa ¿qué deduces?
Nada, no afirmó nada sobre lo que haría si
no llueve
Si no está en casa ¿qué sabes?
Sabes que no llueve

La equivalencia o doble implicación
A B. A sí y sólo si B.
A es necesaria y suficiente para que se
verifique B.
Se verifican simultáneamente: si A
entonces B y si B entonces A
Condición necesaria y suficiente

axiomas
Enunciado o fórmula que se admite sin
demostrar. No son verdades absolutas sólo
cimientos sobre los que se construye .
EJEMPLOS
“Dos cosas A y B, cada una de ellas
iguales a una tercera C, son iguales entre
sí”. “La suma de los 3 ángulos de un
triángulo es 180º”
"El todo es mayor que cualquiera de sus
partes".

definiciones
Declaración del significado de un término o
signo, es decir, del uso que de él se va a
hacer. Asignan nombres a situaciones para
poder trabajar con ellas.
EJEMPLOS
“Un nº primo es un número natural que tiene
por únicos divisores a el mismo y a la unidad”.

Notación simbólica
Además, en numerosas ocasiones es útil la
utilización de una notación simbólica. Por
ejemplo:
Factorial: n!=n.(n-1).(n-2)….3.2.1
Suma de Expresiones: A1 + A2 +A3 + An
Producto de expresiones: A1 . A2 .A3 . An

Las demostraciones
La demostración es una de las
actividades más cotidianas e
importantes en matemáticas.
Con ella se garantiza la veracidad de
lo que se dice, es decir, que nuestra
afirmación es deducible a partir de
otras iniciales.
Si se verifica A, entonces se verifica B

Proceso de demostración
 Entender bien la situación a la que te enfrentas
 Entender las relaciones entre los elementos que
intervienen
 Utilizar los conocimientos previos sobre los
elementos
 Utilizar las experiencias anteriores sobre
demostraciones parecidas
 Hacerte entender y justificar tus pasos
 Elegir uno de los métodos de demostración y
volver a empezar con otro si el elegido no te
resulta eficaz

Postulado
 Supuesto que se establece para fundar una
demostración, una teoría o un cuerpo de
doctrina. Una definición muy simple es decir que
es un hecho no comprobable que se convierte
en una verdad tácitamente aceptada.
 Por ejemplo: “Los dichos del diputado son
contrarios a los postulados históricos del
socialismo”, “Como entrenador, mi principal
postulado es el respeto por el rival”, “Trabajo para
esta empresa porque no tengo otra opción, pero
no concuerdo con sus postulados: creo que
transmiten un mensaje que no es sano para la
sociedad”.

Escolio
 Proposición aclaratoria. Es una advertencia o
nota que se hace a fin de aclarar, ampliar o
restringir proposiciones anteriores.
Ejemplo:
La masa de los cuerpos sensibles se explica por
el peso. Así, un cuerpo de 4 libras que va con
un grado de velocidad, tendrá una cantidad
de movimiento como cuatro. Pero si, siendo
de 4 libras tuviera 3 grados de velocidad, su
cantidad de movimiento sería como 12.

Lema
 Proposición que es preciso demostrar
antes de establecer un teorema.
Ejemplo
 La Matemática es la reina de las ciencias
y la teoría de números es la reina de las
Matemáticas.

Teorema
Proposición que afirma una
verdad demostrable. Consta de
tres partes:
hipótesis (lo que se supone),
tesis (lo que se va a demostrar) y
demostración (la prueba de la
tesis).

Corolario
 Proposición que se deduce por sí sola de
los demostrado anteriormente.
Ejemplo:
 Del teorema, la suma de las medidas de
los ángulos interiores asociados a un
triángulo es 180º, se obtiene:
•Corolario 1. La suma de las medidas de
los ángulos agudos asociados a un
triángulo rectángulo es igual a 90º.

Problema
Un problema es una proposición
en la que se pide construir una
figura que reúne ciertas
condiciones (problema gráfico) o
bien calcular el valor de una
magnitud geométrica (problema
numérico).

conjetura
Es una afirmación matemática que se
cree verdadera pero no ha sido
demostrada. Una vez se demuestra la
veracidad de una conjetura, esta pasa
a ser considerada un teorema de pleno
derecho y puede utilizarse como tal
para construir otras demostraciones
formales.
Ejemplo
No hay números perfectos impares.

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