Teorema de imposibilidad de Arrow y el porqué los sistemas de votación no son perfectos

¿Qué pensarías si te dijera lo siguiente? Si hay tres opciones para elegir por un grupo de amigos, dadas sus preferencias sobre estas tres opciones, el resultado dependerá del sistema de votación que elija. Es decir, puedo ser capaz de manipular el resultado para obtener el resultado que desee.

O mejor aún, no existe un sistema de votación perfecto, cuando hay tres o más opciones, que realmente refleje las preferencias mayoritarias de un grupo de personas. Aquí hago una pausa, como verás, cuando sólo se tiene que elegir entre dos opciones (tipo Brexit o referendums de Sí o No) la idea no aplica porque el sistema de mayoría simple reflejaría sin problemas las preferencias mayoritarias del grupo.

La idea de que el resultado de una votación depende no sólo de las preferencias sino también del sistema de votación utilizado es un corolario del teorema de imposibilidad de Kenneth J. Arrow (nobel de economía) de los años 50. Su teorema muestra que no es posible diseñar reglas para la toma de decisiones sociales o políticas que obedezcan estrictamente al criterio de racionalidad cuando se tiene que elegir entre tres o más opciones.

Y por racionalidad, en palabras mundanas y sin mucho rigor matemático, nos referimos a:

1. Transitividad: Si la sociedad prefiere Salud sobre Educación y Educación sobre Seguridad Nacional, entonces el sistema de votación debería preferir Salud sobre Seguridad Nacional y NO al revés.
2. Unanimidad: Si todos los individuos prefieren Salud sobre Educación entonces el sistema de votación debería dar como resultado Salud sobre Educación
3. Independencia de alternativas irrelevantes: Si la sociedad prefiere Salud sobre Educación, que aparezca una opción de política como la Renta Básica que es indiferente a Salud y Educación, el sistema de votación debería mantener la preferencia de Salud sobre Educación y no invertir las preferencias. Aquí copio el ejemplo de mi exprofesor de teoría de juegos: "Imaginémonos que estamos en un restaurante y pedimos la carta. Nos dicen que hay carne y pescado. Elegimos la carne. En ese momento, el camarero nos informa de que también hay ancas de rana. Ante la nueva información elegimos pescado. Este extraño cambio de parecer es el que evita la independencia de alternativas irrelevantes" 
4. No dictadura: El sistema de votación no debería dar como resultado sólo las preferencias de un individuo.

Lo que Arrow demostró es que: si el sistema de votación que elegimos cumple con transitividad, unanimidad e independencia de alternativas irrelevantes entonces el sistema de votación seleccionado es el DICTATORIAL.

Por lo que si queremos anular a la dictadura nos quedan dos opciones: o tenemos todos las mismas preferencias o renunciamos a algunas de las condiciones de racionalidad (transitividad, unanimidad o independencia de alternativas irrelevantes). Es por todo esto que vemos que en algunos sistemas de votación, el que gana no es necesariamente el más votado, se renuncia a la transitividad (Georg Bush en el 2000 ganó las elecciones con 500mil votos menos que Al Gore). Es decir, no inviertas tiempo en buscar un sistema perfecto de votación cuando hay tres o más opciones, este sistema no EXISTE. Sin embargo, no todo está perdido, hay un sistema que se acerca bastante a este sistema de votación perfecto y es el sistema de votación desarrollado por el Marqués de Condorcet en 1785 (https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Condorcet). En este método puede dar como resultado que salga victorioso un candidato que no haya sido preferido por ningún votante, sin embargo, el método elegirá al candidato que a la mayor parte de las personas no les disgusta, salvando así la posible intransitividad de algunos sistemas de votación (que finalmente salga victorioso un partido político que disgusta a la mayoría).

Referencias consultadas: mi exprofesor de teoría de juegos (José Luis Ferreira) lo explica muy bien aquí, un vídeo muy ilustrativo también el del matemático y divulgador argentino Paenza aquí y un ejemplo práctico relacionado con el mundo del fútbol sobre el mejor portero europeo aquí.

Espero que haya sido claro y simple. Si te gustó o conoces a alguien que pueda interesarle, compártelo.