Por CR.

En los dos artículos anteriores estuvimos platicando sobre los conceptos de Posición, desplazamiento y coordenadas, y Rapidez y velocidad. Con estos conceptos estamos casi listo para hacer una descripción cinemática de un sistema mecánico. Es decir, describir el movimiento del sistema, sin atender a sus causas (eso lo veremos luego). Sin embargo, aun nos falta un concepto clave, que es importante que quede claro si queremos entender del todo el movimiento de un objeto. El concepto que abordaremos a continuación es el de Aceleración.

Sin embargo, antes de entrar al nuevo tema, dejaré aquí las respuestas de los ejercicios del la entrada anterior:

1. Es posible que un movimiento tenga rapidez constante pero que la velocidad esté cambiando. Piense en un movimiento circular uniforme, por ejemplo, usted dándole vueltas a una piedra atada con una cuerda. Reflexione sobre este hecho hasta que lo encuentre natural.

R. Por supuesto que es posible. Un ejemplo sería un movimiento circular uniforme. Si atas una roca con una cuerda y la haces girar de manera uniforme (digamos, dando una vuelta por segundo), la rapidez instantánea de la roca será siempre la misma. Si el radio de la cuerda es de 1 metro, entonces la rapidez instantánea será siempre de 6.28 metros/segundo. Sin embargo la velocidad cambiará constantemente, no es magnitud, sino en dirección. Esto se aprecia en la figura siguiente, donde se ve como el vector velocidad cambia en cada punto de la trayectoria de la roca, pues su dirección va variando, manteniéndose en cada punto tangente al circulo que describe. En esta figura la velocidad es el vector identificado por la flecha roja.

2. Calcule la velocidad media (de un ciclo) y la rapidez media (de un ciclo) de un satélite artificial que da una vuelta en su órbita circular de circunferencia de 12000 km, en un tiempo de 2 horas.

R. Comencemos con la rapidez media: solo hay que dividir la distancia total recorrida entre el tiempo que tomó el recorrido. Es decir, (12 000 km)/(2 hr) = 6 000 km/hr. Esa es la rapidez media al considerar un ciclo del satélite. Sin embargo, para la velocidad media debemos considerar el desplazamiento medio en un ciclo, y como al completar un ciclo se llega al mismo punto del que se partió, entonces ¡el desplazamiento es cero!. Por lo tanto, la velocidad media en un ciclo es (0 km)/(2 hr) = 0 km/hr.

Muy bien, quitándome esta consigna de encima, ahora sí empecemos con el concepto de Aceleración.

Primero que nada viene bien recordar el concepto de rapidez. Además, por simplicidad pensemos en un movimiento unidimensional; por ejemplo, un carro que avanza en línea recta. Si decimos que el carro tiene una rapidez de 10 m/s, quiere decir que por cada segundo que pase, el carro se desplazará 10 metros. Si comenzamos a medir la distancia que avanza desde un momento inicial, tendríamos que en segundos sucesivos habrá recorrido 10 metros, 20 mts, 30m, 40m, etc. Podemos hacer una tabla con los datos de su posición y el tiempo transcurrido para este carro que se mueve con una rapidez constante de 10m/s.

Tiempo transcurrido (en segundos)	Distancia desplazada (en metros)
0	0
1	10
2	20
3	30
4	40
…	…
10	100

La situación anterior es simple de entender cuando ya hemos asimilado el concepto de rapidez (y si no es así, hay que echarle un ojo a esta entrada de aquí). Bien, continuemos. No siempre los movimientos son tan simples. Por ejemplo pensemos que el vehículo no siempre tiene la misma rapidez, sino que esta cambia con el tiempo. Esto sucede por ejemplo cada vez que el carro parte del reposo y comienza a ganar rapidez de forma paulatina. El vehículo tiene al principio de su movimiento una rapidez nula (0 m/s, pues estaba detenido), sin embargo al comenzar su movimiento -al acelerar- su velocidad va incrementando con el pasar del tiempo. Al cabo de unos segundos su rapidez será digamos de 7m/s, y dentro de un tiempo más irá quizá … a 18m/s. La cuestión es que partió del reposo y su rapidez comenzó a cambiar con el pasar del tiempo. Esta es la esencia del concepto de aceleración. La aceleración describe el ritmo al cual la rapidez cambia con el tiempo.

Imaginemos el siguiente ejemplo: Un vehículo parte del reposo (su rapidez es nula), y su rapidez va incrementando en 1m/s cada segundo que pasa. Es decir que al inicio tiene una rapidez de 0m/s, pero después de haber pasado 1 segundo, su rapidez habrá incrementado de 0m/s a 1m/s; habiendo transcurrido 2 segundos, su rapidez ahora es de 2m/s; al cabo de 3 segundos de iniciado el movimiento, su rapidez es de 3m/s; a los 4 segundos, su rapidez será de 4m/s; etcétera. Es muy importante notar que a cada segundo que pasa, el vehículo se mueve más rápido. Cuando sucede esta situación, decimos que el vehículo se mueve con una aceleración de 1m/s² .

La notación que acabo de emplear parece rara a primera vista, ya que implica que las unidades para medir la aceleración son m/s² . ¿Pero qué es un segundo cuadrado? Bueno la cosa es realmente fácil. Lo que esta conveniente notación representa es justamente el fenómeno de cambio de rapidez en el tiempo. Para el ejemplo anterior dijimos que el vehículo cambia su rapidez en 1m/s cada segundo. Es decir que el ritmo de cambio en el tiempo sería de (1m/s)/s . Al dividir 1m/s entre 1s (hay que hacer la cuenta con quebrados) obtenemos la unidad de aceleración 1m/s², que se lee «un metro sobre segundo al cuadrado».

Al igual que antes, podemos hacer una tabla para registrar la rapidez que tiene el vehículo que se mueve con una aceleración de 1m/s². En esta tabla registramos la rapidez que tiene el vehículo a cada instante de tiempo, mientras este parte del reposo y va ganando rapidez de forma paulatina.

Tiempo transcurrido (en segundos)	Rapidez instantánea (en metros / segundos)
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
…	…
10	10

Como podemos ver, es fácil percibir una relación entre la aceleración y la rapidez, idéntica a la relación que hay entre rapidez y distancia recorrida. La rapidez nos dice cuántos metros de distancia recorremos en un segundo, o cuántos metros incrementa esta distancia desplazada en un segundo. Mientras que la aceleración nos dice cuántos metros por segundo cambia la rapidez en un segundo. Podríamos decir que la aceleración es a la rapidez, lo que la rapidez es a la distancia desplazada.

En el ejemplo que mencionamos anteriormente mencionamos un carro que acelera con una aceleración de 1m/s². Quizá no nos damos una idea de qué tan grande o chica es esta aceleración. Como comparación nos debe servir la Aceleración gravitacional. En la superficie del planeta tierra, todos los objetos que se dejan caer libremente, caen en un movimiento acelerado, donde parten del reposo al dejarse caer, y van ganado rapidez conforme pasa el tiempo. Todos los cuerpos caen víctima de esta aceleración. La aceleración de caída libre en la superficie del planeta Tierra es de casi 10m/s². Una aceleración casi 10 veces más grande que la del ejemplo anterior. Esto quiere decir que si nos subimos a una torre y dejamos caer una piedra, esta partirá del reposo (rapidez cero) desde nuestra mano, y al cabo de 1 segundo estará cayendo con una rapidez de 10m/s, a los 2s su rapidez será de 20m/s, a los 3s será de 30m/s, etc. Esta aceleración de la gravedad es algo con lo que todos estamos familiarizados, así que siempre es una buena referencia para comparar aceleraciones. Dato nerd: en la academia normalmente se utiliza un valor un poco más fino para esta aceleración, a la cual por cierto se le suele denotar con la letra g, por gravedad. Dicho valor es de g = 9.8 m/s². Algunos más finos usan g=9.81m/s². Más fino aun sería g = 9.80665. Para más detalles sobre esta aceleración de la gravedad, vea este artículo de la wikipedia.

Aceleración Negativa

La aceleración puede ser una cantidad con signo negativo. En nuestro lenguaje popular tenemos interiorizado que acelerar es ir cada vez con mayor rapidez, mientras que frenar es ir cada vez con menor rapidez. A frenar también solemos llamarle desacelerar o decelerar. Sin embargo en el lenguaje técnico de la física, la cantidad escalar Aceleración es entendida como el ritmo de cambio, o la forma en la que varía la rapidez. Así de simple, sin especificar si la rapidez crece o decrece. La aceleración simplemente describe el cambio de la rapidez. ¿Acaso una rapidez que disminuye no está cambiando? Claro que sí. Un cuerpo cuya rapidez está disminuyendo es descrito con una aceleración negativa.

Por ejemplo, si vamos conduciendo nuestro carro y vemos un semáforo en amarillo, comenzamos a frenar para reducir nuestra rapidez y poder detenernos a tiempo en la línea de alto cuando el semáforo esté en rojo (aunque no faltan los inconscientes que pisan el acelerador para alcanzar a pasar en amari-rojo…). Así si por ejemplo nuestro carro viajaba tranquilamente a 24m/s, y nosotros con el freno imponemos una aceleración de a = -4m/s² entonces por virtud de esta aceleración (negativa), nuestra rapidez irá siendo en los siguientes segundos:

Tiempo transcurrido desde pisar el freno (en segundos)	Rapidez instantánea (en metros / segundos)
0	24
1	20
2	16
3	12
4	8
5	4
6	0

Y así vemos que desde que íbamos a 24m/s, nos llevaría 6 segundos frenar por completo con una aceleración de -4 m/s².

Aceleración vectorial

En los párrafos anteriores hablamos de la aceleración, pero solamente restringiéndonos a movimientos unidimensionales (en línea recta) donde nos fijábamos solo en la magnitud de la aceleración, tratando esta cantidad como si fuera un escalar. Sin embargo, en general la aceleración debe ser tratada como una cantidad vectorial. Cuando concebimos la aceleración como un vector, ya no decimos que ésta describa el ritmo de cambio de la rapidez, pues la rapidez es un escalar. Ahora, cuando tratemos con la aceleración como un vector, debemos definirla como el ritmo de cambio de la velocidad respecto al tiempo (Para los que saben de cálculo diferencial, la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Para los que no sepan de cálculo diferencial… no importa, esto de las derivadas es irrelevante en esta discusión. Sin embargo si hay algún curioso por allí, pueden checarse este artículo de la wikipedia.).

Analicemos ahora un ejemplo en el que la velocidad de un cuerpo cambie pero en más de una dimensión, para hacer un análisis de la aceleración vectorial que no sería posible comprender en 1D, con escalares.

Pensemos por ejemplo en un pequeño bote que que está viajando en el mar. Asociamos un sistema de referencias tal que hacia el Norte tenemos el eje positivo de las Y, y hacia el Este tenemos el eje positivo de las X. Solo para refrescar la memoria: si al momento de comenzar las observaciones (tiempo t = 0s), ubicamos el origen en nuestro bote, entonces una coordenada (x=200m, y=500m) indica un punto 200 metros al Este del punto inicial (origen) y 500 metros al Norte del mismo. En cambio, una coordenada (-150m,300m) indica un punto 150 metros hacia el Oeste y 300 metros hacia el Norte del punto de partida.

Muy bien, situémonos entonces en esta situación. Estamos en este bote, al instante cero y situados en el origen. En este instante cero, mientras estamos en el origen, llevamos una velocidad constante de v=(0m/s, 10m/s). Recordemos que usamos letras en negritas para referirnos a vectores. Además, voy a comenzar a factorizar las unidades hacia afuera del paréntesis del vector. Tal que así v=(0, 10)m/s . Es decir, el bote viaja a una velocidad constante de 10m/s hacia el Norte, sin componente perpendicular. Muy bien. Ahora imaginemos que justo en este instante t=0, un fuerte viento comienza a soplar con dirección al Noreste, acelerando nuestro bote con una aceleración a=(0.5, 2)m/s². Esta aceleración con dos componentes indica que la rapidez del bote aumentará en 2m/s cada segundo hacia el norte, y hacia el Este aumentará en 0.5m/s cada segundo.

Es decir, cuando haya transcurrido 1 segundo, la nueva velocidad del bote será v=(0.5, 12)m/s. Analicemos este primer segundo. El bote al inicio se movía solo de Sur a Norte, con una rapidez constante de 10m/s. Ahora, 1 segundo después el bote se está moviendo hacia el Norte con una rapidez un poco mayor, ahora de 12m/s; y además, ha comenzado a moverse también de Oeste a Este, con una sutil rapidez de 0.5m/s. Es decir, por efecto de la aceleración a, el bote no solo se ha comenzado a mover más a prisa, sino que ha ganado una componente de movimiento de Oeste a Este que no existía al principio. Continuemos con la línea temporal del movimiento del bote; habiendo pasado dos segundos, la velocidad del bote es ahora v=(1, 14)m/s. Al cabo de tres segundos, la velocidad es (1.5, 16)m/s. Tabulemos la velocidad por unos segundos más:

Tiempo transcurrido (en segundos)	Velocidad instantánea (Vx,Vy) (en metros / segundos)
0	(0, 10)
1	(0.5, 12)
2	(1, 14)
3	(1.5, 16)
4	(2, 18)
5	(2.5, 20)
6	(3, 22)

Como se puede apreciar, el efecto de una aceleración vectorial en dos dimensiones es más que solo incrementar la rapidez de un cuerpo. Una aceleración en dos dimensiones puede también causar un cambio en la dirección de movimiento.

No tengo la intención de hacer mucho embrollo con esto, pero es evidente que también podemos hacer un análisis similar en 3 dimensiones. Es decir, que una aceleración puede ser un vector con tres componentes, en las direcciones (X, Y, Z). Un vector de este tipo se escribiría como a=(ax,ay,az). Esta aceleración produciría cambios en la velocidad de un cuerpo, tanto en magnitud como en dirección.

La Aceleración como vector no es positiva ni negativa

Hace apenas unos párrafos estaba hablando de que la aceleración podía ser negativa… pero ahora parece que me estoy desdiciendo. La verdad es que cuando dije que la aceleración podía ser negativa, estaba tratando de presentar el concepto de forma escalar, en una dimensión (1D). Pero una vez que hemos asimilado el concepto de aceleración como una cantidad vectorial, no vale la pena preguntarse algo como si la aceleración es positiva o negativa. A fin de cuentas, ningún vector tiene asociado un signo como los escalares. Los vectores se componen simplemente de su magnitud y dirección; o dicho de otra forma, están definidos por sus tres componentes. Así, una aceleración (ya no seguiré repitiendo que es vectorial; de ahora en adelante siempre que se hable de aceleraciones, entendamos que son cantidades vectoriales) queda perfectamente definida una vez que conocemos su magnitud y dirección, o bien, sus componentes espaciales; claro, también es necesario que entendamos el sistema de referencias en el cual estamos expresando el vector.

Así, la noción de negativo o positivo pierde sentido. Antes cuando decíamos que en 1D una aceleración era positiva, nos referíamos a que el el vector de aceleración estaba orientado en la misma dirección que el vector de velocidad. Y decíamos que una aceleración era negativa cuando estaba apuntando en dirección opuesta al vector de velocidad. Sin embargo, esto puede no tener sentido cuando elegimos por ejemplo un sistema tipo caída libre, en el cual solemos elegir un sistema de referencias con valores positivos hacía arriba y negativos hacia abajo. Aquí, la coordenada de altura reduce con el tiempo (la altura cada vez es menor mientras el objeto cae libremente), la velocidad siempre es negativa, y la aceleración también es siempre negativa (la aceleración y la velocidad apuntan en la misma dirección, y aún así la aceleración es negativa). Así, vemos que incluso en el caso 1D, el «signo» de la aceleración no es más que una arbitrariedad, así como el sistema de referencias, que es arbitrario en tanto que se elige según sea conveniente.

Y ni hablar de 2D y 3D… en estos casos la aceleración ni siquiera tiene que apuntar en la misma dirección o en la dirección opuesta a la velocidad. Aquí la aceleración puede tener una infinidad (literalmente) más de direcciones respecto a la velocidad, no solo paralela y antiparalela. Entonces debemos abandonar el concepto de negativo o positivo para la aceleración. Más que eso, debemos entenderla como una cantidad vectorial, y debemos estar conscientes que los signos de sus componentes siempre deben ser interpretados según el sistema de referencias. Nunca está de más recordar lo que es un sistema de referencias.

La Aceleración puede no cambiar la rapidez de un cuerpo

Existe la posibilidad de que la rapidez de un cuerpo no cambie nunca, y sin embargo este este continuamente acelerando. Esto sucede en un movimiento circular uniforme. Este tipo de movimiento es descrito por un cuerpo que está girando sobre un eje de forma constante, a un ritmo fijo. Esto quiere decir que dar un giro sobre el eje toma siempre la misma cantidad de tiempo.

Podemos generar un movimiento circular uniforme atando una piedra con una cuerda. Tomamos la cuerda, y comenzamos a girarla encima de nuestra cabeza, de forma que la piedra describa circunferencias a un ritmo de giro constante; por ejemplo, que cada giro tome 1 segundo. En este movimiento, siendo constante, podemos ver que la rapidez de la piedra es siempre la misma. Sin embargo, cuando la piedra está dando vueltas, tiene una velocidad que está continuamente cambiando de dirección. El vector de velocidad tendrá módulo constante (la rapidez), pero su dirección no dejará de cambiar nunca. Si la velocidad cambia, es porque necesariamente la piedra está siendo sometida a una aceleración. Todo cambio de velocidad es expresado por una aceleración; siempre.

¿Hacia dónde apunta la aceleración de la piedra? Apunta siempre hacia el centro de la circunferencia descrita por la piedra. De esta manera, el vector de velocidad se encuentra siempre «tratando» de apuntar hacia el centro, pero nunca consigue sacar a la piedra de su trayectoria de circunferencia. Esto hace que para que exista un movimiento circular, la relación entre aceleración y velocidad sea muy especial. En este sentido, el movimiento circular uniforme es un tipo de movimiento muy particular, y es por esto que colocar satélites en órbita no sea una cosa trivial.

¿Podemos confundir la Aceleración con la Gravedad?

Recordemos de la entrada sobre velocidad, que la velocidad es relativa. Cuando decíamos que la velocidad era relativa, dijimos, a resumidas cuentas, algo como esto: si nosotros vamos en un carro a 100km/hr en la carretera, y somos rebasados por otro carro que va a 110km/hr, nosotros realmente lo percibiremos como un vehículo que se mueve a solo 10km/hr respecto a nosotros. De hecho cuando decimos que vamos a 100km/hr, estamos realmente diciendo que vamos a 100km/hr RESPECTO a la carretera, o al suelo. Además, respecto a nuestro sistema de referencias, los árboles y señalamientos que están fijos a los costados de la carretera, realmente parece que están viajando a gran velocidad hacia atrás nuestro. Esto es algo conocido como la relatividad galileana, y es fácilmente entendido como el principio de adición de velocidades.

Pues bien, existe una relatividad asociada a la Aceleración. No quiero abundar mucho en esto, pero pensemos en la siguiente: como seres humanos, la manera que tenemos de percibir la gravedad (esa fuerza que nos tiene pegados al suelo), es precisamente por causa de la aceleración que la gravedad produce en nosotros. Es decir, sabemos que la gravedad existe, porque si nos tropezamos, aceleramos terriblemente hasta que damos de nariz al suelo. Esto es algo que aprendemos desde que nacemos. Conocemos la gravedad gracias a la aceleración que esta produce en nosotros, una aceleración que en la superficie de la tierra es de 9.8m/s².

Ahora, gracias a la ciencia moderna, todos hemos visto como en el espacio exterior, los astronautas flotan completamente ingravidos. Es decir, que en el espacio, la gravedad no existe (sí existe, pero esas finuras las discutimos luego…). Entonces, si un astronauta está dentro de una pequeña nave, y ésta gracias a sus motores comienza a acelerar con una aceleración justamente de 9.8m/s², el astronauta sentiría que una fuerza lo pega contra el suelo de la nave, con una aceleración que es justamente la que sentiría si estuviera en la tierra. Digamos que es una nave sin ventanas… ¿de qué manera el astronauta podría distinguir que está en una nave que acelera a 9.8m/s², y no detenido parado sobre el suelo en la superficie de la tierra?. La respuesta es que el astronauta no tiene manera de distinguir entre ambas situaciones. Estar sometido a la acción de la gravedad, y estar sometido a una aceleración arbitraria, son en principio, fenómenos indistinguibles.

Esto último decidí mencionarlo solo como una curiosidad. Para hablar con más propiedad de este tema, primero debería hablar de cosas como Qué es una Fuerza. Supongo que esa será la siguiente entrada de la serie de Mecánica Clásica Conceptual. Además, este última digresión que hice sobre aceleraciones y gravedad, debería ser tratado con más propiedad cuando decida hablar de Relatividad General… si es que eso sucede algún día (jaja lo dudo). Mientras tanto, para los curiosos aquí dejo un enlace de la Wikipedia sobre Relatividad General.

Resumen de conceptos clave:

• La aceleración describe la forma en la que cambia la velocidad de un cuerpo.
• Si pensamos en 1D, la aceleración nos dice cuánto cambia la rapidez de un cuerpo conforme pasa el tiempo…
• En 2D y en 3D, la aceleración puede cambiar no solo la rapidez de un cuerpo sino también su dirección de movimiento…
• Por esto, en general no decimos que la aceleración sea positiva o negativa. Simplemente tenemos que entender la aceleración como un vector bien definido por sus componentes, especificados con respecto a un sistema de referencias.
• Es posible que la aceleración no cambie la rapidez de un cuerpo, sino que solo cambie su dirección de movimiento, como en el caso especial del Movimiento Circular Uniforme.
• Y por último, como curiosidad, es posible confundir la sensación de aceleración con la de estar sometido a la acción de la gravedad.