El axioma de elección fue formulado antes que cualquier axioma de Zermelo- Fraenkel (ZF), pues en 1904, Ernst Zermelo lo formuló y usó para demostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado (este teorema es conocido como Teorema de Zermelo). Fue así, como empezó la polémica de este axioma, pues da la existencia de un conjunto sin dar una definición explícita del mismo.

Con el propósito de defender su demostración , en 1908,Zermelo presentó su primera axiomatización de la teoría de conjuntos, donde estaban axiomas como el axioma de pares o el axioma de uniones, entre esos axiomas también se encontraba el Axioma de Elección (AE). Este hecho estuvo lejos de acabar la controversia de su demostración, pues toda su axiomatización fue cuestionada.

En 1930, Zermelo publicó la segunda axiomatización, donde incluía las sugerencias que le había dado Adolf Fraenkel, así surgieron los axiomas de ZF, donde no estaba incluído el AE, y con estos axiomas se desarrolló en un inicio la teoría de conjuntos, el AE se hacía cada vez más necesario para la obtención de ciertos resultados, de ésta forma se estableció el sistema de Axiomas de ZFC.

De esta manera, a continuación presentaremos la demostración de Zermelo mencionada anteriormente, es decir, demostraremos que, si existe una función selectora para todo conjunto, entonces todo conjunto se puede bien ordenar. Esta implicación es un poco complicada, por lo tanto, vamos a introducir unos conceptos clave para que sea lo más entendible posible. Usaremos una función electora llamada la cual su existencia está respaldad por el axioma de elección, esta función esta definida desde el conjunto de partes de un conjunto arbitrario sin el {} hasta en donde esta función, nos envía un subconjunto de a un elemento de este subconjunto. Definiremos también el como un conjunto tal que: Está contenido en y está bien ordenado por alguna relación . Por último, definiremos como la unión de todos los los .

La idea general de esta demostración es llegar a que es un conjunto bien ordenado, esto lo logramos demostrando que es un mediante la definición de este último, y que a su vez, este es igual al conjunto anteriormente definido. De esta manera, como es un conjunto arbitrario, lo podemos bien ordenar mediante la función garantizada por el axioma de elección.

Ahora, para completar la idea inicial, vamos a dar la demostración del axioma de elección a partir del Teorema de Zermelo, es decir vamos a demostrar que, si todo conjunto se puede bien ordenar, entonces existe una función selectora para cada conjunto. Aquí hay que aclarar dos cosas, la primera, es cuando decimos “bien ordenar”, ahí nos referimos a que, dado un conjunto podemos definir un orden, tal que este sea un buen orden, es decir que todo subconjunto no vacío tenga mínimo, La segunda cosa es definir que es una función selectora, formalmente una función es selectora, si dado un conjunto , para todo , , es decir esta función selecciona un elemento de todo conjunto perteneciente a .

La demostración es bastante corta, y se basa en el hecho de que si todo conjunto perteneciente a  tiene mínimo, entonces podemos tomar la función selectora como aquella que selecciona al mínimo de este conjunto. Formalmente. Sea un conjunto luego utilizando el teorema de Zermelo existe un buen orden sobre , dado que  implica , tenemos que con el orden R, existe min(X), () así tomamos la función selectora sobre como , .

De esta manera queda demostrada ambas implicaciones que buscábamos, por lo cual podemos decir que, lógicamente hablando, el axioma de elección es equivalente al Teorema de Zermelo, también conocido como el Principio de Buena Ordenación.