Cardióide como epiciclóidePodemos, utilizando o programa Geometric Sketchpad, construir a cardióide como epiciclóide de uma circunferência.Vejamos como efectuar a mesma construção
utilizando agora o software Maple.
1-Construção de uma circunferência fixa
> restart;with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined> setoptions(view=[-3..3,-3..3]); > setoptions(scaling=constrained); > F:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],color=blue): > display(F,title="Circunferência Fixa F"); 2- Construção de uma circunferência móvel
A posição do centro desta circunferência pode ser expressa utilizando um ângulo polar u.Para isso é conveniente definir uma função de uma variável, u, que nos dá a posição da circunferência móvel que tem (2,u) como coordenadas do centro. Em coordenadas cartesianas o centro é dado por (2cos u, 2sin u). Assim a circunferência móvel pode ser expressa como se indica a seguir > M:=u->plot([2*cos(u)+cos(t),2*sin(u)+sin(t),t=0..2*Pi],color=green): Tracemos as duas circunferências, F e M, para um ângulo u = 0º, ficando deste modo a circunferência móvel com centro em (2, 0). > display({F,M(0)},title="Circunferência Móvel M"); 3- Construção de um ponto de tangência
Repare-se que a posição de T depende apenas da posição da circunferência móvel M, que é dada pelo ângulo u. A circunferência M deverá efectuar uma rotação completa, ou seja, 2u e, durante esse movimento de rotação, T deverá permanecer sempre do lado esquerdo de M. As coordenadas de T poderão ser determinadas da seguinte forma: - Suponhamos que a posição inicial do centro de M é sobre o eixo OX, ou seja, tem coordenadas (2, 0). - As coordenadas cartesianas do centro, para uma qualquer posição, são x =2cos(u), y = 2sin(u) -Como a circunferência móvel roda sobre a fixa sem escorregar, o ponto de tangência Tmove-se a mesma distância à volta de ambas as circunferências. -Assim relativamente à circunferência móvel o ponto T faz um ângulo 2u com a horizontal e as suas coordenadas cartesianas serão dadas por x = cos(2u), y = -sin(2u) - As coordenadas do ponto T,relativamente à origem do sistema de eixos, são então x =2cos(u)- cos(2u), y = 2sin(u)-sin(2u) A função seguinte constrói, para cada u, o correspondente ponto T. > T:=u->plot([[2*cos(u)-cos(2*u),2*sin(u)-sin(2*u)]],style=point,symbol=circle,color=black): O comando seguinte permite visualizar o ponto de tangência T quando o centro da circunferência móvel se encontra sobre o eixo OX. Neste caso as coordenadas de T são (1, 0). > display({F,M(0),T(0)},title="Ponto de Tangência",axes=boxed); 4- Animar a circunferência móvel
> n_frames:=10:
Poderemos agora fazer o display da sequência de "frames" por forma a animar a circunferência M. O primeiro "display" anima M e o ponto T. O segundo "display" faz a animação de M e T em torno da circunferência fixa F. > display([frame_seq],insequence=true):
Vejamos, a seguir, que de facto o lugar geométrico descrito pelo ponto T é uma cardióide (cujo pólo está deslocado uma unidade para o lado direito do eixo OX) > cardióide:=plot([2*cos(u)-cos(2*u),2*sin(u)-sin(2*u),u=0..2*Pi]):
A figura seguinte mostra a cardióide , a circunferência fixa F e uma posição ( posição 4) da circunferência móvel e do ponto de tangência. > display([F,cardióide,frame_seq[4]],title="Cardióide e Ponto de Tangência T",axes=none); A próxima figura mostra dez posições, igualmente espaçadas, da circunferência móvel e do ponto de tangência. > display([F,cardióide,frame_seq],title="Cardióide e Ponto de Tangência T",axes=none); Finalmente podemos animar o ponto T e vê-lo a construir a cardióide. > cardióide:=proc(U)local
u;
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