GeoLab. Web de Geometría ETSEM
Escuela Técnica Superior de Edificación. Universidad Politécnica de Madrid
Cuadriláteros alabeados.
Un hiperboloide reglado queda definido por tres directrices rectas que se cruzan
(véase la ficha correspondiente). Las generatrices configuran una segunda familia de rectas
que se apoyan en esas tres directrices.
El paraboloide hiperbólico puede considerarse un caso particular del anterior,
en el cual una de las generatrices se lleva al infinito, lo que, como sabemos,
equivale a tener un plano director.
Es decir, el paraboloide hiperbólico queda definido por dos directrices rectas
y un plano director al que deben ser paralelas las generatrices de la superficie.
Si partimos para su construcción de estos elementos bastará cortar las dos directrices propias, D1 y D2,
con planos paralelos al director para ir obteniendo generatrices (g1, g2, g3,..) de la superficie.
Generatrices que, al igual que con el hiperboloide, dan lugar a una segunda familia de rectas
que a su vez podrían entenderse como directrices.
El esquema superior, que ilustra esta construcción, anuncia una segunda manera
de definir un paraboloide que tiene para nosotros una gran utilidad práctica,
que es a través de un cuadrilátero alabeado (cuatro lados no coplanarios).
Un cuadrilátero alabeado, como el que se muestra a la izquierda, da lugar a un único paraboloide
hiperbólico y a infinitos hiperboloides reglados.
Efectivamente, un hiperboloide reglado queda definido, como ya sa ha dicho, por tres directrices rectas
que se cruzan, por lo que basta con apoyar sobre dos de los lados opuestos del cuadrilátero
una tercera directriz para obtener un hiperboloide.
Dado que esa tercera directriz puede ser cualquiera, podemos obtener infinitos hiperboloides diferentes
para un mismo cuadrilátero alabeado.
Sobre ese mismo cuadrilátero también es posible trazar un paraboloide hiperbólico, único en este caso.
La condición para obtener un paraboloide es que las series proyectivas sobre lados opuestos
sean semejantes, es decir que los puntos de apoyo de las generatrices sobre las directrices
sean equidistantes.
También cabe explicar esta definición del paraboloide a partir del cuadrilátero alabeado
de la siguiente manera: Dos lados opuestos del cuadrilátero son directrices del paraboloide.
En cuanto a los otros dos, son paralelos a una única familia de planos
(que son fáciles de obtener simplemente trazando una paralela a una de las rectas por un punto de la otra),
es decir, que estos otros dos lados del cuadrilátero definen el plano director del paraboloide.
En la figura se muestra un hiperboloide y un paraboloide sobre un mismo cuadrilátero alabeado.
En el hiperboloide se ha trazado una tercera directriz aleatoria y se han obtenido algunas
otras generatrices del mismo. En el caso del paraboloide se han dibujado también los planos directores
correspondientes a cada una de las familias de generatrices (para mayor claridad sólo se ha dibujado
una de las familias de generatrices).